livro fenômenos de transporte celso livi

4m

V0xI H

wm i

Vx(y, <,) Fluido

Lfiaea:

_ _ t \S—

^^ZPJê

+ W

I Ruxo de momento linear' dVx

'

r %•&

Fundamentos de -*r

#*

dp^

#*

Fenômenos de TransporteUm Texto para Cursos Básicos

^ g

#N

oonajto

rr

r

r Fundamentos de

Fenômenos de Transportelím Tearío para Cursos Básicos

? CELSO POHLMANN LIVI^ Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente<p Escola Politécnicap Universidade Federal do Rio de Janeiro

/Si*

#*

LTCEDITORA

rfs$)\

No interesse de difusão da cultura e do conhecimento, o autor e os editores envidaram o smmáximo esforço para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer materialutilizado, dispondo-se apossíveis aceitos posteriores caso, inadvertidamente, aidentificação ^de algumdeles tenha sido omitida. e»

«^

Capa: Projeto com baseem ilustração fornecida peloautor

/m

Direitos exclusivos para a língua portuguesa 'Copyright ©2004 by Celso Pohlmann Livi ^LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.Travessa do Ouvidor, 11 yRio de Janeiro, RJ — CEP 20040-040 mTel.: 21-2221-9621

Fax:21-2221-3202 ^ltc@ ltceditora.com.brwww.ltceditora.com.br

Reservados todos osdireitos. Éproibida a duplicaçãooureprodução deste volume, no todo ouem parte, ^sobquaisquerformas ou por quaisquermeios(eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, 3distribuição na Web ou outros), <<%sem permissão expressa da Editora.

/^Sfc

r

r

<p

f* Para Deborah e Fellipeee

\r

p

•r

:r

r

e

r

tee

r

<?

<f?>

r

r

r

t

:

r

r

r

r

r

#

PREFACIO

Denomina-se Fenômenos deTransporte amatéria que compreende o estudo de mecânica dos fluidos, de transmissão decalor e de transferência de massa. Trata-se de uma matéria deformação básica dos cursos de engenharia. Fenômenos deTransporte consta do conteúdo programático do Exame Nacional de Cursos (Provão) do Ministério da Educação.

Verifica-se que diferentes fenômenos difusivos da mecânica dos fluidos, da transmissão de calor e da transferên

cia de massa podem ser descritos por um modelo matemático comum, onde a diferença está nas grandezas físicasenvolvidas e seus respectivos coeficientes de difusão, deforma que esses assuntos passaram a ser estudadosconjuntamente com o nome de Fenômenos de Transporte.

Este texto foi desenvolvido para atender às necessidadesde uma disciplina introdutória, com duração de um semestre e situada no final do ciclo básico dos cursos de engenharia, em que os alunos entram em contato pela primeiravezcom o assunto. Neste livro, o conteúdo está organizadode forma a considerar, primeiro, alguns conceitos e umaformulação básica para fenômenos de transporte, com aapresentação de um modelo matemático comum que evidencia a analogia existente entre os processos difusivosunidimensionais de transporte de momento (quantidade demovimento) linear, de calor e de massa. Após, são desenvolvidos os tópicos de mecânica dos fluidos, de transferência de calor e de dilusão de massa.

Este Iívto não esgota o assunto, tratando somente daconceituação básica e do estudo dos tópicos fundamentaisque considero adequado para uma disciplina introdutóriasobre Fenômenos deTransporte, destinadaa estudantes deum curso de graduação de engenharia. Espero que o livrosejaútil paraestudantes e professores. Considero, também,que os alunosde algumas habilitações das escolasde engenharia, tais como dos cursos de engenharia mecânica, naval e química, que necessitarão de conhecimento maisaprofundado sobre o assunto, cursarão, no ciclo profissional, outras disciplinas sobre mecânica dos fluidos, transferência de calor e transporte de massa.

No Capítulo 1. apresento conceitose definições fundamentais.

No Capítulo 2, apresento conceitos e uma formulaçãobásica para fenômenos de transporte. Analiso, a partir de

uma abordagem fenomenológica, processos difusivos unidimensionais onde ocorrem fluxos de momento linear, decalor e de massa, apresentando um modelo matemáticocomum e mostrando a analogia existente entre esses processos difusivos unidimensionais de transferência.

No Capítulo 3, trato dos fundamentos da estática dosfluidos, abordando as noções básicas do estudo da pressãoe sua variação em um fluido e a determinaçãodas forças depressão sobre superfícies planas submersas.

No Capítulo 4, apresento uma descrição e a classificação de escoamentos.

No Capítulo 5, conceituo volume de controle e desenvolvo uma análise de escoamentos na formulação de volume de controle com a aplicação de três leis físicas fundamentais: princípio de conservação da massa, segunda lei deNewton para o movimento e princípio de conservação daenergia. Estudo, também, a equação de Bernoullie noçõesbásicas sobre a perda de carga em escoamentos de fluidosreais em tubulações.

No Capítulo 6. apresento uma introdução à análise diferencial de escoamentos, em que deduzo equações diferenciaisque permitem a determinação das distribuições dasgrandezas intensivas em estudo. Tendo em vista que estetexto se destina a uma disciplina introdutória sobre o assunto, trato mais da modelagem matemática (formulação) dosproblemas e apresentosoluções somenteparacasossimples.

No Capítulo 7, conceituo transferênciade calore caracterizo os mecanismos de condução, convecção e radiação,apresentando as equações que fornecem as densidades defluxo de calor.

NoCapítulo8, estudoa determinação do fluxo de calore da distribuição de temperatura para casos de conduçãounidimensional e em regime permanente, sem geração interna de calor e meio com condutividade térmica constan

te, em sistemas com geometria simples onde são conhecidasas temperaturas nocontorno. Estudo, também, problemas unidimensionais e em regime permanente de condução de calor em paredes compostas com convecção no contorno.

No Capítulo 9, apresento uma introdução à conduçãode calor em regime transiente, onde deduzo a equação diferencial da condução de calor. Estudo a formulação de

VIU Prefácio

problemas decondução decalor emregime não-permanentee trato da resolução da equação da difusãode caloratravésdo método de separação de variáveis paraproblemas unidimensionais.

NoCapítulo10,apresentoalgumas definições e conceitos básicos de transporte de massa e estudoos fundamentos da formulação de problemas simples da difusão molecularcausadapor gradientes de concentração de um componente numamistura binaria, mostrando alguns aspectosda analogia existente com a transferência de calorporcondução.

No Apêndice, apresento um resumo de noções básicasde termodinâmica e uma aplicação da análiseglobal do sistema para a transferência de calor.

Neste texto,adoto a terminologia de fluxo e de densidade de fluxo, de acordo coma Regulamentação Metrológicae Quadro Geralde Unidades de Medida, estabelecidos peloConselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial —CONMETRO, na Resolução 01/82, queestabelece as seguintes definições:

Fluxo de massa, com unidade quilograma por segundo(kg/s), é ofluxo demassa deummaterial que, emregime permanente através deuma superfície determinada, escoa a massade l quilograma domaterial em 1 segundo;

Potência oufluxo deenergia, com unidade watt (W), é apotência desenvolvida quando serealiza, demaneira contínuae uniforme, o trabalho de 1pule em l segundo; e

Densidade defluxo deenergia, com unidade watt por metroquadrado (W/m2), é a densidade deumfluxodeenergia uniforme de 1watt, através deuma superfície plana de l metroquadrado de área, perpendicular à direção depropagação daenergia.

Agradeço aoSr. Oswaldo LuizWaltzJunqueirapelaconfecção dos desenhos e aos professores Enise Valentini eGilberto Fialho pelas sugestões e úteis discussões sobreoassunto.

Rio de Janeiro, julho de 2004

Celso P. Livi

^1|

"%

(f

''-••^:- SUMÁRIOIP

f 1 CONCEITOS E DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS, 1r 1.1 Introdução, 1ip 1.2 Meio Contínuo, 10^ 1.2.1 Limite de Validade do Modelo de Meio Contínuo, 1

1.3 Massa Específicaem um Ponto, 2<P 1.4 Volume Específico. Peso Específico. Densidade Relativa, 20& 1.5 Forças de Corpo e de Superfície, 3

1.6 Tensão em um Ponto. Notação Indiciai para as Componentes daTensão, 3** 1.7 Fluidos. Definição e Propriedades, 5f 1.7.1 Definição de Fluido, 50b 1.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos, 6

1.7.3 Fluidos Newtonianos, 6*':"' 1.7.4 Viscosidade, 6p 1.8 Módulo de Elasticidade Volumétrica. Compressibilidade, 8a 1.9 Equação de Estado para um Gás Perfeito, 9

1.10 Energia Interna. Capacidade Térmica e Calor Específico, 10r 1.11 Tensão Superficial. Capilaridade, 100\ 1.12 Pressãode Vapor. Ebulição. Cavitação, 12_ 1.13 Grandezas, Dimensões e Unidades, 12* 1.14 Considerações sobre a Terminologia, 12f* 1.15 Bibliografia, 13ms 116 Problemas, 13

#\

0\

2 CONCEITOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE E ANALOGIA ENTRE OSPROCESSOS DIFUSIVOS UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIA DEMOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA, 15

2.1 Introdução, 152.2 Grandezas Extensivas e Intensivas. Campos, 152.3 Desequilíbrio Local e Fluxos. Fenômenos de Transporte, 152.4 Transporte Difusivo de Momento Linear, 162.5 Transporte de Calor por Condução, 182.6 Transporte de Massa por Difusão Molecular, 192.7 Equações para as Densidades de Fluxos de Momento Linear, de Calor e de Massa, 222.8 Equações da Difusão, 24

. 2.9 Bibliografia, 292.10 Problemas, 29

3 FUNDAMENTOS DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS, 313.1 Introdução, 313.2 Pressão em um Ponto, 31

Sumário

3.3 Equação Básica da Estática dos Fluidos, 33 ^3.4 Variação da Pressão em um Fluido em Repouso, 34 ^3.5 Variação da Pressão em um Fluido com Movimento de Corpo Rígido, 363.6 Medidas de Pressão. Barômetro de Mercúrio e Manômetro de Tubo em U, 39 ^3.7 Forças sobre Superfícies Planas Submersas, 41 ^3.8 Empuxo e Flutuação, 46 ^3.9 Bibliografia, 483.10 Problemas, 48 ^

4 DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE ESCOAMENTOS, 52 ^4.1 Introdução, 52 ^4.2 Campo de Velocidade de Escoamento. Aceleração, 52 ^4.3 Descrição e Classificação de Escoamentos, 534.4 Bibliografia, 60 ^4.5 Problemas, 60 /%

5 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESCOAMENTOS NA FORMULAÇÃO DE 'VOLUME DE CONTROLE, 61 ^5.1 Introdução, 615.2 Sistema e Volume de Controle, 61 J5.3 Vazão e Fluxo de Massa, 62 ^5.4 Equação Básica daFormulação deVolume de Controle, 64 ^5.5 Princípiode Conservaçãoda Massa. Equação da Continuidade, 665.6 Segunda Lei de Newton para o Movimento na Formulação de Volume deControle. Equação do ^

Momento Linear, 70 /m5.7 Equação do Momento Angular, 755.8 Princípio de Conservação da Energia na Formulação de Volume de Controle. Equaçãoda Energia, 78 '5.9 Equação de Bernoulli, 83 "^

5.9.1 Equaçãode Bernoulli sem Dissipação de Energia Mecânica, 83 a»5.9.2 Pressões Estática, Dinâmica e de Estagnação (Total). Determinação da Velocidade de Escoamento

com Tubos de Pitot, 86 /5.9.3 Equação de Bernoulli com Perda de Carga (com Dissipação de Energia Mecânica), 89 "^

5.10 Noções Básicas sobre Perda de Carga nos Escoamentos de Fluidos Reais em Tubulações, 93 ^5.11 Equação de Bernoulli Modificada para Situações com Bombas e Turbinas, 985.12 Bibliografia, 101 ^5.13 Problemas, 102 r%

6 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DE ESCOAMENTOS, 1126.1 Introdução, 112

Equação da Continuidade na Forma Diferencial, 1126.3 Equação Diferencial do Movimento de um Fluido. Equações de Navier-Stokes, 113 ^6.4 Equação Diferencial deTransporte deCalor, 119 "^6.5 Formulação (Modelagem Matemática) e Soluções para Alguns Problemas Simples, 122 ^6.6 Bibliografia, 130 *6.7 Problemas, 130 ^

7 INTRODUÇÃO ÀTRANSFERÊNCIA DE CALOR, 133 ^7.1 Introdução, 133 ^7.2 Condução, 133 /_7.3 Convecção, 134

^^

6.2

rr

Sumário xi

ip 7.4 Radiação, 1367.5 Mecanismos Combinados de Transferência de Calor, 137

* 7.6 Bibliografia, 138

e 8 INTRODUÇÃO ÀCONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EMf REGIME PERMANENTE, 139P 8.1 Introdução, 139^s 8.2 Condução Unidimensional de Calor através de Parede de uma Camada, 139\^ 8.2.1 Parede Plana de uma Camada, 139x 8.2.2 Parede Cilíndrica de uma Camada com Condução na Direção Radial, 142p 8.3 Condução Unidimensional de Calor, em Regime Permanente, através de Parede Composta comgp Convecção no Contorno, 146

8.3.1 Parede PlanaComposta, 146C 8.3.2 Parede Cilíndrica Composta com Condução na Direção Radial, 149Ip» 8.4 Conceito de Resistência Térmica, 151

8.5 Raio Crítico de Isolamento, 153^ 8.6 Bibliografia, 156íP 8.7 Problemas, 156

p 9 INTRODUÇÃO ÀCONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE, 161m 9.1 Introdução, 161^ 9.2 Equação da Condução de Calor, 161^ 9.3 Condições de Contorno e Inicial para a Difusão de Calor, 164p 9.3.1 Condição Inicial, 164pv 9.3.2 Condições de Contorno, 164

9.4 Solução Analítica de um Problema Transientee Unidimensional de Difusão de Calor 171r 9.5 Bibliografia, 175^ 9.6 Problemas, 175

£ 10 INTRODUÇÃO ÀTRANSFERÊNCIA DE MASSA, 178-^ 10.1 Introdução, 178^ 10.2 Lei de Fick para a Difusão Molecular de um Componente numa Mistura Binaria, 178P 10.3 Fluxos de Massa em Misturas Binárias, 180gh 10.4 Equação Diferencial de Transporte de Massa de um Soluto numa Mistura Binaria, 181

10.5 Equação da Difusão de Massa, 185^ 1*0.6 Bibliografia, 188f> 10.7 Problemas, 188

- APÊNDICE: NOÇÕES BÁSICAS DE TERMODINÂMICA^ EUMA APLICAÇÃO DA ANÁLISE GLOBAL DO^ SISTEMA PARA ATRANSFERÊNCIA DE CALOR, 190

A.l Introdução, 190« A.2 Sistema e Volume de Controle, 190

P A.3 Equilíbrio Térmico. Lei Zero daTermodinâmica, 190A.4 Temperatura. Termômetros e Escalas, 190A.5 Calor. Capacidade Térmica. Calor Específico, 191A.6 Trabalho Realizado por um Sistema sobre a Vizinhança, 192A.7 Primeira Lei da Termodinâmica para um Sistema, 193A.8 Primeira Lei da Termodinâmica na Formulaçãode Volumede Controle, 194A.9 Alguns Casos Particulares da Primeira Lei daTermodinâmica para um Sistema, 197

M\

xii Sumário o/

^§)

A.10 Teoria Cinética dos Gases, 197 ^A. 11 Segunda Lei da Termodinâmica, 201 ^A. 12 Uma Aplicação daAnálise Global do Sistema para aTransferência de Calor, 202A. 13 Bibliografia, 204 "3

ÍNDICE, 205 <3

•'.'"•'•''•••• . . .^

^%

/®)

/%

^

/SI)

/^

<^v

f^\

f^\

f%

f^

/^\

— •- SSSs

<^\

f^S

p

LISTADE SÍMBOLOS, GRANDEZAS FÍSICAS EIMUMãMES^m•'±~rmZ£fci&&&iÍ.:z l>:':ziiz£$

0s

0*A área, m2

f a aceleração, rn/20*

Bi número de Biot

C capacidade térmica, j/C

0^c calor específico, l( ^

concentração do componente A definidacomo fração de massa

calor específico a pressão constante, V „

calor específico avolume constante, y( „diâmetro, m

coeficiente de difusão molecular (difusividade de massa) do componente A na

mistura decomponentes Ae B, m /

densidade relativa

módulo de elasticidade volumétrica, Pa

energia interna, J

energia total do sistema, J

energia total específica (por unidade de massa), j/rugosidade da superfície da parede de um duto, mforça, Ndensidade de fluxo de uma grandeza extensiva genérica

fator de atrito

aceleração da gravidade na superfície da Terra, g= 9,81 r^2

momento angular (quantidade de movimento angular), ° /carga totalcorrespondente à energia mecânica disponível no escoamento, m

coeficiente de transferência de calor por convecção, /L.2 vcarga correspondente à energia mecânica que é transferida de umabomba para um escoamento, mperda de carga num escoamento, mperda de carga distribuída, mperda de carga localizada ou acidental, mcarga correspondente à energia mecânica que é transferida de ura escoamento para uma turbina, msegundo momento de área (momento de inérciade área), m4momento de inércia, kg-m2corrente elétrica, A

/p CP

MsCV

(f^*D

0S Ais0h

áPi á

#> E

F

e0&\

e0$\

F0$s

f|§s f^í\

g

0\H

áfP*H

JPNh

#NK

#N K#> Kà

#^ K.i

(|P*i

f* i

j^P* i

JR

xiv Lista de Símbolos, Grandezas Físicas e Unidades SI

t vetor unitário na direção xJA densidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente A,em relação a um plano que se move

ke/com avelocidade mássica média da mistura, ys.mi

j vetor unitário na direção7

k condutividade térmica, ^yLrr

k constante de Boltzmann, k- 1,38XIO"23 j^k vetor unitário na direção z

L calor de transformação de fase (calor latente), y(Le número de Lewis

M massa, kgM torque (momento de uma força), N-m

m massa, kg

th fluxo de massa, yiN número de moléculas

1 / '*%NA densidade defluxo de massa do componente Aem relação a um sistema decoordenadas fixo, y 2

/S'm za

NA número de Avogadro, NA = 6.022X1023 mol"1n número de mols 1

ri vetor unitário normal à superfície ^

P momento (quantidade de movimento) linear, k8,m/ "^Pr número de Prandtl ^p pressão, Pa •»

Q quantidade de calor, J ^

Q vazão, m% ^Q fluxo (taxade transferência) de calor, W *&

q densidade de fluxo decalor, W/ 2 ^%R raio, m ^fl resistência elétrica, íl

Re número de Reynolds

RT resistência térmica, %y

Ru constante universal dos gases, R =8,314 V , v «0 u /moI-K ^§

r, 0, r coordenadas cilíndricas

r^ raio crítico de isolamento, m

I> entropia, %r

S.C. superfície de controleSc número de Schmidt '

T temperatura, K ^t tempo, s /•%

" energia interna específica (por unidade de massa), j/ ^V velocidade, ™/s ^V volume, m3 ^

r%

rfõh

/<%

0^

Listade Símbolos, Grandezas Físicas e Unidades SI xv

p V.C. volume de controle

f^ v volume específico, mV/p W peso, N0s W trabalho, J^ W trabalho de cisalhamento, I

x, >', z coordenadas retangulares(P

(p Letras Gregas

difusividade térmica, m /

grandeza extensiva genéricagrandeza intensiva correspondente à grandeza extensiva genérica Bpeso específico, ^y }quociente entreoscalores específicos molares a pressão e a volume constanteseixo referencial, para a profundidade, contido em uma superfície plana submersaviscosidade absoluta ou dinâmica, Pas

viscosidade cinemática, m /ângulo, rad

massa específica, y 3

concentração do componente Adefinida como massa específica, y 3

tensão superficial, ^vl

constante de Stefan-Boltzmann, cr = 5,67X10"8 W/componente de tensão normal, Pa

componente de tensão cisalhante (tangencial), Pa

velocidade angular, ra7ç

a

#* B

f> P

0» y

ÓP* y

/P1V

d

0fo p

rf$h Pa

(P cr

/p\a

Ms0~ii

MS

Capítulo 1

CONCEITOS EBEPlNJÇÕESte&M$;i>f\FUNDAMENTAIS j

£ 1.1 INTRODUÇÃONo estudo de Fenômenos de Transporte, utilizaremos conceitos edefinições já estudados na mecânica e na termodinâmica, mas necessitaremos de outros ainda não vistos. Afinalidade deste capítulo érever edesenvolver alguns conceitos

f^ e definições fundamentais.

r 1.2 MEIO CONTINUO

^ Amatéria tem uma estrutura molecular eexiste, normalmente, em três estados: sólido, líquido egasoso. Onúmero de^ moléculas normalmente existentes em um volume macroscópico éenorme. Para termos uma idéia da ordem de grandeza1, do número de partículas envolvidas, em condições normais de temperatura epressão existem cerca de IO19 moléculas em

um volume de 1cm3 de ar atmosférico. Com esse número tão grande de partículas épraticamente impossível adescrição(p do comportamento macroscópico da matéria, como, por exemplo, oestudo do escoamento de um fluido, apartir dopn movimento individual desuas moléculas.

No que se refere aos problemas comuns de engenharia, geralmente estamos interessados no comportamento macros-f^ cópico devido aos efeitos médios das moléculas existentes no sistema em estudo, e, sendo aabordagem microscópica^ (descrição apartir dos movimentos individuais das moléculas) inconveniente, necessitaremos de um modelo mais ade-

quado." No estudo da natureza ena solução dos problemas encontrados na engenharia, em geral, estão presentes os princípios|^ de idealização e aproximação, ou seja, de modelagem. Adescrição dos fenômenos físicos eaabordagem easolução dos^ problemas podem ser esquematizadas da seguinte forma:

f FENÔMENO FÍSICOms (problema)

f FORMULAÇÃO EMODELAGEM^p (idealização e aproximação)

^ SOLUÇÃO DO MODELO

p INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO RESULTADO

c Oconceito demeio contínuo é uma idealização damatéria, ou seja, é um modelo para oestudo deseu comportamento0b macroscópico em que se considera uma distribuição contínuade massa.

/ift

1.2.1 Limite de Validade do Modelo de Meio Contínuo

Avalidadedo modelo de meio contínuo depende das dimensões do sistema físicoem estudo e do número de moléculas existentes novolume considerado. Para ilustrarmos oassunto, consideremos um recipiente fechado contendo um gás.Apressão (força por unidade deárea) exercida pelo gás sobre a parede do recipiente, segundo a teoria cinética dos gases.decorre da freqüência de choques de suas moléculas contra a parede. Evacuando-se progressivamente o gás. ou seja.reduzindo-se progressivamente o número de partículas dentro do recipiente, observa-se quea pressão decresce.

2 Capítulo Um

Enquanto onúmero de moléculas for grande osuficiente para manter uma média estatística definida, apropriedade ^pressão sofre uma variação contínua. Entretanto, existe um volume abaixo do qual adiminuição no número de moléculasproduz uma descontinuidade no valor da pressão. Isso acontece quando olivre percurso médio das moléculas, isto é, adistância média percorrida pelas moléculas entre duas colisões sucessivas, for da mesma ordem de grandeza do menor ^comprimento significativo do sistema. Esse volume, em que ocorre essa descontinuidade no valor de uma propriedade do ^sistema, determina o limite de validade do modelo de meio contínuo.

Omodelo de meio contínuo tem validade somente para um volume macroscópico no qual exista um número muito "1grande de partículas, ou seja, tem como limite de validade omenor volume de matéria que contém um número suficiente ^de moléculas para manter uma média estatística definida. Assim, as propriedades de um fluido, no modelo de meio con- _tínuo, têm um valor definido em cada ponto do espaço, de forma que essas propriedades podem ser representadas porfunções contínuas da posição e do tempo. 1

1.3 MASSA ESPECÍFICA EM UM PONTO ^Amassa específica p, definida como amassa por unidade de volume, éuma propriedade que ilustra bem oconceito de imeio contínuo. Por definição, considerando omodelo de meio contínuo, a massa específica em um ponto édada por ^

P= üm % (131) 1K AV^ÍV AV ^

onde: - 1

Am é a massa contida no volume AV; e yÔV éomenor volume, em torno do ponto, que contém um número suficiente de moléculas para que exista uma média ^estatística definida, ou seja, é o limite de validade do modelo de meio contínuo.

^%

Como exemplo ilustrativo, consideremos a massa específica do ar em condições normais de temperatura e pressão. _Para umelemento devolume macroscópico, pode-se considerar que existe um número constante demoléculas. Fazendo 1ovolume tender azero, como as partículas possuem movimento aleatório, para um elemento de volume infinitesimal, o ^número demoléculas fica dependente dotempo, resultando emdescontinuidade novalor damassa específica para volu-mes menores queÔV. AFigura 1.1 mostra um gráfico damassa específica emfunção dovolume do elemento devolume 'considerado, ilustrandoo limite de validade do modelo de meiocontínuo. ^

AlV^

>AV

<5V

Figura 1.1 Gráfico da massaespecífica em um ponto. ^

1.4 VOLUME ESPECIFICO. PESO ESPECIFICO. DENSIDADE RELATIVA

O volume específico vé, pordefinição, o volume ocupado pelaunidade de massa de umasubstância, ou seja, é o inversoda massa específica, sendo dado por

v = - (1-4.1)P

<*r%

O peso específico'de uma substância é o seu peso por unidade de volume, com módulodado por

r = flg (1.4.2)

"^s

0\

Conceitos e Definições Fundamentais

p Adensidade relativa dde uma substância Aexpressa oquociente entre amassa específica dessa substância Aeamassa específica de uma outra substância B, tomada como referência. Por definição, adensidade relativa édada por

f* j_Pa

|ps Geralmente, asubstância de referência para ocaso de líquidos éaágua e, para ocaso de gases, éoar. Adensidaderelativa independe do sistema de unidades, pois é dada por um valor adimensional.

£ 1.5 FORÇAS DE CORPO EDE SUPERFÍCIE^ De uma maneira geral, as forças podem ser classificadas em duas categorias:ms • forças de corpo ou de campo; e

• forças de superfície ou de contato.

As forças de corpo são aquelas que se manifestam através da interação com um campo eatuam sem anecessidade dev umcontato entre as superfícies doscorpos. Exemplos:

v • peso, devido ao campo gravitacional;(p • força elétrica, devido a umcampo elétrico; ej^ • força magnética, devido a um campo magnético.

m% Essas forças de corpo são proporcionais ao volume V* dos corpos. Por exemplo, o peso de um corpo de massa me_ volume V, com massa específica p, no campo gravitacional terrestre com aceleração f, é dado por

f> W=IJjgdm=IJjgpdV (1.5.I)0$S m V

pv As forças de superfície são aquelas que atuam sobre um sistema através de contato com afronteira do mesmo. Exem-0£\

j* • forças de atrito;* • forças devidas à pressão; e^ • forças devidas às tensões cisalhantes nos escoamentos.

^ Essas forças de superfície são proporcionais àárea da superfície sobre a qual atuam.

e 1.6 TENSÃO EMUM PONTO. NOTAÇÃO INDICIAL PARA AS<P COMPONENTES DA TENSÃO

* O conceito de tensão envolve umaforça de contato e a área dasuperfície naqualatua. Um elemento de áreatemorien-^ tação dada pelo vetor unitário normal à superfície. As grandezas vetoriais necessitam daespecificação de módulo (valorjpy numérico), dedireção e de sentido. Considerando um sistema referencial, uma grandeza vetorial pode serespecificada

por três componentes escalares, que são as projeções desse vetor sobre os eixoscoordenados considerados.X Consideremos umelemento deárea AA emtorno do ponto Psobre oqual atua um elemento de força AF, conforme#n é mostrado na Figura 1.2. A força AF podeser decomposta em três componentes escalares em relação ao sistema de

coordenadas considerado. O elemento de área AA também é um vetor (tem módulo igual à área doelemento AA, dire-* ção normal à superfície e sentido dedentro para fora do volume delimitado pela superfície), de forma que também pode^ serdecomposto em trêscomponentes escalares segundo os eixos do sistema de referência.0^ Aespecificação das componentes da tensão, que têm adimensão de força por unidade de área, necessita da indicação

da direção da componente daforça e, também, da indicação da orientação da superfície onde atua a tensão. Uma notação(r de duplo índice fornece uma descrição conveniente para as componentes da tensão, representadas por Tit em que opri-jss meiro índice identifica a direção da normal aoplano noqual a força atua, e o segundo índice fornece a direção da com-

'Adotamos o símbolo V para volume para evitar confusão com outras grandezas, tal como com avelocidade V.

Capítulo Um

*y

V*Figura1.2 Elemento deárea AA deumasuperfícieondeatua umelemento de força AF.

ponente da força ou da tensão, propriamente. Assim, as componentes da tensão com anotação indiciai podem ser definidas por

T. = üm —L'> Mj-o AAf

(1.6.1)

Considerando as componentes de forças que atuam em planos paralelos aos planos coordenados de um sistema decoordenadas retangulares, ou seja, em elementos de área com normais nas direções x, ye z, tem-se que a Eq. (1.6.1)fornece as nove equações escalares que definem as componentes da tensão, pois os índices iejpodem assumir os valoresx, yez. Se os índices forem iguais (i = j),tem-se uma componente de tensão normal representada por cr.., enquanto se osíndices forem diferentes (i =É j) tem-se uma componente de tensão cisalhante (tangencial), representada por r...

Para um elemento deárea AAX, com normal na direção x, sobre oqual atuam ascomponentes deforça AFX, AFy e AF2nas direções x, ye z, respectivamente, resultam uma componente de tensão normal o^e duas componentes de tensãocisalhante (tangencial) t^ e t„,que são definidas pelas equações

, AF,tr« = hm ——•

AAx-0 AA,

AFt„ = lim -

aa*-o AAr

t„ = limAF.

^*-o AA

(1.6.2a)

(1.6.2b)

(1.6.2c)

Da mesma maneira, considerando elementos deárea AAy e AA., com normais nas direções yez,respectivamente, sãodefinidas as componentes de tensão o~n, r^, t^, cra, ra e t^. Atensão em um ponto é especificada pelas nove componentes da matriz

T = (1.6.3)

conhecida como tensor tensão, cujo símbolo o~indica ascomponentes normais e Trepresenta ascomponentes cisalhantesda tensão. Consideremos o elemento de volume mostrado na Figura 1.3 paravisualizarmos as componentes da tensãocom a notação indiciai, lembrando que essas nove componentes passam a atuar no mesmo ponto quando o volume doelemento de volume tende a zero.

AFigura 1.3 apresenta as componentes detensão com sinais positivos que atuam sobre os planos que têm vetores unitários normais à superfície no sentido positivo dos eixos coordenados considerados. Deve-se lembrar deque ovetor normalàsuperfície tem sentido positivo de dentro para fora do volume delimitado pela superfície. Aconvenção adotada éaseguinte: uma componente de tensão é positiva se ovetor normal àsuperfície sobre aqual a força atua eacomponente da tensãopropriamente têm, ambos, sentidos na direção positiva ou negativa dos eixos do sistema dereferência; e uma componentedetensão é negativa seovetor normal à superfície e a componente daforça que atua no plano têm sinais contrários.

Considerandoum elemento de volume tetraédrico, comtrês faces orientadas ao longo dos planoscoordenados de umsistema de coordenadas retangulares, Cauchy demonstrou que com o conhecimento da matriz tensão, com as compo-

/%

/^

/%tb

#*

(flP^

0s

0!s

m


rt

*SFigura 1.3 Componentes da tensãocom a notação indiciai.

nentes relativas às direções dos eixos coordenados, pode-se calcular atensão, no mesmo ponto, relativa aqualquer outradireção. Considerando uma superfície cuja orientação é dada por um vetor unitário normal ti expresso em termos deseus co-senos diretores a, bec em relação aos eixos de um sistema de coordenadas retangulares com vetores unitáriosdirecionais i, j e k, de forma que

n = ai +bj + cksendo

a= n • i; b = n • j\ c = n • ke

a2 + b2 + c2 = l

resulta que, pela relação de Cauchy, a tensão na direção n é dada por

f (w) = fnonde T é a matriz tensão da Eq. (1.6.3).

(1.6.4)

(1.6.5)

(1.6.6)

(1.6.7)

1.7 FLUIDOS. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES

1.7.1 Definição de Fluido

Fluido éasubstância que se deforma continuamente sob aação de uma tensão cisalhante (tangencial), por menor quesejaa tensão de cisalhamentoaplicada.

Os sólidos e os fluidos apresentam comportamentos diferentes quando submetidos a uma tensão cisalhante. pois asforças de coesão interna são relativamente grandes nos sólidos e muito pequenas nos fluidos. Um sólido, quando submetido a um esforço cisalhante, resiste à força externa sofrendo uma deformação definida de um ângulo 9, desde que nãoseja excedido o limite de elasticidade do material.

Os fluidos, com aaplicação deuma tensão cisalhante, sedeformam contínua e indefinidamente enquanto existir essadfí

tensão tangencial, resultando uma taxa dedeformação —-, pois oângulo dedeformação é função do tempo, 0= d(t). nolugar deum ângulo dedeformação característico que ocorre no caso dos sólidos. AFigura 1.4 ilustra a deformação sofridapor um sólido e porum elemento de volume fluido causada pela aplicação de uma tensão cisalhante.

VV VVVVVVV V01

/TA

/ Sólido/

vrrq—•

ei

i

ii

777//////////

Deformação 9 característica

IV^VVVVVVVl^VV'0/'^ '2

T7

/ .' Elemento/.' fluido

//////// 7T

Taxa de deformação^ Figura 1.4 Deformação de um sólido e de urr.e.emento fluido submetidos a tensões cisaihanres

6 CAPfruLoUM ^

1.7.2 Algumas Propriedades dos Fluidos 2a) Os fluidos submetidos aesforços normais sofrem variações volumétricas finitas. Quando essas variações volumétricas _

são muito pequenas, considera-se os fluidos incompressíveis. Geralmente, os líquidos são incompressíveis (desde que 1não estejam submetidos apressões muito elevadas), enquanto os gases são compressíveis. ^

b) Existindo tensão cisalhante, ocorre escoamento, ou seja, ofluido entra em movimento. , r. , *»c) Os fluidos se moldam às formas dos recipientes que os contêm, sendo que os líquidos ocupam volumes definidos e f

apresentam superfícies livres, enquanto os gases se expandem até ocupar todo orecipiente. Essa moldagem nos líquidos ^deve-se ao escoamento causado pela existência de componente cisalhante do peso dos elementos de volume do fluido. ^

d) Para um fluido em repouso, atensão éexclusivamente normal, sendo seu valor chamado de pressão estáticapque, 'emumponto, é igual emqualquer direção, ou seja, /

«F- ='. =Oi. = -V <17-21> "5Essa Eq. (1.7.2.1) éuma formulação matemática do Princípio de Pascal, que será estudado no Capítulo 3, Funda- ^

mentosda Estáticados Fluidos. ^

1.7.3 Fluidos Newtonianos ^De uma maneira geral, os fluidos são classificados como newtonianos enão-newtonianos. Essa classificação considera ^

arelação existente entre atensão cisalhante aplicada eataxa de deformação sofrida por um elemento fluido. Tem-se umfluido newtoniano quando a tensão cisalhante aplicada édiretamente proporcional à taxa de deformação sofrida por um ?elemento fluido. São classificados como fluidos não-newtonianos aqueles nos quais a tensão cisalhante aplicada não é ^diretamente proporcional àtaxa de deformação sofrida por um elemento fluido. Aágua eoar, por exemplo, são fluidos ^newtonianos. Estudaremos somente fluidos newtonianos.

1.7.4 Viscosidade Âviscosidade é a propriedade associada à resistência que o fluido oferece à deformação por cisalhamento. De outra

maneira, pode-se dizer que a viscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido, basicamente, às interações întermoleculares, sendo, em geral, função da temperatura. /»

Consideremos um elemento fluido infinitesimal, situado entre duas placas planas paralelas de grandes dimensões,que sofre uma deformação no intervalo de tempo dt, conforme é mostrado na Figura 1.5. l

Aplaca superior está em movimento com velocidade constante dVx, enquanto aplaca inferior permanece em repouso. Ôsfluidos reais (viscosos) apresentam a propriedade deaderência às superfícies sólidas com asquais estão emcontato,de forma que uma película de espessura infinitesimal de fluido fica aderida nas placas. '

Está sendo aplicada uma força dFx constante sobre aplaca superior, que possui uma superfície de área dA em contato ^com o fluido com normal nadireção y, demaneira que a tensão cisalhante aplicada ao elemento fluido é dada por _

r =lim^V O-7-4-1) ^~- ^ AA-0 AA *%

e tem-se que ^

[taxa de deformação^ _ dd ,.-..« ^do elemento fluido) dt a%

dL avxI' •! -^-» dFx

Elemento fluido •

no instante t f

dd / de /^ Elemento fluidono instante r + dt~~J\ dy n^í

/

/////////X

i

//

7F77r

/rî

r^b

Figura 1.5 Deformação de um elemento fluido infinitesimal sob a ação de tensão cisalhante. /esh

Romario

Highlight

Romario

Highlight

Romario

Highlight

0^\

CoNCErros e Definições Fundamentais 7

Da definição de fluido newtoniano, tem-se que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação, ou seja,

dd^^ (1.7.4.3)

Devido àpropriedade de aderência dos fluidos reais às superfícies sólidas com as quais estão em contato, tem-se que^ avelocidade de escoamento junto da placa superior édVx, enquanto ofluido junto da placa inferior está em repouso, def* forma que existe uma determinada distribuição (perfil) de velocidade de escoamento do fluido entre as duas placas. Comog^ é mais conveniente trabalhar com gradiente de velocidade de escoamento do que com taxa de deformação de um ele

mento fluido, vamos mostrar, a seguir, que a taxa de deformação é igual ao gradiente de velocidade existente no escoais mento.0s Consideremos a Figura 1.5. Adistância dL é dada por

^ dL = dVxdt (1.7.4.4)#* O ângulo de deformação sorrido no intervalo de tempo dt é d$, de forma que também tem-se

f" dL = dyig(d6) (1.7.4.5)

(P mas como para pequenos ângulos pode-se considerar que a tangente do ângulo é praticamente igual ao ângulo, resulta

<P dL=dydd (1.7.4.6)IP Assim, tem-se que

<P dVJt = dydd (1.7.4.7)X de forma que

• de dvxr i=^r <L7A8)/Ps

ou seja, a taxa de deformação sofrida pelo elemento fluido é igual aogradiente de velocidade de escoamento.v Assim, para fluidos newtonianos a tensão cisalhante aplicada é diretamente proporcional à taxa de deformação do0\ elemento fluido ouaogradiente develocidade de escoamento, e pode-se expressar que

^ r =»*> (1749)(f^ que, em termos do gradiente de velocidade de escoamento, pode ser escritacomo

f dVe T-—""ít (17A10)^ onde ocoeficiente deproporcionalidade /x éaviscosidade absoluta ou dinâmica do fluido. Essa Eq. (1.7.4.10) éconhecida(P* como a Lei de Newton para a Viscosidade. O sinal negativo é devido aofato dequeo transporte de momento linear através0^ do fluido, nadireção y, ocorre no sentido contrário ao gradiente de velocidade deescoamento e deque a tensão cisalhan

te corresponde à densidade de fluxo de momentolinear, conforme será explicado mais detalhadamente na seção Trans-(P* porte Difusivo de Momento Linear, no Capítulo 2.0\ Os fluidos reais possuem viscosidade, em maior ou menor intensidade, de forma que, quando em escoamento com

gradientes de velocidade, apresentam fenômenos de atritoviscoso. Aviscosidade é causada fundamentalmente pela co-v esão intermolecular e pela transferência de momento linear através do fluido.|P* Os líquidos semoldam aos recipientes que os contêm, devido ao escoamento causado pela existência decomponentes-^ cisalhantes do peso deseus elementos de volume. Aviscosidade é a propriedade do fluido que determina a velocidade" desse processo de moldagem. Verifica-se que a água se molda rapidamente a um recipiente, enquanto o processo de^ moldagem daglicerina a um recipiente é muito mais lento, pois aviscosidade daglicerina é muito maior do que ada água,0ib ou seja, a glicerina oferece uma resistência maiorà deformação por cisalhamento.

No escoamento laminar, o fluido escoa em lâminas paralelas e o atrito viscoso causa tensões cisalhantes entre essasC^ camadas do fluido em movimento. Deve-se observar que somente ocorre manifestação deatrito viscoso, num escoamen-#s to, quando há deslocamentorelativo entre as partículasfluidas, ou seja,quando existegradiente de velocidadena direção

transversal ao movimento do fluido, que correspondea uma taxa de deformaçãodos elementos de volumedo fluido.

fàk

Capítulo Um

• Aviscosidade depende da temperatura, everificam-se efeitos opostos sobre aviscosidade de gases ede líquidos em ^função da variação da temperatura. Em geral, nos gases acoesão intermolecular édesprezível, resultando no fato de que âtensão cisalhante entre duas camadas do fluido em escoamento édevida àtransferência de momento linear entre essascamadas. No escoamento laminar, omovimento do fluido ocorre em lâminas paralelas. Devido ao movimento molecular >caótico resulta transferência de moléculas na direção transversal ao escoamento entre camadas com velocidades dife- ^rentes ou seja, ocorre transferência de momento linear entre as camadas, decorrente das colisões intermoleculares. Essaatividade molecular aumenta com oacréscimo de temperatura, de forma que aviscosidade aumenta com atemperaturanos gases. 1,1-Nos líquidos, as distâncias intermoleculares eaintensidade dos movimentos das moléculas sao muito menores que ^nos gases, de forma que atransferência de momento linear entre as camadas, devido aos movimentos moleculares, podeser desprezada. Assim, as tensões cisalhantes eaviscosidade dependem principalmente da intensidade das forças de 1coesão intermolecular que diminuem com oacréscimo de temperatura, de maneira que aviscosidade dos líquidos dimi- ^nui com o aumento da temperatura. /%

Em várias equações da mecânica dos fluidos, aparece oquociente entre aviscosidade absoluta ou dinâmica eamassa >específica do fluido, sendo convenientea definição de uma outra propriedade chamada de viscosidade cinemática vdo ^fluido, dadapor ^

v = £ (1.7.4.11) *p /^\

As dimensões e unidades de viscosidade podem ser determinadas apartir da Eq. (1.7.4.10), resultando no Sistema Înternacional de Unidades (SI): . *%

T

_dV/dy_=

' F/A 'dV/dy^

lf-l[li]= —— = -^f- =MLr2L-2L-HL = ML-H^

•%

^8h, , , unidade de t _ N/m2 _ N-s _ D

unidade de p, = ——. ,..... . —r ; vz-s,unidade de (dV/dy) m/s m2

H =

m

M = ML-lrlM-lü = üfpj ^

, . . unidade de p. Pa • s ,, /unidade de v = —-—: = 1—— —m /s

unidade de p kg/m3 ^

1.8 MÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA. ^COMPRESSIBILIDADE ^

Geralmente, quando se aplica pressão sobre um fluido ele sofre uma redução volumétrica, equando se retira apressão J>aplicada ele se expande. Acompressibilidade de um fluido está relacionada àredução volumétrica decorrente para uma ^dada variação de pressão. Na maioria das situações, um líquido pode ser considerado um fluido incompressível (que nãosofre variações de massa específica); entretanto, quando existem variações muito elevadas ou bruscas de pressão acompressibilidade torna-se significativa. /

Usualmente, acompressibilidade de um líquido édada pelo seu módulo de elasticidade volumétrica £.Consideremos ûm volume Vde um líquido; se apressão aplicada aumenta em dp, resulta uma diminuição de volume (-dV), de formaqueo módulo de elasticidade volumétrica é definido por '

£=_^L • (1.8.1) ^

Omódulo de elasticidade volumétrica £ éexpresso em unidades de pressão, pois otermo (íiV)/V éadimensional. "*>

1-^

f

(p\


Exemplo 1.1

Análise da compressibilidade da águat considerando uma situação em que éaplicada uma variação de pressão deuma atmosfera* ou. seja, dp = 101,3 kPà sobre um volume dè um metro cúbico de água*

Para aágua na temperatura de 25°C, tem-se que E= 2,22 XIO9 Pa, de forma que avariação de volume édad£

dV = ——£ = -45,6 XIO"6 m3 « —

por

E 22000

f* Assim, aaplicação de uma variação de pressão de uma atmosfera (101,3 kPa) sobre aágua causa uma redução em seua volume de apenas uma parte em 22000, de forma que aconsideração de um líquido como aágua ser incompressível é

uma aproximação bem razoável.

r 1.9 EQUAÇÃO DE ESTADO PARA UM GÁS PERFEITOmb Na termodinâmica, as variáveis usualmente utilizadas para descrever um sistema são apressão p, ovolume Veatempe-

ratura T. Em muitas situações éconveniente trabalhar com ovolume específico v(ou com amassa específica p) no lugarf^ do volume total V. Essas três variáveis de estado V(ou vou p), peTnão são independentes e, geralmente, uma variação(p em uma das três altera as demais. Uma relação analítica entre essas variáveis échamada de equação de estado._ Um gás perfeito, em que não existem forças de interação intermolecular de origem eletromagnética, com interações

somente através de colisões entre as moléculas, pode ser definido como uma substância que satisfaz àlei dos gases per-^ feitos ou ideais, que pode ser expressa através daequação deestado

pv = RT (1.9.1)

onde:

p é a pressão absoluta;v é o volume específico;fiéa constante do gás; eT é a temperatura absoluta.

Como o volume específico é definido como o inverso da massa específica, a equação de estado de um gás perfeitopode ser escrita como

£ = RT (1.9.2)P

onde p é a massaespecífica.Não existe um gás perfeito; entretanto, os gases reais submetidos a pressões bastante abaixo da pressão crítica c a

temperaturas bem acima da temperatura crítica, ou seja, distantes da fase líquida, geralmente podem serconsideradosgases perfeitos ou ideais.

A Eq. (1.9.2) também pode ser expressa da seguinte forma:

pV = mRT (1.9.3i

onde:

V é o volume ocupado pelo gás;em é a massa do gás.

Aunidade da constante do gás Rpode ser determinada da equação de estado, sendo que. no SI, tem-se a pressão cmpascal, a massa específica em quilogramas por metro cúbico e a temperatura em kelvin, deforma que

N-m3 _ N • m _ Junidade de R =

m2 • kg• K kg • K kg • K

Aequação de estado de um gás perfeito também pode ser escrita em termos molares. Um mol éaquantidade de matériade um sistema contendo tantas entidades elementares quantos forem os átomos existentes em 0,012 quilograma de car-

10 Capítulo Um

bono 12. Se né o número de mols existentes no volume V, a massa do gás é dada por m= nM, onde Méa massa ^molecular dogás, de forma quea Eq. (1.9.3) pode serexpressa como ^

pV = nMRT (1.9.4) /^

Para os gases que se comportam como perfeitos, oproduto MR é uma constante, representada por Ra, chamada de ^constante universal dos gases, de forma que Ru = MR, resultando ^

pV =nRuT (1-9.5) Âconstante universal dos gases no SI é dada por m^

R»= 8,314-f- 1moi * l\> /*%

1.10 ENERGIA INTERNA. CAPACIDADE TÉRMICA E ^CALOR ESPECÍFICO ^

Aenergia interna deum sistema é uma função do estado termodinâmico e inclui aenergia deatividade térmica (cinética) "^de suas moléculas e, também, a energia das interações intermoleculares. no sistema. Geralmente, a energia interna deuma substância é função da temperatura e dapressão, sendo que, para um gás perfeito, pode-se considerar queeladepende somente da temperatura. Em geral, trata-se com variações da energia interna entre dois estados térmicos. . ^

Denomina-se capacidade térmica Cde um corpo oquociente entre aquantidade de calor fornecida ao corpp eocor^ ^respondente acréscimo de temperatura. NoSI,a unidade de capacidade térmica é joule porkelvin (J/K).

Calor específico c deuma substância é a quantidade decalor que deve serfornecida para uma unidade de massa para 'jaumentar a sua temperatura em um grau. No SI, a unidade de calor específico é joule por quilograma e por kelvin /m(J/kg •K). Para definir completamente calor específico, deve-se especificar ascondições segundo asquais ocalor é trans-ferido para o sistema. '

Define-se calor específico avolume constante cv de uma substância como a quantidade decalor recebido porunidade ^de massa e por unidade de temperatura quando o volumedo sistema permanece constante, ou seja, —

1ÍS&] ^=- ã? L <li0l) 2cv = —

m

Define-secalor específico a pressão constante c de uma substânciacomoa quantidade de calor recebido por unidadede massa e por unidade de temperatura quando a pressão do sistema permanece constante, ou seja,

mUTL(1.10.2)

/r*^\

*%

Nas Eqs. (1.10.1) e (1.10.2), a quantidade infinitesimal decalor foi simbolizada por ÔQ e não por dQ, para lembrar ^que Qnão é funçaü Justado, ouseja, que o calor Qdepende da trajetória, ouseja, do processo termodinâmico. ^

Nos gases, os efeitos de compressibilidade são significativos, e é importante fazerdistinção entre o calor específicoavolume constante cve o calorespecífico a pressãoconstantec . Os líquidos, em geral,apresentamvariações desprezíveis /de volume específico. Paraos líquidos, geralmente pode-se considerar que o calorespecífico a volume constante é prati- *%camente igualao calor específico a pressãoconstante. _

1.11 TENSÃO SUPERFICIAL. CAPILARIDADE Ôbserva-se que asuperfície livre de um líquido assemelha-se a uma película esticada, demaneira que existe tensão atu- ândo no plano da superfície. Issopode ser evidenciado através das seguintesexperiências simples:enchendo, cuidadosamente, um copocom água, pode-se tê-laacima da borda, observando que a película superficial da água, que se curva 1acima daborda docopo, não a deixa derramar; colocando, cuidadosamente, um pequeno objeto metálico (uma pequena <âgulha, porexemplo) na superfície da água em repouso, pode-se verificar que ele é sustentado pelapelícula superficial;e observa-se, também, que alguns insetos podemandarsobre a água semafundar, poisa película superficial os sustenta. '

Pode-seexplicar a formação dessa películada seguinte forma. As moléculas da camada superficial encontram-se em ^condições diferentes das outras localizadas no interior da massa líquida. No interior, as moléculas estão cercadas por ^

(P

(P

^

#N

0&S

0&b

Conceitos e Definições Fundamentais 11

todos os lados por outras partículas idênticas, sendo, assim, atraídas igualmente em todas as direções por suas vizinhas,enquanto as moléculas que se encontram na superfície têm partículas vizinhas iguais aelas somente do lado de dentro dólíquido. Dessa forma, resulta que, na superfície livre de um líquido, praticamente não existem forças que atraem asmoléculas para fora do líquido. Assim, as moléculas localizadas na superfície livre sofrem uma força de atração de forapara dentro do líquido, resultando em uma película com efeito de tensão ao longo do plano da superfície.

Agrandeza física associada aesse efeito éatensão superficial, representada por cr. Considerando uma linha traçada nasuperfície livre, atensão superficial pode ser definida como aforça por unidade de comprimento que atua perpendicularmente aessa linha eno plano da superfície. No SI, aunidade de tensão superficial é N/m. Atensão superficial decorredas forças de coesão intermolecular, de forma que ela diminui com oaumento da temperatura. Atensão superficial depende, também, do fluido que está sobre asuperfície livre, sendo, geralmente, tabelada para ocaso de ser oar ofluidosobreo líquido.

Por causa da tensão superficial, asuperfície livre de um líquido tende sempre ase contrair, de maneira que sua áreaseja amenor possível. Essa éarazão pela qual as gotas de um líquido são esféricas, pois esta éageometria que apresentamenor área de superfície para igual volume. Outros efeitos da tensão superficial são o aumento da pressão dentro degotas e dentro de jatos de líquidos com pequeno diâmetro, e a agregação de material granular úmido.

Capilaridade éonome dado ao fenômeno de um líquido se elevar num tubo capilar que está parcialmente imerso nolíquido. Aelevação capilar depende da tensão superficial eda relação entre aadesão líquido-sólido eacoesão do líquido.Um líquido que molha osólido (ângulo de contato d< tt/2, conforme oesquema da Figura 1.6), tem uma adesão maiorque acoesão e, nesse caso, observa-se que em função da tensão superficial o líquido sobe dentro deum tubo capilar queestáparcialmente imerso nolíquido. Aforça de tensão superficial atua aolongo dacircunferência interna dotubo e tema direção dada pelo ângulo decontato dentre o líquido e o sólido, conforme é mostrado na Figura 1.6.

e \ fe

•-t/C/C/Ot^C/CxCt/t/C

Th

•> 1/C/C^t-ft/CytXC/tyOl

Figura 1.6 Efeito de capilaridade para o casode um líquido que molha o sólido.

Para líquidos que não molham o sólido, como o mercúrio, a tensão superficial causa um rebaixamento do menisconum tubo capilar. Pode-secalculara altura que o líquido sobe num tubo capilarpara situaçõesem que sãoconhecidos oângulode contato entre o líquido e o sólidoe a tensão superficial.

Exemplo 1.2

Determinea altura hacimado níveldo reservatório em que a águase elevanum tubo capilarde vidrocomdiâmetrointerno d = 2 mm, conforme é mostrado na Figura 1.6.

Considerando que, para o caso água-vidro, o ângulo de contato $ é praticamente nulo, o problema resulta em umequilíbrio de forças, na direção vertical, entre as forças de peso e de tensão superficial:

yh = cnrd4

yd

Para a água na temperatura de 20°C, sendo a = 0,074 N/m e y = 9810 N/m3, resulta

h = 0,015 m = 1,5 cm

12 Capítulo Um "'

1.12 PRESSÃO DE VAPOR. EBULIÇÃO. CAVITAÇÃO Ôs líquidos se vaporizam devido à atividade molecular interna que causa a emissão de moléculas através da superfícielivre. Asmoléculas de vapor sobrea superfície livre exercem uma pressão parcial, chamadade pressão devapor. A inten- /sidadedo movimento das moléculas depende da temperatura,de forma que a pressãode vaporaumenta com o acréscimo ^%de temperatura. Define-se como pressão de vapor saturado a pressão de vapor paraa qual ocorre um equilíbrio na trocade moléculas entre o líquido e o vapor. '

Aebulição consistena formação de bolhas de vapor no interior do líquido. Essas bolhas de vapor, que possuemmassa êspecífica menor que ado líquido, sedeslocam para asuperfície livre produzindo aturbulência característica do processo ^de ebulição. Aebuliçãode um líquidodepende da temperaturae tambémda pressãoà qual ele está submetido. Observa-se que um líquidoentra em ebulição a uma temperaturamais baixa quando submetido a uma pressão menor. /

Nos escoamentos de líquidos,, em função dé-algúrha^doridições dinâmicas* podem ocorrer pressões menores que a ^pressãode vapor do líquido, resultando na formação de bolhas de vapor. Cavitação é o nome dado a esse fenômeno deformação de bolhas de vapor em certas regiões do escoamento de um líquido em função de algumas condições dinâmi- ^cas. Essas bolhas de vapor geralmente se deslocam e acabam colapsando quando atingem regiões doescoamento ondea ^pressão é maior que apressão de vapor.: •"• 'V•'••'"-•.••-• •: •VC. t.':; c >H' >•• ;t ^

Aocorrência de cavitação prejudica o funcionamento de algumas máquinas hidráulicas, taiscomo bombas e turbinas,podendo afetar também odesempenho dos hélices de navios e submarinos. Esse fenômeno de cavitação pode danificar ôs componentes desses equipamentos, além deintroduzir vibrações indesejadas no sistema. Osdanos causados às super- <%fícies sólidas que estão em contato com oescoamento, associados àcavitação, relacionam-se com oprocesso de implosãodas bolhas de vapor que provoca pulsos de pressão que, ao atingirem as paredes, retiram das mesmas pequenas partículas 'de material sólido. s%

1.13 GRANDEZAS, DIMENSÕES E UNIDADES *»OSistema Internacional de Unidades (SI) foi adotado oficialmente no país, de forma que, neste texto, usaremos somente ôSI. Apresentaremos aseguir, resumidamente, oSistema Internacional de Unidades com as grandezas debase usuais na ^área de Fenômenosde Transporte.

Cada grandeza física tem uma dimensão e uma unidade SI. As grandezas físicas podem ser classificadas em dois gru-pos: grandezas de base (fundamentais) e grandezas derivadas. As grandezas de base são aquelas para as quais se estabe- ^lecem unidades de medida arbitrárias, enquanto as grandezas derivadas são aquelas cujas unidades são expressas em função mdas unidades das grandezas de base. Sempre éimportante lembrar que qualquer equação que relaciona grandezas físicasdeve ser dimensionalmente homogênea, ou seja, cada termo na equação deve ter as mesmas dimensões. ^

Em Fenômenos de Transporte usualmente se trata com as seguintes grandezas edimensões fundamentais: massa M, ^)comprimento L, tempo tetemperatura T. No SI, aunidade de massa éoquilograma (kg), aunidade de comprimento é ômetro (m), a unidade de tempo éosegundo (s) ea unidade de temperatura éokelvin (K). Aforça é uma grandeza *derivada, sendo a sua unidade onewton (N), definido através da segunda lei de Newton para omovimento como ^

lN =lfc 2s2 ^

Dasegunda lei de Newton para o movimento, quepode serescrita como ^

obtém-se que adimensão da grandeza força édada por ^

[F] = [ma] = MLr2 ^

F=

1.14 CONSIDERAÇÕES SOBRE ATERMINOLOGIA ""*Verifica-se que os livros de texto na área de Fenômenos de Transporte apresentam uma terminologia não-uniforme e. em ~alguns casos, em desacordo com a regulamentação metrológica brasileira.

Neste texto, utilizamos uma terminologia seguindo a regulamentação metrológica brasileira. Consideremos a transfe- "^)rência de massa e de calor (energia). Segundo oQuadro Geral de Unidades de Medida, anexo à Resolução do Conselho *t

f^

#*

IP*

0\

CONCETTOS EDEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 13

Nacional de Metrologia, Normalização eQualidade Industrial - CONMETRO n.° 12, de 12 de outubro de 1988 têm-se as seguintes definições:

Fluxo de massa, com aunidade quilograma por segundo (kg/s), éofluxo de massa de um material que, em regime permanente através de uma superfície determinada, escoa amassa de 1quilograma do material em 1segundo;

Fluxo de energia ou potência, com aunidade watt (VV), éapotência desenvolvida quando se realiza, de maneira contínuae uniforme, o trabalho de 1joide em l segundo;

Densidade de fluxo de energia, com aunidade watt por metro quadrado (W/m2), éadensidade de umfluxo de energiaunifortne de l watt, através de uma superfície plana de l metro quadrado de área, perpendicular àdireção de propagação daenergia.

Neste texto, trataremos com transferência de algumas grandezas físicas, tais como de massa, de quantidade de movimento (momento) linear ede calor, ou seja, trataremos com fluxos edensidades de fluxo dessas grandezas.,...

Assim, de acordo com aregulamentação metrológica brasileira, nos fenômenos de transferência que estudaremos neste>texto, fluxo de uma grandeza éaquantidade dessa grandeza que étransferida por unidade de tempo através de uma superfície perpendicular àdireção de propagação da grandeza, enquanto adensidade de fluxo de uma grandeza éofluxodessa grandeza por unidade de área.

1.15 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.FOX, R. VV. &MCDONALD, A. T. Introdução àMecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO EQUALIDADE INDUSTRIAL- INMETRO. Quadro Geral

de Unidades de Medida. 1989.

SHAMES, I. H. Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1973.SISSOM, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.STREETER, V. L. &WYLIE, E. B.Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo. 1982.TIMOSHENKO, S.P. History ofStrength ofMaterials. McGraw-Hill BookCompany, 1953.VENNARD, J. K. &STREET, R. L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1978.VVELTY, J. R.; VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John VViley, 1976.

1.16 PROBLEMAS

1.1 Os líquidos e os gases são fluidos, mas apresentamcaracterísticas diferentes. Descreva as propriedades quediferenciam os gases dos líquidos.

1.2 Determine as dimensões das viscosidades absoluta (dinâmica) e cinemática.

1.3 A FigurpJ 7 mostra o esquema de um escoamento deáguaentre duas placasplanas horizontais de grandesdimensões e separadas por uma distância d pequena. A placa inferior permanece em repouso, enquanto a placa superior

vx = 1 m/s

está em movimento com velocidade Vx constante, de formaque resulta uma distribuição linear de velocidade de escoamento da água. Sendo a viscosidade da água fjL = 0,001Pa • s, determine:

a) o gradiente de velocidade de escoamento; eb) a tensão de cisalhamento na placa superior.

Resp.: a) —i- =200 s"1dy

b) t„ = -0,2 Pa

1.4 Considere a Figura 1.7 do problema anterior. Se. nolugarda água, existe um óleo e se é necessária uma tensãocisalhante de 40 Pa para que a velocidade da placa permaneça constante, determine a viscosidade dinâmica desseóleo.

Resp.: /xóleo = 0,2 Pa • s

1.5 A Figura 1.8 mostra um esquema da distribuição develocidade para um escoamento laminar de um fluidonewtoniano, totalmente desenvolvido, num duto de seçãocircular de diâmetro constante, dada por

VÁr)=Vw -(;)'

u Capítulo Um

onde:

Vmáx é a velocidade máxima doperfil (distribuição), queocorre no centro da seção, e

Réo raio interno do duto.

