logic in computer science 2nd solutions huth & ryan

113

Upload: garapatiavinash

Post on 18-Jan-2015

1.497 views

Category:

Documents


34 download

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

Page 1: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��������� ����� ������� ������� ��� ����� ���� ��! "���#���!��$�&%' (*),+�-�-�.0/21 34/5) 67+8329:(;/4.�/81 3�<=(;>2?@9BA59B?C+EDF9G�HJICKMLONPH�QR LSH TVUWRXNZY[Q&\�LSU5T UX]^UW_a`bNcRaUWRd eZf�g$hMiEj k�l$m�g nWo:p d hMq$r s&tEhMu

v w�xzy|{c}�~�������~� ��y {c}�~�������~� w �������c��{��������� y xE~�v����� � ��~ � ���� ��w �����c�B�

�  

� �

¡ �

¢

£

¤¥

§©¨

§7ª

§7«

¬Z¨

¬ ª

¬�«

­�®&¯C°± ®�²:³�´�µ¶°· ®�²:³�´�µ¶°¸7¹�º�»�¼�½ ­¿¾�®#ÀÂÁ�´�ÃVÄ

± ®Å º À ½ ± Á�²:³Æ­©µ¶ÇE²:³Æ­©µ�ÃÈ°· ®Å º À ½ · Ç ± ÃO°­�®É­©Á�´È°

Ê

Page 2: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

ËÌFÍ,Î Ë�ÏÂÐZÑÓÒOÔbÕ×Ö�ÏØÐ�ÙÂÚ Í ÐZÛ�Ü=ÝßÞcÐ�ÙáàPâZã�ãZä

å ÒæÑÓÐ�ç�ÑèÛ�Ñêé�ë�Û�Ö�ÑêÛ�Û�ë�Û�çßÐ�ÙÂÚ�ëcì5ì Î ç�ç Î ëcÙÂçíÖîë×ï

ÍØð�ñ ÔWòbóSô�ÔWõbößÔ÷ ÑêéøÐZÛ�Ö�ì8ÑÓÙ7ÖXë�ù ñ ëcì8éøÕÂÖ Î Ù×úð ì5é�ÑêÛ Î Ð�Ò ñ ëcÒûÒæÑêú�ÑüôOëcÙÂÚ×ëcÙáà×õWýÅÂþ ¹øÿ���������º Å�� ¼ þ º ² »� ² ���� ­

Page 3: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��������������

� ������� ��!#"%$&"'��(�)�*+*,�.-/"'0 12 ����3�4�"506)�$738*,�.-9"50 : ;: <�3=�>"@?�0�)�$&"5��(BA>CEDF��4G3>*H0�I 3�0�JK"5( - ;ML1 �����#-9�N)�DPO�3���"@?Q06)�$&"5��( R�;; ST�K4G)�*+*,�.-/"'0�!8)�(4U)�-93=($&! V�WL XY"%(�)��>CZ4G3�0="%!#"5��([4�"')�-/�N)�D\! ��W�2

]

Page 4: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

^

_F` ��ab����c'��c7���edgfhf7��iHc7j

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�tuswv é xzy#{>|}�~&�G����� ÑWË�Ï×ëcç�Ñ� ÖîëaçîÖ�Ð�ÙÂÚ8ù ë�Û��îößÏ×Ñßç�ÕÂÙJç�Ï Î Ù×ÑÓç Öîë©ÚÂÐ�Þ.x��$Ð�ÙÂÚY�èÚ×ÑÓÙÂë�ÖîÑÓçQ�îöXÏ×Ñ

ç�ÕÂÙ ç�Ï Î Ù×ÑÓç:Öîëcì8ë�Û�Û�ë���x���öXÏÂÑ Ë0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î Ù×ú�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î çíÖ�ÏÂÑÓÙ�h����+�

��� ï ð ù��SѶÏøÐ�ÚüË�ÏÂëcçîÑÓÙ��íÖîëbÚ×ÑÓÙ×ë�ÖîÑ��îößÏ×Ѷç�ÕÂÙüÚ×ë7ÑÓç Ù×ë�ÖOç�Ï Î Ù×ÑCÖîëcì8ë�Û�Û�ëN��x��Ö�ÏÂÑÓÙEÖ�Ï×ÑüË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î Ù×úaù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ��SëcÕøÒûÚh��Ñ

�h�����}�~&���N��� ÑüË�Ï×ë7ëcç�Ñ

� ï��îò&Û�Ñr�7Õ×ÑÓç�Ö�ë�ËêËêÕ×Û�ç�x��� ï��îöXÏ×ÑèÛ�Ñr��Õ×ÑÓçîÖH� Î ÒûÒPÑ���ÑÓÙ�Ö�ÕÂÐ�Ò ÒæÞh��Ñ Ð�Ë�Ü�ÙÂëN�ßÒæÑÓÚÂú�ÑÓÚMx��� ï��îöXÏ×ÑèÛ�Ñr��Õ×ÑÓçîÖ Î ÙÂú8éÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç�� Î Ò ÒPÑ���ÑÓÙ7Ö�ÕÂÐ�ÒûÒûÞ=ì5ÐZÜ�ÑüéÂÛ�ë�ú�Û�ÑÓç�çrx��

ößÏ×Ñèù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð2Û�ÑêéÂÛ�ÑÓçîÑÓÙ7Ö Î Ù×ú2Ö�Ï×Ñ�Ú×ÑÓËêÒûÐZÛ�ÐZÖ Î ��Ñ�çîÑÓÙ�ÖîÑÓÙøË0Ñ Î çíÖ�Ï×ÑÓÙ�h� v �H��� � |��

��� ï ð ù9�:ÑXÏÂÐ�Ú5Ë�ÏÂëcçîÑÓÙ � ÖîëüÚ×ÑÓÙ×ë�ÖîÑY�îöXÏÂÑ�Û�Ñr�7ÕÂÑÓçîÖ Î Ù×ú�éÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç�:ëcÙM� ÖCÑ���ÑêÛ��Ñ Ð#�øÒûÑèÖîëJì5ÐZÜ�ÑüéøÛ�ë�ú�Û�ÑÓç�çêà��2Ö�ÏÂÑüË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î Ù×úaù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ��:ëcÕÂÒûÚh��Ñ

�h� v �H� � |��}�~7��N��� ÑüË�Ï×ë7ëcç�Ñ

� ï �îö ë�ÚøÐÓÞ�à Î Ö�� Î ÒûÒ�ç�Ï Î Ù×Ñ.x��¡ ï �îö ë�ÚøÐÓÞ�à Î Ö�� Î ÒûÒ�Û�Ð Î Ù x��

ößÏ×ÑèÛ�ÑÓç�ÕÂÒûÖ Î Ù×ú2ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð Î ç v � � ¡ |M¢£� v � ¢ ¡ |¤x

ä

Page 5: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ �}�~7¶%�N� öXÏ×ÑèéøÛ�ë�é�ëcç Î Ö Î ëcÙ�ÐZÖîëcì5ç��SÑ Ë�Ï×ëcçîÑaÐZÛ�Ñ

� ï�� ÷ Î Ë�ÜEì8ÑêÖ�·�Ð�Ù×Ñ Þ�ÑÓçîÖîÑêÛ�ÚÂÐÓÞ.x��� ï�� ÷ Î Ë�ÜEÐ�ÙÂÚ£·�Ð�Ù×ÑüÏÂÐ�ÚEÐJËêÕ×é ë�ù Ë0ë#¸�ÑêÑ�Öîë�ú�ÑêÖ�Ï×ÑêÛrx��� ï�� ÷ Î Ë�ÜEÐ�ÙÂÚ£·�Ð�Ù×ÑüÏÂÐ�ÚEÐY�:Ð�ÒæÜ Î Ù�Ö�Ï×ÑüéøÐZÛ�Ü�x��

ößÏ Î çíÛ�ÑÓç�ÕøÒæÖ�ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�h���H� �

�bÏ Î Ë�Ï4Û�ÑÓÐ�ÚÂç�Ð�çg�8� v ��� � | Î ù��:Ñ�Û�ÑÓËêÐ�ÒûÒ Ö�Ï×Ñ�� Î ÙÂÚ Î ÙÂúaéøÛ Î ë�Û Î Ö Î ÑÓçXë�ùBëcÕ×ÛÒûë�ú Î ËêÐ�Òáë�é�ÑêÛ�ÐZÖîë�Û�ç�x

¹ ~&�G��� v&v ���G| ¢h�>|�� � x¹ ~&º���� v �h���>|� v � � v ¡ ��»7|&|¤x¹ ~&¼9�N� v �½���>|� v&v ���G| ¢ � |¤x¹ ~&¾ �N� öXÏ×ÑWÑÀ¿�éøÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙQ�Q�½��¢ � Î çSéÂÛ�ë.�øÒûÑÓì5ÐZÖ Î ËWç Î ÙÂË0Ñ�¢[Ð�ÙÂÚ���ÏøÐr��ÑèÖ�Ï×Ñèç�Ð�ì8Ñ

� Î ÙÂÚ Î ÙÂú�éÂÛ Î ë�Û Î Ö Î ÑÓçêàZçîë��:ÑíÏÂÐr��Ñ�Öîë Î ÙÂç Î çîÖOëcÙ2Ð�ÚÂÚ Î Ö Î ëcÙÂÐ�Ò.�ÂÛ�Ð�Ë�Ü�ÑêÖ�ç Î Ù�ë�Û�Ú×ÑêÛÖîëJÛ�ÑÓçîëcÒ®��Ñ Ö�Ï Î çXË0ëcÙ�Á Î Ë0Ö�x

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�t°ÂÃv é xzy#{>|}�~&�G��� vu� ëcÙ�ÕÂç¤| � Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù v ��¢h�>| ¢ �6Ä�¡ ¢�»Åh�H¢ ¡ ��Þ

Æ v �½¢h�>|M¢ � éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ ¡ ¢b» éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñ] �½¢�� ¢ Ñ#Ç Æä � ¢ ÑrÈ ]É ¡ ¢ Ñ Ç âÊ �H¢ ¡ ¢ Î ä Ä É

}�~&º��8� Ñ éÂÛ�ë���ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù v �Y¢h�>|M¢ � ÅQ��¢ v �Ë¢ � |+��ÞÆ v �½¢h�>|M¢ � éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ �½¢�� ¢ Ñ Ç Æ] � ¢ ÑrÈ Æä � ¢ Ñ Ç âÉ � ¢ ÑrÈXâÊ �H¢ � ¢ Î É Ä ]y �½¢ v �Ë¢ � |Ì¢ Î ä Ä Ê

Page 6: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ}�~&¼9�N�QÍ Ù×Ñèé�ëcç�ç Î �øÒæÑWéÂÛ�ë�ë�ù ë�ù Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù��� v �Î� � | Ä � ��Ä �QÅ���� Î ç

Æ ��� v �Î� � | éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � � éÂÛ�ÑÓì Î çîÑ] � éÂÛ�ÑÓì Î çîÑä �h� � �;Ñ Æ Ä ]É ��� Í ö ä Ä â

}�~&Ï>�N�Ð� ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ùFÅ v �½¢h�>|�Ñ�£��ÞÆ �½¢�� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙâ � ¢ Ñ Ç Æ] �½¢��Q�Ñ� � Î ÆÓÒ â

}�~7��N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9�ÎÅ v �h���>|���Ô��ÞÆ � éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ �Î��� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙ] � �;Ñßâ Ä Æä v �Î�Õ�>|���� � Î â ÒÖ]

}�~7¶%�N�Ð� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù v �h� � |M¢ v ��� � |�Å���¢Î��� � ��ÞÆ v �h� � |M¢ v ��� � ||éøÛ�ÑÓì Î çîÑâ ��¢�� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ] � ¢ Ñ Ç âä �h� � ¢ Ñ Ç ÆÉ � ��ÑXä Ä ]Ê ��¢���� � � Î â ÒÃÉ

}�~Ø×.�N�Ð� ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù���� � Å v �h�Õ�.|�� v �h� � |+��Þ

Page 7: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ Ù

Æ ��� � éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ �h��� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ] � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙä � �;Ñbâ Ä ]É � �;Ñ Æ Ä äÊ �h� � � Î ]ÐÒÃÉy v �h���>|�� v �h� � | � Î â ÒÃÊ

}�~7Ú%�N�Ð� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù��h��� Ä&� � ¡ ÅÔ��� � ���H� ¡ �7ÞÆ �h�Õ� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � � ¡ éÂÛ�ÑÓì Î çîÑ] �Ô� � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙä � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙÉ � �;Ñ Æ Ä äÊ �H� ¡ � Î Ç Éy � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ{ ¡ �;Ñßâ Ä yÛ �H� ¡ � Î È�{Æ ã �H� ¡ � Ñ ] Ä ä ÒÃÊ Ä y ÒÃÛÆ.Æ �Ô� � ���H� ¡ � Î ]�ÒÜÆ ã

}�~7Ý�£� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù v ��� v �Q�Ñ�G|&|M¢Î��ÅÔ�£�7ÞÆ v ��� v ���Þ�M|&|M¢h� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � ¢ ÑrÈ Æ] ��� v ���Ñ�G| ¢ Ñ Ç Æä � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÉ ���Ñ� Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÊ � �;Ñ É Ä ây � � Ñ ] Ä ä Ò ä Ä É�ÒÃÊ

� ë�ÖîÑJÖ�ÏøÐZÖ ëcÙ×ÑJË0ëcÕÂÒ Ú*ÏÂÐr��Ñ éøÕ×Ö Ò Î ÙÂÑ2â Î Ùß��ÑêÖ5�SÑêÑÓÙ[Ò Î Ù×ÑÓç É Ð�ÙÂÚ Ê � Î Ö�Ï

Page 8: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

à ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µÖ�ÏÂÑaË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î Ù×úJÛ�ÑÓÙ7ÕøìQ��ÑêÛ Î ÙÂú5ë�ùCé�ë Î Ù�ÖîÑêÛ�ç�x � ëcÕÂÒ ÚØÖ�Ï×ÑaéÂÛ�ë�ë�ùBÐ#��ëN��Ñç�Ö Î ÒûÒG��ÑÐ� Ð�Ò Î Ú Î ùá�:ÑüÕÂçîÑÓÚ Û�ÕÂÒæÑÓçË¢ ÑrÈ Ð�ÙøÚ£¢ Ñ Ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ ë�Ö�ÏÂÑêÛXë�Û�Ú×ÑêÛ Î Ù×ú=â

}�~&ã �N��� Ñ éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9�h�Õ� Ä&� � ¡ ÅQ��¢ � �Õ��¢ ¡ ��ÞÆ �h�Õ� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � � ¡ éÂÛ�ÑÓì Î çîÑ] ��¢ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙä � ¢ Ñ Ç ]É � �;Ñ Æ Ä äÊ � ¢ ÑrÈ ]y ¡ �;ÑWâ Ä Ê{ �H¢ ¡ ¢ Î É Ä yÛ ��¢ � �ä��¢ ¡ � Î ]�Ò {

}�~&å��N�Ð� ÑüéÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9�Î���H¢ � Å v �h���>| ¢ v ��� � |g�7ÞÆ �h�Õ�H¢ � éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ] �Ë¢ � �;Ñ Æ Ä âä � ¢ Ñ#Ç ]É �h�Õ� � Î â Ò äÊ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙy �Ë¢ � �;Ñ Æ Ä Ê{ � ¢ ÑrÈËyÛ �h� � � Î ÊÐÒ {Æ ã v �Î���>|M¢ v ��� � |Ì¢ Î É Ä Û

ößÏ×ѶÛ�ÑÓÐ�ÚÂÑêÛ ìJÐÓÞ��:ëcÙÂÚ×ÑêÛ§�ßÏ7ÞèÖ%�:ë�ç�ÑêéøÐZÛ�ÐZÖîÑ�àcÐ�ÒæÖ�Ï×ëcÕÂúcÏ�Ð�Òûì5ëcçîÖ Î ÚÂÑÓÙ�Ö Î ËêÐ�ÒÆàÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�çßÏÂÐN��Ñ Öîë½��ÑWú Î ��ÑÓÙMx Í Õ×ÛíéÂÛ�ë7ë�ù Û�ÕÂÒæÑÓçíù ë�Û�Ë0ÑèÖ�Ï Î ç�ç�ÖîÛ�ÕÂË0Ö�Õ×Û�Ñ v�æÐ�ç�ç�ÕÂì Î ÙÂúQ�Üçuè�éëê¤ì#|WÕ×é�ëcÙ�ÕÂç�x ð ù��:Ñ8éÂÛ�ë���ÑÓÚ\�=Ð�ÙÂÚ � Î Ù,Ö�Ï×Ñ8ç�Ð�ì5ѽ��ëN¿�àÖ�ÏÂÑÓÙ£�:Ñ��:ëcÕÂÒûÚ£��Ñ�Ð#�øÒæÑ�Öîë=ç�Ï×ëN�U�í����¢ � �ßÏ Î Ë�Ï Î çXëcÕ×ÛWéÂÛ�ÑÓì Î çîÑüÐ�ÙÂÚÙÂë�ÖH�ßÏÂÐZÖ��:ÑüÐZÛ�ÑüÐZù ÖîÑêÛrx

Page 9: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ î}�~ªï�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù���� v ��¢Î�.|�ÅQ�£�7Þ

Æ �½� v ��¢h�>| éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ] �½¢h� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙä � ¢ Ñ Ç ]É � � Ñ Æ Ä â Ò â Ä ]�Ò ä

}�~ªð�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù��h� v �Ë� � | Ä ��� ¡�Ä&� � ¡ ÅÔ�h� ¡ �7ÞÆ �Î� v �Ë� � | éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ ��� ¡ éÂÛ�ÑÓì Î çîÑ] � � ¡ éÂÛ�ÑÓì Î çîÑä � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÉ �H� � �;Ñ Æ Ä äÊ � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙy ¡ �;Ñbâ Ä Ê{ � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÛ ¡ �;Ñ ] Ä {Æ ã ¡ � Ñ É Ä Ê�Ò y Ä { ÒÃÛÆ.Æ �Î� ¡ � Î ä ÒÜÆ ã

Page 10: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v�¦ ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ}�~ªñ�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù v �½¢��>| � v �½¢ � |�Å���¢ v �Ë� � |g��Þ

Æ v �Y¢h�>|M� v ��¢ � | éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ ��¢Î� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ] � ¢ Ñ Ç âä � ¢ ÑrÈXâÉ �Ë� � � Î ÇCäÊ ��¢ v �Ë� � | ¢ Î ] Ä Éy ��¢ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ{ � ¢ Ñ#Ç+yÛ � ¢ ÑrÈËyÆ ã �Ë� � � Î È ÛÆ.Æ ��¢ v �Ë� � | ¢ Î { Ä Æ ãÆ â ��¢ v �Ë� � | � Ñ Æ Ä â ÒÃÊ Ä y ÒÜÆ.Æ

¹ ~&�G����� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù������ò��ÐÅÎ���Þ�£�7ÞÆ ���h�ä��� éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ] ��� �� Î âä ���� Í ö Æ Ä ]É � �� Ñ�äÊ �Q�Ñ� � Î â ÒÃÉ

Page 11: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ v�v¹ ~&ó��N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù������Î���Å�� v ��¢Î�.|g��Þ

Æ �������� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ ��� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙ] �½¢h� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙä � ¢ Ñ Ç ]É ô � Ñ�ä Ä âÊ � v ��¢h�>| � Î ]ÐÒÖÉy ��� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙ{ �½¢h� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙÛ � ¢ ÑrÈH{Æ ã ô � Ñ Û Ä yÆ.Æ � v ��¢h�>| � Î { ÒUÆ ãÆ â � v ��¢h�>| � Ñ Æ Ä â ÒÃÊ Ä y ÒÜÆ.Æ

¹ ~&º������ Ñ éÂÛ�ë���ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù���� Ä �Ô�h��Åh�Ô�7ÞÆ ��� éøÛ�ÑÓì Î çîÑâ ����� éøÛ�ÑÓì Î çîÑ] � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙä ô � Ñ ] Ä ÆÉ � ô Ñ�äÊ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙy � � Ñßâ Ä ]�ÒÃÉ Ä ÊÐÒÖÊ

Page 12: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v�� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ¹ ~&���N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9�½�h� Ä ��H� � ÅÔ��� � �7Þ

Æ ���h� éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ ��H� � éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñ] �� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙä ���h� Ë0ë�é7Þ ÆÉ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙÊ ��� � � Î Ç Éy � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ{ ô � Ñ�y Ä ]Û ��� � ô ÑË{Æ ã ��� � � Ñ�ä Ä É�ÒÃÊ Ä y ÒÃÛÆ.Æ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙÆ â ��� � � Î È Æ.ÆÆr] ��� � � Ñßâ Ä ]�ÒÜÆ ã Ä Æ.ÆËÒÜÆ â

Í �øçîÑêÛ7��Ñ�Ï×ë��MÖ�Ï×Ñíù ë�Û�ìJÐZÖ ë�ùPÖ�Ï×ÑíéÂÛ�ë�ë�ùÂÛ�ÕÂÒûÑ�� Ñíù ë�Û�Ë0ÑÓçCÕÂç Öîë ÕÂçîÑ:Ö�Ï×Ñ�Ë0ë�é�ÞÛ�ÕÂÒæÑ Î ù§�SÑüÙÂÑÓçîÖ�Ö%�:ë Ú Î ç,õîÕøÙÂË0Ö Î ëcÙÂç:Ð�çXéÂÛ�ÑÓì Î çîÑÓçÓ�:Ñ��íÐ�Ù�ÖXÖîëJÑÓÒ Î ì Î ÙøÐZÖîÑ.x

¹ ~&¼9�N�Ð� ÑüéÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù��Î� v �Ë� � | Ä �� Ä � � Å�������ÞÆ �Î� v �Ë� � | éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ ��� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑ] � � éÂÛ�ÑÓì Î çîÑä � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÉ �H� � �;Ñ Æ Ä äÊ � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙy ô � Ñ Ê Ä â{ � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÛ ô � ÑË{ Ä ]Æ ã ô � Ñ É Ä Ê�Ò y Ä { ÒÃÛÆ.Æ ��� � Î ä ÒÜÆ ã

Page 13: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ v��¹ ~&Ï>�N�Ð� ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù����Ô¢£���Å�� v �����>|+��Þ

Æ ����¢���� éøÛ�ÑÓì Î çîÑâ ���h� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ] � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙä ��� ¢ Ñ Ç ÆÉ ô � Ñ ] Ä äÊ � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙy �� ¢ ÑrÈ Æ{ ô � Ñ Ê Ä yÛ ô � Ñßâ Ä ]�ÒÃÉ Ä ÊÐÒ {Æ ã � v ���h�>| � Î â ÒÃÛ

¹ ~&¾ �N��� Ñ éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9��¢£���hÅÎ� v � ���>| ¢ v � ���>|g��ÞÆ ��¢���� éÂÛ�ÑÓì Î çîÑâ � ¢ Ñ Ç Æ] ��� ¢ ÑrÈ Æä ô � Ñßâ Ä ]É � v � ���>| ¢ v � ���>| ô Ñ�ä

¹ ~7¶%�N�Ð� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù� v �������>|Å��í�7ÞÆ � v �����Î�.|"éÂÛ�ÑÓì Î ç�Ñâ ��� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ] �����h� � Î Ç âä ô � Ñ ] Ä ÆÉ ���� � Î â Ò äÊ � �� Ñ É

� ë�ÖîÑEÖ�ÏÂÐZÖ5Ò Î Ù×ÑÓç É Ð�ÙÂÚ Ê Ë0ëcÕÂÒûÚÖ��Ñ=Ë0ëcì5éÂÛ�ÑÓç�çîÑÓÚ;Öîë*ëcÙ×ÑEÒ Î Ù×Ñe� Î Ö�Ï�Ö�Ï×ÑÐZéøéøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�ë�ùCÝbòbò�x

öá~&���N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ùwÅ£���h� v �h� v �Î���>|&|+��Þ

Page 14: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v � ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ

Æ ��� Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙâ � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙ] � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙä ô � Ñ ] Ä ÆÉ � ô Ñ�äÊ �h�ä� � Î ]ÐÒÃÉy �h� v �h���>| � Î â ÒÃÊ{ ���h� v �h� v �h�Õ�.|&| � Î Æ�Ò y

� ë�ÖîÑ�Ö�ÏÂÐZÖíÐ�ÒûÒøÖ�ÏÂÛ�ÑêÑWÐ�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙÂç¤÷���ër¿©ÑÓç¶ÐZÛ�ÑWÛ�Ñr��Õ Î Û�ÑÓÚe�7Þ8Ö�ÏÂÑbù ë�Û�ì5ÐZÖ:ë�ùëcÕÂÛ�� Î Û�ÕøÒæÑ.x

öá~7Ý�N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù9�½¢h��Å�� v ���Ô�����.|g��ÞÆ ��¢�� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙâ ���Ô���� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙ] ��� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙä � ¢ Ñ Ç ÆÉ ô � Ñ�ä Ä ]Ê �� Ð�ç�ç�ÕÂì8éøÖ Î ëcÙy � ¢ ÑrÈ Æ{ ô � Ñ�y Ä ÊÛ ô � Ñbâ Ä ]ÐÒÃÉ Ä Ê�Ò {Æ ã � v ���Ô�����.| � Î â ÒÃÛ

Page 15: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ v��öá~&ø§�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù v �Î���>|M� v ��� � |g��Þ

Æ �H����� ù ú#û�û�üâ � Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙ] � Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙä � Ë0ë�é�Þ âÉ �Î��� � Î ]�Ò äÊ v �Î�Õ�>|M� v ��� � | � Î Ç Éy ��� Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙ{ � Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙÛ ô � ÑË{ Ä yÆ ã � ô Ñ ÛÆ.Æ ��� � � Î { ÒUÆ ãÆ â v �Î�Õ�>|M� v ��� � | � Î È Æ.ÆÆr] v �Î�Õ�>|M� v ��� � | � Ñ Æ Ä â ÒÃÊ Ä y ÒÜÆ â

ý ~&�G����� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ùFÅ v&v �����>|����>|� v&v �Q�Ñ�G|��Þ�G|+��ÞÆ v �h���>|��� Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙâ ���Ñ� Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙ] ��� Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙä � Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÉ ô � Ñ�ä Ä ]Ê � ô Ñ Éy �h��� � Î ä ÒFÊ{ � �[Ñ Æ Ä yÛ � �[Ñbâ Ä {Æ ã ô � Ñ Û Ä ]Æ.Æ ���� � Î ]�ÒÜÆ ãÆ â � �� Ñ Æ.ÆÆr] v ���Þ�G|��Ñ� � Î â ÒþÆ âÆ ä v&v �Î���>|����>|� v&v �Q�Ñ�G|��Þ�M| � Î Æ�ÒþÆr]

Page 16: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v�� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µôOÑêÖ ÕÂç ì8ë�Ö Î �ZÐZÖîÑ4çîëcì5ÑØë�ùèÖ�Ï Î ç5éÂÛ�ë�ë�ù�� çJçîÖîÛ�ÐZÖîÑêú Î Ë4Ë�Ï×ë Î Ë0ÑÓç�x ÿ Î Û�çîÖêàíÖ�Ï×Ñë�é�ÑÓÙ Î Ù×ú ë�ùOÐ�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙe��ër¿©ÑÓç Î ÙJÒ Î ÙÂÑÓç Æ Ð�ÙøÚ=â�ÏÂÐ�ç:Ù×ë�Ö�Ï Î Ù×ú�ÖîëaÚÂë�� Î Ö�Ïç�ÖîÛ�ÐZÖîÑêú�Þ � Î Ö Î ç ç Î ì8éPÒæÞbÚ Î Ë0Ö�ÐZÖîÑÓÚQ��ÞèÖ�Ï×Ѷù ë�Û�ì5ÐZÖ ë�ù×Ö�Ï×Ѷù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ��:Ñ�� Î ç�ÏèÖîëéøÛ�ëN��Ñ.x�öXÏ×Ñ Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ�ë�ù��� Î Ù Ò Î Ù×Ñ ] àPÏ×ë��SÑ���ÑêÛÓà Î çXÐJçîÖîÛ�ÐZÖîÑêú Î Ë�ì8ëN��Ñ� Î Ö�Ï,Ö�Ï×Ñ5Ú×ÑÓç Î Û�Ñ�Öîë Ú×ÑêÛ Î ��Ñ ô Î ÙØë�Û�Ú×ÑêÛèÖîëEú�ÑêÖÓ� Î Ù,Ö�Ï×Ñ8ÑÓÙÂÚMx�� Î ì Î Ò ÐZÛ�ÒæÞ�àÖ�ÏÂÑüÐ�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙ�ë�ù�� Î ÙEÒ Î ÙÂÑWä Î çXç�ÕÂË�Ï Ð5çîÖîÛ�ÐZÖîÑêú Î Ë ì8ëN��Ñ��ßÏ Î Ë�Ï�ÖîÛ Î ÑÓçíÖîëÚÂÑêÛ Î ��ÑÓ�h�����bÏ Î Ë�ÏEËêÐ�Ù���Ñ ÕøçîÑÓÚEÖîë5ë.�ÂÖ�Ð Î Ù ô x

ý ~&���N�Ð� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ùFÅ v �Î���>|�� v&v �������>|��Õ�>|g��ÞÆ �h��� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙâ ������� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ] ���Î��� ù ú#ûQû�üä � Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙÉ � �;Ñ Æ Ä äÊ ��� Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙy � �;ÑWâ Ä Ê{ � � Ñ ] Ä ä ÒÃÉ Ä ÊÐÒ yÛ v ���h���>|���� � Î â Ò {Æ ã v �h���>|� v&v ���h���>|���>| � Î ÆHÒÃÛ

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�t��Ev é x@{ Æ |}�~&ó��N� öXÏ×Ñ�éøÐZÛ�çîÑ ÖîÛ�ÑêÑ ë�ù���¢h� Î ç

w y

}�~&���N� öXÏ×Ñ�éøÐZÛ�çîÑ ÖîÛ�ÑêÑ ë�ù���¢ v ���������G| Î ç

Page 17: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ v Ù

x

� �

w

y w

}�~&Ï>�N� öXÏ×ÑèéøÐZÛ�ç�ÑèÖîÛ�ÑêÑ ë�ù�� v&v ��H¢ v �h� � |&|ᢠv � ���>|&| Î ç

Page 18: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v¤à ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ

� x

� x

y

w �

� y

¹ ~&�G��� ößÏ×ÑXÒ Î çîÖ ë�ù����ç�Õ��Âù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç ë�ù�Ö�Ï×Ñ�ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð+�h� v ���Ó� v ����� v �Ó¢Ð�>|&|&|Î ç�������

Page 19: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ v î������¢Î�����Ð� v �Y¢��>|���Ô� v ����� v ��¢h�>|&|�h� v ����� v ����Ð� v ��¢h�>|&|&|¤�

� ë�ÖîÑüÖ�ÏøÐZÖ���2Ð�ÙÂÚí�����ÐZÛ�ÑüÖ%�:ëJÚ Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ7ÖXç�Õ��Âù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç�xöá~&�G��� òWÙEÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑèë�ù Ð2éøÐZÛ�ç�ÑèÖîÛ�ÑêÑ ë�ù Ð2éÂÛ�ë�é�ëcç Î Ö Î ëcÙøÐ�ÒPÒæë�ú Î Ë�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐÔ�ßÏ Î Ë�Ï Î ç

ÐJÙ×ÑêúcÐZÖ Î ëcÙ ë�ù Ð�Ù Î ì8éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙáï

x

w y

öá~&º���� òbÙ[ÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑJë�ùXÐ4éøÐZÛ�ç�ÑJÖîÛ�ÑêÑ=ë�ùXÐØù ë�Û�ìaÕÂÒûÐÎ�bÏ Î Ë�Ï Î çüÐ,Ë0ëcÙ6õ�ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙ�ë�ùË0ëcÙ#õîÕÂÙøË0Ö Î ëcÙÂç Î ç

Page 20: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�Ó¦ ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ

� �

w y �

��~&�G��� ößÏ×ÑèéøÐZÛ�çîÑèÖîÛ�ÑêÑ ë�ù�� v ¡ � v � v �h� v �Ë��� ¡ |&|&|&| Î ç

Page 21: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ ��v

x

x

w

y

ð Ö�çßÒ Î çîÖíë�ù ç�Õ��Âù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�ç Î ç��¡

Page 22: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ� ¡�H��� ¡�h� v �Ë�Î� ¡ |� v �Î� v �Ë�Î� ¡ |&|¡ � v � v �h� v �H��� ¡ |&|&|� v ¡ � v � v �Î� v �H��� ¡ |&|&|&|¤�

ýG� öXÏ×Ñ Òûë�ú Î ËêÐ�Òáù ë�Û�ì�ÕøÒûÐaÛ�ÑêéÂÛ�ÑÓçîÑÓÙ7ÖîÑÓÚ���Þ=Ö�Ï×Ñ éøÐZÛ�ç�ÑèÖîÛ�ÑêÑ Î ÙÎÿ Î úcÕ×Û�Ñ Æ x â�â Î ç� v � v �Ô� v �Ë¢Î���G|&|�� � |¤�

� ~&�G��� ößÏ×ÑèéøÐZÛ�çîÑèÖîÛ�ÑêÑ

ÚÂë7ÑÓçXÙÂë�ÖßË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ�Öîë н�SÑÓÒ Ò��Æù ë�Û�ì8ÑÓÚ�ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð©à��øÕ×Ö Î Ö�çíÑÀ¿©ÖîÑÓÙÂç Î ëcÙ

w

ÚÂë7ÑÓç�x� ~&ó��N� öXÏ×Ñ�éøÐZÛ�çîÑ ÖîÛ�ÑêÑ

w

Page 23: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ �Ó�Î çbé�����ì��&ì��9ç��� Î ÒûÒ��Æù ë�Û�ì8ÑÓÚ � Î x Ñ.xCÐ�Ù�Þ[ÑÀ¿�ÖîÑÓÙÂç Î ëcÙ�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñêë�ùWË0ëcÕÂÒûÚ�Ù×ë�Ö5Ë0ë�Û�Û�Ñ��ç�é�ëcÙøÚ�ÖîëJн�:ÑÓÒûÒ��Æù ë�Û�ì8ÑÓÚ�ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�x v � Ï7Þ/â�|

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�t��Zv é x@{�â>|}/� öXÏ×ÑèÖîÛ�Õ×Ö�ÏEÖ�Ð#�øÒæÑèù ë�Û����½��� Î ç

� � ��� �����h�� � � �� � � �� � � �� � � �

Ð�ÙøÚ ì5ÐZÖ�Ë�ÏÂÑÓçßÖ�Ï×ÑèëcÙÂÑ ù ë�Û�h���Kx¹ ~&�G��� ößÏ×ÑèË0ëcì8éøÒæÑêÖîÑèÖîÛ�ÕÂÖ�Ï Ö�Ð#�PÒæÑèë�ùOÖ�Ï×Ñ�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ v&v �Î���>|��Ñ�M|�Ñ� Î ç:ú Î ��ÑÓÙ

��� � ���� v �h��.|��� v&v �h��>|���G|�� �� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

� ë�ÖîÑüÖ�ÏøÐZÖXÖ�Ï Î çíù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î çÓ�ZÐ�Ò Î ÚEç Î ÙÂË0Ñ Î ÖXÐ�Ò®�íÐÓÞ©çXÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç�Öîë � x¹ ~&º���� öXÏ×Ñeê �"!$#%®ìrç%ìXÖîÛ�Õ×Ö�Ï�Ö�Ð#�øÒæÑèù ë�Û��� v � v �Ë¢ v � ���>|&|&| Î ç

� � � � ��� ��¢ v � �Õ�.| � v �H¢ v � ���>|&| ��� v � v �H¢ v � ���>|&|&|� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �

öá~&�G��� ößÏ×ÑüÛ�Ñr��Õ×ÑÓçîÖîÑÓÚ4ÖîÛ�Õ×Ö�Ï£� Ð�Ò Õ×Ñüë�ùCÖ�Ï×Ñ�ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð Î Ù�ÿ Î úcÕÂÛ�Ñ Æ x Æ ã=ëcÙ4éøÐZú�Ñüä�äË0ëcì5éøÕ×ÖîÑÓÚ Î ÙEÐ���ë�ÖîÖîëcì&��Õ×é ù Ð�ç�Ï Î ëcÙáï

Page 24: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ

x x

� �

''(

'(''

' '

'

(

y

w

w

� y

��~&�G����� Ñ8Ë0ëcì8éPÕ×ÖîÑ�Ö�ÏÂÑ�ÖîÛ�ÕÂÖ�Ï£�ZÐ�ÒûÕ×Ñ�ë�ùM�í� v ���� v �½� �G|&| Î Ù,Ðe��ë�ÖîÖîëcì���Õ×éù Ð�ç�Ï Î ëcÙ�ëcÙ Î Ö�ç�éPÐZÛ�çîÑèÖîÛ�ÑêÑ�ï

Page 25: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ ���

x

� x

' ' (

((

((

'

w

y y w

��~&ó��N� � Î ì Î ÒûÐZÛ�ÒæÞ�à#�:ÑßË0ëcì8éøÕÂÖîÑßÖ�Ï×ÑXÖîÛ�Õ×Ö�ÏY�ZÐ�ÒûÕ×Ñ�ë�ù�� v&v ����¢ v �Î� � |&|�¢ v � �Õ�.|&|Î ÙEн��ë�ÖîÖîëcì���Õ×é ù Ð�ç�Ï Î ëcÙ�ëcÙ Î Ö�çíéøÐZÛ�ç�ÑèÖîÛ�ÑêÑ�ï

Page 26: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�Ó� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ

� x

� x

'

( '

' '( '

'(

(

'

y

w �

� y

ýG� öXÏ×ÑEù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ë�ùWÖ�Ï×Ñ éøÐZÛ�çîÑEÖîÛ�ÑêÑ Î ÙZÿ Î úcÕÂÛ�Ñ Æ x Æ ã*ëcÙ éPÐZú�Ñ ä�ä Î ç8Ù×ë�Öe� Ð�Ò Î Úç Î ÙÂË0Ñ Î ÖaÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ�Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç�Öîë � ù ë�ÛaÐ�Ù7Þ$Ð�ç�ç Î úcì8ÑÓÙ�Ö Î Ùw�ßÏ Î Ë�Ï��;Ð�ÙÂÚÃ�Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ�Öîë � x:ÔbëN�:Ñ���ÑêÛÓà�Ö�Ï Î çXù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î çßç�ÐZÖ Î ç*)PÐ#�øÒæÑ�ïBù ë�ÛßÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ�à Î ù�Ð�ÙøÚ���Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑ�Öîë � Ö�Ï×ÑÓÙ����ä����Û�ÑÓÙÂÚ×ÑêÛ�ç � Ð�ÙÂÚ=çîëaÖ�Ï×ÑbÑÓÙ7Ö Î Û�Ñbù ë�Û�ì�ÕÂÒ ÐÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçßÖîë � x

Page 27: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ � Ù� ~&º������ Ñ éÂÛ�ë���Ñ

Æ È,+ â È,+ ] È,+.-�-�-/+10 È æ 02- v 03+ Æ | - v â 03+ Æ |Ê v Æ x Æ |

ù ë�ÛbÐ�Ò ÒáÙÂÐZÖ�Õ×Û�Ð�ÒáÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç 054 Æ ��Þ=ì5ÐZÖ�ÏÂÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ=ëcÙ 0 xÆ x$6 �87r¼:9Ô�87r¼<; ð ù 0 æ Æ à�Ö�Ï×ÑÓÙ2Ö�Ï×Ñ�ÒæÑêù Ö�ÏÂÐ�ÙÂÚ2ç Î ÚÂѶë�ù v Æ x Æ | Ñr�7ÕÂÐ�Ò ç Æ È�ßÏ Î Ë�Ï Î ç Æ � Ö�Ï×ÑßÛ Î úcÏ�Ö�ÏøÐ�ÙÂÚJç Î Ú×ÑXÑr��ÕÂÐ�Òûç Æ - v Æ + Æ | - v â - Æ + Æ |*= Ê æâ - ] = Ê æ Æ Ð�ç��:ÑÓÒûÒëx öXÏ7ÕøçêàOÑr��ÕÂÐZÖ Î ëcÙ v Æ x Æ |üÏ×ëcÒûÚøç�ù ë�Û�ëcÕ×Û��øÐ�çîÑËêÐ�çîÑ.x

âKx$> Ý��@?�º"A�¶¯ï�¼CBDAN¼FE,;YÍ Õ×Û ¶uÝ��@?�º"A�¶,ã�ÝB��ñGEãHA���¼I7N¶�7 Î ç�Ö�ÏÂÐZÖ v Æ x Æ |Ï×ëcÒûÚøç ù ë�Û 0 x Í Õ×Û�Ö�Ð�çîÜ Î ç=Öîë ÕÂçîÑ�Ö�ÏÂÐZÖ Î Ù×ù ë�Û�ì5ÐZÖ Î ëcÙ#Öîë ç�Ï×ëN�Ö�ÏÂÐZÖ v Æ x Æ |üÐ�Ò çîëØÏ×ëcÒûÚøçèù ë�Û 0J+ Æ x öXÏ×ÑJÒûÑêù Ö�ÏÂÐ�ÙøÚ$ç Î Ú×Ñ8ù ë�Û 0K+ ÆÑr��ÕÂÐ�Òûç Æ È + â È + ] È +L-�-�-M+30 È + v 0$+ Æ | È �ßÏ Î Ë�Ïáà.��ÞaëcÕ×Û Î ÙÂÚÂÕøË0Ö Î ëcÙÏ7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î çêà©Ñr�7ÕÂÐ�Ò ç

02- v 03+ Æ | - v â 0N+ Æ |Ê

+ v 0N+ Æ | È � v Æ x â>|öXÏ×ÑèÛ Î úcÏ�Ö�ÏøÐ�ÙÂÚEç Î Ú×Ñ�ë�ù v Æ x Æ |íù ë�Û 03+ Æ Ñr�7ÕÂÐ�Ò ç

v 03+ Æ | - v&v 03+ Æ | + Æ | - v â v 03+ Æ | + Æ |Ê v Æ x ] |

öXÏ�ÕÂçêà�:ÑØÐZÛ�Ñ ÚÂëcÙ×Ñ Î ùXÖ�Ï×ÑEÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙÂç Î Ù v Æ x â>|5Ð�ÙÂÚ v Æ x ] |8ÐZÛ�ÑÑr��ÕÂÐ�ÒëxõWç Î Ù×ú�ëcÕ×Û Ð�Òæú�Ñ��ÂÛ�Ð$ç�Ü Î Ò Òûç2Ð�Ë��7Õ Î Û�ÑÓÚ Î Ù Ï Î úcÏO��ç�Ë�ÏÂë7ëcÒ àg�SÑçîÑêÑ Ö�ÏøÐZÖH��ë�Ö�ÏEÑÀ¿�éøÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙøçíÑr�7ÕÂÐ�Ò

v 0N+ Æ | - v â 0 È + y 03+ Ê |Ê � v Æ x ä=|

� ~&���N��� ÑØÕÂç�Ñ�ìJÐZÖ�Ï×ÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ;Öîë�ç�Ï×ëN��Ö�ÏøÐZÖJâ/P 4Q0R+ Æ â*ù ë�Û5Ð�ÒûÒÙøÐZÖ�Õ×Û�Ð�ÒBÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç 0C4 ä�x � Ñêù ë�Û�ÑY�:ÑJÚ×ëEÖ�ÏøÐZÖQ�:Ñ Î ÙÂçîé�ÑÓË0ÖÐ�ßÏ×ÑêÖ�ÏÂÑêÛ��SÑË0ëcÕøÒûÚ Î ì8éøÛ�ëN��Ñ5Ö�Ï Î çèçîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Öaç�ëcì8ÑÓÏ×ëN�üï Î ù 0 æ Æ Ä â ë�Û ] Ö�Ï×ÑÓÙ[â P Î çç�ì5Ð�ÒûÒæÑêÛbÖ�ÏÂÐ�Ù 0:+ Æ â � Ñ.x ú�x�â�S æ { Î çbç�ì5Ð�ÒûÒûÑêÛßÖ�ÏÂÐ�Ù ] + Æ â æ ÆrÉ xbößÏ7ÕÂçÓà�:Ñ2ËêÐ�Ù4ëcÙøÒæÞ Ï×ë�é�Ñ Öîë�éÂÛ�ë���Ñ2â/P 4.0N+ Æ âJù ë�Û 0T4 ä � Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çbÙ×ëJÛ�ë7ëcìù ë�Û Î ì8éÂÛ�ë���ÑÓì8ÑÓÙ�Ö�x

Æ x$6 �87r¼U9��87r¼<;ÔÍ Õ×Û��øÐ�çîÑ8ËêÐ�çîÑ5ÒûÑêÖ�ç 0 ��Ñaä�xüöXÏ×ÑÓÙ�â/P æ â/V æ ÆrÊÎ ç�ú�Û�ÑÓÐZÖîÑêÛßë�ÛXÑr��ÕÂÐ�ÒáÖîë5ä + Æ â æ ÆrÊ x

âKx$> Ý��@?�º"A�¶¯ï�¼WBDAN¼FE,;+� ÑèÙ×ÑêÑÓÚ=Öîëaç�Ï×ëN�ÉÖ�ÏÂÐZÖXâ P"X Ç 4 v 0Y+ Æ | + Æ â�à�ßÏ×ÑêÛ�ÑßëcÕ×Û ¶uÝá�Z?�º"A�¶,ã�ÝZ��ñGEãHA���¼I7N¶�7 Ð�ç�ç�ÕÂì8ÑÓçSÖ�ÏÂÐZÖíâ P 4U0Y+ Æ âKxöXÏ�ÕÂçêàâ P�X Ç æ â - â P4 â - v 0N+ Æ â>| �7Þ=ëcÕ×Û Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ�Ï7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î ç

Page 28: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�rà ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µæ [®v 0N+ Æ | + Æ â]\ + v 03+ Æ.Æ |4 v 03+ Æ | + Æ â

úcÕÂÐZÛ�Ð�Ù7ÖîÑêÑÓç�Ö�ÏÂÐZÖ�ëcÕÂÛíËêÒ Ð Î ìzÏ×ëcÒûÚÂçSù ë�Û 0�+ Æ x � ë�ÖîÑèÖ�ÏÂÐZÖíÖ�Ï×Ñ^)øÛ�ç�ÖçîÖîÑêé4ë�ù Ö�Ï Î çXË0ëcì8éøÕÂÖ�ÐZÖ Î ëcÙØÐ�Òûç�ëJÕÂçîÑÓçßÖ�ÏÂÐZÖßìaÕÂÒæÖ Î éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�� Î Ö�Ï Ðé�ëcç Î Ö Î ��ÑèÙ�ÕÂì���ÑêÛ Î ç_!`���<�.ça���Gì0ïcb 4Ud Î ì8éøÒ Î ÑÓç:â - b 4 â -ed x

fM� öXÏ×Ñ�ÿ Î ��ëcÙÂÐ�ËêË Î Ù�ÕÂì���ÑêÛ�ç�ÐZÛ�ÑüÚ×Ñ�)�Ù×ÑÓÚh�7Þg Çihkjmlæ Æg È hkjmlæ Æ

g P"X Ç hkjmlæ g P+ g PIn Ç ù ë�ÛbÐ�ÒûÒ 0R4 âK� v Æ x É |

� Ñ$ÕøçîÑ,ìJÐZÖ�Ï×ÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙøÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙÖîë;éøÛ�ëN��Ñ�Ö�ÏÂÐZÖ g SkP Î ç Ñ���ÑÓÙÉù ë�ÛEÐ�ÒûÒ054 Æ xÆ x$6 �87r¼o9��87r¼<; ÿ×ë�Û 0 æ Æ à�:Ñ=Ë0ëcì8éPÕ×ÖîÑ g Sqp Ç ærg S æQg È + g Ç��Þ v Æ x É |�à��øÕ×ÖíÖ�Ï×ÑüÒ ÐZÖîÖîÑêÛ Î ç�õ�ÕÂçîÖ Æ + Æ æ â��ßÏ Î Ë�Ï Î çíÑ���ÑÓÙMx

âKx$> Ý��@?�º"A�¶¯ï�¼sBDAN¼IEt;ËÍ Õ×Û ¶uÝá�Z?�º"A�¶,ã�Ý���ñGEã8A6�á¼F7N¶�7 Ð�ç�ç�ÕÂì8ÑÓç�Ö�ÏÂÐZÖg SkP ��Ñ�Ñ���ÑÓÙ x � ÑJÙÂÑêÑÓÚ4Öîë ç�Ï×ëN��Ö�ÏÂÐZÖ g SqpvuwP"X Çyx Î çbÑ���ÑÓÙ�Ð�çÐ�SÑÓÒûÒ�xöXÏ Î ç Î ç У� Î ÖèÖîÛ Î Ë�Ü7Þ*Ð�ç��SÑ ÏÂÐr��Ñ=Öîë4Ú×ÑÓË Î Ú×Ñ5ëcÙ\�bÏ×ÑêÛ�Ñ5Öîë,ÐZéÂéøÒæÞÖ�Ï×Ñ Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ��ÑèÚ×Ñ�)�Ù Î Ö Î ëcÙ=ë�ù v Æ x É |�ïg SqpvuwP"X Çyx æ g SkP"XDSæ g u�SkP"X È x X Çæ g SkP"X È

+ g u�SkP�X È x n Ç ��Þ v Æ x É |æ g u�SkP"X Çyx X Ç

+ g SkP"X Çæ v�g SkP"X Ç+ g SkP |

+ g SkP"X Ç ÕÂÙ×ù ëcÒûÚ Î ÙÂú g u�SkP"X Çyx X Ç � Î Ö�Ï v Æ x É |æ â - g SkP"X Ç+ g SkP �

� Î ÙøË0Ñ g SkP Î ç:Ð�ç�ç�ÕÂì8ÑÓÚ�Öîë½��Ñ�Ñ���ÑÓÙØÐ�ÙÂÚ�ç Î ÙÂË0Ñ â - g SkP�X Ç ËêÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞ Î çÑ���ÑÓÙáàK�SÑWË0ëcÙÂËêÒûÕÂÚÂÑXÖ�ÏÂÐZÖ:â - g SkP�X Ç+ g SkP à7Ð�ÙÂÚJÖ�Ï×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ g SqpvuwP"X Çyx àÎ ç�Ñ���ÑÓÙ4Ð�ç��:ÑÓÒûÒëx

� ë�ÖîÑSÖ�ÏÂÐZÖ Î Ö �íÐ�ç Ë0Û�ÕÂË Î Ð�Ò�ÙÂë�ÖOÖîëbÕøÙ×ù ëcÒ Ú g SkP"X Ç Ð�ç��SÑÓÒ Ò � ë�Ö�Ï×ÑêÛ7� Î ç�Ñ�à�:ÑQ�:ëcÕÂÒûÚEë.�ÂÖ�Ð Î ÙEù ëcÕÂÛbç�ÕÂìJì5Ð�ÙÂÚÂçÓ�øÕÂÖßÙ×ë Î ÙøÚÂÕÂË0Ö Î ��Ñ ÐZÛ�úcÕøì8ÑÓÙ�Ö�xv � Ï�Þ/â�|

}IzM� ñ ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛ�Ö�ÏÂÑüÐ�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙ�|{}��ì~�8�O!�� ì�� 0 È + É 03+ Æ ém��ì��#ì��������Y��� 054 Æ�� �

v Ð�| � Ñ,éøÛ�ëN��Ñ�Ö�Ï×Ñ ¶uÝá�Z?áº�A�¶¯ï�¼�7�AN¼FE ë�ù Ö�ÏÂÐZÖEÐ�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙ#Ð�ç=ù ëcÒûÒæëN�bçêïw�SÑ

Page 29: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ � îç Î ì8éøÒûÞ5Ð�ç�ç�ÕÂì8Ñ�Ö�ÏÂÐZÖ 0 È + É 0`+ Æ Î çíÑ���ÑÓÙ Ð�ÙøÚb�:Ñ Ù×ÑêÑÓÚ�Öîë5ç�ÏÂëN� Ö�ÏÂÐZÖv 03+ Æ | È + É v 03+ Æ | + Æ Î çíÖ�Ï×ÑÓÙ Ñ���ÑÓÙØÐ�çH�:ÑÓÒûÒëx � Õ×Ö

v 03+ Æ | È,+ É v 0N+ Æ | + Æ æ v 0 È+ â 03+ Æ | + v É 0N+ É | + Ææ v 0 È + É 03+ Æ | + v â 0N+ Ê |

ì�ÕÂç�ÖH��ÑWÑ���ÑÓÙ4ç Î ÙÂË0Ñ� 0 È + É 0N+ Æ Î çßÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑÓÚ�Öîëe��ÑèÑ���ÑÓÙÈà� â 03+ Ê æ â - v 03+ ] | Î çXÐ�ÒØ�:Ð�Þ�çßÑ���ÑÓÙáà� Ð�ÙÂÚEÖ�Ï×Ñ�ç�ÕÂìzë�ù Ö%�:ëJÑ���ÑÓÙØÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç Î ç�Ñ���ÑÓÙ4ÐZúcÐ Î ÙMx

v �G|=Ôßë��SÑ���ÑêÛÓà×Ö�ÏÂÑ$6 �87r¼L9��87r¼ ù Ð Î ÒûçCÖîëaÏ×ëcÒûÚ8ù ë�Û¶Ö�Ï Î çBÐ�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙ ç Î ÙÂË0Ñ 0 È +É 0N+ Æ æ Æ È + É - Æ + Æ æ Æ + É + Æ æ y Î çíë�ÚÂÚ Î ù 0 æ Æ x

v ËN|EöXÏ7Õøçêà×Ö�Ï×Ñ Ð�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙ Î ç�ù Ð�ÒûçîÑ�à×ù ë�Û Î Ö Î çXç Î ì8éPÒæÞJÙ×ë�Ö�ÖîÛ�ÕÂÑèù ë�Û 0 æ Æ xv Ú�| � Ñ ÕÂçîÑ5ìJÐZÖ�Ï×ÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ4Öîë4ç�Ï×ëN� Ö�ÏÂÐZÖ 0 È + É 0J+ Æ Î ç3�����

ù ë�ÛßÐ�Ò Ò 054 Æ xÆ x$6 �87r¼L9��H7r¼H; ð ù 0 æ Æ à7Ö�Ï×ÑÓÙb�SÑWÏÂÐr��ÑWÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ8Ë0ëcì8éøÕÂÖîÑÓÚJÖ�ÏÂÐZÖ0 È + É 03+ Æ æ y Î çíë©ÚÂÚMxâKx$> Ý��@?�º"A�¶¯ï�¼�BDAN¼IEt;BÍ Õ×Û ¶uÝ��@?�º"A�¶,ã�Ý ��ñGEã8A6�á¼F7N¶�7 Ð�ç�ç�ÕÂì8ÑÓçÖ�ÏÂÐZÖ 0 È + É 03+ Æ Î çíë©ÚÂÚMxBò���ëN��Ñ��:ÑüÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�ÚÂÞ=Ë0ëcì8éPÕ×ÖîÑÓÚv 03+ Æ | È + É v 0N+ Æ | + Æ æTv 0 È + É 03+ Æ | + v â 03+ Ê | v Æ x Ê |

v Ö�Ï Î çOË0ëcì8éøÕÂÖ�ÐZÖ Î ëcÙ Î Ù���ëcÒ®��ÑÓç ëcÙÂÒæÞèÏ Î úcÏO��ç�Ë�ÏÂë7ëcÒcÐ�Òûú�Ñ��ÂÛ�ÐßÐ�ÙøÚüÏÂÐ�çÙ×ë�Ö�Ï Î Ù×ú2ÖîëJÚ×ëY� Î Ö�Ï�é�ëcç�ç Î �øÒûÑ Î ÙøÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ�Ï7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓçîÑÓç |¤x¶öXÏ�ÕÂçêà

v 03+ Æ | È + É v 0N+ Æ | + ÆìaÕÂçîÖ���Ñèë©ÚÂÚáà×ù ë�Û� 0 È + É 03+ Æ Î ç�Ð�ç�ç�Õøì8ÑÓÚEÖîëY��Ñèë©ÚÂÚáà� â 03+ Ê Î ç�Ð�Ò®�íÐÓÞ©çXÑ���ÑÓÙáà� Ð�ÙøÚEÖ�Ï×Ñ ç�ÕÂì�ë�ù Ð�ÙEë©ÚÂÚ Ð�ÙøÚ Ð�ÙEÑ���ÑÓÙØÙ�ÕÂì���ÑêÛ Î çíë�ÚøÚMx

}K¹ ~7º��N��� ÑèéÂÛ�ë���Ñ�Ö�ÏÂÐZÖ�Ö�Ï×Ñ�çîÑr�7ÕÂÑÓÙ�Ö§�h� v �Q� � |�ÅÔ�h� v � ���>| Î çíÙ×ë�ÖÓ� Ð�Ò Î ÚMxõWç Î ÙÂú4çîëcÕÂÙøÚÂÙ×ÑÓç�çüë�ù�ëcÕ×ÛaÙøÐZÖ�Õ×Û�Ð�Ò¶ÚÂÑÓÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ[ËêÐ�ÒûËêÕÂÒûÕÂçQ� Î Ö�Ï�Û�ÑÓçîé�ÑÓË0ÖüÖîëÖ�ÏÂÑaÖîÛ�Õ×Ö�ÏO�ÆÖ�Ð#�øÒæÑ2çîÑÓì5Ð�Ù7Ö Î Ëêçêà Î ÖWç�Õ�� Ë0ÑÓçWÖîë:)PÙÂÚ,Ð�Ù,Ð�ç�ç Î úcÙÂì8ÑÓÙ7ÖWë�ù¶ÖîÛ�Õ×Ö�Ï�ZÐ�ÒûÕ×ÑÓç Öîë�� àH�$Ð�ÙÂÚ � ç�ÕÂË�Ï#Ö�ÏÂÐZÖ��[� v �E� � |aÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç=Öîë � à��øÕÂÖ�í� v � �ò�>|íÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçWÖîë � xXöXÏ×ÑaÒûÐZÖîÖîÑêÛ�ËêÐ�ÙØëcÙÂÒûÞ=ë©ËêËêÕ×Û Î ù�� æ � Ð�ÙÂÚ��� � æ � x2��ë�� æ � æ � Ð�ÙøÚ � æ � Î ç Ö�Ï×Ñ5ëcÙÂÒæÞ�Ë�ÏÂë Î Ë0ÑY�ßÏ Î Ë�Ï$ËêÐ�ÙÚÂÑêù ÑÓÐZÖbÖ�Ï×Ñ�ËêÒûÐ Î ì8ÑÓÚÎ�ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù Ö�Ï Î çßçîÑr��Õ×ÑÓÙ7Ö�x:ÔbëN�:Ñ���ÑêÛÓà�ù ë�ÛbÖ�Ï Î çXË�Ï×ë Î Ë0Ñ�:ÑüÑÓÐ�ç Î ÒæÞEË0ëcì8éøÕ×ÖîÑüÖ�ÏÂÐZÖ�£� v �Ô� � |:Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçbÖîë � Ð�çbÖ�Ï Î çXÐ�ì8ëcÕøÙ�Ö�çÖîë � � v � � � |+�ßÏ Î Ë�ÏEË0ëcì8éPÕ×ÖîÑÓç�Öîë � x

Page 30: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��¦ ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ}=öá~7�G� ôÈÑêÖg�*Ú×ÑÓÙ×ë�ÖîÑß�&ÿ×Û�Ð�ÙÂË0Ñ Î çbÐ Ë0ëcÕÂÙ7ÖîÛ�Þ.x��#Ð�ÙÂÚí�JÚ×ÑÓÙ×ë�ÖîÑß�&ÿ×Û�Ð�ÙÂË0Ñ��:ëcÙØÖ�Ï×Ñ

óSÕ×Û�ë4âZã�ãZä���ë©ËêË0ÑêÛ ñ ÏøÐ�ì8é Î ëcÙÂç�Ï Î éøç�x���ößÏ×ÑÓÙh���í�EÏ×ëcÒûÚÂç Î Ù*Ö�Ï×ÑY�:ë�Û�ÒûÚ�:ÑüËêÕ×Û�Û�ÑÓÙ�Ö�ÒûÞ=Ò Î ��Ñ Î Ùáà��øÕ×Ö§��¢h�2Ú×ë�ÑÓçXÙ×ë�Ö�x

}=öá~7ó� ÔßÑêÛ�ÑWëcÙ×ÑWËêÐ�Ù=Ë�Ï×ë�ëcçîÑbù ë�Û���Ð�ÙÂÚ��èÖ�Ï×ÑWç�Ð�ì8Ñ�ì8ÑÓÐ�Ù Î ÙÂúüÐ�ç Î Ù Î ÖîÑÓì Ær] v Ð�|�ï���[� ��*Ï×ëcÒûÚÂç Ð�ç�� Î ç5ÖîÛ�Õ×Ñ�à��øÕ×Ö����E� ��� Î ç5ù Ð�ÒûçîÑ4Ð�çh�� Î ç8ÖîÛ�Õ×Ñ�bÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�ç���� Î ç�ù Ð�ÒûçîÑ.x

} � ~7ó� öXÏ Î ç¶ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î ç Î ÙÂÚ×ÑêÑÓÚe� Ð�Ò Î ÚMx ö ë8ì5ÐZÜ�Ñ Î Ö¶Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ�Öîë � �:ÑWÙ×ÑêÑÓÚ=Ö�ÏÂÐZÖ��ë�Ö�Ï*Ú Î ç,õîÕøÙÂË0Ö�çWÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ�à Î Ù,éøÐZÛ�Ö Î ËêÕøÒûÐZÛ - �Õ�OàOÏÂÐN��Ñ5ÖîëEÑ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑ8Öîë � xößÏ Î ç��*Ù×ÑêÑÓÚÂçbÖîë=Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ�Öîë � Ð�ÙÂÚß� v �8�ò�.|ßÙ×ÑêÑÓÚÂçbÖîë=Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ�Öîë � x� Õ×ÖßÖ�Ï×ÑüÒûÐZÖîÖîÑêÛßË0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö�çXÖ�ÏÂÐZÖ�� Î ç � x

