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M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO 1

Campi armonici nel tempo

Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e .

In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo hanno una larga applicazione, infatti:

• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e

• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse come integrali di Fourier.

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

(ultima modifica 19/11/2012)

J


Poichè le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di e con la stessa frequenza in regime permanente.

Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni sorgenti.

Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti , determinando in tal modo il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.

E H


I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge periodica sinusoidale.

Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente espresse con la notazione fasoriale.

I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma non dal tempo. Per esempio un campo armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può essere espresso come:

ossia come un fasore definito in direzione, modulo e fase.

E

( , , , ) ( , , ) j tE x y z t E x y z e


Infatti una funzione sinusoidale E(t)=EM sin(t+)

o cosinusoidale E(t)=EMcos(t+), è completamente definita da

tre parametri (ampiezza EM, pulsazione , fase ).

Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.

Rappresentazione cosinusoidale

Rappresentazione complessa j( t+ )

MU=U(j t)=U e

Mu(t)=U cos( t+ )


Rappresentazione cosinusoidale

Rappresentazione complessa ricordando che si ha:

__________________________________________________________

( ) cos( )ME t E t )t(jeE)tj(E M

cos2

j je e

*

*

( ) cos( )2 2

Re con

2

j t j tj jj t j tM M

M M

j t j tj t j j

M M

E EE t E t E

E E

e e e ee e

E e E eEe E e e E e

Infatti se si ha:

IRjIII

__

____ __*

____ __*

2 2Re

2 2 Im

R I R I R

R I R I I

I I I jI I jI I I

I I I jI I jI jI j I


*

*

( ) cos( )2 2

Re con

2

j t j tj jj t j tM M

M M

j t j tj t j j

M M

E EE t E t E

E E

e e e ee e

E e E eEe E e e E e

tjeE __

tjeE

2

__

tjeE

2

__

E(t)=EMcos(t+)

E‘(t)=EMsen(t+)

(t+)


I fasori sono grandezze complesse per cui: se il campo é rappresentato da un fasore ,

allora e

l’operatore derivata e l’operatore integrale di un fasore, si potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente il fasore per j :

E in generale derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore per potenze superiori di j.

(x,y,z,t)E (x,y,z)E

(x,y,z,t)Et

t(x,y,z,t)dE

(x,y,z)E j j/(x,y,z)E

(x,y,z)E


Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in termini di fasori di campo e fasori di sorgente in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo:

Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V e il potenziale vettore diventano rispettivamente:

esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee.

H,E J,

/D E

0 0B H

A2

2

22

ρV k V essendo k il numero d'onda

ε ω

A k A μJ k ω μεu

EεjJDjJE

HμjBjE

t

DJE

tδ

B δE


CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

La condizione di Lorentz per i potenziali per i campi armonici nel tempo diventa:

Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni:

ossia:

0t

VμεA . 0 VjA

V'

V'

dv'R

R/utJπμ

R,tA

dv' RR/utρ

πε R,tV

4

41

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

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Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e

possono essere ulteriormente semplificate se . Infatti essendo lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a:

dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda

del mezzo: quindi se

o se , l’esponenziale può essere approssimato a 1.

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

...432

1443322

RkRkj

RkjkRe jkR

f

u

22

u

f

uk ,12

R

kRjkRe

J

R

R


Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda , le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi statiche:

Ciò verifica la generalità e la validità del metodo.

' 4

1 ,

'

dvR

ρ

πεtRV

V dv'

R

J

π

μ R,tA

V'

4


La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la seguente:

1) determinazione di V(R,t) e in funzione di ρ e dalle equazioni:

2) calcolo delle grandezze di campo fasoriali:

3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei) con riferimento al coseno :

Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle integrazioni al punto 1).

tRA ,

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

ARB e AjωVRE

tje

tje eRBtRBeREtRE , e ,

J


Campo armonico nello spazio privo di sorgenti

In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti:

Le equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:

;0 e σ0J, 0ρ

HjωE

EjωH

E jω H

H J jω E

0H 0H

0B

0E 0ρ se ρεE

ρD


Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione della singola

Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo si ottiene, essendo:

HjωE

EjωH

0 E

0 H

2 2

2 2

2 2

2 22 2 2

se 0

( )

0

A A A A A A

E E j H E

j H E j j E E

j E E E E

EH o E


Analogamente per il campo

2 2

2 2

2 22 2 2

( )

0

H H j E H

j E H j j H H

j H H H H

HjωE

EjωH

0 E

0 H

2 2

se 0 A A A A A A

H


Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono

le equazioni di Helmholtz per i campi armonici:

con:

0HkH

e

0EkE

22

22

ωk 22


Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice caratterizzato da e , allora anche

lo sono se:

(***)

dove é l’impedenza intrinseca del mezzo.

Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).

Questa é una affermazione del principio di dualità.

Questo principio é una conseguenza della simmetria delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.

H,E 'H,'E

η

E-'H e Hη'E


Campo armonico in un mezzo conduttore

Se in un mezzo circola una corrente e il mezzo è dissipativo si deve considerare la prima equazione di Maxwell nella forma completa:

le altre equazioni rimangono invariate, quindi la permettività diventa complessa.

J

c

c

"c

σH J jω E σ jω E jω ε E jωε E

jω

H jωε E

σ Fcon ε ε -j '

ω mj

EJ


Campo armonico in un mezzo conduttore

Analogamente occorre tener conto della componente sfasata della magnetizzazione sotto l’influenza di un campo magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze:

Nei materiali ferromagnetici la parte reale è alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria e quindi l’effetto della parte immaginaria è praticamente trascurabile, → .

''' j

'''

0''


Quindi nelle equazioni di Maxwell, il valore reale di k in un mezzo dielettrico con perdite, è un numero complesso:

Il rapporto é chiamata tangente di perdità perché é una

misura della perdita di potenza nel mezzo:

c può essere chiamato angolo di perdita.

Sulla base della espressione di si può affermare che:

• un mezzo é detto buon conduttore se >> e• un mezzo é detto buon isolatore se >> .Quindi, essendo =2f , un materiale può essere • un buon conduttore alle basse frequenze, ma• può avere le proprietà di un dielettrico con perdite,

alle alte frequenze.

cc ε μωk

ε'

ε"

tan .c

ε" σδ

ε' ωε

cσ

ε ε -j ω


Spettro elettromagnetico

Si possono evidenziare due punti fondamentali:• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono

valide per onde di frequenza qualsiasi . Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro

elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1024 Hz).

• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità, che dipende solo dalla natura del mezzo:

• In un mezzo con perdite u dipende dalla frequenza

ωσ

jε'ε e ''jμ'μessendo

/1u


Rays X rays

Ultraviolet

Visible light

Infrared

mm wave

EHF Extremely high frequency

SHF Super high frequency

UHF Ultra high frequency

VHF Very high frequency

HF High frequency

MF Medium frequency

LF Low frequency

VLF Very low frequency

ULF Ultra low frequency

SLF Super Low frequency

ELF Extremely low frequency


VL

rays

X rays

Ultraviolet

Visible light

Infrared

Mm wave

EHF Extremely high frequency

SHF Super high frequency

UHF Ultra high frequency

VHF Very high frequency

HF High frequency

MF Medium frequency

LF Low frequency

VLF Very low frequency

ULF Ultra low frequency

SLF Super Low frequency

ELF Extremely low frequency

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