lokacijski problemi u programskom paketu mathematica

Prirodno-matematiki fakultet Ni

Januar 2014

Seminarski rad iz predmeta

Simboliko izraunavanje

Lokacijski problemi

Profesor: Student:

Dr Predrag S. Stanimirovi Milan Toni

PMF Ni Lokacijski problemi Milan Toni

2

Sadraj

1.UVOD ..........................................................................................................................3

2.ISTORIJA I DEFINICIJA .............................................................................................4

3.METRIKE ....................................................................................................................6

4.DISKRETNI LOKACIJSKI PROBLEMI .................................................................... 10

5. .KONTINUALNI LOKACIJSKI PROBLEMI ............................................................. 14

5.1Vajsfeldov algoritam za reavanje Veberov problema ........................................ 15

5.2Reavanje Veberovog problema pravougaonom metrikom ............................... 19

5.3Raulsov problem ................................................................................................... 20

5.4Algoritam Elzinga i Herna ..................................................................................... 21

6.LOKACIJSKO-ALOKACIJSKI PROBLEMI ............................................................. 22

7.LOKACIJSKI PROBLEMI NA MREAMA ............................................................... 24

7.1Problem lokacije slube za hitne intervencije u voru mree ............................ 24

7.2Problem lokacije skladista(snabdevaa) ............................................................. 26


3

1.UVOD

Lokacijski problemi su u poslednjih nekoliko decenija doiveli pravu ekspanziju kroz praktinu primenu pri projektovanju mrea razliitog tipa, na primer odreivanje lokacija za

izgradnju kola, bolnica, skladita, industrijskih postrojenja, autobuskih stanica, aerodroma,

trnih centara i drugih slinih problema. Cilj je zadovoljiti potrebe korisnika uz svoenje trokova transporta na minimum. Lokacijska optimizacija na dui rok ima strukturu lanca, koja odgovara zahtevu da profit bude to je mogue vei, trokovi eksploatacije to je mogue manji, uz najvii mogui kvalitet usluge s tim da budu ispunjeni, ukoliko postoje, svi specifini trini i drugi zahtevi. Prvi ko je ukazao na praktian znaaj lokacijskih problema je Alfred Weber. On je u svojoj knjizi [Web09], koristeci jedan od prvih lokacijskih problema u istoriji matematike

(ako su date tri take u ravni, nai etvrtu taku takvu da je suma njenih rastojanja do preostalih triju taaka minimalna) predstavio problem minimizacije trokova transporta u industriji. Sutina Weber-ovog problema je nai optimalnu lokaciju za industrijsko postrojenje tako da cena transporta bude minimalna. Svaka taka ima svoju teinu i on je dve, od tri, fiksirane take oznaio kao resurse sirovina, a treu kao lokaciju potroaa. Do idealne lokacije je doao konstruktivnim putem, a predloio je i postupak za reavanje problema ije su dimenzije vee od 3.


4

2.ISTORIJA I DEFINICIJA

Smatra se da je teoriju lokacije u skladinu problematiku prvi formalno uveo Alfred Weber (1909), koji je razmatrao problem lociranja jednog skladita sa ciljem minimiziranja ukupnog preenog rastojanja izmeu skladita i skupa prostorno distribuiranih korisnika, dok se u literaturi posveenoj lokacijskim problemima generalno, ova problematika povezuje sa radom znamenitog matematiara Ferma (XVII vek) koji je u svom radu postavio sledei problem: Za zadate tri take u ravni pronai etvrtu, tako da zbir rastojanja izmeu etvrte take i datih triju taaka bude minimalan.

Teorija lokacije posveena je formulaciji i reavanju lokacijskih problema; tj. gde da se locira objekat ili sistem. Lokacijski problemi ine posebnu klasu zadataka optimizacije. U optem sluaju, zadatak lokacijskog problema je odreivanje poloaja (lokacije) nekih novih objekata u postojeem prostoru u kome se ve nalaze drugi relevantni objekti. Novi objekti su neka vrsta centara koji pruaju usluge i mi emo ih zvati snabdevai. Postojei objekti su korisnici usluga ili klijenti i mi emo ih zvati korisnicima.

Mogue su razliite klasifikacije lokacijskih problema. Kao kriterijumi klasifikacije obino se koriste sledei:

a) broj novih objekata koje treba razmestiti jedan ili vie;

b) karakter objekta-da li je eljen ili neeljen;

c) mogui poloaj objekta-da li postoji predodreeni diskretni skup potencijalnih lokacija ili se objekat moe postaviti u bilo koju taku datog kontinualnog skupa;

d) karakter prostora u koji se locira objekat- da li je u pitanju ravan, mrea ili neto tree;

e) metrika koja se koristi za izraunavanje rastojanja izmeu dve take u posmatranom prostoru.

