livro introducao a logica a isbn

Pelotas 2010

Obra publicada pela Universidade Federal de PelotasReitor: Prof. Dr. Antonio Cesar Gonalves Borges Vice-Reitor: Prof. Dr. Manoel Luiz Brenner de Moraes Pr-Reitor de Extenso e Cultura: Prof. Dr. Luiz Ernani Gonalves vila Pr-Reitora de Graduao: Prof. Dra.Eliana Pvoas Brito Pr-Reitor de Pesquisa e Ps-Graduao: Prof. Dr. Manoel de Souza Maia Pr-Reitor Administrativo: Eng. Francisco Carlos Gomes Luzzardi Pr-Reitor de Planejamento e Desenvolvimento: Prof. Ms. lio Paulo Zonta Pr-Reitor de Recursos Humanos: Admin. Roberta Trierweiler Pr-Reitor de Infra-Estrutura: Mario Renato Cardoso Amaral Pr-Reitora de Assistncia Estudantil: Assistente Social Carmen de Ftima de Mattos do Nascimento CONSELHO EDITORIAL Prof. Dr. Antonio Jorge Amaral Bezerra Prof. Dra. Isabel Porto Nogueira Profa. Lgia Antunes Leivas Prof. Dr. Renato Luiz Mello Varoto Prof. Dr. Volmar Geraldo da Silva Nunes Prof. Dr. Elomar Antonio Callegaro Tambara Prof. Dr. Jos Justino Faleiros Profa. Dra. Neusa Mariza Leite Rodrigues Felix Prof. Ms. Valter Eliogabalos Azambuja Prof. Dr. Wilson Marcelino Miranda

CuRSO DE LICENCIATuRA Em mATEmTICA A DISTNCIA Coordenador do Colegiado: Prof. Msc. Maurcio Braga de Paula PROjETO GRfICO E DIAGRAmAO Celina Bastos Lemos Eduardo Harry Luersen Guilherme Camargo fOTOGRAfIA DA CAPA Grande Hotel por Marcio Kinzeski REVISO Reginaldo Fabiano da Silva Afonso Mateus Dias Vilela Rodrigo Pizarro dos Santos

Editora e Grfica Universitria R Lobo da Costa, 447 Pelotas, RS CEP 96010-150 Fone/fax: (53) 3227 8411 e-mail: [email protected] Diretor da Editora e Grfica Universitria: Prof. Dr.Volmar Geraldo da Silva Nunes Gerncia Operacional: Carlos Gilberto Costa da Silva Impresso no Brasil Edio: 2009 ISBN : 978-85-7192-491-8 Tiragem: xxx exemplares Dados de Catalogao na Fonte Internacional: (Bibliotecria Daiane Schramm CRB-10/1881 ) S719i Souza, Joo Artur de Introduo Lgica Matemtica. / Joo Artur de Souza ... et al. Pelotas: Editora Universitria/UFPEL, Ministrio da Educao, 2010. 176p. ; 21 cm. ISBN 978-85-7192-680-6 1. Matemtica. 2. Clculo Proposicional. 3. Tabelas-Verdade. 4. rvores de Refutao. 5. Clculo de Predicados. I. Ttulo. II. Paula, Maurcio Braga de. III. Dandolini, Gertrudes Aparecida. IV. Afonso, Reginaldo Fabiano da Silva. CDD510

ApresentaoA literatura didtica para o ensino de matemtica recebe, atravs dessa publicao, um novo flego em material preparado para o ensino. Trata-se de um novo caminho que comeamos a trilhar, por onde estamos aprendendo a caminhar atravs da pesquisa, da discusso e, acima de tudo, da dedicao de nossos professores. Esta obra nasce a partir do esforo conjunto de professores da Universidade Federal de Santa Catarina, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, da Universidade Estadual de Maring, da Universidade Federal de Pelotas, de alunos e profissionais do Laboratrio de Ensino de Matemtica a Distncia desta, que, apoiados com recursos do Ministrio da Educao, aceitaram o desafio de preparar os materiais necessrios para a execuo do Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia da UFPel. Esperamos que este livro, que ora apresentamos, seja um instrumento til nas mos de alunos e professores e sirva de apoio para a melhoria da educao em nosso pas.

Prof. Maurcio Braga de Paula Coordenador do Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemtica a Distncia

Curso de LiCenCiatura em matemtiCa a distnCia

SumrioCaptulo 1 - Introduo1.1 Que Lgica?.................................................................................................................................................................8 1.2 O Que um Argumento?..............................................................................................................................................12 1.3 Como Identificar as Premissas e a Concluso.............................................................................................................18 1.4 Reconhecendo Argumento............................................................................................................................................22 1.5 Deduo e Induo.......................................................................................................................................................26 1.6 Verdade e Validade.......................................................................................................................................................29

Captulo 2 - Clculo Proposicional2.1 Argumentos...................................................................................................................................................................32 2.1.1 Conjunes, Disjunes, Condicionais, Bi Condicionais e Negao.........................................................................33 2.1.2 Formalizao de Sentenas......................................................................................................................................36 2.1.3 Formalizao de Argumentos....................................................................................................................................38 2.1.4 Escopo de um operador - Operador principal de uma fbf..........................................................................................39 2.1.5 Letras Gregas.............................................................................................................................................................40 2.2 Regras de Inferncia....................................................................................................................................................41 2.3 Regras de Inferncia com o uso de Hiptese............................................................................................................51 2.4 Regras derivadas..........................................................................................................................................................62 2.5 Teoremas.......................................................................................................................................................................70 2.6 Equivalncias................................................................................................................................................................73

Captulo 3 - Tabelas-Verdade3.1 Valor Verdade das Fbfs e Validade de Argumentos.....................................................................................................80 3.1.1 Tabela Verdade para a Negao...............................................................................................................................81 3.1.2 Tabela Verdade para a Conjuno.............................................................................................................................82 3.1.3 Tabela Verdade para a Disjuno..............................................................................................................................82 3.1.4 Tabela Verdade para a Implicao.............................................................................................................................83 3.1.5 Tabela Verdade para o Bicondicional.........................................................................................................................83 3.2 Como Construir uma Tabela-Verdade..........................................................................................................................84 3.3 Tabelas Verdade para Formas de Argumentos.............................................................................................................92

Captulo 4 - rvores de Refutao4.1 Regras rvore de Refutao....................................................................................................................................101

Captulo 5 - A Lgica dos Enunciados Categricos5.1 Enunciados Categricos..............................................................................................................................................114 5.1.1 Interpretando os Enunciados....................................................................................................................................115 5.1.2 Representando Atravs de Diagramas de Venn......................................................................................................118 5.2 Inferncias Imediatas..................................................................................................................................................123 5.2.1 Analisando Enunciados............................................................................................................................................128 5.3 Silogismos Categricos...............................................................................................................................................132

Captulo 6 - Clculo de Predicados6.1 Quantificadores e Predicados.....................................................................................................................................138 6.2 Predicados e Nomes Prprios....................................................................................................................................141 6.3 Identidade....................................................................................................................................................................145 6.4 Regras de Formao...................................................................................................................................................148 6.5 Regras de Inferncia no Clculo de Predicados.........................................................................................................153


Introduo

1Captulo


Neste primeiro captulo vamos esclarecer o que a lgica e qual sua importncia para a Matemtica. Nosso enfoque ser sobre os argumentos, analisando sua composio e que caractersticas eles apresentam. Vamos iniciar o formalismo matemtico em lgica clssica.

1.1 Que Lgica?Antes mesmo de tentar explicar o que significa lgica ou, mesmo, se estamos nos referindo a uma cincia, temos que ter claro que definir uma tarefa complexa. Muitas vezes, as definies no especificam bem o termo que est sendo definido; i.e., no so precisas. Como exemplo, reportamo-nos a como o termo probabilidade definido por dois autores distintos: - Probabilidade um conceito matemtico que permite a quantificao da incerteza. (Definio retirada do site http:// www.vademecum.com.br/iatros/incerteza.htm acessado em 22 de fevereiro de 2006). - Uma outra definio: probabilidade o ramo da matemtica que estuda os fenmenos aleatrios. (Definio retirada do site http://www.mat.puc-rio.br/~inicient/4_probabilidade/index_prob.htm, acessado em 22 de fevereiro de 2006). Nestes casos, temos definies precisas, mas que no deixam claro, para quem est tendo contato com o termo pela primeira vez, ou mesmo para voc que j teve um contato com o estudo de probabilidade durante o ensino mdio, tudo que a probabilidade . Os exemplos ilustram que, ao conceituarmos, estamos, muitas vezes, limitando o que se quer dizer, cometendo impropriedades. Por isso, vamos ver do que trata a lgica e no vamos apresentar definies formais do termo e muito menos limitar o que esta possa vir a ser neste primeiro momento. Os estudos sobre lgica remontam antiga Grcia, com os estudos desenvolvidos por Aristteles, citado, por muitos, como o pai da lgica. Os escritos de Aristteles relacionados ao desenvolvimento da lgica foram reunidos numa obra chamada Organom. Para aspectos mais detalhados da histria da lgica, sugerimos leituras complementares, como por exemplo, os livros: Cornford, F.M. - Estudos de Filosofia Antiga (Scrates, Plato e Aristteles). Coimbra. Atlntida; ARISTTELES, Organon, nouvelle traduction et notes par J. Tricot, Paris, J. Vrin, 6 vol.s., 1968.; RUSSELL, B., The Principles of Mathematics, Ed. Routledge, London, 1992.; BOCHENSKI, J. M., Historia de la logica formal, Ed. Gredos, Madrid, 1966. Vamos analisar uma questo retirada de uma prova da ANPAD1: Exemplo 1: Analise e resolva o problema exposto. Em certa comunidade, os polticos sempre mentem e os no-polticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro encontrase com trs nativos, pergunta ao primeiro se ele um poltico e recebe uma determinada resposta. O segundo nativo informa, ento, que o primeiro falou que no um poltico, mas o terceiro afirma que o primeiro um poltico. Quantos destes nativos so polticos?

