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LS5

Trägheitsmoment und Steiner'scher Satz

Version vom 24. Januar 2019

Inhaltsverzeichnis

1 Physikalisches Pendel 2

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Begri�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Der Steiner'sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Das Fahrradpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.7 Bestimmung des Trägheitsmoments des Fahrradpendels J . . . . . . 7

1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Messparameter für CASSY-Lab2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Messwertaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5 Erstellen von Fehlerbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Anhang: Sensordaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

LS5 Inhaltsverzeichnis

Lehr/Lernziele

Anhand eines physikalischen Pendels (Fahrradpendel) soll das Verständnis für rotierendeSysteme und ihre physikalischen Gröÿen und Modelle, wie z.B. Trägheits- und Richtmo-ment (u.a. mittels dem Steiner'schen Satz) vertieft werden. Die bereits erworbenen Kennt-nisse zu computergestützten Messverfahren mit Sensor-CASSY werden Ihnen anhand au-tomatischen Zeitmessungen näher gebracht. Ein wichtiger Schwerpunkt dieses Praktikumsist der Erwerb für die Auswertung von Messergebnissen und Messunsicherheiten, sowie daserstellen übersichtlicher Diagramme in einem Datenauswertprogramm.

• Vertiefung der Konzepte von Trägheitsmoment, Drehmoment, Kreisfrequenz, ...

• Anwendung des Steiner'schen Satzes zur Berechnung von Trägheitsmomenten.

• Kennenlernen der Abhängigkeit der Schwingungsdauer des Pendels von der Auslen-kung.

• Verwenden eines Sensor-CASSY für automatische Zeitmessungen (periodische Schwin-gungsvorgänge messen).

• Verbesserung von Fertigkeiten zur Auswertung von Messergebnissen und Messunsi-cherheiten.

• Den Umgang mit Datenauswertprogrammen üben.

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LS5 1 Physikalisches Pendel

1 Physikalisches Pendel

1.1 Grundlagen

1.1.1 Begri�e

Mathematisches Pendel, Physikalisches Pendel, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Mas-senträgheitsmoment, Steiner'scher Satz, Winkelrichtgröÿe.

1.1.2 Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maÿ für seinen Widerstand gegen die Än-derung seines Drehbewegungszustandes. Gemäÿ seiner De�nition ist das Trägheitsmomentimmer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Lage dieser Achse reativzum Körper ab.

J =

∫V

r2 dm =

∫V

r2 ρ dV (1.1)

Formelzeichen Einheit Bezeichnung

J kg·m2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achsedm kg Massenelementr m Normalabstand zwischen dm und RotationsachseV m3 Volumenρ kg·m−3 Dichte eines homogenen Körpers

Vergleichen Sie die De�nitionen und Bedeutungen der kinematischen und

dynamischen Gröÿen bei Translations- und Rotationsbewegungen in der

Zusatzinformation auf der eLearning Seite des Anfängerpraktikums

1.1.3 Der Steiner'sche Satz

Der Steiner'sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment JS des Körpers für Drehungen umeine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einer da-zu parallelen Achse im Abstand d (siehe Abb. 1). Der Steiner'sche Satz lautet:

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J = JS +mges · d2 (1.2)

d

JJ

s

Abbildung 1: Drehung um eine durch den Massenmittelpunkt gelegte Ach-se (Trägheitsmoment JS) und eine dazu parallel verschobeneAchse (verknüpft mit dem Trägheitsmoment J) mit Abstandd.


J kg·m2 Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-AchseJS kg·m2 Trägheitsmoment bzgl. || Schwerpunktachsemges kg Gesamtmasse des Systemsd m Abstand der beiden Drehachsen

1.1.4 Mathematisches Pendel

Bei einem mathematischen Pendel schwingt eine im Schwerpunkt konzentrierte Masse man einem masselosen Faden (Länge: l), wobei Reibungs- und Strömungswiderstände ver-nachlässigt sind. Realisiert wird dieses Pendel zB. durch eine Kugel, die an einem Fadenschwingt. Die Masse der Kugel ist groÿ im Vergleich zur Masse des Fadens und die Aus-dehnung der Kugel ist klein zur Länge des Pendelfadens (vgl. Abb. 2).

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Abbildung 2: Mathematisches Pendel

In der Skizze von Abb. 2 sind die wichtigsten Parameter angeführt.

