logica modal Ă pentru teoria spaŢiului bazatĂ pe regiuni
DESCRIPTION
LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI. Îndrumător : Prof. Dr. George Georgescu. Student: Paula T ătaru. Despre logica modal ă. În logica modală apar doi operatori noi faţă de logica clasică: necesar ( □ ) posibil ( ◊ ) numiţi operatori modali . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/1.jpg)
LOGICA MODALĂPENTRU TEORIA
SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI
ÎndrumătorÎndrumător: Prof. Dr. George Georgescu: Prof. Dr. George GeorgescuStudent: Paula TStudent: Paula Tătaruătaru
![Page 2: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/2.jpg)
Despre logica modalDespre logica modalăă
În logica modală apar doi operatori noi faţă de logica clasică:- necesar (□)- posibil (◊)numiţi operatori modali.
Operatorii modali se referă la măsura în care o propoziţie p esteadevărată, de la latinescul modus (măsură).
Construind modalitatea prin conceptul de realizabilitate, sensul cese degajă nu este acela al unei măsuri mai mari sau mai mici deadevăr sau de fals, ci acela al locurilor (interpretărilor) în care opropoziţie este adevărată sau falsă.
![Page 3: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/3.jpg)
Alfabetul unui sistem modal va avea în plus faţă de cel al sistemuluiclasic, operatorul necesitate: □.Vom numi cuvânt un şir finit de simboluri primitive, iar enunţurilese vor construi plecând de la variabilele propoziţionale şi aplicândde un număr finit de ori operatorii propoziţionali clasici şi operatorulmodal.Introducem operatorul posibilitate prin abrevierea ◊p în loc de ¬ □ ¬ p.
Construim un sistem logic modal bazându-ne pe axiomele unui sistemformal al calculului propoziţional, la care adăugăm un numărminimal de axiome, reglementând comportamentul operatoruluimodal.
Sintaxa sistemelor propoziţionale modale
![Page 4: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/4.jpg)
Se consideră următoarele axiome:(A0) axiomele calculului propoziţional(A1) □(p→q) →(□p → □q)(A2) □p→ p(A3) □p → □□p(A4) ◊p → □◊p
Reamintim axiomele calculului propoziţional:(A01) p →(q → p)(A02) (p →(q → r)) →((p → q) →(p → r))(A03) (¬ p → ¬ q) →(q → p)
![Page 5: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/5.jpg)
Vom avea două reguli de deducţie:p, p → q modus ponens (m.p.) q p necesitate (N)□p
Considerăm următoarele sisteme de logică modală:K : A0, A1T : A0, A1, A2S4 : A0, A1, A2, A3S5 : A0, A1, A2, A3, A4Spunem că K şi T sunt sisteme slabe, iar S4 şi S5 sunt sisteme tari.
Teoremele formale se construiesc plecând de la axiome şi aplicând de un număr finit de ori cele două reguli de deduţie.
![Page 6: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/6.jpg)
Semantica sistemelor propoziţionale modale
Semantica unui sistem logic începe cu noţiunea de interpretare.Pentru sistemele modale, conceptul de interpretare se face în raport cu o structură Kripke.
Numim structură Kripke o pereche (X,R), unde X este o mulţime nevidă, iar R este o relaţie binară pe X.
Vom numi interpretare a unui sistem modal în structura Kripke (X,R) corespunzătoare sistemului, o funcţie I : E × X → L2 = {0, 1}ce satisface condiţiile, pentru orice φ, ψ є E, x є X:(a)I(φ ψ,x) = I(φ,x) I(ψ,x); (b) I(¬φ,x) = ¬I(φ,x); (c) I(□φ,x) = {I(φ,y) | y є X, xRy}.
![Page 7: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/7.jpg)
Enunţul φ este adevărat în interpretarea I relativ la x є X, dacă I(φ,x) = 1 şi este universal adevărat dacă este adevărat în orice interpretare.