1

Associao Nacional de Ps-Graduao e Pesquisa em Administrao - http://www.anpad.org.br/teste.php

8Curso de LiCenCiatura em matemtiCa a distnCia

Lemos o texto que apresenta o problema e no conseguimos apresentar uma resposta de imediato. E ser que existe uma resposta a esta pergunta? Existe: A resposta s pode haver um poltico entre eles. Como se chega a esta resposta? Tente pensar, fazendo anotaes, para verificar se a resposta est correta. Bom, voc j pensou sobre o problema, ento vamos expor uma explicao que pode ser usada para justificar a resposta apresentada. Pretendemos determinar quantos dos nativos so polticos baseando-nos nas respostas apresentadas ao estrangeiro. Podemos iniciar apresentando uma lista das combinaes possveis de os trs nativos serem ou no polticos: Possibilidade // Ordem dos nativos Primeiro Segundo Terceiro

1 P P P

2 P P No P

3 P No P No P

4 No P P No P

5 No P No P P

6 P No P P

7 No P P P

8 No P No P No P

O estrangeiro pergunta ao primeiro nativo se ele poltico e recebe como resposta que ele no poltico. Observe que se ele poltico sempre mente, ento responderia que no era poltico e se no for, responder que no , pois sempre fala a verdade. Assim, a resposta proferida pelo nativo , de fato, no sou poltico, independente do que seja. Agora, a partir da resposta do segundo, podemos com certeza garantir que ele est falando a verdade e que, portanto, no poltico. Cabe salientar que ele fala o que o primeiro falou. Observe que j podemos eliminar as possibilidades 1, 2, 4 e 7. Possibilidade // Ordem dos nativos Primeiro Segundo Terceiro

1

2

3 P No P No P

4

5 No P No P P

6 P No P P

7

8 No P No P No P

Agora, o terceiro afirma que o primeiro poltico. Se o terceiro poltico ento ele estar mentindo e, portanto, o primeiro no poltico, combinao 5. Se o terceiro no poltico, ento ele fala a verdade e o primeiro realmente poltico, combinao 3. Observe que as combinaes 6 e 8 no podem acontecer. Assim, tanto na combinao 5 como na combinao 3, temos apenas um poltico como possibilidade. Portanto, a resposta que s pode haver um nativo que poltico nesta situao. O Exemplo 1, acima, foi apresentado com o objetivo de introduzir o estudo da lgica. Assim como no problema, estamos interessados em encontrar evidncias que certifiquem a veracidade de uma resposta para que se esta for questionada tenhamos informaes consistentes a fim de atestar a sua solidez. Esse processo pelo qual, atravs do raciocnio, chegamos a uma concluso denominado processo dedutivo de inferncia (deduo).


Comecemos expondo uma perspectiva informal e intuitiva dos temas que a lgica engloba. As palavras lgico e lgica so, freqentemente, usadas em nosso cotidiano em expresses como as seguintes: procedimento lgico, esprito lgico, explicao lgica. Nestas expresses, a palavra lgica(o) utilizada como sinnimo de razovel, correto, estando-se preocupado com a corretude ou no dos procedimentos. Pode-se dizer, de certa forma, que o estudo da lgica corresponde ao estudo dos mtodos e princpios utilizados para diferenciar o raciocnio correto do incorreto. Note que no se est afirmando que necessrio que se conhea lgica para que se raciocine corretamente. Isto seria anlogo a dizer que uma pessoa s pode jogar futebol aps dominar esquemas tticos e estratgias de jogo. Entretanto, aps ter-se um contato com o estudo da lgica, aumentam-se as chances de se efetuarem raciocnios corretos e de se evitarem falcias (mtodos errados do raciocnio). Conseqentemente, decorre do estudo da lgica a capacidade de anlise quanto a correo ou incorreo de um raciocnio, possibilitando a localizao da incorreo (se esta existir) e, depois de detectado o erro, a re-elaborao do raciocnio de forma correta. Em resumo: no h uma definio para o termo lgica, mas podemos afirmar que a lgica trata da distino entre raciocnios corretos e incorretos e que ela rege a relao entre premissas e concluso em um argumento vlido. Os significados de premissa, concluso e argumento e quando este vlido, so apresentados a seguir.

ATIVIDADESNos seguintes exerccios, utilize seus conhecimentos dedutivos para inferir ou descobrir a resposta. 1. (ANPAD setembro de 1999) Numa estante h quatro livros escolares, um de Matemtica, um de Fsica, um de Biologia e um de Qumica. Sabe-se que: h exatamente um livro entre o de Matemtica e o de Fsica; e que o livro de Biologia est direita do de Fsica. Com base nessas informaes, CORRETO afirmar que o livro de Qumica : a) o primeiro a partir da direita; b) o primeiro a partir da esquerda; c) o segundo a partir da direita; d) o segundo a partir da esquerda; e) Pode estar em trs posies diferentes. 2. Foi feito um mapa impreciso da metade sul do Estado, retratando as seguintes cidades: Amaral Ferrador, Piratini, Rio Grande, Santana da Boa Vista, So Loureno do Sul e Turuu. As cidades referidas foram representadas, no necessariamente nessa ordem, pelas letras: A, B, C, D, E e F. Como mostra a figura abaixo: A C B D F E


conhecido que, nesse mapa:

So Loureno do Sul est a sudeste de Amaral Ferrador; So Loureno do Sul est a Nordeste de Rio Grande; Santana da Boa Vista est ao norte de Piratini.Neste caso correto afirmar que: a) Santana da Boa Vista e So Loureno do Sul so cidades fronteirias; b) So Loureno do Sul est a nordeste de Piratini; c) Rio Grande est ao norte de Turuu; d) Amaral Ferrador est a sudeste de Piratini; e) Turuu est representado pelo ponto D. 3. (ANPAD setembro de 2002) Trs amigas, Rita, Marta e Sandra, receberam flores de seus namorados. Luiz enviou cravos para a mais nova das trs. Sandra, que estudante, recebeu orqudeas. Rita, que no a mais velha, no recebeu cravos. Ento, possvel afirmar que: a) Luiz pode ser o namorado da Rita; b) Sandra no a mais velha; c) Rita a mais nova; d) Marta a namorada de Luiz; e) Marta pode ser a mais velha. 4. (ANPAD - Setembro de 1999) Artur, Bernardo e Csar tm, cada um, um gato. Dos trs gatos, um siams, outro persa e o terceiro angor. As cores desses animais so, no necessariamente nesta ordem: branco, preto e cinza. Sabe-se que:

O gato de Artur cinza. Csar dono do gato angor. O gato de Bernardo no siams, nem branco.Com base nessas afirmaes, CORRETO afirmar que: a) Artur o dono do gato siams e o gato angor preto; b) Bernardo o dono do gato persa e o gato angor branco; c) Csar o dono do gato angor e o gato persa cinza; d) Artur o dono do gato persa e o gato angor branco; e) Csar o dono do gato angor e o gato siams preto.


5. Realizou-se uma corrida entre os seguintes cavalos: Mustang, rabe, Crioulo, Anda-luz. Sabe-se que ocorreram os seguintes fatos:

Os 4 animais citados ocuparam at a 4 colocao e todos completaram a prova. Ao cruzarem a linha de chegada havia exatamente 1 animal entre o rabe e o crioulo. O Anda- Luz cruzou a linha de chegada depois do rabe.Logo, correto afirmar que: a) possvel que o Mustang chegue em 3 colocado; b) O Mustang nunca ser o 3 colocado; c) O rabe nunca ser o 3 colocado; d) O rabe ser o 3 colocado; e) O Crioulo ser o 3 colocado. 6. (ANPAD - maio de 1999) As letras T, X, Y, Z e W esto escritas em uma linha. Sabendo-se que:

2 letras separam X e Y T est esquerda de X Z e W esto juntos W est to perto de T como de Y correto afirmar que: a) Z ocupa a segunda posio a contar da esquerda; b) W est direita de Y; c) W ocupa a terceira posio a partir da direita; d) W est entre Z e Y; e) A primeira letra direita no Y.

1.2 O que um Argumento?Para melhor entendermos a lgica, ser til conhecer e examinar alguns elementos que aparecem com freqncia em nossos estudos. Comecemos observando quais tipos de informao sero teis para as nossas dedues. comum dizer que vamos concluir um fato com base em outros que aceitamos. Na deduo de uma concluso, as informaes dadas so tomadas como verdadeiras com o objetivo de assegurar a concluso; ou seja, apoiamo-nos naquilo que j foi aceito para garantir a concluso. Agora, estamos prximos da definio do que vem a ser uma proposio. Seguindo o contexto anterior, vamos dizer que se considera proposio toda sentena2 que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, ou melhor, a qual possvel

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Sentena uma seqncia de palavras em uma determinada lngua que dispe de um sentido.


atribuir o valor falso ou verdadeiro e que podem ser afirmadas ou negadas. No estudo da lgica, utilizaremos a expresso valor-verdade de uma proposio para identificarmos se a mesma deve ser considerada verdadeira ou falsa. Assim, se uma proposio verdadeira, ela tem valor-verdade verdadeiro; caso contrrio, ela tem valor-verdade falso. Exemplo 2: Observe se so ou no proposies. Veja os enunciados: a) O homem irracional. Observe que esta sentena uma proposio falsa, pois os homens so ditos racionais. b) A lua um planeta. Observe que uma proposio falsa, pois a lua um satlite. c) A Terra um planeta. Observe que uma proposio verdadeira. d) Qual seu nome? Essa frase no uma proposio, pois no possvel atribuir a ela um valor verdadeiro ou falso, nem afirm-la ou negla. e) O Sol um planeta. Esse enunciado caracteriza uma proposio, ele uma afirmao falsa. Na verdade o Sol um astro. f) 2 + 3 = 7 Essa tambm uma proposio que afirma um resultado no verdadeiro. Na aritmtica dos nmeros naturais, 2 + 3 = 5. g) Claro! Esse outro enunciado que no uma proposio. apenas uma exclamao que pertence a nossa linguagem, mas no possvel classific-la de acordo com os princpios da lgica. h) 32 >23 Esse exemplo tambm foi escrito na linguagem matemtica e a afirmao nele expressa verdadeira: Na ordem usual dos nmeros naturais, 32 > 23 (trinta e dois maior do que vinte e trs).


i) O atual Presidente do Brasil do Partido dos Trabalhadores. Essa sentena certamente uma proposio, pois pode ser afirmada ou negada, entretanto seu valor verdade depende do momento em que formos avali-la. Por exemplo: Se avaliada em 1998, uma proposio falsa. Se avaliada em 2006 verdadeira, pois est condicionada ao partido poltico de quem ocupa o cargo. Veremos mais a frente que uma proposio assume apenas um desses valores no momento de sua avaliao. Perguntas, ordens e exclamaes no so proposies. Uma pergunta pode ser respondida, uma ordem executada e uma exclamao pronunciada, mas no podemos julg-las quanto a sua veracidade, nem afirm-las ou neg-las. Observe que, segundo o exposto, as sentenas seguintes no caracterizam proposies:.

Quem comprou o po? Feche a porta. No matars! Oba!E as sentenas seguintes, quanto classificao se so ou no proposies, como podem ser avaliadas?