Es gilt: ~FG = m~g und ~F = m~g sinϕ. Der Auslenkwinkel ϕ(t) ist von der Zeit t abhängig.

Formelzeichen Bezeichnung Einheit

ϕ(t) Auslenkwinkel 1 (rad)ϕ0 maximaler Auslenkwinkel 1 (rad)~FG Gewichtskraft N~F Rückstellkraft Nm Pendelmasse kg~g Erdbeschleunigung m · s−2

Achtung: Im folgenden werden ϕ̇ und ϕ̈ als die erste bzw. zweite zeitliche Ableitungaufgefasst (ϕ̇(t) = d

dtϕ(t) und ϕ̈(t) = d2

dt2ϕ(t)). Hierbei ist es dennoch wichtig die

jeweiligen unabhängigen Variablen anzuführen, da die jeweiligen Variablen nicht nur vonder Zeit abhängen müssen.

Mit dem Abstand l · ϕ(t) (Bogenlänge) der Masse aus der Ruhelage und der daraus resul-tierenden Beschleunigung l · ϕ̈(t) folgt im dynamischen Gleichgewicht

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m · l · ϕ̈(t)︸︷︷︸Trägheitskraft

+m · g · sinϕ(t)︸︷︷︸Rückstellkraft

= 0 (1.3)

Der zeitliche Verlauf des Auslenkwinkels ϕ(t) genügt einer nichtlinearen Di�erenzialglei-chung zweiter Ordung:

ϕ̈(t) +g

l· sinϕ(t) = 0 (1.4)

Für allgemeine Auslenkwinkel ϕ(t) ist die Di�erenzialgleichung nicht analytisch, sondernnur numerisch mit einem Näherungsverfahren lösbar. Wenn aber angenommen wird, dassfür sehr kleine Winkel sinϕ(t) ≈ ϕ(t) gilt, dann kann die Bewegungsgleichung folgender-maÿen angeschrieben werden:

ϕ̈(t) +g

l· ϕ(t) ≈ 0 (1.5)

Sie ist somit eine lineare homogene Di�erenzialgleichung. Der Lösungsansatz dieser Glei-chung ergibt eine periodische harmonische Funktion.

ϕ(t) = ϕ0 · cos(√

g

l· t+ φ

)(1.6)

(Mit φ als Anfangsphase.)

Der Ausdruck√

glwird im allgemeinen als Kreisfrequenz ω bezeichnet. Mit Hilfe des oben

beschriebenen Lösungsansatzes lässt sich nun die Periodendauer analytisch ermitteln:

T0 =2π

ω= 2π

√l

g(1.7)

1.1.5 Physikalisches Pendel

Einen beliebig ausgedehnten starren Körper, der um eine Achse schwingt, die nicht durchden Schwerpunkt verläuft, nennt man ein physikalisches Pendel (vgl. Abb. 3).

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S

A

lφAS

mg

Abbildung 3: Physikalisches Pendel, A - Aufhängepunkt, S - Schwerpunkt

Um seine Bewegungsgleichung zu bestimmen wird wieder der Ansatz des dynamischenGleichgewichts (hier aber nicht der Kräfte, sondern eben der Drehmomente) gewählt. AnStelle der (punktförmigen) Masse tritt das Trägheitsmoment J und an Stelle der Rück-stellkraft in Bahnrichtung das rücktreibende Drehmoment auf:

J · ϕ̈(t)︸︷︷︸Drehmoment (Trägheit)

+ m · g · sinϕ(t) · lAS︸︷︷︸rücktreibendes Drehmoment

= 0 (1.8)

Die konstanten Parameter m ·g · lAS werden allgemein zur Konstante D (Winkelrichtgröÿe)zusammengefasst:

J · ϕ̈(t)︸︷︷︸Drehmoment (Trägheit)

+ D · sinϕ(t)︸︷︷︸rücktreibendes Drehmoment

= 0 (1.9)

Mit der bereits bekannten Kleinwinkelnäherung sinϕ = ϕ für ϕ→ 0 lässt sich auch dieseDi�erenzialgleichung analytisch lösen und es folgt analog zum mathematsichen Pendel:

ϕ(t) = ϕ0 · cos

(√D

J· t+ φ

)(1.10)

Wobei√

DJ= ω die Kreisfrequenz ist, aus der sich die Schwingungsdauer bestimmen lässt:

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T0 =2π

ω= 2π ·

√J

D(1.11)

(In der Literatur wird die Winkelrichtgröÿe D auch oft als Richtmoment oder Direktions-moment bezeichnet.)

