logika quantifiers

Logika Matematika

Universitas Riau

(Universitas Riau) Kuantor 1 / 15

Outline

Quanti�ers

Logika

Logika Proposisi yang sudah kita bahas tidak dapat menyataanmakna dari semua pernyataan dalam Matematika.

Contohnya misalkan kita mengetahui bahwa : "Setiap komputer yangterhubung ke jaringan UR berfungsi dengan baik."

Bagaimana cara kita menentukan nilai kebenaran dari pernyataan :"ADMIN1 berfungsi dengan baik"

Jika kita juga mengetahui bahwa : "ADMIN2 sedang diserang olekhacker"

Bagaimana kita menentukan nilai kebenaran dari : "Terdapat satukomputer yang terhubung ke jaringan UR yang sedang diserang olehhacker"

Logika

Perhatikan pernyataan berikut ini :

1 "x > 2", "x = y + 1", "x + y = z"2 "Komputer x sedang diserang oleh hacker"3 "Komputer x beroperasi dengan baik"

Masing-masing pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai P (x) .

Contoh : P (x) : "x > 2"Pernyataan P (x) ini disebut sebagai nilai dari fungsi proposisi P dix .

Ketika nilai x diketahui, maka kita bisa menentukan nilai kebenarandari pernyataan P (x) .

Logika

Perhatikan pernyataan berikut ini :1 "x > 2", "x = y + 1", "x + y = z"

2 "Komputer x sedang diserang oleh hacker"3 "Komputer x beroperasi dengan baik"

Logika

Perhatikan pernyataan berikut ini :1 "x > 2", "x = y + 1", "x + y = z"2 "Komputer x sedang diserang oleh hacker"

3 "Komputer x beroperasi dengan baik"

Logika

Perhatikan pernyataan berikut ini :1 "x > 2", "x = y + 1", "x + y = z"2 "Komputer x sedang diserang oleh hacker"3 "Komputer x beroperasi dengan baik"

Logika

Contoh : P (x) : "x > 2"

Pernyataan P (x) ini disebut sebagai nilai dari fungsi proposisi P dix .

Logika

Examples1 Misalkan P (x) : "x > 1". Tentukan nilai kebenaran dari P (2) danP (0) .

2 Misalkan A (x) menyatakan pernyataan : " Komputer x sedangdiserang oleh hacker". Misalkan bahwa komputer yang sedangdiserang hacker hanya 2, yaitu ADMIN1 dan ADMIN2. Tentukan nilaikebenaran dari A(ADMIN2) dan A(ADMIN3) .

3 Misalkan Q (x , y) menyatakan pernyataan "x = y + 1". Tentukannilai kebenaran dari Q (3, 2) dan Q (1, 2) .

Logika

Ketika variabel pada fungsi proposisi diberikan nilai tertentu, makapernyataan yang dihasilkan merupakan suatu proposisi yangmempunyai nilai kebenaran.

Selanjutnya kita akan membahas dua jenis kuanti�kasi :

1 Kuanti�kasi Universal : menyatakan bahwa pernyataan P benar untuksemua elemen yang sedang dibicarakan.

2 Kuanti�kasi eksistensial : menyatakan bahwa terdapat satu atau lebihelemen yang sedang dibicarakan yang menyebabkan pernyataan Pbenar.

Logika

Selanjutnya kita akan membahas dua jenis kuanti�kasi :

1 Kuanti�kasi Universal : menyatakan bahwa pernyataan P benar untuksemua elemen yang sedang dibicarakan.

Logika

Selanjutnya kita akan membahas dua jenis kuanti�kasi :1 Kuanti�kasi Universal : menyatakan bahwa pernyataan P benar untuksemua elemen yang sedang dibicarakan.

Logika

Selanjutnya kita akan membahas dua jenis kuanti�kasi :1 Kuanti�kasi Universal : menyatakan bahwa pernyataan P benar untuksemua elemen yang sedang dibicarakan.

