lower bounds on power-dissipation for dsp algorithms-shanbhag96

8/19/2019 Lower Bounds on Power-Dissipation for DSP Algorithms-shanbhag96

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ISLPED 1996 Monterey CA USA0-7803-3571-8/96/$5.00 1996

L o w e r B o u n d s o n P o w e r D i s s i p a t i o n f o r D S P A l g o r i t h m s

N a r e s h R . S h a n b h a g

E C E D e p t . C o o r d i n a t e d S c i e n c e L a b o r a t o r y

U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a C h a m p a i g n

U r b a n a I L 6 1 8 0 1 . s h a n b h a g u i v l s i . c s l . u i u c . e d u

A b s t r a c t

P r e s e n t e d i n t h i s p a p e r i s a f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i

c a l b a s i s f o r d e t e r m i n i n g t h e l o w e r b o u n d s o n p o w e r d i s

s i p a t i o n i n d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g D S P a l g o r i t h m s .

T h i s b a s i s i s d e r i v e d f r o m i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c a r g u

m e n t s . I n p a r t i c u l a r a d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g a l g o

r i t h m i s v i e w e d a s a p r o c e s s o f i n f o r m a t i o n t r a n s f e r w i t h

a n i n h e r e n t i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e r e q u i r e m e n t o f R

b i t s s e c . D i e r e n t a r c h i t e c t u r e s i m p l e m e n t i n g a g i v e n

a l g o r i t h m a r e e q u i v a l e n t t o d i e r e n t c o m m u n i c a t i o n n e t

w o r k s e a c h w i t h a c e r t a i n c a p a c i t y C a l s o i n b i t s s e c .

T h e a b s o l u t e l o w e r b o u n d o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n f o r

a n y g i v e n a r c h i t e c t u r e i s t h e n o b t a i n e d b y m i n i m i z i n g

t h e s i g n a l p o w e r s u c h t h a t i t s c h a n n e l c a p a c i t y C i s e q u a l

t o t h e d e s i r e d i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e R . T h e p r o p o s e d

f r a m e w o r k i s e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e l o w e r b o u n d s

f o r s i m p l e d i g i t a l l t e r s . F u r t h e r m o r e l o w e r b o u n d s o n

t h e p o w e r d i s s i p a t i o n a c h i e v a b l e v i a a d i a b a t i c l o g i c i s

a l s o p r e s e n t e d t h u s d e m o n s t r a t i n g t h e v e r s a t i l i t y o f t h e

p r o p o s e d a p p r o a c h .

1 I n t r o d u c t i o n

I n r e c e n t y e a r s t h e n e e d f o r i m p l e m e n t i n g h i g h l y

c o m p l e x a l g o r i t h m s w i t h i n a l i m i t e d p o w e r b u d g e t h a s

f o r c e d r e s e a r c h e r s t o e x p l o r e v a r i o u s m e t h o d s f o r p o w e r

r e d u c t i o n 1 . T h e s e m e t h o d s a r e a p p l i c a b l e a t v a r i

o u s l e v e l s o f t h e V L S I d e s i g n m e t h o d o l o g y i n c l u d i n g

a r c h i t e c t u r a l l o g i c a n d c i r c u i t l e v e l . H o w e v e r t h e i n

t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s e t e c h n i q u e s i s h i g h l y c o m p l e x

a n d t h e r e e x i s t s a n e e d f o r a u n i f y i n g b a s i s f o r p o w e r

r e d u c t i o n . A d e s i r a b l e c h a r a c t e r i s t i c o f s u c h a b a s i s i s

t h a t i t s h o u l d b e a p p l i c a b l e a t a l l l e v e l s o f t h e d e s i g n

m e t h o d o l o g y i n c l u d i n g t h e a l g o r i t h m i c l e v e l .

M o s t o f t h e w o r k d o n e i n t h e a r e a o f l o w p o w e r d e

s i g n c a n b e p l a c e d i n t o t h e f o l l o w i n g t w o b r o a d c a t e

g o r i e s 1 . D e v e l o p m e n t o f p o w e r r e d u c t i o n t e c h n i q u e s

a n d 2 . i n v e s t i g a t i n g t h e l o w e r b o u n d s o n p o w e r d i s

s i p a t i o n . W o r k d o n e i n C a t e g o r y 1 c a n b e v i e w e d a s

a c o l l e c t i o n o f t e c h n i q u e s t o r e d u c e p o w e r a t a l l p o s s i

b l e l e v e l s o f t h e V L S I d e s i g n m e t h o d o l o g y . T h e s e t e c h

n i q u e s i n c l u d e p i p e l i n i n g a n d p a r a l l e l p r o c e s s i n g 1 2

a r c h i t e c t u r a l l e v e l

l o g i c m i n i m i z a t i o n 3 a d i a b a t i c c o m p u t a t i o n 4 5

o p t i m a l c o d i n g 6 a n d d e v i c e t h r e s h o l d v o l t a g e V

t

r e

d u c t i o n d e v i c e l e v e l 7 .

S o m e r e l a t e d w o r k i n c l u d e s d e t e r m i n i n g t h e l o w e r

b o u n d s o n t h e a c h i e v a b l e p o w e r d i s s i p a t i o n 8 9 . I n 8

t h e l o w e r b o u n d o n p o w e r d i s s i p a t i o n p e r p o l e f o r a n a l o g

c i r c u i t s w a s p r e s e n t e d . T h i s b o u n d i s b a s e d u p o n t h e

d e s i r e d s i g n a l t o n o i s e r a t i o S N R . E m p i r i c a l l o w e r

b o u n d e s t i m a t e s f o r d i g i t a l c i r c u i t s w e r e a l s o p r e s e n t e d

i n 8 w h i c h w a s b a s e d u p o n a d e s i r e d S N R e s t i m a t e s

o f g a t e c o m p l e x i t y a n d e n e r g y p e r o p e r a t i o n . T h e t h e

o r y p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r c a n p r o v i d e t h e d e s i r e d S N R

f o r a g i v e n a l g o r i t h m . E m p l o y i n g t h e r m o d y n a m i c a r g u

m e n t s 9 t h e t h e r m a l n o i s e p o w e r s p e c t r u m w a s d e t e r

m i n e d t o b e k T a n d t h e m i n i m u m e n e r g y r e q u i r e d f o r

a l o g i c c h a n g e w a s s h o w n t o b e l o w e r b o u n d e d b y a p

p r o x i m a t e l y 4 k T . T h e l o w e r b o u n d s c a l c u l a t e d v i a t h e

p r o p o s e d t h e o r y i s a l s o a f u n c t i o n o f t h e n o i s e p o w e r

s p e c t r u m o f t h e i m p l e m e n t a t i o n m e d i a .

