livro m©todos num©ricos: exerc­cios resolvidos

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  • Mtodos Numricos:exerccios resolvidos aplicados Engenharia e outras Cincias

    Maria Teresa Torres Monteiro

    com a colaborao de Sara Tribuzi M. N. Morais

    Universidade do Minho

    Fevereiro 2012

  • 3

    Aos meu alunos, de ontem, de hoje, de sempre...

    Longo o caminho ensinado pela teoria. Curto e eficaz, o do exemplo. Sneca.

    No se aprende bem a no ser pela prpria experincia. Bacon.

  • 4

  • Prefcio

    Os Mtodos Numricos tm um papel estrutural, de carcter transversal na formao em

    cursos de Engenharia. So ainda muito utilizados em problemas nas reas de Economia,

    Medicina, Fsica, Qumica, entre outras. Os Mtodos Numricos procuram desenvolver

    processos de clculo (algoritmos), utilizando uma sequncia finita de operaes aritmti-

    cas bsicas, de forma a que certos problemas matemticos se tornem exequveis. Estes

    algoritmos envolvem, em geral, um grande nmero de clculos aritmticos. No pois

    de estranhar que, nas ltimas dcadas, com o rpido crescimento das potencialidades dos

    computadores digitais, o papel dos Mtodos Numricos na resoluo de problemas de en-

    genharia tenha sofrido grande incremento.

    As mais de duas dcadas a leccionar a disciplina de Mtodos Numricos a cursos de

    Engenharia, levou constatao da dificuldade dos alunos, em geral, na identificao e

    utilizao/aplicao dos vrios tpicos de Mtodos Numricos nas vrias unidades curri-

    culares dos respectivos cursos e ainda noutras situaes. Este trabalho surge ento, da

    solicitao ao longo dos anos, pelos alunos, de um documento deste teor, com resoluo

    simples e directa de exerccios de Mtodos Numricos aplicados Engenharia e outras Ci-

    ncias. uma publicao de carcter pedaggico que compila uma coleco de exerccios

    de Mtodos Numricos, simples, resolvidos e todos com aplicao prtica. A ideia con-

    siste na aplicao de mtodos numricos em casos prticos simples, capacitando os alunos

    para a sua utilizao em situaes futuras mais complexas. Pela clareza e simplicidade

    na resoluo dos problemas, pode ser utilizado como complemento a um estudo terico,

    permitindo uma melhoria no desempenho na unidade curricular de Mtodos Numricos,

    bem como uma ajuda noutras unidades curriculares e em problemas prticos em geral.

    i

  • ii PREFCIO

    Caractersticas

    Est estruturada em oito captulos e um formulrio de apoio. So compilados 67 exerc-

    cios sobre vrias temticas, em que todos eles incluem aplicao prtica, apresentando um

    nvel de complexidade compatvel com a sua resoluo em contexto de sala de aula/exame

    para um nvel de estudos de 1o ciclo. Em cada exerccio includa uma figura para uma

    melhor interaco com o utilizador e para conferir uma menor austeridade ao documento.

    includa uma resoluo manual de todos os exerccios, bem como uma resoluo utilizando

    o software CONUM e/ou MATLAB. Para simplificao da resoluo dos problemas, e uma

    vez que este documento tem um carcter no-terico, foi includo em anexo um formulrio

    de apoio para todo o contedo programtico abordado no mesmo. So includas chamadas

    oportunas ao formulrio ao longo da resoluo dos exerccios.

    Das variadas temticas existentes em Mtodos Numricos, foram seleccionadas as mais

    relevantes para a aprendizagem dos alunos de Engenharia ao longo da unidade curricular

    de Mtodos Numricos. Os oito temas abordados foram divididos em captulos:

    Captulo 1 - Erro Numrico

    - Frmula fundamental do erro

    Captulo 2 - Soluo de uma equao no-linear

    - Mtodos iterativos de Newton e da Secante

    Captulo 3 - Sistemas de equaes lineares

    - Mtodo directo da Eliminao de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP)

    - Mtodo iterativo de Gauss-Seidel

    Captulo 4 - Sistemas de equaes no-lineares

    - Mtodo iterativo de Newton

    Captulo 5 - Interpolao Numrica

  • iii

    - Polinmio interpolador de Newton (ou das diferenas divididas)

    - Interpolao segmentada - Splines cbicas

    Captulo 6 - Mnimos quadrados

    - Modelos lineares polinomiais e no-polinomiais

    Captulo 7 - Integrao numrica

    - Frmulas simples e compostas de Simpson, Trapzio e trs oitavos

    Captulo 8 - Diferenciao Numrica

    - Equaes diferenciais ordinrias (com condies iniciais e de fronteira)

    Torna-se completamente absurdo, num contexto de problemas de engenharia, dissociar

    os Mtodos Numricos do computador. Desta forma, paralelamente resoluo manual

    dos exerccios propostos, foi utilizado software numrico para devolver resultados compu-

    tacionais dos problemas (CONUM e MATLAB).

    CONUM (COmputao NUMrica) uma aplicao escrita na linguagem C++ para

    ambiente Windows, desenvolvida pela Professora Edite M. G. P. Fernandes e por Jos

    Filipe S. R. Soares com o apoio da Universidade do Minho, no ano lectivo 1993/1994. O

    software gratuito e est disponvel para download em [1], bem como o livro COmputao

    NUMrica [3], da mesma autora.

