loogika - juks.alkohol.eejuks.alkohol.ee/dox/loengumaterjalid.pdf · muutu arutluse käigus....

LoogikaPK.1457

Tõnu Tamme

Tonu.Tamme [at] ut.ee

Tonu.Tamme [at] emu.ee

1 / 140

Aine struktuur

◮ esimene kontrolltöö (100 p.)

◮ teine kontrolltöö (100 p.)

◮ järeltööd (jaanuaris)

2 / 140

Aine sisu

◮ põhimõisted

◮ lauseloogika

◮ predikaatloogika

3 / 140

I osa. Loogika põhimõisted

◮ Mis on loogika?

◮ Loogikaseadused

◮ Tõesus

◮ Arutlus

◮ Ülesanded

4 / 140

1. Mis on loogika?

◮ Loogika definitsioonid

◮ Loogika kasutused

◮ Erinevad loogikad

◮ Loogikaseadused

5 / 140

Mis on loogika?

◮ Loogika on teadus mõtlemise üldistestseadustest ja vormidest.

◮ Loogika on järelduste tegemine.

◮ Loogika on õpetus olemasoleva info põhjalvõimalikult heade vastuste saamisest.

◮ Evert Beth: loogika on tõestused, definitsioonidja arvutamine.

6 / 140

Kust õppida?

◮ Tõnu Tamme, Tanel Tammet, Rein Prank.Loogika: mõtlemisest tõestamiseni.Tartu, 1997, 2002.

◮ Reimo Palm, Rein Prank.Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse.Tartu, 2004.

◮ Indrek Meos. Loogika. Argumentatsioon. Mõtlemiskultuur.Tallinn, 1996, 2003.

◮ Jens Allwood, Lars-Gunnar Andersson, Östen Dahl.Logic in linguistics.Cambridge UP, 1991.

7 / 140

Mida veel lugeda?

◮ Galina Vuks. Traditsiooniline formaalne loogika.Tartu, 1999.

◮ Enn Kasak. Loogika.

◮ Ene Grauberg. Loogika, keel ja mõtlemine.Tallinn, 1996.

◮ Ivar Kull. Matemaatiline loogika.Tallinn, 1964.

◮ . . .

8 / 140

Kus loogikat kasutatakse?

◮ ...

9 / 140

Minu erakordne loogiline juhtum

◮ Situatsiooni kirjeldus

◮ Mis juhtus? (tulem)

◮ Reegel

10 / 140

Millised loogikad on olemas?

◮ formaalne loogika

◮ mitteformaalne loogika

◮ matemaatiline loogika

◮ klassikaline loogika

◮ mitteklassikaline loogika

◮ ...

11 / 140

Aristotelese loogikaseadused

◮ samasusseadus

◮ mittevasturääkivusseadus

◮ välistatud kolmanda seadus

12 / 140

Samasusseadus

Mitte ühegi lause ega mõiste sisu eimuutu arutluse käigus.

Näide.Lamp on päike.Päike on päike.Kuu on päike.

13 / 140

Mittevasturääkivusseadus

Ükski lause ei tohi olla vastuolusiseendaga ega arutluse mõne teiselausega.

Näide.Päike on päike. Päike pole päike.Järelikult mina olen Tartu Ülikooli rektor.

14 / 140

Välistatud kolmanda seadusIga lause on kas tõene või väär,kolmandat võimalust ei ole.

Järeldus.On täpselt kaks tõeväärtust — tõene ja väär.Ülejäänud laused jäävad vaatluse alt välja.

Käsitleme ainult väitlauseid.

Näide.Mart arvab, et Tartu on ilus linn.Pille arvab, et Tartu pole ilus linn.Uks on kinni?Uks on kinni!Nägemist.

15 / 140

2. Tõesus

◮ Tõetingimused

◮ Erinevad tõed

◮ Mõisted

◮ Hulgad

16 / 140

Tõetingimused

Alfred Tarski:Lause p on tõene parajasti siis, kui p.

Lause tõesuse või vääruse määrab tegelik maailm.

Näide.“Lumi on valge” on tõene parajasti siis, kui lumi onvalge.

Väide.Tõeseid lauseid on täpselt sama palju kui vääraid.

17 / 140

Loogiline tõesusDefinitsioon.Lause on loogiliselt tõene, kui ta on tõene oma(loogilise) vormi tõttu.Lause on loogiliselt väär, kui ta on väär oma(loogilise) vormi tõttu.

Näide.Päike on päike.Loogika on loogika. (a on a)Päike on taevakeha või Päike pole taevakeha.(a on b või a pole b)

Märkus.Sõna kuulub loogika sõnavarasse, kui sedakasutatakse kõigis teadusvaldkondades.

18 / 140

Analüütiline tõesusDefinitsioon.Lause on analüütiliselt tõene, kui ta on tõene sõnadetähenduse tõttu.Lause on analüütiliselt väär, kui ta on väär sõnadetähenduse tõttu.

Näide.Päike on taevakeha.2+2 = 4.2 6= 3.

Väide.Iga loogiliselt tõene lause on analüütiliselt tõene.Iga loogiliselt väär lause on analüütiliselt väär.

19 / 140

Sünteetiline tõesus

Definitsioon.Lause on sünteetiliselt tõene, kui ta on tõene, kuidpole analüütiliselt tõene.Lause on sünteetiliselt väär, kui ta on väär, kuid poleanalüütiliselt väär.

Sünteetilised laused annavad maailma kohtainformatsiooni.

Näide.Tõnu on inimene.Tõnu on alla 2 meetri pikk.

20 / 140

Skeem

LV LT

AV AT

SV ST

Väärad laused Tõesed laused

Kõik laused

21 / 140

Paradoksid

See lause on väär.

a) lause on tõene — vastuolu

b) lause on väär — vastuolu

Järeldus.Paradoksid pole deklaratiivsed laused.

22 / 140

Veel tõesusestDefinitsioon.Lause on analüütiliselt tõene, kui ta on tõene igas(subjektiivselt) võimalikus maailmas.Lause on loogiliselt tõene, kui ta ei saa (mingiltingimusel) olla väär.