Takoe klasifikacije lokacijskih problema se mogu izvritii na sledee naine:

- prema uticajnim faktorima na izbor lokacije objekta najee utiu vie faktora, koji imaju razliite vanosti i zavise od tipa objekta i njegovog mesta i uloge u posmatranom sistemu; na primer, u sluaju izbora lokacije:

- fabrike ili skladita, dominantni su ekonomski faktori (na primer, cena zemljita, takse, trokovi izgranje i slino);

- maloprodajnih objekata dominantni takoe ekonomski faktori, jer na trokove i potencijalni profit u mnogome utie mesto na kome se nalazi objekat


5

- objekata kao to su bolnice, banke, slube odravanja dominantna je pristupanost (rastojanje) od korisnika i u ovom sluaju se ne mogu lako odrediti prihodi i trokovi

- u odnosu na broj objekata koji je potrebno odrediti lokacijski problemi se mogu odnositi na izbor lokacije jednog ili vie objekata jednovremeno

- prema izboru diskretizacije postoje metodi koji

- uzimaju u obzir sve mogue lokacije u prostoru (kontinualni lokacijski modeli) i

- omoguavaju izbor lokacije u odnosu na stvarno mogue (predloene) lokacije (diskretni lokacijski modeli) i oni se ee primenjuju, uglavnom pri izboru vie lokacija

- u odnosu na pristupe i metode koje se koriste za izbor lokacije, gruba klasifikacija

bi mogla biti:

- kvalitativni subjektivni modeli, bazirani na intuitivnom pristupu

- kvantitativni modeli bazirani na kvantitativnim parametara (optimizacioni, heuristiki modeli i sl.)

- hibridni modeli (meavina kvalitativnih i kvantitativnih pristupa i modela)

- u odnosu na tip ciljne funkcije

- jednokriterijumska,

- viekriterijumska


6

3.METRIKE

Metrika je nain na koji se odreuje rastojanje izmeu dva elementa nekog skupa. U lokacijskim problemima je potrebno odrediti rastojanje izmeu dve take u posmatranom prostoru na osnovu poznavanja njihovih koordinata. U tu svrhu se koriste tzv. lp metrike

gde je p realni broj takav da je 1 p . Ove metrike se u optem sluaju definiu nad takama prostora Rn (tj. skupa svih ureenih n-torki realnih brojeva).

Primer

Neka su u prostoru Rn date dve take A=(x A1 , , xA

j , , xA

n ) i B=(xB

1 , ,xB

j , ,

xB

n ).Rastojanje izmeu taaka A i B u lp metrici za 1 p se rauna po obrascu:

dpl(A,B) = p

n

j

pB

j

A

j xx

1

|| ,

dok je za p = :

dl

(A,B) =lim p d{lp}(A,B).

Mada teorijski ima beskonano mnogo metrika lp tipa, najznaajnije su i najvie se koriste u praksi sledee:

l1 (pravougaona) metrika: d1l(A,B) =

n

j

B

j

A

j xx1

||

pra[a_,b_]:=Abs[a[[1]]-b[[1]]]+Abs[a[[2]]-b[[2]]];

l2 (Euklidova) metrika: d 2l (A,B)=

n

j

B

j

A

j xx1

2)(

eu[a_,b_]:=Sqrt[(a[[1]]-b[[1]])^2+(a[[2]]-b[[2]])^2];

l(ebiejeva) metrika: dl

(A,B)= max1 j n | )(B

j

A

j xx |

ceb[a_,b_]:=Max[Abs[a[[1]]-b[[1]]],Abs[a[[2]]-b[[2]]]];

Tumaenje ovih metrika i razlike izmeu njih daemo na primeru prostora R2. U l1

metrici,rastojanje izmedu taaka A i B jednako je zbiru duina kateta AC i BC , tj.

d1l(A,B) = BAAB xxxx 2211


7

Ovo rastojanje se naziva i Menhetn rastojanje jer podsea na rastojanje u ovoj njujorkoj etvrti u kojoj su ulice i avenije pod pravim uglom.

U l2 metrici rastojanje izmeu taaka A i B je jednako hipotenuzi trougla ABC.

U l metrici je rastojanje izmeu taaka A i B jednako duoj od kateta AC i BC.

Pored ovih metrika takoe se koriste i sledee:

- "French Metro" metrika French metro" metrika je primer metrike koja opovrgava naizgled intuitivnu, ali pogrenu osobinu metrikih prostora. Ova metrika predstavlja funkciju rastojanja u ravni takvu da vai:

gde je ||a|| norma vektora a.

Ova metrika ima osobinu da je za r a, otvorena lopta unija linijskog segmenta i otvorenog diska oko koordinatnog poetka.


