livro - princípios de física - cap 4

5/10/2018 Livro - Princípios de Física - Cap 4 - slidepdf.com

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capitulo

4

Urna locornotiva puxa os vagoes

de um longo tram. A acelera~ao

de urn dado va.gao depende das

toreas entre este vagao e as dais

vagoes vizinhos, urn que esta a

frente e outro atras,

(l3J" IlCIJ Hands/S/( ;> i IJ )

SUmi§lrio do Capitu.lo

4.1 0 Conceito de Forca

4.2 A Primeira Lei de Newton

4.3 Massa Inercial

4.4 A Segunda Lei de Newton -

A Parttcula sob a Acao de

uma Forca Resultante

4.5 A Forca Gravitacional e 0

Peso

4.6 A Tercetra Lei de Newton

4.7 Aplicacoes da s Leis de

Newton

4.8 Conexao com 0Contexto-

Controlando a Nave

Espacial no Espaco Vazio

Resumo

108

As Lels do Movimento

os dois capitulos anteriores sobre cinernatica, descrevemos 0

mento de particulas baseados nas definicoes de posicao, velocid

aceleracao, Deixando de lado nossa discussao da gravidade pa

pos em queda livre, nao tratamos do que leva urn corpo a se moforma. como 0 faz, Costariamos de ser capazes de responder a questoes gera

cionadas as causas dos movimentos, tais como "qual mecanismo gera rnudanc

movimento?" e "por que alguns corpos aceleram a taxas mais elevadas que o

Neste primeiro capitulo sabre diniimica, descreveremos a mudanca no movi

de partfculas utilizando os conceitos de forca e de massa. Discutirernos, en

tres leis fundamentais do movimento, que sao base ad as em observacoes exper

tais e foram forrnuladas cerca de tres seculos arras pOf Sir Isaac Newton.

4.1 • 0 CONCEITO DE FOAQA

Todo mundo tem urna compreensao basica do conceito de forca como res

de experiencias diarias, Quando voce empurra ou puxa urn corpo, voce

forca sobre ele. Voce exerce uma forca quando joga ou chuta uma bola.

exemplos, a palavra [orca esta associada ao resultado da atividade muscular

guma mudanca no estado de movimento de urn corpo. Contudo, forcas nem

pre geram movimento em urn corpo. Por exemplo, enquanto voce esta s

lendo este livre, a forca gravitacional age sobre seu corpo, e apesar disso vo

manece estacionario. Voce pode empurrar urn grande bloeo de pedra e

disso nao conseguir move-lo,



CAPiTULO 4

Forcas de coruato Forcas de campo

(a) (d)

(b) (c)

,--------,1 I

! f F e r r ~ ~ . . . . , _ ! - ~,'- -I

~ - - - - - - - - ;

(e) (1 )

........ 4.1

A lg un s e xem pl os d e fo rcas ap licad as a v aries co rp os. E rn cad a caso urna forca e e xe rc id a s ob re a p artfc ul a

ou corpo demro da area tracejada, 0 meio ambiente externo a area uacejada fomece essa forca,

Este capitulo !ida com a relacao entre a forca sobre urn corpo e a mudanca no

movimento desse corpo. Se voce puxa uma mala, como na Figura 4.1a, a mola es-

tica, Se a mola esta calibrada, a distancia que ela estica pode ser utilizada para

medir a intensidade da forca. Se uma crianca puxa urn carrinho, como na Figura

4.1b, 0 carrinho se move. Quando uma bola de futebol norte-americana e chu-

tada, como na Figura 4.1c, ela e deformada e colocada em movimento. Todos esses

sao exemplos de uma cJasse de forcas chamada [ or ca s d e con uuo. Isto e, eles repre-

sentam 0resultado do contato fisico entre dois corpos.

Outra c1asse de forcas, que nao envolve contato fisico entre dois corpos, mas

que age atraves do espa~o vazio, e formada pel as forcas conhecidas como forces de

campo. A forca gravitacionall"entre dais corpos que causa a aceleracao de queda

livre descrita nos Capftulos 2 e 3 e urn exemplo dessa classe de forcas, e esta

ilustrada na Figura 4.ld, Essa forca gravitacional mantem os corpos ligados a Terra

e da origem ao que chamamos comumente peso de um corpo. Os plan etas de

nosso sistema solar estao ligados pela acao de forcas gravitacionais, Outro

exemplo cornum de uma forca de campo e a forca eletrica que uma carga eletrica

exerce sobre outra carga eletrica, como na Figura 4.1e. Essas cargas podem ser um

eletron e um proton formando urn atomo de hidrogenio, Urn terceiro exemplo de

uma forca de campo e a forca que um fma exerce sobre um pedaco de ferro,

como mostrado na Figura 4.1 f.

A distincao entre forcas de contato e forcas de campo nao e tao precisa

quanto voce pode ter sido levado a acreditar pela discussao precedente. Verifica-se

no nivel atomico, que todas as forcas classificadas como forcas de cantata sao devi-

< l a s a forcas (de campo) eletricas do tipo mostrado na Figura 4.1e. Apesar disso, na

As Leis do Movimenlo

• Forcos de contato

• Forcas de campo



110 P rmc ip i os d eF i s ic a

(a)

Flgurll 4.2

(b) (e) (eI)

A natureza vetorial de urna forca e testada com uma balanca de rnola. (a) Uma forca vertical para

F, estica a mola 1,00 ern. (b) Uma forca vertical para baixo F2 esuca a mola 2,00 em. (e) Quando

F2 sa o aplicadas simultanearnente, a mota estica 3,00 em. (el l Quando F, aponta para baixo e F2

zontal, a cornbinacao das duas molas estica a mola ,j { 1,00)2 + (2,00)2 = , f 5 , O O em,

compreensao dos fenomenos rnacroscopicos e conveniente utiIizar as duas cl

cacoes de forcas,

Algumas vezes e conveniente utilizar a deformacao linear de uma mola

medir forca, como no caso de uma balanca de mola comum. Suponha que

forca seja aplicada verticalmente sobre uma mola que tern uma extremidade

rior fixa, como na Figura 4:2a. Podemos calibrar a mola definindo a unidadforca F 1 como a forca que produz uma elongacao de 1,00 ern. Se uma forc

aplicada como na Figura 4.2b, produz uma elongacao de 2,00 em, 0modulo

e de 2,00 unidades. Se as duas forcasF, e F2 sao aplicadas simultaneamente,

na Figura 4.2e, a elongacao da mola e de 3,00 em, pois as forcas sao aplicada

mesma direcao e seus modules adicionam-se, Se as duas forcas F1 e F2 sao

cadas em diret;:6es perpendiculares, como na Figura 4.2d, a elongacao

~(1,00)2 + (2,00)2 em = ...)5,00em = 2,24 em A forca {mica F que produ

essa mesma elon ac;ao e a soma vetorial de F1 e F 2, como descrito na Figura

Isto e, I F I = F]2 + Fl = 2,24 unidades, e sua direcao e 8= tg-J (-0,500) = -2

Como se verificou experimentalmente que as forcas se comportam como ve

voce tem de usar as regras da adicao vetorial para obter a forca resultante

umcorpo.

4.2 • A PRIMEIRA LEI DE NEWTON

Antes dos idos de 1600 os cientistas pensavam que 0estado natural da materi

o estado de repouso, pois corpos em movimento sobre a Terra tendiam a

pouso se uma forca nao era mantida sobre eles. (Hoje, e claro, reconheeemoso atrito pode fazer que urn corpo em movimento chegue ao repouso.) G

adotou urn enfoque diferente para 0 movimento e para 0 estado natura

materia. Ele imaginou experiencias conceituais, tais como a de urn corpo



CAPiTULO 4

movimento sobre urna superficie sern atrito, e concIuiu que a natureza de urn

corpo nao e a de parar urna vez colocado em movimento; em vez disso, a natureza

de urn corpo e de resistir a mudancas em seu movirnento. Em suas palavras, "Qual-

quer velocidade, uma vez fornedda a urn corpo em movimento, sera rigidamente

man tida enq uan to forem removidas as causas externas de retardacao",

Esse novo enfoque do movimento foi formalizado mais tarde por Newton emurna afirmacao que ficou conhecida como a primeira lei do movimento de Newton:

Na ausencia de forcas externas, urn corpo em repouso perrnanece em

repouso e urn corpo em movimento perrnanece em movimento com ve-

locidade constante (isto e , com velocidade escalar constante em urna

linha reta).

Em termos mais simples, podernos dizer que quando nio agem forcas sobre

um corpo, sua aceleracao e nula. Assim, urn corpo tern tendencia a manter seu es-

tado original de movimento na ausencia de uma forca, Essa tendencia e chamada

inercia, e a primeira lei de Newton e chamada algumas vezes lei da inercia. Nao e

urna experiencia comum observar a prirneira lei de Newton, pois e dificil eliminarcompletamente todas as forcas sobre urn corpo, especialmente as forcas de atrito.

Urn exemplo de movimento quase uniforme em urn plano aproximadamente

sem atrito e 0movimento de urn disco leve sobre urna camada de ar; como na

Figura 4.3. Se e dada uma velocidade inicial ao disco, ele cobre uma grande distan-

cia antes de parar. Essa ideia e usada no jogo de h6quei de ar, no qual 0 disco faz

muitas colisoes com as paredes da mesa de h6quei de ar antes de chegar ao repouso.

Considere uma nave espacial viajando no espac;:o,bern distante de quaisquer

planetas ou de outra materia. A nave espacial necessita de algum sistema de

propulsao para mudar sua velocidade. Contudo, se 0 sistema de propulsao e desli-gado quando a nave espacial atinge uma velocidade v, a nave espacial vai "flutuar"

no espaco com essa velocidade, e os astronautas aproveitarao urna "viagern de gra-

ca" (isto e, nenhum sistema de propulsao e necessario para mante-los em movi-

mento na velocidade v).

Finalmente, lernbre-se de nossa discussao no Capitulo 2 sobre a proporciona-

lidade entre forca e aceleracao:

FlXa

A prime ira lei de Newton nos diz que a velocidade nolomuda se nenhuma forca age

sobre urn corpo - 0corpo man tern seu estado de rnovimento. A proporcionalidade

anterior nos diz que, se urna forca age, ocorre entao uma mudanca no movimento,

medida pela aceleracao, Essa nocao formaci a base da segunda lei de Newton, e

logo forneceremos mais detalhes sobre esse conceito.

Referenciais Inerciais

A primeira lei de Newton define urn conjunto especial de sistemas de referenda

charnado referenciais inerciais, Um sistema de referenda inercial e aquele no quala primeira lei do movimento de Newton e valida. Por exemplo, suponha que voce

esteja em urn trem em movimento perfeitarnente suave, observando urn disco de

h6quei de ar estacionario em uma mesa de h6quei de ar perfeitamente plana em

funcionamento. Se 0 trem estivesse em rnovimento com velocidade constante,

voce veria 0disco permanecer em repouso, obedecendo a primeira lei de Newton.

Contudo, se 0 trem acelerasse na direcao da dianteira, voce veria 0 disco ser ace-

lerado em direcao aos fundos do trem - a mesrna coisa acontece quando alguma

coisa escorrega do paine! do seu carro ao voce apertar 0 acelerador. 0 trern em

A s L eis do Mooimento

Isaac Newton (1642-1 727

Fisico e maternatico ingles

dos cientistas m a r s brilhan

hlstoria, Antes dos 30 anoformulou os conceitos e le

cos da rnecanica, descobri

da gravitac;:ao universal e

os rnetocos rnatematlcos

calculo, Como conssqusnc

suas teorias, Newton foi c

explicar as movimentos d

tas, a subida e descida da

e muitas caracterfsticas es

dos movimentos da Lua e

Terra. Ele tarnbern interpre

muitas observac;:6es funda

relativas a natureza da luz

contribuic;6es para as teorffsicas dominaram 0 pensa

cientifico por dois ssculos

permanecem importantes

dia. (Gimurioll/ A ,-1 Rf!.lQll'rre)

v" constant-

'Igura 4.3

o hoquei de ar uuliza a prim

de Newton para tornar 0jogo

ernocionarue. Urn disco em

memo em urn colchao de ,11

aproximacao de movimento

uniforrne, isto e. 0 rnovimentoqual a aceleracao e nula.



112 Pnncipios de Fisica

P REVEN< ;:A O D E ARMADI LH A 4.1

A primeira lei de Newton

A primeira lei de Newton

'IIao diz 0 que acontece

para urn corpo com jor,u

resuitante nula, isto e, varias

forcas que se cancelam; elao que acontece na ausincia de 1I1IIa

[orca. Essa diferenca sutil, mas irnpor-

tame, nos permite definir forca como

aquilo que causa uma mudanca no

rnovimento. A descricao de urn corpo

sob a ao; ;a o de forcas que se equilibram

e coberta pela segunda lei de Newton.

• Massa inercial

movimento com velocidade constante representa urn referendal inercial, 0 d

em repouso permanece em repouso, e a primeira lei de Newton e satisfeita

trem acelerado nao e urn referendal inercial. De acordo com voce como ob

vador no trem, nao ha forca sobre 0disco, e apesar disso ele acelera a partir do

pouso em direcao aos fundos do trem, violando a primeira lei de Newton.

Qualquer sistema de referencia em movimento com velocidade constante

relacao a urn referendal inercial e, ele proprio, urn referendal inercial. A Terra

e urn referendal inercial devido a seu movimento orbital ao redor do Sol e a

movimento de rotacao ao redor de seu proprio eixo, esses do is movimentos re

sentarn aceleracoes centripetas. Enquanto a Terra percorre sua' trajetoria apr

madamente circular ao redor do Sol, ela tern uma aceleracao centrfpeta de cerca

6,0 X 1O-3m/s2 em direcao ao Sol, como encontrado no Exemplo 3.5. Alern d

como a Terra gira ao redor de seu proprio eixo uma vez a cada 24 h, urn ponto

equador tern aceleracao centripeta adicional de 3,4 X lW2 m/s2 em direcao ao

tro da Terra. Contudo, essas aceleracoes sao pequenas comparadas com g, e pod

muitas vezes ser desprezadas ~ isto e urn modelo de simplificacao, Na maioria

situacoes modelaremos urn sistema de referenda na superficie da Terra ou proxi

deia como urnreferencial inercial.

tpossivel haver movimento na ausencia de uma forca? tpossivel haver forca

ausencia de movimento?

(a) Urn corpo acelera se uma forca unica age sobre ele? (b) Se urn corpo tern

leracao, uma forca esta agindo sobre ele? (c) Se urn corpo nao tem acelerac

nenhuma forca esta agindo sobre ele?