Sen(x) + 3 = 3. 3*x=0 Fulano jogou no Real Madri em 2005.Observe que se x = 0, as duas primeiras sentenas so verdadeiras, por exemplo. Se x = p, a primeira verdadeira e a segunda falsa, e ainda, se x =

Ronaldo Nazrio, a sentena verdadeira, se Fulano Edson Arantes do Nascimento, a sentena falsa. Assim, como o valor verdade dessas sentenas est condicionado a suposies, por definio, elas no so classificadas como proposies.

p ambas so falsas. Algo similar acontece com o terceiro exemplo, se Fulano 2

ATIVIDADESNos exerccios seguintes, o objetivo analisar se as sentenas so ou no proposies. 1. Considere as seguintes sentenas: I. As rosas so vermelhas e as violetas so azuis. II. Quando a deciso do campeonato? III. A prova difcil ou longa. Do ponto de vista da lgica, pode-se dizer que: a) I, II, e III so proposies; b) I e III so proposies; c) II uma proposio interrogativa; d) I, II e III no so proposies;


e) A segunda proposio falsa. 2. Considere as seguintes sentenas: I. sen(kp) = 0, com k {0,1, 2, 3} . II. V para o trabalho! III. Os divisores de 12 so: 1, 2, 3, 4 e 12. Do ponto de vista da lgica, pode-se dizer que: a) I, II, e III so proposies; b) I e III so proposies; c) II uma proposio imperativa; d) I, II no so proposies; e) III uma proposio verdadeira. 3. Considere as seguintes sentenas: I. fulano foi ministro da educao. II. x + 5 = 12, quando x = 7 III. x + 5 = 12. Do ponto de vista da lgica, pode-se dizer que: a) I, II, e III so proposies; b) I e III so proposies; c) II no uma proposio; d) I, II e III no so proposies; e) I e III no so proposies e II uma proposio. Na definio de argumento, usamos o conceito de proposio. Dizemos que um argumento qualquer grupo de proposies finito, sendo que uma delas obtida como resultado das outras. As proposies so comumente chamadas de enunciados. Assim, uma definio encontrada nos livros de lgica a seguinte: "Um argumento qualquer grupo de enunciados finitos, sendo que um deles obtido como resultado dos outros". Observe que qualquer grupo de enunciados e no qualquer enunciado. Mas, como as proposies so dispostas em um argumento, ou seja, qual a estrutura que o argumento apresenta? Como foi definido anteriormente, h uma proposio que derivada das outras proposies que compem o argumento esta denominada concluso e a(s) proposio(es) que d(o) suporte para a concluso, ou seja, que a fundamentam, so chamadas de premissas.

ATENO


No Exemplo 1, foi utilizado o seguinte argumento: p1 - Os polticos sempre mentem. p2 - Os no-polticos sempre falam a verdade. c Se a pergunta s poltico?, ento a resposta no. Note que esse argumento no estava explcito, mas se voc analisar da forma exposta acima, fica claro que um argumento e a concluso imediata.

OBSERVAES IMPORTANTES1. Um argumento contm uma ou mais premissas e apenas uma concluso3. 2. O nmero de premissas deve ser finito, pelo menos, no contexto do nosso trabalho. 3. Um argumento definido como um conjunto no vazio de proposies. 4. Na soluo do exerccio 1 existem vrios argumentos envolvidos. 5. Muitas vezes, o que concluso em um argumento pode ser usado como premissa de outro. Seja o exemplo abaixo: Exemplo 3: Enunciados diferentes, mas proposies iguais: Pato Donald ama Margarida. Margarida amada por Pato Donald. Observa-se a diferena no nmero de palavras e como as sentenas se iniciam, respectivamente, Pato Donald e Margarida. Assim, temos duas sentenas distintas, mas voc pode perceber que as duas sentenas possuem o mesmo significado, ou seja, as proposies4 so iguais. importante saber diferenciar as sentenas, pois como vimos no exemplo, existem vrias formas de escrever o mesmo fato. Podemos dizer que a lgica possui uma linguagem universal, enquanto sentena faz parte de uma linguagem especfica. O prximo exemplo traz trs sentenas evidentemente diferentes em vista que a primeira est em Portugus, a segunda em Ingls e a terceira em Francs. Perceba que na tica da lgica todas apresentam o mesmo significado. Chove. It is raining. Il pleut. O centro das atenes, nesta disciplina, ser o da forma com que se apresentam as proposies. Veremos que se pode determinar a validade de um argumento pela anlise de sua forma e que essa mesma anlise serve para todos os argumentos que tiverem a mesma forma. Os exemplos abaixo esclarecem os conceitos apresentados at agora.

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3 Existem muitas situaes onde um argumento no possui premissas explicitamente, apresenta apenas a concluso. Um exemplo so os teoremas, que sero estudados mais adiante. 4 So proposies, pois podemos atribuir valor verdade as mesmas.


Exemplo 4: Observe o argumento. Na lgica elementar, um dos argumentos mais conhecidos o seguinte: Todos os homens so mortais. Scrates homem. Portanto, Scrates mortal. Os dois primeiros enunciados so as premissas que servem para provar a concluso, Scrates mortal. Exemplo 5: Observe o argumento. Todos os astros tm luz prpria. O sol um astro. Logo, o sol tem luz prpria. As duas primeiras proposies: Todos os astros tem luz prpria e O sol um astro so premissas e a proposio o sol tem luz prpria a concluso. Exemplo 6: Observe o argumento. Tudo aquilo que tem luz prpria, brilha. O sol tem luz prpria. Conseqentemente, o sol brilha. Nesse argumento, as duas primeiras proposies: Tudo aquilo que tem luz prpria, brilha e O sol tem luz prpria so premissas e a proposio o sol brilha a concluso. Quando a concluso conseqncia das suas premissas o argumento dito legtimo (ou vlido). Um exemplo de argumento legtimo, em que a concluso decorre das premissas : Todos os homens so mortais; Todos os gregos so homens; Logo, todos os gregos so mortais. O argumento acima trivialmente legtimo, embora, em geral, seja bastante complexo determinar se um argumento legtimo ou ilegtimo. Pode-se dizer que o estudo da legitimidade dos argumentos de importncia central no estudo de lgica. O nmero de estrelas par e superior a quatro; Logo, o nmero de estrelas igual a soma de dois nmeros primos. O argumento parece correto, mas no possvel classific-lo como legtimo ou no, pois no podemos valorar sua premissa.


Premissa e concluso so termos relativos. Uma proposio que premissa num argumento pode ser concluso em outro. Observe o exemplo. Exemplo 7: Observe os argumentos. 1. Tudo o que predeterminado necessrio. Todo evento predeterminado. Logo, todo evento necessrio. 2. Todo evento causado por outros eventos predeterminado. Todo evento causado por outros eventos. Logo, todo evento predeterminado. Note que a segunda premissa do argumento nmero 1 a concluso do argumento nmero 2. Existem argumentos nos quais a concluso se apresenta deslocada; ou seja, nem sempre ela o ltimo enunciado. Um exemplo o da Poltica de Aristteles: Exemplo 8: Vamos analisar o argumento. Em uma democracia, o pobre tem mais poder do que o rico, porque h mais dos primeiros e a vontade da maioria suprema. Observe que nesse argumento, a concluso : Em uma democracia, o pobre tem mais poder do que o rico e as premissas so: Em uma democracia h mais pobres do que ricos, e Em uma democracia a vontade da maioria suprema. Perceba que neste prximo exemplo, em Um tratado da Natureza Humana de David Hume, a concluso, est intercalada entre as premissas. Exemplo 9: Observe o argumento. Como a moral... tem influncia nas aes e afeies, segue-se que ela no pode ser derivada da razo; e isso porque a razo, por si s, como j provamos, jamais pode ter uma tal influncia.

1.3 Como Identificar as Premissas e a ConclusoComo a concluso no aparece numa posio fixa, podendo estar entre as premissas, no final ou no incio do argumento, fica mais difcil de visualiz-la, porm existem certas palavras que introduzem a concluso. O mesmo acontece com as premissas.


O quadro abaixo apresenta as frases e palavras, que so usadas5 para indicar as premissas e concluses. Depois de reconhecido o argumento, essas palavras ajudam-nos a identificar as suas premissas e sua concluso. Indicadores de Premissas Porque Desde que Pois que Como Dado que Tanto mais que Pela razo de que Indicadores de Concluso Portanto Da Logo Assim Conseqentemente Segue-se que Podemos inferir Podemos concluir

No esquea que nem tudo que aparece no decorrer de um argumento concluso ou premissa. Entre as premissas e a concluso de um argumento podem aparecer outras expresses que no se encaixam nesses grupos, so informaes, s vezes irrelevantes, mas podem conter dados importantes sobre os antecedentes do argumento que ajudam o intrprete a compreender o argumento. Por exemplo, em seus Estudos de Pessimismo, Schopenhauer escreve: Exemplo 10: Se o cdigo penal probe o suicdio, isso no constitui um argumento vlido na Igreja; e, alm disso, a proibio ridcula; pois que penalidade poder assustar um homem que no teme a prpria morte? Nesse argumento, temos vrios fatos a considerar: primeiro, temos uma proposio que aparece como uma pergunta, mas observe que, neste caso, uma pergunta retrica e que mais uma afirmao do que uma pergunta de fato, apesar de estar na forma interrogativa; segundo, o escrito antes do primeiro ponto-e-vrgula no premissa e nem concluso. A presena dessas palavras, chamadas asseres, ajudam a compor um significado. De outro modo, no saberamos, nesse exemplo, a que proibio a concluso se refere. Nesse caso, a concluso que a proibio de suicdio no Cdigo Penal ridcula. A premissa que apia essa concluso que nenhuma penalidade pode assustar um homem que no teme a prpria morte. Num mesmo trecho de texto, pode aparecer mais de um argumento, tanto em sucesso como interligados. Por exemplo, em Concerning Civil Government, John Locke escreveu: Exemplo 11: No necessrio - nem de muita convenincia - que o legislativo esteja sempre em atividade; mas absolutamente necessrio que o poder executivo esteja, pois no h uma necessidade permanente de elaborao de novas leis, mas sempre imprescindvel a execuo das leis promulgadas. A disposio desses enunciados nos leva a perceber dois argumentos bem definidos. Um, a concluso de que no necessrio que o poder legislativo esteja em sesso permanente baseia-se em que no preciso que novas leis estejam sempre a ser feitas. No segundo, a concluso de que absolutamente necessrio que o poder executivo esteja em exerccio contnuo baseia-se no fato de que h sempre necessidade de proceder execuo das leis promulgadas.

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Observe que existem outras palavras, estas so as mais usadas no dia a dia.


OBSERVAES IMPORTANTES No exemplo 4, os dois primeiros enunciados so premissas que servem para provar a concluso: Scrates mortal. Algumas vezes, faz-se distino entre enunciados e proposies, mas aqui no necessrio faz-la. Contudo, ocasionalmente, acharemos importante distinguir entre sentenas (seqncias de palavras) declarativas e enunciados ou proposies (isto , sentenas com significados ou idias) que elas expressam. Essa diferenciao importante, por exemplo, quando tratamos de sentenas ambguas, que podem expressar dois ou mais enunciados. Mas, onde no houver perigo de confuso, evitaremos prolixidade, suprimindo a distino. Freqentemente, utilizaremos o termo argumento para denotar seqncias de enunciados (como na nossa definio) e seqncias de sentenas que os expressem. Como agora voc j foi apresentado ao processo dedutivo de inferncia e estrutura de um argumento, vamos resolver alguns exerccios para assimilar estes conceitos e ficar mais hbil na identificao das partes que compe cada argumento.