Alfred Tarski: Lause on loogiliselt tõene parajasti siis,kui ta on tõene igal (loogiliselt võimalikul) juhtumil.

Märkus.Matemaatiliselt tõesed laused ei tarvitse olla loogiliselt tõesed.

Näide.2+2 = 4.

Märkus.Analüütiliselt tõene on see, mida oskab tõestada arvuti.

23 / 140

Mõisteõpetus◮ Mõiste — sarnaste objektide kogum.◮ Mõisteõpetus — teooria, mis käsitleb mõisteid ja

nende vahelisi seoseid.◮ Termin — mõiste nimi◮ Mõiste sisu — mõiste selgitus teiste mõistete

kaudu.N. Hunt on koerlaste sugukonna suurimloomaliik.

◮ Mõiste maht — mõiste alla kuuluvate objektidehulk.N. Kõik maailmas elavad hundid.

◮ Mõiste sisu ja mahu vaheline seos . . .24 / 140

Mõisted ja hulgad

taevakeha= {Maa,Kuu,Päike}

Maa, Kuu ja Päike on (täpselt) taevakehad.

Sõna “on” kolm tähendust

alamhulk {Maa,Kuu} ⊆ taevakeha Maa ja Kuu on taevakehad.

element Maa∈ taevakeha Maa on taevakeha.

võrdus Maa= {Maa} Maa on Maa.

Järeldus.Maa= {Maa}= {{Maa}}= {{{Maa}}}= . . .

25 / 140

Vasturääkivus

Definitsioon.Lausete hulk on vasturääkiv, kui selle hulga laused eisaa olla korraga tõesed. Vastasel juhul nimetatakselausete hulka kooskõlaliseks.

Näide.{“Päike on taevakeha.” , “Päike pole taevakeha.”}

{a on b , a pole b}tõene väärväär tõene

26 / 140

3. Arutlus

◮ Mis on arutlus?

◮ Kehtivus

◮ Deduktsioon ja induktsioon

◮ Loogika põhiteorem

◮ Ekvivalentsus

◮ Milli meetodid

27 / 140

ArutlusArutlus on minimaalne mõttekäigu osa.

Definitsioon.Arutlus on lausete hulk, milles üks lause on väljaeraldatud kui järeldus ja ülejäänud laused on sellelause eeldusteks.Mõttekäik on arutluste kogum.

Näide.Täna on reede. Järelikult homme on laupäev. (a1)

Näide.Täna on reede. Homme on laupäev. Ülehomme on pühapäev. (m)

a1 = {r , l∗}, a2 = {l,p∗}

m = {a1,a2}= {{r , l∗},{l,p∗}}

m = {r , l,p}= {r , l, l,p}28 / 140

KehtivusDefinitsioon.Arutlus kehtib, kui sellele vastav arutlusvorm kehtib.Arutlusvorm kehtib, kui ei ole võimalik, et selleeeldused on tõesed ja järeldus on väär.Tähistus: {p1, . . . ,pn} |= q(s.t. eeldustest p1, . . . ,pn järeldub q).

Näide.Täna on reede. Järelikult homme on laupäev.

r 6|= l

Ei kehti!

a on b 6|= c on d29 / 140

Kehtivuse tagamine

Väide.Iga mittekehtiva arutluse saab muuta kehtivaks,lisades sellele sobivalt eelduseid.

Näide.Täna on reede.Gregoriuse kalendris järgneb reedele laupäev.Kehtib Gregoriuse kalender.Homme on laupäev.

(arutluse standardkuju)

30 / 140

Näiteid

Näide.Tõnu on inimene.Tõnu on õnnelik.a on ba on c

Võimalikud lisaeeldused:

◮ Inimene on õnnelik.

◮ Kõik inimesed on õnnelikud.

◮ Kui Tõnu on inimene, siis Tõnu on õnnelik.

31 / 140

Korrektsus

Definitsioon.Arutlus on korrektne, kui see kehtib ja selle eeldusedon tõesed.

Näide.. . .

32 / 140

Deduktsioon ja induktsioonDefinitsioon.Arutlust nimetatakse deduktiivseks, kui see kehtib.Arutlust nimetatakse induktiivseks, kui see ei kehti.

Märkus.Deduktiivset arutlust ei saa muuta eeldustelisamisega induktiivseks, sest eelduste lisamiselarutluse kehtivus säilib.Monotoonsus:

Γ |= p =⇒ Γ,q |= p.

Tõestus.

... ✷33 / 140

Kehtivus ja vasturääkivusVäide.Vasturääkivate eeldustega arutlus kehtib (suvalisejärelduse korral).

Näide.p,¬p |= m

Päike on taevakeha. Päike pole taevakeha.Järelikult mina olen Tartu Ülikooli rektor.Tõestus.p,¬p (eitus) ja m võimalike tõeväärtuste kolmikud on:

◮ t,v , t◮ t,v ,v◮ v , t, t◮ v , t,v

Järelikult väärtustus t, t,v pole võimalik. ✷

34 / 140

Põhiteoreem

Γ |= p ⇐⇒ (Γ∪{¬p} on vasturääkiv).

Järeldus.r ,¬r |= q ⇐⇒ {r ,¬r ,¬q} on vasturääkiv.r ,¬q |= r ⇐⇒ {r ,¬r ,¬q} on vasturääkiv.

Näide.Söön torti. Kui söön torti, siis lähen paksuks.Järelikult lähen paksuks. — kehtiv arutlus.

{“Söön torti.”,“Kui söön torti, siis lähen paksuks.”,“Ei lähe paksuks.”}

on vasturääkiv lausete hulk.

35 / 140

EkvivalentsusDefinitsioon.Me ütleme, et laused p ja q on loogiliseltekvivalentsed e. samaväärsed, kui ei ole (mingil juhul)võimalik, et üks lause on tõene ja teine lause on väär.Tähistus: p = q.

Näide.1) Maa on taevakeha ja Kuu on taevakeha.2) Kuu on taevakeha ja Maa on taevakeha.

Teoreem.p = q ⇐⇒ (p |= q ja q |= p),s.t. ekvivalentsed laused järelduvad teineteisest.

