luis rincon

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  • Curso intermedio de

    PROBABILIDAD

    Luis Rincon

    Departamento de Matematicas

    Facultad de Ciencias UNAM

    Circuito Exterior de CU

    04510 Mexico DF

    Version: Octubre 2007

    Una version actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato

    electronico en la direccion http://www.matematicas.unam.mx/lars

  • ii

  • Contenido

    1. Espacios de probabilidad 1

    1.1. Espacios de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Medidas de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. Independencia de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5. Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2. Variables aleatorias 57

    2.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2. Funcion de distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3. Tipos de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4. Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5. Caractersticas numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.6. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    3. Vectores aleatorios 141

    3.1. Vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.2. Distribucion conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3. Densidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4. Distribucion marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.5. Distribucion condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    iii

  • 3.6. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.7. Esperanza de una funcion de un vector aleatorio . . . . . . . 1683.8. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.9. Coeficiente de correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio . . . . . . . . . . 1793.11. Distribuciones multivariadas discretas . . . . . . . . . . . . . 1813.12. Distribuciones multivariadas continuas . . . . . . . . . . . . . 1833.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    4. Esperanza condicional 213

    4.1. Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.2. Esperanza condicional: caso discreto . . . . . . . . . . . . . . 2164.3. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.4. Varianza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    5. Transformaciones 229

    5.1. Transformacion de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 2295.2. Transformacion de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . 2355.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    6. Dist. muestrales y estadsticas de orden 261

    6.1. Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.2. Estadsticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

    7. Convergencia 287

    7.1. Tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.2. Relaciones entre los tipos de convergencia . . . . . . . . . . . 2977.3. Dos resultados importantes de convergencia . . . . . . . . . . 3037.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

    8. Funciones generadoras 311

    8.1. Funcion generadora de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 3118.2. Funcion generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 316

    iv

  • 8.3. Funcion caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

    9. Dos teoremas lmite 347

    9.1. Algunas desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2. Ley de los grandes numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3529.3. Teorema central del lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3579.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

    A. Distribuciones de probabilidad 365

    B. Conceptos y resultados varios 373

    v

  • vi

  • Prologo

    El presente texto esta dirigido a estudiantes de mitad de carrera de laslicenciaturas de matematicas, actuara, y areas afines. Contiene el materialbasico para un segundo curso de probabilidad, y tiene como origen las notasde clase del curso semestral de Probabilidad II, que he impartido durantelos ultimos anos en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

    El enfasis de este segundo curso se centra en la formalizacion de algunosconceptos estudiados en un primer curso de probabilidad, y en el estudiode vectores aleatorios y sus varios conceptos relacionados. El lector puedecomprobar que se hace poco enfasis en las aplicaciones, y que la exposicioncubre principalmente el desarrollo matematico. El objetivo es que despuesde este curso, el estudiante pueda continuar con facilidad con un curso deestadstica matematica, de procesos estocasticos, o tal vez un curso avan-zado de probabilidad o de teora de la medida, teniendo como elementosbasicos los conceptos teoricos aqu desarrollados. En particular se incluyeun captulo sobre esperanza condicional, cuyo uso y aplicacion es cada vezmas frecuente. Tambien se incluye un captulo sobre distribuciones mues-trales y estadsticas de orden, con aplicaciones inmediatas en temas de laestadstica matematica.

    Al final de cada captulo el lector encontrara una lista de ejercicios separa-dos por temas. La mayora de estos ejercicios son de tipo mecanico, algunosde ellos son muy sencillos de modo que el termino ejercicios me parecejusto y adecuado. Pocos de estos ejercicios son originales, la mayor parte de

    vii

  • ellos son modificaciones de ejemplos o resultados clasicos que se encuentranen la larga literatura existente. La intencion de contar con este material esla de crear confianza y soltura por parte del alumno en el manejo de losconceptos y notacion involucrados. El numero de ejercicios excede lo quenormalmente puede realizarse en un semestre, y el objetivo que siempretuve en mente estos anos fue el tener un numero suficiente de ellos parapresentar algunos en clase, dejar otros para trabajo en casa, y asignar algu-nos otros para preguntas de examen, usando material ligeramente distintocada semestre para evitar repeticiones. Durante la exposicion de los temasel lector encontrara tambien algunos otros ejercicios propuestos y algunosejemplos resueltos.

    La presentacion del material mantiene la estructura de las notas de clase,y creo que sera particularmente util al estudiante con poco tiempo paraleer parrafos completos, y quien solo busca una definicion, un resultado, unejemplo, un ejercicio, o tal vez orientacion breve acerca de un concepto. Eneste sentido, el libro contiene tablas a manera de resumen, y los enunciadosestan enmarcados para su facil localizacion. Tambien he intentado que lanotacion fuera lo mas simple y mnima posible. Personalmente me gustanlos libros con imagenes y diagramas, y he buscado plasmar ese gusto en estetexto. Este material fue escrito en LATEX, y las graficas fueron elaboradasusando el paquete pstricks, lo cual ha sido realmente un placer. Al finaldel texto aparece una lista de referencias que me permito sugerir al lectorconsultar para profundizar y a veces precisar en determinados temas. Algu-nos de estos textos no han sido mencionados explcitamente pero aparecenen la lista por que en algun momento he obtenido inspiracion de ellos.

    Agradezco sinceramente a todas aquellas personas, alumnos y profesores,quienes a traves de sus comentarios y sugerencias, han contribuido al me-joramiento de este texto. Cualquier correccion o comentario acerca de estetrabajo sera muy bien recibido en el correo electronico que aparece abajo.Es mi intencion mantener en el futuro, hasta donde me sea posible, unaversion electronica actualizada, corregida y gratuita del presente texto. Lapagina web donde puede obtenerse es

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  • http://www.matematicas.unam.mx/lars

    Por ultimo, me parece importante mencionar que este texto ha sido posible,en gran medida, al excelente ambiente de trabajo y de libertad academicaque he tenido la fortuna de encontrar en el Departamento de Matematicasde la Facultad de Ciencias de la UNAM. Gracias a todos por su confianzay apoyo.

    Luis RinconDiciembre 2006

    Ciudad Universitaria UNAMlars@fciencias.unam.mx

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  • Captulo 1

    Espacios de probabilidad

    La teora de la probabilidad es la parte de las matematicas que se encargadel estudio de los fenomenos o experimentos aleatorios. Se entiende porexperimento aleatorio todo aquel experimento tal que cuando se le repitebajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siemprees el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, es necesario aceptarque no es posible predecir el resultado de un experimento particular auncuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismascondiciones iniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estascircunstancias, la teora de la probabilidad tiene el objetivo de modelarmatematicamente cualquier experimento aleatorio de interes.

    1.1. Espacios de probabilidad

    El modelo matematico creado durante el primer tercio del siglo XX paraestudiar los experimentos aleatorios es el as llamado espacio de probabili-dad. Este modelo consiste de