ATIVIDADESBaseado nas premissas dadas, marque a concluso correspondente nos seguintes argumentos: 1. (ANPAD setembro de 2002) Antnio trabalha tanto quanto Carla e menos do que Fbio. Joo trabalha tanto quanto Fbio. Logo, a) Joo trabalha menos do que Carla; b) Antnio trabalha mais do que Fbio; c) Fbio trabalha menos do que Carla; d) Joo trabalha mais do que Antnio; e) Fbio trabalha menos do que Antnio. 2. (ANPAD - Setembro de 1999) Joo e Maria tm, cada um, quatro noites livres toda semana, quando aproveitam para ir ao cinema. Considere como semana todos os dias, de segunda-feira a domingo, inclusive. Nesse caso, podemos concluir que, em uma semana, eles podem ir juntos ao cinema a) Apenas uma noite; b) No mnimo uma noite e no mximo quatro; c) No mnimo duas noites e no mximo trs; d) Sempre quatro noites; e) Sempre cinco noites. 3. Em uma ilha deserta existem apenas duas mulheres, uma loira e uma morena. A loira fala a verdade no domingo, segunda e tera, mas mente nos demais dias da semana. A morena fala a verdade na quinta, na sexta e no sbado e mente nos demais dias da semana. Certo dia Lucas chegou a essa ilha e perguntou loira:


Ontem voc falou a verdade? Loira: - Ontem eu falei a verdade. A mesma pergunta foi feita morena, sendo que a resposta dela foi a seguinte; - Ontem eu menti. Logo, Lucas chegou na ilha na: a) Tera; b) Quarta; c) Quinta; d) Sexta; e) Segunda. 4. (ANPAD junho de 2003) Os carros de Andr, Beto e Carlos so, no necessariamente nesta ordem, um Gol, um Palio e um Corsa. Um dos carros prata, outro branco e o outro verde. O carro de Andr branco; o carro de Beto o Palio; o carro de Carlos no verde e no Gol. Ento, podemos concluir que as cores do Gol, do Palio e do Corsa so, respectivamente: a) Branca, verde e prata; b) Prata, branca e verde; c) Prata, verde e branca; d) Verde, prata e branca; e) Verde, branca e prata. 5. Dois casais, Aline, Carla, Eduardo e Geison foram a um restaurante que servia as seguintes variedades no cardpio: saladas, massas, prato feito e lasanha. Sabe-se que cada um deles se serviu de uma nica variedade distinta dos demais e que: 1) Eduardo e sua mulher no comeram massas. 2) Nenhuma mulher comeu o prato feito. 3) Geison no comeu o prato feito. 4) O marido de Aline comeu lasanha. Logo, pode-se concluir que: a) O marido de Aline Eduardo; b) Aline comeu salada; c) Carla comeu massa; d) Aline comeu massa; e) Carla esposa de Geison.


ATIVIDADES1. Identificar as premissas e concluses nos seguintes trechos, cada um dos quais contm apenas um argumento: a) Foi assinalado que, embora os ciclos de negcio no sejam peridicos, so adequadamente descritos pelo termo ciclos e, portanto, so suscetveis de medio. (ESTEY, Apud COPI,1968) b) A gua tem um calor latente superior ao do ar: mais calorias so necessrias para aquecer uma determinada quantidade de gua do que para aquecer um igual montante de ar. Assim, a temperatura do mar determina, de modo geral, a temperatura do ar acima dele. (GARNER, Apud COPI,1968) c) O cidado que tanto preza a sua independncia e no se alista num partido poltico est, realmente, fraudando a independncia, porque abandona o quinho do poder de deciso no nvel primrio: a escolha do candidato. (FELKNOR, Apud COPI,1968). d) Desde que a filosofia poltica um ramo da filosofia, at a explicao mais provisria do que filosofia poltica no pode dispensar uma explicao, por mais provisria que seja, do que a filosofia . (STRAUSS, Apud COPI,1968) e) Como a felicidade consiste na paz de esprito e como a duradoura paz de esprito depende da confiana que tenhamos no futuro e como essa confiana baseada na cincia ,que devemos conhecer da natureza de Deus e da alma, seguese que a cincia necessria verdadeira felicidade. (LEIBNIZ, Apud COPI,1968) f) Se o comportamento econmico fosse o fenmeno inerte que se retrata, s vezes, em modelos econmicos, ento os nicos atributos significativos das ocupaes seriam as respectivas habilitaes profissionais e a oferta e procura para elas . Mas as ocupaes so amplamente sociolgicas, mais do que estritamente econmicas; por conseguinte, esto decisivamente identificadas como fenmenos no-econmicos na comunidade. (NOSOW, FORM, Apud COPI,1968) g) Como a abolio levaria, evidentemente, a uma socializao progressiva da propriedade dos bens dos produtores e como a herana estimula, definitivamente, aquela acumulao de riqueza que vital ao funcionamento do capitalismo, ento, a herana uma instituio inata da economia capitalista. (LOUCKS, HOOT, Apud COPI,1968)

1.4 Reconhecendo ArgumentoComo foi observado, cada argumento apresenta6 na sua constituio premissas e uma concluso, mas a presena de sentenas no significa que tenhamos, necessariamente, um argumento, pois estas afirmaes podem no fornecer embasamento para a concluso e, em muitos casos, temos apenas um aglomerado de afirmaes e nenhuma concluso. Assim, a principal diferena entre os argumentos e os no-argumentos a presena de premissas (que desenvolvem um assunto e fornecem razes para aceitar-se a concluso) e concluso (que encerra o tema abordado pelas premissas). Analisemos o seguinte exemplo:

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Mais adiante no texto apresentaremos argumentos que no possuem premissas na sua composio, um exemplo, so os chamados teoremas.


Exemplo 12: Se a educao da sociedade rica, ela culta. Essa proposio exposta chamada de condicional. Podemos verificar que os componentes a educao da sociedade rica e ela rica no so afirmativas. Podemos, apenas, inferir que, se a primeira ocorrer, a segunda tambm ocorrer, mas ambas poderiam ser inverdades. E, ainda no exemplo acima, no somos encaminhados a um raciocnio e nem defrontados com uma concluso. Logo no h argumento. Agora se escrevermos: Exemplo 13: Devido ao fato da sociedade possuir uma educao rica ela culta. Na frase escrita acima temos um argumento, pois tomada como verdica a premissa a educao da sociedade rica ela d embasamento para a concluso a sociedade culta. Em suma, devemos ter bem claro que um condicional no um argumento, pois na primeira no existem premissas e concluso, existem apenas a condio entre as afirmaes que o compem. Exemplo 14: Qual das afirmaes abaixo um argumento? ( ) Devido ao fato de Antnio ter se diplomado em administrao, sua empresa teve uma diminuio de custos. ( ) Desde que Antnio se formou em administrao o Brasil aumentou a dvida pblica. Apenas a primeira citao um argumento, pois nela uma proposio declarada Devido ao fato de Antnio ter se diplomado em administrao e, se aceita como verdadeira, serve como razo para se acreditar na veracidade da concluso sua empresa teve uma diminuio de custos. Esse encaminhamento para a concluso pode ser feito em alguns casos por uma, ou mais, palavras e, quando isso acontece, se diz que a pretenso da verdade foi explcita, caso contrrio, diz-se que a pretenso implcita. Alguns desses marcadores so as seguintes palavras juntamente com suas sinnimas: deve, tem que ou necessariamente. Mas grifamos que a ocorrncia dessas palavras no significa que estamos diante de um argumento, um exemplo claro a segunda alternativa na qual a expresso desde que no nos fornece base para afirmarmos nada sobre a dvida pblica brasileira, apenas estabelece uma relao temporal, ou seja, essa expresso desde empregada como sinnimo de a partir de e no com um sentido lgico (visto que, uma vez que, devido a,...). Em resumo: As palavras indicadoras de premissas e concluses devem ser analisadas conforme o contexto. Nos argumentos as premissas devem fornecer ferramentas para que cheguemos na concluso, j nas explicaes (no-argumentos) a sentena estruturada para explicitar a mensagem proferida.

ATIVIDADESAlguns dos enunciados a seguir definem argumentos. Identifique-os e destaque as premissas e concluses. a) Eu no quero levantar porque o despertador ainda no tocou. b) Tem algum aqui que no sabe?


c) Ele brasileiro, pois nasceu no Brasil. d) A Alemanha perdeu a primeira e a segunda Guerra Mundial. e) Eu no como chocolate porque sou alrgico. f) Desde que saram pesquisas de que o cigarro prejudicial sade eu parei de fumar. g) Curta a vida, pois a vida curta. h) preciso amar as pessoas como se no houvesse amanh. (Renato Russo) i) Eu estudei muito, por isso passei na prova. j) Obras de arte, em minha opinio, so os nicos objetos no mundo material que possuem ordem interna e isso porque, apesar de no acreditar que s a arte importa, acredito que a arte vale pena pela arte. ( FORSTER, Arte. disponvel em < http://www.guihost.com.br/portal/frases/arte.html > acessado em 31 de maro de 2006) k) A verdadeira medida de um homem no como ele se comporta em momentos de conforto e convenincia, mas como ele se mantm em tempos de controvrsia e desafio. (King Jr. Frases. Disponvel em < http://www.sabedoriaonline.com/frases.htm > acessado em 31 de maro de 2006) l) O que no provoca minha morte faz com que eu fique mais forte ( NIETZSCHE, Adversidade. disponvel em acessado em 31 de maro de 2006) m) O que os homens chamam de amizade nada mais do que uma aliana, uma conciliao de interesses recprocos, uma troca de favores. Na realidade, um sistema comercial, no qual o amor de si mesmo espera recolher alguma vantagem. (LA ROCHEFOUCAULD, Amizade I. disponvel em < http://www.unasp.br/onix/asfrases/amizadeI.htm > acessado em 31 de maro de 2006) n) Nem tudo o que d certo certo. (CAPISTRANO, Pensamentos. disponvel em < http://www.netmarkt.com.br/frases/pensamentos.html > acessado em 31 de maro de 2006)

ATIVIDADES1. Alguns dos enunciados seguintes so argumentos. Identifique as suas premissas e as suas concluses, caso existam. a) Ele Leo, pois nasceu na primeira semana de agosto. (NOLT, 1991, p. 2). b) Como a economia pode ser melhorada? O dficit comercial est crescendo todo dia. (NOLT, 1991, p. 2) c) Eu no quero ir para a cama, mame. O filme ainda no acabou. (NOLT, 1991, p. 2) d) O edifcio estava em runas, coberto de fuligem marrom, numa regio abandonada. A fuga dos ratos ressoava pelos corredores. (NOLT, 1991, p. 2).