8

MATHEMATICA kod: norm[x_] := Sqrt[x[[1]]^2 + x[[2]]^2];

frenchmetro[x_, y_]:=If[x[[1]]/y[[1]] == x[[2]]/y[[2]],

norm[x-y], norm[x] + norm[y]]

- M - relativna metrika

Za p 1 moemo uvesti tzv. M-relativnu metriku:

MATHEMATICA kod: mrelative[x_, y_] := norm[x-y]/(Sqrt[1 + norm[x]^2]*Sqrt[1

+ norm[y]^2]);

- "Lift" metrika (Raspberry picker metric)

Neka su (x1, y1) i (y1, y2) take u prostoru R2. "Lift" metriku definiemo na sledei nain:


9

MATHEMATICA kod: lift[x_, y_] := If[x[[2]] == y[[2]], Abs[x[[1]] - y[[1]]],

Abs[x[[1]] + Abs[x[[2]] - y[[2]]] + Abs[y[[1]]]]];

- "Radar screen" metrika

"Radar screen" metrika se definie na sledei nain:

MATHEMATICA kod: radarscreen[x_, y_] := Min[1, norm[x-y]];


10

4.DISKRETNI LOKACIJSKI PROBLEMI

Najea podela lokacijskih problema je na osnovu naina na koji se predstavljaju promenljive (topografije). Po tom kriterijumu lokacijski problemi se dele na diskretne i

kontinualne. Diskretni lokacijski problemi su problemi kod kojih su mesta na koja se

moe postaviti objekat elementi konanog skupa

Kod diskretnih lokacijskih problema su take na koje se novi objekat moe postaviti elementi nekog konanog skupa. Neka je dato m taaka A1, ... ,Am u ravni. U ovim takama se nalaze postojei objekti (korisnici) i r potencijalnih lokacija B1,...,Br na koje je mogue postaviti novi eljeni objekat (snabdevai). Suma oteanih (teinskih) rastojanja od potenijalne lokacije snabdevaa Bk do korisnika je data izrazom

U kome su:

wi - teinski koeficijent i-te zadate take (npr. broj stanara neke zgrade, vanost take itd.);

d(Ai,Bk) - rastojanje izmeu i-te zadate take i k-te potencijalne lokacije u odgovarajuoj metrici.

Reenje problema se sastoji u tome da se odredi ona lokacija Bk* za koju je suma otezanih rastojanja minimalna tj. Wk* = min 1


11

];

Return[lm[[ind]]];

];

ebievljeva metrika primerCE[lp_,lm_,lt_]:=

Module[{d,i,ind=1,ras,ras2,cebsumarastojanja},

d=Length[lm];

ras=cebsumarastojanja[lm[[1]],lp,lt];

For[i=2,iras2,ind=i; ras=ras2 ];

];

Return[lm[[ind]]];

];

"French Metro" metrika

primerFM[lp_, lm_,lt_]:=

Module[{d, i, ind = 1,ras,

ras2,frencmetrosumarastojanja},

d = Length[lm]; ras =

frenchmetrosumarastojanja[lm[[1]], lp, lt];

For[i = 2, i ras2, ind = i; ras = ras2];];

Return[lm[[ind]]];

];

M- relativna metrika

primerMM[lp_, lm_, lt_] :=

Module[{d, i, ind = 1, ras, ras2, mrelativesumarastojanja

},

d=Length[lm];

ras = mrelativesumarastojanja[lm[[1]], lp, lt];

For[i=2, i ras2, ind = i; ras = ras2];];

Return[lm[[ind]]];

];


12

"Lift" metrika

primerLM[lp_, lm_, lt_] :=

Module[{d, i, ind = 1, ras, ras2, liftsumarastojanja },

d=Length[lm]; ras =liftsumarastojanja[lm[[1]], lp, lt];

For[i = 2, i ras2, ind = i; ras = ras2];];

Return[lm[[ind]]];

];

Evo kako izgleda kad se ovaj zadatak uradi:

Euklidovom metrikom

W1 = 2[(1-2)2 + (2-3)2] + 1[(2-2)2 + (5-3)2]1/2 + 1[(3-2)2 +

+(4-3)2]1/2 + 2[(6-2)2 + (0-3)2]1/2 + 3[(5-2)2 + (5-3)2]1/2 = 06.27

W2 = 2[(1-3)2 + (2-2)2]1/2 + 1[(2-3)2 + (5-2)2]1/2 + 1[(3-3)2 +

+ (4-2)2]1/2 + 2[(6-3)2 + (0-2)2]1/2 + 3[(5-3)2 + (5-2)2]1/2 = 27.19

W3 = 2[(1-6)2 + (2-3)2]1/2 + 1[(2-6)2 + (5-3)2]2 + 1[(3-6)2 +

+ (4-3)2]1/2 + 2[(6-6)2 + (0-3)2]1/2 + 3[(5-6)2 + (5-3)2]1/2 = 30.54

Zakljuak: Novi objekat e se graditi na lokaciji N1, tj.na lokaciji ije su korinate (2,3). Suma oteanih rastojanja za tu taku je najmanje i iznosi 27.06.

