logischer entwurf vorlesung 4

Fachgebiet RechnerSysteme Übung Logischer Entwurf - WS 2002/2003

Technische UniversitätDarmstadt

4-1

4. Übung – Logischer Entwurf 1

1. Aufgabe1. Aufgabe

Gegeben sei die Funktion

a) Zeichnen Sie den reduzierten OBDD der Funktion für dieVariablenreihenfolge a,b,c,d.

b) Zeichnen Sie eine zweistufige NAND-Realisierung der Funktion.

c) Bestimmen Sie die Entwicklungsreihenfolge indem Sie die Gewichtsmethode auf die Schaltung aus b) anwenden.

d) Zeichen Sie den reduzierten OBDD mit der durch die Gewichtsmethode bestimmten Variablenreihenfolge.

dcadccb ++

4. Übung – Logischer Entwurf 21. Aufgabe

a) OBDD der Funktion entwickeln

Kofaktorzerlegung:

OBDD zeichnen (siehe letzte Übung)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )dccbdcdcbadccbdcba

dcdccbadccba

dcadccbf

++++++=

++++=

++=


0-Kante1-Kante

d

0 1

d

( ) ( )( ) ( ) ( )( )dccbdcdcbadccbdcbaf ++++++=

d d


0-Kante1-Kante

d

cc

0 1

d

c

d d

dcc +dcdc +dc




4-2


0-Kante1-Kante

d

cc

b

0 1

d

c

b

d d

dcc +dcdc +dc



0-Kante1-Kantea

d

cc

b

0 1

f

d

c

b



b) Zweistufige NAND-Realisierung

Kann direkt aus der DNF abgelesen werden:

&

&

&

&

b

c

c

d

a

dc

f

dcadccb ++


c) Gewichtsmethode

Bestimmung einer günstigen Entwicklungsreihenfolge

Gewichtsmethode ist eine Heuristik und liefert in der Regel ein gutes aber nicht zwingend ein optimales Ergebnis

Mehrere Durchläufe (Iterationen) – in jedem wird eine Variable der Reihenfolge festgelegt

Erklärung des Verfahrens am Beispiel der 2:1-Multiplexor-schaltung:



4-3


&

&a

b

≥11 1

x

21

12

Am Ausgang mit dem Gewicht 1 beginnen

Bei jedem Gatter Gewicht des Ausgangs zu gleichen Teilen auf die Eingänge verteilen


41

41+

14

14

Werden Eingänge zusammengeschaltet die Gewichte addieren

&

&a

b

≥11 1

x

21

12


12

14

14

a

b

x

=

=

=

141412

x am größten, daherwird als erstes nachx entwickelt

Größtes Gewicht auswählen

&

&a

b

≥11 1

x

21

12


Neuer Durchlauf

Verbindungen zu x bleiben unberücksichtigt

&

&a

b

≥11 1

x

21

12



4-4


Bei gleichgroßen Gewichten eines frei auswählen

1. Aufgabe

&

&a

b

≥11 1

x

21

12

21

21

a

b

=

=

1212

Hier kanns sowohl als zweites nach aoder b entwickelt werden, Entscheidungen gleichwertig

Hier Entscheidung für a


Neuer Durchlauf

Verbindungen zu x und a bleiben unberücksichtigt

&

&a

b

≥11 1

x

11

Ergebnis: Entwicklungs-reihenfolge x, a, b

Eine weitere zulässige Lösung nach der Gewichtsmethode ist x, b, a


c am größten, daher zuerst nach centwickeln

1. Aufgabe

&

&

&

&

b ca d

1

Gewichtsmethode für die Schaltung aus Teilaufgabe b):

1. Durchlauf

1

1

1

31

31

31

6161

61

61

91

91

91

185

91

61

188

91

61

61

183

61182

91

=+=

=++=

==

==

d

c

b

a


d am größten, daher als zweites nach d entwickeln

1. Aufgabe

&

&

&

&

b ca d

1

2. Durchlauf

1

1

1

31

31

31

31

31

61

61

21

61

313161

=+=

=

=

d

b

a



4-5


&

&

&

&

b ca d

1

3. Durchlauf

1

1

1

21

21

Es kann frei gewählt werden ob als drittes nach a oder b entwickelt wird

Ergebnis: Entwicklungs-reihenfolge: c, d, a, b oder c, d, b, a

2121

=

=

b

a

21

21


d) OBDD mit Variablenreihenfolge nach Gewichtsmethode

Hier Variablenreihenfolge c, d, a, b

Kofaktorzerlegung:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )dcabadbdc

dcbadbdc

dcadbc

dcadccbf

+++=

+++=

++=

++=


( ) ( )( ) ( )dcbadbdcf +++=

0-Kante1-Kantec

b

a

d

0 1

f

d

Durch die bessere Entwicklungs-reihenfolgereduziert sich die Anzahl der Knoten im OBDD von 8 auf 5 Knoten



Überprüfen Sie die Aussagen

und jeweils durch

a) Umformung in eine Tautologie und algebraische Rechnung.

b) Aufstellen der Veitch-Diagramme.