e) As pessoas talentosas, como voc, deveriam receber uma educao superior. V para a faculdade! (NOLT, 1991, p.2) f) Ns estvamos superados em nmero e em armas pelo inimigo e suas tropas estavam, constantemente, sendo reforadas enquanto as nossas foras estavam diminuindo. Assim, um ataque teria sido suicida. (NOLT, 1991, p. 2) g) Ele est respirando e, portanto, est vivo. (NOLT, 1991, p. 3) h) H algum aqui, que entende este documento? (NOLT, 1991, p. 3) i) Nos Estados Unidos muitas pessoas no sabem se o seu pas apia ou se ope ao governo da Nicargua. (NOLT, 1991, p. 3) j) O Triangulo ABC eqiltero. Portanto, cada um de seus ngulos internos mede 60 graus. (NOLT, 1991, p. 3) k) Bem aventurado aquele que nada espera, pois nunca ser decepcionado. (POPE, Apud COPI ,1968) l) Pea o mesmo para mim, pois os amigos devem ter todas as coisas em comum. (PLATO, Apud COPI,1968) m) Quando o elevado preo do trigo o efeito de uma procura crescente, sempre precedido de um aumento de salrios, pois a procura no pode subir sem um aumento dos meios, do povo, para pagar aquilo que deseja. (RICARDO, Apud COPI,1968) . n) Se quereis descobrir vossa opinio real sobre algum, observai a impresso que vos causa a primeira observao de uma carta escrita por essa pessoa. (SCHOPENHAUER, Apud COPI,1968) o) Se dermos eternidade o significado no de durao temporal infinita mas de intemporalidade, ento a vida eterna pertence aos que vivem no presente. (WITTGENSSTEIN, Apud COPI,1968) p) O pedreiro que trabalha na construo de uma casa pode ignorar o seu projeto geral, ou, de qualquer modo, talvez no o tenha constantemente na idia. O mesmo acontece com o homem: trabalhando todos os dias e todas as horas de sua vida, dedica poucos pensamentos ao carter da vida como um todo. (SCHOPENHAUER, Apud COPI,1968) q) A nenhum homem consentido ser juiz em causa prpria; porque seu interesse certamente influir em seu julgamento, e, no improvavelmente, corromper a sua integridade. (MADISON, Apud COPI,1968) 2. Alguns dos seguintes itens contm mais de um argumento. Distinga os argumentos e identifique suas premissas e concluses. a) A instituio do longo aprendizado no favorvel formao de jovens para a indstria. Um jornaleiro, que trabalha por pea, provavelmente ativo, porque extrai o beneficio de todos os esforos resultantes da sua atividade. Um aprendiz provavelmente preguioso, e quase sempre o , porque no tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa. (SMITH, Apud COPI,1968)


b) Eu segui a receita que estava na caixa, mas a sobremesa ficou com um gosto horrvel. Algum ingrediente devia estar estragado. (NOLT, 1991, p. 35) c) Os pais que foram maltratados quando crianas so, freqentemente, mais violentos com os seus filhos do que os pais que no foram maltratados. Isso prova que as pessoas maltratadas quando crianas so levadas, mais tarde, a maltratar a prxima gerao. Portanto, o nico modo de parar o ciclo de criana maltratada providenciar um tratamento para crianas maltratadas antes que se tornem pais e perpetuem este problema triste e srio. (NOLT, 1991, p. 37) d) Hitler subiu ao poder porque os Aliados tinham esmagado a economia germnica aps a Primeira Guerra Mundial. Portanto, se os Aliados tivessem ajudado a reconstruir a economia germnica em vez de esmag-la, eles nunca teriam tido confronto com Hitler. (NOLT, 1991, p. 35) e) A srie de nmeros inteiros infinita. Se no fosse infinita, ento existiria um ltimo (ou maior) nmero. Mas, pelas leis da aritmtica, pode-se efetuar a operao de adio com qualquer nmero arbitrariamente grande; seja n, o tal nmero, ento obtemos n+1. Como n+1 sempre excede n, no h um ltimo (ou maior) nmero. Logo, a srie de nmeros inteiros infinita. (NOLT, 1991, p. 36). f) Como um indivduo abandonado a si prprio no pode realizar todas as boas coisas que poderia de outro modo obter, tem de viver e trabalhar com outros. Mas a sociedade no possvel sem simpatia e amor; portanto, a virtude primordial que dever de todos e de cada um desenvolver o amor humanidade. (SHARIFF, Apud COPI,1968). g) ... dizem- nos que esse Deus, que prescreve a indulgncia e o perdo para todas as faltas, no exerce nem uma nem outra coisa, mas faz exatamente o oposto; ento, um castigo que vem no fim de todas as coisas, quando o mundo est irremediavelmente perdido, no pode ter como objetivo aperfeioar ou dissuadir; , portanto, pura vingana. (SHOPENHAUER, Apud COPI,1968)

1.5 Deduo e InduoTodo o argumento composto por premissas que visam abordar um tema e fundamentar a concluso. Entretanto, devido a essa fundamentao, podemos classificar os argumentos em dois tipos: argumentos dedutivos e argumentos indutivos. Os argumentos dedutivos so aqueles que fornecem provas convincentes para que aceitemos a concluso. Esse tipo de argumento classificado em vlido ou invlido, sendo classificado como vlido quando, atravs de premissas verdadeiras, a concluso tambm o ser. Os argumentos indutivos so aqueles que no apresentam evidncias suficientes para que acreditemos em sua concluso; apenas indicam que, decorrente de algumas evidncias levantadas, h uma grande probabilidade de ocorrer a concluso. Um argumento indutivo, usualmente apresenta premissas que apresentam afirmaes particulares e concluses que apresentam afirmaes gerais. Num argumento indutivo no possumos uma informao completa no sentido de saber sobre tudo e sim sobre apenas uma parte. Esses argumentos no so classificados como vlidos ou invlidos, mas como melhores ou piores, dependendo do grau de veracidade e intensidade de suas premissas. Enfocaremos nossos estudos apenas nos argumentos dedutivos, mas, para esclarecermos os conceitos de argumento dedutivo e argumento indutivo vejamos os seguintes exemplos:


Exemplo 15: Alguns homens tm cimes. Pedro homem. Portanto, Pedro tem cimes. Exemplo 16: Quem come carne carnvoro. Alguns peixes comem carne. Logo, alguns peixes so carnvoros. O exemplo 15, acima, apresenta um argumento onde usado o raciocnio indutivo, pois as premissas apresentam uma idia e no fornecem provas conclusivas da verdade da concluso. J o exemplo 16 apresenta um argumento, que dedutivo, pois a veracidade das premissas garante a verdade da concluso.

ATIVIDADESNesta lista so apresentados argumentos dedutivos e indutivos, analise-os e responda. 1. (ANPAD fevereiro de 2002) Considere os argumentos abaixo: I. Se 6 no par, ento 3 no primo. Mas 6 par. Logo, 3 primo. II. Se faz frio, Margarete fica em casa. Margarete no ficou em casa. Logo, no fez frio. III. Se voc tem ar condicionado, ento no passa calor. Quem mora em Foz do Iguau tem ar condicionado. Logo, se voc mora em Foz do Iguau, no passa calor. O(s) argumento(s) DEDUTIVO(S) (so) : a) I e II; b) II e III; c) Somente I; d) Somente III; e) I, II e III. 2. (ANPAD - junho de 2001) Qual(is) argumento(s) abaixo (so) DEDUTIVO(S)? I. Todo mamfero tem corao. Todos os gatos so mamferos. Todos os gatos tm corao.


II. Todos os gatos que foram observados tinham corao. Todos os gatos tm corao. III. Todos os ces tm penas. Todos os pssaros so ces. Todos os pssaros tm penas. IV. A grande maioria dos brasileiros de trinta e cinco anos, atacados por cncer pulmonar, no vive por mais de trs anos. Joo Pedro um brasileiro de trinta e cinco anos, atacado de cncer pulmonar. Joo Pedro no viver por mais de trs anos. a) I, III e IV; b) I e IV; c) II e IV; d) I e III. 3. Distinga os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos itens abaixo: a) Nenhum mortal pode parar o tempo. Voc mortal. Portanto, voc no pode parar o tempo. (NOLT, 1991, p. 46) b) Freqentemente, quando chove fica nublado. Est chovendo. Portanto, est nublado. (NOLT, 1991, p. 46) c) No h registros de seres humanos com mais de 5 metros de altura. Portanto, nunca tivemos um ser humano com mais de cinco metros de altura. (NOLT, 1991, p. 46) d) Alguns porcos tm asas. Todas as coisas aladas gorjeiam. Portanto, alguns porcos gorjeiam. (NOLT, 1991, p. 46) e) Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald, bvio que Oswald no poderia ter disparado trs vezes atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez em 5,6 segundos ou menos. (Autopsy on the Warren Commission, Time , Vol. 88, No. 12 Apud COPI,1968). f) Um hortelo que cultiva sua prpria horta, com suas prprias mos, rene em sua prpria pessoa trs diferentes caracteres: de proprietrio rural, de agricultor e de trabalhador rural. Seu produto, portanto, deveria pagar-lhe a renda do primeiro, o lucro do segundo e o salrio do terceiro. (SMITH, Apud COPI,1968). g) Numa escola subprivilegiada do Harlem, costumavam testar a inteligncia de todas as crianas em intervalos de dois anos. Concluram que, de dois em dois anos, cada classe que avanava tinha menos dez pontos de inteligncia inata. Isto , os esforos unidos influncia familiar e educao escolar, por sinal uma poderosa combinao, conseguiram fazer com que as crianas ficassem significativamente mais estpidas de ano para ano; se tivessem mais alguns anos de vnculos familiares compulsrios e instruo obrigatria acabariam todas como idiotas perfeitas. (GOODMAN, Apud COPI,1968)


h) Nota-se, pela situao do pas, pelos hbitos do povo, pela experincia que temos tido sobre esse ponto, que impraticvel levantar qualquer soma muito considervel pela tributao direta. As leis fiscais tm-se multiplicado em vo; novos mtodos para aplicar a arrecadao foram tentados inutilmente; a expectativa pblica tem sido uniformemente desapontada e as tesourarias estaduais continuam vazias. (HAMILTON, Apud COPI,1968). i) Apenas direi, sucintamente, que a teoria da irrealidade do mal parece-me agora insustentvel. Se fosse demonstrado que tudo o que pensamos ser mau era, na realidade, bom, persistiria ainda o fato de pensarmos que mau. Isto poderia ser considerado uma iluso ou um erro. Mas uma iluso ou um erro so coisas to reais quanto quaisquer outras. A crena errnea de um selvagem de que a terra estacionria to real quanto o fato de um astrnomo acreditar, corretamente, que ela se movimenta. A iluso de que o mal existe , portanto, real. Mas, ento, para mim pelo menos, parece certo que uma iluso ou um erro que nos escondem a bondade do universo seriam, em si mesmos, um mal. Portanto, seria um mal real, em ltima anlise. (TAGGART, Apud COPI,1968). j) Como um indivduo abandonado a si prprio no pode realizar todas as boas coisas que poderia de outro modo obter, tem de viver e trabalhar com outros. Mas a sociedade no possvel sem simpatia e amor; portanto, a virtude primordial que dever de todos e de cada um desenvolver o amor humanidade. (SHARIFF, Apud COPI,1968) l) ... dizem- nos que esse Deus, que prescreve a indulgncia e o perdo para todas as faltas, no exerce nem uma nem outra coisa, mas faz exatamente o oposto; ento, um castigo que vem no fim de todas as coisas, quando o mundo est irremediavelmente perdido, no pode ter como objetivo aperfeioar ou dissuadir; , portanto, pura vingana. (SCHOPENHAUER, Apud COPI,1968)

1.6 Verdade e ValidadeOs termos verdade e falsidade so aplicados proposies, jamais argumentos. Argumentos dedutivos so ditos vlidos ou invlidos. Existem argumentos vlidos que contm apenas proposies verdadeiras, enquanto outros somente falsas, e ainda alguns possuem proposies mistas. Exemplo 17: Todo homem mamfero. Carlos homem. Ento, Carlos mamfero. Esse argumento contm apenas enunciados verdadeiros, e o argumento vlido. Exemplo 18: Toda mosca tem quatro patas. Todos os seres de quatro patas so mamferos. Portanto, toda mosca mamfero. Apesar de conter enunciados falsos o argumento vlido, pois posso afirmar a concluso com base nas premissas. Exemplo 19: Alguns seres so humanos.


