log11 krp tkn

SPRYTNY GANGSTER

Czyli ABC logiki predykatów

www.logic.amu.edu.pl


PROBLEM POLICJI• PRL ma nowego gangstera,• Udało się go złapać,• Złożył następujące zeznanie:

Popełniłem wszystkie przestępstwa z użyciem dwustronnego kilofa.

W ostatnim napadzie na bank użyto dwustronnego kilofa.

Czy oskarżonego można na tej podstawie skazać za ostatni napad na bank?


PROBLEM POLICJIW klasycznym rachunku zdań:KRZ:

pqr

A więc nie wynika.Podejrzanego nie można skazać.


PROBLEM POLICJIKolejne zeznanie:

W naszym gangu są inteligentni mordercy.

Czy wystarcza to by podejrzewać, że ktoś z gangu popełnił morderstwo?


PROBLEM POLICJIW klasycznym rachunku zdań:

p (W naszym gangu są inteligentni mordercy)r (W naszym gangu jest przynajmniej jeden

morderca)

A więc nie wynika.Podejrzanego nie można skazać.


WNIOSEK

Będzie to Klasyczny Rachunek Predykatów (KRP), który zaprezentuje nam światowej klasy specjalista w tej sprawie Predykator Roztropny

PO CO MI TO?Jeżeli Antoni jest gangsterem, to

Antoni zginie od kuli.Antoni jest gangsterem.

Antoni zginie od kuli.Intuicyjnie: WynikaKRZ:

p→qpq

Wynika

Antoni jest gangsterem.Wszyscy gangsterzy giną od kuli.

Antoni zginie od kuli.

Intuicyjnie: WynikaKRZ:

pqr

Nie wynika



PO CO MI TO?1. Kleofas jest gangsterem.2. Janina jest gangsterem.3. Ktoś jest gangsterem.4. Wszyscy są

gangsterami.

W KRZ:pqrs

A jednak: Wszystkie te zdania orzekają o tej samej własności bycia gangsteremOrzekają więc to samo, choć o innych przedmiotach Zdania (1) i (2) orzekają coś o konkretnych indywidualnych osobach Zdania (3) i (4) orzekają ogólnie – o niektórych osobach lub o wszystkich osobach


PO CO MI TO?

Właśnie po to, żeby „widzieć” te różnice,BO logika predykatów: Pozwala wniknąć w głąb zdań prostych„Zauważa”, że nawet zdania bez

spójników prawdziwościowych mają złożoną strukturę

Pozwala bardziej dokładnie oddawać sensy wyrażeń języka naturalnego

PRZEKONANI?


Symbole w Klasycznym Rachunku Predykatów:1. Spójniki prawdziwościowe: ⋁, ⋀, ≡, →, ¬2. Zmienne indywiduowe: reprezentują

przedmioty danego rodzaju: x, y, z3. Stałe (indywidualne): a,b,c4. Predykaty: nazwy własności lub stosunków,

które przysługują przedmiotom danego rodzaju: P,Q,R…

5. Duży kwantyfikator: oznaczający dla każdego ∀

6. Mały kwantyfikator: oznaczający istnieje

taki…, że ∃


SPRÓBUJMY Z POZNANYMI ZDANIAMI•Antoni jest gangsterem.

G (x) – predykat: x jest gangsterem

a – stała indywidualna: AntoniG(a)

•Wszyscy gangsterzy giną od kuliK(x) – predykat: x ginie od

kuli ∀x (G(x) → K(x))


SPRÓBUJMY Z POZNANYMI ZDANIAMI

W naszym gangu są inteligentni mordercy.

G(x) – predykat: x jest w ganguI(x) – predykat: x jest inteligentnyM(x) – predykat: x jest mordercą

∃x (G(x) ⋀ I(x) ⋀ M(x))

.


SPRÓBUJMY Z POZNANYMI ZDANIAMIG(x) – predykat: x jest gangsterem1. Kleofas jest gangsterem.

G(k)2. Janina jest gangsterem.