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�tm�Ãv é x@{>y.|¹G� v Ð�| vu� ëcÙ�ÕÂç¤| � ÑaÏÂÐN��ÑÔ�Ë� v ���½� � |c�[���½� v �Ë� � |,�þ�£� v �Ë� � |�ç Î ÙøË0ÑÔ� Î ç

Ð�ç�çîë©Ë Î ÐZÖ Î ��ÑüÐ�ÙÂÚ Î ì8éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙJËêÐ�ÙÎ��ÑèÚ×ÑÓË0ëcì8é�ëcçîÑÓÚ Î Ù Ö�Ï Î ç+�:Ð�Þ.x�� Î ÙøË0Ñ� Î ç�ÖîÛ�Ð�Ùøç Î Ö Î ��Ñ�à��:ÑüË0ëcÙÂËêÒûÕøÚ×Ñ�Ö�ÏÂÐZÖË�H� v ����� � |��Ö�h� v �Ë� � |¤x

v �G|���¢£� � �Ñ� Î ç�ÙÂë�ÖXÑr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙ�Ö�Öîë��Î�Õ�H� � ç Î ÙÂË0Ñ��H¢�� � � �s�� �h�v ��� � |�ï ù ë�Û:ÒæÑêÖ��èÐ�ÙÂÚ � ��Ñ � Ð�ÙÂÚÐ����Ñ � xCöXÏ×ÑÓÙe��¢Q� � �Ñ��Ë0ëcì8éøÕ×ÖîÑÓç� à/�bÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�ç�h�Õ��� � Ë0ëcì5éøÕ×ÖîÑÓç � x

v ËN| vu� ëcÙ�ÕÂç¤| � Ñ�ÏÂÐN��Ñ���¢�� � ����� � v �Ô¢�� � |M����� v ��������� � |��������� v ���Î� � |��bÏ Î Ë�Ï Î ç2Ö�Ï×Ñ ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î Ù v Ð�|¤xÉöXÏ�ÕÂçêà �£¢F� � � � Î çÑr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙ7ÖWÖîë��ß� �Ð� � x � ë�ÖîÑ8Ö�ÏÂÐZÖ�Ö�Ï Î ç�ì5Ð�Ú×Ñ8ÕÂçîÑaë�ù¶Ö�ÏÂÑ Î Ú×ÑÓÙ�Ö Î Ö�Þ� v�� ¢$�Ó|,� � � �Ð�@�F�ßÏ Î Ë�Ï Î çCç�Ï×ëN�bÙ Î Ù Î ÖîÑÓì Æ ã v Ð�| ë�ù�ó�¿©ÑêÛ�Ë Î çîÑÓç Æ x Ær] x

v Ú�| � Ñ,ÏÂÐN��Ñw����¢Ã� � � �����Õ� v ����¢Ã� � |g�Ã����� v ����Ô�Ö�� � |�����L� ��� v ���Y� � |�Ð�ÙÂÚÈà�Ð�ç Î Ù Ö�ÏÂÑ�éÂÛ�Ñ�� Î ëcÕøç Î ÖîÑÓìEà��SÑ2Ë0ëcÙÂËêÒûÕøÚ×ÑüÖ�ÏÂÐZÖ��H¢�� � �ä��� Î çíÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�Öîë��h���Ë� � x

�á~&��� ¶5� öOë$ç�Ï×ëN� � ¢ v�� �R�/|�� � à��:Ñ Ù×ÑêÑÓÚMÖîë$ç�Ï×ë�� � ¢ v�� �R�/| � � Ð�ÙÂÚ� � � ¢ v�� ����|¤xBö ëWç�ÑêÑ � ¢ v�� �c�/| � � àcÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑSÖ�ÏÂÐZÖ � ¢ v�� ����| Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçÖîë � x2öXÏ×ÑÓÙ � ÏÂÐ�çèÖîëEÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ8Öîë � Ð�ç��:ÑÓÒûÒëx�ö ëØçîÑêÑ � � � ¢ v�� �K��|�àÐ�ç�ç�ÕÂì8Ñ�Ö�ÏÂÐZÖ � Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑÓç8Öîë � x[öXÏ×ÑÓÙ � �5��Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç8Öîë � Ð�ç��SÑÓÒûÒ�xößÏ7ÕÂçÓà � ¢ v�� �N��|íÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓçXÖîë � à×Öîë7ë�x

�á~&¼9� ¶u¶5� ö ë ç�Ï×ë�� � � v �âK��| � v�� �K��|�¢ v�� �2�/|�àOÐ�ç�ç�Õøì8Ñ2Ö�ÏÂÐZÖ � � v �âJ��|Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçßÖîë � x

ñ Ð�çîÑ Æ ï_�©Õ×éÂé�ëcçîÑèÖ�ÏÂÐZÖ � Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑÓçXÖîë � xíöXÏ×ÑÓÙ � �:�ÉÐ�ÙøÚ � �N�EÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ Öîë� x¶ößÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à v�� �N�Ó|ᢠv�� �N��|íÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓçXÖîë � Ð�çH�:ÑÓÒûÒëxñ Ð�çîÑ�â�ï_�©Õ×éÂé�ëcçîÑXÖ�ÏøÐZÖ,��¢Y�8Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç:Öîë � xCöXÏ×ÑÓÙe��ë�Ö�Ï`� Ð�ÙÂÚ��5Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑßÖîë� xCöXÏ�ÕÂçêà � ����Ð�ÙÂÚ � ���8Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑbÖîë � xCöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à v�� ����|�¢ v�� ���/|Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓçXÖîë � x

Page 31: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ �cv� ë�ÖîÑüÖ�ÏøÐZÖXÖ�Ï×ÑÓçîÑ Ö5�Së=ËêÐ�çîÑÓçßÐZÛ�Ñ ÑÀ¿©ÏøÐ�ÕÂçîÖ Î ��Ñ.x v � Ï�Þ/â6|ö ë2ç�Ï×ëN� v�� �Y�Ó|�¢ v�� �Y��| � � � v �΢Y�/|�à×Ð�ç�ç�ÕÂì8ÑbÖ�ÏÂÐZÖ v�� �Y��|�¢ v�� �Y�/|Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçßÖîë � x¶öXÏ×ÑÓÙ � �3�ÉÐ�ÙÂÚ2�\�3��Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ Öîë � x

ñ Ð�çîÑ Æ ï_�©Õ×éÂé�ëcçîÑ8Ö�ÏÂÐZÖ � Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑÓçüÖîë � x=öXÏÂÑÓÙ\�:ÑJË0ëcÙÂËêÒûÕÂÚÂÑ5Ö�ÏÂÐZÖ���Ð�ÙÂÚs�ÏÂÐr��Ñ,Öîë[Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ4Öîë � x öXÏ�ÕÂçêà��U¢5�MÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç Öîë � x!öXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à� � v �\¢3�/|:Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçßÖîë � xñ Ð�çîÑ�â�ï_�©Õ×éÂé�ëcçîÑWÖ�ÏÂÐZÖ � Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçXÖîë � xBöXÏÂÑÓÙ � � v �ߢ&�/|SÑ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑÓçíÖîë � Ð�ç�SÑÓÒûÒ�x

�á~&¾ � ¶u¶%� ö ë8ç�Ï×ë�� � v�� ���Ó| � � � ¢e�Z�ßà×Ð�ç�ç�ÕÂì5ÑbÖ�ÏÂÐZÖË� v�� �&�Ó|¶Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçíÖîë � xößÏ×ÑÓÙ � �`�Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçíÖîë � xBöXÏ�ÕÂçêà � Ð�ÙøÚ:� Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑèÖîë � xt�©ëY� � Ð�ÙÂÚ�Z�#Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ Öîë � xBöXÏÂÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à�� � ¢Î�@�VÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓçXÖîë � Ð�çH�:ÑÓÒûÒëxö ë�ç�Ï×ëN� � � ¢í�@� � � v�� �N�Ó|�àáÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑüÖ�ÏøÐZÖÐ� � ¢í�@�ÉÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓçbÖîë � xößÏ×ÑÓÙ8� � Ð�ÙÂÚ8�@�ÉÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑaÖîë � xXöXÏ�ÕÂçêà � Ð�ÙÂÚK�ÉÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑaÖîë � xXöXÏ Î çÑÓÙ7Ö�Ð Î ÒûçíÖ�ÏøÐZÖ � ���Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑüÖîë � xBöXÏÂÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à�� v�� �3��|SÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓç�Öîë � x

� ~&�G��� ößÏ×Ñèù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð � Ç Î Ù ñ � ÿÖ�ßÏ Î Ë�Ïh�:ÑüË0ëcÙÂçîÖîÛ�ÕÂË0ÖXù Û�ëcì�Ö�Ï×ÑèÖîÛ�ÕÂÖ�ÏEÖ�Ð#�øÒæÑ� � � Ç� � �� � �� � �� � �

Î çv ���Ô�£��>|M¢ v ������>|M¢ v �����h�>|¤�

� ë�ÖîÑØÏ×ë���Ö�Ï×ÑÓçîÑEéøÛ Î ÙÂË Î éPÐ�Ò¶Ë0ëcÙ6õ�ÕÂÙÂË0Ö�ç8Ë0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ;Öîë*Ö�Ï×Ñ Ò Î Ù×ÑÓç Î Ù;Ö�Ï×ÑÖ�Ð#�PÒæÑ Ð#��ëN��Ñ�à+�ßÏ×ÑêÛ�Ñ�Ö�Ï×Ñ � Ç ÑÓÙ�ÖîÛ�Þ Î ç � ï Ñ.x ú�x¶Ö�Ï×ÑEÖ�Ï Î Û�Ú;Ò Î ÙÂÑ �����.���Û�ÑÓç�ÕÂÒæÖ�ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ Ë0ëcÙ6õ�ÕÂÙÂË0Ö v �����Î�.|¤x� ~&ó��N� öXÏ×Ñ�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ � È Î Ù ñ � ÿÖ�øÐ�çîÑÓÚEëcÙØÖ�Ï×ÑèÖîÛ�Õ×Ö�ÏEÖ�Ð#�PÒæÑ

� � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �

Page 32: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µÎ çv �����Y��� � |�¢ v ���Ð�����Y� � |�¢ v ���Ð���� � |�¢ v ���Y��� � |�¢ v ���½��� � |¤�ð ÙÂË Î ÚÂÑÓÙ�Ö�Ð�ÒûÒûÞ�à Î ùÂÞ�ëcÕ5ÐZÛ�Ñ�Ù×ë�ÖBç�ÕÂÛ�Ñ:Ð#��ëcÕ×Ö�ßÏÂÑêÖ�Ï×ÑêÛ Þ�ëcÕ×ÛBÐ�ÙÂç&�:ÑêÛ Î ç Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0ÖÞ�ëcÕ;ËêÐ�Ù;Ð�ÒûçîëØÖîÛ�Þ,Öîëí��ÑêÛ Î ù Þ Î ÖQ��Þ�ÑÓÙÂç�Õ×Û Î Ù×úEÖ�ÏÂÐZÖüÞ�ëcÕÂÛ�Ð�ÙÂç&�:ÑêÛ2ÏÂÐ�ç Ö�Ï×Ñç�Ð�ì8Ñ ÖîÛ�Õ×Ö�Ï Ö�Ð#�øÒæÑ Ð�çXÖ�ÏÂÑ Ð#��ë���Ñ.x

fM��� ÑÐ�XÛ Î ÖîÑbéøçîÑÓÕÂÚÂë���Ë0ë�Ú×Ñbù ë�Û�Ð�Û�ÑÓËêÕ×Û�ç Î ��Ñßù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙJ�e O¡F¢ �|£O¤I¤ �ßÏ Î Ë�Ï ÑÀ¿�é�ÑÓË0Ö�çÐ v éøÐZÛ�çîÑ8ÖîÛ�ÑêÑJë�ù:Ð�|WéøÛ�ë�é�ëcç Î Ö Î ëcÙÂÐ�Ò ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�Ð�ç Î ÙÂéøÕ×Ö�Ð�ÙÂÚ�éÂÛ�ë©ÚÂÕÂË0ÑÓçèÐ�ÙÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Öíù ë�Û�ìaÕÂÒûÐaÐ�ç�ëcÕ×ÖîéPÕ×Ö�ç�ÕÂË�Ï=Ö�ÏÂÐZÖ�Ö�ÏÂÑWÛ�ÑÓç�ÕÂÒæÖ�Ë0ëcÙ7Ö�Ð Î ÙÂç�Ù×ë Î ì8éPÒ Î �ËêÐZÖ Î ëcÙÂç�xW� Î ÙÂË0Ñ5ëcÕ×ÛaÒæë�ú Î ËJÏøÐ�ç�)9��Ñ=ÚÂÐZÖ�Ð,Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�ÕÂË0Öîë�Û�ç v�æ )9��Ñe�íÐÓÞ©çaë�ù�PÕ Î ÒûÚ Î Ù×úJÐ�ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�|�àOÙÂÐ�ì8ÑÓÒûÞ4ÐZÖîëcì5çêà Ù×ÑêúcÐZÖ Î ëcÙáà Ë0ëcÙ6õîÕøÙÂË0Ö Î ëcÙáàÈÚ Î ç,õîÕøÙÂËq�Ö Î ëcÙáà�Ð�ÙÂÚ Î ì8éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙáàr�:Ñ:ÏÂÐN��ÑíÖîëWË0ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛG)���Ñ:ËêÐ�çîÑÓçrx Í ÙÂÒæÞ Î Ù Ö�ÏÂÑSËêÐ�çîÑë�ù Î ì5éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�Ú×ë½�:ÑüÏÂÐN��Ñ ÖîëJÚ×ëe�Së�Û�Ü���ÑêÞ�ëcÙÂÚ ì8ÑêÛ�Ñ���ë�ë�ÜI�ÆÜ�ÑêÑêé Î Ù×ú×ï

Ï¥?�Ý�º"A�¶,ã�Ý �] O¡I¢ �I£F¤F¤ v�� |:ï÷|¦aË0ëcì8éøÕ×ÖîÑÓçbÐ8ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð�� Î Ö�Ï×ëcÕ×Ö Î ì5éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�Ö�Öîë � ¦6÷ó�¼=¾�¶,ÝÖÏ¥?�Ý�º"A�¶,ã�ݺ>�87r¼

� Î çXÐ�Ù ÐZÖîëcìØï å�¼IA]?�å6Ý �� Î ç�� � Çêï å6¼|A]?�å#Ý �c�] O¡I¢ �I£F¤F¤ v�� Ç |� Î ç � Ç ¢ � ÈZï å�¼IA]?�å6Ý �] F¡F¢ �|£O¤I¤ v�� Ç |M¢W�] F¡F¢ �|£O¤F¤ v�� ÈN|� Î ç � Ç � � ÈZï å�¼IA]?�å6Ý �] F¡F¢ �|£O¤I¤ v�� Ç |M�W�] F¡F¢ �|£O¤F¤ v�� ÈN|� Î ç � Ç � � È ï å�¼IA]?�å6Ý �] F¡F¢ �|£O¤F¤ v � � Ç � � Èr|

¼KÝ��ú��87r¼¼�Ý��ÃÏ¥?�Ý�º"A�¶,ã�Ý

ößÏ×ÑêÛ�ÑSÐZÛ�Ñ+��Õ Î ÖîÑ:Ðßù Ñ��[ë�Ö�ÏÂÑêÛ ç�ëcÒûÕ×Ö Î ëcÙÂçOé�ëcç�ç Î �øÒûÑ.xáÿ×ë�Û ÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑ�à#�SÑíË0ëcÕÂÒûÚÏøÐr��Ñüë�éøÖ Î ì Î�§ ÑÓÚ�Ö�Ï Î ç�Ë0ë�Ú×Ñ Î Ù�Ö�Ï×ÑüÒûÐ�ç�ÖXËêÐ�çîÑ���Þ�ç�ÐÓÞ Î Ù×ú

å6¼IA]?áå#Ý � v �e O¡F¢ �|£O¤I¤ � Ç |á� v �e O¡F¢ �|£O¤I¤ � È |�bÏ Î Ë�Ï��:ëcÕÂÒûÚ=ç�Ðr��Ñ Õøç:Ð2Ë0ëcÕ×éPÒæÑbë�ù Ë0ëcì8éøÕ×Ö�ÐZÖ Î ëcÙEçîÖîÑêéøç�xÿÂÕÂÛ�Ö�Ï×ÑêÛ�ì8ë�Û�Ñ�à Î ÖÎ ç¶é�ëcç�ç Î �øÒæÑXÖîëaëN��ÑêÛ�Ò ÐZéEÖ�Ï×ÑbéPÐZÖîÖîÑêÛ�ÙÂç:ë�ùÈÖ�Ï×Ѩ)øÛ�çîÖSÖ%�:ë8ËêÐ�çîÑÓçÓ�7ÞJÛ�ÑêÖ�Õ×Û�Ù Î Ù×ú� Î ù � Î ç5Ð�Ò Î ÖîÑêÛ�Ð�Ò Î Ù Ö�Ï×ÑK)øÛ�çîÖJËêÒûÐ�ÕÂç�Ñ.x � ë�Ö Î Ë0Ñ�Ï×ëN��Ö�Ï×ÑØÖ5�Së�ËêÒûÐ�ÕÂçîÑÓçÐZú�Û�ÑêÑ Î Ù�Ö�Ï Î ç�ËêÐ�çîÑ.x3�×ÕÂË�Ï*Ð�éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ì Î ÙÂú�ç�Ö�Þ©ÒæÑ�à �ßÏ Î ÒæÑaË0ë�Û�Û�ÑÓË0Öêà Î ÖèÙ×ë�ÖÛ�ÑÓË0ëcì5ì8ÑÓÙÂÚ×ÑÓÚØÐ�ç Î ÖXì5ÐZÜ�ÑÓç Î ÖXÏÂÐZÛ�ÚÂÑêÛ�ÖîëJÛ�ÑÓÐ�Ú ç�ëcì8Ñ���ë�Ú×Þ ÑÓÒûçîÑ.� çXË0ë©Ú×Ñ.x

©M��� Ñ ÕøçîÑ5ëcÕ×ÛaÐ�Òæú�ë�Û Î Ö�ÏÂìª�e O¡I¢ �I£O¤I¤ Öîë�ú�ÑêÖ�Ï×ÑêÛ�� Î Ö�Ï�Ö�Ï×Ñ ù ÕøÙÂË0Ö Î ëcÙÂç�«F« � Ð�ÙÂÚ¬ « � ÖîëVË0ëcì8éPÕ×ÖîÑ ¬ « � v «I« � v �e O¡I¢ �I£O¤I¤ � |&|�àQ�ßÏÂÑêÛ�Ñ � Î çØÖ�Ï×Ñ[ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð

Page 33: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µ ���� v �h� v � v �¢ v ���Î���>|&|&|&|¤x ð ÙJÖ�Ï×ÑßçîëcÒ Õ×Ö Î ëcÙ½��ÑÓÒæë��Ü�:ÑbçîÜ Î éÂé�ÑÓÚ8çîëcì8Ñbë�ùÖ�ÏÂÑèë.�=� Î ëcÕÂçXÐ�ÙøÚ�ÖîÑÓÚ Î ëcÕÂç Î Ù7ÖîÑêÛ�ì8ÑÓÚ Î ÐZÖîÑ Ë0ëcì8éøÕ×Ö�ÐZÖ Î ëcÙ çîÖîÑêéøç�xBÝßÑÓì8ëN� Î Ù×úÐ�Ò Ò Î ì8éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙÂçSÛ�ÑÓç�ÕÂÒûÖ�ç Î Ùáï

�e O¡I¢ �I£O¤I¤ � æ �c�] F¡F¢ �|£O¤I¤ v �Î� v � v ��¢ v ���h���>|&|&|&|æ � v ���Ô�W�] O¡I¢ �I£F¤F¤ v � v ��¢ v ���h���>|&|&|&|æ � v ���Ô��� v ��¢R�e O¡I¢ �I£O¤I¤ v ���h���>|&|&|æ � v ���Ô��� v ��¢ v ��������>|&|&|

ñ ëcì8éøÕ×Ö Î ÙÂúaÖ�ÏÂÑüË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î Ù×ú2Ù×ÑêúcÐZÖ Î ëcÙØÙÂë�Û�ì5Ð�Òæù ë�Û�ìzÞ Î ÑÓÒûÚÂçêï«F« � � v ���Ô��� v �H¢ v ����Ô�Î�.|&|&| æ v «F« � ����G|G¢ v «F« � �� v �Ó¢ v �����Ô�h�>|&|&|

æ v «F« � �G|M¢ v «F« � v �Ë¢ v ������Î�.|&|&|æ ��¢ v �H¢ v «F« � v ����½�h�>|&|&|æ ��¢ v �H¢ v&v «F« � ����G|G� v «I« � �.|&|&|æ ��¢ v �H¢ v �½�h�>|&|æ ��¢h�H¢ v �Y�h�>|

�bÏ Î Ë�Ï Î çíÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ Î Ù�Ë0ëcÙ6õ�ÕÂÙÂË0Ö Î ��ÑèÙ×ë�Û�ì5Ð�Òæù ë�Û�ì ç�ëÔ�:Ñ��:ëcÙM� Ö�ÏÂÐr��ÑèÖîë5ËêÐ�ÒûÒ¬ « � Ð�Ù7Þ©ì8ë�Û�Ñ.x � ë�Ö Î Ë0Ñ4Ö�ÏøÐZÖJÖ�Ï Î ç5ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î ç5Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö5Öîë�Ö�Ï×Ñ ñ � ÿ�½¢h�Kx

}Ký ~7�G� öXÏ×Ñ�ì5ÐZÛ�Ü Î ÙÂúbÐ�Òæú�ë�Û Î Ö�ÏÂì­)øÛ�çîÖ ì5ÐZÛ�Ü©ç � à>��àcÐ�ÙÂÚ~®8Ö�Ï×Û�ëcÕÂúcÏaËêÒ Ð�ÕÂçîÑÓç ë�ùøÖ�Ï×Ñù ë�Û�ì°¯ � - x öXÏ×ÑÓÙ Î ÖWìJÐZÛ�Ü�çg�$Ö�Ï×Û�ëcÕ×úcÏ4ËêÒ Ð�ÕÂçîÑ � � �$Ð�ÙÂÚ ¡ Ö�Ï×Û�ëcÕ×úcÏËêÒ Ð�ÕÂçîÑ�®£� ¡ xíößÏ×Ñ�±�Ù×Ñ���ÑêÛWú�ÑêÖ�çWìJÐZÛ�Ü�ÑÓÚ4Ð�ÙøÚØçîëQ�½¢h�Ë¢2± ËêÐ�Ù,Ù×Ñ���ÑêÛÖîÛ Î ú�ú�ÑêÛ5Ð*ì5ÐZÛ�Ü Î Ù×ú,ù ë�Û ô x�öXÏ�ÕÂçaÖ�Ï×ÑEÐ�Òæú�ë�Û Î Ö�ÏÂì Ú×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù×ÑÓçaÖ�ÏÂÐZÖ8Ö�Ï×Ñù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î ç�ç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒûÑ.x

}Ký ~7¾M�N� òbéÂéøÒæÞ Î Ù×úØÖ�Ï×ÑEì5ÐZÛ�Ü Î Ù×ú�Ð�Òæú�ë�Û Î Ö�ÏÂì@Öîë v ¯ � �>|¢ v ¯ � ¡ |�¢ v ± �ô |ᢠv �Y¢��Ë¢ ¡ � ô |ᢠv�² � ¡ |ᢠv ¯T� � |ᢠv � � �G|�à Î Öbì5ÐZÛ�Ü©ç��7à ¡ àÐ�ÙøÚ � Î ÙJÖ�Ï×ѳ)PÛ�çîÖ Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ5ë�ùáÖ�Ï×Ñ��ßÏ Î ÒûÑ���Òæë7ë�éáx ð Ù5Ö�Ï×ÑWçîÑÓË0ëcÙÂÚ Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙáà�[ú�ÑêÖ�ç ì5ÐZÛ�Ü�ÑÓÚ$Ð�ÙøÚ Î Ù,Ö�Ï×Ñ2Ö�Ï Î Û�Ú Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ*Ð�Ù Î ÙÂË0ëcÙÂç Î çîÖîÑÓÙÂË0Þ Î çbù ëcÕÂÙÂÚÈïv �b¢£��¢ ¡ � ô | Î ç�Ð�ç�Õ��Âù ë�Û�ìaÕÂÒûÐJë�ù¶Ö�Ï×Ñ2ë�Û Î ú Î ÙÂÐ�Ò ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ=Ð�ÙÂÚb�Oà ��à ¡ÐZÛ�ÑüÐ�ÒûÒáì5ÐZÛ�Ü�ÑÓÚ x¶öXÏ�ÕÂçêà×Ö�Ï×Ñ Ôbë�Û�ÙEù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î ç�Ù×ë�Öbç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�PÒæÑ.x

} � � vu� ëcÙ�ÕÂç¤| � ë�ÖîÑ�Ö�ÏÂÐZÖBÔbë�Û�Ù2ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�çCÐZÛ�Ñ�Ð�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ�ë�ùPÖ�ÏÂÑ:ù ë�Û�ì´� Ç ¢³��È�¢Q������¢�Zµ�à9�ßÏ×ÑêÛ�ÑüÑÓÐ�Ë�ÏL�Z¶ Î ç�ë�ùCÖ�ÏÂÑüù ë�Û�ìT� Ç ¢���È�¢ß�����.¢Ô�H¶¸·�����¶'x � ÑaÜ©Ù×ëN�Ö�ÏøÐZÖ�Ö�Ï×ÑWÒ ÐZÖîÖîÑêÛ�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î ç:Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�ÖSÖîëb� v � Ç ¢���Èá¢h�����r¢��<¶ · |9�Y��¶�à Î x Ñ.xÎ Ö Î çíÑr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙ7ÖíÖîëb��� Ç ����� È �£�������h��� ¶ ·�b� ¶ xSöXÏ7Õøçêà��SÑ ì5Ð�Þ=Ë0ëcÙ=��ÑêÛ�ÖÐ�Ù7Þ*Ôßë�Û�Ù�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ Î Ù�ÖîëEÐ ñ � ÿ��ßÏ×ÑêÛ�Ñ2ÑÓÐ�Ë�Ï�Ë0ëcÙ6õ�ÕÂË0Ö Î ëcÙ$ËêÒ Ð�ÕÂçîÑ5ÏÂÐ�çèÐZÖ

Page 34: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � ¥§¦5¨ª©>¨�«&¬®­¯¬°¨r±K²�³�³z¨'´r¬°µì5ëcçîÖCëcÙ×Ñíé�ëcç Î Ö Î ��ÑíÒ Î ÖîÑêÛ�Ð�Ò Î Ù Î Ö�x � ë�ÖîÑ�Ö�ÏÂÐZÖCÖ�Ï Î ç Ð�ÒûçîëèË0ë���ÑêÛ�çBçîëcì8ÑXç�é�ÑÓË Î Ð�ÒËêÐ�ç�ÑÓçbç�ÕøË�Ï Ð�稯 ����� �¯Z�h��� ô �h��� �Kx

k�l m9nGo�p,qrm�qhs�t�¹Ev é x Û ã�|¹G�Ð� Ñ Î ÒûÒûÕÂçîÖîÛ�ÐZÖîÑbÖ�Ï×Ñ�ÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�çXù ë�Ûßçîëcì8Ñüë�ù Ö�Ï×ÑÓç�Ñ Û�ÕÂÒæÑÓçrx

º ÿ×ë�Û�ÑÀ¿©Ð�ì8éPÒæÑ�à Î ù ÐÖ¢@��Ù×ë�ÚÂÑ4ÏÂÐ�ç Öîë[Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ,Öîë � Î Ù ë�Û�Ú×ÑêÛ=ù ë�Û Ö�Ï×ÑëN��ÑêÛ�Ð�ÒûÒ ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ8Öîëe��Ñüç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒûÑ�àÂÖ�Ï×ÑÓÙí��ë�Ö�Ï Î Ö�çßÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�çbÏÂÐN��ÑüÖîëÑ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ Öîë � Î ÙEë�Û�Ú×ÑêÛ�ù ë�ÛßÖ�ÏÂÑèëN��ÑêÛ�Ð�ÒûÒOù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð�Öîëe��Ñ ç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒûÑ.x

º ð ù���ë�Ö�Ï;ÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�ç2ÏÂÐr��Ñ=Öîë�Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑ Öîë � Î Ù$ë�Û�Ú×ÑêÛ�ù ë�ÛaÖ�Ï×Ñ ë���ÑêÛ�Ð�ÒûÒù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ ÖîëÎ��Ñaç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒûÑ�àPÖ�Ï×ÑÓÙ,Ö�Ï×Ñe¢���ÙÂë�Ú×Ñ2Ù×ÑêÑÓÚÂçWÖîëEÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ2Öîë �Ð�çH�:ÑÓÒûÒ�ù ë�ÛßÖ�Ï×Ñ ëN��ÑêÛ�Ð�ÒûÒÈù ë�Û�ìaÕÂÒûÐaÖîëY��Ñ ç�ÐZÖ Î çk)�Ð#�øÒæÑ.x

º ð ùÓ�:ÑJÜ©Ù×ëN� Ö�ÏÂÐZÖüÖ�Ï×ÑJëN��ÑêÛ�Ð�ÒûÒ¶ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð ËêÐ�Ù$ëcÙÂÒûÞ8��Ñ5ç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒæÑ Î ù:Ð�Ù¢���Ù×ë©Ú×ÑEÑ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑÓçJÖîë � Ð�ÙøÚMëcÙ×Ñ ë�ù Î Ö�ç5ÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�ç5Ñ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓç Öîë � àÖ�Ï×ÑÓÙY�:ÑßÜ©Ù×ëN�VÖ�ÏÂÐZÖSÖ�Ï×Ñßë���ÑêÛ�Ð�ÒûÒPù ë�Û�ìaÕÂÒûÐèËêÐ�Ù ëcÙÂÒæÞ���Ñßç�ÐZÖ Î çk)PÐ#�øÒæÑ Î ù�Ð�ÒûÒÖ�Ï Î ç Î çíÖîÛ�Õ×Ñ Ð�ÙÂÚEÖ�Ï×Ñèë�Ö�ÏÂÑêÛbÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�ÖXÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçßÖîë � x

º óBÖ�Ë#x� � öXÏ×ÑêÛ�ÑbÐZÛ�Ñ�ì5Ð�Ù7Þ5Ñr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙ�Ö ÷ ò$»�çíëcÙ×Ñ�Ë0ëcÕÂÒûÚ=Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�ÕøË0Ö¶ù ë�Û:Ö�Ï Î ç�x � Ñ�Ë�Ï×ëcçîÑ

Ð�çEÐ[ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐE� v&v �£�Ö�>|Ó¢ v � � � |�� � |Y�ßÏ Î Ë�Ï#ËêÐ�Ù���Ñ,ÖîÛ�Ð�ÙÂç�ÒûÐZÖîÑÓÚÐ�çÎ� v ����¢Ã���.|+¢ v � v ��¢Ö� � |�¢Ö� � | Î Ù7Öîë$Ö�Ï×ÑR�©òCö�çîëcÒØ��ÑêÛr� çJÐ�Ú×Ñr��ÕÂÐZÖîÑù Û�ÐZúcì8ÑÓÙ7Ö�x Í Ù×ÑaËêÐ�Ù�Ö�ÏÂÑÓÙ,ÚÂÛ�Ðr��Ö�Ï×Ñ2Ë0ë�Û�Û�ÑÓç�é�ëcÙøÚ Î Ù×ú ÷ ò$»�Ð�ÙÂÚ8� Î ÒûÒOçîÑêÑÖ�ÏøÐZÖSÖ�Ï×ÑWÒ Î Ù×ÑÓÐZÛ��©òCöçîëcÒØ��ÑêÛ:Ë0ëcì8éPÕ×ÖîÑÓçSÐ�ç�ÐZÖ Î çk)�Ð#�øÒ Î Ö�Þ�� Î Ö�Ù×ÑÓç�çBù ë�Û��bÏ Î Ë�Ï�,Ð�ÙÂÚ � Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖîÑ Öîë � Ð�ÙÂÚ��aÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçXÖîë � x

}9}9� ò çîÑÓì Î �Æù ë�Û�ì5Ð�Ò ÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�ÖèË0ëcÕÂÒûÚ,ú�ëEÒ Î Ü�ÑaÖ�Ï Î çÓïXÖ�Ï×Ñ2Ò Î Ù×ÑÓÐZÛ�çîëcÒ®��ÑêÛ�� Î ÒûÒÈË0ëcì��éPÕ×ÖîÑ:Ð�Ò Ò�Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Ö�ç Î Ö ËêÐ�Ù Î Ù×ù ÑêÛ ù Û�ëcì�Ö�Ï×ÑíËêÕ×Û�Û�ÑÓÙ�Ö é�ÑêÛ�ì5Ð�Ù×ÑÓÙ7Ö ì5ÐZÛ�Ü Î Ù×úcçç�ë Ö�Ï×Ñ�ë�Û�Ú×ÑêÛWë�ùCÑ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖ Î ëcÙí�SëcÙM� Ö�ì5ÐZÖîÖîÑêÛ�ù ë�Û Î ÖWÐ�çbÐ�Ò Ò Ë0ëcÙÂç�ÖîÛ�Ð Î Ù7Ö�çË� Î ÒûÒ��ÑWù ëcÕøÙÂÚ Ð�ÙøÚ=ç�ë Î Ö+� Î Ò ÒÂÐ�Ò®�íÐÓÞ©ç�Ú×ÑêÖîÑÓË0ÖXÐ�Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙ Î ùÈéÂÛ�ÑÓç�ÑÓÙ�Ö�xBöXÏÂÑËêÕ/� Î Ëüç�ëcÒ®��ÑêÛèì5ÐÓÞ ÖîÑÓç�Ö�ÙÂë�Ú×ÑÓç Î Ù,Ð Ú Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ�Öbë�Û�Ú×ÑêÛ��øÕ×Ö Î ù³���8� ÖîÑÓçîÖèË0Û�Ñ��ÐZÖîÑÓç�Ð;Ù×Ñ���é�ÑêÛ�ìJÐ�Ù×ÑÓÙ�Ö=Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Öêà�Ö�Ï×Ñ,ËêÕ�� Î ËØçîëcÒ®��ÑêÛ�� Î ÒûÒíÖîÑÓçîÖ�ÐZúcÐ Î ÙÐ�Ò ÒBÕÂÙÂË0ëcÙÂç�ÖîÛ�Ð Î Ù×ÑÓÚ$ÙÂë�ÖîÑÓçüçîë Ö�ÏÂÑ çîÑêÖ ë�ùXË0ëcÙøçîÖîÛ�Ð Î Ù7Ö�çüËêÐ�Ù�ëcÙÂÒæÞ Î ÙÂË0Û�ÑÓÐ�çîÑ.xÍ ë�Û�Ñêë���ÑêÛÓà¶Ð Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙ$ù ëcÕÂÙÂÚw��Þ*ÖîÑÓçîÖ Î Ù×ú Î Ù$çîëcì8Ñ ë�Û�Ú×ÑêÛ�� Î ÒûÒ Ð�Òûçîë��ÑWù ëcÕøÙÂÚ��7Þ5ÖîÑÓç�Ö Î Ù×ú Î Ù�çîëcì8Ñ�ë�Ö�Ï×ÑêÛ�ë�Û�ÚÂÑêÛíÐ�çíÖ�ÏÂÑWÑ���ÑÓÙ7Ö�ÕÂÐ�ÒáÚ Î ç�Ë0ëN��ÑêÛ�Þ ë�ùË0ëcÙøçîÖîÛ�Ð Î Ù7Ö�ç Î ç Î ÙøÚ×Ñêé�ÑÓÙÂÚ×ÑÓÙ7ÖCë�ùÈÖ�Ï×Ñßë�Û�Ú×ÑêÛSë�ùáÖîÑÓç�Ö�çg��Þ5Ö�Ï×ÑWÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7ÖáõîÕÂç�ÖìJÐ�Ú×Ñ.x

Page 35: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¼_F` ��½�c7jd��� f7��iHc7j

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�tuswv é x ÆrÉ y.|}/� v Ð�|N¾<b v�¿ev bM|�ÁÀ v�Â Ä bG|&|

v ��|KÃFb v�¿ev bG| ¢2À v b Ä Â |&|v ËN|:À v�Â Ä Â |v Ú�|�¾<b vaÄ�v bG|� v à d v�Å�v d |&¢��ZÆ v b Ä d |&|&|&|�à ë�Û�à�Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�Ö�ÒûÞ�à#�ÃFb vaÄ�v bG|&¢

¾ d v�Å�v d |��ÇÆ v b Ä d |&|&|¤xv Ñ�|�¾<b v�Å�v bG|��ªÃ d vaÄ�v d |M¢£�ZÆ v d Ä bM|&|&|�àÂë�ÛÓàÂÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�ÒæÞ�à

�à d v�Å�v d |M¢�¾<b vaÄ�v bG|��ÁÆ v b Ä d |&|&|¤xv ù¤|�¾<b v�Å�v bG|��Ⱦ d vaÄ�v d |��ò�ZÆ v d Ä bM|&|&|�à�ë�Û�à�Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�Ö�ÒûÞ�à�¾<b8¾ d v�Å�v bG|&¢Ä�v d |�ä�ZÆ v d Ä bG|&|¤x

öM� v Ð�|N¾<b v £ ¼�� v bG|�i� ÀFÉ �IÊ v bM|&|v ��|�¾<b v � ÀFÉ �IÊ v bM|�� £ ¼�� v bG|&|v ËN|�¾<b v�Ë À º Å�² » v bG|� v � ¬ ² ± v bG|&���Ì �IÍ v bG|&|&|�à ë�ÛÓà Ñr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙ�Ö�ÒæÞ�à.�ÃFb v�Ë À º Å�² » v bG|&¢

¬ ² ± v bG| ¢3Ì �IÍ v bG|&|¤xv Ú�|�¾<b v ¡ þ º�Ω¼ v bM|��Ïà d v�Ð ��Ñ v d |M¢ vÓÒ º À v d Ä bG|&|&|&|v Ñ�|Kà d v�Ð �|Ñ v d |�¢s¾<b v ¡ þ º"Î�¼ v bM|w� Ò º À v d Ä bG|&|&| � ë�ÖîÑ[ËêÐZÛ�Ñêù ÕøÒûÒæÞ Ö�Ï×Ñ

Ú Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙÂË0ÑÎ��ÑêÖ5�SÑêÑÓÙ v Ú�|2Ð�ÙÂÚ v Ñ�|�àÓ�ßÏ Î Ë�ÏMÒæë�ë�Ü[çîë�ç Î ì Î ÒûÐZÛÔ�ßÏ×ÑÓÙÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�çîÑÓÚ Î Ù=ÙÂÐZÖ�Õ×Û�Ð�ÒPÒûÐ�ÙÂúcÕÂÐZú�Ñ.x ð ÖîÑÓì v Ú�|Bç�Ð�Þ�çíÖ�ÏøÐZÖ:Ñ���ÑêÛ�ÞJéÂÛ Î¸§ Ñ�íÐ�ç��:ëcÙY��Þ5Ð���ë�Þ�à7é�ëcç�ç Î �øÒûÞ�ÐüÚ Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ�ÖBëcÙÂÑßù ë�Û¶ÑÓÐ�Ë�Ï=éÂÛ Î�§ Ñ.x � Õ×ÖÎ ÖîÑÓì v Ñ�|Xç�ÐÓÞ©ç Î Ö Î ç�Ö�Ï×Ñ ç�Ð�ì8ÑQ��ë�Þ Ö�ÏøÐZÖH�SëcÙ4Ð�ÒûÒ�Ö�Ï×Ñ éøÛ Î�§ ÑÓç�x

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�t°ÂÃv é x ÆrÉ {>|}�~&�G�À¶,¶5� öXÏ×Ñ2çîÖîÛ Î Ù×úNÔ v b ÄkÕ v d Ä×Ö | Ä×Ø | Î çWÙ×ë�Ö�Ð=ÖîÑêÛ�ì ç Î ÙÂË0Ñ&Ô*Û�Ñr��Õ Î Û�ÑÓçßÖ5�SëEÐZÛ�úcÕO�

ì5ÑÓÙ�Ö�çêàPÙ×ë�ÖXÖ�Ï×Û�ÑêÑ.xSô Î Ü�Ñ�� Î çîÑ�à Õ Û�Ñr��Õ Î Û�ÑÓçíÖ�ÏÂÛ�ÑêÑüÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö�çêàPÙ×ë�Ö�Ö%�:ë�x}�~&�G�À¶,¶u¶5�~Ù}�~&º���� Æ xböXÏÂÑêÛ�Ñ Î çèëcÙøÒæÞ�ëcÙ×ÑJÖîÑêÛ�ì ë�ùXÏ×Ñ Î úcÏ7Ö Æ v � Î Ö�Ï×ëcÕ×Ö��ZÐZÛ Î Ð#�PÒæÑÓç¤| � Î Ö Î ç

ç Î ì5éøÒæÞ Ø x].É

Page 36: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µâKxßöXÏ×ÑêÛ�ÑXÐZÛ�Ñ�Ö%�:ëüÖîÑêÛ�ìJçCë�ùáÏ×Ñ Î úcÏ7Ö¶â�à7ÙÂÐ�ì8ÑÓÒûÞ~Ô v Ø/Ä×Ø | Ð�ÙÂÚ Õ v Ø/Ä×Ø/Ä×Ø |¤x] xßöXÏ×ÑêÛ�Ñ ÐZÛ�Ñ��7Õ Î ÖîÑ Ð ù Ñ�� ÖîÑêÛ�ì5ç�ë�ùXÏ×Ñ Î úcÏ7Ö ] ï2Ö�Ï×Ñ=Û�ë7ë�ÖaÙ×ë©Ú×ÑJÏÂÐ�çÖîëþ��Ñ�Ô^ë�Û Õ x ÷ Ñêé�ÑÓÙÂÚ Î ÙÂú[ëcÙ!Ö�ÏøÐZÖØË�Ï×ë Î Ë0Ñ�à��SÑ$ÏÂÐN��Ñ[â�ë�Û ]ÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö�ç�xÜ� Î ÙÂË0ÑØÖ�Ï×Ñ4ë���ÑêÛ�Ð�ÒûÒbÖîÑêÛ�ì ÏÂÐ�çJÖîë�ÏÂÐN��Ñ�ÏÂÑ Î úcÏ�Ö ] Î Öù ëcÒûÒæëN�bçíÖ�ÏÂÐZÖXÐZÖßÒæÑÓÐ�çîÖ�ëcÙÂÑèë�ù Ö�Ï×ÑÓç�Ñ ÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7Ö�çXÏÂÐ�çíÖîëY��ÑèÐ2ÖîÑêÛ�ìë�ù Ï×Ñ Î úcÏ7Ö�âKxBößÏ7ÕÂçÓàK�:Ñ ì5Ð�Þ=Ò Î çîÖSÐ�ÒûÒ�Ö�ÏÂÑÓçîÑ�ÖîÑêÛ�ì5ç�çîÞ©çîÖîÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò ÒæÞPïº Ô v Ø9Ä Ô v Ø/Ä×Ø |&|º Ô v Ô v Ø9Ä×Ø | Ä×Ø |º Ô v Õ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø | Ä×Ø |º Ô v Ø9ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø |&|º Ô v Ô v Ø9Ä×Ø | Ä Ô v Ø/Ä×Ø |&|º Ô v Õ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø | ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø |&|º Ô v Ô v Ø9Ä×Ø | ÄkÕ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø |&|º Ô v Õ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø | Ä Ô v Ø/Ä×Ø |&|ÐZÛ�ÑWÐ�ÒûÒ×Ö�Ï×ÑbÖîÑêÛ�ì5ç� Î Ö�Ï3Ô�Ð�ç:Ð Û�ë�ë�Ö�xBöXÏ×ÑßÖîÑêÛ�ì5ç� Î Ö�Ï Õ Ð�çSÐüÛ�ë7ë�ÖÐZÛ�Ñbë�ùáÖ�Ï×ÑXù ë�Û�ì Õ vaÝ Æ Ä Ý â Ä Ý ] |�à��ßÏ×ÑêÛ�ÑßÐZÖSÒæÑÓÐ�ç�Ö¶ëcÙ×Ñbë�ù�Ö�ÏÂÑßÖ�Ï×Û�ÑêÑÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö�ç�ÏÂÐ�çüÏ×Ñ Î úcÏ�ÖüâKx�öXÏ�ÕÂçêà Õ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø | Î ç Ù×ë�ÖüÐ�ÒûÒûëN�:ÑÓÚáàá�øÕÂÖë�Ö�Ï×ÑêÛíÖ�ÏÂÐ�Ù Ö�ÏÂÐZÖíÑÓÐ�Ë�Ï�ÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�ÖíËêÐ�Ù���Ñ Ø à8Ô v Ø/Ä×Ø |�à©ë�Û Õ v Ø/Ä×Ø/Ä×Ø |¤xöXÏ Î çBú Î ��ÑÓçíÕÂç ] - ] - ]+ÒFÆ æ â Ê Ú Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ7ÖSÖîÑêÛ�ì5ç¶ë�ù Ï×Ñ Î úcÏ7Ö ] xBöXÏÂÑ)øÛ�ç�Ö�ÖîÑÓÙ ÐZÛ�ѺÞÕ v Ø9Ä×Ø/ÄkÕ v Ø9Ä×Ø/Ä×Ø |&|ºÞÕ v Ø9ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø | Ä×Ø |ºÞÕ v Õ v Ø/Ä×Ø/Ä×Ø | Ä×Ø/Ä×Ø |ºÞÕ v Ø9Ä×Ø/Ä Ô v Ø9Ä×Ø |&|ºÞÕ v Ø9Ä Ô v Ø/Ä×Ø | Ä×Ø |ºÞÕ v Ô v Ø9Ä×Ø | Ä×Ø9Ä×Ø |ºÞÕ v Ø9Ä Ô v Ø/Ä×Ø | Ä Ô v Ø/Ä×Ø |&|ºÞÕ v Ø9Ä Ô v Ø/Ä×Ø | ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø |&|ºÞÕ v Ø9ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø | Ä Ô v Ø9Ä×Ø |&|ºÞÕ v Ø9ÄkÕ v Ø/Ä×Ø9Ä×Ø | ÄkÕ v Ø�Ä×Ø/ÄßØ |&|Ð�ÙÂÚ Þ�ëcÕ ÐZÛ�ÑË�:ÑÓÒûË0ëcì8ÑWÖîë��XÛ Î ÖîÑßÚ×ë��ßÙJÖ�ÏÂÑßÛ�ÑÓì5Ð Î Ù Î Ù×ú ÆrÊ ÖîÑêÛ�ì5ç Î ùÞ�ëcÕY� Î ç�ÏMx ð Ù5Ë0ëcÙøËêÒûÕÂç Î ëcÙÈà�Ö�Ï×ÑêÛ�ÑXÐZÛ�Ñ Æ + â + { + â Ê æ ] y�Ú Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ7ÖÖîÑêÛ�ì5çßÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ=ë�ùCÏ×Ñ Î úcÏ7ÖXÒæÑÓç�ç�Ö�ÏÂÐ�Ù ä�x

öá~&�G��� v Î | Ùv ÎûÎ | Ùv ÎûÎûÎ |Þà � Ô v� |:Ú×ÑÓÙÂë�ÖîÑÓçßÐ8ÖîÑêÛ�ì àøÙ×ë�ÖXÐ8ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�xv Î �/|1à � Î Ù�éøÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑ�Òæë�ú Î ËZà��:ÑEËêÐ�ÙM� Ö8Ù×ÑÓçîÖaéÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑÓçÓï5Ö�Ï×Ñ�ì Î ç�ç Î Ù×ú

ÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö Î Ù5Æ v â Ä d |WÏÂÐ�çèÖîë���Ñ5Ð\ç%ì��ß!2àá�PÕ×Ö�Æ v�Â Ä bG| Î çèÐ&�����qá!��O��#x

Page 37: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ � Ùv �/|Tà � ÐZúcÐ Î ÙÈà/�SÑ�ËêÐ�ÙM� ÖßÙ×ÑÓçîÖßéÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑÓç v Æ Ä Ä ÐZÛ�Ñ éÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑÓç¤|¤xv � Î | Ùv � ÎûÎ | Ùv � ÎûÎûÎ |Þà � ÐZúcÐ Î ÙÈà/�SÑ�ËêÐ�ÙM� ÖßÙ×ÑÓçîÖßéÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑÓçrx��~&�G��� ößÏ×ÑèéøÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î ç

Page 38: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�Nà ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ

â §

ã ¬

ä

ä

å

¬

¬

¬

æ

æ

§

ç }�~�~ ç }�~�~

ç }�~�~

è ���c�|é è �����|é

è ���c�|é

Page 39: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ � î��~&ó��N� ÿ×Û�ëcì^Ö�Ï×Ñ:éøÐZÛ�ç�ÑêÖîÛ�ÑêÑSë�ùøÖ�Ï×ÑSéøÛ�Ñ�� Î ëcÕÂç Î ÖîÑÓì �:Ñ:çîÑêÑíÖ�ÏÂÐZÖ Ð�ÒûÒ�ë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑÓç ë�ù

Ö ÐZÛ�ÑSù Û�ÑêÑ�à�Ð�ÒûÒcë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑÓçÈë�ù�b8ÐZÛ�Ñ���ëcÕøÙÂÚáà�Ð�ÙøÚ Ö�Ï×ѶÒûÑêù Ö�ì8ëcç�ÖOë©ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0Ñë�ù d Î çíù Û�ÑêÑ�à/�ßÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�ç�Ö�Ï×Ñ ë�Ö�Ï×ÑêÛbÖ%�:ë5ë©ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑÓçßë�ù d ÐZÛ�Ñ���ëcÕÂÙøÚMx

��~&���N� v Î | � �Z[ ±_=]bH\ Î çWç Î ì8éøÒûÞ � ÐZúcÐ Î Ù�ç Î ÙÂË0Ñ�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ2ÐZÛ�ÑaÙÂë ù Û�ÑêÑaë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑÓçWë�ùb Î Ù � Ö�ÏøÐZÖßË0ëcÕÂÒûÚh��ÑèÛ�ÑêéøÒ Ð�Ë0ÑÓÚÎ�7ÞN± �

� �Z[ ±_= d \ Î ç$ÃFb v�¿ev ± Ä×Ö | ¢`¾ d v �ê v d Ä bG|M� ¿ev d Ä×Ö |&|&|Xç Î ÙÂË0Ñ��:ÑèÛ�ÑêéøÒûÐ�Ë0ÑÖ�Ï×ÑüçîëcÒûÑèù Û�ÑêÑüë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0Ñèë�ù d � Î Ö�Ï:± �

� �Z[ Ô v bG|*= d \ Î ç2ÃOb v�¿ev Ô v bM| Ä×Ö |Ó¢�¾ d v �,ê v d Ä bG|Ó� ¿ev d Ä×Ö |&|&|=ç Î ÙÂË0Ñ8�SÑÛ�ÑêéøÒûÐ�Ë0ÑüÖ�Ï×Ñ çîëcÒæÑèù Û�ÑêÑ ë©ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙøË0Ñèë�ù d � Î Ö�ÏKÔ v bM| �

� �Z[ Õ v d Ä×Ö |*= Ö \�ÃFb v�¿ev d ÄkÕ v d Ä×Ö |&|>¢^¾ d v �,ê v d Ä bG|>� ¿ev d ÄkÕ v d Ä×Ö |&|&| |�ç Î ÙøË0Ñ�SÑüÛ�ÑêéøÒûÐ�Ë0Ñ Ð�ÒûÒ v ù Û�ÑêÑ�|íë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑÓç�ë�ù Ö � Î Ö�Ï Õ v d Ä×Ö |¤x

v Î Î | òbÒûÒ ë�ùíÖ�Ï×ÑÓì àOù ë�ÛüÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ5ÐZÛ�ÑJÙ×ë ù Û�ÑêÑ5ë©ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙøË0ÑÓçèë�ù�b Î Ù � Öîëí��Ñêú Î Ù� Î Ö�ÏMx

v ÎûÎ Î | öXÏ×ÑEÖîÑêÛ�ì5ç`± Ð�ÙÂÚ Õ v d Ä×Ö |8ÐZÛ�Ñ ù Û�ÑêÑEù ë�Û d Î Ù � àíç Î ÙÂË0Ñ�Ö�Ï×ÑØçîëcÒûÑEù Û�ÑêÑë�ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙÂË0ÑWë�ù d ëcÙÂÒæÞ8ÏÂÐ�çëÃFbEÐ�çSÐÔ�7ÕøÐ�Ù�Ö Î )PÑêÛSÐ#��ëN��Ñ Î Ö�x�ÿ×ë�ÛíÖ�ÏÂÐZÖ+��ÑêÛ�ÞÛ�ÑÓÐ�çîëcÙáà�Ô v bG| Î ç��<�.ç�ù Û�ÑêÑ5ù ë�Û d Î Ù � à ç Î ÙÂË0Ñ5Ö�Ï×Ñ`b Î ÙsÔ v bM|��SëcÕÂÒ Úw��ÑËêÐZéÂÖ�Õ×Û�ÑÓÚÎ��ÞJÃFb Î Ù�Ö�ÏøÐZÖßç�Õ��øç�Ö Î Ö�Õ×Ö Î ëcÙ=éÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç�x

��~&Ï>�N� � ë�� àXÖ�Ï×ÑØç�Ë0ë�é�Ñ4ë�ù�ÃFb Î ç5ëcÙÂÒæÞ;Ö�Ï×Ñ4ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ ¿ev d Ä×Ö |�àXç Î ÙÂË0Ñ Ö�ÏÂÑ Î ÙÂÙÂÑêÛ��ÕÂÐ�Ù7Ö Î )øÑêÛ�¾%bþ� Î ÙÂÚøç�Ö�ÏÂÑ2b v Ð�ÙÂÚMë���ÑêÛ�Û Î ÚÂÑÓç5Ö�Ï×ÑÎ� Î ÙÂÚ Î Ù×ú4ë�ù�ÃFb Î Ù�Ö�Ï×Ñù ë�Û�ìaÕÂÒûÐe�ê v b Ä bM| � ¿ev b Ä×Ö |&|¤x

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�t��Ev é x ÆrÊ ã�|öá~&�G��� ò ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð �Dì S �ßÏ×ëcçîÑ�ì8ë©Ú×ÑÓÒûç�ÐZÛ�Ñ�ÑÀ¿×Ð�Ë0Ö�ÒæÞ#Ö�ÏÂëcçîÑß�ßÏ Î Ë�ÏVÏøÐr��Ñ*Ö�Ï×Û�ÑêÑ

Ú Î çîÖ Î ÙÂË0ÖíÑÓÒæÑÓì5ÑÓÙ�Ö�ç Î ç

ÃOb_à d Ã Ö v&v&v � v b æ d |M¢�� v b æ Ö |&| ¢�� v d æ bM|&|¢�¾<± v&v&v ± æ bG|á� v ± æ d |&| � v ± æ Ö |&|&|¤�

öá~&º���� òbç Î Ù Î ÖîÑÓì ] Ð#��ëN��Ñ�àÓ�:ÑØì5Ð�Þ;ú�ÑÓÙÂÑêÛ�Ð�ÒûÒæÞ;Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�ÕÂË0ÖJù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç � ì P ù ë�ÛÑÓÐ�Ë�Ï 0 æ Æ Ä â Ä ] Ä �����Bç�ÕÂË�Ï[Ö�ÏÂÐZÖüÖ�ÏÂÑ=ì8ë©Ú×ÑÓÒûç ë�ù �Dì P ÐZÛ�ÑJÑÀ¿×Ð�Ë0Ö�ÒæÞ$Ö�Ï×ëcçîÑ� Î Ö�Ï 0 Ú Î çîÖ Î ÙÂË0ÖbÑÓÒûÑÓì8ÑÓÙ�Ö�çrx5öXÏ×ÑÓÙ*ÐEì8ë©Ú×ÑÓÒ Î ç^)PÙ Î ÖîÑ Î ¸ Î Ö ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç �Dì P����������!eì 054 Æ x¶ößÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�àíPIî Ç

�%ì P�:ëcÕÂÒûÚÚ×ë*Ö�Ï×ÑEÖîÛ Î Ë�ÜPà+�øÕ×ÖêàíÐ�ÒûÐ�çêà:Ö�Ï Î ç8Ë0ëcÙ#õîÕÂÙøË0Ö Î ëcÙ Î çhé���ï�/éuç%ì4Ð�ÙÂÚ Ù×ë�ÖéPÐZÛ�ÖXë�ù Ö�Ï×ÑüçîÞ©Ù�Ö�Ð6¿Eë�ù éÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑ Òæë�ú Î Ë#x

Page 40: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� ¦ ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ� ~&�G����� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù�¾<b8¾ d ¿bv b Ä d |�Å�¾<®ë¾ ²,¿ev ® Ä ² |Ó��Þ

Æ ¾<b8¾ d ¿bv b Ä d | Ð�ç�ç�ÕÂìb%ðâd ð]

ä ¾ d ¿ev b<ð Ä d | ¾<bXÑ ÆÉ ¿ev b ð Ä d ð | ¾ d ÑXäÊ ¾ ²c¿ev b<ð Ä ² | ¾ ² Î ]KÒ�Éy ¾<®³¾ ²,¿ev ® Ä ² |ñ¾<® Î â Ò�Ê

� ~&º������ Ñ éÂÛ�ë���ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù,ÃFb³¾ d ¿bv b Ä d |Å�¾ d ÃFb ¿ev b Ä d |Ó�7ÞÆ ÃObë¾ d ¿ev b Ä d |"Ð�ç�ç�Õøì

d ðâb<ð]

ä ¾ d ¿ev b ð Ä d | Ð�ç�ç�ÕøìÉ ¿bv b<ð Ä d ðN| ¾ d ÑXäÊ ÃOb ¿ev b Ä d ð�| ÃFb Î Éy ÃOb ¿ev b Ä d ð | ÃFbbÑ Æ Ä ]KÒ�Ê{ ¾ d ÃFb ¿ev b Ä d |ò¾ d Î â Ò y

� ë�ÖîÑ8Ö�ÏÂÐZÖÐ�:Ñ2ÏøÐr��Ñ2Öîë�ë�é�ÑÓÙ�Ð d ðß����ëN¿J)øÛ�çîÖêà�ç Î ÙÂË0ÑÔ�SÑ2ì8ÑÓÐ�Ù�ÖîëEç�Ï×ë�� Ðù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ë�ù�Ö�Ï×Ñ�ù ë�Û�ì­¾ d �ËxCöXÏ×ÑÓÙ��:ÑXË0ëcÕÂÒûÚ2ë�é�ÑÓÙ8Ð�Ù&b ð ����ëN¿aÖîë ÕøçîѨÃFbßÑ.x

©á~&�G����� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù,ÃFb vaÄ �ªê v bM|&|Å Ä �óÃFb_ê v bG|g��ÞÆ ÃFb vaÄ �ªê v bG|&|"éøÛ�ÑÓìâ Ä Ð�ç�ç�ÕÂì

b<ð]ä Ä �Ïê v b ð | Ð�ç�ç�ÕÂìÉ ê v b%ðN| �[Ñßä Ä âÊ ÃFb�ê v bG| ÃOb Î Éy ÃFb�ê v bG| ÃObXÑ Æ Ä ]KÒ�Ê{ Ä �ÏÃFb_ê v bG| � Î â Ò y

Page 41: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ � v©á~&���N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ùG¾%b ¿ev bM|� Ä ÅKÃOb v�¿ev bM|� Ä |+��Þ

Æ ¾<b ¿bv bG|�� Ä éÂÛ�ÑÓìâ �ÃFb v�¿ev bG|�� Ä | Ð�ç�ç�Õøì

b%ð]ä � ¿ev b%ð�| Ð�ç�ç�ÕøìÉ ¿ev b ð | Ð�ç�ç�ÕøìÊ ô � Ñ É Ä äy Ä ô Ñ Ê{ ¿ev b ð |� Ä � Î ÉKÒ yÛ ÃFb v�¿bv bG|� Ä | ÃFb Î {Æ ã ô � Ñ Û Ä âÆ.Æ �� ¿ev b ð | � Î ä ÒQÆ ãÆ â ¿ev b<ðr| �� Ñ Æ.ÆÆr] ¾<b ¿bv bG| ¾<b Î ]KÒQÆ âÆ ä Ä �;Ñ Æ Ä Ær]ÆrÉ ¿ev »7| Ð�ç�ç�ÕøìÆrÊ Ä Ë0ë�é�Þ Æ äÆ y ¿ev »7|�� Ä � Î ÆrÉKÒ�ÆrÊÆ { ÃFb v�¿bv bG|� Ä | ÃFb Î Æ yÆrÛ ô � Ñ Æ { Ä ââZã ��ÃFb v�¿ev bG|�� Ä | � Î â ÒQÆrÛâ Æ ÃFb v�¿bv bG|� Ä | �� ÑbâZã

Page 42: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ©á~*ô§�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù}¾<b v�¿bv bG| ¢Kê v bG|&|Å3¾<b ¿ev bM|M¢�¾<b�ê v bG|Ó�7Þ

Æ ¾%b v�¿ev bM| ¢Kê v bM|&| éøÛ�ÑÓìb<ðâ

] ¿bv b<ðN|M¢Kê v b<ðN| ¾%bßÑ Æä ¿bv b<ðN| ¢ Ñ Ç ]É ¾%b ¿ev bM| ¾%b Î â Ò ä

b<ðÊy ¿bv b<ðN|M¢Kê v b<ðN| ¾%bßÑ Æ{ ê v b ð | ¢ Ñ È yÛ ¾%b_ê v bM| ¾%b Î ÊKÒ {Æ ã ¾%b ¿ev bM| ¢`¾<b_ê v bG| ¢ Î É Ä Û

©á~7Ú%�N�Ð� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù}¾<b ¿ev bM| �`¾<b�ê v bG|�Å�¾<b v�¿bv bG|M�Kê v bG|&|+��ÞÆ ¾<b ¿ev bG|M��¾%b_ê v bM| éøÛ�ÑÓì

b%ðâ] ¾<b ¿ev bG| Ð�ç�ç�ÕÂìä ¿ev b ð | ¾<bXÑ ]É ¿ev b%ð�|á�Kê v b%ð�| � Î Ç ä

¾<b_ê v bG| Ð�ç�ç�ÕÂìê v b ð | ¾%bßÑ ]¿ev b<ðN| �2ê v b<ðN| � Î È:ä

Ê ¿ev b%ð�|á�Kê v b%ð�| � Ñ Æ Ä ]KÒ�É Ä ]KÒÐÉy ¾<b v�¿ev bG| �2ê v bG|&| ¾%b Î â Ò�Ê