O pato um ser. Logo, o pato um ser humano. Esse um argumento invlido, pois as premissas no provam a concluso.

ATIVIDADES1. Indique as premissas e concluses dos argumentos contidos nos seguintes trechos (alguns contm mais de um argumento): a) ilgico raciocinar assim: Sou mais rico do que tu, portanto, sou superior a ti. Sou mais eloqente do que tu, portanto, sou superior a ti. mais lgico raciocinar: Sou mais rico do que tu, portanto, minha propriedade superior tua. Sou mais eloqente do que tu, portanto meu discurso superior ao teu. As pessoas so algo mais do que propriedade ou fala. (EPICTETO, Apud COPI,1968) b) No que diz respeito ao bem e ao mal, estes termos nada indicam de positivo nas coisas consideradas por si, nem so mais do que modos de pensar ou noes que formamos a partir da comparao de uma coisa com outra. Assim, uma s coisa pode ser, ao mesmo tempo, boa, m ou indiferente. A msica, por exemplo, boa para uma pessoa melanclica, m para uma que est de luto, enquanto que para um surdo no boa nem m. (ESPINOSA, Apud COPI,1968) c) Ainda que exista um embusteiro, sumamente poderoso, sumamente ardiloso, que empregue todos os seus esforos para manter-me perpetuamente ludibriado, no pode subsistir dvida alguma de que existo, uma vez que ele me ludibria; e por mais que me engane a seu bel-prazer, jamais conseguir que eu no exista, enquanto eu continuar pensando que sou alguma coisa. Ento, uma vez ponderados escrupulosamente todos os argumentos, tenho de concluir que, sempre que digo ou consigo em meu esprito eu sou, logo existo, esta proposio tem que ser, necessariamente, verdadeira. (DESCARTES, Apud COPI,1968).


Clculo Proposicional

2Ca p t ulo


Neste mdulo aprenderemos a representar argumentos simbolicamente com base em sua estrutura. Para tanto, estudaremos o que uma forma de argumento e estabeleceremos as regras que podero ser utilizadas na demonstrao da validade de uma forma de argumento.

2.1 ArgumentosNesta fase de nosso estudo, no estaremos interessados na anlise dos enunciados quanto ao seu valor-verdade, mas, sim, em sua formalizao; isto , como podemos representar a estrutura de suas premissas e concluso. Esse o principal enfoque do clculo proposicional. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Atualmente novembro ou dezembro. Atualmente no dezembro. Portanto, atualmente novembro. Exemplo 2: O Brasil foi uma colnia de explorao ou de povoamento. O Brasil no foi uma colnia de povoamento. Logo, o Brasil foi uma colnia de explorao. Exemplo 3: A seleo brasileira de futebol de campo pentacampe ou hexacampe mundial. A seleo brasileira de futebol de campo no hexacampe mundial. Portanto, a seleo brasileira de futebol de campo pentacampe mundial. Observe que esses argumentos tm a seguinte estrutura, P ou Q. No o caso que Q. Portanto, P. Mais explicitamente, para o primeiro exemplo, seja P representando a primeira sentena, ou seja, P = Atualmente novembro. Do mesmo modo, representemos a segunda sentena por Q; isto , Q = Atualmente Dezembro. Assim, a primeira premissa pode ser representada, simbolicamente, por P ou Q. A segunda premissa Atualmente no dezembro, corresponde a No o caso que atualmente dezembro. Assim, pela simbologia proposta, temos que a segunda premissa ser No o caso que Q. Conseqentemente, o argumento fica representado por: P ou Q. No o caso que Q. Portanto, P.


Da mesma forma, voc pode verificar que possvel estruturar a mensagem transmitida nos trs exemplos expostos acima, utilizando-se apenas duas letras e alguns conectivos gramaticais. Essa forma de argumento conhecida como silogismo disjuntivo. No clculo proposicional, as letras que representam sentenas (proposies), as quais compem o argumento, so chamadas de letras sentenciais, sendo estas sempre maisculas e nicas ou indexadas (no exemplo exposto as letras sentenciais so P e Q). As expresses no o caso que, e, ou, se ... ento, se e somente se, que podem estabelecer ligaes entre sentenas, so chamadas de operadores lgicos. Uma conveno para representao simblica desses operadores apresentada na Tabela 1.

Tabela 1: Notao simblica dos operadores

Na escrita dos argumentos, nem sempre temos a presena do conectivo e, mas de outros tais como: mas, todavia, embora, entre outros, que desempenham, juntamente com e, a funo de ligar duas sentenas. Assim, quando nos deparamos com um argumento que contenha essas expresses, e se nosso objetivo for formaliz-lo, i.e., escrever o argumento por intermdio de letras sentenciais e smbolos de operadores lgicos, representaremos os conectivos acima citados por ( ).

OBSERVAES IMPORTANTES1. Sabemos que as conjunes mas e e, por exemplo, tm significados distintos; entretanto, no incio desse assunto, foi ressaltado que iramos tratar apenas de como so suas estruturas; 2. Est sendo focado o estudo das formas fundamentais de raciocnio de um ponto de vista da sintaxe das sentenas que o constituem; 3. Os argumentos nos exemplos 1, 2 e 3 tm a mesma forma ou estrutura. As letras sentenciais P e Q funcionam como representantes das sentenas (proposies), tomando a forma, neste caso, do silogismo disjuntivo. Chamamos cada um desses exemplos de instncias da forma; 4. Existem autores que utilizam smbolos para os operadores lgicos diferentes dos apresentados nesta tabela. 2.1.1 Conjunes, Disjunes, Condicionais, Bi Condicionais e Negao Na lgica, como em qualquer outro assunto relacionado matemtica, so criadas denominaes para serem usadas quando nos referimos s proposies mais comuns. Vejamos o seguinte argumento: (P1) Hoje est ventando e hoje no est frio.


(P2) Hoje est frio ou hoje est ventando. (P3) Se hoje est ventando ento os galhos das rvores se mexero. (P4) Os galhos das rvores se mexero se e somente se existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos. (C) Portanto, existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos. Os enunciados compostos ligados por e so denominados conjunes e as sentenas que os constituem so conhecidas como conjunctos. No argumento acima, temos um exemplo de conjuno, que a premissa P1. Como podemos perceber, esse tipo de enunciado composto por duas sentenas, uma que precede e outra que sucede o operador lgico em questo; por isso, dizemos que e um operador binrio. Os enunciados compostos ligados por ou so denominados disjunes e as sentenas que os constituem so conhecidas como disjunctos. No argumento acima, temos um exemplo de disjuno que a premissa P2. Esse tipo de enunciado, analogamente ao anterior, composto por duas sentenas. Assim, ou considerado, tambm, um operador binrio. Os enunciados compostos ligados por se...ento...1 so denominados condicionais, onde a sentena que sucede o se denominada antecedente e a que sucede o ento conhecida como conseqente. No argumento acima, temos um exemplo de condicional, que a premissa P3. Esse tipo de enunciado composto por duas sentenas, o que faz com que o operador se...ento seja, tambm, chamado de binrio. Os enunciados ligados por se, e somente se so denominados bicondicionais e seus componentes no tm denominaes especficas. No argumento acima temos um exemplo de bicondicional, que a premissa P4. Quando h a ocorrncia de um bicondicional, podemos considerar a presena de dois condicionais ao mesmo tempo. Vejamos o seguinte exemplo para esclarecer nosso entendimento. (P4) Os galhos das rvores se mexem se, e somente se, existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos. A sentena P4 pode ser reescrita como: Os galhos das rvores se mexem se existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos, e, se os galhos das rvores se mexem, ento significa que h uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos. Mas, tambm, de P4, podemos extrair as seguintes sentenas: Os galhos das rvores se mexem somente se existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos, onde o operador somente se corresponde a se...ento..., mas com um detalhe: na expresso somente se, o enunciado que sucede essa expresso o conseqente e o enunciado que o precede o antecessor. Portanto, Os galhos das rvores se mexem somente se existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos, equivalente a se galhos das rvores se mexerem ento existe uma fora resultante diferente de zero atuando nos galhos.

1 Para alguns autores, a forma de condicional se A ento B, sofre algumas alteraes na escrita, entre elas podemos citar: B ocorrer, se ocorrer A, A somente se B, A uma condio suficiente para B, ou B uma condio necessria para A.


Assim, verificamos o que foi dito antes, que um bicondicional corresponde a dois condicionais. O operador no o caso que representado simbolicamente por ~ , refere-se a negao da sentena (proposio) e prefixa apenas esta. Portanto, um operador unrio. Por exemplo, se for para escrever que no o caso que hoje est ventando, poderamos faz-lo apenas por: hoje no est ventando ou, simbolicamente, escrevendo ~ em frente, apenas, da letra sentencial que representa aquela proposio. As letras sentenciais e os operadores lgicos facilitam a identificao dos tipos de argumentos. Um exemplo a seguinte representao: P Q. ~ Q. Portanto P. Independentes do significado que as letras sentencias apresentem, qualquer argumento que possa ser formalizado na forma escrita acima (silogismo disjuntivo), poder ser expresso tambm na forma horizontal, com as premissas separadas por vrgula, ou seja: P Q, ~ Q P onde significa Portanto e denominado trao de assero. Ele se apresenta como um indicativo de concluso; ou seja, aquilo que o sucede a concluso da forma de argumento. O silogismo disjuntivo um tipo de argumento vlido, ou seja, se garantida a veracidade das premissas teremos uma concluso tambm verdadeira, mas se a concluso for falsa temos certeza que existe ao menos uma premissa falsa. Observe o exemplo: O Brasil foi uma colnia de explorao ou de povoamento. O Brasil no foi uma colnia de explorao. Logo, o Brasil foi uma colnia de povoamento. Nesse argumento, a concluso falsa, mas isso ocorre pelo fato da segunda premissa ser falsa. Mesmo assim o argumento vlido, pois se as premissas fossem verdadeiras a concluso tambm seria. Agora, analisemos a seguinte forma de argumento, conhecido como afirmando o conseqente: Se voc est gripado, ento voc contraiu um vrus. Voc contraiu um vrus. Portanto, voc est gripado. Tomemos as seguintes letras sentenciais: G = Voc est gripado e C = Voc contraiu um vrus. Logo, o argumento ser formalizado da seguinte maneira: G C, C G.