ebieljevom metrikom

W1 = 2 max{|1-2|, |2-3|} + 1 max{|2-2|, |5-3|} +

+ 1 max{|3-2|, |4-3|} + 2 max{|6-2|, |0-3|} + + 3 max{|5-2|,

|5-3|} = 2 + 2 + 1 + 8 + 9 = 22

W2 = 2 max{|1-3|, |2-2|} + 1 max{|2-3|, |5-2|} +

+ 1 max{|3-3|, |4-2|} + 2 max{|6-3|, |0-2|} + 3 max{|5-3|,

|5-2|} = 4 + 3 + 2 + 6 + 9 = 24

W3 = 2 max{|1-6|, |2-3|} + 1 max{|2-6|, |5-3|} +

+ 1 max{|3-6|, |4-3|} + 2 max{|6-6|, |0-3|} + 3 max{|5-6|,

|5-3|} = 10 + 4 + 3 + 6 + 6 = 29

I u ebievljevoj metrici se dobija da novi objekat treba izgraditi na lokaciji N1, ali sada suma oteanih rastojanja iznosi 22.


13

Primer2

Trgovinsko preduzee ima 5 prodavnica nametaja u jednom regionu. Imajui u vidu trokove dopremanja robe, rukovodstvo je odluilo da sagradi objekat koji e biti skladite robe za ove prodavnice. Dobijene su dozvole za gradnju na tri lokacije. Koordinate ovih prodavnica

su : S1(2,1), S2(6,5) i S3(4,7). Koordinate prodavnice su : P1(1,6), P2(2,7),P3(1.0),P4(6,7) i

P5(6,1), a na osnovu njihovog poslovanja dodeljeni su im teinski koeficijenti: 2, 3,3,2 i 5 resplektino. Potrebno je odrediti lokaciju skladita tako da suma oteanih rastojanja izmeu njega i svih prodavnica bude minimalan.Za merenje rastojanja izmeu objekata koristiti l1 metriku.

Reenje

W1 = 2 (|1-2| + |6-1|) + 3 (|2-2| + |7-1|) +

+ 3 (|1-2| + |0-1|) + 2 (|6-2| + |7-1|) +

+ 5 (|6-2| + |1-1|) =76

W2 = 2 (|1-6| + |6-5|) + 3 (|2-6| + |7-5|) +

+3 (|1-6| + |0-5|) + 2 (|6-6| + |7-5|) +

+5 (|6-6| + |1-5|) = 69

W3 = 2 (|1-4| + |6-7|) + 3 (|2-4| + |7-7|) +

3 (|1-4| + |0-7|) + 2 (|6-4| + |7-7|) +

+ 5 (|6-4| + |1-7|) = 88

Zakljuak: Preduze treba da se sagradi na lokaciji S2 sa koordintama (6,5) da bi suma oteanih rastojanja bila minimalna. Ona iznosi 69.


14

5. .KONTINUALNI LOKACIJSKI PROBLEMI

Kontinualni lokacijski modeli odreuju optimalnu lokaciju za jedan ili vie objekata u dvodimenzionalnom prostoru. Oigledan nedostatak je to:

- optimalna lokacija koju daje model ne mora biti najpogodnija - na primer, moe biti na sred vodene povrine, reke, jezera ili mora,

- optimalna lokacija moe biti podruje na kome se zabranjuje takav objekat.

Uprkos tome, ovi modeli su veoma korisni zbog lakog iznalaenja reenja. U sluaju da je optimalna lokacija nepogodna, dostupne su i tehnike koje daju najbliu pogodnu ili optimalnu lokaciju. Najpopularnije metode ovog tipa su:

- Metod medijane

- Gravitacioni metod (metod centroida)

Pomenute metode pretpostavljaju da su poznate koordinate postojeih objekata u mrei (u praksi, koordinate se mogu dobiti preko GPS-a (geografska irina i duina mesta) ili formiranjem mree odreene gustine koja se postavlja preko geografske karte podruja koje se posmatra).

Primer emo dati na Veberovom problemu:

Neka je dato m taaka u ravni A1,A2, ... , Am, gde je Ai = (ai

1 , ai

2 ), i = 1, .... , m. Potrebno je

nai taku X = (x1, x2) za koju je suma oteanih rastojanja do datih taaka minimalna, tj. treba reiti sledei problem bezuslovne optimizacije:

gde su:

wi - teinski koeficijenti take A;

di(X)=d(Ai,X) - rastojanje take Ai od lokacije X.

Ovako postavljen problem se naziva problem tipa minisum ili minisum problem.

Najei je sluaj da se usvoji Euklidova metrika. Tada matematiki model ima sledei oblik:


15

Ovaj zadatak bezuslovne nelinearne optimizacije u optem sluaju nije moguce reiti analitiki. Vajsfeldov algoritam je iterativni numeriki metod za reavanje Veberovog problema za Euklidovu metriku, i njime se dobija priblino reenje problema.