Logika

De�nitionKuanti�kasi Universal dari P (x) adalah pernyataan :

"P (x) untuk semua nilai x di domain".

Notasi 8xP (x) menyatakan kuanti�kasi universal dari P (x) . 8 disebutkuanti�er universal. 8xP (x) dibaca : "untuk setiap x P (x) ". Elemendimana P (x) salah disebut sebagai counterexample dari 8xP (x) .

Example

Misalkan P (x) merupakan pernyataan "x + 1 > x". Apa nilaikebenaran dari kuanti�kasi 8xP (x) , dimana domainnya adalahsemua bilangan real?

Misalkan Q (x) merupakan pernyataan "x < 3". Apa nilai kebenaran8xQ (x), dimana domainnya adalah semua bilangan real?

Logika

De�nitionKuanti�kasi Universal dari P (x) adalah pernyataan :

"P (x) untuk semua nilai x di domain".

Notasi 8xP (x) menyatakan kuanti�kasi universal dari P (x) . 8 disebutkuanti�er universal. 8xP (x) dibaca : "untuk setiap x P (x) ". Elemendimana P (x) salah disebut sebagai counterexample dari 8xP (x) .

Example

Misalkan P (x) merupakan pernyataan "x + 1 > x". Apa nilaikebenaran dari kuanti�kasi 8xP (x) , dimana domainnya adalahsemua bilangan real?

Misalkan Q (x) merupakan pernyataan "x < 3". Apa nilai kebenaran8xQ (x), dimana domainnya adalah semua bilangan real?

Logika

Ketika semua elemen didomain dapat didaftarkan satu persatu,misalnya x1, x2, � � � , xn, maka kuanti�kasi universal 8xP (x) samasaja dengan konjungsi

P (x1) ^ P (x2) ^ � � � ^ P (xn)

Hal ini disebabkan karena konjungsi tersebut benar jika dan hanya jikaP (x1) ,P (x2) , � � � ,P (xn) semuanya benar.

Example

Tentukan nilai kebenaran dari 8xP (x) , dimana P (x) adalah pernyataan:"x2 < 10" dan domainnya adalah bilangan bulat positif kecil dari 5.

Logika

P (x1) ^ P (x2) ^ � � � ^ P (xn)

Example

Logika

P (x1) ^ P (x2) ^ � � � ^ P (xn)

Example

Logika

De�nitionKuanti�kasi eksistensial dari P (x) adalah pernyataan

"Terdapat satu elemen x didomain sedemikian sehingga P (x) "

Kuanti�kasi eksistensial dari P (x) dinyatakan dengan 9xP (x) . 9 disebutkuanti�er eksistensial. 9xP (x) dibaca : "terdapat x sehingga P (x) ".

Example

Misalkan P (x) merupakan pernyataan "x = x + 1". Apa nilaikebenaran dari kuanti�kasi 9xP (x) , dimana domainnya adalahsemua bilangan real?

Misalkan Q (x) merupakan pernyataan "x < 3". Apa nilai kebenaran9xP (x), dimana domainnya adalah semua bilangan real?

Logika

De�nitionKuanti�kasi eksistensial dari P (x) adalah pernyataan

"Terdapat satu elemen x didomain sedemikian sehingga P (x) "

Kuanti�kasi eksistensial dari P (x) dinyatakan dengan 9xP (x) . 9 disebutkuanti�er eksistensial. 9xP (x) dibaca : "terdapat x sehingga P (x) ".

Example

Misalkan P (x) merupakan pernyataan "x = x + 1". Apa nilaikebenaran dari kuanti�kasi 9xP (x) , dimana domainnya adalahsemua bilangan real?

Misalkan Q (x) merupakan pernyataan "x < 3". Apa nilai kebenaran9xP (x), dimana domainnya adalah semua bilangan real?

Logika

Ketika semua elemen didomain dapat didaftarkan satu persatu,misalnya x1, x2, � � � , xn, maka kuanti�kasi eksistensial 9xP (x) samasaja dengan disjungsi

P (x1) _ P (x2) _ � � � _ P (xn)

Hal ini disebabkan karena disjungsi tersebut benar jika dan hanya jikapaling sedikit salah satu dari P (x1) ,P (x2) , � � � ,P (xn) benar.