1.1.6 Das Fahrradpendel

Das in dieser Praktikumseinheit verwendete physikalische Pendel besteht aus einem Spei-chenrad mit einem an der Felge montierten Metallzylinder (siehe Abb. 4).

Abbildung 4: Speichenrad mit Zusatzmasse

1.1.7 Bestimmung des Trägheitsmoments des Fahrradpendels J

Wenn man das Trägheitsmoment des Fahrradpendels bestimmen möchte, muss man dieWinkelrichtgröÿe D errechnen und die Schwingungsdauer T0 bei kleinsten Auslenkungenmessen (siehe Gl. 1.11)

Bestimmung der Schwingungsdauer für kleinste Winkel:

Das Fahrradpendel - so gut auch die Radlager sind - hat eine relativ groÿe Rollreibung, dieeine genaue Messung der Schwingungsdauer bei kleinsten Auslenkungen kaum ermöglicht.Für gröÿere Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung (wie für Gl. 1.9 durchgeführt) nicht mehrund die Schwingungsdauer ist abhängig vom (maximalen) Auslenkwinkel ϕ0. Man kann

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jedoch die Periodendauer über einen groÿen Bereich verschiedenster Auslenkwinkel ϕ0

messen und den Zusammenhang gra�sch gegen den Winkel ϕ0 = 0◦ extrapolieren1.

Bestimmung der Winkelrichtgröÿe DDie Winkelrichtgröÿe D hängt von der Masse mZ des Metallzylinders und vom AbstandlAS der Drehachse A zum Schwerpunkt S ab und wird wie folgt berechnet:

D = mZ · g · lAS (1.12)

Der Abstand lAS setzt sich hier aus dem Radius RF der Felge und der halben Höhe hZ derzylindrischen Zusatzmasse zusammen:

lAS = RF +1

2hZ (1.13)

Trägheitsmoment des Speichenrades JRadDie komplizierte Geometrie und Massenverteilung des Rades macht eine genaue mathe-matische Berechnung seines Trägheitsmomentes unmöglich. Es gilt jedoch, dass das Ge-samtträgheitsmoment des Fahrradpendels J gleich der Summe der Trägheitsmomente desZylinders Jz und des Speichenrades JRad sind. Daraus folgt:

JRad = J − Jz (1.14)

Nun man kann das unbekannte Trägheitsmoment JRad des Rades bestimmen.


mZ kg Masse MetallzylinderrZ m Radius MetallzylinderhZ m Höhe MetallzylinderlAS m Abstand Drehachse - SchwerpunktRF m Radius der Felge

1extrapolieren bedeutet �hochrechnen�, bzw. aus einem bekannten Bereiche ausgehend �vorhersagen� bzw.die Kurve �weiter zeichnen�

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Trägheitsmoment des Zylinders JZ

Abbildung 5: Metallzylinder

Die Drehachse des Fahrradpendels (siehe Abb. 4) verläuft nicht durch den Schwerpunkt desZylinders. Um JZ zu berechnen muss man daher zunächst das Trägheitsmoment parallelzur Schwerpunktsachse JS kennen. Hier verläuft die Achse durch seinen Massenmittelpunkt(Schwerpunkt) und ist parallel zur Drehachse angeordnet (siehe Abb. 5). Dieses Trägheits-moment JS ergibt sich über die allgemeine De�nition von Trägheitsmomenten J =

∫r2 dm

(siehe Kapitel 1.1.2 auf Seite 2) unter Berücksichtigung der Geometrie des Zylinders zu:

JS =1

4mZ · r2Z +

1

12mZ · h2Z (1.15)

Dem Steiner'schen Satz (siehe Kapitel 1.1.3 auf Seite 2) entsprechend gilt dann für dasTrägheitsmoment des Zylinders beim Fahrradpendel:

JZ = JS +mZ · l2AS (1.16)

JZ = mZ(1

4r2Z +

1

12h2Z + l2AS) (1.17)


J kg·m2 TrägheitsmomentD kg·m2·s−2 RichtmomentJZ kg·m2 Trägheitsmoment des MetallzylindersJS kg·m2 Trägheitsmoment des Metallzylinders (Schwerpunkt)JRad kg·m2 Trägheitsmoment des Speichenrades

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1.2 Aufgabenstellung

1. Messen Sie die Schwingungsdauer T0 in Abhängigkeit des Auslenkwinkels ϕ (Bereichvon 90◦ bis 10◦) und stellen Sie T0 als Funktion von ϕ in einem Diagramm graphischdar. Zeichnen Sie für beide Messgröÿen physikalisch sinnvolle Fehlerbalken ein.

