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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (II)
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre lequation (z + 1)n = cos 2na+ i sin 2na.
En deduire la valeur de Pn = sin a sin(a+ pin
) sin
(a+ n1n pi
).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soient 0, . . . , n1 les n racines n-ie`mes de lunite. Pour p ZZ, calculer Sp =n1k=0
pk.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Calculern1k=0
(2 k), ou` les k sont les racines n-ie`mes de lunite.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation z2n 2zn cosn + 1 = 0.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation(1 iz1 + iz
)n=
1 + ia
1 ia (n IN, a IR).
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
On note z1, z2, . . . , zn les solutions de zn = a (avec |a| = 1, n IN).
Montrer que les points images de (1 + z1)n, (1 + z2)
n, . . . , (1 + zn)n sont alignes.
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Exercices de Mathematiques
Racines n-ie`mes complexes (II)
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Les solutions sont les zk = kei2a 1 (ou` les k sont les racines n-ie`mes de lunite.)
Montrer quen1k=0
zk = (1)n+1 2n i eina Pn.Remarquer que les zk sont aussi les racines de A(z) = (z + 1)
n e2ina.En deduire
n1k=0
zk = (1)n+1eina 2i sinna, puis Pn = sin(na)2n1
.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
Pour tout k de {0, . . . , n 1}, on a k = k1 .Sp est donc la somme des n premiers termes dune suite geometrique.
Si n 0 (mod n) alors Sp = n, sinon Sp = 0.
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On trouven1k=0
(2 k) = 2n 1.
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Factoriser z2n 2zn cosn + 1 en (zn ein)(zn ein).
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Poser a = tan , avec pi2