4.3 • MASSA INERCIAL

Suponha que outra pessoa esteja jogando uma bola de basquete ou de boli

para voce, Se as duas bolas estao vindo em sua direcao com a mesma velocida

qual seria mais facil de agarrar? Qual seria mais dificil de arremessar? A bola

boliche tern mais massa que a de basquete, assim sera mais dificil de agarra-la

arrernessa-la. Quando voce agarra ou lanca a bola, voce esta modificando seu

vimento, A primeira lei de Newton nos diz que se nao tentamos modificar 0m

mento de urn corpo (isto e , se nao aplicamos forca sobre ele), entao, seu movime

perrnanece uniforme. E 0que acontece se tentamos modificar seu movimento

cando uma forca sobre 0corpo, assim como fazemos com a bola de basquete

de boliche? Descobrimos que 0 corpo resiste a essa mudanca, Quantificamos

resistencia como a massa do corpo, e, em particular, chamamos isso massa inercA massa inercial e a medida da resistencia de um corpo a wna mudanea no m

mento em resposta a uma forca externa. A bola de boliche tem mais massa i

cial que a bola de basquete, assim, e mais dificil modificar 0movimento da bola

boliche agarrando-a ou arremessando-a, A definicao de massa inercial e difere

da definicao de massa gravitacional, que discutiremos mais tarde neste capitu

mas elas tern 0mesmo valor, assim chamaremos as duas simplesmente de massa

Uma medida quantitativa de massa pode ser obtida comparando-se as ac

racoes que uma dada forca produz em .corpos diferentes. Suponha que uma f

agindo sobre urn corpo de massa m] produz uma aceleracao a], e que a me sma f



CAPiT LO 4

agindo sobre urn corpo de massa 1 7 / ; . 2produz uma aceleracao a 2 . A r a z a o das duas

massas e definida como a razao inoersa dos m6dulos das aceleracoes produzidas

pela mesma forca:

~= a2

ni'l al[4.1]

Se uma massa for padrao e conhecida - digamos, 1 kg - a massa do corpodesconhecido pode ser obtida a partir de medidas de aceleracao. Par exemplo, se

o corpo-padrao de I kg tern aceleracao de 3 m/s2 sob a influencia de alguma

forca, urn corpo tendo urna aceleracao de 1,5 m/s2 sob a acao da mesma forca tern

massa de 2 kg.

A massa e uma propriedade intrinseca de urn corpo, independentemente do

ambiente ao redor do corpo e do metodo utilizado para medi-la. t urn fato experi-

mental que a mass a e uma grandeza escalar, Como uma grandeza escalar, a massa

obedece as regras da aritmetica comurn, Isto e , varias mass as podem ser combi-

nadas de forma numerica simples - se voce combinar uma massa de 3 kg com uma

de 5 kg, a massa total e de 8 kg. Isso pode ser verificado experimentalmente com-

parando-se a aceleracao de cad a corpo produzida por uma forca conhecida com a

aceleracao do sistema combinado utilizando a mesma forca.Massa nao deve ser confundida com peso. Massa e peso sao grandezas diferentes.

o que chamamos peso de um corpo e igual ao m6dulo da forca gravitacional exercida

pelo planeta onde 0 corpo esta localizado. Por exemplo, uma pessoa que pesa 180 li-

bras na Terra pesa apenas cerca de 3 0 libras na Lua. POl' outro lado, a massa de urn

corpa e a mesma em todo lugar. Urn corpo dado exerce uma quantidade fixa de re-

sistencia a rnudancas no movimento, independentemente de sua localizacao. Um

corpo com massa de 2 kg na Terra tarnbem tern uma massa de 2 kg na Lua.

4.4 • A SEGUNDA LEI DE NEWTON - A PARTfCULA

SOB A ACAO DE UMA FORCA RESULTANTE

A primeira lei de Newton explica 0 que acontece a urn corpo quando nenhuma

forca ,age sobre ele: ele permanece em repouso ou em movimento em uma linha

reta com velocidade constante. Isso nos permite definir urn sistema de referencia

inercial. Tambern nos permite identificar forca como aquilo que modifica a movi-

menta. A segunda lei de Newton responde a questao do que acontece a urn corpo

que tern uma forca resultante nao nula agindo sobre ele, com base em nossa dis-

cussao sobre massa na sepia precedente.

Imagine que voce esteja empurrando urn bloco de gelo par uma superficie

horizontal sem atrito, Quando voce exerce alguma forca horizontal F, 0 bloco se

desloca a certa aceleracao a. As experiencias mostram que, se voce aplicar uma for-

~a duas vezes maior ao mesmo corpo, a aceleracao dobra. Se voce aumentar aforca aplicada para 3F, a aceleracao original triplica, e assim pOl' diante. A partir

dessas observacoes, concluimos que a aceleracao de urn corpo e diretamente pro-

porcional a forca resultante agindo sobre ele. Referimo-nos a essa propriedade em

nossa discussao sabre aceleracao no Capitulo 2. Estamos agora prontos para esten-

del' essa.discussao.

Essas observacoes e aquelas na Secao 4.3 relacionando massa e aceleracao es-

cia resumidas na segunda lei de Newton:

A aceleracao de urn corpo e diretamente proporcional a forca resultante

agindo sobre ele e inversarnente proporcional a sua massa.

A s L eis d o M o uim eru o

WEBPara urn "Museu virtual sabre

Isaac Newton e a hist6ria da

cia". visite www.newton.org.u

• Massa e p eso siio grandeza

diferentes

PREVENyAO DE ARMADllHA

Forc;:a e a causa das mudanc;

movimento

Certifique-se de que

claro para voce 0pa

forca. Muitas vezes a

dames cornetem 0epensar q Lie a forc

causa do rnovimento. Mas po

ter movirnento na ausencia de

como descrito na primcira

Newton. Certifique-se de corn

del" que forca e a causa de mu

no movimenro.

http://www.newton.org.uk/

http://www.newton.org.uk/



114 Principio« de Fisica

• Segunda le i de Newlon

PREVENCfAO DE ARMADILHA 4.3

m a n a o e urna forca

A Equacao 4.2 niio diz que

o produto 'lila e urna forca.

Todas as forcas sobre lim

corpo gao adicionadas ve-

torialmente para gerar a

forca resuliante no lado

esquerdo da equacao. A forca resul-

tante e entao igualada ao produto da

rnassa do corpo com a aceleracao oca-

sionada pela forca resultante. Niio in-

clua uma "Iorca ma" ern sua analise.

PREVENCfAO DE ARM4DILHA 4.4

A segunda lei de Newton

o protoco!o para utilizar a

segunda lei de Newton e

adicionar vetorialrnente 10 -

das as forcas sobre 0corpo

e entao encontrar a ace-

resultante, N(io encorure ace-

leracoes individuals para cada forca e

en tao adicione as aceleracces veto-

rialmente.

Escrevemos isso comoI,F

30(--

m

em que I,F e a forca resultante, que e a soma vetorial de todas as forcas agindo

bre 0 corpo de massa m. Se 0 corpo e constituido de urn sistema de element

individuals, a forca resultante e a soma vetorial de todas as forcas edemas ao

tema. Nenhuma forca interna - isto e, forcas entre elementos do sistema - eclufda, pois elas nao afetam 0movimento do sistema como urn todo. A forca re

tante tambern e cham ada algumas vezes f or ca l iqu ida ; a soma de jorfas, a jo rfa t

ou a forca nao balanceada.

A segunda lei de Newton na forma rnaternatica e a formulacao dessa rela

que transforma a proporcionalidade anterior em uma igualdade:"

IF = rna [

Observe que a Equacao 4.2 e uma expressao ueiorial e, portanto, e equivalente

tres equacoes de componentes seguintes:

I.r, = ma." I.F J = may I.r; = maz [

Se urn corpo esta sob a acao de uma forca resultante na direcao x , ele se move

direcao x ?

A segunda lei de Newton nos apresenta urn novo sistema de analise

particula sob a acao de uma forca resultante. Se urna partfcula, ou urn corpo

pode ser modelado como uma particula, esta sob a influencia de uma forca re

tante, entao a Equacao 4.2, a formulacao rnatematica da segunda lei de Newt

pode ser utilizada para descrever seu movimento. A aceleracao e constante

forca resultante for constante. Assim, a particula sob a acao de uma forca resultan

pode ter seu movimento previsto como uma particula com aceleracao constan

Contudo, a forca resultante nao precisa ser constante. Investigaremos situac

neste capitulo e no proximo envolvendo tanto forcas constantes quanto variaveis

Unidade de Forca

A unidade SI de forca e 0newton, que e definida como a forca que, ao atuar so

1 kg de massa, produz aceleracao de 1 rn/s2.

Vernos, a partir dessa definicao e da segunda lei de Newton, que a unida

newton pode ser expressa em termos das unidades fundamentals de massa, c

primento, e tempo:

1 N = = 1 kg . m/ s2 [

As unidades de massa, aceleracao e forca estao resumidas na Tabela 4.1. A maio

dos calculos que faremos em nosso estudo da mecanica sera em unidades SI.

lacoes entre unidades no SI e no sistema ingles de unidades sao fornecidas

Apendice A,

" A Equacao 4.2 e valida apenas quando a velocidade escalar do objeto e multo rnenor do que a ve

dade da luz. Vamos tratar da snuacao relativisiica no Capitulo 9_



CAPiTULO 4 As Leis do Mouimento

Sistema de Unidades

Massa

(M)

Unidades de Massa, Acele~io e Forea

SI

sistema ingles

kg

slug

N = kg' m/s2

Ib = slug· ft/s2

PENSANDO A FisICA 4.1

Em urn trem, tal como aquele na fotografia inicial deste capitulo, os

vagoes estao conectados por engates, Os engates entre os vagoes exer-

cern forcas sobre os vag6es quando 0trem e puxado pela locomotiva

na frente. Imagine que 0 trern esteja se tornando mais rapido na direcao da

dianteira. Enquanto voce se imagina indo da locomotiva ate 0ultimo vagao, a

forca exercida pelos engates aumenta, diminui, ou permanece a mesrna?0 que

acontece se 0maquinista aciona os freios? Como a forca varia desde a locomo-tiva ate 0 ultimo vagao nesse caso? (Suponha que os unicos freios acionados

sejam aqueles que estao na locomotiva.)

RaciOcrnio A forca diminui desde a parte dianteira do trern ate a traseira. 0 en-

gate entre a locomotiva e 0primeiro vagao tern de aplicar forca suficiente para

acelerar todos os vagoes remanescentes. Quando vamos em direcao a traseirado trem, cad a engate esta acelerando menos massa arras de si. 0 ultimo engate

tern de acelerar apenas 0ultimo vagao, de tal forma que ele exerce a menor

forca, Se os freios sao acionados, a forca tam bern diminui desde a parte

dianteira ate a parte traseira do trem. 0 primeiro engate, na parte de tras da

locomotiva, tem de aplicar uma forca grande para tornar mais lentos todos os

vag6es remanescentes. 0 ultimo engate tern de aplicar apenas uma forcagrande 0suficiente para tornar mais lenta a massa do ultimo vagao,

Exemplo 4.1 Um Disco de Hoquei Acelerando

Urn disco de hoquei de 0,30 kg desliza sobre uma superficie

sern atrito horizontal de urn rinque de gelo. Ele e golpeado

simultaneamente pOl' dais bastoes de hoquei diferentes, As

duas forcas constantes que agem sobre 0 disco como

consequencia dos bas toes de h6quei sao paralelas a

superfide de gelo e sao mostradas na representacao pic-t6rica da Figura 4.4. A forca Fj tern modulo de 5,0 N, e F2

tern modulo de 8,0 N. Determine a aceleracao do disco en-

quanto ele esta em contato com os dois bastoes,Figura 4.4

Soluc;ao 0 disco e modelado como uma particula sob a

acao de uma fon;:a resultante. Encontramos primeiro as com-

ponentes da forca resultante, A componente cia forca resul-

tante na direcao x e

(Exernplo 4.1) Um disco de hoquei ern movimemo sobre lima sllp

flcie sern atrito acelera na direcao da forca resuuante, LF = F I +

21';. = F1 ;< + F2x = F1 cos 20° + F2 cos 60°

= (5,0 N) (0,940) + (8,0 N) (0,500) = 8,7 N

A componente da forca resultante na direcao )' e

Iy = F 1 ), + f i 2 ) , = - FI sen 20° + F'l sen 60°

= - (5,0 N) (0,342) + (8,0 N) (0,866) = 5,2 N



116 Pnncipias de Ftsico

da Figura4.4, fazque 0disco tenha aceleracaonula,tilizamos agora a segunda lei de Newton na forma decem-

posta para encontrar as cornponentes x e y da aceleracao:

a = IF ,y = 8,7 N = 29 m/s2x m 0,30 kg

a = Il~ = 5,2 N

J

m 0,30 kg

Resposta F x = = -8,7 N, F " = = -5,2 N

ExERCiclO Urn corpo com 6,0 kg sofre aceleracao de

2,0 rnls2. (a) Qual e 0 modulo da forca resultante agindo

sobre 0 corpo? (b) Se essa mesma forca for aplicada a urn

corpo de 4,0 kg, que aceleracao ela produz?

17 m/sz

A aceleracao tern modulo de

a= ~(29)2 + (l7)2m/s2 = 34m/s2

e suadirecao eResposta (a) 12 N (b) 3,0 m/s2

a 17 m/s2()= tg-1 . . . . : : : : L = tg-1 ,-

ax 29 m/s2

em relacao ao eixo x positive.

ExERCicJO Urn carro com ] ,80 X 103 kg esta viajando em

uma linha reta a velocidade escaiar de 25,0 m/s. Qual eomodulo da forca horizontal constance necessaria para faz

carro parar a uma distancia de 80,0 m?

ExERClcIO Determine as componentes de uma terceira forca

que, quando aplicada ao disco juntamente com as duas forcas Resposta 7,03 X 103 N

PREVEN(fAO DE ARMADILHA 4.5

Peso "de urn corpo"

ESt<1fl10S farniliarizados com

a frase comurn, 0"peso de

urn corpo." Tenha em

mente que;, apesar dessa

frase de todo dia, 0 peso

nao e propriedade de urn corpo. Ele

e urna rnedida da forca gravitacional

entre 0 corpo e a Terra. Assim, 0 peso

e propriedade de urn sistema de item

- 0 corpo e a Terra. Quando 0 sis-

tema e modificado, pOI' exemplo, le-

vantando-se 0 corpo para bern longeda superficie, 0peso e modificado,

devido ao menor valor de g. Podernos

tambern mover o COl"pO para 11)11

novo sistema, constitufdo do corpo e

de Marte, por exernplo, 0 peso eutdo

sera muito diferente do peso na Ten-a

devido ao valor diferente de g em

Mane.

WEB

Para inforrnacao sabre a Apalo 11,

visite nssdc.gsfc.nasa.govl

planetary/lunar/apollo11 info.html.

Para tntorrnacao gera] sobre os

projetos da Nasa, visite

www.nasa.gov

4.5 • A FORQA GRAVITACIONAL E 0 PESO

Estamos bern conscientes de que todos os corpos sao atraidos para a Terra. A

exercida pela Terra sobre urn co~po e a forca gravitacional Fg o Essa forca ecionada para 0 centro da Terra.' 0 modulo da forca gravitacional e charnpeso Fg do corpo.