I n t h i s p a p e r w e e m p l o y a n i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c a p

p r o a c h t o d e v e l o p a m a t h e m a t i c a l b a s i s f o r d e t e r m i n i n g

t h e l o w e r b o u n d s o n p o w e r d i s s i p a t i o n f o r D S P a l g o

r i t h m s . I n f o r m a t i o n t h e o r e t i c m e a s u r e s h a v e b e e n e m

p l o y e d i n t h e p a s t t o d e n e a m e a s u r e o f c o m p u t a t i o n a l

w o r k o f a b o o l e a n t r a n s f o r m a t i o n 1 0 1 1 . T h i s m e a s u r e

o f c o m p u t a t i o n a l w o r k i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e a r e a 1 2

o c c u p i e d b y a n i m p l e m e n t a t i o n o f t h e b o o l e a n f u n c t i o n .

E l e g a n t a p p r o a c h e s t o p o w e r e s t i m a t i o n a t t h e r e g i s t e r

t r a n s f e r l e v e l R T L h a v e b e e n p r o p o s e d 1 3 1 4 w h i c h

i n c o r p o r a t e c o n c e p t s s u c h a s e n t r o p y

O u r w o r k d i e r s s i g n i c a n t l y i n t h a t w e b e g i n w i t h

a n i m p l e m e n t a t i o n i n d e p e n d e n t v i e w o f a n a l g o r i t h m

a n d t h e n p r o c e e d t o d e t e r m i n e t h e l o w e r b o u n d s o n

p o w e r d i s s i p a t i o n f o r a g i v e n a r c h i t e c t u r e . T h i s i s d o n e

v i a t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e

R a n i m p l e m e n t a t i o n i n d e p e n d e n t q u a n t i t y a n d t h e

c h a n n e l c a p a c i t y C a n a r c h i t e c t u r e a n d t e c h n o l o g y

d e p e n d e n t q u a n t i t y . T h e p r o p o s e d b a s i s h a s t w o a d

v a n t a g e s 1 . i t a l l o w s u s t o d e r i v e l o w e r b o u n d s o n t h e

p o w e r d i s s i p a t i o n i n D S P a l g o r i t h m s a n d 2 . i t e n a b l e s

u s t o u n i f y e x i s t i n g p o w e r r e d u c t i o n t e c h n i q u e s u n d e r

a c o m m o n f r a m e w o r k . W e w i l l i l l u s t r a t e 1 . v i a e x a m

p l e s o f s i m p l e d i g i t a l l t e r s a n d 2 . b y d e t e r m i n i n g t h e

l o w e r b o u n d s o n p o w e r d i s s i p a t i o n f o r a d i a b a t i c l o g i c

4 5 . H o w e v e r i t m u s t b e m e n t i o n e d t h a t w i t h r e s p e c t

t o 2 . t h e p r o p o s e d t h e o r y h a s b e e n e m p l o y e d t o p r o

v i d e a c o m m o n b a s i s f o r a r c h i t e c t u r a l t e c h n i q u e s s u c h

a s p i p e l i n i n g a n d p a r a l l e l p r o c e s s i n g 1 5 .


2/6

2 P r e l i m i n a r i e s

I n o r d e r t o p r o v i d e t h e n e c e s s a r y b a c k g r o u n d w e w i l l

r e v i e w s o m e b a s i c i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c c o n c e p t s i n t h i s

s e c t i o n .

2 . 1 E n t r o p y a n d M u t u a l I n f o r m a t i o n

C o n s i d e r a d i s c r e t e s o u r c e g e n e r a t i n g s y m b o l s f r o m

t h e s e t S

X

X

0

X

1

X

L 1

a c c o r d i n g t o a p r o b a

b i l i t y d i s t r i b u t i o n P r X . A m e a s u r e o f t h e i n f o r m a

t i o n c o n t e n t o f t h i s s o u r c e i s g i v e n b y i t s e n t r o p y H X

w h i c h i s d e n e d a s f o l l o w s

H X

L 1

X

i 0

P

i

l o g

2

P

i

2 1

w h e r e P

i

d e f

P r X X

i

f o r i 0 L 1 a n d H X

i s i n b i t s . T h e m u t u a l i n f o r m a t i o n I X Y b e t w e e n t h e

i n p u t X a n d t h e o u t p u t Y o f a c h a n n e l i s d e n e d a s

I X Y H X H X Y H Y H Y X 2 2

w h e r e H X Y i s t h e c o n d i t i o n a l e n t r o p y o f X c o n d i

t i o n e d o n Y . T h e m u t u a l i n f o r m a t i o n I X Y c a n b e

v i e w e d a s t h e r e d u c t i o n i n u n c e r t a i n t y i n X d u e t o t h e

k n o w l e d g e o f Y

2 . 2 I n f o r m a t i o n T r a n s f e r R a t e

T h e r e d u c t i o n i n u n c e r t a i n t y b y a n a m o u n t I X Y

i n X i s d u e t o t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r e d f r o m t h e i n

p u t o f t h e c h a n n e l t o i t s o u t p u t . T h u s t h e i n f o r m a t i o n

t r a n s f e r r a t e R i s d e n e d a s

R f

o p

I X Y 2 3

w h e r e f

o p

i s t h e r a t e a t w h i c h t h e s y m b o l s a r e g e n e r a t e d

b y t h e s o u r c e .

2 . 3 C h a n n e l C a p a c i t y

I n h i s s e m i n a l w o r k 1 6 S h a n n o n s h o w e d t h a t t h e

c a p a c i t y C o f a c h a n n e l b a n d l i m i t e d t o f r e q u e n c y W

i s g i v e n b y

C

Z

W

0

l o g

2

1 S N R f d f 2 4

w h e r e C i s i n b p s . F r o m 2 . 4 i t i s c l e a r t h a t t h e c a

p a c i t y C d e p e n d s u p o n t h e S N R a n d t h e t r a n s m i s s i o n

b a n d w i d t h W

3 A F u n d a m e n t a l B a s i s f o r P o w e r

R e d u c t i o n

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l r s t s h o w t h a t a l l l o g i c t r a n s

f o r m a t i o n s h a v e a n i n h e r e n t i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e

r e q u i r e m e n t s R a s s o c i a t e d w i t h t h e m . N e x t w e w i l l

p r e s e n t a t h e o r e m w h i c h a l l o w s o n e t o d e t e r m i n e t h e

l o w e r b o u n d s o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n f o r a g i v e n a r

c h i t e c t u r a l i m p l e m e n t a t i o n .

