ListadeExercícios–FunçõesExponenciais

Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

1) Resolva as equações:

a) ( )[ ] 2113

3331 −−− −−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=x

b) 21

21

32

21

31

486427 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=x

c) ( )1

13

23

412.

2132

−−

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛÷⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−−=x

2) Calcule as raízes:

a) 196 b) 3 512 c) 200 d) 4 1250

3) Descubra o valor de x e y .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

327.9418.4

2 yx

yx

4) Resolva as equações exponenciais:

a) 812 3 =+x b) 255 13 =+x c) 42 2781 =−x

d) 31 164 =+x e) ( ) xxx −+ =⋅ 11 2,0255 f) ( ) 3213

4,08125

52 −

−+

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ xxx

g) xxx −=⋅ 842 35 h)93

31 1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+x

i) 4

423

221

21 +−

−−

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ xxx

j) ( )1

23

313

271 −−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x

xx

5) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?

6) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N(t) = m. 2 t/2, na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, determine o número de bactérias depois de 8 horas.

7) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função N(t) = m. 2 t/3. Nessas condições, determine o tempo necessário para a população ser de 51.200 bactérias.

08. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:

a) 0 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6

09. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:

a) x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1

10. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e têm gráficos que se interceptam em:

a) nenhum ponto; b) 2 pontos; c) 4 pontos; d) 1 ponto; e) infinitos pontos.

11. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = 2x - 2:

a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0); b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1); c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0); d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2); e) não intercepta o eixo dos x.

12. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:

a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90

08. E 09. D 10. D 11. A 12. D

Exemplo: a2(-2) + 3 > a8 ⇒ a-1 > a8 ⇒ 1/a > a8 (1 / 0,5) > 0,58 ⇒ 2 > (1 / 28)

Função Exponencial

1 – Definição É toda função da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. 2 – A Função Exponencial será Crescente quando a > 1 e Decrescente quando 0 < a < 1. 3 – Gráfico da Função Exponencial 1º CASO) a > 1

x

y

1

2º CASO) 0 < a < 1

x

y

1

4 – O domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais e o conjunto imagem é o conjunto dos números reais positivos

( )*IRImeIRD +== .

EQUAÇÕESEXPONENCIAISEquação fundamental: Sendo a base a > 0 e a ≠ 1:

yx aa = ⇔ x = y Outras equações exponenciais: Equações exponenciais sofisticadas se transformam na equação fundamental, através de algum artifício algébrico: – propriedades das potências e raízes; – fatoração; – substituição de variáveis.

INEQUAÇÕESEXPONENCIAIS 1ª Hipótese: Se a > 1, então

yx aa > ⇔ x > y 2ª Hipótese: Se 0 < a < 1, então

yx aa > ⇔ x < y Exercícios de fixação 01) (CESGRANRIO-88) Se 8x = 32, então x é igual a:

a) 25

.

b) 35

.

c)

53

.

d) 52

.

e) 4. 02) (CESGRANRIO) O número de raízes reais de

5x7x2 2

3 +− = 1 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) maior que 3. 03) O valor de x que torna verdadeira a equação 2x · 4x+1 · 8x+2 = 16x+3 é: a) – 2. b) 2. c) 0. d) 1. e) – 1. 04) O número de raízes reais da equação 4x – 5 · 2x + 4 = 0 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 05) (PUC-MG-92) Os valores de a ∈ IR que tornam a função exponencial f(x) = (a – 3)x decrescente são: a) a < 3. b) 0 < a < 3. c) 3 < a < 4. d) a < 3 e a ≠ 0. e) a > 3 e a ≠ 4. 06) (UNIFICADO-97) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo “t”, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação P(t) = P(0) · 2–0,25t ; Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população “t” anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

07. (UNI-RIO – 2002) Numa população de bactérias, há t39 410)t(P ⋅= bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 910 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10

8. (UNIRIO – 2005) Você deixou sua conta negativa em 00,100$R em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por:

( ) t10,1100)t(X =

Após quantos meses a sua dívida duplicou? a) 2log 10,1 b) 10,1log 2 c) 2log d) 10,1log e) 10,2log

9. ( UFMG ) Se então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a:

a. 5/2 b. 5/3 c. 1/3 d. -1/2 e. -2/3

10( UFCE ) Se f ( x ) = 161+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a :

a. 11 b. 13 c. 15 d. 17 e. 19

Exercícios propostos 1) Resolva as inequações: a) 23x+1 < 2.

b) 2x1x

821 +

+≥⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ .

2) (UNIFICADO-96) Assinale o conjunto-solução da inequação 41

21 3–x

≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ .

a) ]– ∞, 5] b) [4, + ∞[ c) [5, + ∞[ d) {x ∈ IR|x ≤ – 5}. e) {x ∈ IR|x ≥ – 5}. 03. (UFF – 2001) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q

definida, para 0t ≥ , por kt5k)t(Q ⋅= , sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias,

cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a )0(Q25 ⋅ . Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. a) 12,5 b) 25 c) 312,5 d) 625 e) 1000

4. (UNI-RIO – 2002) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados.

Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição

12y x −= , ao custo de controle da poluição x)2/1(6y ⋅= . Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: a) 1333 b) 2333 c) 3333 d) 4333 e) 5333

5. (UFF – 2004) Sejam f: ℝ → ℝ uma função positiva e g: ℝ → ℝ a função definida por f(x)logg(x) 10= . O gráfico

de g é a reta da figura.

a) Determine a equação da reta da figura.

b) Calcule ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛29f .

c) Encontre uma expressão para f(x).

Considere log 2 = 0,3 log 3 = 0,4

log 3 = 0,4

FUNÇÃO EXPONENCIAL - RESUMO - GABARITO Função exponencial: É qualquer função f: IR → IR da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.

O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa.

Gráficos da função exponencial: Considerando a = 2 e a = 21

, construímos os gráficos a seguir:

OBSERVAÇÕES:

1) Se a > 1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função será decrescente.

2) Os gráfico não intersectam o eixo x, pois as funções não se anulam, seja qual for o valor de x.

3) Os valores da função exponencial são todos positivos, qualquer que seja x.

4) Uma desigualdade de membros positivos não se altera quando se elevam ambos os membros ao mesmo expoente positivo, e muda de sentido quando o expoente é negativo:

⎩⎨⎧

<⇔><

>⇔>>xx

xx

baba:0xParababa:0xPara

.

Propriedades da Potenciação: Se a e b forem números positivos e x, y reais quaisquer, então:

a) 1a0 = b) 0ax > c) x

x

a1a =− d) yxyx aa.a += e) yx

y

x

aaa −= f) ( ) y.xyx aa = g) ( ) xxx b.ab.a =

Comparação entre bases de uma função exponencial: As fórmulas de cálculo ficam simplificadas quando escolhemos para base aquela para a qual resulta uma reta tangente baxy += no ponto (0,1) com uma inclinação exatamente igual a

1. Esse número existe realmente e é denotado pela letra e. O número e é o valor de n

n11 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ para n com valores muito

grandes e aparece em fórmulas de Matemática Financeira ou em problemas envolvendo crescimentos exponenciais. É conhecido como número (irracional) de Euler ( ou de Napier). Representa-se por (e = 2,7182818...). As calculadoras científicas possuem uma tecla que facilita o cálculo. Observando as figuras seguintes, não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = ex, entre o de y = 2x e o de y = 3x.

FUNÇÃO LOGARITMO – RESUMO

Definição de Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chamamos de logaritmo de b na base a, o expoente real x ao qual se eleva a para obter b. Portanto, se baxblog x

a =↔= , em que b > 0, a > 0 e a ≠ 1. Conseqüências da definição:

a) 01logb = ; b) 1blogb = ; c) xblog xb = ; d) yb ylogb = .