Vimos nos Capftulos 2 e 3 que urn corpo em queda livre tern uma acelera

g direcionada para 0centro da Terra. Apenas uma forca atua sabre urn corpo

queda livre, a forca gravitacional, de tal forma que a forca resultante sobre 0c

e igual a forca gravitacional:

IF = Fg

Como a aceleracao de urn corpo em queda livre e igual a aceleracao de qlivre g, segue-se que

au, em modulo,

!.F = ma ----+ Fg = mg

Fg= mg

o astronauta Edwin E.Aldrin Jr., caminhando so-

bre a Lua apos 0 pouso lunar da AIJolo 11. 0 sis-

tema que man tern sua vida preso as suas costas

pesa 300 lb na Terra. Durante seu treinamento,

lim sistema de irnitacao de 50 lb foi utilizado para

simular a reduciio da gravidade na Lua. Ernbora

isso tenha simulado efetivarnente 0peso re-

duzido da unidade na Lua, njio representa

corretamente a rnassa constante, Era mais facil

acelerar 0sistema pulando au fazendo curvas

durante 0treinarnento na Terra do que fazendo

as mesrnas coisas na Lua. (Cortesia da Nasa)

* Essa afirmacao representa urn modelo de simplificacao, pois ela ignora 0 faio de que a distrib

de massa da Terra 11<10 e perfeitamente esferica.

http://www.nasa.gov/

http://www.nasa.gov/



CAPITULO 4

Como 0 peso depende de g, ele se modifica com 0 local, como mencionamos

na Secao 4.3. Corpos pesam menos a altas altitudes do que no nivel do mar, pois g

diminui ao aumentarmos a distancia ao centro da Terra. Portanto, 0 peso, ao coo-

trario da massa, nao e uma propriedade inerente a urn corpo. Por exernplo, se urn

corpo tern rnassa de 70 kg, entao seu peso em urn local onde g = = 9,80 m/s2 em g = = 686 N. No topo de uma montanha onde g o ; 9,76 m/s2, 0peso do corpo seria

de 683 N. Assim, se voce quer perder peso sem recorrer a uma dieta, suba umamontanha ou se pese a 30000 pes durante um voo de aviao.

Como F g = = m g , podemos comparar as massas de dois corpos medindo seus pe-

sos com uma balanca de mala. Em urn dado local (de tal forma que g seja fixo) a

razao dos pesos de dois corpos e igual a razao de suas massas,

A Equacao 4.5 quantifica a forca gravitacionaI sabre urn corpo, mas observe

que essa equacao nao requer que 0 carpo esteja em movimento. Mesmo para urn

corpo estacionario, ou um corpo sob a a«;30 de varias forcas, a Equacao 4.5 pode

serutilizada para se calcular 0 modulo da forca gravitacional. Isso resulta em uma

mudanca sutil na interpretacao de m na equacao. A massa m na Equacao 4.5 esta

fazendo 0 papel de determinar a intensidade da atracao gravitacional entre 0

corpo e a Terra. Esse e urn papel completamente diferente daquele descrito ante-

riormente para a rnassa,0

de medir a resistencia a mudancas no movimento emresposta a uma forca externa. Assim, chamamos m nesse tipo de equacao de massa

gravitadonal Apesar de essa grandeza ser diferente da massa inercial, uma das

conclusoes experimentais na dinamica newtoniana e a de que a massa gravita-

donal e a rnassa inercial tern 0mesmo valor.

Suponha que voce esteja conversando por urn telefone interplanetario com seu

amigo que vive na Lua. Ele Ihe diz que acaba de ganhar urn pedaco de ouro pe-

;ando 1 newton em uma cornpeticao. Emocionado, voce the diz que participou na

versao ocorrida na Terra da mesma competicao e que tambern ganhou 1 newton

de ouro! Quem ficou mais rico?

Vma bola de beisebol com massa m e lancada para cima a certa velocidade es-

calar inicial, Se a resistencia do ar e desprezada, qual e 0 modulo da forca sabre

a bola (a) quando ela atinge a metade de sua altura maxima e (b) quando ela

atinge 0 topo?

PENSANDO A FfsICA 4.2

Na ausencia de atrito do ar, afirma-se que todos os corpos caem com

a mesma aceleracao. Um corpo mais pesado e puxado para a Terra

com mais forca do que urn corpo leve. Por que 0corpo mais pesado

nolo cai mais nipido?

Raciocfnio E de faro verdade que 0corpo mais pesado e puxado com forca

maior, A mtensidade da forca e determinada pela massa gravitacional do corpo.

A resistencia a forca, e, portanto, a mudanca no movimento do corpo, erepresentada pela massa inercial. Assim, se urn corpo tem 0dobro de massa de

outro corpo, ele e puxado para a Terra com 0dobra da forca, mas ele tambem

apresenta 0 dobro da resistencia a ter seu movimento modificado. Esses fatores

se cancelam, de forma que a mudanca no movimento, a aceleracao, e a mesmapara todos os corpos, independentemente de SUaSrnassas.

As Leis do Mouimento

PREVENQAO DE ARMADILHA 4

o qui lograma noaoe uma uni

de peso

Voce pede LeI" VisLO a

versao' I kg'" 2,2 lb.

ceno de .ml.u iruerp

erronearnerue esia a

<;:10comUITI. Apesar d

rnacoes comuns nos

os pesos sao expressos ern quil

mas, 0 quilograrna n,io e urna

dade de peso, mas lima unidade

IIU1.I$O. Sobre a superflcie da

urn corpo com massa de J kg ter

peso de 2,2 los, mas isso nao ser

dadeiro para esse corp.o na Lua.

claracao de conversao acima n

lima igualdade (ernbora voce \I~

escri t.O dessa form <I): ela e urna

valhuia, que s o e v,\!ida sobre a s

fide cia Terra.

PREVENOAO DE ARMADILHA

Observe a diferem;:a entre 9 e

Certifique-se de nao

fundi!"0simbolo em

gque usarnos para .

dulo da aceleracao de

da livre com a sfmbo

que e usado pard gr



118 Pr in ci p io s d e F i si ca

• U maIormulacao da terceira le i

de Newlon

P R EV EN c;::A o D E ARMADILHA 4. 8

A tereeira lei de Newton

Essa e lima nocao tao irn-

portante e rnuitas vezes en-

tendida erronearnente que

sera repetida aqui nesta

Prevencao de Armadilha.

Na terce ira lei de Newton

as forcas de acao e reacao agem sobre

corpos diferente.s. DuLlS forcas agindo

sobre 0 mesmo corpo, mesrno se elas

tiverem modulo identico e direcoes

opostas, ' lao poden l, ser urn par acao-

reacao.

4.6 • A TERCEIRA LEI DE NEWTON

A terceira lei de Newton transmite a nocao de que as forcas sao sempre interac

entre dois corpos: se dois corpos interagem, a forca F12 exercida pelo corpo

bre 0corpo 2 e igual em modulo, mas oposta em direcao a forca F21 exercida

corpo 2 sobre 0corpo 1;

Quando e importante designar forcas como interacoes entre dois corpos, utili

mos esta notacao subscrita em que Fab significa "a forca exercida por a sobre

terce ira lei, ilustrada na Figura 4.5a, e equivalente a afirmar que as forcas sem

ocorrem em pares, ou que uma forca (mica isolada nao pode existir. A forca q

corpo 1 exerce sobre 0corpo 2 pode ser chamada forca de ar;iio e a forca do cor

sobre 0 corpo 1 pode ser chamada Jorr;a de readio. Na realidade, qualquer uma

forcas pode ser chamada acao ou reacao, A forca de acao e igual em modu

forca de rea(:ao e oposta em direcao, Em todos os casos, as foreas de ac;:ao

reaeao agem sobre corp os diferentes e tern de ser do mesmo tipo. Por exemp

forca agindo sobre urn projetil em queda livre e a forca gravitacional exercida

Terra sobre 0projetil Fg = FTp (T = Terra, p :0projetil), e 0modulo dessa forca

A reacao a essa forca e a forca gravitacional exercida pelo projetil sobre a

FPT = -FTp. A forca de reacao FpT tern de acelerar a Terra em direcao ao projet

mesma forma que a forca de acao FTp acelera 0projetil em direcao a Terra. Cont

como a Terra tern massa tao grande, sua aceleracao devida a essa forca de reac

pequena de modo desprezivel.

Outro exernplo da terceira lei de Newton e mostrado na Figura 4.5b. A

Fmp exercida pelo martelo (m = martelo, p = prego) sobre 0prego (a acao) eem modulo e oposta a forca Fpm exercida pelo prego sobre 0martelo (a reac

Essa ultima forca para 0movimento para frente do martelo quando ele bat

prego.Voce pode experimentar a terceira lei diretamente se der um soeo co

uma pare de ou se chutar uma bola com 0 pe descalco. Voce sente a forca de

em sua mao ou em seu pe. Voce deve ser eapaz de identificar as forcas de ac

de reacao nesses casos.

(a)(b)

A terceira lei de ewton: (a) A forca FI2 exercida pelo corpo 1 sobre 0 corpo 2 e igual em mod

oposta em direcao ii . forca F21 exercida pelo corpo 2 sobre 0 corpo 1. (b) A forca Filii> exercida

martelo sobre 0 prego e igual em modulo e oposta em direcao ii . lorca Fpn, exercida pelo prego s

martelo. ( fohn Guimoure, The Stock Market)



CAP j T LO

n = F.n.\1

(b)

(a) Quando urn monitor de computador esta sabre uma mesa, varias forcas esdo agindo (M = monitor,

T'= terra, m = mesa). (b) 0 diagrarna de COI"pO livre para 0 monitor. As forcas agindo sabre 0 monitor

sao a forca normal n " FmMe a forca gravitacional Fg = FTM'Estas sao ali (micas forcas agindo sobre 0

monitor (observe 0 "M" como segundo subscrito nessas forcas, nao ocorrendo nas outras forcas) e as

unicas forcas que devern aparecer em urn diagrama de corpo livre para 0monitor. As outras forcas no

item (a) sao como descritas a seguir. A forca de reacao a n e a forca FMm exercida pelo monitor sobre a

mesa. A reacao a Fg e a forca FMT exercida pelo monitor sobre a Terra.

ATerra exerce uma forca gravitacional Fgsobre qualquer corpo. Se0corpo for

urn monitor de computador em repouso sobre uma mesa, como no desenho na

Figura 4.6a ( M = = monitor, T = = Terra, m = = mesa), a forca de reacao a Fg = FTMe aforca exercida pelo monitor sobre a Terra, dada por FMT = = -FTM. 0 monitor nao se

acelera, pais ele e segurado pela mesa. A mesa exerce sabre a monitor uma forca

para cima n = FmM, chamada forea normal". Essa forca impede que 0 monitor caia

da mesa; ela pode ter qualquer valor necessaria, ate a limite de quebrar a mesa.

A partir da segunda lei de Newton, vemos que, como a monitor tern aceleracao

nula, segue-se que IF =n - mg = 0, au n = = mg . A forca normal equilibra a forca

gravitacional sabre 0 monitor, de forma que a forca resultante sobre 0 monitor

e nula. A reacao a n e a forca exercida para baixo pelo monitor sabre a mesa,

FMm = = - FmM•

Observe que as forcas agindo sobre 0monitor sao Fg en, como mostrado na

Figura 4.6b. A s duas forcas de reacao FMTe FMm sao exercidas sobre corpos dife-

rentes do monitor. Lembre-se, as duas forcas em urn par acao-reacao sempre agemsobre dois corpos diferentes.

A Figura 4.6 ilustra uma diferenca extremamente importante entre uma re-

presentacao pict6rica e uma representacao pict6rica simplificada para resolver

problemas envolvendo forcas. A Figura 4.6a mostra muitas das forcas na situacao

- aquelas sobre 0monitor, uma sobre a mesa e uma sobre a Terra. A Figura 4.6b,

ao contrario, rnostra apenas as forcas sobre um corp o, 0monitor. Esta e uma repre-sentacao pict6rica critiea chamada diagrama de corpo livre. Ao analisar uma

* E utilizada a palavra normal; pois a direcao de n e sempre perpendicular?. s,:perficie.

4 As Leis do Movi1llento 11

PREVENQAo DE ARM.ADILHA 4

nnao e sempre igual a tug

Na situacao rnostrada

Figura 4.6, descobri

que n - mg. Existem mu

siruacoes nas quais a f

normal tern a mesmo

dulo que a fon;a gra

donal, mas n,jQ adote isso como r

geral - esta e uma armadilha corn

para as estudantes. Se 0 problema

volve urn corpo em urn plano i

nado, se existem forcas aplicadas

componentes verticals, ou Sf lUI

aceleracao vertical do sistema, enta

o F mg . Aplique sempre a segunda le

eWlOI1 para encontrar a relacao

tre ne mg .



120 Pri nc ip t os d e F is ic a

• Um diagrama de corpo livre e

U1Il/JfJ$so critico ao se aplicar as

leis de Newton

PREVEN<;Ao DE ARMADllHA 4.1 0

Diagramas de corpo livre

o passe ma is impor um!e ao

resolver urn problema uti-

lizando as leis de Newton eo de desenhar uma repre-

seruacao pictorica simpli-

ficada apropriada - 0 diagrama de

corpo livre. Certifique-se de desenhar

apenas as forcas que agem sobre 0 COI'-

po que voce esta isolando, Desenhe Lo -

das as forcas agindo sobre 0 COI-PO, in-

duindo quaisquer forcas de campo,

tais como a [orca gravitacional.

particula sob a acao de uma forca resultante, estamos interessados na forca

tante sobre urn corpo, urn corpo de massa m que modelaremos como

particula. Assim, urn diagrama de corpo livre nos ajuda a isolar apenas as f

sobre 0 corpo e a eliminar as outras forcas de nossa analise. Se voce quiser,

grama de corpo livre pode ser ainda mais simplificado ao representar 0 corp

como 0monitor nesse caso, como umaparticula, representado simplesmente

urn ponto.

~~Upld04.6

Se urn carro esportivo colide de frente com urn caminhao de grande massa,

vefculo vai experimentar a maior forcai' Qual veiculo tera a maior aceleracao?

JnIgma ftjpldo 4.7

Qual forca movimenta urn autornovel? Um aviao a helice? Urn foguete? Urn

a remo?

Urn homem grande e urn pequeno garoto estao parados frente a frente sobre

pista de gelo sem atrito, Eles encostam suas maos e se empurram, de forma

afastar urn do outro. Quem exerce maior forca? Quem tern a maior acelera

Quem se afasta com a maior velocidade? Quem se desloca por uma dist

maior enquanto suas rnaos estao em contato?

PENSANDO A FisICA 4.3

Urn cavalo puxa um treno com forca horizontal, fazendo-o ace

como na Figura 4.7a. A terceira lei de Newton diz que 0 treno e

uma forca de mesmo modulo e direcao oposta sobre 0 cavalo

vista disso, como pode 0 treno acelerar - essas forcas nao se cancelarn?

Raciocfnio Ao aplicar a terceira lei de Newton, e importante lembrar q

forcas envolvidas agem sobre corpos diferentes. Observe que a forca exe

pelo cavalo age sobre 0 treno, enquanto a forca exercida pelo treno age sobre

ualo. Como essas forcas agem sobre corpos diferentes, elas nao se cance1am.