YΓXY’X

F i g u r e 1 A n o i s y t r a n s f o r m a t i o n .

SX

SY’Γ ’

F i g u r e 2 I n p u t o u t p u t m a p p i n g f o r i n F i g u r e 1 .

3 . 1 L o g i c T r a n s f o r m a t i o n

W e c a n r e p r e s e n t a n y n o i s y l o g i c t r a n s f o r m a t i o n a s

s h o w n i n F i g . 1 w h e r e n o i s e c o u l d h a v e m a n y s o u r c e s

i n c l u d i n g t h e i m p l e m e n t a t i o n m e d i a i t s e l f . W i t h o u t a n y

l o s s o f g e n e r a l i t y w e a s s u m e t h a t t h e i n p u t s a n d t h e

o u t p u t s a r e l a t c h e d s y n c h r o n o u s l y .

T h e d e n i t i o n o f i s s h o w n i n F i g . 2 w h e r e t h e

i n p u t s p a c e S

X

i s m a p p e d o n t o t h e o u t p u t s p a c e S

Y

T h e d a r k d o t s i n t h e s e t S

X

r e p r e s e n t t h e d i s c r e t e v a l u e s

t h a t t h e i n p u t X c a n a s s u m e w h i l e t h e o n e s i n t h e s e t

S

Y

d e n o t e t h e v a l u e s t h a t t h e o u t p u t c a n a s s u m e i f t h e

n o i s e p o w e r w e r e z e r o .

A s s u m i n g t h a t t h e n o i s e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n

i s i d e n t i c a l f o r a l l p o s s i b l e n o i s e l e s s o u t p u t s Y t h e n w e

c a n r e p r e s e n t t h e s y s t e m i n F i g . 1 a s s h o w n i n F i g . 3

w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g m a p p i n g f o r a s s h o w n i n F i g .

4 . I n t h i s g u r e a l l t h e n o i s e i n h a s b e e n r e f e r r e d

t o t h e o u t p u t a n d w e n o w h a v e a n o i s e l e s s t r a n s f o r m a

t i o n m a p p i n g t h e i n p u t s p a c e S

X

t o a n o i s e l e s s o u t

p u t s p a c e S

Y

. I n t h i s p a p e r w e w i l l a s s u m e t h a t t h e

F i g . 3 c a n b e e m p l o y e d t o r e p r e s e n t a n y n o i s y t r a n s

f o r m a t i o n . N o t e t h a t t h e c o m p u t a t i o n m o d e l i n F i g .

3 i s q u i t e s i m i l a r t o a g e n e r i c d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s

s y s t e m . T h e i n p u t a n d o u t p u t l a t c h e s c a n b e v i e w e d a s

t r a n s c e i v e r s t r a n s m i t t e r r e c e i v e r a n d t h e c l o c k a s p r o

v i d i n g t h e c o r r e c t s a m p l i n g e p o c h o u t p u t o f a t i m i n g

r e c o v e r y b l o c k . I n a d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s s y s t e m

t h e t r a n s f o r m a t i o n i s u s u a l l y a n i d e n t i t y t r a n s f o r m a

t i o n . T h u s t h e m o d e l i n F i g . 3 a l l o w s u s t o a p p l y

r e s u l t s f r o m d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s t h e o r y 1 6 t o d e

t e r m i n e t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e r e q u i r e m e n t s f o r

a g i v e n D S P a l g o r i t h m .

T h e o r e m 1 I f Z

L

Z

M

i s a d e t e r m i n i s t i c m a p

p i n g w h e r e Z i s t h e s e t o f i n t e g e r s t h e n t h e i n f o r m a t i o n

t r a n s f e r r a t e i s g i v e n b y

R f

o p

H Y 3 1

T h e o r e m 1 c a n b e e a s i l y p r o v e d b y o b s e r v i n g t h a t i n a

n o i s e l e s s c a s e I X Y I X Y H Y a n d s u b s t i


3/6

ΓX

NOISE

Y Y’

YX

F i g u r e 3 A n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f a n o i s y t r a n s f o r m a

t i o n w i t h n o i s e r e f e r r e d t o t h e o u t p u t .

SYSX Γ

F i g u r e 4 I n p u t o u t p u t m a p p i n g f o r i n F i g u r e 3 .

t u t i n g t h e r e s u l t i n 2 . 3 . A s a n e x a m p l e f o r a t w o

i n p u t A N D g a t e w i t h e q u i p r o b a b l e i n p u t s 2 . 2 i m p l i e s

t h a t I X Y 0 8 1 1 2 b i t s . I f s u c h a s y s t e m o p e r a t e s

a t 1 0 0 M h z t h e n R 8 1 1 2 M b s .

T h u s a l l d i g i t a l t r a n s f o r m a t i o n s i n p a r t i c u l a r l i n e a r

n i t e p r e c i s i o n D S P a l g o r i t h m s h a v e a n i n h e r e n t i n f o r

m a t i o n t r a n s f e r r a t e r e q u i r e m e n t R g i v e n b y 3 . 1 . T h i s

r e q u i r e m e n t i s a n i n h e r e n t p r o p e r t y o f t h e t r a n s f o r m a

t i o n a n d i s i n d e p e n d e n t o f t h e i m p l e m e n t a t i o n m e d i a o r

t h e a r c h i t e c t u r e

3 . 2 L o w e r B o u n d s o n P o w e r D i s s i p a t i o n

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e c a n b e m a n y d i e r e n t d i g

i t a l a r c h i t e c t u r e s w h i c h a c h i e v e t h e s a m e f u n c t i o n a l i t y .

I n t h e p r e s e n t c o n t e x t w e v i e w e a c h o f t h e s e a r c h i t e c

t u r e s a s a c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k w i t h a c e r t a i n c a p a c

i t y C . T h e c a p a c i t y C f o r a p o i n t t o p o i n t l i n k i s g i v e n

b y 2 . 4 w h e r e i t c a n b e s e e n t h a t C i s a f u n c t i o n o f

1 . t h e t r a n s m i s s i o n b a n d w i d t h W 2 . t h e s i g n a l t o

n o i s e r a t i o S N R f . I n t h e c o n t e x t o f a d i g i t a l s y s t e m

a c o n n e c t i o n b e t w e e n t w o l o g i c g a t e s c a n b e v i e w e d a s a

p o i n t t o p o i n t l i n k . T h i s c o n n e c t i o n w o u l d h a v e a c e r

t a i n r e s i s t a n c e R

L

a n d c a p a c i t a n c e C

L

i n d u c t a n c e L

c a n a l s o b e c o n s i d e r e d i f n e c e s s a r y . H e n c e t o a r s t

o r d e r a p p r o x i m a t i o n t h e t r a n s m i s s i o n b a n d w i d t h W i s

g i v e n b y 1 R

L

C

L

. T h e s i g n a l t o n o i s e r a t i o S N R f

i s a f u n c t i o n o f t h e s u p p l y v o l t a g e V

d d

a n d t h e p r e d o m

i n a n t s o u r c e s o f n o i s e i n t h e s y s t e m .