2. Ermitteln Sie graphisch die Schwingungsdauer T0 für sehr kleine Auslenkungen durchExtrapolation des Winkels gegen Null.

3. Berechnen Sie das Richtmoment (Winkelrichtgröÿe) D des Pendels.

4. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der zylindrischen Zusatzmasse JZ, des gesamtenPendels J und daraus das Trägheitsmoment des Rades JRad.

5. Bestimmen Sie jeweils die physikalisch sinnvollen Messunsicherheiten der einzelnenMessgröÿen sowie die zusammengesetzte Messunsicherheit des Ergebnisses.

1.3 Versuchsaufbau und Durchführung

1.3.1 Experimenteller Aufbau

Der Versuchsaufbau ist in der Abbildung 6 dargestellt. Den Winkel lesen Sie auf einemWinkelkreis (Teilung: 5◦) mit einer auf der Felge montierten metallischen Spitze ab. ZurMessung der Schwingungsdauer wird ein Drehbewegungssensor verwendet. Die Messda-ten werden computergestützt mit einem Sensor-CASSY erfasst und graphisch dargestellt.Gleichzeitig zur Schwingungsdauer kann auch die Amplitude aufgezeichnet werden. DerDrehbewegungssensor ist mit dem Radpendel über ein Messingstäbchen verbunden. Über-prüfen Sie die Justierung der Anordnung (wenn der Drehbewegungssensor nicht �x verbautist):

• Beachten Sie, dass der Sensor in der richtigen Höhenposition zum Messingstäbchenangeordnet ist.

• Justieren Sie die Drehachse des Sensors parallel zur Rotationsachse des Radpendels.

• Stellen Sie dazu die waagrechte Stativstange, an der der Sensor befestigt ist, parallelzur Richtung des Rad-Durchmessers.

• Schlieÿen Sie den Drehbewegungssensor an einen der beiden Eingänge des Sensor-CASSY an.

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Abbildung 6: Versuchsaufbau

1.3.2 Messparameter für CASSY-Lab2

Zur Messung der Schwingungsdauer ö�nen Sie CASSY-Lab2 und tätigen folgende Einstel-lungen:

• CASSY: Sensor aktivieren.

• Einstellungen - Eingang: Messgröÿe: Periodendauer T, Dauer: 3s (das ist jenerZeitbereich, in welchem Sie die Periodendauer des Pendels erwarten, sie darf nichtkleiner als die Periodendauer sein!), Aufnahme: manuell

• Rechner-Parameter: Neu: Winkel einrichten, Typ: manuell in die Tabelle wählen,Bereich: 0◦ bis 100◦.2

• Darstellung: x-Achse: Winkel, y-Achse: Schwingungsdauer, alle anderen Achsenbe-

2Alternativ dazu kann mit dem Sensor-Cassy 2 auch die jeweilige Amplitude (ϕ0 = ϕmax) aufgenommenwerden (gleichzeitig zur Periodendauer). Wer das so automatisiert durchführen möchte, muss aber dar-auf achten, dass die Amplitudenmessung in der Ruhelage auf Null kalibriert ist. Bei der automatischenMessung werden alle 2T automatisch Messwerte für A und T aufgenommen.

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legungen deaktivieren.

Auf der eLearning-Seite �nden Sie eine Kurzanleitung zur Bedienung von

CASSY �Erste Schritte im Umgang mit CASSY und ULAB�.

1.3.3 Messwertaufnahme

Tragen Sie zuerst den Wert für den aktuell zu messenden Auslenkwinkel in die erste Ta-bellenspalte ein. Lenken Sie dann das Pendel um einen ca. 5◦ bis 10◦ gröÿeren Winkel aus.Zur Bestimmung des Auslenkwinkels (Amplitude) können Sie entweder den Sensor-CASSYverwenden oder dies manuell durchführen. Bei der manuellen Durchführung warten Sie einpaar Schwingungen ab, bis die metallische Spitze den gewünschten Auslenkwinkel erreichthat bevor Sie die Messung durchführen.