As forcas horizontais exercidas apenas sobre 0 trend sao a forca para fren

exercida pelo cavalo e a forca de atrito para tras fu'Cn6 entre 0 tren6 e a sup

cie (Figura 4.7b). Quando Fe maior do que ftrena, 0 tren6 acelera para a dir

As forcas horizontais exercidas apenas sobre 0caualo sao a forca de a

para frente fcavalo exercida pelo chao e a forca para tras F exercida pelo t

(Figura 4.7c). A resultante dessas duas forcas faz que 0 cavalo acelere. Qua

fcavalo e maior do que F, 0 cavalo acelera para a direita.As duas forcas descritas no texto do problema agem sobre corpos

rentes, de forma que nao se cancelam, Se consideramos 0 treno e 0 ca

como urn sistema, as duas forcas descritas sao intemas do sistema e, porta

nao podem afetar 0movimento do sistema.



CAPiT LO 4

(a) (b)

(Pensando a Fisica 4.3)

4.7 • APLlCAQOES DAS LEIS DE NEWTON

Nesta secao apresentamos algumas aplicacoes simples das leis de Newton para COf-

pos que estao em equilibrio (a = 0) ou que estao acelerando sob a acao de forcas

externas constantes. Vamos supor que os corpos se comportem como particulas de

forma que nao precisamos nos preocupar com movimento de rotacao ou com ou-

tras complicacoes. Nesta secao tambern aplicaremos alguns modelos de simplifi-

cacao adicionais. Desprezamos os efeitos do atrito para os problemas que en-

volvem movimento. Isso e equivalente a dizer que as superficies sao sem a tru o.Normalmente desprezamos as massas de quaisquer cordas ou fios envolvidos no

problema. Nessa aproximacao, 0m6dulo da forca exercida em qualquer ponto ao

longo de urn fio e 0mesmo em todos os pontos ao longo do fio. Quando se colo-

cam os problemas, os termos leoe e d e m assa d esp reziu el sao utilizados para indicar

que uma massa e para ser desprezada quando voce resolve 0 problema. Esses dois

termos sao sinonirnos nesse contexto.

Quando aplicamos as leis de Newton a um corpo, estamos interessados apenas

nas forcas externas que agem. sobre 0 corpo. Por exemplo, na Figura 4.6 as unicas

forcas externas agindo sobre 0 monitor sao n e Fg-As reacoes a essas forcas, FMm e

FMT, agem sobre a mesa e sobre a Terra, respectivamente, e nao aparecem na se-gunda lei de Newton quando aplicada ao monitor. Nao pode deixar de ser enfati-

zada a importancia de desenhar um diagrama de corpo livre apropriado para

garantir que voce esta considerando as forcas corretas,

Quando urn corpo como urn bloco esta sendo puxado por uma corda ou urn fio

ligado a ele, a corda exerce urna forca sobre 0 corpo. 0m6dulo dessa forca e cha-

mado tensao na corda, Sua direcao e ao longo da corda, afastando-se do corpo.

Considere uma caixa sendo puxada para a direita sobre uma superficie hori-

zontal sem atrito, como na Figura 4.8a. Suponha que voce queira saber a acele-

racao da caixa e a forca exercida pelo chao sobre ela. Em primeiro lugar, observe

que a forca horizontal sendo aplicada sobre a caixa atua por meio da corda. A

forca exercida pela corda sobre a caixa e representada pelo simbolo T e seu mo-

dulo e a tensao na corda.

Como estamos interessados apenas no movimento da caixa, temos de ser ca-pazes de id en tifica r to da s a s f orces ex tern as a gin do so bre eta. Essas forcas estao ilustradas

no diagrama de corpo livre na Figura 4.8b. Alern da forca T, 0diagrama de corpo

livre para a caixa inclui a forca gravitacional F g e a forca normal n exercida pelo

chao sobre a caixa, As reacoes a s forcas que listamos - a saber, a forca exercida pela

caixa sobre a corda, a forca exercida pela caixa sobre a Terra, e a forca exercida

pela caixa sobre 0chao - nao estao incluidas no diagrama de corpo livre, pois e1as

agem sobre outros corpos e nao sobre a caixa.

Aplicamos agora a segunda lei de Newton a caixa. Prirneiro temos de escolher

urn sistema de coordenadas apropriado. Nesse case e conveniente utilizar 0sistema

de coordenadas mostrado na Figura 4.8b, com 0 eixo x horizontal e 0 eixo y vertical,

As Leis do Movimento

F

(el

(aj

Figura 4.8

(a) rna caixa sendo puxada par

direita sabre uma superficie sern

atrito. (b) 0 diagrama de corpo

que represenlil as Iorcas externas

sabre a caixa,



122 Principios de Fisico

Os alpinisras deperidern das forcas de

tensao nas cordas para sua seguranca,

(Scott Markewilz/FPG)

PREVENCfA.O DE ARMADILHA 4.11

Urna particula ern equilibrio

Tenha em mente que

forca resultarue nula sobre

uma particula nao s ign if ica

que a particula nao esteja

em movimento. Significa

que a partfcula nao esta

acelerando. Se a parucula tern veloci-

dade inicial e a forca resultante sobre

ela e nula, ela continua a se mover

com a mesma velocidade. Isso e simi-

lar, mas nao identico, auma situacao

da prirneira lei de Newton na qual

nao

h aforcas sabre a particula,

Podemos aplicar a segunda lei de Newton na direcao x, na direcao y , ou em a

as direcoes, dependendo do que nos for pedido para encontrar no problema.

disso, podemos ser capazes de utilizar as equacoes de movimento para a par

com aceleracao constante que discutimos no Capitulo 2. Contudo, voce deve u

essas equacoes apenas quando a aceleracao for constante, 0que e 0 caso se a

resultante e const.ante. Por exernplo, se a forca T na Figura 4.8 e constante, enaceleracao na direcao x tambem e constante, pois a

=Tim. Portanto, se precisa

encontrar a posicao ou velocidade da caixa em algum instante de tempo, po

mos usar as equacoes de movimento com aceleracao constante.

A ParticuIa em Equilibrio

Diz-se que estao em equilibrio os corpos que estao em repouso ou em movim

com velocidade constante. A partir da segunda lei de Newton com a = 0,

que essa condicao de equilfbrio pode ser expressa como

~ F = = O

Essa formulacao significa que a soma vetorial de todas as forcas (a forca

tante) agindo sobre urn corpo em equilibrio e nula." Se uma particula esta sa forcas, mas exibe uma aceleracao nula, usamos a Equacao 4.7 para anal

situacao, como veremos nos exemplos seguintes.

Normalmente, os problemas que encontrarnos em nosso estudo do equi

sao mais faceis de resolver se trabalhamos com a Equacao 4.7 em termos das

ponentes das forcas externas agindo sobre urn corpo. Em urn problema bid

sional 0que queremos dizer e que a soma de todas as forcas externas nag dir

x e y tern de ser separadamente zero; isto e,

A extensao das Equacoes 4.8 para uma situacao tridimensional pode ser feit

cionando-se uma equacao para a terceira componente, IF" =O.

Em uma dada situacao, podemos ter forcas sobre urn corpo equilibradas

uma direcao, mas desequilibradas em outra. Assim, para urn dado prob

podemos necessitar modelar 0 corpo como uma particula ern equilfbrio para

componente e como uma particula sob a acao de uma forca resultante para

tra componente.

Considere as duas situacoes mostradas na Figura 4.9, nas quais nenhuma

racao ocorre. Em ambos os casos, todos os indivfduos puxam uma corda lig

uma balanca de mola com uma forca de modulo F. A indicacao da balanc

mola no item (i) e (a) maior, (b) menor, ou (c) igual a indicacao no item (ii)

A Particula Acelerada

Em uma situacao em que uma forca resultante nao nula esta agindo sobr

corpo, 0corpo esta acelerando, e usamos a segunda lei de Newton para det

nar as caracteristicas do movimento:

!F= = rna

" Isso e apenas uma condicao de equilfbrio para urn corpo, Uma segunda condicao de equilfb

de equilfbrio rotacional. Essa condicao sera discutida no Capitulo IO.



CAPiTULO 4

Na pratica, essa equacao e decomposta, de forma que duas (ou tres) equacoes pos·

sam ser trabalhadas independentemente. As sugestoes e problemas representatives

que seguem devem auxilia-lo a resolver problemas desse tipo.

ESTRATEGIA DE RESOLUCAO DE PROBLEMAS P articu1a sob a A C io

de uma Forca Resultante

o procedimento seguinte e recomendado ao se lidar com problemas envol-

venda a aplicacao da segunda lei de Newton a uma partfcula sob a acao de

uma forca resultante:

1. Peuse - estabeleca sua representacao mental da situacao, Trace urn dia-

grama do sistema.

2. Isole 0corpo cujo movimento esta sendo analisado. Desenhe urn diagrama

de corpo livre para esse corpo, mostrando todas as forcas externas agindo

sobre ele. Para sistemas con tendo mais do que urn COlpO, trace urn dia-

g r a m a s e p a r a d o para cada corpo.S. Estabeleca eixos coordenados convenientes para cada corpo e encontre as

componentes das forcas ao longo desses eixos. Aplique a. segunda lei de

Newton, IF = ma, nas direcoes x e y para cada corpo. Se 0corpo esta em

equilfbrio em qualquer direcao, coloque 0ado direito ci a segunda lei de

Newton igual a zero.

4. Ache as inc6gnitas d a s equacoes para as componentes. Lembre-se de que,

para obter urna solucao completa, voce deve ter tantas equacoes indepen-

dentes quantas sejam as incognitas.

5. C a s o seja apropriado para a situacao (se a forca resultante for constante), e

necessario para responder ao problema, utilize as equacoes da cinematica

do Capitulo 2 para encontrar as incognitas.

Verernos agora uma serie de exernplos que demonstram como resolver pro-

blemas que envolvem uma particula sob a acao de uma forca resultante. Voce deve

ler e estudar estes exemplos cuidadosamente.

PENSANDO A Ff s tcA 4.4

Muito provavelmente voce teve a experiencia de estar em urn ele-

vador que acelera para cima quando parte em direcao a urnandar

superior. Nesse caso, voce se sente mais pesado, Se voce esta parado

sobre uma balanca de banheiro neste momento, ela mede urna forca maior que

o seu peso. Assim, voce tem evidencia sensorial e tambern evidencia a partir de

medidas que podem leva-lo a acreditar que esta mais pesado nessa situacao.

Voce esta mais pesado?

Raciocinio Nao, voce nao esta - a forca gravitacional sobre voce nao mudou.

o chao ou a balarica de banheiro tern de exercer uma forca para cima maior

que a forca gravitational para fornecer a aceleracao para cima. E essa forca

maior que voce sente, e interpreta como estar se sentindo mais pesado. Uma

balanca de banheiro mede essa forca, por isso aurnenta a indicacao da

balanca,

As Leis do Mouimenio

(i)

(i.i)

Figura 4.9

(Enigma Rapido 4.9) (i) Um in

duo puxa uma balanca de mola

a uma parede com urna forca d

dulo F. (ii) Dais individuos pux

uma balanca de mola 1igada po

cordas com forcas de modulo F

direcoes OPOSlas.

P.REVEN.;:Ao DE ARMADILHA

Novamente, rna nao e umaDevidu a ocorrencia

queute dessa con

erronea, vale a pena

tir que nuo e urna

produto mao Evite

tacao de incluir urna

ma~ ern set! diagrams de corpo



124 P rin ci pW s d e Fisico.

Exemplo 4.2 Um SinalLuminoso em Repouso

Urn sinal luminoso pesando 122 Nesta dependurado por urn

cabo preso a dais outros cabos ligados a urn suporte, como

na Figura 4.10a. Os cabos superiores fazern angulos de 37,00

e 53,00 com a horizontal. Esses cabos superiores nao sao tao

fortes quanto 0cabo vertical, e vao se romper se a tensaosobre eles ultrapassar 100 N. 0 sinal luminoso permanece

em repouso nessa situacao, ou sera que urn dos cabos vai

se romper?

Raciocfnio Vamos supor que os cabos nolo se rompam de tal

forma que nenhuma aceleracao de tipo algum ocorra em di-

recao, Assim, usamos 0modelo de uma partfcula em equi-

libria para as componentes x e y. Desenhamos dois diag.ra-

mas de corpo livre. 0primeiro destes e para a sinal

lum:inoso, mostrado na Figura 4.1Ob; 0 segundo e para 0 no

de Iigacao que mantern as tres cabos juntos, como na Figura

4.1Oc. 0 no e um ponto conveniente para escolher, pais to-

das as forcas nas quais estamos interessados agem par meio

desse ponro. Como a aceleracao do sistema e nula, podemos

usar as condicoes de equillbrio de que a forca resultante

sabre 0 sinal e nula e de que a forca resultanre sobre 0 no

e nula.

SoluCfao Considerando a Figura 4.1Ob, aplicamos a

condieao de equilfbrio na direcaoj, I F ) ' = 0- Ts - F g " " 0.

Isso leva a T g '" J ig ' " 122 N. Assim, a forca T g exercida peJo

cabo vertical equilibra 0 peso do sinal.

Considerando em seguida 0 no, escolhemos os eixos de

coordenadas como mostrado na Figura 4.1Oc e decompomos

as forcas em suas componentes x e y, como mostrado natabela seguinte:

Forta Componente x Componente y

-1j cos 37,0°

T2 cos 53,0°

°

T [ sen 37,0°

T2 sen 53,0°

-122 N-

A Equacao 4.8 nos fornece:

(1) I F " " " T2 cos 53,0" - T[ cos 37,0" = °(2 ) L F j = 7j sen 37,0" + T2 sen 53,0" -122 N =

Achamos T2 em termos de TJ a partir de (1) obtendo

T = T (cos 37,.0") = 133T2 [cos 53,0" , 1

Substitufmos esse valor de T2 em (2) obtendo

Tl sen 37,0° + (1,33 Td (sen 53,0°) -122 N '" °Tl ",734N

Calculamos, entao, T2:

Esses dois valores sao menores do que 100 N (bern proxi

no caso de 1'2!), assim os cabos nao se rompem.

ExERCicIO Se os angulos dos cabos podem ser ajustados,

qual situacao teremos T/ .. Tl

Resposta Quando sao iguais os angulos que os cabos faze

com a horizontal.

(a)

FIgura 4.10

(b) (e)

(Exernplo 4.2) (a) Urn sinal lurninoso pendurado pOl' cabos, (b) 0 diagrama de corpo livre para

luminoso. (c) 0 diagrams de corpo livre para a n o no cabo,



Exemplo 4.3 Urn Tren6 na Neve Sern Atrito

Solta-se uma crianca em um rreno sobre urn morro sem

atrito inclinado a urn angulo e , como na Figura 4.11 a. (a) De-

termine a aceleracao do treno apos ele ser solto,

Raciocinio Identificamos 0sistema composto pelo treno e

pela crianca como nosso corpo de interesse. Modelamos 0

sistema como uma partfcula de massa m. A segunda lei de

Newton pode ser usada para determinar a aceleracao da

particula, Em primeiro lugar, tracarnos 0 diagrama de corpo

livre para a partfcula, como rnostrado na Figura 4_11b. A.,

unicas forcas sobre a partfcula sao a forca normal n agindo

perpendicularmente ao plano inclinado e a forca gravita-

donal m g agindo vertical mente para baixo. Em problemas

desse tipo envolvendo pianos inclinados, e conveniente

escolher os eixos de coordenadas com x ao wngo do plano

inc1inado e com y perpendicular ao plano inclinado. Substitui-

mDS entao mg por uma cornbinacao de ur n vetor compo-

nente de modulo mg sen e ao longo do eixo x pos it iv o (apon-

tan do para baixo ao longo do plano inclinado) e urn de

modulo mgcos 8 na direcao y negativo.