Sendo fi a viscosidade dinâmica do fluido, determine:a) a distribuição de tensõesde cisalhamento Tn noesco

amento; e

b)a força porunidadedecomprimento que oescoamentoexercesobre a parede do duto.

Resp,a)T„=Mfi2

b).íi =4*p.V„

*>z

Figura 1.8

1.6 A Figura 1.9 mostra um esquema de um escoamentolaminar, totalmente desenvolvido e em regime permanente,de um fluido newtoniano, entre duas placas paralelas eestacionárias, de grandes dimensões e separadas de umadistância h pequena. Adistribuição de velocidade de escoamento é dada por

vx(y) = vm mDetermine a força cisalhante, por unidade de área, exercida pelo escoamento sobre a placa superior.

WWWW

Figura 1.9

1.7 Considerando que o módulo de elasticidade volumétrica da água é E = 2,22 X IO9 Pa, determine a variação depressão necessária para reduzir o volume da águaem 0,1 %.Resp.: Ap = 2,22 X IO6 Pa

1.8 Mostreque o módulode elasticidade volumétrica E, expresso emfunção davariação damassa específica, é dado por

E=-4-dp-

P

1.9 Considere oar,aonível domar, compressão p = 101,3

kPa e temperatura T = 20°C. Sendo R„ = 287- ' mdetermine a massa específica do ar.

Resp.: ^ =1,2^-nv

kg-K'

1.10 Determine a pressão de 2 kgde ar que estãoconfinados num recipiente fechado com volume igual a 160 litros,

N-mà temperaturade 25°C, considerando R„ = 287

Resp.:p= 1069 kPakg-K

S$K

^Q\

/%

J

<*%

^%

s®b

fv%b

/^\

^b

<

r~——— v Capítulo 2 >

CONCEITOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE EANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DIFUSIVOS

UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIA DEMOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA

2.1 INTRODUÇÃONeste capítulo, conceituaremos eapresentaremos uma formulação básica para Fenômenos de Transporte. Vamos conceituar e analisar, a partir de uma abordagem fenomenológica, processos unidimensionais em que ocorrem fluxos demomento linear (escoamento laminar de um fluido), de energia (condução de calor) e de massa (difusão molecular),apresentando ummodelo comum e mostrando a analogia existente entreesses três fenômenos unidimensionais de transferência difusiva.

2.2 GRANDEZAS EXTENSIVAS E INTENSIVAS. CAMPOS

\ , Na análise de uma situação física, geralmente centramos nossa atenção em uma determinada porção de matéria que~; C denominamos sistema. Devemos escolher, adequadamente, grandezas observáveis, que são as propriedades adotadas para• ,: a descriçãodo comportamento do sistema.

Grandezas extensivas são aquelas que dependem do volume ou da massa, ou seja, são propriedades do sistema como. . um todo. Exemplos de grandezas extensivas: massa, momento (quantidade de movimento) linear e energia.

V^—t- Grandezas intensivas são aquelas definidas em um ponto e que não dependem do volume ou da massa do sistema.Exemplos de grandezas intensivas: massa específica, concentração, velocidade e temperatura. Em muitas situações, elas

\ possuem valores diferentes em pontos distintos do sistema, de forma que o conceito de campo é muito útil.Campo é uma distribuição contínua de uma grandeza intensiva que pode ser descrita por funções de coordenadas

espaciais e do tempo. Em outras palavras, campo é uma representação da região e do valor da propriedade intensiva emcada ponto da região. Se a grandeza intensiva é um escalar, tem-se um campo escalar. Exemplos: campo de temperaturanuma placa e campo deconcentração de umsoluto numa solução. Sea grandeza intensiva é umvetor, tem-se umcampovetorial. Exemplos: campo de aceleraçãogravitacional e campo de velocidade de escoamento de um fluido.

O gradiente de uma grandeza intensiva fornece a taxa de variação máxima dessa grandeza em relação à distância.#Considerando um campode temperatura descrito porT = T(.x, y,z), tem-se que o gradiente de temperatura, representado por grãd T ou VT, é dado por

r

vT-fi +fj +fÉdx dy dz

que fornece a taxa de variação máxima da temperatura com a distância.

2.3 DESEQUILÍBRIO LOCAL E FLUXOS. FENÔMENOS DETRANSPORTE

Quando o gradiente é nulo na vizinhança de um ponto, existe equilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, istoé, o campo é uniforme em tornodo pontoconsiderado. Se, na vizinhança de um ponto, o gradiente é diferente de zero.existe um desequilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, ou seja, o campo é não-uniforme.

Observa-se na natureza que,geralmente, a existência dedesequilíbrio local nadistribuição de umagrandeza intensiva causa•umfluxo dagrandeza extensiva correspondente. Esses fluxos consistem emtransferência de grandezas extensivas, cuja tendên

0

ciaé restabelecer oequilíbrio nas distribuições das grandezas intensivas correspondentes. Aáreadaciência queestuda osfenômenos nos quais ocorrem fluxos que tendem a uniformizar oscampos é chamada de Fenômenos de Transporte.

16 Capítulo Dois

Neste texto que se destina acursos básicos, vamos estudar somente os fundamentos do transporte difusivo de momento linear de calor ede massa. Nas próximas seções, vamos caracterizar esses fenômenos de transferência para processos unidimensionais eapresentar, apartir de uma abordagem fenomenológica, um modelo comum eas equações básicasque descrevem esses fenômenos difusivos unidimensionais, apresentando aanalogia existente entre eles.

7WC* ~"/l <"'&&& ???& z<C. im?' r?.£

2.4 TRANSPORTE DIFUSIVO DE MOMENTO LINEAROs fluidos reais possuem viscosidade, em maior ou menor grau, de forma que aexistência de gradientes de velocidade deescoamento cria tensões cisalhantes que causam fenômenos de transferência de momento linear nos escoamentos defluidos Consideremos um processo unidimensional que ocorre para um escoamento laminar (no qual omovimento dofluido se passa como se ofluido fosse constituído de lâminas paralelas que deslizam umas em relação às outras) de umfluido newtoniano localizado entre duas placas horizontais paralelas, de grandes dimensões, separadas por uma distanciapequena d, conforme é mostrado no esquema da Figura 2.1.

Fluido

Perfil de velocidade

nula

///;>;;;;/;;;;;;;

VQx

/;;//;/;//;;;;;;/>Fluido

r////////Jt////////

0 ////>//////////// ~* *

V0x

vox

////////J////////

(a) Inicialmente, as duas placasestão estacionárias e o fluidoem repouso

(b) Instante de tempo í = 0,placa superior colocadaem movimento com

velocidade VI

(c) Para t > 0, desenvolvimentodoperfil develocidade VJy, t)em regime transiente

(d) Para t:» 0, distribuição develocidade estabelecida em

regime permanente

Figura 2.1 Desenvolvimento da distribuição de velocidade de escoamento para um fluido localizado entre duas placas planas de grandesdimensões, separadas porumadistância dpequena, após a placa superior sercolocada emmovimento.

/Wfa

<fàb

^' CoNCErros de Fenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 17

p Inicialmente, as placas eofluido estão em repouso. No instante de tempo t = 0, aplaca superior écolocada emmovimento auma velocidade constante V0x, permanecendo aplaca inferior estacionaria. Devido àpropriedade deaderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas com as quais estão em contato, verifica-se que as lâminas muito

f delgadas de fluido em contato direto com as placas adquirem as suas velocidades, de maneira que, no instante der tempo t - 0, alâmina superior do fluido se move com velocidade Vfc, enquanto oresto do fluido ainda permanece

em repouso.

If Para t>0, observa-se que orestante do fluido entra progressivamente em movimento, ou seja, adquire momento^ linear na direção x. Ofluido adjacente àlâmina superior recebe momento linear proveniente da placa superior e, por sua

vez também transfere momento linear na direção xpara outra camada e, assim, sucessivamente, ocorre uma transferên-f cia de momento linear de camada em camada. Como aplaca inferior ealâmina de fluido em contato com aplaca perma-^ necem estacionárias, verifica-se que avelocidade de escoamento de cada camada é progressivamente menor, de cima^ para baixo, até ser nula. Dessa forma, desenvolve-se, durante um certo intervalo de tempo, uma distribuição (perfil) de

velocidade de escoamento Vx(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo.f"• Após esse certo intervalo de tempo, para í 55> 0, observa-se oestabelecimento de um perfil de velocidade de escoa-^ mento VJy) em regime permanente que, para esse caso com geometria plana, é linear.

Assim, observa-se um transporte de momento linear na direção x, que ocorre transversalmente ao escoamento, ouseja, na direçãoy, de cima para baixo, causado pelas tensões cisalhantes t, existentes entre as camadas de fluido nesse

f* escoamento laminar. Nesse processo, há uma fase dependente do tempo na qual Vx = Vx (y, t), de forma que a lei degpt Newton para a viscosidade (Eq. (1.7.4.10)) fica escrita como

r • dvx^ T-=~flly~ (2A1)^ Essa Eq. (2.4.1) relaciona a tensão cisalhante com o gradiente develocidade existente num escoamento laminar degpt um fluido newtoniano. Osinal negativo édevido ao fato de que ofluxo de momento linear ocorre no sentido contrário ao

gradiente de velocidade de escoamento.#^ Atensão cisalhante t^ pode ser interpretada como adensidade de fluxo de momento linear. Da segunda lei de Newtona para o movimento tem-se que

P ^ d(mVx)e Fx=^r (2A2)(p ou seja, a força é igual à taxa devariação demomento linear em relação ao tempo. Atensão decisalhamento r édefinida

como

t = hm —f- (2.4.3)

de forma que a tensão cisalhante t^ fornece aquantidade de momento linear na direção x que cruza uma superfície, nadireção y, por unidade de tempo e por unidade deárea, isto é, a tensão decisalhamento representa a densidade de fluxode momentolinear,de maneiraque ambas têm as mesmas dimensões:

[temio]Jf2Si]=M!£L =ML-H->Lárea J lr

momento linear MLt'1 , „ . ,= ML~lr2

ps Lárea x temP° J LHm\ Assim, a existência de gradiente de velocidade de escoamento causa um transporte difusivo de momento linear atra-

vés do fluido, nadireção transversal aoescoamento. Consideremos a situação de regime permanente esquematizada na^ . Figura 2.1, na qual ofluido está em movimento na direçãox, em escoamento laminar, com uma distribuição de velocida-|p> de Vx(y). Além do movimento macroscópico na direção x, tem-se o movimento aleatório das moléculas, de forma que0* resulta uma transferência de moléculas entre as camadas. Cada molécula transporta seu momento linear na direção \

correspondente à camada de origem, de maneira que resulta um fluxo de momento linear na direção x transversalmente

ao escoamento (na direçãoy) em função do gradiente de velocidade —-*-. Esse processodecorrente do movimento mo-(P1 dy

1 lecular aleatório échamado dedifusivo, enquanto omovimento macroscópico dofluido costuma serdenominado convectivo.

jbn

fjy

18 Capítulo Dois

CrV

2.5 TRANSPORTE DE CALOR POR CONDUÇÃOCalor pode ser definido como aforma de energia que étransferida em função de uma diferença de temperatura. Atransferência de calor pode ocorrer por distintos mecanismos:jCimdiiç^âg2..cqQvecção e radiação. Acondução secaracterizaquando otransporte de calor ocorre em um ráéio estacionário, sólido ou fluido, causadõpêla existência de gradiente detemperatura.

Aconvecção acontece nos fluidos ese caracteriza pela transferência de calor pelo movimento de massa fluida. Aradiação se caracteriza por uma transferência de calor entre dois corpos pelas radiações térmicas emitidas por suas superfícies. Estudaremos somente a condução de calor.

Consideremos um processo unidimensional de condução de calor que ocorre através de uma placa plana de grandesdimensões eespessura dpequena, constituída de um material sólido homogêneo, conforme é mostrado no esquema daFigura 2.2.

Placa

Placa

y•

p

r~~ / Placa )) i i

A-)—•

(a) Inicialmente,a placapossuitemperatura uniforme TQ

(b) No instante de tempo t = 0,a superfície superior adquiretemperatura T,, enquanto ainferior é mantida com

temperatura TQ, ambasconstantes

(c) Para t > 0, desenvolvimentode perfilde temperaturaem regime transiente

(d) Para t» 0, estabelecimento

de um perfilde temperaturaem regime permanente

Figura 2.2 Desenvolvimento do perfilde temperatura em uma placa plana de grandes dimensões e espessura d pequena, constituída de ummaterial sólidohomogêneo, colocada entre dois reservatóriostérmicos com temperaturas Tx e T0 constantes.

/9b

/^b

^b

<^%

/Cr£k

r CoNCErros deFenômenos deTransporte eAnalogia entre osProcessos Difusivos Unidimensionais 19p

p Inicialmente, aplaca toda está com temperatura uniforme T0. No instante de tempo t= 0, coloca-se aplaca entre doisreservatórios térmicos (que mantêm temperaturas constantes, apesar de estarem recebendo ou cedendo calor), resultando que asuperfície superior da placa adquire uma temperatura T,, enquanto asuperfície inferior émantida àtémperatu-

<p ra T0. Verifica-se que oresto da placa ainda permanece com temperatura T0 no instante de tempo t = 0.p Para t>0, durante um determinado intervale de tempo observa-se odesenvolvimento de uma distribuição de tempe-* ratura T(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo, que, para esse caso unidimensional, éfunção dey et<P somente.

p Após esse determinado intervalo de tempo, para t» 0, verifica-se um regime permanente estabelecido, ou seja, in-ps variante com otempo, resultando, para essa geometria plana, um perfil linear de temperatura T{y).^_ Observa-se, experimentalmente, que adensidade de fluxo de calor por condução édiretamente proporcional ao gradi-T ente de temperatura, de forma que, para esse caso unidimensional, em que há uma fase dependente do tempo na qualm* T = T(y, t), tem-se

p*

ps

JP»

onde:

dT1, =~^ (2.5.1)

qy é a densidade de fluxo de calor por condução nadireção y;

-r- é o gradiente de temperatura na direção y; e

ké o coeficiente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material.

Osinal negativo na Eq. (2.5.1) é devido ao fato de ofluxo de calor ser no sentido contrário ao gradiente de temperatura.

AEq. (2.5.1) é uma expressão unidimensional da equação de Fourier para acondução de calor que, para um caso geraltridimensional, pode ser escrita como

q = -kVT (2.5.2)

O mecanismo de condução de calorconsiste em umatransferência de energia térmica, através de um meio material,daregião de maior temperatura para a região de menor temperatura devido à existência degradiente de temperatura. Atemperatura podeser interpretada comouma medida macroscópica da atividade térmicamolecular em uma substância,de forma que a condução de calor consiste em uma transferência de energia térmica entre as partículas, sendo que asmais energéticas cedempartede sua energia às moléculas vizinhas que possuem energia menor.

Assim, a existência de gradientede temperaturacausa um fluxo de calor porcondução, cuja tendência é restabelecero equilíbriono campo de temperatura.

2.6 TRANSPORTE DE MASSA POR DIFUSÃO MOLECULAR

A transferêneja de massaocorrepelos mecanismos de convecção e difusão. O modode convecção se caracteriza por umtransporte de massa causado pelo movimentodo meio, como acontece, por exemplo, na dissolução de um torrão de açúcar na água contida em um copo quando se cria um escoamento mexendocom uma colher. O mecanismo de difusão secaracteriza pela transferênciade massapelo movimento molecular devido à existência de um gradientede concentraçãode uma substância. Na situação em que se tem um torrão de açúcar num copo com água em repouso observa-sea dissolução relativamente lenta do mesmo, enquanto existir gradiente de concentração de açúcar na água. Estudaremos somente os fundamentos do transporte de massa por difusão molecular.

Nesta seção, vamos apresentar a lei de Fick para a difusão em uma mistura (ou solução) binaria (de dois componentes), que descreve a transferência de massa de um componente denominado A através de uma mistura (ou solução) decomponentes A e B, devido à existência de um gradiente de concentração da espécie A.

A grandeza intensivaconcentração pode ser definidade várias maneiras. Consideremos uma mistura binariade componentes A e 6, sendoV o volume da mistura, mA a massa do componente A e mB a massa do componente B,de formaque a massatotalda misturade volume \fém = mA + mB. Umamaneira de expressar concentraçãoé através da definiçãode massaespecífica, feita no item Massa Específica emum Ponto, no Capítulo 1, como

P um TT7 (2.6.1)AV~5V A,\/

20 Capítulo Dois

onde:

Am é a massa contida no elemento de volume AV; e tÔV é o menor volume, em torno de um ponto, onde existe uma média estatística definida. «a

Assim, para a mistura binaria considerada, tem-se que ^

concentração do componente A: pA — lim A (2.6.2) ÂV-*5V A V ^

concentração do componente B: p% = lim B (2.6.3) /%AV—»5V A V

,r i . i. AwA 4- AtnB ,~ , „x /massa específica da mistura: p = lim — \l.bA)

r AV-.6V AV ^resultando em ^

P=Pa +Pb (2-6-5) Âs concentrações dos componentes AeB também podem ser definidas como uma fração demassa, daseguinte for- ^

= £*- (2.6.6) 1>cA =P

cs =SL (2.6.7) ^P "*%

Consideremos um processo unidimensional de transferência de água, pordifusão molecular, através de uma placa ^plana de cerâmica, homogênea, de grandes dimensões e espessura dpequena, conforme é mostrado no esquema da Fi- ^gura 2.3. '

Inicialmente, a placade cerâmica temsuassuperfícies emcontato comar seco, de maneira que existe umadistribui- ^ção nula de concentração deágua nacerâmica. ^

Noinstante de tempo í = 0 coloca-se água sobre a placa, de forma quea cerâmica juntoà superfície superior passa aapresentarumaconcentração cAQ de água. O restanteda cerâmica aindaapresentaconcentração nula de água,nesse ins- /tante de tempo t = 0, pois a superfície inferior da placa de cerâmica é mantida secacoma incidência de umjato de ar *%seco.

Para í > 0, durante um determinado intervalo de tempo, observa-se o desenvolvimento de umadistribuição de con- 'centração deágua cA(y, t), emregime transiente, naplaca decerâmica. ^

Após esse determinado intervalo detempo, para t » 0 fica estabelecido um regime permanente, resultando um perfil ^de concentração de água cA(y) queé linear para essa geometria dosistema.

Verifica-se, experimentalmente, que a densidade de fluxo de massa por difusão molecular é diretamente proporcional 'ao gradiente de concentração. Assim, para um processo unidimensional, genérico, de difusão molecular do componente Ânuma mistura binaria de componentes AeB, que tem uma fase dependente do tempo na qual cA = cA{y, t), tem-se ^

j — r» "Pa ^}A.y--L>M— (2.6.8) ydy

ou

onde:

r _ n d(pcA) ^h--~DAB~dy~ <2-6'9> ^

L.,éa densidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente Aatravés damistura na direção y; "^dpA d{pcA) , ^-r— ou —-— é o gradiente de concentração do componente A na mistura; e '°J dy ^

DÁB é o coeficiente dedifusão molecular oudifusividade de massa docomponente Anamistura decomponentes AeB. —

**%

/^

p

p

p

0^

(fpN

JP*

p\

ms

0\

jp^

Conceitos de Fenômenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 21

As Eqs. (2.6.8) e(2 6.9) são expressões unidimensionais da lei de Fick para adifusão molecular do componente Anuma mistura binaria de componentes Aefi, que pode ser escrita numa forma vetorial como

ou

h = ~DAB VpA (2.6.10)

]A=-DABf(pcA) (2.6.11)

Osinal negativo nessas equações que expressam alei de Fick para adifusão édevido ao fato de ofluxo de massaocorrer no sentido contrário ao gradiente de concentração, ou seja, adifusão molecular ocorre da região de maior concentração para aregião de menor concentração. Omecanismo de transferência de massa por difusão se origina no movimento molecular e, como no caso de gases, por exemplo, como aprobabilidade de uma molécula se dirigir em qualquer direção éamesma, resulta um fluxo líquido do componente considerado da região de maior concentração para aregião demenor concentração. Os fluxos de massa por difusão molecular são medidos em relação aum referencial que se movecom avelocidade mássica média da mistura que será definida no Capítulo 10.

Ar seco

Cerâmica

Perfil nulo de

concentração de água

Ar seco

°/*0 ÁguaCerâmica

Ar seco *

Ar seco

Ar seco

(a) Inicialmente, a placade cerâmicaapresenta um perfil nulode concentração de água

(b) i\o instantede tempot = 0.coloca-se água sobre a superfíciesuperiorda placa de cerâmica

ic) Para t > 0. desenvolvimento

da distribuição de concentração deágua C\{y. t) em regime transiente

•d) Para t >• 0.estabelecimento

de um perfil de concentraçãode água c K{y) em regimepermanente

Figura 2.3 Desenvolvimento dadistribuição deconcentração deágua emuma placa plana decerâmica, degrandes dimensões e espess;d pequena, após ser colocada entre água e ar seco.

22 Capítulo Dois

Assim, aexistência de um gradiente de concentração de um componente numa mistura (solução) causa um fluxo de ^massa por difusão molecular desse componente através da mistura (solução). /^

2.7 EQUAÇÕES PARA AS DENSIDADES DE FLUXOS DE MOMENTO ^LINEAR, DE CALOR E DE MASSA ^

Nas seções anteriores descrevemos processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor ede ^massa, tendo apresentado as seguintes equações: ^

a) Transferênciadifusiva de momento linear

r —M^ <2--<> 2A viscosidade cinemática foi definida como ?

„«ü (2.7.2)P

de forma que podemosexpressar a Eq. (2.7.1) como

r ~,M (2.7.3)dy

Atensão de cisalhamento T)rv pode ser interpretada como adensidade de fluxo de momento linear na direção y, sendoa viscosidade cinemática va correspondente difusividade. ^

b) Transferência de calor por condução *%r)Tq=-k^- (2.7.4) ^

Define-se a difusividade térmica a comot^b

a = (2.7.5) ^

onde: ^

feéa condutividade térmica do material; 1pé a massa específica do material; e ^cp é o calor específico a pressão constante do material.

Com a difusividade térmica, a Eq. (2.7.4) pode ser escrita da seguinte forma

^,=-0!—-£— (2./.6)<?y

O produto cpT representa a energia interna específica, de forma que a Eq. (2.7.6) pode ser escritacomo ^

ondee é a energia internaespecífica, ou seja, a energia internapor unidadede massa. ;c) Transferência de massa por difusão molecular ^

i - n ^ ^jA.y -~UAB~T~ (2.7.8» ^<7}' ^%

Dadefinição de concentração,numa mistura,pode-se expressar a concentraçãodo componenteA comopcx. result.in- 7do que a Eq. (2.7.8) pode ser escrita como ^

r _ n d(pcA)Ja.>--L>ab d (2.7.S»i

0*

p

p\

ps

ps

p\

p*

•0^.

CoNCErros de Fenômenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 23

onde DAB éocoeficiente de difusão molecular ou adifusividade de massa do componenteAna mistura de componentes

Nesses processos de transferência por difusão, observa-se que aexistência de desequilíbrio na distribuição de umagrandeza intensiva, ou seja, aocorrência de gradiente da grandeza intensiva, causa um fluxo da grandeza extensiva correspondente.

As densidades de fluxos de momento linear, de calor ede massa são representadas matematicamente por equações dotipo

/x=-Cdip/3)

dy (2.7.10)

sendo que:

fy é a densidade de fluxo dagrandeza extensiva nadireção y;

— éogradiente da grandeza intensiva correspondente, que cria a"força motriz" causadora do processo difusivo; e

C é umaconstante de proporcionalidade chamada de coeficiente de difusão ou difusividade.

Tem-se que péamassa específica do meio eagrandeza intensiva /3 éagrandeza extensiva correspondente por unidade de massa, deforma que o produto p/3 é a grandeza extensiva por unidade de volume.

Oquadro a seguir apresenta as equações para as densidades de fluxos referentes aos processos unidimensionais detransporte difusivode momento linear, de calor e de massa.

Grandeza

extensiva transferidaEquação para a densidade defluxo da grandeza extensiva

Características do

processo considerado

momento linear^ _ dVx d(pVx)T--^dy=-V dy escoamento laminar

incompressível

calor_._jl«*T_ d(pcpT) _ d(pe)

dy dy dy

meio estacionário com

calor específico e massaespecífica constantes

massa U, uAB ^ ü,b ^mistura binaria em repouso,

de componentes A e fi,com massa específica pconstante

A densidade de fluxo da grandeza extensiva é proporcional ao gradiente da grandeza intensiva correspondente. Osprocessos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor e de massa são decorrentes dos movimentos moleculares e se caracterizam pela tendência ao equilíbrio das distribuições das grandezas intensivas. Têm-semecanismos semelhantes, nesses processos de transporte por difusão molecular, em que os gradientes das grandezasintensivas criam "forças motrizes" que causam osfluxos dasgrandezas extensivas correspondentes. Esses trêsfenômenosdifusivos unidimensionais podem ser descritos por um modelo matemático comum. Éinteressante comparar as Eqs. (2.7.3).(2.7.7) e (2.7.9) com a Eq. (2.7.10). Observe que a diferença entre essas equações está somente nas grandezas físicasenvolvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.

As difusividades térmica, demassa e de momento linear (viscosidade cinemática) possuem a mesma dimensão dada por

[p) = [a) = [DAB) = L2r> (2.7.11)

e, no Sistema Internacional, têm a unidade metroquadrado por segundo (m2/s).Como essas difusividades possuem a mesma dimensão, resulta quequalquer quociente entreduas delas será um pa

râmetro adimensional que é conveniente na análise de situações em que os dois fenômenos de transferência ocorremsimultaneamente.

24 Capítulo Dois

Quando, no sistema em estudo, ocorrem transferências simultâneas de momento linear ede calor, tem-se oparâmetroadimensional chamado de número de Prandtl, representado por Pr,definido por

a k(2.7.12)

Onúmero dePrandtl indica aintensidade relativa entre os processos de transporte difusivo demomento linear edecalor.Para os gases, onúmero de Prandtl épróximo da unidade. Para outros fluidos, ele varia muito, tendo, geralmente, valoreselevados para óleos viscosos e muito baixos para metais líquidos.

Quando ocorrem transferências simultâneas de momento linear e de massa, aparece oparâmetro adimensional chamado de número de Schmidt, representado porSc, definido por

Sc ^ -±-

Le =a

D, pcpD,A6

n «n (27I3)F>ab PDab

O número de Schmidt indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo de momento linear e demassa.

Quando, nosistema em estudo, ocorrem transferências simultâneas de calor e de massa, surge o parâmetro adimensional chamado de númerode Lewis, representado por Le,definido por

(2.7.14)

O número de Lewis indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo de calor e de massa.Os processos simultâneos de transferência difusiva sãoditos similares quando o quociente entre suasdifusividades é

igual a um (unidade), de forma que as grandezas envolvidas são transportadas com a mesmaintensidade relativa.

2.8 EQUAÇÕES DA DIFUSÃONos itens Transporte Difusivo de Momento Linear, Transporte de Calor porCondução e Transporte de Massa porDifusãoMolecular, realizamos um breve estudo de fenômenos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor e de massa. Na fase dependente do tempo desses processos ocorrem fluxos das grandezas extensivas nadireção y através de um elemento de volume, com uma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento.Considerando os princípios de conservação, pode-se expressar o seguinte balanço para uma grandeza extensiva genérica:

( fluxoda grandeza ^

extensiva que entra

no elemento de volume,

fluxo da grandeza

extensiva que sai

do elemento de volume>

''taxa de variação da>grandeza extensiva

dentro do elemento(2.8.1)

Consideremos o elemento de volume mostrado na Figura 2.4, através do qual ocorrem fluxos de uma grandeza extensivagenérica, na J:.. ,,V> y, sendo que:

fé a densidade de fluxo da grandeza extensiva genérica; eG é a grandeza extensiva genérica por unidade de volume.

Estão ocorrendo as densidades de flaxos difusivos f\y ef\y+Sy no sentido negativo do eixo y, através das faces situadasnas coordenadas yey + Ay, respectivamente, causandouma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento,de forma que o balanço expresso pela Eq. (2.8.1) fica sendo

dG-(/U)AxAz =-(A)AxAz +^L A*AyAzdt

(2.8.2)

Dividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando os termose fazendo o limitequando o volume do elemento tende a zero,obtém-se

limj\y+ly f\y

AydG

dt(2.8.3)

íl%

/*%b

^1

/%

/A

&$b

*%

fi%b

/*%

p

P*

0^

ps

0s

pK

0S

ps

ps

0&S

0ê>

p\

ps

0b

r

Conceitos deFenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 25

Considerando a definição de derivada, tem-se

Figura 2.4 Esquema das densidades de fluxos de umagrandeza extensiva genérica através de um elemento devolume.

d£=dGdy dt (2.8.4)

Substituindo/pelas densidades de fluxos dadas pelas Eqs. (2.7.3), (2.7.6) e (2.7.9) e G pela respectiva grandeza extensiva por unidade de volume, resulta:

a) Para momento linear:

ou

d

dyd(pVx)

r By dt

d

dy' d(pVt)' _ d(pVx)

dt

ílta

dlVx _ 1 dV,

Para os casos onde v e p são constantes, resulta

dy2 v dt

(2.8.5)

(2.8.6)

(2.8.7)

Asolução da Eq. (2.8.7), submetidaàs condições de contornoe inicial do problema, fornecea distribuição de velocidade Vx(y, í) para o escoamento considerado.

Parao processo unidimensional de transferência difusiva de momento linearesquematizado na Figura 2.1, tem-seaseguinte formulação matemática:

Equação diferencial:

com as condições de contorno

e a condição inicial

d2Vx 1 dVx ÍOSySd——- = —— para <dy2 v dt [f > 0

Vx (0, í) = 0 para

Vx(d,t) = VQx para

V, (y, 0) = 0 para

>=0

r >0

y = d

í >0

0 < y < d

t = 0

(2.8.8)

(2.8.l».i»

(2.S»bi

<2.S l()>

26 Capítulo Dois

b) Para condução de calor:

ou

d_dy

d_dy

—a

d(pcpT)dy

a

d(pcpT)dy

d(pcpT)dt

d(pcpT)dt

Para casos onde a, pec são constantes, resulta

d2T _ I dTdy2 a dt

(2.8.11)

(2.8.12)

(2.8.13)

Asolução da Eq.(2.8.13), queé chamada deequação da difusão de calor, submetida àscondições decontorno e inicialdoproblema, fornece a distribuição de temperatura T(y, t)para o problema de condução de calor considerado.

Para o processo unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, tem-se a seguinteformulação matemática:




d2T _ 1 dTdyz a dt

para

7(0, t) = T0 para

T(d, t) —T, para

T{y, 0) = T0 para

=Sy<íiJO=Sy[íâO

Jy =0[í>0

y = d

t>0

0 < y < d

t = 0

c) Para a difusão de massa numa mistura binaria:

ou

Sendo DAB e p constantes, resulta

d_dy

d_dy

-DÀd(pcA)

dy_ d(pcA)

dt

D,d(pcA) _ d(pcA)

dtdy

dy1 DAR dt

{2.8.14)

(2.8.15a)

(2.8.15b)

(2.8.16)

(2.8.17)

(2.8.18)

(2.8.19)

Asolução da Eq. (2.8.19), que é chamada deequação da difusão de massa, submetida àscondições decontorno e inicial do problema, fornece a distribuição de concentração cA(y, t) do componente A namistura considerada.

Para o processo unidimensional de transferência difusiva deágua na placa de cerâmica esquematizado na Figura 2.3.tem-se a seguinte formulação matemática:

fl%

/»k

fWOb

/%

/%

-****

*^!K

CoNCErros de Fenômenos deTransporteeAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 27

p

p Equação diferencial:

p

p

pcom as condições de contorno

ó2cA _ 1df DAC

ps


[0< y < dLo (2-8-20)

[y = 0cA (0,í) = 0 para < (2.8.21a)

\y = dcA{d,t) =cÁ0 para j (2.8.21b)

[0 < y < íicA (y, 0) = 0 paia _; (2.8.22)

-^ Comparando as Eqs. (2.8.8), (2.8.14) e (2.8.20) e suas correspondentes condições inicial e de contorno, verifica-se^ que as formulações matemáticas para esses processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de(P calor e de massa são análogas. As diferenças entre essas equações estão nasvariáveis dependentes envolvidas e nos res-j^ pectivos coeficientes dedifusão para os fenômenos considerados.^ Essa analogia fica mais evidente com a utilização de variáveis adimensionais.r Considerando as variáveis adimensionais

ps

e r=t a8-23)p*

ps y* =^ (2-8.24)

t* =^r (2.8.25)d1

resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de momento linear esquematizado na Figura 2.1, a seguinte formulação matemática:

Equação diferencial

*V* áV* para Í°.S >* *' (2.8.26)dy*2 dt* [t*^0


0s [v* = 0r V*(0, t*) = 0 para \\ (2.8.27a)0s [t > 0


V*(l,r*)=l para \\ \ (2.8.27b)r*>0

Í0 < v* < 1VV,0)a0 para \ J (2.8.28)

28 Capítulo Dois

Considerando as variáveis adimensionais y

y* = X (2.8.30)d

t* = — (2.8.31)d2

resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, a seguinte formulação matemática:

Equaçãodiferencial:



<rr=?Il para J"-' -• (2.8.32)dy*2 dt* P V*- "

J0 2= y* <1[t*>0

T*(0,t*) =0 para j^ ° (2.8.33a)í*>0

T*(l,t*)=l para {' * (2.8.33b)|t*> 0

|0<y*jt* =0T*(y*, 0) = 0 para f, „ (2.8.34)

Considerando as variáveis adimensionais

cX =-^ (2.8.35)

y* =^ (2.8.36)d

t* =%^ (2.8.37)

•^tl

<^%

'3%

resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de água na placa de cerâmica esquematizado na Figura ^2.3, a seguinte formulação matemática:

Equaçãodiferencial: ^


<?2cX _ de* |0<y*<ldy*2 dt* lt*>0

para { x ' (2.8.38)

<""S5\

c*(0,t*) =0 para \\ ° (2.8.39a) ^t > 0 /<%

c*(l,t*)=l para i^ =1 (2.8.39b) ^t*>0

P"

p

Mb

0S

0$S

CONCETTOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE EANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DffUSIVOS UNIDIMENSIONAIS 29


c*(y*, 0) = 0 para0 < y* < 1

t* = 0(2.8.40)

Assim, considerando sistemas que possuem amesma geometria e situações físicas tais que as condições iniciais edecontorno dos problemas sejam similares, verifica-se que as formulações matemáticas para os processos unidimensionaisde transferência difusiva de momento linear, de calor ede massa são diferentes somente nas variáveis dependentes envolvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.

Com a utilização de variáveis adimensionais, verifica-se que a única diferença entre as formulações matemáticasadimensionalizadas que descrevem esses fenômenos está nas variáveis dependentes envolvidas, de forma qve as soluçõesdas equações diferenciais (2.8.26), (2.8.32) e (2.8.38) são equivalentes e, assim, conclui-se que os processos difusivosunidimensionais de transferência de momento linear, de calor e de massa são análogos.

Oestudo dessa analogia é interessante para ilustrar como esses diferentes fenômenos físicos podem ser descritos porum mesmo modelo matemático. As equaçõesde difusão serãoestudadas detalhadamente maisadiante, neste curso.

2.9 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C. O. & MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.BIRD, R. B.;STEWART, VV. & LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena, John Wiley, 1960.INCROPERA, F. P. & DEVVITT, D. P. Fundamentos deTransferência deCalor e deMassa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.SISSOM, L. E. & PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Riode Janeiro, 1979.WELTY, J. R.;VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat andMass Transfer. John Wiley, 1976.

2.10 PROBLEMAS

2.1 Conceitue grandezas físicas extensivas e intensivas.

2.2 De uma maneira geral, pode-se associar uma grandezaextensiva a uma grandeza intensivacorrespondente. Classifique e indiqueos pares correspondentes da seguinte lista de grandezasextensivase intensivas: energia, momentolinear, energia específica, massa, massa de um soluto, aunidade (1), velocidade e concentração.

2.3 Conceitue campoe gradiente de umagrandeza intensiva.

2.4 A Figura 2.5 mostra um esquema de um escoamentolaminar de água em regime permanente, localizado entreduas placas horizontais de grandes dimensões e separadaspor uma distância y = 0,03 m. A placa superior está emrepouso, enquanto a inferiorestá em movimento comvelocidade Vx = 0,5 m/s, resultando um perfil linear de veloci-

/ / / / tj //////////

vxM

\\\\\K\\ \ \ \ \ \ w >*

Figura 2.5

dade Vx{y) para o escoamento. Sendo a viscosidadeda águap. = 0,001 Pa • s (para T = 20°C), calcule a densidade defluxo de momento linear que ocorre nesse escoamento.Resp.:r^ = 0,017 N/m2

2.5 A Figura2.6 mostra um esquema de uma parede planacom espessura L,constituída de um materialcom conduti-vidade térmica K. Se está ocorrendo um fluxo de calor porcondução através da parede, em regime permanente, deforma que a distribuição de temperaturaé linear,conformemostrado na Figura 2.6, determine:

a) a distribuição de temperatura T(x) na parede;b) a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede.

Resp.:a)7X*) =T0-(To , Tl)x b) qx =£(T0 - T, )

Figura 2.6

3Q Capítulo Dois

2.6 A segunda lei da termodinâmica trata do sentido dosprocessos naturais. A Eq. (2.7.10)é a equaçãomatemáticacorrespondente ao modelo comum para as densidades defluxos paraosprocessos de transportedifusivo unidimensional de momento linear, de calor e de massa. Discuta arelação dessemodelo de transferência difusiva coma segunda lei da termodinâmica.

2.7 Considere o processo unidimensional de transportedifusivo de momento linear em um fluido, esquematizadona Figura 2.1. Na fase em regime permanente, têm-se ascondições invariantes com o tempo, dè forma que a placasuperiorestá com velocidadeconstante.Vx = V^, enquantoa placa inferior permanece em repouso. Determine; através da Eq. (2.8.8), a distribuição de velocidade Vx(y) emregime permanente.

Resp.: Vx =Vn

2.8 Considere o processo unidimensional de transferênciadifusiva de calorem uma placa, esquematizado na Figura2.2. Na faseem regime permanente, têm-se as condiçõesinvariantes como tempo, de forma que a superfície superior da placa tem temperatura T, constante, enquanto a su-

perfície inferiorda placa permanece com temperatura T0.Determine, através da Eq. (2.8.14), a distribuição de tem1peratura T{y) em regime permanente.

Resp, T(y) =TQ+^-j^y

2.9 Considere o processo unidimensional de difusão deáguaatravés de uma placa de cerâmica, esquematizado naFigura 2.3. Na faseem regime permanente, têm-se as condiçõesinvariantes com o tempo, sendo que a cerâmica junto à superfície superiorda placa tem uma concentração cA0de água, enquantoa cerâmicajunto à superfície inferior permanece com concentração nula de água. Determine, atravésda Eq. (2.8.20),a distribuição de concentraçãode águana cerâmica cA(y) em regimepermanente.

Resp, cA(y) =-^y

2.10 Considereo Problema 2.8. Determine a distribuiçãode temperatura T(y) paraa situação em que a superfície inferior da placa é mantida comtemperatura T0 igual a zero.Compare o resultado comas respostas dos Problemas 2.7e2.9.

jjp^

/%

*%

i*^b

^

A^

-8%

r '

r

r

r-

r

f

r

r

r

9

——- —•

•

Capítulo 3

FUNDAMENTOS DA ESTÁTICA

DOS FLUIDOS> i

• i

3.1 INTRODUÇÃONeste capítulo, abordaremos as noções básicas do estudoda pressão e sua variação em um fluido e do estudodas forçasde pressão sobre superfícies planas submersas. Em um fluido em repouso nãoexistem tensões de cisalhamento, ou seja,a tensão é exclusivamente normal. Os fluidos em movimento de corpo rígido (onde todasas partículas mantêma mesmaposição relativa) também não apresentam tensões cisalhantes, pois não existem gradientes de velocidade no fluido. Assim, em todos ossistemas que estudaremos naestáticados fluidos atuarão somenteforças normais às superfícies devidasà pressão.

3.2 PRESSÃO EM UM PONTO

Existe uma determinada pressão em cada ponto de um fluido. Define-se pressão como a força normal por unidade deárea em que atua, ou seja, a pressão p num ponto é o limite do quociente entre a força normal e a área em que atuaquandoa área tende a zero no entorno do ponto:

p = limAF..

AA-0 AA[3.2.1)

Princípio de PascalApressão, num ponto de um fluido em repouso, é a mesmaem qualquer direção. Assim, a pressãoestática é uma grandeza escalar, já que possui um valornumérico e atua igualmente em qualquer direção.

O princípio de Pascal pode serdemonstrado considerando-se umelemento devolume infinitesimal, de forma prismática,isolado de uma massa fluida em repouso, conforme é mostrado na Figura 3.1.

Sobre o elemento de volume atuam dois tipos de forças:

• forças devidas às pressões estáticas exercidas pelo fluido ao redor; e• peso devido ao campo gravitacional.

FluidoP

Figura 3.1 Elemento de volume prismático isolado de uma massa fluida em repouso.

32 CapítuloTrês

Como ofluido está em repouso, aresultante das forças que atuam sobre oelemento deve ser nula, ou seja, acondição ^de equilíbrio estabelece que ^

]Tf=o v3-2-2) **Na direção xatuam somente forças de superfície devidas às pressões estáticas representadas pelas componentes nor-

maisde tensão &„ e aa, de forma que

YFX= o-^dydz - o-adsdzsena = 0 (3.2.3)

Mas, tem-se que

ds sena = dy (3.2.4)

de forma que

o-„ dy dz - aa dy dz = 0 (3.2.5)

resultando

o- =o-„ (3.2.6)'XX "»

Na direção ytem-se que, além das forças de superfície, devidas às pressões estáticas, atua também opeso do elemento, de maneira que

]5]Fy =o-yydxdz - a„dsdzcosa - pg—^— =0 (3.2.7)

Mas, tem-se que f

ds cosa = dx (3.2.8) '/^

logo,

o-ndxdz- a^dxdz- pg J— =0 (3.2.9) ^

Dividindo por dxdz, tem-se que

^-o-H-pg^ =0 (3.2.10)

/%

/í^sH

Apressão é definida emumponto que seobtém fazendo olimite quando ovolume doelemento tende a zero, deforma que

resultando em ^

aa = aiS (3.2.12) «^

Assim, tem-se que ^

*-„ = *„ = a» (3.2.13) ^

conforme estabelece o princípio de Pascal, de forma que, para um fluido em repouso, sendo p a pressão estática, o ^tensor tensão é dado pela matriz ^

-p 0 00 -p o0 0 -p

(3.2.14) ^

Pelo princípio de Pascal, tem-se que a pressão estática, num ponto deum fluido emrepouso, é transmitida igualmenteem qualquer direção. Assim, a pressão aplicada em um fluido incompressível, contido em um recipiente fechado, será

tflfV

ASb

p

p\

ps

0S

0S

Fundamentos da Estática dos Fluidos 33

transmitida integralmente atodos os pontos do fluido eàparede do recipiente. Esse fenômeno da transmissão de pressãonos fluidos incompressíveis éutilizado em diversos equipamentos hidráulicos, tais como prensas, freios emacacos hidráulicos.

3.3 EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOSEm um fluido em repouso, submetido ao campo gravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluido sãoopeso eas forças devidas às pressões estáticas. Tem-se, em princípio, que a pressão p = p(x, y, z). Consideremos umelemento de volume AxAyAz, com faces paralelas aos planos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares,isolado de um fluido em repouso com massa específica p, conforme é mostrado na Figura 3.2, na qual designamos aspressões que atuam sobre oelemento fluido deacordo com a coordenada deposição daface doelemento cúbico sobre aqual atua a pressão.

FluidoP

/t

Vc

x+Ax

Figura 3.2 Elemento de volume isolado de um fluido em repouso comas pressões estáticas exercidas pelorestante do fluido.

O peso do elemento fluido é dado por

W = p£ AxAyAz

A força de superfície resultante, devidaàs pressõesestáticas que atuam sobre o elemento, é dada por

K=(Pi - PUjAyAzi +[p\y - H,. jAvAz] +(p|s - pLjAxAyí

(3.3.1)

(3.3.2)

Como o fluidoestá em repouso, a força resultante que atua sobre um elemento de volume deve ser nula, ou seja. tem-se uma condição de equilíbrio dada por

£F =W+Fr =0 (3.3.3)

de formaque

pgAxAyàz +(p\x - pLjAyAzi +(p^ - r|,. jAvAcj +(p|: - p|i+jAxAyí =0 (3. V4iDividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando os termose fazendo o limitequandoo volume do elemento tende a zero

obtém-se

UmAx.,1»..!:—0 Ay J AzAx

h _ àp~ , dp- , dp-vp = -f-i +^J +^kdx dy dz

= pg (3.3 S.v — -/ —

O termo do ladoesquerdo da Eq. (3.3.5) é a definiçãodo gradiente de pressão, em coordenadas retangulares, dado por

(3.3 (^

34" Capítulo Três ™

de forma que a Eq. (3.3.5) podeser escrita como "^

Vp =pg (3.3.7) ^Essa Eq. (3.3.7) é a equação básica da estática dos fluidos que dizque, para um fluido em repouso, a taxa.devariação

máxima da pressãocom a distânciaocorrena direçãodo vetorcampogravitacional. g. Considerandoo sistema de coorde- 'nadas retangulares mostrado naFigura 3.2, a Eq. (3.3.7) pode ser decomposta nas componentes escalares ^

dpdx

= Pgx

dpTy = Pgy

dpdz

= Pgz

(3.3.8a)

(3.3.8b)

(3.3.8c)*%

Por conveniência, escolhemos o referencial com oeixo yparalelo ao vetor g, deforma que gx —0, gy = —gegz = 0, "%resultando _

dv-zr = 0 (3.3.9a) ^dx

¥ =~Pg (3.3.9b) "*°v /%

dp A ^3=0 (33.9c) A• dz ^

Assim, das Eqs. (3.3.9), considerando um eixo yvertical com sentido positivo para cima, conclui-se que apressão varia ^somente em função dey,de maneira que se pode escrever ,».

dp-f = -pg (3.3.10)

eque os planos xz horizontais são planos isobáricos, ou seja, pontos que estão àmesma altura (ou profundidade) dentro /%do mesmo fluido possuem pressões estáticas iguais.

3.4 VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM UM FLUIDO EM REPOUSO JAvariação da presr-- .-m aaltura (ou profundidade) éobtida por meio da integração da equação básica da estática dos ^fluidos, que éaplicável para qualquer fluido em repouso. Opeso específico y = pg pode ser constante ou variável emfunção da variação da massa específica pdo fluido e, também, da variação do campo gravitacional. Estudaremos somente ^casos em que aaceleração gravitacional pode ser considerada constante. ^

a) Variação da Pressão em um Fluido Incompressível ^Um fluido incompressível tem amassa específica constante, de forma que aintegração da equação básica da estática dos ^fluidos ficasimplificada.

Tem-se que ^

Vp = pg (3-4.1)

e, considerando um referencial com eixo yvertical, com sentido positivo para cima, resulta que a Eq. (3.4.1) fica sendo&0b

~f- =~Pg =constante (3.4.2) ^

/fp* f

p

p*

áf^

ífp\

0£S

Fundamentos da Estática dos Ruídos 35

Avariação da pressão com aaltura édeterminada por meio da integração da Eq. (3.4.2) com as condições de contornoadequadas. Considerando que apressão num nível de referência y0 épQ, determina-se apressão p{y) numa altura ycoma integração da Eq. (3.4.2), de forma que

resultando em

rHr) çyI àp = -\pgdy (3.4.3)

p(y) - Po = - pg(y - yo) (3.4.4)

ou seja, a diferença depressão entre dois pontos, num fluido incompressível, é diretamente proporcional à diferença dealturaentre esses dois pontos.

Para os líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um referencial com um eixo h, paralelo ao vetor campogravitacional, com origem nasuperfície livre e sentido positivo para baixo, conforme é mostrado na Figura 3.3.

atm

S.L

i/t-t/c/e >z 't/c/t/t^c Ig st, I - <ooi/ot/t/c yzszszszstszl sz.\ -t/C/I^/OOC/t/C^C/tL/t/T^t • ^t/C • t/t/tL/C^r

't^C/t/txt/ty^/tytxtxC/t^t/C^Xt^O'C*

Líquido/Ç^^/C/C/t/C/t/tL/tl/C' /t^yOt.

/7 OtX-^^X^t^/L^C-C^^C^C,

Figura 3.3 Eixo referencial adequado para a determinação da variação da pressão num líquido.

Avariação da pressão com a profundidade pode ser determinada a partir da equação

Vp = pf

que, com o eixo h considerado, fica sendo

dp

Considerando que

obtém-se

dh= PZ

para h = 0 tem-se p(0) = pt

para h = h tem-se p = p{h)

f dp= í p.a«rum «"

dh

(3.4.5)

(3.4.6)

(3.4.-)

(3.4 SI

resultando

p{h)=pMm + Pgh <3 4^.

Assim, num fluido incompressível (p = constante) a pressão varia linearmente coma profundidade.

b) Variação da Pressão em um Fluido CompressívelA variação da pressão em um fluido compressível também é determinada através da integração da equação básic.i d.iestática dos fluidos dada por

Vp = pg (3.4.101

36 Capítulo Três

Para um fluido compressível a massa específica p não é constante, de forma que é necessário expressá-la em funçãodeoutravariável na Eq. (3.4.10). Umarelação entre a massa específica e a pressão podeserobtidada equaçãode estadodo gás ou por meio de dados experimentais.

Para osgases, geralmente a massa específica depende da pressão e da temperatura. Nãoexiste um gás perfeito, entretanto os gasesreaissubmetidosa pressõesbastante abaixo da pressãocríticae a temperaturasbem acimada temperaturacrítica, isto é, distantes da fase líquida, tendem a obedecer à lei dos gases ideais, que pode ser escrita como

onde:

p é a pressão absoluta;p é a massa específica;fi é a constante do gás; eT é a temperatura absoluta.

Assim, para um gás perfeito, tem-se que

resultando que a Eq. (3.4.10) pode ser escritacomo

P=fiT

p =JLRT

P RT

(3.4.11)

(3.4.12)

(3.4.13)

AEq. (3.4.13) introduz uma outra variável, que éa temperatura, demaneira que é necessária uma relação adicional davariação da temperatura com a altura. Na atmosfera, por exemplo, a variação da temperatura com a altura depende dacamada considerada. Verifica-se que, na troposfera (definida como a camada entre o nível do mar até a altitude de 11km), a temperatura decresce linearmente com a altura, segundo uma taxa de aproximadamente 6,5°C/km.

3.5 VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM UM FLUIDO COMMOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO

No item Equação Básica da Estática dos Fluidos, deduzimos a Eq. (3.3.7), que descreve a variação da pressão em umfluido em repouso. Quando um fluido está acelerado, mas em movimento de corpo rígido (onde todas as partículas mantêm as mesmas posições relativas), de modo que não ocorre movimento relativo entre camadas adjacentes, ou seja, quando ofluido se movimenta sem deformação, de maneira que não existem tensões cisalhantes, avariação da pressão podeser determinada com a aplicação da segunda lei de Newton para o movimento.

Consideremos um elemento de volume AxAyAz, com faces paralelas aos planos coordenados de um sistema de coordenadas retangulares, isolado de um fluido com massa específica pque se encontra com aceleração constante ã para adireita, conforme c->- -~'»-ado na Figura 3.4.

FluidoP

ÍT

4*

Ay

—•

(* y. *)

y ax

Iz+Az

ly +Ay

V

rAz

Ix+Ax

Figura 3.4 Elemento de volumeisoladode um fluidocom aceleraçãoI constante.

/%

/SUS

rf^b

^%

(Wb

tâ>b

"4%

/^S

p '

0$b


O pesodo elementode volume é dado por

W =p AxAyAz g (3.5.1)

Designamos as pressões que atuam sobre o elemento de acordo com a coordenada de posição da face do elementocúbico, sobre aqual atua apressão, de forma que aforça de superfície resultante Fp, devida às pressões estáticas, édadapor

?, =(Pi ~ít+jAyAzT +(p|y - p\y^)àxAzJ +(p\z - p|shjAxAyí (3.5.2)Como o fluido está com aceleração a constante, aplicando-se a segunda lei de Newton parao elemento de volume

resulta

£ p=w+Fp =pAxAyAza (3.5.3)

ou seja,

p(AxAyAz)| +(p\x - p|x+jAyAzT +(p\y - p\y+>)àxAz] ++[p\, —p|.+i.)AxAyfe =p(AxAyAz)a

Dividindo pelo volume AxAyAz, rearranjando os termos e fazendo o limite, quando o volume do elemento tende azero, obtém-se

limAx..lr.A;-.0

'PL± "H«J. , ?Ur ~H,j +p\z+iz ~p\z £Ax Ay Az

= p(g~ã) (3.5.5)

O termodo lado esquerdoda Eq. (3.5.5) é a definição dogradiente da pressão em coordenadas retangulares, dadopor

f> vp-|£T +|EJ+|EÍ (356)c/x í/y (72

p» resultando quea Eq. (3.5.5) pode serescrita como

f* Vp = p(g-5) (3.5.7)

Assim, para um fluido que se move como um corpo rígido com aceleração a constante, a taxa devariação máxima dav pressão com a distância ocorre na direção da gravidade aparente (g —a), e as linhas isobáricas são perpendiculares ap esse vetor (g —a).p

m Exemplo 3.1

p Um tanque com água é mostrado na Figura 3.5 para os casos de repouso ecom aceleração constante. Para ocasoA do tanque em repouso, a superfície livre (S.L.) da água é horizontal. Considerando que o tanque está com uma^ aceleração constante a = ax i para adireita, determine aorientação da superfície livre (ângulo d), aaceleração ax<P* máxima, paraque a água nãoderrame, e a pressão estática no pontoA.ps

P Escolhemos osistema de coordenadasxy mostrado na Figura 3.5 com oeixo yparalelo ao vetor g, ou seja, na vertical.

p Determinação do Ângulo dms Para o sistema com aceleração a = ax i constante, a variação da pressão na águaé dada pelaequação

f Vp =p(g - -a)

ou seja, a taxa devariação máxima dapressão com a distância ocorre nadireção de [g —a), resultando que a superlície

38 Capítulo Três

livre (S.L.), que éperpendicular ao vetor (g —a), forma um ângulo 0com ahorizontal. Do diagrama de subtração veto-rial da Figura 3.5 tem-se que

i-91

/t

6 = arctgg

S.L para sistemaem repouso

S.L. para sistemacomaceleração ax

Figura 3.5 Tanque com água mostrando assuperfícies livres para os casos do sistema em repouso e com aceleração ax

Cálculo da Aceleração Máxima Permitida aXfBláxDa Figura3.5, tem-se que

mas,

resultando

tg0h 2h

L

tg0 =. **jc,máx _

g

.2/i" L

ax.2h

g

Cálculo da Pressão no Ponto A

Considerando oeixo referencial %com origem no ponto Aeparalelo ao vetor gravidade aparente, conforme é mostradona Figura 3.5, tem-se que

^P i- -i r~, r-T- = -p\g-<* \= -pjg- +«;dij

Integrando essa equação entre os pontos AeB,considerando que apressão no ponto 8 éapressão atmosférica localpilm, obtém-se

mas,

resultando

Patm - Pa = ~P bj gl + a\ d

d = (H + h) cos 6

Pa = PMm + Pblg2 + a2x (H + h) coso

^t)

/®b

(^!\

/%

fà!b

fé^b

p

p

p

p

p

0h

ps

p

p

0$>

0$s

p


3.6 MEDIDAS DE PRESSÃO. BARÔMETRO DE MERCÚRIO EMANÔMETRO DE TUBO EM U

As medidas de pressão são realizadas emrelação a uma determinada pressão de referência. Usualmente, adota-se comoreferência à pressão nula existente no vácuo absoluto ou apressão atmosférica local. Chama-se pressão absoluta aquelaque é medida em relação à pressão nula do vácuo absoluto. Denomina-se pressão relativa aquela que é medida em relação à pressão atmosférica local. AFigura 3.6 ilustra uma medida depressão pA emrelação ao nível zero do vácuo absolutoe em relação à pressão atmosférica local (pilm).

P = PA

^relativa

>

A, absoluta " ''atm +^relativa ^atm ~ ^atmosférica local

p = 0 (Vácuo absoluto)

Figura 3.6 Medida da pressão pA em relação à pressão nula e à pressão atmosférica local.

Geralmente, os instrumentos medidores de pressão, os manômetros, indicam a diferença entre a pressão medida e apressão atmosférica local, ou seja, medem a pressão relativa, que pode ser positiva ou negativa. As pressões relativasnegativas, também chamadas de pressões de vácuo, sãoaquelas menores que a pressão atmosférica local.

Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada é a absoluta, dada por

P absoluta Pilm PteU (3.6.1)

Apressão atmosférica local, representada porpâtm, pode ser medida porum barômetro. O mais simples é o barômetrode mercúrio, que consiste basicamente em um tubodevidro cheiode mercúrio comsua extremidade abertaimersa numrecipiente com mercúrio, conforme o esquemamostrado na Figura 3.7.

ratm

\/ Mercúrio

Figura 3.7 Esquema simplificado de um barômetro de mercúrio.

No esquema da Figura 3.7, tem-se que:

h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro;

pMm é a pressão atmosférica local; epn é a pressãode vapor do mercúrio.

Aplicando a equação básicada estática dos fluidos

Vp = pg (3.6.2)

Romario

Highlight

Romario

Highlight

40 Capítulo Três

obtém-se

dp

Integrando essa equação entre os pontos AeB, tem-se

Pb ~Pa = ~pHSgh

(3.6.3)

(3.6.4)

Pontos que estão à mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a mesma pressão, de forma que pA = patm e comoPb = Po> obtém-se

Po-Pa«m= -pHggk * (3.6.5)ou

P»m = Po + PHggk (3.6.6)

Em condições normais detemperatura e pressão, a pressão de vapor do mercúrio épraticamente nula, ou seja, p0 ** 0,resultando

Paün = Ptiggh (3.6.7)

Apressão atmosférica normal, ao nível domar, corresponde a uma coluna de mercúrio com altura h = 76 cm. Substituindo os dados

Ph8= 13600kg/m3;g = 9,81 m/s2;eh = 0,76 m,

resulta que a pressãoatmosférica normal, ao nível do mar, é

patm = 101320 N/m2 = 101,32 kPa

Os instrumentos medidores de pressão são chamados de manômetros. Estudaremos somente o manômetro de tuboem U, cujo princípio de funcionamento está no equilíbrio de uma coluna de líquido, chamado de fluido manométrico,confinado em um tubo, conforme é mostrado no esquema da Figura 3.8.

Mangueiraflexível Conexão

Câmara pressurizada

Fluido manométrico Figura 3'8 Esquema simplificadode um manômetro de tubo em U co-

M nectado a uma câmara pressurizada.

Omanômetro está conectado através de uma mangueira flexível a uma tomada de pressão na câmara pressurizada.localizada na altura do ponto A, de forma que ofluido do interior da câmara desloca ofluido manométrico, resultandouma configuração de equilíbrio com uma coluna de fluido manométrico de altura hM, conforme émostrado no esquemada Figura 3.8', onde:

Tai = Pug é o peso específico do fluido manométrico;hM é a diferença de altura entre os pontos Ce D, ou seja, éa altura da coluna manométrica;7c = Pcg é o peso específico do fluido confinado na câmara; ehc é adiferença de altura entre os pontos Ae B, ou seja, éodesnível entre a tomada de pressão ea base da coluna

manométrica.

'/i|

SA

•^^

**%

f^b

ftãtí

/f^b

p T~

p

* Fundamentos da Estática dos Ruídos 41p

p Determina-se apressão no ponto Aatravés das leituras das alturas hM ehc. Aplicando aequação básica da estática dos_ fluidos, obtém-se

t Vp = 7 (3.6.8)

IP que, considerando um eixo yvertical com sentido positivo para cima, fica sendo

f Yy ="? (3'6'9)

p\

p

p*

Integrando a Eq. (3.6.9) no fluido manométrico entreos pontos C e D, obtém-se

Po ~ Pc = -%i ^w (3.6.10)

Integrando a Eq. (3.6.9) no fluido dointerior dacâmara pressurizada, entre ospontos B e A, tem-se

PA-PB = -yÀ (3.6.11)

Como os pontos B e C estão à mesma altura dentro do mesmo fluido, tem-se

Pb = Pc (3.6.12)

Subtraindo a Eq. (3.6.10) da Eq. (3.6.11),obtém-se

Pa ~Po = ysihi ~ ?A (3.6.13)

Estando a extremidade do ramo livre do manômetro aberta para a atmosfera, tem-se que

Po = Pâ,m (3.6.14)

resultando

Pa ~ P3«n, = 7m hí ~ 7c K (3.6.15)

que é a pressão relativa no ponto A.Em muitas situaçõeso fluido de trabalho, que está confinado na câmara,é um gáscom pesoespecíficomuito menor

que o pesoespecífico do fluido manométrico, que deve sempre ser um líquido, de forma que

%«r« (3-6.16)

e, sendo o termo ychc insignificante em relaçãoao termo "yAIJiXf, resulta que a Eq. (3.6.15) fica sendo0s

^ PA ~ Pa,m = r.\i k.u (3.6.17)p\

ps

p 3.7 FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES PLANASp SUBMERSASps Adeterminação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um problema freqüente daestática dos flui-—^ dos. Essas forças são devidas àsdistribuições depressões nos fluidos, e calcula-se a força resultante através daintegração

da distribuição de pressõessobrea superfícieplanasubmersa. Estudaremos a determinação do móduloda forçaresultan-f^ te e da profundidade do seu pontode aplicação.