©á~×õþ�N�Ð� Ñ éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù�ÃFb v�¿ev bG|á¢Kê v bM|&|ÅKÃFb ¿ev bG|M¢KÃOb_ê v bM|g�7ÞÆ ÃOb v�¿ev bM|M¢Kê v bM|&| éøÛ�ÑÓì

b<ðâ] ¿bv b<ðr| ¢Kê v b<ðr| Ð�ç�ç�ÕÂìä ¿bv b<ðr| ¢ Ñ Ç ]É ÃOb ¿ev bM| ÃOb Î äÊ ê v b<ðr| ¢ ÑrÈ ]y ÃOb_ê v bM| ÃOb Î Ê{ ÃOb ¿ev bM|M¢KÃFb_ê v bG| ¢ Î É Ä yÛ ÃOb ¿ev bM|M¢KÃFb_ê v bG| ÃObßÑ Æ Ä â Ò {

Page 43: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ � �©á~7Ý�N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù�ÃOb gev bM| �KÃFb�ö v bG|�Å2ÃOb v�gev bM| �Kö v bM|&|+��ÞÆ ÃFb gev bG| �2ÃOb_ö v bM| éøÛ�ÑÓìâ ÃFb gev bG| Ð�ç�ç�ÕÂì

b<ð]ä gev b%ðN| Ð�ç�ç�ÕÂìÉ gev b ð | �2ö v b ð | � Î ÇCäÊ ÃFb v�gev bG| �Jö v bG|&| ÃFb Î Éy ÃFb v�gev bG| �Jö v bG|&| ÃFbßÑbâ Ä ]KÒÐÊ

ÃFb_ö v bG| Ð�ç�ç�ÕÂìb%ð

ö v b%ð�| Ð�ç�ç�ÕÂìgev b ð |M�Jö v b ð | � Î È äÃFb v�gbv bG| �Kö v bG|&| ÃOb Î ÉÃFb v�gbv bG| �Kö v bG|&| ÃObßÑßâ Ä ]KÒ�Ê

{ ÃFb v�gev bG| �Jö v bG|&| � Ñ Æ Ä â Ò y Ä â Ò y©á~*E��N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù���¾<bG� ¿bv bG|�ÅKÃFb ¿ev bG|g��Þ

Æ �}¾<bÐ� ¿ev bG||éÂÛ�ÑÓìâ �ÃFb ¿bv bG| Ð�ç�ç�ÕÂì

b ð]ä ¿ev b<ðN| Ð�ç�ç�ÕÂìÉ ÃFb ¿ev bM| ÃFb Î äÊ ô � Ñ É Ä ây � ¿ev b<ðr| � Î ä ÒÐÊ{ ¾<bÐ� ¿bv bG| ¾<b Î ]KÒ yÛ ô � ÑË{ Ä ÆÆ ã ÃFb ¿ev bM| Ýbòbò!â Ò�Û

©á~&ø§�N��� ÑüéÂÛ�ëN��ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù}¾<bÐ� ¿ev bG|�Å��,ÃFb ¿ev bM|g�7ÞÆ ¾%bÐ� ¿ev bM| éÂÛ�ÑÓìâ ÃOb ¿ev bM| Ð�ç�ç�Õøì

b<ð]ä ¿bv b<ðN| Ð�ç�ç�ÕøìÉ � ¿ev b<ðr| ¾<bXÑ ÆÊ ô � Ñ�ä Ä Éy ô ÃFbXÑWâ Ä ]KÒ�Ê{ �,ÃFb ¿ev bM| � Î â Ò y

Page 44: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ©á~&å��N�Ð� ÑüéÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù��,ÃFb ¿ev bM|�Å�¾<b�� ¿ev bG|g��Þ

Æ �ÃFb ¿bv bG| éÂÛ�ÑÓìb%ðâ

] ¿ev b<ðN| Ð�ç�ç�ÕÂìä ÃFb ¿ev bM| ÃFb Î ]É ô � Ñ�ä Ä ÆÊ � ¿ev b<ðN| � Î ]KÒ�Éy ¾<bÐ� ¿bv bG|ò¾<b Î â Ò�Ê

� ë�ÖîÑ�Ö�ÏÂÐZÖ+�SÑWì8ÑÓÐ�Ù=Öîëaç�ÏÂëN�÷¾<bG� ¿bv bG|�à7ç�ë�Ö�Ï×Ѩb<ðq����ër¿JÏøÐ�ç¶Öîë2ç�Ï×ë��#Ö�Ï×ÑÎ ÙÂçîÖ�Ð�ÙÂË0Ñ�� ¿bv b<ðN|g�ßÏ Î Ë�Ï Î ç�Ð�Ë�Ï Î Ñ���ÑÓÚ£� Î Ð8Ð5éÂÛ�ë�ë�ùá��Þ�Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙMx}9}�~7�G�N��� Ñ éÂÛ�ëN��Ñ Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù ¿bv�ø |�Å�¾<b v&v b æ�ø |� ¿ev bM|&|Ó��Þ

Æ ¿ev�ø | éÂÛ�ÑÓìb<ðâ

] b%ð æ�ø Ð�ç�ç�ÕÂìä ¿ev b%ðN| æ Ñ ] Ä ÆÉ v b%ð æ�ø |� ¿ev b%ðN| � Î ]KÒ äÊ ¾<b v&v b æoø |�� ¿ev bG|&|ù¾<b Î â ÒÐÉ

}9}�~7º��N��� Ñ$éÂÛ�ëN��Ñ$Ö�Ï×Ñw�ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ#ë�ù&ÃFbúà d v�ûÖv b Ä d |�� ûEv d Ä bM|&| Ä �ÃFb ûÖv b Ä bG|FÅ

Page 45: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ � �ÃObDà d � v b æ d |+��ÞÆ ÃFb�à d v�ûEv b Ä d | � ûEv d Ä bG|&|"éøÛ�ÑÓìâ �ÃOb ûEv b Ä bG| éøÛ�ÑÓì

b<ü]ä à d v�ûÖv b%ð Ä d |á� ûÖv d Ä b<ðN|&| Ð�ç�ç�ÕÂì

d ðÉÊ ûEv b<ð Ä d ðN|M� ûEv d ð Ä b<ðN| Ð�ç�ç�ÕÂìy b%ð æ d ð Ð�ç�ç�ÕÂì{ ûEv b ð Ä d ð | Ð�ç�ç�ÕÂìÛ ûEv d ð Ä d ð�| æ Ñ�y Ä {Æ ã ÃFb ûÖv b Ä bG| ÃOb Î ÛÆ.Æ ô � Ñ Æ ã Ä âÆ â ûEv d ð Ä b<ðN| Ð�ç�ç�ÕÂìÆr] ûEv d ð Ä d ð�| æ Ñ�y Ä Æ âÆ ä ÃFb ûÖv b Ä bG| ÃOb Î Ær]ÆrÉ ô � Ñ Æ ä Ä âÆrÊ ô � Ñ Ê Ä { Ò�Æ.Æ Ä Æ â Ò�ÆrÉÆ y � v b%ð æ d ðr| � Î y ÒQÆrÊÆ { à d � v b<ð æ d | à d Î Æ yÆrÛ ÃFb�à d � v b æ d | ÃOb Î Æ {âZã ÃFb�à d � v b æ d | à d Ñ�ä Ä ÉKÒÔÆrÛâ Æ ÃFb�à d � v b æ d | ÃObßÑ Æ Ä ]KÒ âZã

Page 46: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ}K¹G��� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù Ä �Ⱦ%b_ê v bM|Å�¾<b vaÄ �ªê v bG|&|+��Þ

Æ Ä �ý¾<b_ê v bG| éøÛ�ÑÓìb<ðâ

] Ä Ð�ç�ç�ÕÂìä ¾<b�ê v bM| ��Ñ Æ Ä ]É ê v b ð | ¾%bßÑXäÊ Ä �Ïê v b<ðN| � Î ]KÒ�Éy ¾<b vaÄ �ªê v bG|&|þ¾%b Î â Ò�Ê

}=öá~7�G�N��� Ñüç�ÏÂëN� Ö�Ï×ÑQ� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù¾%b ¿ev�ÿ Ä b Ä bM| Ä ¾<bë¾ d ¾ Ö v�¿ev b Ä d Ä×Ö |�� ¿ev Ô v bG| Ä d Ä Ô v Ö |&|&|�Å ¿ev Ô v�ÿ | Ä ÿ Ä Ô v�ÿ |&|��ÞÆ ¾<b ¿bv�ÿ Ä b Ä bG| éøÛ�ÑÓìâ ¾<bë¾ d ¾ Ö v�¿bv b Ä d Ä×Ö |�� ¿bv Ô v bG| Ä d Ä Ô v Ö |&|&| éøÛ�ÑÓì] ¿ev�ÿ Ä ÿ Ä ÿ | ¾%bßÑ Æä ¾ d ¾ Ö v�¿ev�ÿ Ä d Ä×Ö |+� ¿ev Ô v�ÿ | Ä d Ä Ô v Ö |&|&| ¾%bßÑbâÉ ¾ Ö v�¿ev�ÿ Ä ÿ Ä×Ö |�� ¿ev Ô v�ÿ | Ä ÿ Ä Ô v Ö |&|&| ¾ d Ñ�äÊ ¿ev�ÿ Ä ÿ Ä ÿ |�� ¿bv Ô v�ÿ | Ä ÿ Ä Ô v�ÿ |&| ¾ Ö Ñ Éy ¿ev Ô v�ÿ | Ä ÿ Ä Ô v�ÿ |&| ��Ñ Ê Ä ]

}=öá~7ó�N��� Ñ�ç�Ï×ëN�&Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ù¾%b ¿ev�ÿ Ä b Ä bM| Ä ¾<bë¾ d ¾ Ö v�¿ev b Ä d Ä×Ö |�� ¿ev Ô v bG| Ä d Ä Ô v Ö |&|&|�ÅJÃ Ö ¿ev Ô v�ÿ | Ä×Ö�Ä Ô v Ô v�ÿ |&|&|��ÞÆ ¾<b ¿ev�ÿ Ä b Ä bM| éÂÛ�ÑÓìâ ¾<bë¾ d ¾ Ö v�¿ev b Ä d Ä×Ö |�� ¿ev Ô v bM| Ä d Ä Ô v Ö |&|&| éÂÛ�ÑÓì] ¿ev�ÿ Ä Ô v�ÿ | Ä Ô v�ÿ |&| ¾<bXÑ Æä ¾ d ¾ Ö v�¿ev�ÿ Ä d Ä×Ö |+� ¿ev Ô v�ÿ | Ä d Ä Ô v Ö |&|&| ¾<bXÑbâÉ ¾ Ö v�¿ev�ÿ Ä Ô v�ÿ | Ä×Ö |�� ¿ev Ô v�ÿ | Ä Ô v�ÿ | Ä Ô v Ö |&|&| ¾ d ÑßäÊ ¿ev�ÿ Ä Ô v�ÿ | Ä Ô v�ÿ |&|�� ¿ev Ô v�ÿ | Ä Ô v�ÿ | Ä Ô v Ô v�ÿ |&|&|ñ¾ Ö Ñ Éy ¿ev Ô v�ÿ | Ä Ô v�ÿ | Ä Ô v Ô v�ÿ |&|&| �[Ñ Ê Ä ]{ Ã Ö ¿ev Ô v�ÿ | Ä×Ö�Ä Ô v Ô v�ÿ |&|&| Ã Ö Î y

Page 47: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ �#Ù� ë�ÖîÑ$Ö�ÏÂÐZÖÎ�:ÑbõîÕøçîÖEÏÂÐ�ÚÉÖîë Ð�ÚÂÚVëcÙ×Ñ$ì8ë�Û�Ñ*Ò Î Ù×Ñ4ÖîëMÖ�ÏÂÑ,éøÛ�ë7ë�ù�ë�ùüÖ�Ï×ÑéøÛ�Ñ�� Î ëcÕÂç Î ÖîÑÓì Ð�ÙøÚ Î ÙÂçîÖ�Ð�Ù7Ö Î ÐZÖîÑ`b à d Ð�ÙÂÚ Ö � Î Ö�Ï�Ô v�ÿ | Î ÙÂç�ÖîÑÓÐ�Ú*ë�ù ÿ Î ÙÒ Î Ù×ÑÓç ] àÂäJÐ�ÙøÚ É àøÛ�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒûÞ.x

}=öá~7º��N��� ÑüéøÛ�ëN��Ñ Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù¾ d ê v�ø Ä d | Ä ¾<b³¾ d v ê v b Ä d |��ªê v ¡ v bM| Ä ¡ v d |&|&|�ÅJÃ Ö v ê v�ø Ä×Ö |&¢,ê v Ö�Ä ¡ v ¡ v�ø |&|&|��Þ

Æ ¾ d ê v�ø Ä d | éÂÛ�ÑÓìâ ¾<bë¾ d v ê v b Ä d |�Ïê v ¡ v bG| Ä ¡ v d |&|&| éÂÛ�ÑÓì] ¾ d v ê v�ø Ä d |�óê v ¡ v�ø | Ä ¡ v d |&|&| ¾<bXÑbâä ê v�ø Ä ¡ v�ø |&|�Ïê v ¡ v�ø | Ä ¡ v ¡ v�ø |&|&| ¾ d Ñ ]É ê v�ø Ä ¡ v�ø |&| ¾<bXÑ ÆÊ ê v ¡ v�ø | Ä ¡ v ¡ v�ø |&|&| �;Ñ�ä Ä Éy ê v�ø Ä ¡ v�ø |&| ¢Jê v ¡ v�ø | Ä ¡ v ¡ v�ø |&| ¢ Î É Ä Ê{ Ã Ö v ê v�ø Ä×Ö |�¢Kê v Ö�Ä ¡ v ¡ v�ø |&|&| ÃFb Î y

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�t��Zv é x ÆrÊ.] |}/� öXÏ×ÑWÖîÛ�Õ×Ö�Ï��ZÐ�ÒûÕ×ÑWë�ùú¾<b³¾ d ê v Õ v b Ä d | ÄkÕ v d Ä d | Ä×Ö |XÚ×Ñêé�ÑÓÙÂÚøçBëcÙÂÒæÞJëcÙ Ö�ÏÂÑ��ZÐ�ÒûÕ×ÑÓç

Ö�ÏøÐZÖQ�ZÐ�ÒûÕÂÐZÖ Î ëcÙÂçüÐ�ç�ç Î úcÙ*Öîë Î Ö�çèù Û�ÑêÑY�ZÐZÛ Î Ð#�øÒûÑÓçêà Î x Ñ5Öîë4Ö�Ï×Ñ5ë©ËêËêÕ×Û�Û�ÑÓÙøË0Ñ5ë�ùÖ x � ÑJË�Ï×ë�ëcçîÑ`À ÖîëÎ��Ñ2Ö�Ï×Ñ5çîÑêÖèë�ù Î Ù7ÖîÑêú�ÑêÛ�çêà Õ�� v�ÿ Ä ÿ�� | Î çWÖ�Ï×Ñ8Û�ÑÓç�ÕÂÒæÖWë�ùç�Õ��ÂÖîÛ�Ð�Ë0Ö Î ÙÂú ÿ � ù Û�ëcì ÿ à Ð�ÙÂÚ$ÐØÖîÛ Î éøÒæÑ8ë�ù Î Ù7ÖîÑêú�ÑêÛ�ç v�ÿ Ä ø Ä�� | Î ç Î Ù1ê�� Î ù�àÐ�ÙøÚ�ëcÙÂÒæÞ Î ù�à � Ñr�7ÕøÐ�Òûç2Ö�Ï×Ñ�éÂÛ�ë©ÚÂÕÂË0Öaë�ù ÿ Ð�ÙÂÚ ø x[öXÏÂÐZÖ��íÐÓÞ Õ v d Ä d | Î çÎ Ù�ÖîÑêÛ�éøÛ�ÑêÖîÑÓÚ[Ð�çaãØÐ�ÙøÚáàCË0ëcÙÂçîÑr��Õ×ÑÓÙ�Ö�ÒûÞ�à ëcÕÂÛ�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ ç�Ð�Þ�çaÖ�ÏÂÐZÖaãØÑr��ÕÂÐ�ÒûçÖ�ÏÂÑË�ZÐ�ÒûÕ×ÑßÐ�ç�ç Î úcÙ×ÑÓÚ8Öîë Ö ��Þ2ëcÕ×Û��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖ Î ëcÙ x���ëüù ë�Û�� v Ö | hkj¸læ ã Ö�ÏÂÑXù ë�Û�ì�ÕÂÒ ÐÏÂëcÒûÚÂç Î Ù�ëcÕ×Ûbì8ë�ÚÂÑÓÒ à��ßÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�çXù ë�Û� �ëv Ö | hkj¸læ Æ Î Ö Î ç�ù Ð�ÒûçîÑ.x

ý ~&�M�N� ößÏ×Ñ ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐL¾<bë¾ d Ã Ö v�Yv b Ä d |h� Yv d Ä×Ö |&| Î çJÙ×ë�ÖJÖîÛ�ÕÂÑ Î ÙMÖ�Ï×ÑØì5ë�Ú×ÑÓÒ� ïXù ë�ÛWÑÀ¿©Ð�ì8éPÒæÑ�àG�SÑ2ÏÂÐr��Ñ v�ø Ä ÿ |� �Và��øÕ×ÖbÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çbÙÂë  �ÀT� Î Ö�Ïv�ÿ Ä Â |� � Ë0ëcÙ7ÖîÛ�ÐZÛ�Þ*Öîë8�ßÏÂÐZÖüÖ�Ï×ÑJù ë�Û�ìaÕÂÒûÐEËêÒûÐ Î ìJç�x=ößÏ7ÕÂçÓà��:Ñ ì5Ð�Þ�îÚÂÑêù ÑÓÐZÖ7� Ö�Ï Î çíù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ���Þ=Ë�Ï×ë7ëcç Î Ù×ú ø ù ë�Û$b4Ð�ÙøÚ ÿ ù ë�Û d ÖîëJË0ëcÙøçîÖîÛ�ÕÂË0ÖßÐË0ëcÕøÙ�ÖîÑêÛ*��� Î Ö�Ù×ÑÓç�çßÖîë5Ö�Ï×ÑèÖîÛ�Õ×Ö�Ï ë�ù Ö�Ï Î ç�ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð�ë���ÑêÛbÖ�ÏÂÑ ú Î ��ÑÓÙ ì8ë©Ú×ÑÓÒëx

ý ~&ó��N� öXÏ×ÑJù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ:¾<bë¾ d Ã Ö v�Yv b Ä d |Ô� Yv d Ä×Ö |&|Yém�=ÖîÛ�Õ×Ñ Î Ù*Ö�Ï×Ñ�ì8ë�ÚÂÑÓÒ � � ï�:Ñ2ì5ÐÓÞØÒ Î çîÖXÐ�ÒûÒOÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�çbë�ù Î Ù ÐÖ�îË0Þ�ËêÒ Î Ë��e�íÐÓÞ4Ð�ç v�ÿ Ä ø | v�ø Ä�� | v ��Ä ø |�àÖ�ÏÂÑ5Ë0Þ�ËêÒæÑ���Ñ Î Ù×ú Ö�Ï×Ñ8ÒûÐ�çîÖ�Ö%�:ëEéøÐ Î Û�ç�x öXÏ�ÕÂçêàáù ë�Û�Ð�Ù7Þ4Ë�Ï×ë Î Ë0Ñ8ë�ùtb�Ð�ÙÂÚ d�:ÑbËêÐ�Ù�)PÙÂÚJçîëcì8Ñ Ö çîë�Ö�ÏÂÐZÖ¶Ö�Ï×Ñ Î ì8éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ Yv b Ä d |� Yv d Ä×Ö | Î çCÖîÛ�Õ×Ñ.x

�M� º � Ñ�Ë�ÏÂë7ëcçîÑ�ÐWì8ë©Ú×ÑÓÒ>� Î Ö�ÏYÀZ��Ñ Î ÙÂúXÖ�Ï×ÑíçîÑêÖ ë�ù Î Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ�ç�x � Ñ�Ú×Ñ�)�Ù×Ñ v 0 Ä Â |� ¿ � Î ù�à Ð�ÙøÚ ëcÙÂÒæÞ Î ù�à 0 Î ç ÒæÑÓç�ç Ö�ÏÂÐ�Ù�ë�Û Ñr��ÕÂÐ�Ò7Öîë  v 0��  |¤x ó�� Î Ú×ÑÓÙ�Ö�ÒûÞ�à

Page 48: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� à ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µÖ�Ï Î ç Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙ$ë�ù ¿ Î çèÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ v Ñ���ÑêÛ�Þ Î Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ Î ç ÒæÑÓç�ç Ö�ÏÂÐ�Ù$ë�ÛÑr�7ÕÂÐ�Ò¶Öîë Î Ö�ç�ÑÓÒæù¤|�Ð�ÙÂÚ*ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ�ï 0��  Ð�ÙÂÚ Â ��� Î ì8éPÒæÞ 0���� xÔßë��SÑ���ÑêÛÓà�â � ] Ð�ÙøÚ ] �� âüç�ÏÂëN�ÉÖ�ÏÂÐZÖ:Ö�Ï Î ç Î Ù�ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙ=ËêÐ�ÙÂÙ×ë�Ö+��ÑçîÞ�ìJì8ÑêÖîÛ Î Ë#x

º � ÑJË�Ï×ë�ëcçîÑ5Ð�çèçîÑêÖ�À Ö�Ï×Ñ8çîëcÙÂç�ë�ùÓ·�x���x � Ð�Ë�ÏMx � Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ ¿ev b Ä d |Ð�çw�kb Î ç2Ð8�ÂÛ�ë�Ö�Ï×ÑêÛ2ë�ù d ��x ñ ÒûÑÓÐZÛ�ÒæÞ�àCÖ�Ï Î çaÛ�ÑÓÒ ÐZÖ Î ëcÙ Î çaÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ=Ð�ÙÂÚçîÞ�ìJì8ÑêÖîÛ Î ËZà��øÕÂÖXÙ×ë�ÖXÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ.x

º � Ñ�Ú×Ñ�)PÙÂÑ_À hkj¸læ Ä ÿ Ä ø Ä�� Ê Ð�ÙÂÚ¿ � h¥jmlæ Ä v�ÿ Ä ÿ | Ä v�ø Ä ø | Ä v ��Ä�� | Ä v�ÿ Ä�� | Ä v�ÿ Ä ø | Ä v�ø Ä ÿ | Ä v �6Ä ÿ | Ê �

� ë�ÖîÑaÖ�ÏÂÐZÖWÖ�Ï Î ç Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙ Î ç�Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�Ð�ÙøÚØçîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë#x � Ñ2Ð�ÒûçîëÏÂÐr��ÑXÖ�ÏøÐZÖ v�ø Ä ÿ | Ð�ÙÂÚ v�ÿ Ä�� | ÐZÛ�Ñ Î Ù ¿ � xCöXÏ7Õøçêà.�SÑ��:ëcÕÂÒûÚ2Ù×ÑêÑÓÚ v�ø Ä�� |� ¿ � Öîë4çîÑÓËêÕ×Û�Ñ5ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î � Î Ö�ÞØë�ù ¿ � xK� Î ÙÂË0Ñ2Ö�Ï Î ç Î ç Ù×ë�Ö Ö�ÏÂÑJËêÐ�çîÑ�à�SÑÎ Ù×ù ÑêÛ�Ö�ÏÂÐZÖXÖ�Ï Î ç Î Ù�ÖîÑêÛ�éøÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙEë�ù ¿ Î ç�ÙÂë�ÖXÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ.x

fM� ö ë ç�Ï×ë��&Ö�ÏÂÑüçîÑÓì5Ð�Ù7Ö Î Ë ÑÓÙ7Ö�Ð Î Òûì5ÑÓÙ�Ö³¾<b ¿ev bM| ��¾<b�ê v bM| � ¾<b v�¿ev bM|á�Kê v bG|&|ÒûÑêÖ � ��ÑüÐ�Ù7Þ ì8ë�ÚÂÑÓÒÈç�ÕÂË�Ï Ö�ÏÂÐZÖ � � ¾%b ¿ev bM| �3¾<b�ê v bM|¤xíößÏ×ÑÓÙ � �¾%b ¿ev bM|Së�Û � � ¾<b_ê v bG|¤x¶öXÏ�ÕÂçêà�Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛXÐ�Ò ÒPÑÓÒûÑÓì8ÑÓÙ�Ö�çXë�ù�À�ÐZÛ�Ñ Î Ù ¿ �Vàë�Û¶Ö�Ï×ÑêÞ�ÐZÛ�ÑXÐ�Ò Ò Î Ù&ê���x ð Ù8Ð�Ù�ÞaËêÐ�çîÑ�à�Ñ���ÑêÛ�ÞaÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7ÖCë�ù<À Î ç Î ÙaÖ�Ï×Ñ�ÕÂÙ Î ëcÙ¿ ���Jê�� xBöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à � � ¾<b v�¿ev bG|á�2ê v bG|&|�ù ëcÒ ÒæëN�ßçrx

©á~&ó��N� ö ë4çîÑêÑ=Ö�ÏÂÐZÖ � ¢R� � � Ú×ë�ÑÓç�ÙÂë�Ö Î ì8éPÒæÞ � � ��Ð�ÙÂÚÞ� � � Î Ù�ú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�ÒË0ëcÙøç Î Ú×ÑêÛ Ö�ÏÂÑ çîé�ÑÓË Î Ð�ÒCËêÐ�çîÑb�ßÏ×ÑêÛ�Ñ�� Î çÓõîÕÂç�Ö � ÐZúcÐ Î ÙMx�öXÏ×ÑÓÙ � ¢L� � �Ð�ÙøÚ � � � ÐZÛ�Ñ�ËêÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞEÖ�Ï×Ñ�ËêÐ�ç�Ñ�à��PÕ×ÖH�:ÑaËêÐ�ÙÂÙÂë�ÖbúcÕÂÐZÛ�Ð�Ù�ÖîÑêÑaÖ�ÏÂÐZÖ^� � �ÏÂëcÒûÚÂçXÐ�çË�SÑÓÒûÒ�xgÿ×ë�ÛWÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑ�à/�:ÑüË0ëcÕÂÒûÚØé Î Ë�Ü3��Öîëe��Ñ~ÃOb ¿ev bM|íÐ�ÙÂÚ � Öîë��Ñ^¾<b ¿ev bG|¤x

}9}�~&ó��� ößÏ×ÑBË0ëcÒûÒæÑÓË0Ö Î ëcÙ ë�ù7ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç<¾<b�� Ä�v b Ä bM| Ä ¾<b�à d Ä�v b Ä d | Ä ¾<bë¾ d ¾ Ö v&vaÄHv b Ä d |&¢ÄHv d Ä×Ö |&|g� Ä�v b Ä×Ö |&|Cç�Ð�Þ�çBÖ�ÏÂÐZÖCÖ�Ï×Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙ2ë�ù Ä Î ç Î Û�Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�àcçîÑ��Û Î Ð�Ò v çîÑêÑ ñ ÏÂÐZéÂÖîÑêÛ É |�à�Ð�ÙÂÚèÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ.x öXÏ×ÑêÛ�ÑBÐZÛ�ÑBéøÒæÑÓÙ7Ö�ÞWë�ù×ç�ÕÂË�Ï Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙÂçÐZÛ�ëcÕÂÙÂÚMxÿ×ë�Û ÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑ�à�Ë0ëcÙÂç Î ÚÂÑêÛ Ä�v b Ä d |ÈÖîëÐ��Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖîÑÓÚ�ëN��ÑêÛCÖ�ÏÂÑ:ÙÂÐZÖk�ÕÂÛ�Ð�ÒøÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç¶Ð�ç:ì8ÑÓÐ�Ù Î Ù×ú8�kb Î ç¶çîÖîÛ Î Ë0Ö�ÒæÞ8ÒæÑÓç�çSÖ�ÏÂÐ�Ù d � v b�� d |¤x ñ ÒæÑÓÐZÛ�ÒûÞ�àÖ�Ï Î ç Î ç Î Û�Û�ÑÀÁPÑÀ¿ Î ��Ñ�Ð�ÙÂÚ ÖîÛ�Ð�Ùøç Î Ö Î ��Ñ.x ð Ö Î çbÐ�Òûçîë=çîÑêÛ Î Ð�Ò ç Î ÙÂË0Ñ 0 � 0N+ Æ ù ë�ÛÐ�Ò ÒÈÙÂÐZÖ�Õ×Û�Ð�ÒáÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç 0 x

}9}�~&���� ößÏ×ÑØË0ëcÒûÒæÑÓË0Ö Î ëcÙë�ùèù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çNÃOb Ä�v b Ä bG| Ä ¾<bë¾ d vaÄ�v b Ä d |�� v b æ d |&|ç�ÐÓÞ©ç�Ö�ÏÂÐZÖ Ä ç�Ï×ëcÕÂÒûÚ£��Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖîÑÓÚ,Ð�ç�Ñr��ÕÂÐ�Ò Î Ö�ÞØÐ�ÙÂÚ,Ö�ÏÂÐZÖèÐZÖèÒæÑÓÐ�çîÖ�ëcÙ×ÑÑÓÒûÑÓì8ÑÓÙ�Ö Î çáÑr��ÕÂÐ�ÒcÖîë Î Ö�çîÑÓÒæù'x � Õ×ÖOç Î ÙÂË0ÑCÖ�Ï×Ñ Î Ù�ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙèë�ù©Ñr��ÕÂÐ�Ò Î Ö�Þ�ëN��ÑêÛÐ�Ù7Þ ì5ë�Ú×ÑÓÒ Î çSÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ v&v�ÿ Ä ÿ |� æ ��ù ë�Û�Ð�ÒûÒ ÿ JÀ�|¶Ö�Ï Î ç Î ç:ÖîÛ�Õ×ÑWù ë�Û�Ð�ÒûÒì5ë�Ú×ÑÓÒ ç��bÏ Î Ë�Ï Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖWÑr��ÕÂÐ�Ò Î Ö�Þ Î Ù4Ö�Ï×Ñ8çîÖ�Ð�ÙÂÚÂÐZÛ�Úí�íÐÓÞ v Ð�ÙÂÚ8�ßÏ×ÑêÛ�Ñ�ÀÎ çXÙ×ëcÙO�ÆÑÓì8éøÖ�Þ�à/�ßÏ Î Ë�Ïh�:ÑüÐ�ç�ç�Õøì8ÑÓÚ Î Ù�ëcÕ×ÛbÚ×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙ ë�ù ì8ë©Ú×ÑÓÒûç¤|¤x

}K¹ ~7ó� öXÏ Î ç Î çÐ�ZÐ�Ò Î ÚMxüö ëEéÂÛ�ë���Ñ Î ÖêàÈÕÂçîÑ�à d Î � Î Ö�Ï�ÚÂÕÂìJìüÞ��ZÐZÛ Î Ð#�PÒæÑ d ð ÐZÖèÖ�Ï×ÑÖîë�éPÒæÑ���ÑÓÒCÐ�ÙÂÚ8� Î Ö�Ï Î Ù Î Ö�ç���ër¿4ÕÂç�ÑY� Î ÖîëEç�Ï×ë�� v ¾<b ¿ev bM|&|Ë� ¿bv d ð�|bÐ�ÙÂÚÖ�ÏÂÑÓÙ ËêÒæëcçîÑ Ö�ÏÂÑ~à d Î ��ëN¿=Öîë Ë0ëcÙÂËêÒûÕÂÚ×ÑèÖ�ÏÂÑ Ú×ÑÓç Î Û�ÑÓÚ�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�x

Page 49: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ ��î}K¹ ~7¾M� ößÏ Î ç�ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð�ËêÒûÐ Î ì5ç�Ö�ÏÂÐZÖ Ð�Ù�Þ�Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ�Ö�ÏÂÐZÖ Î çáçîÑêÛ Î Ð�Ò�Ð�ÙÂÚ Ð�Ù7Ö Î ��çîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë

ÏøÐ�çWÙÂë=ì Î Ù Î ì5Ð�ÒOÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�x�ôOÑêÖ�Ö�Ï×Ñaì5ë�Ú×ÑÓÒ���ÑüÖ�Ï×Ñ8çîÑêÖWë�ùSÙøÐZÖ�Õ×Û�Ð�Ò Ù7ÕÂì&���ÑêÛ�çË� Î Ö�Ï£�ßÏ×ÑêÛ�Ñ Ä Î ç Î Ù�ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖîÑÓÚØÐ�ç��îÒæÑÓç�çbÖ�ÏÂÐ�ÙØë�ÛbÑr��ÕÂÐ�Òëx��MöXÏÂÑÓÙ Ö�Ï Î çÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ Î ç�çîÑêÛ Î Ð�Ò�Ð�ÙÂÚEÐ�Ù�Ö Î ��çîÞ�ìJì8ÑêÖîÛ Î ËÐ�øÕÂÖíã Î ç:ÐJì Î Ù Î ìJÐ�ÒÂÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�xc��ëÖ�Ï Î ç�ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ Î çXÙ×ë�Ö��ZÐ�Ò Î ÚMx

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�tm�Ãv é x ÆrÊ ä=|}�~&ó��N�Ð� Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�Ö�Ï×ÑüçîÑr��Õ×ÑÓÙ7Ö

¾%b v�¿ev bM|� Yv bG|&| Ä ¾%b v ê v bM|� Yv bM|&|Å2ÃFb v�¿ev bG| ¢Jê v bG|&|��Þ

¿ev bG| ï��kb Î ç�ÐJËêÐZÖ�x��ê v bG| ï��kb Î ç�ÐJÚ×ë�ú�x��Yv bG| ï��kb Î ç�Ð�Ù4Ð�Ù Î ì5Ð�Ò�x��

ößÏ×ÑÓÙW¾<b v�¿ev bG|�� Yv bM|&|èÐ�ÙÂÚ5¾<b v ê v bG|�� Yv bM|&|èÐZÛ�Ñ5ë.�K� Î ëcÕÂç�ÒæÞ,ÖîÛ�Õ×Ñ�à�PÕ×Ö¨ÃFb v�¿bv bG| ¢Kê v bG|&| Î çíù Ð�Òûç�Ñ�àÂÚ×ÑÓçîé Î ÖîÑèÛ�ÑÓË0ÑÓÙ�ÖXÑÀ¸�ë�Û�Ö�ç Î Ù ì Î Ë0Û�ë.� Î ëcÒæë�ú�Þ.x

}�~&���N�Ð� Ñ Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖCÖ�Ï×ÑXçîÑr��Õ×ÑÓÙ�Ö�¾<bDà d Ä�v b Ä d |�ÅKà d ¾<b Ä�v b Ä d | ëN��ÑêÛSÖ�Ï×Ñ Î Ù7ÖîÑêú�ÑêÛ�ç��Þ

Ä�v b Ä d | ï � d Ñr��ÕÂÐ�Òûçßâ - báx��ñ ÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞ�àPÑ���ÑêÛ�ÞKb$ÏÂÐ�çWÐ d à�ÙøÐ�ì8ÑÓÒæÞØâ - bOà�ç�ÕÂË�Ï4Ö�ÏÂÐZÖ Ä�v b Ä d |ßÏ×ëcÒûÚÂç�x � Õ×ÖÖ�ÏÂÑêÛ�Ñ Î ç�Ù×ë Î Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ d �bÏ Î Ë�Ï�Ñr��ÕÂÐ�ÒûçXâ - b������Y����ê��F�#éëê¤ìq�Y�*�³báx

}�~&Ï>�N� ÿ×ë�Û�Ö�ÏÂÑJçîÑr��Õ×ÑÓÙ�Ö�ÃFb v � ¿bv bG|§¢5ê v bG|&|�Å5¾<b v�¿ev bG|��ñê v bG|&|èÙÂëEéÂÛ�ë�ë�ù Î çé�ëcç�ç Î �øÒæÑèç Î ÙøË0Ñ��SÑaËêÐ�Ù Î Ù7ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ ¿ Ð�ÙÂÚLê ëN��ÑêÛWÖ�Ï×Ñ Î Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ�çßç�ÕÂË�Ï Ö�ÏÂÐZÖ¿bv bG| Î ç ç�ÐÓÞ Î Ù×ú��kb Î çèë�ÚøÚ/� Ð�ÙÂÚTê v bG| Î çüç�Ð�Þ Î Ù×ú Ö�ÏÂÐZÖ8�kb Î çüÑ���ÑÓÙ/��x ð ÙÖ�Ï Î çèì8ë©Ú×ÑÓÒ§�SÑ5ÏÂÐN��Ñ � � ÃOb v � ¿ev bM|�¢Rê v bG|&|�àÈÑ.x ú�xÈÖ�ÐZÜ�Ñ=â Ð�çüÐh� Ð�ÒûÕÂÑë�ùtbOàG�øÕ×Ö��SÑ8ËêÐ�ÙÂÙÂë�Ö�ÏøÐr��Ñ � � ¾<b v�¿bv bG|�� ê v bG|&|bç Î ÙÂË0Ñ2Ù×ë�Ö�Ð�ÒûÒ ë�ÚÂÚÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç�ÐZÛ�Ñ Ñ���ÑÓÙ v Î ÙEù Ð�Ë0ÖêàøÙ×ëcÙ×Ñèë�ù Ö�Ï×ÑÓì�ÐZÛ�Ñ��z|¤x

}�~&¾ �N� ÿ×ë�Û Ö�Ï×Ñ8çîÑr��Õ×ÑÓÙ7Ö�ÃFb v � ¿bv bG|§�í�ê v bG|&|HÅW¾<b v�¿bv bG|§�Wê v bG|&|bÙ×ë�éÂÛ�ë�ë�ù Î çé�ëcç�ç Î �øÒæÑ2ç Î ÙÂË0ѽ�:ÑJì5Ð�Þ Î Ù�ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ ¿ Ð�ÙøÚÞêzë���ÑêÛ�Ö�Ï×Ñ ç�Ð�ì8ÑJÚ×ëcìJÐ Î Ù�ë�ùÎ Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ�çÓàK�PÕ×ÖSÙ×ë�� ¿ev bG|Sç�Ð�Þ�ç:Ö�ÏÂÐZÖ½�kb Î ç:Ú Î � Î ç Î �PÒæÑÓ�7Þ â#�©à��ßÏÂÑêÛ�ÑÓÐ�ç³ê v bG|ç�ÐÓÞ©ç8Ö�ÏÂÐZÖw�kb Î ç2Ú Î � Î ç Î �øÒæѽ��Þ ] ��x�öXÏÂÑÓÙÃ�:ÑEÏÂÐr��Ñ � �³� ÃFb v � ¿ev bG|��,ê v bG|&|�ù ë�Û8Ö�Ï Î ç8ì5ë�Ú×ÑÓÒÆàCÑ.x ú�xBÖ�ÐZÜ�Ñ Û Ð�ç2Ö�Ï×ÑÎ�ZÐ�ÒûÕ×Ñ�ë�ù$b � Ï×ëN�:Ñ���ÑêÛÓà+�SÑËêÐ�ÙøÙ×ë�ÖCÏÂÐr��Ñ � �H� ¾<b v�¿bv bG|��³ê v bG|&| ç Î ÙÂË0ÑíÙ×ë�Ö Ð�ÒûÒ Î Ù�ÖîÑêú�ÑêÛ�ç ÐZÛ�Ñ:Ú Î � Î ç Î �øÒæÑ��Þ âaë�Û ] v Ñ.x ú�x�Ë�Ï×ë�ëcçîÑ�b4ÖîëY��Ñ Ær] |¤x

Page 50: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�Ó¦ ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µk�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�t�¹Ev é x ÆrÊ.É |}�~&�G� öXÏ×Ñ8ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐKà ¿�� �:Ð�ç�ì8ÑÓÐ�Ù7Ö Öîë���Ñ8Ö�Ï×Ñ8ëcÙ×Ñ5Ö�ÏøÐZÖüçîé�ÑÓË Î )øÑÓçèÕÂÙÂÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ/�

� Î Ò Î Ö�Þ.xßöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à�Ö�Ï Î çbÚ×ë7ÑÓçWÙ×ë�Ö�Ï×ëcÒûÚ4Ï×ÑêÛ�Ñ2Ð�ç ¡>Ç Î çßÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏøÐ#�øÒæÑaù Û�ëcì ¡ SÖ�ÏÂÛ�ëcÕ×úcÏEÖ�Ï×ÑüéøÐZÖ�Ï ¡ S � ¡ ðË� ¡>Ç x� � öXÏ×ÑêÛ�ÑaÐZÛ�Ñ Î ÙO)�Ù Î ÖîÑÓÒæÞ�ì5Ð�Ù7ÞØç�ÕÂË�Ï4éPÐZÖ�ÏÂç v Þ�ëcÕ*ÐZÛ�Ñ��:ÑÓÒûË0ëcì8Ñ2Öîë�Ö�Ï Î ÙÂÜ�Ð#��ëcÕ×ÖÖ�ÏÂÑ5Ú×Ñêú�Û�ÑêÑ8ë�ù Î ÙO)PÙ Î Ö�Þ Ï×ÑêÛ�Ñ�|¤x�ÿ×ë�Û ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ�àM�SÑ5ËêÐ�Ù*ÖîÛ�Ðr��ÑÓÒCù Û�ëcì ¡ S Öîë¡ ðüÐ�ÙøÚØÖ�Ï×ÑÓÙ,Ë0Þ©ËêÒæÑQ��ÑêÖ%�:ÑêÑÓÙ ¡.Ç Ð�ÙÂÚ ¡ ðèù ë�Û�Ð�Ù�Þ2)�Ù Î ÖîÑüÙ�ÕÂì���ÑêÛbë�ùBÖ Î ì8ÑÓç��Ñêù ë�Û�Ñ��:Ñ ÖîÛ�Ðr��ÑÓÒ ù Û�ëcì ¡.Ç Öîë ¡ È6x

ý ~&�M��� Ñ$ËêÐ�Ù!çîé�ÑÓË Î ù Þ ç�ÕÂË�Ï!Ð;ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ\��Þ.à ¿bv ¾<b�¾ d v�¿ev b Ä d |í� Yv b Ä d |&|&|H¢v ¾%b ¿ev b Ä bG|&|ᢠv ¾<b�¾ d v�¿ev b Ä d |�� ¿bv d Ä bM|&|&|¤x

ý ~&¼9�£� Ñ2çîé�ÑÓË Î ù Þ Ö�Ï Î ç���ÞEç�ÐÓÞ Î Ù×úJÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çXçîëcì8Ñ ¿ �ßÏ Î Ë�Ï Ë0ëcÙ7Ö�Ð Î ÙÂçXÑÀ¿×Ð�Ë0Ö�ÒæÞ Ð�ÒûÒéPÐ Î Û�ç�Ö�ÏÂÐZÖbÏÂÐr��ÑüÐJÚ Î Û�ÑÓË0ÖîÑÓÚ �ÆéPÐZÖ�ÏEë�ùCÒæÑÓÙ×ú�Ö�ÏØâ8Ð�ÙøÚEÖ�ÏÂÐZÖ Î çXÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ.x�©ë,Ö�Ï Î ç�ìJÐÓÞ;Û�ÑÓÐ�Ú�Ð�ç�à ¿ev ¾<b8¾ d v�¿bv b Ä d |�� Ã Ö v�Yv b Ä×Ö |g¢ Yv Ö�Ä d |&|&|&|g¢v ¾%b�¾ d ¾ Ö v�¿ev b Ä d |ᢠ¿ev d Ä×Ö |� ¿ev b Ä×Ö |&|&|¤x

�M�Ð� Ñ ÕÂçîÑ�Ð�Ù Î ÙÂçîÖ�Ð�ÙøË0Ñ=ë�ùßÖ�Ï×ÑEÒûÐr�zë�ùßÖ�ÏÂÑ ÑÀ¿×ËêÒûÕÂÚ×ÑÓÚ�ì Î ÚÂÚÂÒæÑ.x,ó Î Ö�Ï×ÑêÛ�À Î ç Î ÙÀ�ë�Û Î Ö Î ç�ÙM� Ö�x ð ù³À Î ç Î ÙÞÀ�àCÖ�Ï×ÑÓÙÖ�7Þ[Ú×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙ$ë�ù$À Î Ö Î ç2Ù×ë�Ö Î Ù1ÀüàË0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙMx ð ù�À Î ç�Ù×ë�Ö Î Ù:À�à×Ö�Ï×ÑÓÙÎ��Þ Ú×Ñ�)�Ù Î Ö Î ëcÙ=ë�ùZÀ Î Ö Î ç�Ð�Ë0Ö�ÕøÐ�ÒûÒæÞë�ù ì8ÑÓì���ÑêÛíë�ù}À�àÂÐaË0ëcÙ�ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙMxt��ë8Ù×ë2ì5ÐZÖîÖîÑêÛ��ßÏøÐZÖíËêÐ�ç�Ñ�à��SÑèÚ×ÑêÛ Î ��ÑÐJË0ëcÙ�ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙMx

fá~&�G� öXÏ Î ç�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ËêÒûÐ Î ìJç�Ö�ÏÂÐZÖÈÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çÈÐ�� Î ÙÂÐZÛ�ÞßÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ¿ � Î Ö�Ï�Ö�Ï×ÑBéÂÛ�ë�é�ÑêÛ�Ö�ÞÖ�ÏøÐZÖBÐ�Ù�Þ ¿ �ÆÑÓÚ×ú�Ñ�ÑÀ¿×ËêÒûÕÂÚ×ÑÓç Î Ö�ç Û�Ñ���ÑêÛ�ç�Ñ ¿ �ÆÑÓÚ×ú�ÑXÐ�ÙÂÚaÖ�ÏÂÐZÖBÐ�Ù7Þ �ÆÑÓÚ×ú�Ñ�ÏÂÐ�çÐJÛ�Ñ���ÑêÛ�çîÑ ¿ �ÆÑÓÚ×ú�Ñ.xXößÏ Î ç�ËêÐ�ÙÂÙ×ë�Ö���Ñ Î Ù Ö�ÏÂÑ ú Î ��ÑÓÙ,ì8ë�ÚÂÑÓÒëx+ÿÂë�ÛbÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑ�àÖ�ÏÂÑêÛ�ÑSÐZÛ�Ñ �ÆÑÓÚ×ú�ÑÓç ù Û�ëcì ¡>Ç Öîë ¡ ðCÐ�ÙÂÚ�� Î Ë0Ñ��ÑêÛ�ç�ÐWçîëßÖ�ÏÂÑêÞ��SëcÕÂÒ Ú Î ì8éPÒæÞ ¿ �ÑÓÚÂú�ÑÓç¶ù Û�ëcì ¡ ðíÖîë ¡>Ç Ð�ÙÂÚe� Î Ë0ÑË��ÑêÛ�ç�Щà�Û�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞ.x � Õ×Ö¶Ö�Ï Î çBË0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö�çÖ�ÏÂÑ Û�Ñr��Õ Î Û�ÑÓì8ÑÓÙ7Ö8ëcÙ ¿ �ÆÑÓÚÂú�ÑÓçêàXÙÂÐ�ì8ÑÓÒæÞ;Ö�ÏÂÐZÖJÐ ¿ �ÆÑÓÚ×ú�Ñ ù Û�ëcì ¡ ð�Öîë ¡>ÇÑÀ¿×ËêÒûÕÂÚÂÑÓç�Ö�Ï×Ñ é�ëcç�ç Î � Î Ò Î Ö�Þ2ë�ù Ð ¿ �ÆÑÓÚ×ú�Ñ ù Û�ëcì ¡ Ç�Öîë ¡ ð x©á~&ó��£� ÑèËêÐ�Ù�Ð�Ë�Ï Î Ñ���ÑWÖ�Ï Î ç��7Þ5Õøç Î Ù×úüÕøÙ Î ��ÑêÛ�ç�Ð�ÒPçîÑÓË0ëcÙÂÚO�Æë�Û�Ú×ÑêÛ:Òûë�ú Î ËXÖîë��7ÕøÐ�Ù�Ö Î ù Þë���ÑêÛXÐ�ÒûÒPÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��ÑßÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙÂç¶Ö�ÏøÐZÖ:Ë0ëcÙ7Ö�Ð Î Ù Ð�ÙÂÚ ÖîëaÖ�Ï×ÑÓÙ�ì5ÐZÜ�ÑbÖ�ÏÂÑWÚ×Ñ��ç Î Û�ÑÓÚèçîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Ö Ð#��ëcÕ×ÖÈÐ�Ò Ò�ç�ÕÂË�Ï ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��ÑCÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙÂçÓï%¾ ¿ev ¾<b8¾ d v�Yv b Ä d |��¿bv b Ä d |&|&|ᢠv ¾<b8¾ d ¾ Ö v�¿ev b Ä d |M¢ ¿bv d Ä×Ö |g� ¿ev b Ä×Ö |&|&|�� v ¾%b ¿ev b Ä bG|&|¤x©á~&¼9� öXÏ×ÑEÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙÂË0ÑEÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ�Ö�ÏÂÐZÖ Î Ú×ÑÓÙ�Ö Î )øÑÓç2Ù×ë$Ö%�:ë�Ú Î çîÖ Î ÙÂË0Ö2ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�ç Î çìJÐ6¿ Î ìJÐ�Ò Î Ù�Ö�Ï Î çaç�ÑÓÙÂçîÑ�Ð�ÙÂÚ�çîëL¾<b�¾ d Yv b Ä d | � v b æ d | Î çaÐ�Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0ÖÑÓÙøË0ë�Ú Î Ù×ú Î Ù�éÂÛ�ÑÓÚ Î ËêÐZÖîÑ Òæë�ú Î Ë#x

k�l m9nGo�p,qrm�qeÂ�t"!Ãv é x ÆrÊ.Ê |}�~&�G� � ë�Ö�ÏC¡ ¼ þ · � À ´ Ð�ÙÂÚ÷¡ ¼ þ · � À ¯ ÐZÛ�Ñ4ì8ÑÓì���ÑêÛ�ç8ë�ù � ² · ± àg�øÕÂÖ`¡ ¼ þ · � À ¯

ÒûëN��ÑÓçR¡ ¼ þ · � À # �bÏ Î Ë�Ï Î ç ² » Å�² Ð�ÙÂÚ^Ö�Ï×ÑÞ¡ ¼ þ · � À ´ ÒæëN��ÑÓç ² » ÅP² Ð�ÙÂÚ¡ ¼ þ · � À ¯ xVöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ Ö�Ï Î ç Î ç5Ð$Ë0ëcÕøÙ�ÖîÑêÛ�ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑØÖîë%$�&|¢ ��'©¼ þ ·,Ð�çJÙ×ëé�ÑêÛ�ç�ëcÙ Î Ù�Ö�Ï Î çíú�Û�ÐZéøÏ Òæë���ÑÓçßÏ Î ìzë�ÛbÏ×ÑêÛ�çîÑÓÒæù'x

Page 51: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ ��v}�~&º���� ò ì8ë©Ú×ÑÓÒ� Î Ö�Ï4ëcÙøÒæÞØÖ5�Së é�ÑêÛ�ç�ëcÙÂç Î çèç�ÕÂË�Ï�Ö�ÏÂÐZÖ ëcÙ×Ñ8ë�ù:Ö�Ï×ÑÓì ÏøÐ�ç�Öîë���Ѳ » ÅP² Ð�ÙÂÚüÖ�Ï×ÑÓÙ Ö�Ï×ÑSë�Ö�Ï×ÑêÛ é�ÑêÛ�çîëcÙ ÏÂÐ�ç ÖîëbÒæë���Ñ ² » ÅP² x � Õ×ÖOÖ�ÏÂѶëcÙÂÒæÞÐ�íÐÓÞèÖîë

Ö�ÏÂÑÓÙ ú�ÑêÖßÐ5Ë0ëcÕøÙ�ÖîÑêÛ�ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ Î ç�Öîë5Ö�ÏÂÑÓÙ ÏÂÐr��ÑaÐ�Ù×ë�Ö�Ï×ÑêÛßÒûëN��ÑüÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙÂç�Ï Î é�bÏ Î Ë�ÏÈàÂÙ×ÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ Î ÒæÞ�àÂÏÂÐ�ç�Öîë Î Ù���ëcÒ®��Ñ ç�ÑÓÒæùm��ÒûëN��Ñ.x

¹ ~&ó�� & � À)( ¼�'©¼ À « �=��¼ · ¤×² ��¹+* ² 'Pº À Í � º,'�¼ £ ¼ ² ��¹ ²�É »7¼ « �=��¼ · ½.-0/1- þײ.� ¹ Ã32¸Pº ± ¹4- 25VÀ �=�©¼ · ®46² »�» À / À ���©¼ ·87 5#À �:9�¼=�IÍ©¼ · ®4;

<< þ � À)( ¼�'×¼ À « �=�©¼ · ¤©² ��¹=* ² 'Pº À Í � º,'�¼ £ ¼ ² ��¹ ²�É »�¼ « �=�©¼ ·�& � þ46÷É � ± ´ - þײ#� ¹��~&�+> ¼9� ÔbÑêÛ�Ñ Î ç�Ð&)PÒæÑ ¬ ��»=� þ ¼=�?- þ©².� ¹ · � ² » ·�� Î Ö�ÏEÐ8é�ëcç�ç Î �øÒûÑWçîëcÒ Õ×Ö Î ëcÙáïÅ �=�.�P»�¼ ¬ ��»=� þ ¼=�?- þײ#� ¹ ·· º"Í ¬ �©»�� þ@2 <· º"Í « �=��¼ 2�.�©»�� þ / ¬ ��»=� þ

<

· º"Í Ë É �#� ± ¬ �©»�� þ ¼��=- þײ.� ¹ · 2À �=��¼ · / · ¼ ± « ���©¼ Ǽ��FÍ�¼ · / À ���©¼ ·BA=C À �=�©¼ ·

< 2 ¼=�IÍ©¼ · ®ED ¼��FÍ�¼ ·GF?F ² »�» ÊH/ À �=�©¼ · Ç Ñ�/2Êg� ¼=�IÍ©¼ ·87 À � ± Ê+� �.�©»�� þ!® ÑÓ�7�>��»=� þ <& � À � ¸/� ¬ �©»�� þ©²"É »�¼ ½×ÍI/ Ë É �.� ± ¬ ��»=� þ ¼=�?- þ©².� ¹ · ÃJ2¸Pº ± ¹ Í 25VÀ �=�©¼ · �7�>�©»�� þ#®&¯5VÀ �=�©¼ ·BC ®LK² »�» ÊH/ À ���©¼ ·87,· � Å ¼.Ê+��¼=�FÍ�¼ ·GA=A ± � · ¼�¼ Å � þ ¼�º À ± ¼ þ ¼ · ± º À ÍCÍ þ©².� ¹ ·

<< þ � À � ¸/� ¬ �©»�� þײ�É »�¼ & � þLM É � ± ´ Ë É �#� ± ¬ �©»�� þ ¼=�=- þײ#� ¹ ·

& � À � ¹ þ ¼�¼ ¬ �©»�� þײ�É »�¼ ½ Í8/ Ë É �.� ± ¬ ��»=� þ ¼=�?- þ©².� ¹ · ÃN2¸Pº ± ¹ Í 25VÀ �=�©¼ · �7�>�©»�� þ#®4K5VÀ �=�©¼ ·BC ®LK² »�» ÊH/ À ���©¼ ·87,· � Å ¼.Ê+��¼=�FÍ�¼ ·

<< þ � À � ¹ þ ¼7¼ ¬ �©»=� þײ�É »7¼ & � þLMCÉ � ± ´ Ë É �#� ± ¬ �©»�� þ ¼=�=- þײ#� ¹ ·

Page 52: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ

& � À � �.� þ ¬ ��»=� þײ"É »7¼ ½ Í8/ Ë É �#� ± ¬ �©»�� þ ¼=�=- þײ#� ¹ · ÃN2¸Pº ± ¹ Í 25VÀ �=�©¼ · �7�>�©»�� þ#®LM5VÀ �=�©¼ ·BC ®LK² »�» ÊH/ À ���©¼ ·87,· � Å ¼.Ê+��¼=�FÍ�¼ ·

<< þ � À � �.� þ ¬ ��»=� þ©²"É »7¼ & � þLMCÉ � ± ´ Ë É �.� ± ¬ ��»=� þ ¼=�?- þ©².� ¹ ·A=A ¸Â¼ � ²�À�À � ± · � ¼���º & Ñ ± ¹ ² ± ² Í þײ.� ¹�º · K A �.�©»=� þײ�É »7¼ É � ± À � ±¯ A �.�©»�� þײ�É »�¼ Ç & � þ º À � þ ��¼ þ ± � ��� ± ¹�º ·BA?A ¸Â¼ À ¼7¼=� ± � · ² ÑPO=O ± ¹ø¼ þ ¼�º ·²4K A �.�©»=� þ º À ÍRQ?Q ± ¹ ² ± ¸/� þ�­ ·G& � þ ± ¹�º · Í þײ#� ¹ ²ZÀ �SO=O ² »7» ¯ A �>�©»�� þ º À Í · Q?QA=A ��� À Q ± ¸/� þ�­:° ± ¹ø¼ �©þ ¼ · ¼ À �c¼ � & ± ¹ø¼!¼|Êøº · ± ¼ À ± º ² » ²�À �Ü� À º,'×¼ þ · ² »T � ²ZÀ ± º & º�¼ þ · ��'©¼ þ!þ ¼©» ² ± º.� À · ²�þ ¼ A=A ¸7¹ ² ± ÅP²c­ ¼ · ± ¹�º · À � ± ¼IÊ �×þ ¼ ·�· º É »7¼º À Ë »7»=�|Ñ � þ�²�À Ñ � ± ¹ø¼ þ ± �K��» ± ¹ ² ± ² ±7± ¼ Å�� ± · ± � þ ¼=�.�G��¼ ± ¹�º · ± � A?A ( Ë �· �©»�'Pº À Í & � þ��×þ � � � · º ± º.� Àø² »#»��IͺK�

ý ~&�+> Ï>� ÔbÑêÛ�Ñ Î ç�Ð�)�ÒæÑ�U þ º �©­ ¼   ���©¼©» · � ² » ·�� Î Ö�ÏEÐ8é�ëcç�ç Î �PÒæÑWç�ëcÒûÕ×Ö Î ëcÙáïÅ �=�.�P»�¼ U þ º �©­ ¼   �=�©¼�» · º"Í ¡ þ � �)2 <· º"Í ( ± ² ± ¼ 2» ²"É ¼©» · / · ¼ ± ¡ þ � � A=A ± ¹/� · ¼ �×þ � � � · º ± º>� À · ± ¹ ² ± ²�þ ¼ ± þ �ø¼ ² ±!± ¹�º ·!· ± ² ± ¼

<

· º"Í ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ 2· ± ² ± ¼ · / · ¼ ± ( ± ² ± ¼ Ǻ À º ± Ç & º Àø² »S/ · ¼ ± · ± ² ± ¼ · ÇÀ ¼IÊ ± / · ± ² ± ¼ ·BA=C&· ± ² ± ¼ ·

< 2 · � Å ¼�º À º ± <& � Ào£ ¼ ² ��¹ø¼ · ½ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ Ç · / · ¼ ± ( ± ² ± ¼ Ã32¸Pº ± ¹ ÅV2· ® º À º ± �.W À ¼IÊ ±

<< þ � Ào£ ¼ ² ��¹ø¼ ·G& � þLKCÉ � ± ´3( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼& � À Ì ¼ ² �×»=��� ­F��þ ¼7¼ ½ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ ÃX2¸Pº ± ¹ ÅV2º À º ± �.W À ¼|Ê ± F 2 ÊH/ · ± ² ± ¼ ·87 À �.Êg� À ¼IÊ ± < º À & º Àø² »

Page 53: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ �Ó�<

< þ � À Ì ¼ ² �©»=��� ­O�7þ ¼7¼ & � þ4KCÉ � ± ´B( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼& � À Ì ¼ ± ¼ þ�Å º À º · ± ºK�Ƚ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ ÃX2¸Pº ± ¹ ÅV2² »�» ÊH/,º À º ± �.W À ¼IÊ ± 7,· ��»7¼ Êg� À ¼|Ê ±<

< þ � À Ì ¼ ± ¼ þ�Å º À º · ± ºK� & � þ4K÷É � ± ´B( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼& � Ào£ ¼ ² ��¹ ²�É ºc»×º ± ÑB½ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ Çe� / ¡ þ � �áÃ32¸Pº ± ¹ ÅV2· � Å ¼&º À º ± ��W À ¼|Ê ± F 2 · / · ± ² ± ¼ ·87 � º À · �î» ²"É ¼©» · <

<< þ � Ào£ ¼ ² ��¹ ²�É º�»©º ± Ñ & � þ4KCÉ � ± ´B( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼& � À ¢ º,'©¼ À ¼ ·�· ½ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ ÇY� / ¡ þ � �ÈÃ32¸Pº ± ¹ ÅV2² »�» ÊH/,º À º ± �.W À ¼IÊ ± 7,· � Å ¼ Êg�.W À ¼IÊ ± F 2 · / · ± ² ± ¼ ·Y7 � º À · � » ²"É ¼©» · <<

< þ � À ¢ º,'×¼ À ¼ ·�·X& � þ4KCÉ � ± ´3( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼² ·�· ¼ þ ± � Å�� »×º�¼ · 2² »�» Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ Çe� / ¡ þ � � 7:¢ º,'©¼ À ¼ ·�· ½ ÅXÇ%�ÈÃ�® C £ ¼ ² ��¹ ²�É º�»©º ± ÑB½ Å�Ç5�áÃ< ��¹ø¼�� ­ � Å�� »©ºc¼ ·G& � þ4K÷É � ± ´B( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼² ·�· ¼ þ ± ¬ � À '×¼ þ · ¼ 2² »�» Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ Çe� / ¡ þ � � 7 £ ¼ ² ��¹ ²�É ºc»×º ± ÑB½ ÅXÇ5�áÃ$® CC¢ ºZ'×¼ À ¼ ·7· ½ ÅXÇ5�áÃ< ��¹ø¼�� ­ ¬ � À '©¼ þ · ¼ & � þ4K÷É � ± ´3( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼& � À)( º Å �P» ² ± º.� À�� � þI� º,'©¼ Ì+& ½ Å / ( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼ Ã%2¸Pº ± ¹ ÅV25 · ± ² ± ¼ · ®LK· � Å ¼.Ê[/ · ± ² ± ¼ ·Y7 À � ± · �©»�¼.Ê+� À ¼IÊ ±² »�» ÊH/ · ± ² ± ¼ ·87 À �.Êg� À ¼IÊ ± ® C Ê º À & º Àø² »² »�» Ê Ç ÑH/ · ± ² ± ¼ ·87 2Ü� / ¡ þ � � 7 � º À Êg�î» ²�É ¼�» · < ®