Solw;ao Aplicando a segunda lei de Newton em forma de

componente para a particula e observando que a , . ' " 0 obtern-se

(1) I. . = mgsene = max

(2) Iy = n - mgcos e = 0

De (1) vemos que a aceleracao ao longo do plano inclinado e

fornecida pela componente da forca gravitacional paralela aoplano inclinado, que nos da

(3 ) ax ~ gsen 8

Observe que a aceleracao fornecida por (3) e independenti! da

massa da parucula - ela depende apenas do angulo de ineli-

nacao e de g. De (2) concluimos que a componente da forca

gravitacional perpendicular ao plano inclinado e equilibrada

y

(a) (b)

lllgu... 4.11

~'E.Jl.emplo4.3) (a) Urna crianca em urn treno descendo

escorregando por urn plano inclinado sern atrito. (b) 0 diagrams

de corpo livre para 0 sistema,

CAP ir L 0 4 As Leis do Mouimento 1

peJa forca normal; isto e, n ~mgcos 8. (Observe, como apon

tado na Prevencao de Armadilha 4.9, que n nao e igual a m

nesse caso.)

CasQSEspeciau Quando ( J '" 90°, (3) nos fornece a; ~ g e (2)

nos fornece n = O. Esse caso corresponde a partfcula em

queda livre. (Para nossa escolha do sistema de coordenadas,

positivo esta na direcao para baixo quando 8= 900, e e estemotivo pelo qual a aceleracao e +gem vez de -g.) Quando

( J '" 0°, ax = 0 e n ~ mg (seu valor maximo). Isso corresponde

situacao na qual a particula esta sabre urna superficie plana

sem aceleracao,

Essa tecnica de olhar para casos especiais de siruacoes-

limites e util muitas vezes para checar uma resposta. Nessa

situacao, se 0 angu16 e vai a 90°, sabernos intuitivamente qu

o corpo deve estar caindo paralelo a superficie do plano in

nado. 0 fato de que (3) se reduz matematicamente para

a . \ . = g quando e '" 900 nos da confianca em nossa resposta,

nao prova que a resposta e correta, mas se a aceleracao nao

reduzisse a g, isso significaria que a resposta estaria incorreta

(b) Suponha que 0 treno seja solto do repouso do alto

do morro, e que a distancia da parte dianteira do treno ate

base do morro e dada par d.Quanto tempo leva a parte

dianteira do treno para alcancar a base do morro, equal evelocidade escalar quando ele chega a esse ponto?

Solu~ao No item (a), encontramos ax =g sen 8, que e con

tante, Portanto, podemos modelar 0 sistema como uma

particula com aceleracao constante para 0movimento para

lela ao plano inclinado. Usamos a Equacao 2.11, x J = Xi ++ ~a.vt2, para descrever a posicao da parte dianteira do tren

Definimos a posicao inicial como Xi = 0 e a posicao final com

x J ' " d. Como 0 treno comeca a deslizar a partir do repouso,

Vxi'" O. Com esses valores, a Equacao 2.11 torna-se simples-1 2

mente d = 'laxt ,au

(4 ) l=~= ~ g~~e

x

rna crianca segurando urn treno em repouso em um morro sem at



126 P rin cip io s d e F is ic o

Isso responde it primeira questao em relacao ao intervalo de

tempo para chegar a base. Agora, para dererminar a veloci-

dade escalar quando a treno chega na base, usamos a

Equacao 2.12, v~ l =v,l + 2ax( x f- Xi ) com Vxi '" 0, e encon-

tramos v . 1 = 2axd, au

(5)

Da mesma forma que aconteceu com a aceleracao paralela ao

plano inclinado, I e vX f sao independentes da massa do rreno e

da crianca,

EXERCiclO Uma crianca segura urn treno pesando 77,0 N

repouso sobre urn plano inc1inado sem atrito coberto de

inclinado 30,0°, como na Figura 4.12. Encontre (a) 0mod

da forca que a crianca tem de exercer sabre a corda, e (b

modulo da forca que 0plano inclinado exerce sabre 0tre

Resposta (a) 38,5 N (b) 66,7 N

Exemplo 4.4 A Maquina de Atwood

Quando do is COI'POS com rnassas desiguais sao pendurados

verticalmente por uma polia leve, sem atrito, como na Figura

4.13a, a montagem e chamada maquina de Atwood. Esse

aparelho e utilizado algumas vezes em laboratorio para medir

a aceleracao de queda livre. Calcule 0modulo da aceleracao

dos dais corpos e a tensao no fio.

Raciocfnio Pense na representacao mental sugerida pela

Figura 4.13a - enquanto urn corpo sobe, 0 outro corpo

desce. Como os corpos estao ligados por urn fio inextensivel,

eles tem de ter 0mesmo modulo de aceleracao, Os corpos na

rnaquina de Atwood estao sujeitos a forca gravitacionai assim

como as forcas exercidas pelos fios ligados a eles. Modelamosos corpos como partfculas sob a acao de uma forca resultante.

Os diagram as de corpo livre para os dois corpos estao mostra-

dos na Figura 4.13b. Duas forcas agem em cada corpo: a forca

para cima T exercida pelo fio e a forca gravitacional para

baixo. Em urn problema como este, no qual a polia e mode-

lada como nao tendo massa e sem airito, a tensao no fio nos

dois lados da polia e a mesma, Se a polia tern massa au se esta

sujeita a uma forca de atrito, as tensoes nos dois lados nao sao

as mesrnas e a situacao requer as tecnicas do Capitulo 10.

Nesses upos de problema envolvendo fios que passam

por polias, ternos de ser cuidadosos com a convencao de

sinais, Observe que se ml sobe, entao fn2 desce. Assim, ml

subindo e ' f 1 V . 2 descendo devem ser representados equivalente-

mente no que diz respeito a convencao de sinais. Podemos

fazer i8S0 definindo nossa conveneao de sinais com a direcao

para cima como positiva para m , e a direcao para baixo como

positiva para m2, como mostrado na Figura 4.13a.

Com essa convencao de sinais, 0modulo da forca resul-

tante exercida sobre ml e dado par T - mIg, enquanto 0 mo-

dulo da forca resultante sabre m2 e dado par m~ - T Esco-

lhemos os sinais das forcas de forma consistente com as

escolhas da direcao positiva para cada corpo.

+

(a)

T

T

(b)

FIgura 4.13

(Exernplo 4.4) A maquina de Atwood. (a) Dois corpos ligados p

fio leve par meio de lima polia sern atrito. (b) Os diagramas de

livre para 1I q e para 1 1 > 2 .



Solu.;io Quando a segunda lei de Newton e aplicada a m"

encontramos

Similarmente, para ~ encontramos

(2) IF J = m2g - T = m2a

Adicionando (1) a (2), T se cancela e ficamos com

-m,g+ m2g= m,a + m2a

Dessa equacao obtem-se a aceleracao a,

a = (:~: : ~ ) gSe ' 1 1 1 2 > mI., a aceleracao dada por (3) e positiva, isto e, m ,sobe e 1 1 1 2 desce. Isso e consistente com a sua representacao

mental? Se m, > 7 1 1 2 , a aceleracao e negativa e as massas se

deslocam na direcao oposta.

(3)

CAPiTULO 4 As Leis do Movimeiuo

Substituindo (3) em (I) encontramos

(4) T= ( 2m]m2 ) gtn , + m2

CasosEspeciais Quando m] = m'b (3) e (4) nos fornecem

e T =mIg = tnzg, como esperariamos intuitivamente para

caso equilibrado, Tambem, se tn2 » 1 1 1 1 , a = g (urn cor

em queda livre) e T=O . Esperarfamos que tn, tivesse pou

efeito para uma massa tao grande como " " 2 nesse caso, de

forma que 1112escl simplesmente cai?do. Vemos assim qu

nossos resultados estao consistentes com nossas previsoes

intuitivas nessas duas situacces-Iimites.

ExERCicIO Encontre a aceleracao e a tensao de uma maq

de Atwood na qual tnl = 2,00 kg e 1 1 ' - 2 = = 4,00 kg.

R esp osta a = 3,27 m/ 52, T = 26, I

Exemplo 4.5 Um Bloco Empurra Outro

Dois blocos de massas tnJ e m2>com m , > 11'-2,ao colocados

em cantata entre si sobre uma superficie horizontal sem

atrito, como na Figura 4.14a. Vma forca horizontal constante

Fe aplicada a t n , da forma mostrada na figura. (a) Encontre

o modulo da aceleracao do sistema de dois blocos.

Racioclnio e Solu.;ao Os dois blocos tern de tel' a .mesma

aceleracao, pois estao em contato entre si e permanecem em

contato entre si. Modelamos 0 sistema de dais bloc os como

uma parncula sob a acao de uma forca resultante, Como F ea unica forca horizontal exercida sobre 0 sistema, tern os

I..(sistema)= F= (tn, + m2)a

(b) Determine a modulo da forca de contato entre os

dois blocos.

Raciocrnio e Solu~ao A forca de contaro e inrerna do sis-

tema de dois blocos, Assirn, nao podernos encontrar essa

forca modelando 0 sistema todo como uma particula unica.

Precisamos agora tratar cada urn dos do is blocos individual-

mente como uma particula sob a acao de uma forca resul-

tante. Tracamos primeiro urn diagrama de corpo livre para

cada bloco, como mostrado nas Figuras 4.14b e 4.14c, em

que a forca de contato e representada por P. Vemos da

Figura 4.14c que a unica forca horizontal agindo sobre 1 1 b - 2 e a

forca de contato P'2 (a forca exercida por t n , sobre m2), que

(a)

F

f .

2

Pl2

- -''I?

/'lg

II!

( h) (e)

Plgul'll 4.14

(Exemplo 4.5)

e direcionada para a direita, Aplicando a segunda lei de Ne

a 11'-2obtem-se

Substituindo em (2) 0valor da aceleracao a dada por (1)

obtern-se

(3)



12 8 PrincipiQs de Fisico,

A partir desse resultado, vemos que a forca de contato Pl 2 e

menorque a forca aplicada F Isso e consistente com 0fato de

que a forca necessaria para acelerar somente 1 l Z 2 tern de ser

menor que a forca necessaria para produzir a mesma acele-

racao no sistema de dois bloc os. Compare isso com as forcas

nos engates do trern em Pensando a Ffsica 4.1.

t instrutivo verificar essa expressao para PI2ao conside-

rar as forcas agindo sobre ml, mostradas na Figura 4.14b. As

forcas horizontais agindo sabre m) sao a forca aplicada F para

a direita e a forca de contato P21 para a esquerda (a forca

exercida por 1 l Z 2 sobre rnd. Da terceira lei de Newton, temos

que P21 e a reacao a P12, assim P2 J = = P12' Aplicando a segu

lei de Newton a 1n 1 obtern-se

(4) lF , . = F - P21 = F - Pl 2 = tnja

Obtendo Pl2 e substituindo 0 valor de a obtido de (1) em

temos

Esse resultado concorda com (3), como tinha de ser.

116p1do4 . 10

Imagine que a forca F no Exemplo 4.5 e aplicada para a esquerda sobre a massa

do: lado direito 1 1 1<2 . 0 modulo da forca PJ2 e agora (a) maior, (b) menor, ou (c)

igual ao modulo da forca PI2 no Exemplo 4.5?

Exemplo 4.6 Pesando run Peixe no Elevador

Uma pessoa pesa urn peixe em uma balanca de mola ligada

ao teto de urn elevador, como mostrado na Figura 4.15.

Mestre que, se 0elevador acelera, a balanca de mola passa a

indicar urn peso diferente do peso verdadeiro do peixe,

Raciocinio Um observador no elevador acelerado nao e um

sistema inercial. Precisamos analisar essa siruacao em urn sis-

tema inercial, assim vamos imaginar queestamos observandoa situacao a partir do solo estacionario. Modelamos 0 peixe

como urna partfcula sob a acao de uma forca resultante. As

forcas externas agindo sobre 0peixe sao a forca gravitacional

apontando para baixo Fge a forca para cima T exercida sobre

ele pelo gancho dependurado da base da balanca, (Pode ser

mais util na sua representacao mental imaginar que 0gancho

e urn fio ligando 0 peixe a balanca.) Como a tensao e a

mesma ao longo do gancho segurando 0 peixe, 0gancho

puxa a balanca de mola para baixo com uma forca de mo.

dulo T.Assim, a tensao Tno gancho e tambern a indrcacao

na escala da balanca,

Se 0elevador esta parado ou em movimento com veloci-

dade constante, 0peixe nao est;i acelerado e e uma partfcula

em equilibrio, 0que nos fornece " ' 1 F y " " T - mg "" 0 - T "" mg .

Contudo, se 0elevador acelera para cima au para baixo, a

tensao nao sera mais igual ao peso do peixe, pois T -mgnao emais igual azero.

Solu~ao Se 0elevador tern aceleracao a em relacao a um

observador em urn sistema inercial fora do elevador, a

segunda lei de Newton na direcao vertical aplicada ao peixe

nos fornece

que leva a

(l) T "" mg + may

Assim, conclufmos de (1) que a indicacao T da balanca e

maior que 0 peso mg se a e para cima, como na Figura 4.

Alem disso, vemos que T e menor que mg se a aponta par

baixo, como na Figura 4.15b. POI' exemplo, se 0 peso do p

e 40,0 N, e a e para cima com ~ '" 2,00 m/s:?, entao a indi

cacao da balanca e

T "" mg + may"" mg (1 + -; )

= (40,0 N ) ( I + 2,00 m/s:) = 48,2 N9,80 mls

Se a)',. -2,00 m/s2, de tal forma que a e para baixo, entao

T = mg(l + . E l . ) = (40,0 N ) ( l + - 2,00 m/;2) = 31g 9,80 m/s

Portanto, se voce comprar um peixe em urn elevador,

certifique-se de que .0 peixe seja pesado enquanto 0 eleva

esta em repDuso ou acelerado para baixol

Casu Especial Se 0cabo do elevador se romper, ele vai cai

Iivremente de forma que ay '" -g, e de (1) veremos que a.

tensao Tsera nula; isto e , 0 peixe parecera nao ter peso.



(a)

Figura 4.115

T

CAPiTULO 4

(b)

As Leis do Mouimento

mg

sistema incrcial

T

m g

(Exernplo 4.6) (a) Quando 0elevador acelera p ara c im a; a leitura na escala da baianca de mola

lornece urn valor maior que 0 peso verdadeiro do peixe, (b) Quando 0elevador acelera pam baixo,

a indicacao da balanca de mola fornece um valor menor que 0peso verdadeiro.