G(j)3. Ktoś jest gangsterem.

∃x (G(x))4. Wszyscy są gangsterami.

∀x(G(x))


SPRÓBUJMY Z POZNANYMI ZDANIAMIPopełniłem wszystkie przestępstwa z użyciem dwustronnego kilofa.

p – stała indywiduowa: podejrzanyK(x) – predykat: x jest przestępstwem popełnionym z użyciem dwustronnego kilofaP(x,y) – predykat: x popełnił y

∀x(K(x) → P(p,x))W ostatnim napadzie na bank użyto

dwustronnego kilofa.b – stała indywidualna: ostatni napad na bank

K(b)


JESZCZE KILKA POJĘĆZMIENNA ZWIĄZANA:„Zmienna występująca w funkcji zdaniowej, którą poprzedza kwantyfikator opatrzony symbolem tej zmiennej”

(Stanosz 1985)Zmienna, której dotyczy

przynajmniej jeden poprzedzający ją

kwantyfikator.


JESZCZE KILKA POJĘĆZMIENNA WOLNA„Zmienna, która nie jest w danym wyrażeniu związana przez żaden kwantyfikator”

(Stanosz 1985)Zmienna, której nie dotyczy żaden pojawiający się przed nią kwantyfikator.


JESZCZE KILKA POJĘĆ

ZASIĘG KWANTYFIKATORA:„Wyrażenie α w dowolnej formule postaci ∀xn(α) lub ∃xn(α) nazywamy zasięgiem odpowiedniego kwantyfikatora.”

(Pogonowski 2008)


JESZCZE KILKA POJĘĆ

Kwantyfikatory wiążą mocniej niż spójniki zdaniowe, zatem(w uproszczeniu) jeżeli w danej formule NIE występują nawiasy, to kwantyfikatory wiążą tylko zmienne występujące bezpośrednio przy nich.


PORA ĆWICZEŃ

Załóżmy, że każda zmienna w poniższych formułach odpowiada jednemu przestępcy.Należy zwolnić tych, który nie są związani ;).1. ∀x P(x) → Q (x)2. ∀x (P(x,y) → ∃y(Q(x) ⋀ R(x,y)))3. ∃x (P(x) ⋀ ∀z(Q(z) → R(x,z)))4. ∃x (P(x) ⋀ ∀x(Q(y) → R(x,y)))5. ∀x ∃y (P(x) ⋀ Q(y)) → ¬ (R(x) ⋀ S(y))


PORA ĆWICZEŃAby zmagać się dalej z PRL musimy umieć przekładać na zapis logiczny ich nowe, sprytniejsze zdania:

1. Każdy popełnił przestępstwo.2. Nie wszyscy są uczciwymi obywatelami3. Nikt nie jest bez winy.4. Niektórzy są bezwzględnymi

przestępcami.


PORA ĆWICZEŃPora na nieco trudniejsze przykłady:1. Pospolici Złodzieje biegają szybciej od

Prawdziwych Mafiosów, ale Prawdziwi Mafiosi żyją dłużej od nich.

2. Niektórzy Smutni Mordercy płaczą głośniej od jakichkolwiek Wesołych Dusicieli.

3. Jeśli Pospolici Złodzieje biegają szybciej od Prawdziwych Mafiosów, to ich okradają.

4. Niektórzy Ponurzy Włamywacze są bardziej podobni do pewnych Specjalistów od Mokrej Roboty niż do jakichkolwiek Pospolitych Złodziei.


O drzewach semantycznych w KRP.