A g e n e r a l d i g i t a l n e t w o r k c o n s i s t s o f n u m e r o u s p o i n t

t o p o i n t l i n k s e a c h c o n n e c t i n g e i t h e r c o m b i n a t i o n a l

l o g i c g a t e s o r s y n c h r o n o u s l y c l o c k e d l a t c h e s . W e w i l l

n o t a t t e m p t t o c o m p u t e t h e c a p a c i t y o f s u c h a g e n

e r a l n e t w o r k a s t h i s i s c u r r e n t l y a n o p e n p r o b l e m i n

i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c l i t e r a t u r e . H o w e v e r e m p l o y i n g

t h e a b s t r a c t i o n i n d i c a t e d i n F i g . 3 w e c a n o b t a i n a n

e q u i v a l e n t n o i s e s o u r c e a n d a n e q u i v a l e n t r e s i s t a n c e R

L

a n d C

L

w h i c h a r e l u m p e d a t t h e o u t p u t o f t h e d i g i t a l

s y s t e m . F o r e x a m p l e t h e e q u i v a l e n t C

L

c o u l d b e t h e

s u m o f t h e c a p a c i t a n c e s o f t h e c r i t i c a l p a t h o f t h e a r

c h i t e c t u r e . T h e r e f o r e t h e t r a n s m i s s i o n b a n d w i d t h W

S N R f a n d t h e r e f o r e t h e c a p a c i t y C c a n b e d e t e r

m i n e d .

C l e a r l y f r o m 1 6 t h e c a p a c i t y C s h o u l d b e g r e a t e r

t h a n o r e q u a l t o R f o r a m e a n i n g f u l c o m p u t a t i o n t o

t a k e p l a c e . W e e x p l o i t t h i s r e s u l t t o f o r m a l l y p r e s e n t

t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 2 F o r a g i v e n c h a n n e l w i t h t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s

b a n d l i m i t e d t o W H z

w i t h a n o i s e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f S

N N

f

a d e s i r e d i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e R b p s .

p o w e r d i s s i p a t i o n a t f r e q u e n c y f P

D

f b e i n g r e

l a t e d t o t h e s i g n a l p o w e r s p e c t r u m S

X X

f a s

P

D

f F S

X X

f 3 2

w h e r e F i s a l i n e a r m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g

f u n c t i o n o f i t s a r g u m e n t .

T h e l o w e r b o u n d o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n f o r s u c h a

c h a n n e l i s g i v e n b y

P

D

F

Z

W

0

m i n

S

N N

f

d f 3 3

w h e r e a r g

d e n o t e s t h e p o s i t i v e p a r t o f a r g a n d

m i n

i s a u n i q u e c o n s t a n t w h i c h c a n b e o b t a i n e d a s a s o l u t i o n

t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n

R

Z

W

0

l o g

2

1

m i n

S

N N

f

S

N N

f

d f 3 4

T h e p r o o f o f t h i s T h e o r e m 2 f o l l o w s a l o n g s i m i l a r l i n e s

a s t h a t o f 1 6 a n d i s o m i t t e d h e r e f o r t h e s a k e o f b r e v i t y .

T h u s f o r a g i v e n D S P t r a n s f o r m a t i o n T h e o r e m

1 a l l o w s u s t o c a l c u l a t e t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e

R a n d T h e o r e m 2 e n a b l e s u s t o d e t e r m i n e t h e l o w e r

b o u n d o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n o f a p a r t i c u l a r a r c h i

t e c t u r a l i m p l e m e n t a t i o n o f . I n p a r t i c u l a r T h e o r e m 2

r e l a t e s a n a l g o r i t h m l e v e l p a r a m e t e r R t o a c i r c u i t l e v e l

p a r a m e t e r S N R . T h i s e n a b l e s u s t o v i e w t h e p r o b l e m

o f p o w e r r e d u c t i o n i n a u n i e d m a n n e r . I t s h o u l d b e

c l e a r t h a t t h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f

T h e o r e m 1 a n d T h e o r e m 2 w o u l d b e a f u n c t i o n o f t h e

a l g o r i t h m t h e t e c h n o l o g y S

N N

f a n d F a n d

t h e a r c h i t e c t u r e C

N o t e t h a t T h e o r e m 2 d o e s n o t p r o v i d e u s w i t h t h e

t e c h n i q u e t o a c h i e v e t h e l o w e r b o u n d . T h i s i s n o t s u r

p r i s i n g g i v e n t h e f a c t t h a t T h e o r e m 2 i s d e r i v e d f r o m

S h a n n o n s j o i n t s o u r c e c h a n n e l c o d i n g t h e o r e m 1 6

w h i c h i n t u r n p r o v i d e s a p r o o f o f a c h i e v a b i l i t y b u t n o t

t h e m e t h o d .

4 L o w e r B o u n d C a l c u l a t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t f o u r e x a m p l e s o f t h e a p

p l i c a t i o n o f T h e o r e m 1 a n d T h e o r e m 2 . T h e n o i s e


4/6

f c

Frequency

SignalFilter

F i g u r e 5 A d e g e n e r a t e c a s e .

s o u r c e i n F i g . 3 n e e d s t o b e d e t e r m i n e d f o r t h e s y s

t e m . H o w e v e r f o r c o n v e n t i o n a l d i g i t a l s y s t e m s t h e n o i s e

i s m a i n l y d u e t o t h e p h e n o m e n o n o f g r o u n d b o u n c e .