Näide.p = ¬¬p

36 / 140

Milli induktiivsed meetodid

Juht Asjaolud Nähtus1. A,B,C a2. A,D,E a3. F ,A,L a4. T ,M,A a

Tõenäoliselt A on a põhjus.

Juht Asjaolud Nähtus1. A,B,C,D a2. B,C,D −

37 / 140

Ühildumis- ja erinevusmeetodKui 1) mingi asjaolu esineb igal nähtuse avaldumisel

2) ja see ei esine ühelgi juhul, kus nähtus ei avaldu,3) ja see asjaolu on üheselt määratud,

siis see asjaolu on nähtuse tõenäoline põhjus.

Näide.

Juht Asjaolud Nähtus1. F ,T ,P V2. T ,P V3. H,F ,T ,P V4. H,F −5. P,H −

Vanasõnad: Kured läinud, kurjad ilmad.38 / 140

II osa. Lauseloogika

◮ Lauseloogika tehted

◮ Süntaks ja semantika

◮ Tõeväärtustabel

◮ Kiirkontroll

39 / 140

4. Lauseloogika tehted

◮ Konjunktsioon

◮ Disjunktsioon

◮ Eitus

◮ Implikatsioon

◮ Ekvivalents

◮ Eesti keel

40 / 140

Lauseloogika tehted

Näide.Jüri õpib täna või ta kukub homme eksamil läbi.Jüri ei õpi täna.Jüri kukub homme eksamil läbi.

Lihtlaused:A: Jüri õpib täna.B: Jüri kukub homme eksamil läbi.

A või Bmitte AB

41 / 140

Lauseloogika tehted

Definitsioon.Lausete vaheline seos on lauseloogika tehe, kui selletõeväärtus on osalausete tõeväärtustega üheseltmääratud.

42 / 140

DisjunktsioonA: Jüri vaatab telekat.B: Jüri sööb võileiba.

A Bt või t = tt või v = tv või t = tv või v = v

Teoreem.Eesti keele seos “või” on lauseloogika tehe.

Nimetus: disjunktsioon ∨ (allapoole nurk)Ümbersõnastus: emb-kumb A või B või mõlemad.Välistav “või”: kas A või B, kuid mitte mõlemad.

43 / 140

Konjunktsioon

A: Jüri vaatab telekat.B: Jüri sööb võileiba.

A Bt ja t = tt ja v = vv ja t = vv ja v = v

Nimetus: konjunktsioon & (ampersand)Ümbersõnastus: nii A kui ka B.

44 / 140

Ekvivalents


A Bt iff t = tt iff v = vv iff t = vv iff v = t

Nimetus: ekvivalents ≡ (kolmene võrdus)Ümbersõnastus: A parajasti siis, kui B.

45 / 140

Eitus


Amitte t = vmitte v = t

Nimetus: eitus ¬ (pikali L, ülemine parempoolne nurk)Ümbersõnastus: pole nii, et A.

46 / 140

ImplikatsioonA: Jüri vaatab telekat.B: Jüri sööb võileiba.

A Bkui t siis t = tkui t siis v = vkui v siis t = tkui v siis v = t

Näide.Kui täna on teisipäev, siis homme on kolmapäev.

Nimetus: implikatsioon ⊃ (hobuseraud)Ümbersõnastus: ei ole A või on B.

47 / 140

Aga


A Bt aga t = tt aga v = vv aga t = vv aga v = v

Järeldus.See on konjunktsioon!

48 / 140

Lauseloogika ja eesti keel

Teoreem.Eesti keeles on lausete vahelisi seoseid rohkem kuilauseloogikas.

Tõestus.Kahekohalisi lauseloogika tehteid on 2 ·2 ·2 ·2 = 16.Eesti keeles on lausete vahelisi seoseid rohkem kui16:ja, või, . . . ✷

49 / 140

Lauseloogikas mitteväljendatavad seosedTeoreem.Seos “sest” pole lauseloogikas väljendatav.

Tõestus.

Jüri ei kukkunud eksamil täna läbi, sest ta õppis eilehoolega.Jüri ei kukkunud eksamil täna läbi, sest 2+2 = 4. ✷

A Bt sest t = t,vt sest v =v sest t =v sest v =

50 / 140

Kontrafaktuaalne tingimuslause

◮ kontrafaktuaalne tingimuslause polelauseloogika tehe:kui ma oleksin nähtamatu, näeksid mind kõik(v ⊃ v = v )kui ma oleksin nähtamatu, ei näeks mind keegi(v ⊃ v = t)

51 / 140

5. Lauseloogika süntaks

◮ Tähestik

◮ Lauseloogika valem

◮ Valemi tõestus

◮ Sulud

52 / 140

Tähestik

Kas valem on õigesti kirjutatud?Lausearvutuse tähestik

◮ lausemuutujad:A,B,C, . . . ,Z ,a,b,c, . . . ,z,A1,A2, . . .

◮ loogiliste tehete sümbolid: ¬ & ∨ ⊃≡

◮ sulud: (), [ ],{}

53 / 140

Lauseloogika valemDefinitsioon.(Lauseloogika valem, LLV)

1. Iga lausemuutuja on LLV (atomaarne valem).

2. Kui p on LLV, siis ¬p on LLV.

3. Kui p ja q on LLVd, siis (p & q), (p∨q), (p ⊃ q)ja (p ≡ q) on LLVd.

3[ ]. Kui p ja q on LLVd, siis [p & q], [p∨q], [p ⊃ q]ja [p ≡ q] on LLVd.

3{}. Kui p ja q on LLVd, siis {p & q}, {p∨q},{p ⊃ q} ja {p ≡ q} on LLVd.

4. Kui p on LLV, siis (p), [p] ja {p} on LLVd.

5. Muid LLVsid pole.54 / 140

Valemi tõestus

Teoreem.{(A & B)∨ [¬C]} on LLV.

Tõestus.

1. A on LLV (def1)2. B on LLV (def1)3. C on LLV (def1)4. (A & B) on LLV (1,2,def3)5. ¬C on LLV (3,def2)6. [¬C] on LLV (5,def4)7. {(A & B)∨ [¬C]} on LLV (4,6,def3{})

✷

55 / 140

Negatiivne tõestus

Teoreem.(A sestB) ei ole LLV.