ZASADY dla spójników zdaniowych analogiczne jak w KRZ, czyli… problem kwantyfikatorów:

jeśli zostaniemy na poziomie zmiennych nie będziemy w stanie odpowiedzieć na żadne pytanie

dlatego poszczególne zmienne zastępujemy stałymi wg określonych zasad


ZASADYReguły dotyczące formuł z kwantyfikatorami:∀x A(x) – na danej gałęzi umieszczamy

wszystkie formuły postaci A(a) dla każdej stałej indywiduowej występującej na rozważanej gałęzi

∃x A(x) – na danej gałęzi umieszczamy formułę A(a), gdzie a jest nową stałą indywiduową, nie występującą dotąd na rozważanej gałęzi


ZASADYReguły dotyczące formuł z kwantyfikatorami:¬ ∀x A(x) – na danej gałęzi

umieszczamy formułę ¬ A(a), gdzie a jest nową stałą indywiduową, nie występującą dotąd na rozważanej gałęzi

¬ ∃x A(x) – na danej gałęzi umieszczamy wszystkie formuły postacie ¬ A(a) dla każdej stałej indywiduowej występującej na rozważanej gałęzi


ZADADY – kolejność działań1. „Zwykła” kolejność działań, czyli…2. Najpierw formuły egzystencjalnie

skwantyfikowane i negacje generalnie skwantyfikowanych;(wprowadzamy wszystkie potrzebne zmienne).

3. Następnie formuły generalnie skwantyfikowane i negacje egzystencjalnie skwantyfikowanych;(co wiemy o już wprowadzonych zmiennych)


ZASADY - notacja numerowanie formuł, jak w KRZ, czyli… oznaczanie operacji, jak w KRZ, czyli… a – pominięcie kwantyfikatora egzystencjalnego (lub negacji kwantyfikatora generalnego) i wprowadzenie w formule za tym kwantyfikatorem (lub w jej negacji) stałej indywiduowej a. *a – zastąpienie formuły generalnie skwantyfikowanej (lub negacji formuły egzystencjalnie skwantyfikowanej) przez formułę bez kwantyfikatora, ze stałą indywiduową a, zamiast zmiennej wiązanej przez ten kwantyfikator.


PRZYKŁADY ∃x∀y P(x,y)

∃x∀y(P(x) → ¬P(y))

(∃x P(x)→ ∃yQ(y)) → ∃x(P(x) → Q(x))


PORWANIECzyli tautologie, kontrtautologie i wynikanie

w KRP


ZŁA WIADOMOŚĆPRL bardzo się rozzuchwalił.Dziś w nocy dokonano brutalnego porwania jednego z policjantów.Obecnie przebywa on w nieznanym miejscu i jest w nienajlepszym stanie.


ZŁA WIADOMOŚĆNie zgłoszono żądań okupu.Na miejscu zbrodni została tylko jedna krótka informacja:

7 km na północ 12 km na południe

Jeżeli poniższa formuła jest tautologią, należy przemieścić się 7 km na północ.Jeżeli nią nie jest – 12 km na południe.

( xP(x) → xQ(x)) → x(P(x) → Q(x))∀ ∀ ∀


NA WSZELKI WYPADEK

„Formuła rachunku kwantyfikatorów jest tautologią

rachunku kwantyfikatorów zawsze i tylko wtedy, gdy jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań lub

funkcji zdaniowych”(Stanosz 1985)


ZŁA WIADOMOŚĆNie zgłoszono żądań okupu.Na miejscu zbrodni została tylko jedna krótka informacja:

7 km na północ 12 km na południe

Jeżeli poniższa formuła jest tautologią, należy przemieścić się 7 km na północ.

Jeżeli nią nie jest – 12 km na południe.

( xP(x) → xQ(x)) → x(P(x) → Q(x))∀ ∀ ∀


7 km na północ

Powrót na poprzednie miejsce i 12 km na południe

Sprawdź, czy masz rację.Następnie sprawdź, czy ta formuła

jest taulotogią:

∀x(P(x) →Q(x)) →( xP(x) → xQ(x))∃ ∃

Następnie wróć na poprzednie miejsce i udaj się 12 km na południe.


12 km na południe

3 km na wschód 21 km na zachód

Sprawdź, czy masz rację.BRAWO!

A teraz sprawdź, czy zachodzi wynikanie logiczne.

Jeżeli zachodzi – udaj się 3 km na wschód, jeżeli nie – wędruj wytrwale 21 km na

zachód.