2Ü� / ¡ þ � � 7 � º À Ñ+�î» ²�É ¼�» · < ® C Ê ® Ñ<

< þ � À)( º Å �ø» ² ± º>� À�� � þF� º,'©¼ Ì\&G& � þ4KCÉ � ± ´3( ± ² ± ¼   ² ��¹�º À ¼

Page 54: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � ¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ�á~&�G�í� Ñ��XÛ Î ÖîÑ�Ð8ç Î úcÙøÐZÖ�Õ×Û�Ñ�ù ë�Û�ú�Û�ëcÕ×éøçíÐ�ÒæëcÙ×ú½� Î Ö�Ï Ö�ÏÂÑ�ÙÂÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ�Þ�Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Ö�ç

v ú�Û�ëcÕ×é4Ð6¿ Î ëcì5ç¤|�ï· º"Í�- þ �#� �)2¼�»7¼ Å ¼ À ± · / · ¼ ± ¤ »�¼ Å ¼ À ± Ç� À º ± /E¼�»7¼ Å ¼ À ± · ÇÅ �P» ± /E¼�»7¼ Å ¼ À ± ·BA?C ¼©»7¼ Å ¼ À ± ·GA=C ¾ ¼©»7¼ Å ¼ À ± · Ǻ À '�/E¼©»�¼ Å ¼ À ± ·BA=C Á ¼©»7¼ Å ¼ À ± ·

< 2!² »7» ²BÇMÉíÇ �]/ ¼©»�¼ Å ¼ À ± ·Y7 ���Z½�½ É ��½ ² � Å �P» ± Ã�à � Å �P» ± Ã*®½����Z½ É � Å �ø» ± Ã�à �Z½ ² � Å �ø» ± ò »7» ² /ؼ©»�¼ Å ¼ À ± ·Y7 ²É® � À º ± �Z½ ² � Å �ø» ± à F?F ²É®&² ��½'� À º ± � Å �P» ± ò »7» ² /ؼ©»�¼ Å ¼ À ± ·Y7 � À º ± ®�² ��½�½ ² ��º À ' à � Å �P» ± à F=F ½ ² ��º À ' à �Z½ ² � Å �ø» ± Ã�® � À º ±<�bÏ×ÑêÛ�Ñ ¼�»7¼ Å ¼ À ± ·;ì5ë�Ú×ÑÓÒ çWö2à � À º ± ì8ë�ÚÂÑÓÒûç_^càaÐ�ÙÂÚ Å �ø» ± ì8ë�ÚÂÑÓÒûça`�xå ÒæÑÓÐ�çîÑüÙÂë�ÖîѺ Ö�ÏÂÐZÖ Ö�Ï×ÑíÖ�Ï×Û�ÑêÑíÐ6¿ Î ëcìJç ù ë�ÛBìaÕÂÒæÖ Î éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ ÐZÛ�ÑíÑÓÙÂË0ë©Ú×ÑÓÚ2Ð�ç Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Ö�çÐZÖîÖ�Ð�Ë�Ï×ÑÓÚ=ÖîëüÖ�ÏÂÑbç Î úcÙøÐZÖ�Õ×Û�Ñ � �:ÑßÚ Î çîéøÒûÐ�ÞaìaÕÂÒæÖ Î éPÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ Î Ù5У�îËêÕ×Û�Û Î ÑÓÚ9�ù ë�Û�ì�| �

º Ö�Ï×Ñ5Û�ëcÒæÑ8ë�ù ¾ �ßÏ Î Ë�Ï�ÑÓÙÂç�Õ×Û�ÑÓç Ö�ÏÂÐZÖüÐ�Ù7Þ4Ö5�Së4ú�Û�ëcÕ×é$ÑÓÒæÑÓì5ÑÓÙ�Ö�ç ÏøÐr��Ñ ÐÕÂÙ Î ��Õ×Ñ�Û�ÑÓç�ÕÂÒûÖ:ë�ù Ö�Ï×Ñ Î ÛXì�ÕÂÒûÖ Î éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ � Ð�ÙøÚ

º Ö�Ï×Ñ Û�ëcÒæÑèë�ù Á çîÖ�ÐZÖ Î Ù×ú5Ö�ÏøÐZÖXÑÓÐ�Ë�ÏØÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7ÖßÏÂÐ�çXÐZÖWÒæÑÓÐ�çîÖ�ëcÙ×Ñ Î Ù���ÑêÛ�ç�Ñ.x�á~&ó�� öXÏ×Ñèù ëcÒûÒæë�� Î Ù×úb& � À ��çîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Ößú�ÑÓÙÂÑêÛ�ÐZÖîÑÓçbÐ2ú�Û�ëcÕ×é�� Î Ö�Ï�Ö�ÏÂÛ�ÑêÑ ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�çêï

& � À Ë - þ �.� � ½.-c/d- þ �.� �áÃ325 -g� ¼�»7¼ Å ¼ À ± · ®4K

< þ � À Ë - þ �#� � & � þ4K÷É � ± ´ - þ �.� ��á~&º��8� ÑüÚ×ÑÓËêÒûÐZÛ�Ñ

² ·�· ¼ þ ± � À '×¼ þ · ¼ 2² »�»e-c/f- þ �#� �:Ç ¼c/f-g� ¼©»�¼ Å ¼ À ± ·Y7,· ��»7¼É¼���½�-+��º À ' Ã< ��¹ø¼�� ­ � À '×¼ þ · ¼ & � þ@;UÉ � ± ´ - þ �.� �Ð�ÙøÚEÙ×ë5Ë0ëcÕÂÙ7ÖîÑêÛ*�ÆÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑ Î çíù ëcÕÂÙÂÚ�� Î Ö�Ï Î ÙJÖ�ÏøÐZÖXç�Ë0ë�é�Ñ � · �©»�¼ ( Ú×ÑÓÙ×ë�ÖîÑÓçÖ�ÏøÐZÖ ( Ë0ëcÙ7Ö�Ð Î ÙÂç5ÐZÖ5ì8ëcç�Ö8ëcÙ×Ñ�ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�x;öXÏÂÑ�ç�ì5Ð�ÒûÒ���ç�Ë0ë�é�ÑEÏ7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î çÖ�ÏÂÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�ç�Õ×ú�ú�ÑÓçîÖ�ç2Ö�ÏÂÐZÖ Î Ù=��ÑêÛ�çîÑÓç2ÐZÛ�ÑEÕÂÙ Î �7Õ×Ñ Î Ù[Ð�Ò Ò)PÙ Î ÖîÑJú�Û�ëcÕÂéøç�x ð ÙÖ�Ï Î çCËêÐ�çîÑ�à�Ö�Ï×ÑXç�ì5Ð�ÒûÒ���ç�Ë0ë�é�ÑíÏ7Þ�é�ë�Ö�ÏÂÑÓç Î ç ú�ë�Ö Î Ö Û Î úcÏ�Öêï Î Ù=��ÑêÛ�çîÑÓçBÐZÛ�ÑXÕøÙ Î ��Õ×ÑÎ Ù�ú�Û�ëcÕ×éøçêà×Ñ���ÑÓÙ Î Ù Î Ù�)PÙ Î ÖîÑWëcÙ×ÑÓç�x

�á~&��� Î x � ÑaÚ×ÑÓËêÒûÐZÛ�Ñ

Page 55: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥¦yÚkÛ�¬°µª²�­�Ú�³z¨5´N¬°µ ���& � À ¬ � Å�Å � ± ¼ · ½�-�/f- þ �.� �ÈÃ32² »�» ²BÇMÉ /d-g� ¼�»7¼ Å ¼ À ± ·Y7 ² ��½ É ��½�-+� Å �P» ± Ã�Ã�®CÉ �Z½ ² ��½.-g� Å �P» ± Ã�Ã< þ � À ¬ � Å�Å � ± ¼ ·X& � þ4KCÉ � ± ´ - þ �#� �² ·�· ¼ þ ± ¬ � Å7Å � ± ² ± º,'©¼ 2² »�»e-�/f- þ �#� � 7 ¬ � Å�Å � ± ¼ · ½�- Ã< ��¹ø¼/� ­ ¬ � Å�Å � ± ² ± ºZ'×¼ & � þ@;UÉ � ± ´ - þ �.� �

Î Î x�òbÙÂÐ�ÒûÞ §ÓÎ ÙÂú$Ö�Ï×Ñ�Ð�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙVÐ#��ëN��Ñ8�SÑL)PÙÂÚÙ×ë[çîëcÒ Õ×Ö Î ëcÙMx öXÏÂÑØç�ì5Ð�ÒûÒ��ç�Ë0ë�é�ÑWÏ7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î çBÖ�Ï×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�ç�Õ×ú�ú�ÑÓç�Ö�çíÖ�ÏÂÐZÖ:Ð�Ò Ò8)PÙ Î ÖîÑXú�Û�ëcÕ×éPçSÐZÛ�Ñ�Ë0ëcì��ì�Õ×Ö�ÐZÖ Î ��Ñ.x öXÏ Î çJÖ Î ì8Ñ�àßÖ�Ï×Ñ*ç�ìJÐ�ÒûÒ���ç�Ë0ë�é�Ñ�Ï�Þ�é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î ç=ú�ë�Ö Î Ö��XÛ�ëcÙ×ú\�öXÏ×ÑêÛ�Ñ ÐZÛ�Ñ�)PÙ Î ÖîÑ�ú�Û�ëcÕ×éPç�Ö�ÏÂÐZÖßÐZÛ�Ñ�Ù×ë�ÖXË0ëcì5ìaÕ×Ö�ÐZÖ Î ��Ñ.xÎ ÎûÎ x ð Ù�ù Ð�Ë0Öêà Î ÙÂË0Û�ÑÓÐ�ç Î Ù×úaÖ�Ï×Ñèç�Ë0ë�é�ÑWù Û�ëcì É Öîë Ê Û�Ñ���ÑÓÐ�ÒûçXÐÔ� Î ëcÒûÐZÖ Î ëcÙ=Öîë8ëcÕ×Ûú�ëcÐ�Òëx å ÒûÑÓÐ�çîÑ8Û�ÕÂÙ,Ö�Ï Î çèÐ�ÙøÐ�ÒæÞ�ç Î ç�Þ�ëcÕ×Û�çîÑÓÒûùSÐ�ÙÂÚ Î ÙÂçîé�ÑÓË0ÖbÖ�ÏÂÑJÙÂÐr� Î úcÐ#�øÒûÑÖîÛ�ÑêÑ ÖîëJÚ×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù×Ñ��ßÏÂÑêÛ�Ñ Ð�ÙÂÚ Ï×ë���Ë0ëcì5ìaÕ×Ö�ÐZÖ Î � Î Ö�Þ Î çH�ÂÛ�ë�Ü�ÑÓÙMx

�á~&¼9�1g ÑÓçêàPÖ�Ï×ÑüÐ�ç�çîÑêÛ�Ö Î ëcÙÂçXÐZÛ�Ñüù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çXÖ�ÏÂÐZÖßì5ÐZÜ�ÑüÐJËêÒûÐ Î ì�Ð#��ëcÕ×Ö���� ú�Û�ëcÕ×éøçrx�©ëßÐßË0ëcÕÂÙ7ÖîÑêÛ*�ÆÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑSÑÀ¿ Î çîÖ�ç Î ¸ Î ÖÈÑÀ¿ Î çîÖ�çOù ë�Û ÐXç Î ÙÂúcÒæÑCú�Û�ëcÕ×é x � Ñ:Ð�ÒûÛ�ÑÓÐ�Ú×ÞÐ�Ë�Ï Î Ñ���ÑÓÚ�Ö�Ï×Ñ8Û�ÑÓçîÖîÛ Î Ë0Ö Î ëcÙ�Öîë ëcÙ×Ñ8ú�Û�ëcÕÂéw� Î Ö�Ï�Ö�Ï×Ñ É � ± ´ - þ �#� � Î Ù�Ö�Ï×Ñ��¹ø¼�� ­ Ð�ÙÂÚ þ � À Ú Î Û�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓç�x

Page 56: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

h

i � ` ckjÔjd��c7�H�ml�npo ��½���fÎjrqÔ�§jtsÐc&��i

k�l m9nGo�p,qrm�q&�Gtuswv é x â ä É |¹ ~&ó��N� º � S Ä � V Ä � S Ä � È Ä � È Ä � È Ä �����º � ë×à/��ÑÓËêÐ�ÕÂç�Ñ Ö�Ï×ÑèéøÐZÖ�Ïí� S Ä � Ç�Ä �rÈ Ä �rÈ Ä �����PÚ×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖXç�ÐZÖ Î çîù Þ ÿ õ ø x¹ ~&¼9�N� º � S Ä � V Ä � S Ä �rÈ Ä �NÈ Ä �NÈ Ä �����º � ë×à/��ÑÓËêÐ�ÕÂç�Ñ Ö�Ï×ÑèéøÐZÖ�Ïí� S Ä � Ç�Ä �rÈ Ä �rÈ Ä �����PÚ×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖXç�ÐZÖ Î çîù Þvu v�ÿ ¢ ø |¤xöM� ÿ×ë�Û8ÑÓÐ�Ë�Ï�Ñr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙøË0Ñ�à Ö�ÏÂÑêÛ�Ñ=ÐZÛ�Ñ Ö5�Së$Ú Î Û�ÑÓË0Ö Î ëcÙÂçüÖîë4éÂÛ�ëN��Ñ.x � Ñ�éÂÛ�ëN��Ñ�Ö�Ï×Ñ

Ö5�Së=Ú Î Û�ÑÓË0Ö Î ëcÙÂçíù ë�ÛßÖ�Ï×Ñ�)øÛ�ç�Ö:Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙÂË0Ñ.xº � õ÷�þ� � � �í¢Yÿ@��xc�©Õ×éÂé�ëcçîÑ�w � � õC�Ëx¶öXÏÂÑÓÙJÖ�ÐZÜ�ÑyxBç�ÕÂË�Ï�Ö�ÏÂÐZÖw ¶ � � Ð�ÙøÚzw|{ � � ù ë�ÛWÐ�Ò Òr}���x7x öXÏ×ÑÓç�Ñüù Ð�Ë0Ö�çèÐZÛ�Ñ2ÑÓÙ×ëcÕ×úcÏ,Öîë éøÛ�ëN��Ñw � � � �VÐ�ÙøÚfw � ÿ@�Ëx

º � � �F¢Îÿ@��� � õ �Ëx��©Õ×éÂé�ëcçîÑyw � � � �F¢Îÿ@�ËxWöXÏ×ÑÓÙzw � ÿ@�ßàù Û�ëcì �ßÏ Î Ë�Ïw�:Ñ Ú×ÑêÛ Î ��ÑJÖ�Ï×Ñ ÑÀ¿ Î çîÖîÑÓÙÂË0ÑJë�ù~x�ç�ÕÂË�Ï$Ö�ÏÂÐZÖ�w ¶ � ��x ö ÐZÜ�ÑÖ�Ï×Ñ5ç�ì5Ð�ÒûÒûÑÓçîÖèç�ÕÂË�Ï�x x�ÿÂÛ�ëcì�w � � � �ßà Î Öèù ëcÒ ÒæëN�ßçWÖ�ÏÂÐZÖ�w|{ � � ù ë�ÛÐ�ÒûÒ�}b�Bx7x¶öXÏ Î ç�ç�Ï×ëN�bç�Ö�ÏÂÐZÖw � � õC�Ëx

ýG� öXÏ×Ñ=ç�Õ��Âù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç ÐZÛ�ÑQ�Oàz���Oà � àÿ � à��à����à,»����à�� � à§� � � � àÿ � �5ö����àÿ � �K»������Õ� � � � à/��� õ v ÿ � �K»Q������ � � � |¤xfM� òWÚÂÚEÖ�Ï×Ñ ËêÒûÐ�ÕøçîÑÓçêï� Î ç�� � Ç ïBÛ�ÑêÖ�ÕÂÛ�Ùd� ��� ÿ v�� Ç |� Î çË��� � ÇÓïCÛ�ÑêÖ�ÕÂÛ�Ùf� ��� ÿ v � � Ǥ|� Î ç�ÿ � Ç ïBÛ�ÑêÖ�Õ×Û�ÙÎÿ ��� ÿ v�� Ç |� Î çË�ÿ � Ç ïCÛ�ÑêÖ�Õ×Û�ÙL» ��� ÿ v � � Ç |� Î ç$» � Ç ïBÛ�ÑêÖ�Õ×Û�ÙJ» ��� ÿ v�� Ç |� Î çË�» � ÇÓïCÛ�ÑêÖ�Õ×Û�Ù£ÿ ��� ÿ v � � Ç |� Î ç � Ç õ � È ïBÛ�ÑêÖ�Õ×Û�Ù ��� ÿ v�� Ç | õ ��� ÿ v�� Èr|� Î çË� v�� Ç õ � Èr|�ïBÛ�ÑêÖ�ÕÂÛ�Ù ��� ÿ v � � Ç | Ý ��� ÿ v � � ÈN|� Î ç � Ç Ý � ÈZïBÛ�ÑêÖ�Õ×Û�Ù ��� ÿ v�� Ç | Ý ��� ÿ v�� ÈN|� Î çË� v�� Ç¶Ý � È |�ïBÛ�ÑêÖ�Õ×Û�Ù ��� ÿ v � � Ǥ| õ ��� ÿ v � � È |

É.Ê

Page 57: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ � Ù� Î ç � Ç � � È ïCÛ�ÑêÖ�ÕÂÛ�Ù ��� ÿ v�� Ç | � ��� ÿ v�� È |� Î çË� v�� Ç � � ÈN|�ï¶Û�ÑêÖ�Õ×Û�Ù ��� ÿ v � v�� È�Ý v�� Ç � � ÈN|&|&|¤x

k�l m9nGo�p,qrm�q&�Gt��Ev é x â ä=y.|}�~&�M�N� ößÏ×Ñ[Ö5�Së!çîÖ�ÐZÖîÑÓç þ ¼ T � É � · Ñ Ð�ÙøÚ ¾�þ ¼ T � É � · Ñ ç�ÐZÖ Î çîù Þ ÿ:· ± ² ± � · æ É � · Ñ

ç Î ÙÂË0ÑaÖ�Ï×ÑêÞ4ç�ÐZÖ Î çîù Þ�· ± ² ± � · ®.É � · Ñ xèöXÏ×Ñ2çîÖ�ÐZÖîÑ þ ¼ T � þ ¼ ² �IÑ Ð�Òûçîë�ç�ÐZÖ Î çk�)PÑÓçBÖ�Ï Î çBù ë�Û�ìaÕÂÒûÐèç Î ÙÂË0ÑXÐ�ÒûÒ Î Ö�çBç�ÕÂËêË0ÑÓç�ç�ë�Û�ç v Ö�Ï×ÑbÖ%�:ë�çîÖ�ÐZÖîÑÓç:Ð#��ëN��Ñ�|¶ç�ÐZÖ Î çîù ÞÎ Ö�xt� Î ÙÂË0ÑXÖ�ÏÂÑbëcÙÂÒûÞ8Ö%�:ë2ç�Ö�ÐZÖîÑÓçÓ�ßÏ Î Ë�ÏJç�ÐZÖ Î ç�ù Þ þ ¼ T ÐZÛ�ÑWÐ�ì8ëcÙÂú�Ö�Ï×Ñ�Ð#��ëN��Ñ�à�:Ñ Î ÙÂù ÑêÛ�Ö�ÏÂÐZÖüÐ�Ò ÒCçîÖ�ÐZÖîÑÓçüç�ÐZÖ Î çîù Þ5» v þ ¼ T �¼ · ± �Pÿ:· ± ² ± � · æ É � · Ñ |¤x ð ÙéPÐZÛ�Ö Î ËêÕÂÒûÐZÛ�àÈÖ�Ï Î çÐ� Î ÒûÒ§��Ñ8ÖîÛ�Õ×Ñ8ù ë�ÛaÐ�ÒûÒCçîÖ�ÐZÖîÑÓç��ßÏ Î Ë�Ï*ÐZÛ�Ñ5Û�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑJù Û�ëcìç�ëcì8Ñ Î Ù Î Ö Î Ð�Ò çîÖ�ÐZÖîÑ v �ßÏ Î Ë�Ï Î çWÖ�Ï Î çWËêÐ�çîÑ5Ð�ì8ëcÕÂÙ7Ö�ç�Öîë�Ö�Ï×Ñ8ç�Ð�ì8Ñ2Ö�Ï Î ÙÂú=Ð�ç�îÐ�Ò ÒÈçîÖ�ÐZÖîÑÓç7��|¤x

öM� öXÏ×Ñ�Ï Î Ù�Ö ú Î ��ÑÓÙ Î ÙaÖ�Ï×Ñ�Û�ÑÓì5ÐZÛ�Ü Î ç Î ÙÂË0ë�Û�Û�ÑÓË0ÖCÐ�ç Î Ö ç�Ö�Ð�ÙÂÚÂç�x öOë ìJÐZÜ�Ñ Î ÖCË0ë�Û�Û�ÑÓË0Öêà�:ÑüÙ×ÑêÑÓÚ Ö%�:ë Ð�ÚÂÚ Î Ö Î ëcÙÂÐ�Ò�Ð�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÂçêïº öXÏ×Ñ Å · Í\����¹ ²ZÀ � & � þ Í©¼ ± Ð�ÙÂÚ ² � ­ ����¹ ²�À � & � þ Í�¼ ± ÐZÛ�Ñ���ë�Ö�ÏEù Ð�ÒûçîÑ �º öXÏ×Ñ$Ë0ëcì8é�ëcÙ×ÑÓÙ7Ö�çØÐZÛ�Ñ[Ë0ëcì8é�ëcçîÑÓÚ�çîÞ©ÙÂË�Ï×Û�ëcÙ×ëcÕÂç�ÒæÞ v Î x Ñ.xH� Î Ö�Ï×ëcÕ×ÖEÖ�Ï×Ñ�©þ ���c¼ ·7·�Ü�ÑêÞ=�:ë�Û�Ú�|¤x

õWÙÂÚ×ÑêÛOÖ�Ï×ÑÓçîѶÐ�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙøç�Ð�ÙøÚèÖ�Ï×ÑBÐ�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙÂçáÐ#��ëcÕ×Ö Å · Í+����¹ ²�À �ª�#� ± � � ± ´Ð�ÙøÚ Å�² � ­ ����¹ ²�À �'�.� ± � � ± ��Ñ Î Ù×ú5Ë0ëcÙøçîÖ�Ð�Ù�Ö�ã©à�Ö�Ï×Ñ�çîÞ©çîÖîÑÓì Î çßÚÂÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù Î çk�Ö Î Ë#xößÏ×Ñ_)øÛ�çîÖ�ù Ñ���çîÖ�ÐZÖîÑÓçWÐZÛ�Ñèú Î ��ÑÓÙ4Ð�ç�ù ëcÒûÒæëN�bçêï���k� �k�����k� ��� ��� ��� ������Z "��¡ ��¢�£�¤:¥¦£�§ ��¢�£�¤:¥¦£�§�Z �¨:¢.����©k§�¢«ª ¨¬��§.­�®�¯.©�£� °¥¦£�±�²�¡:ª ð ð�Z �¨:¢.����©k§�¢�³ ¨¬��§.­�®�¯.©�£� °¥¦£�±�²�¡�³ ð ð´� "��¡ ´�¢.®�¢«¥�µ:¥¦£�§ ´�¢.®�¢«¥�µ:¥¦£�§´� ¶©.®�· ©.®�·¸­�®�¯.©�£� °¥¦£�±�²�¡ Ç Ç´� ¶¢k¹k±.¢.®�¡�¢k¤ ð ð¨¬��§.­�®�¯.©�£� »º�²�¡k±�²�¡:ª ´� �¨:¢.����©k§�¢«ª ð ð¨¬��§.­�®�¯.©�£� »º�²�¡k±�²�¡�³ ´� �¨:¢.����©k§�¢�³ Ç ð¨¬��§.­�®�¯.©�£� ½¼.º�´�§�¢k¡ ð ð©.®�·¸­�®�¯.©�£� »º�²�¡k±�²�¡ �Z ¶©.®�· Ç Ç©.®�·¸­�®�¯.©�£� ½¼.º�´�§�¢k¡ ð ð

k�l m9nGo�p,qrm�q&�Gt��Zv é x â ä=y.|}�~&�M�N� ößÏ×ÑèéøÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çêï

¾�¿

Page 58: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�rà �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´}�~&ó��N� öXÏ×ÑèéPÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çÓï

À ¿

x

y ¾Á¿

�}�~&º��N� öXÏ×ÑèéøÐZÛ�ç�ÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çêï

ÀÃÂ

w ¾ÅÄ

�}�~&���N� öXÏ×ÑèéPÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çÓï

Page 59: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ � îx

¾ÅÄ À Ä

¾Á¿ �

w¹ ~&�M�N� ð Ù ñ öXô5Ñ���ÑêÛ�Þ�ÿØÐ�ÙÂÚèÑ���ÑêÛ�ÞY»ÏÂÐ�çÈÖîë���ÑBË0ëcìQ� Î Ù×ÑÓÚ�� Î Ö�Ï Ð�éøÐZÖ�Ï��7ÕÂÐ�Ù7Ö Î )øÑêÛ

ò ë�Û�óHx ÿÂë�Û=ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ�àíò�ÿ8óc» � Ð�ÙÂÚò�ÿ8ò$» � ÑêÖ�Ë#x&ÐZÛ�Ñ4ç�ÕøË�ÏU�SÑÓÒûÒ��ù ë�Û�ì8ÑÓÚ ñ öXô$ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç�x

¹ ~&Ï>�N� öXÏ×Ñ ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ2òbógÿ � Î çXÙ×ë�Ö Î Ù ñ öXôBàÂç Î ÙÂË0Ñ��:ÑüËêÐ�ÙÂÙ×ë�ÖXéPÕ×ÖXÐ8éøÐZÖ�Ïí�7ÕÂÐ�Ù��Ö Î )øÑêÛßò Î Ù�ù Û�ëcÙ�ÖXë�ù Ð ñ ößô$ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ v Ï×ÑêÛ�Ñ�ï¶ógÿ � |¤x

¹ ~&¾ �N� öXÏ×Ñ=ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð,ò [®v �#õÑ�.|g¢ v �#õ � |M\ Î çaÙÂë�Ö Î Ù ñ öXôBà ç Î ÙÂË0Ñ=Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç2Ù×ëËêÒ Ð�ÕÂçîÑèë�ù Ö�Ï×Ñèù ë�Û�ì�ò [v� Ç ¢ � Èß\ Î Ù�Ö�Ï×Ñèú�Û�Ð�ì5ì5ÐZÛßë�ù ñ öXôx ��� ïPöXÏ×ÑêÛ�Ñ Î çÐ�Ò çîëJÙ×ë5ËêÒûÐ�ÕøçîÑèë�ù Ö�Ï×Ñèù ë�Û�ì�ò [®v�� Ç õ � ÈN|M¢ v�� S õ � V |M\�xöá~&º��N� öXÏ Î ç Î ç�Ð ñ öXô*ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ � Î Ö�ç�éPÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çêï

ÀRÆ

yöá~&¼9�N� öXÏ Î ç Î ç�Ð ñ öXô�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ � Î Ö�çíéøÐZÛ�çîÑêÖîÛ�ÑêÑ Î çêï

Page 60: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��¦ �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´¾ Â

ÀÇÆ �

y �

� �

w È

öá~&Ï>�N� ÿ×ë�ÛHÿ � ¢8ò$»ß� ÖîëÔ��ÑbÐ ñ öXô,ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð Î Ög�SëcÕÂÒ Ú ÏÂÐN��Ñ�Öîë���ÑßÖ�ÏÂÑWËêÐ�çîÑ�Ö�ÏÂÐZÖÿ � Î çJÐ ñ öXô!ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ*Ð�çJÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç2ëcÙøÒæÞ[ëcÙÂÑØËêÒûÐ�ÕÂçîÑEù ë�Û Ë0ëcÙøçîÖîÛ�ÕÂË0Ö Î ÙÂúË0ëcÙ#õîÕÂÙøË0Ö Î ëcÙÂçêà��øÕÂÖ�Ö�Ï Î ç Î ç�Ù×ë�ÖßÖ�Ï×Ñ ËêÐ�çîÑ.x

� �Ð� ÑØÒ Î çîÖ8Ð�ÒûÒ�ç�Õ��Âù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çaë�ùWÖ�Ï×ÑEù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð,ò$» v � � ò [ �Éõ v ���΢$ò [ ���Éõ�]\,|M\,|��7ÞW)øÛ�çîÖüÚ×Û�ÐN� Î Ù×ú Î Ö�ç éøÐZÛ�ç�ÑêÖîÛ�ÑêÑ � Ö�Ï×ÑÓÙ Î Ö Î çüç Î ì8éøÒæÑ2Öîë4Û�ÑÓÐ�Ú�ë#¸ Ð�ÒûÒç�Õ��Âù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�çíù Û�ëcì�Ö�ÏÂÐZÖXÖîÛ�ÑêÑ�ï

Page 61: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ �cvÀ ¿

x

w ÀÃÂ

w �

w

ÀÃÂ

� y

w

ößÏ×Ñ Ò Î çîÖíë�ùCç�Õ��øù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�ç Î çXÖ�Ï×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�����ò [ ���=õ��]\����¢�ò [ ��� õ��]\ò [ ��õ ���½¢�ò [ ��� õU�]\�\�h� ò [ � õ ����¢�ò [ ��� õ��]\�\ò$» v �h� ò [ � õ v ���½¢�ò [ ��� õU�]\,|M\,|¤�

�á~&ó��6~7¶%�N� � Î ÙøË0Ñ � Å�v ¡ ðr|�à Î x Ñ.x � Î ç Ò Î ç�ÖîÑÓÚ8� Î ÙÂç Î Ú×Ñr�WçîÖ�ÐZÖîÑ ¡ ð à.�SÑXÏøÐr��Ñ � Ä ¡ ð � � xößÏ7ÕÂçÓà��SÑ Î Ù×ù ÑêÛ�Ö�ÏøÐZÖ � Ä ¡ ð � ���Î� � à×ù ë�Û - � � æ � x

Page 62: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´�á~&ó��6~7¶u¶u¶%�N� � Î ÙÂË0Ñ � Ä ¡ ð � � v çîÑêÑ Î ÖîÑÓì Æ � v Î |&|2Ð�ÙÂÚMç Î ÙÂË0ÑEÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç8Ð�Ù Î ÙO)�Ù Î ÖîÑ

éPÐZÖ�Ï ¡ ð�� ¡ ð�� ¡ ð�� -�-�- à��:Ñ=ÏÂÐN��Ñ � Ä ¡ ð � ó�» � x,ößÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à��SÑÎ Ù×ù ÑêÛ � Ä ¡ ð��� � ó�» � x� ~&�M�N��� ÑaÏÂÐr��Ñ [ [ ¯¨\ \ æoÄ ç Î ÙÂË0Ñ���Þ=Ú×Ñ�)�Ù Î Ö Î ëcÙ ¡ � ¯^ù ë�ÛßÐ�ÒûÒ ¡ Ä x� ~&Ï>�N��� Ñ5ÏÂÐr��Ñ ¡ � � Ç�� � È Î ù ¡ � � È ë�Û ¡ �� � Çrx ößÏ Î ç Î ì5ì8ÑÓÚ Î ÐZÖîÑÓÒæÞ�Û�ÑÓÙÂÚ×ÑêÛ�ç[ [v� Ç � � Èß\ \ æ vaÄ Ò [ [v� Ç \ \u|É� [ [v� Èq\ \�x� ~&¾ �N�Ð� ÑEÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ�ç�Ðr�zÖ�ÏÂÐZÖ8ò� � Ð�ÙøÚZ�CóÇ�\� � ÐZÛ�Ñ=Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�Ö�x�öXÏ�ÕÂçêà Ö�Ï Î çÎ Ú×ÑÓÙ�Ö Î Ö�Þ Î çXËêÒæÑÓÐZÛrx©M�Ð� ÑÎ��Ñêú Î ÙÃ� Î Ö�Ï[Ö�Ï×ÑEì8ë�Ú Î )øÑÓÚ\��ÑêÛ�ç Î ëcÙÂçÔ�øÐ�çîÑÓÚ;ëcÙ÷» Ð�ÙÂÚÖÿ+x ð ÙÂÚ×Ñêé�ÑÓÙÂÚ×ÑÓÙ7Ö

ë�ùCÖ�ÏÂÑüéøÐZÖ�Ï8�7ÕøÐ�Ù�Ö Î )PÑêÛbò ë�Ûbóßà9�:ÑaÙÂÑêÑÓÚ Öîë�ì8ë�Ú Î ù Þhÿ Ð�ÙÂÚR»�Öîë�çîÖ�Ð�ÙÂÚù ë�Û Ð�çîÖîÛ Î Ë0Ö�ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�à�Û�ÑÓç�é�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞØÐ�çîÖîÛ Î Ë0ÖWúcÒæë.�øÐ�Ò Î Ö�Þ.xüößÏ Î çWËêÐ�Ùß��Ñ2Ú×ëcÙ×Ñ��Þ��XÛ�ÐZéÂé Î Ù×ú8Ö�ÏÂÑ�Û�ÑÓç�é�ÑÓË0Ö Î ��Ñ ñ ößô;Ë0ëcÙøÙ×ÑÓË0Ö Î ��ÑÔ� Î Ö�ÏØÐ�Ù�óR� ë�ÛWÐ�Ù�ò��Û�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞ�ïÝ�¼?Ê ò$» � ; ò�� v ò$» � | v � Ï�Þ Î çXò$» v ò� � | Î ÙøË0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö¤â6|Ý�¼?Ê óc» � ; óÇ� v ò$» � |Ý�¼?Ê ò�ÿ � ; ò�� v ò�ÿ � |Ý�¼?Ê óc» � ; óÇ� v óc» � |¤xòWçSù ë�ÛSÖ�Ï×ÑbõÉË0ëcÙÂÙ×ÑÓË0Ö Î ��Ñ�àK�:ÑË�PÐ�ç Î ËêÐ�ÒûÒæÞ��:Ð�Ù7Ö:Öîë�ì5Ð Î Ù7Ö�Ð Î Ù8Ö�ÏÂÑbÙÂÐZÖ�Õ×Û�ÑXë�ùÖ�ÏÂÑ � Ç õ � ÈüéPÐZÖîÖîÑêÛ�ÙáàM�øÕ×Ö��ßÏÂÐZÖ�Ë�ÏøÐ�Ù×ú�ÑÓç Î çbÖ�ÏÂÐZÖ��:ÑÔ�PÐ�Ù4Ö�ÏÂÑ�ÑÀ¿©ÖîÛ�ÑÓì8ÑËêÐ�ç�ÑWë�ùÈÏøÐr� Î Ù×ú � ÈßÐZÖ:Ö�Ï×Ñ$)øÛ�çîÖ:çîÖ�ÐZÖîÑ.x¶öXÏ�ÕÂçêà>�:Ñ�ÏÂÐr��ÑWÖîëaìJÐZÜ�ÑWç�ÕÂÛ�ÑßÖ�ÏÂÐZÖ� Ç Î çíÖîÛ�Õ×Ñ Î Ù�Ö�Ï×Ñ ËêÕ×Û�Û�ÑÓÙ�Ö�çîÖ�ÐZÖîÑüÐ�ÙøÚ Ë0ëcÙ6õîë Î Ù�Ö�Ï Î ç+� Î Ö�Ï�Ö�ÏÂÑ ç�Ï Î ù ÖîÑÓÚ�ò�õ�àÛ�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞ�ó¶õ@ë�é�ÑêÛ�ÐZÖîë�Û�çêïÝ�¼?Ê ò�õ ; � Ç ¢�ò� v ò [v� Ç õ � Èq\,|Ý�¼?Ê ó¶õ ; � Ç ¢�óÇ� v ó [v� Ç õ � Èß\,|¤x

}Iz�~&ó��� Æ xËÿ Î Û�çîÖêà�Ð�ç�ç�Õøì8Ñ�Ö�ÏÂÐZÖ ¡ � ógÿ � �;ó�ÿ~�Ëx�öXÏÂÑÓÙáà�� Î Ö�Ï×ëcÕ×ÖEÒæëcç�çë�ùíú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�Ò Î Ö�Þ�à�SÑ=ì5ÐÓÞ*Ð�ç�ç�ÕÂì8Ñ5Ö�ÏÂÐZÖ ¡ � ógÿ � v Ö�Ï×ÑJë�Ö�ÏÂÑêÛ�ËêÐ�çîÑÎ ç2ç�Ï×ë��ßÙ Î Ù[Ö�Ï×ÑEç�Ð�ì8ÑEì5Ð�ÙÂÙ×ÑêÛÀ|¤x$öXÏ Î çaì8ÑÓÐ�ÙÂç2Ö�ÏÂÐZÖ2Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çaÐù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�çîÖ�ÐZÖîÑ ¡ P àßÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑ�ù Û�ëcì ¡ àßç�ÕÂË�ÏÉÖ�ÏÂÐZÖ ¡ P � � x � Õ×ÖÖ�Ï×ÑÓÙ ¡ P � � �:�Vù ëcÒ ÒæëN�ßçrx � Õ×ÖXÖ�Ï Î çßì8ÑÓÐ�ÙÂç�Ö�ÏÂÐZÖbÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çXÐ5çîÖ�ÐZÖîÑÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑ�ù Û�ëcì ¡ �ßÏ Î Ë�Ï ç�ÐZÖ Î ç*)øÑÓç � �:�ËxXöXÏ�ÕÂçêà ¡ � ógÿ v�� �N�Ó|ù ëcÒûÒæëN�bç�x

âKx^��ÑÓË0ëcÙÂÚÈà�Ð�ç�ç�ÕÂì5ÑXÖ�ÏÂÐZÖ ¡ � ó�ÿ v�� �^��|¤xBöXÏ×ÑÓÙ2Ö�Ï×ÑêÛ�ÑßÑÀ¿ Î ç�Ö�çBÐ çîÖ�ÐZÖîÑ¡ µ àBÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑEù Û�ëcì ¡ àSç�ÕÂË�Ï;Ö�ÏÂÐZÖ ¡ µ � � �R��x � Î Ö�Ï×ëcÕ×Ö8Òæëcç�çë�ùBú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�Ò Î Ö�Þ�àG�:ÑaìJÐÓÞØÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑüÖ�ÏøÐZÖ ¡ µ � �Ëx � ÕÂÖbÖ�Ï×ÑÓÙí�:ÑaËêÐ�ÙË0ëcÙÂËêÒûÕøÚ×ÑXÖ�ÏÂÐZÖ ¡ � ógÿ~�ßà©Ð�ç ¡ µ Î çCÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏøÐ#�øÒæÑßù Û�ëcì ¡ xCöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à�:ÑüÐ�Òûçîë5ÏÂÐN��Ñ ¡ � ó�ÿ~�\�=ó�ÿ���x

}Iz�~&º��N�Ð� Ï Î ÒæÑ8�SÑ$ÏøÐr��Ñ*Ö�ÏÂÐZÖ ¡ � v ò�ÿ � �;ò�ÿ~�Ó| Î ì5éøÒ Î ÑÓç ¡ � ò�ÿ v�� �Þ�Ó|�àÖ�ÏÂÑ5Ë0ëcÙ���ÑêÛ�ç�Ñ Î çèÙ×ë�Ö�ÖîÛ�Õ×Ñ.xaöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�àáÖ�Ï×Ñ2ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�çèò�ÿ � �Øò�ÿ~�&Ð�ÙÂÚò�ÿ v�� �³�Ó| ÐZÛ�ÑXÙ×ë�Ö Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�x ö ëèçîÑêÑíÖ�ÏÂÐZÖ Ö�Ï×Ñ�Ë0ëcÙ���ÑêÛ�ç�Ñ�ù Ð Î Ò çêà�Ë0ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛ

Page 63: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ ���Ð�ì8ë©Ú×ÑÓÒá� Î Ö�Ï4Ö�Ï×Û�ÑêÑ2çîÖ�ÐZÖîÑÓç�x�à ¡ Ð�ÙÂÚí»ßç�ÕÂË�ÏØÖ�ÏøÐZÖ�xÓ� ¡ àrx+�ò»�à ¡ � ¡ à¡ �P»�àM»Ë� ¡ àáÐ�ÙÂÚß»Ë�P»ßÐZÛ�Ñ8Ö�Ï×Ñ8çîÖ�ÐZÖîÑJÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙÂç�x ð ù��:ÑaÖ�Ï Î Ù×Ü ë�ù �Ð�ÙøÚ�� Öîë£��Ñ5ÐZÖîëcì5çË�Oà Û�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞß��à��:Ñ Ë0Û�ÑÓÐZÖîÑ=ÒûÐ#��ÑÓÒ Î Ù×úcç Å�v x'| æÌË àÅ�v ¡ | æ Ä � Ê Ð�ÙÂÚ Å�v »7| æ Ä � Ê x.� Î ÙÂË0Ñ ¡ Ð�ÙÂÚE»aç�ÐZÖ Î çîù Þ£���\�í�SÑ4ÏÂÐr��Ñx � ò�ÿ v �Y�h�>|¤xBÔßë��SÑ���ÑêÛ�à��:ÑüÚ×ë5Ù×ë�ÖbÏÂÐr��Ñyx � ò�ÿË�½��ò�ÿ½��ïº öOëJç�ÑêÑyx$�� ò�ÿ��£�:ÑüËêÐ�ÙØË�Ï×ëcçîÑ Ö�Ï×ÑüéøÐZÖ�Ïfx§�Õ»�� »� »� »� -�-�- xº öOë çîÑêÑ�x~�� ò�ÿ��e�:Ñ5çîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î ËêÐ�Ò ÒæÞ Ë�Ï×ë�ëcçîÑ8Ö�Ï×Ñ2éøÐZÖ�Ï�x�� ¡ � ¡ �¡ � -�-�- x

}Iz�~&¼/��� ößÏ Î ç Î ç�Ù×ë�Ö8Ð�Ù;Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙÂË0Ñ v Î Ö��:ëcÕÂÒûÚ;ÏÂÐN��Ñ=Öîëß��Ñ�� ò$» � Î ÙÂçîÖîÑÓÐ�Ú[ë�ù�Cò�ÿ � |¤x ñ ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛBÖ�Ï×ÑWì8ë©Ú×ÑÓÒÂù Û�ëcì Î ÖîÑÓì Æ Ë#x � Ñ�ÏÂÐN��Ñ ¡ � ó�ÿe���=ç Î ÙøË0Ñ�:Ñ8ÏÂÐr��Ñ2Ö�Ï×Ñ Î Ù Î Ö Î Ð�ÒÈéøÐZÖ�Ï,çîÑêúcì8ÑÓÙ7Ö ¡ �ò»H� �����°x � Õ×Ö��SÑ8Ú×ë�Ù×ë�Ö�ÏÂÐr��Ñ¡ � � ò�ÿ��OàÂù ë�ÛXÖ�Ï×ÑèéÂÛ�ÑÓçîÑÓÙ�Ö Î çíéøÐZÛ�Ö�ë�ù Ö�Ï×Ñèù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ Î Ù ñ öXôx

}Iz�~7����� �×ÐÓÞ Î Ù×úèÖ�ÏÂÐZֶРñ öXôEù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ � Î ç Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7ÖCÖîë~¯ Î ç�õ�ÕÂçîÖCéPÐZÛ�ÐZéøÏ×Û�Ð §ÓÎ Ù×úÖ�ÏøÐZÖ � Î ç:ÖîÛ�Õ×Ñ�ÐZÖ�Ð�ÒûÒ�çîÖ�ÐZÖîÑÓç Î Ù�Ð�ÒûÒ�ì8ë©Ú×ÑÓÒûç�x v � Ï�Þ/â�| � ÕÂÖSÖ�Ï Î ç Î çSÙ×ë�ÖíÖ�Ï×ÑËêÐ�ç�Ñaù ë�Û�óc» � � ò$» � x ñ ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛbÖ�Ï×Ñ2ì8ë�ÚÂÑÓÒÈë�ù Î ÖîÑÓì Æ Ë#x ñ ÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞ�à��SÑÏøÐr��Ñ ¡ � ó�»b�Oà��øÕ×ÖH�:ÑaË0ÑêÛ�Ö�Ð Î ÙÂÒæÞEÚ×ëcÙM� ÖbÏÂÐr��Ñ ¡ � ò$»��áx v � ÏÂÐZÖbÐ#��ëcÕ×Ö¯�Ð�ÙÂÚ ò$» � � óc» � àÂÖ�Ï×ëcÕÂúcÏ�â�|

}9}�~&�G�N� öXÏ×Ñ=ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�ò$» v�� ¢R��| Î çaÑr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙ�ÖaÖîë$ò$» � ¢$ò$»R� ç Î ÙÂË0Ñ���ë�Ö�ÏÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç�Ö�ÏÂÐZÖ � àÂÐ�ç��:ÑÓÒûÒ�Ð�çë�ßà Î çíÖîÛ�Õ×Ñ�ù ë�ÛXÐ�Ò ÒáçîÖ�ÐZÖîÑÓçXÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑèù Û�ëcìzÖ�Ï×Ñç�Ö�ÐZÖîÑ�ÕÂÙÂÚÂÑêÛXË0ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙMx

}|�á� Ï¥?�Ý�º"A�¶,ã�Ý ößÝßò � �©ô òCöXó v�� |÷|¦aÖîÛ�Ð�ÙÂç�Ò ÐZÖîÑÓçXÐ ñ öXô$ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ � Î Ù7ÖîëJÐ�ÙEÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�ëcÙ×Ñèù Û�ëcì�Ð�ÙØÐ�ÚÂÑr�7ÕÂÐZÖîÑüù Û�ÐZúcì5ÑÓÙ�Ö�¦6÷ó�¼=¾�¶,Ý

º>�87r¼� Î ç$¯ ï å�¼IA]?�å6Ý � ô� Î ç ô ï å�¼IA]?�å6Ý ô� Ë ± � Å · ï å6¼|A]?�å#Ý �� Î çË� � Ç ï å6¼|A/?áå#Ý �CöXÝßò � �×ôOòCöXó �� Î ç � Ç ¢ � È2ï å6¼|A]?�å#Ý v öXÝbò � �©ô òCöXó � Ç | ¢=öXÝbò � �©ô òCöXó � È� Î ç � ǧ� � È ï å6¼|A]?�å#Ý öXÝbò � �©ô òCöXó v � � ǧ¢�� � È |� Î ç � Ç � � È2ï å6¼|A/?áå#Ý ößÝßò � �©ô òCöXó v � � � � Èr|� Î ç�ò�� � Ç ï å6¼IA]?áå#Ý öXÝßò � �×ôOòCöXóh� óÇ�\� � Ç� Î ç�óR� � Ç ï å6¼|A/?áå#Ý óR�,ößÝßò � �©ô òCöXó � Ç� Î ç�ò v�� Ç õ � ÈN|bï å6¼IA]?áå#Ý öXÝßò � �×ôOòCöXó � v ó [ � � Èíõ v � � Ç ¢�� � Èr|M\���óc»F� � ÈN|� Î ç�ó v�� Ç õ � Èr|Wï å6¼|A]?�å#Ý ó [ öXÝßò � �©ôOòCöXó � Ç õÉöXÝbò � �©ô òCöXó � Èq\� Î ç�ógÿ � Ç ï å6¼IA]?áå#Ý öXÝßò � �×ôOòCöXó#ó [ ¯Éõ � Ç \� Î ç�ó�» � Ç ï å�¼IA]?�å6Ý � ò�ÿY� öXÝßò � �©ôOòCöXó � Ç� Î ç�ò�ÿ � Ç ï å�¼IA]?�å6Ý ò�ÿ8ößÝßò � �©ô òCöXó � Ç� Î ç�ò$» � Ç ï å�¼IA]?�å6Ý � ó�ÿY� ößÝßò � �©ô òCöXó � Ç

Page 64: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

� � �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´¼KÝ���º>�87r¼

¼�Ý��UÏ¥?�Ý�º"A�¶,ã�Ýg ëcÕ4ËêÐ�ÙØÙ×ë�� éÂÛ�ë���Ñ�à/��Þ=ì5ÐZÖ�ÏÂÑÓì5ÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙÂÚÂÕÂË0Ö Î ëcÙ=ëcÙEÖ�ÏÂÑ Ï×Ñ Î úcÏ7ÖXë�ù � � çéPÐZÛ�çîÑXÖîÛ�ÑêÑ�à�Ö�ÏÂÐZÖSÖ�Ï×ÑßËêÐ�ÒûÒPöXÝßò � �×ôOòCöXó � ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑÓçSÐ�ÙÂÚ5Ö�ÏÂÐZÖSÖ�Ï×ÑXÛ�Ñ��ç�ÕÂÒæÖ Î Ù×úíù ë�Û�ìaÕÂÒûÐíÏÂÐ�çÈË0ëcÙÂÙÂÑÓË0Ö Î ��ÑÓçÈëcÙÂÒûÞbù Û�ëcì!Ö�Ï×ÑBç�ÑêÖ Ä ô Ä � Ä ¢ Ä ò�ÿ Ä ó¶õ Ä óR� Ê x

k�l m9nGo�p,qrm�q&�Gtm�Ãv é x â É ã�|}�~&�M�N� ößÏ×ÑBéÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�çOë�ù×ÖîÛ�Ð�ÙÂç�ÒûÐZÖ Î Ù×ú Î Ù×ù ë�Û�ì5Ð�ÒZÛ�Ñr��Õ Î Û�ÑÓì8ÑÓÙ�Ö�ç Î Ù7ÖîëXù ë�Û�ì5Ð�Ò�çîé�ÑÓË Î )�ËêÐ/�

Ö Î ëcÙÂç Î çSç�Õ���õîÑÓË0ÖSÖîë��ZÐZÛ Î ëcÕÂçSé Î Öîù Ð�ÒûÒûç�x Í Ù×ÑWë�ùÈÖ�Ï×ÑÓì Î çíç Î ì5éøÒæÞ2Ð�ìQ� Î úcÕ Î Ö�Þ.xÿÂë�Û�ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑ�à Î Ö Î çèÕÂÙøËêÒæÑÓÐZÛ��ßÏ×ÑêÖ�ÏÂÑêÛ£�îÐZù ÖîÑêÛ2çîëcì8Ñ`)PÙ Î ÖîÑ8çîÖîÑêéøç � ì8ÑÓÐ�ÙÂç�îÐZÖXÒûÑÓÐ�çîÖíëcÙ×Ñ�à��øÕ×Öt)PÙ Î ÖîÑÓÒæÞ8ì5Ð�Ù7Þ ç�ÖîÑêéøç7�©à©ë�ÛÓ�ßÏ×ÑêÖ�Ï×ÑêÛ § ÑêÛ�ë8çîÖîÑêéøç�ÐZÛ�ÑWÐ�Ò��ÒûëN�:ÑÓÚØÐ�çH�:ÑÓÒûÒëx ð ÖßìJÐÓÞEÐ�Òûçîë½��ÑüÚ×Ñ��PÐZÖ�Ð#�øÒæÑ��ßÏÂÐZÖb� Ö�Ï×ÑÓÙ/�8ÑÀ¿×Ð�Ë0Ö�ÒæÞEì8ÑÓÐ�ÙÂçÎ ÙF�G�����íÖ�Ï×ÑÓÙ5Ö�ÏÂÑWçîÞ©çîÖîÑÓì ÑÓÙ�ÖîÑêÛ�ç£����� ��x � ÑWË�Ï×ëcçîÑWÖîëaçîëcÒØ��ÑßÖ�Ï Î ç¶éÂÛ�ë.�øÒûÑÓìù ë�ÛaÖ�Ï×Ñ ËêÐ�çîÑ��ßÏ×ÑÓÙ § ÑêÛ�ë,ç�ÖîÑêéøç�ÐZÛ�Ñ Ù×ë�ÖaÐ�ÚÂì Î ç�ç Î �øÒæÑ�àOì5ëcçîÖ�ÒæÞ*ç Î ÙÂË0ÑÃ� ù ëcÒ��ÒûëN�:ÑÓÚ\��ÞK� ç�Õ×ú�ú�ÑÓçîÖ�çaÐEÛ�ÑÓÐ�ÒBçîÖ�ÐZÖîÑ ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙ�ÖîëØÖ�ÐZÜ�Ñ éøÒûÐ�Ë0Ñ.x ößÏ×Ñ ñ öXôù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ��:ÑüËêÐ�ì8ÑüÕÂéÎ� Î Ö�Ï Î ç

ò$» v ��� ò��,ò$» v ��H�NÀ [ � � õ�»y\,|&|�bÏ Î Ë�Ï Î Ù ô©öXô�ì5Ð�Þh��Ñ�ÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç�ÑÓÚ Ð�ç

» v �Î�Í�¨» v ��Ë�Î� � õU»7|&|¤�ð Ö ç�Ð�Þ�çêï òíÖ Ð�Ù7Þ�çîÖ�ÐZÖîÑ�à Î ù � Î çWÖîÛ�Õ×Ñ�àÈÖ�ÏÂÑÓÙ*ÐZÖ Ð�Ù�Þ�çîÖ�ÐZÖîÑY�ßÏ Î Ë�Ï,ëcÙ×Ñ5ËêÐ�ÙÛ�ÑÓÐ�Ë�Ï�� Î Ö�ÏèÐZÖ ÒûÑÓÐ�çîÖÈëcÙ×Ѷç�Ö�ÐZÖîѶÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙ�ù Û�ëcì Ï×ÑêÛ�Ñ�à Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛ�� Î ç�ù Ð�Ò çîÑ�à�ë�Û �Î ç ù Ð�Òûç�ÑXÕÂÙ�Ö Î Ò=»§��ÑÓË0ëcì8ÑÓçCÖîÛ�ÕÂÑ v ù ë�Û¶Ð�Ò Ò�Ë0ëcÙ7Ö Î Ù�ÕÂÐZÖ Î ëcÙÂçBë�ùPÖ�Ï×ÑXË0ëcì5éøÕ×Ö�ÐZÖ Î ëcÙéPÐZÖ�Ï�|¤xWößÏ Î ç Î çXÑ�� Î Ú×ÑÓÙ7Ö�ÒæÞEÖ�Ï×ÑaéÂÛ�ë�é�ÑêÛ�Ö�ÞÎ�:Ñ Î Ù�ÖîÑÓÙ7ÖWÖîë=ì8ë©Ú×ÑÓÒëxÎBÐZÛ Î ÐZëcÕÂçë�Ö�ÏÂÑêÛb� Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ�Ö7�JçîëcÒûÕ×Ö Î ëcÙøç�ËêÐ�ÙÎ��Ñèú Î ��ÑÓÙMx

}�~&Ï>�N� öXÏ×Ñ Î Ù×ù ë�Û�ì5Ð�ÒCç�é�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ Î ç Ð�ì�� Î úcÕÂëcÕÂç�x5òWç�ç�ÕÂì Î Ù×ú�Ö�ÏÂÐZÖ��:ÑJì8ÑÓÐ�Ù�ÐéPÐZÛ�Ö Î ËêÕÂÒûÐZÛ:éøÐZÖ�Ïb�SÑèÏÂÐN��Ñ�Öîëaç�Ð�ÞJÖ�ÏÂÐZÖ:Ö�Ï×ÑêÛ�ÑWÑÀ¿ Î çîÖ�çíçîëcì8ÑWéøÐZÖ�Ï=ëcÙe�bÏ Î Ë�Ï� Î ç ÖîÛ�Õ×ÑßÑ���ÑêÛ�Þ8çîÑÓË0ëcÙÂÚ5çîÖ�ÐZÖîÑ v Ö�Ï Î ç Î çCÖ�Ï×Ñ�úcÒæë.�øÐ�ÒÂéøÐZÛ�Ö¤|¤x � ÑßÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑXÖ�ÏÂÐZÖÖ�ÏÂÑ Î ÙÂù ë�Û�ìJÐ�ÒOÚ×ÑÓç�Ë0Û Î éÂÖ Î ëcÙ4ì8ÑÓÐ�Ù�ÖWÖîëEçîÑêÖWÖ�Ï Î çXë#¸;ç�ÕÂË�Ï,Ö�ÏÂÐZÖg� Î çßÖîÛ�Õ×Ñ�ÐZÖÖ�ÏÂÑ�)øÛ�çîÖ v�æ ËêÕ×Û�Û�ÑÓÙ7Ö¤|�àÂÖ�Ï Î Û�Ú�ÑêÖ�Ë#xSçîÖ�ÐZÖîÑ.xíöXÏ×Ñ ñ ößô�¦ ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ2Ö�Ï7Õøç�Û�ÑÓÐ�ÚÂçÐ�ç

ó [ » v ��¢a���e�M|M\��� ë�ÖîÑ2Ö�ÏÂÐZÖWÖ�Ï Î ç Î ç Î ÙøÚ×ÑêÑÓÚØÐ ñ öXô�¦aù ë�Û�ì�ÕÂÒ ÐJÐ�ÙÂÚØÞ�ëcÕ,ËêÐ�Ù�Ë�Ï×ÑÓË�Ü4Ö�ÏÂÐZÖ Î ÖÎ ÙÂç Î çîÖ�çßëcÙ�Ð éPÐZÖ�Ï ¡ ð � ¡ Ç�� ¡ È � �����G�ßÏ×ÑêÛ�Ñ ¡ ð Ä ¡ È Ä ¡ V Ä �����ÈÐ�ÒûÒ ç�ÐZÖ Î çîù Þ��x

Page 65: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ ����á~&ó��N� � ë�Ö Î Ë0ѶÖ�ÏÂÐZÖ Ö�Ï×Ñ�)PÛ�çîÖOËêÒûÐ�ÕøçîÑ Î Ù Ö�Ï×Ѷú�Û�Ð�ìJì5ÐZÛ ù ë�ÛOéPÐZÖ�Ïüù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çÈç�Ð�Þ�ç Ö�ÏÂÐZÖ

� Ñ���ÑêÛ�Þ çîÖ�ÐZÖîÑ ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ Î ç�Ð8éøÐZÖ�Ï�ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ8Ð�ç��:ÑÓÒûÒØ��xBößÏ Î ç Î ç�Уêß�/� çué��?Ï Î ÙéøÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ì Î Ù×úJÖîÑêÛ�ì Î Ù×ëcÒæë�ú�Þ.x���ÑÓì5Ð�Ù7Ö Î ËêÐ�ÒûÒæÞ�à Î Ö Î ç�õ�ÕÂçîÖ Î )PÑÓÚØç Î ÙøË0ÑQ�:ÑaËêÐ�ÙÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑ8Ð=çîÖ�ÐZÖîÑ2ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð5ëcÙ�ÐJú Î ��ÑÓÙ4éPÐZÖ�Ïí��Þ ç Î ì5éøÒæÞ�Ñ�� Ð�Ò ÕÂÐZÖ Î Ù×ú Î Ö Î ÙÖ�ÏÂѳ)øÛ�ç�Ö¶çîÖ�ÐZÖîÑWë�ù�Ö�ÏøÐZÖ¶éøÐZÖ�ÏMx � Î Ö�Ï5Ö�Ï Î ç¶Ë0ëcÙ=��ÑÓÙ�Ö Î ëcÙe�:ÑbËêÐ�Ù=Ð�ÙÂÐ�ÒæÞ § ÑßÖ�Ï×Ñì5ÑÓÐ�Ù Î Ù×úcç�ë�ù Ö�Ï×Ñ Ö5�Së ú Î ��ÑÓÙ ñ ößô�¦ ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�çêïº ò çîÖ�ÐZÖîÑ ¡ ç�ÐZÖ Î ç*)øÑÓç5ò$»Fÿ9� Î ¸Éù ë�Û=Ð�ÒûÒ�éøÐZÖ�ÏÂçvw � Î Ö�Ï Î Ù Î Ö Î Ð�ÒíçîÖ�ÐZÖîÑ ¡ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç~»Ðÿ��Oà Î x Ñ.x�� Î ç�ÖîÛ�ÕÂÑ Î ÙO)PÙ Î ÖîÑÓÒæÞEë�ù ÖîÑÓÙ$ëcÙ$Ö�ÏÂÑ8éøÐZÖ�ÏJwxJößÏ7ÕÂçÓàò$»wÿ�� Î çíÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�ÖîëJò$» v ò�ÿ��G|¤x

º öXÏ×ÑßÒûÐ�ç�Ö¶ë.�øçîÑêÛ � ÐZÖ Î ëcÙ ì5ÐZÜ�ÑÓçíËêÒæÑÓÐZÛ��bÏ�Þ8Ö�Ï Î çBËêÐ�ÙÂÙ×ë�Ög��ÑßÑr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙ7ÖBÖîëò$» v ó�ÿ��M|�àøÐ�ÒæÖ�Ï×ëcÕ×úcÏ�Ö�ÏÂÑ ù ë�Û�ì8ÑêÛßÐ�Ò®�íÐÓÞ©ç Î ì8éPÒ Î ÑÓç:Ö�Ï×Ñ ÒûÐZÖîÖîÑêÛrxSÝXÑÓËêÐ�ÒûÒ��Î Ù×ú2ëcÕ×Ûßì8ë©Ú×ÑÓÒ�ë�ù ó�¿©ÑêÛ�Ë Î çîÑ ] x ä×à Î ÖîÑÓì Æ v ËN|�àøÙ×ë�ÖîÑüÖ�ÏÂÐZÖÐx � ò$» v ó�ÿ��G|�àç Î ÙÂË0Ñ8Ñ���ÑêÛ�Þ$ç�Ö�ÐZÖîÑ ËêÐ�Ù$Û�ÑÓÐ�Ë�Ï�ç�Ö�ÐZÖîÑ ¡ àá�øÕ×ÖèÖ�ÏøÐZÖyx&�� ò$» v ò�ÿ��G| v Ñ.x ú�xÖ�Ï×Ñ éøÐZÖ�Ïfx�� »� »���»�� ����� |¤x