Consideremos a face superiorda superfície planasubmersa de áreaA. mostrada no esquema da Figura 3.9. que apresenta as vistas lateral e de cima dessa superfície, cujo plano forma um ângulo $ com a superfície livre do líquido.

\ A pressão variacom a profundidade h, segundo a relação

Í-"" de forma que a distribuição (perfil) de pressões no fluido é dada por

p p(h) =p„ +J pgdh (3.7 2!

v ondepo é a pressão ambienteque atua sobrea superfície livre (S.L.) do líquido.0s

42 Capítulo Três

|p0

LíquidoP

Vista lateral

i I V/y,dF\ /yi /y

'' \ Centro de pressões

Vista da cima

Figura 3.9 Vistaslaterale de cimade umasuperfícieplana submersa.

S.L

Como será necessário integrar essa distribuição depressões sobre a superfície plana submersa, é conveniente a adoção do eixo referencial 17, mostrado na Figura 3.9, que está contido no plano dessa superfície e tem origem na superfícielivre do líquido. Assim, existe a seguinte relação

h = rjsen0 (3.7.3)

Sobre um elemento de áreadA atua umaforça

dF = pdA (3.7.4)

de forma que aforça resultante Fque atua sobre asuperfície plana submersa éobtida através da integração da distribuiçãode pressões sobre a área, ou seja,

=\\pdA (3.7.5)

Observe que, na integra^da Eq. (3.7.5), a pressão p e oelemento de área dA devem estar expressos em função dasmesmas variáveis. Aforça F é perpendicular à superfície plana submersa.

Oponto deaplicação daforça resultante, chamado decentro depressões, geralmente está localizado abaixo do centróide(centro geométrico) da superfície plana submersa, pois a pressão aumenta com a profundidade.

O centro de pressões é o ponto no qual a força resultante F deve atuar para produzir o mesmo momento de forçadevido àdistribuição de pressões, de forma que aprofundidade do ponto de aplicação da força resultante édeterminadapela relação

A

onde T)cp é a coordenada 77 docentro de pressões, resultando

]) vp(y) dA

VcP =-C" jjp(V)dA

(3.7.6)

(3.7.7)

Para líquidos incompressíveis, a massa específica pé constante, deforma que ela pode serretirada para fora das integrais, resultando fórmulas gerais mais simples. Consideremos a situação esquematizada na Figura 3.9 para um líquido

Fi|

s9b

rfí^b

^/%

t^b

it%$b

(p

r


r incompressível, considerando também a pressão relativa, ou seja, que a pressão ambiente p0 é nula, determinando#" mente a força exercida pelo líquido sobre a superfície plana submersa.

Aforça que o líquido exerce sobre um elemento deárea dA é dada por

so-

f>dF = prel dA (3.7.8)

onde

Prd = Pgh = pgTjsend (3.7.9)

é a pressão relativa.Considerando oeixo referencial rj com origem na superfície livre do líquido, conforme é mostrado na Figura 3.9, a Eq.

<P (3.7.8) fica sendo0&*

0b

dF = pg r) (sen0) dA (3.7.10)

Aforça resultante F é obtida através da integração da Eq. (3.7.10) sobre a áreada superfície plana submersa e, comop,ge d são constantes, tem-se que

F=pg(sen0)JJi7íiA(3.7.11)

sendo que a integral sobre a área A de 17 dA é o momento da área A em relação ao eixo00.Define-se rj comoa coordenada 17 do centróide da superfície planasubmersa, dada por

-7 =1JJ TjáA (3.7.12)A

de forma que a força resultante F pode ser determinadapela equação

F = pg"j~(sen0)A (3.7.13)

ou seja, o módulo da força resultante exercida por um líquido incompressível sobre uma superfície plana submersa éigual ao produto da pressão no centróide pela área da superfície plana submersa.

O pontode aplicação da força resultante, o centrode pressões, é o ponto no qual a força resultanteF deve atuar paraproduzir o mesmo momento de força devido à distribuição de pressões, ou seja,

FVcP=j\vpíeidA (3.7.14)A

onde r)cp é a coordenada 17 do centro de pressões.SubstituindoF e ptei pelas Eqs. (3.7.13) e (3.7.9), respectivamente, obtém-se

pg"j(sen0)A77Cf( =pg(sen8)jj 172 dA (3.7.15)A

de maneira que a coordenada 17 do centro de pressões é dada por

Tem-se que

jj12dA =lw (3.7.171

P éo segundo momento daárea Aemrelação aoeixo 00situado nasuperfície livre dolíquido e paralelo aoplano dasuper-fície submersa, de forma que

77 A--^_ (3.7.18»

p

F$£

44 Capítulo Três

Geralmente, é mais fácil calcular os momentos de área (ou de inércia) em relação a um eixo contido na área (ou no 'corpo), principalmente em situações nas quais existe simetria em relação aesse eixo, de maneira que sedeve expressar a *%Eq. (3.7.18) em função do segundo momento da área em relação ao eixo cc contido na superfície plana submersa, para- /!feleio aoeixo 00 e que passa pelo centróide, conforme é mostrado noesquema da Figura 3.9. '

Utilizando o teorema dos eixos paralelos, tem-se que ^

ho = L + V2A (3.7.19)

onde:

/„éosegundo momento da área Aem relação ao eixo cc que passa pelo centróide da superfície plana submersa equeé paralelo ao eixo 00; e

77 é a distância entre os eixos 00 e cc.

Assim, a Eq. (3.7.18) pode ser escrita como

Vcp-V + ZZT-T)A

(3.7.20)

Otermo •=*- ésempre positivo, de forma que ocentro de pressões (ponto de aplicação da força resultante) fica situado a uma distância -zr- abaixo do centróideao longo do eixo 77.

77A 6 '

Exemplo 3.2

Determinação do módulo eda profundidade do ponto de aplicação da força resultante exercida pela água sobrecomporta plana retangular, colocada na posição vertical, mostrada no esquema da Figura 3.10.

Como estamos interessados somente na força exercida pela água, usamos apressão relativa, ou seja, consideramos p0 =0.Adistribuição de pressões sobre acomporta édeterminada através da equação básica da estática dos fluidos

lp = pg

ou

P _

dhPg

resultando

p(h) = pgh

Sobre um elemento de área dA = Ldh atua a força

dF = p{h) dA

<~S.L C)

Água dF l-

?=CTE

1 >h

p /

Diagrama de -"•-"•

-

pressões

P(h)Vista lateral

ETcp

dh

T\\\\\\T\\\w

Vista de frente

H

Figura 3.10 Vistas lateral ede frente de uma comporta plana retangular na posição vertical.

/%

/m

/9b

f$Sb

£®b

f^b

p

pb

ps


Aforça resultante exercida pela água sobre a comporta é dada por

F=jjp(h)dA =jHpghLdh

H2F=PgLT

Aprofundidade do ponto de aplicação da força resultante, ou seja, a profundidade do centro de pressões, é obtidaatravés da relação

hcpF =jjhdFA

de forma que

hpghLdhJt)

resultando

h =^cp , H2

PgL —

K=j"

Comoa água é um fluido incompressível e a comporta é plana, também podemos determinar a força resultante Faplicando a Eq. (3.7.13), que pode ser escrita da seguinte forma

* Pcenlróide ^

Da Figura 3.10, tem-se que

Hr centróide " o -»

A = LH

resultando

F =pgL —

Aprofundidade do pontode aplicação da força resultanteF, comoa águaé incompressível e a comportaé plana, também pode ser calculada pela relação

f* hcp =h+Í-P h Ap

onde:

(P - Hh = — é a profundidade do centróide da comporta;

0^i

0^

p

A = LH é a área da comporta; eIcc é o segundo momento da área A da comporta em relação ao eixo cc que passa pelo centróide.

Considerandoa Figura3.11,0 segundo momentoda área A é dado por

L=jjy2dAA

46- Capítulo Três

dy. \\\\\\\

de forma que

Assim, tem-se que

resultando

dA

\ ^ v v vT

H/2

H/2

1Figura 3.11 Vista de frente da comporta com o eixo ccque passa pelo centróide.

L =Jh y2Ldy = LW

12

K> =k +n =

LW

tf , "12"2 H

LH

3.8 EMPUXO EFLUTUAÇÃOUm corpo que está imerso num fluido ou flutuando na superfície livre de um líquido está submetido a uma força

resultante devida àdistribuição de pressões ao redor do corpo, chamada de força de empuxo. Aforça de empuxo numcorpo submerso édada pela diferença entre acomponente vertical da força devida àdistribuição de pressões que atua nasua parte inferior e_a componente vertical da força devida àdistribuição de pressões que atua na sua parte superior.

Consideremos ocorpo cilíndrico com base de área Ae altura h, na posição vertical, constituído de um material commassa específica pc submerso em um líquido com massa específica pque está em repouso, conforme é mostrado no esquema da Figura 3.12. Aforça resultante horizontal devida àdistribuição de pressões ao redor do corpo énula, pois osplanos horizontais são planos isobáricos. Aforça resultante vertical exercida sobre ocorpo pela distribuição de pressõesé dada por

mas tem-se que

de forma que

e, como o volume Vdocorpo submerso é dado por

fe = (Pi - Pi) A

Pi -P2 = Pgh

FE = pghA

V = /iA

(3.8.1)

(3.8.2)

(3.8.3)

(3.8.4)

rm

0ãb

/Sn

/f%

f^b

»*%

fZitb

f^\

r r

p

p

pb

0b

p

p*

P

0bk

p

\f^

ps

ps

jp^

£&>


rS.L

^x^x^/c^tx^/t^A^cx^^x^^x^x^t^, Líquido

Figura 3.12 Corpo cilíndrico, na posição vertical, imerso num fluido em repouso.

ultares

Fe = Pg V (3.8.5)

AEq. (3.8.5)é umaexpressão matemáticado princípio de Arquimedes, que dizque um corpo submerso está submetidoa umaforça desustentação, chamada deforça deempuxo, com módulo igual aopeso dofluidodeslocado. A forçade empuxoque atua sobreum corpoimersonum fluido em repouso tem a direçãoda vertical com sentidode baixo paracima,e o seupontode aplicação está localizado no centro de gravidade do volume de fluido deslocado.

Nassituaçõesem que a massaespecíficado líquido é maior que a massaespecíficado corpo submerso, resultaque ocorposobee ficaem flutuaçãona superfície livre submetidoa uma força de empuxo, com móduloigual ao pesodo fluidodeslocado, dada por

f£ = PgVs (3.8.6)

onde Vsé o volume da parte submersa do corpo.

Algumas Considerações Básicas sobre Estabilidade de Corpos Imersosou em Flutuação

Quando um corpo está em equilíbrio num fluido, imerso ou em flutuação, o módulo de seu pesoé igual ao módulo daforçade empuxo exercida pelo fluido.

A estabilidade de um corpo imerso ou em flutuação dependedas posições relativas do centro de gravidade do corpo(ponto de aplicação do peso) e do centro de gravidade dovolume de fluido deslocado (ponto de aplicação da força deempuxo), que é chamado de centro de empuxo.

Um corpo imerso está em equilíbrio indiferente quando o centro de gravidade do corpo e o centro de empuxo sãocoincidentes. Um corpo submerso está em equilíbrio estável quando o seu centro de gravidade localiza-se diretamenteabaixo do centro de empuxo.

De uma maneira geral, a estabilidade (ou instabilidade) é determinada pela existência (ou inexistência) de um momentode força restaurador que surge quandoo centrode empuxo e o centrode gravidade docorposaemdoalinhamentovertical.

Para um balão na atmosfera e para um navio em flutuação na superfície livre da água, por exemplo, verifica-se queestão em equilíbrio quando o peso e o empuxo são iguais em módulo e os centros de gravidade e de empuxo estão comalinhamentovertical. Para o balão, tem-se que a massaestá praticamente localizada no cesto que fica dependurado. enquanto quase todoo volume do sistemaestá no balão, propriamente, de forma que o centro de gravidade fica localizadoabaixo do centro de empuxoe, portanto, quando ocorre uma inclinaçãocria-se um momento de força restaurador cujatendência é restabelecer o alinhamento vertical.

Parao casode navios em flutuação, geralmente o centro de gravidade está localizado acima do centro de empuxo. demaneira que há um limitede inclinação paraa existência de um momentode força restaurador. Paraângulos de inclinação maiores que esse limite, cria-se um momento de força que fazo navioemborcar.

f(w

48 Capítulo Três

3.9 BIBLIOGRAFIA

FOX, R. W. &MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio deJaneiro, 1988.ROBERSON, J. A. &CROWE, C.T. Engineering Fluid Mechanics. Houghton Mifflin Company, Boston, 1975.SHAMES, I. H. Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blücher, SãoPaulo, 1973.SISSOM, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.STREETER, V. L. &WYLIE, E. B.Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, 1982.VENNARD, J. K. &STREET, R. L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1978.WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976.

f*%i

3.10 PROBLEMAS

3.10 recipiente mostrado noesquema da Figura 3.13 estápressurizado, de forma que a água sobeumaalturah = 2mno tubo manométrico. Sendo patm = 101,3 kPa e págua =1000 kg/m3, determine a pressão noponto A.

3.4 Determine a pressão relativa no ponto A na água contida na câmara pressurizada mostrada no esquema daFigura 3.15. Considere que: pK = 1000 kg/m3, pM =13,6 pA,g = 9,8 m/s2, hx = 20 cm, h2= 15cm e h2 = 30 cm.

\ ' 'atm

< h

' 1

|patm r®b

/

Ar -

h3 Água

PA

— Mercúrio

PM

"3|

Ar /

Água A+'^

:/t/t* Água /t-t/c/e^tisçszstst PA

i

*1 ^%

^o///n/y

Figura 3.13 Figura 3.15

• >\ -•- ' /^S

Resp.:pA= 120,9 kPa

3.2 Considere um tanque, com fundo horizontal, que contém água até a alturaH,abertoparaa atmosfera.

a) Determine a pressão relativa no fundo do tanque;b) Determine opeso da coluna de água que está sobre o

fundo por unidade de área; ec) Compare os resultados dos itens (a) e (b), e interpre

te fisicamente.

3.3 A Figura 3.14 mostra um esquema de um recipientepressurizado contendo água, com um manômetro de tuboem "U" conectado na altura do ponto A. Determine a pressão existente no ponto A.

Ar

Água'Ot^ft/Cxt

/tstiszA • •*-/z-/*LA'ststst A't/t/t/c/t/i K

l/V/V/v'/

Figura 3.14

Titm

1Mercúrio

'M

Resp.: pA = 20972 Pa

3.5 O tanque mostrado noesquema da Figura 3.16 contém umóleo commassa específica p. Determine o móduloda força resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.

'atm

Ar

L&*st Ój?° 1/c/txct

-/c^/t.

./C/t/Ç^t/C

Figura 3.16

I).,Resp.: F = pg\ h+ L+

3.6 O tanque pressurizado mostrado na Figura 3.17 contém umacamada de água e outrade óleo com pesoespecí

r&$\

0*1

r

0^

p

p

p\

0^

P*

ffSN

fíco 7óieo = 0.8 yágua. Determine o módulo da força resultante exercida pela ágya sobre a janela quadrada de lado asituada na parede vertical do tanque.

Resp.: F

Figura 3.17

y.wfe +y*«(o,8L1+ £*+!)

atm

M

a-

3.7 0 tanque pressurizado mostradono esquema da Figura 3.18 contém uma camada de água com massa específicapA e outra de óleo com massa específica pó)c0 = 0,8pA. Determinea força resultanteexercida pelaáguasobrea janelaquadrada de lado L situada na parede vertical do tanque.

atm

Mercúrio

Figura 3.18

3.8 Considere o tanque de base quadrada de lado L mostrado no esquema daFigura 3.19. Determine:

a) o diagrama nV nressões sobre o fundo inclinado;b) a força resultante exercida pela água sobre o fundo in

clinado;

Figura 3.19


c)a inclinação dasuperfície livre daágua para ocaso deo tanque estarcom aceleração a constante para a direita; e

d) sea altura manométrica (íi, + d2) dasituação do item(c) será maior, menor ou igual àquela do caso do tanque emrepouso.

Resp.: b) F = Pa«m + PMgK +d2)-pgd2 +

pgLtgB ü

COS d

c) a = arctg—g

3.9 Considere a comporta retangular, de largura b e alturaL, articulada no pontoA, mostrada no esquema da Figura3.20. Determine:

a) o diagrama de pressões relativas exercidas pela águasobre a comporta;

b)a força resultante exercida pelaágua sobre a comporta;

c) o momento de força (torque). em relação ao pontoA,exercido pela água sobre a comporta; e

d) a força que deve ser aplicadano ponto B para mantera comporta fechada. Despreze o peso da comporta.

//////////////// 7777

Figura 3.20

Resp.: b) F = pgílbL + pgb— sen0

. _ . UU Vsondc) MK = pgb\ í-

., _ . . H L , Lr sen 6o» fh = Pg[l\ — + —

3.10 A Figura 3.21 mostra um esquema de uma comporiaretangular, de altura // e largura L. articulada no ponto \.na posição vertical. A massa específica do fluido varia linearmente com a profundidade segundo a relação p = (> ~ch. onde p„e c são constantes. Determine a força resultante e o momento de força em relação ao ponto A exercidospelo tluido sobre a comporta.

50 Capítulo Três

S.L.

Fluido

P

de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Deter-mine a força resultante exercida pela água sobre a janela ea profundidade de seu ponto de aplicação.

H Resp.: F = 30772 N

Figura 3.21

. F_fhgLH2 | cgLW"26

M_(hgLW | cgLW3 8

Resp

1

3.11 AFigura 3.22 mostra umesquema de umajanela quadrada de lado L = 2 m, localizada na parede vertical de umtanque comágua e aberto paraa atmosfera. Determine a forçaresultante exercida pela água sobre ajanela ea profundidadede seu ponto de aplicação. Considere pá = 1000 kg/m3.

S.L

Água

água

11

////////////////////////Vista frontal

Vista lateral

Figura 3.22

Resp.: F = 39200 Nhcp= 1.33 m

3.12 AFigura 3.23 mostra umesquema de umajanela circular de diâmetro D = 2 m. localizada na parede vertical

S.L.

Água

água

11__X

/777777777777Z7Z77777777Vista lateral

Figura 3.23

Vista frontal

hcp = 1,25 m

3.13 A Figura 3.24 mostra um esquema de uma janela triangular de base B = 2 m e altura H = 2 m, localizada naparedevertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine a força resultante exercida pela águasobre a janelae a profundidade de seu ponto de aplicação.

S.L.

Água

água

////////////////////////Vista frontal

Vista lateral

Figura 3.24

Resp.: F = 26133 Nhcp= 1,500 m

3.14 A Figura 3.25 mostra um esquema de umajanela triangular de base 8 = 2 m e altura fí=2m, localizada naparede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine a força resultante exercida pela águasobre a janela e a profundidade de seu ponto de aplicação.

rS.L.

Água

água

////////////////////////

Vista lateral

Figura 3.25

Resp.: F= 13067 N/i = 1,000 m

Vista frontal

sWtb

•^t)

/^\

^1|

/!%

fívb

/Gtb

f*$b

e

4ét

9

p.

3.15 A Figura 3.26 mostra um esquema da vista lateral deumacomporta quadrada de lado L, articulada no pontoA,na posição vertical. Determine:

a)a distribuição de pressões relativas exercidas pela águasobre a comporta;

b)a força resultante exercida pela água sobre acomporta;c) o torque(momento de força), em relação ao ponto A,

exercido pela água sobre a comporta; ed) a força que deve seraplicada no ponto Bpara manter

a comporta na posição vertical.

.S.L

Resp, b) F^=pgU\lí--

1 ''f ~6d)FB=pgu(tÍ-k

Figura 3.26

3.16 Considere o esquema da Figura 3.26 do problemaanterior. Se a comporta estiver articulada no ponto 8, determine a força que deve ser aplicada no ponto A paramantê-la na posição vertical.

Resp.: FA - pgL-\ — - -

3.17 Considere a Figura 3.27. Dada a altura L que a águasobe no manômetrocom extremidadeaberta paraa atmosfera, determine o nível /; máximo que a água do reservatório àesquerda podeatingir, antesque a comporta quadrada de ladoa, articulada no ponto O. gire no sentido anti-horário.

Figura 3.27

Resp.: h = L + -

3.18 A Figura 3.28 mostra um esquema da vista lateral deuma comportaquadrada de lado L. articulada no ponto O.


Considerando que a água tem massa específica p e o cabotem massa desprezível, determine o volume V do caixãocheio de ar. de peso VV, necessário para manter acomportafechada na posição vertical.

'-yz. Água tyzsi'St. p sZstLS-

S.L.

/

Zyzyzyzyrj^*)^. i .Cabo

Ü wResp.: V = — + —

3 pg

Figura 3.28

3.19 A Figura 3.29 mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta retangular de altura L c largura 8 está articulada no eixo O. na base, e o bloco devolume V. constituído de um material com massa específica pB, está imerso na água. O cabo possui massa desprezível. Estando a comporta na posição vertical, determine:

a) a força resultanteexercida pelaáguasobrea comporta.b) o momento de força, em relação ao ponto O. dev idoà

distribuição de pressões exercida pela água: ec) o volume mínimo V do bloco necessário para manter

a comporta na posição vertical.

777777777777777777777777777777777777777777777

Figura 3.29

Resp.: a) F = pá_ua gBH1

b) M0 =Pi^gBH'

c) V = A* BIV

[Pb ,) 6L

^W^WW"^ v Capítulo 4 ) ""-^ffivsig

DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DEESCOAMENTOS j ^

37&7£ZÍ~' •:hV—' •. -

:-■■.'♦#:. • *>• '".

•^

V = V(.x-, y. r. í) (4.2.2)

Na análise de escoamentos, a descrição de Euler é, em muitas situações, mais adequada, pois é difícil identificar eseguir as partículas fluidas ao longo de suas trajetórias e, também, porque as medidas das propriedades são, em geral,mais facilmente realizadas em pontos fixos no campo de escoamento.

Aaceleração das partículas fluidas éobtida determinando-se ataxa de variação do campo de velocidade de escoamento expresso pela Eq. (4.2.1). Assim, ocampo de aceleração das partículas fluidas é determinado por

de forma que

ã = —V[x(t). v(í). z\t). t] (4.2.31dt

- =?V_dx + dV^dy dV dz dv_dx dt d\ dt - U dt

f$!$b

/^\

4.1 INTRODUÇÃO Âdescrição do escoamento de um fluido é mais complexa que aanálise do movimento de uma partícula ou de um corpo "^rígido. Na mecânica, descreve-se omovimento de uma partícula ou de um corpo rígido ao longo de sua trajetória, ou seja, asdetermina-se asua posição easua velocidade em função do tempo. No escoamento de um fluido, tem-se um número muitogrande de partículas, além dos deslocamentos relativos aleatórios das moléculas, oque torna praticamente inviável adescri- ^ção do escoamento de um fluido através dos movimentos individuais de suas partículas ao longo de suas trajetórias. •*%

No estudo da mecânica dos fluidos, apresentaremos uma formulação adequada para aanálise de escoamentos. Nestecapítulo, faremos uma descrição e uma classificação mais qualitativa de escoamentos dos fluidos. ^

S*3b

4.2 CAMPO DE VELOCIDADE DE ESCOAMENTO. ACELERAÇÃO ^Pode-se descrever omovimento de um fluido através de dois métodos diferentes: as representações de Lagrange e deEuler. Adiferença básica entre essas duas representações está na maneira em que aposição éespecificada no campo de êscoamento. Na representação de Lagrange, descreve-se omovimento das partículas fluidas ao longo de suas trajetórias êm função do tempo, ou seja, as coordenadas de posição das partículas são funções do tempo. Assim, ocampo de velocidade de escoamento, na representação de Lagrange, considerando coordenadas retangulares, pode ser escrito como ^

'^

V = V[x(t), r(í). z(t). t] (4111

Na representação de Euler, descreve-se omovimento do fluido àmedida que as partículas passam por determinados *%pontos em função do tempo, ou seja, as coordenadas de posição são variáveis independentes, de forma que ocampo develocidade de escoamento, considerando coordenadas retangulares, pode ser expresso como ^

*$s

•v f dx dv dz •%Alas, tem-se que —-, -j- e — são ascomponentes escalares da iocidade daspartículas, designadas porV'(1 \\ e\ . '

respectivamente, de maneira que a Eq. (4.2.4) pode serescrita como ^

+ -T- (4.2.S) ^dtax dy az

9

r

e

r

r

r

9

r

r

9

r

r

r

9

t

«

99

9

9

9

99

-

9

9

9

99

r

r

rDescrição e Classificação de Escoamentos 53

AEq. (4.2.5) é uma equação vetorial. de forma que ela pode ser decomposta em três equações escalares que, emrelação a um sistema de coordenadas retangulares, são dadas por

A Eq. (4.2.5) pode ser escrita como

onde:

dx dy dz

\, dVy r, 9V dV]Vx —^ + V, —y- + V. —!

dx ' dy • dz

1 dx ' dy ' dz

conveetiva + "local

dV,dt

+

dt+

dvzdt

+

' d\\ .. dV ... dV^dx dy - dz

dy_dt

(4.2.6a)

(4.2.6b)

(4.2.6c)

(4.2.7)

(4.2.Í

(4.2.9)

Aaceleração convectiva éa taxa devariação da velocidade das partículas fluidas em função da mudança de posição nocampo de escoamento. Aaceleração local éa taxa de variação da velocidade das partículas fluidas em um ponto do campode escoamento.

A diferenciação em relação ao tempo na Eq. (4.2.3) é chamada de derivada material ou substantiva, e costuma ser

representada por ——, no lugar de —, para salientar que essa derivada em relação ao tempo é realizada seguindo-se apartícula fluida ao longo de sua trajetória. Assim, o operador derivada material é dado por

dD_Dt

^i+vi +i-.i.dx d^ dz

+dt

(4.2.101

Esseoperador derivada material será utilizado no Capítulo 6. Introdução à Análise Diferencial de Escoamentos.

4.3 DESCRIÇÃO ECLASSIFICAÇÃO DE ESCOAMENTOSNesta seção, apresentaremos alguns conceitos úteis para a representação de escoamentos, uma classificação segundoalguns critérios e uma descrição mais qualitativa do movimento dos fluidos.

Atrajetória de uma partícula fluida consiste nocaminho percorrido pela partícula. Experimentalmente, pode-se determinar as trajetórias através de traçadores, que sãocolocados no fluido e seguidos, em função do tempo, ao longo doescoamento. Traçadores sãoelementos que podem ser identificados no escoamento e que não perturbam significativamente o movimento do fluido.

Linha de corrente, num instante de tempo, é uma linha imaginária traçada nocampo de escoamento, de forma que.em cada ponto, osvetores velocidade de escoamento são tangentes a ela. Assim, as configurações de linhas de correntetornecem intormações sobre as direções e as velocidades dos escoamentos. A Figura 4.1 mostra uma configuração delinhas de corrente de um escoamento em torno de um cilindro.

Uma linha de corrente pode ser descrita em função das componentes da velocidade de escoamento num ponto.relacionando as componentes da velocidade coma geometria do campode escoamento. Consideremos a linha de corrente (L.C.) do escoamento bidimensional mostrado na Figura 4.2, descrito em relação a um sistema de coordenadasretangulares.

54 Capítulo Quatro

Figura 4.1 Uma configuração de linhas de corrente de um escoamento ao redor de um cilindro.

Figura4.2 Linha de corrente comas componentes Vx e Vy da velocidade V no ponto P.

O vetorvelocidade de escoamento Vé tangente à L.C., de forma que

- dr dxr . dy-dt dt dt

sendo

ái =vdt x

ái =vdt y

(4.3.1)

(4.3.2a)

(4.3.2b)

As Eqs. (4.3.2), que fornecem ascomponentes davelocidade, podem sercombinadas entre si, pois descrevem o movimento damesma partícula fluida tendo um intervalo detempo dt comum, deforma que, para um escoamento bidimensional, tem-se

dx _ dy~V~~V* x r y

Para umescoamento tridimensional, as equações das linhas de corrente são dadas por

dx d_ ay _

VL V. V.

(4.3.3)

(4.3.4)

As linhas decorrente nunca secruzam, pois uma partícula fluida não pode terduas velocidades diferentes simultaneamente.

Tubo decorrente é um tubo, cuja parede é constituída pelas linhas decorrente quepassam por uma curva fechada nocampo de escoamento. Esse conceito é útil porque, como os vetores velocidade deescoamento são sempre tangentes àslinhas decorrente, tem-se que não há fluxo de massa fluida através daparede de um tubo decorrente.

Linha deemissão deum ponto, num instante detempo, pode ser definida como a linha formada por todas aspartículas fluidas que passaram anteriormente pelo ponto. Experimentalmente, pode-se determinar a linha de emissão de umponto do campo de escoamento injetando, continuamente, um traçador no ponto considerado. Afumaça expelida poruma chaminé é a linha deemissão dessa chaminé, pois todas as suas partículas passaram anteriormente pela boca dachaminé.

AFigura 4.3mostra a linha de emissão de uma pequena seção de umcanal onde escoa água. Os traçadores utilizadossãobolhas de hidrogênio de volume muito pequeno, que sãoliberadas em um fio catodo muito fino colocado dentrodoescoamento. Essas bolhas de hidrogênio, produzidas nofio catodo emfunção daeletrólise da água, são levadas pelo escoamento e devidamente iluminadas, constituindo, assim, um traçador domovimento dofluido. Afotografia mostrada naFigura 4.3 foi tirada pelo autor no Laboratório de Fenômenos de Transporte do Departamento de Hidráulica e Saneamento da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, utilizando a técnica de visualização de escoamentos através de bolhas de hidrogênio.

S^b

i^b

^$fi

^É

f^b

/*%

S9\

i

/^

/5^V

rr

r

r

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

99

9

•

9

9

99

99

99

9

9

9

9

9

9

9

9

•»

Descrição e Classificação de Escoamentos 55

Figura 4.3 Linha de emissão de uma pequena seção deum canal onde escoa água. Fotografia tirada pelo autor noLaboratório de Fenômenos de Transporte do DHS/EE/UFRJ.

Quando o escoamento é invariante com o tempo (regimepermanente), tem-se que as trajetórias, as linhas de correntee as linhas de emissão, com origem no mesmo ponto, são coincidentes.

Os escoamentos podem ser classificados, em função de alguns critérios, de diversas maneiras, tais como: permanenteou transitório; incompressível ou compressível; uniforme ou variado; uni, bi ou tridimensional; laminar ou turbulento:idealou viscoso, e de entrada ou estabelecido. A seguir, apresentaremos uma breve descrição desses escoamentos.

Um escoamento é chamado de permanente ou estacionário quando as suas propriedades, em qualquer ponto, permanecem invariantes com o tempo. Se ocorrer variação das propriedades em um ponto, em função do tempo, o escoamentoé denominado transitório ou não-permanente.

Escoamento incompressível é aquele no qual as variações de massa específica são insignificantes. Tem-se um escoamento compressível quando as variações de.massa específica não podem ser desprezadas. Os líquidos, em geral, sãoincompressíveis e escoam de forma incompressível. Os gases são compressíveis. mas em muitas situações pode ocorrerum escoamento incompressível de um gás. o que acontece quando as velocidades de escoamento são pequenas em relação à velocidade de propagação do som no fluido.

Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para a especificação do campo de velocidade. Num escoamento unidimensional, desprezam-se as variações develocidade e, geralmente, das outras propriedades, transversalmente à direção do escoamento.

Escoamento uniformeé aquele no qual o campode veiores velocidade de escoamento no instante considerado é cons

tante ao longo do escoamento, ou seja, quando = 0, onde s é uma coordenadaao longo do escoamento. Denominais

se escoamento variado ou não-uniforme aquele em que os vetores velocidade, no instante de tempo considerado, variamao longo do escoamento.

Observa-se que os fluidos, em função das condições do escoamento, podem escoarde uma forma suave e bem ordenada ou de uma maneira irregular, com turbilhões ou redemoinhos. Esses dois tipos de escoamento são chamados delaminar e turbulento, respectivamente. No escoamento laminar, o movimento do fluido se passa como se o fluido tosseconstituído de lâminas paralelas que deslizam umas em relação às outras, sem ocorrer mistura macroscópica. No escoamento turbulento, as partículas fluidas se movem em trajetórias irregulares e ocorre mistura macroscópica, geralmenteatravés de turbilhões.

Osborne Reynolds foi quem primeiro estudou quantitativamente a ocorrência dos escoamentos laminar e turbulentoatravés da experiência esquematizada de torma simplificada na Figura 4.4. O fluido escoanoduto transparente horizontal com vazão (velocidade) controlada por um registro. Para se observaro comportamento do escoamento é injetado umlilete do mesmo fluido com corante no centro de uma seção do duto. conforme é mostrado na Figura 4.4.

Verifica-se que. para pequenas velocidades, o corante é levado pelo escoamento e torma um lilete retilíneo. de maneira que não ocorremistura macroscópica, existindo, assim, umescoamento laminar. Aumentandoa vazão (velocidade >.observa-se uma mudança no comportamento do escoamento.

Paravelocidades progressivamente maiores observa-se. primeiro, que o filete fica instável, depois, sinuosoe. posteriormente, passa a ocorrer mistura macroscópica, indicando, assim, um escoamento turbulento.

Rcvnolds observou que o escoamento no interiorde um duto de seção circular de diâmetro constante é laminar outurbulento em função de uma relação entre a velocidade de escoamento, o diâmetro interno do duto. a massa especificae a viscosidade dinâmica do fluido. Essa relação, que é adimensional. chamada de número de Reynolds, representada porRe. é dada por

pVD4 í Vi

56 Capítulo Quatro

Fluido com corante

Fluido

P

r~T

Fluido com corante

FluidoPu

Re<2100

Escoamento laminar

Registro

Re >2500 Registro

Escoamento turbulento

Figura 4.4 Esquema simplificadoda experiência de Reynolds.

onde:

pé a massa específica do fluido;V é a velocidade média de escoamento no duto;D é o diâmetro interno do duto; ep é a viscosidade dinâmica do fluido.

Para escoamentos no interior de dutos com seção circular, verifica-se que, para Re < 2100, oescoamento, em geral, é laminar. Para Re > 2500, ocorre, geralmente, escoamento turbulento. Observa-se que existe uma região de transição de regime de escoamento para 2100 < Re < 2500 na qual o escoamento pode ser laminar ou turbulento emfunção das condições ambientes, principalmente da presença de vibrações no sistema. Pesquisadores, utilizando equipamentos semelhantes ao de Reynolds, com condições experimentais ótimas nas quais conseguiram minimizar as vibrações no equipamento eno fluido, observaram regime laminar de escoamento para números de Reynolds maiores de30000.

Deve-se observar que oparâmetro com dimensão de comprimento do número de Reynolds depende da geometria dosistema. Onúmero de Reynolds pode ser interpretado como uma relação entre as forças de inércia e as forças viscosasexistentes no escoamento. Num escoamento laminar, que ocorre para números de Reynolds baixos, tem-se que a turbulência é amortecida pelos efeitos viscosos.

Os fluidos reais são viscosos, entretanto observa-se que em alguns escoamentos (ou em determinadas regiões de umescoamento) não ocorre a manifestação dos efeitos viscosos. Nesses casos em que não ocorre amanifestação dos efeitosviscosos, considera-se o escoamento ideal ou não-viscoso.

Os fluidos apresentam apropriedade de aderência àsuperfície sólida com aqual estão em contato, de forma que, numescoamento, uma película do fluido que está em contato direto com uma superfície sólida possui a mesma velocidadeque essa superfície. Em outras palavras, não ocorre deslizamento do fluido sobre uma superfície sólida.

Em muitas situações, pode-se dividir ocampo de escoamento em duas regiões principais. Junto às superfícies sólidasexiste uma região com gradientes de velocidade no escoamento, havendo, assim, tensões de cisalhamento. Essa regiãocom gradientes de velocidade de escoamento, na qual existe manifestação dos efeitos viscosos, é chamada de camadalimite. Aregião fora da camada limite, em que não existem tensões cisalhantes (gradiente nulo de velocidade), costumaser chamada de região de escoamento ideal ou livre.

A Figura 4.5 mostra um esquema simplificado da formação de uma camada limite para o escoamento de um fluidosobre uma placa plana. Oescoamento atinge aplaca com um perfil uniforme de velocidade VQ. Como os fluidos possuema propriedade de aderência às superfícies sólidas, verifica-se que uma fina película de fluido fica aderida na placa, quee.xerce uma força retardadora sobre oescoamento, desacelerando ofluido na vizinhança da superfície sólida. Ainfluênciada placa cria uma região no escoamento com gradientes de velocidade em que existem tensões cisalhantes, ou seja, umacamada limite que aumenta de espessura à medida que o fluido percorre a superfície sólida. Fora da camada limite, oescoamento não sofre a influência da placa, continuando com um perfil uniforme de velocidade V0.

r

f^\

S^b

l^b

&^b

/!^b

*Qb

1

p

p

0*

p*

/fP^

MSS,

ívo

Descrição e Classificação de Escoamentos

Figura 4.5 Esquema simplificado da formação de uma camada limite sobre umaplaca.

57

Oescoamento nacamada limite pode ser laminar ou turbulento. Para escoamentos sobre uma placa plana, define-seo número de Reynolds como

(4.3.6)

onde a coordenada x é medida a partir do bordo de ataque da placa, na direção do escoamento sobre a placa na qual acamada limite se desenvolve, conforme é mostrado no esquema simplificado da Figura 4.5. O tipo de escoamento nacamada limite depende do número de Reynolds.

Os escoamentos internos em dutos podem ser classificados como de entrada ou estabelecido. Corisideremos umescoamento interno no duto de seção circular constante, mostrado no esquema da Figura 4.6. Antes da entrada datubulação, tem-se um escoamento livre com perfil uniforme de velocidade V0. Devido àaderência do fluido à superfície interna da parede sólida, cria-se no escoamento uma camada limite que aumenta de espessura à medida que ofluido se movimenta ao longo do duto. Após uma determinada distância daentrada do duto, a camada limite passa aocupar toda a região nointerior da tubulação. Naregião com comprimento L(, a camada limite estáemformação e tem-se escoamento de entrada. Após a distância Le, a camada limiteestá totalmente desenvolvida e o escoamento é chamadode estabelecido.

Depois do comprimento de entrada, ou seja, no escoamento estabelecido, o perfil de velocidade fica invariante aolongo de um duto de seção constante, e a forma dadistribuição real develocidade depende deo regime serlaminar outurbulento. Para um escoamento laminar num duto de seção transversal circular, a distribuição (perfil) de velocidadenuma seção é parabólica, sendo dada por

V(r)=Vm -(;)' (4.3.7)

onde V^é a velocidade de escoamento nocentro da seção. No Exemplo 4.1, apresentamos uma dedução desse perfilparabólico de velocidade.

y>>yyyy—7

Escoamento de entrada

' ' ' >~

v \ Camadamáx ~** limite

v > ' s~?~

Escoamento estabelecido

Figura 4.6 Esquema simplificado dos escoamentos de entrada e estabelecido num duto.

58 Capítulo Quatro

Paraum escoamento laminar e permanente, a velocidade em um ponto permanece invariantecom o tempo. A Figura4.7 mostra uma fotografia do perfil parabólico correspondente à distribuição real de velocidade para um escoamento laminar de água em um canal de seção retangular pequena.

Paraum escoamento turbulento, observa-se que o perfilde velocidade tende a ficar uniforme no centro da seção, masapresentando uma flutuação aleatória da velocidade instantânea em torno da velocidade média em relação ao tempo. AFigura 4.8 mostra uma fotografia do perfil correspondente à distribuição real de velocidade para um escoamento turbulento de águaem um canal de seção retangular pequena. Observa-se que, no centro da seção, há uma região que tendea um perfil uniforme, enquanto nas vizinhanças das paredes a distribuição de velocidade é parabólica. A deformaçãoapresentada no perfil é decorrente das flutuações aleatórias que ocorrem nos escoamentos turbulentos.

As fotografias mostradas nas Figuras 4.7 e 4.8 foram tiradas pelo autor, utilizando a técnica de visualização de escoamentos através de bolhas de hidrogênio, no Laboratório de Fenômenos de Transporte do Departamento de Hidráulica eSaneamento da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Figura 4.7 Fotografia do perfil parabólico correspondente à distribuição de velocidade para um escoamento laminar. Foto tirada pelo autor no Laboratório de Fenômenosde Transporte do DHS/EE/UFRJ.

Figura 4.8 Fotografia do perfil correspondente à distribuição de velocidade para um escoamento turbulento.Foto tirada pelo autor no Laboratório de Fenômenos deTransDorte do DHS/EE/UFPJ.

Exemplo 4.1

Determinação do perfil (distribuição) de velocidade para um escoamento laminar estabelecido e permanente, deum fluido newtoniano, em um duto horizontal de seção circular de diâmetro constante.

Consideremos o elemento de volume fluido cilíndrico de raio r e comprimento L, localizado no eixo longitudinal doduto, conforme é mostrado na Figura 4.9.

Sobre o elemento de volume fluido atuam as seguintes forças na direçãodo escoamento:

• força resultante de pressãoque causa o escoamento; e• força de atrito viscoso devido às tensões cisalhantes.

r-9

«I

p-

p*

p\

p\

0s

pb

pb

$4

0$\

0$\

/ps

0b

Descrição e Classificação de Escoamentos 59

\£(fl) =0

Escoamento p + An

Í^EEB-

h-^Figura 4.9 Elemento devolume fluido cilíndrico, deum escoamento laminar, localizado no eixo lon0tudinal deum duto deseção circular.

O escoamento é permanente, de forma que o balanço das forças que atuam sobre o elemento fluido na direção z édado por

resultando

yF.= Ap-nv2 - 2trrLTrz = 0

t_ = —-r

n 2L

(4.3.8)

(4.3.9)

Trata-se de um escoamento laminar e permanente de um fluido newtoniano, de forma que da lei de Newton paraaviscosidade, considerando que o fluxo de momento linearocorre no sentido contrárioao gradientede velocidade, pode-se escrever

onde pé a. viscosidade do fluido.Assim, tem-se que

resultandoa equação diferencial

a%dr

Tn = -/a-

Ap dV.—— r = — u—-=•

2L dr

_±p_2pL

rdr = -dV.

(4.3.10)

(4.3.11)

(4.3.12)

Deseja-sedeterminar a distribuição de velocidade V.(r) numa seção, de forma que uma condição de contorno é d.idapor

para r = r, tem-se que \'.= V.(r) (4.3.131

Verifica-se, experimentalmente, que a velocidadede escoamento é máxima no centro da seção, de maneira que a outracondição de contorno é dada por

para r = 0, tem-se que \'.\0) = Vn

resultando que a Eq. (4.3.12) pode ser integrada da seguinte forma:

obtendo-se

&- f' rár =- P ''<*'.luL Jo Jw*2pL

A/;V(r)=V --=í-riApL

(4.3.141

(4.3 IS

(4.3 !<>'

Os fluidos reais (viscosos) apresentam a propriedade de aderênciaàs superfíciessólidas com as quais estão em contato, de forma que na superfície interna da parede do duto a velocidade de escoamento é nula, ou seja.

V.(R) = 0 (4.3 I

60 Capítulo Quatro

de maneira que da Eq. (4.3.16) obtém-se

Vm* =TErR2 (4.3.18)4pL

/^b

Substituindo essevalor de V,^na Eq. (4.3.16), tem-se que

que pode ser escrita como

VM-vJl-U)'] (4.3.20) ôu seja, a distribuição de velocidade para um escoamento laminar, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano êm um duto de seção circular é parabólica. zm

4.4 BIBLIOGRAFIA

/si*

/5%

BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978. "^FOX, R. VV. &MCDONALD, A. T. Introdução àMecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988. ^SHAMES, I. H. Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1973. 7SISSON, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979. /*&STREETER, V. L. &WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1982VENNARD, J. K. &STREET, R. Elementos de Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1978. ^WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976. a»

4.5 PROBLEMAS*®b

^%

4.1 Explique adiferença básica entre as representações de coamento com propriedades uniformes nas seções transver- «*Lagrange ede Euler. sais (escoamento unidimensional). '

4.2 Conceitue aceleração convectiva eaceleração local. 4.7 Conceitue escoamento laminar e escoamento turbu- *%lento.

4.3 E possível ocorrer aceleração convectiva em umesco- âmento permanente? Justifique. 4.8 Descreva aexperiência de Reynolds. ^

4.4 Conceitue trajetória, linha de corrente elinha de emissão. 4.9 Conceitue camada limite de um escoamento. ^

4.5 Explique por que as trajetórias, as linhas de emissão e 4.10 Explique aformação da camada limite de um escoa- âs linhas de corrente, com origem no mesmo ponto, são co- mento sobre uma placa plana.incidentes em um escoamento em regime permanente. ***)

4.11 Conceitue escoamento de entrada e escoamento es- "^4.6 Explique a diferença entre escoamento uniforme e estabelecido num duto.

^

v Capítulo 5 /-:

9 \9

lf FORMULAÇÃO DE VOLUME DE CONTROLE

INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESCOAMENTOS NA. _r

:9

95.1 INTRODUÇÃO

Noestudo do movimento dos fluidos aplicaremos três leis físicas fundamentais:

1) Princípio de conservação da massa;2) Segunda lei de Newton para o movimento; e3) Princípio de conservação da energia.9

9Na mecânica e na termodinâmica esses princípios foram aplicados a sistemas. No estudo da mecânica dos fluidos a

abordagem de sistema se torna, em muitas situações, inadequada, porque geralmente um sistema fluido se deforma detal maneira ao longo do escoamento que deixa de ser identificável. Assim, apresentaremos um método adequado para aanálise dos escoamentos, chamado de foímulação de volume de controle.

9

95.2 SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE

Um sistema consiste em uma quantidade definida e identificada de matéria. No movimento de um fluido é praticamenteimpossível identificar um sistema e acompanhar essa quantidade delinida de matéria ao longo do escoamento, pois aspartículas fluidas possuem uma mobilidade relativa muito grande e. assim, com o tempo essas partículas acabam se dispersando e o sistema se deforma de tal maneira que deixade ser identificável.

Na análise de um escoamento, em muitas situações é mais conveniente focalizara atenção numa determinada regiãodo espaço, através da qual o fluido escoa, e descrever o movimento à medida que o fluido cruza essa região. Esse é ométodo do volume de controle.

Volume decontrole é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através da qual o fluido escoa.A superfície do contorno geométrico do volume de controle é chamada de superfície de controle, e pode ser real ou

imaginária, indeformável ou deformável, estacionaria ou em movimento, conforme a conveniência para o problema em*+• estudo.

A Figura 5.1 mostra uma superfície de controle adequada para a análise de um escoamento no interior de um duto.Observe que essa superfície de controle tem uma seção real coincidente com a superfície interna da parede da tubulaçãoe duas seções imaginárias, verticais e transversais ao escoamento, através das quais o fluido escoa.

Como o fluido está em movimento, têm-se diferentes sistemas ocupando o volume de controle em diferentes instantes de tempo.9

9r— Parede do duto

9

9* À , i Volume de controle

g l\ 1 ' (v.c.

•

9

9

9

99

9

Escoamento \ \ \ i \ / Escoamento-•

\ J \ J

Superfície de controle(S.C.)

Figura 5.1 Superfície de controle para a análise de um escoamento num duto.

62 Capítulo Cinco "1f9l\

5.3 VAZÃO E FLUXO DE MASSA ^Consideremos o escoamento de um fluido através de umelemento de áreadA circular de umaseção de umasuperfície 'ide controle (S.C), conforme é mostrado no esquemada Figura 5.2, onde: ^%

dA é um elemento deárea circular de uma seção da S.C; ^n é o vetor unitário normal a dA; '

V é o vetor velocidade de escoamento; e

déo ângulo formado entre Ve n.^\

As partículas fluidas que cruzam o elemento dA, no intervalo de tempo dt, percorrem uma distância ds dada por '/*%

ds = Vdt (5.3.1) *"*%

Amassa fluida queatravessou o elemento dA, nointervalo de tempo dt, ocupa umcilindro que tembase com área ABdada por /

AB = dA coso (5.3.2) ^de forma que ovolume de fluido que escoou através do elemento de área dA, nesse intervalo detempo dt, é ^

dV = dA ds cos B= dAVdt cos 6 (5.3.3) 1

A componente da velocidade de escoamento na direção normalao elemento de área dA é dada por /

Vn = Vcos0 (5.3.4) ^de maneira que '

dV = VndAdt (5.3.5) ^O volume de fluido que escoa atravésde uma seção de áreaA, no intervalo de tempo dí, é obtido pela integração da '

Eq. (5.3.5) ao longo da seção, de forma que <**ty

dV = j|(v.«)área

^daseção

^\

dA dí (5.3.6)

Avazão Q, numa seção,é o volume de fluido que escoaatravés da seçãopor unidade de tempo. Assim, da Eq. (5.3.6) /%,tem-se que a vazão é dada por

Q= jj(V-n)dA (5.3.7) ^da icçâo /

Para um escoamentocom distribuição de velocidade uniforme na seção, a vazão é dada por '" -- ^%

Q = VnA (5.3.8) -

Linhas decorrente

v

Figura 5.2 Escoamento através de um elemento de área dA circular de uma seção de uma S.C.

#*•

r

ps

r

P

P

P

p

p

P

p

p

Introdução à Análise de Escoamentos na Formulação de Volume de Controle 63

onde:

V„éa componente da velocidade de escoamento na direção normalà seção; eA é a área da seção.

Ofluxo demassa m, numa seção,é a massa de fluido q*ue escoaatravés da seçãopor unidadede tempo. Da Eq. (5.3.7),considerando a definição da massaespecífica p, tem-se que o fluxo de massaé dado por

m = \\p{Vn)arca

da seção

dA

Quando o perfil (distribuição) de velocidade é uniforme na seção, resulta

m = pVaA

(5.3.9)

(5.3.10)

O fluxo de massa dado pela Eq. (5.3.9) costuma ser chamado de fluxo convectivo, no qual o transporte de massa édecorrente do campo de velocidade de escoamento.

As distribuições (perfis) reais de velocidade numaseção geralmente não são uniformes, pois os fluidos viscosos apresentam a propriedade de aderência às superfícies sólidas com as quais estão em contato. O conceito de perfil uniformede velocidade numa seção no interior de um duto é um artifício para simplificar os cálculos e consiste na velocidademédia de escoamento na seção.

Determina-se a velocidade médiade escoamento a partirda igualdade das vazões dadas pelo perfil realde velocidadee pelo perfil uniforme de velocidade média na seção.

Exemplo 5.1

Determinação da velocidade média, numaseção, de umescoamento laminar, totalmente desenvolvido e em regimepermanente, nodutode seção circular com diâmetro constante mostrado noesquema da Figura 5.3. NoCapítulo 4, foi deduzida a distribuição de velocidade para esse tipo de escoamento queé dada por

-mV(r) = Vmill

Determina-se a velocidade média a partirda igualdade das vazões dadas peladistribuição real de velocidade de escoamento e peladistribuição uniforme de velocidade média, de forma que

V-*. =ttR

VL. Améd •ii \'lr)</.\

.f/V, r dr dd =

Perfil real de velocidadepara escoamento laminar

Perfil uniforme de

velocidade média

Figura 5.3 Esquemade um escoamentolaminar num duto de seção circular.

64 Capítulo Cinco

Operfil uniforme de velocidade média que fornece amesma vazão que operfil real de velocidade (que éparabólicopara ocaso de um escoamento laminar) tem velocidade uniforme igual àmetade da velocidade máxima que ocorre nocentro da seção transversal no interior do duto. Deve-se observar que essa relação Vmid =-^ só éválida para este casode seçjão circular,,.pois.depende da geometria da seção.

5.4 EQUAÇÃO BÁSICA DA FORMULAÇÃO DEVOLUMEDECONTROLE

Na análise de escoamentos na formulação de volume de controle trataremos com fluxos de massa, de momento (quantidade de movimento) linear ede energia que atravessam uma determinada superfície de controle. As propriedades massa(M), momento linear (P = MV) eenergia (£) são grandezas extensivas ^ue têm como suas grandezas intensivas correspondentes aunidade (1) (massa por unidade de massa), avelocidade (V) eaenergia específica (e), respectivamente.

As grandezas extensivas dependem do volume e representam propriedades do sistema como um todo, enquanto asgrandezas intensivas representam propriedades de ponto. Representaremos uma grandeza extensiva genérica pela letragrega beta maiúscula (B) esua grandeza intensiva genérica correspondente pela letra grega beta minúscula (/3). Comouma grandeza intensiva /3 genérica é igual a sua grandeza extensiva Bcorrespondente por unidade de massa, existe aseguinte relação entre elas:

B=JJJ,3d,B=[[f,8páVvolume

(5.4.1)

ondepé a massa específica do fluido.Na dedução da equação básica daformulação de volume de controle vamos considerar um sistema fluido em movi

mento e analisar a taxa de variação de uma grandeza extensiva Bgenérica à medida que o fluido escoa através de umasuperfície de controle, realizando, então, a passagem da descrição de sistema para ométodo de volume de controle.

Para facilitar a visualização, vamos considerar uma situação simples. Consideremos o escoamento de um fluido nointerior de um duto cilíndrico de parede impermeável, com um campo de velocidade de escoamento V descrito em relação a um referencial de coordenadas r ez, através de uma superfície de controle estacionaria, conforme é mostrado noesquema da Figura 5.4.

Osistema considerado éamassa fluida que ocupa ovolume de controle no instante de tempo í, de forma que ocontorno do sistema, neste instante de tempo í, écoincidente com asuperfície de controle indicada pela linha tracejada naFigura 5.4. Ofluido está em movimento, de maneira que no instante de tempo í + Aí osistema ocupa outra região noespaço, sendo seu contorno representado pela linha traço-ponto na Figura 5.4. Observe que odeslocamento do sistemano intervalo de tempo Aí está representado considerando-se avelocidade média de escoamento do fluido na seção.

AFigura 5.4 apresenta três regiões distintas. Osistema considerado no instante de tempo í ocupa as regiões 1e 2,enquanto o mesmo sistema no instante de tempo t + Aíocupa as regiões 2 e 3.

.Superfície de controleestacionaria

Contorno do sistema noinstante de tempo t

I— Parede impermeável do duto

Contorno do sistema noinstante t+At

Figura 5.4 Esquema de um escoamento de um fluido através de uma superfíciede controle.

•"%

^%

sz$b

i^b

fõRb

f®b

(<%

/9\

/9\

/9\

/^b

rp

f* j Introdução à Análise de Escoamentos naFormulação de Volume de Controle 65p {p* Assim, uma grandeza extensiva Bgenérica do sistema, no instante de tempo f, pode serescrita como

p B, = B,, + B2, (5.4.2)

p No instante detempo í + Aí, osistema considerado ocupa as regiões 2e 3, demaneira que essa grandeza extensiva B~ genérica pode ser expressa como

p B,+Al = B2,i+ai + B3,l+At (5.4.3)p Subtraindo a Eq. (5.4.2) da Eq. (5.4.3) edividindo pelo intervalo de tempo Aí, obtém-se

f* Bt+at ~ Bt _ B2j+iu + Bj^^ - Bu - B2j: : (5.4.4)p Aí Aí

p Rearranjando os termos e fazendo o limite quando Aí tendea zero, resulta

^ ! lim B^~Bt =üm B^"B^ +lim B»+* "B" (545)p i a^o Aí a«-o Aí *-o Aí \Ji-Jt

f* Aequação básica da formulação de volume de controle, que fornece apassagem da descrição de sistema para ométo-^ do de volume de controle, será obtida a seguir através da análise dos termos da Eq. (5.4.5).

Matematicamente, tem-se quep

Ar-0 Aí dí

dB.f* onde a derivada Slit é a taxa devariação da grandeza extensiva Bgenérica do sistema.

* O termo

p '^ i- B2,+A( —B2, dB2r im„ Ã j (5.4.7)v -"-o Aí dí

éataxa de variação da grandeza extensiva Bna região 2. Observando aFigura 5.4, tem-se que no limite, quando Aí tendef* ; azero, a região 2 tende ao volume de controle cujo contorno é coincidente com a superfície de controle, de forma quep esse termo éataxa de variação da grandeza extensiva Bdo fluido dentro do volume de controle (V.C). Assim, conside

rando arelação entre uma grandeza extensiva Bgenérica esua correspondente grandeza intensiva j3, dada pela Eq. (5.4.1),f* tem-se que

p

#*

dB, dBvr d

* * =ÃÍÍJ'/3P',V (5.4.8)VC

Osignificado físico do último termo da Eq. (5.4.5) éobtido da seguinte análise. Observa-se na Figura 5.4 que nolimite, quando Aí tende azero, as regiões 1e3se tornam coincidentes com asuperfície de controle (S.C), sendo que aregião 3passa a ser a seção da S.C. através da qual o fluido sai do volume de controle, enquanto a região 1torna-se aseção da S.C. através da qual o fluido entra no V.C.

Portanto, esse termo representa aquantidade da grandeza Bque atravessa aseção de saída da S.C. menos aquantidade da grandeza Bque cruza aseção de entrada da S.C. durante ointervalo de tempo Aí. Em outras palavras, esse termocorresponde ao fluxo de saída menos ofluxo de entrada da grandeza extensiva Bno volume de controle, ou seja, éofluxolíquido da grandeza extensiva Bque atravessa asuperfície de controle. Assim, tem-se que

vc _

lim =a<-o Aí

''fluxo líquido da grandeza "*extensiva B genérica que cruza

^a superfície de controle }(5.4.9)

Ofluxo de massa m, numa seção, que éamassa de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo, édado por

= jjp(Víi)dAárea

da seçio

(5.4.10)

66 Capítulo Cinco

Considerando toda a superfície decontrole, tem-se que

Assim, tem-se que

''fluxo líquido de

massa que escoa

através da S.C.

-jjpiV-n) dA

s.c.

''fluxo líquido da grandezaextensiva B genérica que cruza

a superfície de controle

=Jj>PvV-n)dAs.c.

de maneira que a Eq. (5.4.5) pode serescrita como

S.C V.C.

.(5.4.11)

(5.4.12)

(5.4.13)

Essa Eq. (5.4.13) é aequação básica daformulação de volume de controle que fornece apassagem da descrição de sistema para ométodo de volume de controle. Deve-se observar na dedução dessa equação que avelocidade de escoamentoV é a relativa à superfíciede controle.

AEq. (5.4.13) estabelece que a taxa de variação de uma grandeza extensiva genérica de um sistema é igual ao fluxolíquido dessa grandeza extensiva genérica que atravessa asuperfície de controle mais a taxa de variação dessa grandezaextensiva genérica dentro do volume decontrole, ou seja, determina-se a taxa devariação deuma grandeza extensiva Bgenérica do sistema através de um balanço da grandeza extensiva Bgenérica para ovolume de controle considerado, quepode ser escrito como

'taxa de variaçãoda >grandeza extensiva B

^genérica do sistema

'fluxo líquido da grandeza^

extensiva B genérica que

cruza a superfície de

^controle

''taxa de variação da >

grandeza extensiva B

genérica dentro do

^volume de controle

(5.4.14)

5.5 PRINCIPIO DE CONSERVAÇÃO DA MASSA.EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

Umsistema consiste em umaquantidade definida e identificada de matéria. O princípio de conservação da massa estipula que a massa deum sistema permanece constante, desprezando-se os efeitos nucleares e relativísticos, deforma que

dAl

dí0

onde M„„ é a massa do sistema.Aequação básica da formulação de volume de controle é dadapor

dB.,, ff„ ,- ., ,. . d

dt-JJ/WV.S)dA +|.JJJflpiV

S.C. vc.

(5.5.1)

(5.5.2)

Noestudo da conservação da massa tem-se que a grandeza extensiva é a massa M, sendo a sua grandeza intensivacorrespondente à unidade (1), ou seja,

de forma que a Eq. (5.5.2) fica sendo

B=M

0=1

dM,

se. vc.