Esse tipo de argumento invlido, pois possvel que um indivduo tenha contrado um vrus (por exemplo, HIV) e assim, a segunda premissa verdadeira. E mesmo tomando a primeira premissa como verdadeira, poderamos ter uma concluso falsa, j que nem todo o aidtico est gripado. Portanto, existe uma instncia dessa forma que invlido. Existem outros argumentos que podem ser representados por essa forma que apresentam concluso verdadeira em decorrncia de premissas verdadeiras. Um exemplo o seguinte: Se a terra menor que o sol, ento o sol maior que a terra. A terra menor que o sol e o sol maior que a terra. Portanto, a terra menor que o sol. Nesse argumento, a segunda premissa e a primeira premissa so verdadeiras, e aqui temos uma concluso tambm verdadeira. Isso acontece pelo fato de a segunda premissa fornecer todo o embasamento para a concluso proferida, j que podemos observar que a primeira premissa no traz nenhum dado novo que ajude a concluso. A essa linguagem estruturada, com essa notao simblica e seu conjunto de regras (como a do silogismo, por exemplo) e os operadores, chamamos clculo proposicional, clculo de enunciados ou clculo sentencial. 2.1.2 Formalizao de Sentenas O estudo das condies de premissas (como verdadeiras ou falsas) e da relao entre estas condies e a validade ou invalidade do prprio argumento ser abordado mais adiante. Neste momento, estamos interessados em estruturar os argumentos na forma sentencial, isto , represent-los, utilizando letras sentenciais e operadores lgicos. Para um melhor entendimento, desenvolvamos o seguinte exemplo: Dadas as seguintes sentenas e as letras sentenciais: S = Hoje sexta-feira; B = Hoje sbado; V = Hoje dia de vacinao. Represente as seguintes proposies: a) Hoje no sexta-feira. b) Hoje no sbado. c) Hoje no dia de vacinao. d) Hoje no sexta-feira e no sbado. e) Hoje sexta-feira ou sbado. f) Se hoje dia de vacinao, ento hoje sbado. g) Se hoje no sbado, ento hoje no dia de vacinao. h) Hoje sexta-feira se, e somente se, hoje no dia de vacinao. A representao correta das sentenas acima :


a) ~ S g) ~ B ~V

b) ~ B h) S ~V

c) ~ V

d) ~ S

~B

e) S

B

f) V

B

Para uma formalizao das sentenas, no suficiente apenas dominarmos os significados das letras sentenciais e dos operadores lgicos. Temos que utilizar outros smbolos, como os parnteses, visando eliminar algumas ambigidades como as que podemos verificar nos seguintes exemplos: Valendo-se dos significados apresentados no exemplo anterior, escreva o significado da seguinte sentena: S B V

Observe que podemos ter mais de uma interpretao: 1) Hoje sexta-feira, ou hoje sbado e dia de vacinao. Isto , acontece uma sentena ou a outra: (hoje, sextafeira) ou (hoje sbado e dia vacinao, ao mesmo tempo), no existindo uma terceira possibilidade. 2) Hoje sexta-feira ou sbado, e hoje dia de vacinao. Isto , acontecem as duas sentenas ao mesmo tempo: (hoje sexta-feira ou sbado) e (hoje dia de vacinao). Podemos verificar que as sentenas apresentam significados distintos, j que na segunda sentena podemos afirmar que hoje dia de vacinao, ao passo que, a primeira sentena apresenta a possibilidade de que no seja dia de vacinao, pois pode ser sexta-feira. Assim, se a inteno fosse expressar a primeira interpretao usaramos a representao simblica S (B V), mas, se a inteno fosse expressar a segunda interpretao,a representao (S B) V.

OBSERVAES IMPORTANTES1. A causa da ambigidade a presena de mais de um operador binrio na sentena formalizada; para evitar isso, utilizamos os parnteses. 2. Os clculos executados com este sistema sero seqncias de inferncias, que serviro para mostrar a validade de certas formas de argumentos. Cabe frisar que uma forma de argumento vlida se todas as suas instncias so vlidas e uma forma de argumento invlida se pelo menos uma de suas instncias invlida. Uma instncia de uma forma, ou seja, um argumento particular vlido somente quando impossvel que a sua concluso seja falsa enquanto as suas premissas so verdadeiras. Em caso contrrio, ela invlida. (NOLT, 1991)

ATIVIDADES1. Interprete a letra sentencial E como Marta est estudando a lio e a letra A como Marta ser aprovada no teste. Expresse a forma de cada sentena na notao do clculo proposicional (observe que estas frmulas so construdas a


partir de trs conjuntos de smbolos, que so elementos do vocabulrio do clculo proposicional): (Nolt, 1991, p. 46) a) Marta est estudando a lio. b) Marta no ser aprovada no teste. c) No o caso que se Marta est estudando a lio ela ser aprovada no teste. d) Se Marta no est estudando a lio, ento no o caso que Marta est estudando a lio e tambm ser aprovada no teste. e) Se Marta est estudando a lio e ser aprovada no teste, ento ela ser aprovada no teste. f) Marta est estudando a lio se, e somente se, ser aprovada no teste. g) Ou Marta est estudando a lio e ser aprovada no teste, ou ela ser aprovada no teste, mas no est estudando a lio. Observe que nas formalizaes, devemos tomar muito cuidado. Por exemplo, na letra (c) do exerccio anterior, a negao ~ se refere ao condicional e no apenas ao antecedente. J na letra (d), o no o caso que se refere s proposies Marta est estudando a lio e Marta ser aprovada no teste, observe a representao simblica: ~E ~E A ou como ~E ~A. De fato, possuem significados diferentes. ~(E A). Podemos usar este mesmo exemplo para esclarecer a interpretao de ~(E A), que no pode ser confundida com

2.1.3 - Formalizao de Argumentos A formalizao de argumentos consiste em representar os seus componentes (premissas e concluso) atravs de letras sentenciais e dos smbolos que representam os operadores lgicos. Esses caracteres juntamente com os parnteses constituem o vocabulrio do clculo proposicional. Entretanto, nem toda a seqncia desses caracteres apresenta significado lgico. Por exemplo, a seqncia ~(( ) R), no apresenta nenhum significado independente do que R represente . Para evitarmos essa situao, temos certas regras de formao, chamadas regras de formao, que constituem a gramtica do clculo proposicional. Uma frmula que satisfaz as regras de formao dita uma frmula bem formada (fbf). Regras de Formao (na definio das regras so utilizadas letras gregas, que no pertencem ao vocabulrio, como um padro para induzir a generalizao): Nolt (1991) distinguem trs: 1. Qualquer letra sentencial uma fbf. 2. Se f uma fbf, ento ~f tambm o . 3. Se f e y so fbf, ento (f y), (f y), (f y) e (f y) tambm o so.

Assim, qualquer seqncia de letras sentenciais que obedea s regras de formao escritas acima uma fbf: ~ ((A uma fbf, pois: 1) A, B, C, D, so letras sentenciais e pela regra (1), A, B, C, D so fbfs. 2) (A 3) ((A B) e (C B) (C (C B), so fbfs pela regra (3). B)), uma fbf pela regra (3). B)), uma fbf pela regra (2). B) (C B))

4) ~((A B)


Logo, ~ ((A

B)

(C

B)) uma fbf pois segue as regras de formao.

Cabe observar que as fbf mais complexas so construdas a partir de aplicaes repetidas das regras. Cada letra sentencial dita uma fbf atmica. As partes de uma fbf que tambm so fbf so chamadas de subfrmulas bem formadas (subfbf). Assim, na explicao anterior, (A~ ((A ^ B)

B), (C

B) e (A B)

(C

B) so subfbf da frmula

(C

B)) dada. As fbf que no so atmicas so ditas moleculares ou compostas.

Para que complicarmos se podemos facilitar. Assim, quando utilizarmos apenas um operador binrio torna-se desnecessria a utilizao de parnteses, pois, neste caso, no possvel ambigidade alguma, j que h somente um conectivo na frmula. 2.1.4 Escopo de um Operador - Operador Principal de uma Fbf A palavra escopo, no vocabulrio brasileiro, significa intuito, alvo. No Clculo proposicional, utilizaremos ela com o sentido de abrangncia ou mbito. A noo de escopo de um operador pode ser explicada atravs de alguns exemplos. Em aritmtica, quando adicionamos uma lista de nmeros, por exemplo, 2 + 4 + 5, a ordem da adio no faz diferena para o resultado (se primeiro adicionamos 2 e 4 , ou se primeiro adicionamos 4 e 5). Todavia, quando outra operao est envolvida, a ordem faz diferena. Por exemplo, faz diferena para o resultado de 2 + 4.5, se primeiro adicionamos 2 e 4, e depois multiplicamos o resultado por 5, ou se primeiro multiplicamos 4 e 5, e depois adicionamos 2. Assim, 2 + 4.5 ambgua entre 2 + (4.5) e (2 + 4).5, ambigidade que pode ser facilmente evitada, como fica claro, usando parnteses. Procede-se da mesma maneira em lgica, como no clculo proposicional. Por exemplo, em notao quase-formal, distinguimos ((P Q) R), de (P (Q R)) -- onde P, Q e R so variveis proposicionais. O recurso aos parnteses, nesse caso, tambm evita ambigidades, de modo que uma frmula complexa possa ser decomposta de uma nica maneira em seus tomos, e pela atribuio de um valor de verdade aos tomos resulte um nico valor de verdade para a frmula complexa. Consideremos as formalizaes: I) P (Q R) II) (P Q) R III) P ~(Q R) IV) ~(P (Q R)) V) ~P (Q R) Na formalizao feita em (i), podemos observar que o operador est se referindo a Q e R e, que o operador est se referindo a P e (Q R).. Neste caso, dizemos que o escopo de a frmula toda, ou ainda, que o escopo de maior que o escopo do O escopo de uma ocorrncia de um operador numa fbf a menor subfbf que contm aquela ocorrncia (NOLT, 1991).


A utilizao dos parnteses se faz necessria para no haver confuso. Cada um dos operadores acima, possui um operador que prefixa a frmula toda, a saber: em (i) o , em (ii) o , em (iii) o , em (iv) o ~ e em (v) o . A este operador damos o nome de operador principal da frmula. Cabe observar que cada frmula possui apenas um operador principal. 2.1.5 Letras Gregas Baseado no material retirado da pgina http://www.cic.unb.br/~gap/greek.ps (da Universidade de Braslia) em 26 de junho de 2007, apresentada a Tabela 2.

Tabela 2 : Letras gregas *O smbolo maisculo da verso greco/romana da letra.