Tõestus.

... ✷

56 / 140

Sulgude ärajätmineValemisse A∨B & C∨D saab sulgusid panna mitmelmoel:

1. (A∨B) & (C∨D)

2. ((A∨B) & C)∨D

3. . . .

Reeglid

1. Valemi välimised sulud võib ära jätta.

2. Tehete prioriteedid: ¬ & ∨ ⊃≡

3. Tehte assotsiatiivsus: A & B & C = (A & B) & C

4. Sulud võib ära jätta, kui võimalikud sulgudepaigutused on ekvivalentsed.

57 / 140

6. Lauseloogika semantika

◮ Lausemuutujate väärtustus

◮ Tehete tõetingimused

◮ Samaväärsused

58 / 140

VäärtustusKas valem on tõene või väär? (A & B)∨¬CMillised on valemi tõetingimused?

◮ Lausemuutujate tõeväärtused määrataksevalemi muutujate väärtustusega.Näiteks: A = t , B = t , C = v .

◮ ¬p on tõene ⇐⇒ p on väär. (tõetingimus)

A ¬At vv t

◮ ¬p on väär ⇐⇒ p on tõene. (väärustingimus)

59 / 140

Konjunktsioon

A B A & Bt t tt v vv t vv v v

◮ p & q on tõene ⇐⇒ p on tõene ja q on tõene.

60 / 140

Disjunktsioon

A B A∨Bt t tt v tv t tv v v

◮ p∨q on tõene ⇐⇒ . . .

◮ p∨q on väär ⇐⇒ p on väär ja q on väär.

◮ p∨q on tõene ⇐⇒ p on tõene või q on tõene.

61 / 140

Implikatsioon

A B A⊃ Bt t tt v vv t tv v t

◮ p ⊃ q on väär ⇐⇒ p on tõene ja q on väär.

◮ p ⊃ q on tõene ⇐⇒ p on väär või q on tõene.

62 / 140

Ekvivalents

A B A≡ Bt t tt v vv t vv v t

◮ p ≡ q on tõene ⇐⇒ p ja q on mõlemad kastõesed või väärad.

◮ p ≡ q on väär ⇐⇒ p ja q tõeväärtused onerinevad.

63 / 140

Lauseloogika semantika (kokkuvõte)1. Lausemuutujate tõeväärtused on määratud

valemi muutujate väärtustusega.2. ¬p on tõene ⇐⇒ p on väär.3. p & q on tõene ⇐⇒ p on tõene ja q on tõene.4. p∨q on tõene ⇐⇒ p on tõene või q on tõene.5. p ⊃ q on tõene ⇐⇒ p on väär või q on tõene.6. p ≡ q on tõene ⇐⇒ p ja q on mõlemad kas

tõesed või väärad.

2v . ¬p on väär ⇐⇒ p on tõene.3v . p & q on väär ⇐⇒ p on väär või q on väär.4v . p∨q on väär ⇐⇒ p on väär ja q on väär.5v . p ⊃ q on väär ⇐⇒ p on tõene ja q on väär.6v . p ≡ q on väär ⇐⇒ p ja q tõeväärtused on

erinevad.64 / 140

Semantilised samaväärsused

Teoreem.¬¬p = p.

Tõestus.

¬¬p = t⇐⇒¬p = v⇐⇒ p = t

✷

65 / 140

Semantilised samaväärsused 2

Teoreem.¬(p & q) = ¬p∨¬q. (De Morgani seadus)

Tõestus.

¬(p & q) = t⇐⇒ p & q = v⇐⇒ p = v või q = v⇐⇒¬p = t või ¬q = t⇐⇒¬p∨¬q = t

✷

66 / 140


Teoreem.p ⊃ q = ¬(p & ¬q).

Tõestus.p ⊃ q = v⇐⇒ p = t ja q = v⇐⇒ p = t ja ¬q = t⇐⇒ p & ¬q = t⇐⇒¬(p & ¬q) = v

✷

67 / 140


Järeldus.p ⊃ q = ¬p∨q.

Tõestus.p ⊃ q == ¬(p & ¬q) == ¬p∨¬¬q == ¬p∨q

✷

68 / 140

7. Tõeväärtustabel

◮ Arutluse tõestamine

◮ Tabeli täitmine

◮ Valemite klassifikatsioon

◮ Seadused

◮ Kiirkontroll

69 / 140

Arutluse formaliseerimine

Jüri loeb ajalehte või Jüri vaatab televiisorit.Jüri ei loe ajalehte.Jüri vaatab televiisorit.

Selle arutluskäigu saab lausearvutuses kirja pannakujul

A∨T¬AT

70 / 140

Arutluse kehtivuse kontrolliminePaigutame arutluse valemite tabelid kõrvuti jaarvutame need välja.

A T A∨T ¬A Tt t t v tt v t v vv t t t t ← arutlus kehtibv v v t v

Definitsioon.Lauseloogika arutlus kehtib, kui igal lausemuutujateväärtustusel, millel selle eeldused on tõesed, ontõene ka järeldus.

71 / 140

Tõeväärtustabeli reeglid1. Moodusta kaheveeruline tabel ja kirjuta valem

päise parempoolsesse lahtrisse.2. Kanna päise vasakpoolsesse lahtrisse valemi

lausemuutujad tähestiku järjekorras.3. Kirjuta vasakpoolsesse veergu lausemuutujate

alla tähestiku järjekorras lausemuutujate kõikväärtustused.

4. Kanna valemi tehete kohale nende sooritamisejärjekord, nii et tehte väärtuse arvutamiseloleksid selle alamvalemite väärtused juba leitud.

5. Kirjuta tabeli parempoolse veeru igas reasvalemi tehete alla nende tõeväärtusedvastavatel lausemuutujate väärtustel,arvestades tehete sooritamise järjekorda. 72 / 140

Näide4 3 2 1

A B C A&¬(B⊃(A∨C))t t t v v t tt t v v v t tt v t v v t tt v v v v t tv t t v v t tv t v v t v vv v t v v t tv v v v v t v

Väide.Kui valemis on n lausemuutujat, siis ontõeväärtustabelis 2n rida.