�á~&���N� ñ ÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞ�àÂò�b����ò��*ò�b� Î ì8éøÒ Î ÑÓç:ò [ �e�Y�a���b�8\ ÐZÖWÐ�Ù�ÞEçîÖ�ÐZÖîÑaÐ�ÙÂÚ Ð�Ù7Þì5ë�Ú×ÑÓÒ v �ßÏ�Þ/â6|¤xVö ë[çîÑêÑØÖ�ÏÂÐZÖJÖ�Ï×ÑØë�Ö�Ï×ÑêÛ Î ì5éøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�ù Ð Î Òûç Î ÙMú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�Ò àË0ëcÙøç Î Ú×ÑêÛXÖ�ÏÂÑ ì8ë�ÚÂÑÓÒG��ÑÓÒûëN� ï

w

w

�©Ö�ÐZÖîÑ ¡ ç�ÐZÖ Î çk)PÑÓçBò [ �b�������b�8\Pç Î ÙÂË0Ñ�Ñ���ÑêÛ�Þ8éøÐZÖ�Ï5Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛSÏøÐ�çCÖîëüÖ�Õ×Û�Ù5ÒæÑêù Öv �g�G|¶ë�ÛíÛ Î úcÏ7Ö v ���e�M|¤x � Õ×Ö:ç�Ö�ÐZÖîÑ ¡ Ù×Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛíç�ÐZÖ Î çk)PÑÓç:ò��b� v Ö�ÕÂÛ�ÙJÛ Î úcÏ�Ö¤|�àÙÂë�Ûßò�*ò��e� v Ö�Õ×Û�Ù ÒæÑêù Ö¤|¤x¶öXÏ�ÕÂçêà Î ÖXÚÂë7ÑÓçXÙÂë�Ößç�ÐZÖ Î çîù Þ�ò�b����ò��,ò����áx� ~&�M� ó [ ÿ��g¢ v ��õ � |M\ Î ç Ñr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙ7Ö Öîë ó [ ��õ v ��¢bó [ �bõ � \,|M\7�bó [ �bõ v � ¢bó�ÿ��G|M\�x� ~&ó�� ó [ ÿË�½¢K»ß�]\ Î çíÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�ÖîëJó [ ��õ v ��¢�ó�»ß�>|M\�x� ~&��� ò [®v � õ �>|M¢K»b�8\ Î çíÑr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙ7Ö�ÖîëJò [ �=õ��]\K¢�ò$»��áx� ~&¼9� ò [ ÿË�£��ÿ��]\ Î ç�Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7Ö�Öîë�� ó [ ÿË�Y¢K»���]\Æà��ßÏ Î Ë�ÏÎ�:ÑüËêÐ�ÙØÖ�Ï×ÑÓÙÎ�XÛ Î ÖîÑÐ�çe�Có [ ��4õ v �h¢$óc»\���.|M\��ßÏ Î Ë�Ï Î ç Î Ù ñ öXôx ð ùH�SÑEÐ�ÒûÒûëN��Ý Î Ù ñ öXôù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çêà Î ÖXËêÐ�Ù���ÑÐ�XÛ Î ÖîÖîÑÓÙ ì5ë�Û�Ñ ç�ÕÂËêË Î ÙøË0Ö�ÒæÞ=Ð�çßò [ �èÝ v �h� ò�ÿ½�.|M\�x

Page 66: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´k�l m9nGo�p,qrm�q��Gt�¹Ãv é x â É�Æ | � ÇíÖîë � V Û�Ñêù ÑêÛíÖîëaÖ�ÏÂÑ��©ÐZù ÑêÖ�Þ�àPô Î ��ÑÓÙ×ÑÓç�çêà � ëcÙO���øÒûë�Ë�Ü Î ÙÂúÐ�ÙÂÚ � ë���çîÖîÛ Î Ë0Ök��çîÑr��Õ×ÑÓÙÂË Î Ù×ú5éÂÛ�ë�é�ÑêÛ�Ö Î ÑÓçíú Î ��ÑÓÙEëcÙEé x Æ { Û x}/� º öXÏÂÑ5çîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ ( ¡ ¤ ¬ Ë - ¾ ½�½ �×þá´ � · ± ® � à F ½ �×þ¯ � · ± ® � Ã7à Ï×ëcÒûÚøç

ç Î ÙÂË0ÑaÙ×ë çîÖ�ÐZÖîÑ Î ÙØÖ�ÏÂÐZÖWÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙØçîÞ©çîÖîÑÓì Î çXë�ù¶Ö�Ï×Ñüù ë�Û�ì �«� ã=ë�Û �«� Æ xöXÏ Î ç�Ú×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖßÛ�Ñr�7Õ Î Û�ÑèÐ�Ù�Þ=ù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�ç�Ë0ëcÙøçîÖîÛ�Ð Î Ù7Ö�ç�x

º öXÏ×ÑBçîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ ( ¡ ¤ ¬ Ë - ½�½ �×þá´ � · ± ® ± à A?C Ë � ½ �×þá´ � · ± ® � Ã�ÃÎ çXÖîÛ�ÕÂÑ�à9�øÕ×ÖbÚ×Ñêé�ÑÓÙÂÚÂç�ëcÙ4Ö�Ï×Ñ�ÕøçîÑ ë�ùCù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�çbË0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Ö�ç�xXößÏ×ÑêÛ�ÑüÐZÛ�Ñç Î ¿ØÚ Î ¸�ÑêÛ�ÑÓÙ7ÖWç�Ö�ÐZÖîÑÓç Î Ù£�bÏ Î Ë�Ï �©þá´ � · ± ® ± Ï×ëcÒûÚÂçÓï�»5» ã©àG»5» Æ àG» � ã©àG» 0 ã©à» 0 Æ àÈÐ�ÙÂÚß» � Æ x � ë�ÖîÑ8Ö�ÏÂÐZÖèÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ2ÐZÛ�Ñ8ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙÂçßù Û�ëcì çîëcì5Ñaë�ù:Ö�Ï×ÑÓçîÑçîÖ�ÐZÖîÑÓç¶ÖîëüÖ�Ï×ÑÓì5çîÑÓÒ®��ÑÓçÓà7Ð�ÙÂÚ5Ð éøÐZÖ�Ͻ�ßÏ Î Ë�Ï�õ�ÕÂçîÖCÑÓÙÂÚ×ÑÓÚJÕ×é5Ë0ëcÙ�Ö Î Ù7Õ×ëcÕøç�ÒæÞÎ Ù4Ð�Ù7ÞØë�ùSÖ�Ï×ÑÓçîÑ8çîÖ�ÐZÖîÑÓçÐ�:ëcÕÂÒûÚ8� Î ëcÒûÐZÖîÑaÖ�Ï×Ñ8çîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙí�SÑ8ì8ÑÓÐ�Ù,Öîë��ÑêÛ Î ù Þ.x öXÏ Î ç Î çßÑÀ¿×Ð�Ë0Ö�ÒæÞí�ßÏ×ÑêÛ�Ñaù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�çWÙ×ÑêÑÓÚÂçWÖîëEË0ëcì8Ñ Î Ù7Öîë Ö�Ï×Ñ2é Î Ëq�Ö�Õ×Û�Ñ.x� öXÏ×ÑBçîÖ�ÐZÖîÑg»5» ãíÑ���ÑÓÙ7Ö�ÕÂÐ�ÒûÒæÞ�ì�ÕøçîÖáÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙ�Öîë � »�ã©àZç Î ÙøË0Ñ �©² º þ�À ¼ ·�· þ � À7À º À Íì5ÐZÜ�ÑÓç�éÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç Æ ì8ëN��Ñ5ÐZÖ�çîëcì8Ñ2é�ë Î Ù7Ö�x_� Î ì Î ÒûÐZÛ�ÒæÞ�àPçîÖ�ÐZÖîÑ�»5» Æ ìaÕÂçîÖÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙ�ÖîëY» � Æ Ñ���ÑÓÙ�Ö�ÕÂÐ�Ò ÒæÞ.x

� öXÏ×ÑaçîÖ�ÐZÖîÑÓçл 0 ã Ð�ÙÂÚí» 0 Æ ËêÐ�Ù4Û�ÑÓì5Ð Î Ù��bÏ×ÑêÛ�ÑüÖ�ÏÂÑêÞØÐZÛ�Ñ Î ùCéÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�çWâì5ÐZÜ�ÑÓçßÐ8ì5ëN��Ñ���Þ Ú×ÑÓË Î Ú Î Ù×úaÖîëJçîÖ�Ð�Þ Î Ù Î Ö�ç�Ù×ëcÙO��Ë0Û Î Ö Î ËêÐ�Ò�ì5ë�Ú×Ñ.x � Õ×ÖéÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç Æ � Î ÒûÒSÑ���ÑÓÙ7Ö�ÕÂÐ�ÒûÒæÞ[Ö�ÐZÜ�Ñ Ð*ì8ëN��Ñ v ��ÑÓËêÐ�ÕÂçîÑEë�ù�ÿ©ò ð Ý � óc�8�Û�ÕÂÙÂÙ Î Ù×ú=|�àBÐ�ÙÂÚ�Ö�Ï×ÑÓç�Ñ çîÖ�ÐZÖîÑÓç½� Î Ò Ò¶Ö�Ï×ÑÓÙ�ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ëcÙ;Öîë � » ã*Ð�ÙÂÚ � » ÆÛ�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞ.x

� öXÏ×Ñ çîÞ©çîÖîÑÓì�ËêÐ�ÙÂÙ×ë�ÖXÛ�ÑÓìJÐ Î Ù Î Ù�Ö�Ï×Ñ çîÖ�ÐZÖîÑÓç�» � ãJÐ�ÙÂÚλ � Æ ù ë�Û�Ñ���ÑêÛ���Ñ��ËêÐ�ÕÂçîÑ4éÂÛ�ë©Ë0ÑÓç�ç=â�ì�ÕøçîÖ5Ñ���ÑÓÙ7Ö�ÕÂÐ�ÒûÒæÞMú�ÑêÖ�çîÑÓÒæÑÓË0ÖîÑÓÚ#Öîë[Û�ÕÂÙáàíÐ�ÙÂÚ Ö�Ï×Ñù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�ç�Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù�Ö ¾ ½ · ± ® � à ì8ÑÓÐ�Ùøç�Ö�ÏÂÐZÖ Î ÖEì�ÕøçîÖ�Ñ���ÑÓÙ�Ö�ÕÂÐ�Ò ÒæÞÒæÑÓÐr��Ñ Î Ö�çXË0Û Î Ö Î ËêÐ�ÒáçîÑÓË0Ö Î ëcÙMx

» Î ��ÑÓÙ4Ö�Ï×Ñüù Ð�Ë0ÖbÖ�ÏøÐZÖßÖ�Ï×Ñ2çîÞ©çîÖîÑÓì�ËêÐ�Ù,Ù×Ñ���ÑêÛ�çîÖ�ÐÓÞ Î ÙØÐ�Ù7ÞEë�ùCÖ�Ï×ÑÓçîÑaç Î ¿çîÖ�ÐZÖîÑÓç ù ë�Û�Ñ���ÑêÛÓà��SÑ5çîÑêÑ8Ö�ÏøÐZÖèÑ���ÑÓÙ�Ö�ÕÂÐ�Ò ÒæÞ4éøÛ�ë�Ë0ÑÓç�ç â=ÑÓÙ�ÖîÑêÛ�ç Î Ö�çèË0Û Î Ö Î ËêÐ�ÒçîÑÓË0Ö Î ëcÙ ù Û�ëcì�Ð�Ù7Þ�ç�ÕÂË�ÏØçîÖ�ÐZÖîÑ.x v � Ï7Þ�â6|

º öXÏ×Ñ ÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�ÖXù ë�ÛXÖ�Ï×Ñ�çîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ( ¡ ¤ ¬ Ë -C½7½ �©þ¯ � · ± ® ± à A=C Ë � ½ �×þׯ � · ± ® � Ã�ÃÎ çXçîÞ©ì5ì�ÖîÛ Î Ë#x

º öXÏ×Ñ çîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ( ¡ ¤ ¬ ¤F� ½ �×þ�´ � · ± ® � F

¤�³u�×þ�´ � · ± ® �NÑ ½ ¾u�×þá´ � · ± ® � F ¤�³7¾e�×þ¯ � · ± ® �JÑ �×þá´ � · ± ® � µ�Ã�µ�ÃÎ çWÖîÛ�Õ×ÑÔ� Î Ö�Ï×ëcÕ×ÖWÐ�Ù�Þ4ù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�çWÐ�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙÂçêà�ù ë�Û Î ÖWç Î ì8éøÒæÞ�çîÖ�ÐZÖîÑÓçèÖ�Ï×Ñé�ëcç�ç Î � Î Ò Î Ö�Þ�ë�ùOÐ�Ë0ÑêÛ�Ö�Ð Î Ù=ÑÀ¿�ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙ éPÐZÖîÖîÑêÛ�Ù�Ð�ÙÂÚe�:Ñ�ËêÐ�Ù Û�ÑÓÐ�ÚJë#¸�ç�ÕÂË�ÏÐèéøÐZÖ�ÏY�bÏ Î Ë�Ï2ÑÓÙ7ÖîÑêÛ�ç � ÇBÖ5� Î Ë0Ñ Î Ù5Ð�Û�ëN�U��Ñêù ë�Û�Ñ Î ÖCÑÓÙ�ÖîÑêÛ�ç � È x ð ÙÂÚ×ÑêÑÓÚÈà Î ù

Page 67: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ � Ù�SÑèÛ�ÑÓì5ëN��ÑüÐ�ÒûÒ�ù Ð Î Û�Ù×ÑÓç�ç�Ë0ëcÙÂçîÖîÛ�Ð Î Ù7Ö�ç v Ñ���ÑÓÙ � Ë � £ « ¤|(=(Mþ � À�À º À Í |�à�Ö�Ï Î çéÂÛ�ë�é�ÑêÛ�Ö�Þ�çîÖ Î Ò Ò�ÏÂëcÒûÚÂç�x

öM� Æ xbò$»F� v ��Ç ¢ � ÈN|

Ò ¨ Òª

Ó ¨ Òª

Ô ¨ Òª Ó ¨ Ó ª

ÒP¨ Ó ª

ÒP¨�Ô ª

Ó ¨�Ô ªÔ�¨ Ó ª

¸Õ

¨

ª

«

«×

¸Ø

«Ù

�]Ú Ô ¨ � Ô�ª:Û �]Ú Ô ¨ � Ô�ª«Û

�]Ú Ô ¨ � Ô�ª¸Û

�]Ú Ô ¨ � Ô�ª¸Û

�]Ú Ô ¨ � Ô�ª¸Û

�]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

�]Ú Ô ¨ � Ô�ª:Û�]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô ¨ � Ô�ª¸Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª ÛÀ ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

À ¿ �]Ú Ô�¨ � Ô ª Û

� ë�ç�Ö�ÐZÖîÑ,ú�ÑêÖ�çØÐ ��Ç ¢ � È,ÒûÐ#��ÑÓÒëx^öXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�àbÐ�Ò ÒbçîÖ�ÐZÖîÑÓç�ú�ÑêÖEÐ�Ù� v ��Ç ¢ � Èr|�Ò Ð#��ÑÓÒ�xOöXÏ�ÕÂçêà�Ð�ÒûÒ�çîÖ�ÐZÖîÑÓçOú�ÑêÖêà�Ð�ÙÂÚ Ü�ÑêÑêéÈà�Ð�Ù ò$»F� v ��Ç ¢ � È�|ÒûÐ#��ÑÓÒëx

âKxßò$» v »¤Ç+� ò�ÿ � Ç |

Page 68: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�Nà �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´

ÒP¨kÒ ª

Ó ¨�Ò ª

Ô�¨�Ò ª Ó ¨ Ó ª

Ò ¨ Ó ª

ÒP¨�Ô ª

Ó ¨�Ô ªÔ ¨ Ó ª

Õ

¨

ª

Ö

«

×

«Ø

Ù

vÝÜ À Ä Ô ¨

vÝÜ À Ä Ô�¨

Ó ¨ x À Ä Ô ¨

Ó ¨ x À Ä Ô�¨

Ó ¨ x À Ä Ô ¨

Ó ¨ x À Ä Ô�¨

Ó ¨ x À Ä Ô ¨

À ¿ Ú Ó ¨ x À Ä Ô�¨�Û

À ¿ Ú Ó ¨ x À Ä Ô ¨ Û

À ¿ Ú Ó ¨ x À Ä Ô ¨ Û

À ¿ Ú Ó ¨ x À Ä Ô�¨.Û

À ¿ Ú Ó ¨ x À Ä Ô�¨.Û

ÿ Î Û�çîÖêà��:ÑèÚ×ÑêÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÑWÐ�ÒûÒ�ÒûÐ#��ÑÓÒûçSù ë�ÛXò�ÿ ��Ç � ëcÙÂÒæÞJç�Ö�ÐZÖîÑÓç ¡ ÈWÐ�ÙÂÚ ¡ Vú�ÑêÖ�ç�ÕÂË�Ï4Ð Ò Ð#��ÑÓÒ�x:öXÏÂÑÓÙ��:Ñ�ÒûÐ#��ÑÓÒÈÐ çîÖ�ÐZÖîÑ�� Î Ö�Ï�»¤ÇÓ� ò�ÿ � Ç Î ù Î ÖÚ×ë�ÑÓçOÙ×ë�Ö ÏÂÐr��Ñ:Ð�» Ç ��Ò Ð#��ÑÓÒÆàÓë�Û Î ù Î ÖOÚÂë7ÑÓçÈÏøÐr��ÑSÐ�Ù�ò�ÿ ��Ç ��ÒûÐ#��ÑÓÒëx � ë�ÖîÑÖ�ÏÂÐZÖíÐüçîÖ�ÐZÖîÑWú�ÑêÖ�çíç�ÕÂË�Ï Ð�ÒûÐ#��ÑÓÒ Î ùG��ë�Ö�ÏJËêÐ�çîÑÓçíÐZéÂéPÒæÞ.x ð ÙÂÚ×ÑêÑÓÚÈà�Ö�Ï Î çéÂÛ�ë©Ë0ÑÓÚÂÕ×Û�Ñ Ú×ë�ÑÓçaÑÀ¿©Ð�Ë0Ö�ÒæÞÃ�ßÏÂÐZÖaÖ�Ï×Ñ�ÖîÛ�Õ×Ö�Ï[Ö�Ð#�øÒæÑ=ë�ùË» Ç � ò�ÿ ��Ç�:ëcÕÂÒûÚØË0ëcì5éøÕ×ÖîÑ Î ù��:Ñ�Ö�Ï Î Ù×Ü=ë�ù � Ð�ç��îÏÂÐN� Î ÙÂú ÐJÒ Ð#��ÑÓÒ°�8Ð�ÙÂÚ � Ð�ç�îÙ×ë�ÖßÏøÐr� Î Ù×ú5Ð5ÒûÐ#��ÑÓÒØ��x��ÑÓË0ëcÙÂÚÈà��SÑ�ÒûÐ#��ÑÓÒüÐ�Ò Ò£�ª» Ç � ò�ÿ �NÇ çîÖ�ÐZÖîÑÓç7�U� Î Ö�Ï&ò$» v » Ç �ò�ÿ �NÇ |�à��øÕ×Ö Î ÙVÖ�Ï×Ñ*Ù×ÑÀ¿©Ö�Û�ëcÕÂÙÂÚVÖ�Ï×ëcçîÑ$Ò Ð#��ÑÓÒ ç ÐZÛ�Ñ$ÚÂÑÓÒæÑêÖîÑÓÚVù ë�ÛçîÖ�ÐZÖîÑÓç ¡ ð à ¡ÝÞ àaÐ�ÙÂÚ ¡àß à�ËêÐ�ÕÂç Î Ù×ú Ö�Ï×Ñ�Ú×ÑÓÒæÑêÖ Î ëcÙ ë�ù5Ö�Ï×Ñ[Û�ÑÓì5Ð Î Ù��Î Ù×ú$ç�ÕÂË�Ï Ò Ð#��ÑÓÒ ç Î ÙMÖ�Ï×Ñ Ù×ÑÀ¿©Ö5Û�ëcÕÂÙøÚMxMöXÏ7Õøçêà$�<�[çîÖ�ÐZÖîÑ,ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓçò$» v » Ç �ÁÀ g ��Ç |¤x

] xßò$» v 0 Ç � óÇ�8» Ç |

Page 69: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ � î

ÒP¨kÒ ª

Ó ¨kÒ ª

Ô�¨kÒ ª Ó ¨ Ó ª

ÒP¨ Ó ª

Ò ¨ Ô�ª

Ó ¨ Ô�ªÔ�¨ Ó ª

¸Õ

¨

ª

¸Ö

«

¸×

Ø

¸Ù

Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨ Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨

ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨

ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨

ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨

ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨ Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨

Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨

vÝÜ À ¿ Ú Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨ Û vÝÜ À ¿ Ú ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨�Û

vàÜ À ¿ Ú Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨ Û

vàÜ À ¿ Ú ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨.Û

vÝÜ À ¿ Ú Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨ Û

vÝÜ À ¿ Ú Ò ¨ x ¾ Æ Ó ¨ Û

vàÜ À ¿ Ú ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨.Û

vàÜ À ¿ Ú ÒP¨ x ¾ Æ Ó ¨¸Û

� Î ì Î ÒûÐZÛßÖîë�Ö�Ï×Ñ2ËêÐ�çîÑ8ë�ù» Ç �Fò�ÿ ��Ç �:Ñ8ÒûÐ#��ÑÓÒOçîÖ�ÐZÖîÑÓç�� Î Ö�Ï 0 Ç �óÇ�8»¤Ç Î ù�Ö�Ï×ÑêÞ5Ú×ëcÙM� ÖSÏÂÐr��Ñ�Ð�Ù 0 Çk��ÒûÐ#��ÑÓÒ à�ë�Û Î ù�Ö�Ï×ÑêÞ5ÏÂÐN��ÑWÐ�Ù=óÇ�8»¤Ç¥�ÒûÐ#��ÑÓÒ à+�ßÏ Î Ë�Ïþ�:Ñ4Ú×ë;Ù×ë�Ö ç�Ï×ëN� Î Ù Ö�Ï×ÑK)øúcÕ×Û�Ñ,Ð#��ë���Ñ.x ð Ö5Ö�Õ×Û�ÙÂçëcÕ×ÖèÖ�ÏÂÐZÖ�Ð�ÒûÒ çîÖ�ÐZÖîÑÓçüú�ÑêÖüÖ�Ï Î ç�ÒûÐ#��ÑÓÒëx2öXÏ7ÕøçêàM�SÑ5ÏøÐr��ÑJÖîë Ò Ð#��ÑÓÒ Ð�ÒûÒçîÖ�ÐZÖîÑÓç� Î Ö�Ï�ò$» v 0 Ç � óÇ�8» Ç | Î Ù Î Ö Î Ð�ÒûÒæÞWÐ�ÙÂÚ�ç�ë�Ð�Ò Òcë�ùøÖ�ÏÂÑÓçîÑ:Ò Ð#��ÑÓÒ çç�Õ×Û � Î ��Ñ�Ö�Ï×Ñ�Ù×ÑÀ¿�ÖßÛ�ëcÕÂÙÂÚáà Î x Ñ.xBÐ�Ò ÒÈçîÖ�ÐZÖîÑÓçXú�ÑêÖbÖ�Ï Î ç�ÒûÐ#��ÑÓÒ�ù ë�ÛXú�ë�ë�ÚMx

ä�xßó�ÿ v ��Ç ¢�ó [ ��Ç õ v � ��Ç ¢�ó [ � � È�õ ��Ç \,|M\,|¤x

Page 70: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

Ù ¦ �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´

ÒP¨�Ò ª

Ó ¨kÒ ª

Ô�¨�Ò ª Ó ¨ Ó ª

Ò ¨ Ó ª

ÒP¨�Ô ª

Ó ¨�Ô ªÔ ¨ Ó ª

Õ

¨

ª

Ö

«

×

«Ø

Ù

á ~~âC}�����~Ðã ¨ ç ��} ¾Rä � Ô�ª Â Ô ¨�å�æ

vàÜ�ã ¨

vÝÜkã ¨

��Ükã ¨

���㠨

���㠨

á ~~âC}�����~Ðã ª ç ��}¶� Ô�¨ � ã ¨ æ

ã ª

ã ª

ã ª

ã ª

���㠨

öXÏ×Ñ Î Ù�ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ��Ñ�éÂÛ�ë�Ë0ÑÓÚÂÕÂÛ�Ñ$ù ë�Û4Ú×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù Î Ù×ú�Ö�Ï×Ñ;ó [ � � È#õ �NÇ \ÒûÐ#��ÑÓÒûçJÖ�ÐZÜ�ÑÓçEÖ�Ï×Û�ÑêÑ,Û�ëcÕÂÙÂÚøç�x&öXÏÂÑÓÙÜ�:Ñ � Ö�Ï×Û�ëN� ëcÕ×Ö7�;Ö�Ï×ëcç�Ñ,ÒûÐ/���ÑÓÒæÑÓÚ;çîÖ�ÐZÖîÑÓç��ßÏ Î Ë�Ï�ÏÂÐN��Ñ Ð ��Ç ��ÒûÐ#��ÑÓÒëx,öXÏ×Ñ Û�ÑÓç�ÕÂÒæÖ Î Ù×úØÒûÐ#��ÑÓÒûçüù ë�Û� ��Ç ¢üó [ � � Èíõ ��Ç \�ÐZÛ�ÑbÙ×ë��#Ö�Ï×ÑbÖ�ÐZÛ�ú�ÑêÖ:ù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ ù ë�Û:Ö�Ï×ÑbÙÂÑÀ¿�Ö�çbèë�é�ÑêÛ�ÐZÖîë�ÛÓï

ÒP¨kÒ ª

Ó ¨�Ò ª

Ô�¨kÒ ª Ó ¨ Ó ª

Ò ¨ Ó ª

ÒP¨�Ô ª

Ó ¨�Ô ªÔ ¨ Ó ª

Õ

¨

ª

Ö

«

×

«Ø

Ù

ã ª

ã ª

ã ª

ã ªvÝÜkã «

vÝÜ�ã «

��Ükã «

���㠫

vàÜ�ã «

vÝÜkã «

á ~~âC}�� ��~ã « ç ��} ¾Rä Ô�¨  㠪 å�æ

öXÏ×Ñ Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ ù ë�Û*Ö�Ï Î ç�ó¶õJ��ÒûÐ#��ÑÓÒ Î Ù×ú v�� S |4Û�Ñr�7Õ Î Û�ÑÓç,ëcÙÂÒæÞ Ö5�Së

Page 71: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ Ù vÛ�ëcÕÂÙøÚÂç�x � ÑÀ¿©Öêà��SÑ4Û�Ñ�)PÙ×Ñ � S Öîë[Ö�Ï×ëcçîÑ4ç�Ö�ÐZÖîÑÓçe�ßÏ Î Ë�Ï Ð�Ò çîë�ç�ÐZÖk�Î çîù Þ ��Ç v ÒûÐ#��ÑÓÒ�ù ë�Û � V |�ï

Ò ¨ Òª

Ó ¨ Òª

Ô ¨ Òª Ó ¨ Ó ª

Ò ¨ Ó ª

ÒP¨�Ô ª

Ó ¨�Ô ªÔ�¨ Ó ª

Õ

¨

ª

Ö

«

×

«Ø

Ù

á ~~âC}�� ��~~ã?Ö ç ��} Ô ¨ � ã « æá ~~âC}�� ��~~ã ç ��} ¾ÁÄ ã Ö æ

vÝÜkã

vÝÜkã

��Ükã

��Ü�ã

��Ü�ã

��Ü�ã

��Ükã

� Ükãã�Ö

ã?Ö

�ßÏ Î Ë�Ï^ÖîÛ Î ú�ú�ÑêÛ�ç$Ö�Ï×Ñ Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ��ÑMéÂÛ�ë�Ë0ÑÓÚÂÕÂÛ�Ñ[ù ë�Û�ógÿ à��ßÏ Î Ë�Ï ÖîÑêÛ*�ì Î ÙøÐZÖîÑÓç�ÐZù ÖîÑêÛ2ù ëcÕ×ÛaÛ�ëcÕÂÙøÚÂçêà Ë0ëcÙÂËêÒûÕÂÚ Î Ù×ú Ö�ÏÂÐZÖ2Ð�ÒûÒ:çîÖ�ÐZÖîÑÓç8ç�ÐZÖ Î çîù Þó�ÿ v � Ç¢�ó [ � Ƕõ v � � ǧ¢�ó [ � � È õ � Ç*\,|M\,|¤xfM� Ï¥?�Ý�º"A�¶,ã�Ý �×òCö~é+ê v�� |

÷|¦2Ú×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù×ÑÓçíÖ�Ï×ÑüçîÑêÖ�ë�ùCçîÖ�ÐZÖîÑÓçWç�ÐZÖ Î ç�ù Þ Î Ù×ú8óc» � ¦6÷ó�¼=¾�¶,ÝÚ,ãMº>��Ú+ï��9å�ë Ä u Ä�ìó�¼=¾�¶,Ýì ï æ �©òCö v�� | �u ï æ­Ä �å�¼FE¼K��A�?§Ý%A�¶uÚ u æ ìó¼K¾�¶uÝu@ï æ ì �ì ï æ ì�í Ä ¡ � ÑÀ¿ Î çîÖ�ç ¡ � ç�ÕÂË�ÏEÖ�ÏÂÐZÖ ¡ � ¡ � Ð�ÙøÚ ¡ � ì Ê

¼KÝ��å�¼IA]?�å6Ý ì

¼�Ý��

©M� öXÏ×ÑêÛ�ÑbÐZÛ�Ñ�Òæë�Ö�çSë�ù �:Ð�Þ�ç:ë�ùÈç�Ë�Ï×ÑÓÚÂÕÂÒ Î Ù×ú Ö�Ï Î ç Î Ù Ð�çîÖîÛ Î Ë0Ö�ÒæÞ8Ð�ÒæÖîÑêÛ�ÙÂÐZÖ Î Ù×úüù Ð�ç�Ï Î ëcÙ x� ÑaË�Ï×ëcç�ÑüÐ8ù Ð Î Û�ÒæÞ=Ú×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù Î çîÖ Î Ë���ÑêÛ�ç Î ëcÙÈï

Page 72: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

Ù � �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´

Ò ¨ Òª

Ó ¨�Ò ª ÒP¨ Ó ª

Ô ¨ Òª Ò ¨ Ô�ª

Ô�¨ Ó ª Ó ¨�Ô ª� ë�ÖîÑíÖ�ÏÂÐZÖOÖ�ÏÂÑSçîÖ�ÐZÖîÑÓç ëcÙüÖ�Ï×Ñ:ÒûÑêù ÖOÏøÐ�Òæù�à Î ÙÂËêÒ ÕÂÚ Î Ù×ú 0 Ç 0 È à ÐZÛ�ÑSÖ�Ï×ÑSëcÙÂÒæÞ�ëcÙ×ÑÓçÖ�ÏøÐZÖWç�ÐZÖ Î çîù Þ ó [ � � È�õ ��Ç \�x Í ÙÂÒûÞ�» Ç 0 ÈüÐ�ÙÂÚ 0 Ç 0 È ç�ÐZÖ Î ç�ù Þí� ��Ç ¢ ó [ � � ÈWõ��Ç \�x�öXÏ×ÑÓçîÑ8Ö5�Së,ÐZÛ�Ñ Ð�Ò çîëEÖ�Ï×ÑJëcÙøÒæÞ,ç�Ö�ÐZÖîÑÓçQ�ßÏ Î Ë�Ï*ç�ÐZÖ Î çîù Þ*ó [ �NÇ õ � ��Ç ¢ó [ � � È õ � Çk\�\�xc� Î ÙÂË0Ñ�Ù×ëcÙ×Ñ�ë�ùOÖ�Ï×ÑÓì�ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç � Çêà×Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çíÙ×ë8çîÖ�ÐZÖîÑ Î Ù=Ö�Ï×Ñç�Þ�çîÖîÑÓìÑ�ßÏ Î Ë�Ï ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç ��Ç ¢ ó [ ��Ç õ � ��Ç ¢Eó [ � � ÈXõ ��Ç \�\�x�öXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�àøÙ×ëç�Ö�ÐZÖîÑüë�ù Ö�ÏÂÐZÖßçîÞ©çîÖîÑÓì�ËêÐ�Ù4ç�ÐZÖ Î çîù Þ�ó�ÿ v ��Ç ¢�ó [ ��Ç õ � ��Ç ¢�ó [ � � È�õ ��Ç \�\,|¤x

}9}9� º ôÈÑêÖ � ��Ñ5ÖîÛ�Õ×Ñ Î ÙO)PÙ Î ÖîÑÓÒæÞØë�ù ÖîÑÓÙ�ëcÙ[Ö�Ï×Ñ=Ë0ëcì8éøÕ×Ö�ÐZÖ Î ëcÙ�éøÐZÖ�Ï ¡ ðe� ¡.Ç �¡ È � �����°x å Û�ë�ë�ù+��Þ$Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙÈï&�©ÕÂéÂé�ëcçîÑ2Ö�ÏÂÐZÖ�Ö�ÏÂÑJÙ×ÑêúcÐZÖ Î ëcÙ[ë�ùëcÕ×Û ËêÒûÐ Î ì Î çWÖîÛ�Õ×Ñ.xüößÏ Î çWì8ÑÓÐ�ÙÂçWÖ�ÏÂÐZÖèÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ2ÑÀ¿ Î çîÖ�ç�çîëcì8Ñ 0U4 ãEç�ÕÂË�ÏÖ�ÏÂÐZÖíù ë�Û�Ð�ÒûÒ Â 4U0 �SÑ�ÏÂÐr��Ñ ¡ µ �� � x � Õ×Ö:Ö�Ï×ÑÓÙ � Ë0ëcÕÂÒ Ú ëcÙøÒæÞ½��ÑßÖîÛ�Õ×ÑëcÙN)PÙ Î ÖîÑÓÒæÞ8ì5Ð�Ù7Þ ç�Ö�ÐZÖîÑÓç�ë�ùÈÖ�ÏÂÐZÖíéøÐZÖ�Ïáà×ÙÂÐ�ì5ÑÓÒæÞJÐZÖ�ì8ëcçîÖ�ÐZÖíÖ�Ï×ÑèçîÖ�ÐZÖîÑÓç¡ ð Ä ¡ Ç Ä ����� Ä ¡ PIn Çrxº �©Õ×éÂé�ëcçîÑaÖ�ÏÂÐZÖ�ù ë�ÛèÑ���ÑêÛ�Þ 0U4 ã�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çèçîëcì5Ñ Â 4­0 � Î Ö�Ï ¡ µ � � xå Û�ë�ë�ù��7Þ�Ë0ëcÙ�ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙáï òbç�ç�ÕÂì8ÑBÖ�ÏÂÐZÖ � Î çáëcÙÂÒæÞWÖîÛ�Õ×ÑSÐZÖú)PÙ Î ÖîÑÓÒûÞbì5Ð�Ù7ÞçîÖ�ÐZÖîÑÓç�ëcÙ,Ö�ÏÂÐZÖbéPÐZÖ�ÏMxböXÏÂÑÓÙ Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ2ÏÂÐ�çbÖîëh��ÑaÐ ìJÐ6¿ Î ìJÐ�ÒOÙ�ÕÂìQ��ÑêÛ 0 ðç�ÕÂË�Ï5Ö�ÏÂÐZÖBÙ×ë ¡ µ � Î Ö�Ï Â[î 0 ð ç�ÐZÖ Î çk)PÑÓç � x � Þ�Ö�Ï Î ç Î ç ÐèË0ëcÙ�ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö Î ëcÙÖîë Ö�Ï×Ñ$Ð�ç�ç�Õøì8éÂÖ Î ëcÙÉÐ#��ëN��Ñ\�bÏ Î Ë�ÏÉÐZéÂéPÒ Î ÑÓÚ � ù ë�ÛØÐ�Ò Ò 0 4 ã.�©à çîë Î ÙéøÐZÛ�Ö Î ËêÕÂÒ ÐZÛ Î ÖXÐZéÂéøÒ Î ÑÓçSÖîë Ö�ÏÂÐZÖ 0 ð6x

}KýM� òbÒûÒBÖ�Ï×Ñ çîÖ�ÐZÖîÑÓç2ÐZÛ�Ñ=ÒûÐ#��ÑÓÒûÒæÑÓÚ*ó�ïZ»�¯ v Î x Ñ.xæàCÐ�ÒûÒ¶Ö�Ï×Ñ ç�Ö�ÐZÖîÑÓçaÏøÐr��Ñ�Ð ù Ð Î Û éøÐZÖ�ÏÒûÑÓÐ�Ú Î Ù×ú8ù Û�ëcìzÖ�Ï×ÑÓìb|¤x

k�l m9nGo�p,qrm�q&�Gt"!Ãv é x â É â>|}�~&�M�N� º öXÏ×Ñüù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙ û Ç Î çßì8ëcÙ×ë�ÖîëcÙ×Ñ�ï Î ù ì Î çbÐJç�Õ��PçîÑêÖXë�ù ì � Ö�Ï×ÑÓÙ û ÇbëcÙÂÒæÞ

Û�ÑÓì8ëN��ÑÓç=Ö�Ï×Ñ4ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�ç Æ à�ä×àXÐ�ÙøÚ�y�ù Û�ëcì ì Ð�ÙÂÚ ì � Î ùèÐZéÂéøÒ Î ËêÐ#�PÒæÑ.x� Î ÙÂË0Ñ ì�ðBì � Ö�Ï Î ç�ÑÓÙÂç�Õ×Û�ÑÓçíÖ�ÏÂÐZÖ û Ç v ì | ð û Ç v ì � |¤x

Page 73: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´ Ù �º öXÏ×Ñaù ÕÂÙøË0Ö Î ëcÙ û È Î çWÙ×ë�Öèì8ëcÙ�ÖîëcÙÂÑ�ïXÑ.x ú�x Ä â Ê ð Ä â Ä É Ê à �øÕÂÖ û È v Ä â Ê |�à�ßÏ Î Ë�Ï Î ç Ä É Ä Û Ê à Î ç�Ù×ë�ÖßÐ8ç�Õ/�øçîÑêÖ�ë�ù û È v Ä â Ä É Ê |�à��bÏ Î Ë�Ï Î ç Ä Û Ê x

º öXÏ×Ñ$ù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙ û S Î ç ì8ëcÙ×ë�ÖîëcÙÂÑ�ç Î ÙÂË0Ñ$ÕøÙ Î ëcÙ!Ð�ÙÂÚ Î Ù�ÖîÑêÛ�ç�ÑÓË0Ö Î ëcÙ�ÐZÛ�Ñì8ëcÙ×ë�ÖîëcÙ×Ñ Ð�ÙÂÚ�Ö�ÏÂÑ�Ë0ëcì5é�ëcç Î Ö Î ëcÙ;ë�ùbì8ëcÙÂë�ÖîëcÙ×ÑEë�é�ÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙÂç Î ç2ÐZúcÐ Î Ùì8ëcÙ×ë�ÖîëcÙ×Ñ.x

}�~&ó��N�Ð� Ñ�Ë0ëcì8éøÕ×ÖîÑ=Ö�Ï×Ñ�ÒæÑÓÐ�çîÖ2Ð�ÙÂÚ$ú�Û�ÑÓÐZÖîÑÓç�Ö�)/¿�ÑÓÚ��Æé�ë Î Ù�Ö ë�ù û S � Î Ö�ÏÎõîÕøçîÖüëcÙ×ÑÎ ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙEÑÓÐ�Ë�Ïáï Î Ö Î ç Ä â Ä ä Ê Î Ù=ÑÓÐ�Ë�Ï ë�ù Ö�Ï×ÑÓçîÑüËêÐ�ç�ÑÓç�xc��ë��ßÏ7Þ=ËêÐ�Ùh�:Ñüç�Ð�ÞÖ�ÏøÐZÖXÖ�Ï Î ç Î çíÖ�Ï×Ñ ëcÙÂÒæÞ�)/¿©ÑÓÚO�Æé�ë Î Ù�Öíë�ù û S â¹ ~&�M� ôÈÑêÖ�u ð u � Ð�ÙÂÚ ¡ g Ç v uß|¤x2öXÏ×ÑÓÙ ¡ sÀ í gev uß| Î ì5éøÒ Î ÑÓç ¡ 1À Ð�ÙÂÚ¡ gev uß|¤x&��ë Î ÙØë�Û�Ú×ÑêÛ�Öîë ç�Ï×ëN� ¡ g Ç v u � | æ À í gev u � | Î Öèç�ÕO� Ë0ÑÓçÖîë=ç�Ï×ë�� ¡ gev u � |¤x � Õ×ÖXÖ�Ï Î çXù ëcÒûÒûëN�ßç�ù Û�ëcì ¡ gbv uß|�Ð�çu ð u � Ð�ÙÂÚç Î ÙÂË0Ñ g Î ç�ì8ëcÙ×ë�ÖîëcÙ×Ñ.x

¹ ~&ó�� ôOÑêÖÐu ð u � Ð�ÙÂÚ Ë0ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛ ¡ g È v uw|¤xº ð ù ¡ LÀüàÂÖ�ÏÂÑÓÙ ¡ KÀ3� v Æ í gbv u � | æ.g È v u � |:ù ëcÒûÒæëN�bç�xº ð ù ¡ � KÀüà�Ö�Ï×ÑÓÙ ¡ g È v uw| æ À_� v Æ í gbv uß|&| Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡ JÆ í gev uß|�à�øÕ×Ö��:ÑJÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�ÚÂÞ�ç�Ðr� Î Ù Î ÖîÑÓì v Ð�|èÖ�ÏÂÐZÖüÖ�Ï Î ç Î ì8éPÒ Î ÑÓç ¡ CÆ í gev u � |Ð�ÙÂÚ çîë ¡ KÀ3� v Æ í gev u � |&| æ.g È v u � |:Ú×ë7ÑÓç Î Ö�x

ýG� º ôOÑêÖ�u ð u � Ð�ÙÂÚ ¡ ûÖv uw| æÜ[ [v� \ \ í Ä ¡ ð Ä � ¡ ð � ¡ Ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡ Ç~ 1u Ê xöXÏ×ÑÓÙ ¡ [ [v� \ \ Î ç8ËêÒæÑÓÐZÛrx ð ù ¡ � Ä � Î Ö�Ï ¡ � ¡ � à:Ö�Ï×ÑÓÙ ¡ ûEv uß|Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡ � %uFx3� Î ÙÂË0Ñ�u ð u � àá�:Ñ Î Ù×ù ÑêÛèù Û�ëcì Ö�ÏøÐZÖ ¡ � %u � x � Õ×ÖÖ�Ï Î çXç�ÏÂëN�ßç ¡ [ [v� \ \ í Ä ¡ ð� Ä � ¡ ðH� ¡>Ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡>Ç 1u � Ê æ.ûEv u � |¤x

º � Ñ�Ë0ëcì8éøÕÂÖîÑûÖv*[ [ ò$» � \ \u| æ [ [v� \ \ í Ä ¡ ð� Ä � ¡ ðH� ¡>Ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡>Ç [ [ ò$» � \ \ Ê

æ [ [v� \ \ í [ [ ò��*ò$» � \ \æ [ [ ò$» � \ \��

º � Ñ�ÏÂÐN��Ñ�Ð�ÒæÛ�ÑÓÐ�ÚÂÞ=çîÑêÑÓÙØÖ�ÏÂÐZÖ [ [ ò$» � \ \ Î çXÐ�)9¿�ÑÓÚEé�ë Î Ù7Ö�ë�ù û xSöOëJç�Ï×ëN�Ö�ÏÂÐZÖ Î Ö Î ç¶Ö�Ï×ÑWú�Û�ÑÓÐZÖîÑÓçîÖ�)/¿©ÑÓÚ5é�ë Î Ù7Öêà Î ÖSç�ÕO�=Ë0ÑÓç¶Öîë8ç�Ï×ë��VÏÂÑêÛ�ÑbÖ�ÏøÐZÖ:Ð�Ù7ÞçîÑêÖ�u�� Î Ö�Ï ûEv uß| æ u ÏÂÐ�ç�ÖîëÎ��Ñ8Ë0ëcÙ�Ö�Ð Î Ù×ÑÓÚ Î Ù [ [ ò$» � \ \%x`��ëEÒæÑêÖ ¡ ð��Ñ2Ð�Ù4ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7ÖWë�ùSç�ÕÂË�Ï,Ð�)/¿�ÑÓÚ4é�ë Î Ù7ÖuFx � Ñ8Ù×ÑêÑÓÚ4ÖîëEç�Ï×ëN� Ö�ÏÂÐZÖ ¡ ðÎ ç Î Ù [ [ ò$» � \ \ Ð�çH�:ÑÓÒûÒëx�ÿ×ë�ÛWÖ�ÏÂÐZÖH�:Ñ ÕÂçîÑèÖ�Ï×Ñ ù Ð�Ë0ÖXÖ�ÏÂÐZÖ

¡ ð 1u æ.ûÖv uw| æÜ[ [v� \ \ í Ä ¡ Ä � ¡ � ¡ Ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡ Ç~ 1u ÊÖîë Î Ù×ù ÑêÛ8Ö�ÏÂÐZÖ ¡>Ç ñu ù ë�Û=Ð�ÒûÒ ¡.Ç � Î Ö�Ï ¡ ðí� ¡.Ç x � Õ×Öêàíç Î ÙøË0Ñ ¡.Ç Î çÎ Ù�u�à§�:Ñ ì5Ð�Þ$ÐZéÂéøÒæÞ,Ö�ÏÂÐZÖ�ç�Ð�ì8ÑJÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö�Öîë ¡ Ç� Gu æ ûEv uß| æ[ [v� \ \ í Ä ¡ Ä � ¡ � ¡ È Î ì8éøÒ Î ÑÓç ¡ È Ju Ê Ð�ÙøÚí�:Ñ2ú�ÑêÖ ¡ È� Ju ù ë�ÛèÐ�ÒûÒ¡ Èb� Î Ö�Ï ¡.Ç � ¡ È6x � Þ[ì5ÐZÖ�Ï×ÑÓìJÐZÖ Î ËêÐ�Ò Î ÙÂÚÂÕøË0Ö Î ëcÙáà�SÑEËêÐ�Ù�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñç�Ï×ëN�VÖ�ÏÂÐZÖ ¡ P 1u�àK�ßÏ×ÑêÛ�Ñ ¡ P Î çBÐ�Ù7Þ5çîÖ�ÐZÖîÑWÖ�ÏÂÐZÖ Î çBÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑbù Û�ëcì ¡ ð�x� Î ÙÂË0Ñ Ð�ÒûÒáç�Ö�ÐZÖîÑÓç Î Ùdu@ç�ÐZÖ Î çîù Þ � àøÖ�Ï Î ç�ì8ÑÓÐ�ÙÂçXÖ�ÏÂÐZÖ ¡ Î ç Î Ù [ [ ò$» � \ \5x

Page 74: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

Ù0� �IÚ ¦&¬ ��µª²�­,¬°¨�±d������¨qÛeÚ ³�µk��Úªµ��r¬®±6´v Ú�|=öXÏ×ÑèéøçîÑÓÕøÚ×ë���Ë0ë�ÚÂÑèù ë�Û^�×òCö~ò ê ï

& � À � ± º.� À �©òCö ò ê v�� |÷|¦aÚ×ÑêÖîÑêÛ�ì Î Ù×ÑÓçíÖ�Ï×Ñ çîÑêÖßë�ù ç�Ö�ÐZÖîÑÓçßç�ÐZÖ Î ç�ù Þ Î Ù×ú5ò$» � ¦6÷»��/� ² »ó' ²cþ u Ä�ìÉ ¼Iͺ Àì ï æ �©òCö v�� | �u ï æ4Ë �þ ¼ � ¼ ² ± � À ± ºc» u æ ìÉ ¼|Íøº Àu@ï æ ì �ì ï æ ìLí Ä ¡ Ä � ¡ � ¡ � Î ì5éøÒ Î ÑÓç ¡ � ì Ê

¼ À �þ ¼ ± � þ�À ì¼ À �

Page 75: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

ô

_F` ��i ` d�o õÐ� ` ckj�j�d���c7���

k�l m9nGo�p,qrm�q��Mtuswv é x â Û.Û |}/� öXÏ Î ç Î ç�Ð�ÙVë�é�ÑÓÙO�ÆÑÓÙÂÚ×ÑÓÚVÐ�ÙÂÚVÖ�Ï×ëcÕ×úcÏ7Ök�ÆéÂÛ�ë���ë�Ü Î Ù×úMÑÀ¿�ÑêÛ�Ë Î çîÑ.x ÿ×ë�ÛEÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑ�à

�©ë�ù Ö5�:ÐZÛ�Ñ ÷ Ñ���ÑÓÒæë�éøì8ÑÓÙ7ÖaóSÙ�� Î Û�ëcÙøì8ÑÓÙ�Ö�çüËêÐ�Ù Î ì8éøÛ�ëN��Ñ5Ö�ÏÂÑ5Û�ÑÓÒ Î Ð#� Î Ò Î Ö�Þ ë�ùË0ë©Ú×Ñß��ÞÖîÛ�Ð�Ë�Ü Î ÙÂúÖ��ÑêÛ�ç Î ëcÙÉÙ7ÕøìQ��ÑêÛ�ç=Ð�ÙÂÚVÑÓÙÂç�Õ×Û Î Ù×ú�Ö�ÏøÐZÖ�Ð�Ò Òbì8ë©Ú Î )PÑÓÚË0ë©Ú×Ñ Î çXÛ�Ñ���Ë0ëcì8é Î ÒæÑÓÚÈàøë�Û�Ò Î Ù×Ü�ÑÓÚ£�ßÏ×ÑÓÙØÙÂÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ�Þ.xWó¶Ú Î Öîë�Û�çbËêÐ�Ù4ÑÓÙÂÏÂÐ�ÙÂË0ÑÖ�ÏÂÑ=Û�ÑÓÐ�Ò Î � Î Ò Î Ö�Þ�ë�ùßçîë�ù Ö%�íÐZÛ�ÑÎ��Þ[Ú×Ñêé Î Ë0Ö Î Ù×ú,çîëcÕ×Û�Ë0Ñ�Ë0ë�ÚÂÑ=Ö�ÏÂÛ�ëcÕ×úcÏ�ÕÂçîÑ=ë�ùË0ëcÒûë�Û�ç�Ð�ÙÂÚ�ù ëcÙ�Ö�çíÖ�ÏÂÐZÖXË�Ï×ÑÓË�Ü=Ö�Ï×Ñ Î Ù7ÖîÑêú�Û Î Ö�ÞJë�ù çîÞ�Ù7Ö�Ð6¿ ù ë�Û�Ö�Ï×Ñ�Û�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑéøÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ì Î Ù×úüÒûÐ�Ù×úcÕøÐZú�Ñ.x å Û�ë�ú�Û�Ð�ì5ì Î Ù×úüÒûÐ�ÙÂúcÕÂÐZú�ÑbË0ëcÙÂç�ÖîÛ�ÕÂË0Ö�ç¶ìJÐÓÞ5Ð�ÒûçîëÎ ì8éÂÛ�ë���Ñ�ë�Û�Së�Û�çîÑÓÙ5Ö�Ï×Ñ�Û�ÑÓÒ Î Ð#� Î Ò Î Ö�Þèë�ù�çîë�ù Ö%�íÐZÛ�Ñ.x¶Ô Î úcÏO��ÒæÑ���ÑÓÒ×Ð#�øç�ÖîÛ�Ð�Ë0Ö Î ëcÙÂçÐ�ÙøÚMÑÓÙÂËêÐZéøç�ÕøÒûÐZÖ Î ëcÙMéÂÛ Î ÙÂË Î éøÒûÑÓç�ÐZÛ�ÑØú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�ÒûÒæÞ[é�ÑêÛ�Ë0Ñ Î ��ÑÓÚ Ð�ç Ð Î Ú Î Ù×ú�Ö�Ï×ÑÛ�ë.�øÕÂçîÖ�Ù×ÑÓç�çEë�ùaç�ë�ù Ö5�:ÐZÛ�ÑÃ�ßÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�ç ÑÀ¿�éøÒ Î Ë Î Ö�é�ë Î Ù�ÖîÑêÛ4ì5Ð�ÙÂÐZú�ÑÓì8ÑÓÙ7Ö4ì5Ð�ÞÛ�ÑÓç�ÕÂÒæÖ Î Ù�Ñ��=Ë Î ÑÓÙ�ÖË�øÕ×Ö+ÁPÐr�:ÑÓÚØç�ë�ù Ö5�:ÐZÛ�Ñ.x:óBÖ�Ë#x

k�l m9nGo�p,qrm�q��Mt°ÂÃv é x â Û.Û |}/� ð ÙZ�ßÏÂÐZÖ5Ë Î Û�ËêÕÂì5çîÖ�Ð�ÙÂË0ÑÓçY�SëcÕÂÒ Ú º &NÆ ÄZö Ç Ê ¼�» · ¼ ÄZö È Ê ù Ð Î ÒíÖîë$ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑ�â

v � Ñ Ð�ç�ç�ÕÂì8Ñ2Ö�ÏÂÐZÖèÖ�ÏÂÑaéøÛ�ë�ú�Û�Ð�ì Î ç��:ÑÓÒûÒ��ÆÖ�Þ�é�ÑÓÚMxz| Í Õ×ÛèË0ë�Û�Ñ5ÒûÐ�Ù×úcÕÂÐZú�Ñ Î çç�ÕÂË�Ï[Ö�ÏÂÐZÖQ��ë�ëcÒæÑÓÐ�Ù*ÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙÂç�Æ Î Ù*Ö�Ï×ÑÓì5çîÑÓÒØ��ÑÓç�ËêÐ�ÙÂÙÂë�Ö�Ú Î ��ÑêÛ�ú�Ñ�à Î x Ñ.xÖ�ÏÂÑêÞ8� Î ÒûÒ Û�ÑêÖ�Õ×Û�Ù�ÐEÖîÛ�Õ×Ö�Ïw�ZÐ�ÒûÕ×Ñ.x=öXÏ�ÕÂçêàÈÖ�Ï Î ç Ë0ë�ÚÂÑJËêÐ�Ù$ëcÙÂÒûÞ4Ú Î ��ÑêÛ�ú�Ñ Î ùö Ç ë�Û ö ÈüÚ Î ��ÑêÛ�ú�Ñ8Ð�ÙÂÚ Î ùBÖ�Ï×Ñ2Ë0ëcÙ�ÖîÛ�ëcÒ§ÁøëN��éøÐ�ç�çîÑÓçWÑÀ¿�ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙ�ëcÙ4Öîë�Ö�Ï×ÑÛ�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��Ñ5Ú Î ��ÑêÛ�ú Î Ù×úEË0ëcì5ì5Ð�ÙÂÚ ö Ç ë�Û ö È6x � ë�Ö Î Ë0Ñ5Ö�ÏÂÐZÖ Ö�Ï Î çWéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ìÙÂÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ Î ÒûÞ=Ú Î ��ÑêÛ�ú�ÑÓç Î ù���ë�Ö�Ï ö Ç Ð�ÙÂÚ ö ÈèÚ Î ��ÑêÛ�ú�Ñ.x

¹G�Ð� Ñ�ËêÐ�ÙØÑÀ¿�éøÛ�ÑÓç�ç�ç�ÕÂË�Ï Ð8ù ë�Û*��Òæë�ë�é Î Ù�ëcÕ×ÛbË0ë�Û�ÑüÒûÐ�Ù×úcÕøÐZú�ÑüÐ�ç¬ � ´È°¸�¹�º�»�¼ Ð Ä

¬ � KB°¬ � ¯C°Ê

y É

Page 76: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

Ù � ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±

� ë�ÖîÑßÖ�ÏøÐZÖBÖ�Ï Î çCù ë�Û�ì�)øÛ�çîÖCÑÀ¿�ÑÓËêÕÂÖîÑÓç¶Ö�Ï×ÑË��ë©Ú×Þ ö S ��Ñêù ë�Û�Ñ Î ÖCé�ÑêÛ�ù ë�Û�ì5ç Ö�Ï×ÑÕÂé�ÚøÐZÖîÑèë�é�ÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ ö ÈWù ë�ÛbÖ�Ï×Ñ���ë7ëcÒûÑÓÐ�Ù Ë0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ2Æbxk�l m9nGo�p,qrm�q��Mt��Ev é x ] ã�ã�|}�~&�G� � Î ÙÂË0Ñb� v bG| æ Ò â�àÅ� v d | æ É à Ð�ÙÂÚ�� v Ö | æ ÒQÆ �:Ñ5ÏÂÐN��Ñù���� b +Ud � Ö Ð�ç

Ò â + É Î çXÙ×ë�ÖbÒûÑÓç�ç�Ö�ÏÂÐ�Ù ÒQÆ x:ößÏ7ÕÂç� � v b +1d � Ö |+��� v bùú d æ Ö |�Ð�çÖ�ÏÂÑüÐ�ç�ç�ÕÂì5éÂÖ Î ëcÙ�ë�ù Ö�Ï×Ñ Î ì8éPÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�Ú×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖXÏ×ëcÒ ÚMx

}�~&º��8� Ñ$ÏÂÐr��Ñ�� � v b +­d Ò Ö |�� b�ú d ú Ö ç Î ÙøË0Ñ4Ö�Ï×Ñ,ÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙ#ëcÙVÖ�Ï×ÑÒûÑêù Ö Ñ�� Ð�ÒûÕøÐZÖîÑÓç5Öîë Ò â + ÉeÒ v ÒQÆ | æ ä;Ð�ÙÂÚMÖ�Ï×Ñ4ëcÙ×ÑØëcÙÖ�Ï×ÑØÛ Î úcÏ�Ö8Öîëv Ò â>| - É - v ÒQÆ | æ Æ ã�x

¹G� ÿ×ë�Û2Ð�Ù�Þ � àZ�ßà Ð�ÙÂÚ ¿ �:Ñ ÏÂÐN��Ñ Ö�ÏÂÐZÖ �?û»ükû v � | ¿Üv � | Î ì8éPÒ Î ÑÓç �|ýkþkÿ v � | ¿Üv � |¤xÿÂë�ÛüÒæÑêÖ � û»ükû v � | ¿Üv � |���ÑaÖ�Ï×Ñ8ËêÐ�çîÑ.x2òbç�ç�ÕÂì Î ÙÂúJÖ�ÏÂÐZÖèéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì ¿ Î çWÑÀ¿I�ÑÓËêÕÂÖîÑÓÚ Î Ù�ÐEçîÖîë�Û�Ñ5ì5ÑêÑêÖ Î Ù×úEÖ�Ï×Ñ8éÂÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ � �SÑ8Ö�ÏÂÑÓÙ*Ü�ÙÂëN��Ö�ÏÂÐZÖ Î Ö� Î ÒûÒ�ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑ Î Ö�çßÑÀ¿�ÑÓËêÕÂÖ Î ëcÙ4Ð�ÙøÚ ÑÓÙÂÚ4Õ×é Î Ù Ð`)PÙÂÐ�ÒÈç�Ö�ÐZÖîÑaì8ÑêÑêÖ Î Ù×úJÖ�Ï×Ñé�ëcçîÖ�Ë0ëcÙøÚ Î Ö Î ëcÙ:��x ð ù§�:Ñ Î úcÙÂë�Û�ÑèÖ�ÏÂÐZÖXÖ�Ï Î çXçîÑÓËêÕ×Û�ÑÓçXÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖ Î ëcÙÎ�SÑ�ÏÂÐr��Ñõ�ÕÂçîÖXç�Ï×ëN�ßÙ � ýkþ�ÿ v � | ¿Üv � |¤xå ÒæÑÓÐ�çîÑaÛ�ÑÓì8ÑÓì���ÑêÛbÖ�ÏÂÐZÖWÞ�ëcÕ�ËêÐ�Ù,ëcÙÂÒæÞEÕÂÙÂÚ×ÑêÛ�çîÖ�Ð�ÙÂÚ éøÛ�ë7ë�ù çbë�ù v � | ¿Üv � |��Þ�Û�ÑÓÐ�Ú Î ÙÂúaÖ�ÏÂÑÓì Î Ù Ð���ë�ÖîÖîëcì���Õ×éØù Ð�ç�Ï Î ëcÙÉ�

ý ~&�G����� Ñaç�Ï×ë��[Å ýkþkÿ v b î ã | Ñ ® Ê Á ´á° v d î Æ |+��Þv b î ã |v v b + Æ | î Æ | � û��=ù�� ú��

Ñ ® Ê Á ´È°v d î Æ | ����� �� �û�ú� ��

ý ~&ó��N��� Ñüç�ÏÂëN�[Å ý�þ�ÿ v ¯ | Ñ ® Ê ° Ñ ® Ê Á Ê Á Ñ ° v d æ ] - b |g��Þv ¯ |v b + b + b æ ] - b | � û���ù�� ú��

Ñ ® Ê °v v b + b +1d | æ ] - b | ������ �� �û�ú� ��

Ñ ® Ê Á Ê Á Ñ °v d æ ] - b | ����� �� �û�ú� ��

ý ~&º������ ÑWç�ÏÂëN� Å ýkþ�ÿ v b î Æ | ²!® ´È° Ñ ® Ê ° Ñ ® Ñ A ²B° v d î ã�¢Nb î d |§��Þ

Page 77: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± ÙNÙv b î Æ |v b ÒÜÆ î ãË¢Nb î b ÒÜÆ | � û��=ù�� ú��

²É® ´á°v b Ò ÿvî ã�¢Nb î b Ò ÿ | ����� �� �û�ú� ��

Ñ ® Ê °v v d Ò ÿ | î ã�¢3b î v d Ò ÿ | | ����� �� �û�ú� ��

Ñ ® Ñ A ²B°v d î ã�¢3b î d | ����� �� �û�ú� ��

�á~&�G��� ößÏ×ÑêÛ�Ñ�ÐZÛ�Ñ Î ÙO)�Ù Î ÖîÑÓÒæÞJìJÐ�Ù�ÞEéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ç��ßÏ Î Ë�Ï ì8ÑêÑêÖWÖ�Ï×ÑÓçîÑ Î Ù×éøÕ×Ö¤÷�ëcÕ×ÖîéPÕ×Ö��ÑÓÏÂÐN� Î ë�Û�ç�x ö ë Î ì8éøÒæÑÓì5ÑÓÙ�Ö v ¯ | ¿Uv d æ b + â |M�SÑíì5Ð�Ú×ѶÐbù Ð Î Û�ÒæÞWë.�=� Î ëcÕÂçË�Ï×ë Î Ë0Ñ�à�ÙÂÐ�ì8ÑÓÒæÞ Ö�Ï×ÑüÐ�ç�ç Î úcÙÂì8ÑÓÙ7Ö Ñ ® Ê Áׯ ° öXÏ×ÑèéÂÛ�ë�ë�ù Î ç

v ¯ |v v b + â>| æ b + â | � û���ù�� ú��

Ñ ® Ê Á�¯ °v d æ b + â | ����� �� �û�ú� ��

�á~&ó��N� öXÏ×ÑêÛ�Ñ ÐZÛ�Ñ Î ÙO)�Ù Î ÖîÑÓÒæÞJìJÐ�Ù�Þ�éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ç��ßÏ Î Ë�Ï ì8ÑêÑêÖbÖ�Ï×ÑÓçîÑ Î Ù×éøÕ×Ö¤÷�ëcÕ×ÖîéPÕ×Ö��ÑÓÏÂÐN� Î ë�Û�ç�x�ö ë Î ì8éøÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö v ¯ | ¿Üv Ö î b +1d�+ ä |h�SÑ;Ë�Ï×ëcçîÑ;ÐÙ×ëcÙ��ë�éøÖ Î ì5Ð�Ò à��øÕÂÖXçîÖ Î ÒûÒ�Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0Öêà�çîÑr��Õ×ÑÓÙÂË0Ñèë�ùCÐ�ç�ç Î úcÙøì8ÑÓÙ�Ö�çÓï

v ¯ |v Æ ã î ä | � û���ù�� ú��v b + v d�+ Æ ã�| î b +Td�+ ä | � û���ù�� ú��

� ® Ñ Á ´Z#B°v v b + ®G| î b +1d�+ ä | ����� �� =û�ú� ��

Î ® Ê Á � °v Ö î b +Þd�+ ä | ����� �� =û�ú� ��

©á~&º��N�Ð� Ñ ç�Ï×ë�� Ö�ÏÂÐZÖaÐ�Ù�Þ Î ÙøçîÖ�Ð�ÙÂË0Ñ5ë�ùíÖ�Ï×Ñ5Û�ÕÂÒæÑ�� �������ªü��ªú#û�ú� ���ËêÐ�ÙF��Ñ5Û�ÑêéøÒûÐ�Ë0ÑÓÚ��ÞEÐ2éÂÛ�ë�ë�ù Î Ù�Ö�Ï×Ñ éÂÛ�ë�ë�ù ç�Þ�çîÖîÑÓì � Î Ö�Ï×ëcÕÂÖ:Ö�Ï Î çíÛ�ÕÂÒæÑ�ï

� � � ã ¨ �! C¨ � " � #�$&%�' ( )+*� Ú � xÌã ¨ Û � � � C¨ � " � #,$-%�' ( )+*

� Ú � xÌã ¨¸Û � Ú � � xÌã ª Û � � � ¨ � " �

� � � � ã ª �. ª � " � #�$-%/' ( )0*� Ú � � xÌã ª«Û � � � � ª � " � #,$-%/' ( )0*

� Ú � xYã ¨.Û � Ú � � xYã ª Û � � � � ª � " � # 132547698+67)�$:)<;+6� Ú � xÌã ¨.Û � Ú � � xÌã ª Û �>=�? �A@ ¨�B-CEDGF�C @ ª B � " �

Page 78: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

Ù à ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±}IzM��� Ñ[ç�Ï×ëN��Å ýkþ�ÿ v ¯ | ¿Uv Ö æ ì Î Ù v b Ä d | |�à��bÏ×ÑêÛ�Ñ*ì Î Ù v b Ä d | Î ç Ö�ÏÂÑ$ç�ì5Ð�ÒûÒæÑÓç�Ö

Ù�ÕÂì���ÑêÛÈë�ù�baÐ�ÙøÚ d v Ñ.x ú�x ì Î Ù v y Ä ] | æ ] |áù ë�Û Ö�Ï×ÑSË0ë©Ú×Ñ ¿ ú Î ��ÑÓÙ���ÑÓÒæë�� ïv ¯ |

º & Ê C Ñ Äv ¯Ü¢ v b î d | | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��v d æ ì Î Ù v b Ä d | | � û���ù�� ú��

Î ® Ñ °v Ö æ ì Î Ù v b Ä d | | ����� �� =û�ú� ��

Ê ¼�» · ¼ Äv ¯Ü¢�� v b î d | | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��v b æ ì Î Ù v b Ä d | | � û���ù�� ú��

Î ® Ê °v Ö æ ì Î Ù v b Ä d | | ����� �� =û�ú� ��

Êv Ö æ ì Î Ù v b Ä d | | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��

ð ù�b,Ñr�7ÕÂÐ�Ò ç d ÐZÖWÛ�ÕÂÙ7Ö Î ì8ÑèÖ�Ï×ÑÓÙ4Ö�Ï×Ñ�ç�ÑÓË0ëcÙÂÚ£�øÛ�Ð�ÙÂË�ÏØë�ùCÖ�Ï×Ñ Î ùm��çîÖ�ÐZÖîÑÓì5ÑÓÙ�Öú�ÑêÖ�ç ÑÀ¿�ÑÓËêÕ×ÖîÑÓÚ!Ð�ÙøÚÖ�Ï×Ñ8�ZÐ�ÒûÕ×Ñ,ë�ù�b � Î ÒûÒË��ÑØÖ�Ï×Ñ�Û�ÑÓç�ÕøÒæÖ�x&öXÏ Î ç Î ç`)PÙÂÑÐ�ç�Ö�Ï Î ç�� Ð�ÒûÕÂÑ5Ö�Ï×ÑÓÙ�Ð�Ò çîëØÑr��ÕÂÐ�ÒûçèÖ�ÏÂÑe�ZÐ�ÒûÕ×Ñ5ë�ù d x�ôOë�ú Î ËêÐ�ÒûÒæÞ�à§�:Ñ ËêÐ�ÙÂÙ×ë�ÖÛ�ÑÓÐ�ÒûÒæÞ Î ì8éÂÛ�ë���ÑBëcÕ×ÛOÚÂÑÓç�Ë0Û Î éÂÖ Î ëcÙ�ë�ù©ì Î Ù v b Ä d | v Î ÙèÖ�ÏÂѶçîÑÓÙÂçîѶÖ�ÏÂÐZÖá�:ѶË0ëcÕÂÒûÚÎ ì8é�ëcçîÑBì8ë�Û�ÑCë�Û ÒæÑÓç�çáéÂÛ�ë�é�ÑêÛ�Ö Î ÑÓç�ëcÙ Î Ö¤|�à��øÕ×ÖÈÏ�ÕÂì5Ð�Ù���Ñ Î Ù×úcçáì Î úcÏ�ÖM��ÑÓÙ×Ñ�)PÖù Û�ëcì�Ö�ÏÂÑ ù Ð�Ë0ÖßÖ�Ï×Ñ Þ�ëcÕØÚÂÛ�Ðr� Ö�ÏÂÑ Î ÛßÐZÖîÖîÑÓÙ7Ö Î ëcÙ ÖîëJç�é�ÑÓË Î Ð�Ò�ë�ÛßëN��ÑêÛ�ÒûÐZéÂé Î ÙÂúËêÐ�ç�ÑÓç�ë�ùÈÞ�ëcÕ×Û�çîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ v ç�ÕøË�Ï�Ð�çíÖ�Ï×ÑWëcÙ×ÑÐ�ßÏ×ÑêÛ�ѨbEÑr�7ÕÂÐ�Ò ç d |¤x v ÔbëN�ÚÂë5Þ�ëcÕEéÂÛ�ë���ÑüÖ�Ï Î çÓ� Î Ö�Ï�Ö�Ï×Ñ ì8ë©Ú Î )PÑÓÚ�éÂÛ�ë�ë�ùOÛ�ÕÂÒûÑWù ë�Û Î ùm��çîÖ�ÐZÖîÑÓì5ÑÓÙ�Ö�ç¤â6|

}9}�~7�G�N��� ÑÔ�XÛ Î ÖîÑaË0ë�Ú×Ñ ¿ �ßÏ Î Ë�ÏØç�ÐZÖ Î ç*)øÑÓç v ¯ | ¿Üv Ö æ ìJÐ6¿ v b Ä d | |�ÕÂÙÂÚÂÑêÛßéøÐZÛ*�Ö Î Ð�ÒÈË0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�çêà/�ßÏ×ÑêÛ�Ñ ì5Ð6¿ v b Ä d |XÚ×ÑÓÙ×ë�ÖîÑÓç�Ö�ÏÂÑüÒûÐZÛ�ú�ÑêÛXë�ùZb,Ð�ÙÂÚ d ï

Page 79: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± Ù�îv ¯ |

º & ÊAICÑ Äv ¯þ¢ v b�� d | | � ���7��&ü��ªú#û�ú� ��v d æ ìJÐ6¿ v b Ä d | | � û���ù�� ú��

Î ® Ñ °v Ö æ ì5Ð6¿ v b Ä d | | ������ �� �û�ú� ��

Ê ¼©» · ¼ Äv ¯þ¢�� v b_� d | | � ���7��&ü��ªú#û�ú� ��v b æ ì5Ð6¿ v b Ä d | | � û���ù�� ú��

Î ® Ê °v Ö æ ì5Ð6¿ v b Ä d | | ������ �� �û�ú� ��

Êv Ö æ ì5Ð6¿ v b Ä d | | � ���7��&ü��ªú#û�ú� ��

� ë�Ö Î Ë0Ñ$Ö�ÏøÐZÖÎ�SÑ$ç Î ì8éøÒæÞ Öîë�ë�ÜVÖ�Ï×Ñ$Ë0ë�ÚÂÑ$Ð�ÙÂÚÉÖ�Ï×Ñ�éÂÛ�ë�ë�ùüù ë�ÛØì Î ÙÉÐ�ÙÂÚË�ÏÂÐ�Ù×ú�ÑÓÚ î Î Ù7Öîë1��Ð�ÙÂÚ ì Î Ù Î Ù�Öîë ì5Ð6¿�x

}9}�~7ó�N��� Ñ�çîÑêÑêÜEÐ8éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì ¿ �ßÏ Î Ë�Ï ç�ÐZÖ Î ç*)øÑÓçÅ ýkþkÿ v ¯ | ¿Üv v&v b æ É |� v d æ ] |&|ᢠv&v b æ ] |� v d æ Æ |&| |¤� v ä�x Æ |

òbúcÐ Î ÙáàøÖ�Ï×ÑêÛ�ÑüÐZÛ�Ñ�ì5Ð�Ù�Þ�éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì5ç�ëcÙ×Ñ�Ë0ëcÕÂÒûÚh�XÛ Î ÖîÑ Ï×ÑêÛ�ÑüÐ�çXÐJçîëcÒûÕ×Ö Î ëcÙ x� ÑaË�Ï×ëcç�ÑüÐ8ù Ð Î Û�ÒæÞ=ÙÂÐZÖ�Õ×Û�Ð�Ò�ëcÙ×Ñ.x � ÑüéÂÛ�ë���Ñ v ä�x Æ |�Ð�çßù ëcÒ ÒæëN�ßçÓï

v ¯ |º & Ê ®4; Ä

v ¯þ¢ v b æ É | | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��v v&v b æ É |�� v ] æ ] |&|�¢ v&v b æ ] |�� v ] æ Æ |&| | � û���ù�� ú��

Ñ ®LKC°v v&v b æ É |�� v d æ ] |&| ¢ v&v b æ ] |� v d æ Æ |&| | ����� �� =û�ú� ��

Ê ¼©» · ¼ Äv ¯þ¢�� v b æ É | | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��v v&v b æ É |�� v Æ æ ] |&|�¢ v&v b æ ] |�� v Æ æ Æ |&| | � û���ù�� ú��

Ñ ® ´á°v v&v b æ É |�� v d æ ] |&| ¢ v&v b æ ] |� v d æ Æ |&| | ����� �� =û�ú� ��

Êv v&v b æ É |� v d æ ] |&| ¢ v&v b æ ] |� v d æ Æ |&| | � �H�7��&ü��'ú#û�ú� ��

Page 80: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

à�¦ ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±� ë�ÖîÑ=Ö�ÏÂÐZÖüÖ�Ï×Ñ ÐZéÂéøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙÂçèë�ùíÖ�Ï×ÑJÛ�ÕÂÒæÑ�� û��=ù�� ú�� Î Ù�Ò Î Ù×ÑÓçèä4Ð�ÙÂÚ Û �:Ð�ç�ZÐ�Ò Î ÚEç Î ÙÂË0Ñ � � - æ � Ð�ÙÂÚ � � � æ � xöH�Së ë�Ö�ÏÂÑêÛØçîëcÒûÕ×Ö Î ëcÙÂç�ÐZÛ�Ñ$é�ëcç�ç Î �PÒæÑ�ï�ëcÙ×Ñ$Ë0ëcÕøÒûÚÉéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì ÐT�îÙ×ÑÓçîÖîÑÓÚ/�Î ùm��çîÖ�ÐZÖîÑÓì5ÑÓÙ�Ö��ßÏ Î Ë�Ï Î çèÙ×ë�Ö Û�ÑÓÐ�Ò ÒæÞ4Ù×ÑêÑÓÚÂÑÓÚ$ç Î ÙÂË0Ñ2Ö�Ï×ÑJéÂÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ,ëcÙÂÒæÞì5ÑÓÐ�ÙÂç:ÖîëaÚ Î çîÖ Î Ù×úcÕ Î ç�Ï���ÑêÖ%�:ÑêÑÓÙ Ö5�Së��ZÐ�ÒûÕ×ÑÓç¶ë�ùGbOà©çîëÔ�SÑ�ì5ÐÓÞ Î Ú×ÑÓÙ7Ö Î ù Þ Î Ö�çË0ëcì5éøÕ×Ö�ÐZÖ Î ëcÙEù ë�ÛXÐ�ÒûÒG�ZÐ�ÒûÕ×ÑÓçíë�ù@b ë�Ö�Ï×ÑêÛXÖ�ÏøÐ�Ù É x¶öXÏ×ÑèçîÑÓË0ëcÙÂÚØçîëcÒûÕ×Ö Î ëcÙ Î çÐ�ÙØë�éÂÖ Î ì θ§ ÐZÖ Î ëcÙáï Ö�Ï×Ñ éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì

Ñ ® Ê A ¯C°Ð�Ò çîëJç�ÐZÖ Î ç*)øÑÓç�Ö�Ï×ÑèÛ�Ñr��Õ Î Û�ÑÓÚ�éÂÛ�Ñ��¶Ð�ÙÂÚEé�ëcçîÖ�Ë0ëcÙøÚ Î Ö Î ëcÙÂçrx v � Ï�Þ/â6|

}=öM��� Ñ$ç�Ï×ëN� Å ýkþkÿ v b 4 ã | ¬ � � Ñ ´ v b æ d |¤xBÿ Î Û�çîÖêàË�:Ñ,ÙÂë�ÖîÑ8�bÏ Î Ë�Ï��ZÐZÛ Î Ð#�øÒûÑÓçú�ÑêÖ�Õ×éáÚÂÐZÖîÑÓÚ Î Ù�Ö�Ï×ѽ��ë©Ú×Þ ë�ù:Ö�Ï×ѽ�ßÏ Î ÒûÑ���çîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Öêï d Ð�ÙÂÚ ÿ x���ÑÓË0ëcÙÂÚáà�:Ñ Ë0ëcì5éøÕ×ÖîÑJÖ�ÏÂÑ Î Û��ZÐ�ÒûÕ×ÑÓçüÐZù ÖîÑêÛaÑÓÐ�Ë�Ï Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ�ù ë�ÛÓà ç�Ð�Þ�à Ö�ÏÂÑ&)øÛ�çîÖüù ëcÕ×ÛÎ ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙÂç�x*öXÏ Î Û�Úáà Õ×é�ëcÙ Î Ùøçîé�ÑÓË0Ö Î ëcÙ$ë�ùbÖ�Ï×ÑÓçîÑ�� Ð�ÒûÕÂÑÓç��:ÑEç�Õ×ú�ú�ÑÓçîÖ d æb Ò ÿ Ð�çXÐ5ËêÐ�ÙÂÚ Î ÚÂÐZÖîÑèù ë�ÛßÐ�Ù Î Ù=�ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö�xBöXÏ×ÑèéÂÛ�ë�ë�ù Î ç

v b 4 ã |v ã æ b Ò b | � û���ù�� ú��

²!® Ê °v ã æ b Ò ÿ | ����� �� �û�ú� ��

Ñ ®L#B°v d æ b Ò ÿ | ����� �� �û�ú� ��

¸7¹�º�»�¼ ¾ ½ ²É®4#Pà Äv d æ b Ò ÿ | �J �K#ü�LM� üN ��PORQS�NT�¢U��V6ü�LW�v v d�+ Æ | æ b Ò v�ÿ ÒÜÆ | | � û���ù�� ú��

Ñ ® Ñ Á ´á°v d æ b Ò v�ÿ ÒUÆ | | ����� �� �û�ú� ��

²É®�² A ´á°v d æ b Ò ÿ | ����� �� �û�ú� ��

Êv v d æ b Ò ÿ |M¢���� v�ÿ�æ ã�| | X/ü�LW�Y� ü�ù �MZ\[]�zù úv d æ b | � û���ù�� ú��

� ë�ÖîÑ8Ö�ÏÂÐZÖ��SÑ8Ù×Ñ���ÑêÛ�Û�ÑÓÐ�Ò ÒæÞ ì5Ð�Ú×Ñ8ÕÂçîÑ�ë�ù¶Ö�Ï×ÑaéÂÛ�ÑÓË0ëcÙøÚ Î Ö Î ëcÙJb 4 ã � Ö�Ï Î çÎ ç Î Ù,Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�çîÖèÖîëEÖ�ÏÂÑ2Ë0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚ Î ÙÂúJéÂÛ�ë�ë�ùBë�ù�ça�.ça��íË0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�çÐ�bÏ Î Ë�ÏÐ�ÚøÚ Î Ö Î ëcÙÂÐ�Ò ÒæÞEçîÑÓËêÕ×Û�ÑÓçWéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì�ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖ Î ëcÙ � Ö�ÏÂÑÓÙ4Ö�Ï Î çWéÂÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ Î çÎ ÙÂçîÖîÛ�ÕÂì5ÑÓÙ�Ö�Ð�Ò Î ÙEç�ÑÓËêÕ×Û Î Ù×ú2éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì�Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�ÙÂÑÓç�ç�x

Page 81: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± àcv}|� ��� Ñbç�Ï×ëN� Å ýkþ�ÿ v dN4 ã |I  �ø» ± º ´ v Ö æ b -�d |¤x�ÿ Î Û�çîÖêà.�:ÑXÙ×ë�ÖîÑ��ßÏ Î Ë�Ï��ZÐZÛ Î Ð#�øÒûÑÓç

ú�ÑêÖaÕ×éáÚÂÐZÖîÑÓÚ Î Ù�Ö�Ï×ѽ��ë©Ú×ÞØë�ù:Ö�Ï×ѽ�ßÏ Î ÒæÑ���çîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Öêï Ö Ð�ÙÂÚ ÿ x���ÑÓË0ëcÙÂÚáà�:Ñ Ë0ëcì5éøÕ×ÖîÑJÖ�ÏÂÑ Î Û��ZÐ�ÒûÕ×ÑÓçüÐZù ÖîÑêÛaÑÓÐ�Ë�Ï Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ�ù ë�ÛÓà ç�Ð�Þ�à Ö�ÏÂÑ&)øÛ�çîÖüù ëcÕ×ÛÎ ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙÂç�x öXÏ Î Û�Úáà�ÕÂé�ëcÙ Î ÙÂç�é�ÑÓË0Ö Î ëcÙ ë�ùÂÖ�Ï×ÑÓç�Ñ+�ZÐ�ÒûÕ×ÑÓç��:Ñíç�Õ×ú�ú�ÑÓçîÖ Ö æ b - ÿÐ�çbÐ5ËêÐ�ÙÂÚ Î ÚÂÐZÖîÑèù ë�ÛbÐ�Ù Î Ù=� ÐZÛ Î Ð�Ù�Ö�xBöXÏÂÑèéÂÛ�ë�ë�ù Î ç

v dN4 ã |v ã æ b - ã | � û���ù�� ú��

²É®4#B°v ã æ b - ÿ | ����� �� �û�ú� ��

Î ®4#B°v Ö æ b - ÿ | ����� �� �û�ú� ��

¸7¹�º�»7¼ ¾ ½ ²É® Ñ Ã Äv Ö æ b - ÿ | �J �K#ü�LM� üN ��PORQS�NT9¢^��V#ü�LW�v Ö + b æ b - v�ÿ + Æ | | � û���ù�� ú��

Î ® Î Á Ê °v Ö æ b - v�ÿ + Æ | | ����� �� �û�ú� ��

²É®&²ÉÁ ´á°v Ö æ b - ÿ | ����� �� �û�ú� ��

Êv v Ö æ b - ÿ | ¢��� v�ÿÔæ d | | X/ü�LW�Y� ü�ù �MZ\[]�zù úv Ö æ b -�d | � û���ù�� ú��

òbúcÐ Î Ùáàg�SÑ4Ù×Ñ���ÑêÛJÕÂçîÑÓÚ;Ö�Ï×ÑEéøÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ d.4 ã�ù ë�Û5Ö�Ï Î ç�#���� çué��� Ë0ë�Û*�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�ç éÂÛ�ë�ë�ù�àÓ�øÕ×Ö Î Ö Î ç Ë0Û�ÕÂË Î Ð�Ò Î Ù çîÑÓËêÕ×Û Î Ù×ú$Öîë�Ö�Ð�ÒWË0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�ç=ÒûÐZÖîÑêÛëcÙ x

}IfM��� Ñaç�Ï×ë��[Å ýkþkÿ v b 4 ã ||Ì ��¸ À & ² � v d æ bÅ� |¤xgÿ Î Û�çîÖêà��:ÑüÙ×ë�ÖîÑ��ßÏ Î Ë�Ïh�ZÐZÛ Î Ð#�øÒûÑÓçú�ÑêÖ�Õ×éáÚÂÐZÖîÑÓÚ Î Ù�Ö�Ï×ѽ��ë©Ú×Þ ë�ù:Ö�Ï×ѽ�ßÏ Î ÒûÑ���çîÖ�ÐZÖîÑÓì8ÑÓÙ7Öêï d Ð�ÙÂÚ ÿ x���ÑÓË0ëcÙÂÚáà�:Ñ Ë0ëcì5éøÕ×ÖîÑJÖ�ÏÂÑ Î Û��ZÐ�ÒûÕ×ÑÓçüÐZù ÖîÑêÛaÑÓÐ�Ë�Ï Î ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙ�ù ë�ÛÓà ç�Ð�Þ�à Ö�ÏÂÑ&)øÛ�çîÖüù ëcÕ×ÛÎ ÖîÑêÛ�ÐZÖ Î ëcÙÂç�x öXÏ Î Û�ÚáàÓÕ×é�ëcÙ Î Ùøçîé�ÑÓË0Ö Î ëcÙèë�ù©Ö�Ï×ÑÓçîÑg� Ð�ÒûÕÂÑÓç �:ÑSç�Õ×ú�ú�ÑÓç�Ö dú- v�ÿ �z| æbÁ��Ð�çíÐaËêÐ�ÙÂÚ Î ÚøÐZÖîÑßù ë�Û:Ð�Ù Î Ù=� ÐZÛ Î Ð�Ù�Ö�xCÔbëN�:Ñ���ÑêÛÓàÂç Î ÙøË0ÑÐ� v�ÿvî ã�|SÚ×ë�ÑÓçSÙ×ë�ÖÎ ì8éøÒæÞ ÿ æ ã©à��SÑ�Ù×ÑêÑÓÚVÖîëMçîÖîÛ�ÑÓÙ×ú�Ö�ÏÂÑÓÙ#Ö�Ï Î ç Î Ù��ZÐZÛ Î Ð�Ù7ÖJÖîë v dJ- v�ÿ �z| æbÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�|¤x¶ößÏ×ÑèéÂÛ�ë�ë�ù Î ç

Page 82: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

à�� ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±

v b 4 ã |v v Æ - v bÅ�z| æ bÅ�z| ¢ v b 4 ã�| | � û��=ù�� ú��²É® Ê °v v Æ - v�ÿ �z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| | ����� �� �û�ú� ��

Ñ ® ´á°v v d�- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| | ����� �� �û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼ ² C # Äv v dY- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v�ÿaî ã�| | �J <K.ü�LM� ü] ��_O`QS�NT�¢^��V#ü�LW�v v dY- v&v�ÿ ÒÜÆ |¸� - ÿ | æ bÅ�z| ¢ v�ÿ ÒÜÆ 4 ã�| | � û��=ù�� ú��v v&v d~- ÿ | - v&v�ÿ ÒÜÆ |¸�z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ ÒÜÆ 4 ã�| | � û��=ù�� ú��

Ñ ® Ñ)W ²B°v v dY- v&v�ÿ ÒÜÆ |¸�z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ ÒþÆ 4 ã�| | ����� �� �û�ú� ��

²!® ² A ´È°v v dY- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| | ����� �� �û�ú� ��

Êv v d�- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢�� v�ÿvî ã�| | X/ü�La�0� ü=ù �MZ\[G� ù úv d æ bÁ� | � û��=ù�� ú��

� ë�ÖîÑßÖ�ÏøÐZÖ�SÑXÏøÐ�Ú8ÖîëüçîÖîÛ�ÑÓÙÂúcÏ�ÖîÑÓÙ8ëcÕÂÛ Î Ù=� ÐZÛ Î Ð�Ù�ÖCÏ7Þ7é�ë�Ö�Ï×ÑÓç Î ç�7Þ2Ð�ÚÂÚ Î ÙÂú�ÐË0ëcÙ#õîÕÂÙøË0Ö v�ÿ 4 ã�|¤xXöXÏ Î çÓ�íÐ�çbÙÂÑêÑÓÚ×ÑÓÚØç Î ÙÂË0ÑÔ� v�ÿdî ã�|�Ú×ë�ÑÓçWÙ×ë�Ö Î Ù Î Ö�çîÑÓÒæùÎ ì8éøÒæÞ,Ö�Ï×Ñ�Ú×ÑÓç Î Û�ÑÓÚ v�ÿFæ ã�| Öîë�çîÑÓËêÕ×Û�Ñ=Ö�ÏÂÐZÖaëcÕ×Û Î Ù��ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö Î ì8éPÒ Î ÑÓçèÖ�Ï×Ñé�ëcçîÖ�Ë0ëcÙøÚ Î Ö Î ëcÙMx

¹M}�~7�G�N��� Ñèç Î ìaÕÂÒûÐZÖîÑWÖ�Ï×ÑèË0ë�ÚÂÑWù ë�Û�ÑÓÐ�Ë�Ï�ë�ù Ö�Ï×ÑÓçîÑèÐZÛ�Û�Ð�Þ�ç Î Ù=ÐaÖ�Ð#�øÒûÑ��ßÏ Î Ë�Ï�Ò Î ç�Ö�ç

Page 83: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± à��Ö�ÏÂÑ�� Ð�Ò Õ×ÑÓç�ë�ù ­ à ± àøÐ�ÙÂÚ*·Ô�ßÏ×ÑêÛ�Ñh� Ö Î ì8Ñr�8Û�ÕÂÙøç�Ú×ëN�ßÙ=�íÐZÛ�ÚÂç�x

­ ± ·â

Ò�]Ò�]

Ò âÒ�]

]Ò ä

Ò ää

ÒQÆÒ ä

ÉÒ�Û

Ò�ÛÊ

� ë�Ö Î Ë0Ñ Ö�ÏøÐZÖXÖ�Ï×Ñ ì Î Ù Î ì5Ð�Ò���ç�Õøì çîÑÓË0Ö Î ëcÙ Î ç�ÕÂÙ Î �7Õ×Ñ Î Ù=Ö�Ï Î ç�ËêÐ�ç�Ñ�ï Î Ö Î çíÖ�Ï×Ñç�ÕÂì�ë�ù Ö�Ï×Ñ ÑÓÙ7Ö Î Û�Ñ ÐZÛ�Û�Ð�Þh�ßÏ Î Ë�Ï Î ç Ò�Û à×Ö�Ï×Ñ�ÒûÐ�çîÖ��ZÐ�ÒûÕ×Ñ çîÖîë�Û�ÑÓÚ Î Ù*·Kx

¹M}�~7º��N��� ÑüéøÛ�ë�Ë0ÑêÑÓÚØÐ�ç Î Ù Î ÖîÑÓì Æ ï­ ± ·â

Ò�ÆÒ�Æ

Ò�]Ò�]

]Ò�Ê

Ò�Êä

ÒQÆ ãÒQÆ ã

ÉÆ ã>{>y

ÒQÆ ãÊ

òbúcÐ Î Ùáà�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çbÐ�ÕÂÙ Î �7Õ×Ñaì Î Ù Î ì5Ð�Ò���ç�ÕÂì�ç�ÑÓË0Ö Î ëcÙáïßÖ�ÏÂÑaÑÓÙ7Ö Î Û�Ñ2ÐZÛ�Û�Ð�Þ£�øÕÂÖÖ�ÏÂÑüÒûÐ�çîÖ�ÑÓÙ7ÖîÛ�Þ.x

Page 84: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

à � ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±¹/öM� ò#Ú Î Û�ÑÓË0Ö ÐZÖîÖîÑÓì8éÂÖ Î Ù�éÂÛ�ë�� Î Ù×úßÖ�Ï×Ñíçîé�ÑÓË Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ Bá¹ ù ë�Û�  º À ( � Å �SëcÕÂÒ Ú�Òæë�ë�Ü

Ò Î Ü�ÑèÖ�Ï Î çêïv ¯ |v ÿD[ Æ \ æoÄHv Æ Ä Æ | | � û���ù�� ú��v Ã+x Ä } v x � } �U0 ¢ ÿ%[ Æ \ æoÄ�v x Ä }K|&| | � û���ù�� ú��

­^®�¯ °v Ã+x Ä } v x � } �U0 ¢ ÿ%[ Æ \ æoÄ�v x Ä }K|&| | ����� �� =û�ú� ��

± ® ²S³�´�µ¶°v Ã+x Ä } v x � } �U0 ¢ ÿ%[ Æ \ æoÄ�v x Ä }K|&| | ����� �� =û�ú� ��

· ® ²S³�´�µ¶°v Ã+x Ä } v x � } �U0 ¢ ¡ æ Ä�v x Ä }=|&| | ����� �� =û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼�½ ­¿¾�®#À&Á ´7ÃVÄv Ã=x Ä } v x � } �U0 ¢ ¡ æoÄ�v x Ä }K|&| | �J <K#üELM� üN ��PO`QN�ST�¢^��V6üELW�v Ã=x Ä } v x � } �U0 ¢=ì Î Ù v ¡�Ä ì Î Ù v » + ÿD[ � \ Ä ÿ%[ � \,|&| æoÄ�v x Ä }=|&| | � û���ù�� ú��

± ® Å º À ½ ± Á�²:³ ­×µ¶Ç ²:³Æ­©µ�ÃÈ°v Ã=x Ä } v x � } �U0 ¢=ì Î Ù v ¡�Ä »7| æoÄ�v x Ä }K|&| | ����� �� =û�ú� ��

· ® Å º À ½ · Ç ± ÃO°v Ã=x Ä } v x � } �U0 ¢ ¡ æoÄ�v x Ä }K|&| | ����� �� =û�ú� ��

­&®V­�Á ´È°v Ã=x Ä } v x � } �U0 ¢ ¡ æoÄ�v x Ä }K|&| | ����� �� =û�ú� ��

Êv Ã+x Ä } v x � } �U0 ¢ ¡ æ Ä�v x Ä }=|&| | X/ü�La�0� ü=ù �MZ_[G�zù ú

ð Ö�Òæë7ë�Ü©çë)�Ù×Ñ Î ù Î ÖË�SÑêÛ�Ñ2Ù×ë�Öbù ë�ÛWÖ�Ï×Ñ�õ�ÕÂçîÖ Î )PËêÐZÖ Î ëcÙ ë�ùCÖ�ÏÂÑb� û��=ù�� ú���Û�ÕÂÒæÑ Î ÙÖ�ÏÂÑ��ßÏ Î ÒûÑ���Òæë7ë�éáx ý ÙÂëN� Î ÙÂúaÖ�ÏøÐZÖ ¡ Î çíÖ�Ï×Ñ ç�ÕÂì�ë�ù çîëcì8Ñ�çîÑÓË0Ö Î ëcÙ Ú×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖÎ ì5ì8ÑÓÚ Î ÐZÖîÑÓÒûÞ Î ì8éPÒæÞ Ö�ÏÂÐZÖ¶ì Î Ù v ¡>Ä ì Î Ù v » + ÿD[ � \ Ä ÿD[ � \,|&| Î ç Ö�ÏÂÑßç�ÕÂì ë�ùáçîëcì8Ñç�ÑÓË0Ö Î ëcÙ Ð�çÓ�:ÑÓÒûÒëxCó� Î Ú×ÑÓÙ7Ö�ÒæÞ�àK�SÑ Ù×ÑêÑÓÚ=Öîë8Û�ÑÓÐ�ç�ëcÙ�Ö�ÏÂÐZÖXì Î Ù v » + ÿ%[ � \ Ä ÿD[ � \,|Î ç�Ö�ÏÂÑ�ç�ÕÂì@ë�ùbçîëcì8ÑEçîÑÓË0Ö Î ëcÙ�ù ë�Û5Ð�ÒûÒ+�ZÐ�ÒûÕ×ÑÓçaë�ù ­ Ö�ÏÂÐZÖ8Ö�Ï×Ñ�éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì Î çË0ëcì5éøÕ×Ö Î Ù×ú�xCöXÏ Î ç éÂÛ�ë�ë�ù Î çBç Î ì Î ÒûÐZÛ Öîë Ö�Ï×ÑXëcÙ×Ñßú Î ��ÑÓÙJÐ#��ëN��ÑWÐ�ÙÂÚ½�:ÑXëcì Î ÖÎ ÖXÏ×ÑêÛ�Ñ.x

k�l m9nGo�p,qrm�q��Mt��Zv é x ] ã ] |}�~&�G����� Ñ2éÂÛ�ëN��ÑeÅ û»ükû v b 4 ã | ¬ � � Ñ ´ v b æ d |bÐ�çbù ëcÒûÒæë��ßçêïXç Î ÙÂË0Ñ�Ö�ÏÂÑ��ßÏ Î ÒæÑ���Òæë�ë�éÎ Ù ¬ � � Ñ ´ ÏøÐ�ç Ð�ç úcÕÂÐZÛ�Ú�Æ Ö�ÏÂÑw��ë�ëcÒæÑÓÐ�Ù!ÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙ � v�ÿTæ ã�|�Ð�ÙÂÚÈà

Page 85: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± à��ç Î ÙÂË0Ñ ÿ 4 ã Î ç�Ð�Ù Î Ù=�ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö ë�ùaÖ�Ï×Ñ�ÑÓÙ�Ö Î Û�Ñ*éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì v Ð�ç�ç�ÕÂì Î ÙÂú[Ö�Ï×ÑéøÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ�b 4 ã�|�à��:Ñ ì5Ð�Þ Î ÙÂçîÖ�Ð�Ù7Ö Î ÐZÖîÑ Ö�Ï×ÑJù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ ã � ç æ ç¨ðÖîë ã � ÿ�æ ç$ð#x Í ùSË0ëcÕ×Û�çîÑ�àM�:Ñ8ì5ÐÓÞ4Û�ÑÓÕÂçîÑ2Ö�Ï×Ñ Î Ù=� ÐZÛ Î Ð�Ù�Ö �dc àM�ßÏ Î Ë�Ï Î çÿ + d æ bMù Û�ëcì@Ö�Ï×Ñ=éøÐZÛ�Ö Î Ð�Ò:Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�ç2éÂÛ�ë�ë�ù5x � Î Ö�Ï�Ö�Ï×ÑÓç�Ñ�ÚøÐZÖ�Ð4ÐZÖÏøÐ�ÙÂÚ½�:ÑXç Î ì8éøÒûÞüÏÂÐr��ÑbÖîë ù ëcÒûÒæëN�Ö�Ï×Ñ�éÂÛ�ë�ë�ùPéPÐZÖîÖîÑêÛ�Ù8ù ë�ÛBÖîë�Ö�Ð�ÒøË0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�çéøÛ�ë7ë�ù çêï

v b 4 ã |v v b + ã æ bM| ¢ v b 4 ã�| | � û���ù�� ú��

² ® Ê °v v�ÿ + ã æ bG| ¢ v�ÿ 4 ã�| | ����� �� =û�ú� ��

Ñ ®L#C°v v�ÿ +1d æ bM|M¢ v�ÿ 4 ã�| | ����� �� =û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼ ¾ ½ ²É®4#Pà Äv v�ÿ +Td æ bM|M¢�� v�ÿ½æ ã�| ¢ v ã � ÿ�æ ç$ðN| | �J <K#üELM� üN ��PO`QN�ST�¢^��V6üELW�v v�ÿ ÒUÆ +1d�+ Æ æ bG|M¢ v ã � ÿ ÒÜÆ �Bç¨ð�| | � û���ù�� ú��

Ñ ® Ñ Á ´È°v v�ÿ ÒUÆ +1d æ bG| ¢ v ã � ÿ ÒUÆ �Bç$ðN| | ����� �� =û�ú� ��

²!® ² A ´È°v v�ÿ +Td æ bM|M¢ v ã � ÿ �Bç¨ðN| | ����� �� =û�ú� ��

Êv v�ÿ +1d æ bM|M¢��� v�ÿ½æ ã�| | edf��&ü=ù �MZ_[G�zù úv b æ d | � û���ù�� ú��

� ë�ÖîÑíÖ�ÏÂÐZÖ Ö�Ï×Ñ\� û���ù�� ú�� Î ÙüÒ Î Ù×Ñ Û Î ç �ZÐ�Ò Î ÚáàZç Î ÙÂË0ÑÓ� v�ÿ�æ ã�|ÈÐ�ÙÂÚaã � ÿYæ ç¨ðÖîë�ú�ÑêÖ�ÏÂÑêÛ Î ì5éøÒæÞJã � ÿ ÒÜÆ �Bç$ð6x

}�~&ó��N��� Ñ�ç�Ï×ëN� Å û»ükû v d34 ã ||  �ø» ± º ´ v Ö æ b ú d |�à9�bÏ×ÑêÛ�ÑüÖ�ÏÂÑ�Ë0ë©Ú×Ñ ù ë�Û$  �ø» ± º ´Î ç²!®L#B°Î ®L#B°¸�¹�º�»�¼�½ ² ¾�® Ñ ÃVÄ

Î ® Î Á Ê °²É®�²ÉÁ ´È°Ê

ößÏ×Ñ���ë7ëcÒûÑÓÐ�Ù úcÕÂÐZÛ�Ú ² ¾�® Ñ Î çßÑr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙ�ÖXÖîë Ñ A ² ¾�®L# à�çîëe�:Ñ�ì5Ð�ÞÎ ÙÂçîÖ�Ð�Ù7Ö Î ÐZÖîÑ4ã � ç æ ç¨ðEÖîë[ã � d Ò ÿ�æ ç¨ð#x#öXÏ Î ç½�:ë�Û�Ü�çJëcÕ×ÖJÐ�ç

Page 86: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

à�� ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±ã �Ud Ò ÿ Ö�Õ×Û�ÙøçOëcÕ×Ö ÖîëÐ��ÑSÐ�Ù Î Ù=� ÐZÛ Î Ð�Ù�Ö ë�ùÂÖ�Ï×ÑíÑÓÙ�Ö Î Û�ÑSéøÛ�ë�ú�Û�Ð�ìÎx� Î ÙÂË0Ñg�SÑÐ�ÒûÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ[ç�Ï×ëN�:ÑÓÚMÖ�ÏÂÐZÖ v dN4 ã |I  �ø» ± º ´ v Ö æ b -�d |aÏ×ëcÒûÚøç�ÕÂÙøÚ×ÑêÛY#O���Àçué���Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�çêàG�:Ñ�ì5Ð�ÞEÛ�ÑÓÕÂçîÑ�Ö�Ï×Ñ Î Ù��ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö �dc à9�ßÏ Î Ë�Ï Î ç Ö æ b - ÿ à�ù Û�ëcìÖ�ÏøÐZÖ8éÂÛ�ë�ë�ù5x � ëN��Ñ���ÑêÛ�Þ�Ö�Ï Î Ù×ú Î ç Î Ù;éøÒûÐ�Ë0Ñ=ù ë�Û5Ë0Û�ÐZù Ö Î Ù×ú4Ö�ÏÂÑ=éøÛ�ë7ë�ù Î Ù[Ð��ë�ÖîÖîëcì���ÕÂé ù Ð�ç�Ï Î ëcÙáï

v dN4 ã |v v ã æ b - ã�|ᢠv ã �Ud Ò ã�| | � û���ù�� ú��

² ®L#C°v v ã æ b - ÿ |M¢ v ã �÷d Ò ÿ | | ����� �� =û�ú� ��

Î ®L#C°v v Ö æ b ú ÿ |M¢ v ã �Ud Ò ÿ | | ����� �� =û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼ ½×Ñ A ² ¾�®@#øà Äv v Ö æ b - ÿ |M¢£� v d Ò ÿ�æ ã�|ᢠv ã �Ud Ò ÿ½æ ç$ðN| | �J <K#üELM� üN ��PO`QN�ST�¢^��V6üELW�v v Ö + b æ b - v�ÿ + Æ |&| ¢ v ã �Ud Ò v�ÿ + Æ |��Bç¨ð�| | � û���ù�� ú��

Î ® Î Á Ê °v v Ö æ b - v�ÿ + Æ |&| ¢ v ã �Ud Ò v�ÿ + Æ |��óç$ðr| | ����� �� =û�ú� ��

²!® ²ÉÁ ´È°v v Ö æ b - ÿ |M¢ v ã �Ud Ò ÿ �óç ð | | ����� �� =û�ú� ��

Êv v Ö æ b - ÿ |M¢���� v d Ò ÿ�æ ã�| | edf��&ü=ù �MZ_[G�zù úv Ö æ b -�d | � û���ù�� ú��

òbúcÐ Î Ùáà©Ö�Ï×ÑèÕÂç�Ñbë�ù d34 ã��íÐ�ç�Ë0Û�ÕÂË Î Ð�Ò Î ÙQõîÕøçîÖ Î ù Þ Î ÙÂúüÒ Î Ù×ÑWâ � Ö�Ï Î çSéÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ìÚ Î ��ÑêÛ�ú�ÑÓç�ßÏ×ÑÓÙÂÑ���ÑêÛ d Î ç ÙÂÑêúcÐZÖ Î ��Ñ.x Í ÐZÜ�ÑXç�Õ×Û�Ñ:Ö�ÏÂÐZÖ Þ�ëcÕ8ÕøÙÂÚ×ÑêÛ�çîÖ�Ð�ÙøÚQ�ßÏ7ÞÖ�ÏÂÑüÐZéÂéøÒ Î ËêÐZÖ Î ëcÙ�ë�ùg� û���ù�� ú�� Î ÙEÒ Î Ù×Ñ Û Î çõîÕÂç�Ö Î )øÑÓÚMx

}�~&���N� ð Ù ë�Û�Ú×ÑêÛWÖîë=éÂÛ�ëN��ÑYÅ û»ükû v b 4 ã |IÌ ��¸ À & ² � v d æ bÅ� |H�SÑ2ì5Ð�Þ Ö�Ï Î Ù×Ü�ë�ùCÖ�Ï×Ñ� ë�ëcÒæÑÓÐ�Ù=úcÕÂÐZÛ�Ú ² C # Ð�ç ² ¾�®L# à7ù ë�Û ÿ 4 ã�Ö�Õ×Û�ÙøçBëcÕ×ÖSÖîë���ÑßÐ�Ù Î Ù=� ÐZÛ Î �Ð�Ù7Öaë�ù�Ö�Ï×ÑJÑÓÙ7Ö Î Û�Ñ5éøÛ�ë�ú�Û�Ð�ìÎx öXÏ Î ç ç�Õ×ú�ú�ÑÓç�Ö�çüÖ�ÏÂÐZÖaã � ç æ ç¨ð Î ç�õîÕÂç�Öã � ÿbæ ç¨ð#x � ÑaÙ×ÑêÑÓÚ,Ð�çXù ÕÂÒûÒ Î Ù��ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö v d�- v�ÿ �z| æ bÁ�z|ᢠv�ÿ 4 ã�|Xù Û�ëcìÖ�ÏÂÑßËêÐ�çîÑßë�ù�éøÐZÛ�Ö Î Ð�Ò×Ë0ë�Û�Û�ÑÓË0Ö�Ù×ÑÓç�ç � Ö�Ï×ÑXù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ dc- v�ÿ �z| æ bÅ��Ð�ÒæëcÙÂÑH� Î ÒûÒ©Ù×ë�ÖÚÂë×àøç Î ÙÂË0ÑÐ�:Ñüì8ÑÓÐ�ÙEÖîë Î Ú×ÑÓÙ�Ö Î ù ÞÎ� v�ÿ�æ ã�|+� Î Ö�Ï ÿvî ã�x¶öXÏ�ÕÂçêà©Ö�Ï×ÑèÑÓÙ7Ö Î Û�ÑéøÛ�ë7ë�ù ì5Ð�Þ���Ñ Ë0ëcÙÂç�ÖîÛ�ÕÂË0ÖîÑÓÚ Ð�çßù ëcÒûÒûëN�ßçêï

Page 87: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± à Ù

v b 4 ã |v v Æ ú v bÅ�z| æ bÅ�z| ¢ v b 4 ã�| ¢ v ã � bG| | � û��=ù�� ú��

² ® Ê °v v Æ ú v�ÿ �z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�|ᢠv ã � ÿ | | ����� �� =û�ú� ��

Ñ ® ´á°v v d ú v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v ã � ÿ | | ����� �� =û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼ ² ¾�®L# Äv v dY- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v � v�ÿ½æ ã�| ¢ v ã � ÿ½æ ç¨ð�| | �J <K.ü�LM� üN ��_O`QN�ST�¢^��V#ü�LW�v v dY- v&v�ÿ ÒÜÆ |¸� - ÿ | æ bÅ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v ã � ÿ ÒÜÆ �Bç¨ðN| | � û��=ù�� ú��v v&v d~- ÿ | - v&v�ÿ ÒÜÆ |¸�z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�|ᢠv ã � ÿ ÒÜÆ �Bç¨ðr| | � û��=ù�� ú��

Ñ ® Ñ)W ²B°v v dY- v&v�ÿ ÒÜÆ |¸�z| æ bÅ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v ã � ÿ ÒÜÆ �Bç ð | | ����� �� =û�ú� ��

²!® ² A ´È°v v dY- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢ v ã � ÿ �óç$ðN| | ����� �� =û�ú� ��

Êv v d�- v�ÿ �z| æ bÁ�z| ¢ v�ÿ 4 ã�| ¢��� v�ÿ�æ ã�| | ehf��ªü=ù �MZ_[G� ù úv d æ bÁ� | � û��=ù�� ú��

� ë�ÖîÑaÖ�ÏÂÐZÖßÖ�Ï×Ñ ÿ 4 ã Î Ù Ò Î ÙÂÑ Ê çîÖîÑÓì5çßù Û�ëcì�Ö�Ï×Ñ Î Ù��ZÐZÛ Î Ð�Ù7Öêà/�ßÏÂÑêÛ�ÑÓÐ�çXÖ�Ï×Ñç�ÑÓË0ëcÙÂÚ ÿ 4 ã8Û�ÑÓç�ÕÂÒæÖ�çíù Û�ëcì�Ö�Ï×ÑèéÂÛ�ë7ë�ù éøÐZÖîÖîÑêÛ�Ù4ã � çYx

}�~&¼9�N�Ð� ÑüéÂÛ�ëN��ÑÔÅ û»ükû v b 4 ã | ¬ � � Ñ ¯ v b æ d |�à��bÏ×ÑêÛ�Ñ ¬ � � Ñ ¯ Î çíÖ�Ï×ÑüË0ë©Ú×ÑÑ ®L#B°¸�¹�º�»�¼�½×Ñ ¾�® Ê ÃVÄ

Ñ ® Ñ Á ´È°Ê

ößÏ×ÑÎ��ë7ëcÒæÑÓÐ�Ù�ÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙ Æ Î ç Ñ ¾�® Ê �bÏ Î Ë�ÏE�:Ñ ËêÐ�Ù Û�Ñ��XÛ Î ÖîÑ�Öîë$Ö�Ï×ÑÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙ7ÖSÑÀ¿©éÂÛ�ÑÓç�ç Î ëcÙ Ê A Ñ xBöXÏÂÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à7Ö�Ï×Ñ�éÂÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ�b 4 ãaç�Õ×ú��ú�ÑÓç�Ö�çüÖîë Î ÙÂçîÖ�Ð�Ù7Ö Î ÐZÖîÑJã � ç æ ç$ð2Öîë4ã � b Ò d æ ç$ð6x òWÙ Î Ù=�ZÐZÛ Î Ð�Ù7Ö�dc Û�Ñr��Õ Î Û�ÑÓçbÖ�ÏÂÐZÖ �dc ¢ v b Ò d æ ã�| Î ì5éøÒ Î ÑÓç$b æ d x�� Î ÙÂË0ÑüÖ�Ï×Ñ8ÒûÐZÖîÖîÑêÛ Î çÐ�ÒûÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ Ð2Ë0ëcÙÂç�Ñr�7Õ×ÑÓÙøË0ÑWë�ù�b Ò d æ ã©à��SÑèì5Ð�Þ=ç Î ì8éøÒæÞ8Ë�ÏÂë7ëcçîÑ�¯&ù ë�Û �.c x

Page 88: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

àNà ¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r±

v b 4 ã |v ¯Ü¢ v b Ò ã 4 ã�| | � û���ù�� ú��

Ñ ®L#C°v ¯Ü¢ v b Ò dN4 ã�| | ����� �� �û�ú� ��

¸7¹�ºc»7¼ Ê A Ñ ¾�®L# Äv ¯þ¢�� v b Ò d æ ã�| ¢ v ã � b Ò d æ ç$ðr| | �J �K#ü�LM� üN ��PORQS�NT�¢U��V6ü�LW�v ¯þ¢ v ã � b Ò v d�+ Æ |��Bç¨ðN| | � û���ù�� ú��

Ñ ® Ñ Á ´È°v ¯þ¢ v ã � b Ò d �Bç$ðr| | ����� �� �û�ú� ��

Êv ¯Ü¢��� v b Ò d æ ã�| | ehf��&ü�ù �MZ\[]�zù úv b æ d | � û���ù�� ú��

� ë�ÖîÑ2Ö�ÏÂÐZÖ��SÑaÐ�Ë0Ö Î ��ÑÓÒæÞØì5Ð�ÚÂÑ�ÕÂçîÑ�ë�ùBÖ�Ï×Ñ�éÂÛ�ÑÓË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙ2b 4 ã Ð�ÙøÚØÖ�ÏÂÐZÖÖ�Ï Î çXË0ë©Ú×Ñ Ú Î ��ÑêÛ�ú�ÑÓç Î ù�b_�ã�x

k�l m9nGo�p,qrm�q��Mtm�Ãv é x ] ãZä=|}�~&�G��� ößÏ×Ñ�ì8ÑêÖ�ÏÂë�Ú ��¼ þ ± º & Ñ i ì5Ð�Þ Î Ö�çîÑÓÒæùCËêÐ�ÒûÒOë�Ö�Ï×ÑêÛ�Ë0ÑêÛ�Ö Î )PËêÐZÖ Î ëcÙøçbì8ÑêÖ�ÏÂë�ÚÂçÓà

Ñ.x ú�x�Ö%�:ë�ç�ÕÂË�Ï ì8ÑêÖ�Ï×ë©ÚÂç �c¼ þ ± º & Ñ i ´ Ð�ÙÂÚ ��¼ þ ± º & Ñ i ¯ à�Ð�ÙÂÚJìJÐÓÞ5Ð�ËêË0ÑêéÂÖÐ�Ë0ÑêÛ Î )PËêÐZÖîÑ Î ù���ë�Ö�Ï#ËêÐ�ÒûÒ çJÖîë i ´ Ð�ÙÂÚ i ¯ õ�ÕÂÚ×ú�Ñ,Ö�Ï×Ñ�Ë0ÑêÛ�Ö Î )PËêÐZÖîÑ�ÖîëE��Ñ�ZÐ�Ò Î Ú x å Û�ë�ú�Û�Ð�ì5ì Î Ù×úÔ�7ÞJË0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ë0Ö Î ç:ÕøçîÑêù ÕøÒPÐ�ç Î ÖíËêÐ�ÙEçîé�ÑÓË Î ù ÞJÙ×ÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ�Þë�ÛWç�ÕO� Ë Î ÑÓÙ�ÖXË0ëcÙÂÚ Î Ö Î ëcÙÂç:ù ë�ÛbÐ�ËêË0ÑêéÂÖ Î ÙÂúJË0ÑêÛ�Ö Î )PËêÐZÖîÑÓçrx

}�~&ó��N��Í Ù×ÑCì5Ð�Þ�ù Ð�Ë0Ѷç�ÑÓÒæùm��Ë0ÑêÛ�Ö Î ù Þ Î Ù×ú�çîÑêÛ � Î Ë0ÑÓçrx�ÿ×ë�Û ÑÀ¿©Ð�ì8éPÒæÑ�à Î ù i ´ ËêÐ�ÒûÒûç ��¼ þ ± º & Ñ iÐ�ÙøÚJÖ�ÏÂÐZÖ:ì8ÑêÖ�Ï×ë©ÚJÛ�ÑÓÒ Î ÑÓçBëcÙ=çîëcì8ÑWì8ÑêÖ�Ï×ë©Ú ËêÐ�Ò ÒÂÖîë i ´ à�Ö�Ï×ÑÓÙ i ´ Ë0ëcÕøÒûÚ Î Ù��ç�ÖîÛ�ÕÂì8ÑÓÙ7Ö Ö�ÏøÐZÖ�ì5ÑêÖ�Ï×ë�ÚÉË0ë©Ú×Ñ�çîë;Ð�ç�Öîë Î Ù�ÁPÕ×ÑÓÙÂË0Ñ Ö�ÏÂÑYõ�ÕÂÚ×úcì8ÑÓÙ7Ö=ë�ù i� Î Ö�Ï Î Ù×ú �c¼ þ ± º & Ñ i x

¹ ~&�G����� Ñ��XÛ Î ÖîÑèÐ5Ë0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ë0Öbù ë�ÛWì8ÑêÖ�Ï×ë©Ú º · -K�K�=� ïÅ ¼ ± ¹/�=� Àø²�Å ¼ ï º · -��K���º ÀK� � ± ï ² Å �.� À ± � & � Ñ � ¼Eº À ±² ·�· � Å ¼ ·üï ² �=�c¼ ·7· ± ��j ɲ » ²�À ��¼ �Í.� ²�þ©²�À ± ¼�¼ ·èï º · -��K��� v ²�Å �.� À ± | º &=& ɲ » ²�À ��¼ îÐæ ²�Å �.� À ±�#� ± � � ± ï � & � Ñ � ¼ É �K��»7¼ ²�ÀÅ �=�øº & º�¼ · � À »�Ñ ï À � ± ¹�º À Í Å ���øº & ºc¼��

¹ ~&ó��N� öXÏ×Ñ�ì8ÑêÖ�ÏÂë�Ú ¸�º ± ¹/� þײ ¸ ëcÙÂÒæÞ2ì8ë�Ú Î )øÑÓç ɲ » ²ZÀ ��¼ Ð�ÙÂÚ8Ð�ËêË0ÑêéÂÖ�ç ²�Å �#� À ± ë�ùÖ�Þ7é�Ñ º À ± x öXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ Î ÖOç�ÕO� Ë0ÑÓç Öîëbç�Ï×ëN�[Ö�ÏÂÐZÖ Î Ö ì8ÑêÑêÖ�ç Î Ö�çÈúcÕÂÐZÛ�Ð�Ù�ÖîÑêÑ�àcÐ�çk�ç�ÕÂì Î Ù×ú�Ö�ÏÂÐZÖ É² » ²ZÀ ��¼kI ®L# Î çSÖîÛ�Õ×Ñ.x ð ùÈÖ�Ï×ÑÐ��ë�ëcÒæÑÓÐ�Ù=úcÕÂÐZÛ�Ú Î Ù Î Ö�ç+��ë©Ú×Þ

Page 89: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

¥§¦5¨'´N¦5²÷�ñø�Ú ¦&¬ ��µª²r­¯¬°¨r± à îÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçaÖîë�ù Ð�ÒûçîÑ�à Ö�Ï×ÑÓ٠ɲ » ²�À ��¼ Î ç�Ù×ë�Ö���Ñ Î ÙÂúØì8ë©Ú Î )øÑÓÚ[Ð�ÙÂÚ[ç�ë4ç�ÐZÖk�Î çk)øÑÓç ɲ » ²�À ��¼lI ®@# �7Þ Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ x ð ùCÖ�ÏÂÑQ��ë7ëcÒûÑÓÐ�ÙØúcÕÂÐZÛ�ÚØÑ��ZÐ�ÒûÕÂÐZÖîÑÓçÖîëØÖîÛ�Õ×Ñ�àÈÖ�Ï×ÑÓÙ$Ö�Ï×ѽ� Ð�Ò Õ×Ñ8ë�ù ² Å �#� À ± Î çèÙ×ÑêúcÐZÖ Î ��Ñ=Ð�ÙÂÚ º · -��=�=� ½ ² Å �.� À ± ÃÛ�ÑêÖ�Õ×Û�ÙÂç�ÖîÛ�Õ×Ñ.x � Þ�Ö�Ï×Ñ úcÕÂÐZÛ�Ð�Ù�ÖîÑêÑ�ë�ù º · -K�K��� Ö�Ï×ÑüÒ ÐZÖîÖîÑêÛbì8ÑÓÐ�ÙÂçßÖ�ÏÂÐZÖXÖ�Ï×Ñ�ZÐ�ÒûÕ×Ñ�ë�ù ɲ » ²ZÀ ��¼ Î ç2ú�Û�ÑÓÐZÖîÑêÛJë�Û8Ñr��ÕÂÐ�ÒíÖîë*Ö�Ï×ÑÎ�ZÐ�ÒûÕ×Ñ�ë�ù ²�Å �#� À ± x � Õ×ÖÖ�ÏÂÑÓÙ[Ö�ÏÂÑ ÑÀ¿©ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙ;ë�ùXÖ�Ï×Ñ�Ð�ç�ç Î úcÙÂì8ÑÓÙ7Ö�ù ë�Û É² » ²�À ��¼ ÑÓÙÂç�Õ×Û�ÑÓçüÖ�ÏÂÐZÖ Î Ö�çÙÂÑ�� � Ð�Ò Õ×Ñ Î ç�ú�Û�ÑÓÐZÖîÑêÛbë�ÛXÑr��ÕÂÐ�ÒáÖîë § ÑêÛ�ë�x

Page 90: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

mn ��½Ydgfhf7��iHc7j��Tdg��½ dgi��á�����

k�l m9nGo�p,qrm�q���t°ÂÃv é x ].É ã�|}�~&�G�À¶,¶u¶5� öXÏ×Ñ�Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ÿpo �aÏ×ëcÒûÚÂç:Ð�ç�çîÖ�ÐZÖîÑ ÿ Î çíÒûÐ#��ÑÓÒûÒæÑÓÚY� Î Ö�Ïb� Î Ù=Ö�Ï×Ñ^)øúcÕ×Û�Ñ.x}�~&�G�À¶°ï�� öXÏÂÑßÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ÿpolq\q �èÏ×ëcÒûÚøç Î ¸2b okq �èÏ×ëcÒ ÚÂçBù ë�ÛSÐ�ÒûÒHbh� Î Ö�Ï Yv�ÿ Ä bG|¤x

� Î ÙÂË0Ñù^5Ð�ÙøÚ ø ÐZÛ�Ñ8Ö�Ï×Ñ5ëcÙøÒæÞ Î ÙøçîÖ�Ð�ÙÂË0ÑÓçèë�ù�bF�bÏ Î Ë�Ï*ç�ÐZÖ Î çîù Þ Yv�ÿ Ä bG|�à§�SÑç�ÑêÑ Ö�ÏÂÐZÖ ÿrosq\q �EÏ×ëcÒûÚøç Î ¸B^ osq �EÐ�ÙÂÚ øtouq �EÏ×ëcÒûÚMx � Õ×Ö�Ù×ëcÙÂÑ5ë�ùÖ�Ï Î ç Î çXÖ�Ï×Ñ2ËêÐ�çîÑ.xÐÿ×ë�Û�ÑÀ¿©Ð�ì8éPÒæÑ�à��:Ñ2ÏÂÐr��Ñ Yv�ø Ä ^�|bÐ�ÙÂÚ�^:�o �7à�çîë ø �oAq �ù ëcÒûÒæë��ßç�x