(5.5.3)

(5.5.4)

fWls

f$$S

/9b

^%

tâb

/9!b

/^\

*%

^b

^b

0S

M\

Introdução à Análisede Escoamentos na Formulação deVolume deControle 67

Do princípio de conservação da massa tem-se que

-0 (5.3.5)dí

resultando

jjp(V -n)dA-rj- lüp dV =0 (5.5.6)dt

SC. V.C

Essa Eq. (5.5.6) é chamada deequação da continuidade naforma integral e representa matematicamente um balançode massapara o volume de controle considerado, que pode ser expresso como

'fluxo líquido de massaque atravessa a

^superfície de controle ,

'taxa de variação ^da massa dentro do

volume de controle

= 0 (5.5.7)

No balanço dado pela Eq. (5.5.7) otermo fluxo líquido de massa que atravessa asuperfície de controle (S.C.) significaadiferença entre ofluxo de massa que sai eofluxo de massa que entra no volume de controle (V.C.) através da superfície

f* de controle.p Cada problema possui uma superfície de controle adequada, cuja escolha depende da situação física em estudo. A_ velocidade de escoamento V que aparece nas equações da formulação de volume de controle éarelativa àsuperfície decontrole. Nessas equações aparece um produto escalar (V •n), cujo sinal depende do sentido do vetor velocidade de

f^ escoamento V em relação à seção da superfície de controle que possui orientação dada por um vetor unitário normalp, ' ", que tem arbitrado sentido positivo de dentro para fora do volume de controle delimitado pela S.C. Assim, ofluxo de

j massa que entra no V.C. é negativo, enquanto o fluxo de massa que sai do V.C. é positivo.^ Em algumas situações, a Eq. (5.5.6) pode ser simplificada. Consideremos dois casos./ps

f» Formas Particulares da Equação da Continuidade

^ ; a) Caso de um regime permanente

^ No regime permanente, as propriedades do fluido eas características do escoamento ficam invariantes com otempo.(ps ou seja, qualquer derivada em relação ao tempo é nula, de forma que a equação da continuidade fica sendo

HpiVTt )d.\ = 0 (5.5.8)s.c

Da Eq. (5.5.8) conclui-se que num regime permanente ofluxo de massa que sai é igual ao fluxo de massa que entra novolume de controle.

b) Caso de um escoamento permanente e incompressívelEm um regime permanente aequação da continuidade édada pela Eq. (5.5.8). Num escoamento incompressível a

massa específica é constante, de maneira que a equação dacontinuidade fica reduzida a

JT(V •n) dA =0 (5.5.1)

Da Eq. (5.5.9) tem-se que num escoamento incompressível eem regime permanente avazão que sai é igual àva/àque entra no volume de controle.

Exemplo 5.2

Aplicação da equação da continuidade na análise de um escoamento permanente ecom propriedades uniformes0>biC ! nas seções transversais noduto com seção redutora mostrado na Figura 5.5p I

0b

68 Capítulo Cinco

(1)

Figura 5.5 Esquema de umescoamento numdutoredutor de seçãocircular.

Aequação da continuidade na forma integral é dada por

Ifp(V-5)áA +|jífp«<V=0Escolhemos como volume decontrole a região delimitada pela superfície de controle indicada pela linha tracejada.

Essa superfície decontrole estádividida emtrês seções: asseções (1) e (2) são imaginárias e transversais aoescoamento,possuindo áreas AxeA2, respectivamente, e a seção (3) é real e coincidente com a superfície interna da parede do duto.

Hipóteses:

• regime permanente;• escoamentocom propriedades uniformes nas seções transversais; e• duto com parede impermeável.

Sendo um regime permanente, tem-se que as derivadas emrelação ao tempo são nulas, de forma que a equação dacontinuidade fica reduzida a

JJp(V •n) dA =0s.c.

Como a parede dodutoé impermeável, nãoháfluxo demassa através daseção (3)dasuperfície decontrole (V •n = 0),de maneiraque

resultando

Hp(V -n)dA =Hp(V -n)dA+ jTp(V •n) dA =0S.C. (I) i>>

Hp(V -n)dA =(-p,V,) IIdA +ft V2 IIdA =0U)

p, V, A, = p2 V2 A,

ou seja, o fluxo de massa é constante para um casode regime permanente.Se,alémde regime permanente, tem-se umescoamento incompressível, ondea massa específica p é constante, resul

ta

V,A, = V2A2

ou seja, a vazãoé constante num escoamento incompressívele permanente. Observa-se que nesse caso a redução na áreada seção causa um aumento na velocidade de escoamento.

/a

/$b

/%

/%

/^s

'<S|!|

<<%

/3b

/$$b

/*%

/r%

p

/jpsr

(PS

ps

p\

p\

p

p*

0*

p

p

#*

Introdução à Analise de Escoamentos na Formulação de Volumede Controle 691

Exemplo 53

Um óleo incompressívelé despejado com uma vazão Q constante em umreservatóiiò:cmndrkadediâinerjci0..Oóleo vaza através- de um orifício de diâmetro d, localizado" na base do reservatório^ com uma velocidade de saída

dada por V= ^2 gh, em que héonível daóleoj conforme émostrado no esquemadaFigura 5\6v ConsidCTandb'que o jato de óleopossuidiâmetrod no orifício de saídav determine:

a) a equação diferencial que descreve a evolução, com o tempo, donível Jt de óleo-no reservatório supondo um?nívelinicialqualquer, e

b) o nível máximo h^ de óleonoreservatório a partirdoqual o escoamento ficaemregime permanente.

Escolhemos como volume de controle o volume ocupado pelo óleo dentrodo reservatório, de forma que a ocorrênciade variação do nível h implica variação do volume de controlecom o tempo.

A equação da continuidade é dada por

JJp(V-5)JA +JJJpdV-0SC vc.

Sendo o óleo incompressível, tem-se p = constante, de maneira que

JJ(V-S)4ÍA +ÍLjJJdV-0A vazão de óleo que entra no volume de controleé Q dada.Avazão que sai do volume de controleé q calculada por

Tem-se que

q= H(V'n)dA =^2g~h lldA =—j2g~hárea

da seção

i ---.

irea

da scçio

Ml»-%

V.C. i

^m^ív )

1"Figura 5.6 Esquema de um escoamento de óleo em um reservatório cilíndrico.

70 Capítulo Cinco ^

onde Vé ovolume do volume decontrole dado por sm

Assim, a equaçãodacontinuidade fica sendo

/$h

Substituindo os dados, obtém-se ^

v =ir D2,

h4

-Q + qdí

0

-Q H J2gh + = 04 ^ 6 4 dt ^

Essa equação diferencial, que descreve a evolução do nível de óleo hem função do tempo, pode ser escrita como ^

dt irD2 DzV ê ^No regime permanente qualquer característica ou propriedade do escoamento é invariante com otempo, ou seja, a ^

partir do instante em que o escoamento fica permanente tem-se <*%

dh ^a"mâx _ n /

dí • ^

de forma que /%

4Q _<*2 /=—r— "*

resultando

_ 8 0_2^míx = /^b

5.6 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA O MOVIMENTO NA

FORMULAÇÃO DE VOLUME DE CONTROLE. EQUAÇÃO DOMOMENTO LINEAR

Asegunda lei de Newton para o movimento de um sistema em relação a um referencial inercial pode ser escrita como •*%

- >^

TF =-£ (5-6-1) «,ou seja, a força resultante que atua sobre o sistema é igual à taxa de variação do momento (quantidade de movimento)linear total do sistema.

Asegunda lei de Newton para o movimento aplicável a um volume de controle pode ser obtida a partir da equação ^básica da formulação de volume de controle, dada por '

^ =JJWüS)<M +|/j/^V (562) ^sc v.c. /-

considerando que ^

B = MV = P "*)(5-6.3) ^

" /^

/^b

<*%

p

p»

áls

#fs

áps

ps

ps

— Introdução ÀAnalise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 71

Substituindo agrandeza extensiva Bgenérica pelo momento linear P do sistema eagrandeza intensiva correspondente P pelavelocidade de escoamento V, a Eq. (5.6.2) fica sendo

f =JJVp(í?.S)<M +|jJJVp<ÍVVC

(5.6.4)

Da Eq. (5.6.1) tem-se que

dP

dt *->(5.6.5)

onde

*•• •^"" corpo *^m superfície(5.6.6)

é a resultante de todas as forças decorpo e desuperfície que atuam sobre o sistema.Na dedução da equação básica da formulação de volume de controle, consideramos que osistema eovolume de con

trole são coincidentes no instante de tempo í, de forma que

\^^ /sobre o \^^ Isobreoflu ido dentrodo volume de controle


XMÍVp(V'n)dA +j-IÜVpdVsc. dt VC

(5.6.7)

(5.6.8)

que costuma ser chamada de equação do momento linear. AEq. (5.6.8) éasegunda lei de Newton para omovimento naformulação de volume de controle, e ela estabelece que a força resultante que atua sobre ofluido dentro do volume decontrole éigual ao fluxo líquido de momento linear que cruza asuperfície de controle mais ataxa de variação do momento linear do fluido dentro do volume de controle, ou seja, determina-se aforça resultante que atua sobre ofluido dentrodo volume de controle através de um balanço de momento linear para ovolume de controle considerado, que pode serexpresso da seguinte forma:

'força resultante

que atua sobre o

fluido dentro do

.volumede controle.

'fluxo líquidode momento^linear que atravessa a

.superfície de controle

+

'taxa de variação ^

do momento linear

do fluido dentro do

.volume de controle,

(5.6.9)

Quando uma força atua sobre um escoamento, verifica-se uma alteração no estado de movimento do fluido. Com aequação do momento linear, determina-se aforça resultante que atua sobre ofluido dentro do volume de controle atravésdo balanço de momento linear expresso pela Eq. (5.6.9) erepresentado matematicamente pela Eq. (5.6.8).

AEq. (5.6.8) éuma equação vetorial que pode ser decomposta em equações escalares, segundo os eixos do sistema decoordenadas escolhido. Considerando um sistema de coordenadas retangulares, as componentes escalares da equaçãodo momento linear são dadas por

£F* =JjVx p(V •n) dA +j- Hlvx pdV (5.6.ll).ii

2>> =JJV P(V -«)dA +j- JjjV, pdV (5.6.K)bi

l^-jjv.PiVVdA +íjjjv^dV (5.6.10c»

72 .Capítulo Cinco ^/%

Observe que avelocidade de escoamento Vque aparece nas equações da formulação de volume de controle éarela- ^tiva àsuperfície de controle. Ofluxo de momento linear Vp(V •n) dA através do elemento de área dA éum vetor cujo ^sinal dado pelo produto escalar (V •n) depende do sentido do vetor Vem relação ao vetor unitário nnormal ao ele- ^mento de área dA.

AEq. (5.6.8) é a segunda lei de Newton aplicável a um volume de controle inercial (estacionário ou em movimentocom velocidade constante). ^

Exemplo 5.4 ^

Determinação da força exercida pelo escoamento de umfluido, emregime permanente, sobre oduto redutor curvo ^mostrado noesquema da Figura 5.7. ~

/%

Hipóteses:

• regime permanente;• escoamento com perfis uniformes nas seçõestransversais; e• duto comparede impermeável. ^

Escolhemos como volume de controle aregião delimitada pela superfície de controle, indicada pela linha tracejada na ^Figura 5.7, constituída por uma seção real coincidente com asuperfície interna da parede da tubulação eas seções trans- ^versais (1) e(2), imaginárias, de áreas AxeA2, respectivamente, através das quais ofluido escoa. fm

Aplicando aequação do momento linear segundo as direçõesxeydo sistema referencial escolhido, tem-se ^

£Fx =Hvx p(V.n)dA +j- Hlvx pdVs.c. *" v.C

XFr =J!Vr PÍV-n)dA +j- HIVy pdVs.c.

As forças queatuam sobre o fluido dentro dovolume de controle (V.C.) são:

a) o peso W do fluido dentro do volume de controle;b) as forças devido àsj>ressões estáticas p,e p2 nas seções (1) e (2). respectivamente, e ?c) a força resultante FD exercida pela parede do duto sobre ofluido dentro dovolume decontrole, devido àsdistribui- "^

ções de tensões normais ae tensões cisalhantes t. ^As componentes xeyda força resultante que atua sobre ofluido dentro do volume de controle (V.C.) são dadas por ^

^Fx =plAI-p2A2cosf5+F/,.K ^

Z*Fy= P2A2 sen0 - U' + F„, ^

Superfície de controle(S.C.)

Figura 5.7 Esquema de um escoamento numduto redutor curvo.

/%

/%

/%

/^s

/^b

mim

P

Introdução à Analise de Escoamentos naFormulação de Volumede Controle 73

O regime é permanente, de forma que as derivadasem relaçãoao tempo são nulas, ou seja, os termos de taxade variação do momento linear dentro do volume de controle são iguaisa zero.

Como o escoamento tem propriedades uniformes nas seções transversais, obtém-se

JjVx p(V -n)dA =V.v-p, V, A,) +V2 cosi? (ft V2

j]V, p(V'n)dA =-V2 senfl (ft V2 A2s.c.

Voltando à equação do momento linear, tem-se que

pA - P2A2 cos d + FDjc = V2 cos 0 foVA) - V.íp,VA)

pA sen0 - VV + FD,r = - V2 sen0 (ftVA)

As incógnitas do problema sãoas componentes FDjt e FDy da força resultante exercida pela parede do duto sobre oescoamento, que são dadas por

fd* = v2 cose teVA) - v,(p,VA) + pA cos e - pa

Fd, = - V2 sen0 (piVA) ~ pA sen0 + VV

A força FE exercida pelo escoamento sobre o duto é a reação da força FD, ou seja,

Fe* = —Fd^,

Da equação da continuidade

JJpcy.iOáA +iLjJJpáv-os.c. V.C.

como o regime é permanente, obtém-se que

PiVA = PzVA = w

Em termos do fluxo de massa m, as componentes da força exercida peloescoamento sobreo duto redutorcurvo sãodadas por

FEjc —p,Ai - pA cos d + m (V, - V2 cos 0)

FEy = pA2sen0 - VV + m V2 sen 0

Exemplo 5.5

A Figura 5.8 mostraum esquemade umjato livre de água, comvazão Qo e velocidade V0, chocando-se contraumaplaca inclinada estacionaria. Considerando que o jatose divide em dois (Q, e Q^, determine essadivisão do escoamentoe a força exercida pelojato sobrea placa.

Hipóteses:

• jato livre, de forma que se despreza o pesodojato e as perdas devido ao impacto e ao atrito; e• regime permanente.

Escolhemos como volume decontrole a região delimitada pela superfície decontrole (S.C). indicada pela linha tracejada.

Tem-se umjato livre, de maneira que o jatoé somente defletido pelaplaca, permanecendo como mesmo módulo develocidade V0.

Consideramos um sistema de referência com coordenadas normal n e tangencial í, conforme é mostrado na Figura5.8.

74 CAPfruLOQnco

y X \ /\ /

s/

Aplicando a equaçãoda continuidade

llp(V-n)dA +j-Jllpd\f =0

como o regime é permanente, tem-se que a derivada —(••)= 0, obtém-sedt

Jj"p(V -n)dA =-pQ0 +pQl+pQ2=0s.c.

ou seja,

Qo = Q, + Q2

Figura 5.8 Esquema de um jato livredeágua que se choca contra uma placa inclinada.

Tem-se uma equação com duas incógnitas. Para obter outra equação aplicamos acomponente da equação do momento linear na direção t dada por

£F. =J]V, p(V'n)dA +j- JJJ V, pdVs.c. vc

Como éum jato livre, na direção t não há força exercida pela placa sobre oescoamento, e tem-se que

e sendoo regime permanente,obtém-se

IIVt p(V -n)dA =(V0 cos0) p(-Q0) +V0pQl+ (-V0) pQ2=0s.c.

Qocos0 = Q1-Q2

Assim, resulta um sistema deduas equações com duas incógnitas

-Q2

de forma que a divisão doescoamento é dada por

|Ôo =Ô,+Q2|Qocos0 = Q,

0,-22.(1 +cos 0)

& =fia-O-cos 0

•%

/^b

/^\

/%

/<%

/!%

<^\

^%

/%

S^b

/%

£$b

*3%s

T

ps

Introdução à Análise de Escoamentos na FormulaçãodeVolume deControle 75

Aforça exercida pela placa sobre ojato livre, que é perpendicular à placa, é determinada através daaplicação dacomponente da equação do momento linearna direção n dadapor

^K=llvnP(V-n)dA +-l-lllvnpdyfdt

O regime é permanente, de forma que a taxa de variação é nula, e como a força resultante que atua sobre o fluidodentro do volume decontrole nadireção né a força Fp exercida pela placa sobre o jato, obtém-se

FP =Hvtt P(V -n)dA =(-V0 sen 0)p(-Qo)s.c.

FP = PQa V0 sen0

Aforça Fi exercida pelo jato sobre a placa éa reação da força Fp, resultando

Fj= -pQa vo sen0

p j 5.7 EQUAÇÃO DO MOMENTO ANGULARlP | Asegunda lei de Newton para omovimento de um sistema em relação a um referencial inercial pode ser escrita como

9 « XF=* (57-'>; °nde ^f éa força resultante que atua sobre osistema ePéo momento (quantidade de movimento) linear total do

^ i sistema.T j Em diversas situações, é mais conveniente trabalhar com torques (momentos de força?) do que com forças.$* Otorque resultante ^M que atua sobre um sistema, em relação àorigem de um referencial inercial, édado por

dPyZM =7x^F =7x— (5.7.2)

onde r é ovetor posição do ponto de aplicação da força resultante V F em relação à origem do referencial inercial.Tem-se que

^ d - - dP drr : 7(rXP)=fX^-4xP (5.7.3)0\ dt dt dt

p

pb

p

l

dr - - -onde —- éavelocidade V e P = MV éomomento linear, de forma que osegundo termo do lado direito da Eq. (5.7.3)é nulo, resultando

XM =à-Çr XP) (5.7.4)dí

P* \ Mas, tem-se que

7XP = H (5.7.5)

é o momento angular do sistema e, assim, pode-se escrever que

dHJ> =- (5.7.6)

ou seja, otorque (momento deforça) resultante que atua sobre um sistema é igual à taxa devariação domomento angulardo sistema.

Aequação do momento angular aplicável a um volume de controle pode ser obtida a partir daequação básica da for-

76 Capítulo Qnco

mulação de volume de controle dadapor

dB.

dt

fazendos.c. V.C.

(5.7.7)

B=?XP=tf

(5.7.8)

(3= 7X V

Substituindo a grandeza extensiva Bgenérica pelo momento angular H do sistema e a grandeza intensiva j3 correspondente por r X V, a Eq. (5.7.7) fica sendo


^ =Jj"(r XV) p(V -«)dA +|. Hl(7 XV) pdVs.c. ^ V.C.

dH

dí ^

(5.7.9)

(5.7.10)

onde 2.M éo torque resultante que atua sobre osistema.Na dedução daequação básica daformulação de volume de controle consideramos que osistema eovolume decon

trole são coincidentes no instante de tempo í, de maneira que

(X^reo=(X^)sobrc0sistema volume de controle


£M =11(7 XV)p(V-n)dA +jtHl(7 XV) pdV

(5.7.11)

(5.7.12)

que éaequação do momento angular. AEq. (5.7.12) estabelece que otorque resultante que atua sobre ofluido dentro do volume de controle é igual ao fluxo líquido de momento angular que cruza asuperfície de controle mais a taxa de variação do momento angular do fluido dentro do volume de controle, ou seja, determina-se otorque resultante que atua sobre ofluido atravésde um balanço de momento angular para ovolume de controle considerado, que pode ser expresso da seguinte forma:

''torque resultante ^que atua sobre o

fluido dentro do

^volume de controle.

''fluxo líquido de

momento angular

que atravessa a

^superfície de controle

^ f taxa de variação do >momento angular

do fluido dentro

do volume de controle

(5.7.13)

AEq. (5.7.12) é uma equação vetorial que pode ser decomposta em equações escalares segundo os eixos deum sistema inercial de referência. Considerando um referencial inercial de coordenadas retangulares, as componentes escalaresdaequação do momento angular são dadas por

£MX =H(7 XV)x p(V-n)dA +j- Hl(7 XV)x pdVS.C. V.C.

XM, =H(7 XV)y p(V-n)dA +j- Hl(7 XV)y pdVs.c d vc.

^iVL =H(7 XV)z p(V-n)dA +jtHl(7 XV\ pdV

(5.7.14a)

(5.7.14b)

(5.7.14c)

f%

/%

S$b

/%

f%

/%%\

<<%

^^

/%

/^L

/^\

kW^i ¥

p\

pi

ps

0S

p\

ps

p\ !

m j|

p\ !

M\

I

p ji

ps |

p

ps I

ps- A

Introdução à Análise de Escoamentos na Formulação de Volumede Controle 77

A equação do momento angularé muito útil no estudo de bombas e turbinas. Geralmente, considera-se somente acomponenteescalar dessa equação na direçãoao longo do eixo de rotação.

Asturbinas sãodispositivos que retiramenergiado escoamento,enquanto as bombasfornecemenergiaao movimentodo fluido. Geralmente, nas turbinas o conjunto de pás fixadas ao eixodo dispositivo costuma ser chamado de rotor,e nasbombas esse conjunto de pás é denominado impulsor.

As turbinas de impulso são movidas por jatos livres de alta velocidade. Um tipo simples de turbina de impulso é aturbina Pelton, na qual o rotor consiste em uma roda com um conjunto de pás que recebem um jato livreque sai de umbocal fixo, conformeé mostrado de formasimplificada no esquema da Figura 5.9.

Exemplo 5.6

Determinação do torque (momento de força) transmitido pórum jatolivrede água a uma turbina Peltonque estáem rotação comvelocidade angular oiconstante, conforme é mostrado de forma simplificada noesquemadaFigura5.9.0 rotordaturbinaPeltonconsisteem uma rodacom um conjuntode pás,de formaque tem raio fi até o centrodas pás ondeincide o jatolivre de água que deixa o.bocal fixo comumavazão Q e velocidade Vj. As pás têm umageometria tal que dividem o jatoem dois,e estes, apósa deflexão, saem dá?pas formando um ângulo6 com o eixox, conforme é mostrado no detalhe de uma páapresentado na Figura 5.9. ~~~—-~-^-

Escolhemos ovolume de controle (V.C.) estacionário delimitado pelasuperfície de controle(S.C), mostrada na Figura 5.9, que envolvea turbina Pelton.

Arotação da roda Pelton ocorre no plano xy, em torno doeixo z,de maneira que vamos considerar somente a componente z da equação do momento angulardada por

£m, =H(7 XV)z p(V •«) dA 4-1- Hl(7 xV)z pdVV.C.

Hipóteses:

• regime permanente; e• jato livre de água.

Avelocidade angular a> é constante, de forma queotorque Mj transmitido pelo jatopara a turbina é demesmo móduloe sentidocontrárioque o torque Meix0 aplicado pelo eixo sobrea roda.

Sendo um regime permanente, tem-se que o termo de taxa de variaçãoé nulo.

S.C.

A Bocal ^

Figura 5.9 Esquemasimplificado de uma turbinaPelton comum detalheda incidênciado jato livrede água sobre uma pá.

78 Capitulo Qnco

Como 2^MZ = Meto, resulta que a equação do momento angular fica sendo ^/%

M^ =ll(rXV\p(V'n)dA _"eixo

S.C.

Aroda possui uma velocidade angular o>, de maneira que as pás se movem com velocidade linear Vdada porVp = (oR

Ojato livre sai do bocal com velocidade V, eincide sobre apá, que possui velocidade Vp, de forma que avelocidade deinteração do jato sobre a pá é avelocidade relativa Vr, dadapor ^

Vr = V}-V? = V,-<oR 1Sendo um jato livre, despreza-se oatrito eopeso, de maneira que avelocidade relativa do fluido em relação àpá fica ^

constante em módulo, eojato deixa apá após adeflexão com omesmo módulo de velocidade V; - a>R com que ele a **$atinge.

Aroda Pelton possui um número grande de pás, de forma que podemos considerar, em uma primeira aproximação, ojato sempre incidindo sóbreuma pánaposição mostrada naFigura 5.9. ^

Aintegral de superfície da equação do momento angular fornece ofluxo líquido de momento angular que atravessa a msuperfície de controle (S.C). '•'

Ojato livre de água, com massa específica p, entra no volume de controle com velocidade V} evazão Q, de maneira que ^( f^\

fluxo de momento angulara '

que entra no V.C. J" KV^~® ^/%

No detalhe da Figura 5.9, observa-se que após adeflexão os dois jatos, que têm vazões iguais a —, deixam apá com avelocidade relativa Vr = V} - üíR, formando um ângulo 0com oeixo x, de maneira que oescoamento de água que sai do mvolume de controle tem vazão Qe componente de velocidade na direção xdada por

V« = VP ~ Vn = (oR - (Vj - üjR) cos0resultando que ^

(fluxo de momento angulara _r _, /T, _. „, ^ 'que sai do V.C. J=fiM? " (V, - *>fi) cos 0] pQ ^Voltando à equação do momento angular, obtém-se >

Meixo = fiV; p(-Q) 4- R[ujR - (Vj - wR) cos S]pQ ^Meira =-fi pQ[Vj -ú>R + (Vj - üjR) cos 0] ^

Meixo =-fi (Vj - <oR) (1 4- cos0) pQ ^Otorque transmitido pelo jato livre de água para aturbina Pelton tem módulo igual esentido contrário ao torque MeUo, ^

resultando " ~ /%

Mjat0 = fi (Vj - wR) (1 4- cos0) pQ ^/%

5.8 PRINCIPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA NA FORMULAÇÃO ^DEVOLUME DE CONTROLE. EQUAÇÃO DA ENERGIA ^

Atermodinâmica estuda as relações entre as propriedades de um sistema eas trocas decalor e trabalho com avizinhança. 'Arbitram-se como positivos o calor que entra no sistema e o trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança, sendo, <*%então, negativos o calorque sai do sistemae o trabalho realizado pelavizinhança sobreo sistema. _

Considerando um sistema que troca calor e trabalho com avizinhança, conforme oesquema mostrado naFigura 5.10, 'onde são mostrados ofluxo de calor e apotência (taxa de realização de trabalho) arbitrados como positivos, a primeira lei ^da termodinâmica pode ser escrita como ^

dt dt dt

/%

/^b

^

0*

ps j

ps

p

p>

p

0&k

ps

p

Introdução à Analise deEscoamentos na FormulaçãodeVolume deControle 79

swdt

Figura 5.10 Esquemade um sistema que troca calore trabalhocoma vizinhança.

ouseja, a taxa de variação daenergia total dosistema é igual aofluxo líquido de calor queentranosistema menos a taxalíquida de trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança. Usa-se o símbolo 8 nas diferenciais das trocas de caloretrabalho para lembrar que essas quantidades dependem do processo termodinâmico.

Aprimeira lei datermodinâmica aplicável a um volume decontrole pode serobtida a partir daequação básica daformulação de volume de controle dada por

fazendo

onde:

s.c. VC

B = £

P = e

£ é a energia total do sistema; ee é a energia total específica(por unidade de massa) do sistema,

de forma que


SC VC

d£siit _ ÔQ ÔWdt dt dt

(5.8.2)

(5.8.3)

(5.8.4)

(5.8.5)

Na dedução da equação básica da formulação de volume de controle consideramos que osistema eovolume de controle são coincidentes no instante de tempo t, demaneira que

resultando

(ÔQ _ ÔW\ =(ÔQ _ ô\V\Vdt dt )siilemi \ dt dt )mlumedeconuoie

Ç-Ç-JJ^-^^JJJ.^sendo ea energia total específica (por unidade de massa) do fluido dada por

V2e = gy 4 h u

57 2

(5.8.6)

(5.8.7)

(5.88)

80 Capítulo Cinco

onde:

g y é a energia potencial específica;

V2— é a energia cinética específica;e

u é a energia interna específica.

AEq. (5.8.7) éuma expressão da primeira lei da termodinâmica (princípio de conservação da energia) na formulaçãode volume de controle, eela fornece um balanço global de energia, para ovolume de controle (V.C.) considerado, quepode ser escrito da seguinte forma:

''fluxo líquido

de calor que

entra no volume

de controle

''taxa líquida de ^

trabalho realizado

pelo fluido do V.C.

^sobre a vizinhança,

Existem diferentes formas de realização de trabalho. Na mecânica dos fluidos é conveniente considerar o termo deÔW

(fluxo líquido de

energia total que

atravessa a superfície

de controle

+

potência (taxa de realização de trabalho) ——composto daseguinte formadt

ÔW ÔW.. ° "escoamento i ° "cisalhamento

dt dtonde:

dt dt

'taxa de variação da >energia total dentro

do volume de controle

(5.8.9)

• Wm é o trabalho realizado pelo fluido dentro do volume de controle e transmitido para a vizinhança (ou da vizinhança para ovolume de controle) através de um eixo que atravessa a superfície de controle, ou seja, é o trabalhorealizado em turbinas e bombas;

• ^escoamento é otrabalho realizado pelo fluido ao escoar através da superfície decontrole, resultante das forças devidasàs tensões normais a, ou seja, é o trabalho realizado pelas forças de pressão; e

• ^cisaihamcmo é ° trabalho realizado pelo fluido contra astensões cisalhantes (atrito viscoso) novolume decontrole, ouseja, é o trabalho realizado pelas forças de atrito viscoso no sentido oposto ao deslocamento do fluido (trabalhonegativo), deforma que esse termo representa aenergia mecânica que é dissipada pelo atrito viscoso no volume decontrole. Esse trabalho costuma ser representado por VVM, em que p. é osímbolo daviscosidade.

AEq. (5.8.7) consiste num balanço global de energia para ovolume de controle considerado, de forma que sedeveidentificar todos os fluxos de energia e as potências (taxa de realização de trabalho) entreo volume de controle e a vizinhança, as variações de energia no volume de controle e as transformações de uma forma em outra de energia.

ôWApotência de cisalhamento, M, representa aquantidade de energia mecânica que é transformada em energia térmica

por unidade de tempo devido ao atrito viscoso no volume de controle. Essa energia térmica correspondente à energiamecânica dissipada pelo atrito viscoso compreende dois efeitos: causa um aumento daenergia interna do fluido entre asseções de entrada ^Ao saída do volume decontrole e uma transferência decalor do fluido para a vizinhança (fluxo decalor negativo) através dasuperfície decontrole. No balanço global deenergia dado pela Eq. (5.8.7) consideraremos esses efeitos deaumento daenergia interna dofluido e de fluxo de calor dofluido para a vizinhança, emvez de considerar

explicitamente o termo de potência de cisalhamento ——-\^ dt

Determinação da Potência (Taxa de Trabalho) de Escoamento

Define-se trabalho como o produto escalar daforça aplicada pelo deslocamento, de forma que

ÔW = F-ds

/íqk

*%

a^

/Sb

i^b

/%$\

/%

/^

/%

<*%

/^

/%

A taxade trabalhorealizado é dada por

ÔW _F-dldt dt

onde V é a velocidade de escoamento do fluido.

= F-V

fw$\

(5.8.10) /^

/*&

(5.8.11)/%

•S^J

/&%b

&9b

/*%

Sftfy

/*%

/%b

p

Introdução à Analise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 81p |#*• ) Na equação do momento linear (segunda lei de Newton naformulação devolume decontrole) tem-se a força F exer-

cida pela vizinhança sobre ovolume decontrole, de forma que ofluido, ao escoar através dasuperfície decontrole (S.C)," exerce uma força (—F) sobre avizinhança, resultando que a taxa de trabalho realizado pelo fluido sobre avizinhança,^ pelas tensões normais arH, em umelemento de área dA da S.C, é dada por

f : ÔWj - -p -^---F-V^-o-adA-V (5.8.12)

\ Apotência de escoamento é a taxa de trabalho realizado pelas forças devidas às tensões normais considerando toda ap ! superfície de controle, de maneira que

ps

Mb

" escoamento

dt=-jjov dÀ •V=- Ha, (V-n)dA (5.8.13)

s.c. s.c.

Geralmente, a componente normal da tensão oru e a pressão p são relacionadas por

o-H=-p (5.8.14)

de forma que a Eq. (5.8.13) pode ser escritacomo

ÔW" '' escoamento

dt

resultando queíi potência, a Eq. (5.8.9), fica sendo

sw _ ÔWem>

=jJV (V •n) dA (5.8.15)

ÔW.^4- l\níV -ii)dA 4-

dt dt

ff - ÔWllp(V-*)dA +-f {58A6)

Assim, a Eq. (5.8.7), que é uma expressão daprimeira lei datermodinâmica (princípio deconservação daenergia) naformulação de volume de controle, fica sendo

9 ^-Ê}dT-íí''W!i)dA =ííeW--n)dA +Ííífad* (5.8.17)s.c. s.c. V.C.


s.cv K ' V.C.

EssaEq. (5.8.18), que costumaser chamada de equação da energia, fornece um balanço global de energia parao volu-P j me de controle considerado. Observe que nas duas últimas equações não consideramos explicitamente otermo de potên-

(ÔW \cia de cisalhamento M , poisestamos considerando os efeitosde aumento da energia interna do fluidoe de fluxo de

calordo fluido para a vizinhança, causados pelo atrito viscoso no volume de controle.

Exemplo 5.7

j Aplicação da equação daenergia naanálise de um escoamento, em regime permanente, através do volume de cõn-v J trole (V.C.) mostrado no esquemada Figura 5.11,considerando o fluxo líquido de calore a potênciade eixo indi-JP> ] cados na figura e que não hádissipação de energia mecânica por atrito viscoso.p t

^P> Hipóteses:

<P* • escoamento permanente;^ I • escoamento com propriedades uniformes nas seções transversais; e

j • nãohá dissipação de energia mecânica poratrito viscoso.

BZ. Capítulo Cinco

L^

(DI

1 u»

±Jl.

sw.eixo

V.C.

rS.C.

Plano de referência

Figura 5.11 Esquema de um escoamento através de um volume de controle.

Tem-se um regime permanente, de forma que oúltimo termo da equação da energia, dada pela Eq. (5.8.18), é nulo,resultando

onde e é a energia total específica dada por

V2e —gy + h u

67 2

Oescoamento tem propriedades constantes nas seções transversais, de maneira que aintegral de superfície fica sendo

Jí(*+âp(í? '")dA=igh+f+"•+A")(-p'v'Ai)+(«»+f-+u!+j V^)Da equação da continuidade

JJp(V-5)áA +-j.JJpíÍV =0s.c. vc.

como o regime é permanente, obtém-se

onde m éo fluxo de massa do escoamento.Assim, da equação da energia resulta

PiVA = ftVA = m

8Q. ÔWeixo .( V22 «^ .f V.2 «.^


Nessa situação física que está esquematizada na Figura 5.11 estão envolvidas diferentes formas de energia. Observeque o lado esquerdo dessa última equação apresenta os fluxos da energia que entra no volume de controle na forma decalor ede energia potencial, cinética, interna ede pressão, enquanto no lado direito estão apotência de eixo e os fluxos

/5^

/%\

s%b

/#$b

/$b

^b

f<Sb

p

p

p

p

p\

0fo

p

p

p\

ps

p

Introdução à Analise de Escoamentos naFormulação de Volume de Controle 83

da energia que sai do volume de controle. Verifica-se transformação de um tipo em outro de energia, entre as seçõestransversais (1) e(2), eque apotência de eixo envolve uma turbina. Como oregime épermanente, ofluxo de energia totalque entra novolume decontrole é igual ao fluxo deenergia total que sai do volume de controle.

5.9 EQUAÇÃO DE BERNOULLI

5.9.1 Equação de Bernoulli sem Dissipação de Energia Mecânica

Aequação de Bernoulli pode ser obtida como um caso particular da equação da energia (primeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle) ou pela integração da equação de Euler (equação diferencial do movimentopara um escoamento sem atrito viscoso) ao longo de uma linha de corrente.

Nesta seção, vamos obter aequação de Bernoulli como um caso particular da equação da energia, mostrando que paraum escoamento sujeito a algumas restrições a equação de Bernoulli representa a conservação da energia mecânica aolongo de uma linha de corrente ou de um filete fluido (tubo de corrente delgado).

Consideremos um escoamento incompressível, em regime permanente, sem efeitos viscosos ecom propriedades uniformes nas seções transversais, no tubo de corrente coincidente com ovolume de controle (V.C.) mostrado na Figura5.12. Consideremos, também, que não há trocas de calor nem realização de trabalho de eixo.

A equação da energia é dada por

ÔQ ÔW9Ídt dt

=ll[e +p(V-n)dA +ftlllepd^s.c. ^ • ' ' VC

As restrições consideradas consistem nas seguintes hipóteses:

(1) escoamento incompressível, ou seja, a massa específica p é constante;

(2) regime permanente, de forma que — ffFepdV = 0;vc.

(3) escoamento sem efeitos viscosos, de maneira que não hádissipação deenergia mecânica;(4) propriedadesconstantes nas seções transversais;

(5) não hátrocas decalor, de forma que —^ = 0; edt

(6) nãohá realização de trabalho de eixo, de maneira que

Com essas hipóteses, a Eq. (5.9.1.1) fica reduzida a

ôWeK

dt= 0.

SC A

e + - | p(V • «)dA = 0

Figura 5.12 Esquema de um escoamento num tubo de corrente coincidente com o volume de controle (V.C.)

(5.9.1.1)

(5.9.1.2)

84 CapítuloQnco r!J

Integrando a Eq. (5.9.1.2), considerando que as seções transversais (1) e (2) têm as respectivas áreas A, eA2, obtém- ^/^b

(gh +¥l +Ui +V±\ {-pVA) +Ly2 +YL +U2 +£l\ {pV2A2) =o (5.9.L3) ^

Daequação da continuidade dada por ^

d_dt

s.c. V.C

como o regime é permanente, obtém-se

pV,AI = pVA= ™ (5.9.1.5)

Hp(V 'n)dA-rj- IIIpdV =0 (5.9.1.4)

Uyi +Y+M' +£l m=[sy2 +Y+U2+jlh (5.9.1.6)

(<%

/<%

/^\

onde m é o fluxo de massa do escoamento no tubode corrente. Âssim,a Eq. (5.9.1.3) pode ser escrita como >%

/%

Conforme as hipóteses (3) e (5), não há atrito viscoso e não ocorrem trocas de calor, de forma que o escoamento é 'isotérmico, ou seja, *%

u,=u2 (5.9.1.7) ^

resultando ^

gyl +-z- +—=gyi+^r +SL (5.9.1.8) ^2 p 2 p 7

que échamada de equação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica, na qual os termos que possuem adimensãode energia específica, isto é, energia por unidade de massa, representam aenergia mecânica, por unidade de massa, dis- ^ponível no escoamento. ^

Essa equação de Bernoulli expressa a conservação da energia mecânica ao longo de uma linha de corrente ou de umfilete fluido (tubo de corrente com seção transversal pequena) em um escoamento com as seguintes restrições: escoa- ^mento permanente, incompressível, sem efeitos viscosos, com propriedades constantes nas seções transversais, sem tro- ^cas de calor esem realização de trabalho de eixo, ou seja, éuma expressão matemática do princípio de conservação da ênergia mecânica. Aequação de Bernoulli também pode ser escrita com as dimensões de pressão e de comprimento.

Multiplicando a Eq. (5.9.1.8) pela massa específica pdo fluido, obtém-se ^

1 ! ^Pgyx +" PV,2 +Px =Pgy2 +~pV22+ p2 (5.9.1.9) ^

que éaequação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica com adimensão de pressão. ÂEq. (5.9.1.9) pode ser escrita como ^

1 *•%p + - pV2 4- pgy = constante (5.9.1.10)

/L /$\

ou seja, asoma da pressão (p), da energia cinética por unidade de volume (jpV2) eda energia potencial por unidade de ^volume (pgy)é constante ao longo de uma linha de corrente ou de um filete fluido (tubo de corrente delgado) em um *%escoamento'com as restrições consideradas.

Dividindo a Eq. (5.9.1.8) pela aceleração gravitacional g, resulta: '

yl+zr + — = Y2+T- + — (5.9.1.li) ^2g pg 2g pg '

que éaequação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica com adimensão de comprimento.

^õ3\

p

p

ps

ps

pb

p

jp»

P

Introdução à Analise dsEscoamentos naFormulação deVolume deControle 85

A Eq. (5.9.1.11) pode ser escrita como

V2y + -— 4- -£- = H = constante

2g Pg[5.9.1.12)

Observe que aEq. (5.9.1.12) também tem adimensão de energia por unidade de peso, ou seja, yrepresenta aenergiaV2potencial por unidade de peso do fluido, — representa aenergia cinética por unidade de peso do fluido e — represen-

g PB.ta a energia de pressão por unidade de pesodo fluido.Os termos dessa equação de Bernoulli que têm adimensão de comprimento ou de energia por unidade de peso são,

usualmente, chamados de cargas, sendo que:

y é a carga de elevação;

V2— é a carga de velocidade;2g

P-s— é a carga de pressão; ePg

H é a carga total correspondente à energia mecânica disponível noescoamento.

Aequação de Bernoulli relaciona asvariações depressão, velocidade e elevação aolongo de uma linha decorrente oude umfilete fluido (tubo de corrente delgado) para umescoamento com as restrições consideradas.

A Figura 5.13 mostra uma representação gráfica daequação de Bernoulli para umescoamento permanente, incompressível, sem efeitos viscosos, com propriedades constantes nas seções transversais, sem trocas decalor e sem realizaçãodetrabalho deeixo emum duto inclinado dediâmetro pequeno constante. Alinha piezométrica é a representação gráfica

da soma das cargas de elevação e de pressãoPg)

ao longo do escoamento. A linha de energia é a representação

gráfica da soma das cargas de elevação, de velocidade e de pressão

Linha de energia

V2 py + 4--Í-2g pg)

que a linhade energia é paralela ao plano de referência horizontal, ou seja, a carga total H, que corresponde à conservação da energia mecânica do escoamento ao longo do duto, permanece constante pois não há atrito viscoso. Como o diâmetrodo duto é constante, a velocidade de escoamento nãovaria, ou seja, a energiacinética do fluido permanececonstante,de forma que ao longo do escoamento se verifica umatransformação de energia de pressão em energia potencial.

A Figura 5.13 apresenta um esquema de um tubo piezométrico (usado para determinar a pressão estática) e de umtubo de Pitot (utilizado para a determinaçãoda pressãototal)conectadosao duto inclinadoonde ocorreo escoamento.Olíquido que está escoandose elevano tubo piezométrico até a alturada linhapiezométrica e se elevano tubo de Pitot até

ao longo do escoamento. Observe

H= constante

Figura 5.13 Representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento ideal num duto inclinado de diâmetro pequeno constar.:e

86 Capítulo Qnco

a altura da linha de energia. Adiferença de altura entre a linha de energia e a linha piezométrica representa a carga develocidade do escoamento.

5.9.2 Pressões Estática, Dinâmica e de Estagnação (Total).Determinação da Velocidade de Escoamento com Tubos de Pitot

Apressão p que aparece na equação de Bernoulli é a pressão estática. Emum fluido em movimento a pressão estáticaé a pressão determinada com o uso de um tubo piezométrico ou de um tubo de Pitot cujo orifício sensorestá colocadoparalelamente aoescoamento, deforma quenãointercepte ofluido, ouseja, avelocidade deescoamento nãoé perturbadapela medida, conforme é mostrado noesquema simplificado de umtubode Pitot-estático apresentado na Figura 5.15.

A pressão dinâmica, que é devida à velocidade de escoamento do fluido, é definida por

Pdmimica .- P* (5.9.2.1)

onde:

p é a massa específica do fluido; eV é a velocidade de escoamento.

Apressão de estagnação (total) éapressão que existe quando ofluido em movimento édesacelerado para avelocidadezero. Apressão de estagnação (total) édada pela soma da pressão estática eda pressão dinâmica no ponto, de forma quepara um escoamento incompressível tem-se

Pe,ugn«çlo = P + ~PV2 (5.9.2.2)

onde p é a pressão estática.A pressão total (de estagnação) podeserdeterminada como usode um tubo de Pitotcomo orifício sensororientado

perpendicularmente ao escoamento, interceptando, assim, ofluido em movimento. AFigura 5.14 mostra um esquemade um tipo de tubo de Pitot.

Pode-se determinar simultaneamente as pressões de estagnação eestática com ouso deum instrumento chamado detubo de Pitot-estático, que éconstituído por dois tubos concêntricos, em que otubo interno éusado para adeterminaçãoda pressão total pelo orifício sensor colocado na extremidade eapressão estática édeterminada pelos orifícios sensoreslocalizados na parede externa do tubo de fora, conforme émostrado no esquema simplificado apresentado na Figura 5.15.

Obtém-se apressão dinâmica da diferença entre as pressões total eestática, de forma que

onde p é a pressão estática.

Escoamento

Pdinâmica ~ "P^2 = pu>u{ ~ p

Pequeno orifíciosensor de pressão

A

V Tomada de pressão

Figura 5.14 Esquema simplificado de um tubo de Pitot.

(5.9.2.3)

/^i

/%b

^

/%

/^S

/%

/%

^b

<^b

/^b

f T

jf^

0S

(fp*

0b

/fp*

é!$s

Escoamento

Introduçãoà Analise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 87

(

Orifício sensor depressão total

Orifício sensor depressão estática

^

Tomada de pressãoestática

V-. Tomada de pressão total

Figura 5.15 Esquema simplificadode um tubo de Pitot-estático.

Assim, a velocidade de escoamento noponto de medida é calculada por

v= | 2(p,OU| ~P)(5.9.2.4)

ondep é a massa específica do fluido que está escoando.Conectando as tomadas de pressão de um tubode Pitot-estático aos ramos de um manômetro de tuboem U, obtém-

sea leitura daaltura hm dacoluna manométrica correspondente à diferença entre a pressão total e a pressão estática, ouseja, correspondente à pressão dinâmica, de forma que

-pV2=pmgK - pgk (5.9.2.5)

onde:

p„é a massa específica do líquido manométrico;p é a massa específica dofluido queestáescoando e queocupa osramos domanômetro de tuboem U sobre o líquidomanométrico;

g é a aceleração gravitacional; ehm é a alturada colunade líquido manométrico correspondente à pressão dinâmica.

Assim, com a leitura manométrica, determina-se a velocidade de escoamento

v= |2(pw - p)ghn(5.9.2.6)

Exemplo 5.8

A Figura 5.16 mostra um esquema de um reservatório de grandesdimensões com um pequeno orifício, na paredelateral, localizado a uma profundidade h em relaçãoà superfícielivreda água. Desprezandoo atrito viscoso, determine a velocidade do jato livrede água que sai do orifício.

Sendo um orifício pequeno em um reservatório de grandes dimensões, pode-seconsiderarque o nível de águano reservatório permanececonstante, ou seja, tem-seum regime permanente. Desprezando as perdasde cargadevido aoatritoviscoso, pode-se aplicar a equação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica ao longo de uma linha de correnteentre o ponto (1), situado na superfície livre, e o ponto (2), localizado no jato livreque sai do orifício, de forma que

2g Pg 2g Pg

88 Capítulo Cinco

ZLS.L 1

Referência y=0

l/c/cc Água ./tyt/t/cc-tvt^c/c/t

r'-^*SZstSZ^StLSÇSt^<SÇSZStSZASZSZStSZSÇ^^

Figura 5.16 Esquema de umjatolivre de águaquesaide umpequeno orifício situadona paredede umreservatório de grandesdimensões.

Como o reservatório é de grandes dimensões e o orifício é pequeno, pode-se considerar que a velocidade de escoamento da água na superfície livre é praticamente nula, ou seja, V, «* 0.

Escolhendo um plano de referência no nível do orifício, obtém-se

h+ Patm _ Yl_ ^ PatmPg 2g pg

de forma que

V2=pgh

Este é um exemplo clássico de aplicação da equação de Bernoulli, e a relação encontrada para a velocidade do jatolivre éconhecida como equação de Torricelli. Para resultados mais exatos, quando seconsidera os efeitos do atrito viscoso eovena contracta do escoamento, utiliza-se um coeficiente, determinado experimentalmente, chamado decoeficientede velocidade ou de descarga.

Exemplo 5.9

AFigura 5.17 mostra um esquema de um dispositivo simples para borrifar água. Oar é soprado pelo tubo (1) formando um jato com velocidade V sobre aextremidade do tubo (2). Esse jato se expande no meio da atmosferaestagnada, de modo que avelocidade do ar tende azero longe da saída do tubo. Aáguaéaspirada pelo tubo (2).Considerando regime permanente esem atrito viscoso, sendo p^ = 815 pw determine ovalor mínimo da velocidade Vdojato de ar para quea água aflore naextremidade dotubo (2).

-Tubo(1)

Figura5.17 Esquema deum dispositivo simples para borrifar água.

/õty\

1

/S\

f®$\

/%

/%

"^

•*%

<"<%

//mb

/^b

Introdução à Analisede Escoamentos na Formulação de Volume de Controle- 89

Hipóteses:

p ; • regime permanente;• escoamento incompressível; e

^ • sem perdas por atrito.

^ Aplicando aequação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica para uma linha de corrente horizontal entre o(P ponto A(situado no jato de arsobre o tubo (2)) e o ponto B (localizado longe da saída do tubo (1)), tem-se que

í j „+£+-&-» +£+.*.fi 2g P*g 2g pug

v j Avelocidade do escoamento de ar tende a zero longe dasaída do tubo (1), de maneira quenoponto Btem-se

^j vb *0epB =Vtmv j e como a linha decorrente é horizontal, tem-se que yA = yB, de forma que daequação de Bernoulli obtém-seIP •

Parg 2g pug

resultando

Patm ~Pa =^Par V.l

Para a água aflorar naextremidade do tubo (2) é necessário que

Patm ~ PA = Paguag 'l = 815 p„g Jlde forma que

\p„ VI =815a, g/iresultando

f' | VA =yíólÕgl

r j 5.9.3 Equação de Bernoulli com Perda de Carga (com Dissipação def | Energia Mecânica)

' j Os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito viscoso epossuem aproprieda-<p ; de de aderência do fluido às superfícies sólidas.p Na hipóter-. ° Dará adedução da equação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica, consideramos escoa

mento com propriedades constantes nas seções transversais. Para escoamentos reais essa consideração é uma aproxima-f* j 9âo razoável para escoamentos turbulentos em dutos, onde adistribuição de velocidade tende aficar uniforme nas seções0^ transversais.0^ ; Num escoamento turbulento avelocidade instantânea, em um ponto, pode ser escrita como avelocidade média em* ', relação ao tempo mais uma pequena flutuação aleatória de velocidade. Sendo essa velocidade média invariante com op | tempo eadmitindo que amédia das flutuações énula, pode-se considerar que avelocidade de escoamento na seção trans-

versai é dada pela velocidade média obtida pela relação

p

p \ms, t Qéa vazão do escoamento; e

rp *

p

e-

p

Vmédu= J (5.9.3.1)ondí

A é a área da seção transversal.

Assim, considera-se que avelocidade de escoamento édada pelo perfil uniforme de velocidade média na seção trans-

90 Capítulo Qnco

versai. Quanto àpressãopeàelevaçãoyque aparecem na equação de Bernoulli, considera-se que também são uniformes /<%nas seções transversais, sendo a elevação dada pela cota média da seção, desde que odiâmetro do duto seja pequeno.

De uma maneira geral, os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica devido ao atrito viscoso, ?ocorrendo variação da energia interna do fluido ao longo do escoamento entre as seções de entrada ede saída do volume ^de controle e fluxo de calor do fluido para avizinhança através da superfície de controle. ^

Consideremos um escoamento, no tubo de corrente coincidente com ovolume de controle (V.C.) mostrado na Figura5.12, com as seguintes hipóteses: ^

a) escoamento permanente; ^b) escoamento incompressível, ou seja, commassa específica p constante; /=%c) escoamentocom propriedades uniformes nas seções transversais;d) sem realização de trabalho deeixo; e - ^e) escoamento com atrito viscoso, de forma que aparte da energia mecânica que édissipada (transformada em ener- ^

gia térmica) causa dois efeitos: ocorre uma variação daenergia interna do fluido (u2 - u,)entre asseções transver- ^ÔQsais (1) e (2) e um fluxo decalor -j* do fluido para avizinhança através dasuperfície decontrole. **%dt

/^s

Com essas hipóteses, a equaçãoda energia que é dada por

~t It v _S.C. v r' V.C.

fica reduzida a

^-^=JíH><-^+MHv

f =J|(e +£)p(V.n)áA (5.9.3.3)Realizando a integração na Eq. (5.9.3.3), entre as seções transversais (1) e (2), obtém-se

7P=[g* +y+Ux +t)(~p Vl A,)+[gyz +"f"+ "2 +j]{p Vl Al) {5'93A)Da equação da continuidade dada por

ff n(V •n\dA 4-dt

II p(V -n)dA +j-t III pdV =0 (5.9.3.5)S.C. V.C.

como o regime é permanente, obtém-se ^

PVxA{=pV2A2 = m (5.9.3.6) 1

onde rhéo fluxo de massa do escoamento.

Assim, a Eq. (5.9.3.4) pode ser escrita como '

^+(gyx +y+"•+ ^J *=[w*+ -y+M2 + r (5.9.3.7)/5t%

Dividindoa Eq. (5.9.3.7) por mg, obtém-se

fífilyi4-^-4-^4-^ = y2 4-^-4-^-4-^- (5.9.3.8)

™g 2g g Pg 2g g pg ^

que pode ser expressacomo ^

ÔQ f^h, V,2 p, ] í . V,2 . p, 1 u, - u, dt

Xi "*" „ "*"mgPg) \ 2g pg)2g Pg

(5.9.3.9)

/&&t

/%

tf w

p

áfs

ijjPS

ps

ps

ps

#s

ps

íp^

P

Introdução à Analise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 91

O fluxo de massa m, numa seção, é a massa de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo, ou seja,

m= -i—, de forma que a Eq. (5.9.3.9) podeser escrita comodt

y.4-^4-^n

2g Pg/yi +£+*».-i

2g Pg) g.(u2 -M,)--^

dm(5.9.3.10)

Verifica-se uma diminuição na carga total do escoamento, ou seja, da energia mecânica por unidade de peso do fluido,entre as seções (1) e (2), pois ocorre dissipação de energia mecânica do escoamento devido ao atrito viscoso. Da Eq.(5.9.3.10), tem-se que adiferença da carga total entre as seções (1) e (2), que usualmente échamada de perda de carga,representada por hp, é dada por

Wi(U2 -14,)-ÔQ

(5.9.3.11)

onde:

(u2 -u,)éa variação da energia interna por unidade de massa do fluido entre as seções (1) e (2); e

-— éaquantidade de calor por unidade de massa que étransferida do fluido para avizinhança através da superfíciede controle entre as seções (1) e (2). Como écalor que sai do volume de controle para avizinhança, deve-se associaro sinalnegativo paraessa quantidade.

Assim, a Eq. (5.9.3.10) pode ser escritacomo

2g Pg 2g pg ' (5.9.3.12)

que éaequação de Bernoulli com perda de carga (com dissipação de energia mecânica), onde hp éaperda de carga correspondente à energia mecânica dissipada pelo atrito viscoso entre as seções (1) e (2).

AFigura 5.18 mostra uma representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento permanente, incompressível, com propriedades uniformes nas seções transversais, com atrito viscoso e sem realização de trabalho de eixonum duto horizontal de diâmetro pequeno constante.

Como oduto é horizontal epossui seção transversal de diâmetro constante, resulta que as cargas de elevação edevelocidade são constantes, conforme émostrado no esquema da Figura 5.18, de forma que adissipação de energia mecânica devido ao atrito viscoso causa uma diminuição na carga de pressão ao longo do escoamento.

Linha de energia

Figura 5.18 Representação gráfica daequação deBernoulli para um escoamento com atritono constante.

to viscoso num duto horizontalde diâmetro peque-

92 Capítulo Cinco

---; -Or?*^Wà«^

Um fluido incompressível de massa específica pescoa com vazão Qconstanteno duto horizontafi cTéseção circu-^lar, mostrado no esquema simplificado da Figura 5.19. Considerando uma perdade carga hf » hentre as seções (1) -ste (2) e queamassa específica do fluido manométrico é p-m = 10 /* determine a leitura manométrica H.

Consideramos as seguintes hipóteses:

• regime permanente;• escoamento incompressível; e• propriedades constantes nas seções transversais.

Aplicando a equação de Bernoulli com perda de carga entre as seções (1) e (2), tem-se que

n+f +J^a+f+i^ +fc,2g Pg 2g pg

O duto é horizontal e a perda decarga é dada, demaneira que

y\ = yi e

ficando a equação de Bernoulli escrita como

fc, = fe

2g Pg 2g pg

Omanômetro diferencial mostrado na Figura 5.19 mede na seção (1) apressão total (de estagnação), dada pela somadas pressões estática e dinâmica, definida como

P«otaU=Pi +2pV'2e essemanômetro mede na seção (2)a pressão estática p2.

Escrevendo a equação de Bernoulli coma dimensão de pressão, tem-se

\pVi2+Px=^pV22+p2+pghque pode ser escrita como

Pi + -pV* ~Pi= -pVv2 + pgh

^m=10P

Figura 5.19 Esquema de um escoamento incompressível e permanente num duto horizontal.

/^$b

f*$b

/*9s

/!%

1

f* Introdução à Análise de Escoamentos naFormulação de Volume de Controle 93'

ou da forma

p>P.oui.1 'Pi =~P V22 +pgh

ps Da leitura do manômetro diferencial, tem-se que

f^ Ptoui. i - P2 =PmgH- Pgü = (p„- p)gH = 9pgHp- Substituindo essa última expressão na equação de Bernoulli, obtém-se

1 i *PgH =-PV}+pghp* , 2

p* ; Avazão e os diâmetros são dados, e como

tm ! nd2Q=V2^ 4

tem-se quea velocidade de escoamento na seção (2) é dada por

4QV =

2 wd2

p* Substituindo essa expressão para V2 naequação de Bernoulli, obtém-se

+ pgh

presultando

ps

9pgH=» fi%))

H-iJ2L + fc9^7T2gíí4

P

£ 5.10 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE PERDA DE CARGA NOS£ ESCOAMENTOS DE FLUIDOS REAIS1 EM TUBULAÇÕES1^ Aperda de carga, hp, corresponde àparcela de energia mecânica do escoamento que éirreversivelmente convertida em

energia térmica por causa do atrito viscoso entre as duas seções consideradas. Aperda de carga éaenergia mecânica porP unidade de peso do fluido que édissipada devido ao atrito viscoso. Considera-se aperda de carga total como asoma deps dois tipos diferentes de perda de carga, que são:

ps a) perda de carga distribuída, hpd, devido ao atrito viscoso ao longo da tubulação entre as duas seções consideradas: eb) perda de carga localizada ou acidental, hpi, devido aos acessórios ou acidentes localizados em determinadas posi-

v ções nas tubulações, tais como válvulas, variações na seção transversal, curvas, etc.

"^ Assim, tem-se que aperda de carga total, hp, éasoma de todas as perdas de cargas distribuídas e localizadas entre as<P* seções consideradas, dada por

.p Consideremos oduto horizontal de diâmetro Dconstante, mostrado no esquema da Figura 5.18, onde ocorre um cs-coamerrto permanente de um fluido incompressível de massa específica p, sendo que não há perda de carga localizada.

r Na seção (1) tem-se uma pressão estática p,, e na seção (2) apressão estática ép2. Aperda de carga distribuída, devidop ao atrito viscoso entre as seções (1) e (2) separadas de um comprimento L. pode ser determinada da equação de Bernoulli

comperdade carga, que pode ser escritacomo

2g Pg 2g pg>,'+Tr + fT = >'2+^ + — + K* í5-102»

94 Capitulo Cinco

O dutoé horizontal e de diâmetro constante, de forma que se tem

V, = V2

e (5.10.3) ^

h=y2 9de maneira que a Eq. (5.10.2) se reduza _^^ ••-^

(5.10.4)

Assim, a perda de carga distribuída, num escoamento em um duto horizontal com diâmetro constante, éaqueda dacargade pressãoentre as duas seções consideradas.

De uma maneira geral, verifica-se que num escoamento totalmente desenvolvido em uma tubulação de seção circularde diâmetro constante aqueda de pressão estática, devido ao atrito viscoso entre duas seções, depende do comprimentoentre as duas seções, do diâmetro do duto, da rugosidade da parede do tubo, da velocidade média do escoamento, damassa específica e da viscosidade do fluido.

Aperda de carga distribuída pode ser calculada por meio da equação de Darcy-VVeisbach, que pode ser escrita como

Ki-fõJi (5-105)onde:

g

— é a rugosidade relativa do duto.

fé umcoeficiente de proporcionalidade conhecido como fator de atrito;L é o comprimento considerado do duto;D é o diâmetro interno da tubulação;

V é a velocidade média do escoamento; e

g é a aceleração gravitacional.

O fator deatrito/, que é determinado experimentalmente, é função de dois parâmetros adimensionais, ou seja,

f=f[Re>^) (5-10-6)onde:

Re é o número de Reynolds do escoamento; e

Arugosidade da parede da tubulação, e, pode serdefinida como a altura média das saliências da superfície interna doduto. Arugosidade relativa é o quociente entre a rugosidade e o diâmetro interno doduto, expressos nas mesmas unidades.

Os fatores de atrito,/, são obtidos do diagrama de Moody apresentado na Figura 5.20. Observe que o fator de atrito/é adimensional.

e ^Para a determinação da rugosidade relativa —, como conhecimento do diâmetro do duto e do material do qual ele é

construído, utiliza-se o diagrama mostrado na Figura 5.21.Paraa determinaçãoda perda de carganum escoamento totalmente desenvolvido, em uma tubulação de seção circu

lar de diâmetro constante quando se conhece a vazão (ou velocidade média), o comprimento considerado e o diâmetro

interno do duto, primeiro calcula-se o número de Reynolds (Re) do escoamento. O valor da rugosidade relativa — c

obtido do diagrama mostrado na Figura 5.21.Comosvalores de — e de Re, determina-se o fator de atrito/do diagrama

de Moody da Figura 5.20. Com o fator de atrito/obtido, calcula-se a perda de cargadistribuída por meio da equação deDarcy-VVeisbach (Eq.(5.10.5)).