73 / 140

Valemite klassifikatsioonDefinitsioon.Valem on tautoloogia, kui see on kõigil lausemuutujateväärtustustel tõene.Valem on kontradiktsioon, kui see on kõigil lausemuutujateväärtustustel väär.Valem on kontingentne, kui see on mõnel lausemuutujateväärtustusel tõene ja mõnel lausemuutujate väärtustusel väär.

Näide.A & ¬(B ⊃ (A∨C))

¬(A & ¬(B ⊃ (A∨C)))

A∨¬A

A & ¬B

A & ¬A74 / 140

Skeem

TautoloogiadKontingentsedKontradiktsioonid

Kehtestatavad

Kummutatavad

75 / 140

Järeldumine ja samaväärsus

Teoreem.{p1,p2, . . . ,pn} |= q ⇐⇒⇐⇒ valem (p1 & p2 & . . .& pn)⊃ q on tautoloogia.

Teoreem.Laused p ja q on loogiliselt ekvivalentsed ⇐⇒⇐⇒ valem p ≡ q on tautoloogia.

Märkus.Valemid p ja q on loogiliselt ekvivalentsed ⇐⇒⇐⇒ nende peatehete veerud langevad kokku.

76 / 140

Seadused

◮ ¬¬p = p (kahekordse eituse)

◮ ¬(p & q) = ¬p∨¬q (De Morgani)

◮ ¬(p∨q) = ¬p & ¬q

◮ p ⊃ q = ¬(p & ¬q) (implikatsiooni)

◮ p ⊃ q = ¬p∨q

◮ p ⊃ q = ¬q ⊃ ¬p (ümberpööramise)

◮ p ⊃ q,p |= q (Modus Ponens)

◮ p ⊃ q,¬q |= ¬p (Modus Tollens)

◮ p & q |= p (lihtsustamine)

◮ . . .

77 / 140

KiirkontrollNäide.((A∨T ) & ¬A)⊃ T on tautoloogia.Reeglid

1. Oletame vastuväiteliselt, et peatehte väärtus on väär.

2. Määrame peatehte alamvalemite tõeväärtused.

3. Kordame punkti 2, kuni jõuame lausemuutujateni.

4. Otsime lausemuutujat, mis on samaaegselt tõene ja väär(*).

5. Siis ei saa valem olla väär, mistõttu see on tautoloogia.

6. Kui alamvalemite tõeväärtused pole üheselt määratud,toimub jagunemine (vastuolulisteks) harudeks.

78 / 140

Näide

1 3 2 4((A∨T )&¬A)⊃T

vt v∗

t tv

v t∗

vastuoluvalem on tautoloogia

79 / 140

III osa. Predikaatloogika

◮ Indiviidid ja predikaadid

◮ Kvantorid

◮ Loogiline ruut

◮ Süllogismid

◮ Venni diagrammid

80 / 140

8. Indiviidid ja predikaadid

◮ Loogikate skeem

◮ Euleri ringid

◮ Lauseloogika piiratus

◮ Predikaadid

◮ Lausete formaliseerimine

◮ Interpretatsioon

◮ Kvantorite vajalikkus

81 / 140

Loogikate skeem

1. järku predikaatloogikaTõesus:

|=LL

|=PL

|=

Kõik linnud lendavadPart on lindPart lendab

82 / 140

Euleri ringid ja mõisted

õun haamer

Snow-den

kuritöö

Breivik

karistus

=koidutähtVeenus

ehatähtVeenus

A BA = B

Veenus∈ A

? ? A⊆ B

83 / 140

Kehtimatus lauseloogikas

A Kõik linnud lendavad.B Part on lind.C Part lendab.

A,B 6|=LL C

Definitsioon.Γ |=LL p ⇐⇒ igal lausemuutujate väärtustusel, kuiΓ = t , siis p = t .

Kontranäide: A = B = t , C = v

84 / 140

Predikaadid

Gottlob Frege: Predikaat on auklik lause:

◮ 1-kohalinePart on lind

– on lindx on lind

◮ 2-kohalineTõnu elab Tartus

– elab –x elab y -is

◮ . . .

85 / 140

SignatuurTähestik:

◮ indiviidmuutujad: x ,y ,z, . . .◮ indiviidkonstandid: a,b,c, . . . ,a1, . . .◮ predikaatkonstandid: P,Q,R, . . .

Signatuuri moodustavad valemites kasutatavad indiviid- ja

predikaatkonstandid (vastavate aarsustega).

Näide.σ = 〈A,B;a〉Ax – “x on lind”Bx – “x lendab”a – part

Aa – “part on lind”Ba – . . .

86 / 140

Kehtimatus kvantoriteta predikaatloogikasAx – “x on lind”Bx – “x lendab”a – partc – kõik linnud

Bc Kõik linnud lendavad.Aa Part on lind.Ba Part lendab.

Bc,Aa 6|=PL Ba

Definitsioon.Γ |=PL p ⇐⇒ igas interpretatsioonis I,kui I |= Γ, siis I |= p.(kui Γ valemid on I-s tõesed, siis p on I-s tõene)

Kontranäide: I |= Bc, I |= Aa, I 6|= Ba (hiljem)87 / 140

Ümberlükkav interpretatsioonUI = {pingviin, lennuk}AI = {pingviin}aI = pingviincI = lennukBI = {lennuk}

I |= BcI |= AaI 6|= Ba

Bc,Aa 6|=PL Ba

A B

pingviin lennuk

88 / 140

Alternatiivne interpretatsioonUJ = {Tõnu,Toomas}AJ = {Tõnu}aJ = TõnucJ = ToomasBJ = {Toomas}

J |= BcJ |= AaJ 6|= Ba

Bc,Aa 6|=PL Ba

A B

Tõnu Toomas

89 / 140

InterpretatsioonSignatuuri σ interpretatsioon I koosnebarutluse universumist UI ja kõigi signatuurielementide interpretatsioonidest:

◮ UI on mittetühi hulk◮ igale indiviidkonstandile c ∈ σ seatakse

vastavusse üheselt määratud element cI ∈ UI

◮ igale 1-kohalisele predikaatkonstandile P ∈ σseatakse vastavusse alamhulk PI ⊆ UI

(ekstensioon e. tõesuspiirkond)◮ igale 2- kohalisele predikaatkonstandile P ∈ σ

seatakse vastavusse alamhulk PI ⊆ UI×UI

(seosed)◮ . . .