}�~&�G�¤ïá¶%� öXÏÂÑEÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ÿvowqyx ���ØÏ×ëcÒûÚøç Î ¸ ^ ozx ��ØÐ�ÙÂÚ ø�ozx ��4Ï×ëcÒûÚÂçÓàç Î ÙÂË0Ñb^8Ð�ÙÂÚ ø ÐZÛ�ÑaÖ�Ï×Ñ2ëcÙÂÒæÞ2bw� Î Ö�Ï Yv�ÿ Ä bG|¤x�ÿ Î Û�çîÖêà��SÑ8ÏÂÐN��Ñb^ o{x ���àç Î ÙÂË0Ñ�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç2çîëcì8Ñ:bþ� Î Ö�Ï Yv ^ Ä bG|aÐ�ÙÂÚ1b o �� � Ë�ÏÂë7ëcçîÑ2bÖîëw��Ñf^.x�©ÑÓË0ëcÙÂÚáà/�:Ñ�Ð�Òûç�ëJÏÂÐr��Ñ ø-o|x ���à���ÑÓËêÐ�ÕÂçîÑ��:Ñüì5Ð�Þ Ë�Ï×ë�ëcçîÑ�ÐZúcÐ Î Ù_^�Ð�ç³b� Î Ö�Ï Yv�ø Ä ^�|�Ð�ÙøÚ�^ o ���=x ð Ù Ë0ëcÙÂËêÒ ÕÂç Î ëcÙáà ÿpolqyx ��aÏ×ëcÒûÚøç�x

}�~&�G�¤ð���� Ñ ÏøÐr��Ñ � o}q ô Î ¸÷b o ô ù ë�Û5Ð�ÒûÒtbþ� Î Ö�Ï Yv �6Ä bG|¤x � Þ;Ú×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙë�ù o à�:Ñ ÏÂÐN��Ñ2b �o ô ù ë�Û5Ð�ÒûÒcbOàSç�ë � owq ô Ï×ëcÒûÚøç Î ¸VÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç2Ù×ëRb� Î Ö�Ï Yv �6Ä bG|¤x ð ÙÂçîé�ÑÓË0Ö Î ÙÂúaÖ�ÏÂÑ�)øúcÕ×Û�Ñ�à×Ö�Ï Î ç Î çíÑ�� Î Ú×ÑÓÙ7Ö�ÒæÞJÖ�ÏÂÑüËêÐ�çîÑ.xSößÏ7ÕÂçÓà� okq ô ÏÂëcÒûÚÂç�x

}�~&ó�� ¶u¶u¶%��� ÑaçîÑêÑêÜ Ð½�:ë�Û�ÒûÚ£�ßÏ Î Ë�Ï ç�ÐZÖ Î çk)PÑÓç x �½� x ��à Î x Ñ.xøн�:ë�Û�ÒûÚKb�ç�ÕÂË�Ï Ö�ÏÂÐZÖÖ�ÏÂÑêÛ�Ñ�ÐZÛ�ÑÔ�:ë�Û�ÒûÚÂç d Ð�ÙøÚ d � � Î Ö�Ï Yv b Ä d |ßÐ�ÙÂÚ Yv b Ä d � |Xç�ÕÂË�ÏØÖ�ÏÂÐZÖ d o �Ð�ÙøÚ d � o �Kx ð ù+�:ÑJË�Ï×ë7ëcç�Ñ � ù ë�Û�b;Ð�ÙøÚ ø ù ë�Û d Ð�ÙøÚ d � àOÖ�Ï Î ç Î ç ËêÒûÑÓÐZÛ�ÒæÞÛ�ÑÓÐ�Ò Î�§ ÑÓÚMxBöXÏÂÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à � ovx �Ô� x ��ù ëcÒ ÒæëN�ßçrx

}�~&ó�� ¶¯ï���� Ñ5ÏÂÐr��Ñ&b o~xbv �e� x �>| Î ¸[Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç�çîëcì8Ñ d � Î Ö�Ï Yv b Ä d |ßÐ�ÙøÚ d o��� x �=x öXÏ Î çSËêÐ�Ù���ÑßÛ�ÑÓÐ�Ò Î�§ ÑÓÚMxÿ×ë�ÛíÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑ�à×Ë�ÏÂë7ëcçîÑ_b Ð�ÙÂÚ d Öîë���ÑßÖ�Ï×Ñ�:ë�Û�ÒûÚøç ø Ð�ÙÂÚ � à×Û�ÑÓçîé�ÑÓË0Ö Î ��ÑÓÒæÞ.x��~&ó��N� º � Ñ çîÑêÑêÜ�Ð�ì8ë�ÚÂÑÓÒ Î ÙÃ�ßÏ Î Ë�Ïí��� q�x � Î çaÖîÛ�ÕÂÑ.x � Þ;Ú×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙáà�SÑçîÑêÑêÜ4Ð=ì8ë©Ú×ÑÓÒ Î Ù£�ßÏ Î Ë�Ï1�"Ó§é,ç��Ôè,���q��/�5ç�ÐZÖ Î çîù Þ��8� qyx �=x ñ ÑêÛ�Ö�Ð Î ÙÂÒûÞ�àÐ�Ù�ÞØì5ë�Ú×ÑÓÒ Î Ù��bÏ Î Ë�Ï4Ù×ëe�:ë�Û�ÒûÚ4ç�ÐZÖ Î çk)PÑÓç�ß�SëcÕøÒûÚØÚ×ë�x v � Ï7Þ�â6| Í ë�Û�ÑÎ Ù�ÖîÑêÛ�ÑÓçîÖ Î Ù×úcÒæÞ�àÂË0ëcÙøç Î Ú×ÑêÛ�Ö�Ï×Ñ�)øúcÕ×Û�Ñ���ÑÓÒæë���x

Û ã

Page 91: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯« î v

Ô

w

w

y

öXÏ×Ñ��:ë�Û�ÒûÚ ø ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç���� qyx ��àÂç Î ÙÂË0Ñ � �o �áx+ÿ×ë�ÛWÖ�Ï×Ñ��:ë�Û�ÒûÚÂç ÿ Ð�ÙÂÚ� à§�:ÑJÏÂÐr��Ñ ÿ�o �[Ð�ÙøÚ � o �Oà çîë£�SÑJÙÂÑêÑÓÚ*Öîë4çîÑÓËêÕÂÛ�Ñ ÿro�qyx ��Ð�ÙÂÚ� oAq�x �Kx � Õ×ÖWÖ�Ï Î çWËêÐ�Ùß��Ñ�Ú×ëcÙÂÑ�à�ç Î ÙÂË0Ñ2Ð�ÒûÒOÖ�ÏÂÛ�ÑêÑ��Së�Û�Ò ÚÂçêà%bOà�ë�ùBÖ�Ï Î çì8ë�ÚÂÑÓÒ�ÏÂÐr��Ñ Ð�Ù Î ì5ì8ÑÓÚ Î ÐZÖîÑ�ç�ÕÂËêË0ÑÓç�çîë�ÛJçîÖ�ÐZÖîÑ�àcb � àSç�ÕøË�Ï�Ö�ÏÂÐZÖ`b �yo �=xv � Ï7Þ=ÚÂë7ÑÓçíÖ�Ï Î ç Î ì8éøÒæÞ½�ßÏøÐZÖ+�:ÑèÛ�Ñr��Õ Î Û�Ñ�à©Ð�ÙÂÚh�ßÏøÐZÖíË�Ï×ë Î Ë0ÑÓç�ë�ù�b � ù ë�Ûbí�:ëcÕÂÒûÚ�Þ�ëcÕ ìJÐZÜ�Ñ�â�|

º � Ñ�ç�ÑêÑêÜ�ÐØì8ë©Ú×ÑÓÒ Î Ù\�ßÏ Î Ë�Ï��Z� q�x � Î çüÙÂë�Ö�ÖîÛ�ÕÂÑ.x � Þ$Ú×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙáà�SÑèçîÑêÑêÜJÐaì8ë©Ú×ÑÓÒ Î Ùe�bÏ Î Ë�ÏJ�<�.çgì��#ì��ß�½è,���q���ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓçá�h� qyx �=xCöXÏÂÑì8ë�ÚÂÑÓÒ Î Ùßÿ Î úcÕ×Û�Ñ É x É ë�ù:Ö�Ï×Ñ8ÖîÑÀ¿�Ö&��ë�ë�Ü8��ÕÂÐ�Ò Î )øÑÓçêà�ù ë�Û ÿ �o �F� q�x �Kxv � Ï7Þ�â6|

ý ~&���N� öXÏ×ÑWÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ3b o�xbv ��¢e�>|¶ì5ÑÓÐ�ÙÂçíÖ�ÏÂÐZÖ�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çíÐÔ�:ë�Û�ÒûÚ d � Î Ö�Ï Yv b Ä d |Ð�ÙøÚ d o �b¢£�=x Í Ù,Ö�Ï×Ñ8ë�Ö�Ï×ÑêÛ�ÏÂÐ�ÙÂÚáàDb o�x �e¢ x � ì5ÑÓÐ�ÙÂç�Ö�ÏÂÐZÖèÖ�Ï×ÑêÛ�ÑÐZÛ�Ñ��Së�Û�ÒûÚÂç d � Ð�ÙøÚ d � � � Î Ö�Ï

Yv b Ä d � |,Ð�ÙÂÚ d � o �Yv b Ä d � � |�Ð�ÙÂÚ d � � o �K�

� Î Ö�Ï Ö�ÏÂÐZÖ Î Ù ì Î ÙÂÚáà Î Ö Î çSÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ��ÑÓÒûÞaÑÓÐ�ç�ÞJÖîëY)PÙÂÚJÐaì8ë©Ú×ÑÓÒ/�bÏ Î Ë�Ï Ú Î çîÖ Î ÙO�úcÕ Î ç�Ï×ÑÓç�Ö�ÏÂÑÓçîÑèÖ%�:ëJù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ�çêï

Ôy

w

� ë�ÖîÑüÖ�ÏøÐZÖ ÿ �o|xev ��¢��>|�à/�bÏ×ÑêÛ�ÑÓÐ�ç ÿto�x �Ô¢ x �Kx

Page 92: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

î � �e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯«ý ~&Ï>�N� v Î |�ÿ Î Û�çîÖêà��:Ñ ÏÂÐr��Ñ�b ovxbv ���e�>| Î ¸,Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç�Ð��:ë�Û�ÒûÚ d � Î Ö�Ï Yv b Ä d |:Ð�ÙÂÚd o �½�h�Kx � Õ×Ö�Ö�Ï×ÑÓÙ d o �Øë�Û d o �Kxñ Ð�çîÑ Æ ï ð ù d o �Oà×Ö�Ï×ÑÓÙ2b ovx �Oà×Ð�ÙÂÚ çîë&b ovx �Ô� x ��ù ëcÒûÒæëN�bç�xñ Ð�çîÑaâ�ï ð ù d o ��àË�:Ñ$ÐZÛ�úcÕ×Ñ Î ÙVÖ�Ï×Ñ*çîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë8�íÐÓÞ�ïTb o�x ��àßÐ�ÙÂÚ!çîë

b ovx �Ô� x �üù ëcÒûÒæë��ßç�xv Î Î |:��ÑÓË0ëcÙÂÚáà Î ù �:Ñ�ÏÂÐr��Ñ�b ovx ��� x �7à�Ö�Ï×ÑÓÙ��:Ñ�ÏøÐr��Ñ�b o|x �Oà�ë�Û§� ovx ��à

Ù×ë�ÖßÙ×ÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ Î ÒæÞ ÑÀ¿©ËêÒûÕøç Î ��Ñ.xñ Ð�çîÑ Æ ï ð ù@b ovx � à×Ö�Ï×ÑÓÙEÖ�Ï×ÑêÛ�ÑüÑÀ¿ Î ç�Ö�çXн�:ë�Û�ÒûÚ d � � Î Ö�Ï Yv b Ä d � |:Ð�ÙÂÚ d o �áx

öXÏ Î ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç d � o �Ô�h��àÂÐ�ÙÂÚ çîë`b ovxbv �Ô�h�>|Sù ëcÒûÒûëN�ßçXÐ�ç Yv b Ä d � |¤xñ Ð�çîÑaâ�ï^��Þ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î ËêÐ�Ò ÒæÞ�à Î ù_b o�x ��à:Ö�ÏÂÑÓÙÖ�Ï×ÑêÛ�ÑØÑÀ¿ Î çîÖ�ç=ÐF�:ë�Û�ÒûÚ d � � � Î Ö�ÏYv b Ä d � � |BÐ�ÙÂÚ d o �KxCöXÏ Î ç Î ì8éøÒ Î ÑÓç d � ��o �����7à�Ð�ÙÂÚJç�ë�b o|xev �����>|ù ëcÒ ÒæëN�ßçßÐ�ç Yv b Ä d � � |¤x

�á~&�G��� ö ë5ç�Ï×ë��ÉÖ�ÏÂÐZÖ q�v�� ¢&��|Ç� v�q�� ¢ q �Ó| Î çg�ZÐ�Ò Î Ú Î çíç�ÕO�=Ë0ÑÓçSÖîë5ç�Ï×ëN�!Ö�ÏÂÐZÖb o�qÐv�� ¢2��| Î ì8éøÒ Î ÑÓçëb oAq�� ¢ q �bàÈÐ�ÙÂÚ£� Î Ë0ÑÔ��ÑêÛ�ç�ЩàM�ßÏÂÑêÛ�ÑYb Î çbÐ�Ù7Þ�:ë�Û�ÒûÚ ë�ù Ð�Ù7ÞEì8ë�ÚÂÑÓÒëx v � Ï7Þ�â6|v Î | ð ùZb o{qÐv�� ¢N�ßàPÖ�Ï×ÑÓÙ Yv b Ä d | Î ì8éøÒ Î ÑÓç d o÷� ¢N�ßà�Ð�ÙÂÚØç�ë d o÷� Ð�ÙÂÚd o � ù ëcÒ ÒæëN��xU� Î ÙøË0Ñ d Î ç8Ð�ÙMÐZÛ7� Î ÖîÛ�ÐZÛ�Þ$ÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö½� Î Ö�Ï Yv b Ä d |�à+�SÑË0ëcÙÂËêÒûÕÂÚ×Ñ�b olq�� Ð�ÙÂÚ:b o�q �ßàPÐ�ÙÂÚ çîë`b olq�� ¢ q �Vù ëcÒ ÒæëN�ßçrx

v Î Î | ñ ëcÙ���ÑêÛ�çîÑÓÒæÞ�à Î ù�b o~qc� ¢ q �bà9�:Ñ Î Ù×ù ÑêÛ³b o~qc� Ð�ÙÂÚJb o{q �Ëx ð ù d Î çÐ�Ù�Þ8ÑÓÒæÑÓì5ÑÓÙ�Ö� Î Ö�Ï Yv b Ä d |�à�Ö�Ï×ÑÓÙ`b olqc� Î ì8éøÒ Î ÑÓç d o � à7Ð�ÙÂÚ�b olq �Î ì8éøÒ Î ÑÓç d o �ËxBößÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à d oU� ¢`�Ï×ëcÒûÚÂçrx� Î ÙÂË0Ñ d Î çíÐ�ÙEÐZÛ7� Î ÖîÛ�ÐZÛ�ÞÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7ÖH� Î Ö�Ï Yv b Ä d |�à/�:Ñ Î ÙÂù ÑêÛ�Ö�ÏÂÐZÖ$b olqÐv�� ¢N�Ó|�Ï×ëcÒûÚÂç�x

v � Ï7Þ Î çBÖ�Ï×ÑbÐZÛ�úcÕÂì8ÑÓÙ7ÖSÐ#��ëN��Ñ�çîÖ Î Ò Ò�� Ð�Ò Î Ú Î ù�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çBÙ×ë d � Î Ö�Ï Yv b Ä d |&â�|�á~&º���� òbç Î Ù Î ÖîÑÓìÞ{ v Ð�|�à Î Öbç�ÕO� Ë0ÑÓç�Öîë=ç�Ï×ë���Ö�ÏÂÐZÖ¨b o{q ¯ Î ì8éøÒ Î ÑÓçcb o ¯aàøÐ�ÙÂÚ

� Î Ë0Ñ���ÑêÛ�ç�Щà/�ßÏ×ÑêÛ�Ñ�b Î çXÐ�Ù7Þ��Së�Û�Ò ÚEë�ù Ð�Ù7ÞEì8ë©Ú×ÑÓÒëxv Î | ð ù@b olq ¯aà×Ö�Ï×ÑÓÙKb o ¯ ÏÂëcÒûÚÂçêà×ç Î ÙøË0ÑèÖ�Ï×Ñ ÒûÐZÖîÖîÑêÛbÏÂëcÒûÚÂçíç Î ì8éPÒæÞY��Þ Ö�Ï×ÑÚ×Ñ�)PÙ Î Ö Î ëcÙ ë�ù o x

v Î Î | ð ùGb o ¯aà©Ö�Ï×ÑÓÙ��:Ñ�ÏøÐr��Ñ d o ¯�ù ë�Û�Ð�ÒûÒ d � Î Ö�Ï Yv b Ä d |�à×ç Î ÙøË0Ñ��:ÑèÏÂÐr��Ñd o ¯Éù ë�ÛBÐ�ÒûÒ��:ë�Û�ÒûÚøç d à>��Þ�ÚÂÑ�)PÙ Î Ö Î ëcÙaë�ù o x öXÏ7Õøçêà"b olq ¯ Î ç éøÛ�ëN��ÑÓÚMxk�l m9nGo�p,qrm�q���t��Ev é x ].É�Æ |}�~&�G����� Ñ Î Ù�ÖîÑêÛ�éÂÛ�ÑêÖ�Ö�Ï×Ñ8ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ v�� � qc� |�� v�� � xY� |ßÐ�ËêË0ë�Û�Ú Î Ù×úEÖîëEÖ�Ï×ÑÎ Ù�ÖîÑêÛ�éøÛ�ÑêÖ�ÐZÖ Î ëcÙÂç�ë�ù q Ð�ÙÂÚ x Î ÙEö Ð#�PÒæÑÓç É xzy2Ð�ÙÂÚ É x Ê x

v Î | ð Ö Î ç�Ù×ÑÓË0ÑÓç�ç�ÐZÛ Î ÒæÞJÖîÛ�ÕÂÑ Ö�ÏÂÐZÖ � ïBöXÏ×Ñèù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ8ç�Ð�Þ�ç�9� ç ã.� �ß��}��c��� ����{G����~��b�����ê�yã,���b�c~+��~������Ó}��,���J��}���~�������~��zã.� �b��}������4����{G����~�������Ó�cã8� �C{7� ����� è �,� ��}��c~ æ �öXÏ Î ç�ç�ÏÂëcÕÂÒûÚ���Ñ�� Ð�Ò Î ÚMx

Page 93: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯« î �v Î Î | ð ÖH� Î ÒûÒ�Ð�Ò®�:Ð�Þ�çË��ÑèÖîÛ�Õ×ÑèÖ�ÏÂÐZÖ � ï¶ößÏ×Ñèù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð8ç�ÐÓÞ©ç�9� ç ã.� � ��}������a���W{]����~�� �����ê�Rã2� �C�<� â �����O��}��c~��Z���c~��bã.� � ��}��c���a����{G����~�� �����Ó�Rã��� ��}���~í������~������W~�� ���a���c~ ç ������}�~ æ �

öXÏ Î ç�ç�ÏÂëcÕÂÒûÚ���Ñ�� Ð�Ò Î ÚMxv ÎûÎ Î | ð ÖXëcÕÂúcÏ�ÖXÖîëe��ÑèÖ�ÏøÐZÖ � ïBöXÏ×Ñèù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ8ç�ÐÓÞ©ç�9� ç ã.� � ��}������ü����{G����~��O���7�ê�]ãa���G��� � ��� è ~B��}���~�� ���c~�� ã.� �È��}������ü����{G����~��O���7�ê�� �B� �C{�~�}��W������~ßé����7�ê�cã1Ú ���C��}��c~ Û æ �

öXÏ Î ç�ì5Ð�Þh��Ñ Ë0ëcÙ7ÖîÑÓçîÖîÑÓÚí�7Þ�çîëcì8Ñ�à9�øÕ×ÖXç�Ï×ëcÕøÒûÚ=ú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�ÒûÒæÞ���ÑÐ� Ð�Ò Î ÚMxv Î �/|=òßú�ÑÓÙ7Ö_êT��ÑÓÒ Î Ñ���ÑÓç�Ö�ÏÂÐZÖ � ï¶öXÏÂÑèù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ8ç�ÐÓÞ©ç�9� ç ã.� �O��}������ü���W{]����~��O�����Ó� ����~�� � å è ~0����~Y��~��Áã.� ����~���ã.� �O��}��c��� ����{G����~��O���7�ê�

ã8� ����������� ����~�� �ÃâC����� å � � è ~0����~ ç � æ �öXÏ Î çíç�Ï×ëcÕøÒûÚ���ÑÐ�ZÐ�Ò Î Úáà©éÂÛ�ëN� Î Ú×ÑÓÚ=Ö�ÏÂÐZÖXÐZú�ÑÓÙ7Ö_ê[�ZÐ�ÒûÕ×ÑÓç�Ë0ëcÙÂç Î çîÖîÑÓÙÂË0Þ=ë�ù��ÑÓÒ Î Ñêù çrx

v ��|Eòßú�ÑÓÙ7Ö_ê�Ü�Ù×ë��ßç�Ö�ÏÂÐZÖ � ïSöXÏ×Ñèù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ8ç�ÐÓÞ©ç�9� ç ã.� �B��}������J����{G����~��B�����ê�:�<��~�� � å�� �c�÷âB� ���7�ê��ã.�7���c~��vã.� �B��}������J����{G����~�������Ó�cã8� � ��}��c~�� ç ��}B�<���ø�<��~�� � å|� �c�÷âB� æ �öXÏ Î ç�ç�ÏÂëcÕÂÒûÚ���Ñ�� Ð�Ò Î ÚMx

v � Î |=òßù ÖîÑêÛbÐ�Ù7Þ�ÑÀ¿�ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙEë�ù éÂÛ�ë�ú�Û�Ð�ì ¿ à � Ï×ëcÒûÚÂçêïCöXÏÂÑèù ë�Û�ìaÕÂÒûÐ8ç�ÐÓÞ©ç�9� ç ã.� �ß��}������Ø����{G����~��������ê�+��� ç ��~�}b�Ó���=~���~0�����������E� ç {c}�����} �Ó� ä � ã��c����éc�0����c~��bã.� � ��}������a����{G����~�� �����Ó�cãp�c����é��C� ç ��~�}¶������~í~���~0�����������a� ç {c}�����} �Ó� ä æöXÏ Î ç�ç�ÏÂëcÕÂÒûÚ�ËêÒæÑÓÐZÛ�ÒæÞ���Ñ�� Ð�Ò Î ÚMx

¹ ~&�G�í� Ñ4ÏÂÐN��Ñ_� � �y� ¿�� � � Î ¸��:ÑØÏÂÐN��Ñ_�J�� � ¿�� � � Î ¸ v Î Ö Î ç5Ù×ë�ÖJÖ�Ï×ÑØËêÐ�çîÑÖ�ÏøÐZÖßçîëcì8Ñ�ÑÀ¿©ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙÎ��Ñêú Î ÙÂÙ Î Ù×ú Î Ù=ç�Öîë�Û�Ñy� ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑÓç Î Ù=Ð8ç�Ö�ÐZÖîÑüç�ÐZÖ Î çk�ù Þ Î Ù×ú�� � | Î ¸ v Ð�ÒûÒ©ÑÀ¿©ÑÓËêÕ×Ö Î ëcÙÂç���Ñêú Î ÙÂÙ Î Ù×ú Î Ù8çîÖ�ÐZÖîÑ���ÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑÓç Î Ù8Ð çîÖ�ÐZÖîÑç�ÐZÖ Î çîù Þ Î ÙÂú � ë�ÛbÚ×ëcÙM� ÖXÖîÑêÛ�ì Î ÙÂÐZÖîÑ ÐZÖßÐ�ÒûÒ,|¤x

öá~&�G��� ÿÂë�Û=ÙÂÐZÖ�ÕÂÛ�Ð�ÒßÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç 0 Ä Â 4 Æ à��:ÑØÏÂÐN��Ñ Yv 0 Ä Â | Î ¸ 0 �  x ÿ×ë�ÛÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ�àPâ � É à/�øÕÂÖ É ��#âKxº Î çXÙ×ë�Ö�Û�ÑÀÁPÑÀ¿ Î ��Ñ�àPç Î ÙÂË0Ñ 0 �� 0 ù ë�ÛßÐ�Ù7Þ 054 Æ xº Î çXÙ×ë�ÖXçîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î ËZàÂç Î ÙÂË0Ñ 0 �  Πì8éøÒ Î ÑÓç  �� 0 xº Î çJç�ÑêÛ Î Ð�Ò àíç Î ÙÂË0ÑØù ë�Û ÑÓÐ�Ë�Ï 0 4 Æ Ö�ÏÂÑêÛ�Ñ Î çJçîëcì8Ñ Â àíù ë�Û ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ h¥jmlæ 0�+ Æ àøç�ÕÂË�ÏEÖ�ÏÂÐZÖ 0 �  xº Î ç�ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ�àÂç Î ÙøË0Ñ 0 �  Ð�ÙÂÚ Â � � ËêÒûÑÓÐZÛ�ÒæÞ Î ì8éøÒæÞ 0 � � xº Î ç2Ù×ë�Ö5ó¶ÕÂËêÒ Î Ú×ÑÓÐ�Ù � ë�Ö�Ï×ÑêÛ7� Î çîÑ 0 �  Ð�ÙÂÚ 0 � � �:ëcÕÂÒûÚMÐ�ÒØ�:Ð�Þ�çÎ ì8éøÒæÞ Â � � àH�øÕÂÖ5Ö�Ï Î ç Î ç ÙÂë�ÖJÖ�Ï×Ñ,ËêÐ�çîÑ.x ÿ×ë�Û�ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒæÑ�à��:Ñ�ÏÂÐr��Ñ] � Æ.Æ Ð�ÙÂÚ ] � É à/�øÕÂÖ Æ.Æ �� É x

º Î ç Ù×ë�Öèù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙøÐ�Ò àÈç Î ÙÂË0Ñ�à Ñ.x ú�xæà��:ÑJÏÂÐN��Ñ â_� äØÐ�ÙÂÚ�â_� É � Î Ö�Ï�äÐ�ÙÂÚ É ��Ñ Î Ù×ú8Ú Î çîÖ Î ÙÂË0ÖíÑÓÒæÑÓì8ÑÓÙ7Ö�ç�x

Page 94: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

îÓ� �e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯«º Î çSÒ Î Ù×ÑÓÐZÛÓà7ç Î ÙÂË0Ñ 0 î÷ Ð�ÙÂÚ 0 � � Ð�Ò®�íÐÓÞ©ç Î ì8éøÒûÞüÖ�ÏÂÐZÖ Â Ð�ÙÂÚ � ÐZÛ�ÑÑr�7ÕÂÐ�ÒÆà×ë�Û � �  àÂë�Û Â � � x

º Î çWÙ×ë�ÖWÖîë�Ö�Ð�Ò � ë�Ö�Ï×ÑêÛ7� Î çîÑ�à��SÑÔ�SëcÕøÒûÚØÏÂÐN��Ñ 0 �  ë�Û Â � 0 ù ë�ÛWÐ�ÒûÒ0 Ä Â 4 Æ à/�øÕ×Ö�Ö�Ï Î ç Î çXÙ×ë�Ö�Ö�ÏÂÑüËêÐ�çîÑ��ßÏÂÑÓÙ 0 Ñr�7ÕøÐ�Òûç  xº Î ç Ù×ë�Ö Ð�Ù#Ñr�7Õ Î � Ð�ÒûÑÓÙÂË0ÑØÛ�ÑÓÒ ÐZÖ Î ëcÙáà�ç Î ÙÂË0Ñí�SÑ,ç�Ðr� Ð#��ëN��Ñ,Ö�ÏÂÐZÖ Î Ö Î çÙ×Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛXÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�àÂÙ×ë�ÛßçîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë#x

öá~&��� öXÏ Î ç Î ç���ÑêÛ�Þ,ç Î ì Î ÒûÐZÛßÖîëEÖ�Ï×ÑaéÂÛ�Ñ�� Î ëcÕÂç�çîëcÒ Õ×Ö Î ëcÙ Î Ù Î Ö�çWì5ÑêÖ�Ï×ë�ÚÂëcÒæë�ú�Þ£�øÕÂÖç�ëcì8Ñ ë�ù Ö�Ï×Ñ ËêÐ�çîÑÓçWÐZÛ�Ñ Ð½� Î Ö:ÖîÛ Î Ë�Ü Î ÑêÛrxº öOë$çîÑêÑh�ßÏÂÑêÖ�Ï×ÑêÛ Î ç�Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ��:ÑEÙ×ÑêÑÓÚ�Öîë*Ë�Ï×ÑÓË�Ü�Ö�ÏÂÐZÖ2ù ë�Û5Ð�ÒûÒ:Û�ÑÓÐ�ÒÙ7ÕÂì���ÑêÛ�çúbaÖ�Ï×ÑêÛ�ѶÐZÛ�ÑBé�ëcç Î Ö Î ��ÑBÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç ÿ Ð�ÙÂÚ ø ç�ÕÂË�Ï Ö�ÏÂÐZÖ}b æ.ÿ - b + ø xöXÏ Î ç�ËêÐ�ÙÂÙÂë�ÖH��Ñèù ë�Û³b æ ã5Ð�ç ø ÏøÐ�ç�ÖîëY��Ñèé�ëcç Î Ö Î ��Ñ.x

º öXÏ Î ç Û�ÑÓÒ ÐZÖ Î ëcÙ Î çCÖîÛ�Ð�Ùøç Î Ö Î ��Ñ.xÿ×ë�Û Î ù ÿ Ä ø Ä���Ä×Ø ÐZÛ�Ñ�é�ëcç Î Ö Î ��Ñ�Û�ÑÓÐ�ÒÂÙ�ÕÂì���ÑêÛ�ç� Î Ö�Ï5b æ�ÿ -�d�+ ø Ð�ÙÂÚ d æ � - Ö + Ø àOÖ�ÏÂÑÓÙ ÿ - � Ð�ÙøÚ ÿ - Ø + ø ÐZÛ�Ñé�ëcç Î Ö Î ��Ñ Ð�ç��:ÑÓÒûÒÈÐ�ÙÂÚ:b æ.ÿ - � - Ö + v�ÿ - Ø + ø |¤x

º öXÏ Î ç Î çíËêÒæÑÓÐZÛ�ÒûÞJÙ×ë�Ö�ù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙÂçÓà7Ñ.x ú�xøâaÑr��ÕÂÐ�Òûç Æ - Æ + »SÐ�ÙÂÚEÐ�Òûç�ëaÑr��ÕÂÐ�Òûçâ - ã�� É + Æ x

º óBÖ�Ë#x� � ôÈÑêÖ ��Ñ,Ð�Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�àXÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ4Ð�ÙÂÚVó¶ÕøËêÒ Î Ú×ÑÓÐ�ÙMÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙMx � Ñ�ÙÂÑêÑÓÚÖîë

ç�Ï×ëN� Ö�ÏÂÐZÖ Î çbÐ�ÙØÑr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙÂË0Ñ�Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ x^� Î ÙÂË0Ñ Î çbÐ�ÒæÛ�ÑÓÐ�Ú×ÞEÛ�ÑÀÁPÑÀ¿ Î ��ÑÐ�ÙøÚ�ÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ�à Î Ö�ç�Õ�� Ë0ÑÓç:Öîë5ç�Ï×ëN�!Ö�ÏøÐZÖ Î ç:çîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë#xBöOë2Ö�ÏÂÐZÖ�ÑÓÙÂÚÈàÐ�ç�ç�ÕÂì8ÑEÖ�ÏÂÐZÖ Yv�ÿ Ä ø |¤x � Ñ ÏÂÐr��Ñ Öîë$ç�Ï×ëN��Ö�ÏøÐZÖ Yv�ø Ä ÿ |aÏ×ëcÒûÚøçaÐ�çY�SÑÓÒûÒ�x� Î ÙÂË0Ñ Î çBóSÕÂËêÒ Î ÚÂÑÓÐ�Ùáà.�SÑbÏÂÐr��ÑXÖ�ÏøÐZÖ Yv b Ä d | Ð�ÙÂÚ Yv b Ä×Ö | Î ì8éøÒæÞ Yv d Ä×Ö |ù ë�Û�Ð�Ò ÒCË�Ï×ë Î Ë0ÑÓç�ë�ù�bOà d Ð�ÙÂÚ Ö x:��ë Î ùg�:Ñ Î ÙøçîÖ�Ð�Ù�Ö Î ÐZÖîÑ5Ö�Ï Î çÐ� Î Ö�Ï5bshkj¸læ ÿ àd hkj¸læ ø Ð�ÙÂÚ Ö&hkj¸læ ÿ àPÖ�Ï×ÑÓÙ8�:ÑaÏøÐr��Ñ Yv b Ä d |���ÞØÐ�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙ v Ð�ç Yv�ÿ Ä ø |&|�à�PÕ×Ö�SÑ�Ð�Òûçîë ÏøÐr��Ñ Yv b Ä×Ö | ç Î ÙÂË0Ñ Î ç Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ v çîë Yv�ÿ Ä ÿ | Ï×ëcÒ ÚÂç¤|¤x õWç Î ÙÂúÖ�ÏøÐZÖ Î ç ó¶ÕÂËêÒ Î Ú×ÑÓÐ�Ùáà �:ÑJë.�øÖ�Ð Î Ù Yv d Ä×Ö |��ßÏ Î Ë�Ï Î ç Yv�ø Ä ÿ | Ð�çaÚ×ÑÓç Î Û�ÑÓÚMx� ë�Ö Î Ë0ÑWÖ�ÏÂÐZÖ¶Ö�Ï Î çBÒæë©ËêÐ�ÒÂÐZÛ�úcÕÂì5ÑÓÙ�Ö:ì5Ð�Ú×ÑbÙÂëüÕÂçîÑXë�ù�Ö�Ï×ÑbÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î � Î Ö�Þaë�ù xv � Ï7Þ�Ð�ÙøÚÎ�ßÏ×ÑêÛ�Ñ ÚÂë7ÑÓç�Ö�ÏÂÑ úcÒæë.�øÐ�ÒáÐZÛ�úcÕøì8ÑÓÙ�ÖbÕÂçîÑèÖ�Ï Î çXÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î � Î Ö�Þ�â6|

©á~&�G� öXÏ Î ç Î ç Ù×ë�Ö �ZÐ�Ò Î Ú Î Ù Î Ù�Ö�Õ Î Ö Î ëcÙ Î ç�Ö Î ËOéøÛ�ë�é�ëcç Î Ö Î ëcÙÂÐ�ÒZÒæë�ú Î Ë#x ñ ëcÙøç Î Ú×ÑêÛÈÐXì5ë�Ú×ÑÓÒ� Î Ö�ÏEÖ�Ï×Û�ÑêÑQ�Së�Û�Ò ÚÂç�bOà d àøÐ�ÙÂÚ Ö ç�ÕÂË�ÏEÖ�ÏÂÐZÖ Å�v bG| æ Ä Ê à Å�v d | æ Ä � Ê àPÐ�ÙÂÚÅ�v Ö | æ Ä � Ê x�ÿÂÕ×Û�Ö�Ï×ÑêÛÓà�ÒûÑêÖ Yv b Ä d |áÐ�ÙÂÚ Yv b Ä×Ö |M��ÑCÖ�ÏÂÑBëcÙÂÒæÞèÙ×ëcÙO�ÆÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��ÑÎ ÙÂçîÖ�Ð�ÙÂË0ÑÓçèë�ù x � ë�ÖîÑ5Ö�ÏøÐZÖ Å Î çèì8ëcÙÂë�ÖîëcÙ×ѽ� Î Ö�Ï�Û�ÑÓç�é�ÑÓË0Ö�Öîë x2öXÏ×ÑÓÙbC�o �8� �5ç Î ÙÂË0Ñ d Î çbÐ�ËêË0ÑÓç�ç Î �øÒæÑÔ�7ÞJb$Ð�ÙÂÚY�8� �5Ú×ë�ÑÓçWÙÂë�ÖWÏ×ëcÒ Ú4ÐZÖ d x� Î ì Î ÒûÐZÛ�ÒæÞ�à"bs�o ��� � ç Î ÙÂË0Ñ Ö Î çSÐ�ËêË0ÑÓç�ç Î �øÒûÑßù Û�ëcì b�Ð�ÙÂÚ=Ú×ë�ÑÓçSÙ×ë�Ö:ç�ÐZÖ Î çîù Þ��� � x©á~&Ï>� öXÏ Î ç Î ç Î Ù�Ö�Õ Î Ö Î ëcÙ Î çîÖ Î ËêÐ�ÒûÒæÞ�� Ð�Ò Î ÚMx ößÏ×ÑêÛ�Ñ Î ç Ð�Ù8ë.�K� Î ëcÕøç éÂÛ�ë�ë�ùøÖ�ÏÂÐZÖ Î Ù=��ëcÒ®��ÑÓçëcÙøÒæÞ Ö�ÏÂÑ éÂÛ�ë�ë�ù Û�ÕÂÒæÑÓç�� Î Ð�ÙøÚí� ÑüÐ�ÙÂÚ Ö�Ï×ÑÓçîÑ éÂÛ�ë7ë�ù Û�ÕÂÒæÑÓçßÐZÛ�Ñ Î Ù7Ö�Õ Î Ö Î ëcÙ Î çk�Ö Î ËêÐ�ÒûÒæÞ�� Ð�Ò Î ÚMx

Page 95: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯« î �}9}�~7ó�N� ôOÑêÖ qc� ì8ÑÓÐ�Ù=Ö�ÏÂÐZÖ½�îÐZú�ÑÓÙ�Ö¨ê ��ÑÓÒ Î Ñ���ÑÓç � ��xBöXÏ×ÑÓÙ=Ö�Ï×ÑWù ë�Û�ì�ÕøÒûÐüç�Ë�Ï×ÑÓì8Ñq�� � q � � ì8ÑÓÐ�ÙÂç� Ä ��}B�Ó��� ç ��}��ß�]����ã.�7�<��~�� � å ~�� ���c~�} è ~Y����~Y��~��Çã.�c��}B���c~ è ~Y����~0��~��B�Éã æ �}=öá~7�G�N� ÝXÑÓÐ�Ú Î Ù×ú qc� Ð�çY�îÐZú�ÑÓÙ7Ö^ê^Ü©Ù×ëN�ßç � �©à��:ÑèÛ�ÑÓÐ�Ú Yv b Ä d |:Ð�ç½� d Ë0ëcÕÂÒûÚ���Ñ

Ö�ÏÂÑüÐ�Ë0Ö�ÕÂÐ�Ò �:ë�Û�ÒûÚEÐ�ËêË0ë�Û�Ú Î Ù×ú8ÖîëJÐZú�ÑÓÙ7Ö_ê½� çXÜ©Ù×ëN�bÒæÑÓÚ×ú�Ñ ÐZÖ³b���xv Î | ç�Ï×ëcÕÂÒûÚ Î ÙÂÚÂÑêÑÓÚb��ÑèçîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ Î Ë#xt�©Õ×éÂé�ëcçîÑ Yv b Ä d |�à/�øÕ×Ö�Ù×ë�Ö Yv d Ä bG|¤xöXÏ×ÑÓÙáàOÐ�çüù ÐZÛ�Ð�çYê�� çèÜ©Ù×ë��ßÒæÑÓÚ×ú�ÑJÐZÖ�b Î çèË0ëcÙÂË0ÑêÛ�Ù×ÑÓÚáà d Ë0ëcÕÂÒûÚß��Ñ8Ö�Ï×ÑÐ�Ë0Ö�ÕÂÐ�Ò��:ë�Û�ÒûÚÈà��øÕÂÖüÏ Î çèÜ©Ù×ë��ßÒæÑÓÚ×ú�Ñ=ÐZÖ d Û�ÕÂÒûÑÓçèëcÕ×ÖüÖ�ÏÂÑJé�ëcç�ç Î � Î Ò Î Ö�Þ ë�ùbU��Ñ Î Ù×ú*Ö�ÏÂÑØÐ�Ë0Ö�ÕÂÐ�Ò��Së�Û�Ò ÚMxöXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à�ÐZÖ d ÏÂÑ Ü�ÙÂëN�ßç çîëcì8ÑêÖ�Ï Î ÙÂúéÂÛ�Ñ���ÑÓÙ7Ö Î Ù×ú&b ù Û�ëcì ��Ñ Î Ù×ú2Ð�Ë0Ö�ÕÂÐ�Ò � ç�ë2ÐZÖ$bØÏ×Ñ�Ü�ÙÂëN�ßçXÏÂÑWÜ©Ù×ë��ßçXçîëcì8Ñ��Ö�Ï Î Ù×ú#éÂÛ�Ñ���ÑÓÙ7Ö Î Ù×ú÷b ù Û�ëcì ��Ñ Î Ù×úÐ�Ë0Ö�ÕÂÐ�Òëx@öXÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�àaÏ×Ñ v ç Î ì8éøÒæÞ/|Ü�Ù×ë��ßçüç�ëcì8ÑêÖ�Ï Î Ù×úEéøÛ�Ñ���ÑÓÙ�Ö Î Ù×úKbF��Ñ Î ÙÂú Ð�Ë0Ö�ÕÂÐ�Ò à Î x Ñ.xOÏ×Ñ5Ü©Ù×ëN�bçüçîëcì8Ñ��Ö�Ï Î Ù×ú½�ßÏ Î Ë�Ï Î çíù Ð�ÒûçîÑ.xSöXÏ Î çíË0ëcÙ7ÖîÛ�Ð�Ú Î Ë0Ö�çßëcÕ×Ûßì8ë©Ú×ÑÓÒ�ë�ù Ü�ÙÂëN�ßÒæÑÓÚÂú�Ñ.x

v Î Î | öXÏ×Ñ:Öîë�Ö�Ð�Ò Î Ö�Þ�ë�ù ì8ÑÓÐ�ÙÂç Ö�ÏÂÐZÖ ù ë�ÛCÐ�ÒûÒ=�Së�Û�ÒûÚÂç�b5Ð�ÙÂÚ d �SÑíÏÂÐr��Ñ Yv b Ä d |ë�Û Yv d Ä bG|¤x � Õ×Ö@b5Ð�ÙÂÚ d ì5ÐÓÞaË0ëcÙ�Ö�Ð Î ÙaìaÕ×Ö�ÕÂÐ�Ò ÒæÞèÑÀ¿©ËêÒ ÕÂç Î ��ÑSÜ�Ù×ë��ßÒæÑÓÚ×ú�Ñv Ñ.x ú�x ÐZú�ÑÓÙ7Ö�ê�ìJÐÓÞ$Ü©Ù×ëN�zÐ�ÒûÒ¶éÂÛ Î ì8Ñ ì Î Ù Î ç�ÖîÑêÛ�ç�ë�ù ñ Ð�ÙÂÐ�ÚøÐØÐZÖQ�:ë�Û�ÒûÚbOà �øÕÂÖWù Ð Î Ò ÖîëEÛ�ÑÓì8ÑÓì���ÑêÛ çîëcì8Ñ8ë�ù:Ö�Ï×ÑÓì ÐZÖ��:ë�Û�ÒûÚ d |¤x ð Ù�Ö�ÏÂÐZÖ ËêÐ�çîÑ�àÙ×Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛ Yv b Ä d |�Ù×ë�Û Yv d Ä bM|íÐZÛ�Ñ��ZÐ�Ò Î ÚÈà©ç�ë Î ç�Ù×ë�ÖXÖîë�Ö�Ð�Ò Î Ù�ú�ÑÓÙ×ÑêÛ�Ð�Ò�x

}=öá~7º��N� ôÈÑêÖ qc� ì8ë©Ú×ÑÓÒ��îÐ�Ò®�íÐÓÞ©ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ5ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�à � Ï×ëcÒ ÚÂç7��x � ë�ÖîÑJÖ�ÏÂÐZÖ Yv b Ä d |ÏÂÑêÛ�Ñüì8ÑÓÐ�ÙÂçe� d Î ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�ë�ùZb���xº � Ï×ÑêÖ�ÏÂÑêÛ Î çíÛ�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�à©ë�ÛßÙ×ë�ÖêàÂÚ×Ñêé�ÑÓÙÂÚøçSëcÙh�bÏ×ÑêÖ�Ï×ÑêÛ�Ö�Ï×ÑèéÂÛ�ÑÓçîÑÓÙ�Ö Î çéøÐZÛ�ÖXë�ù Ö�Ï×Ñ ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ v ëcÙÂÒûÞ Ö�Ï×ÑÓÙ Î ç Û�ÑÀÁøÑÀ¿ Î ��Ñ�|¤x

º Î çXÙ×ë�ÖbçîÞ�ìJì8ÑêÖîÛ Î ËZàÂç Î ÙÂË0ÑèÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ Î ç�Ù×ëJçîÞ©ì5ì8ÑêÖîÛ�Þ���ÑêÖ5�SÑêÑÓÙØÖ�Ï×Ñ éøÐ�çîÖÐ�ÙÂÚEÖ�Ï×Ñ ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ.x

º òbç�ç�ÕÂì Î Ù×ú2Ö�ÏÂÐZÖßÖ Î ì8Ñ Ú×ë�ÑÓçXÙ×ë�ÖßÏøÐ�ÒæÖêà ç�Ï×ëcÕøÒûÚ���Ñ ç�ÑêÛ Î Ð�Ò ïCÑÓÐ�Ë�Ï é�ë Î Ù7ÖÎ Ù�Ö Î ì8Ñ�à8b àÂÏÂÐ�çXçîëcì5Ñ ù ÕÂÖ�Õ×Û�Ñèé�ë Î Ù7Öêà d xº Î çßÖîÛ�Ð�ÙÂç Î Ö Î ��Ñ�ï Î ù d Î ç Î ÙØÖ�Ï×Ñ�ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ ë�ù�b*Ð�ÙÂÚ Ö Î ÙØÖ�Ï×Ñ�ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ ë�ù d àÖ�Ï×ÑÓÙ Ö Î ç Î Ù�Ö�Ï×Ñ ù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�ë�ùZb4Ð�çË�SÑÓÒ Òëx

º Î ç Ù×ë�Ö óSÕÂËêÒ Î Ú×ÑÓÐ�Ù � ù ë�Û ÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑ�à Î ùOb Î çOÖ�Ï×ѶÞ�ÑÓÐZÛBâZã�ã É Ð�ÙÂÚ d hkj¸læ âZã ]�Æ àÖ hkj¸læ âZã Æ â�à©Ö�Ï×ÑÓÙ d Ð�ÙøÚ Ö ÐZÛ�Ñ Î Ù8Ö�ÏÂÑßù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�ë�ùúb à��øÕ×Ö Ö Î çSÙ×ë�ֶРù Õ×Ö�Õ×Û�Ñë�ù d x

º òbç�ç�ÕÂì Î Ù×ú2Ö�ÏÂÐZÖßÖ Î ì8Ñèú�ë�ÑÓçßëcÙÎ� Î Ö�Ï×ëcÕ×Ö�ÑÓÙÂÚÈà Î ç�Ù×ë�ÖXù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙøÐ�Ò à©ù ë�ÛÑÓÐ�Ë�Ï4é�ë Î Ù�Ö Î Ù�Ö Î ì5Ñ�� Î ÒûÒ�ÏÂÐN��Ñ�ì5Ð�Ù7Þ=Ú Î çîÖ Î ÙÂË0Öíù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ�é�ë Î Ù7Ö�ç Î Ù�Ö Î ì5Ñ.x

º òbç�ç�ÕÂì Î Ù×ú8Ö�ÏÂÑüë�Û�Ú Î ÙÂÐZÛ�ÞEÙ×ë�Ö Î ëcÙØë�ùCÖ Î ì8Ñ�àPÙøÐ�ì8ÑÓÒæÞ�Ö�ÏÂÐZÖßù Õ×Ö�Õ×Û�Ñ é�ë Î Ù�Ö�çÐZÛ�Ñ�Ñ Î Ö�Ï×ÑêÛ Î Ú×ÑÓÙ�Ö Î ËêÐ�Ò àPë�ÛWëcÙ×Ñaë�ËêËêÕÂÛ�çßéøÛ Î ë�ÛßÖîë�Ö�Ï×Ñaë�Ö�Ï×ÑêÛÓà�Ö�Ï×ÑaÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ Î çXÒ Î ÙÂÑÓÐZÛrx

º � Ï×ÑêÖ�ÏÂÑêÛ Î çBÖîë�Ö�Ð�Ò à�ë�Û:ÙÂë�Öêà�Ú×Ñêé�ÑÓÙÂÚøç ëcÙJÖ�Ï×ÑbÐ�ÙÂç&�:ÑêÛSÖîë�Ö�Ï×Ñ���Õ×ÑÓçîÖ Î ëcÙ�ßÏ×ÑêÖ�Ï×ÑêÛXÖ�ÏÂÑ éÂÛ�ÑÓçîÑÓÙ7Ö Î çíéøÐZÛ�ÖXë�ù Ö�ÏÂÑ ù ÕÂÖ�Õ×Û�Ñ v ëcÙÂÒæÞ=Ö�Ï×ÑÓÙ Î ç Öîë�Ö�Ð�Ò¯|¤x

º Î çXÙ×ë�ÖXÐ�ÙØÑr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙøË0ÑWÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ç Î ÙÂË0Ñ Î Ö Î ç�Ù×ë�ÖbçîÞ�ìJì8ÑêÖîÛ Î Ë#x

Page 96: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

î � �e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯«}I�á~7ó�N� òzù Û�Ð�ì8Ñb  æ v ë Ä |�ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç q ô Î ¸ ÑÓÐ�Ë�ÏE�:ë�Û�ÒûÚs±[ ë ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç

Ö�Ï Î ç8ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ�x v � Ï�Þ Ú×ëcÙ � ÖY�SÑ4ÏÂÐr��Ñ4Öîë�Ë0ëcÙÂç Î ÚÂÑêÛJÒûÐ#��ÑÓÒûÒ Î ÙÂú4ù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙøçÏÂÑêÛ�Ñ�â�| � Õ×Ö^± oAq ô Ï×ëcÒûÚÂç Î ¸�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çWÙ×ëN± � � Î Ö�Ï Yv ± Ä ± � |�àáù ë�Û ô Î çç�ÐZÖ Î çk)øÑÓÚ���ÞJÙ×ëÔ�Së�Û�Ò Úe�ßÏøÐZÖ�çîë7Ñ���ÑêÛNx¶öXÏ�ÕÂçêà q ô Ë0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚøç¶Öîë ��Ñ Î Ù×úÖ�ÏÂÑ ÑÓì8éÂÖ�Þ=Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ v�æ ÙÂë8Ö%�:ëe�:ë�Û�ÒûÚÂç�ÐZÛ�ÑüÛ�ÑÓÒûÐZÖîÑÓÚ�|¤x

}I�á~7º��N� x¡qc� � qyx�� Ë0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚÂçOÖîë�ègì �/¢]����#é��&ì êrç%ì×��ï Î ù Yv b Ä d |OÐ�ÙÂÚ Yv b Ä×Ö |�àÖ�ÏÂÑÓÙ Ö�ÏÂÑêÛ�Ñ�ÑÀ¿ Î ç�Ö�çSÐaé�ë Î Ù7Ö,® ç�ÕÂË�Ï=Ö�ÏÂÐZÖ Yv d Ä ®M|¶Ð�ÙøÚ Yv Ö�Ä ®M|¤x¶öXÏ×ÑWéÂÛ�ë�ë�ùë�ù Ö�Ï Î ç Î ç Î ÙEç Î ì Î ÒûÐZÛíçîÖ�Þ©ÒæÑ Öîë öXÏ×Ñêë�Û�ÑÓì É x Ær] x

} � ��� Ñ$ç�ÑêÑêÜVÐ;ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ[ç�Ë�Ï×ÑÓì8Ñ � �ßÏ Î Ë�ÏÉË0ë�Û�Û�ÑÓçîé�ëcÙÂÚÂç Öîë ��ì����¤éuç��øï;ù ë�ÛEÐ�ÒûÒb Ä×Ö ë à Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ ÑÀ¿ Î ç�Ö�ç�çîëcì5Ñ Ö ë � Î Ö�Ï Yv b Ä d |üÐ�ÙÂÚ Yv d Ä×Ö |¤x � ÑËêÒ Ð Î ì�Ö�ÏÂÐZÖ

xY� � x£xY�Î çXç�ÕÂË�Ï Ð8ù ë�Û�ì�ÕøÒûÐ2ç�Ë�Ï×ÑÓì5Ñ.xv Î |=ôÈÑêÖ\  æ v ë Ä |Ë��Ñ�Ð ù Û�Ð�ì5ÑQ�ßÏ Î Ë�Ï,ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç xY� � x£x�� x^�©ÕÂéÂé�ëcçîÑÖ�ÏÂÐZÖ Yv b Ä×Ö |�Ï×ëcÒûÚÂçrx2ôOÑêÖ Å ��Ñ5Ð�Ù7Þ,Ò Ð#��ÑÓÒ Ò Î Ù×ú ù ÕÂÙøË0Ö Î ëcÙß� Î Ö�Ï�Û�ÑÓç�é�ÑÓË0ÖÖîë8�bÏ Î Ë�ÏF�SÑ�ÏÂÐN��Ñ Ö o �Oà�øÕ×ÖY±Ç�o � ù ë�Û2Ð�Ù�Þ�ë�Ö�Ï×ÑêÛ��Së�Û�Ò ÚMxØöXÏ×ÑÓÙb o�xY� Ð�ç Yv b Ä×Ö |¤xt� Î ÙÂË0ÑSÖ�ÏÂÑ�ù Û�Ð�ì5ÑXç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç xY� � x�xY� �:Ñ�ë.�ÂÖ�Ð Î ÙÖ�ÏÂÐZÖtb ovx£x�� Ï×ëcÒ ÚÂç�x öXÏ7Õøçêà�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ Î çSçîëcì8Ñ d ë � Î Ö�Ï Yv b Ä d |BÐ�ÙÂÚd o�xY� x � Õ×ÖèÖ�Ï×Ñ8ÒûÐZÖîÖîÑêÛüËêÐ�Ù*ëcÙøÒæÞØì8ÑÓÐ�Ù Yv d Ä×Ö |WÚÂÕÂÑaÖîëEÖ�ÏÂÑ2Ë�Ï×ë Î Ë0Ñë�ù ëcÕÂÛßÒûÐ#��ÑÓÒûÒ Î ÙÂúüù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙ Å xBöXÏ7Õøçêà Î ç�Ú×ÑÓÙÂç�Ñ.x

v Î Î | ôÈÑêÖ_  æ v ë Ä |Ë��Ñ2Ð=ù Û�Ð�ì8Ñ8ç�ÕÂË�Ï,Ö�ÏÂÐZÖ Î ç�Ú×ÑÓÙÂçîÑ.x ôOÑêÖ_bN ë ��Ñú Î ��ÑÓÙMx � ÑèÙ×ÑêÑÓÚ Öîëaç�ÏÂëN�VÖ�ÏÂÐZÖtb ovxY� � x£xY� Ï×ëcÒûÚÂç¶ù ë�ÛíÐ�Ù�Þ5Ë�Ï×ë Î Ë0Ñë�ùBÒûÐ#��ÑÓÒûÒ Î Ù×ú2ù ÕÂÙÂË0Ö Î ëcÙ Å xXöXÏ Î ç Î çbË0ÑêÛ�Ö�Ð Î ÙÂÒæÞ�Ö�Ï×ÑaËêÐ�çîÑ Î ùZb1�olxY� x � Õ×ÖÎ ù�b o�x�� àOÖ�ÏÂÑÓÙ�Ö�Ï×ÑêÛ�Ñ ÏÂÐ�ç�ÖîëØÑÀ¿ Î çîÖaÐ��:ë�Û�ÒûÚáà Ö àCç�ÕÂË�Ï[Ö�ÏÂÐZÖ Yv b Ä×Ö |Ð�ÙÂÚ Ö o � x � Þ�Ú×ÑÓÙÂç Î Ö�ÞJë�ù à Yv b Ä×Ö | Î ì8éøÒ Î ÑÓçSÖ�Ï×ÑèÑÀ¿ Î çîÖîÑÓÙÂË0Ñèë�ù çîëcì8Ñ�Së�Û�Ò Ú d � Î Ö�Ï Yv b Ä d | Ð�ÙøÚ Yv d Ä×Ö |¤xt� Î ÙÂË0Ñ Ö o � à�Ö�Ï×ÑßÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ Yv d Ä×Ö |Î ì8éøÒ Î ÑÓç d o�x�� x � Õ×ÖüÖ�ÏÂÑ ÒûÐZÖîÖîÑêÛ2úcÕÂÐZÛ�Ð�Ù7ÖîÑêÑÓç~b o�x�xY� Ð�ç Yv b Ä d |Ï×ëcÒûÚÂç�x

k�l m9nGo�p,qrm�q���t��Zv é x ].É.] |

Page 97: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯« î6Ù}�~&�G����� Ñ�éÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù qÐv �h���>|Åh¤ q ��� q ����Þ

q�v �h�ä�>| éÂÛ�ÑÓìq � Ð�ç�ç� q Ñßâ�h��� q Ñ Æ� �;Ñ�ä Ä ]q � q Î ]KÒ�Éq �h� q � � Î â Ò�Ê

}�~&º������ Ñ éÂÛ�ë���ÑüÖ�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�ÞJë�ùFÅ ¤ qÐv �h���>|M¢ qÐv �Q� � |�� qÐv �h� � |+��Þq�v �h�Õ�.|ᢠq�v �Q� � | Ð�ç�çq�v �h�Õ�.| ¢ Ñ Ç Æq�v ��� � | ¢ ÑrÈ Æ

� Ð�ç�ç�h��� q Ñbâ� ��Ñ Ê Ä É��� � q Ñ ]� ��Ñ�{ Ä y�h� � � Î ÉKÒ�Ûq�v �h� � | q Î ä ÒQÆ ãq�v �h�Õ�.|ᢠq�v �Q� � |�� qÐv �Î� � |Ì� Î Æ#ÒQÆ.Æ

� ÑèÒæÑêù ÖSÒ Î Ù×Ñ�äaÑÓì8éÂÖ�Þ5ç Î ÙÂË0ÑßëcÕÂÛSì5Ð�Ë0Û�ëcç:ù ë�ÛSéøÛ�ë�ÚøÕÂË Î Ù×ú���ër¿©ÑÓçSë�Ö�Ï×ÑêÛ7� Î ç�ÑËêÐ�ÕøçîÑÓçOÖ�ÏÂѶÖ%�:ë���ëN¿�ÑÓçOÖîëßë���ÑêÛ�ÒûÐZé � �:Ñ� Î ÒûÒ�ÕÂçîÑBÖ�Ï Î çË�îÏÂÐ�Ë�ÜK� Î Ù ç�Õ��øçîÑr��Õ×ÑÓÙ7ÖÑÀ¿×Ð�ì8éøÒûÑÓçXÐ�çH�:ÑÓÒûÒëx

Page 98: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

î à �e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯«}�~&Ï>�N�Ð� ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ù xbv �����>|Åh¤ q �h� x �Q��Þ

� q � v ���ä�.|"éÂÛ�ÑÓìq � Ð�ç�çq �� Ð�ç�ç

�h�Õ� Ð�ç�ç� q Ñßâ� �;Ñ É Ä Ê�� q Ñ ]ô � Ñ�y Ä {� v �Î���>| � Î ÉKÒ�Ûq � v �h���>| q Î ä ÒQÆ ãô � Ñ Æ.Æ Ä Æ� q �� � Î ]KÒQÆ âq �h�ä� q �� � Î â ÒQÆr]

¹ ~&º������ Ñ$éÂÛ�ë���Ñ$Ö�Ï×Ñw�ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ ë�ù Å ¤h¥ V Þ xtq ��� q � �7ÞVéÂÛ�ë�� Î ÙÂú Å ¤h¥ V Þx¡q ��� q �,Ð�ÙÂÚÑÅ ¤h¥ V Þ q �h� x¡q �ØçîÑêéøÐZÛ�ÐZÖîÑÓÒæÞ�ïv Î | � ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ùFÅ ¤h¥ V Þ x¡q ��� q �£�7Þ

� q � q � Ð�ç�çq � q � q � ý Æ

� q � Ð�ç�çq � q � ý ä� q � q � q Ñbâô � Ñ É Ä Êq � ÝbòbòVä Ò y� ¦[{q � q Î ]KÒ�Û� q � q ��� q � ��Ñ Æ#ÒQÆ ã

Page 99: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

�e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯« îNî� ë�Ö Î Ë0Ñ2Ö�ÏÂÐZÖ�Ö�Ï Î çßÏÂÐ�ÒæùCë�ù¶Ö�Ï×Ñ�Ñr��Õ Î �ZÐ�ÒæÑÓÙÂË0Ñ2Ú Î Ú4Ù×ë�Ö�Ù×ÑêÑÓÚ4Ð6¿ Î ëcì � àáçîë�SÑüÐ�Ë0Ö�ÕøÐ�ÒûÒæÞ=éÂÛ�ëN��ÑÓÚØÖ�Ï×Ñ çîÖîÛ�ëcÙÂú�ÑêÛ Å ¤h¥�Þ x¡q ��� q �áx

v Î Î | � ÑüéÂÛ�ë���Ñ Ö�Ï×Ñ��ZÐ�Ò Î Ú Î Ö�Þ5ë�ùFÅ ¤h¥ V Þ q �h� xtq ���7Þq � Ð�ç�çq � q � Ð�ç�ç� q � ¦^âô � Ñ Æ Ä ]� q � q � � Î â Ò äq �h��� q � q � � Î Æ#Ò�É

