ma 2251 matematika diskrit · pdf filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit)....

53
Selamat Datang di MA 2251 Matematika Diskrit Semester II, 2016/2017 1 Rinovia Simanjuntak & Saladin Uttunggadewa

Upload: vanphuc

Post on 08-Feb-2018

245 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Selamat Datang

di

MA 2251 Matematika Diskrit

Semester II, 2016/2017

1

Rinovia Simanjuntak & Saladin Uttunggadewa

Page 2: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Referensi

PustakaKenneth H. Rosen,

Discrete Mathematics and its Applications,

7th edition, 2007.

On the Webhttp://rinosimanjuntak.wordpress.com/teaching

(Berisi informasi perkuliahan, slide, bahan kuliah, dan tugas.)

2

Page 3: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Evaluasi

• Ujian: Test 1 dan Test 2 50%

• Diskusi Kelompok: 3 kali 15%

• Kuis/Tugas Individu: 3 kali 15%

• Tugas Pemrograman (Kelompok): 2 kali 20%

3

Page 4: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Matematika Diskrit?Cabang matematika yang mempelajari tentang obyek diskrit. (Diskrit berarti memuat elemen yang berbeda dan tak terhubung).

Berbagai masalah yang dapat dipecahkan dengan menggunakan matematikadiskrit: – Ada berapa cara untuk memilih password yang valid untuk suatu sistem

komputer?– Berapa peluang untuk menang dalam suatu undian?– Apakah ada link antara dua komputer dalam suatu jaringan komputer?– Bagaimana mengenali e-mail spam?– Bagaimana cara mengenkripsi pesan sehingga hanya orang tertentu dapat

membacanya?– Bagaimana menentukan lintasan terpendek antara dua kota dengan

menggunakan sistem angkutan umum?– Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan data?– Berapa langkah yang diperlukan untuk melakukan pengurutan tersebut?– Ada berapa alamat internet yang valid?– Bagaimana memetakan genetik manusia? (Genome project)– Bagaimana mengatur jadwal take-off/landing/parkir pesawat-pesawat di

bandara? 4

Page 5: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Mengapa Belajar Matematika Diskrit ?

• Dapat dibangun kedewasaan dalam bermatematika, yaitukemampuan untuk memahami dan membuat argumen matematis.

• Merupakan landasan berbagai bidang matematika: logika, teorihimpunan, teori bilangan, aljabar linier dan abstrak, kombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit).

• Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, teori basis data, bahasa formal, teori automata, teori compiler, sistem operasi, dan pengamanan komputer (computer security).

• Memuat latar belakang matematis yang diperlukan untukmemecahkan masalah dalam riset operasi (optimasi diskrit), kimia, ilmu rekayasa, biologi, dsb.

5

Page 6: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Silabus

• Logika (1.1-1.5)

• Bukti (1.6-1.8)

• Struktur Disktrit – Himpunan (2.1-2.2, 2.5)

– Fungsi (2.3)

– Barisan dan Deret (2.4)

– Matriks (2.6)

• Algoritma (3.1-3.3)

• Induksi (5.1-5.2)

• Rekursi (5.3)

• Counting– Dasar counting (6.1)

– Prinsip Sarang Merpati (6.2)

– Permutasi dan Kombinasi (6.3)

– Koefisien Binomial (6.4)

• Peluang Diskrit (7.1-7.2)

• Teknik Counting Lanjut – Relasi recurrence (8.1-8.2)

– Fungsi pembangkit (8.4)

– Inklusi-Ekslusi (8.5-8.6)

• Relasi (9.1, 9.3-9.6)

6

Page 7: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

1.1. PROPOSITIONAL LOGIC

Bab 1The Foundations: Logic and Proofs

7

Page 8: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Logika dan Proposisi

• Logika merupakan dasar dari semua penalaran matematis.

• Aturan logika memberikan arti pada pernyataan matematika dandigunakan untuk membedakan pernyataan yang valid dan tidakvalid.

• Blok pembangun logika adalah proposisi.

Proposisi: pernyataan yang bernilai benar atau salah, tapi tidakkeduanya.

• Untuk menotasikan proposisi, digunakan alfabet seperti p, q, r, s

• Kita katakan bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi adalahbenar (T) atau salah (F).

• Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital.

8

Page 9: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi

“Gajah lebih besar daripada kucing.”

9

Ini suatu pernyataan ? ya

Ini suatu proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran dari

proposisi ini ? T

Page 10: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (2)

“1089 < 101”

10

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran dari

proposisi ini ? F

Page 11: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (3)

“y > 15”

11

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? tidak

Nilai kebenaran bergantung pada nilai y yang

tidak spesifik.

Pernyataan seperti ini kita sebut fungsi

proposisi atau kalimat terbuka.