ATIVIDADES1. Utilize as regras de formao para determinar quais das seguintes frmulas so fbfs e quais no so. Justifique a sua resposta. (NOLT, 1991, p. 96) a) ~~~R e) (P i) ~ (~ P Q) (R ~ S)) b) (~ R) f) ~ (P j) (P Q Q) R) c) PQ g) ((P Q) l) ((P Q) R) R) d) P Q R

h) (P Q)

2. Formalizar as seguintes sentenas num formato horizontal, usando as letras sentenciais indicadas. Utilizar os indicadores de premissa e concluso para distinguir as premissas das concluses. De acordo com nossa conveno, os parnteses externos sero omitidos (os significados das letras sentenciais sugeridas entre parnteses devem ser subentendidos quando no forem especificados): (NOLT, 1991, p. 99)


a) Se Deus existe, ento a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado. (D, V) Resposta.: D V, D V b) Se no tivesse havido um temporal naquela cidade hoje de madrugada, ele j teria chegado aqui. Mas ele no chegou aqui ainda. Portanto, houve um temporal naquela cidade nesta madrugada. (T, C) c) Cludia ser aprovada se, e somente se, estudar muito. (A, E) d) Se a vtima tinha dinheiro nos bolsos, ento roubo no foi o motivo do crime. Mas o motivo do crime foi ou o roubo, ou a vingana. Portanto, o motivo do crime foi a vingana. (D, R, V) e) Ele pode ter muitos amigos somente se os respeitar como indivduos. Se os respeita como indivduos, ento no pode esperar que todos se comportem da mesma maneira. Ele tem muitos amigos. Portanto, no espera que todos se comportem da mesma maneira. (A, R, E) f) Se o caixa e o tesoureiro tivessem apertado o boto do alarme, o cofre-forte ter-se-ia fechado automaticamente e a polcia teria chegado em trs minutos. Se a polcia tivesse chegado em trs minutos, poderia ter alcanado o automvel dos assaltantes. Mas no pde alcanar o automvel dos assaltantes. Portanto, o caixa no apertou o boto do alarme. (C, T, F, P, A)

Vamos agora comear a trabalhar com a verificao de formas vlidas de argumentos utilizando a linguagem simblica apresentada. Existem outras tcnicas para determinar a validade de argumentos na linguagem proposicional ns as estudaremos mais adiante. Apresentaremos o sistema de regras definido por Nolt (1991) que geram todas as formas vlidas de argumentos. As regras de inferncia do clculo proposicional, ento, geram todas as formas de argumentos vlidas expressveis em sua linguagem e somente as formas vlidas (NOLT, 1991). O que se fez at agora so tentativas de se derivar a concluso a partir das premissas. Ou seja, tentativas de mostrar que a concluso se segue, validamente, de um conjunto de premissas. O sistema de regras de inferncias a ser adotado deve preservar a verdade. As regras de inferncia geram as formas de argumentos numa srie de etapas simples e precisas de raciocnio, chamadas de derivao ou prova. Cada etapa numa prova uma instncia de uma das regras. (NOLT, 1991) Aqui sero utilizadas dez regras bsicas, uma de introduo e uma de eliminao, como utilizado em NOLT (1991), para cada um dos operadores ( ~, , , e ).

2.2 Regras de InfernciaAnalisaremos a forma do seguinte argumento: Hoje sbado e est chovendo. Portanto, est chovendo. Se for dito que hoje sbado e est chovendo, o que podemos concluir? Facilmente, percebemos que podemos tanto concluir que sbado, como tambm que est chovendo. Notamos que as duas concluses so verdadeiras.


Vamos s Definies das Regras. Usaremos as letras gregas f e y para induzir a generalizaes e representar a regra de inferncia citada. No esquea que essas letras podem ser substitudas por qualquer fbf atmica ou composta. Regra I - Eliminao da conjuno (E ): De uma conjuno, podemos inferir qualquer um de seus conjunctos. Simbolicamente: f yf ou f yy L-se: 1. Dado que temos fi e psi pode-se concluir fi. 2. Dado que temos fi e psi pode-se concluir psi. Ou ainda 1. f e y . Portanto f. 2. f e y. Portanto y. Na forma vertical: Premissas e inferncias (passos) 1)f y 2) y Ou Premissas e inferncias (passos) 1)f y 2) f Memria dos Clculos Premissa 1 (E ) Memria dos Clculos Premissa 1 (E )

O objetivo estabelecer um processo atravs do qual possamos ir, passo a passo, de uma premissa ou premissas para a concluso, sendo cada passo autorizado por uma regra qualquer. apresentada uma coluna com a memria do que vai sendo derivado. Agora, se algum te fala que est chovendo e voc sabe que hoje sbado, o que voc pode concluir? De fato, podes dizer que hoje sbado e que est chovendo. Assim, perceba como ocorre essa regra. Hoje sbado. Hoje est chovendo. (premissa) (premissa) f y f y

Ento, hoje sbado e est chovendo.


Regra II - Introduo da conjuno (I ): Dadas duas proposies podemos inferir a conjuno entre elas. Simbolicamente:

f, y f yL-se: 1. Dado que temos fi e que tambm temos psi podemos concluir que se tem fi e psi Ou ainda 2. f, y . Portanto f e y. Na forma vertical: Premissas e inferncias (passos) 1) f 2) y 3) f y Memria dos Clculos Premissa Premissa 1, 2 (I )

OBSERVAES IMPORTANTESSe Renner for s aulas ele aprender os contedos, se Renner souber os contedos ento passar na prova. Renner foi s aulas, portanto, ele passar na prova. Observamos a facilidade em aceitar a validade deste argumento, vamos ento formaliza-lo atravs da linguagem simblica. Assim: A = Renner vai s aulas C = Renner aprende os contedos P = Renner passar na prova Sua formalizao fica: A C, C P, A P

Precisamos provar que P realmente a concluso gerada pelas premissas. Vamos ver como dada essa prova atravs das regras de inferncia, faremos isso escrevendo passo a passo as derivaes. Premissas e inferncias (passos) 1) A 2) C 3) A Como A C P Memria dos Clculos Premissa Premissa Premissa

C (passo 1) podemos concluir C, pois A tomado como verdade (passo 3), essa derivao pode ser enten). Assim, colocamos na memria do que foi feito e prosseguimos

dida como uma regra, eliminando o condicional (E nas derivaes.


Premissas e inferncias (passos) 1) A C 2) C P 3) A 4) C

Memria dos Clculos Premissa Premissa Premissa 3, 1 (E )

Utilizando o mesmo raciocnio, podemos obter P, pois podemos juntar o que temos no passo (2) com o que obtemos no passo (4). Premissas e inferncias (passos) 1) A C 2) C P 3) A 4) C 5) P Assim, obtemos o resultado esperado. A regra que acabamos de estabelecer, eliminao do condicional chamada comumente de Modus Ponens e representada por MP. Nunca podemos esquecer a clareza das derivaes at alcanar a concluso, por este motivo, registramos passo a passo o que realizado. Chegamos onde queramos, provamos que P derivado das premissas, portanto essa forma de argumento vlida. Assim, qualquer argumento que tiver essa estrutura vlido. Por exemplo: o seguinte argumento como voc pode observar apresenta a forma citada e, portanto, vlido: Afrnio matemtico. Se Afrnio matemtico, ento ele racional. Se Afrnio racional, ento Afrnio inteligente. Portanto, Afrnio inteligente. Regra III - Eliminao do condicional (E ), tambm conhecida como Modus Ponens (MP) - "De um condicional e seu Memria dos Clculos Premissa Premissa Premissa 3, 1 (E ) 4, 2 (E )

antecedente, pode-se inferir seu conseqente". Simbolicamente:

f

y, f y

L-se: 1. Dado que temos o condicional se fi ento psi e seu antecedente fi podemos concluir psi. 2. f implica em y, f . Portanto y. Na forma vertical: Premissas e inferncias (passos) Memria dos Clculos

1) f y 2) f 3) y

Premissa Premissa 1, 2 (MP)


Vamos provar se a seguinte frmula vlida, no esquecendo das 3 regras que j apresentamos.P (Q R), P P R

Prova: Premissas e inferncias (passos) 1. P (Q R) 2. P 3. Q R 4. R 5. P R Memria dos Clculos premissa premissa 1, 2 (MP) 3 (E ) 2,4 (I )

#

OBSERVAES IMPORTANTES1. Nessas ultimas provas apresentadas, no colocamos o smbolo em frente s concluses (na coluna da direita) a cada clculo proposicional realizado. Cabe lembrar que tudo que vem aps as premissas so derivaes e, portanto, todas teriam que ter o smbolo. 2. Como vimos anteriormente, enunciados escritos diferentemente podem conter o mesmo significado, o que acontece aqui: Hoje sbado e est chovendo. Hoje est chovendo e sbado. Trocando para a linguagem simblica, ou seja, para as fbfs P e Q, por exemplo, teremos P ^ Q e Q ^ P. Embora possa-

mos considerar isso como uma regra, e alguns autores a considerem, lembre-se que queremos formar um grupo de regras bsicas, portanto, na hora de constituir esse grupo interessante que aparea uma menor quantidade de regras. Alm disso, podemos consider-la como uma regra derivada, pois, como veremos a seguir, essa equivalncia facilmente demonstrada pelas regras (E ) e (I ). Veja: P QQ P Prova: Premissas e inferncias (passos) 1) P Q 2) P 3) Q 4) Q P Exemplo 4: prove a validade da forma de argumento.~P (Q (R ~T)), ~P, Q, R ~T

Memria dos Clculos p (usaremos somente p para denotar premissa) 1 (E ) 1 (E ) 3, 2 (I )

#


Prova: Premissas e inferncias (passos) 1) ~ P (Q (R 2) ~ P 3) Q 4) R 5) Q (R ~T) 6) R ~T 7) ~T ~T)) Memria dos Clculos p p p p 1,2 (MP) 5,3 (MP) 6,4 (MP)

#

Os passos de (1) a (6) provam que a forma de argumento apresentada vlida; isto , chegamos a concluso baseando-nos nas premissas dadas. Regra IV - Eliminao da negao (E~): De uma negao dupla de uma frmula, pode-se inferir a frmula. Simbolicamente:

~~f fL-se: 1. Dado que negamos duas vezes fi podemos concluir fi. 2. no no f. Portanto f. Na forma vertical: Premissas e inferncias (passos) 1) ~~f 2) f Para ficar mais claro como funciona esta regra, veja o exemplo: T = A Terra redonda. O smbolo ~ representa a negao, logo No verdade que a Terra redonda representada por ~T. Para negar o ~T, ou seja, a frase No verdade que a Terra redonda mentira, conclumos que A Terra redonda. Exemplo 5: Prove a validade da forma de argumento a seguir: Memria dos Clculos Premissa 1 (E~)

~P

~~Q, ~~~~~P Q

Prova: Premissas e inferncias (passos) 1) ~P ~~Q Memria dos Clculos p


2) ~~~~~P 3) ~~~P 4) ~P

p 2 (E~) 3 (E~) ~~Q (linha1) e

Perceba como importante o entendimento de todas as regras de inferncia apresentadas, pois, ~P ~P (linha 4) nos permite, atravs da regra Modus Ponens, inferir ~~Q. Premissas e inferncias (passos) 1) ~P 3) ~~~P 4) ~P 5) ~~Q ~~Q Memria dos Clculos p p 2 (E~) 3 (E~) 1,4 (MP)

2) ~~~~~P

Observe que, graficamente, ~~Q diferente de Q, portanto ainda no acabamos a nossa demonstrao. Mas, como vimos, podemos usar a regra (E~) Premissas e inferncias (passos) 1) ~P 3) ~~~P 4) ~P 5) ~~Q 6) Q ~~Q Memria dos Clculos p p 2 (E~) 3 (E~) 1,4 (MP) 5 (E~)2

2) ~~~~~P

Agora sim, a prova est completa. importante notar que a regra eliminao de negao no nos permite inferir do passo (1) (~P ~~Q) a fbf "(~P Q)". Precisamos, primeiro, utilizar a regra "MP" para inferirmos "~~Q" e depois utilizar # a regra "E~". A eliminao de negao permite-nos remover dois sinais d

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