� Î ÙÂË0ÑXÖ�Ï Î çCéÂÛ�ë�ë�ù�Ð�Òûçîë�ÙÂÑ���ÑêÛ¶Û�Ñr��Õ Î Û�ÑÓÚ5Ö�Ï×ÑßÐ6¿ Î ëcì � à��:ÑbË0ëcÙÂËêÒ ÕÂÚ×ÑXÖ�ÏÂÐZÖÖ�Ï×Ñ2Ñr�7Õ Î � Ð�ÒæÑÓÙøË0Ñ���ÑêÖ%�:ÑêÑÓÙ q �*Ð�ÙøÚ x¡q ��Ï×ëcÒ ÚÂçbÐ�ÒûÛ�ÑÓÐ�Ú×Þ�� Î Ö�ÏØÛ�ÑÓç�é�ÑÓË0ÖÖîëJý ö É x

k�l m9nGo�p,qrm�q���tm�Ãv é x ].É ä=|öá~&º����¨§ Ç �Ô� § È��=xöá~&¾ �N�¨§ Ç § È ��xöá~*ô§�N� v § Ç ��¢ § Ç ��>|>� v § È'��¢ § ÈÀ���.|�� -�-�- � v § P ��¢ § P ��>|�à��bÏ×ÑêÛ�Ñ�Ö�Ï×ÑßÐZú�ÑÓÙ7Ö�çÐZÛ�ÑüÙ7ÕøìQ��ÑêÛ�ÑÓÚ�ù Û�ëcì Æ Öîë 0 x��~&���N� � Þ,ÚÂÑ�)PÙ Î Ö Î ëcÙ�ë�ù~çJàOÖ�Ï×Ñ5Û�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ5b o ç v �h�í�.|èÏ×ëcÒûÚÂç Î ¸Tb o § Ç v ���

�>|¢ § È v �b���>|¢ § S v �b�í�.| Î ç�ÖîÛ�Õ×Ñ.xÔÿÂë�ÛüÐ�ÒûÒ]x æ Æ Ä â Ä ] à§�SÑ5ÏøÐr��Ñ5Ö�ÏÂÐZÖ ¶ v b S Ä ±�| Î ì8éøÒ Î ÑÓçc±4 Ä b ÇrÄ b�È Ê x � Õ×ÖXç Î ÙÂË0Ñ_b Ç o �Ô���aÐ�ÙÂÚ2b�È o �Ô���7à�:Ñ Î ÙÂù ÑêÛ�Ö�ÏÂÐZÖ$b o ç v �½�h�>| Î ÙÂÚÂÑêÑÓÚEÏ×ëcÒûÚÂç�x

��~7¶%�N� � Þ,ÚÂÑ�)PÙ Î Ö Î ëcÙØë�ù ö àG�SÑ5ÏÂÐN��Ñ&b ß o ö �� Î ¸Þb ß o ç�©.��=Ï×ëcÒûÚÂçbù ë�ÛèÑÓÐ�Ë�Ï� æ Æ Ä â Ä ����� à��bÏ×ÑêÛ�Ñyç © Î çÐç�çÜ�����¸ç v � Ö Î ì5ÑÓç¤|¤xv Î | � ë�� b ß o ç Ç ��=ç Î ì8éøÒûÞØì8ÑÓÐ�ÙÂç�b ß o § Ç ��Т § ÈN���¢ § S ���=x8öXÏÂÑÒûÐZÖîÖîÑêÛBÏ×ëcÒûÚÂç ç Î ÙÂË0Ñ�à�ù ë�Û]x æ Æ Ä â Ä ] à7Ö�Ï×ÑíÛ�ÑÓÒûÐZÖ Î ëcÙ ¶ v b ß#Ä ±Ð| Î ì8éøÒ Î ÑÓçÈÖ�ÏÂÐZÖ

±&Ñr��ÕÂÐ�ÒûçëbrÞ � Ð�ÙÂÚÎ�:Ñ Ú×ëJÏÂÐN��Ñ�b Þ o ��Kxv Î Î | � ÑaÏÂÐN��Ñ�b ß o ç È �� Î ¸w�SÑüÏøÐr��Ñ~b ß o § Ç çÔ��Ë¢ § È÷çÔ����¢ § S çÔ���=xòbç Î Ù v Î |�à>�SÑbçîÑêÑ�Ö�ÏÂÐZÖCÖ�Ï Î çCÐ�ì5ëcÕÂÙ�Ö�çBÖîë Ë�Ï×ÑÓË�Ü Î ÙÂú��ßÏ×ÑêÖ�Ï×ÑêÛ�b Þ ç�ÐZÖ Î çk)øÑÓç

ÐEË0ÑêÛ�Ö�Ð Î Ù,ù ë�Û�ì�ÕÂÒ Ð©àM�øÕ×ÖWÖ�Ï Î çWÖ Î ì8Ñ Î Ö Î ç�çÔ��=Ð�ÙÂÚ�Ù×ë�ÖQ��KxüÔbëN�:Ñ���ÑêÛÓàb Þ o çÔ���ù Ð Î Òûç8Öîë;Ï×ëcÒûÚMx�ÿ×ë�Û�ÑÀ¿©Ð�ì5éøÒæÑ�àÓ�SÑ,ÏÂÐr��Ñ È v b Þ Ä b V |�à��øÕÂÖb V �o ��2ç Î ÙÂË0Ñ_b V o �Kx

ößÏ×ÑêÛ�Ñêù ë�Û�Ñ�à/�:Ñ Î Ù×ù ÑêÛ�b ß��o ç È ���àÂÐ�ÙÂÚEù Û�ëcìzÖ�ÏÂÐZÖ³brß��o ö ���ù ëcÒûÒæëN�bç�x�M� º ôOÑêÖ&bÜ��ÑEÐ�Ù�ÞÖ�Së�Û�ÒûÚ Î ÙMÐ�Ù7Þ;ì8ë©Ú×ÑÓÒ:ë�ù�ý ö�ä É x ö ë$ç�Ï×ëN�Qb o ö�ª � �

ö�ª]ö¬« � à Î ÖBç�ÕO�=Ë0ÑÓçBÖîëüÐ�ç�ç�ÕÂì8ѳb o ö�ª � Ð�ÙÂÚ5ç�Ï×ë��÷b o ö�ªÃö�ª � xBöXÏÂÑÒûÐZÖîÖîÑêÛ Î çüç�ÏÂëN�ßÙ Î ùÓ�SÑ�ËêÐ�Ù;éÂÛ�ë���Ñ Ö�ÏÂÐZÖ~b o ç�­ª ö�ª � ù ë�Û2Ð�Ù�ÞN� � Æ x

Page 100: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

v�¦�¦ �e¨qÛN²r³�³z¨'´N¬°µ&«Ë²�±OÛ�²¤´]Ú ±�­¯«� Ñ�ìJÐZÜ�Ñ=ÕÂç�ÑJë�ù�Ö�Ï×Ñ�çîÑÓË0ëcÙÂÚ[éøÐZÛ�Ö�ë�ùXöXÏ×Ñêë�Û�ÑÓì É x â Ê x,ößÏ7ÕÂçÓà Î ù d Î çÐ�Ù�Þh�:ë�Û�ÒûÚÎ�ßÏ Î Ë�Ï Î ç$ö^�ÆÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑ ù Û�ëcìQb£� Î Ö�Ï Î Ùf� çîÖîÑêéøçêà/�:ÑüÏÂÐN��ÑüÖîëÐZÛ�úcÕ×Ñ Ö�ÏÂÐZÖ d o ö�ª � à Î x Ñ.x d o ç ©ª � ù ë�ÛbÐ�ÒûÒ �24 Æ xgÿ Î ¿EÐ�Ù7Þ �24 Æ x ð ùÖ Î ç$ö_�ÆÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�PÒæÑ ù Û�ëcì d � Î Ö�Ï Î Ù � çîÖîÑêéPçêà��SÑ�ÐZÛ�Ñ Ú×ëcÙ×Ñ Î ù Ö o � x � Õ×Öç Î ÙÂË0Ñ d Î çëö^�ÆÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑWù Û�ëcì bh� Î Ö�Ï Î Ùù�OçîÖîÑêéøçêà��:ÑWË0ëcÙÂËêÒ ÕÂÚ×ÑWÖ�ÏÂÐZÖ Ö Î çö^�ÆÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏÂÐ#�øÒæÑaù Û�ëcì bw� Î Ö�Ï Î Ù1� +3� çîÖîÑêéøç�x � Õ×ÖWÖ�Ï×ÑÓÙØëcÕÂÛ�Ð�ç�ç�ÕÂì8éÂÖ Î ëcÙÖ�ÏÂÐZÖ`b o ö�ª � Î ì8éøÒ Î ÑÓç�b o ç ­ X ©ª � �ßÏ Î Ë�Ï�Û�ÑÓÙÂÚ×ÑêÛ�ç Ö oQ� x ößÏ7ÕÂçÓàö�ª � � ö�ª]ö¬« � Î çÓ� Ð�Ò Î Ú Î ÙEý ö�ä É x

º öOë�ç�Ï×ë�� Ö�ÏÂÐZÖY� ö ª � � ö ª � ö ª � Î çQ� Ð�Ò Î Ú Î Ù$ýüö�ä É à Î Ö�ç�Õ�� Ë0ÑÓç ÖîëË0ëcÙÂç Î Ú×ÑêÛíÐ�Ù�ÐZÛ7� Î ÖîÛ�ÐZÛ�Þ½�Së�Û�ÒûÚ�b Î Ù=Ð�Ù�ÐZÛ7� Î ÖîÛ�ÐZÛ�Þ5ì8ë©Ú×ÑÓÒÂë�ùOýüö�ä É ç�ÕÂË�ÏÖ�ÏÂÐZÖ�b o � ö�ª � x � Ñ Ö�Ï×ÑÓÙ*ëcÙÂÒæÞ�ÏÂÐN��ÑJÖîëØç�ÏÂëN� Ö�ÏøÐZÖ�b o ö�ª � ö�ª �ù ëcÒûÒûëN�ßç�x � Ñ�ì5ÐZÜ�ÑüË0Û�ÕÂË Î Ð�ÒáÕÂçîÑèë�ù Ö�Ï×Ñ çîÑÓË0ëcÙÂÚEéPÐZÛ�Ö�ë�ù ößÏ×Ñêë�Û�ÑÓì É x â Ê àÐ�ÙÂÚEÐZéÂéøÒæÞ&#<�k�e�k�����eê ���9ç��*���#éëêrçué���� ï:òWç�ç�Õøì8Ñ�Ö�ÏÂÐZÖëbs�o ö ª � ö ª � x � ÞöXÏ×Ñêë�Û�ÑÓì É x â Ê àBÖ�Ï×ÑêÛ�Ñ ÑÀ¿ Î çîÖ�ç�Ðí�:ë�Û�ÒûÚ d �bÏ Î Ë�Ï Î ç~ö_�ÆÛ�ÑÓÐ�Ë�ÏøÐ#�øÒæÑe��Þ5bç�ÕÂË�Ï�Ö�ÏøÐZÖ d �o � ö�ª � à Î x Ñ.x d o ö�ª � x�� Î ÙøË0Ñ&ö Î çWÙÂëcÙO�ÆÑÓì8éÂÖ�Þ v �ßÏÂÐZÖÚ×ë7ÑÓç�� ö�ª � � ö�ª � ö�ª � ì8ÑÓÐ�Ù Î ùëö Î çèÑÓì8éøÖ�Þ�à Ð�ÙÂÚw�ßÏ7Þ Î Ö Î çèÖ�Ï×ÑÓÙ� Ð�Ò Î Ú�â�|�à��:ÑèÜ©Ù×ëN�&Ö�ÏÂÐZÖXÖ�Ï×ÑèÛ�ÑÓÒ ÐZÖ Î ëcÙ

®�¯�°± ® ²M³S´aµ�¶

·a¸¬¹Eºb»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<º�À�»&ÁY»<¿a¹�Â�·3ÃGº ² ¸»�»PÂ�Ä�»_Å!·a¸�À�½�¸�¸Y·3ÃGºt·aº¡Â�Ä�»\»�Æ�ÂÇhÃNÃEÈb¹�ÉH»�ÁÊ Ä�»�ÃEÁ�»<Ë ³S´�ÌEÍG¶0´�Î ½�ÂyÂ�Ä�»<ºÐÏ�¹Eº�ÅÒÑÒ¹�Á�»ÓÁ�»<¿a¹�»<Åо�·a¹ÔÂ�Ä�·W¸�»<¼N½�·a¾/¹E¿3»<º!À�»Á�»<¿a¹�Â�·3ÃGºU¹Eº�ÅUÃGº�»Ð¸�¹�Â�·W¸�Õ!»<¸tÖ °Ø×RÙ:Ú Ä�»�Á�»<¹E¸ÔÂ�Ä�»ÒÃEÂ�Ä�»�ÁpÃGº�»ÒÅ�ÃN»<¸pº�ÃE ´Ê Ä�·a¸y·a¸y¹¡À�ÃGº]ÂÁY¹EÅ!·aÀ�Â�·3ÃGº ´\²�Û ÄNÜ�Ý ¶ÞNßRà�á�â�ã¨ä\å ¹E·aº Ù�Ú »Óæ�Á�Ã�¾E»�Â�Ä�·a¸�¾�·a¹p¸�Ä�Ã Ú ·aº å Â Ú Ã縻�æ!¹�ÁY¹�»�·aËpæ!¿a·WÀ�¹�Â�·3ÃGº�¸ ´² · ¶bÛ »�æ�Á�Ã�¾E»£ÖgèÐéëê ® ÖíìÔÇNÜ

Ö�è ¹E¸�¸Ö�Ögè ÖÓî µïÔÖgè ÖÓï Ìê ® Ögè ï�ê ®ñðÖ�èÒéëê ® Ö�è éU· µ�ò-ó

² ·W· ¶ Ê Ä�·a¸�É�ÃG¿a¿3Ã Ú ¸y¸�·aËpæ.¿3ÜtÇSÜçÂ�Ä�»ÓÁY½�¿3»Óô Ê ´ÞNßRà�õ�â�ã Ê Ä�»PÉHÃEÁYË£½�¿a¹p¸YÀYÄ�»<Ëp»Ôö × éëê ® öØê ®5× Ëp»<¹Eº�¸÷�ø5ù>útû�üùWý<þJü9ÿ������Gÿ��Ôý��ÿ����� ��������ü����]ý����Gÿ����/ÿ+ü��������������Uú�� �

Page 101: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��� �!�"�"#��$%'&)(*!�+,�-!�$�./+102( 3�4�35\»�Á�»�·W¸-¹Ôæ�Á�ÃSÃEÉ�6

ö × ¹E¸�¸ê ®M× ¹E¸�¸× ê87 Ì9 öí» ð;:<µöØê ® × öØ· ÌSòyóê ® öØê ®M× ê ³ ³ö × éëê ® öØê ®5× éU· µ�ò&Í

ÞNßRà=<>â?> Ê Ä�»¨æ�ÁYÃNÃEÉظÂÁY¹�» å Ü�É�ÃEÁ\¸YÄ�Ã Ú ·Wº å Â�Ä�»�¾�¹E¿a·aÅ!·3Â9ÜçÃEÉ:öØêA@0öØêB@ × é êB@ ×·a¸ñÂÃP½�¸»�æ!Á�ÃNÃEÉ�ÇSܨÀ�ÃGº]ÂÁ0¹EÅ�·aÀ�Â�·3ÃGº Ú ·3Â�Ä£öêA@ × ¹E¸í¹Eº�¹E¸�¸�½!Ëpæ�Â�·3ÃGº Ú Ä�·aÀYÄÂ�Ä�»<º�Á�»<º!Å�»�ÁY¸-êB@+öØêA@ × ÇSÜÒê ó ¹�æ!æ!¿a·3»<ÅÒÂÃç¹ å »<º] µ ¹Eº�Å�¸�à 9 À�¹Eº�Çh»·aº�É�»�Á�Á�»<Å ´> Ê Ä�» ÃEÂ�Ä�»�ÁçÅ�·aÁ�»<À�Â�·3ÃGºv·a¸¡Á�»<¹E¸ÃGº�»<Ål·aº|¹ ¸�·aË¡·a¿a¹�Á Ú ¹<ÜC6 ½�¸»�æ!Á�ÃNÃEÉPÇSÜÀ�ÃGº]ÂÁY¹EÅ!·aÀ�Â�·3ÃGºÐ¹Eº�ÅйE¸�¸Y½�Ëp»PêA@+öØêB@ × Ú Ä�·WÀYÄÒ·a¸�Å�»<ËpÃE»<ÅÒÂÃböØêB@ × ÇSÜêD7A¹�æ�æ!¿a·3»<ÅçÂá¹ å »<ºN µ ¹Eº�Å�¸Ã 9 À�¹Eº Çh»¨·aº�É�»�Á�Á�»<Å ´

Page 102: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

EFHG)I�JLK;MONQP�R�G)STG=UVIWN-G JYX*KCJLZ[S

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagih ² æ ´�ðkjklG¶m>ãon É Ú »-·aÅ�»<ºNÂ�·3ÉHÜ-èb¹Eº�Åfp Ú ·3Â�ÄÔÏ¡¹Eº�ÅÔÑ Ù Á�»<¸�æd»<À�Â�·a¾E»<¿3Ü Ù Â�Ä�»<ºÔÂ�Ä�»�ÁY»-¹�Á�»oq2rs�rtqiuwvyx{z

|~} rTzbÇhÃSÃG¿3»<¹EºÒÉHÃEÁ0Ë�½�¿W¹E¸�� ² Ï : Ñ ¶ ·aºç»�ÁYËt¸yÃEÉL� Ù��£Ù Ùt� ¹Eº�Å µ ¸�½!ÀYÄÐÂ�Ä�¹�Â�çÄ�¹E¸¹PÂÁ0½�Â�ÄÔÂ�¹�Ç!¿3»-À�ÃEÁ�ÁY»<¸æhÃGº�Å�·aº å ÂÃÓÂ�Ä�»yÃGº�»yÉ�ÃEÁhèÒé�p ´�� ÃEÁ�»�Æ�¹EËpæ!¿3» Ù� ² Ï : Ñ ¶������� Ï � Ñ

·W¸yÃGº�»¨¸�½�À0Ä�É�ÃEÁYË£½�¿a¹Ô¹Eº�Å� ² Ï : Ñ ¶ ���'���� � Ï�� Ñ ���*� �

·W¸yÜE»�Â&¹Eº�ÃEÂ�Ä�»�Á ´\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag'� ² æ ´�ðkjklG¶Þ�ãon É Ú » ¸ Ú ¹�ækÂ�Ä�» Å�¹E¸�Ä�»<Å�¹Eº!Å�¸�ÃG¿a·aÅ�¿a·aº�»<¸b·aº�Â�Ä�»rÇ!·aº�¹�Á�Ü�Å�»<À�·W¸�·3ÃGº�ÂÁ�»�»rÃEÉ

� · å ½�Á�» ÍS´�ÌSÙ!Ú »¨ÃEÇ�Â�¹E·aº�Â�Ä�»ÓÇ!·aº�¹�ÁYÜbÅ�»<À�·a¸Y·3ÃGºÒÂÁ�»�»

43 4 4

� �

µ��GÌ

Page 103: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 3�4�ä ÂÁY½�Â�ÄÒÂ�¹�Ç!¿3»�À�ÃEÁ�ÁY»<¸æhÃGº�Å�·aº å ÂÃtÂ�Ä�·W¸�Ç!·aº�¹�Á�ÜçÅ�»<À�·a¸�·aÃGºÒÂÁ�»�»�·a¸

Ï Ñ � ² Ï : Ñ ¶µ µ µ� µ �µ � �� � �

ä ÉHÃEÁ0Ë�½�¿W¹ Ú ·3Â�ÄbÂ�Ä�·a¸¬ÂÁY½�Â�ÄbÂ�¹�Ç!¿3»P·a¸V� ² Ï : Ñ ¶ ������ ÏQ��Ñ Ù�Ú Ä!·aÀYÄçÀ�ÃEÁ�Á�»<¸æhÃGº�Å!¸ÂÃ��¿3Ã å ·aÀ�¹E¿R¹Eº!Åt� ´�hã Ê Ä�»¨¸�ÃG¿a½�Â�·3ÃGºÐÅ�»�æh»<º�Å!¸¬ÃGº² · ¶bÚ Ä�»�Â�Ä�»�Á Ú »£¹EÀ�Â�½�¹E¿a¿3ÜзaËpæhÃG¸»¨¹Eº�ÃEÁYÅ�»�Á0·aº å ÃGºpè Ù pp¹Eº�ÅD�t¹E¸ Ú »�À�ÃGº,�¸ÂÁY½�À�Â-Â�Ä�»ÓÇ!·aº�¹�Á�ÜçÅ�»<À�·a¸�·aÃGºÒÂÁ�»�»k�² ·W· ¶ ¹Eº�Å Ù ·3Éظà Ù�Ú Ä!¹�ÂyÃEÁYÅ�»�ÁY·aº å Ú » Ú ÃG½�¿aÅйEÀ�Â�½�¹E¿W¿3ÜçÀ0Ä�ÃSÃG¸» ´Û »PÀYÄ�ÃNÃG¸»_¹EºtÃEÁYÅ�»�ÁY·aº å Ù º!¹EËp»<¿3ÜÔÂ�Ä�»-ÃEÇS¾S·aÃG½�¸�ÃGº�»\ÃEÉV��èçÇh»�É�ÃEÁ�»*pPÇh»�ÉHÃEÁY»�k� ´ Ê Ä�»ÓÁ�»<¸�½�¿aÂ�·aº å Ç!·aº�¹�Á�ÜçÅ�»<À�·a¸�·aÃGºÒÂÁ�»�»�·a¸

4 4 444 333

 

¡ ¡

¢ ¢ ¢¢

£\ÃE»¨Â�Ä�¹�Â�Â�Ä�»PÂÁY½�Â�Äb¾�¹E¿a½�»<¸gÃEÉ ×RÙ ÁY»<¹EÅçÅ�Ã Ú º Ú ¹�Á0Å�¸y·aºbÂ�Ä�»PÂ�¹�Ç!¿3» Ù À�ÃEÁ�Á�»y�¸�ædÃGº!ÅbÂáÂ�Ä�»¨¿3»<¹�Éí¾/¹E¿a½�»<¸�ÃEÉ`Â�Ä�»ÓÇ.·aº�¹�Á�Ü¡Å�»<À�·a¸�·3ÃGºçÂÁ�»�» Ù ·aÉRÁ�»<¹EÅÐÉ�Á�ÃGËuÂ�Ä�»¿a»�ÉHÂyÂÃbÂ�Ä�»ÓÁY· å ÄN ´

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag�¤ ² æ ´�ðkjkjG¶Þ�㦥 »�Â�§�Çh»Ó¹Eº]Ü Î©¨ª¨£´�Û »�¹�æ�æh»<¹E¿.Âà ¨ »�Õdº�·3Â�·3ÃGº ÍS´�ðÔÚ Ä!·aÀYÄÒ¹E¿a¸Ãp·a¸yËt»<¹Eº]ÂyÂù�æ!æ!¿3Ü¡Âà ÎL¨«¨ ¸ ´

² · ¶ n º£Â�Ä�¹� ¨ »�Õ.º�·3Â�·3ÃGº Ú »�¸�»�»gÂ�Ä!¹� ٠·aº�ÃEÁ0Å�»�Á`ÂÃP»�¾�¹E¿a½�¹�»�Â�Ä�» Ω¨«¨ §{¹E¸¹ÇdÃSÃG¿3»<¹EºÔÉ5½�º�À�Â�·3ÃGº ÙEÚ »yÂ�¹�ÈE»&·aÂ�¸�¹�Á å ½�Ëp»<ºNÂ Ú Ä�·WÀYÄÔ½�º�·a¼S½�»<¿3ܨÅ�»�»�ÁYËt·aº�»<¸¹ æ.¹�Â�Äk¹E¿3ÃGº å § ¹Eº�Å�Â�Ä�»�Á�»<¸�½!¿3Âç·W¸bÂ�Ä�»�¾�¹E¿a½�»rÃEɨÂ�Ä�» ¿3»<¹�É£º�Ã�Å�»�·aÂÁ�»<¹EÀYÄ�»<¸ ´L¬ è·3É Ú »\Á�»<Å�·3ÁY»<À�»<Å å »<¸�Âã·aÅ�»<ºNÂ�·aÀ�¹E¿�¿3»<¹�É>º�Ã�Å�»<¸ Ù Â�Ä!·a¸�À�¹Eº�º�ÃEÂÀYÄ�¹Eº å »�Â�Ä�»Ó¾�¹E¿a½�»¨À�ÃGËpæ!½�»<Å�·aºÒÂ�Ä�·a¸&Ët¹Eº�º�»�Á ´

Page 104: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

3�4­ ��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*(² ·W· ¶®¬ ½�æ�æhÃG¸»çÂ�Ä�¹�ÂtÇhÃEÂ�ÄUÃG½� å ÃG·aº å »<Å å »<¸pÃEÉPº�ÃSÅ�»°¯kæhÃG·aºN£Âà Â�Ä�»�¸�¹EËp»

º�ÃSÅ�»A± ´ Ê Ä�»<º�¹EºNÜU»�¾/¹E¿a½!¹�Â�·3ÃGº�æ!¹�Â�Ä�ÃEÉo§ Ú Ä�·aÀ0Ä�æ!¹E¸�¸�»<¸pÂ�Ä�Á�ÃG½ å ĺ�ÃSÅ�»-¯�Ä�¹E¸_ÂÃÐæ!¹E¸�¸_Â�Ä�ÁYÃG½ å Ärº�ÃSÅ�»-± Ù ·aº!Å�»�æh»<º�Å�»<ºNÂ-ÃEÉ:Â�Ä�»Ô¾�¹E¿a½�»£ÃEɯ�²�¸£¿W¹�Çd»<¿ ´ Ê ÄN½�¸ ÙÚ »ÐËt¹�Ü ¸�¹�¾E»<¿3Ü Á�»<Å!·3Á�»<À�ÂÔ·aº�À�ÃGËt·aº å »<Å å »<¸ÔÃEÉ*¯ Âñ Ú ·3Â�Ä�ÃG½�ÂPÀYÄ�¹Eº å ·aº å Â�Ä�»p¿3»<¹�ɬº�ÃSÅ�»<¸PÂ�Ä!¹�Â_ÃGº�»tÀ�ÃG½�¿aÅ�Á�»<¹EÀYÄ ÃGº ¸�½�ÀYÄæ!¹�Â�Ä�¸

² ·a·W· ¶®¬ ÂÁY½�À�Â�½�Á0¹E¿a¿3Ü�·aÅ�»<º]Â�·aÀ�¹E¿ Ω¨«¨ ¸:À�¿3»<¹�ÁY¿aÜ�·aº�Å!½�À�»¬Â�Ä�»-¸�¹EËp»yÇhÃNÃG¿a»<¹EºÔÉ�½�º!À �Â�·3ÃGº ´ª¬ Ãç·3É Ú »£Á�»<Å�·aÁ�»<À�Â&¹E¿a¿`·aº�À�ÃGËt·aº å »<Å å »<¸_ÃEÉÂ�Ä�»£Á�ÃNÃEÂ_º�Ã�Å�»�ÃEÉÃGº�»ÎL¨«¨ ÂÃtÂ�Ä�»ÓÁ�ÃNÃEÂ-º�ÃSÅ�»PÃEÉعEº�·aÅ�»<ºNÂ�·aÀ�¹E¿dÃGº�» Ù Â�Ä!·a¸yÀ�¹Eº�º�ÃEÂ-À0Ä�¹Eº å »¨Â�Ä�»¾/¹E¿a½�»ÓÃEÉØ¿a»<¹�Éíº�Ã�Å�»<¸�Â�Ä�¹�Â\¹�Á�»¨Á�»<¹EÀ0Ä�»<Å�ÇSÜ å ·a¾E»<º ¹�Á å ½�Ët»<º]Â�¸ ´�ñà)³hâ�ã

Ï Ñ � � ² Ï : Ñ ¶µ µ µ µµ µ´� µµ � µ µ� µ µ µµ � � �� µ´� µ� � µ �� � � �

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag�µ ² æ ´ ó��k�]¶Þ.à)³hâ�ã � ·3Á0¸Â Ù�Ú »y½�¸»gÂ�Ä�»gÂÁY½�Â�Ä�Â�¹�Ç!¿3»gÃEÉ!·3»<Ë Ì�² ¹ ¶ ·aº-¶Æ�»�ÁYÀ�·a¸»<¸ ÍS´�ð ÂÃÓÀ�ÃGº�¸ÂÁY½�À�ÂÂ�Ä�»¨Ç!·aº�¹�ÁYÜbÅ�»<À�·a¸Y·3ÃGºçÂÁ�»�»�É�ÃEÁ&·3Â�6

·

� �

� � ��

4 4 3 3 3 34 3¬ »<À�ÃGº�Å Ù�Ú »P¹�æ!æ!¿3ÜtÂ�Ä�»PÁ�»<Å!½�À�Â�·3ÃGº�¸¹¸ Þ�º ¸ m ÂÃÔÂ�Ä�·a¸gÂÁ�»�»¨½�ºNÂ�·a¿d¹ÔÁ�»<Å�½�À�»<ÅΩ¨«¨ ·a¸�É�ÃG½�º�Å ´ Ê Ú ÃtÏT�9º�Ã�Å�»<¸�æh»�Á�ÉHÃEÁ0Ë ¹pÁ�»<Å�½�º!Å�¹Eº]Â�»<¸Â&ÃGº µ ¹Eº�Å�¹�Á�»Â�Ä�»<Ët¸»<¿3¾E»<¸gÁ�»<Å�½!º�Å�¹EºNÂ:º�ÃGº,�7»�ÁYË¡·aº�¹E¿a¸ ´ Ê ÄS½�¸ Ù Â�Ä�»<¸»_Â Ú ÃÔº�ÃSÅ�»<¸gËt¹�ÜtÇh»ÁY»�æ!¿a¹EÀ�»<Å Ú ·3Â�Ä�¹b¿3»<¹�ɬº�ÃSÅ�»�É�ÃEÁ µ�´_Û »p¹E¿a¸ÃçÁ�»<ËpÃ�¾E»ÔÅ!½�æ!¿a·aÀ�¹�»�»�ÁYËt·aº!¹E¿¹Eº!ÅÐÃEÇ�Â�¹E·aº

Page 105: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 3�4�»

34

·

� �

� �

£\»�Æ� Ù`Ú »pÁ�»<ËpÃ�¾E»¡Â�Ä�»pÁ�»<Ë¡¹E·aº�·aº å Á�»<Å�½!º�Å�¹EºNÂ_»<¸�¨ÉHÃEÁ�ÃGº�»pÏt�9º�Ã�Å�»t¹Eº�Åå »�Â

34

·

� �

Ê Ä�·a¸ Ω¨«¨ ·a¸�Á�»<Å�½!À�»<Å ´mRà)¼:â�ã¨ä Ç!·aº�¹�Á�ÜçÅ�»<À�·a¸�·aÃGºÒÂÁ�»�»¨É�ÃEÁ¹� ² Ï : Ñ ¶������� Ï � Ñç·aºÒÂ�Ä�»ÓÃEÁYÅ�»�ÁY·aº åA½ Ï : Ñ : �k¾ ·a¸�

� �

· · ··

4 4 3 3 3 3 33

Page 106: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

3�4�¿ ��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*(Û »�·aËtËp»<Å!·a¹�»<¿3Ü ¸»�» Â�Ä�¹�¡¹E¿a¿ � �9º�ÃSÅ�»<¸¡¹�Á�»ÐÁ�»<Å�½�º!Å�¹Eº]ÂÔ»<¸Â�¸ Ù ¸�à Â�Ä�»�ÜË¡¹<Ü¡¹E¿a¿�Çd»\»<¿a·aËt·Wº�¹�»<Å ´�� ½�Á�Â�Ä�»�Á Ù Â�Ä�»\ÁY· å ÄNÂ�ËpÃG¸Â�ÑÀ�9º�Ã�Å�»\·a¸:¹¨Á�»<Å�½!º�Å�¹EºNº�ÃGº,�7»�ÁYËt·aº!¹E¿ Ù ¸Ã Ú » å »�Â

4 3Ú Ä�·aÀYÄзW¸yÁ�»<Å�½�À�»<Å ´mRà)Á:â�ã Ê Ä�»�Ç!·aº�¹�ÁYÜUÅ�»<À�·a¸�·3ÃGº|ÂÁ�»�»rÉHÃEÁA� ² Ï : Ñ : � ¶ ���'�� ² ÏÃÂ~Ñ ¶ � ² Ï � � ¶ ·aºvÂ�Ä�»ÃEÁ0Å�»�ÁY·aº åB½ Ï : Ñ : ��¾ ·a¸

� �

· · ··

4 4 3 3 4 3 44Ê Ä�Á�»�» � �9º�Ã�Å�»<¸y¹�Á�»ÓÁY»<Å�½�º�Å�¹EºNÂ�»<¸Â�¸&¹Eº!Å Ú »¨Ët¹�Üи�Ä�¹�Á�»PÂ Ú Ã Ú Ä!·aÀYÄй�Á�»·WÅ�»<º]Â�·WÀ�¹E¿ ´ n º�À�ÃGºÅĽ!º�À�Â�·3ÃGº Ú ·3Â�Ä^Â�Ä�»ÒÁ�»<ËpÃ�¾/¹E¿-ÃEÉ\Å�½�æ.¿a·aÀ�¹�»ç»�ÁYËt·aº�¹E¿W¸ ÙÂ�Ä!·a¸ å ·3¾E»<¸-½!¸

4 3

�·

Ú Ä�·aÀYÄзW¸yÁ�»<Å�½�À�»<Å ´

Page 107: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 3�4ÅÆ\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag'Ç ² æ ´ ó���µ�¶ÈRà)³hâ�ã

Ï @ ÏCÉ ÏCÊ Ï�Ë � ² Ï @ : ÏCÉ : Ï�Ê : ÏTË ¶� � � � µ� µ � � �µ � � � �µ µ � � µ� � � µ �� µ � µ µµ � � µ µµ µ � µ �� � µ � �� µ µ � µµ � µ � µµ µ µ � �� � µ µ µ� µ µ µ �µ � µ µ �µ µ µ µ µ

ÈRà)¼:â�ã Û »�æ�ÁYÃSÀ�»�»<Ũ¹E¸`·aº¦Ì�Ä�¹�æ�»�Á µ&² ¸»�»�Â�Ä�»�Å!·a¸�À�½�¸�¸Y·3ÃGºP¹�ÉH»�Á�Í�Á�ÃEæhÃG¸�·3Â�·aÃGº µ�´ ó]³G¶ 6

² Ï @ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶ � ² Ï�@ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶ �² Ï @ � Ï�É � Ï�Ê � ÏTË ¶ � ² Ï @ � Ï�É � ÏCÊ � ÏTË ¶ �² Ï @ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶ � ² Ï�@ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶ �² Ï @ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶ � ² Ï�@ � Ï É � Ï Ê � Ï Ë ¶�Î

ÈRàá�â�ãon º å »<º�»�ÁY¹E¿ Ù ·aÉ Ú »�À�ÃGº�¸Y·aÅ�»�Á-Â�Ä�»�»�¾E»<º,�7Ç!·3Â-æ.¹�ÁY·3Â9ÜÒÉ5½�º�À�Â�·3ÃGº ·aºA¯ ¾�¹�ÁY·a¹�Ç!¿a»<¸² ¯ � ó ·aº�·a»<Ë Í�² ¹ ¶ ¹Eº�Å Í�² Ç ¶¶0Ù Â�Ä�»<ºUÂ�Ä�»ÃÏ Î©¨«¨ À�ÃEÁ�Á�»<¸æhÃGº�Å�·Wº å ÂÃ� · å ½�Á�» ÍS´aµEµ Ä�¹E¸ Ì ¯ ��µ º�Ã�Å�»<¸ ´ Ê Ä�»tÀ�ÃEÁ�Á�»<¸æhÃGº�Å!·aº å À�ÃGºÅĽ!º�À�Â�·3¾E»tº�ÃEÁ)�Ë¡¹E¿3ÉHÃEÁ0Ë Ù Ä�Ã Ú »�¾E»�Á Ù Ä!¹E¸ ÌÅÐÀÑ @ Ët¹EºNÜ�À�ÃGºÅÄ�½�º�À�Â�¸ Ù ½�º�¹EÀ�À�»�æ�Â�¹�Ç!¿a»�É�ÃEÁ\»�¾E»<ºËtÃSÅ�»�Á0¹�»¨¾/¹E¿W½�»<¸yÃEÉ�¯ ´

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag�e ² æ ´ ó��GÌG¶Þ.àá�â�ã Ê Ä�» Ω¨«¨

Page 108: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

3�4�Ò ��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*(

� �

34

� � ��ÔÓªÕ Ó �

Ó ­· Ó »

ÓªÕ

ÓªÕ ÓªÕ

Ó 4 Ó 3·W¸yÂ�Ä�»ÓÁ�»<¸�½!¿3ÂyÃEÉí¹�æ!æ!¿3Ü�·aº å Â�Ä�»�¿a¹�Çh»<¿a¸�ÂÃtÂ�Ä�» ÎL¨«¨ ¹Eº!Å

34

·

� ��

Ó¹Õ Ó �

Ó ­

Ó »

Ó 4 Ó 3·W¸yÂ�Ä�»ÓÁ�»<¸�½!¿3Â�·aº å Á�»<Å�½!À�»<ÅDÏ Î©¨ª¨ Ú ·3Â�Äн�º�·W¼N½�»P¿a¹�Çh»<¿a¸ ´

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag'Ö ² æ ´ ó��GÌG¶×hã Ê Ä�»�»�ÆSæ�ÁY»<¸�¸�·3ÃGºB� é ²2ØT:/Ù.¶ ·a¸-¹¡ÇhÃNÃG¿3»<¹Eº�É�½�º!À�Â�·3ÃGºÐ·aºÐÂ�Ä�ÁY»�»�¹�Á å ½�Ëp»<ºNÂ�¸ ² � ÙØ ¹Eº�Å Ù.¶�Ú Ä�·aÀ0Äç·W¸�»<¼N½�·a¾/¹E¿3»<ºNÂ�ÂÃ Ø ·3É���»�¾/¹E¿a½!¹�»<¸-Âà µ ��ÃEÂ�Ä�»�Á Ú ·a¸» Ù ·3Ây·a¸»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<ºNÂyÂà Ù>´

² ¹ ¶AÚ ¸�·Wº å �£Ù Â�¹Eº�Å Ù�Ú »¨Ë¡¹<ÜÐÅ�»�Õ.º�»ÓÂ�Ä!·a¸y¹E¸�°� Øo� ��� ÙÛÎ

� ÃEÁ_·aÉ���»�¾�¹E¿a½�¹�»<¸-Âà µ�Ù Â�Ä�»¨»�Æ�æ�Á�»<¸�¸Y·3ÃGºÐ·a¸y»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<ºNÂyÂà µ � ئ� µ � ÙÚ Ä�·aÀ0Ä ·aº�Â�½�ÁYº ·a¸P»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<ºNÂÓÂà Ø!´ ÌgÃGºN¾E»�ÁY¸»<¿3Ü Ù ·3ÉY�^»�¾�¹E¿a½�¹�»<¸ÓÂà ��ÙÂ�Ä�»<º Ú » å »� � � ئ� � � Ù�Ú Ä�·aÀ0Äзa¸y»<¼S·3¾/¹E¿a»<º]ÂyÂà Ùñ´

² Ç ¶bÛ »�¸»�¹� Ð ������ ÏÒé ² �ÅÜÞÝyß Ð�à : �Åáyâ#ß Ð�à ¶0´

Page 109: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 3�4ã² À ¶ÒÛ »�½�¸»�Ë¡¹�Â�Ä�»<Ët¹�Â�·aÀ�¹E¿\·aº�Å�½�À�Â�·aÃGºUÃGº�Â�Ä�» Ët¹/Æ�·aËt¹E¿yºS½�Ë�Çh»�Á ÙLä Ð Ù ÃEÉ»<Å å »<¸ Ú »�º�»�»<ÅÐÂáÁ�»<¹EÀYÄ�¹t¿3»<¹�Éغ�ÃSÅ�»ÓÉHÁ�ÃGËzº�ÃSÅ�»o¯ ´

� n É ä Ð � µ�Ù Â�Ä�»<ºçÂ�Ä�»\ÃG½�Â�À�ÃGËt·aº å »<Å å »<¸gÃEÉå¯�æhÃG·aºNÂ:ÂÃp¿3»<¹�ÉRº�Ã�Å�»<¸ ´æ¬ ÃÉHÃEÁf� Ð Çh»<·aº å Ï|é ² �ÅÜÞÝyß Ð�à : �Åá â{ß Ð�à ¶0ÙÚ »çÄ�¹<¾E»A�ÅÜÞÝyß Ðkà : �Åáyâ{ß Ðkà-çéè �,:<µÅêG´Ê ÄS½�¸ Ù � Ð ·a¸�·aº�Å�»�æd»<º!Å�»<º]ÂØÃEÉ>¹EºNÜ£Ñ Ù Å!·�ëd»�ÁY»<º]Â�É�Á�ÃGË Ï Ù]Ú Ä!·aÀYÄpÃ�À�À�½�ÁY¸Çh»�ÉHÃEÁ�»ÓÏ�·aºÐÂ�Ä�»ÓÃEÁ0Å�»�ÁY·aº å ´� Û »g¹E¸Y¸�½�Ëp»¬Â�Ä�¹�ÂRÂ�Ä�»gÀ�¿a¹E·aË�Ä�ÃG¿aÅ�¸>É�ÃEÁ`¹E¿W¿]º�Ã�Å�»<¸ ± Ú ·3Â�Ä ä'ìîíðïd´ ¥ »�¯pÇh»�¹yº�ÃSÅ�»�¸�½�ÀYĨÂ�Ä�¹� ä Ð � ït�Ôµ�´ Ê Ä�»<º ä ÜÞÝyß Ðkà :=ä áyâ�ß Ð�à íðï É�ÃG¿a¿3à Ú�´`Î ÜÃG½�Á�·aº�Å�½�À�Â�·aÃGºpÄ]ÜSæhÃEÂ�Ä�»<¸�·a¸ Ù � ÜÞÝ ß Ðkà ¹Eº!Åñ� áyâ�ß Ðkà ¹�Á�»\·aº!Å�»�æh»<º�Å�»<ºNÂÉHÁ�ÃG˹Eº]Ü�Ñ Ù Å!·�ëd»�ÁY»<º]Â_ÉHÁYÃGË}Ï Ù>Ú Ä�·aÀ0Ä�ÃSÀ�À�½�Á0¸\Çh»�É�ÃEÁ�»£Ï ·aº�Â�Ä�»ÔÃEÁYÅ�»�ÁY·aº å ´Î ½�Â&Â�Ä�»<ºÃ� Ð ·a¸-¹E¿a¸Ãç·aº�Å�»�æh»<º�Å�»<º]Â�ÃEÉ�¹E¿a¿`¸�½�ÀYÄ Ñ�¹E¸ª� Ð »<¼S½�¹E¿a¸-Ï é² � ÜÞÝyß Ðkà : � áyâ�ß Ðkà ¶0´ÞNßRà=³hâ�ã ² · ¶ ¥ »�Â�Â�Ä�»tÇhÃSÃG¿3»<¹Eº É�ÃEÁYË£½�¿a¹ ² �A Ø�¶��ðò Çh»p¾/¹E¿W·aÅ ´ n É ò »�¾/¹E¿W½�¹�»<¸¨ÂÃ��Ù Â�Ä�»<º Â�Ä�¹�Â�É�ÃEÁYË£½�¿a¹Ð·a¸P»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<ºNÂÓÂà �®Â Ø ¹Eº�Å ¸Y·aº�À�»pÂ�Ä�»tÉ�ÃEÁYËp»�Á·a¸y¾�¹E¿a·aÅ Ù�Ú »�À�ÃGº�À�¿a½�Å�»_Â�Ä!¹� �~Â Ø ·W¸�¾/¹E¿a·WÅйE¸ Ú »<¿a¿ ´Î ÜçÂ�Ä�»�Å�»�Õ.º�·aÂ�·3ÃGºÃEÉL ·a¸\Ëp»<¹Eº�¸\Â�Ä�¹� � ¹Eº�Å Ø À�¹Eº�º�»�¾E»�Á_»�¾/¹E¿W½�¹�»�ÂÃçÂ�Ä�»£¸�¹EËp»£¾/¹E¿a½�»ÉHÃEÁ&¹ å ·3¾E»<º�¹�Á å ½�Ët»<º] ´ Ê ÄN½�¸ Ù ��¹Eº!Å Ø ¹E¿ Ú ¹<Ü�¸y»�¾�¹E¿a½�¹�»¨ÂáÂ�Ä�»�¸�¹EËp»¾/¹E¿a½�» Ù · ´ » ´ Â�Ä�»�ÜÒ¹�Á�»¨»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<ºN ´

² ·W· ¶®¬ ½�æ�æhÃG¸»ÔÂ�Ä�¹�Âó�U¹Eº�Å Ø ¹�ÁY»t»<¼N½!·3¾/¹E¿a»<º]¨ÃGº ¹E¿a¿�¹�Á å ½�Ët»<º]Â�¸�ÉHÃEÁ Ú Ä�·aÀYÄò »�¾�¹E¿a½�¹�»<¸ÔÂà ��´ n É ² �B Ø�¶��éò ·a¸Ôº�ÃE£¾�¹E¿a·aÅ Ù Â�Ä�»<º^Â�Ä�»�Á�»Ò·a¸Ô¸ÃGËp»¹�Á å ½�Ëp»<ºNÂ�É�ÃEÁ Ú Ä!·aÀYÄ ·W¸Ó»�¾/¹E¿W½�¹�»<¸�Âà ��´çÎ ½�Â�Â�Ä�»<º ò »�¾�¹E¿a½�¹�»<¸�Âà �¹E¸ Ú »<¿a¿ ´ÐÎ Ü ÃG½�Á�¹E¸Y¸�½�Ëpæ�Â�·aÃGº Ù ��¹Eº!Å Ø Â�Ä�»<º »�¾�¹E¿a½�¹�»bÂÃ�Â�Ä�»b¸�¹EËp»¾/¹E¿a½�» Ù Ç!½�ÂyÂ�Ä�·a¸yÀ�ÃGºNÂÁY¹EÅ�·WÀ�Â�¸-Â�Ä�»¨É5¹EÀ�Â-Â�Ä�¹� �~Â Ø »�¾�¹E¿a½�¹�»<¸-Âà ��´ÞNßRà=¼�â�ã Û »¨Õ!ÁY¸Â-¹�æ�æ.¿3Ü®ÂAÂÃñ§ ô ½ º�ÃE»k6�Â�Ä�» Ω¨«¨ É�ÃEÁ � ¾ ¹Eº�ÅA§ªõ Ù Ü�·3»<¿aÅ�·Wº å 6

· ··

3�öD4 4æö?3

4æö?3÷3�öø3 4æöB4 3�öø3

3�öD4

ù&»<Å�½�À�·aº å Ù�Ú »¨ÃEÇ!Â�¹E·aºÛ6

Page 110: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

33 4 ��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*(

4 3

�·

£\Ã Ú ¹�æ�æ!¿3Ü � ÂÃñ§«úy¹Eº�ÅÒÂ�Ä!·a¸ Ω¨«¨�Ù Á�»<¸�½�¿3Â�·Wº å ·aºÛ6�

� �

·

4æûø3ü3�ûB4

4�ûø3 3�ûB4 4æûø3

Û »�Õ.º�ÅÒÂ�Ä�¹�Â&Â�Ä�·a¸�Á�»<Å�½!À�»<¸yÂÃtÂ�Ä�»�À�ÃGº!¸Â�¹Eº] ÎL¨«¨sµ�´\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag�ý ² æ ´ ó���óN¶Þ.à)¼:â�ã Ê Ä�»PÁ�»<Å!½�À�»<Å8Ï Î©¨«¨ ÉHÃEÁª� ½ µþ Ï ¾ ·a¸

34

·

� �

Þ.à)Á:â�ã Ê Ä�»_Á�»<Å�½!À�»<ÅDÏ Î©¨ª¨ É�ÃEÁ*� ½ �1þ ��¾ ·a¸gÂ�Ä�»ÓÃGº�» Ú Ä!·aÀYÄçÁ�»�æ�ÁY»<¸»<º]Â�¸�Â�Ä�»ÓÉ�½�º!À �Â�·aÃGº Ñ Ù ¸�·aº�À�» Ú »pÁ�»<ËpÃ�¾E»¡Â�Ä�»pÂÃEæ � �9º�Ã�Å�»t¹Eº�ÅrÈE»�»�æ Â�Ä�»t¿3»�ÉH ٠Á�»<Å�½�À�»<Å Ù¸Y½�ÇCÏ Î©¨«¨£´�ñà)³hâ�ã Ê Ä�»Ó»�ÆSæ!Á�»<¸�¸�·3ÃGºB�Bÿ Ï��� ½ Ø þ Ï ¾ � Ï��Å� ½ Ø,þ Ï ¾ Å�ÃN»<¸-·a ´�ñà)¼:â�ã ù-»�æ.¿a¹EÀ�·aº å ¹£º�Ã�Å�»*¯ Ù ¿a¹�Çh»<¿a¿3»<Å Ú ·3Â�Ä¡Ï ÙNÚ ·3Â�ÄtÂ�Ä�» Ω¨ª¨ É�ÃEÁ ØpÚ ·a¿W¿�¹E¿aËpÃG¸Â¹E¿ Ú ¹�ÜS¸&Çd»¨·Wº�À�ÃGº�¸�·a¸�»<º]Â Ú ·aÂ�ÄÒÂ�Ä�»¨ÀYÄ�ÃG¸�»<º å ¿3ÃEÇ!¹E¿ñ¾/¹�ÁY·W¹�Ç!¿3»PÃEÁYÅ�»�ÁY·Wº å ´

Page 111: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 333�ñàá�â�ã Ê Ä�»g»�ÆSæ�ÁY»<¸�¸�·3ÃGº Ø é ² � ½ µþ Ï ¾ : � ½ �1þ Ï ¾ ¶ ·a¸`»<¼S½�·3¾�¹E¿3»<º]Â`Âæ� ½ Ø,þ Ï ¾ ¹Eº�ÅÔÀ�¹Eº£Çh»·WËpæ!¿3»<Ëp»<ºN»<Å£¾S·W¹&Â�Ä�»�ÃEæh»�ÁY¹�ÂÃEÁ�Å�»<¸YÀ�ÁY·3Çh»<Å�·Wº�·3»<Ë ³�² ¹ ¶ ÃEÉC¶Æ�»�ÁYÀ�·a¸»<¸ ÍS´ � ´\V] ^T_a`�bdc�^�cfeag�� ² æ ´ ó��G³G¶mRà)³hâ�ã ² · ¶ ¥ »�Â × Çh» ¸�¹�Â�·a¸�Õd¹�Ç!¿3» ´ Ê Ä�»<ºlÂ�Ä�»�Á�» ·a¸Ð¹�¾�¹E¿a½�¹�Â�·aÃGº�� ¸�½!ÀYÄkÂ�Ä�¹� ׻�¾/¹E¿a½!¹�»<¸-Âà µÓÚ ·3Â�ÄÒÁ�»<¸æh»<À�Â-ÂÃ�� ´Y¬ ·aº�À�»

� Ï Î�× ������ × ½ �1þ Ï ¾ ��× ½ µþ Ï ¾Ú »&·Wº�ÉH»�Á:Â�Ä�¹� � Ï Î�× »�¾/¹E¿a½!¹�»<¸�Âà µ ¹E¸ Ú »<¿W¿�½�º�Å�»�Á�� Ù É�ÃEÁ�Â�Ä�»&¿W¹�»�Á¬Ä�¹E¸Âá¹E¸�¸�· å º � ÃEÁ µ ÂÃtÏ ´

² ·W· ¶ ¥ »� � Ï Î�× Çh»_¸�¹�Â�·W¸�Õ.¹�Ç!¿3» ´ Ê Ä�»<º¡Â�Ä�»�ÁY»_»�Æ�·a¸Â�¸�¹£¾�¹E¿a½�¹�Â�·3ÃGº��d¸�½�ÀYÄçÂ�Ä�¹�Â× ½ �1þ Ï ¾ ��× ½ µþ Ï ¾ »�¾�¹E¿a½�¹�»<¸-Âà µÓÚ ·3Â�ÄÒÁ�»<¸�æd»<À�ÂyÂÃ�� ´Ì�¹E¸» µ 6 n É × ½ �1þ Ï ¾ À�ÃGËtæ!½�»<¸ÓÂà µ ½�º!Å�»�Á � Ù Â�Ä�»<º × À�ÃGËpæ!½�»<¸ÓÂà µ ½�º�Å�»�Á� ½ Ï��é � ¾ Ù�Ú Ä�»�ÁY»�� ½ Ï��é � ¾ Çh»<Ä�¹<¾E»<¸\¿a·3ÈE» � Ù Ç.½�ÂyÂ�Ä�¹�Â&·3Â-¹E¸Y¸�· å º�¸ �ÂÃtÏ ´Ì�¹E¸» Ì 6 n É × ½ µþ Ï ¾ À�ÃGËtæ!½�»<¸ÓÂà µ ½�º!Å�»�Á �� Ù Â�Ä�»<º × À�ÃGËpæ!½�»<¸ÓÂà µ ½�º�Å�»�Á� ½ Ï��é µ ¾ Ù�Ú Ä�»�ÁY»�� ½ Ï��é µ ¾ Çh»<Ä�¹<¾E»<¸\¿a·3ÈE» � Ù Ç.½�ÂyÂ�Ä�¹�Â&·3Â-¹E¸Y¸�· å º�¸ µÂÃtÏ ´

¬ ·aº�À�»:¹�Âí¿3»<¹E¸Â`ÃGº�»:ÃEÉ�Â�Ä�»<¸�»¬À�¹E¸»<¸íÄ�¹E¸ñÂÃP¹�æ�æ!¿aÜ ²�Ú ÄNÜ�Ý ¶0Ù Â�Ä�·a¸RÀ�ÃGº�À�¿a½�Å�»<¸Â�Ä�»�¹�Á å ½�Ët»<º] ´\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagih h ² æ ´ ó�� � ¶Þ�ã ² · ¶bÛ » ·WÅ�»<º]Â�·aÉHÜ Â�Ä�»�¸�½�Ç!¸�»�ÂpÃEÉ_¸Â�¹�»<¸ è���� : � @ ê�Ú ·3Â�ÄUÂ�Ä�»ÐÇdÃSÃG¿3»<¹Eº�É5½�º�À�Â�·aÃGºÏ @å�0Ï É � Ï @ � Ï É Ú Ä�ÃG¸»_Á�»<Å�½�À�»<ÅBÏ Î©¨«¨~Ú ·3Â�Ä¡Â�Ä�»_ÃEÁ0Å�»�ÁY·aº 宽 Ï @ : Ï É ¾ ·a¸

4 3

���

���

² ·W· ¶ Ê Ä�» ¸»� è�� � : � É ê À�ÃEÁ�Á�»<¸�ædÃGº!Å�¸pÂà Ïå@¹�SÏ É � Ïå@¹� Ï É Ú Ä�ÃG¸�»�Á�»<Å�½�À�»<ÅÏ Î©¨ª¨ Ú ·3Â�ÄÒÂ�Ä�»ÓÃEÁYÅ�»�ÁY·aº åB½ Ï @ : Ï É ¾ ·a¸

Page 112: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

33 Õ ��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*(

4 3

���

��� ���

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagih�¤ ² æ ´ ó���lG¶Þ.à)³hâ�ã ²5Î ÃGºS½�¸ ¶ Ê Ä�»ÓÂÁY¹Eº�¸�·aÂ�·3ÃGºÒÉ�½!º�À�Â�·3ÃGºÒÃEÉØÂ�Ä�·a¸yÀ�·3Á0À�½�·3Ây·a¸

² Ï @�� Ï @ ¶ � ² Ï É � Ï @ Â^ÏCÉ ¶�Σ\ÃEÂ�·aÀ�»ÔÂ�Ä�»£Â�Ä�·a¸\Å�»<¸�À�ÁY·3Çh»<¸\¹��1v�uwv�� | q2r� yuiq"!Ô¸�ÜS¸Â»<Ë ´ n É Ú »Ô¸Â�¹�Á�Â_Â�Ä�·a¸\Ã�ë·WºÒÂ�Ä�»�¸Â�¹�» ��µ�Ù Â�Ä�»�¸Ü�¸Â»<Ë »�¾EÃG¿a¾E»<¸\¹E¸-·Wº

Ï @ Ï É� µµ µ� �µ �� µ

¹�Â Ú Ä�·aÀ0ÄlæhÃG·aº]Âз3ÂÒÕdº�·a¸�Ä�»<Ål¹�É5½�¿a¿ÓÀ�Ü�À�¿3» ´ Ê ÄN½�¸ Ù Â�Ä�·W¸�·aËpæ!¿a»<Ëp»<º]Â�¸Ð¹À�ÃG½!º]»�Á°�ËpÃSÅ!½�¿3à ó � ´Þ.à)¼:â�ã ²5Î ÃGºN½!¸ ¶ Ê Ä�»-Ì Ê ¥ ËpÃ�Å�»<¿>·a¸ å ·a¾E»<ºÐÇNÜ

� �

� � ���$#�� �

%'&

%)( %��

%'�

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagihkµ ² æ ´ ó���jG¶�hã ² · ¶ n É�± � ��Ù Â�Ä�»<º+* � , Î , ���'�� µ »<º�¸�½�ÁY»<¸-�/.�* � , Î ,~ÇNÜÒÂ�Ä�»¨Å�»�Õdº�·3Â�·3ÃGºçÃEÉ0. ´

² ·W· ¶ n É���.1* ì , Î , Ù Â�Ä�»<º Ú »�¹E¿a¸�Ã å »�Â2��.1* ì�3 @', Î , Ù ÉHÃEÁ4* ì�3 @), Î , ·a¸Å�»�Õ.º�»<ÅÒÂÃbÇd»5, ½ * ì , Î , þ , ¾ Ú Ä�·aÀ0Äзa¸�Ä�½�¸Â6* ì , Î ,A¹ å ¹E·aº ´

² Ìy¹Eº�ÜEÃG½�¹�Á å ½�»¨Â�Ä�¹�Â7* ì , Î ,~»<¼S½�¹E¿a¸ µ É�ÃEÁ&¹E¿a¿a±98 � Ý ¶

Page 113: Logic in computer science 2nd solutions   huth & ryan

��%�+,!��)�-��.�&/%�()%'��+A��%'!�$���!��*( 33��\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagihÀÇ ² æ ´ ó�µ��]¶:Rà)³hâ�ã Ê Ä�»�É5½�º�À�Â�·3ÃGº �<;�= ß?>A@CB�DE>GF ·a¸ñÅ�»�Õdº�»<Ũ¹E¸ �IHÏ ÎW² �KJ®�{� >A@CB�DE>GF ½ HÏÃ6 � HÏ ¾ Ú Ä�·aÀYÄ»<¼S½�¹E¿a¸ �0HÏ ÎW²² Ï @ � Ï @ ¶ � ² Ï É � Ï @�Â^Ï É ¶ � ² Ï @ � Ï É ¶¶0´:Ràá�â�ã Ê Ä�» É5½�º�À�Â�·aÃGº �<LNM ß L<O DE> @ B�DP> F à ¸�Ä�ÃG½�¿aÅ|À�ÃGËtæ!½�» µ »�Æ�¹EÀ�Â�¿3Ü ÉHÃEÁÒÂ�Ä�ÃG¸»¸�Â�¹�»<¸

� Ú Ä�·aÀ0Ä�¸�¹�Â�·a¸É�Ü^Â�Ä�»8Ì Ê ¥ ÉHÃEÁYË£½�¿a¹ ä6Q ² ä � öíÏå@-R^öíÏ É ¶0´ Ê Ä�»¿W¹�»�ÁgÉ�ÃEÁYË£½�¿a¹�¸�¹<Ü�¸ Ù ¹�Â�¸Â�¹�» � Ù Â�Ä�¹�Â&öíÏ @ RtöØÏ�É-·a¸¬ÂÁY½�»_·aº�Õ.º!·3»<¿3Ü£ÃEÉH»<ºÃGºÒ¹E¿a¿.À�ÃGËpæ!½�Â�¹�Â�·aÃGºbæ.¹�Â�Ä�¸:Â�Ä!¹�¬Çh» å ·aºb·aº� ´�Î ½�Â:Â�Ä�·W¸�öíÏå@SR¡öíÏ É ·W¸�ÂÁY½�»»�Æ�¹EÀ�Â�¿3ÜU¹�Âp¸Â�¹�»

�É Ù Â�Ä!·a¸£ÉHÃEÁYË£½�¿a¹�·a¸£¸�¹�Â�·a¸�Õ.»<Å ÇSÜ ¹E¿W¿¬¸Â�¹�»<¸ Ù É�ÃEÁÔ»<¹EÀYÄ·Wº�Õ.º�·3»�æ!¹�Â�Ä Ä�¹E¸_ÂÃÒæ!¹E¸�¸_Â�Ä�Á�ÃG½ å Ä

�É ·aº�Õ.º�·3»<¿3ÜçÃEÉ�»<º ´ Ê ÄS½�¸ ÙhÚ »pËt¹�ÜÀ0Ä�ÃSÃG¸»�¹E¸yÇhÃSÃG¿3»<¹EºÐÉ�ÃEÁYË£½�¿a¹ Ú ·3Â�Ä�ÃG½�ÂyÉHÃ�ÆS»<Å ædÃG·Wº]Â�¸y¸�·WËpæ!¿3Ü µ�´

\V] ^T_a`�bdc�^�cfeagih�e ² æ ´ ó�µEµ�¶Þ�ã ²5Î ÃGºN½!¸ ¶ n º?¶:¼S½�¹�Â�·3ÃGº ²MÍS´�Ì � ¶0Ù Â�Ä�»tÉ5½�º�À�Â�·3ÃGº?� ;�T MVU ·W¸ÓÅ�»�Õ.º�»<År·aºr»�ÁYË¡¸ÓÃEÉ

W�XZY�W\[�]�^ ¹Eº�Å WGXZY�W\[�]E_ Ù Ç!½�Â&Â�Ä�»<¸»ÔÂ Ú ÃÒæ!¹�»�ÁYº!¸_¹�ÁY»£Å�»�Õdº�»<Å ·aº�¹ Ú ¹�ÜÚ Ä�·aÀYÄÒÅ�ÃS»<¸yº�ÃEÂ-Å�»�æh»<º�Åç·aº`baEced ² ¸»�»¨Â�Ä�»o¶:¼S½�¹�Â�·3ÃGº!¸ ²MÍS´�ÌE³G¶ ¹Eº�Å ²MÍS´�ÌEÍG¶¶0´