5.1Vajsfeldov algoritam za reavanje Veberov problema

Dato je m taaka Ai = (ai

1 , ai

2 ),njihove teine wi, i = 1, ... , m i koeficijenti kriterijuma

zaustavljanja numerikog postuka > 0; potrebno je odrediti lokaciju (koordinate) nove take koristei kao kriterijum sumu oteanih rastojanja (minisum problem).

Poto se zna da ovaj algoritam jako sporo konvergira kada se optimalno reenje poklapa sa jednom od zadatih taaka, najpre se proverava da li je neka od postojeih taaka optimalna lokacija za novi objekat. Tek ako se utvrdi da nije, prelazi se na iterativni deo

algoritma.

Algoritam je odreen sledeim koracima.

1.Izraunati meusobna rastojanja izmeu svih m taaka;

2.Proveriti da li za neku taku r{1, , m} vazi:

Ako je ovaj uslov ispunjen za neko r, tada prekinuti algoritam. Reenje se nalazi u taki Ar. U suprotnom, prelazi se na sledei korak.

3.Stavimo da je k=0 i odredimo poetno reenje X0 = (x 01 ,x0

2 )po formuli:


16

4.Izraunati rastojanje izmeu Xk = (x k1 ,xk

2 ) i zadatih taaka:

5.Raunamo po iterativnoj formuli:

6.Ako je

Algoritam se prekida , Xk+1 se usvaja kao dovoljno dobro reenje. U suprotnom, uzeti k = k + 1 i ii na korak 4.

Reenje u programskom jeziku Mathematica:

euveber[lp_,lt_,e_]:=

Module[{d,i,r,xn,xn1,p1xn,p1xn1,p2xn1},

d=Length[lp];

For[i=1,i


17

Primer

Datu su koordinate i teinski koeficijenti za etiri take. Potrebno je odrediti koordinate nove take ija e suma oteanih rastojanja od zadataih taaka biti minimalna. Koristiti Euklidovu metriku,a za koficijent kriteterijuma zaustavljanja

uzeti = 0.05

A1(4, 4) , W1 = 4

A2(3, 1) , W2 = 1

A3(6, 4) , W3 = 2

A4(6, 2) , W4 = 4

Reenje

1. Odreujemo meusobna rastojanja izmeu zadatih taaka:

d(A1,A2) = 162,310)14()34(22

d(A1,A3) = 24)44()46(22

d(A1,A4) = 2,828

d(A2,A3) = 4,243

d(A2,A4) = 3,162

d(A3,A4) = 2

2.Proveravamo da li je reenje u nekoj od zadatih taaka:

4884,5828,2

)24(4

2

)44(2

162,3

)14(1

828,2

)64(4

2

)64(2

162,3

)34(12/1

22

1

c

1155,92 c

2657,63 c

4884,54 c


18

Reenje se ne nalazi ni u jednoj od zadatih taaka.Prelazimo na iterativni deo

3.Odreujemo poetno reenje X0:

X 01 = 6,914

X 02 = 4,314

4.Izraunamo udaljenosti od poetnog reenja do zadatih taaka:

d(X0,M1) = 4,747

d(X0,M2) = 3,488

d(X0,M3) = 3,161

d(X0,M4) = 6,070

5.Odreivanje novog reenja X1:

x 11 = 6,947

x 12 = 4,323

6.Poto je |6,914-6,947 = 0,033 > => k = 1,nova iteracija.

4. d(X1,M1) = 4,769

d(X1,M2) = 3,486

d(X1,M3) = 3,128

d(X1,M4) = 6,048

5. x 12 = 6,964

x 12 = 4,317

6. |6,947 6,964 | = 0,017 < | 4,323 4,317| = 0,006 <

=>KRAJ


19

5.2Reavanje Veberovog problema pravougaonom metrikom

Potrebno je reiti sledeci problem:

|)||(|)()((min) 22111 1

iim

i

m

i

iii axaxwxdwxf

m

i

m

i

i

i

i

ii axwaxw1 1

221 ||||

)()( 2211 xfxf

Poto je minimum zbira u ovom sluaju jednak zbiru minimuma,tj.

)((min))((min))((min) 2211 xfxfxf

m

i

i

i

m

i

i

ii axwaxw1

22

1

1 ||(min)||(min)

Reenje polaznog modela se moze dobiti reavanjem sledea dva zadatka:

||)( 1111 ii axwxf

m

i

i

i axwxf1

2222 ||)((min)

Na taj nain reavanje originalnog problema sa dve promenljive svedeno je na reavanje dva nezavisna, ali po strukturi identina zadatka sa po jednom promenljivom. Znai, prvo

se reava problem za jednu koordinatu: )((min) 11 xf odakle se dobija *

1x , a zatim za

drugu )((min) 22 xf odakle se dobija *

2x .Taka ),(*

2

*

1

* xxX predstavlja reenje polaznog

Veberovog problema.

Neka su,kao i u prethodnom sluaju,zadate take ),( 21ii

i aaA i teinski koeficijenti tih

taaka wi, i = 1, ... , m.