dabbdabcbcdbca ++≤+

bacbaccbcaab ++=++



4-6


a1) dabbdabcbcdbca ++≤+

Tautologie: 1=+⇔≤ gfgf

( ) ( )( ) ( )

1

1

=+++++=

+++++=

+++++⋅++=

++++=

dabbdabcbda

dabbdabccbda

dabbdabcdcbcba

dabbdabcbcdbca

⇔++≤+ dabbdabcbcdbca


dabbdabcbcdbca ++≤+b1)

Veitch-Diagramm:

Der Bereich

wird vollständig überdeckt

d

c

b

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 0

0 1 1 1

a

bcdbca +


b1)

Tautologie:

Äquivalenz:

1=≡⇔= gfgf

bacbaccbcaab ++=++

gfgfgf ⋅+⋅⇔≡

⇔++=++

=⋅+⋅⇒

bacbaccbcaab

gfgf 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) 1

1

=+=+++=+++++++=+++++++=

+++++++=+++⋅++++++⋅++=

++⋅+++++⋅++=

aabbabbaccbccbaccbccbacbcbcbbcabccbcbcba

bcacbacbacbacababccbacbabacbcacbcababacbaccbcaab

bacbaccbcaabbacbaccbcaab


b2)

Lösung über Veitch-Diagramme

c

b

1 1 0 1

0 1 1 1a

c

b

1 1 0 1

0 1 1 1a

bacbaccbcaab ++=++

cbcaab ++

bacbac ++



4-7



Gegeben sei eine boolesche Funktion f in vier Variablen durch ihre Dezimaläquivalentdarstellung

f(a,b,c,d) = {0,2,3,4,5,7,8,10,11,15}.

Zeichnen Sie das Veitch-Diagramm der Funktion. Bestimmen Sie alle Primimplikanten und deren Typ. Geben Sie die kostengünstigste zweistufige NAND-Realisierung an.


d

c

a

b

In vier Variablen:0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10

Wiederholung: Dezimaläquivalentdarstellung von Veitch-Diagrammen


In fünf Variablen:

c

b

24 28 20 16

25 29 21 17

27 31 23 19

26 30 22 18

d

c

a

e

0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10


Dezimaläquivalentdarstellung {0,2,3,4,5,7,8,10,11,15}

d

c

a

b

0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10



4-8


d

c

a

b

1 1 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

Dezimaläquivalentdarstellung {0,2,3,4,5,7,8,10,11,15}


1 1 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

3. Aufgabe

c

d

c

a

Alle Primimplikaten identifizieren

Dann Typ bestimmen

b


1 1 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

c

d

c

aKPI:

bca

ab

Kern-Primimplikanten sind Primimplikaten die Minterme überdecken, die von keinem anderen Primimplikanten überdeckt werden.


1 1 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

c

d

c

aAPI:

b

cb

Absoluteliminierbare-Primimplikanten sind Primimplikaten deren Minterme alle von Kern- Primimplikanten überdeckt werden.



4-9


1 1 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 0 0 1

c

d

c

aREPI:

bdcb

dba

dac

Alle weiteren Primimplikanten sind Relativeliminierbare-Primimplikaten.


Kostenminimale DNF enthält:

Alle KPI

Keine API

Die günstigste erlaubte (alle Minterme realisierende) Kombination der REPI

Hier nur eine kostenminimale DNF

Existieren mehrere erlaubte Kombinationen der REPI, die alle die niedrigsten Kosten aufweisen, existieren mehrere kostenminimale DNF


unnötig

dcbabcaf ++=

kostengünstigste

erlaubte

Kombination

Rest

KPI: API:REPI:

Kostenminimale DNF:

dacdcbdba ,, cbabca ,


&

&

&

&

acabbcd

dcbabcaf ++=

f

Zweistufige Nand-Realisierung kann einfach abgelesen werden



4-10



Die Funktion f wird durch das neben-stehende Veitch-Diagramm beschrieben. Bestimmen Sie alle

c

b

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

d

c

a

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0

e

Primimplikantenund deren Typ. Geben Sie die kosten-günstigste zweistufige AND/OR-Realisierung an.


Alle PI bestimmen

c

b

d

c

a

e

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1


KPI:

cab

cdba

edca

c

b

d

c

a

e

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0


API:

c

b

d

c

a

e

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0

edcb



4-11


REPI:

c

b

d

c

a

e

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0

ecdb

ecba

edca

edbc

edab


Nur eine kostengünstigste Lösung:

c

b

d

c

a

e

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 0

ecbaedbccabcdbaedcaf ++++=


alle möglichen IRREDUNDANTEN Lösungen

In diesem Fall existiert nur eine kostengünstigste Lösung

++++++

+

+++=

ecbaedcaedabecdbedcaedbcecdbedcaedab

ecbaedbc

cabcdbaedcaf

kosten-minimal


ecbaedbccabcdbaedcaf ++++=

&

&

&

&

&

≥1

ed

c

a

dcb

a

c

ba

e

d

cb

e

cb

a

f

logischer entwurf vorlesung 4

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