Locally normal space 7Wikipedia

Contents

1 Alexandrov topology 11.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 4

1.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Approach space 62.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Axiom 93.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Early Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Modern development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.1 Logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.2 Non-logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.3 Role in mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.4 Further discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii CONTENTS

3.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Baire space 174.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Baire space (set theory) 205.1 Topology and trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Relation to the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Base (topology) 226.1 Simple properties of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Objects dened in terms of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 Base for the closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.5 Weight and character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.5.1 Increasing chains of open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Bijection 267.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CONTENTS iii

7.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.10 Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.11 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.14 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Borel set 328.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Boundary (topology) 369.1 Common denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.4 Boundary of a boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10 Bounded set 4010.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 Boundedness in topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.4 Boundedness in order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11 Category (mathematics) 4311.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.3 Small and large categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.5 Construction of new categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11.5.1 Dual category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv CONTENTS

11.5.2 Product categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.6 Types of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.7 Types of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

12 Category of topological spaces 4912.1 As a concrete category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2 Limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.4 Relationships to other categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13 Category theory 5213.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

14 Cauchy sequence 6214.1 In real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2 In a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

14.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CONTENTS v

14.3.2 Counter-example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3.3 Counter-example: open interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.3.4 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4.1 In topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4.2 In topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4.3 In groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4.4 In constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4.5 In a hyperreal continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

14.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

15 Clopen set 6715.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16 Closed set 6916.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

17 Closure (topology) 7117.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

17.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7117.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

17.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7317.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

18 Compact space 75

vi CONTENTS

18.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7718.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

18.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7718.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

18.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

18.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8018.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

18.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8118.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19 Compact-open topology 8419.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

20 Comparison of topologies 8620.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8620.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8620.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8620.4 Lattice of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8720.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8720.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8720.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

21 Complement (set theory) 8821.1 Relative complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8821.2 Absolute complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8921.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021.4 Complements in various programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

22 Complete metric space 93

CONTENTS vii

22.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9322.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.3 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.4 Topologically complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.5 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9622.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

23 Complex plane 9723.1 Notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.2 Stereographic projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9923.3 Cutting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

23.3.1 Multi-valued relationships and branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10023.3.2 Restricting the domain of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.3.3 Specifying convergence regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

23.4 Gluing the cut plane back together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.5 Use of the complex plane in control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.6 Other meanings of complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.7 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

24 Connected space 10624.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

24.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

24.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10824.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11224.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11224.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

24.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

viii CONTENTS

25 Consistency 11425.1 Consistency and completeness in arithmetic and set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11425.2 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

25.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.2.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.2.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.2.4 Henkins theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.2.5 Sketch of proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

25.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11725.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

26 Continuous function 11826.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

26.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12126.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12426.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12526.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

26.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12726.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

26.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12826.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13026.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13126.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13226.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

26.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13226.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13326.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13326.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

27 Contractible space 13527.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13527.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13527.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13527.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

28 Cosmic space 13728.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13728.2 Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CONTENTS ix

28.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13728.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29 Countable set 13829.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.4 Formal denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.5 Minimal model of set theory is countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14429.6 Total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14429.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14529.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14529.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14529.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

30 Cover (topology) 14630.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14730.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14730.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14730.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

31 Dense set 14931.1 Density in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15031.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15031.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15031.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

31.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.6.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

32 Dense-in-itself 15232.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15232.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

33 Development (topology) 15333.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

34 Discrete space 15434.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

x CONTENTS

34.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15434.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.4 Indiscrete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.5 Quotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

35 Disjoint sets 15735.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15735.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15835.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15835.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15935.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15935.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15935.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

36 Disjoint union 16136.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16136.2 Set theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16136.3 Category theory point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16236.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16236.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

37 Dispersion point 16337.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

38 Dunce hat (topology) 16438.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16538.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

39 Empty set 16639.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16639.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

39.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16939.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

39.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16939.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16939.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

39.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17039.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17039.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

39.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17139.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

CONTENTS xi

39.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17139.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

40 Filter (mathematics) 17240.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17340.2 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17340.3 Filter on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