Algoritam za odredijvanja j-te kordinate

1. Sortirati kooridnate taaka Ai,i = 1, ... , m u neopadajui niz. Nadalje emo smatrati da indeks i raste po sortiranom redosledu,tj.

....21 mjjj aaa


20

Mogua su dva sluaja:

2. Ako za neko k{1,2, ... , m} vai:

k

i

i

k

i

m

i

ii www1

1

1 12

1 pri emu je za svaki k = 1

leva strana nejednakosti jednaka 0,tada je traena j-ta koordiinata .* kjj ax

3. Ako za neko k{1,2, ... , m} vai :

k

i

i

m

i

i ww112

1, tada je reenje visestruko,tj.

traena koordinata *jx moe da ima bilo koju vrednost iz intervala 1, kjlj aa .

Primenjujui ovaj algoritam za j = 1, a zatim za j = 2 dobijaju se obe koordinate traene take X*.

5.3Raulsov problem

U nekim situacijama lokacijski model u kome se kao kriterijum koristi suma oteanih rastojanja (Veberov, odnosno minisum problem) nije pogodan jer se deava da su u optimalnom reenju najudaljenije take preterano zapostavljene. Ovo moe biti neprihvatljivo pri reavanju nekih praktinih problema kao to su rasporeivanje radio i televizijskih predajnika, projektovanje mree repetitora, odreivanja rasporeda radara i sl. U takvim sluajevima se zahteva da novi objekat bude to je mogue blii najudaljenijoj lokaciji. Kao kriterijum se onda koristi rastojanje do najudaljenijeg objekta. Takvi

problemi se zovu problemi tipa minimax ili minimax problemi.

Matematiki model ima oblik:

)}({max)((min) xdwxf iimii

Gde di(X) i wi imaju isto znaenje kao i kod Veberovog problema. Kod veine praktinih problema ovog tipa teinski koeficijenti su jednaki jedinici, pa se matematiki model svodi na:

)(max)((min) xdxf imii

Reenje zadatka X* je u sluaju Euklidove metrike centar kruga minimalnog prenika koji sadri sve zadate take Ai, i = 1, ... , m. Za nalaenje ove take koristi se algoritam Elzinga i Herna. Ovaj algoritam je konstrukciono geometrijskog tipa, ali se lako moe prevesti u analitiki oblik.


21

5.4Algoritam Elzinga i Herna

1. Izabrati bilo koje dve take iz skupa A ={A1,A2, ... , Am}i obeleiti ih sa A i B.

2. Kroz take A i B konstruisati krunicu iji je prenik du BA .Ako AB sve take iz A pripadaju krugu K odreenom ovom krunicom, tada je

centar tog kruga reenje problema, tj. 2

* BX

A

, KRAJ.

U suprotnom izabrati proizvoljnu taku iz skupa A koja je van kruga K i obeleiti je sa C.

3. Ako je trougao ABC pravougli ili tupougli, obeleiti temena najdue stranice sa A i B i ii na korak 2. U suprotnom opisati krunicu oko trougla ABC i sa K obeleiti krug odreen ovom krunicom.

4. Ako sve take iz skupa A pripadaju krugu K, KRAJ. Centar ovog kruga je reenje zadatka X* U suprotnom ii na sledei korak.

5. Izabrati proizvoljnu taku iz skupa A koja je van kruga K i obeleiti je sa A, a sa B oznaiti taku trougla najudaljeniju od A. Povui pravu kroz take B i O (centar kruga K). Sa C oznaiti taku trougla koja se nalazi sa suprotne strane ove prave u odnosu na taku A. Ii na korak 3.


22

6.LOKACIJSKO-ALOKACIJSKI PROBLEMI

Neka je dato m taaka A1= ),( 21

ii aa koje predstavljaju lokacije korisnika (postojei

objekti) i njihovi teinski koeficijenti wi, i=1,...m. Potrebno je odrediti lokacije za p

snabdevaa (to su novi objekti) ),( 21kk

k xxX k=1,...p, tako da suma oteanih rastojanja

od njih do korisnika bude minimalna (lokacijski problem), kao i odrediti koji sanbdeva e biti pridruen kom korisniku (alokacijski, tj. asignacijski problem). Ovom problemu odgovara sledei realni zadatak: u nekom naselju postoji m stambenih zgrada, a potrebno je rasporediti p prodavnica tako da budu to blie stanovnicima naselja. Osim mesta (lokacija) na kojima bi prodavnice trebalo sagraditi, ovaj zadatak podrazumeva i to da je

potrebno odrediti u kojim e se prodavnicama snabdevati stanovnici kojih zgrada. Jedan mogui sluaj je prikazan na slici.