Page 12: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (4)

“Bulan ini Februari dan 24 < 5.”

12

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Nilai kebenaran dari

proposisi tersebut ? F

Page 13: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (5)

“Jangan tidur di kelas.”

13

Ini pernyataan ? tidak

Ini proposisi ? tidak

Hanya pernyataan yang dapat menjadi

proposisi.

Perintah dan pertanyaan bukanlah proposisi.

Ini permintaan.

Page 14: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (6)

“Jika gajah berwarna merah,

mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe.”

14

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran

proposisi tersebut ? F (?)

Page 15: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Proposisi (7)

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

15

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran dari

proposisi tsb ? T

… sebab nilai kebenarannya

tidak bergantung pada nilai

x dan y.

Page 16: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Proposisi Majemuk

Satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk sebuah proposisi majemuk dengan menggunakan beberapa operator logika.

– Negasi (NOT)

– Konjungsi - Conjunction (AND)

– Disjungsi - Disjunction (OR)

– Eksklusif Or (XOR)

– Implikasi (IF-THEN)

– Bikondisional (IF AND ONLY IF)

Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan nilai kebenaran dari proposisi majemuk.

16

Page 17: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Negasi (NOT)

Operator Uner, Simbol:

17

p p

true false

false true

Page 18: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Simbol:

18

p q pq

true true true

true false false

false true false

false false false

Page 19: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Disjungsi (OR)

Operator Biner, Simbol:

19

p q pq

true true true

true false true

false true true

false false false

Page 20: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Exclusive Or (XOR)

Operator Biner, Simbol:

20

p q pq

true true false

true false true

false true true

false false false

Page 21: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Implikasi (IF-THEN)

Implikasi p q adalah proposisi yang bernilai salahjika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.

21

falsefalsetrue

truetruefalse

truefalsefalse

truetruetrue

pqqp

Page 22: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Implikasi p q

• Jika p, maka q

• Jika p, q

• p mengakibatkan q

• p hanya jika q

• p cukup untuk q

• Syarat perlu untuk p adalah q

• q jika p

• q ketika p

• q diakibatkan p

• q setiap kali p

• q perlu untuk p

• Syarat cukup untuk q adalah p

22

Page 23: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh Implikasi

Implikasi

“Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.”

bernilai benar untuk semua hari kecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7 bernilai salah.

Kapan pernyataan berikut bernilai benar?

“Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi ke Lembang.”

23

Page 24: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Konversi, Kontrapositif, dan Invers

• q p disebut konversi dari p q

• q p disebut kontrapositif dari p q

• p q disebut invers dari p q

Contoh.

Berikan konversi, kontrapositif, dan invers daripernyataan berikut:

“Persib menang setiap kali hari hujan.”

24

Page 25: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Bikondisional (IF AND ONLY IF)

Operator Biner, Simbol:

25

p q pq

true true true

true false false

false true false

false false true

Page 26: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Bikondisional pq

• p perlu dan cukup untuk q

• jika p maka q, dan sebaliknya

• p iff q

Contoh.

Seseorang dapat naik pesawat jika dan hanyajika ia membeli tiket.

26

Page 27: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Soal

1.1.5

1.1.6

1.1.10

1.1.39

27

Page 28: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

1.2. APPLICATIONS OF PROPOSITIONAL LOGIC

28

Page 29: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Bahasa dalam Ekspresi Logika (1)

Contoh. Ubah ke dalam ekspresi logika:

“Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswaMatematika ITB atau anda bukan mahasiswa TPB”

Solusi. Misal a : “Anda punya akses internet”

m: “Anda mhs Matematika ITB”

f: “Anda mhs TPB”

a (m f)

29

Page 30: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Bahasa dalam Ekspresi Logika (2)

Soal 1. Ubah kedalam ekspresi logika.

“Anda tidak boleh naik roller coaster jika tinggi anda kurang dari 100 cm, kecuali usia anda sudah melebihi 16 th.”

“Saya akan ingat tentang kuliah besok hanya jika kamu mengirim sms.”

“Pantai akan erosi ketika ada badai”

30

Page 31: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Spesifikasi Sistem

Contoh.

“The automated reply cannot be sent when the file system is full.”

Spesifikasi sistem disebut konsisten jika spesifikasi tersebut tidak memuat pernyataan yang mengakibatkan kontradiksi.

Contoh. Tentukan apakah spesifikasi sistem berikut konsisten.

“The diagnostic message is stored in the buffer or it is retransmitted.”

“The diagnostic message is not stored in the buffer.”

“If the diagnostic message is stored in the buffer, then it is retransmitted.”