J u s t f o r t h e s a k e o f d e m o n s t r a t i o n a n d w i t h o u t a n y

l o s s o f g e n e r a l i t y w e a s s u m e t h a t t h e i m p l e m e n t a t i o n

t e c h n o l o g y i s C M O S w i t h a a t n o i s e s p e c t r u m w i t h

a v e r a g e p o w e r

2

N

1 0

2

V

2

o v e r a u s a b l e b a n d w i d t h

o f W 1 0 0 M H z . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e v a l u e

o f g r o u n d b o u n c e i n a t y p i c a l s u b m i c r o n C M O S t e c h

n o l o g y . F u r t h e r m o r e w e c a n a p p r o x i m a t e t h e t r a n s m i t

p u l s e a s a s q u a r e w a v e w i t h a n a m p l i t u d e o f V

d d

2

v o l t s f o r t r a n s m i t t i n g a 1 a n d 0 r e s p e c t i v e l y . T h e

s i g n a l p o w e r

2

X

o r t h e v a r i a n c e i s t h e r e f o r e e q u a l t o

V

2

d d

4 . T h e f u n c t i o n F f o r s t a t i c C M O S i s d e n e d a s

f o l l o w s

F C

L

V

2

d d

2 W 4 1

w h e r e w e a s s u m e a m a x i m u m o f 2 W c h a n n e l u s e s p e r

s e c o n d . I t c a n b e s h o w n t h a t f o r a g i v e n v a l u e o f R a

m a x i m u m o f 2 W c h a n n e l u s e s w o u l d r e s u l t i n t h e l o w e s t

p o w e r d i s s i p a t i o n .

4 . 1 D e g e n e r a t e C a s e

C o n s i d e r a n i d e a l l o w p a s s l t e r w i t h a c u t o f r e

q u e n c y f

c

l o w e r t h a n t h e l o w e r e d g e o f t h e i n p u t s i g n a l

s p e c t r u m s e e F i g . 5 . F r o m T h e o r e m 1 a n d 3 . 1 w e

g e t H Y 0 a n d R 0 . N e x t e m p l o y i n g T h e o r e m

2 w e n d t h a t t h e l o w e r b o u n d o n p o w e r d i s s i p a t i o n

P

D m i n

i s e q u a l t o z e r o . C l e a r l y t h e o u t p u t o f t h e l o w

p a s s l t e r i s e q u a l t o z e r o . O n e p a r t i c u l a r i m p l e m e n

t a t i o n o f s u c h a s y s t e m i s a n o u t p u t l i n e c o n n e c t e d t o

g r o u n d . O t h e r t h a n n o n i d e a l i t i e s s u c h a s y s t e m w i l l

n o t c o n s u m e a n y p o w e r .

4 . 2 F i l t e r 1

L e t u s c o n s i d e r a n F I R l t e r w i t h f o l l o w i n g t r a n s f e r

f u n c t i o n

H z

1

z

1

0 5 z

2

4 2

F u r t h e r a s s u m e t h a t t h e s a m p l i n g r a t e f

s

1 0 0 M H z

a n d t h a t t h e i n p u t x n t o t h e l t e r i s a 1 b i t w o r d

w h i c h i s e q u a l l y l i k e l y t o b e a 1 o r a 0 . F r o m

4 . 2 t h e o u t p u t y n d e p e n d s u p o n t h e i n p u t v e c t o r

X n x n 1 x n 2 w h i c h c a n t a k e t h e v a l

u e s 0 0 0 1 1 0 a n d 1 1 . T h e s t a t e s e q u e n c e o f

s h i f t r e g i s t e r i s a M a r k o v p r o c e s s a n d h e n c e w e c a n d e

t e r m i n e t h e s t e a d y s t a t e v a l u e o f t h e s t a t e p r o b a b i l i t i e s

P X n . A s s u m i n g t h e i n i t i a l s t a t e t o b e e q u a l l y l i k e l y

i n a n y o f t h e f o u r p o s s i b l e v a l u e s w e c a n s h o w t h a t t h e

s t a t e p r o b a b i l i t i e s a r e e q u a l t o 0 2 5 f o r a l l f o u r s t a t e s .

T h i s i m p l i e s t h a t t h e i n p u t e n t r o p y H X 2 b i t s .

F r o m 4 . 2 w e c a n s e e t h a t e v e r y i n p u t s t a t e r e s u l t s i n

a u n i q u e o u t p u t a n d h e n c e t h e o u t p u t e n t r o p y i s a l s o

e q u a l t o 2 b i t s . H e n c e t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e

R 2 0 0 M b s . A d i r e c t f o r m i m p l e m e n t a t i o n o f 4 . 2

w o u l d r e q u i r e o n e m u l t i p l i e r o n e a d d e r a n d t w o l a t c h e s .

F u r t h e r m o r e w e a s s u m e t h a t t h e c r i t i c a l p a t h d e l a y f o r

t h e m u l t i p l y a d d c o m b i n a t i o n a l l o w s a 1 0 0 M H z o p e r

a t i o n i . e . W 1 0 0 M h z . F o r s u c h a n a r c h i t e c t u r e

T h e o r e m 2 c a n b e e m p l o y e d t o d e t e r m i n e t h e l o w e r

b o u n d o n t h e V

d d

a s f o l l o w s

C R

W l o g

2

1

V

2

d d 1 m i n

4

2

N

R

V

d d 1 m i n

2

R

W

1 4

2

N

1

2

V

d d 1 m i n

0 3 4 6 4 V 4 . 3

w h e r e R 2 0 0 M b s W 1 0 0 M H z a n d

2

N

1 0

2

V

2

. N o t e t h a t t h e v a l u e o f V

d d 1 m i n

o b t a i n e d v i a t h e

p r o p o s e d t h e o r y i s i n t h e s a m e r a n g e a s t h e 2 0 M H z

e n c o d e r d e c o d e r c i r c u i t i n 7 w h e r e V

d d

0 2 V w a s

e m p l o y e d .

S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f 4 . 3 i n t o 4 . 1 a n d w i t h

C

L

0 5 p F w e o b t a i n t h e c o r r e s p o n d i n g l o w e r b o u n d s

o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n a s f o l l o w s

P

D m i n

1 2 W 4 4

4 . 3 F i l t e r 2

I n t h i s e x a m p l e w e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t r a n s f e r

f u n c t i o n

H z

1

0 5 z

1

0 5 z

2

4 5

A s s u m e a l l t h e o t h e r p a r a m e t e r s t o b e t h e s a m e a s i n

F i l t e r 1 . H e n c e t h e i n p u t e n t r o p y i s H X 2 b i t s .

