LM100 Méthodes de calculs et Statistiques

2007-2008 Examen du 28 mai 2008

(durée 2 heures)

Epreuve SANS document et SANS calculatrice

Les téléphones portables doivent être éteints.

Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.

I. Analyse

I.1 Etude de fonction

La fonction U(x) ci-dessous permet de modéliser le déplacement d’une masse M le long d’un

axe (Ox) :

!

U(x) = Ca2

4+ x

2 " a#

$ % %

&

' ( (

2

où C et a sont des constantes réelles strictement positives dépendant de la nature de cette

masse.

I.1.1 Etudier cette fonction U(x).

I.1.2 Préciser ses extrema, ses limites.

I.1.3 Donner l’allure de la fonction U(x).

I.2 Calculer les intégrales et primitives suivantes :

I.2.1 Calculer l’intégrale de

!

xexdx

0

1

" (on utilisera la méthode de l’intégration par parties).

I.2.2 Calculer pour

!

x " ±1, la primitive de

!

x2

1" x 2dx# (on utilisera la méthode du

changement de variable en utilisant les propriétés particulières des fonctions trigonométriques

cos(x) et sin(x)), puis donner son expression en fonction de x.

I.3 Différentielles

I.3.1 Donner l’expression de la différentielle totale d’une fonction F(x,y).

I.3.2 Soit l’expression différentielle suivante :

!

"Q(x,y) =ydx # xdy

(x # y)2

I.3.2.1 Quelle(s) condition(s) doit-on vérifier pour que cette différentielle soit une

différentielle totale ?

I.3.2.2

!

"Q(x,y) est-elle une différentielle totale ? Si oui, déterminer la fonction Q(x,y) dont

elle dérive.

I.4 Equation différentielle

On modélise l’évolution d’une population par une équation différentielle de la forme :

!

dN

dt+ 3N = ae

"t

où a est une constante réelle positive et γ une constante réelle strictement supérieure à –3.

I.4.1 Déterminer l’expression de la fonction N(t) dans le cas où a=0. On posera comme

condition intiale, N(t=0)=No .

I.4.2 Chercher une solution particulière de l’équation avec second membre (a≠0) sous la

forme

!

be"t (exprimer b et β). Donner alors l’expression de la solution complète de cette

équation avec second membre (on a toujours comme condition initiale N(t=0)=No ). (on

pourrait aussi trouver cette même forme de solution en utilisant la méthode de variation de la constante, mais ici

le calcul complet n'est pas nécessaire car on connait la forme de la solution a priori) I.4.3 Quelle est l’avenir de cette population (

!

t" +# ) lorsque γ = 0 et γ = -1 ? Dessiner dans

le cas γ = 0 la fonction N(t) (qualitativement).

II. Probabilités et statistiques II.1 Histoire d’Hôpital

Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en 3 catégories : les médecins, les soignants

(non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).

12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants

67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.

II.1.1 On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.

a) quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?

b) quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?

c) on sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une

femme AT. En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la

personne interrogée fait partie du personnel AT.

II.1.2 Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent

dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle

choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il

s’agit de 40 tirages successifs indépendants et identiques).

Donner l’expression de la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient

reçus par des médecins ? (on ne cherchera pas à l’évaluer numériquement)

II.2 La pollution : un véritable fléau

Au cours d’une étude sur l’impact de la pollution par le mercure sur différentes espèces de

poissons dulçaquicoles, il a pu être montré que la concentration en mercure chez la perche

adulte était distribuée selon une loi normale d’espérance µ = 1,12 µg.g-1. Calculer son écart-

type sachant que 40% de la population de perches présentent une concentration en mercure

supérieure à 1,234 µg.g-1.