Para um escoamento laminar totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano, em um duto horizontal de seçãocircularde diâmetroconstante, pode-sedeterminaranaliticamentea queda da pressãoestática devido aoatrito viscoso ao

•

%

%

<pfc

0b

px

ps

p>>

p\

P*

#^

/fP^

/Pi

ps

0b

Introduçãoà Analise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 95

CM

0,0179

105

Número de Reynolds

Figura 5.20 Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção circular. Reproduzido, com adaptações, deMoody. L. F.. Fríction Factois forPipe Flow, Transactions of the ASME, Vol. 66, novembro 1944. p. 672. com permissão da ASME - The AmericanSocietyofMechanical Engineers.

0,05

0,04

0.0010,00080,00060,0004

0,0002

0,0001

0,00005

I

3

ra3

longo da tubulação. Do Exemplo 4.1, onde apresentamos uma dedução para adistribuição parabólica de velocidadepara oescoamento laminar considerado, tem-se, da Eq. (4.3.19), que

V^=—Tfi2 (5.10.7)onde: 4^L

Vn* éavelocidade máxima, do perfil parabólico V(r), que ocorre no centro da seção;Apé a queda de pressão;p. é a viscosidade do fluido;L é o com^r'"T>nto consideradodo duto; efiéo raio interno da tubulação.

No Exemplo 5.1, determinamos a relação entre avelocidade média de escoamento eavelocidade máxima da distribuição parabólica de velocidade para um escoamento laminar totalmente desenvolvido num duto de seção circular constante, que pode ser escrita como

onde Vé a velocidade média deescoamento naseção

- VV = máx

2

DComo R= —-, a Eq. (5.10.7) pode ser expressa como

V=^D232pX

de forma que aqueda de pressão, no trecho de comprimento Lconsiderado, édada porAf)_S2pLV_

(5.10.8)

(5.10.9)

(5.10.10)

96 Capítulo Cinco

0.01

0,008

0,006

0,005

0.004

0.003

0,002

Q

^ 0,001

•| 0,0008

| 0,0006"§ 0,0005

l 0.0004

è 0,0003

0.0002

0,00010.00008

0.00006

0,00005

0,00004

0,00003

0,00002

0,00001

v V s vV X s. x

v W s V X, s

\ \\ \ x NV\ \;</ \<k

s

\ ^ V

•^X.\ \ ,*

N ^0 v h \x|

mí\

X

\

\ .«pv\V*iT

~'yy\*^ K~

fo.%,.

Vh j£

V —

«^s*n*\V

s?^V

\ N&n\

^ b_ \. ^V1%

ST

&

n5

3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 60 80 100 200 300

Diâmetro do duto, D (polegadas)

Figura 5.21 Diagrama de Moody para a rugosidade relativa de dutos de seção circular. Reproduzido, com adaptações, de Moody. L. F.,FríctionFactors forPipe Flow, Transactions of the ASME, Vol. 66, novembro 1944, p. 673, com permissão da ASME - The American Societyof Mechanical Engineers.

e tem-se a perda de carga

h - AP. _ 32/a LVpJ Pg PgD2

Comparando as Eqs. (5.10.5) e (5.10.11), tem-se que

ou seja,

L V2 _32p.LV

;D2g pgD2

_64p_J pVD

(5.10.11)

[5.10.12)

(5.10.13)

O número de Reynolds (Re) paraum escoamento com velocidade média V, de um fluido com massa específica p eviscosidade p, num duto de seção circular com diâmetro D, é definido como

(5.10.14)

L

5r^

^tv

/^t\

|£*fs

/=$s

#*

I*. i

ps

0f\

p •*

(PS

Introdução à Analise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 97

resultandoque a Eq. (5.10.13) pode ser escrita como

c 64/-5 (5.10.15)

ou seja, para ocaso deescoamentos laminares totalmente desenvolvidos emtubulações deseção circular, ofator deatritofé função somentedo número de Reynolds do escoamento.

Para os escoamentos turbulentos, em dutos de seção circular, os fatores de atrito, que são funções do número de Reynolds

e da rugosidade relativa do-duto, / =/( Re, —I, são determinados experimentalmente eobtidos do diagrama de Moody.Aperda de carga localizada (ou acidental), hpl, pode ser obtida por meio da equação *~~~~

^ " " Vi=K— (5/10.16)^ g

onde Kéocoeficiente de perda de carga localizada determinado experimentalmente para asituação em estudo. Os valores do coeficiente de perda de carga localizadaX podem ser encontrados em tabelas apresentadas em manuais e livros dehidráulica.

Exemplo 5.11

P Determinação da perda de carga distribuída enrum escoamento de água (viscosidade pu=0,001 Pars e-massa.es--^ pecífíca p-• 1000 kg/m3) com vazão Q- 0,02 m3/s num duto, com parede de ferro fundido, de seção circular com^ diâmetro D= 10 emecomprimento L=300m.

i^P* 1

p* | Neste problema, são dados avazão Qdo escoamento, amassa específica peaviscosidade pdo fluido, omaterial da_^ I parede da tubulação, odiâmetro Deocomprimento Ldo duto, de maneira que se pode determinar onúmero de ReynoldsP I do escoamento earugosidade relativa do duto para aobtenção do fator de atrito do diagrama de Moody.ps Tem-se que

V Q=V-^-=—f* • 4

pb de forma que avelocidade média do escoamento édada por

V=-% =2,5 m/sttD2

O número de Reynolds (Re) desse escoamento é dado por

Re =^£ =2,5Xl05

Oduto éconstruído de ferro fundido etem diâmetro interno D= 10 cm, ou seja, D« 4polegadas, de maneira quea rugosidade relativa, obtida do diagrama da Figura 5.21, é dada por

4: = 0,0024D

Do diagrama de Moody apresentado na Figura 5.20, para Re = 2,5 X 105 e —= 0,0024, obtém-se ofator de atrito

/« 0,024

Aperda de carga distribuída hpJ, determinada por meio da equação de Darcy-VVeisbach, édada por

98 Capítulo Qnco

5.11 EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA PARA SITUAÇÕESCOM BOMBAS E TURBINAS

Em algumas situações de escoamentos incompressíveis epermanentes em dutos, nas quais ocorre arealização de trabalho de eixo através de turbina ou bomba entre as duas seções transversais consideradas, também se pode utilizar aequação de Bernoulli, considerando outros termos referentes àpotência de eixo fornecida pela bomba para ofluido eàpotênciade eixo fornecida pelo escoamento para a turbina.

Uma bomba fornece energia mecânica para oescoamento, ou seja, transfere energia da vizinhança para ofluido, deforma que ocorre um aumento da.energia mecânica do escoamento. Considerando a existência deuma bomba entre asseções transversais (I)e (2), aequação de Bernoulli com perda de carga dada pela Eq. (5.9.3.12) pode ser modificada,ficando escrita como

V,2 Vi

2g Pg 2g pg p(5.11.1)

onde hB éacarga correspondente àenergia mecânica que étransferida da bomba para oescoamento entre as seções (1)e (2),de forma que

IA 2g Pg) K 2g pg)\(5.11.2)

ou seja, acarga fornecida pela bomba ao fluido é igual ao aumento da carga total do escoamento mais aperda de cargaentre as seções (1) e (2).

Apotência de eixo fornecida pela bomba ao escoamento, correspondente à carga hB, pode serdeterminada com aaplicação da equação da energia queé dada por

s.c. \ rs vc.(5.11.3)

Oregime é permanente, de forma que oúltimo termo da Eq. (5.11.3) é nulo e tem-se uma bomba, de maneira que apotência deeixo em questão é uma quantidade negativa, pois é taxa de trabalho realizado pela vizinhança sobre o fluidoque está dentrodo volume de controle, ou seja,

swet

dt

ôWB

dt(5.11.4)

ÔW»onde i é a potência fornecida pela bomba para o fluido.

Assim, efetuando a integral de superfície entre a seção deentrada (1) e a seção de saída (2) dovolume decontrole, aEq. (5.11.3) fica sendo

s+íH(«»+?+-+?H"^+-+?)]m

onde m = pVxA^ = pV2A2 é o fluxo de massado escoamento.A Eq. (5.11.5) pode ser escrita como

ÔW,B _

dt A 2g pg) { 2g pg)\ gÔQdt

que também pode ser expressa como

A 2g pg) { 2g pg)ÔW,

thg +

ÔQdt

mgmg

(5.11.5)

(5.11.6)

(5.11.7)

/^s

A$b

/5%

£9\

/%

-^

/H^b

/^S

/^\

/$S\

<Gb

p*

ps

(ilfc

p\

0S

pb

ps

0S

pb i

Introdução à Análise deEscoamentos na Formulação deVolume deControle 99

Tem-se que

ÔQ(u2 - U|) dt _ 1

g mg g(u2 -u,)-

é a perdade carga devido ao atritoviscoso entre as seções (1)e (2).Assim, a Eq. (5.11.7) pode ser escrita como

SQ= Ji.

itn

3HK-s)-K*shonde:

(5.11.8)

mg (5.11.9)

mg é o fluxo de peso do escoamento; ehp é a perda de carga doescoamento devido aoatrito viscoso.

Comparando as Eqs. (5.11.9) e(5.11.2), tem-se que apotência fornecida pela bomba para ofluido édada por

A Eq. (5.11.10) tambémpode ser escritacomo

onde:

ÔW,B _~mghtdt

ÔWB

dt= PgQK

(5.11.10)

(5.11.11)

p é a massa específica do fluido;g é a aceleração gravitacional;Q é a vazão do escoamento; ehB é a carga fornecida pela bomba para o escoamento.

Uma turbina tira energia mecânica do escoamento, ou seja, transfere energia do fluido para avizinhança, de maneiraque ocorre uma diminuição da energia mecânica do escoamento. Considerando a existência de uma turbina entre asseções transversais (1) e (2), aequação de Bernoulli com perda de carga dada pela Eq. (5.9.3.12) pode ser modificada,ficando escrita como

*+£+•*-» +£ +*• +*,+*,2g Pg 2g Pg p

(5.11.12)

onde hTéa carga correspondente àenergia mecânica que étransferida do escoamento para aturbina entre as seções (Ie (2), de forma que

kr = r.+£ +-*H-2g Pg

v- p2y, + — 4- -É-2-." 2g pg

-h. (5.11.131

Apotência de eixo desenvolvida pelo escoamento sobre aturbina, correspondente àcarga fiTfornecida pelo escoamento para aturbina, pode ser determinada com ouso da equação da energia que édada pela Eq. (5.11.3). Trata-se de umaturbina, de forma que apotência de eixo em questão éuma quantidade positiva, pois étaxa de trabalho realizado peloescoamento sobre a vizinhança, ou seja, tem-se

ôWeao _ ÔWTdt dt

ÔWT°n<*e ~lít~ éaPotência transferida do escoamento para aturbina.

(5.II.14)

100 Capítulo Qnco

Efetuando a integral de superfície da Eq. (5.11.3) entre a seção deentrada (1) e a seção de saída (2) do volume decontrole, considerando que o último termo dessa equação é nulo, pois o regime é permanente, obtém-se

ÔQ _ ÔWT _dt dt -Í^T+ H^T-^I m

onde m = pV, A, = pV2 A2 é o fluxo de massa do escoamento.Fazendo umdesenvolvimento semelhante aorealizado antes para a situação de umabomba, obtém-se

onde:

ÔWTdt 2g Pg 2g pg

mg

(5.11.15)

(5.11.16)

mg é o fluxo de peso do escoamento; ehp é a perda de carga doescoamento devido aoatrito viscoso dada pela Eq. (5.11.8).

Comparando as Eqs. (5.11.16) e (5.11.13), tem-se quea potência fornecida pelo escoamento para a turbina é dadapor

A Eq. (5.11.17) também pode ser escrita como

ÔWTdt

= mghT

ÔWt nu

onde:

p é a massa específica do fluido;g é a aceleraçãogravitacional;Q é a vazão do escoamento; ehTéa cargafornecida peloescoamento paraa turbina.

(5.11.17)

(5.11.18)

,' .1

^-^ Exemplo 5.12A Figura5.22 mostraram esquema simplificadoe foradeescala de uma bombaque retira água,atravésde um dutodediâmetro interno'!) —10cm, de um reservatório de.grandes dimensões coma superfície livre (S.L.) mantidaemnível constante.& água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m3/s, a uma altura rí=38m acima dabomba, atravé0-*'" "m dutode diâmetro internod = 8 cm,em umacaixa-d'água abertaparaa atmosfera. Considerando queentre as seções (1) e (2) mostradas na Figura 5.22 existe uma perda de carga \ = 2 m, determine apotência que a bombafornece ao escoamento.

Da equaçãode Bernoulli modificada para situaçõescom bomba, tem-se que a carga fornecida pela bomba para o escoamento é dada por

K - »+? +2g Pag) \ 2g pag)+ hm

Uma maneirade resolver essa questão é considerarum planode referênciana altura do eixo longitudinal do duto desucção,conformeo esquema da Figura 5.22,considerando o ponto(1) na superfície livre do reservatório e o ponto (2) naseção em que a água é descarregada, na atmosfera, para a cabca-d água. Assim, considerando pressões relativas, tem-seque

Pi = Pi = o

/%

/%

rf$b

/9b

/^b

/%

/^b

/*fa

í %

'^S

w

p

p

p

P

p

ps j

p

Introdução à AnalisedeEscoamentos na Formulação deVolume de Controle 101

r

Água

S.L(D

—•-

n

1 1L

WL///////////// / /'/ / 7/ ///

Figura 5.22 Esquema simplificado e fora de escalade umabombaque eleva água.

Da Figura5.22, tem-se que

(2)

H

Plano de referência

1 y=0

T

y{ = h = 3 m

y2 = H = 38 m

Como a superfície livre é mantida com nível constante, tem-se que V, = 0.Avelocidade com que a água é descarregada na seção (2) é dada por

V!=|. =i§-=4m/sA2 ird2

Aperda de carga entre as seções (1) e (2) é hp = 2 m.Substituindo esses valores na equação para a carga fornecida pela bomba para aágua, obtém-se

hB = 37,8 m

Apotência fornecida pela bomba para oescoamento é dada por

ÔW*dt

= P*gQhB=7AkW

fJL

e I 5.12 BIBLIOGRAFIA™ , BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.pb . BIRD, R. B.; STEWART, W. &LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena. John Wiley, 1960.

j FOX, R. W. &MCDONALD, A. T. Introdução àMecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.P j INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO EQUALIDADE INDUSTRIAL (INMETRO). Regulamenta-p\ j ção Metrológica eQuadro Geral de Unidades de Medida. Segunda edição, 1989.

MOODY, L. F. Fríction Factors for Pipe Flow. Transactions of the ASME, vol. 66, 1944.f> ROBERSON, J. A. &CROWE, C. T. Engineering Fluid Mechanics. Houghton Mifflin Company, Boston, 1975.

SHAMES, I. H.Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1973.- | SISSOM, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979.

p \ STREETER, V. L. &WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1982.; VENNARD, J. K. &STREET, R. L. Elementos de Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1978.

f^ I WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976.

•ápv

Jp5>

102 Capítulo Qnco

5.13 PROBLEMAS

5.1 Conceitue volume de controle.

5.2 Defina vazão e fluxo de massa de um escoamento.

5.3 Conceitue velocidade média de um escoamento.

5.4 Considere um óleo em escoamento permanentee laminar, totalmente desenvolvido, num duto de seção circular constante com diâmetro interno D = 0,10 m. O perfilreal de velocidade de escoamento é parabólico, dado pelaEq. (4.3.8), sendo V^ = 0,2 m/s. Determine a velocidademédia e a vazão desse escoamento.

Resp.: Vraéd = 0,1 m/s e Q = 0,0008 mVs.

5.5 Água escoa em regime permanente noduto de seçãocircular mostrado na Figura 5.23 com um fluxo de massam = 50 kg/s. Sendo p = 1000 kg/m3 a massaespecífica daágua,determine a vazão do escoamentoe asvelocidades médias nas seções (1) e (2).

(D

Os 0,20 m

(2)I

1rf=0,10m i ^2

Figura 5.23

Resp.: Q = 0,05 mVs; V, = 1,6 m/s e V2 = 6,4 m/s.

5.6 Considereo escoamentopermanente de águano sistema de dutos cilíndricos mostrado na Figura 5.24. Considerando perfis uniformes develocidade nasseçõestransversais,determine a velocidade média de escoamento na seção (3).

Figura 5.25

Figura 5.24

Resp, V3=(V,-V2)-^-.5.7 A Figura 5.25 mostra um esquema de um funil, comvariação na geometria da seção transversal, que está colocadoem um escoamentopermanente, incompressível e laminarde um fluidocom massa específicap.

Aseçãode entradado funil é retangular e tem-sena mesma umadistribuição de velocidade de escoamento dada por

V(y) = VE. 1-

f Vy

\L/2)onde V£ mix é a velocidade máximada distribuição de velocidade na seção de entrada.

Aseção de saída do funil é circular, com raio R,e o funilé suficientemente longo para que o escoamento esteja totalmente desenvolvido na seção de saída com uma distribuição de velocidade dada por

V(r) =M-te)1onde VSraáIéavelocidade máxima da distribuição de velocidade na seção de saída.Determine:

a) a velocidademédia de escoamento na seção de entrada;

,í%

/%

/%

f%

/^\

/%

/$b

/%

(^\

/!$S

/•%

/%

/$b

/^s

^b

p

p

p i

p

p

p

/ps

Introdução à Análise dfEscoamentos na Formulação dbVolumede Controle 10^

b)o fluxo de massa do escoamento no funil; ec)a velocidade média de escoamento na seção de saída.

5.8 A Figura 5.26 mostra um esquema, fora de escala, deumescoamentopermanente de água em um duto horizontalcomseçãotransversal retangularconstante de altura 2he muito largo. Na seçãode entrada, o escoamentotem distribuição uniforme de velocidade VE dada. O dutoé suficientementelongo para que na seção de saídao escoamentotenha uma distribuiçãode velocidade parabólicadada por

V(y) = vmáx i

Considerandoa larguraunitária da seção transversalretangular do duto, determine a velocidade V,^ naseção desaída.

Figura 5.26

Resp.: Vmí,=|vE.5.9 Água escoa, em regime permanente, com vazão Q =0,08 mVs no duto redutor dè seção circular mostrado naFigura 5.27. Considerandoperfis uniformesde velocidadee pressãonas seções transversais,determine a forçaexercidapeloescoamento sobreesse duto redutorentre as seções(De (2).

Água

p2=2.4x10*PaP, =3x10» Pa

Figura 5.27

Resp.: FE = 6920 N.

5.10 AFigura 5.28 mostraum esquemadoescoamento deumlíquidode massaespecíficap, com vazão Q constante,em um duto de diâmetro interno D constante com uma

curva de 90° entre as seções transversais (1) e (2). Considerando aspressões p, e p2 indicadas na Figura 5.28 e queo volume interno do duto entre as seções (1) e (2) é Vd,determine:

a) ascomponentesx ey da forçaexercida peloescoamento sobre o duto curvo entre as seções (1) e (2); e

b) o móduloda forçaexercida pelo escoamentosobreoduto curvoe o ânguloformado por essa forçacom o eixox,em termos de Fx e Fy.

(DI

(2)— (J

r<à

Figura 5.28

5". 11 Umjato livre de água com diâmetrod = 5 cm e velocidade V} = 15m/sincide perpendicularmente sobre umaplacaplanaestacionaria colocada na posição vertical. Considerando regime permanente e sendo págua = 1000 kg/m3,determine a força exercida pelojato livre de água sobre aplaca.

Resp.: Fj = 441,8 N.

5.12 A Figura 5.29 mostra um esquema de um jato livrede água que saide um bocal comdiâmetro D e incide perpendicularmente sobreo centro de uma placaestacionariaonde existe um orifício de diâmetro d. Considerando regime permanente e com os dados apresentados na Figura5.29, determine a força exercida pelojato livre de água sobre a placa.

Figura 5.29

5.13 A Figura 5.30 mostra um esquema de um escoamento de água,em regimepermanente, num duto horizontal de

104 Capítulo Qnco

diâmetro D constante. No centro da seção transversal (1),através de um tubo dediâmetro dcom parede deespessuradesprezível, é injetado um jato de águacom velocidade V,.Desprezando o atrito viscoso e considerando que na seção(2)as duas correntesde águaestão totalmente misturadas,determine:

a) a velocidade média de escoamento V2 na seção (2);b) a diferença de pressão (p, - p2), considerando um

perfil uniforme de pressão na seção (1); e

c) supondo que V; = 2V, e que d = —, verifique se a

diferença de pressão (p, —p2) é positiva ou negativa. Analise esse resultado.

Água

Água

(D (2)

Figura 5.30

5.14 A Figura 5.31 mostra um esquema de um jato livrede água, com diâmetro d = 5cm evelocidade Vj = 15 m/s,que incide perpendicularmente sobreuma placa fixa numcarro. O jato que é totalmente defletido pela placa comunica ao carro uma velocidade constante Vc = 5 m/s. Determine o módulo da força de atrito que atua sobreo carro.

Figura 5.31

Resp.: F, = 196 N.

5.15 Considere a Figura 5.31 do problema anterior. Tendoo jato livre de água velocidade Vj e diâmetro d e o carro

velocidade Vc, mostre que a potência transmitida pelo jato• • • , Ve 1ao carro e máxima para a relação —- = —.

V} 3

5.16AFigura 5.32 mostra um esquema deuma comportaquadrada delado Larticulada noponto O. Um jato livre deágua, com velocidade V} e diâmetro D, incide perpendicularmente sobre o centro dessa comporta. Determine o nível limite H de água no reservatório para que a comportapermaneça fechada na posiçãovertical.

S.L

Figura 5.32

Resp.: H =ttD-VJ L

4sL- 3

n

LJato livro do água

5.17 Um jato livre de água, com velocidade Vj, diâmetro De massa específicap, choca-secontra um cone que tem velocidade Ve, conforme o esquemamostrado na Figura 5.33.Determine a força exercida pelo jato sobre o cone.

Figura 5.33

5.18 Uma comporta está inserida num canal, de seçãotransversal retangular, onde ocorre um escoamento permanente de um fluido incompressível de massa específica p.conforme é mostrado no esquema simplificado da Figura5.34. Considerando distribuições de velocidade uniformenas seções transversais e supondo distribuições hidrostáticasde pressões nas seções (1) e (2) e na parede AB, determinea relação entre a vazão Q (por unidade de largura do canal)e os níveis H e h para que sejam satisfeitas as equações dacontinuidade e do momento linear.

r

•

»

•

€ T

p

tf

P

pp

p

p

tf

p

p

p

p

p

p

p

tf

tfp

p

p *

tf

Introdução à Analise de Escoamentos na Formulação de Volume de Controle 105

(D

H^

(2)

////////////////

Figura 5.34

Resp.: Q2=gh2 H.

5.19 Considereo Exemplo 5.6. Determineo torque exercido pelo jato livre de água sobre a turbinaPelton, aplicando a equação do momento linear para calculara forçaexercida pelo jato sobre a pá e o torque aplicado à roda. Nessaabordagem, considereque o jato incide sempre sobreumapá na posição mostrada na Figura 5.9, e observe que o jato,após a deflexão, debca a pácom velocidade relativa Vr = V)—ü)R e quea páestáemmovimento com velocidade Vp =(oR em relação ao solo.

5.20 A Figura 5.35 mostra de forma simplificada um esquemada vistade cimade umesguichode jardim,comeixode rotação vertical, que é mantido estacionário. Adescargadaágua que temmassa específica p,comvazão total Qconstante, ocorre através de dois jatos livres que saem dos bocais com seções transversais de área A}. Osjatos saem dosbocais formando um ângulo 6 com um plano horizontal.Determine a velocidade V} dosjatos livres de água e o torque aplicado pelo escoamento sobre o braço rotativo doesguicho.

0

m

Figura 5.35

Resp.: V} =-2_ e ME = pQ2Lcosd4A,

t

5.21 Em uma tubulação horizontal de diâmetro constante ocorre um escoamento de água em regime permanente. Desprezando as trocasde calorcoma vizinhança e con

siderando que o atrito viscoso causa uma queda de pressão Ap = 85000 Pa e um aumento da energia interna doescoamento entre duas seções, determine a variação detemperatura da água entre essas duas seções. Considereque a variaçãoda energia interna, por unidade de massa,é dada por Am = c AT e que o calor específico da água é

;c = 4200 kg-K

Resp.: AT = 0,02 K.

5.22 A bomba mostrada no esquema da Figura 5.36 recebe água, com vazão Q = 0,2 mVs, através do duto desucção de diâmetro D, = 20 cm e a descarrega atravésdo duto de descarga de diâmetro D2 = 15 cm que estáinstalado com uma elevação^ = 0,5 m em relação à tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto desucção indica uma pressão relativa px ——30000 Pa,enquanto o manômetro instalado no tubo de descargamede uma pressão relativap2 = 300000 Pa. Considerando que não há trocas de calor e desprezandoo atrito viscoso, determine a potência fornecida pela bomba ao escoamento.

Água.

7^777777777777777'

Figura 5.36

ÔWResp.: —se- = 75,9 kW.

dt

5.23 Considere o problema anterior. Se o sistema possuiuma eficiência de 80% porcausa doatrito, determine a potência do motor conectado à bomba.

5.24 A Figura 5.37 mostra um esquema de um escoamentodeágua, emregime permanente, com vazão Q = 0,5 mVs,através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções(1) e (2) são, respectivamente, p, = 180000 Pa e p, =—20000 Pa. Desprezandoa dissipaçãode energiamecânica por atrito viscoso e considerando que não há trocas decalor, determine a potência fornecida pelo escoamento àturbina.

Resp.:ÔW

dt= 131,8 kVV.

106

Água

Capitulo Qnco

£r—f ^HX D, =25cm /

/7=1,5m

Turbina

J>'D2 =50cm

Figura 5.37

5.25 A Figura5.38 mostra um esquema de um reservatório de grandes dimensões, com a superfície livre mantidaem nível constante, com um duto do qual sai um jato livrede água. Considerando que não há atritoviscoso e sendoamassa específica da águap = 1000kg/m3, as alturasH = 5me/z = 2meos diâmetros internos D = 4 cm e d = 2 cm,determine:

a) a vazão do jato livre de água; eb) as pressões relativas nos pontos AeB.

Resp.: Q, = 0,0037mVs; pA = 44.800 Pa e pB = 155 Pa.

5.26 A Figura 5.39 mostra um esquema de um escoamentode água, comvazão Qconstante,numdutode seçãotransversal circular comumaredução de diâmetro. Apressão naseção (1) é px indicada no manômetro. Considerando quenãohá dissipação de energia mecânica, determine a pressão na seção (2).

ÁguaP

S.L

0) T

H

(2) -*- — —

Figura 5.39

5.27 A Figura 5.40 mostra um esquema de uma instalaçãoindustrial que consiste em um reservatório de grandes dimensões, aberto para a atmosfera,e de um duto horizontalde pequenodiâmetro internod por onde é extraído o líquido de massa específica p. Parase verificar o nível do líquido no reservatório, foram instalados os medidores (A)e(B).Observa-se que quando há extração do líquidoos indicado

H

D .a

r— Jato livre de água

Figura 5.38

rf^b

*%

/fàb

/%h

/^b

/%

t^b

f%$\

1 I

tf

tf

tf

p

p

tf


H

Figura 5.40

Líquido

P

resfornecem medidas diferentes. Considerando que nãoháperda de cargapor atrito viscoso, pede-se:

a) justifiqueessaobservação e cite qual dos indicadoresfornece a medida correta; e

b) determine a diferença de leitura (H —h) entre os doisindicadores, em função da vazãodo escoamento.

5.28 A Figura 5.41 mostra um esquema de um borrifadorde água na forma de "venturi" que sugaáguade um reservatório de nível constante submetido à pressão atmosférica. Conhecendo-se a velocidade VA e a pressão pâtm do arna seção de entrada do "venturi" e considerando que nãohá atrito viscoso, determine a máxima cota h entre o "venturi"e a superfícielivre do reservatório parao funcionamento doborrifador. Expliqueo fenômeno.

Ar• A o •e frf

'-*f*^*s Água '-*****•

Figura 5.41

h= -*-V*2(DResp. d* )2Pàgu*g\

5.29 A Figura 5.42 mostra um esquema de um tanque degrandesdimensões com água, onde está colocado um sifãoconstituído de um tubo de diâmetro interno d = 2 cm.

0.

Desprezando oatritoviscoso, determine avazão daágua quesai do sifão e a pressãono pontoA no escoamento. Considere patm = 101.300 Pa.

>t^t^t^t/ Água c/t/t/t/t/t/t/c/c/c

s^ ' ' ' ' ' ' > ^~^

Figura 5.42

Resp.: Q = 0,0024 mVs e pA = 71.800 Pa.

3m

\ Agu

5.30 A Figura 5.43 mostra um esquema de um escoamento permanente de águaem um duto de pequeno diâmetroDetermine a velocidade de escoamentoda água.

Água

água

l"f"//''/////

Mercúrio

'Mg

Água

água

Figura 5.43

5.31 A Figura 5.44 mostra um esquemade um escoamentopermanente de água,sem atritoviscoso, com vazão Q e massaespecíficap, em um duto verticalde seção circular. Pede-se.

a) determine o diâmetro interno da seção (2), para queas pressões estáticas nas seções (1) e (2) sejam iguais, e

b) para essas condições, determine a altura manométrica h.

108 Capítulo Qnco

(D

H

(2) -1-

Mercúrio

Figura 5.44

Resp.: a) d = 48Q2D4

ir2gHD* +8Q2b)

VPm~H.

5.32 Umjatolivre de água commassa específica p,quesaihorizontalmente de um bocal de seção circular de diâmetro d, incide sobre um carro que se move com velocidadeconstante Vc, conforme é mostrado no esquema da Figura5.45. Considerandoregime permanente e perfisuniformesde velocidade nas seções transversais, determine:

a) a velocidade do jato livre; eb) a forçaexercida pelojato livre sobre o carro.

••-(srResp.: a) V,

Água

P

Figura 5.45

2(Pm ~ P)ghP

Mercúrio

b)Fj=e^(Vj-Vc)2(\-cos0).5.33 AFigura 5.46mostra umesquemadoescoamento deum líquido de massa específica p, num duto vertical de seçãotransversal circular, com vazão Q constante e sem atritoviscoso. Pede-se:

a) determine odiâmetro interno ddaseção (2), para queas pressões estáticas nas seções (1) e (2) sejamiguais; e

b) paraessascondições, determine a leitura manométricah,considerando que o fluido manométrico tem massaespecíficap„ = lOp.

(D

(2)

Il

mnnflt^",Figura 5.46

5.34 Um líquido de massa específica p escoa em regimepermanente no duto vertical de seção transversal circularmostrado no esquema da Figura 5.47. Na seção (2) estácolocado um objetosólido simétriconoeixo longitudinal doduto, de forma que ocorre uma redução na área da seçãode escoamento. Considerando que a massa específica do

/^b

s^b

/^k

/%$b

/%

/%

/%

/9^i

^s

/^f\

tf

tf

tf

p

tf

tf

Introdução à Analise de Escoamentos na Formulação de Volumede Controle 109

fluido manométrico é pm = 8 p, que as propriedades sãouniformes nas seções transversais, que não há atrito viscosoe que a leituramanométrica H é dada, determine:

a) a vazão do escoamento; eb) a altura manométrica h.

(D

5.35 Água escoa com vazão Q = 0,05 mVs no duto horizontal de diâmetro constante mostrado no esquema da Figura 5.48. Devido ao atrito viscoso, ocorre uma perda decarga hp = 0,04 mdeágua entreasseções Ae 8. Sea pressão no ponto8 correspondea uma altura de águahB = 0,6m no medidorsobre o ponto 8, determine a altura de águahA correspondente à pressão no ponto A.

Água

y>8

•A D» 10 cm >B

1

j Água

TH

1: — Pm Figura 5.48

Ox^

(2)-t

Figura 5.47

lh

1

x^rm—

ttD2Resp.: a) Q = V14SH eb) h = H

4

Água

Figura 5.49

/ D2

D2 -d2

5.36 Água escoa, em regime permanente, no duto horizontalde seção transversalcircular mostradono esquemada Figura5.49. Considerando propriedades uniformes nasseções transversais e que somente há perda de carga naplaca de orifício, determine a velocidade de escoamentona seção C.

Resp. Vc=(f) pg(H-h2).5.37 A Figura 5.50 mostra um esquema de um duto horizontal de seçãotransversal circular,comuma redução, ondeescoa água em regime permanente. A pressão na seção A épA, indicada no manômetro. Existindo uma perdade cargahp entreas seções AeB, determine:

a) a vazão do escoamento; eb) a pressão estática na seção 8.

110 Capítulo Cinco

Figura 5.50

Resp.: a) Q=?2Lj2g(H - h);1 ( D4\b) PB = PA+-piSu>vm- — \-piSMghp.

5.38 A Figura 5.51 mostra umesquema de umdutocurvo dediâmetro D = 8 cm que possui na extremidade um bocal dediâmetro d = 4 cm, deonde sai umjato livre deágua verticalqueé totalmente defletido (ângulo de deflexão igual a 180°)pelobloco de pesoVV. NaseçãoAdodutoestáconectado ummanômetro diferencial contendo mercúrio (p^ = 13,6 p^)com altura manométrica h = 5cm. Considerando queoregimeé permanente,que as propriedades sãouniformes nas seções transversais, que a diferença de altura entre o bocal eo bloco é pequena e que págua = 1000 kg/m3, determine:

a) a velocidade do escoamento de água na seção A;b) a velocidade e a vazão do jato livre; ec) o peso VV do bloco para que ele fique em equilíbrio.

Figura 5.51

Resp.: VA = 3,5m/s; V} = 14m/s; Q = 0,018 mVs e VV =493 N.

5.39 A Figura 5.52 mostra um esquema de um duto redutor na posição vertical, de seção transversal circular, ondeescoaáguacom massaespecíficap e vazão Q constante. Apressãoestática na seçãoA é pA lida no manômetro. SendoVV o peso da água contida no duto redutor entre as seçõesAeB, existindo uma perda decarga hp entre asseções Ae8 e considerando propriedades uniformes nas seções transversais, determine:

a) a pressãoestática na seção 8; eb) a força exercida peloescoamento sobreo duto redu

tor.

ton

— — B S.C.

H

* A

Figura 5.52

Resp, a) pB =pA +i p(VA2 - VB2) - pg (H +hp)

b) FE =^p(V2D2-VB2d2) +TT

(pAD2-pBd2)-W.

í^^i

•^%

v^S

/t%

/^\

|*%

fSb

/^s

/$b

/^b

j^fí^

/^b

tf

p

p>

tf

p

tf

P*

p

p

tf

tf

tf

tf


5.40 Considereum escoamentode água,comvazão Q = 0,02mVs, num duto horizontal de ferrogalvanizado de seçãotransversal circularcomdiâmetroD = 10cm. O duto tem compri-

mentoL = 300 me rugosidade relativa — = 0,0015. Consi

derando que pigua = 1000 kg/m3 e p^ = 0,001 Pa•s,determine a perdade carga distribuída e a correspondente quedade pressão no duto.

Resp.: h d= 21 m; Ap = 205,8 kPa.

5.41 Resolva o Problema 5.40, considerando que o diâmetrododuto de ferro galvanizado é D = 20 cm,de forma que

a rugosidaderelativada parede do duto é — = 0,0007.

5.42 Considere o Exemplo 5.12. Resolva essa questão,considerando o ponto (1) numa seção transversal do dutodesucção dabomba e a mesma perda decarga hp = 2 m.

5.43-A Figura 5.53 mostra um esquema de um escoamento permanente de água em um duto horizontal, de seçãotransversalcircular, com uma redução no diâmetro entre asseções B e C. Considerando propriedades uniformes nasseções transversais e que somente existeperda de carganaplaca de orifício, determine:

a) a vazão do escoamento; eb) a pressão na seção C.

Água

Figura 5.53

Água

Th

\u

t Placa de

orifício

5.44 A Figura5.54 mostra um esquema de uma instalaçãocom uma bomba que elevaágua com vazão Q = 0,02 m3/s.Os manômetros instalados nas seções (1) e (2) indicam,respectivamente, as pressõesp, = 80 kPa e p2 = 330 kPa.O duto de sucção tem diâmetro D = 10 cm e o tubo dedescarga da bombapossuidiâmetrod = 5cm.Considerandoque existe uma perda de carga hp = 12 mdeágua entre asseções (1) e (2), sendo páguâ = 1000 kg/m3 e H = 20m,determine a potência fornecida pela bombaao escoamento.

2.Água

(1)

Figura 5.54

Resp.: ^?Í =i2,2kVV.dt

Água

(2) -ÊJ

AÁgua

•-——-••.--^srrr v Capítulo 6 /— ——- - -^

IINTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DE \.

ESCOAMENTOS

6.1 INTRODUÇÃO ^No Capítulo 5, desenvolvemos uma análise dos escoamentos na formulação de volume de controle em que as equaçõesintegrais obtidas fornecem informações considerando balanços globais em volumes de controle macroscópicos. Nestecapítulo, deduziremos equações diferenciais que possibilitam um estudo mais detalhado dos escoamentos, ou seja, permitem a determinação das distribuições das grandezas intensivas em estudo.

6.2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE NA FORMA DIFERENCIALDeduziremos aequação diferencial da continuidade apartir da equação da continuidade na forma integral, com aaplicação do teorema da divergência (ou teorema de Gauss) do cálculovetorial.

O teorema da divergência permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, da seguinteforma: _

II G-n dA =III V-G áV (6.2.1)S V

onde:

S_é a superfície que envolve o volume V; eG é uma grandeza vetorial,

de forma que, em coordenadas retangulares, tem-se

Aplicando o teorema da divergência na integral de superfície da Eq. (6.2.4), obtém-se

Assim, a Eq. (6.2.4) fica sendo

G= G, i + G, j + G, k (6.2.2) ^

1

dx dy d z

No caso da equação da continuidade, agrandeza vetorial G é a densidade de fluxo de massa pV. Aequação da continuidade na forma integral é dada por • A

JJp(v-ü)*+£JJJ,ív-o (6.2.4) *

Jfp(v-n)áA =III V-pVáV (6.2.5)sc v.c.

*>

III V-pVdV +J~I\Ip^ =0 (6.2.6)V C V.C

tf*

Introdução à Análise Diferencial de Escoamentos 113


JJj(v.,v+£)*-o (6.,7)tf O volume decontrole é arbitrário, de forma que o integrando da Eq. (6.2.7) deve sernulo, resultando em

tf d0V-pV + _Z = 0 (6.2.8)

ff' dt

x queé a equação da continuidade naforma diferencial. Estaequação fornece um balanço diferencial de massa porunidadetf devolume para um volume decontrole infinitesimal fixo no espaço.-p, Em coordenadas retangulares, a equação diferencial da continuidade é dada por

e dx + dy dz dt ° (6-2-9)tf

tf Casos Particulares da Equação Diferencial da Continuidade:

tf a) Escoamento incompressível. Para escoamentos incompressíveis, tem-se p= constante, de forma que aEq. (6.2.8)m fica sendo

f V-V = 0 (6.2.10)

v b) Escoamento permanente. Nos escoamentos permanentes, aspropriedades dofluido e doescoamento são invarian-tf tes com o tempo, de maneira que a equação diferencial da continuidade se reduz a

^ V-pV =0 (6.2.11)Diversos problemas apresentam geometria cilíndrica, sendo, então, necessário utilizar as equações emcoordenadas

x" cilíndricas. Aequação diferencial dacontinuidade emcoordenadas cilíndricas (r, dez) é dada por

1 1d(rpVr) 1d(pV6) d(pVz) dp_af r dr r~W ~dz~~dl ~° {62A2)

r Casos Particulares da Equação Diferencial da Continuidade em? Coordenadas Cilíndricas:tf

a) Escoamento incompressível. Nos escoamentos incompressíveis, tem-se p = constante, de forma que a Eq. (6.2.12)tf se reduz atf\ 1d(rV,) JÍV. dV. n

tfb) Escoamento permanente. Nos escoamentos permanentes aspropriedades dofluido e do escoamento são invarian-

x tes com o tempo, de maneira que a equação diferencial da continuidade fica sendo

r dr r dd dztf

r 6.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE UM FLUIDO.f EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES^b Deduziremos aequação diferencial do movimento de um fluido apartir da segunda lei de Newton aplicada aum sistema

microscópico de massa Am.

tf s

114 Capítulo Seis a

Asegunda lei de Newton para omovimento pode ser expressa como r%

^ ~ (6-31) "*onde: _

"»

2^F éa força resultante que atua sobre osistema; e ^•• _ /^\

P$i$t é o momento linear do sistema, dado por

PSM = AmV (6.3.2) *§Osistema microscópico de massa Am considerado éum elemento fluido (partícula) de massa constante que se move ^

no campo de escoamento, de forma que asegunda lei de Newton para omovimento desse sistema microscópico de massa **Ampode ser escrita como *

dV>VF = Am—át (6.3.3)^™ aí

onde V é o vetor velocidade de escoamento do fluido.

Conforme vimos na Seção 4.2, a taxa de variação da velocidade, ——, fornece aaceleração das partículas fluidas no ^campo de escoamento. Essa diferenciação em relação ao tempo costuma ser chamada de derivada material oü substan- ^

tiva e, geralmente, érepresentada pelo operador — no lugar de — para salientar que aderivada em relação ao tempo 'é realizada seguindo-se a partícula fluida aolongo de sua trajetória. V?

Assim, aaceleração das partículas fluidas, considerando um sistema referencial de coordenadas retangulares, édada por ^

-_DV .. dV ^.. dV ^.. dV ^dV , , vfl-DT =v^ +v^ +v^ + T <63-4>

AEq. (6.3.4) é uma equação vetorial, de forma que ela pode ser decomposta em três equações escalares que, emrelação a um sistema de coordenadas retangulares, são dadas por ^

DV,o, =

X =v^+v^ +v.^ +^Dt x dx r dy : dz dt (6.3.5a)

„=^

/õib

f%

^%

/Sb

= ^VL+v'r^r1 + V:—^4-—i (6.3.5b)y Dt ' dx ydy • dz dt Vü"ü/ ^

DV* w dv- j.,, dV. ^„ dV. , dVz , /a:=—± = Vx—^ + Vy—^ + Vz—^ + —f (6.3.5c) ^Dt dx dy dz dt

O sistema microscópico que estamos considerando é um elemento fluido cúbico, com faces paralelas aos planos co- _ordenados, de massa Am e volume AV = AxAyAz, conforme é mostrado naFigura 6.1. '

Com aexpressão dada pela Eq. (6.3.4) para aaceleração, a segunda lei de Newton para o movimento do sistema de "^massa Am pode ser escrita como ^

rv.|Z+ ív+ í£+^] (636) 2dx ydy dz dt \ ^

> F = Am = Am** Dt

que pode serdecomposta em trêsequações escalares, dadas por

XF..^.Jv,íi+V^ +V.f4) (6.3.7.,^* Dt \ dx dy dz dt )

/Sib

tf

tf

tf

tf

tf

tf

tf

Introdução à Analise Diferencial de Escoamentos 115

>y

A / Ay

/

/• *

Ax

Figura 6.1 Elemento fluido cúbico comfaces paralelas aos planos coordenados.

> Fy = Am y- = Am Vx —- + V —- + V. y- 4 —Y-^ y Dt \ dx y dy • dz dt)

Y F. = Am - = Amdx dy ' dz dt

(6.3.7b)

(6.3.7c)

As forças que atuam sobre um elemento fluido são:

a) forças devidas às tensões normais;b) forças devidas às tensões cisalhantes; ec) pesodevido à aceleração gravitacional.

AFigura 6.2 mostra um esquema das tensões normais ecisalhantes que atuam sobre as faces do elemento fluido cúbiconsiderado.

Aforça resultante na direção x que atua sobre oelemento fluido é dada por

£F* =(°\*U, -o-Jx)AvAz4-(t„|i+A( -t„|JaxAz4-+(T»L* ~TjjAxA.v +p(±x\ylz)gx

onde péa massa específica do fluido egx éacomponente da aceleração gravitacional na direçãox.Com essa expressão para ^ Fx esendo Am =p(AxAyA^). acomponente xda segunda lei de Newton para o

mento fica sendo

(*«L* ~^«L)AyAz +(r„|v+Ay - rn[ )AxA, +(tJ^ - r^) AxAy ++p(AxAyAz)gx =p(A*AyAz)ív, ^ +V, ÍL. +V. ^L +ÊXz.)

\ dx d\ dz dt )

(6.3.8)

(6.3.l>i

Dividindo a Eq. (6.3.9) por AxAyAz e fazendo o limite quando o volume do elemento tende a zero, considerand.. .idefinição de derivada, obtém-se

<?o-„ ( dr„ [ <?Ta |\ dx dy dz dt J

(6.3.10..

que é a componente x da equação diferencial do movimento do fluido.Fazendo um desenvolvimento similar para as direções ye z. obtêm-se as componentes da equação difercnci.il d..

movimento nas direçõesye: dadas por

+ — +-3— +Pg, = P\vx —- + V, —^ 4- V. —-i- + —ídz l dx dr - dz dtdx dy (6.3.10b'

116 Capítulo Seis

4 z

yy\y

yz\y

'zy\z

'zz\z+áz

^ rzy\z+Az

4 ryz\y+Ay

7yy\y+&y

• <r.zz\z

*

Ax, y, z)

Ax

Ay

Az

rAz"

rxzl;

Tx*|;

rxy\xt

ryJ:

•f xxlx+Ax

*• rxzlx+Ax

rzx\z+Lz

'zz\z+Az

t c,xxlx

TwJ y+Ay

M O-yrf)

yxl y+Ay

*xylx+Ax

rxx|x+Ax• •

Figura 6.2 Esquema das tensões normaise cisalhantes que atuam sobre um elemento fluido.

dr„ dr^ dadx dy ^ + Pg*=P'V^ +V^ +V^-T

y dydvAdt ) (6.3.10c)

As Eqs. (6.3.1 Z"; jcv, "»s equações diferenciais do movimento de umfluido nas direções x.yez. Essas equações sãoválidaspara qualquer fluido quesatisfaça o modelo de meio contínuo. Observe queostermos dolado esquerdo dessas equaçõesrepresentam as forças que atuam sobre um elemento fluido, enquanto os termos do lado direito representam a taxa devariação do momento linear do elemento fluido.

Utilizando o operador derivada material, dado por

Dt dx ydy 'dz dt

pode-se escrever as componentes x,ye z da equação do movimento de um fluido da seguinte forma:

DVX _ dv„ <?t„ dr.p-^r~ - Pgx + —r2- + -=^- +

Dt dy

DV,Y _dr„ do-n <9t_,

Dt dy

(6.3.11)

(6.3.12a)

(6.3.12b)

/3|

f$!b

f^b

>^%

^^N

flStjj.

r^b

/%%

rfSb

f 7tf Itf

tf

tf

0*

tf

tf

tf-


DV,

Dt= Pgz +

dr.

dy(6.3.12c)

As tensões normais e cisalhantes que aparecem nas Eqs. (6.3.12) podem ser escritas em termos dos gradientes develocidade e propriedades do fluido. Adedução dessas equações está além dos objetivos deste texto, e a mesma pode serencontrada em livros mais avançados sobre o assunto. Para fluidos newtonianos, em escoamentos laminares as tensõesnormais e cisalhantes sãodadas pelasseguintes equações:

<rxt =-p~MV-v +2/i4rL3 dx

2 z r, dVr•p--pV-V + 2p,—±3 dy

<ra=-p-\pV-V +2p^3 dz

r _ (*V dV,

[dV. ^dV\

( dVx ^dVz)

onde p é a pressãoe péa viscosidade do fluido.Introduzindo essas relações nas equações do movimento do fluido, obtém-se

DVX = _dp_ _d_9 Dt Pêx dx + dx r2^-2-V-V

dx 3

M( dVv +dVr

+( dVx ( dVz

dy Kdx dy

DVy _ _<h + JLDt Pêy dy dx

( dVt 2- ^4-

dy

DV. dp d—- = ps. — —*- + —Dt W*~ dz dx

( dV. d^^dy P- dy

Mrdv1_+dvL

dy dx

P<dVz | dVydy dz

MI^+*V- +

+f-H

(6.3.13a)

(6.3.13b)

(6.3.13c)

(6.3.13d)

(6.3.13e)

(6.3.130

(6.3.14a)

(6.3.14b)

(6.3.14c)

As Eqs. (6.3.14) são as componentes x, yezda equação diferencial do movimento para umfluido newtonianodenadas retangulares.

em coor-

118 Capítulo Sas

Para escoamento incompressível, laminar ecom viscosidade constante, as equações diferenciais do movimento ficamsimplificadas. Para um escoamento incompressível (p = constante) tem-se que

^ =0 (6.3.15)e sendo a viscosidade p. constante, resulta que as Eqs. (6.3.14) ficam sendo

PDV*-n<, dV , (PVX ^d2Vx^d2V\—-p*-- + —+-^+-^J (6.3.l6a)

f^js

r

fSS

^+^+t/J (63i6b) "*

p£üH Dt

dp (d2vz ^d2vz ^d2vt)-Pê>dz+Íjs+^yt + t) (6316C)

Essas Eqs. (6.3.16) são as componentes x, ye z da equação diferencial do movimento para o caso de escoamentoincompressível, laminar e com viscosidade constante, chamada de equação de Navier-Stokes, que pode ser escrita numaforma vetorial como

DV

<»■£*»#♦'■***)-«■-£♦■(?**#*#) <«•»componente y:

-(•^♦^♦"■S-SH-jí"(d2Vy d2Vy d2Vy.

/•%

/Z%b

^h

/^\

P^ =Pl-Vp4-/xV2V (6.3.17) ^

Considerando coordenadas retangulares e a definição de derivada material, as componentes x, ye zda Eq. (6.3.17),que são chamadas deequações de Navier-Stokes, podem ser escritas como ^componente x: „*

W* ^„ Wx , „ dVx , dVx\ dp . (d2V, d2Vr . d2vA 1>

componente z: /%

(u dV- ^.i/ dv- _.!/ W* , Wz) dp (d2Vz d2V, d2VA , ^

Para o caso de um escoamento ideal, onde não hámanifestação dos efeitos viscosos, a Eq. (6.3.17) se reduz a

P-TT-=Pg-Vp (6.3.19) ^

que é conhecida comoequação deEuler. /%As equações domovimento dofluido e dacontinuidade formam um sistema dequatro equações diferenciais simultâ

neas de ondese podem obteras distribuições de velocidade e pressão para umdado escoamento. Porcausada natureza *não-linear das equações diferenciais do movimento de um fluido (a não-linearidade aparece nos termos da derivada ^material), há soluções analíticas somente para alguns problemas simples. ^

Diversos problemas apresentam geometria cilíndrica, sendo, então, necessário utilizar as equações emcoordenadascilíndricas. As componentes da equação diferencial do movimento para um escoamento laminar e incompressível deum ^fluido newtoniano com massa específica eviscosidade constantes, ou seja, as componentes da equação de Navier-Stokes ^em coordenadas cilíndricas (r, de z), são dadas por:

/^!\

r Ttf

tf

tf

tf

tf-

tf


componente r:

componente 6:

componente z:

, dt ' dr r dB r *dz) Pê' dr+ p

dl 1 d

dr[ rdr^Vrn+ r2 dd2 r2 de1 d2V, 2 dV, . d2Vr

dVa4-V.

dV, _ VadVa VV'e , v$ v v$ r y9+ V

dVe) \dp^'77 rpg<--rde +dt r dr

+ p

de

*0*H-

dt dr r de dz

+ p1 d

r dr

dV\^ 1 d2Vz , d2V.»—=—=-1 -I- —^—-—L +

r

1 d2V(

r2 de2

2 dV,

r2 de*+^+*Vl

dV.)-dTrpg>-

iz +

r2 de2

(6.3.20a)

(6.3.20b)

(6.3.20c)

6.4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DETRANSPORTEDE CALOR

Deduziremos aequação diferencial de transporte de calor apartir de um balanço de energia térmica, para escoamentoincompressível, no qual não ocorre dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e também não há fontes de geraçãointerna de calor.

Aprimeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle éexpressa pela equação da energia na formaintegral, que pode ser escrita como

f-^ =í|H}(M^íp*onde eéa energia total específica (por unidade de massa), dada por

V2e = gy + —•• «

6/ 2

(6.4.1)

(6.4.2)

sendo que aenergia interna específica uéproporcional àtemperatura, de forma que u= cvT, em que cv éocalor específico a volume constante.

Considerando as seguintes hipóteses:

a) escoamentoincompressível;b) não há realização de trabalhode eixo;c) não ocorre dissipação deenergia mecânica por atrito viscoso; ed) sem fontes de geração interna de calor,

a equação da energia fica reduzida a

sc v r ' v.C.

(6.4.3)

120 Capítulo Shs

Aenergia total específica eé composta de termos de energia mecânica e energia interna, conforme a Eq. (6.4.2). ^Considerando somente o balanço de energia térmica, tem-se que _

/

SC VC

(6.4.4)

AEq. (6.4.4) fornece um balanço global de energia térmica para um volume de controle macroscópico efixo no espa- f$ço, emque o primeiro termo representa o fluxo líquido decalor que entra por condução novolume decontrole e o termo ^%da integral de superfície fornece ofluxo líquido de calor que entra por convecção (calor transferido pelo movimento demassa fluida) através da superfície de controle. ^

O fluxo líquido de calor que entra por condução no volume de controle é dado por /m

7?"JJ(i--)" <«•«> 1s.c '

onde q é a densidade de fluxo de calor por condução que cruza a superfície de controle S.C. ^Osinal é negativo naEq. (6.4.5), porque arbitra-se como positivo ofluxo de calor que entra no volume decontrole, ou a

seja, para q • n < 0.Assim, a Eq. (6.4.4) fica sendo "^

/%ib

~H (q-n)dA =II cv Tp[v-n)dA +|-JJJ cv TpdV (6.4.6) ^s.c s.c vc.

Doteorema da divergência, paraumagrandeza G genérica tem-se que '

JjG-ndA =JJJV-GdV (6.4.7) *$s.c. V.C. /m

Aplicando o teorema da divergência, pode-se escrever a Eq. (6.4.6) como

j-(cvTp) +V-(cvTpV) +V>qOvolume de controle éarbitrário, de forma que ointegrando da Eq. (6.4.8) deve ser identicamente nulo, ou seja, ^

^-(c„Tp)4-V-(cvTpV)4-V^ =0 (6.4.9) ^dt ' ' /s\

Tem-se que/9\

V-(cvTpV) =cvTpV-V +V-V(cvTp) (6.4.10)de maneiraque a Eq. (6.4.9) pode ser escrita como m*

- /%

yt(cv Tp) +cv TpV-V +V-V(cr Tp) +V-5 =0 (6.4.11) ^

Estamos considerando escoamento incompressível (p = constante), de forma que, da equação diferencial da conti- ^nuidade, tem-se ,»

V- V = 0 (6.4.12) /%

de maneira que, considerando também calor específico constante, a Eq. (6.4.11) pode serescrita como ^

pcv?-j+pcvV-VT +\?-q=0 (6.4.13) ^Da equação de Fourier, tem-se que a densidade de fluxo de calor por condução é dada por v

q = -k\7T (6.4.14)

onde feéa condutividade térmica. ~,

MC. L

áV = 0 (6.4.8)

/^\

tf'

tf

1Introdução à Análise Diferencial de Escoamentos 121

Substituindo essa expressão para q na Eq. (6.4.13), obtém-se

dTcv — 4-pc, V-VT4-V-(-fc VT) =0 (6.4.15)

Sendo a condutividade térmica kconstante, resulta que a Eq. (6.4.15) fica sendo

d T - -pcv—- + pcvV-VT - kWT =0 (6.4.16)

d t

onde V2Té o laplaciano da temperatura que, emcoordenadas retangulares, é dado por

_2 T d2 T _,_ d2 T ^ d2 TV2T =^xT +^yT^J7 (6.4.17)

AEq. (6.4.16) éaequação diferencial de transporte de calor para um escoamento incompressível onde não ocorre dissipação de energia poratrito viscoso e não há fontes de geração interna de calor, e a condutividade térmica e o calorespecífico são constantes. Essa equação apresenta um balanço de energia térmica para um volume de controle infinitesimal efixo, onde osegundo termo corresponde ao fluxo de calor por convecção eoúltimo termo corresponde ao fluxo decalor por condução.

Asolução da Eq. (6.4.16) fornece adistribuição de temperatura em escoamentos com as restrições consideradas, ouseja, para escoamentos incompressíveis, com calor específico e condutividade térmica constantes, e onde não ocorredissipação de energia mecânica por atrito viscoso e não há geração interna de calor.

Nesses escoamentos, quando aviscosidade do fluido não depende da temperatura, pode-se resolver as equações diferenciais do movimento independentemente da equação diferencial de transporte de calor. Essas situações podem ocorrer em casos de convecção forçada. Com as distribuições de velocidade obtidas com as equações do movimento, pode-seobter, por meio da Eq. (6.4.16), a distribuição de temperatura.

Em termos daderivada material, a Eq. (6.4.16) pode serescrita como

DTPcv— = kV2T (6.4.18)

onde:

D - d 4. f- r

é o operador derivada material.

Para escoamentos isobáricos, com calor específico econdutividade térmica constantes, eonde não ocorre dissipaçãode energia mecânica por atrito viscoso enão há geração de energia interna, aequação diferencial de transporte de calorfica modificada, sendo dada por

DTPcP-^- =í:V" / (.6.4.20.

X Adifusividade térmica a é definida por

de forma quea Eq. (6.4.20) pode serescrita como

k<* = (6.4 21

PCr

V*T- l DTa Dt

_ Para situações de fluidos incompressíveis submetidos àpressão constante eem repouso, ou para sólidos, tem-se queV- 0, ou seja, otermo de transporte convectivo énulo. de forma que atransferência de calor ocorre somente por cm-

122 Capítulo Seis

dução, com condutividade térmica ecalor específico constantes esem geração interna de calor; resulta que aEq. (6.4.22)se reduz a

v>r=if (6.4.23)que é conhecida como a equação dadifusão decalor.

NoCapítulo 9 estudaremos mais detalhadamente essa equação da difusão de calor.

6.5 FORMULAÇÃO (MODELAGEM MATEMÁTICA) ESOLUÇÕESPARA ALGUNS PROBLEMAS SIMPLES

Aresolução das equações diferenciais para o movimento (ou equações de Navier-Stokes) e de transporte de calor, emgeral, é de grande complexidade. Obtêm-se soluções analíticas somente para problemas relativamente simples. Nossoobjetivo, tendoemvistaque este texto sedestinaa umadisciplina introdutória sobre o assunto nociclobásico doscursosdeengenharia, é tratarda formulação dos problemas e daobtenção das soluções analíticas paraproblemas relativamentesimples.

A formulação de um problema consisteem:a) expressar corretamente as equações diferenciais que descrevem o problema em estudo;b) obter simplificações dessas equações diferenciais, se possíveis, mediante considerações adicionais consistentes; ec) determinar as condições de contorno e inicial parao problema considerado.Assim, aformulação deum problema implica uma modelagem matemática deuma situação física, onde estão presen

tes os princípios de idealização e aproximação. A seguir, estudaremos alguns problemas e determinaremos as soluçõessomente para casos simples.

! Exemplo6.1 " * "•' " / '* '

Determinação dasdistribuições de pressão e develocidade emumescoamento permanente e incompressível, deumfluido newtonianocomviscosidade ftconstante, entreduas placas paralelas, degrandes dimensões e separadasporumadistância hpequena. Aplacasuperiorestáem movimento comvelocidade V0 constante, enquantoa inferiorpermaneceem repouso,conforme é mostrado no esquemada Figura6.3.

O escoamento é causado pelomovimento daplaca superior, quearrasta o fluido devido aoatritoviscoso. As placas sãohorizontais, e considerando que possuemdimensões (largura e comprimento) infinitas, tem-se que o escoamentoocorrena direçãox com um campo de velocidade unidirecional que pode, em princípio, ser escrito como

V= Vx(x,y)l

\\\ \\ \ \\ \\ \ \\ \ \\ \vo

Fluido

r7 / / / / / //////// / / / •> x

Figura 6.3 Esquema de um escoamento entre duas placas paralelas de dimensões infinitas.

a%

/$ss

/%

/%

/%

rf%

/Sb

ff^b

&.r^b

/%

titf •

x Introdução à Análise Diferencial de Escoamentos 123tf

tf O escoamento é incompressível e a viscosidade é constante, de forma que utilizaremos a equação da continuidade^ (Eq. (6.2.9)) eas componentes xeyda equação de Navier-Stokes (Eqs. (6.3.18 aeb)), dadas por

<P J(pv.) , *K) , HpK) , <?P _Q(P <?x <?y <?z <?t

v, +^k +<?*v.dy7

P

Hipóteses:

<?(P • escoamento permanente, de forma que —(..) = 0;dt

tf • escoamento incompressível, portanto, p = constante;jp • oeixo yé vertical, de maneira que gx = 0 egy = -g;' • oescoamento écausado somente pelo movimento da placa superior, de forma que não há gradiente de pressão nap direção x, ou seja, —^ =0; e-^ • ocampo de velocidade éunidirecional na direção x, de maneira que Vy = V. = 0.^, Com essas hipóteses feitas, aequação da continuidade se reduz a

tf dVx _Q#* dx

jp» de forma que Vx não depende de x, ou seja, tem-se que

x e as componentesxeyda equação de Navier-Stokes ficam reduzidas atf

tf P--TT = 0tf

tf dp• j = ps.