H o w e v e r 4 . 5 i s n o l o n g e r a o n e t o o n e m a p p i n g . I t

c a n b e s e e n t h a t t h e s t a t e s 0 0 a n d 1 1 r e s u l t i n t h e

s a m e o u t p u t y n 0 w h i l e t h e o t h e r t w o s t a t e s r e

s u l t i n a u n i q u e o u t p u t . T h i s i m p l i e s t h a t t h e o u t p u t

e n t r o p y i s H Y 1 5 b i t s a n d f r o m 3 . 1 t h e i n f o r

m a t i o n t r a n s f e r r a t e i s R 1 5 0 M b s . P r o c e e d i n g i n

a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t f o r F i l t e r 1 w e n d t h a t t h e

l o w e r b o u n d o n t h e s u p p l y v o l t a g e f o r a d i r e c t f o r m i m

p l e m e n t a t i o n i s g i v e n b y

V

d d 2 m i n

0 2 7 0 4 V 4 6

C o m p a r i n g 4 . 3 a n d 4 . 6 w e n d t h a t t h e l o w e r b o u n d

o n t h e s u p p l y v o l t a g e f o r F i l t e r 2 i s l o w e r t h a n t h a t

o f F i l t e r 1 . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t F i l t e r 1 h a s

a n i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e r e q u i r e m e n t s t h a t i s h i g h e r

t h a n t h a t o f F i l t e r 2 . T h e l o w e r b o u n d o n t h e p o w e r

d i s s i p a t i o n i s g i v e n b y

P

D m i n

7 3 2 W 4 7

A c o m p a r i s o n o f 4 . 4 a n d 4 . 7 s h o w s t h a t F i l t e r 2 h a s

a s m a l l e r l o w e r b o u n d t h a n t h a t o f F i l t e r 1 . N o t e t h a t

t h i s i s a c o u n t e r i n t u i t i v e r e s u l t g i v e n t h e f a c t t h a t t h e r e

a r e t w o n o n z e r o c o e c i e n t s i n a d i r e c t f o r m i m p l e m e n

t a t i o n o f 4 . 5 a s c o m p a r e d t o o n e n o n z e r o c o e c i e n t i n

t h e c o r r e s p o n d i n g d i r e c t f o r m i m p l e m e n t a t i o n o f 4 . 2 .

H o w e v e r b y a p p l y i n g t h e a s s o c i a t i v i t y t r a n s f o r m a t i o n

1 7 4 . 5 c a n b e i m p l e m e n t e d w i t h o n e m u l t i p l i e r a n d

o n e a d d e r . T h e a d d i t i o n w o u l d b e d o n e r s t f o l l o w e d


5/6

CL

RL

VC(t)

V(t)

F i g u r e 6 A d i a b a t i c c o m p u t a t i o n .

b y o n e m u l t i p l i c a t i o n . H e n c e t h e n u m b e r o f h a r d w a r e

u n i t s f o r a d i r e c t f o r m i m p l e m e n t a t i o n o f b o t h l t e r s

w o u l d b e i d e n t i c a l . T h i s e x a m p l e s h o w s t h a t t h e p r o

p o s e d t h e o r y d o e s i n d i c a t e t h e p o s s i b i l i t y o f n d i n g a n

a r c h i t e c t u r e t h a t w o u l d d i s s i p a t e l e s s e r p o w e r t h a n t h e

e x i s t i n g o n e . H e n c e i t c a n b e e m p l o y e d t o c o m p a r e t h e

p o w e r d i s s i p a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f t w o a l g o r i t h m s u n

d e r s i m i l a r i m p l e m e n t a t i o n c o n s t r a i n t s .

4 . 4 A d i a b a t i c L o g i c

A d i a b a t i c c o m p u t a t i o n 4 5 a n d p u l s e d p o w e r

s u p p l y C M O S l o g i c 1 8 w o r k i n a u n i q u e f a s h i o n . I n

p a r t i c u l a r t h e s e t e c h n i q u e s a r e b a s e d u p o n t h e f a c t t h a t

p o w e r d i s s i p a t i o n c a n b e m i n i m i z e d b y e n s u r i n g t h a t

t h e v o l t a g e a c r o s s a n y r e s i s t o r i s k e p t a s s m a l l a s p o s

s i b l e . T h i s i s s h o w n i n F i g . 6 w h e r e t h e c a p a c i t o r C

L

i s c h a r g e d u p b y a p p l y i n g a v o l t a g e s o u r c e V t w h o s e

r i s e t i m e T

r

R

L

C

L

. U n d e r t h i s c o n d i t i o n t h e p o w e r

d i s s i p a t i o n c a n a p p r o a c h z e r o . A l o w e r b o u n d o n t h e e n

e r g y d i s s i p a t i o n f o r a d i a b a t i c l o g i c h a s b e e n c a l c u l a t e d

i n 4 5 f o r a g i v e n v a l u e o f T

r

. I n t h i s s u b s e c t i o n w e

s h o w t h a t T

r

i t s e l f i s a f u n c t i o n o f t h e s u p p l y v o l t a g e

V

d d

a n d t h e i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e R . H e n c e t h e r e

i s a n u p p e r l i m i t f o r T

r

a n d t h e r e f o r e a l o w e r b o u n d

o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n . I n p r a c t i c e R

L

i s t h e s o u r c e

t o d r a i n r e s i s t a n c e o f a M O S F E T w h i c h i s a f u n c t i o n

o f t h e c u r r e n t . H o w e v e r f o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y a n d

w i t h o u t a n y l o s s o f g e n e r a l i t y w e w i l l a s s u m e t h a t R

L

i s a c o n s t a n t .

T h e p o w e r r e d u c t i o n p r o p e r t y o f a d i a b a t i c c o m p u t a

t i o n 4 5 a n d p u l s e d p o w e r s u p p l y C M O S l o g i c 8 c a n

b e e x p l a i n e d v i a t h e i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c f r a m e w o r k

p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r . B y a p p l y i n g a t i m e v a r y i n g

v o l t a g e s o u r c e V t a d i a b a t i c c o m p u t a t i o n i n v o l v e s r e

d u c i n g t h e b a n d w i d t h o f t h e t r a n s m i t p u l s e a n d h e n c e

t h e t r a n s m i s s i o n b a n d w i d t h W . F r o m 2 . 4 w e s e e

t h a t r e d u c i n g W a l s o r e d u c e s t h e c a p a c i t y C o f t h e

c h a n n e l . F u r t h e r m o r e i t c a n b e s h o w n t h a t t h e p o w e r

d i s s i p a t e d i n a n a d i a b a t i c c o m p u t a t i o n i s a f u n c t i o n

o f W . F o r a d e s i r e d i n f o r m a t i o n t r a n s f e r r a t e R a n d

s u p p l y v o l t a g e V

d d

t h e r e i s a l o w e r l i m i t o n W a n d

h e n c e o n t h e p o w e r d i s s i p a t i o n . T h e l i m i t t o w h i c h t h e

p o w e r d i s s i p a t i o n c a n b e r e d u c e d i s c o m p u t a b l e f r o m

T h e o r e m 2 . F i r s t a s s u m e a s i n u s o i d a l s u p p l y w a v e f o r m