Wiederholen Sie die Messung in Schritten von 10◦ im Bereich 90◦ - 10◦ durch. Zur weiterenAuswertung übertragen Sie die Tabelle in ein geeignetes Datenauswerteprogramm (z.B.Origin, QTI-Plot),indem Sie die Daten aus CASSY-Lab2 exportieren.

1.3.4 Auswertung

Stellen Sie die Schwingungsdauer T0 als Funktion des Auslenkwinkels ϕ graphisch dar.Zeichnen Sie für beide Messgröÿen physikalisch sinnvolle Fehlerbalken ein. Beachten Siedie Hinweise zum Erstellen von Fehlerbalken (vgl. Kap. 1.3.5). Entnehmen Sie der gra-phischen Darstellung durch Extrapolieren3 den Wert der Schwingungsdauer T0 für kleineAuslenkwinkel (ϕ→ 0).

Führen Sie die Berechnungen zur Winkelrichtgröÿe (Richtmoment oder Direktionsmoment)und zum Trägheitsmoment entsprechend der Aufgabenstellung durch. Messen Sie die dazunotwendigen Längen (rZ, hZ, lAS,RF) mit physikalisch sinnvollen Unsicherheiten. Die Massedes Metallzylinders mZ ist auf der Grundplatte des Pendels angegeben.

1.3.5 Erstellen von Fehlerbalken

Importieren Sie Ihre Messdaten in eine neue Tabelle. Um Fehlerbalken eintragen zu können,müssen Sie zunächst eine neue Spalte in Ihre Tabelle einfügen. Gehen Sie dazu in dieMenüleiste unter �Tabelle� und dann �Spalte hinzufügen�. Markieren Sie die hinzugefügte

3In QTI-Plot: �Analyse - Interpolieren� und Bereich über den Datensatz hinaus erweitern

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Spalte und wählen Sie sie mit Rechtsklick aus. Im erscheinenden Drop-down Menü �ndenSie �Setzen als� � wählen Sie dort �X-Error� bzw. �Y-Error� aus. Fügen Sie nun manuell dieDaten zur Messunsicherheit (von Ihnen berechnet) ein. Anschlieÿend kann das Diagrammmit eingetragenen Fehlerbalken erstellt werden.

1.4 Hinweise zur Protokollierung und Fehlerrechnung

Für das Erstellen von Fehlerbalken müssen sie sorgfältige Überlegungen zu den Messun-sicherheiten tre�en: Die Sensordaten geben Ihnen die Au�ösung der Messgeräte, dochnicht die Messunsicherheit! Bedenken Sie: Bei jeder Schwingungsdauer sinkt der Winkelreibungsbedingt. Somit ist die gemessene Schwingungsdauer (die alle 3 Sekunden aus-gegeben wird) eine mittlere Schwingungsdauer für einen Winkelbereich. Wenn Sie dieseeinen bestimmten Winkel zuordnen, so handeln Sie sich alleine deshalb schon eine gröÿereUnsicherheit der Schwingungsdauer ein. Überlegen Sie, wie Sie zu einer argumentativ nach-vollziehbaren Abschätzung der Unsicherheiten gelangen. Diskutieren Sie auch mit anderenGruppen und mit Ihren Betreuern.

Wenden Sie die jeweiligen Formeln zur Fehlerrechnung und Fehlerfortp�anzung an. Kon-zipieren Sie das Protokoll zu dieser Einheit entsprechend den Richtlinien des Praktikums-leitfades. Erstellen Sie übersichtliche Diagramme.

1.5 Anhang: Sensordaten

Die Schwingungsdauer und Amplitude werden automatisch ermittelt, indem der Sensoreine Schwingung auswertet, dabei aus den Umkehrpunkten die Mittellage ermittelt (unterBerücksichtigung einer eventuellen Amplitudenabnahme durch Reibung) und die Zeitdi�e-renz zwischen drei Mittellagen erfasst mit einer Au�ösung besser als 1 ms. Mit dem Drehbe-wegungssensor können die Schwingungsdauer und -amplitude, Winkel, Drehfrequenz undder Weg mit den folgende Au�ösungen erfasst werden:

Au�ösungsvermögen Gröÿe

Frequenz 0,001 HzWinkel 0,18◦

Weg 0,08 mmZeit 0,001 s

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