40.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17440.3.2 Filters in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17440.3.3 Filters in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

40.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17740.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17740.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

41 Final topology 17841.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17841.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17841.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17941.4 Categorical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18041.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18041.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

42 Fine topology (potential theory) 18142.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18142.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18142.3 Properties of the ne topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18142.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

43 Finite set 18343.1 Denition and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18343.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18343.3 Necessary and sucient conditions for niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18443.4 Foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18543.5 Set-theoretic denitions of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

43.5.1 Other concepts of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18643.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18643.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18643.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18743.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

44 First-countable space 18844.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18844.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

xii CONTENTS

44.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18944.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

45 F set 19045.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19045.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19045.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

46 Generic point 19146.1 Denition and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19146.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19146.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19146.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

47 G set 19347.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19347.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19347.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

47.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19447.4 G space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19447.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19447.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19447.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

48 H-closed space 19648.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19648.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19648.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

49 Hausdor space 19749.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19749.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19849.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19849.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19849.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19949.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19949.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20049.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20049.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20049.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20049.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

50 Hereditary property 20150.1 In topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

CONTENTS xiii

50.2 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20150.2.1 Monotone property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

50.3 In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20250.4 In matroid theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20250.5 In set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20250.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

51 Hilbert manifold 20451.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20451.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20451.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20551.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20551.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

52 Homeomorphism 20652.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20652.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

52.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20752.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20852.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20852.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20952.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20952.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20952.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

53 Homogeneous space 21053.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

53.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21153.2 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21153.3 Homogeneous spaces as coset spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21253.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21253.5 Prehomogeneous vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21253.6 Homogeneous spaces in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21353.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21353.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

54 Homotopy 21454.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

54.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21654.2 Homotopy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

54.2.1 Null-homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21654.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21654.4 Relative homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

xiv CONTENTS

54.5 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21754.6 Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21754.7 Timelike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21754.8 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21754.9 Extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21854.10Isotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21854.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21854.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21854.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21954.14Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

55 Hyperconnected space 22055.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22055.2 Hyperconnectedness vs. connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22055.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22055.4 Irreducible components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22155.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22155.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

56 Identity function 22256.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22356.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22356.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22356.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22356.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

57 If and only if 22457.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22457.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

57.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22457.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22557.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

57.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22557.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22657.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22657.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22657.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

58 Image 22758.1 Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22758.2 Imagery (literary term) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22758.3 Moving image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22858.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

CONTENTS xv

58.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22858.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

59 Image (mathematics) 23259.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

59.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23359.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23359.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

59.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23359.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

59.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23359.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23359.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

59.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23459.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23459.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23559.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23559.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

60 Inmum and supremum 23660.1 Inma of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23760.2 Inma in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23760.3 Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

60.3.1 Supremum of a set of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23860.3.2 Suprema within partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23960.3.3 Comparison with other order theoretical notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24060.3.4 Least-upper-bound property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

60.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24160.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24160.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

61 Injective function 24261.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24361.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24461.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24761.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24761.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24761.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24861.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24861.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24961.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24961.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

xvi CONTENTS

62 Interior (topology) 25062.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

62.1.1 Interior point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25162.1.2 Interior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

62.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25162.3 Interior operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25262.4 Exterior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25262.5 Interior-disjoint shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25362.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25362.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25362.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

63 Isolated point 25563.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25663.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25663.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

64 Kolmogorov space 25764.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25764.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

64.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25764.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

64.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25864.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25864.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25964.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

65 Kuratowski closure axioms 26065.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26065.2 Connection to other axiomatizations of topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

65.2.1 Induction of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26065.2.2 Induction of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26165.2.3 Recovering notions from topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

65.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26165.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26165.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26165.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

66 Limit point 26266.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26266.2 Types of limit points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26266.3 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26366.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

CONTENTS xvii

66.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

67 Lindelf space 26567.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26567.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26567.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26567.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26667.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26667.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26667.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

68 Locally compact space 26768.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26768.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

68.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26868.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26868.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26868.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

68.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26968.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26968.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

68.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27068.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

69 Locally connected space 27169.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27269.2 Denitions and rst examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

69.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27369.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27369.4 Components and path components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