V t V

d d

s i n 2 W t . T h e p o w e r i n V t i s k n o w n

t o b e V

2

d d

2 . E m p l o y i n g 2 . 4 w i t h a c o n s t a n t S N R f

w e g e t

R W l o g

2

1

V

2

d d

2

2

N

4 . 8

R

l o g

2

1

V

2

d d

2

2

N

W 4 . 9

N e x t w e a s s u m e t h a t W 1 R

L

C

L

s o t h a t t h e

v o l t a g e a c r o s s t h e c a p a c i t o r V

C

t i s g i v e n b y

V

C

t V

d d

s i n 2 W t t a n

1

2 W R

L

C

L

4 1 0

T h e p o w e r d i s s i p a t i o n i n F i g . 6 i s g i v e n b y

P

D

t

V t V

C

t

2

R

L

4 1 1

S u b s t i t u t i n g f o r V t a n d V

C

t f r o m 4 . 1 0 i n t o

4 . 1 1 w e o b t a i n

P

D

t

V

2

d d

R

L

c o s

2

2 W t t a n

1

2 W R

L

C

L

2

4 1 2

T h e l o w e r b o u n d o n p o w e r d i s s i p a t i o n f o r a d i a b a t i c

c o m p u t a t i o n i s t h e n o b t a i n e d b y a v e r a g i n g P

D

t o v e r

o n e p e r i o d o f V t a n d i s g i v e n b y

P

D m i n a d b

V

2

d d

2 R

L

t a n

1

2 W R

L

C

L

2

4 1 3

w h e r e W i s t h e r e q u i r e d t r a n s m i s s i o n b a n d w i d t h w h i c h

i s g i v e n b y

W

m i n a d b

R

l o g

2

1

V

2

d d

2

2

N

4 1 4

F r o m 4 . 1 4 w e s e e t h a t f o r a g i v e n s u p p l y v o l t a g e V

d d

a n d R t h e r e i s a l o w e r l i m i t o n W . I n f a c t t h e r e l a

t i o n s h i p b e t w e e n V

d d

a n d W

m i n a d b

i s i n i n v e r s e p r o p o r

t i o n . A l o w e r b o u n d o n W i m p l i e s a l o w e r b o u n d o n

P

D

w h i c h i s g i v e n b y 4 . 1 3 . U n l i k e o t h e r m e t h o d s o f

p o w e r r e d u c t i o n t h e l o w e r b o u n d g i v e n b y 4 . 1 3 i s e a s

i l y a p p r o a c h a b l e . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t w e h a v e

i n c l u d e d a l l i m p l e m e n t a t i o n c o n s t r a i n t s i n t h e d e r i v a

t i o n o f 4 . 1 3 .

N o t e t h a t 4 . 1 3 i s n o t a n a b s o l u t e l o w e r b o u n d a s

i t i s a f u n c t i o n o f t h e s u p p l y v o l t a g e V

d d

. I n o r d e r t o

c o m p u t e t h e a b s o l u t e l o w e r b o u n d w e r s t s u b s t i t u t e

4 . 1 4 i n t o 4 . 1 3 t o o b t a i n

P

D m i n a d b

V

2

d d

2 R

L

t a n

1

2

R

l o g

2

1

V

2

d d

2

2

N

R

L

C

L

2

4 1 5

F r o m 4 . 1 5 w e n o t i c e t h a t P

D m i n a d b

i s a m o n o t o n

i c a l l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f V

d d

f o r s u c i e n t l y s m a l l

V

d d

. T h i s i s b e c a u s e t h e f u n c t i o n t a n

1

x a t t a i n s a

c o n s t a n t v a l u e a s x a p p r o a c h e s i n n i t y . C l e a r l y t h e

f u n d a m e n t a l l o w e r b o u n d w o u l d b e o b t a i n e d i f t h e m i n

i m u m v a l u e o f V

d d

c o u l d b e d e t e r m i n e d . T h i s m i n i m u m

v a l u e i s o b t a i n e d b y r e c o g n i z i n g t h e f a c t t h a t t h e c h a n

n e l i s b a n d l i m i t e d t o 1 R

L

C

L

H z . H e n c e t h e m a x i

m u m v a l u e o f W

m i n a d b

i n 4 . 1 4 i s e q u a l t o 1 R

L

C

L

S u b s t i t u t i n g W

m i n a d b

1 R

L

C

L

i n 4 . 1 4 a n d s o l v

i n g f o r V

d d

w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g l o w e r b o u n d o n t h e

s u p p l y v o l t a g e

V

d d m i n a d b

2

R R

L

C

L

1 2

2

N

1 2

4 1 6

S u b s t i t u t i n g 4 . 1 6 b a c k i n t o 4 . 1 5 w e o b t a i n t h e f u n

d a m e n t a l l o w e r b o u n d o n P

D

a s f o l l o w s

P

D m i n a d b

2

R R

L

C

L

1 2

2

N

t a n

1

2

2

R

L

4 1 7


6/6

C l e a r l y f r o m 4 . 1 7 t h e p o w e r d i s s i p a t i o n f o r a d i a b a t i c

l o g i c w i l l b e z e r o o n l y i f t h e d e s i r e d i n f o r m a t i o n t r a n s f e r

r a t e R 0

5 C o n c l u s i o n s

A m a t h e m a t i c a l b a s i s f o r p o w e r r e d u c t i o n i n d i g i t a l

V L S I c i r c u i t s w a s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r . T h e p r o

p o s e d b a s i s w a s a p p l i e d t o d e t e r m i n e t h e l o w e r b o u n d s

o n p o w e r d i s s i p a t i o n f o r D S P l t e r i n g a l g o r i t h m s a n d

a l s o a d i a b a t i c l o g i c . T h i s c l e a r l y i n d i c a t e s t h a t t h e p r o

p o s e d a p p r o a c h c a n t r a v e r s e a w i d e r a n g e o f d e s i g n a b

s t r a c t i o n f r o m a l g o r i t h m s t o c i r c u i t s . F o r t h e s a k e o f

s i m p l i c i t y w e h a v e a s s u m e d i n t h i s p a p e r t h a t a c o n

s t a n t v a l u e o f g r o u n d b o u n c e v o l t a g e i s t h e m a j o r n o i s e

c o n t r i b u t o r . C l e a r l y g r o u n d b o u n c e i s a f u n c t i o n o f

s i g n a l p o w e r a n d t h e a r c h i t e c t u r e . H e n c e f u r t u r e w o r k

i s b e i n g d i r e c t e d t o w a r d s a n a c c u r a t e c h a r a c t e r i z a t i o n

o f t h i s a n d o t h e r n o i s e s o u r c e s i n d i g i t a l c i r c u i t s . A p

p r o a c h i n g t h e l o w e r b o u n d s p r e s e n t e d h e r e r e q u i r e s a c o

h e s i v e a p p l i c a t i o n o f p o w e r r e d u c t i o n t e c h n i q u e s a t a l l

l e v e l s o f t h e d e s i g n h i e r a r c h y s t a r t i n g f r o m a l g o r i t h m s

a r c h i t e c t u r e s l o g i c a n d c i r c u i t s . W e a r e c u r r e n t l y i n t h e

p r o c e s s e s o f d e v e l o p i n g s u c h a s t r a t e g y e m p l o y i n g t h e

f r a m e w o r k p r o p o s e d i n t h i s p a p e r .