#* «y

p Desta última equação, como gy = -g, obtém-se adistribuição de pressão

t p(y) = p(0) - pgyAdistribuição de velocidade de escoamento éobtida da equação

tf

tf

tf

tf

tf

rfy-

que temsolução geral dadapor

Vx(y) = ay + b

Da propriedade de aderência dos fluidos às superfícies sólidas (condição de não-deslizamento do fluido nas superfícies sólidas), obtêm-se as condições de contorno

para y = 0, tem-se que Vx(0) = 0; e

paray = h, tem-se que Vx(h) = V0

124 Capítulo Seis

resultando

v.M =frEssa distribuição de velocidade é linear. Assim, aconsideração feita na Seção 2.4, de que operfil de velocidade de

escoamento após o estabelecimento de um regime permanente seria linear, estava correta.

EXEMPEO 6.2

Considere uraescoamentopeimaflenter \ano comviscosidade-p*constante, no müôTde um duto •conforme é mostrado noesquenmda. E%ira- 6.4. LOeterjnmeaalsrjibmçâtt (perfil) dkvelbcfciacfkdè escoamento-

numa seçãoâpartir daequação deNaviet-StokeS) considerandoum gradiente de pressão> —£ constante aafongo1 •<do escoamentos .,-;.-„-.~. -...•--•--

Tem-se um duto cilíndrico horizontal, demaneira que escolhemos um sistema decoordenadas cilíndricas com o eixoz coincidente como eixo longitudinal da tubulação.

Consideram-se as seguintes hipóteses:

• escoamento permanente,de forma que —(..) = 0;dt

• escoamento incompressível, portanto, p = constante;• escoamento horizontal, de forma quegt = 0;

• gradiente de pressão -~ = constante; edz

• escoamento unidirecional nadireção z, laminare totalmente desenvolvido, de maneira que se tem

Vr = 0

v, = o

dV.

dz

dVzde

= o

=o

de forma que utilizaremos a componente zdaequação de Navier-Stokes (Eq. (6.3.20c)), dada por

dt dr r de dz ) dz

+ pr dr

( dvA , 1 dlV. d2V.dr de'

Escoamento

Figura 6.4 Esquema de um duto horizontal, de seção transversal circular constante, onde ocorre um escoamento laminar totalmente desenvolvido.

r

fîb

r^b

i$üb

/^b

<^

rmib

/$6b

Z^b

f*$$\

/sus

. f^b

•1

tf

tf

tf

tf

tf

tf

tf


Com as hipóteses feitas aqui e com a velocidade de escoamento Vz sendo função somente da coordenada radial r, acomponente zdaequação de Navier-Stokes sereduz a uma equação diferencial ordinária, que pode serescrita como

\_â_( dV.A_ 1dprdr\ dr ) p dz

Integrando duas vezes essa equação diferencial, obtém-se a solução geral

4p, dz

As constantes de integração cxec2 são determinadas com a aplicação das condições decontorno à solução geral. Ascondições de contorno são obtidas através de uma análise da situação física do problema. Na superfície interna do duto,em r = fi, tem-se acondição de não-deslizamento do fluido (aderência do fluido à superfície sólida). No centro daseçãotransversal, em r = 0,não seconhece ovalor da velocidade de escoamento, mas pode-se afirmar que avelocidade é finita.

Assim, as condições de contorno desse problema são:

para r = 0, tem-se que V.(0) é finita; epara r = R, tem-se que V,(fi) = 0.

Para que asolução satisfaça a primeira condição de contorno é necessário que aconstante de integração c, seja nula,de forma que

c, = 0

Aplicando a condição de contorno para r = R, obtém-se

4p dz

Substituindo os valores de c, e c2 na solução geral, obtém-se a distribuição develocidade

Ap dz


v.(,)~-L^n* -íü!Verifica-se, experimentalmente, que avelocidade de escoamento émáxima no centro do duto, ou seja,

para r = 0, tem-se que V.iO) = Vmáx

de forma que

V. =-±iliv' max , , ''4p, d z

Assim, em termos de V^, adistribuição de velocidade de escoamento numa seção édada por

V;(r)=Vn. -(;)'

Exemplo 6.3

Determinação da distribuição de velocidade para um escoamento laminar, totalmente desenvolvido, de um fluidonewtoniano, de massa específica peviscosidade p, constantes, sobre um plano inclinado com largura ecomprimento infinitos. Oescoamento épermanente eaespessura da camada de fluido sobre oplano éL, conforme émostrado no esquemada Figura 6.5.

126 Capítulo Seis

Figura 6.5 Esquema deum escoamento laminar sobre um plano inclinado dedimensões infinitas.

Consideram-se as seguintes hipóteses:

• escoamento permanente, de forma que —(..) = 0;dt

• escoamento incompressível, portanto, p = constante;• oeixo yénormal ao plano, de maneira que há uma componente xda aceleração gravitacional, na direção do esco

amento, dada porgx= g sen 0;• oarsobre a superfície livre (S.L.) está em repouso;

• oescoamento édevido àação da gravidade, de forma que não há gradiente de pressão na direção x, ou seja, -?-= 0; e• oplano tem dimensões infinitas eoescoamento é laminar, de maneira que omovimento do fluido é unidirecional

na direção xcom uma distribuição de velocidade, em princípio, dada por V= VX (x,y)l.Aequação dacontinuidade ((Eq. 6.2.9)) é dada por

e como

obtém-se

d(PVx) ,. d(pVy) _y d(pV:) ( dp _dx dy dz dtdy

p = constante

V= Vx(x,y)1

Vy = Vz = 0

dVr= 0

de forma que a velocidade Vx não depende dex, ou seja,

V= Vx(y)l

As componentes xeyda equação de Navier-Stokes (Eqs. (6.3.18 a e b)) podem ser escritas como

{*-%"'%+*•% +%)->>.-&*{&vx , d2Vx , <?2V——- H 4- dz2 )df

^s

7^\

(<S8jV

f^b

r^í\

/^j

•7

tf

tf

tf

tf


(ir dVY w dVY w dVY dVY^Kv--9t+v'-ãt+v--ãzL+-*ri">

d2V, <?2V d2V.- V1 + Mhr-f-+ ^ +<?y v,<?*2 <?y2 <?z2

Com as hipóteses aqui feitas, tem-se

ü<-> = 0

<?VX_dx

= 0

dVx_dz

= 0

vy = vz = 0

dp _Jx~~

0

de maneira que as componentesx e y da equaçãode Navier-Stokes ficam reduzidas a

d2VxP< dy2 + Pgx = 0

dp

que podem ser escritas como

d2V* Pg ndy2 p

àp-j- = -pgcosedy

Integrando essa última equação, comas condições de contorno

para y = 0, tem-se que p = p(0)

para y = y, tem-se que p —p(y)

obtém-se a distribuição de pressão

p(y) = p(0) -pgicos e)y

Sendo

resulta

P(0) = patm + Pgicos e) L

P(y) - Patm + flg(cos e) (L- )) para 0 < y < L

Paraesse escoamentosobre o plano inclinado, tem-se:

a) condição de aderência (não-deslizamento) do fluido à superfície sólida em y= 0, de forma queVx(0) = 0

b) como oarsobre a superfície livre está em repouso, pode-se considerar que a tensão de cisalhamento é nula em \L, ou seja,

"W •/*•dV.

= 0

y = L

128 Capítulo Seis

de maneira que

Assim, tem-se a equação diferencial

que tem solução geral dada por

com as seguintes condições de contorno:

dy= 0

W*. Pg a. , = ——-sen0dy2 p

1/ / \ pesenfl ,

para y = 0, tem-se que Vx(0) = 0

r àVx(L) npara y —L, tem-se que —£-i—- = 0

dy

Aplicando as condições de contorno à solução geral, obtém-se

c2 = 0

_ pg(senfl)Lci

P-

resultando

que é a distribuição de velocidade parao escoamento considerado.

Exemplo 6.4 i

A Figura 6.6 mostra umesquema de umfluido newtoniano com massa específica p e vi:;cosidade p., constantes,sobre uma placa horizontal de comprimento e largura infinitos. Inicialmente, o sistema (placa e fluido) está em ^repouso^Noinstante de tempo t = 0, a placa é colocada subitamente em movimento comvelocidade constante "%V = V0 i. Formule o problema transíentepara a determinação da distribuição de velocidade de escoamento dofluido. ^

/^

Hipóteses: 7/sib

• escoamento incompressível, ou seja, p = constante; '• a viscosidade p, é constante; ^• oescoamento é causado pelo movimento da placa, de forma que não há gradiente de pressão na direção x, ou seja. ^

_£. = 0;e *%dx

• a placa é horizontal com dimensões infinitas, e oescoamento é laminar, de maneira queo movimento do fluido é "%unidirecional, na direção x, com uma distribuição transíente de velocidade dada, em princípio, por ^

V= Vx(x,y,t)l ^

A equação da continuidade (Eq. (6.2.9)) é dada por '

dx dy dz dt

L^|

/^

/f$ís\

tf -

tf

tf

tf

tf

tf

tf

tf-

mas, tem-se que

resultando


}fFluido

Vx(y,/l) numinstante r-j

, , / i ,,,/,//// i > > > ; > > > > i -+ x

Figura 6.6 Esquema da distribuição de velocidade dofluido sobre a placanuminstanteíj.

p = constante

V=Vx(x,y,t)l

V, = V, = 0

dK

dx= 0

de forma que a velocidade de escoamento Vx não depende de x, ou seja, a distribuição de velocidade é unidimensional,sendo dada por

V= Vx(y,'t)7

Acomponente x daequação de Navier-Stokes (Eq. (6.3.18a)) pode serescrita como

1 dx y dy ' dz ddVx\ dp (-jrr^-fx+i

Com as hipóteses feitas, tem-se

V, = Vx(y,t)

V = V. = 0

dV^- = 0

d2V

dx2

d2\'

L = o

x- = 0dz2

g, = 0

dx

d2Vx + çW*_ + d2V,dx2 dy2 d:

130 Capítulo Seis

de maneira que a componente x daequação de Navier-Stokes fica reduzida a/$%

dVx d2Vx ^P— = P

dt <?y2 /%


dV, _ <?2VX ^dt <?y2 *^j)

onde v —— é a viscosidade cinemática do fluido.

Tem-se:

a) inicialmente, a placa e o fluido estão em repouso, ou seja, Vx(y,0) = 0;b) condição de aderência (não-deslizamento) do fluido àsuperfície da placa, em y= 0, de forma que Vx(0,t) = V0; e ;c) na região bastante afastada da placa, para y= a>, ofluido não sofre ainfluência do movimento da placa epermanece *3

em repouso, ou seja, Vx(<*>,t) = 0. *»

Assim, para este problema, tem-sea seguinte formulação: /*%Equação diferencial:

dVx(y,t) _ d2VJy,t) J0Sy<oo «^= v —-—-— para {','dt dy2 " lt>0

Condição inicial: *%

< y < 00

0

^%y

Vx(y,0) =0 para í°f

Condiçõesde contorno: ^

Vx(0,í) = V0 para

Vx(*>,t)= 0 para

fy = 0\t>0

(y = OC\t>0

fWb

/^i

6.6 BIBLIOGRAFIA 1

BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978. ^BIRD, R. B.; STEWART, W. E. &LIGHTFOOT, E. Transport Phenomena. John Wiley, 1960. ^FOX, R. W. & MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1988.SISSOM, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979. ^WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976. <m.

6.7 PROBLEMAS

6.1 A Figura 6.7 mostra um esquema de um escoamento ylaminar e incompressível, em regime permanente, de um Resp.: Vx(y) = V0 ——y para 0áy<li ifluidonewtonianocom viscosidadep,constante, entre duas "^placas horizontais de dimensões infinitas e separadas por 6.2 AFigura 6.8 mostra um esquema de um escoamento ^uma distância h pequena. A placa superior permanece em laminar, totalmente desenvolvido, em regimepermanente,repouso, enquanto a inferior move-se com velocidade V0 de um fluido newtoniano com massa específica p e viscosi- 1constante. Formule oproblema e determine adistribuição dade p constantes, entre duas placas estacionárias, parale- /^de velocidade de escoamento do fluido entre as placas. Ias e horizontais, de grandesdimensões (dimensões infini-

/^b

/£%

/^s

PT

tf

tf

tf

tf

tf

tf

tf

tf*

tf

tf'

tf»,

tf

tf

tf

tf


a y

\\\\\\\\\\\\\\\ \\\

Fluido

\ \\ \ \ \ \ \ \ \ V \ \ V \ \\\

Figura 6.7

tas no planoxz) e separadas por uma distânciah pequena.O escoamento é unidirecional na direçãoxeé causadopor

um gradiente de pressão —— constante dadodx

Determine, a partir da equação de Navier-Stokes, a distribuição de velocidade de escoamento Vx(y) do fluido entreas placas.

.(*:•)

\\\\\\\w\\\\\\ \\\

X

Figura 6.8

Resp.: K(y) =—I ~£ \{y2 ~hy) para 0<y<h

6.3 A Figura 6.9 mostra um esquema de um escoamentolaminar, totalmente desenvolvido, emregime permanente,de um fluido newtoniano com massa específica pe viscosidade p constantes, entre duas placas paralelas e horizontais, de grandes dimensões (dimensões infinitas no planoxz) e separadas por uma distância h pequena, sendo queaplaca inferior permanece estacionaria. O escoamento éunidirecional na direção x e é causado por um gradiente de

dp < *- ^- •i i i (dppressão —— constante dado —«- < 0. i dx V dx j

da placa superior, que tem velocidade V0 constante, conforme é mostrado na Figura 6.9. Determine, a partir daequação de Navier-Stokes, a distribuição de velocidade deescoamento Vx{y) do fluido entre as placas.

\ n n \ \ \ \ ^ v x rr-

e pelo movimento

//////////////////

Figura 6.9

para 0 ^ y ^ h

6.4 A Figura 6.10 mostra um esquemade um escoamentolaminar, totalmente desenvolvido, emregime permanente, deumfluido newtoniano commassa específica p e viscosidadep constantes, entre duas placas paralelas e horizontais, degrandes dimensões (dimensões infinitas no plano xz) e separadas por uma distância h pequena, sendo quea placa inferior permanece estacionaria. O escoamento é unidirecional

nadireção xeé causado por um gradiente de pressão —constante dado, que produz o deslocamento do fluido nosentido positivo do eixo x, e pelo movimento da placa superior, quetem velocidade com módulo V0 nosentido negativodoeixo x, conforme é mostrado na Figura 6.10. Determine,a partir daequação de Navier-Stokes, a distribuição develocidade deescoamento Vx(y) do fluido entre as placas.

•> v n } ^ V \ ^ v ^ V V s \ V

////////////>/// / /

Figura 6.10

Resp:V-(>')=i(!^-*>)-£>para 0 ^ y ^ h

6.5 Façaumaanálisecomparativa das situaçõesfísicas dosProblemas 6.2, 6.3 e 6.4 e respectivas soluções. Verifiqueque a distribuição de velocidade de escoamento do fluidoentre as placas é a resultante de umadistribuição parabólica de velocidade devido aogradiente de pressão mais um.idistribuição linear de velocidade devido ao movimento diurna das placas. Faça uma análise comparativa através derepresentaçõesgráficas dessas distribuiçõesde velocidade

132 Capítulo Seis

6.6 A Figura 6.11 mostra um esquema de um fluidonewtoniano, com massaespecíficap e viscosidade p, constantes, entre dois cilindros muito longos, verticais ecoaxiais. O cilindro central, que tem raio fi,, permaneceestacionário, enquanto o cilindro externo de raio internofi2 possui velocidade angular o>0 constante, de forma queoescoamento do fluido é laminar e emregime permanente. Determine, a partir da equação de Navier-Stokes, a distribuição de velocidade de escoamentoVg(r) do fluido entreos cilindros.

Figura 6.11

Resp.: Ve(r)= a>0fi2±r ^(RL_R1

para fi, <r<fi2

6.7 A Figura6.12 mostra um esquema de um fluidonewtoniano, com massa específica p e viscosidadep, constantes,entre dois cilindros muito longos, verticais e coaxiais. Ocilindrocentral de raiofi, possuivelocidade angular a>, e ocilindro externo de raio interno fi2 tem velocidade angular

(ú2, constantes, de forma que o escoamento do fluido é laminar e permanente. Determine, a partirda equação deNavier-Stokes, a distribuiçãode velocidade de escoamentoV$(r) do fluido entre os cilindros.

Figura 6.12

Resp.: Ve(r)(íV-K.2)

X (,2fi/-.,fi12)r+R|2fii2(M|~a,2)

para fi,SrSfi2

6.8 Um fluido newtoniano, de massa específica p e viscosidade p, constantes, ocupa a região entre dois cilindrosmuito longos, verticais e concêntricos, tal como é mostradonoesquemada Figura 6.12.Considere a situação em que.inicialmente, os dois cilindros têm a mesma velocidade angular <t)0 constante. Se o cilindro central subitamente ficaem repouso,formuledetalhadamente o problematransíentepara a distribuição de velocidade de escoamento Vg(r, t) dofluido entre os dois cilindros.

/^i&

f^k

pi

—* — v Capítulo 7r

~^

r

INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA* DE CALORtf ••**TTfHS

7.1 INTRODUÇÃOr

estuda as relações entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor e trabalho com a vizinhança, fornecendoinformações sobre aquantidade de energia (calor) envolvida para osistema passar de um estado inicial a um estado finalnum dado processo termodinâmico.

Atransferência de calor éa área da ciência que estuda os mecanismos de transporte de calor e a determinação dasdistribuições de temperatura e dos fluxos (taxas de transferência) de calor.

Existem três mecanismos de transferência de calor: condução, convecção eradiação. Neste capítulo, vamos caracterizá-los e apresentar as equações que fornecem as densidades de fluxo de calor para esses três modos de transferência.

Define-se fluxo de calor (taxa de transferência de calor) como aquantidade de calor que é transferida através de umasuperfície por unidade de tempo, edensidade de fluxo de calor como aquantidade de calor que étransferida por unidade detempo epor unidade de área, ou seja. adensidade de flu.xo de calor éa taxa de transferência de calor por unidade de área.

tfOmecanismo de transferência de calor por condução se caracteriza pela transferência de energia térmica em um meiomaterial sólido ou fluido, causada pela existência de um gradiente de temperatura.

Verifica-se, experimentalmente, que adensidade de flu.xo de calor por condução édiretamente proporcional ao gradiente de temperatura. Para um processo unidimensional de condução, na direção x, pode-se escrever que

,dT</<--^— (7.2.1)

d \

onde:

qx é a densidade de fluxo de calor por condução na direção v;dT

Calor pode ser definido como aenergia que é transferida em função de uma diferença de temperatura. Atermodiinamica

7.2 CONDUÇÃO

—— é o gradiente de temperatura na direção x; e

e

r

AEq. (7.2.1) éuma expressão unidimensional da equação de Fourier para acondução de calor que. para um caso geral,pode ser escrita numa forma vetorial como

e

r

f

r

r

dx

ké ocoeficiente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material.

Adensidade de flu.xo de calor éataxa de transferencia de calor por unidade de área, de forma que aEq. (7.2.11 podeser escrita como

onde:

Q, é o flu.xo de calor por condução na direçãox; eA é a área da seção normal ao flu.xo de calor.

q = ~kVT ,-2;

134 Capítulo Sete

Osinal negativo na equação de Fourier para acondução de calor édevido ao fato de ofluxo de calor por condução serno sentido contrário ao gradiente de temperatura.

O mecanismo decondução de calor consiste em uma transferencia deenergia térmica através de um meio materialsólido ou fluido, em função de um gradiente de temperatura, da região de maior temperatura para a região de menortemperatura. Atemperatura é uma medida macroscópica daatividade térmica atômica oumolecular emuma substância,de forma que acondução de calor consiste em uma transferência de energia entre as partículas, onde as mais energéticascedem parte de suaenergia às partículas vizinhas que possuem energia menor.

Observa-se que, em geral, os bons condutores elétricos são também bons condutores de calor. Os metais puros (comocobre, ouro, prata e alumínio) apresentam grandes concentrações de elétrons livres, de maneira que nesses metais, alémdo mecanismo de interação molecular (ou vibração darede), também ocorre uma condução decalor através dos elétronslivres, queé o mecanismo predominante nesses metais puros.

Acondutividade térmica é uma propriedade do material que indica acapacidade do meio em conduzir calor e,geralmente, depende dá temperatura.

7.3 CONVECÇÃOO mecanismo deconvecção secaracteriza pela transferência decalor causada pelo deslocamento de massa fluida. Numfluido em movimento, onde existe uma distribuição não-uniforme de temperatura, o calor é transferido pelo transportede massa fluida e, também, porcondução devido aos gradientes de temperatura.

Atransferência decalor por convecção é usualmente classificada, em função do escoamento, em convecçãoforçada econvecção natural ou livre. Tem-se convecção forçada quando o escoamento dofluido é causado por agentes externos,tais como ventiladores ou bombas. Naconvecção natural oulivre oescoamento é causado por forças de empuxo devidasaosgradientes de massa específica produzidos pelas diferenças de temperatura no fluido.

Quando um fluido estáemmovimento sobre uma superfície sólida pode-se, deuma maneira geral, dividir ocampo develocidade de escoamento em duas regiões principais: juntoà superfície sólida há uma região com gradientes de velocidade que é chamada de camada limite hidrodinâmica; e mais distante da superfície sólida (fora da camada limitehidrodinâmica) existe uma região que apresenta distribuição uniforme de velocidade, chamada de escoamento livre.

Analogamente, quando existe diferença de temperatura entrea superfície sólida e o fluido adjacente pode-se dividir ocampo de temperatura no fluido em duas regiões principais: juntoà superfície sólida há uma região comgradientes detemperatura que é chamadade camada limite térmica; e mais distanteda superfície sólida (fora dacamadalimitetérmica)existe uma região onde o fluido apresenta distribuição uniforme de temperatura.

Consideremos uma situação de transferência de calor, por convecção forçada, de uma placa sólida aquecida, cujasuperfície é mantida à temperatura Ts constante, paraumfluido adjacente que possui temperatura Tx, conforme é mostrado no esquema da Figura7.1.

Fluido

Kr

Placa aquecida

To >Trr

Figura 7.1 Esquema da transferência de calor por convecção forçada de uma placa aquecida para um fluido.

/^b

/^\

f^b

^b

/^b

/ê$\

/*^\

r®b

/9b

/wÇb

/^b

^

^

tf" Introdução àTransferência de Calor 135

#»- Devido à propriedade de aderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas, existe uma películafluida em repousoaderida à placa, de forma que nessapelícula, ondea velocidade de escoamento é nula, o caloré transferido somente por

^ condução.tf Ainfluência retardadora que a placa exerce sobre qmovimento das partículas fluidas sepropaga à medida que ofluidoj^ escoa sobre a superfície sólida, de maneira que a espessura 8 da camada limite hidrodinâmica aumenta em função da^ coordenada x, que tem origem no bordo de ataque da placa.tf Quando a superfície da placa e o escoamento livre do fluido possuem temperaturas diferentes, ocorre o desenvolvi-ip mento de uma camada limite térmica com espessura ÔV que aumenta à medida que o fluido escoa sobre a superfície

sólida.

v Arelação entre as espessuras dascamadas limites hidrodinâmica e térmica dependede um parâmetro adimensional,tf chamado de número de Prandtl e representado por Pr, que é definido como oquociente entre aviscosidade cinemática e.p, a difusividade térmicado fluido, ou seja,

tfPr = - (7.3.1)

a

O número de Prandtl fornece uma medida relativa entreas intensidades do transporte difusivo de momento linear eda transferência difusiva de calorque ocorrem nascamadas limites hidrodinâmica e térmicaem escoamentos laminares.Para osgases, o número de Prandtl é próximo da unidade, de forma queos transportes difusivos de momento linear e decalor são relativamente damesma ordem degrandeza e,conseqüentemente, para osgases ascamadas limites hidrodinâmicae térmica possuem espessuras aproximadamente iguais (8 « ÔV). Para os metais líquidos, tem-se Pr << 1, resultandoque ÔV » 8. Para osóleos viscosos, tem-se Pr » 1, de forma quepara osóleos 8 » &r.

Com o conhecimento da condutividade térmica do fluido e do gradiente de temperatura na película fluida que ficaaderida à superfície sólida, pode-se, por meio daequação deFourier para acondução, determinar adensidade defluxo decalor que é transferida da placa para o fluido. Considerando um eixo y, perpendicular àplaca, com origem na superfíciesólida, tem-se que

- ldT

onde:

(7.3.2)y-0

0s qéa densidade de fluxo de calor por condução na película fluida aderida àplaca; e^ kéa condutividade térmica do fluido.tf

Entretanto, esse gradiente de temperatura na película fluida aderida àsuperfície sólida depende do fluxo de calor quetf é transportado pelo escoamento, ou seja, éfunção do campo de velocidade de escoamento, além de depender de outrastf propriedades do fluido. Na Seção 6.4 deduzimos aequação diferencial de transporte de calor cuja solução fornece adis-

tribuição de temperatura para escoamentos incompressíveis, de fluidos com calor específico e condutividade térmicav constantes, onde não ocorre dissipação deenergia mecânica por atrito e não hágeração interna decalor.tf" Nesses escoamentos, quando aviscosidade do fluido não depende da temperatura pode-se resolver as equações dife-^ renciais do m:=-' --«to independentemente da equação diferencial de transporte de calor. Essas situações podem ocor

rer em casos de convecção forçada. Com as distribuições de velocidade de escoamento obtidas com aresolução das equaçõestf do movimento, pode-se determinar, por meio da equação de transporte de calor, adistribuição de temperatura no fluido.0b Na situação de transferência de calor por convecção forçada de uma placa aquecida para um fluido, esquematizada na Fi-

gura 7.1, tem-se uma região, junto àsuperfície sólida, na qual ofluido está em movimento eapresenta uma distribuição não-f uniforme de temperatura, de forma que omecanismo de transferência de calor por convecção compreende atransferência detf calor associada ao deslocamento de massa fluida eacondução de calor devido ao gradiente de temperatura no fluido.

Adensidade de fluxo de calor por convecção édiretamente proporcional àdiferença entre as temperaturas da superfíciev sólida edo fluido, eédeterminada por meio da equação conhecida como a lei de Newton para oresfriamento, dada por^ q= h(Ts - Tx) (7.3.3)v onde:

qéa densidade de fluxo de calorpor convecção;tf1 T, é a temperatura da superfície sólida;JP T»é a temperatura do fluido; e

héocoeficiente de transferência de calor por convecção, que costuma ser chamado de coeficiente de película.

136 Capítulo Sete

Ocoeficiente de transferência de calor por convecção hgeralmente depende do tipo de escoamento, da geometria do ^sistema, das propriedades do fluido, do tipo de convecção (forçada ou natural) eda posição ao longo da superfície. ^

Quando ocoeficiente hvaria com aposição ao longo da superfície, pode-se considerar um coeficiente médio hparatoda a superfície, deftnidp por ^

onde:

k=ÃÍÍhdA {73A)irea

A é a área da superfície; ehé ocoeficiente local de transferência de calor por convecção. '

Assim, em termos do coeficiente médio h, ofluxo de calor por convecção que passa da superfície sólida para ofluidoé dado por

Q = Ah(Ts-Tx) (7.3.5)

onde:

f^b

Q éo fluxo de calorpor convecção; e ^A é a área da superfície.

Geralmente, os problemas detransferência convectiva de calor são tão complicados que ocoeficiente detransferênciade calor por convecção hsó pode ser determinado analiticamente para casos simples. Combinando as Eqs. (7.3.2) e(7.3.3),obtém-se

-k^2^1 (7.3.6)

T -T

Em geral, o coeficiente de transferência de calor por convecção hé determinado experimentalmente.

7.4 RADIAÇÃO

fíS|i

/%

Atransferência de calor por radiação consiste no transporte de energia por radiação térmica. Uma das características do ^mecanismo de radiação é que, além de não necessitar um meio material para a transferência de calor, o transporte de *%energia tem eficiência máximaatravés do vácuo absoluto.

Qualquer superfície com temperatura acima dezero kelvin emite radiação térmica. Define-se como corpo negro uma 'superfície que absorve totalmente a radiação que incide sobre ela. Um radiador ideal (corpo negro) emite radiação térmi- ^ca com uma densidade de fluxo dada pela lei de Stefan-Boltzmann, que pode ser escrita como ^

q= (rT? (7.4.1) ^

onde: ^

qéa densidade de fluxo de energia radiante emitida pela superfície; ^o~ é a constante de Stefan-Boltzmann; e •%T,é a temperatura absoluta da superfície.

As superfícies reais emitem menos energia queum corpo negro, com uma densidade defluxo deenergia radiante dadapor ^

q= eo~TsA (7.4.2) '

onde eéa emissividade da superfície.A emissividade e é uma propriedade da superfície e indica a eficiência com que a radiação térmica é emitida pela '

superfície emcomparação com umcorpo negro. Em geral, osmetais polidos apresentam emissividade baixa, enquanto as "^substâncias não-metálicas possuem emissividade alta. ^

tf

tf

tf'

tf

0*

tf

tf

tf

0*

Introdução à Transferencia de Calor 137

A análise da troca de calor por radiaçãoentre superfícies é, geralmente, bastante complexa. Consideremos um casoidealmaissimples, que consisteem duas superfícies negras planase paralelas, de dimensõesinfinitas,com temperaturasabsolutas T, e T2, respectivamente. Considerando que o meioentre as superfícies não absorveradiaçãotérmica, tem-seque a densidade de fluxo líquidade troca de calorpor radiação entre essas superfíciesnegras é dada por

q = <r(V-TÍ) (7.4.3;

As situações reais de trocade calorpor radiação sãomuitomais complicadas. Geralmente, as superfícies nãosãocorpos negros, de maneira que se deve considerar fatores de emissividade e de absortividade, e o sistema pode apresentargeometria mais complexa. Além disso, as superfícies possuem áreas finitas, resultando que somente parte da radiaçãoemitida por uma superfície atinge a outra, de maneiraque também se devemconsiderar fatores de forma geométrica.

7.5 MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Geralmente, nas situações reais de transmissão de calor estão envolvidos dois ou os três mecanismos, mas em algunscasos pode acontecer que um ou dois modos de transferência sejam pouco significativos. Para ilustrarmos o assunto,consideremos umasituação de transferência de calor queocorre através de umaparedeplanade um forno paraoarambientee a vizinhança, conforme é mostrado noesquemada Figura 7.2. Verifica-se que o ar ambiente,junto à superfície sólida,apresenta uma distribuição não-uniforme de temperatura, de forma que nessa região tem-se transferência de calorporcondução devido aogradiente de temperaturae, também, pelomovimento de massafluida. O calortransferido porconvecçãoda superfície sólida parao ar ambiente compreende a transferência de calorassociada ao transporte de massa fluidae, também,a conduçãode calor devido ao gradiente de temperatura no fluido.

A Figura 7.2 mostra as distribuições de temperatura nosistema, em umasituação de regime permanente,considerandoqueoar ambiente é um reservatório térmico que mantém temperatura Tx constante. Emfunção dogradiente de temperatura, naparede sólida ocorre umadensidade de fluxo decalor (taxa de transferência decalor porunidade deárea) porcondução. O calor que chega porcondução à superfície da parede, localizada emx = L,é transferido parao ar ambienteporconvecção e paraa vizinhança por radiação. Emsituações taiscomo em que a superfície sólida tem temperatura T,aproximadamente igual à temperatura ambiente e ocorre convecção forçada, de forma que a densidade de fluxo de calorpor radiação seja pouco significativa emcomparação com adensidade defluxo decalor porconvecção, pode-se desprezaro modo de radiação, considerando, assim, somente um mecanismo combinado de condução na parede sólida com convecção no contorno.

4 7W

qradiação

Ar ambiente

°" convecção

Figura 7.2 Esquema mostrando asdensidades de fluxo decalor envolvidas numa situação de transferência decalor daparede depara o ar ambiente e a vizinhança.

138 Capítulo Setf

Neste texto, que se destina auma disciplina introdutória sobre oassunto, situada no ciclo básico dos cursos de engenharia* somente estudaremos acondução de calor emecanismos combinados de condução com convecção no contorno.

7.6 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C O.&MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978. lmHOLMAN, J. P. Transferência deCalor. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1983.INCROPERA, F. P. &DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calorede Massa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992. ^ÓZISIK, M. N. Transferência de Calor- Um Texto Básico. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1990. i/saSISSON, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.WELTY, J. R.; WICKS, C. E. 8c WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976. ^

fâ!b

/$$\

^b

f%$b

*%

/^b

r

f

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

*

r

f

f

e

r

r

v Capítulo 8

INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL

DE CALOR EM REGIME PERMANENTE

8.1 INTRODUÇÃONeste capítulo, estudaremos a determinação dofluxo de calor (taxa de transferência de calor) e da distribuição de temperatura para situações de condução unidimensional e em regime permanente, em sistemas com geometria simples onde sãoconhecidas as temperaturas no contorno e o meio possui condutividade térmica constante, sem geração interna de calor.Apresentaremos duas abordagens para a resolução desses problemas: numa, por meio da integração daequação de Fourierpara a condução, determina-se o fluxo de calor e posteriormente a distribuição de temperatura; naoutra abordagem determina-se a distribuição de temperatura por intermédio da equação da difusão de calor e, com o conhecimento do perfil detemperatura no meio. obtém-se o fluxo de calor com o uso da equação de Fourier para a condução.

Também estudaremos problemas unidimensionais de condução de calor, em regime permanente, em paredes compostas comconvecção nocontorno, e definiremos resistência térmica, que é um conceito útil naanálise de problemas detransferência de calorem regime permanente sem geração interna de calor.

8.2 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR ATRAVÉS DEPAREDE DE UMA CAMADA

Nesta Seção, estudaremos acondução de calor em regime permanente e sem geração interna decalor, em sistemas com geometria simples (parede plana e parede cilíndrica de uma camada) onde existe gradiente de temperatura numa única direção.

8.2.1 Parede Plana de uma Camada

Consideremos a parede plana, de espessura L e constituída de um material com condutividade térmica k constante,que é mostrada no esquema da Figura 8.1. As superfícies da parede são mantidas às temperaturas T0 e TL, constantes,sendo T0 > T,.Trataremos da determinação do fluxo de calor e da distribuição de temperatura na parede.

Figura 8.1 Esquema de umaparede plana com as superfíciesmantidas às temDeraturas T-e T,.

140 CAPfruLo Orro

Considerando que aparede tem grandes dimensões no plano yz eque aespessura Lépequena, tem-se um problemaunidimensional com gradiente de temperatura na direção perpendicular às superfícies da parede, ou seja, na direção x,deforma que a equação deFourier para a condução pode ser escrita como

I

onde:

0, uàT

Q, é o fluxo de calor porcondução na direção x; e AA é a área da seção normal ao fluxo de calor. • . i

Como as superfícies são mantidas às temperaturas T0 e TL constantes, têm-se as seguintes condições de contorno: X

parax =0, tem-se T(0) =T0 ^para x = L, tem-se T(L) = TL ^

• •"•*•• r

O regime é permanente, de maneira queo fluxo decalor Q* é constante. Sendo a condutividade térmica k invariável •ecomo para uma parede plana aárea Ada seção normal ao fluxo de calor éconstante, integrando a Eq. (8.2.1.1) obtém- ^se /bi.

resultando que o fluxo decalor é dado por *%

Òt=:7^(To-TL) (8.2.1.3) ^Adistribuição (perfil) de temperatura T(x) na parede pode ser obtida da integração da Eq. (8.2.1.1), considerando a ^

segunda condição decontorno para uma coordenada x genérica, ou seja, /a.

/%

para x —x, tem-se T = T(x

de forma que da integração

¥±\ dx =-k\ dT (8.2.1.4) 'resulta ^

T(x) =T0-•£=-* para 0<x<L (8.2.1.5) "»kA _

/%

Assim, para uma parede plana com ascondições consideradas tem-se uma distribuição linear de temperatura. /%Uma abordagem alternativa para adeterminação da distribuição de temperatura éaintegração da equação da difusão ^

de calor (Eq. (6.4.23)), dadapor 7

V2T =-^ (8.2.1.6) "*a dt

que pode ser escrita como /

d2T ^ d2T ^d2T 1 dT ,TT + TT + TT = ~37 (8.2.1.7)dx2 dy2 dz2 a dt

hávariação de temperatura no plano yz, e o regime é permanente, de forma que a Eq. (8.2.1.7) se reduz a

t^b

/%%\

Acondução de calor na parede plana, mostrada no esquema da Figura 8.1, éunidimensional na direçãox, ou seja, não ^

— = 0 (8.2.1.8) 7

tf Introdução à Condução Unidimensional deCalorem Regime Permanente 141

tfm» que tem soluçãogeraldada por

tf T(x) = ax + h (8.2.1.9)

tf Tem-se a especificação das temperaturas nassuperfícies da parede, de maneira que o problema apresenta as seguin-0b tes condições de contorno:

0b para x = 0, tem-se T(0) = T00b para x = L, tem-se T(L) = TL

#» Aplicando essascondiçõesde contornona solução geral, obtém-se

tf h = T0 (8.2.1.10a)

a=lL—Zk (8.2.1.10b)

resultando a solução

<*>=mT(x) = P-—^ \x+ T0 (8.2.1.11)


tf T(x) =T0-(T° Tl)x (8.2.1.12)tfjp Adensidade de fluxo de calor é determinada por meio da equação de Fourier para a condução, dada por

Z A dx

<P onde:tf

tf

tf

tf

Q^ é o fluxo de calor por condução na direçãox; eA é a área da seção normal ao fluxo de calor,

de forma que

% =-feí-íI LL1I (8.2.1.14)aresultando o fluxo de calor

que é igualà Eq. (8.2.1.3).Da Eq. (8.2.1.15) obtém-se

4=—'"r.-r,» (8.2.1 IS.

1 To-^=TT (8.2. Mh-0* k.-\

/jps

/ps

/j^i

de maneiraque a Eq. (8.2.1.12) pode ser escrita como

T{x)=T0-Q-x (8.2.1 IkA

que é a mesmadistribuição de temperaturadada pela Eq. (8.2.1.5)

te

142 Capítulo Orro

8.2.2 Parede Cilíndrica de uma Camada com Condução na Direção Radial ^Neste item, estudaremos adeterminação do fluxo de calor eda distribuição de temperatura para acondução unidi- ^

mensional de calor, em regime permanente esem geração interna, através de uma parede cilíndrica, na direção radial. KConsideremos um duto cilíndrico longo, de comprimento L, com raio interno r; e raio externo r„ construído de um |

material com condutividade térmica kconstante, conforme émostrado no esquema da Figura 8.2. As superfícies interna peexterna do duto são mantidas às temperaturas T{ eTe, respectivamente, constantes, sendo Tf > Te. '^

Oduto élongo, de forma que ogradiente de temperatura éradial, ou seja, na direção r. Assim, a^quação de Fourier U*para a condução pode ser escrita como • '

onde: ^

Qr éo fluxo de calor por condução na direção r; e ^A é a área da seção normal ao fluxo de calor. !

Como as superfícies interna e externa são mantidas às temperaturas T, e Tt, respectivamente, constantes, têm-se asseguintescondiçõesde contorno: ;^

para r = r^ tem-se T(r,) = T,í^k

para r = re, tem-se T(re) = Te '

Aárea Ada seção normal ao fluxo de calor depende da coordenada reé dada por '

A = 27rrL (8.2.2.2) •

Substituindo essa expressão para aárea Ana Eq. (8.2.2.1) e integrando, obtém-se •

rÂ*--r *" (8.2.2.3) *>J" 27rrL JTi ^Acondutividade térmica keas temperaturas T, eTe são constantes, de forma que ofluxo de calor na direção radial Q, ^

também é constante. Assim, a Eq. (8.2.2.3) pode serescrita como <*l

resultando

• f* dr r '<Qr\ —=-27rkL\ dT (8.2.2.4)/%

Qr(\nre-\nr,) =2TrkLiT, - Tr) (8.2.2.5) ^

^

Figura 8.2 Esquema de umdutocilíndrico com as superfícies intema e externa mantidas às temperaturas T, e T,constantes.

/9b

tf

tf Introdução à Condução Unidimensional de Calor em Regime Permanente 143tfIP que pode ser escrita como

^ àlníi)«2irfcL(T,-T.) (8.2.2.6)tf ^fi'tf de forma que ofluxo de calor por condução na direção radial édado por

ó _ 2^k L ,_m Qr= , v (T, - T.) (8.2.2.7)

*)X Adistribuição de temperatura T(r) na parede desse duto cilíndrico pode ser obtida por meio da integração da Eq.tf (8.2.2.4), considerando a segunda condição de contorno para uma coordenada rgenérica, ou seja,tf para r = r, tem-se T = T(r)

tf de forma que, da integração,

Qr\r —=-2wkL\ ' dT (8.2.2.8)Jr, r JTi

tf

r ™-T'-7%lní1l <M-">^ 2ir fe L V.r* y

<p ou seja, para acondução de calor através de uma parede cilíndrica na direção radial, com as condições consideradas, tem-^ se uma distribuição de temperatura logarítmica.

Uma abordagem alternativa para adeterminação da distribuição de temperatura consiste na integração da equação da<P difusão de calordadapor

#s V2T = -— (8.2.2.10)

^ que, em coordenadas cilíndricas (r, eez), pode ser escrita como

resulta

/ps

tf

rdry drj_,_ 1 d2T ^ d2T 1 dT+ 7377 + -TT = —5- 8.2.2.11;

r2 de2 dz2 a dt

Acondução decalor na parede do duto cilíndrico mostrado no esquema da Figura 8.2 é unidimensional, ocorre nadireção r e o regime é permanente, de forma quea Eq. (8.2.2.11) se reduz a

! d( dT\ A7^lr^rJ=0 (82212)

que tem solução geral dada por

^ T(r) =c, In r+c2 (8.2.2.13)^ Tem-se aespecificação das temperaturas nas superfícies interna eexterna do duto cilíndrico, de maneira que opro

blemaapresenta as seguintes condições de contorno:

para r = r„ tem-se T{r,) = T,(9*

tf\para r = re, tem-se T(re) = Tt

Aplicando essas condições de contorno na solução geral, obtém-se0b

f1 c>=ÍfT (8.2.2.14a)ni*.

r.

144 Capítulo Orro

resultando a solução


T -Tc2=T,-±T±\nri

T(r) = Ti +

,nfr) UJ

T(r) =T,-.3yi.lnf-l,nfe) UJ

(8.2.2.14b)

(8.2.2.15)

(8.2.2.16)

Adensidade defluxo decalor é determinada por meio da equação de Fourier para a condução, que para esse caso édada por

A dr

onde:

Qr éo fluxo de calorpor condução na direçãor; eA = 27rrLéa área da seção normal ao fluxo de calor,

de forma que

2 ir r L

T, ~Tt r, 1

fc(t)'"resultando

que é igualà Eq. (8.2.2.7).Da Eq. (8.2.2.19) tem-se que

de maneira que a Eq. (8.2.2.16) fica sendo

à-^Hrc-T.»

T~Te =—%— In

T(r) =Tt- _Q[ , ln| -2ir k L [ r.

que é o mesmo resultado dado pela Eq. (8.2.2.9).

(8.2.2.17)

(8.2.2.18)

(8.2.2.19)

(8.2.2.20)

(8.2.2.21)

fWjk

/1%

™%

Mb

/<^s

/^|\

/3S

'SiS

áP1*

iH^

Introdução à Condução Unidimensional de Calor em Regime Permanente 145

Exemplo 8.1

A Figura 8.3mostra um esquemadeum dutocilíndrico de aço^ longo, decomprimentoiUcomraio interno r; —2,5cm e raio externo ré = 3 cm. As superfícies interna e externa são mantidas às temperaturas Tf = 120°C eT( =

80°C, respectivamente. Sendo acondutividade térmica doaço constante e dada por ka = 40 , determine om -°C

fluxo decalor por comprimento unitário do duto e calcule as densidades de fluxo decalor nas superfícies interna eexterna.

Te Figura 8.3 Esquema deum duto cilíndrico, longo, com as superfícies intemae externa mantidas às temperaturas T,eT., constantes.

Hipóteses:

• TieTe sãoconstantes, de forma que o regime é permanente; e• a condutividade térmica ka é constante.

Oduto é longo, de maneira que ogradiente de temperatura é radial, ou seja, ofluxo de calor através da parede do dutoocorre na direção r. Assim, a equação de Fourier para a condução fica sendo

onde:

com as condições de contorno:

& =-*£A ' dr

A = 2irrL,

para r = r„ tem-se T(rt) = Tf

para r = rt, tem-se T(re) = Te

Oregime épermanente, de forma que ofluxo de calor Q, éconstante. Com aintegração da equação de Fourier paraa condução

fre dr rTeQ, \ —= -2irkaL \ dT

obtém-se o fluxo decalor, por comprimento unitário do duto, dado por

Qr _ 2 77 ka

inii(T,-Te)

146 Capítulo Orro

Substituindo os dados

rf = 0,025 m

re = 0,03 m

L= lm

W

m-°C

T< = 120°C

T, = 80°C

resulta ^

%=55840 W ^L 'm

As áreas das superfícies intema eexterna do duto não são iguais, de forma que as densidades de fluxo de calor nessas ^superfícies são diferentes. '

Para a superfície interna, por unidade de comprimento, tem-se a área ^

Ai = 2 7rrjL = 0,157m2 ^

resultando uma densidade de fluxo de calor *%

l =3556oo W2 }

Para a superfície externa, porunidade decomprimento, tem-se a área "^

A, = 27rreL = 0,188m2 ^resultando uma densidade de fluxo de calor /

8.3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR, EM REGIME *1PERMANENTE, ATRAVÉS DE PAREDE COMPOSTA COM ^

CONVECÇÃO NO CONTORNO ?Neste item, estudaremos a determinação do fluxo de calor, para regime permanente e sem geração interna, através de *»parede composta com convecção no contorno. Deduziremos uma expressão para ofluxo de calor em função da diferençatotal de temperatura no sistema, considerando um contato térmico perfeito entre as camadas sólidas. ^

/%

8.3.1 Parede Plana Composta ^

Consideremos uma parede plana composta constituída por uma camada de um material com condutividade térmica ^fe, e espessura Lx e de outra camada de um material com condutividade térmica k2 e espessura L2, conforme é mostrado /%no esquema da Figura 8.4. Consideremos, também, um contato térmico perfeito entre essas duas camadas sólidas e queas condutividades térmicas eos coeficientes de transferência de calor por convecção são constantes. Asuperfície esquer- *da da parede composta está em contato com um fluido aquecido que mantém temperatura Ta constante com coeficiente ^de transferência de calor por convecção ha, enquanto asuperfície direita dessa parede está em contato com um fluido frio ^quemantém temperatura Tf constante com coeficiente de convecção hf. Trataremos da determinação do fluxo de calor '(taxa de transferência de calor). "^

Hipóteses: ^• as temperaturas Ta e Tf sãoconstantes, de forma que o regime é permanente; ^%• Ta>Tf; }

i _

fWm

f>9\

f^b

/^b

/^s

/^b

fí^b

É^

tf

ff^

â0b

tfi

•tf\

Introdução à Condução Unidimensional de Calorem Regime Permanente 147

Ruído

aquecido Ta

Ta-ha

+. Figura 8.4 Esquema de umaparede planacomposta com convecção no contorno.

• aparede tem grandes dimensões eespessura pequena, de maneira que atransferência de calor éunidimensional eocorre na direção perpendicular às superfícies da parede (direção x);

• os coeficientes de transferência de calor por convecção eas condutividades térmicas são constantes;• as superfícies da parede, que são perpendiculares ao fluxo de calor, têm área A; e• o contato térmico entre as camadas sólidas é perfeito.

Como oregime épermanente, tem-se um fluxo de calor na direçãox, Qx, constante através da parede composta Atransferência de calor através do sistema ocorre por dois mecanismos: condução na parede composta econvecção entreas superfícies sólidas eos fluidos. Aplicando aequação de Fourier para acondução ealei de Newton para oresfriamentopara aconvecção, considerando que aseção normal ao fluxo de calor tem área A(área das superfícies da parede), obtém-se que o fluxo de calor na direção x é dado por

Q. =KA(T. -T,)- Í±(T, - T.) - ^(T, - T.) =h, A(T> - TAL.| L2

Da Eq. (8.3.1.1) obtêm-se as diferenças de temperatura através do sistema, que são dadas por

Z-T^Q/ l

T, ~ T2 = &

T ~ T, = Qx

T> ~ Tf = Ó,

Somando essas quatro últimas equações, obtém-se

KA

U.A

L2

k,A

' 1 NyhfAj

Ta~Tf=Qxh.A k.A LA hfAj

(8.3.1.1)

(8.3.1.2)

(8.3.1.3)

(8.3.1.4)

(8.3.1.5)

(8.3.1.6)

148 Capítulo Oito

resultando

& =Z-Tf

1 +^+i-+ 1(8.3.1.7)

haA LA LA h(A

AEq. (8.3.1.7) fornece o fluxo de calor Q,, queatravessa a parede plana composta com convecção nocontorno, emfunção dadiferença total detemperatura no sistema considerado, para problemas em regime permanente e sem geraçãointema de calor.

Exemplo 8.2

A Figura 8.5 mostra umesquema deuma parede plana composta deum forno industrial, constituída por uma ca- \

madadecerâmicacora espessura Lc = 0,15m e condutividade ténraca-fe^Ü^ W

~hT^ie urnacamadade açocom *

espessuraLi>=f 0,003me condutividade térmica fe„ = 40W

. ......_..,._. .%, ..... .. m^Cé mantido à temperatura T, = 500°C, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção í

W ',h ~ 80—, „^, enquanto oar externo (ambiente) mantém-se àtemperatura constante T, = 30°C, com coefici- !

W, determine o fluxo de calor porunidadede área (den--

Considerando que o ar no interior-do-forno

m2-°C

entede transferência de calor porconvecção k^ •= 10

Ar interno

m2-°C

sidade de fluxo decalor) que passa do forno para o ambiente e calcule as temperaturas nas superfícies intema eexterna e na junção cerâmica-aço. . .

Ar ambiente

_^ Figura 8.5 Esquema de umaparedex plana composta de um forno.

Hipóteses:

• as temperaturas Tj e Te sãoconstantes, de forma que o regime é permanente; e• a transferência de calor é unidimensional e ocorre nadireção perpendicular às superfícies da parede, ou seja, na

direção x.

O regime é permanente e sãodadas as temperaturas Tt e Te, de maneira que se podedeterminar o fluxo de calorcoma Eq. (8.3.1.7) que, para esse caso, fica sendo

0.=T, -Te

1 +_^ +A_ + lM kcA kaA heA

I

/%

^%

/^b

f^\

t^b

ft$b

'/%

/Sb

/%

/Sb

/%

tftf

tf Introdução à Condução Unidimensional de Calor emRegime Permanente 149

Adensidade de fluxo de calor é o fluxo de calor por unidade de área, ou seja, é dada por

q" A 1 ^ Lc ^ La , 1

Substituindo os dados

T, = 500°C

Te = 30°C

Wfc, =80 W

he =10

m2-°C

W

m2-°C

W

m-°C

W

** fec = l,2

<P *.-40gp m • C

a Lc = 0,15 m

p, La = 0,003 m

m resulta que a densidade de fluxo de calor é

áfr <?x = 1975 Wf ^x /n

(P Cálculo da temperatura T, na superfície interna: aplicando a lei de Newton para oresfriamento, tem-:T qx = k (T, - t,)tf de forma que

? T, =T- t =475°C

^p Cálculo da temperatura T2 na junção cerâmica-aço: aplicando aequação de Fourier para acondução na camada decerâmica, obtém-se

de maneira que

n. L L h.

.flx-^-íT.-T;)

T2 =T, - 3ik =228°CAt

Cálculo da temperatura T3 na superfície externa: aplicando a lei de Newton para o resfriamento, tem-se

<?, ='MT, - T„)resultando

^ = Te +£- = 227.5°C

f* 8.3.2 Parede Cilíndrica Composta com Condução na Direção Radialtf Consideremos um duto cilíndrico composto, longo, de comprimento L, constituído por uma camada de um materialtf, com condutividade térmica fe„ com raio interno r, e raio externo r,, e outra camada de um material com condutividade

térmica L com raio interno r2e raio externo r3, conforme émostrado no esquema da Figura 8.6. Consideremos, também.

0\

150 Capítulo Oito

Qr Fluido frio

*f

Figura 8.6 Esquema de um dutocilíndrico compostocom convecçãono contorno.

que a superfície interna do duto composto está em contato com um fluido aquecido que mantém temperatura Ta constante, com coeficiente detransferência decalor por convecção ha, enquanto asuperfície externa está em contato com umfluido frio que permanece à temperatura 7} constante com coeficiente de transferência de calor por convecção hf equeo contato térmico entreascamadas sólidas é perfeito. Trataremos dadeterminação dofluxo de calor emfunção, dadiferença total de temperatura.

As temperaturas Ta e Tf são constantes, deforma que o regime é permanente, resultando que o fluxo decalor nadireção radial Qr também é constante.

Atransferência decalor através desse sistema ocorre por dois mecanismos: condução naparede composta e convecção entre assuperfícies sólidas e osfluidos. Aplicando a equação de Fourier para a condução nas camadas sólidas e a leide Newton para o resfriamento para a convecção entreas superfícies sólidas e os fluidos, obtém-se o fluxo de calor nadireção r, que é constante, dado por

Qr=2nr]LhATa-Tl) =^^-(Tl-T2)=27rLk2

'-&) >(í)(T2 -Ti) = 2irriLhf (T, - T,) (8.3.2.1)

Da Eq. (8.3.2.1) obtêm-se asdiferenças de temperatura através do sistema, que são dadas por

T.-T^Q,K27rr}Lhaj

(8.3.2.2)

T{-T2=Q,lirLL

(8.3.2.3)

T - T3 = Q,2 ir L L

(8.3.2.4)

Ti-Tf= Qr2irrlLhf)

(8.3.2.5)

^

/%

/m

/í%

/$!&

tf

iP1


Somando essas quatro últimas equações, obtém-se

1 1Ta-Tf=Qr .ÍÉL.ÍÊ2 7r r, Lha 2 ir L L 2 ir L L 2 7r r, L h,

de maneira que

Q,=T-Tt

Inl*\

h)

2ir rx Lha 2 ir L fe, 2ir Lk2+—kal +

2 ir r3 L /ty

(8.3.2.6)

(8.3.2.7)

AEq. (8.3.2.7) fornece o fluxo decalor (taxa detransferência decalor) Qr nadireção radial através daparede cilíndrica composta com convecção no contorno, em função da diferença total de temperatura no sistema considerado, paraproblemas em regime permanente e semgeração interna de calor.

8.4 CONCEITO DE RESISTÊNCIA TÉRMICA

Observa-se umaanalogia entre o fluxo de calornum meio material e a correnteelétricanum fiocondutor. Define-se fluxode calor como a quantidade de calor que atravessa uma superfície por unidade de tempo. Acorrente elétrica num fiocondutor pode ser definida como aquantidade de carga elétrica que passa pela área da seção reta por unidade de tempo.

Aresistência R, entre dois pontos de umcondutor elétrico, é definida por

R =AV

(8.4.1)

onde:

AVé a diferença de potencial entre os pontos; e/ é a corrente elétrica.

Considerando ocircuito composto por quatro resistências em série, mostrado no esquema da Figura 8.7, tem-se quea corrente elétrica é dada por

/ =V.-V, AV

fl, +R2+R,+RA £ R (8.4.2)

Para assituações detransferência decalor, emregime permanente e sem geração interna decalor, estudadas nos itensanteriores, pode-se, de uma forma análoga à condução decarga elétrica num condutor, associar resistências térmicas aosistema.

As resistências térmicas dependem do mecanismo de transferência decalor e dageometria do sistema.Para acondução unidimensional de calor, que ocorre na direção v. através de parede plana composta com convecção

no contorno, estudada no item 8.3.1, pode-se associar as resistências térmicas mostradas no esquema da Figura 8.8. ondeas resistências térmicas RTl eRTA são relativas ao mecanismo de transferência decalor por convecção entre as superfíciessólidas e os fluidos, e as resistências térmicas RT2 e fíT3 são referentes ao mecanismo de condução de calor através dascamadas sólidas da parede.

•L-VA—^WvW A/vV-^vVv^—

Figura 8.7 Esquema de um circuito resistivo em série.

152 Capítulo Oito

Fluido aaquecido

Ta-ha

fl7-,i Hr,2 «7,3 flr4Figura 8.8 Esquema das resistências térmicas associadas àtransferência de calor numa parede plana composta com convecção no contorno.

Ofluxo de calor Q, através dessa parede plana composta com convecção no contorno édado pela Eq. (8.3.1.7) como

& =T-Tt

1 +^ +haA fe,A k2A hfA

que, de forma análoga à Eq. (8.4.2), pode serescrita como

& =AT

Z*ionde:

(8.4.3)

(8.4.4)

ATé a diferença totalde temperatura; eRT são as resistências térmicas associadas à transferência decalor através dos componentes dosistema.

AEq. (8.4.3), em comparação com a Eq. (8.4.4), define as resistências térmicas deuma parede plana com convecçãono contorno, que são dadas por

R --LT. convecçãohA

L_kA

D = °T. condução

(8.4.5)

(8.4.6)

Em algumas situações pode-se ter uma parede composta decamadas colocadas emparalelo submetidas à mesma diferença de temperatura. Quando os materiais das camadas paralelas tiverem condutividades térmicas aproximadamenteiguais pode-se considerar queo fluxo decalor através daparede composta será unidimensional, de maneira quepara essasituação de duas camadas em paralelo pode-se associar o circuito de resistências térmicas em paralelo mostrado noesquema da Figura 8.9,de forma que a resistência térmica equivalente é dada por

J_(8.4.7)

T.l T.2

™%

/W)

\/%

/mb

f^b

í ^|

: f%

• ^

/SN

*,

/%

0*

tf

e _°- /—VvWV

Introdução à Conduto Unidimensional de Calor em Regime Permanente 153

O•

^WWVFigura 8.9 Esquema de duas re-

RT,2 sistências térmicas em paralelo.

Para atransferência de calor, em regime permanente esem geração interna de calor, através de uma parede cilíndricacomposta com condução na direção radial ecom convecção no contorno, estudada no item 8.3.2, ofluxo de calor Q, édado pela Eq. (8.3.2.7) como

Q,=

tf 1

tf 2irr, Lha ' 2-irL kx ' 2irLk2 2irr3Thf

sT de forma que aEq. (8.4.8), em comparação com aEq. (8.4.4), define as resistências térmicas para atransferência detf calor através deparede cilíndrica na direção radial que são dadas por

onde rs é o raioda superfície consideradae

T-T(8.4.8)

In\rU \'2j

+

R 1nT, convecção _ . < (o.4.9)

2 7T r, L n

. "(f)^T.conduçio ~ " TT (8.4.10)ms 2 7T L k

p* onde rt er, são, respectivamente, os raios externo einterno da camada sólida considerada.Observe que consideramos um contato térmico perfeito entre as camadas sólidas, ou seja, uma resistência térmica de

ír contato nula, de forma que na junção as superfícies das duas camadas têm amesma temperatura. Em situações reais.tf geralmente aresistência térmica de contato deve ser considerada e. nesses casos, ocorre uma queda de temperatura na-p^ junta entre as camadas sólidas.- Aresistência térmica de contato entre duas camadas sólidas écausada basicamente pela rugosidade das superfícies.

(fp Na junção existem pontos de contato direto entre os materiais sólidos intercalados por pequenos buracos que ficam chei-p os de ar estagnado (ou com ofluido ambiente). Assim, atransferencia de calor na junta ocorre por condução nas regiões

de contato direto entre os materiais sólidos e, também, no fluido que preenche os pequenos buracos originados da rugo-P sidade. Quando acondutividade térmica do fluido que ocupa esses buracos é menor que a condutividade térmica doslp materiais das camadas sólidas, resulta uma resistência térmica de contato devido à rugosidade das superfícies." Aresistência térmica de contato pode ser reduzida com uma interface delgada, constituída de um metal mole ou de

v: uma graxa térmica, prensada entre as duas camadas sólidas.

P 8.5 RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO_ Para a transferência de calor em regime permanente e sem geração interna, nadireção radial, através de um dum l i-f^ líndrico com convecção na superfície externa, as resistências térmicas do sistema foram definidas pelas Eqs. uS 4"•»• t-/p (8.4.10), e são dadas por

|P» I

tf 2 rr re Lhre

jn^ nT. condução -, r I •o "> _tf> IirLk

154 Capítulo Oito

Nas situações de transferência de calor na direção radial com mecanismo combinado de condução na camada sólidaeconvecção na superfície externa, verifica-se que um aumento na espessura da parede cilíndrica produz efeitos opostossobre ofluxo de calor, pois um acréscimo de espessura causa uma diminuição na resistência térmica de convecção eumaumento na resistência térmica de condução. Assim, um acréscimo na espessura da parede cilíndrica pode causar umaumento ou uma diminuição do fluxo de calor, dependendo do efeito combinado devido às correspondentes variaçõesdas resistências térmicas de condução e de convecção.