69.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27469.5 Quasicomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

69.5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27469.6 More on local connectedness versus weak local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27569.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27569.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27569.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27669.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

70 Locally nite collection 27770.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

70.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27770.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

xviii CONTENTS

70.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27870.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27870.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

71 Locally Hausdor space 27971.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

72 Locally normal space 28072.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

73 Locally regular space 28273.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28273.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28273.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28273.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

74 Loop (topology) 28374.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28374.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

75 Mathematical analysis 28575.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28675.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

75.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28775.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

75.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28875.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28875.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28875.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28875.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28875.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28975.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

75.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28975.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

75.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29075.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29075.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

75.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29075.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

CONTENTS xix

75.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29275.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

76 Meagre set 29376.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

76.1.1 Relation to Borel hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29376.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29376.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29476.4 BanachMazur game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29476.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

76.5.1 Subsets of the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29476.5.2 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

76.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29476.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29476.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

77 Metric space 29677.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29677.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29677.3 Examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29777.4 Open and closed sets, topology and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29877.5 Types of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

77.5.1 Complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29877.5.2 Bounded and totally bounded spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29977.5.3 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30077.5.4 Locally compact and proper spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30077.5.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30077.5.6 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

77.6 Types of maps between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30077.6.1 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30177.6.2 Uniformly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30177.6.3 Lipschitz-continuous maps and contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30177.6.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30277.6.5 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

77.7 Notions of metric space equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30277.8 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30277.9 Distance between points and sets; Hausdor distance and Gromov metric . . . . . . . . . . . . . . 30377.10Product metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

77.10.1 Continuity of distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30377.11Quotient metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30477.12Generalizations of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

77.12.1 Metric spaces as enriched categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

xx CONTENTS

77.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30577.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30577.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30677.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

78 Metrization theorem 30778.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30778.2 Metrization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30778.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30878.4 Examples of non-metrizable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30878.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30878.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

79 Morphism 30979.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30979.2 Some special morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31079.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31179.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

80 Neighbourhood system 31280.1 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31380.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

81 Normal space 31481.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31481.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31581.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31581.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31681.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31681.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31681.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

82 Open and closed maps 31782.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31782.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31782.3 Open and closed mapping theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31882.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

CONTENTS xxi

82.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

83 Partially ordered set 32083.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32183.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32183.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32183.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32283.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32283.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32383.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32383.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32383.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32483.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32583.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32583.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32583.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32583.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32683.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32683.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

84 Power set 32784.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32784.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32884.3 Representing subsets as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32884.4 Relation to binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32984.5 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32984.6 Subsets of limited cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32984.7 Power object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33084.8 Functors and quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33084.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33084.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33084.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33184.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

85 Quotient space (topology) 33285.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33385.2 Quotient map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33385.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33385.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33485.5 Compatibility with other topological notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33585.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

xxii CONTENTS

85.6.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33585.6.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

85.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

86 Regular space 33686.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33686.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33786.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33786.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33886.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

87 Separable space 33987.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33987.2 Separability versus second countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33987.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34087.4 Constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34087.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

87.5.1 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34087.5.2 Non-separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

87.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34187.6.1 Embedding separable metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

87.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

88 Separated sets 34388.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34388.2 Relation to separation axioms and separated spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34488.3 Relation to connected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34488.4 Relation to topologically distinguishable points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34488.5 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

89 Separation axiom 34589.1 Preliminary denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34589.2 Main denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34689.3 Relationships between the axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34789.4 Other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34789.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34889.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34889.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

90 Sigma-algebra 35190.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

90.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35190.1.2 Limits of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

CONTENTS xxiii

90.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35290.2 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

90.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35390.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35390.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35390.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35490.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35490.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

90.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35590.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35590.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

90.4 -algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35590.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35590.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35590.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35690.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35690.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35690.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35790.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

90.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35790.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35890.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

91 Subharmonic function 35991.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35991.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35991.3 Subharmonic functions in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

91.3.1 Harmonic majorants of subharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36091.3.2 Subharmonic functions in the unit disc. Radial maximal function . . . . . . . . . . . . . . 360

91.4 Subharmo