R e f e r e n c e s

1 M . H o r o w i t z T . I n d e r m a u r a n d R . G o n z a l e z L o w

p o w e r d i g i t a l d e s i g n 1 9 9 4 I E E E S y m p o s i u m o n

L o w P o w e r E l e c t r o n i c s p p . 8 1 1 S a n D i e g o O c t .

1 0 1 2 .

2 A . P . C h a n d r a k a s a n a n d R . W . B r o d e r s e n M i n

i m i z i n g p o w e r c o n s u m p t i o n i n d i g i t a l C M O S c i r

c u i t s P r o c e e d i n g s o f I E E E v o l . 8 3 n o . 4 p p . 4 9 8

5 2 3 A p r i l 1 9 9 5 .

3 J . M o n t e i r o S . D e v d a s a n d A . G h o s h R e t i m i n g

s e q u e n t i a l c i r c u i t s f o r l o w p o w e r I E E E I n t . C o n f .

o n C A D p p . 3 9 8 4 0 2 .

4 W . C . A t h a s L . J . S v e n s s o n J . G . K o l l e r N .

T z a r t z a n i s a n d E . Y . C . C h o u L o w p o w e r d i g i t a l

s y s t e m s b a s e d o n a d i a b a t i c s w i t c h i n g p r i n c i p l e s

I E E E T r a n s . o n V L S I S y s t e m s v o l . 2 n o . 4 p p .

3 9 8 4 0 7 D e c . 1 9 9 4 .

5 A . G . D i c k i n s o n a n d J . S . D e n k e r A d i a b a t i c d y

n a m i c l o g i c P r o c e e d i n g s o f t h e C u s t o m I n t e g r a t e d

C i r c u i t s C o n f e r e n c e 1 9 9 4 .

6 A . P . C h a n d r a k a s a n S . S h e n g a n d R . W . B r o d e r

s e n L o w p o w e r C M O S d i g i t a l d e s i g n I E E E J . o f

S o l i d S t a t e C i r c u i t s v o l . 2 7 p p . 4 7 3 4 8 4 A p r i l 1 9 9 2 .

7 J . B . B u r r a n d J . S c h o t t A 2 0 0 m v s e l f t e s t

e n c o d e r d e c o d e r u s i n g S t a n f o r d u l t r a l o w p o w e r

C M O S I S S C C 9 4 p p . 8 4 8 5 S a n F r a n s i s c o C A .

8 E . A . V i t t o z L o w p o w e r d e s i g n W a y s t o a p p r o a c h

t h e l i m i t s I S S C C 9 4 p p . 1 4 1 8 S a n F r a n s i s c o

C A

9 J . D . M e i n d l L o w p o w e r m i c r o e l e c t r o n i c s R e t r o

s p e c t a n d p r o s p e c t P r o c e e d i n g s o f I E E E v o l . 8 3

n o . 4 p p . 6 1 9 6 3 5 A p r i l 1 9 9 5 .

1 0 L . H e l l e r m a n A m e a s u r e o f c o m p u t a t i o n a l w o r k

I E E E T r a n s . o n C o m p u t e r s v o l . C 2 1 n o . 5 p p .

4 3 9 4 4 6 M a y 1 9 7 2 .

1 1 R . W . C o o k a n d M . J . F l y n n L o g i c a l n e t w o r k

c o s t a n d e n t r o p y I E E E T r a n s . o n C o m p u t e r s v o l .

C 2 2 n o . 9 p p . 8 2 3 8 2 6 S e p t . 1 9 7 3 .

1 2 K T C h e n g a n d V . A g r a w a l A n e n t r o p y m e a s u r e

f o r t h e c o m p l e x i t y o f m u l t i o u t p u t B o o l e a n f u n c

t i o n s 2 7 t h A C M I E E E D e s i g n A u t o m a t i o n C o n

f e r e n c e O r l a n d o F L p p . 3 0 2 3 0 5 J u n e 2 4 2 8 1 9 9 0 .

1 3 F . N . N a j m T o w a r d s a h i g h l e v e l p o w e r e s t i m a

t i o n c a p a b i l i t y A C M I E E E I n t e r n a t i o n a l S y m p o

s i u m o n L o w P o w e r D e s i g n p p . 8 7 9 2 1 9 9 5 .

1 4 D . M a r c u l e s c u R . M a r c u l e s c u a n d M . P e d r a m

I n f o r m a t i o n t h e o r e t i c m e a s u r e s o f e n e r g y c o n s u m p

t i o n a t r e g i s t e r t r a n s f e r l e v e l A C M I E E E I n t e r n a

t i o n a l S y m p o s i u m o n L o w P o w e r D e s i g n p p . 8 1 8 6

1 9 9 5 .

1 5 N . R . S h a n b h a g A f u n d a m e n t a l b a s i s f o r p o w e r

r e d u c t i o n i n V L S I c i r c u i t s I E E E I n t l . S y m p o s i u m

o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s A t l a n t a G A M a y 1 9 9 6 .

1 6 C . E . S h a n n o n A m a t h e m a t i c a l t h e o r y o f c o m m u

n i c a t i o n s B e l l S y s t e m T e c h n i c a l J o u r n a l v o l . 2 7

P a r t I p p . 3 7 9 4 2 3 P a r t I I p p . 6 2 3 6 5 6 .

1 7 K . K . P a r h i H i g h l e v e l t r a n s f o r m a t i o n s f o r D S P

s y n t h e s i s M i c r o s y s t e m s f o r M u l t i m e d i a A p p l i c a

t i o n s I S C A S 9 5 T u t o r i a l S e a t t l e W A .

1 8 T . G a b a r a P u l s e d p o w e r s u p p l y C M O S P P S

C M O S 1 9 9 4 I E E E S y m p o s i u m o n L o w P o w e r

E l e c t r o n i c s p p . 9 8 9 9 S a n F r a n s i s c o C A .

lower bounds on power-dissipation for dsp algorithms-shanbhag96

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