90 / 140

Semantika◮ 1-kohaline predikaat: I |= Pt ⇐⇒ tI ∈ PI

(t on indiviidkonstant või universumi objekt:tI = t , kui t ∈ UI)

◮ 2-kohaline predikaat: I |= Pab ⇐⇒ (aI,bI) ∈ PI

Näide.σ = 〈A,B;a,c〉UI = {part, linnud}AI = {part}aI = part...

I |= Aa, sest aI ∈ AI

91 / 140

9. Kvantorid

◮ Lausete formaliseerimine

◮ Kehtivuse tõestus

92 / 140

Kvantorid

Toome sisse kvantorid:

◮ ∀x – tõene universumi kõigi objektide korralüldisuskvantor (tagurpidi A)

◮ ∃x – tõene universumi mõne objekti korraleksistentsikvantor (olemasolukvantor)(pööratud E)

93 / 140

Kehtivuse tõestus

Kõik linnud lendavad. Part on lind. |= Part lendab.Ax – “x on lind”, Bx – “x lendab”, a – part

∀x (Ax ⊃ Bx)AaBa?

A B

×

Ei leidu lindu, kes ei lenda.

94 / 140

Ümberlükkamine

Kõik linnud lendavad. Part lendab. 6|= Part on lind.Ax – “x on lind”, Bx – “x lendab”, a – part

∀x (Ax ⊃ Bx)BaAa?

A B

×

95 / 140

Tõetingimused

◮ I |= ∀x p ⇐⇒ iga c ∈ UI korral I |= p{x/c}(kõik indiviidmuutuja x esinemised on asendatuduniversumi objektiga c)

◮ I |= ∃x p ⇐⇒ leidub c ∈ UI , nii et I |= p{x/c}

◮ lauseloogikast kanduvad üle lausemuutujateväärtustused (t/v ) ja lauseloogika tehted

96 / 140

Loomulik intepretatsioonPeame silmas arutluse sõnastamisel.

Näide.UI = {part, lind,hiir}aI = partAI = {part, lind}BI = {part, lind}

I |= Aa, sest aI ∈ AI , s.t. part ∈ AI

I |= Ba, sest aI ∈ BI , s.t. part ∈ BI

I |= ∀x (Ax ⊃ Bx), sest AI ⊆ BI , s.t.

I |= Apart⊃ Bpart = t ⊃ t = tI |= Alind⊃ Blind = t ⊃ t = tI |= Ahiir⊃ Bhiir = v ⊃ v = t

97 / 140

Kategooriliste lausete formaliseerimine

UI = {part, lind,hiir}AI = {part, lind}BI = {part, lind}

UJ = {kiivi }AJ = {kiivi }BJ = {}

UK = {nahkhiir}AK = {}BK = {nahkhiir}

I J K∀x (Ax ⊃ Bx) t∀x (Ax & Bx) vKõik linnud lendavad t∃x (Ax ⊃ Bx) t v t∃x (Ax & Bx) t v vMõni lind lendab t v v

98 / 140

StandardesitusedTeoreem.

1) Valem ∀x (Ax ⊃ Bx) formaliseerib lauset“Kõik linnud lendavad” paremini kui∀x (Ax & Bx), sest võtab arvesse juhu, kusuniversumis on objekte, mis pole linnud.

2) Valem ∃x (Ax & Bx) formaliseerib lauset“Mõni lind lendab” paremini kui ∃x (Ax ⊃ Bx),sest nõuab vähemalt ühe linnu leidumistinterpretatsioonis.

Järeldus.1) Valem ∀x (Ax ⊃ ¬Bx) formaliseerib lauset

“Ükski lind ei lenda”.2) Valem ∃x (Ax & ¬Bx) formaliseerib lauset

“Mõni lind ei lenda”.99 / 140

Kategoorilised laused

lauseliik tähis lause valemüldjaatav A iga S on P ∀x (Sx ⊃ Px)üldeitav E ükski S pole P ∀x (Sx ⊃ ¬Px)osajaatav I mõni S on P ∃x (Sx & Px)osaeitav O mõni S pole P ∃x (Sx & ¬Px)

Näide.

1. Kõik linnud lendavad∀x (Ax ⊃ Bx)

2. Mõni lind lendab∃x (Ax & Bx)

100 / 140

Abstraktne intepretatsioon

Definitsioon.Arutlus kehtib, kui igas interpretatsioonis, milles selleeeldused on tõesed, on ka järeldus tõene.

∀x (Ax ⊃ Bx) Kõik linnud lendavad.Aa Part on lind.Ba Part lendab.

Valime interpretatsiooni T nii, et see hõlmab kõikiinterpretatsioone, milles arutluse eeldused on tõesed.Näitame, et siis on tõene ka järeldus.

101 / 140

Kehtivuse tõestusT |= ∀x (Ax ⊃ Bx)T |= AaT |= Ba ?

1. Olgu T suvaline interpretatsioon, milles arutluseeeldused ∀x (Ax ⊃ Bx) ja Aa on tõesed.

2. Kuna Aa on interpretatsioonis T tõene, leidubselle universumis objekt b, mis interpreteeribindiviidkonstanti a ning mis kuulub predikaadi Aekstensiooni. (b ∈ UT , aT = b ja b ∈ AT )

3. Kuna ∀x (Ax ⊃ Bx) on interpretatsioonis Ttõene, on selles tõene ka Ab ⊃ Bb.

4. Kuna Ab ⊃ Bb ja Ab on interpretatsioonis Ttõesed, on selles tõene Bb, seega ka Ba.(aT = b ∈ BT )

102 / 140

Kehtivuse tõestus (järg)

T |= ∀x (Ax ⊃ Bx)T |= AaT |= Ba ?