“The diagnostic message is not retransmitted”

31

Page 32: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Puzzle Logika (1)

32

(Smullyan, ‘98)

Suatu pulau mempunyai dua macam penghuni, yaitu penjujur (orang yg selalu berkata benar) dan pembohong (orang yg selalu berkata salah/bohong).

Anda bertemu dua orang A dan B di pulau itu. Jika A berkata bhw “B penjujur” dan B berkata bhw “kami berdua mempunyai tipe yg berlainan”, maka apa yang dapat anda simpulkan tentang A dan B.

Page 33: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Puzzle Logika (2)

§1.1 No. 60

Alice: Carlos did it. Carlos: Diana did it.

Diana: Carlos is lying. John: I didn’t do it.

Oracle: Only one of them is telling the truth.

Problem: Who did it?

33

Page 34: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Dengan menggunakan tabel kebenaran, caribaris di mana hanya 1 pernyataan yang benar

34

Page 35: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Latihan

1.2.5

1.2.17

1.2.34

35

Page 36: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

1.3. PROPOSITIONAL EQUIVALENCES

36

Page 37: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Salah satu langkah penting dalam argumentasi matematis adalah mengganti suatu pernyataan dengan pernyataan lain yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

37

Page 38: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang selalu benar.

Contoh:

• R(R)

• (PQ)(P)(Q)

Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.

Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.

38

Page 39: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilaisalah.

Contoh:

• R(R)

• ((PQ)(P)(Q))

Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi darikontradiksi adalah suatu tautologi.

39

Page 40: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Pernyataan yang Ekivalen (1)

40

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

true true true false false

true false false true true

false true false true true

false false false true true

Page 41: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Pernyataan yang Ekivalen (2)

Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalen

(Note: (PQ)(P)(Q) selalu benar) 41

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

true true false false true

true false true true true

false true true true true

false false true true true

Dua pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kasus yang mungkin disebut ekivalen secara logika. Notasi p ≡ q berarti p dan q ekivalen secara logika.

Page 42: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Ekivalen secara Logika

42

Page 43: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Contoh

Tunjukkan bahwa¬(p ∨ (¬p ∧ q)) dan

¬p ∧¬q adalah ekivalen secara logika.

Solusi.

METODA 1 dengan menggunakan Tabel Kebenaran

METODA 2 dengan menggunakan sekumpulan ekivalensi

43

Page 44: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Solusi dengan Metoda 2

¬(p ∨ (¬p ∧ q)) ≡ ¬p ∧¬(¬p ∧ q) Hukum De Morgan

≡ ¬p ∧ [¬(¬p)∨¬q] Hukum De Morgan

≡ ¬p ∧ (p ∨¬q)

≡ (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧¬q) Sifat distributif

≡ F ∨ (¬p ∧¬q) ¬p ∧ p ≡ F

≡ (¬p ∧¬q) ∨ F Sifat komutatif

≡ ¬p ∧¬q

44

Page 45: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

1.4. PREDICATES AND QUANTIFIERS

45

Page 46: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Predikat dan Kuantifier

Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P.

Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1).

Subjek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu.

Contoh. Q(x,y): x - 2y > x + y

46

Page 47: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Kuantifikasi Universal“P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan”

x P(x).

Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x2 x) jika:

x bilangan real x bilangan bulat

Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah.

Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x). 47

Page 48: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Kuantifikasi Eksistensi

“Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar”

x P(x).

Soal 3.

Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.

48

Page 49: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Negasi

“Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus IA”

x P(x)

Apakah negasi dari pernyataan ini….?

“Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus IA”

x P(x)

Jadi, x P(x) x P(x). 49

Page 50: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Negasi (2)

Soal 4.

Carilah negasi dari pernyataan berikut:

“Ada politikus yang jujur”

“Semua orang Indonesia makan pecel lele”

Soal 5.

Tentukan negasi dari:

x(x2 > x)

x (x2 = 2)

50

Page 51: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

1.5. NESTED QUANTIFIERS

51

Page 52: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Kuantifier Bersusun

x y (x+y = y+x)

berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y.

x y (x+y = 0)

berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0.

x y z (x+(y+z) = (x+y)+z)

berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.

52

Page 53: MA 2251 Matematika Diskrit · PDF filekombinatorika, teori graf, teori peluang (diskrit). •Merupakan landasan ilmu komputer: struktur data, algoritma, ... Soal 1. Ubah kedalam ekspresi

Soal

Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia:

x (C(x) y ( C(y) F(x,y))),

bila C(x) : “x mempunyai komputer”,

F(x,y): “x dan y berteman”,

dan domainnya adalah semua mhs di kampus.

Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini:

x y z((F(x,y) F(x,z) (y z) F(y,z))

Soal 8. Nyatakan negasi dari pernyataan

x y (xy=1).

53