ConeX8o com 0Contexto

4.8 • CONTROLANDO A NAVE ESPACIAL NO ESPAyO VAZIO

Toda a nossa viagem da Terra ate Marte sera govemada pelas leis da dinarnica. Vere-

mos os detalhes da viagem planejada na Conclusao de Contexto, em seguida ao Capi-

tulo 11. Nesta secao, apresentamos urn exemplo de uma correcao durante 0 v60. En-

quanto voce Ie esta discussao, observe que todas as tres leis de Newton estao

envolvidas.

Suponha que estejamos em uma situacao como a mostrada na Figura 4.16,

nossa nave espacial esta em uma trajet6ria errada em direcao a nosso destino, Nossa

"'<Tr~et6riareal 7Trajeteria desejada

Figura 4.18

ossa nave espacial esta em urna

jetoria diferente da trajetoria des

jada. Como devernos acionar os

teres para colocar a nave espacial

trajetoria correta?



130 Principios de Fisica

Vclocidade real, v

Mudartca de velocidad

necessaria, t.v

Trajetoria descjada

. . . . . . '"

...<---Traict6da real

Vdncidade

desejada, Vi i

Figura4.17]

Aprescntarnos os ires vetores velocidade necessaries para resolver 0 problema colocado pela

Figura 4.16 - a velocidade real, a velocidade desejada e a mudanca na velocidade.

trajet6ria efetiva e diferente da trajet6ria desejada. A primeira lei de Newtodiz que continuaremos em nossa trajet6ria incorreta na ausencia de urna

Como podemos retornar nossa nave espacial para a trajetoria correta? Em q

recao devemos acionar os rnotores do foguete? Podernos responder a

questoes estabelecendo inicialmente urna representacao pict6rica rnostrand

vetores velocidade, como na Figura 4.17.

o vetor Av para a mudanca na velocidade na Figura 4.17 indica a direc

aceleracao que temos de fomecer a nave espacial, pois a= !lv/At. Assim, temacionar os motores do foguete na direcao exatamente oposta no instante em

cruzamos a trajet6ria desejada, como rnostrado na Figura 4.18. (lmaginamos

existem propulsores nos lados da nave espacial que podem fazer que ela g

espa.;o ate a posicao indicada.) Isso e urna aplicacao da terceira lei de Newto

nave espacial exerce sobre os gases de escape urna forca Fng (a forca exercid

nave espacial sobre os gases) em uma direcao, e os gases exercem sobre a nave

cial uma forca Fgn = -Fng na direcao oposta. Ternos tambem de acionar os mo

do foguete durante 0 intervalo exato de tempo para que isso nos forneca

danca desejada na velocidade. Podemos encontrar 0 tempo necessario de a

mento dos motores do foguete a partir da segundo lei de Newton, pois conhec

a mudanca desejada na velocidade e supomos que conhecemos a massa m da

Trajetoria desejada

Velocidade real, v

Mudanc;a de velocida

necessaria, t.v

/

desejada, v«

Figura4.18

Ternos de acionar os rnotores na direcao oposla a mudanca no vetor velocidade de forma que, pe

terceira lei de Newton, a nave espacial fique sob a acao de urna forca na direcao desse vetor.



CAPiT LO 4 As Leis do Mouimento

espacial. Escrevemos a segunda lei de Newton para as componentes ao longo da

direcao de av na Figura 4.18:

a t = 1 I ' I 1 l . v

Fgn

Desde que a correcao durante 0 v60 seja bern pequena, 0 tempo necessario de

acionamento dos motores a t pode ser aproximado por essa equacao, pois conhe-

cemos a massa m da nave espacial e a forca Fgn feita pelo motor, e encontramos a

mudanca a v necessaria a partir da Figura 4.18.

Para correcoes de curso grandes, surgem duas cornplicacoes majores, que nao

incluimos nesta discussao simples e que podem exigir urn modelo mais refinado:

a vF. =ma=m-- --gn a t

• A massa da-nave espacial muda para tempos de acionamento maiores, de tal

forma que !.F = ma deixa de ser a forma apropriada da segunda lei de Newton.

(A forma mais apropriada envolve 0 conceito de memento, discutido no

Capitulo 8.) Isso pode exigir a utilizacao do calculo,

• Se e relativamente longo 0 tempo a t para 0acionamento dos rnotores, quando

se alcanca a velocidade desejada, a nave espacial pode estar em uma trajetoria

paralela acima da trajetoria desejada na Figura 4.16. Assim, tern de ser cuida-dosamente controlada a regulagem de tempo para 0infcio do acionamento dos

rnotores do foguete.

Nao lidarernos com essas complicacoes, pois estamos nos limitando a urn enfoque

relativamente simples de 110SS0 problema contextual.

No proximo capitulo, investigaremos mais detalhes sobre a forca gravitacio-

nal. Esta e a (mica forca sobre nossa nave espacial, uma vez que os motores

do foguete foram desligados, sendo assirn urn fator irnportante na analise de nossa

viagem a Marte.

RESUMO

A primeira lei de Newton afirma que, se nenhurna forca eexercida sobre urn corpo, urn corpo em repouso vai per-

manecer em repouso, e urn corpo em movimento uniforme

em linha reta mantera esse movimento.

A primeira lei de Newton define urn sistema de referencia

inercial, que e urn referencial no qual e valida a primeira lei de

Newton.

A segunda lei de Newton afirma que a aceleracao de urn

corpo e diretamente proporcional a forca resultante agindo so-

bre 0 corpo e inversamente proporcional a massa do corpo.

Assim, a forca resultante sobre urn corpo e igual ao produto da

massa do corpo e de sua aceleracao,

[ 4 . 2 1

o peso de urn corpo e igual ao produto de sua rnassagrandeza escalar) pelo m6dulo da aceleracao de queda

ou

l~ =mg

Se a aceleracao de urn corpo e nula, entao 0corpo es

equilfbrio, com as equacoes apropriadas sendo

A terceira lei de Newton afirma que, se dois corpos interag

forca exercida sobre 0corpo 1 pelo corpo 2 e iguaJ em mo

mas oposta em direcao a forca exercida sobre 0corpo

corpo 1. Assim, uma forca isolada nao pode existir na nat

QUESTOES---------------------------------------------------------

1 Trace urn diagrarna de corpo livre para cad a urn dos

seguintes corpos: (a) urn projetil em movimento na pre-

senca da resistencia do ar, (b) urn foguete deixando a

rampa de lancarnento com seus motores acionados, (c)

urn atleta correndo ao longo de uma pista horizontal.

2 No filme I t H a p pe ne d One Night (Columbia Pictures, 1934),

Clark Gable esta parado dentro de urn onibus estacionario

em frente de Claudette Colbert, que esta sentada, 0 bnibus

corneca a ir para frente de repente e Clark cai no c

Claudette. Por que isso acontece?

3 Urn passageiro sentado na parte de tras de urn o

alega que se machucou quando 0 motorista deu

freada rapida, fazendo que uma rnaleta viesse voand

frente do onibus are 0 passageiro. Se voce fosse

desse caso, que atitude tomaria? Por que?



132 Pnncipios deFisica

4 Enquanto voce esta sehtado em uma cadeira, esta 0 em-

purra para cima com forca normal. Essa forca e igual a

seu peso e atua na direcao 0POSla. Essa forca e a reacao a seu

yeso da terceira lei de ewton?

5 Uma exploradora espacial esta em uma nave espacial em

movimento atraves do espaco, longe de qualquer planeta

ou estrela, Ela nota uma grande rocha, considerada uma

amostra de UlI1 planeta desconhecido, flutuando ao redor

da cabine cia nave espacial, Para coloca-la em um compar-

timento cia nave, la deve ernpurra-la levernente ou deve

impeli-Ia bruscamente? POI' que?

6 0 observador no elevador acelerado do Exernplo 4.6 diria

que 0 "peso" do peixe e 1~a leitura do indicador da ba-

lanca. Isso esta obviamente errado, POl' que essa observa-

cao difere da observacao de uma pessoa de fora do eleva-

dor, parada em relacao a Terra?

7 Identifique as pares de acao-reacao na ituacoes seguin-

tes: um homern da urn passo; uma bola de neve atinge as

costas de uma garota; um jogador de beisebol agarra uma

bola; uma rajada de vento atinge umajanela.8 Enquanto uma bola de futebol esta em movimento no ar,

quais forcas agem sobre ela? Quais sao os pares de acao-

reacao enquanto a bola esta sendo chutada e enquanto ela

esta em movimento no ar?

9 Solta-se urna bola de borracha sobre 0 chao. Quais forcas

fazem que a bola pule de volta para 0 ar?

10 0 que esta errado na Frase "Como 0 carro esta parade,

PROBLEMAS

nao existem fo r cas sobre ele"? Como voce corrigiria

sentenca?

11 Se 0 ouro fosse vendido pelo peso, voce 0 compraria

alto de uma montanha ou em um vale profundo?

fosse vendido pela massa, em qual clos dois locais

preferiria cornpra-Io? Por que?

12 m halterofilista esta sobre lima balanca de banheiro.

levanta e abaixa um haltere. 0 que acontece com a l

do indicador da balanca enquanto isso e feito? Sup

que ele seja forte 0 suficiente para arremessar 0 h

para cirna. Como varia 0inclicador cia balanca nesse

13 0 prefeito de uma eidade decide dernitir alguns emp

dos, pois eles nao rernovern as curvaturas nos fios q

portarn os semaforos. Se voce fosse urn advogado,

argumentos voce utilizaria em defesa dos emprega

Quem voce acha que ganharia esse caso no tribuna]?

14 Em um cabo de guerra entre dois atletas, cada atleta

a corda COm uma forca de 200 . Qual e a tensa

corda? Se a corda nao se movimenta, qual e a forca

cada atleta exerce contra 0 solo?15 Suponha que ur n caminhao carregado com areia a

a 0,5 m/52 em uma rodovia. Se a forca que impulsio

caminhao permanece constante, 0que aeontece com

aceleracao .e ele perde areia em uma taxa constant

vido a urn buraco no fundo?

16 Um corpo pode exercer uma forca sobre si mesmo?

cuta sua resposta.

1,2·,3::0 direto, intermediario, desafiador = par de problemas numericoz'simbolico

Q~omputador uti! para a solucao do problema II = = aplicacao a ciencia da vida

Se~io 4.3 Massa Inercial

Uma forca F aplicada a um COl-pO de rnassa 7 1 t 1 produz

aceleracao de 3,00 m/s2, A mesma forca aplicada a urn se-

gundo corpo de massa 1 1 1 < 2 produz aceleracao de 1,00 m/s2.

(a) Qual e 0valor cia razao tlt//m2? (b) Se sao reunidas as

rnassas 71tJ e 1n2, encontre a aceleracao do sistema sob a

ar;ao da forca F.2 (a) Um carro com massa de 850 kg esta em movimento

para a direita a velocidade escalar constante de 1,44 m/ s.

Qual e a forca total sobre 0 carro? Qual e a forca total 50-

bre 0carro se ele esta em movimento para a esquerda?

Se~io 4.4 ASegunda Lei de Newton - AParticula sob

a Agao de urna Forc;aResultante

Um corpo de massa 3,00 kg sofre uma aceleracao dada

par a = = (2,00i + 5.00j) m/s2. Encontre a expressao vetorial

para a forca resultante agindo sobre ele e 0 modulo

forea,

4 0 canhao antiaereo de maior calibre operado pela

aerea alerna durante a Segunda Guerra Mundial

Flak 40 de 12,8 em. Essa arma lancava uma bala de ca

eom 25,8 kg a velocidade escalar de saida de 880

Qual forca propulsora era necessaria para se atingir

velocidade de escape dentro do canhao de 6,0(Suponha que a bala de canhao tinha movirneruo

: . ' I zontal com aceleracao constante e despreze 0 atrito.)

5'")Duas forcas, F) = (-6i - 4j) N e Fz = (-3i + 7j) N, age

bre uma particula de massa 2,00 kg que esta inicialm

em repouso nas coordenadas (-2,00 m, +4,00 m

Quais sao as componentes da velocidade da parucula

1= 10,0 s? (b) Em que direcao desloca-se a partfcul

t = 10,0 s? (e) Qual e 0 deslocamento da particula du

os primeiros 10,0 s? (d) Quais sao as coordenadas d

tlcula em t = = 10,0 s?



•6 Duas pessoas puxam cordas horizontais ligadas a urn barco

que tern massa de 200 kg da maneira mais forte que po-

demo Se elas puxam na mesma direcao, 0barco tern ace-

leracao de 1,52 m/s2 para a direita. Se elas puxam em di-

recoes opostas, 0 barco tern aceleracao de 0,518 m/52 para

a esquerda. Qua] e a forca exercida por cada pessoa sobre

o barco? (Despreze quaisquer outras forcas horizontais so-~ • bre a barco.)

7 Duas forcas FJ e F2 agem sobre urn corpo de 5,00 kg. Se

F J = = 20,0 N e F 2 = = 15,0 N, encontre as aceleracoes em (a) e

(b) da Figura P4.7.

'1

_ ~o,Oo

m . ... . .:....---- .. F [

(a)

Figura P4.7

8· Tres forcas, dadas por FI = (-2,OOi + 2,OOj) N, F2 = (5,OOi-

3,OOj) N, e F3 = (-45,Oi) N, agem sobre urn corpo dando-

lhe aceleracao de modulo 3,75 m/s2. (a) Qual e a direcao

dessa aceleracao> (b) Qua] e a massa do carpo? (c) Se 0

corpo esta inicialmente em repouso, qual e sua velocidade

escalar apos 10,0 s? (d) Quais sao as componentes da ve-

t _ - t : : ' t locidade do eorpo apos 10,0 s?

1 r 9 ) Urn corpo de 3,00 kg esta em movimento em lim plano,

- com suas coordenadas x e y dadas par x =5f'- - 1 e y =313 + 2,

em que x e y estao em metros e testa em segundos. Encon-tre 0modulo da forca resultante agindo sobre esse corpo

em t= 2,00 s.

Se~io 4.5 AForca Gravitacional e 0Peso- -

10 Uma mulher pesa 120 lb. Determine (a) seu peso em

newtons e (b) sua massa em quilogramas.

11 Se urn homem pesa 900 N na Terra, quanta ele pesaria

em Jupiter, onde a aceleracao devida a gravidade e de

25,9 m/s2?

12 A forca gravitacional sobre uma bola de beisebol e de -Fgj.

Urn arremessador lanca a bola com velocidade vi aceleran-

do-a uniformemente para frente, horizontalmente ao Ion-go de uma reta, por urn tempo t. Se a bola corneca do

repouso, (a) qual e a dis tan cia pela qual ela e acelerada

antes de ser solta? (b) Qual e a forca exercida pelo ar-

rernessador sobre a bola?