Em muitas situações práticas, os dutos cilíndricos são revestidos com uma camada de isolante para reduzir aperda decalor para oambiente. Analisando as Eqs. (8.5.1) e (8.5.2) observa-se que, para um sistema com as mesmas condiçõestérmicas, um acréscimo na espessurada camadade isolante (aumento do raioexterno) diminuia resistência térmicadeconvecção eaumenta aresistência térmica de condução, de forma que para algumas situações oacréscimo na espessurade isolamento sobre um duto cilíndrico pode aumentar ofluxo de calor (perda de calor para oambiente).

Consideremos uma camada de isolante, com raio interno rt eraio externo rt econstituída por um material com condutividade térmica k,, colocada sobre um duto cilíndrico que perde calor para oar ambiente conforme émostrado no esquema da Figura 8.10.

Sea temperatura dasuperfície interna do isolante éT; constante easuperfície externa está em contato com oarambienteque mantém temperatura T, constante com coeficiente detransferência decalor porconvecção h, o fluxo decalor transferido do duto para oarambiente através do isolante é determinado por

Qr =AT

x*771-T.

lirLky 2trreLh

(8.5.3)

1

Um acréscimo no raio externo re aumenta a resistência térmica decondução e diminui a resistência térmica deconvecção. Existe um chamado raio crítico de isolamento, representado por ra, para oqual o fluxo de calor Qr é máximo.

Se para o raio crítico de isolamento r^ o fluxo de calor é um máximo, tem-se que

dQ,= 0

de forma que obtém-se

-2ttL(Tí-Tx

In r<=vr_! !_i-o

fci4-

resultando que o raio crítico de isolamento é dado por

r =Am h

Ar ambiente

h

Figura 8.10 Esquema de um dutocilíndrico, revestido com uma camada de isolante, que perde calorpor convecção para o ar ambiente.

(8.5.4)

(8.5.5)

(8.5.6)

•f^\

/Sb

: f%

I /%

;' *%

f%$k

f%$k

*%

/%

<fí9b

/%

/%

^1

rSb

/S\

/%

/^\

/^\

rfSb

/v9j

/%

/%

tf

tf

/jp»

Introdução à Condução Unidimensional de Calor emRegime Permanente 155

Oraio crítico de isolamento éoraio da superfície externa da camada de isolante correspondente àespessura que maximizao fluxo de calor. Assim, tem-se a seguinte significação: mantidas constantes as outras condições do problema, se o raioexterno r, for menor que o raio crítico de isolamento r^, umacréscimo na espessura dacamada de isolante aumentará ofluxo de calor até que oraio externo rt seja igual ar„.; ese oraio externo re for maior que oraio crítico r^, qualquer aumento naespessura do isolante diminuirá o fluxo de calor quepassa doduto para o ar ambiente.

Exemplo 8.3

Um duto cilíndrico com raio externo r, = 2 cm com sua superfície à temperatura T, = 120°C, constante, cedecalor para o arambiente, que mantém temperatura T„ = 25°C, constante, com coeficiente de transferência de

Wcalor por convecção h= 4 . Para reduzir a perda de calor, reveste-se o dutocom umacamada cilíndrica de

m ' C Wisolante com condutividade térmica k, = 0,15 —. Considerando umcontato térmico perfeito entre oduto e oisolante, determine:

a) o raio crítico de isolamento; eb) o fluxo decalor perdido para oar ambiente, por comprimento unitário do duto, para oscasos de:

b-1) duto sem isolamento;b-2) duto revestido comumacamada de isolante de raio externo igual aoraio crítico r^; eb-3) duto revestido com umacamada de isolante de raio externo rt = 3 r„..

Têm-se os seguintes dados:

r, = 0,02 m

tf T, = 120°C

/ffe

a) Cálculo do raio crítico de isolamento r„

Tx = 25°C

VVh = 4

m'

fe,=0,15 Wm-°C

(P . Ttc ~ ~T ~ 0.038 m = 3.8 cm

c b-1) Determinação do fluxo de calor, por comprimento unitário do duto, para o caso sem isolamento:tf\ Ocorre convecção entre asuperfície externa do duto eoarambiente, de forma que, com aaplicação da lei de Newton_ para o resfriamento, obtém-se

o,L

=2irrI/i(Tl-TJ = 47.8^%l

b-2) Determinação do fluxo de calor perdido para oarambiente, por comprimento unitário do duto, para ocaso comcamadade isolantede raioexterno igual ao raio crítico r,c:

Considerando a transferência decalor com mecanismo combinado decondução através do isolante edeconvecção doisolante para o ar ambiente, tem-se

Lin

+

27T k, 2tt rec h

156 Capítulo Orro

Observe que ofluxo de calor nessa situação com camada de isolante de raio externo igual ao raio crítico de isolamentoé maior do que no caso do duto sem revestimento.

b-3) Determinação do fluxo decalor, por comprimento unitário, para o caso do duto revestido com uma camada deisolantede raioexterno re = 3^:

Considerando omecanismo combinado de condução através do isolante ede convecção do isolante para oar ambiente, tem-se

L

71-T. =43,2W/m'e " itee ln(3r<) 1

2ir kt 2ir(3rjh

Observe que com essa espessura de isolamento ofluxo de calor perdido para oar ambiente émenor do que nos doiscasos anteriores.

8.6 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978BIRD, R. B.; STEWART, VV. E. &LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena. John Wiley, 1960.HOLMAN, J. P. Transferência deCalor. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1983.INCROPERA, F. P. &DEVVITT, D. P.. Fundamentos de Transferência de Calorede Massa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.ÔZISIK, M. N. Transferência de Calor— Um Texto Básico. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1990.SISSOM, L. E. 8c PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979.WELTY, J. R.; WICKS, C. E. 8c WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley. 1976.

8.7 PROBLEMAS

8.1 Considere uma parede plana deespessuraL= 20cm consti

tuída detijolos com condutividade térmica kt = 0,69m

Asuperfície esquerda é mantida à temperatura T0 = 25°C,enquanto a superfície direita permanece com temperaturaTL = 10°C. Considerando um eixo x perpendicular às superfícies e com origem nasuperfície esquerda, determine,com o uso da equação da difusão de calor, a distribuiçãode temperatura T(x) e a densidade de fluxo de calor queatravessa a parede.

Resp.: T(x) = 25°C-(«3- VV= 51,8—

m2

8.2 Considere uma placa plana devidro deespessura L =VV

1 cm e condutividade térmica L = 0,78-m

A super

fície esquerda é mantida àtemperatura T0 = 25°C, enquanto a superfície direita permanece com temperatura TL =10°C. Determine a densidade de fluxo de calor que atravessa a placa de vidro.

Resp.: qx =1170—m2

8.3 A Figura 8.11 mostra um esquema de uma placa demármore de espessura L = 2 cm e condutividade térmica

Ki = 2,5-W

m

A superfície esquerda da placa é manti

da à temperatura T(0) = 30°C, enquanto a superfície direita permanece com temperatura T(L) = 20°C. Determine, por meio da integração da equação de Fourier para acondução:

a) adensidade defluxo decalor que atravessa a placa; eb) a distribuição de temperatura T(x) na placa.

Mármore

Figura 8.11

VVResp.: a) g = 1250—

m2

b) T(x) = 30°C -(50o3*

*sé

./%

/%

í

/Slb

rSb

/«S\

/®S

/<^b

[^

/*a

tf

0b

tf

tf

(JP^

0b

m*

0&

0&

tf\


8.4 A Figura 8.12 mostra um esquema de um duto cilíndrico de raios interno fí, e externo Re. A superfície interna émantida à temperatura Tj, enquanto a superfície externapermanece com temperatura Te, constantes, sendo T,> Te.A parede da tubulação é constituída por um material decondutividade térmica k que varia linearmente com a temperatura segundoa função k = kç (1 4- cT),onde ^,ec sãoconstantes. Determine o fluxo de calor por comprimentounitário do duto.

Figura 8.12

Resp.: &• =-2j£t [ffi -T.) +| (T? -7?)]•„,?

8.5 Considere uma parede planade espessura L, comumeixo x perpendicular às suassuperfícies, tendosuasuperfície esquerda, situada emx = 0, mantida à temperatura T0constante, enquanto sua superfície direita, localizada emx = L, permanece com temperatura TL constante, sendoT0 > TL. Acondutividade térmica varia coma temperaturasegundo a relação k = kç (1 4- cT),onde &<, e c sãoconstantes, e a área da seção transversal decresce linearmente deum valor A0 emx = 0 atéAL emx = L. Considerando quea condução de calor é unidimensional (na direção x), determine o fluxo de calor (taxa de transferência de calor).

Aofeoll"^Resp.: Qx =

LIn 1-^2-[(To- TL)4-Í(T02-TL2)j

AL

8.6 Uma janela é constituída de umvidro deespessura L, =

4 mm e condutividadetérmica kv = 0,78VV

O ar exterm-°C

no permanece com temperatura T„tt = 10°C e coeficiente de

transferência de calor por convecção he = 12 . Umm~ • °C

sistema de aquecimento mantém o ar do ambiente internoà temperatura T„,, = 25°C. O coeficiente de transferência

de calor por convecção do ar interno é ht = 5—; .

Determinea densidade de fluxo de calorque passaatravésda janela.

Resp.: q = 52VV

m'

8.7 Considerea situação física do problemaanterior. Paradiminuir a perdade calordo ambienteinternoparao ar externo, foi instalada uma janela dupla constituída de doisvidros idênticos separados porumacamada dearemrepouso de espessura L„ = 1,0 cm e condutividade térmica

VVkit = 0,025 -. Paraa mesma diferença de tempera-

m • °Ctura Titi —Tarj< = 15°C e para o mesmovidrodo Problema8.6:

a) determine a densidade de fluxo de calor que passaatravés da janela dupla; e

b) compare esse resultado com a densidade de fluxo decalor que passa através da janela de somente um vidro doProblema 8.6,e analise a questão considerando o ponto devista da conservação de energia.

VVResp.: a) q —21,6

m2

8.8 Água quente, com temperatura TA constante, escoa nointerior de um duto de aço de raio interno R{, raio externoRe e comprimento L. O duto está em contato com o ar ambiente, quemantém temperatura T„constante. Sendo k^0a condutividade térmica do aço, hA o coeficiente de transferência de calorpor convecção da águae hãt o coeficientede transferência de calor por convecção do ar, determine:

a) o fluxo de calor, por comprimento unitário do duto,que passa da água para o ar ambiente; e

b) a distribuição de temperatura na parede do duto.

8.9 Água quente com temperatura Ta = 80°C escoa nointerior de um duto de aço de raio interno fy = 2 cm. raioexterno R, = 2,3 cm e comprimento L = 5 m. O duto estáem contato com o ar ambiente, que mantém temperaturaTJ( = 25°C. Sendo a condutividade térmica do aço

VV, o coeficiente de transferência de calor nork „ = 40-

m • °C

convecção da água ha = 4000VV

m-

e o coeficiente de

Utransferência de calorporconvecção doar hat = 10-determine:

a) o fluxo de calorque passada águaparao ar ambiente.b) as densidades de fluxo de calornas superfícies inter

na e externa do duto; ec) a temperatura na superfície externa do duto.

Resp.: a) Q, =396 VV; b) q\ =628,6-^- e"

nv

=550-^-; c) Te =79,8°Cm2

nr

158 Capítulo Oito

8.10 Água quente escoa com temperatura constante nointerior de um dutode aço, de forma quea temperatura dasuperfícieinterna do duto é T, constante, conformeé mostrado no esquema da Figura 8.13. Para diminuir a perda decalor para o ar ambiente, o duto está revestido com umacamada de isolante térmico. Considere que o ar ambientepermanece com temperatura Txe coeficiente de transferência de calor por convecção hx.

a) Deduza a equação que fornece o fluxo de calor, quepassa da água para o ar ambiente, em função da diferençade temperatura (T, —Tx); e

b) Determine a distribuição de temperatura T(r) na camada de isolante.

Ar ambiente

Figura 8.13

8.11 A Figura 8.14 mostra um esquema da parede planacomposta de umforno. Asuperfície interna da parede composta é mantida à temperatura T0, enquanto a superfícieexterna está em contato com o ar ambiente, que permanece com temperatura Tx constante e coeficiente de transferência de calorporconvecção h. Considerando que a condução de calor é unidimensional, determine:

a)a densidade de fluxo de calor que passa do forno parao ar ambiente; e

b) a temperatura na junção cerâmica-aço.

r«

Cerâmica

kC

•kr

Figura 8.14

AçoAr ambiente

7~. h

8.12 A Figura 8.15 mostra um esquema de uma paredeplana composta constituída de uma camada de espessuraL, de um material com condutividade térmica fe, e outracamada de um material com condutividade térmica k2. Asuperfície esquerda é mantida à temperatura T0 constante,enquanto a outra superfície da parede composta está emcontato com oar ambiente, que permanece com temperatura Tx, constante e coeficiente de transferência de calorporconvecção h. Determine a espessura L2 dacamada comcondutividade térmica k2 para que ajunçãoentre as camadas sólidas mantenha-se a uma dada temperatura T,.

Ar ambiente

Figura 8.15

Hesp.: L, = ——-L

L-T

8.13 A parede plana de um forno industrial é constituídade uma camada de tijolos refratários de espessura L, = 20

VVcm com condutividade térmica k, = 1,05 e uma

m • °Ccamada externa de um material isolante com condutivida

de térmica k, = 0.04VV

m-°Ctemperatura Tà,, = 800°C, constante, com coeficiente de

VV

O ar interno é mantido com

transferência de calor por convecção h, = 30

Considerando contato térmico perfeito entre os materiaissólidos, determine a espessura L2 dacamada de isolante paraque a temperatura da superfície externa da parede do fornoseja Te = 40°C com uma perda de calor do forno para o ar

VVambiente de 500 .

m

5C

Resp.: L, = 5.2 cm

8.14 A Figura 8.16 mostra um esquema da parede planade um refrigerador que consiste em uma folha externa deaço com espessura LA e condutividade térmica kA e de umafolha interna de plástico com espessura Lp e condutividadetérmica kp. Entre essas folhas há uma camada de lã de vidro com condutividade térmica kv, conforme é mostrado noesquema da Figura 8.16. O refrigerador foi projetado paramanter o ar interno com temperatura T,constante, enquantoo ar ambiente permanece com temperatura Tx constante.

5f9

sI

s!!•9

99

99

9

9m

jf9

9

9

rt4

9

9

9

9

99

1

tf*.

0*

tf

tf

tf*

tf1

0P*

0\

<P^

tf

tf*

/fp»

Mb

#JpN

Introdução à Condução Unidimensional de Calor em RegimePermanente 159

Aárea total da paredeé A e o equipamentode refrigeração

retira do interior um fluxo de calor Q. Os coeficientes detransferência de calor por convecção do ar interno e do arambienteexterno são, respectivamente, h,e hx. Determine:

a)aespessura Lv dacamada de lãdevidro necessária paraque a temperatura interna seja 7^;

b) a temperatura na junção plástico-lã de vidro; ec)a distribuição de temperaturana camadade lãde vidro.

Plástico

Ar interno

Ti

Figura 8.16

Resp.: a)

L _k,A(T.-Ti) L

b) TpL =Ti+fi

c) Tv(x) = TpL +

± +^ +i +l

LA

8.15 Aparede plana de uma câmara frigorífica é compostade umachapaexterna de açode espessura LA = 2 mm com

VVe de uma chapacondutividade térmica kA = 40

interna de plástico de espessura Lp = 3 mm com conduti-VV

vidade térmica kp = 0,20 —. Entre essas chapas hám

uma camada de lãde vidro de espessura Llv = 5cme con-W

——. A área total da pa-dutividade térmica klv = 0,04

rede dacâmara é A = 30 m2. Achapa de aço estáemcontato com o ar ambiente, que permanece com temperaturaTJf = 25°C e coeficiente de transferência decalor por con-

VVvecção h„ = 4 —-——. Considere que a condução de ca-

m • Clor é unidimensional e emregime permanente. Determinea quantidade de calor que o equipamento de refrigeraçãodeve retirar por minuto do interior dacâmara frigorífica, paraque a superfície da chapade plástico que está em contatocom o ar interno permaneça à temperatura Tp, = - 10°C.

Resp.: 41580J-min

8.16 A Figura8.17 mostra um esquema do fundo de umacafeteira elétrica constituído deuma parede plana, compostade umachapade açocomespessura LA = 2 mme condu-

Wtividade térmica kA = 40 —, e de uma chapa de iso-

m • Clante com espessura L, = 4 mm e condutividade térmica

k} = 0,06 —. Entreas placas de açoe de isolante hám • C

uma resistência elétrica (R. E.) que dissipa uma potênciade800VV. Considere a situação deregime permanente coma água ern ebulição à temperatura Tágua = 100°C e comcoeficiente de transferência de calor por convecção

w L-;, enquanto o ar ambiente que esta em

VV

Kv» = 30°ocontatocom o isolante permanececom temperatura T„ =25°Ce coeficiente de transferência de calor porconvecção

VVKt = 10 —2 •Considerando um contato térmico perfeito entrea resistência elétrica e aschapas deaço e de isolante e que o fundo da cafeteira tem área A = 0,018 m2,determine:

a) a temperatura TR da resistência elétrica; eb)o fluxo de calor Q^ perdido parao ar através da cha

pa de isolante.

nr

Aço

Água ^água ''água

Isolante k.

R.E.

Ar 'ar "ar

Figura 8.17

Resp.: a) TR= 116,8°C

b) Qtt = 9,9 VV

8.17 Água quente escoa no interior deuma tubulação cilíndrica, de raios interno Rt = 1cme externo Re = 1,3 cm.cons-

VV

m-°C'tituída deaçocomcondutividade térmica Lco = 40

Asuperfície interna desse duto permanece à temperaturaT, = 90°C. O arambiente aoredor da tubulação permanece com temperatura T„ = 25°C e coeficiente de transfe

rência de calor por convecção hàí = 5 .nr

a) Determine o fluxo de calor, por unidade de comprimento do duto, que é perdido parao ar ambiente:

b) Para diminuir a perda de calor, reveste-se a tubulação com uma camada de amianto de condutividade tcrmi-

VVca fe =0,16 Determine o raio crítico de isola

m

mento e o fluxo de calor, porunidade de comprimento d(

160 Capítulo Orro

duto, perdido para o ar ambiente através de uma camadade amianto com raio externo igual ao raio crítico de isolamento.

c) Determine o fluxo de calor, por unidade de comprimento do duto, perdido parao ar ambiente através dè umrevestimento de amianto comespessura igual a 12cm.

Resp.: a) %=26,5—L m

b) rK = 3,2 cm; Q- =34,2—m

O^ =25,4m

8.18 AFigura 8.18mostra umesquema, simplificado e forade escala, de umaaletadelgada cilíndrica de diâmetro D,que se estende de uma parede plana, constituída de ummaterial com condutividade térmica L A base da aleta estáà temperatura T0constante. O ar ambiente ao redor da aletapermanece com temperatura Tx constante e coeficiente de

transferência de calor por convecção h. Considerando quea temperatura é uniforme nasseções transversais, ou seja,que ao longo daaleta delgada tem-se T = T(x), deduza, pormeio deum balanço deenergia térmica para oelemento devolqjne decomprimento Ax daaleta, fazendo olimite quando Ax tendea zero, a equação

"fjí)

i -.

d2T

dx2 jiD-TJ = 0

1

/v/S*

/

/

Ar •*:•'

TO DAx

k

Ar<S|

^

Ar

Toch 1

ír^b

0

" " i6%

Figura 8.18/%

fw$\

/%

! *^\

\ •*i "^

: r%

íS|k

! /a

: ^%

/S\

1

#*

tf

tf*

tf

tf

0*

/jP

Ms

0\

0^

Capítulo 9

INTRODUÇÃO À CONDUÇÃODE CALOR EM REGIME TRANSÍENTE

TW^F^^T.

->1

a

9.1 INTRODUÇÃOExistem muitas situações físicas nas quais as condições térmicas variam com o tempo, resultando em distribuições não-permanentes de temperatura. Neste capítulo, deduziremos aequação diferencial da condução de calor cuja solução, submetida às condições de contorno einicial do problema, fornece adistribuição de temperatura no sistema considerado. Comoconhecimento do campo de temperatura pode-se, com ouso da equação de Fourier para acondução, determinar adensidade de fluxo de calor em qualquer ponto da região de definição do problema para um determinado instante de tempo.

Oobjetivo principal deste capítulo éestudar aformulação de problemas simples de condução de calor em regime não-permanente. Aformulação de um problema de transíente térmico consiste na especificação da equação diferencial edascondições de contorno e inicial que descrevem o problema em estudo.

Existem vários métodos de resolução da equação diferencial da difusão de calor. Neste capítulo, além de estudarmosaformulação de transientes térmicos, trataremos da resolução da equação da difusão de calor com autilização do métodode separação de variáveis para problemas unidimensionais simples.

9.2 EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALORPara a dedução daequação geral dacondução decalor, consideremos um elemento devolume cúbico infinitesimal. devolume dxdydz, isolado de um corpo sólido com massa específica p, condutividade térmica kecalor específico c , comfaces paralelas aos planos coordenados, conforme é mostrado no esquema da Figura 9.1.

Consideremos, também, que existe uma distribuição não-uniforme de temperatura T=T (x, y, z, t), de forma queocorrem as densidades de fluxo de calor por condução mostradas no esquema da Figura 9.1 através das superfícies doelemento eque esse meio possui fontes de geração interna de calor produzindo uma taxa de geração de calor por unidadede volume representada por g(x, y, z, t).

f q„+da

A y

qz+dq

Figura 9.1 Esquema mostrando asdensidades defluxo decalor por condução nas superfícies deum elemento devolume cúbico

162 Capítulo Nove

Tem-se o seguinte balanço de energia térmica, para o elemento de volume:

''fluxo líquido de N

calor que entra

por condução no

.elemento de volume

rtaxa de geração de >calor dentro do

êlementode volume

'taxa de variaçãoda>energia intema no

êlemento de volume> (9.2.1)

Ofluxo líquido de calor que entra por condução no elemento de volume édado pelo fluxo que entra menos ofluxo quesai através de toda a superfície doelemento considerado, ou seja,

resultando que

'fluxo líquido decalor que entra

por condução no

vêlemento de volume= fo ~ (qx + dqx)] dydz + [qy - (qy 4- dqy)] dxdz +

+ kz ~ (<?* + dqt)] dxdy

rfluxolíquido de

calor que entra

por condução no

êlemento de volume.= —dqx dydz —dq dxdz —dqz dxdy

(9.2.2)

(9.2.3)

Ageração interna decalor consiste em um processo de conversão de algum tipo de energia (química, elétrica ou nuclear) em calor. Sendo g (x, y, z, t) a taxa de geração interna de calor por unidade de volume, tem-se que

'taxa de geração de >calor dentro do

elemento de volume

= g (x, y, z, t)dxdydz(9.2.4)

Ataxa de variação da energia intema no elemento de volume está relacionada com a taxa de variação da temperatura.Sendo p a massa específica do meio, tem-se que

'taxa de variaçãode>energia intema no

êlemento de volume,= p dxdydz cp dT

dt

Assim, o balanço de energia para o elemento devolume, dado pela Eq. (9.2.1), fica sendo

dT- dqx dydz - dqy dxdz - dqz dxdy + g (x, y, z, t) dxdydz = pdxdydz cp —

(9.2.5)

(9.2.6)

Dividindo a Eq. (9.2.6) pelo volume dxdydz do elemento considerado e utilizando diferenciação parcial, pois T = T (x, y, z, t),obtém-se

àqx àqy dq dTdx dy dz dt

(9.2.7)

As densidades de fluxo de calor por condução nas direções x,yez, que são determinadas com o uso da equação deFourier para a condução, sãodadas pelas equações

qx=-k —dx

qY=-k £Tdy

(9.2.8a)

(9.2.8b)

<^í

/l^%

fíi|\

/3|k

(T$b

t%lb

<^H

<x$b

tf

tf

de maneira que a Eq. (9.2.7) fica sendo

Introdução ÀCondução deCalor em Regime Transíente 163

= , £Tq* k dz (9-2.8c)

d_

dx \' dx ) dy [" dy } ' dz r dz:) ' ô '*' 7' "' "' " ^ Cp 1T (9.2.9)('SKKBK)-'*»-.*?" Essa Eq. (9.2.9) éaequação geral da condução de calor em coordenadas retangulares, que pode ser escrita numa formatf* mais compacta como

f V.(kVT) +4(*.r,z.»)-pe,*j- (9.2.10)

#k ** ^ <*2 <?X <?>' <?Z^ Asolução da equação diferencial da condução de calor, submetida às condições de contorno einicial do problema.* fornece a distribuição de temperatura.tf*

tf Casos Particulares da Equação da Condução de Calor^ a) Condutividade térmica k constante

^ Para as situações em que k=constante, aEq. (9.2.10) fica sendotf*

tf V2T+ifay.^oailjl^ k a dt (9.2.11)<T onde:0^

/fP^

0$s

(fpN

ViT-ÍI +ÍI +ÍI- e<?x2 <?y2 <?z2 '

a é a difusividade térmica do material, definida como

ka =

pc (9.2.12)

Adifusividade térmica a indica arelação entre acapacidade do material em transferir calor por condução eacapacidade desse material em armazenar energia térmica.

b) Conduti.:.J-de térmica kconstante e sem fontes de geração interna de calorQuando k= constante e g (x, y, 2, í) = 0, aequação da condução de calor se reduz a

VaT 19.2.1*)Essa Eq. (9.2.13) é conhecida como equação da difusão de calor.

c) Condução em regime permanente, com condutividade térmica kconstante ecom geraçãointerna de calor

Para regime permanente tem-se que adistribuição de temperatura éinvariável com otempo, ou seja, —= 0. ecomok= constante, a Eq. (9.2.10) fica sendo *

g(.x.y,z,Qk (9.2.14)

^%

164 Capítulo Nove

d) Condução em regime permanente, com condutividade térmica kconstante e sem geração ^interna de calor rm

Com essas condições a equação da condução de calor fica reduzida, a ^

V2T=0 . (9.2.15) ^que é conhecida como equação de Laplace. ^

Este é um texto apenas introdutório da matéria Fenômenos de Transporte e se destina acursos básicos, de forma que "^consideraremos somente situações de condução de calor em regime transíente com condutividade térmica constante e ^sem geração interna de calor, ou seja, estudaremos somente aequação da difusão de calor (Eq. (9.2.13)) que, para umcaso tridimensional em coordenadas retangulares, é dada por "^

(9.2.16) *y

onde T =T(x, y, z, t). 'Diversos problemas apresentam geometria cilíndrica, sendo necessário utilizar as equações em coordenadas cilíndri- "^

cas (r, d, z). Aequação dadifusão de calor em coordenadas cilíndricas pode ser escrita como /%

<PT_ + ±àT_ 1 d^T_ £2JT=i£L "^dr2 r dr r2 dd2 dz2 ~ ~ãüt (9.2.17)

onde T =T(r, 6, z, t). "^

9.3 CONDIÇÕES DECONTORNO E INICIAL PARA A ^DIFUSÃO DE CALOR ^

A equação da difusão de calor

dx2 dy2 dz2 a dt (931) A

éuma equação diferencial parcial de segunda ordem nas variáveis espaciais ede primeira ordem na variável temporal, de **forma que são necessárias duas condições de contorno para cada variável espacial utilizada na descrição do problema euma condição inicial para oscasos transientes. ^

As condições de contorno einicial são determinadas da situação fisic.i do problema em estudo, easolução da equação ^diferencial deve satisfazê-las.

^|9.3.1 Condição Inicial

d2T , d2T d2T 1 dT—— H +dx2 dy2 dz2 a dt

Acondição inicial fornece a distribuição de temperatura, na região de definição do problema de condução de calor _dependente do tempo, no instante inicial. /

De uma maneira geral, pode-se representar essa distribuição de temperatura para oinstante í = 0 da seguinte for- ^ma:

T (x, y, z, 0) = T() i.v.).-.) (9.3.1. M /m

sendo que essa distribuição pode ser uniforme ou uma função das variáveis espaciais. ^

9.3.2 Condições de Contorno <~

As condições de contorno descrevem as situações de temperatura ou de fluxo de calor existentes na fronteira da região ^de definição do problema de transferência de calor. De uma maneira geral, as condições de contorno podem ser classi-ficadas em três tipos: condição de contorno de temperatura prescrita; condição de contorno de fluxo prescrito; e con- 'dição de contorno de transferência de calor porconvecção. **%

Êimportante observar que essas condições de contorno, que descrevem situações físicas na fronteira da região de ^f$b

*%

•^b

tf

#*

tf*.

Introdução à Condução deCalor em Regime Transíente 165

definição do problema de difusão de calor, devem ser satisfeitas pela solução da equação diferencial do caso em estudoem qualquer instante de tempo í > 0.

Condição de contorno de temperatura prescrita

Essa condição écaracterizada pela especificação da temperatura no contorno. Consideremos um problema unidimensional de condução de calor através de uma parede plana, de grandes dimensões eespessura pequena L, mostrada noesquema da Figura 9.2. As superfícies da parede situadas em x=0ex=Lsão mantidas às temperaturas T0 eT,, respectivamente.

T(0.t)=T0nL,t) =T,

0 L

Figura 9.2 Esquema de uma parede plana com temperaturas especificadas nas superfícies.

• x

Tem-se um processo unidimensional de condução na direção x. de maneira que aequação diferencial da difusão decalor para este caso fica sendo

d2T(x, t) 1 dT(x.t)dx2 a dt

para0 < x < L

r>0 (9.3.2.1)

Tem-se aespecificação das temperaturas nas superfícies da parede plana, de maneira que as condições dedesse problema são de temperatura prescrita e são dadas por

contorno

T(0, í^ = Tu para

T(L, t) = T, para

x=0

f >0

x = L

í >0

(9.3.2.2)

(9.3.2.3)

As temperaturas no contorno podem ser constantes ou funções do tempo. Cada problema de condução de calor temas correspondentes condições decontorno estabelecidas da situação física existente.

Condição de contorno de fluxo prescrito

Essa condição écaracterizada pela especificação da densidade de fluxo de calor no contorno. Adensidade de fluxo decalor por condução está relacionada com ogradiente de temperatura por meio da equação de Fourier para acondução, deforma que acondição de contorno de fluxo prescrito consiste na especificação da derivada da temperatura na direçãonormal à superfície no contorno.

Consideremos um problema unidimensional de condução de calor através de uma parede plana, de grandes dimensões e espessura pequena L, mostrada no esquema da Figura 9.3. onde estão especificadas as densidades de flu.xo decalor por condução no contorno.

166 Capítulo Nove

Figura 9.3 Esquema de uma parede planacom as densidades de fluxo de calor especificadas no contorno.

Aequação da difusão de calor para este caso unidimensional de condução na direção x pode ser escrita como

d2T(x,t) =_j_ dT(x, t) para ÍO <x<Ldx2 a dt [í >0

Da equação de Fourier para a condução tem-se que as densidades de fluxo de calor são dadas por

âT(Q, t)q0=~k

dx

dT(L, t)

dx

(9.3.2.4)

(9.3.2.5)

(9.3.2.6)

de forma que, para esse tipo de problema, as condições de contorno de fluxo prescrito são dadas por

(9.3.2.7)<?T(0, t) _ qQ

dx kpara

Jx =0[í>0

dT(L, t) _ qLdx k

paraJx =L\t>0 (9.3.2.8)

Um caso particular de condição de contorno de fluxo prescrito éode uma superfície com isolamento térmico perfeito,de forma que ofluxo de calor através da superfície énulo, ou seja, nesta situação tem-se que ogradiente de temperaturanadireção normal à superfície é igual a zero nasuperfície decontorno.

Condição de contorno de transferência de calor por convecçãoEssa condição écaracterizada pela transferência de calor por convecção na superfície de contorno. Consideremos um

problema unidimensional de transferência de calor por convecção da superfície sólida de uma parede plana para um fluido que mantém temperatura Tx constante (reservatório térmico) com coeficiente de transferência de calor por convecção h, conforme é mostrado no esquema da Figura 9.4.

Na superfície sólida (de contorno), situada em x = L, tem-se que

(densidade de fluxo de calor N

que chega por condução na

superfície de contorno

densidade de fluxo de calor^

que sai por convecção da

^superfíciede contorno(9.3.2.9)

Existe uma distribuição de temperatura T(x, t) na parede sólida que possui condutividade térmica L Sendo hocoeficiente de transferência decalor por convecção do fluido que mantém temperatura Tx, da Eq. (9.3.2.9) obtém-se a seguinte condição de contorno de transferência de calor porconvecção

tf

tf

éi^

áP

/fJSfc

Introdução à Condução de Calor em Regime Transíente 167

Fluido

Figura 9.4 Esquema deuma superfície sólida que cede calor por convecção para um fluido.

*^=MT(L,()-T,dx

paiax = L

í>0 (9.3.2.10)

Observe que as equações das condições de contorno também dependem da geometria do problema em estudo. Asrelações apresentadas são referentes àgeometria de paredes planas. Para problemas de contorno com outra geometria, talcomo acilíndrica, obtêm-se relações semelhantes considerando avariável espacial adequada para ocaso.

Condições de contorno na junção de duas camadas sólidas

Quando há contato térmico perfeito entre dois meios sólidos, as temperaturas e as densidades de fluxo de calor sãoiguais na junção, ou seja, nas superfícies dos dois materiais que estão em contato. Consideremos aparede plana composta de um forno, constituída de uma camada de cerâmica refratária ede uma camada de aço, conforme é mostrado noesquema da Figura 9.5. Esses dois materiais sólidos têm condutividades térmicas edifusividades térmicas diferentes, deforma que as distribuições de temperatura são diferentes na cerâmica eno aço, sendo que, para um contato térmicoperfeito, na junção das camadas, as temperaturas eas densidades de fluxo de calor são iguais.

Consideremos aparede plana composta mostrada no esquema da Figura 9.5 para asituação em que atemperatura doar interno do forno varia com otempo segundo afunção T\t) dada com coeficiente de transferência de calor por convecção h„ enquanto oar ambiente externo mantém-se com temperatura Tx ecoeficiente de transferência de calor porconvecção Jix .

Têm-se dois problemas de transientes térmicos: um para acamada de cerâmica com distribuição de temperatura T, ia.í); eooutro para acamada de aço com distribuição de temperatura T,(x. t), acoplados pelas condições de contorno najunção situada em x = Lc.

Ar interno

Tj[tl />,-

Cerâmica

«C

aC

t-C

Aço

ka

<*A

-l-A-

Ar externo

-> Figura 9.5 Esquema da parede planaposta de um fomo.

168 Capítulo Nove

Adistribuição de temperatura na camada de cerâmica éa solução da equação diferencial

d2Tc(x, t) _ 1 dTc(x,t)dx2 ac dt

eadistribuição de temperatura na camada de aço é a solução da equação diferencial

d2TA(x,t) _ 1 dTA(x,t)dx2 aA dt

Na junção das camadas sólidas, em x = Lc, considerando contato térmico perfeito, têm-se as condições de contorno

Tc(Lc,t) = TA(Lc,t)

para

para

|0<x< L([í>0

\Lc<x< Lc+ LA\t>0

(9.3.2.11)

(9.3.2.12)

parax = Lç

t>0(9.3.2.13)

k dTc(Lc, t) _ L dTA(Lc, t)dx dx

Uma dessas condições de contorno deve ser aplicada para a solução geral da Eq. (9.3.2.11), enquanto aoutradeve serempregada para a solução geral da Eq. (9.3.2.12).

Exemplos de Formulação de Problemas Unidimensionaisde Difusão de Calor

Aformulação de um problema de difusão de calor em regime não-permanente consiste em especificar detalhadamenteaequação diferencial e as condições de contorno e inicial que descrevem aquestão de transferência decalor em estudo.

Exemplo 9.1

AFigura 9.6 mostra um esquema de uma parede plana, de grandes dimensões e espessura pequena L, constituídade um material com difusividade térmica a, condutividade térmica k e sem geração interna decalor. Inicialmente, aparede está em equilíbrio térmico com oarambiente, que possui temperatura T». No instante detempo t =0 , a superfície esquerda daparede adquire subitamente temperatura T0 constante (T0 > TJ. Seoarambientesituado do lado direito daparede é um reservatório térmico que mantém temperatura T., constante com coeficiente de transferência de calor por convecção hm formule detalhadamente oproblema de transíente térmico naparede.

Tem-se uma parede plana de grandes dimensões e espessura pequena, de forma que o problema é unidimensionalcom condução de calor na direção perpendicular às superfícies da parede tdireçãox). Assim, a equação da difusão de

Figura 9.6 Esquema de uma parede plana na si-^ tuação emque a superfície esquerdaadquiresubi-

x tamentea temperatura T0 constante.

/^b

*%

/^\

/^b

*^b

/%

-^

<^%

tf

áps

Introdução à Condução de Calor emRegime Transíente 169

calor que descreve este problema de transíente térmico pode serescrita como

d2T(x, t) 1 dT(x,t) [0<x<L— para

dx2 a dt [t > 0

Inicialmente, a parede está em equilíbrio térmico com oar ambiente, que mantém temperatura Tx , ou seja, acondição inicialé dada por

T(x,0) = Tx para J°" x~ L[í = 0

Tem-se aespecificação da temperatura na superfície esquerda da parede, enquanto na superfície direita ocorre transferência de calor por convecção para ofluido, ou seja, em x= 0, acondição de contorno éde temperatura prescrita e, emx = L, a condição de contorno é de transferência de calor por convecção, de forma que as condições de contorno sãodadas por

T(0, t) =T0 para {* =°t >0

dT(L,t) .,_„.„, íx = L-k—r^ = fcB[T(L,í)-T, paradx U > 0

Exemplo 9.2

Considere aparede plana composta de um forno, constituída de uma camada de cerâmica retrataria com espessuraLc , condutividade térmica kc edifusividade térmica 0& ede uma camada de aço com espessura LA, condutividade térmica kA e difusividade térmica aA, cuja situação está esquematizada na Figura 9.5. Inicialmente, oforno estáem equilíbrio térmico com oar externo. Ligando-se oaquecimento, atemperatura do ar interno varia com otemposegundo a função T;(í), dada com coeficiente de transferência de calor por convecção Ji„ enquanto oar externopermanece com temperatura T„ e coeficiente de transferência de calor porconvecção hx. Considerando contatotérmico perfeito na junção das camadas sólidas econdução unidimensional de calor na direçãox,formule detalhadamente o problema de transíente térmico na parede composta do forno.

Têm-se dois problemas de transíente térmico: um para acamada de cerâmica com temperatura Tc(x, t) eooutro paraa camada de aço com distribuição de temperatura TA{x, t).

Camada de cerâmica


Condição inicial

d2Tc{x, t) 1 dTc(x,t) f()<.v<Lc— — — c para ' l-

dx2 ar dt f>0

Tc (x, 0) = Tx para0 < .v< Lc

/ =0

tf Condições decontorno:

tf

h,[Tl«)-Tc(0.t)]--kcâT<:{0't) P-a íx= °dx ]í>0

TC(LC, t) =T,(LC. t) paia \x L<r >0

170 Capítulo Nove

Camada de aço


Condição inicial:

Condições de contorno:

à2TA(x,t)_ 1 dTA(x,t)dx2 aA dt

TA(x, 0) = T„

k dTc(Lç t) _ k dTA(Lç,t)dx dx

_ âTÁ(Lc+ LM t) _K{TÁLc +L)_Tm]dx

para

para

para

para

Lc < x < Lc 4- LA

t2*0

ÍLC < x < Lc + LA\t =0

x = Lc

t>0

\x = Lc + LA[t>0

Exemplo 9.3

A Figura 9.7 mostra um esquema de um cilindro de grande comprimento e pequeno raio R, constituído de. ummaterial com difusividade térmica cl, condutividade térmica ke sem geração interna decalor. Inicialmente, ocilindro possui temperatura uniforme T{. No instante de tempo t =0, esse cilindro émergulhado num líquido que mantémtemperatura T» constante (reservatório térmico) comcoeficiente de transferência de calor por convecção h. Considerando que T; > Tm formule detalhadamente o problema de transiente térmico nesse corpo cilíndrico.

• z

k.a Líquido

Figura 9.7 Esquema de um corpo cilíndrico imerso num-*. r líquido que mantém temperatura Tx.

O cilindro tem grande comprimento e raio pequeno, de forma que a condução de calor é unidimensional nadireçãoradial, e a equação da difusão de calor, paraeste caso, em coordenadas cilíndricas fica reduzida a

d2T(r, t) ^ 1 dT(r, t) 1 dT(r, t) \0< r < RH = para

dr2 dr dt í>0

Inicialmente, o cilindro tem distribuição uniforme de temperatura T„ ou seja, a condição inicial deste problema édada por

T(r, 0) = Ts para < r<fíÍ0<r

|t = 0

/%

*%

/%b

^%

/%

/%

/s^

**%

(*%

/%

/^\

^%

^%

/%

/^\

/^lb

^\

*^\

/%

tf

tf

tf

(p^

Ms

tf*

0*

tf\

tf


Osistema apresenta simetria em relação ao eixo longitudinal z, localizado no centro do cilindro, de forma que, emr = 0, a condição de contorno é dada por

<?T(0, t) fr = 0= 0 para <

dr \t>0

Ocorpo cilíndrico cede calor por convecção para olíquido, de maneira que, na superfície situada emr = R, tem-condição de contorno de transferência de calor por convecção dada por

se

, dT(R, t) [r = R~ k - = h [T(R, t) - Tx] para <

dr t>0

9.4 SOLUÇÃO ANALÍTICA DE UM PROBLEMA TRANSÍENTE EUNIDIMENSIONAL DE DIFUSÃO DE CALOR

Exemplo 9.4

AFigura 9.8 mostra um esquema de uma placa plana de comprimento infinito eespessura 2L (placa onde aespessura é muito menor que as outras dimensões), constituída deummaterial homogêneo com difusividade térmica a.Inicialmente, aplaca possui temperatura uniforme Tf. Considerando que, no instante de tempo í = 0; as superfícies da placa são resinadas subitamente àtemperatura T„ emantidas com essa temperatura para t > 0, determineo transíente térmico T(x, t).

T(x, /-j)num instante r-|

T„>

Figura 9.8 Esquema deuma placa decomprimento infinito onde as superfícies são resinadas subitamente à temperatura T„ ccns-.c

Ahipótese de um resfriamento súbito das superfícies àtemperatura Tx é uma aproximação razoável para casos u>in<>oda imersão da placa num líquido que mantém atemperatura Tx constante (reservatório térmico), em situações onde oparâmetro adimensional chamado de número de Biot (Bi), definido para a placa como Bi = —, é muito maior que .iunidade (Bi » 1). Um valor grande do número de Biot indica que atransferência de calor por convecção entre asuperfície sólida eofluido émuito maior que acondução de calor no interior da placa, no mesmo intervalo de tempo.

172 Capítulo Nove ^

Aplaca tem grandes dimensões eespessura pequena (comprimento infinito eespessura 2L), de forma que oproble- ^ma de difusão de calor éunidimensional com condução na direção perpendicular às superfícies (direção x) com distri- ^buição transíente de temperatura T(x, t). Existe um plano yz de simetria no centro dessa placa onde consideramos a *origem do eixo x, conforme é mostrado no esquema da Figura 9.8, de maneira que determinaremos otransíente T(x, t) ^para olado direito da placa, ou seja, para 0< x< L. Adistribuição de temperatura para olado esquerdo da placa será msimétrica. '

Aequação diferencial da difusão decalor (Eq. (9.2.16)) para este problema unidimensional fica sendo ^^^

â'T(x,t)_ 1 dT{x,t) ÍOSxSL~ã?—ã^T" """ [no <9-4I> ^

Inicialmente, a placa possui temperatura uniforme T,, ou seja, acondição inicial é dada por - _{0 < x ^ L

, =0 (9-4.2) 1>

No centro da placa existe um plano yz de simetria através do qual não há fluxo de calor, ou seja, ogradiente de temperatura na direção xénulo em x= 0, de forma que acondição de contorno para x=0édada por ^

*T(0,t)_n fx =0 **_ 0 Para ^>q (9 43) ^Tem-se aespecificação da temperatura na superfície da placa, de maneira que, parax = L,acondição de contorno é ^

dada P°r «a

ttí,.)-t. para {;;oL (944) ^Econveniente realizar uma transformação de variável, considerando a temperatura relativa 0(x, í) definida como /%

0(x, t) = T(x, t) - Tx (9.4.5) ^

Assim, em termos datemperatura relativa 0(x, t), a formulação do problema fica sendo ^

d2B(x, t) _ 1dS(x, t) [0<x<L ^

com a condição inicial ?

f0<x<L ^0(x, O) = 0f para <=Q (9.4.7) ^

onde

e com as condições de contorno

0* = T, - T„ (9.4.8)

<? 0(0, t) n \x = 0= 0 paraÃÍ " P3ia ]t>0 ^A.9)

\x = L0(L,í)=O Para <Q (9.4.10)

Observe que, com a transformação de variável, oproblema ficou com as duas condições de contorno homogêneas.Resolveremos a Eq. (9.4.6) utilizando o método de separação de variáveis, que considera uma solução da forma

0(x,í)=X(x)t(í) (9.4.11)

/%t

/*$b

onde Xé função somente da variável espacialx, e ré função apenas da variável temporal t. /%Assim, a Eq. (9.4.6) fica sendo

(<«%

/%


,Ad*X{x) _ X(x) dr(t)

Dividindo a Eq. (9.4.12) porX(x)ri;t), obtém-se

1 d2X(x) _ 1 dr(t)X(x) dx2 ar(t) dt {9AM)

Na Eq. (9.4.13) olado esquerdo depende somente da variável espacial x, eolado direito é função só da variável temporal t, de forma que esses termos devem ser iguais a uma constante que, por conveniência, expressamos por (-À2).Assim, tem-se que

1 d2X(x)_ 1 dr(t)_— —Àr X(x) dx2 ar(t) dt (9-414>

ps Dessa maneira, da Eq. (9.4.14) resultam duas equações diferenciais ordinárias, dadas por

tf d2X(x) ,—^T +A*X(x) =0 (9.4.15)

£ éf+ay.m=0 -(9Al6)m. A Eq. (9.4.15) tem solução geral dadapor

tf X(x) = A cos Ax 4- B sen Ax (9.4.17)

tf que deve satisfazer ascondições decontorno dadas por

<*X(0) .-^-0 (9.4.18)

e

X(L) = 0 (9.4.19)

(p^

áp*

/f^

A Eq. (9.4.16) possui solução geral dadapor

T(t) = Ce-a*2' (9.4.20)

A condição inicial do problema fica sendo

X(x)tíO) = 0, (9.4.21)

Aplicando r - ~^ição de contorno parax = 0, obtém-se

—;— = - AA sen 0 + BA cos 0 = 0 (94 )))dx

de forma que

B = 0 (9.4.23*

Aplicando a condição de contorno parax = L,como B = 0, tem-se

X(L) = A cos AL = 0 (9.4.24)

Aconstante A tem que ser diferente de zero, portanto

cos AL = 0 (9.4.2^)

resultando que

A.L = (2«-1)— (9.4.2bi

174 Capítulo Nove

ou seja, /%

(2n - 1) 7TA_ =

2L(9.4.27)

Tem-se que n = 1,2, 3,..., °° e A„ são conhecidos como osautovalores doproblema.Assim, têm-se as autofunções /

X„(x)=A„cosArfx (9.4.28)e

Tn(t) = C„ e-aA»' (9.4.29) ^

demaneira que a Eq. (9.4.6) tem n soluções possíveis daforma ^

e„(x, í) = X„(x)rB(í) (9.4.30) "*As Eqs. (9.4.15) e (9.4.16) são equações diferenciais lineares e,portanto, a combinação linear das soluções possíveis *

também é solução. Assim, a solução geral para a temperatura relativa 0(x, t) é dada por "%

0(x,í) =^aBe-aA«2«cosABx (9.4.31) flfc

onde a„ = C„ An. ^Determinam-se os coeficientes a„ com a aplicação da condição inicial do problema, de maneira que ^

x *%

0(x, 0) =0; =£a„ e~° cos Anx (9.4.32) /*n=l '

ou seja, ^

0, = 2/„ cos A„x (9.4.33) _

Essa Eq. (9.4.33) é uma expansão em série de Fourier, de forma que os coeficientes normalizados an são dados por y/^b

0j cos A„x dx /%

I cos2 Anx dx yf$b

de maneira que /%

0, ^— sen AHL _A„ n ^

Mas, tem-se que

de forma que

resultando

a. = L+ sen2AnL (9.4.35)2 4A„

\„L = (2n-\)~ (9.4.36)

senA„L = (- l)""1

sen 2 A„ L = 0

/t^

2 0

(9.4.37)/5%

(9.4.38)

f^S

(9.4.39)/$S

/^S

rf%b

/^b

/s8\

ffiitb

/%ib

tf

tf

tf

tf

tf

tftf

tf*

tf

#*

Mb

(IP>

/fe

#N

Introdução à Condução de Calor em Regime Transíente 175

Assim, a solução do problema (Eq. (9.4.31)) ou seja, a temperatura relativa fica sendo

"" 2 0.0(x'l) =Iw í" l)n'' e~"*' cos K*

I A- Li(9.4.40)

Da definição de temperatura relativa (Eq. (9.4.5)), tem-se que

0(x, í) = T(x, t) - Tx (9.4.41)

&i = Ti- T„ (9.4.42)

resultando que otransíente térmico, ou seja, adistribuição de temperatura na placa, para 0< x< L, édada por

2_ _.^(-l)-«T(x, t) =T„ +•=• (T, - T„) XM1— e"aA*' cos A»*Li A- (9.4.43)

sendo

A =(2n-l)7T

2L

9.5 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C. O. 8c MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo 1978BIRD, R. B.; STEWART, W. E. &LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena. John Wiley, 19Ó0.HOLMAN, J. P. Transferência deCalor. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1983.INCROPERA, F. P. &DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calorede Massa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.OZISIK, M. N. Transferência de Calor- Um Texto Básico. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1990.SISSOM, L. E. &PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979.WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976.

9.6 PROBLEMAS

9.1 Considere umaparedeplanade grandes dimensões eespessura pequena L, constituída por um material comcondutividade térmica ke difusividade térmica a, cuja superfície direita está revestida por um isolante térmico perfeito. Inicialmente, a parede está em equilíbrio térmicocom o ambiente, que possui temperatura Tx. Se, no instante t = 0, a superfície esquerda adquire subitamenteuma temperatura Te, que é mantida constante parat > 0,formule detalhadamente o problema de transíente térmico na parede.

9.2 Considere uma placa plana de grandes dimensões eespessura L pequena, constituída por um material comcondutividade térmica ke difusividade térmica a, que foiaquecida no interior deum forno até atingir temperatura uniforme T0. No instante de tempo í = 0,essa placa é mergulhada num líquido que mantém temperatura Tx constante(reservatório térmico) com coeficiente de transferência decalor por convecção a. Formule detalhadamente o problemade transíente térmico nessa placa.

9.3 Considere uma parede plana composta, degrandes dimensões e espessura pequena, constituída de uma camada

com espessura L, de um material com condutividade térmica fe, e difusividade térmica au e de outra camada (dolado direito) comespessura L2 de um material comcondutividade térmica k2 e difusividade térmica a2. Asuperfíciedireita da parede composta está revestida comum isolantetérmico perfeito. Inicialmente, essa parede composta estáem equilíbrio térmico com oarambiente, quepermanece ãtemperatura Tx. Subitamente, a superfície esquerda da parede composta adquire a temperatura T£, que é mantidaconstante para t > 0. Considerando contato térmico perfeito entre as camadas, formule detalhadamente o problema de transíente térmico nessa parede composta.

9.4 AFigura 9.9mostra umesquema daparede plana composta deum forno. Inicialmente, o forno está em equilíbriotérmico comoarexterno, que mantémtemperatura Tx constante ecoeficiente detransferência decalor por convecção/zx. Ligando-se oaquecimento, a temperatura da superfícieinterna da parede composta varia com o tempo segundo afunção T0(t) dada. Considerando contato térmico perfeitona junção entre as duas camadas sólidas, formule detalhadamente oproblema detransíente térmico na parede composta do forno.

176 Capítulo Nove

7b(0

Cerâmica

<-C-

Figura 9.9

Aço

Ka

<*AAr externo

9.5 A Figura 9.10 mostra um esquema da parede planacomposta de umforno. Inicialmente, tem-se umregime permanente, como ar no interiordo forno com temperaturaT4constante e coeficiente de transferênciade calor por convecção hif enquanto o ar externo (ambiente) mantém temperatura TM constante com coeficiente de transferência decalorporconvecção hx, resultandoas distribuições de temperatura Tc(x) na camada de cerâmica e TA(x) na camadade açoque constituem a parede composta. No instante detempo t = 0, desliga-se o aquecimento do forno, de formaque a temperatura do ar interno passa a diminuir com otempo segundo uma função T^t). Para essa situação, considerandoprocesso unidimensional de conduçãode calornadireção x, que o coeficiente de transferência de calor porconvecção h{ permanece constantee hácontatotérmico perfeito na junção entre as duas camadas sólidas, formuledetalhadamenteo problemade transíente térmicona parede composta do forno.

Ar interno

r, (regime permanente)ou

Tj(fl(regime transíente)

Figura 9.10

Ar externo

9.6 Considereum sólido semi-infinito, constituídopor ummaterial com difusividade térmica a e condutividade tér

mica k, mostrado no esquemada Figura 9.11 que, inicialmente, possui temperatura uniforme Tj. Formule o problema de transíente térmico para os casos de:

a) no instante de tempo t = 0, a superfície em x = 0 ésubmetida subitamente à temperatura T0, que é mantidaconstante para t > 0;

b) no instante t = 0, a superfície emx = 0 passa a receber um fluxo de calor q0, que é mantido constante parat >0;

Figura 9.11

c) no instante de tempo t = 0, a superfície em x = 0 écolocada em contatocom um fluido, que mantém temperaturaTf constante comcoeficiente de transferência decalor por convecção h.

9.7 Considere o Exemplo9.4. Formule detalhadamente edetermine a solução analítica, utilizando o método de separação de variáveis, do transíente térmiconessaplaca,nãoconsiderando o planode simetria nocentroda placa, ouseja,considerando a placa toda, com a origem do eixo x na superfícieesquerda, com intervalode definição 0íxS2L,conforme é mostrado no esquema da Figura9.12.

,rW

7"(x, r<j) num instante f-)

Figura 9.12

Resp.: T(x, t) =Tx+Y (^ - T„) £-J- e-**' sen A„

nironde: A„ ——-

2L

9.8 A Figura 9.13 mostra um esquema de uma barra cilíndrica longae fina (L>> D) e com a superfície lateral revestida por um isolantetérmicoperfeito. Pode-seconsiderarque

/3|

•*%

r%

r^

f^çb

/^h

/%

tf

tf

tf

tf

tf

tf1

tf*

0^

0ê&

/fp)

Introdução à Condução de Calor em RegimeTransíente 177

Isolante

ib Barra

Figura 9.13

a temperatura é uniforme nas seções transversais, ou seja, o Resp.:problema é unidimensional comcondução de calor na direçãox.Considere uma distribuição inicial de temperatura dadaporuma função/(x). Senoinstante de tempo t = 0 asextremidades da barra, situadas emx = Oeemx = L, são, subi- onde:tamente, submetidas às respectivas temperaturas T(0, t) =T0 e T(L, t) = TL, constantes (condições de contorno não-homogêneas), formule detalhadamente e determine a soluçãoanalítica, utilizando o método de separação de variáveis,do transíente térmico nessa barra.

•> x

T(x, t) =T0 4- {Tl To) x+£ D„ e~-*' sen A„x

D.=fj[/(x)-T, <Jl ~ To) sen A„x d!x

A =nir

v Capítulo 10

INTRODUÇÃO A TRANSFERENCIA DE MASSA

10.1 INTRODUÇÃOObserva-se. na natureza e em processos tecnológicos, uma grande variedade de fenômenos de transferência de massa,como, por exemplo, adifusão de açúcar num copo com água, aevaporação de líquidos, os processos de secagem edeumidificação, adispersão de poluentes na atmosfera e nas águas, a difusão de água através da parede de um vaso decerâmica eadifusão de átomos em metais em alguns processos metalúrgicos. De uma maneira geral, nos sistemas quecontêm dois ou mais componentes químicos cujas concentrações variam de ponto aponto ocorrem fluxos de massa quetendem a uniformizar os campos de concentrações desses componentes.

Analogamente àtransferência de calor, otransporte de massa pode ocorrer por dois mecanismos: difusão molecular econvecção. Adifusão molecular se caracteriza pela transferência de massa de um componente em uma mistura (solução)devido àexistência de gradientes de concentração. Quando otransporte de massa ocorre através de um fluido em repouso ou em um sólido em função de uma diferença de concentração, tem-se que amassa étransferida somente por difusãomolecular por causa dos gradientes de concentração.

O mecanismo de convecção se caracteriza por um transporte de massa devido ao movimento do fluido. Nos escoamentos de fluidos com mais de um componente químico atransferência de massa ocorre, geralmente, tanto por convecção como por difusão molecular, sendo que, em alguns casos, há predominância de um mecanismo em relação ao outro.Pode-se observar ofenômeno de transporte de massa colocando uma pequena pedra de açúcar num copo com água.Estando aágua em repouso, observa-se que oaçúcar se difunde lentamente na água até que asolução fique saturada. Nocaso de se provocar um escoamento na água por meio de uma colher, verifica-se que oaçúcar édissolvido mais rapidamente por convecção.

Oobjetivo principal deste capítulo éapresentar algumas definições econceitos básicos em transporte de massa, estudar os fundamentos da formulação de problemas simples de difusão molecular causada por gradientes de concentraçãode um componente numa mistura (solução) binaria onde não ocorrem reações químicas eocomponente transferido seencontra com baixa concentração, e mostrar aanalogia existente com atransferência de calor por condução.

10.2 LEI DE FICK PARA A DIFUSÃO MOLECULAR DE UMCOMPONENTE NUMA MISTURA BINARIA

Alei de Fick estabelece que adensidade de fluxo de massa por difusão molecular de um componente numa mistura édiretamente proporcional ao gradiente de concentração do componente. Na Seção 2.6, definimos agrandeza intensivaconcentração em termos da massa específica pÁdo componente Ae. também, como fração de massa cÁóo componenteAna mistura. Em algumas situações, pode ser mais conveniente considerar as concentrações eos fluxos expressos emtermos molares.

Para casos unidimensionais de difusão molecular do componente Anuma mistura binaria de componentes Ae B.sendo pa massa específica da mistura, a lei de Fick para a difusão pode ser escrita como

ou

l,> =-Ds d Pady

Ja.,=-Dmd(pc,

(10.2.

(10.2.2)

J

I

9

9

%9

9

9%%

*

9%%

9

9

9

<%

9

99

9

tf

tf

IP1

0$b

4p\

Introdução à Transferência de Massa 179

onde:

/A, éadensidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente Aatravés da mistura na direção y;dpA d(pC\) .~ó~~ ou . # e° gradiente de concentração do componente Ana mistura na direção y; e

DAB éocoeficiente de difusão molecular ou difusividade de massa do componente Ana mistura de componentes AeB.

Para casos gerais, alei de Fick para adifusão molecular do componente Anuma mistura binaria de componentes AeB pode ser expressa vetorialmente como

Ja = -dabvPa (10.2.3)ou

h=-DABV(pcA) (10.2.4)

Osinal negativo nessas equações deve-se ao fato de ofluxo de massa ocorrer no sentido contrário ao gradiente deconcentração, ou seja, adifusão molecular ocorre da região de maior concentração para aregião de menor concentração.Adifusão de massa, analogamente àcondução de calor, é um fenômeno que tem origem no movimento molecular.

Para avisualização desse fenômeno de difusão, consideremos um recipiente fechado composto inicialmente por doiscompartimentos separados por uma parede fina impermeável, conforme émostrado no esquema fora de escala da Figura10.1a. No comparrimento do lado esquerdo há um gás Acujas moléculas são representadas por círculos brancos, enquanto no comparrimento do lado direito há um gás Bcujas moléculas são representadas por círculos pretos, sendo queos gases AeB possuem a mesma temperatura eamesma pressão. As concentrações dos gases AeB, definidas em cadaponto, correspondem ao número de moléculas existentes por unidade de volume. Inicialmente, na situação esquematizada na Figura 10.1atem-se, na região do lado direito da parede divisória, uma concentração nula do gás A, enquanto naregião do lado esquerdo dessa parede aconcentração do gás Btambém é nula.

Omovimento das moléculas de um gás éaleatório, etem-se amesma probabilidade de elas se dirigirem em qualquerdireção, de forma que aprobabilidade de uma molécula se dirigir para adireita éigual àprobabilidade de ela se dirigir

(a) Inicialmente,os gases estãoseparados por uma paredefina impermeável

(b) Situação num instante tapós a retirada da parededivisória

°o o° o ° °o O o o o

o o o o

q O Gás A q0 O O o

° oo °oo o o o

o

GásB

Oo o • o# • o •

• o o • o •

o

o

o

o •

° ° rb# oo# °

o •

~ ° • •o o w ^# • o • •

o ° o o o • # •

o

Figura 10.1 Esquema de um recipiente fechado com dois gases inicialmente separados por uma parede fina impermeável

180 Capítulo Dez

para aesquerda. Assim, se no instante de tempo t = 0aparede divisória entre os dois compartimentos é retirada, devidoao fato de inicialmente existir uma maior concentração do componente Ano lado esquerdo do recipiente e uma maiorconcentração do componente 8 no lado direito do recipiente observa-se um movimento resultante de moléculas do gás Ada esquerda para a direita e de moléculas do gás Bda direita para a esquerda, ou seja, ocorre uma difusão molecular deum gás através do outro por causa da existência cie"gradientes de concentração desses componentes no sistema. Verifica-seque após um determinado intervalo de tempo, para t » 0, as concentrações dos componentes AeB tendem a ficaruniformes.