    MATLAB [2] uma linguagem de alto-nvel e ambiente interactivo que permite realizar

    tarefas computacionalmente intensivas mais rapidamente que as linguagens de programao

    tradicionais, como C, C++ ou Fortran.

    A preciso numrica foi um dos parmetros com muita influncia neste projecto. Os

    exerccios no foram resolvidos manualmente sempre com a mesma preciso numrica - uns

    com 6 casas decimais, outros com 4 ou 5.

    A diferena entre as casas decimais utilizadas na resoluo manual e as do software

    utilizado foi notria na resoluo de alguns exerccios. Mesmo entre CONUM e MATLAB,

    verificaram-se diferenas de preciso.

  • iv PREFCIO

    Por ltimo, a problemtica dos Mtodos Numricos utilizados em cada software teve

    efeito nas resolues, j que cada um pode utilizar diferentes variantes de um determinado

    mtodo, no correspondendo por vezes aos utilizados nas resolues manuais.

    Agradecimentos

    Este trabalho enquadra-se num projecto do Grupo de Investigao NSOS (Nonlinear

    Systems Optimization and Statistics group) do Centro de Investigao Algoritmi da Uni-

    versidade do Minho para uma Bolsa de Integrao na Investigao (BII) financiada pela

    Fundao para a Cincia e Tecnologia (FCT). O primeiro agradecimento dirigido FCT

    pela oportunidade concedida. Esta oportunidade permitiu Sara Tribuzi de Morais (bol-

    seira BII) a integrao neste projecto - a sua colaborao foi imprescindvel para a concre-

    tizao deste trabalho.

    Agradece-se tambm ao Grupo de Mtodos Numricos e Estatsticos do Departamento

    de Produo e Sistemas, do qual fao parte, alguns dos enunciados dos exerccios apresenta-

    dos. Ao longo destes anos tivemos sempre a preocupao de inovar, procurando exerccios

    diferentes, com aplicao prtica, para colocar em provas de avaliao e nas fichas de

    exerccios de trabalho.

    Nota aos utilizadores

    Sendo esta a primeira edio impressa, agradece-se que se for detectada alguma incor-

    reco seja enviada uma mensagem para tm@dps.uminho.pt.

  • Contedo

    Prefcio i

    1 Erro numrico 1

    2 Soluo de uma equao no linear 5

    3 Sistemas de equaes lineares 35

    4 Sistemas de equaes no lineares 67

    5 Interpolao Numrica 87

    6 Mnimos Quadrados 111

    7 Integrao Numrica 125

    8 Diferenciao Numrica 149

    A Formulrio 185

    v

  • Captulo 1

    Erro numrico

    Neste captulo pretende-se sensibilizar os alunos para os erros que surgem devido repre-

    sentao dos nmeros no computador ou na calculadora e os erros resultantes das operaes

    numricas efectuadas.

    Os dados experimentais, obtidos a partir de aparelhos de medio falveis, vm afectados

    de erro. Pretende-se averiguar de que forma que esse erro vai afectar o resultado de

    qualquer operao efectuada com esses dados. A frmula fundamental dos erros (A.1)

    permite calcular limites superiores dos erros absolutos e relativos das operaes aritmticas

    que utilizam esses dados. Vo ser resolvidos exerccios simples, apenas manualmente,

    utilizando a frmula fundamental dos erros.

    1

  • 2 CAPTULO 1. ERRO NUMRICO

    1. Calcule um limite superior do erro absoluto e do erro relativo no clculo da expresso

    f(x, y, z) = x+ y2+ sen(z), sabendo que so usados osseguintes valores aproximados: x = 1.1 (x = 0.05); y =

    2.04 (y = 0.005); z = 0.5 rad. (z = 0.05). Quantos

    algarismos significativos tem o valor calculado de f?Resoluo:

    A mquina deve ser colocada em modo Radianos.

    Valor calculado f = 3.5410255386; x = 0.05, y = 0.005, z = 0.05.

    I =

    1.05 x 1.15 (intervalo de incerteza para x)2.035 y 2.045 (intervalo de incerteza para y)0.45 z 0.55 (intervalo de incerteza para z)

    Clculo dos majorantes:

    f

    x= 1, |f

    x|I = Mx = 1,

    f

    y= 2y, |f

    y|I = My = 4.09,

    f

    z= cos(z), |f

    z|I = Mz = 0.90044712

    Frmula fundamental do erro (A.1):

    f 1 (0.05) + 4.09 (0.005) + 0.90044712 (0.05) = 0.115472355

    Limites superiores dos erros absoluto/relativo: f 0.115472355,f|f | 0.032609.

    Para identifio dos algarismos significativos deve encontrar-se o primeiro valor su-

    perior a f na forma 0.5 potncias de base 10. Neste caso tem-se 0.115472355 0.5 100. Ento, colocando o valor de f e o majorante de f em termos de 0.5potncias de base 10, com o mesmo expoente vem,

    3. 5410255386 100

    0. 5 100

    Conclui-se que apenas existe 1 algarismo significativo (3) - os algarismos de f cuja

    posio est esquerda do algarismo 5 de f .

  • 3

    2. Uma corrente elctrica atravessa uma resistncia R de 20. A resistncia foi medida

    com um erro relativo que no excede 0.01. A intensidade da corrente I 3.00 0.01