Saime abstraktse interpretatsiooni

UT = {b, . . .}aT = bAT = {b, . . .}BT = {b, . . .}

Vastav Venni diagramm:

A B

b A⊆ B

103 / 140

10. Loogiline ruut

◮ Valemite vahelised seosed

◮ Seadused

104 / 140

Loogiline ruutLoogiline ruut (vastandite ruut, square of opposition)oli tuntud 2000 a. tagasi — Aristoteles.

∀x p

∃x p

∀x¬p

∃x¬p

vastandid

duaalsed vastandid

järeldub |= järeldub |=vasturääkivad

vasturääkivad

105 / 140

Seosed

◮ Valemid A ja B on vasturääkivad(kontradiktsioonid), kui A = ¬B.

◮ Valemid A ja B on vastandid (kontraarsed), kuinad ei saa olla korraga tõesed, s.t. A |= ¬B jaB |= ¬A.

◮ Valemid A ja B on duaalsed vastandid(subkontraarsed), kui nad ei saa olla korragaväärad, s.t. ¬A |= B ja ¬B |= A.

◮ Valemist A järeldub valem B (A |= B), kui igasinterpretatsioonis, kus A on tõene, on ka Btõene.

106 / 140

VasturääkivadTeoreem.∀x p = ¬∃x¬p.

Tõestus.Valime interpretatsiooni I, nii et I |= ∀x p.Siis

I |= ∀x p

⇐⇒ iga c ∈ UI korral I |= p{x/c}

⇐⇒ iga c ∈ UI korral I 6|= ¬p{x/c}

⇐⇒ I 6|= ∃x¬p

⇐⇒ I |= ¬∃x¬p

✷108 / 140

VastandidTeoreem.∀x p |= ¬∀x¬p.


I |= ∀x p

=⇒ iga c ∈ UI korral I |= p{x/c}

=⇒ iga c ∈ UI korral I 6|= ¬p{x/c}

=⇒ I 6|= ∀x¬p (sest UI 6= /0)

=⇒ I |= ¬∀x¬p

✷109 / 140

JäreldumineTeoreem.∀x p |= ∃x p.


I |= ∀x p

=⇒ iga c ∈ UI korral I |= p{x/c}

=⇒ leidub c ∈ UI , nii et I |= p{x/c}

(sest UI 6= /0)

=⇒ I |= ∃x p

✷110 / 140

Kategooriliste lausete ruut

A: iga S on P

I: mõni S on P

E: ükski S pole P

O: mõni S pole P

vastandid

duaalsed vastandid


vasturääkivad

Tänapäeval ei kehti, sest eeldab subjekti ekstensioonimittetühjust! (existential import)

111 / 140

Kontranäited: SI = /0∀x (Sx ⊃ Px) = t

∃x (Sx & Px) = v

∀x (Sx ⊃ ¬Px) = t

∃x (Sx & ¬Px) = v

vastandid

duaalsed vastandid


vasturääkivad

Teoreem.Kategooriliste lausete ruudus ei kehtikatkendjoontega väited.

Kuid diagonaalide vasturääkivus säilib.112 / 140

Kategooriliste lausete seadused

◮ ∀x (Sx ⊃ Px) = ¬∃x (Sx & ¬Px) (laskuv diag.)

◮ ¬∀x (Sx ⊃ Px) = ∃x (Sx & ¬Px)

◮ ∃x (Sx & Px) = ¬∀x (Sx ⊃ ¬Px) (tõusev diag.)

◮ ¬∃x (Sx & Px) = ∀x (Sx ⊃ ¬Px)

◮ ∀x (Sx ⊃ Px) 6|= ¬∀x (Sx ⊃ ¬Px) (vastandid)

◮ ∀x (Sx ⊃ ¬Px) 6|= ¬∀x (Sx ⊃ Px)

◮ ∀x (Sx ⊃ Px) 6|= ∃x (Sx & Px) (järeldumine)

◮ ∀x (Sx ⊃ ¬Px) 6|= ∃x (Sx & ¬Px)

◮ ¬∃x (Sx & Px) 6|= ∃x (Sx & ¬Px) (duaalsed vast.)

◮ ¬∃x (Sx & ¬Px) 6|= ∃x (Sx & Px)

113 / 140

Diagonaalide vasturääkivus

Teoreem.∀x (Sx ⊃ Px) = ¬∃x (Sx & ¬Px).

Tõestus.

∀x (Sx ⊃ Px) = ¬∃x¬(Sx ⊃ Px) =

= ¬∃x (Sx & ¬Px)

✷

114 / 140

11. Süllogismid

◮ Figuurid

◮ Kehtivad süllogismid

◮ Taandamismeetod

◮ Baasmoodused

◮ Laienemismeetod

115 / 140

SüllogismidVaatleme kolmest kategoorilisest lausestmoodustatud arutlust.

Kõik kassid on hallid. MaPMõni koduloom on kass. SiMMõni koduloom on hall. SiP

◮ Kategooriliste lausete liigid määravad süllogismi mooduse.

◮ Süllogismis peab olema keskmine termin M, mis esinebmõlemas eelduses.

◮ Esimeses ehk põhieelduses on järelduse predikaaditermin P.

◮ Teises ehk alameelduses on järelduse subjekti termin S.

◮ Süllogismi figuuri määrab keskmisi termineid siduva joonepositsioon.

116 / 140

Neli figuuriI

M P

S M

S P

IVP M

M S

S P

IIP M

S M

S P

IIIM P

M S

S P

I figuuris kehtivad järgmised süllogismid:

Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbarie, Celaronte

II figuuris: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaroe, Camestrope

III figuuris: Daraptie, Disamis, Datisi, Felaptone, Bocardo, Ferison

IV figuuris: Bramantipe, Camenes, Dimaris, Fesapoe, Fresison, Camenope

Kokku on 256 süllogismi moodust. (4 figuuri, igas 3 rida)Neist kehtisid 15+9e = 24 moodust (e – existentialimport)

117 / 140

Kehtiv süllogism

Kõik kassid on hallid. MaPMõni koduloom on kass. SiMMõni koduloom on hall. SiP

I figuur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbarie, Celaronte

Kuna süllogism on I figuuris ja vokaalide järjestusvastab Darii-le, siis see süllogism kehtib.