Matematiki model ovog problema ima sledei oblik:

gde su:

m - broj postojeih objekata (korisnika); p - broj novih objekata (snabdevaa);

mxpikcC )( , gde je cik[0,1] alokacijska promenljiva koja predstavlja deo potrebe koje i-

ti korisnik zadovoljava kod k-tog snabdevaa koju treba odrediti;

),...,( 2,1 pXXXX ,gde je ),( 21kk

k xxX lokacija k-tog snabdevaa koju

treba odrediti;

di(Xk) = d(Ai,Xk) rastojanje i-tog korisnika od k-tog snabdevaa; wi - teinski koeficijent i-tog korisnika (npr. broj stanara zgrade)


23

Razmatraju se dve varijante ovog problema:

1) Kapaciteti snabdevaa su neogranieni, tj. proizvoljan broj korisnika moe se dodeliti svakom od snabdevaa; tada se dobija reenje u kome promenljiva cik uzima vrednosti iz skupa {0,1}.

2) kapaciteti snabdevaa su ogranieni; optimalne vrednosti promenljive cik mogu imati bilo koju realnu vrednost iz intervala [0,1]. U ovom sluaju, polazni matematiki model je potrebno proiriti sledeim skupom ogranienja:

gde su:

qi - potrebe korisnika u taki Ai; Qk- kapacitet snabdevaa u Xk.

Bez obzira da li se radi o prvoj ili drugoj varijanti, ovaj problem je analitiki teko reiti. Zbog toga sa predlae jedna heuristika metoda za unapred zadat broj snabdevaa p. U sluaju kada kapacitet snabdevaa nije ogranien, Kuperov algoritam ima sledee korake:

1) Proizvoljno izabrati p taaka X1,...,Xp. 2) Reiti alokacijski problem, tj. svakom korisniku dodeliti najblieg od snabdevaa lociranih u takama X1,...,Xp. Ovaj postupak se svodi na reavanje p diskretnih lokacijskih

problema.(Izraunava se matrica rastojanja mxpki XdD ))(( i nae minimum po svakoj

vrsti.Tako se odrede elementi matrice }1,0{),( ikik ccC .)

3) Za svako k{1,...,p} reiti Veberov problem u odnosu na sve korisnike vezane za snabdevaa Xk. Tako dobijena taka postaje novo Xk. Reiti alokacijski problem kao u koraku 2).

4) Ako nema promena u alociranju u odnosu na predhodnu iteraciju, prekinuti postupak.

Poslednje dobijeno reenje je i konano reenje problema. U suprotnom, vratiti se na korak 3).

kuper[lp_,lt_,bn_]:=

Module[{i,po={},a,b},

For[i=1,i


24

7.LOKACIJSKI PROBLEMI NA MREAMA

Slino modelima optimizacije za reavanje lokacijskih problema u ravni, formuliu se i razliiti modeli za reavanje problema lokacije na mreama. U ovim modelima se koristi pojam rastojanja izmeu dva vora mree. To rastojanje je po definiciji duina najkraeg puta izmeu posmatranih vorova. Treba primetiti da je, u nesimetrinim mreama, pri raunanju duine puta vano koji je vor poetni, a koji krajnji vor puta. Prema tome, za jedan par vorova mogu postojati dva rastojanja. vorovima se pripisuju brojevi koji se koriste kao teinski koeficijenti pri raunanju oteanih rastojanja. Kao kriterijum moe da se koristi oteano rastojanje od novog objekta do najdaljeg vora ili zbir oteanih rastojanja od novog objekta do vorova mree. U prvom sluaju radi se o problemima tipa minimax koji se u teoriji grafova nazivaju problemi odreivanja centra grafa. U drugom sluaju u pitanju su problemi tipa minisum, odnosno problemi odreivanja medijane grafa.

Lokacijski problemi na mreama mogi da se klasifikuju i prema tome da li je novi objekat mogue postaviti samo u vor grafa ili je to mogue uiniti i na grani grafa. Na kraju, zadaci sa mogu uoptiti za sluajeve kada se razmeta vie objekata. Mrea se moe predstavljati grafom G = (N, L), N = {1, ,n}, l = {(i,j) | i N, j N}, pri emu se granama (i, j) L pridruuju duine ci is ir0, a svakom voru i N teina wi. Rastojanje izmeu vorova i i j oznaavaemo sa d(i,j).

7.1Problem lokacije slube za hitne intervencije u voru mree

Pretpostavimo da je za jednu slubu koja prua hitne usluge stanovnitvu nekoliko naselja potrebno odabrati lokaciju i da zbog nekih razloga ta sluba treba da se nalazi u naselju. Kao kriterijum je mogue koristiti: a) Rastojanje od slube do najdaljeg vora (to moe da odgovara vremenu putovanja od mesta slube do mesta gde je potrebna pomo, npr.vatrogasna sluba); b) Rastojanje od najdaljeg vora do slube (kada klijent sam treba da doe u slubu za pruanje pomoi); c) Rastojanje od mesta slube do najdaljeg vora i nazad (kada se putuje od slube do mesta za pomo i nazad kao u primeru hitne pomoi koja treba da ode po bolesnika i doveze ga u bolnicu)

Svako rastojanje moe se oteati brojem stanovnika naselja ili verovatnoom da e ba to naselje zatraiti uslugu. Zadatak je nai lokaciju slube za pomo tako da oteano rastojanje bude to je mogue manje. Ako se kao kriterijum koristi rastojanje od mesta slube do najdaljeg vora, tada se zadatak lokacije formulie na sledei nain:

Odrediti vor *0i takav da je

)],([maxmin)( * jidwi jNjNioo

vor *oi naziva se spoljasnji centar teinskog grafa G, a vrednost )(*

ooo i spoljasnjii

radijus grafa. Jedan graf moe imati vise spoljasnjih centara.