13 Urn eletron de massa 9,11 X 1O-3J kg tern velocidade esca-

lar inicial de 3,00 X 10 5 m/s. Ele esta em movimento em

linha reta, e sua velocidade escalar aumenta para 7,00 X

105 m/s em uma distancia de 5,00 em. 5upondo que sua

aceleracao seja con stante , (a) determine a forca exercida

sobre a eletron e (b) compare essa forc;a com 0 peso do

elerron, que desprezamos oeste problema.

CAPiTULO 4 As Leis do Movillumto

14 Defina 1 libra como 0peso de um corpo de massa

592 37 kg em urn local onde a aceleracao da gravida

de 32,174 0 ft/s2. Expresse a libra como uma gran

com uma unidade 51.

15 A distincao entre peso e massa foi descoberta apos

Richer tel' transportado rel6gios de pendulo de Paris

Guiana Francesa em 1671. Ele descobriu que datrasavarn hi de forma bern sistematica. 0 efeito e

vertido quando os relogios voltavarn a Paris. Qu

peso voce perderia pessoalmente ao viajar de Paris,

g= 9,809 5 m/s2, ate Caiena, on de g= 9,780 8 m/s2?

mos considerar como a aceleracao de queda livre inf

cia 0perfodo de urn pendulo na Secao 12.4.)

16 Alem de sen peso, urn corpo de 2,80 kg esta suje

outra forca constante, 0corpo comeca do repouso

1,20 s sofre urn deslocamento de (4,20 m)i - (3,30

onde a direcao de j e a direcao vertical para cirna. D

mine a outra forca.

Se~io 4.6 ATerceira LeLd.e~Newton

17·Voce esta no assento de uma cadeira e pula fora. (a

rante 0tempo em que voce esta no ar indo ate 0ch

Terra esta indo em direcao a voce corn aceleracao d

ordern de grandeza? Explique sua 16gica na .ua sol

Modele a Terra como um corpo perfeitamente solido

A Terra desloca-se para cima par uma distancia de qu

dem de grandeza?

18 A velocidade escalar media de uma molecula de

genic no ar e de aproximadamente 6,70 X 102 mz's,

massa e de 4,68 X 10-26 kg. (a) Se leva 3,00 X 10-13

uma molecula de nitrogenio atingir urna parede e

com a mesrna velocidade escalar, mas se movendo

recao oposta, qua] e a aceleracao media da molecula

rante esse intervalo de tempo? (b) Qual e a forca m

que a molecula exerce sobre a parede?

19· Um bloco de 15,0 Ib esta parado no chao. (a) Qua

forca que 0 chao exerce sobre 0 bloco? (b) Se uma

e ligada ao bloco e sobe verticalmente ate uma poJi

outra extrernidade e ligada a um peso de 10,0 Ib d

durado livremente, qual e a forca do chao sobre 0

de 15,0 Ib? (c) Se substituirnos 0 peso de 10,0 Ib no

(b) par urn peso de 20,0 Ib, qual e a forca exercida

chao sobre 0 bloco de 15,0 lb?

Se9io 4. 7 Aplicac;o~as L~is d~ Newton

%0·Urn saco de cimento de peso de 325 Nesta dependur

por tres fios como sugerido na Figura P4.20. Dois do

fazern angulos (h z60,00 e ()2 = 25,00 com a horizonta

o sistema esta em equilibria, encontre as tensoes Tf,

Q T3 nos fios.

21· Urn saco de cimento de peso F g esta dependurado po

fios como mostrado na Figura P4.20. Dois dos fios f



· , 1'l.

T

\C)~ , , , , I ' "~

~.". \ 30,00

FI

Figura P4.23

134 Princfpios deFisica

ingulos ()1 e ()2 com a horizontal. Se 0 sistema esta em

equilfbrio, mostre que a tensao no fio da esquerda e de

T/ .. Fgcos 821 sen «()l + ()2)

FiguraP4.20 Problemas 20 e 21.

22- Voce e juiz de um concurso de pipas de criancas, e duas

criancas vao ganhar prernios pelas pipas que puxam com a

maior e com a menor forca sobre suas linhas. Para medir

as tensoes das linhas, voce peg-a emprestado um suporte de

pesos, alguns pesos com fendas, e urn transferidor de seu

professor de fisica, e utiliza 0 protocolo seguinte, ilustrado

na Figura P4.22: espere ate uma crianca ter sua pipa bem

controlada no ceu, dependure a suporte de pesos na linha

da pipa a uns 30 em da mao da crianca, coloque os pesos

ate que essa parte da linha esteja horizontal, <mote a massa

necessaria, e meca 0 anf:,'Ldoentre a horizontal e a linha

indo ate a pipa. (a) Explique como funciona esse metoda.

Enquanto voce prepara sua explicacao, imagine que as

pais da crianca the perguntam sobre seu metoda, porque

eles podem fazer suposicoes falsas sobre sua habilidade sern

ter evidencias concretas, e sua explicacao e uma oportu-

nidade de lhes dar confianca em sua tecnica de avaliacao.

Figura P4.22

(b) Encontre a tensao na linha se a massa e de 132angulo da linha da pipa e 46,3°.

23 Observa-se urn corpo de 1,00 kg acelerar a 10,0 m/s2

uma direcao 30,0° ao norte do leste (Fig. P4.23). A

F2 agindo sobre 0corpo tern modulo de 5,00 N e esta

cionada para 0norte. Determine 0modulo e a direca

forca Fl agindo sabre 0 corpo.

24- Urn acelerornetro simples e construido suspendendourn corpo de massa m par urn fio de comprimento L

esta ligado ao teto de urn carro. Quando a carro acele

fio faz um angulo constante e com a vertical. (a) Supo

que 0 fio tenha massa desprezfvel comparada com m

rive uma expressao para a aceleracao do carro em te

de e e mostre que ela e independente da massa m

comprimento L (b) Determine a aceleracao do

quando 8 = 23,0°. '

25 Os sistemas mostrados na Figura P4.25 estao em e

brio. Se as balancas de mola estao calibradas em new

5,00 kg 5,00 kg

(a)

5,00 kg(c)

5,00 kg

(b)

Figura P4.25



o que elas indicam? (Despreze as massas d a s polias e dos

fios, e suponha que 0 plano inclinado nao ofereca atrito.)

26· Urn eorpo de 5,00 kg eolocado em uma mesa horizontal

sem arrito e ligado a urn cabo que passa por uma polia,

sendo entao ligado a urn corpo de 10,0 kg dependurado,

como na Figura P4.26. Desenhe diagramas de corpo livre

dos do is corpos, Encontre a aceleracao dos dois corpos e a

tensao no cabo.5,00 kg

10,0 kg

Figura P4.28

27 D o i s corpos, de m a s s a s ml e 1 1 1 2 , situados sobre uma super-

ficie horizontal e sem atrito, estao ligados por urn fio leve.

Uma forca F e exercida sobre um dos earpos para a direita

(Figura P4.27). Determine a aceleracao do sistema e a ten-

sao Tno fio,

Figura P4.27

28 Desenhe urn diagrama de corpo livre de urn bloeo que es-correga para baixo por urn plano sem atrito tendo uma in-

clinacao de ()= 15,00 (Figura P4.28). Se 0bloco corneca do

repouso no topo e 0 comprimento do plano inclinado e de

2,00 m, encontre (a) a aceleracao do bloeo e (b) sua veloci-

dade escalar quando ele alcanca a base do plano inclinado,

Figura P4.28 Problemas 28 e 29.

29 E dada uma velocidade escalar inicial de 5,00 m/s a urn

bloco em urn plano sem atrito inclinado 20,00 (veja Fi-

gura P4.28). Qual e a distancia ao longo do plano incli-

nado para cima que 0 bloco escorrega antes de chegar

ao repouso?

30 Urn dos grandes perigos para quem sobe montanhas euma avalanche, na qual uma grande massa de neve e de

gelo se solta e desce essencialrnente sem atrito pelos la-

dos da montanha sobre urn colchao de ar comprimido.

CAP t r As Lei s do Movi 'l ll ,e nt o0 4

Se voce estivesse em uma montanha inclinada 30,00 e

avalanche comecasse 400 m acima, ao Iongo da inclinac

quanto tempo voce teria para sair fora do caminho?

31· Dois corpos de massas 3,00 kg e 5,00 kg estao ligados

um fio leve que passa por uma polia sern atrito, como

Figura 4.13a. Determine (a) a tensao no fio, (b) a ac

racao de cada corpo, e (c) a distancia que cada corpo

se deslocar no primeiro segundo do movimento secomecam do repouso.

32· Na miquina de Atwood mostrada na Figura 4.13a, m

2,00 kg e 1 1 1 2 = = 7,00 kg. Sao despreziveis as mass as da p

e do fio. A polia gira sem atrito e 0 fio nao estica, 0 co

de massa m] e solto com urn impulso violento que 0 co

em movimento a Vi = = 2,40 mls para baixo. (a) Qual e a

tancia que 1 1 1 1 vai descer abaixo de seu nfvel inicial?

Encontre a velocidade de ml apos 1,80 s.

33- No sistema mostrado na Figura P4.33, uma forca horiz

tal de modulo F .x age sobre 0corpo de 8,00 kg. A supe

cie horizontal e sern atrito. (a) Para quais valores de

corpo de 2,00 kg acelera para cima? (b) Para quais val

de J : : e nula a tensao na corda.? (c) Faca urn graficoaceleracao do corpo de 8,00 kg em funcao de 1 ' . , Incvalores de Fx de -100 ate +100 N.

Figura P4.33

34 - Dois corpos estao ligados por urn flo leve que passa

uma polia sem atrito, como na Figura P4.34. Se 0pl

,Figura P4.34



136 Pri nc ip i os d e F i si co

inclinado e sem atrito e se mI·"" 2,00 kg, 1 IlQ '" 6,00 kg, e 8""

55,0°, encontre (a) a aceleracao dos corpos, (b) a tensao

no fio, e (c) a velocidade escalar de cada corpo 2,00 s apos

\ ser soltos do repouso. Desenhe diagramas de corpo livre

pam os dois COl'pOS.. -35 Um homem de 72,0 kg esta sobre uma balanca de mala

em umelevador, Comecando

do repouso, aelevador

sobe,atingindo sua velocidade escalar maxima de 1,20 m/s em

0,800 s. Ele continua com essa velocidade escalar cons-

tante durante as pr6ximos 5,00 s. 0elevador passa entao a

ter aceleracao unifonne na direcao )' negativa por 1,50 s

ate alcancar 0 repouso. 0 que registra a balanca de mola

(a) antes de 0 elevador comecar a se mover? (b) durante

os primeiros 0,800 sf' (c) enquanto a elevador esta em

movimento com velocidade escalar constante? (d) durante

o tempo em que esta freando?

36- Um plano inclinado sem atrito tern 10,0 m de compri-

menta e esta inclinado a 35,0°. Uma particula parte da

base, com velocidade escalar inicial de 5,00 mZs, subindo

o plano inclinado. Quando atinge a ponto no qual elapara momentaneamente, uma segunda particula e solta

do tapa do plano inclinado com velocidade escalar inicial

Vi para baixo ao longo do plano inclmado, As duas par-

ticulas atingem a base do plano inclinado no mesrno ins-

tante, (a) Determine a distancia que a primeira particula

percorreu subindo 0 plano inclinado. (b) Determine a ve-

loci dade escalar inicial da segunda particula.

Se~ao 4.8 conexao com 0 Contexto - Controlando

a N ave Espacia l no EspaQ o Vazio

37 Para rnodelar uma nave espacial, urn motor de foguete de

brinquedo e preso seguramente a urn grande disco deh6quei, que pode deslizar com atrito desprezivel sobre

uma superffcie horizontal, considerada como 0 plano xy .

o disco de 4,00 kg tem velocidade de 3 ,OOi m /s em urn

instante. Oito segundos mais tarde, sua velocidade e de

(8 ,OOi + 10,Oj) m/s. Supondo que 0 motor do foguete

exerca forca horizontal constante, encontre (a) as compo-

nentes da forca e (b) seu modulo.

Prob lemas Ad ic ionai s

38· Urn corpo de massa m! sobre uma mesa horizontal sem

atrito e ligado a urn corpo de massa m2 par uma polia

bern leve Pj e por uma polia fixa P2, como mostrado na

Figura P4.38. (a) S e al e ll2 sao as aceleracoes de mj e 1 1 1 < 2 >

FiguraP4.38

respectivamente, qual e a relacao entre essas aceler

\ Expresse (b) as tensoes nos fios e (c) as aceleracoes

em terrnos das massas m1 e 1 1 1 > " e de g.. .. .39. Uma crianca criativa chamada Pat quer alcancar urn

em uma arvore sern subir nela, Sentada em urn ban

do a uma corda que passa por uma polia sem atrito

ra P4.39), Pat puxa a extrernidade livre da corda

forca que a balanca de mala indica 250 N. 0 pe

dadeiro de Pat e de 320 N, eo banco, pesa 160 N.

senhe diagramas de corpo livre para Pat' e 0 banco,

derados como sistemas separados, e outro diagrama p

eo banco, considerados como urn sistema. (b) Mestre

aceleracao do sistemae p ara cim a e encontre seu modu

Encontre a forca que Pat exerce sobre 0 banco.

Figura P4.39

40· Tres bloeos estao em cantata entre si sobre uma sup

horizontal plana, como na Figura P4.40. Uma forc

zontal F e aplicada a mI. Se m! '" 2,00 kg, 1 7 l< i ' " 3

1113'" 4,00 kg, e F", 18,0 N, desenhe um diagrama de

livre para cada corpo separado e encontre (a) a

acao dos blocos, (b) a forca resultante sabre cada b

(c) as modules das forcas de cantata entre os bloc

Voce esta trabalhando em urn projeto de const

Dutro trabalhador esta prendendo com pregas fogesso com papel em urn lado de uma parede d

leve, e voce esta do outro lado, dando "suporte" ao

as costas contra a parede, empurrando-a, Toda a ma

Figura P4.40



faz que haja dor nas suas costas. 0 supervisor 0 ajuda a

colocar um bloco pesado de madeira entre a parede e

suas costas. Uti lizando a si tuacao analisada nos iens (a),

(b) e (c) como modele, explique como isso torna seu tra-

balho mais confortavel,

4 1 Urn mergulhador de massa de 70,0 kg pula de um tram-

polim a 10,0 m acima da agua, Se sua descida e parada

2,00 s ap6s ele entrar na agua, qual foi a forca media para

cima exercida pela agua sobre ele?•42 Qualquer aparelho que the permita alterar a forca que voce

exerce e urn tipo de nuiquina. Algumas maquinas, tais como

a alavanca ou 0 plano inciinado, sao muito simples. Algu-

mas maquinas nem se parecem com maquinas. Urn exem-

plo e 0seguinte: seu carro esta atolado na lama, e voce nao

consegue fazer forca suficiente para rernove-lo. Contudo,

voce tern urn longo cabo, que liga entre 0para-cheque di-

anteiro e 0 tronco de lima arvore resistente e mantern 0

cabo esticado enquanto a amarra ao redor da arvore, Voce

agora empurra 0 cabo de lado em seu ponto media, exer-

cendo uma forca f. Cada rnetade do cabo e deslocada pOT"

um pequeno angulo f J a partir da linha reta entre as extre-

rnidades do cabo. (a) Deduza urna expressao para 0mo-

dulo da forca agindo sobre 0carro. (b) Calcule a tensao no

cabo para 0 caso em que f J = 7,000 e f = 100 N.