118 / 140

Mittekehtiv süllogism

Kõik pardid lendavad. PaMKõik haned lendavad. SaMKõik haned on pardid. SaP

II figuur: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaroe,

Camestrope

Süllogism ei kehti, sest see on II figuuris, kuidvokaalide järjestus puudub kehtivate süllogismidenimistus.

119 / 140

Tõestusmeetodid

◮ Aristotelese taandamismeetod

◮ Luuletus . . .

◮ Laienemismeetod

◮ Venni diagrammid

◮ Monaadilise predikaatloogika tõestused . . .

120 / 140

Aristotelese taandamismeetod

◮ Aristoteles tõestas nelja baasmooduse kehtivuseüldprintsiibi alusel (dictum de omni et nulla)

◮ Ülejäänud mooduste kehtivuse taandas ta neileneljale:Tähis Selgitus Sisus lihtne vahetus (simple) SiP = PiS

SeP = PeSp eelduste tugevdamine / SaP |= SiP

järelduse nõrgendamine SeP |= SoPm eelduste vahetus p,q |= r =⇒ q,p |= rc vastuväiteline taandamine p,q |= r =⇒ p,¬r |= ¬q

(per impossible) SeP = ¬SiP, SaP = ¬SoP

121 / 140

Taandamise näide

II figuuri Festino taandub I figuuri Ferio’le

PeMSiMSoP

s=⇒

MePSiMSoP

I: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbarie, Celaronte

II: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaroe,Camestrope

122 / 140

Taandamise näide 2

II figuuri Baroco taandub I figuuri Barbara’le

PaMSoMSoP

c=⇒

PaMSaPSaM

=MaPSaMSaP



123 / 140

Pikk taandamine

II figuuri Camestres taandub I figuuri Celarent’ile

PaMSeMSeP

m=⇒

SeMPaMSeP

s=⇒

MeSPaMSeP

s=⇒

MeSPaMPeS

=MePSaMSeP



124 / 140

Baasmoodused◮ Mis käib terviku kohta, käib ka selle osa kohta.◮ Mis ei käi osa kohta, see ei käi terviku kohta.


Näide.I Darii kehtib.

M ⊆ PS ∈MS ∈ P

Kõik linnud lendavad. Part on lind. |= Part lendab.Kõik kassid on hallid. Mõni koduloom on kass. |=Mõni koduloom on hall.

125 / 140

Laienemismeetod

Definitsioon.Termin on lauses laienev, kui sellest järeldub lause,milles termin on asendatud konkreetse objektiga.

Näide.Kõik kassid on hallid. |= See kass on hall. (= t)Kõik kassid on hallid. 6|= Kõik kassid on see hall (asi).(= v )StaPv

StePt

Sv iPv

SvoPt

126 / 140

Kriteerium

Süllogism kehtib, kui see rahuldab kolme nõuet:

1. Iga termin, mis laieneb järelduses, laieneb kaeelduses.

2. Keskmine termin laieneb vähemalt korra.

3. Eitavate järelduste arv on võrdne eitavateeelduste arvuga.

127 / 140

Näide


MtaPv

Sv iMv

Sv iPv

Kõik kassid on hallid. Mõni koduloom on kass. |=Mõni koduloom on hall.Kõik linnud lendavad. Part on lind. |= Part lendab.

128 / 140

Näide 2


PtaMv

SteMt

StePt

129 / 140

Näide 3


PtaMv

StaMv

StaPv

Kõik pardid lendavad. Kõik haned lendavad.6|= Kõik haned on pardid.

130 / 140

12. Venni diagrammid

◮ Koostamine

◮ Viirutamine

◮ Tõestamine

◮ Ümberlükkamine

131 / 140

Venni diagrammidDefinitsioon.N omaduse Venni diagramm koosneb Ntasapinnalisest kujundist, nii et iga järgnev kujundjagab kõik eelnevad joontega piiratud alad pooleks.

N omaduse Venni diagramm koosneb 2N alast.

Näide.N=1: ringN=2: kaks ringiN=3: kolm ringi

1 2 3

4 5 6

7 8

132 / 140

Venni diagrammi tehted

◮ viirutamine (tühi ala, s.t. seal pole ühtegi objekti)

◮ rist või indiviidkonstant (ala, kus kindlasti onmingi objekt — kategoorilistes süllogismidespiisab ristidest), võib kanda ka joonte peale, kuiobjekt võib olla emmas või kummas alas

Eelduste põhjal saame nende võimaliku abstraktsemudeli. Küsimus: kas järeldus on eelduste mudelisparatamatult tõene?

133 / 140

Kategoorilised laused

◮ Iga S on P (üldjaatav) S P

S

P

=

◮ Ükski S pole P (üldeitav) S P S P

=

◮ Mõni S on P (osajaatav) S P

×

◮ Mõni S pole P (osaeitav) S P

×

134 / 140

Kehtivuse tõestus

Kõik linnud lendavad. Part on lind. |= Part lendab.Ax – “x on lind”, Bx – “x lendab”, a – part

∀x (Ax ⊃ Bx)AaBa?

A B

×

135 / 140

Ümberlükkamine

Kõik linnud lendavad. Part lendab. 6|= Part on lind.Ax – “x on lind”, Bx – “x lendab”, a – part

∀x (Ax ⊃ Bx)BaAa?

A B

×

136 / 140

Näide

Kõik kassid on hallid.Mõni koduloom on kass.Järelikult mõni koduloom on hall.

137 / 140

Näide

Kõik pardid lendavad.Kõik haned lendavad.Järelikult kõik haned on pardid.

138 / 140

Ülesanne

Igaüks, kes elab Tammelinnas, on rikas või üksildane.Mitte kõik Tammelinna elanikud ei ole rikkad.Järelikult . . .

T R

Ü

×

. . . mõni Tammelinna elanik on üksildane.

139 / 140

Ülesanne

Kõik tüdrukud söövad kohupiimakooki.Mõni tüdruk on maias.Järelikult . . .

140 / 140

loogika - juks.alkohol.eejuks.alkohol.ee/dox/loengumaterjalid.pdf · muutu arutluse käigus....

Documents