Example

Tentukan nilai kebenaran dari 9xP (x) , dimana P (x) adalah pernyataan:"x2 > 10" dan domainnya adalah bilangan bulat positif kecil dari 5.

Logika

P (x1) _ P (x2) _ � � � _ P (xn)

Example

Logika

P (x1) _ P (x2) _ � � � _ P (xn)

Example

Logika

Bagaimana menyatakan negasi dari pernyataan berkuanti�kasi?

Negasi dari 8xP (x) kita tulis � 8xP (x)Perhatikan bahwa

� 8xP (x) � 9x � P (x)

� 9xP (x) � 8x � P (x)

Logika

Negasi dari 8xP (x) kita tulis � 8xP (x)

Perhatikan bahwa

� 8xP (x) � 9x � P (x)

� 9xP (x) � 8x � P (x)

Logika

� 8xP (x) � 9x � P (x)

� 9xP (x) � 8x � P (x)

Logika

� 8xP (x) � 9x � P (x)

Negasi dari 9xP (x) kita tulis � 9xP (x)

Perhatikan bahwa

� 9xP (x) � 8x � P (x)

Logika

� 8xP (x) � 9x � P (x)

� 9xP (x) � 8x � P (x)

Logika

Examples1 Tentukan negasi dari : "Terdapat politisi yang jujur".2 Tentukan negasi dari : "Semua orang indonesia makan rendang".

Logika

Bagaimana menentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut?

(8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��

Langkah pertama, tulis " not " atau " ~ " didepan pernyataan tersebut

not (8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " Untuk setiap x , P (x)" diperoleh

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " p ) q " diperoleh

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ) dan not

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " Terdapat x , P (x)" diperoleh

�(8y 2 Z) x2 6= 3y + 1

��

Logika

(8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��Langkah pertama, tulis " not " atau " ~ " didepan pernyataan tersebut

not (8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��

Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " Untuk setiap x , P (x)" diperoleh

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

�(8y 2 Z) x2 6= 3y + 1

��

Logika

(8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

not (8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��

Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " p ) q " diperoleh

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

�(8y 2 Z) x2 6= 3y + 1

��

Logika

(8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

not (8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

��

Menggunakan aturan Negasi dari pernyataan " Terdapat x , P (x)" diperoleh

�(8y 2 Z) x2 6= 3y + 1

��

Logika

(8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

not (8x 2 Z)�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

(9x 2 Z) not�((9y 2 Z) x = 3y + 1 ))

�(9y 2 Z) x2 = 3y + 1

�(8y 2 Z) x2 6= 3y + 1

��(Universitas Riau) Kuantor 13 / 15

Logika

Kita katakan Limit f (x) untuk x mendekati a adalah L jika :8ε > 0, 9δ > 0 sehingga

0 < jx � aj < δ ) jf (x)� Lj < ε

Kapan f (x) tidak punya limit di x = a?

Logika

Latihan.1 Misalkan P (x) adalah pernyataan : "kata x mengandung huruf a".Tentukan nilai kebenaran dari :

1 P(kuning)2 P(merah)3 P(hijau)

2 Misalkan P (x) : "x dapat berbahasa mandarin", dan Q (x) :" xmengetahui bahasa C++". Nyatakan setiap kalimat berikut dalamP(x), Q(x), kuanti�er, operator logika yang sesuai.

1 Terdapat seorang mahasiswa di UR yang dapat berbahasa mandarindan mengetahui bahasa C++.

2 Terdapat seorang mahasiswa di UR yang dapat berbahasa mandarin,tetapi tidak mengetahui C++

3 Setiap mahasiswa di UR dapat berbahasa mandarin atau mengetahuibahasa C++.

4 Tidak ada mahasiswa di UR yang dapat berbahasa mandarin ataumengetahui bahasa C++.

logika quantifiers

Documents