Z pewnego policjanta śmieją się wszyscy policjanci.

Zatem jakiś policjant śmieje się sam z siebie.


NA WSZELKI WYPADEK

„Formuła A wynika logicznie ze zbioru formuł X, gdy (…) A jest

prawdziwa, w każdej interpretacji, w której

prawdziwe są wszystkie elementy zbioru X”

(Pogonowski 2007)


12 km na południe

3 km na wschód 21 km na zachód



Jeżeli zachodzi – udaj się 3 km na wschód, jeżeli nie – wędruj wytrwale 21 km na

zachód.

Z pewnego policjanta śmieją się wszyscy policjanci.

Zatem jakiś policjant śmieje się sam z siebie.


21 km na zachód

Właściwa droga


jest taulotogią:

¬ xP(x) ∀ ≡ x∃ ¬ P(x)

Następnie wróć na poprzednie miejsce i udaj się 3 km na wschód.


Najbliższy KościółBar Kwiatuszek



Jeżeli zachodzi – udaj się do najbliższego kościoła, jeżeli nie – poszukaj baru

Kwiatuszek.

Wszyscy siedzący na tej sali to studenci.Wśród studentów jest porywacz.

Wynika stąd, że wśród siedzących na tej sali jest porywacz.


Najbliższy Kościół

Właściwa droga


jest taulotogią:

¬ x∃ P(x) ≡ xP ∀ ¬ (x)

Następnie wróć na poprzednie miejsce i udaj się do baru

Kwiatuszek.


Bar Kwiatuszek

Bezzębna Staruszka Jednooki Bandyta



Jeżeli zachodzi – poszukaj Bezzębnej Staruszki, jeżeli nie – spróbuj odnaleźć

Jednookiego Bandytę.

Każdy lubi kogoś.Niektórzy lubią tylko tych, którzy ich nie

lubią.Zatem ktoś jest lubiany przez niesamoluba.


Jednooki Bandyta

Właściwa droga


jest taulotogią:

∃x (P(x) ⋀ Q(x)) →( x P(x) ∃ ⋀ x Q(x))∃

Następnie wróć na poprzednie miejsce i poszukaj Bezzębnej

Staruszki.


Bezzębna StaruszkaSprawdź, czy masz rację.BRAWO!


Jeżeli zachodzi – poszukaj rozwalonej szopy, jeżeli nie – stacji benzynowej.

Jeżeli ktoś jest miły dla Ziuty, to i Ziuta jest miła dla kogoś.

Każdy, kto jest przekupiony przez Wacka jest miły dla Ziuty.

Zatem, jeśli Wacek przekupił wszystkich , to Ziuta jest miła dla kogoś.

Rozwalona Szopa Stacja Benzynowa


Stacja Benzynowa

Właściwa droga

Sprawdź, czy masz rację.Następnie sprawdź, czy zachodzi

wnioskowanie dedukcyjne:Co najmniej jeden szczęśliwy jest bogaty, a są i tacy, którzy nie dość, że są zdrowi, to są jeszcze bogaci.

To oczywiste, że każdy kto jest zdrowy i bogaty jest też szczęśliwy.

W takim razie musicie przyznać, że są tacy, którzy są jednocześnie zdrowi i szczęśliwi.

Następnie wróć na poprzednie miejsce i udaj się do rozwalonej szopy.


Rozwalona Szopa


Uradowany kolegaUradowany kolega dziękuje za ocalenie

i zaprasza na zajęcia za tydzień.

BIBLIOGRAFIAJ. Pogonowski Wynikanie logiczne, źródło: www.logic.amu.edu.pl (04.07)B. Stanosz, Wprowadzenie do logiki formalnej. Podręcznik dla humanistów. PWN, Warszawa 1985.

Wszystkie zadania na podstawie: J. Pogonowski Wynikanie logiczne, źródło: www.logic.amu.edu.pl (04.07)

http://www.logic.amu.edu.pl/

http://www.logic.amu.edu.pl/

log11 krp tkn

Education