43· Dois blows de massa 3,50 kg e 8,00 kg estao Iigados por

urn fio sem massa passando por uma polia sem atrito (Figura

P4.43). Os pianos inclinados sao sern atrito. Encontre (a) 0

modulo da aceleracao de cada bloco e (b) a tensao no fio.

Figura P4.43

4 4 , - Se voce pular de uma mesa e cair em urn chao de concreto

III com as pernas retas e duras, ha boa chance de que quebre

uma perna. Para vel' como isso ocorre, considere a forca

media que esta parando 0 seu corpo quando voce cai do

repouso de urna altura de 1,00 m e para em lima distancia

rnuito menor d. Provavelmente sua perna vai quebrar

onde e menor a area de secao reta de seu osso (a tibia). Isso

ocorre em urn ponto logo acima do tornozelo, onde a area

de secao reta de lim osso e de aproxirnadamente 160 cm2.

Um osso quebra quando a pressao de compressao sabre

ele excede cerca de 1,60 X 108 N/m2. Se voce chega ao

chao sobre as duas· pernas, a forca maxima que sells

tomozelos podem exercer seguramente sobre 0 restante

de seu corpo e, en tao, de aproximadamente

2(1,60 X 108 N/m2) (1,60 X 10-4 m2) = 5,12 X 104 N.

Calcule a distancia de parar d minima que nao resulte em

uma perna quebrada se sua massa e de 60,0 kg. Nao rente

istol Dobre seusjoelhosl

CAPiTULO 4 A s L eis d o M o oim e nto 1

45- Urn estudante de flsica curioso, de ejando combinar °pracom a curiosidade cientifica, entra em uma montanha-ru

sentado em uma balanca de banheiro, (Nao tente isto

uma monranha-russa que proibe pacotes pesados soltos.)

base do assento no vagao da montanha-russa esta em

plano paralelo a pista. 0 assento tem um encosto perpen

cular e urn cinto de seguranca e preso ao redor do peitoestudante em urn plano paralelo a base do assento, 0 e

dante tira seus pes do chao, de tal forma que a balanca ind

seu peso, 200 lb, quando 0vagao esta horizontal. Em

ponto durante a percurso, 0vagao passa correndo com at

desprezivel, descendo pOI' uma inclinacao de 30,0" abaixo

horizontal. 0 que indica a balanca nesse ponto?

46 Urn corpo de 8,40 kg escorrega para baixo ao longo de

Q plano inclinado sern au-ito. Utilize urn computador p

determinar e tabelar a forca normal exercida sobre

COI'PO e sua aceleracao para lima serie de angulos incli

dos (medidos descle a horizontal) indo de on a 90° com

mentes de 5°. Faca urn grafico da forca normal e da ac

racao como funcoes do angulo do plano inclinado, S

resultados sao consistentes com a comportamento

nhecido nos casos-lirnites de on e de gon?

-7 Urn corpo de massa iV I e mantido em repouso par u

forca aplicada F e pOl' urn sistema de polias co

mostrado na Figura P4.47. As po lias sao sem massa e s

atrito. Encontre (a) a tensao em cada trecho cia corda,

72, T3, 1'., e T5, e (b) 0 modulo de F. (Dica: Desenhe

diagrama de corpo livre para cad a polia.) .

1i

. 1

Figura P4.47



13 8 PrincipiQs de Fisico

48: Forrna-se urn mobile pendurando par um fio de compri-

men to L quatro borboletas de metal de rnassas iguais rn .

Os pontos de suporte estao igualmente espacados por uma

distancia C , como mostrado na FiguraP4.48. 0 fio faz urn

angulo 01 com 0teto nas duas extremidades, A secao cen-

tral do fio e horizontal. (a) Encontre a tensao em cada

secao do fio em funcao de 81 , rn e g. (b) Eneontre em

funcao de 0 1 0angulo 0 .2 que as secoes do fio entre as bor-

boletas de fora e as borboletas de dentro fazem com a ho-

rizontal. (c) Mestre que a distancia D entre as extrerni-

clades do fio e dada pOl'

LD = = 52 cos 01 + 2 cos [tg- (t tgOJ») + 1)

1+--------- D -------__..,o-j

Figura P4.48

r .4~. roblema de Revisao. Um bloco de massa m = = 2,00 kg e

solto do repouso de uma altura h = = 0,500 m aeima da suo

perficie de uma mesa, do alto de urn plano inclinado com

0 = = 300° como mostrado na Figura P4.49. 0 plano mcli-

nado sern atrito esta fixo sabre uma mesa de altura

H = = 2,00 m, (a) Determine a aceleracao do bloco en-

quanto de desce escorregando pelo plano inclinado. (b)

Qual e a velocidade escalar do bloco quando ele deixa 0

plano inclinado? (c ) A que distancia da mesa vai 0 bloco

atingir 0solo? (d) Quanto tempo leva entre 0bloco ser

~

TH


\

solto e 0 instante em que atinge 0solo? (e) A mas

bloco afeta qualquer urn dos calculos preeedentes?

50· Solicita-se a urn estudante que meca a aceleracao de urn

Q em urn plano inclinado "sem atrito", utilizando um

de ar, urn cronometro e uma fita metrica. (A Figura

mostra uma situacao similar eom urn treno escorrega

por urn plano inc1inado na neve sem atrito.) Ado plano inclinado e medida como de 1,774 em, e 0

prirnento total do plano inclinado e medido

d = 127,1 em. Portanto, 0 angulo de inclinacao 0 e det

nado pela relacao sen 8 = = },774/127,1. 0arro e sol

repouso do alto do plano inc1inado, e sua posicao

longo do plano inclinado e medida como funcao

tempo, on de x = ° se refere a posicao inicial do carro,

valores de x de 10,0 em, 20,0 em, 35,0 em, 50,0 em, 75

e 100 em, os tempos medidos nessas posicoes (medi

cinco tentativas) foram de 1,02 s, 1,53 s, 2,0} s, 2,64 s,

e 3,75 s, respeetivamente. Trace urn grafico de x contra

faca urn ajuste linear de minimos quadrados para os d

Determine a aceleracao do caITO a partir da inclin

desse grafico, e compare-a com 0valor que voce o

usando a =g sen 8, em que g = = 9,80 m/ 52.

51 Qual e a forca horizontal que tern de ser aplicada ao

mostrado na Figura P4.51 para que os blocos permane

estacionarios em relacao ao carro? Suponha que tod

superficies, rodas, e polias sejam sem atrito. (Dica: Ob

que a forca exercida pelo fio aeelera mi.)

~ }

- -:1.-

F


\

52: Inicialmente a sistema de corpos mostrado na Figura

e mantido sern movimento. Todas as superficies, polia,

das sao sem atrito. Seja a forca F nula e suponha q

pode se mover apenas verticalmente. No instante apo

solto 0sistema de corpos, encontre (a) a tensao Tno fi

a aceleracao de 11Z2,e) a aceleracao de M, e (d) a acele

I de mt. (Nota: A polia aeelerajuntamenle com 0carro.)

53- Urn carro desce acelerado por uma rampa (Figura P

indo do repouso a 30,0 m/s em 6,00 s. Durante a

racao, urn brinquedo (m = 0,100 kg) esta dependurado

urn fio preso ao teto do carro. A aceleracao e tal que

permanece perpendicular ao teto. Determine (a) 0 a

8 e (b) a tcnsao no fio.



Figura P4.53

54:Mecanismos de ressaltos sao utilizados em muitas maqui-

nas. Por exemplo, ressaltos abrern e fecham as valvulas no

motor de seu carro para deixar entrar 0vapor de gasolina

para cada cillndro e permitir a saida do g-:asde escape. 0

principio de urn ressalto e ilustrado na Figura P4.54, mos-

trando uma vareta de acionarnento (tambern chamada

F

Flg~ra P4.54

RESPOSTAS DOS ENIGMAS RAPIDOS

4.1 0 movimento nao requer forca, A primeira lei de Newton

diz que um corpo em movimento continua a se mover por

si proprio na ausencia de forcas externas, E possfvel

agirern forcas sobre urn corpo sem que haja movirnento re-

sultante se as forcas estao equilibradas.

4.2 (a) Se uma unica forca age sobre um corpo, ele tern de

acelerar, (b) Se urn corpo acelera, ao menos uma forca

tern de agir sabre ele, (c) Se um corpo nao tern acele-

racao, voce nao po de concluir que nenhuma forca age so-

bre ele. Nesse caso, voce so pode dizer que a forca resul-

tante sobre ele e nula,

4.3 Se urn corpo comeca do repouso a u esta em movimento

com velocidade com apenas uma componente x, a forca

resultante na direcao x fara que 0 corpo continue 0

CAP ir L 0 < I A s L eis d o M ou im en ta

vareta de valvula) de massa m, apoiada em uma cunha

massa M. A cunha deslizando reproduz a funcao de

ressalto girando no eixo de cornando de valvulas do

carro. Suponha que nenhum atrito exista entre a cunha

base, entre a vareta de valvula e a cunha, au entre a va

e 0guia pelo qual ela desliza, Quando a cunha e em

rada para a esquerda pela forca F, a vareta se desloca

cima e faz algo como abrir uma valvula. Alterando 0

mala da cunha, 0 movimento da vareta de acionamen

pode ser tornado bern complexo, mas imagine qu

cunha faz urn angulo constante de e = 15,0°. Suponha

voce queira que a cunha e a vareta partam do repouso

desloquem com aceleracao constante, com a vareta mo

do-se para cima 1,00 mm em 8,00 ms, Considere tn = 0,25

e M = 0,500 kg. Qual tern de ser 0 modulo F da forca

cada a cunha?

55 Urn onibus espacial orbitando esta em estado aproxima

mente constante de queda livre e cria, portanto, um ambie

de gravidade quase nula dentro dele. A nave espacial

apenas pequenas aceleracoes devidas a resistencia atferica e a exalacoes gasosas dos equipamentos. Essas a

racoes produzern urn ambiente de microgravidade dentro

cabine do onibus espacial, onde a aceleracao de queda li

medida em unidades de p . , g , em que 1 I J . g = 1 X 10

Na Terra, os esrudantes de ffsica as vezes deixam cair

calculadoras. Encontre a tempo de queda e a velocidade

calar de impacto de uma calculadora caindo de 1,30 m

na superficie da Terra e (b) na cabine de uma nave espa

onde a aceleracao de queda livre e de 8,00 p . , g .

56:Na Figura P4.49 0plano inclinado tern massa Me esta p

a tampa da mesa horizontal estacionaria. 0 bloco de rn

m e colocado proximo da base do plano incIinado e e

com urn impulso rapido que 0 faz deslizar para cima.

para proximo do topo do plano indinado, como mostr

na figura, e entao desliza para baixo novamente, ser

sem atrito, Encontre a forca que a tampa da mesa exerce

bre 0plano inclinado durante todo esse movirnento.

movimento na direcao x. Contudo, em qualquer o

caso 0 movimento do corpo vai envolver componentes

velocidade em direcoes diferentes de x. Assim, a dire

do vetor velocidade nao sera em geral ao longo do eix

o que podemos dizer com confianca i-que uma forc

sultante na direcao x faz que 0 corpo seja acelerado n

recao x:

4.4 Como 0 valor de g e menor na Lua do que na Terra,

massa maior de OUrD e necessaria para representar Inew

de peso na Lua. Assim, seu amigo na Lua fie au mais

por um fator de 6!

4.5 A unica forca agindo sobre a bola de beisebol durante

movimento e a forca gravitacional para baixo. 0 mod

dessa forca e mg em todos os pontos do movimento,

cluindo os pontos especfficos mencionados em (a) e (b



140 Prindpios de Fisica

4.6 0 carro e 0caminhiio sofrern forcas que sao iguais em mo-

dulo, mas em direcoes opostas, de acordo com a terce ira lei

de Newton. Uma balanca de mala calibrada colocada entre

os vefculos em colisiio indica 0mesrno valor, qualquer que

seja a direcao em que ela esteja virada. Como 0carro tem

rnassa menor, ele tern aceleracao maior.

4.7 A forca que faz que urn automovel se desloque e 0 atritoentre os pneus e a pista da rodovia a medida que 0au-

tomovel tenta empurrar a pista para tras. Observe que as

forcas do motor nao sao as que aceleram diretamente 0

automovel. A forca impulsionando um aviao a helice para

frente e a forca do ar sobre a helice a medida que a helice

girando empurra 0 ar para tras. A forca que impulsiona

urn foguete e a forca dos gases de escape que saern da

parte traseira do foguete, a medida que 0 foguete expele

os gases para nils. Em urn barco a remo, a agua empurra

as rernos para frente, e a forca e aplicada ao barco nos to-

letes, Todas essas situacoes envolvern a propulsao de um

corpo devida a terceira lei de ewton.

4.8 De acordo com a terceira lei de Newton, a forca dohornem sobre 0 garoto e a forca do garoto sobre 0 homern

sao forcas de reacao da terce ira lei, assim tern de ser iguais

em modulo. Os dois individuos estao sob a acao de uma

forca de mesmo modulo, de forma que 0garoto, com a

menor massa, tern a maior aceleracao. Os dais individuos

Calvin e Haroldo

1. 6plique a prlmeiro lei do

movimento de Newton com

sues pr6prias polovros.

,

tern uma aceleracao durante 0 mesmo intervale de

A aceleracao maior do garoto faz que ele se afaste d

racao com velocidade maior, Novamente, como a

racao f: rnaior, 0garoto percorre uma distancia mai

rante 0 intervalo de tempo no qual suas rnaos est

contato.

4.9 (c). A balanca esta em equilfbrio nas duas situacoes,ma que a forca resultanre sobre ela f: nula, Como cad

viduo puxa com uma forca Fe nao ha aceleracao, cad

viduo esta em equilibria. Portanto, a tensao nas corda

de ser igual a F No caso (i), 0 individuo da direita

com forca Fern uma mola Iigada rigidamente a um

de tijolos, A tensao resultante F na corda faz que a b

indique uma forca F No caso (ii), 0 individuo da esq

pode ser modelado como segurando simplesmente a

firmernente enquanto a individuo da direita a esta

do. Assirn, 0individuo da esquerda esta fazendo a

coisa que 0 rnuro faz no caso (i). A mdicacao resultan

balanca e a mesma, quer seja urn muro, quer seja um

soa que esteja segurando 0lado esquerdo da balanca,4.10 (a). Com a forca aplicada em direcao a esquerda sab

somente a forca de cantata acelera 'IIll. (No exemplo o

somente a forca de cantata acelerava 1 1 1 2 . ) Como ml >

vai exigir mais forca, assim 0modulo de Pl2 f: maior.

Por 8i11Watterson

Yakka Foob Mag. Grug

pubbowup zink wattoom

gazork (humble spuzz.

I~, - : : - . . . . . . . .

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livro - princípios de física - cap 4

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