10.3 FLUXOS DE MASSA EM MISTURAS BINÁRIAS

Consideremos uma mistura binaria constituída pelos componentes (espécies químicas) Ae B. De uma maneira geral,pode ocorrer movimento da mistura, além de movimentos (difusão) dos componentes Ae B em relação à mistura, deforma que sedeve definir velocidade e fluxo de massa da mistura edos componentes. Define-se fluxo (taxa detransferência) de massa como aquantidade de massa que étransferida por unidade de tempo através de um plano perpendicular à ^direção do movimento. Adensidade de fluxo de massa éaquantidade de massa que é transferida por unidade de tempo *epor unidade de área através de um plano perpendicular àdireção do movimento, ou seja, adensidade de fluxo de massa ^é o fluxo de massa por unidade de área. ^

No entorno deum ponto, tem-se um agregado departículas que podem estar semovendo com velocidades diferentes.Considerando ocomponenteAda mistura, define-se avelocidade média VA do agregado de partículas da espécie Acomo âdensidade de fluxo de massa do componente A, em relação aum sistema de coordenadas fixo, dividida pela sua concen- ^traçãoexpressacomo massa específica, ou seja,

VÁ = „o.3.1, 9Pa "%

onde: '

"m

VA éa velocidade média das partículas do componente Anum elemento de volume no entorno do ponto;NA é a densidade de fluxo de massa da espécie Aemrelação a um sistema de coordenadas fixo; e 'pA é aconcentração do componente A, expressa como massa específica. ^

Da mesma forma, define-se uma velocidade média para um agregado de partículas do componente B. Assim, em re-lação aum sistema de coordenadas fixo, tem-se que numa mistura binaria adensidade de fluxo de massa do componente ^1Aé dada por ^

NA =p,VA (10.3.2) ê a densidade de fluxo de massa do componente Bé dada por *%

NB=/%\>B (10.3.3) ^

resultando que a densidade de fluxo de massa da mistura binaria é


pV = PaVa+P*\\onde:

pé a massa específica da mistura; eV é a velocidade mássica média da mistura.

Assim, a velocidade mássica média da mistura é dadapor

[7 _ Pa V.a + PbVíV =


V = cAV, + cRVR

fîb

(10.3.4)

"%

(10.3.5' ^S

sSb

f^b

rt$$s

/$%s

(10.3.6)

f^b

(10.3.7) /í^\

/Ss

/^l

r*$b

r^s

^ Introdução à Transferencia de Massa 181

tf onde cA ecB são, respectivamente, as concentrações dos componentes AeBna mistura definidas como frações de massa.- Adensidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente Aatravés da mistura binaria, JA, émedida em

relaçãoa um plano que se move com a velocidade mássica média da mistura.tf Assim, para ocomponente Ada mistura binaria, tem-se uma densidade de fluxo de massa NA, em relação aum sis-gf* tema decoordenadas fixo, dada por

^ ÜA=PAVA (10.3.8)tf

p euma densidade de fluxo de massa JA, medida em relação aum plano que se move com avelocidade mássica média damistura, que pode ser escrita como

tf

? Ja=Pa(Va-v) (10.3.9)tf*

0s Como pA VA = NA, tem-se que

~ ÚA=]A+p*V (10.3.10)

p ou seja, adensidade de fluxo de massa do componente A, em relação aum sistema de coordenadas fixo, éigual àdensi-dade de fluxo de massa por difusão do componente Aatravés da mistura (em relação a um plano que se move com a

tf velocidade mássica média) mais adensidade de fluxo de massa do componente Acom avelocidade mássica média daMs mistura.

/ps

tf 10.4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DE MASSA DE UMtf SOLUTO NUMA MISTURA BINARIAtf Consideremos um escoamento de um fluido constituído de uma mistura binaria de componentes AeB através de uma£* superfície de controle, conforme émostrado no esquema da Figura 10.2, sem geração dos componentes por reações

químicas e sendo a espécie A um soluto.tf Oprincípio de conservação da massa aplicado aum volume de controle macroscópico (equação da continuidade naãÊ*- forma integral) estabelece que

(fp

p JJp(v>-»)^A + JJJpt/V =0 (10.4 1.sc \ i

- Essa equação, que expressa aconservação da massa, deve ser satisfeita tanto pela mistura de massa específica pcom.»por cada um dos componentes Ae B, que possuem concentras(Vs />< <-' pH. respectivamente.

0h

0*

MSS

0b\

Linhas de

corrente

Superfície de controle

*-

Figura 10.2 Esquema deum escoamento de uma mistura binána através deuma superfície decontroie estacionán

182 Capítulo Dez ^/^\

Amassa dosoluto A dentro dovolume de controle é dada por /%

MA = fff cApdV (10.4.2) ^vc ^

onde: ^

cA é a concentração, expressa como fração de massa, do soluto A na mistura; e <*%pé a massa específica da mistura.

Existindo gradiente de concentração do componente A, ocorre fluxo de massa por difusão molecular desse componenteatravés da mistura, sobreposto ao transporte convectivo de massa devido ao campo develocidade deescoamento.

Adensidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente Ana mistura é dada pela lei de Fick como

Ja=-DabVPa=-DabV{pca) (10.4.3)

Um fluxo de massa por difusão molecular do componente Aatravés da superfície de controle causa uma taxa devariação da massa desse componente Adentro do volume de controle, dada por

e%

fL="JÍ( 'íi)í/A (10A4> ^dM:Osinal negativo édevido ao fato de que ataxa de variação de massa ——- épositiva para um fluxo de massa que entra ^

no volume decontrole, ouseja, para JA -n < 0. ^No Capítulo 5, deduzimos a equação básica da formulação de volume de controle, dada por "%

i&L-rjíp(v.i)4lA +0J/l/w«V 00.4.5) 'ZSC. V.C. '

onde: "%

Bé uma grandeza extensiva genérica e j3 é a grandeza intensiva correspondente. ^

No caso do estudo da transferência demassa de um soluto Anuma mistura, tem-se que ^

B = MA é a massa do soluto A;e ^/3 = cA é a concentração (fração de massa) do soluto na mistura, rm

de forma que a Eq. (10.4.5) fica sendo /m

sc vc.

onde: ^

c.\ P = P.v e a concentração do componente A na mistura.

Da Eq. (10.4.4), tem-se que

ífi =-||(J,-5)<ÍA (10.4.7,de maneira que a Eq. (10.4.6) fica sendo

SC

-jj (h-n)dA =jj c,p(V-n)dA +j-jjj cAp<ÍV (10.4.8»SC SC vc

que pode ser escrita como 7

JJ [c.a p(v•«)-!-J,-nldA-l-—JJJcApdV =0 (10.4.9) ^SC. "* v.C.

T Introdução à Transferencia de Massa 183tf

0b. Utilizando oteorema da divergência, pode-se transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, daforma

tf jjÕ-ndA =jjjV-GdV (MAIO)0b sc. vc.

0b de maneira que a Eq. (10.4.9) pode serescrita como

C jfjb{cApV) +V.]A+2&AdV =0 (10.4.11)Ovolume de controle (V.C.) éarbitrário, de forma que ointegrando éidenticamente nulo, portanto tem-se que

^ Í-(cÁpV) +V.JA +*!!jl£L.o (.0.4.12)tf s ' dttf Oprimeiro termo da Eq. (10.4.12) pode ser desenvolvido da seguinte maneira

£ *-M) = Vj+|.(c,pVj+|-(c,pVj=0>*

^ ^pí^+f^K^ilUv^ +vM (10.4.13)^ {dx dy dz) dx " dy * dztfj^ Essa Eq. (10.4.13) pode ser escrita numa forma compacta como

P V-(cApV) =cApV-V +V-V(cAp) (10.4.14)Assim, a Eq. (10.4.12) pode ser escrita como

#fcc,pV-V +V-V(c,p) +V-JA4-%^ =0 (10.4.15)

dt

Aderivada material decAp é dada por

Dt v AHf dt (10.4.16'

r onde:tf*

/P*

0^>

0b

V'^ {ca p) é a taxa de variação convectiva de cAp ;e

— é a taxa de variação local de cAp,

de forma quea Eq. (10.4.15) pode serescrita como

D(c,p) - - - -ri +cApV-V + V-JA =Dt -«r • - • • JA 0 (10.4 I"

Adensidade de fluxo de massa por difusão molecular JA é dada por

J.\ =-D\b V{cÁp) H0.4 |sde maneira que, para DAB constante, tem-se

*'Ja =-D^^(cAp) =-DABV2(cAp) U04 h><

184 Capítulo Dez

onde:

d2 . ^ . d2}y


V2 —~ã"T + T-7 + -7-7 éooperador laplaciano em coordenadas retangulares.

ou como

^^-+caPV-V-DabV2(caP) =0 (10.4.20) ^/^b

^^+V>-V(cAp) +cApV-V- D^VfopJ-O (10.4.21)/^

que éaequação diferencial de transporte de massa do soluto Anuma mistura binaria de componentes AeB, considerandoque adifusividade de massa D^ éconstante eque não há geração do componente Apor reações químicas. ^

c%

Casos Particulares da Equação Diferencial de Transporte de Massa 1de um Soluto A numa Mistura Binaria, Considerando o Coeficiente de ^Difusão Dab Constante e que Não Há Geração do Componente A por ^Reações Químicas: ^a) Regime permanente ^

Neste caso, tem-se que ataxa de variação local da concentração do componente A(soluto) énula, ou seja, ^

d(cAp)â =0 (10.4.22) ^

/^%resultando que a Eq. (10.4.21), para um regime permanente, fica sendo

V-V(cAp) + cApV-V-DABV-(cAp) = 0 (10.4.23) ^

b) Escoamento incompressível

Para uma mistura binaria em escoamento incompressível, tem-se que amassa específica éconstante (p = constante),de forma quea Eq. (10.4.20) pode serescrita como

9

ou seja,

DcA

= 0 (10.4.24) 1

Dt +cAV-V-DABV-c,=0 (10.4.25)

Da equação diferencial da continuidade para um escoamento incompressível tem-se que

V-V = 0 (10.4.26)

de maneira quea Eq. (10.4.25) fica sendo

—A -DABV2cA=0 (10.4.27)Dt


de—^ 4- V-\?cA - DABV2 cA = 0 (10.4.2S)dt

/%

/*%

fiSb

Introdução à Transferencia de Massa 185

c) Escoamento incompressível e em regime permanente

Para um regime permanente, tem-se que —(..) = 0, de forma que a Eq. (10.4.28) fica reduzida a

r VÃvcA-DABv>cA=0 (10.4.29)

_ d) Mistura binaria em repouso com massa específica pe difusividade de massa DAB* constantes

^s Para uma mistura binána em repouso, tem-se que V=0, de maneira que a Eq. (10.4.28) fica reduzida a

P dcAfh ~dT =D™V2c* (10.4.30)f: que pode serescrita como

dotf -^- =DABV2pA (10.4.31)

^ que éaequação da difusão de massa do componente Anuma mistura binaria em repouso de componentes Ae8, em quenão há reações químicas. Essas Eqs. (10.4.30) e (10.4.31) também são conhecidas como asegunda lei de Fick para a

0^

/jP*

0^

difusão.

10.5 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE MASSANa seção anterior, deduzimos aequação da difusão de massa como um caso particular da equação diferencial de transporte de massa de um soluto Anuma mistura binaria em repouso com amassa específica pda mistura eadifusividade docomponente Aconstantes e sem geração da espécie Apor reações químicas. Essa equação da difusão de massa, dadapelas Eqs. (10.4.30) e(10.4.31), que também se aplica nos processos de transporte de massa por difusão molecular atravésde sólidos, pode ser escrita como

rr-, I dfy

T7> I <?P\

Essas Eqs. (10.5.1) e (10.5.2), que costumam ser chamadas de segunda lei de Fick para a difusão, são análogaequação da difusão de calor, dada pela Eq. (9.2.13), que pode ser escrita como

V'T = --^- (10.5 *a dt

Atransferência de massa por difusão molecular de um componente Anuma mistura binaria em repouso, ou através de^ um sólido, éum processo análogo àtransferência de calor por condução num meio estacionário. Observe que aEq. (10 5[,tf (ou Eq. (10.5.2)) eaEq. (10.5.3) são do mesmo tipo matemático, eque aúnica diferença está nas variáveis dependentes

envolvidas e nos respectivos coeficientes de difusão. As soluções dessas equações, para condições de contorno e inicial• semelhantes, são análogas.

tf Aequação da difusão de massa éuma equação diferencial parcial de segunda ordem nas variáveis espaciais ede pn-p meira ordem na variável temporal, de maneira que são necessárias duas condições de contorno para cada variável esp.n i•

ai utilizada na descrição do problema e uma condição inicia! para os casos transientes. Essas condições de contorno c

186 Capítulo Dez ^

inicial são determinadas da situação física do problema em estudo, eelas devem ser satisfeitas pela solução da equação *adiferencial. -

AEq. (10.5.2) em coordenadas retangulares é dada por 7

^2Pa • <?2Pa d2Pa 1 d pA—Í2- + —221 + —£2S_ = riíL (1054) ^dx2 dy2 dz2 Dw dt K^A) ^

onde: pA = pA(x, y, z, í). ^Diversos problemas apresentam geometria cilíndrica, sendo necessário utilizar as equações em coordenadas cilíndri- ^

cas (r, d, z).A Eq. (10.5.2) em coordenadas cilíndricas podeser escritacomo *

/Sb

Íl£â- + LÍ£â. + I4+ &Pa_ = J_Í£a_ (irm\ "$dr2 r dr r2 dd2 dz2 DAB dt U°-5'5' ^onde: pA = pA(r, d, z, t). _

Aformulação matemática de problemas de difusão de massa, ou seja, a especificação da equação diferencial e dascondições de contorno e inicial que descrevem oprocesso em estudo, éanáloga àformulação de problemas de difusão de ^calor, que foi estudada no Capítulo 9. ^

Condições de Contorno e Inicial

Para adifusão de massa, de forma semelhante à transferência de calor por condução, pode-se ter condições de.contornode concentração prescrita e de fluxo prescrito. 1

Acondição de contorno de concentração prescrita écaracterizada pela especificação da concentração no contorno da ^região de definição do problema de difusão de massa em estudo. ^

Acondição de contorno de fluxo prescrito écaracterizada pela especificação da densidade de fluxo de massa por difu-são molecular na fronteira da região de definição do problema em estudo. Adensidade de fluxo de massa por difusão ^molecular está relacionada com ogradiente de concentração pela lei de Fick, de forma que essa condição de contorno de fmfluxo prescrito consiste na especificação da derivada da concentração na direção normal àsuperfície de contorno na fronteira da região de definição doproblema. ^

Acondição inicial fornece adistribuição de concentração, na região de definição do problema de difusão de massa em "*regime transíente, no instante inicial.

Exemplos de Formulação de Problemas Unidimensionais de Difusão de **Massa ^

/z§b

Exemplo10.1 "^Considere uma placa de cerâmica, de grandes dimensões eespessura 2L pequena, mostrada no esquema da Figura10.3. Inicialmente, a piaca de cerâmica possui uma distribuição uniforme de água (umidade) com concentração "5paQ. No instante de tempo t = 0, essa placa de cerâmica é subitamente submetida a um processo de secagem com ^%ouso de jatos de ar seco, idênticos, sobre suas duas superfícies, de forma que aconcentração de água nas superfícies fica nula para í > 0. Considerando que adifusividade da água na cerâmica éD^ constante, formule oproble- ^ma transíentede difusão de águana placade cerâmica. /m

^%

Aplaca de cerâmica tem grandes dimensões eespessura pequena, de forma que oprocesso de difusão de água é uni- *%dimensional na direção perpendicular às superfícies (direção x) com distribuição transíente de concentração de águapu(x, t). Existe um plano yz de simetria no centro dessa placa de cerâmica onde consideramos a origem do eixo x, de ^maneira que formularemos oproblema para adeterminação do transíente p„(x, t) para olado direito da placa, ou seja, "*|para 0í.xSL

Aequação da difusão de água através da cerâmica, para esse problema unidimensional, fica sendo '

dx2 D„ dt " lt>0

«^

/^\

tf

tf

tf

tf

Ê$*

tf

0r\

tf*

/pN

0x>

tfb

0b

0$*-


pa(x> '1) num instante r-j

Figura 10.3 Esquema deuma placa decerâmica submetida a um processo desecagem.

Acondição inicial do problema é dada por

pa{x, 0) = paQ para< x < LÍ0S.x

\t = 0

No centro da placa existe um plano yz de simetria através do qual não há fluxo de massa, ou seja, ogradiente de concentração de água é nulo em x = 0, e como asuperfície da placa de cerâmica está submetida a um jato de ar seco. tem-se que aconcentração de água é nula em x = L. Assim, as condições de contorno do problema são dadas por

*ft(0.Q = 0d x

para

pa(L, t) = 0 para

r* = o[t>0

[x = L\t>0

Observe aanalogia entre este exemplo eaformulação do problema transíente de difusão de calor através de uma placaestudado na Seção 9.4.

Exemplo 10.2

Considere oduto cilíndrico de comprimento semi-infinito, de diâmetro pequeno e parede impermeável, inicialmente cheio de água pura (destilada) em repouso, mostrado no esquema da Figura 10.4. No instante de tempo t=0, aextremidade esquerda desse duto écolocada em contato com um reservatório de grandes dimensões de águasalgada, também em repouso, com concentração de sal igual api0 constante. Considerando que adifusividade demassa do sal na água é DM constante, formule oproblema transíente de difusão de sal na água dentro do duto.

Ogradiente de concentração de sal na água dentro do duto cilíndrico é na direção z, ou seja, adifusão de sal ocorredireção - e. para esse problema unidimensional, a equação da difusão de massa de sal fica sendo

d*ftfc Q = 1 dp(z. t)d z- D, d t

para I?

188 Capítulo Dez

Reservatório de

água salgada f0 Inicialmente água pura

Figura10.4 Esquema deumduto cilíndrico decomprimento semi-infinito, inicialmente com água destilada, conectado num reservatório deágua salgada.

Inicialmente, aágua dentro do duto é pura (destilada), com concentração de sal nula, de forma que acondição inicialdo problema é dada por

ps(z, 0) = 0 para < z ^ »

0l?;O reservatório de água salgada é de grandes dimensões e oduto tem pequeno diâmetro. Atubulação cilíndrica tem

comprimento semi-infinito, de forma que muito longe do reservatório de água salgada (para z = oo) aconcentração de salna água dentro do duto permanece nula. Assim, as condições de contorno do problema são dadas por

= 0

0P$(0, t) =prf para \ z% >

Ps(°°, í) = 0 para {2 = oo

í >0

10.6 BIBLIOGRAFIA

BENNETT, C. O. &MYERS, J. E. Fenômenos deTransporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.BIRD, R. B.; STEWART, VV. E. &LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena. John Wiley, 1960.INCROPERA, F. P. &DEVVITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor ede Massa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.ÒZISIK, M. N. Transferência de Calor-Um Texto Básico. Guanabara Koogan. Rio de janeiro, 1990.SISSOM, L. E. 8c PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois. Rio de Janeiro, 1979.WELTY, J. R., WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976.

10.7 PROBLEMAS

10.1 Considere o Exemplo 10.1. Resolva esse problematransíente de difusão de água na placa de cerâmica para olado direito doplano de simetria, ou seja, para O^xSL,utilizando o método de separação de variáveis.

Resp.: pa(x, t) =^l^LJ e-Oac^cosXnX

onde:_(2n-l)7T

2L

10.2 Considereo Exemplo 10.1.Formuledetalhadamentee determine a solução analítica, utilizando o método de separação de variáveis, desse processo transíente de difusãodeágua na placa decerâmica, não considerando o plano desimetria no centro da placa, ou seja, considerando a placatoda, com a origem do eixo x na superfície esquerda, comintervalo de definição OSxí 2L, conforme é mostrado noesquema da Figura 10.5.

~> x íResp.: p,(x, í) =^^T —e-°-A»2' sen À„x

onde: À„ =mr

H

"•*%

/^b

/^\

/4à

rt%

(ff*

tf

tf*

0Z*

/Rn

/^

/^\

f

/SN

e

(f^


pa(*> '1)num instante t-\

Figura 10.5

Apêndice j- ^

NOÇÕES BÁSICAS DE TERMODINÂMICA E UMA |APLICAÇÃO DA ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA

PARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR \ *♦

A.l INTRODUÇÃO «^No desenvolvimento deste livro, considerei que os alunos de Fenômenos de Transporte já cursaram disciplinas de Físicae, portanto, já estudaram os princípios fundamentais da Termodinâmica.

Oobjetivo deste apêndice é apresentar um resumo de noções básicas de termodinâmica. Um estudo mais detalhado,com adedução das equações apresentadas, pode ser encontrado em livros de texto utilizados nas disciplinas dos cursosbásicos de engenharia, tais como Fundamentos de Física, de Halliday, Resnick e Walker, volume 2, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, RJ; Física, de Serway, volume 2. LTC - Livros Técnicos e CientíficosEditora S. A.. Rio de Janeiro, RJ; eCurso de Física Básica, de H. Movsés Nussenzveig, volume 2, Editora Edgard BlücherLida., São Paulo. SP.

A.2 SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE

ATermodinâmica éaárea da Física que trata do estudo das relações entre as propriedades de um sistema eas trocas decalore trabalho com a vizinhança. "•%

Sistema é uma quantidade definida e identificada de matéria. Um sistema clássico estudado emtermodinâmica é umadeterminada massa de um gás contido em um cilindro com um pistão móvel.

Nas situações com escoamento de fluido geralmente é mais conveniente analisar aquestão considerando um volumede controle, pois um sistema fluido, devido àmobilidade relativa entre as partículas, pode se deformar de tal maneira aolongo do escoamento que deixa de ser identificável. Volume de controle éuma região arbitrária e imaginária através daqual ofluido escoa. Superfície de controle éa superfície que envolve ovolume de controle. No Capítulo 5deste livroapresento uma análise de escoamentos na formulação de volume de controle. ^

A.3 EQUILÍBRIO TÉRMICO. LEI ZERO DA TERMODINÂMICA

Adescrição macroscópica, característica da termodinâmica, descreve osistema em função de três grandezas macroscópicas: a pressão p, ovolume Ve a temperatura T. Apressão exercida por um gás sobre a parede do recipiente que ocontém está relacionada com ovalor médio da transferência de momento linear nas colisões das moléculas do gás com aparede. Atemperatura do gás está relacionada com aenergia cinética média das moléculas.

Um sistema isolado está em equilíbrio térmico quando as grandezas macroscópicas não variam com otempo.Lei zero da termodinâmica: Se os corpos (sistemas) AeB estão, separadamente, em equilíbrio térmico com um terceiro

corpo (sistema) C, entãoA e 8 estão em equilíbrio térmico entre si.

9

A.4 TEMPERATURA. TERMÔMETROS E ESCALASAtemperatura é uma grandeza macroscópica mensurável que pode ser usada para a verificação de equilíbrio térmico,pois os corpos (ou sistemas) que estão em equilíbrio térmico têm a mesma temperatura.

Termômetro é um dispositivo usado para medir a temperatura de um sistema. Os termômetros utilizam avariação, emlunção da temperatura, de alguma propriedade física do sistema, tal como: '^

9

9

9

*9

variação do volume de um líquido:variação do comprimento de um sólido:

9

9

tf

tf

Noções Básicas de Termodnâmica euma Aplicação da Análise Global do Sistema para aTransferência de Calor 191

• variação da pressão de um gás a volume constante;• variação da resistência de um condutor; e• variarãn na mr Ao um r-mmnvariação da cor de um corpo.

Uma escala de temperatura éconstruída com relação aum fenômeno térmico reprodutível ao qual se arbitra umatf temperatura. Aescala Celsius está relacionada com aescolha de dois pontos fixos correspondentes às temperaturas dasp misturas de água egelo, na pressão atmosférica, arbitrada como zero grau Celsius (0°C), ede água evapor de água na

pressão atmosférica, arbitrada como cem graus Celsius (100°C). 't Aescala Fahrenheit também tem como referências as temperaturas de congelamento ede ebulição da água na pressãop atmosférica, que foram, respectivamente, arbitradas como de 32 graus Fahrenheit (32°F) para oponto de congelamento

ede 212 graus Fahrenheit (212°F) para oponto de ebulição da água." Aescala Kelvin ou escaXa «k temperatura absoluta tem como ponto fixo ochamado ponto triplo da água que éoestadotf termodinâmico no qual água no estado líquido, gelo evapor de água coexistem em equilíbrio. Atemperatura do ponto~ triplo da água foi arbitrada como sendo 273,16 kelvin, ou seja, T3 = 273,16 K(o índice 3se refere ao ponto triplo dav água). r

<f Aescala de temperatura de gás ideal édeterminada com um termômetro de gás avolume constante com ogás utilizadofb muito rarefeito Verifica-se que nas situações com gases muito rarefeitos os gases reais tendem ase comportar como

ideais, eas medidas obtidas ficam independentes do gás utilizado. Atemperatura na escala de gás ideal édada por

T = 273,16K um • —m -»0

Pi

. onde méamassa do gás contido no bulbo do termômetro, péapressão do gás àtemperatura que se está medindo e»,<P eapressão do gas quando obulbo do termômetro está em equilíbrio térmico com aágua no ponto triplo.tf

<p Relação entre as Escalas Kelvin e Celsiustf Sendo Tatemperatura em kelvin eTc atemperatura em graus Celsius, tem-se que

* T=TC + 273.15

tf Relação entre as Escalas Celsius e Fahrenheittf Sendo Tc atemperatura em graus Celsius eTF atemperatura em graus Fahrenheit, tem-se que

tf Tc=^(Th-^2)

f A.5 CALOR. CAPACIDADE TÉRMICA. CALOR ESPECÍFICO" Calor éaforma de energia que étransferida em função de uma diferença de temperatura. No sistema internacional drP unidades (SI) a unidade decalor é ojoule (J).^ Capacidade térmica Cde um corpo éoquociente entre aquantidade de calor fornecida ao corpo eacorrespondente

variação de temperatura, ou seja,tfs

0b p \lATtf>

_ onde Qéaquantidade de calor fornecida ao corpo eATé acorrespondente variação de temperatura do corpo. Aunid.uk-r SI de capacidade térmica é joule porkelvin (J/K).p Calor específico cde uma substância éaquantidade de calor recebido por unidade de massa epor unidade da corres^ pondente variação de temperatura da substância. Aunidade SI de calor específico éjoule por quilograma epor LK,n

[k^Kj Pafa defÍnÍF comPletamente °ca,or específico, deve-se especificar as condições segundo as quais ocaloretransferido para o sistema

tf*

fâjjb

192 Apêndice

Calor específico a volume constante cvde uma substância é a quantidade de calor recebido por unidade de massa e por t%unidade de temperatura, quando o volume permanece constante, ou seja,

1(8Q\ ^ml dT

Calor específico apressão constante cp de uma substância éaquantidade de calor recebido por unidade demassa e por ^unidade de temperatura, quando a pressão permanece constante, ou seja,

1 /«ai<dT)p /^

Aquantidade infinitesimal decalor foi simbolizada por 8Q e não por dQ para lembrar que Q não é função de estado, ^ou seja, que a quantidade de calor Q depende da trajetória (do processo termodinâmico).

Nosgases,é importante fazerdistinçãoentre o calorespecífico a volume constante e o calorespecíficoa pressãoconstante. Paraos líquidos, geralmente,pode-seconsiderarque o calorespecíficoa volumeconstante é praticamente igualao >calor específico a pressão constante. *1

p m

Calor Latente ou Calor de Transformação de Fase

Nas mudanças de fase, ocorre uma transferência de calor sem variação de temperatura. Define-se calor latente oucalor detransformação defaseLcomoa quantidade de calor transferido por unidade de massadurante a mudança de fase,ou seja,

"^1

A.6 TRABALHO REALIZADO POR UM SISTEMA SOBRE A

VIZINHANÇA

Consideremos comosistemao gáscontidoem um recipiente cilíndrico provido de um pistãoque tem basecircular de áreaA. Se o gásexerceuma pressãop, de forma que aplicauma força F (com módulo F = pA) sobre o pistão que se deslocade uma distância infinitesimal dl, tem-se que o trabalho realizado pelo sistema é dado por

dW = F-dl = pAds = pdV

onde dV = A ds é a variação infinitesimal do volume do gás.Para um processo termodinâmico entre um volume inicial V, e um volume final V/t tem-se que o trabalho realizado

pelo sistema sobre a vizinhança é dado por

VV =JpdV

Paraa integração que consta nessa equaçãoé necessário sabercomoa pressãovaria em função do volume, ou seja. énecessário conhecer o diagrama p-V do processo termodinâmico. A Figura A.1 mostra um diagrama p-V para um processo termodinâmico entre um estado inicial i e um estado final/. Observe que o trabalho VV realizadopelo sistema entreos estados inicial i e final/pode ser determinado do diagrama p-V, e é dado pelaárea compreendida entre a curva p = ^p( V) e o eixo Ventre os pontos ief. ^

rim

/^s

/%

/%

/>$b

/®b

/^

tf

tf

tf

ífP^

Noções Básicas de Termodinâmica euma Apucação da Anáuse Global do Sistema para aTransferência de Calor

FiguraA.1 Diagrama p-Vparaum processo termodinâmico entreos estados / e /.

193

A.7 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA PARA UM SISTEMAOtrabalho Wrealizado pelo sistema eaquantidade de calorQrecebido pelo sistema dependem do processo termodinâmico, ou seja, dependem da trajetória termodinâmica entre os estados inicial efinal cesso termodina

Verifica-se que aquantidade (Q - W) não depende do processo, ou seja. ela depende somente dos estadosermodinamiços micial efinal. Assim, aquantidade (Q - W) representa uma propriedade de estadaTterldinâm odo

sistema que echamada de energia intema, representada oorE termodinâmico doConsiderando um sistema que troca calor etrabalho com avizinhança, conforme oesquema mostrado na Fieura A2

eque ocdoremedido em unidade de energia (joule [J], no SI), aprimeira lei da termodinâmica, quÍ ^expfesl doprincipio de conservação da energia, pode ser escrita como 4 expressão do

onde:AE* = Q - w

^£,m £,n,/, /'"!•' éavaria^° ^e ener8ia inte™ do sistema entre os estados inicial iefinal/do processo-Qeaquantidade de calor recebida pelo sistema durante oprocesso; eVV éotrabalho realizado pelo sistema durante oprocesso.

Figura A.2 Esquema de um sistema que troca calor e trabalhocom a vizinhança.

fnhr^'^0 S°BRf QEW: arbitranvse como P°siti™s ocalor que entra no sistema eotrabalho realizado pelo sistemasobre a«zinhança. sendo, então, negativos ocalor que sai do sistema eotrabalho realizado pela vizinhança sobreosisteTa

de cC2SqtTafZ£!qU£ reCrbe drzi"ha^ um "-" "<l-<io de calor (fluxo de calor que entra menos oflu.xo^,»J° K u q S,°bre "TOinhanca uma«*> "q"ida de trabalho (taxa de trabalho realizado peloSicaÍ^

dESM _8Q ÔW_dt dt dt

hqJÍ dVrbaWaSdtDT8ÍV°tal dKSÍStema é,'gUal a° naX° "qUÍ<l0 de Cal0f "UC entra "° sistema — -'-iquida de trabalho realizado pelo sistema sobre av,zinhança. Usamos osímbolo <Snas diferenciais de troca de calor cd.-trabalho para lembrar que essas quantidades dependem do processo termodinâmico.

194 Apêndice

A.8 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA NA FORMULAÇÃO DEVOLUME DE CONTROLE

Nas situações com escoamento defluido nas quais ocorre troca decalor e^realização detrabalho, geralmente é mais conveniente analisar aquestão considerando aabordagem de volume de controle. Nesta seção, apresento apenas um resumoda primeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle. No Capítulo 5deste livro apresento uma análisede escoamentos na formulação de volume de controle com um estudo mais detalhado do assunto.

Consideremos oescoamento deumfluido demassa específica patravés deuma superfície decontrole (S.C.) estacionaria, conforme é mostrado noesquema da Figura A.3,onde dA é um elemento deárea dasuperfície decontrole, n éovetor unitário normal a dA, V éo vetor velocidade de escoamento e 6é o ângulo formado entre V e n. Consideremos,

S Otambém, que ocorre um fluxo líquido de calor -y=> para ovolume de controle (V.C.) e que ofluido que está dentro do

volume decontrole realiza uma potência (taxa derealização detrabalho) —— sobre a vizinhança, conforme é mostradono esquema da Figura A.3.

Sendo e a energia total específica (por unidade de massa do fluido) dada por

V2

onde:

gyé a energiapotencialgravitacional por unidade de massa;V2—— é a energia cinética por unidade de massa; e

u é a energia interna por unidade de massa,

Linhas de

corrente do

escoamento

Superfície de controle (S.C.)

Figura A.3 Esquema de um escoamento através de um volumede controle (V.C).

aprimeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle pode serescrita como

/3b

r%

tf

(P*

/ps

/fps

/ps

NoçOes Básicas deTermodinâmica euma Apucação daAnáuse Global do Sistema paraa Transferência deCalor 195

Esta equação é uma expressão do princípio de conservação da energia total na formulação de volume de controle, e elafornece um balanço global de energia para ovolume de controle considerado, que pode ser escrito da seguinte forma:

''fluxo líquidode calor queentra no volume

yde controle

''taxa líquida de Atrabalho realizado

pelo fluido do V.C^sobre a vizinhança;

'fluxo líquido deenergia total queatravessa a superfície

^de controle

'taxa de variação daenergia total dentro

kdo volume de controle,

Existem diferentes formas de realização de trabalho. Na mecânica dos fluidos é conveniente considerar o termo de

potência (taxa de realização de trabalho) —-— composto da seguinte maneira:dt

ÔW

dt

swev

dti ° ' escoamento i ° "cisalhamento

dt dt

onde:

• Wea0 é o trabalho realizado pelo fluido dentro do volume decontrole e transmitido para avizinhança (ou davizinhançapara ovolume decontrole) através deum eixo que atravessa a superfície decontrole, ouseja, é o trabalho realizado emturbinas e bombas;

• escoamento é o trabalho realizado pelo fluido ao escoar através da superfície de controle, resultante das forças devidoàs tensões normais aiit ou seja, é o trabalho realizado pelas forças de pressão; e

• Wc.saihamento é o trabalhorealizado pelo fluido contra as tensõescisalhantes (atritoviscoso) no volume de controle, ouseja, é o trabalho realizado pelas forças de atrito viscoso no sentido oposto ao escoamento do fluido (trabalho negativo),de forma que esse termo representa a energia mecânica que é dissipada pelo atrito viscoso no volume de controle.

Aprimeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle consiste em um balanço global deenergia paraovolume decontrole considerado, de maneira que se deve identificar todos os fluxos deenergia e as taxas de realizaçãode trabalho entre ovolume decontrole eavizinhança, as variações de energia no volume de controle eastransformaçõesde uma forma em outra de energia.

ôWApotência decisalhamento clsj mo representa a quantidade deenergia mecânica que é transformada em ener-

dt

gia térmica por unidade de tempo devido ao atrito viscoso no volume decontrole. Essa energia térmica correspondente àenergia mecânica dissipada pelo atrito viscoso compreende dois efeitos: causa um aumento daenergia interna dofluidoentre as seções de entrada e de saída do volume de controle e uma transferência de calor do fluido para a vizinhança(fluxo decalor negativo) através da superfície de controle. No b.il.inço global de energia, expresso pela primeira lei datermodinâmica na formulação de volume de controle, consideraremos esses efeitos de aumento da energia interna dofluido e de fluxo decalor do fluido para avizinhança, em vez deconsiderar explicitamente o termo depotência decisalhamento.

A potência de escoamentoÔW,escoamento

dt, que é a taxa de realização de trabalho feito pelo fluido ao escoar através da

superfície de controle devido às forças de pressão, é determinada por

ÔW.escoamentoaamento II

t JJ/> V-»7'í/.\

sendo p a pressão.Assim, a primeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle fica sendo

%-^-il«™«-lfa*--->"+Ttl!l'>«'que pode ser escrita como

ÔQ

dt

ÔW" ei

dtptV-nhlA +ilH) Bi

v.c.

epdV

196 Apêndice

Para facilitar avisualização e a compreensão desses conceitos, consideremos a situação particular deum escoamentode um fluido através de um volume de controle (V.C.) que envolve uma turbina, conforme é mostrado no esquema da

ÔOFigura A.4. Consideremos, também, que ocorre um fluxo líquido de calor -j=- para ovolume de controle e que ofluido

dt

queestádentro dovolume decontrole realiza uma potência de eixo (taxa de realização de trabalho de eixo)cados na FiguraA.4.

6W.eixo

dt

(D

+ v<(2)

y, *

V.C.

rs.c. 1

2 P2

rPlano de referência

Figura A.4 Esquema de umescoamento através de umvolume de controle (V.C.) que envolve umaturbina.

ôWe,dt

indi-

Considerando as seguintes hipóteses simplificadoras:

• regime permanente;• escoamentocom propriedades uniformes nas seções transversais; e• semdissipação de energia mecânica poratrito viscoso,

na análise dessa questão vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica na formulação de volume de controle, expressapela última equação, que fica reduzida a

dt dt jj\ p)Ocorre escoamento de fluido através das seções transversais (1) e i.2) da superfície de controle, e como as proprieda

des são uniformes nas seções transversais, sendo Vavelocidade média de escoamento na seção, Aa área da seção, pamassa específica do fluido, p a pressão, ua energia interna por unidade de massa eya elevação da cota média da seção,conforme é mostrado no esquema da Figura A.4, tem-se que

!!(e+PP)

V?p{V>n)dA = \gyx + -±-+ u, +2 Pi)

P\ (-AV'A,) + V? Pigyi+-%- + «2 + —2 Pi)

(aV-2a2)

Aplicando a equação da continuidade, como o regime é permanente, obtém-se que

pxVxAx = P2VA, = m

onde itiéo fluxo de massa do escoamento.

Assim, da aplicação da primeira leida termodinâmica na formulação de volume de controle resulta

ir -ir-m[gr>+y+"!+ãJ_m{gy'+t+"•+ aJ

/$b

Zw!\

'^

<^b

"SN

ZSÍk

/^b

/%

Noções Básicas de Termodinâmica e uma Aplicação da Anáuse Global do Sistema para a Transferencia de Calor 197

w

tf que pode ser escrita como

tf ÔQ—^ + mdt

( t/2 >M P\

&y\ + -r + "i + —l 2 pí J

_ 5Wíut0dt

0bA£im = Q

c) Processos Cíclicos

+™\gyz+Y+U2+ —

0\ Nessa situação física que está esquematizada na Figura A.4 estão envolvidas diferentes formas de energia. Observeque o lado esquerdo dessa última equação apresenta os fluxos da energiaque entra no volume de controle na forma de

v^ calor ede energias potencial, cinética, interna ede pressão, enquanto no lado direito dessa equação estão apotência detf eixo e os fluxos da energia que sai do volume de controle naforma de energias potencial, cinética, interna e depressão._^ Verifica-se transformação deumtipo emoutro deenergia, entre asseções transversais (1) e (2), e que a potência deeixo^ está associada a uma turbina. Como o regime é permanente, o fluxo de energia total que entra no volume de controle étf igual ao fluxo de energia total que sai dovolume de controle.0*

tf A.9 ALGUNS CASOS PARTICULARES DA PRIMEIRA LEI DAtf TERMODINÂMICA PARA UM SISTEMA

a) Processos Adiabáticos0*

-^ Não ocorre transferência decalor entreo sistema e avizinhança, ouseja, Q = 0, de forma quea primeira lei da termo-^ dinâmica fica reduzida atf AEim = -VV

^ Têm-sedois modos de realização de processos adiabáticos:0*^ Expansão ou compressão de um sistema isolado por parede adiabática; etf Expansão oucompressão muito rápida dosistema, demaneira quenão haja tempo para uma transferência significati-m, va de calor.

1" b) Processos a Volume Constante (Isocóricos ou Isovolumétricos)-^ Quando ovolume dosistema fica constante, tem-se que não há realização de trabalho, ouseja, VV = 0, de forma que

^; a primeira lei da termodinâmica se reduz a

0$f>

0b

Nos processoscíclicos,o estado final é igualao estado inicial, de maneira que A£lM = 0, resultando que a primeira leida termodinâmica fica reduzida a

Q = W

d) Processos de Expansão Livre

São processos adiabáticos em que não há trabalho realizado pelo sistema, ou seja, tem-se que Q = IV = 0, de formaque a primeira lei da termodinâmica se reduz a

A£,m = 0

A.10 TEORIA CINÉTICA DOS GASES

Equação de Estado dos Gases Ideais (Perfeitos):

pV = nRJ

0b,

0fc*

onde

p é a pressão absoluta do gás;V é o volume do gás;

198 Apêndice

«éo número de mols do gás;Ru é a constante universal dos gases; eT é a temperatura absoluta do gás.

r^b

Trabalho W Realizado por um Gás Ideal a Temperatura Constante ^Considerando que osistema consiste em nmols de um gás ideal que se expande de um volume inicial Vf até um vo- ^

lume final V/f num processo isotérmico (a temperatura Tdo gás permanece constante), tem-se que m

Vi Vf

Como n, RueT são constantes, resulta

VV =«fluTln(%)Isoterma éacurva num diagrama p-V que relaciona apressão eovolume de um gás, em um processo a temperatura ^

constante. Da equação de estado dos gases ideais, como n,RueT são constantes, tem-se que ^

_ constante «=%

^%

**%

Relações para a Pressão eaTemperatura de um Gás Ideal em ûm Modelo Molecular 2

Consideremos nmols de um gás ideal confinado em um recipiente de volume V, com as seguintes hipóteses: â) tem-se um número Nmuito grande de moléculas idênticas de massa puntiforme mque se movem aleatoriamente; "*b) as distâncias intermoleculares são relativamente grandes e as moléculas obedecem às leis de Newton, colidindo

elasticamente entre si e com as paredes do recipiente; e ^c) as interações intermoleculares são devidas somente às colisões, eogás está em equilíbrio térmico com as paredes ^

do recipiente.fí$b

Considerando esse modelo molecular de um gás ideal com essas hipóteses, tem-se que /fe

1 nM rrr ^p = V2 '

3 V **.onde: 5 V ^

p é a pressãoabsoluta do gás; z« é o número de mols do gás; îVÍ é a massa mok-J. ^'s; _V é o volume do gás; e '

V2 é o valor médio dosquadrados das velocidades das moléculas._ /%lem-seque '

Zí%

nM = Nm '

onde: ^

Néo número de moléculas do gás; e /mé a massa de uma molécula, ^

de forma que se pode escrever ^2N(1 —\

p = ——• -mV-1 3VU )

ou seja, a pressão pdo gás é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume eàenergia cinética média dasmoléculas.

!^\

^ Noções Básicas de Termodinâmica euma Aplicação daAnáuse Global doSistema para a Transferência de Calor 199

0s Essa última equação pode serescrita como

^ pV =-iVÍ-mV7I>|tf 3 v2 )0* Tem-se que o número de mols n é dado por

tf _ Ntf n~ n7f onde:

C N é o número de moléculas do gás; etf NA é o número deAvogadro,

tf de forma quea equação de estado dos gases ideais pode serescrita como

r V=í—tf p [nAj R»T = N

R.*-\T = NkTv^A

D j yonde k = —— = 1,38 X IO"23 yv éa constante de Boltzmann.

NA /KAssim, tem-se que

NkT =-N(-mV2)

de maneira que

-nÜ-*)ou seja, a temperatura absoluta está relacionada com a energiacinética de translação média das moléculas do gás.

tf Da última equação, podemos escrever que

tf —mV2 = —kT

^^ ou seja, a energia cinética de translação média das moléculas é proporcional à temperatura absoluta do gás.

^ Energia Interna de um Gás IdealNo modelo que estamosconsiderando, tem-se um gás ideal monoatômico, de forma que a energia interna está asso-

v ciada ao movimento de translação das moléculas. Assim, para um sistemaconstituído por N moléculas de um gás idealtf> monoatômico, a energia interna é dadapor

IP

áPv

£,nt =N(j>"V2)que pode ser escrita como

EIBI =»iNA^mVrj=»N^|fcTJComo NÁk = R„ resulta

Eim=|»fi.Tou seja, paraum gás ideal monoatômico, a energia interna é proporcional à temperatura absoluta.

(Qfy

200 Apêndice

Assim, para um processo entre dois estados termodinâmicos de um sistema constituído por n mols de um gás ideal /%monoatômico, a variação de energia interna dosistema é dada por

A£int=|«fl„AT

Calor Específico Molar a Volume Constante cvPordefinição, tem-se que

c =1-2-nAT

onde:

n é o número de mols;Qéa quantidade decalor trocado noprocesso; eATé a correspondente variação de temperatura.

Aprimeira lei da termodinâmica para um sistema estipula que

A£inl = Q - W

e como para um processo a volume constante tem-se

Q = «cvAT e VV = 0

resulta

A£int = ncvAT

de forma que

1 A£in,Cw = —

V nAT

Assim, para um gás ideal monoatômico resulta que ocalor específico molar avolume constante édado por

3- --L

ZS5$k

/^Ê\

s^b

^b

cv = -Ru =12,5 / , „ _2 /moI-K ^

e a variação de energia interna também pode ser determinada por ^

A£mt = ncvAT 1/^b

Calor Específico Molar a Pressão Constante cp

Pordefinição, tem-se que /

:" «AT1 Q ^

c. = - •

onde:

n éo número de mols;

Qéa quantidade de calor trocado no processo; e *AT é a correspondente variação de temperatura. ^

Para um processo a pressão constante, tem-se que ^

Q= ncp AT ^eotrabalho realizado pelo sistema é determinado por **$

W = pAV

Daequação de estado dos gases ideais, obtém-se que

pAV = nRu AT

«^v

^

"%

/$b

tf Noções Básicas de Termodinâmica euma Apucaçáo da Análise Global do Sistema para aTransferência de Calor 201tfp, de forma que aprimeira lei da termodinâmica expressa portf A£(m = Q- VV0s pode ser escrita como

j* * "ctf AT = ncp AT- nRu AT

ps resultando que o calor específico molar a pressão constante, para um gás ideal monoatômico, é dado por-

tf cp = cv + Ru

— Expansão (ou Compressão) Adiabática de um Gás Ideal

0$*

|p\

Num processo adiabático nãoocorre transferência de calor entre o sistema e a vizinhança.Em um processo adiabático, tem-se a seguinte relação entre a pressão e o volume num gás ideal:

pVy = constante

tf> onde y = —- é o quociente entre os calores específicos molares a pressão constante e a volume constante.

W Curva adiabática é a representaçãográfica num diagrama p-V da equação

_ constantetf P 3?

C Assim, para um processo adiabático num gás ideal entre os estados inicial i e final/, tem-se que

I *V''-P/VJ

J A.11 SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA/p Aprimeira lei da termodinâmica estabelece a conservação da energia, ou seja, estipula que pode ocorrer transformação

de uma forma de energia em outra, mas de maneira quea energia total dosistema e da vizinhança se conserva.k A segunda lei da termodinâmica trata do sentido(da seqüência temporal) dos processos naturaisespontâneos.tf Processo reversível é um processo ideal que pode ser realizado no sentido inverso sem alteração na vizinhança. Um-^ processo é considerado reversível se osistema passar do estado inicial até oestado final de uma maneira extremamente^ lenta (processo quase-estático) por meio de uma sucessão de estados de equilíbrio (ou de forma que cada etapa só tenhatf* um afastamento infinitesimalem relaçãoao equilíbrio)./ps Os processos irreversíveis ocorrem em um único sentido, ou seja, são aqueles nos quais osistema e a vizinhança não

podem retornar aos respectivos estados iniciais. São fatores de irreversibilidade de um processo: atrito, transferência der calor devido às diferenças de temperatura e expansão adiabática livre.tf mMáquina térmica é um dispositivo que transforma calor em trabalho, enquanto opera em um ciclo. Durante cada ci-_ . cio. energia é ^'••ida na forma de calor de uma fonte quente (reservatório térmico a uma temperatura mais elevada\* uma parte dessa energia é transformada em trabalho e orestante é descarregado como calor para uma fonte fria íreservais tório térmico a uma temperatura mais baixa).jp^ Aeficiência (ou rendimento) de uma máquina térmica édefinida como oquociente entre otrabalho realizado pela

máquina e o calor recebido da fonte quente, porciclo. Aeficiência de uma máquina térmica real é sempre menor queaP unidade.m* Refrigerador é um dispositivo que transfere calor deum local frio para um quente. Ocalor que é retirado deum reser

vatório de baixa temperatura (fonte fria) eotrabalho feito sobre osistema por um agente externo são energias transferidas* que são combinadas e descarregadas na forma de calor em um reservatório de alta temperatura (fonte quente).(P> Asegunda lei da termodinâmica pode ser enunciada dediversas maneiras, tais como as seguintes:

tf "É impossível transformar calor completamente em trabalho, sem ocorrer outra alteração noambiente."0^ "Não épossível realizar um processo cíclico cujo único efeito seja remover calor de um reservatório térmico eproduzir

uma quantidade equivalentede trabalho."tf "Não existem máquinas térmicas perfeitas."m> "É impossível que calor seja transferido deum corpo para outro corpo que esteja à temperatura mais alta. sem ocorrer

outra alteração no ambiente."

9

202 Apêndice ^

9Nao epossível realizar um processo cíclico cujo único efeito seja transferir calor de um corpo para outro corpo que

esteja à temperatura mais alta.""Não existem refrigeradores perfeitos." *,

Aentropia Séuma variável de estado de um sistema em equilíbrio termodinâmico definida por

T *)

onde dQ éaquantidade infinitesimal de calor transferido para osistema à temperatura T, de forma que avariação deentropia AS de um sistema que realiza um processo reversível de um estado inicial ipara um estado final/ édefinida por

'ia *T

AS =S/-S,=}^

Avariação de entropia de um sistema que realiza um processo irreversível entre dois estados de equilíbrio termodinâmico é igual à variação de entropia do sistema para um processo reversível entre os mesmos dois estados de equilíbrio

9

termodinâmico.

Em termos da entropia, asegunda lei da termodinâmica pode ser enunciada da seguinte forma: •-1Em qualquer processo, a entropia do universo (sistema e vizinhança) aumenta ou permanece constante."

Verifica-se que aentropia do universo nunca decresce, ou seja, em processos reversíveis aentropia do universo permanece constante, e em processos irreversíveis a entropia do universo aumenta.

O aumento da entropia do universo nos processos irreversíveis corresponde à degradação da energia, ou seja, está associada a uma diminuição da quantidade de energia disponível para a realização de trabalho.

A.12 UMA APLICAÇÃO DA ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMAPARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Existem situações de transferência de calor em regime transíente nas quais osistema que recebe ou cede calor pode serconsiderado com distribuição uniforme de temperatura, ou seja, sem gradiente de temperatura, de forma que a temperaturavaria somente em função do tempo.

Consideremos um corpo sólido, de volume Ve superfície com área A, constituído de um material com massa específica p,calor específico cp e condutividade térmica k, que inicialmente (no instante de tempo í = 0) possui temperaturauniforme T0. Subitamente, esse corpo é imerso num fluido que permanece à temperatura Tx (reservatório térmico), conforme é mostrado no esquema da Figura A.5. Na situação com T0 > Tx, tem-se que ocorpo sólido (que é o sistema considerado) cede calor por convecção para o fluido que possui coeficiente de transferência de calor por convecção Jj.

Aconsideração de uma distribuição uniforme de temperatura no corpo sólido é uma aproximação razoável nas situa- %

ções em" que a resistência à transferência de calor por condução no interior do corpo é pequena em comparação com aresistência à transferência de calor por convecção da superfície do corpo para ofluido. Assim, consideramos que ogradiente de temperatura no interior do sólido é praticamente nulo, de forma que a temperatura no interior do corpo variasomente em função do tempo.

9

9

Fluido *•>

9

9

9

99

9

99

A (Área da superfície)

To,h

Figura A.5 Esquema de um corpo sólidoque cede calor por convecção para um fluido.

%

.j

Noções Básicas de Termodinâmica e uma Apucação da Análise Global do Sistema para a Transferência de Calor 203

Aplicando a primeira leida termodinâmica, considerando queo sistema é ocorpo sólido e quea vizinhança é o fluido,tem-se o seguinte balanço de energia:

f taxa de variaçãoda energia intema

^ do corpo sólido

r fluxo de calor porconvecção do corposólido para o fluido ,

tf* ou seja, tem-se que

tf JT(sf pVe,^—Afc[TX0-T.]\l O sinal negativo nesta últimaequaçãoé devido ao fato de que o caloré transferido do sistema para a vizinhança.tf* Essa equação do balanço de energia pode ser escrita como

e êm..M[m_Tm]tf dt PCp"

tf e com a condição inicial dada por

tf T(0) = T0 para t = 0

tf tem-se a solução0^

jjp>


T(')-T, m-(#}e

Tn-T*

Ah

,VT(t) = T»+(TQ-Ty:)e W

ou seja, a temperaturado corpo sólido diminuiexponencialmente em função do tempo.Considera-se que essa hipótesede uma distribuição uniforme de temperaturano corpo sólido, nas situaçõesde trans

ferência de calorem regime transíente, é umaaproximação razoável quando o parâmetro adimensional chamado de número de Biot, representado por Bi,é Bi < 0,1.

Esse parâmetro adimensional número de Biot, Bi, é definido por

onde:

h éo coeficiente de transferência de calor por convecção.fe, é a condutividade térmica do corpo sólido; eLc é um comprimento característico do corpo sólido.

definido por

^onde:

v Vé o volume do corpo sólido; etf* Aéa área da superfície do corpo sólido.

(tf O número de Biot pode ser interpretado como o quociente entre a resistência à transferência de calor por condução0^ no interior do corpo sólido e a resistência à transferência decalor por convecção dasuperfície do corpo para o fluido

204 Apêndice -*%

if^b

A.13 BIBLIOGRAFIA <*)HALLIDAY, D.; RESNICK, R. &WALKER, J. Fundamentos de Física. Volume 2. 4.' Edição. LTC - Livros Técnicos e Científicos ^

Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996. ^HOLMAN, J. P. Transferência deCalor. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1983. *INCROPERA, F. P. 8c DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor ede Massa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992. ^NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Volume 2. 2." Edição. Editora Edgard Blücher Ltda., 1990. ' _ÓZISIK, M. N. Transferência de Calor- Um Texto Básico. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1990. 'SERWAY, R. A. Física para Cientistas eEngenheiros. Volume 2. 3.a Edição. LTC - Livros Técnicos eCientíficos Editora S. A., 1996. ^SISSOM, L. E.8c PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1979.WELTY, J. R.; WICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat and Mass Transfer. John Wiley, 1976. ^

/^.

/S\

/%

/^\

/%

*%

f%§b

/^%

<*$b

/^\

r

r

r

r

r

r

r

f

t

tf

tf

f

t

tf

r

tf

tf

tf

e

tf

r

tf

r

tf

tf

tf

tf

•tf

tf

tf

i*

ri

tf

tf

tf

- fmfm

Aceleração, 52, 114convectiva. 53

local. 53

Barômetro de mercúrio. 39

Calor. 18. 133específico. 10

Camada limite. 56. 134Campo, 15

de velocidade de escoamento. 52Capilaridade. 10Carga. 85

de elevação. 85de pressão. 85de velocidade. 85

Cavitação, 12Centro de pressões. 42. 43Centróide. 42. 43Coeficiente

de difusão, 23de difusão molecular. 20, 179de transferênciade calor por

convecção. 136Componentes da tensão. 3Compressibilidade. 8Concentração, 19. 179Condução de calor, 18. 133Condutividade térmica. 19, 133Convecção. 134

D

Densidade de Fluxo, 13. 23de calor. 19. 23, 133de energia. 13de massa. 20. 23. 179de momento linear. 7. 17. 22. 23

Densidade relativa. 2Derivada material, 53. 114. 121. 183Diagrama de Moody. 94Difusão molecular.19. 20. 23, 179Difusividade, 23

de massa. 20. 179de momento linear. 22. 23térmica, 22. 163

Dimensões, 12

Distribuiçãode concentração, 26de pressão. 41de temperatura. 26. 121, 161. 163de velocidade. 25, 57. 58, 59

ÍNDICE

Ebulição. 12Empuxo. 46Energia

cinética específica.80interna. 10

interna específica. 80potencial específica. 80total, 79

Equaçãobásica da estática dos fluidos. 33básica da formulação de volume de

controle, 66da continuidade na forma diferencial, 112da continuidade na torma integral,67da difusão de calor. 26, 122, 163, 164da difusão de massa, 26. 185da energia, 81de Bernoulli, 83de Bernoulli com perda de carga (com

dissipaçãode energia mecânica). 91de Bernoulli modificada para situações

com bombas e turbinas. 98. 99de Bernoulli semdissipação de energia

mecânica. 84

de estadopara um gás perfeito. 9de Euler. 118de Fourier para a condução de calor.

19, 133

de Laplace, 164de Navier-Stokes. 1 18diferencialde transporte de calor, 121diferencialde transporte de massa de um

soluto. 184

diferencialdo movimento para um fluidonewtoniano. 117

do momentoangular. "6do momento linear. "1geral da condução de calor. 163

Equaçõesde Navier-Stokes. 118diferenciais do movimento de um

fluido. 1 lbpara as densidades de fluxosde momento

linear. 23Escoamento

de entrada. 5"estabelecido. 57

ideal. 56incompressível. 55laminar. 55permanente. 55transitório. 55

turbulento, 55unidimensional. 55uniforme. 55

Experiência de Reynolds. 55

Fator de atrito. 94

Fenômenos de transporte, 15Fluido

algumas propriedades, 6definição, 5newtoniano. 6

Fluxo, 13de calor, 133de energia. 13de massa. 13.62. 180de momento linear. 72

Forçasde corpo, 3de superfície, 3sobre superfícies planas submersas, 41

}

Gradiente, 15Grandezas de base (fundamentais) e

derivadas, 12Grandezas extensivas e intensivas. 15

J

Jato livre, 73

L

Lei

de Fick para a difusão molecular. 21.179de Newton para a viscosidade. 7. [7de Newton para o resfriamento. 135de Stefan-Boltzmann, 136

Linha

de corrente, 53de emitsáo. 55de energia. 85piezométrica, 85

M

Manômetro de tubo em "U". 39Massa específica. 2Mecanismos

de transferência de calor. 133de transferência de massa. 178

Medidas de pressão. 39Meio contínuo. 1

Notação indiciai para as componentes datensão. 3

Número

206 ÍNDICE

de Lewis, 24de Prandtl, 24de Reynolds,55, 57, 97de Schmidt, 24

Perda de carga, 91, 93distribuída, 93, 94localizada,93, 97total, 93

Perfilde pressões, 41de velocidade, 56, 57, 63

Pesoespecífico, 2Potência

de cisalhamento, 80de escoamento, 80

Pressão, 31absoluta, 39atmosférica, 39, 40de estagnação, 86dinâmica, 86, 87estática, 86relativa, 39total, 86

Primeira lei da termodinâmicana formulação devolumede controle, 80,81para sistema, 78

Princípio de Arquimedes, 47Princípio de conservação daenergia

na formulação devolumede controle, 80,81para sistema, 78

Princípiode conservação da massa, 66de Pascal, 6, 31,32

R

Radiação, 136Raio crítico de isolamento, 154Regime

permanente,-67,.transíente, 161 .

Representaçãode Euler, 52de Lagrange, 52

Resistência, 151térmica, 152, 153térmica de contato, 153

Reynolds, 55Rugosidade, 94

relativa, 94 '

Segunda leide Newton para o movimentona formulação de volume de controle, 71para sistema, 70

Sistema, 61Sistema Internacional de unidades (SI), 12Superfíciede controle, 61

Taxa

de deformação de um elemento fluido, 6de geração intema de calor, 162de trabalho realizado, 80. 81de variação, 24, 65, 66, 79

Temperatura, 19Tensão, 3

cisalhante, 4normal, 4superficial, 10

Terminologia, 12Trabalho, 80

de cisalhamento, 80de eixo, 80de escoamento, 80

Traçadores, 53Trajetória, 53Transportedifusivo, 16

de calor (condução de calor), 18,23de massa(difusãomolecular), 19, 23de momento linear, 16, 23

Tubo

de corrente, 54de Pitot, 85, 86de Pitot-estático, 86, 87

U

Unidades, 12

Variação da pressão em um fluidocom movimentode corporígido, 36, 37em repouso, 34

Variáveis adimensionais, 27, 28Vazão, 62Velocidade média de escoamento, 63Viscosidade, 6

absoluta ou dinâmica, 7cinemática, 8

Volume de controle, 61

/^K

/^b

/^

/9fa

nm

*%

^b