Teorema de completitudine a lui KripkePentru orice sistem modal S şi pentru orice enunţ φ,φ este teoremă a sistemului S φ este universal adevărat în sistemul S.
![Page 8: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/8.jpg)
Despre RPMLSDespre RPMLS
Logica modală pentru teoria spaţiului bazată pe regiuni (RPMLS = Region-based Propositional Modal Logics of Space) este un nou tip de logică modală potrivită pentru demonstraţii în teoria spaţiului bazată pe regiuni. Aceasta este o alternativă la teoria clasică a spaţiului ce are la bază noţiunea de punct. Teoria spaţiului bazată pe regiuni porneşte de la noţiunea de regiune şi câteva relaţii între regiuni, cum are fi cea de “parte a” sau de “contact”.
Limbajul L(C,≤) al RPMLS este similar cu limbajul de modalitate relativă. L(C,≤) conţine variabile Booleane şi operaţii Booleane. Conectorii modali sunt: ≤ pentru relaţia “parte a” şi C pentru “contact”.
![Page 9: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/9.jpg)
Sintaxa
![Page 10: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/10.jpg)
Introducem notaţiile:a = b : (a ≤ b) (b ≤ a)a ≠ b : ¬(a = b)
![Page 11: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/11.jpg)
Semantica relaţională
Fie F = (X,R) o structură Kripke. Unei structuri Kripke îi putem da o intrepretare spaţială. Elementele lui X vor fi numite celule, iar relaţia R va fi numiă relaţie de adiacenţă. Atunci F va fi numit spaţiu de adiacenţă.
• tabla de şah
Regiunile în spaţiile de adiacenţă sunt submulţimi arbitrare ale lui X, iar două submulţimi a, b sunt în contact – a b, dacă există x є a şi y є b astfel încât să avem xRy.
![Page 12: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/14.jpg)
Fie Σ o clasă de structuri.
Fie A o mulţime de formule.
![Page 15: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/15.jpg)
Logică modală de clase de structuri
Fie Σ o clasă de structuri şi fie L(Σ) mulţimea formulelor adevărate în Σ. Această mulţime o vom numi logica lui Σ. Evident, vom avea:
dacă Σ1 Σ2, atunci L(Σ2) L(Σ1).
Dacă notăm clasa tuturor structurilor cu , atunci, conform proprietăţii de mai sus, L( ) va fi cea mai mică şi va fi notată cu .
Următoarea lemă leagă logica L(Σ) de noţiunea de Σ - consistenţă.
![Page 16: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/16.jpg)
Definibilitate modală
![Page 17: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/18.jpg)
Deoarece structurile reflexive şi simetrice vor avea importanţă mai târziu, vom nota cu (respectiv , ) clasa structurilor reflexive (respectiv simetrice, reflexive şi simetrice) şi cu clasa relaţiilor de echivalenţă. Formulele corespunzătoare care definesc modal aceste proprietăţi le vom nota: (Ref) p ≠ 0 → pCp(Sym) pCq → qCp
![Page 19: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/20.jpg)
Nedefinibilitate modală
![Page 21: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/21.jpg)
Axiomatizări
Pentru început, vom da un sistem axiomatic pentru logica .Acesta va conţine o mulţime de axiome şi o mulţime de reguli de deducţie.
![Page 22: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/22.jpg)
Noţiunea de teoremă a lui este cea standard.
![Page 23: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/23.jpg)
Teoreme de completitudine
![Page 24: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: LOGICA MODAL Ă PENTRU TEORIA SPAŢIULUI BAZATĂ PE REGIUNI](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061606/568157b4550346895dc53db4/html5/thumbnails/25.jpg)
Bibliografie
[1] P. Balbiani, T. Tinchev, D. VakarelovModal Logics for Region-based Theories of
SpaceFundamenta Informaticae, vol. 81, pag. 29-82.
2007.
[2] G. GeorgescuLogică matematică şi computaţională. Suport de
curs.
[3] G. GeorgescuTeoria modelelor pentru logici neclasice. Suport
de curs.