25

U sluaju da se kao kriterijum koristi rastojanje od najdaljeg vora do mesta novog objekta, tada se zadatak lokacije formulise na sledei nain:

Odrediti vor *0i takav da je

)],([maxmin)( * jidwi jNjNioo

vor *oi naziva se unutrasnji centar teisnkog grafa G, a vrednost )(*

ooo i unutrasnji

radijus grafa. Jedan graf moe imati vise unutrasnjih centara. Kada se rauna ukupno rastojanje od mesta lokacije do najdaljeg vora i nazad, zadatak lokacije je:

Odrediti *oti takav da je ))],(),(([maxmin)(* ijdjidwi jNjNiotot

vor *oti naziva se unutrasnjo-spoljasnji centri teinskog grafa poklapaju.

Algoritam za odreivanje spoljasnjeg centra grafa ima sledee osnovne korake: 1. Nai rasatojanje izmeu svaka dva vora u mrei i formirati matricu rastojanja

)),(( jidD iji su elemetni rastojanja izmeu vorova i i j , i,j = 1,,n.

2. Svaku kolonu j matrice D pomnozimo teinom vora wi, tj. Formirati matricu oteanih rasojanja D.

3. Nai maksimalni elemenet(najveu vresnost) )(io za svaki red matrice D,tj.

Odrediti

},...,1),,({max)( nijidwi jNjo

4. Od svih )(io odreenih u prethodnom koraku nai najmanje, tj.

)}({min)( * ii oNioo

Za nalazenje unutrasnjeg i unutrasnjo-spoljanjeg centra i poluprenika grafa ovaj algoritam se neznatno modifikuje.


26

7.2Problem lokacije skladista(snabdevaa)

Pretpostavimo da od nekoliko naselja treba izabrati jedno u koje e se smestiti zajedniko skladite. Iz ovog skladita snabdevaju se sva naselja tako da su trokovi transporta od izabranog do nekog drugog naselja proporcionalni njihovom rastojanju. Ukupni trokovi su jednaki oteanoj sumi ovih rastojanja gde se teinski koeficijenti pripisuju naseljima, tj. vorovima grafa. I u ovom sluaju je, zavisno od naina raunanja rastojanja, mogue postaviti sledea tri optimizaciona zadatka. jski problemi 107

Ako se kao kriterijum koristi rastojanje od mesta skladita do mesta potroaa, tada se zadatak lokacije formulie na sledei nain:

Odrediti vor *oi takav da je:

Nj

jNioo jidwi ),(min)(*

vor *oi naziva se spoljasnja medijana teinskog grafa G.

U sluaju da se kao kriterijum koristi rastojanje od potrosaa do skladista,tada se zadatak lokacije formulise na sledei nain:

Odrediti vor *oti takav da je

Nj

jNitt jidwi ),(min)(*

vor *ti naziva se unutranja medijana teinskog grafa G.

Kada se rauna ukupno rastojanje od skladita do potroaa i nazad, zadatak lokacije je:

Odrediti vor *oti takav da je:

Nj

jotot jidijdwi )),(),((min)(*

vor *oti naziva se unutranjo-spoljanja medijana teinskog grafa G.

Zadaci odreivanja medijane mogu da se formuliu i za sluaj kada je doputeno da se skladite postavi u bilo koju taku grafa. Pokazuje se, meutim, da se taka koja odgovara medijani grafa i tada nalazi u nekom od vorova. Na taj nain se problemi lokacije na mreama tipa minisum svode na diskretne lokacijske probleme. Prethodno je potrebno samo izraunati rastojanja izmeu vorova i njihove odgovarajue sume.

1.UVOD2.ISTORIJA I DEFINICIJA3.METRIKE4.DISKRETNI LOKACIJSKI PROBLEMI5. .KONTINUALNI LOKACIJSKI PROBLEMI5.1Vajsfeldov algoritam za reavanje Veberov problema5.2Reavanje Veberovog problema pravougaonom metrikom5.3Raulsov problem5.4Algoritam Elzinga i Herna

6.LOKACIJSKO-ALOKACIJSKI PROBLEMI7.LOKACIJSKI PROBLEMI NA MREAMA7.1Problem lokacije slube za hitne intervencije u voru mree7.2Problem lokacije skladista(snabdevaa)

lokacijski problemi u programskom paketu mathematica

Documents