Propriedades dos logaritmos:

Função logarítmica: É a função bijetiva f: IR*

+ →IR em que f(x) = xloga , com 0 < a ≠ 1. Essa função é a função inversa da Função Exponencial.

Exemplos:

1) Calcular 32log2 .

532log,Logo

5x2232232logx

2

5xx2

=

=⇒=⇒=⇒= .

2) Calcular 8log161 .

( )

438log,Logo

43x3x422228

1618logx

161

3x43x4x

161

−=

−=⇒=−⇒=⇒=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⇒= −−

.

Gráfico da Função Logarítmica.

OBSERVAÇÕES:

1) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo x no ponto (1,0).

2) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos positivos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos negativos.

⎩⎨⎧

<⇒<⇒<<

>⇒>⇒>

0xlog1logxlog1x00xlog1logxlog1x

aaa

aaa .

3) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos negativos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos positivos.

⎩⎨⎧

<⇒<⇒<<

>⇒>⇒>

0xlog1logxlog1x00xlog1logxlog1x

aaa

aaa .

QUESTÕES - GABARITO 1) (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. Então, a soma das raízes de (log)2 x - log x3 = 0 é igual a: (A) 1 (B) 101 (C) 1000 (D) 1001 Gabarito: D

100110001,Logo1000x10x3xlog03xlog)ª2

1x10x0xlog)ª1:adespossibilidduasTemos

0)3x.(logxlog0xlog.3)²x(log0³xlog)²x(log

3

0

=+

=→=→=→=−

=→=→=

=−→=−→=−

2) (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y = 10log x. O gráfico correspondente a esta relação é:

Gabarito: A

.zeroquemenoresxdevaloresexistempois,satisfaznãoDletraA.retaumaégráficocujo,AfimFunção.0xcom,xy10y xlog >=→=

3) (UERJ)

Considere o pH fisiológico e o pKa iguais a 7,4 e 6,1, respectivamente.

Para que esse pH seja mantido, a razão [ ][ ]32

32

COHCOH −

deverá ser igual a:

(A) 0,1 (B) 2,5 (C) 10,0 (D) 20,0

Gabarito: D

[ ]

20102.1010.102103,02log:Assim.3,0é2logparaoaproximaçãboauma,diganãoenunciadooEmbora)ª2

.2010asalternativPelas.100e10entrenúmeroumé10,totanPor²101010)ª1:resolverdeformasduasTemos

.10kklog3,1klog1,64,7klogpKapH

k]COH[

COHSeja

3,13,03,0

3,13,13,1

3,132

32

=→=→=→=

=→<<

=→=→+=→+=

=−

4) (UERJ) Na Tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as colunas verticais, aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de seus números atômicos. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, representados por x, y e z. Na equação 2x + 2y + 2z = 7x164, y é o número atômico de um elemento químico da família denominada: (A) alcalinos (B) halogênios (C) calcogênios (D) gases nobres Gabarito: B

.êniosloghadosfamíliaaé,químicaDa.18ze17y,totanPor.16x22)2(216.77.216.7)221.(2

16.72.22.2216.722216.7222.2xze1xy,Logo.utivossecconsãozey,x

16x44x4x421x

42x1xx42x1xx4zyx

=

==→=→=→=→=++

=++→=++→=++

+=+=++

5) (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. Admita um

filtro que deixe passar 54

da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original,

foi necessário utilizar n filtros.

Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a:

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 Gabarito: C

11. é n de valor menor Logo,...3,10n1n097,01n097,010)699,0301,0.2(n

10log1log)5log2log2.(n101log.

54logI

101I.

54 n

00n

>→>→−<−→−<−

−=−→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛→<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

.

6) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24

Gabarito: C

.anos23t1,03,2t3,2t.1,0ee,Assim.10e:tabelada,Mas

10e10e10.210.2ee.10.210.2e.02,0002,0

:temos,002,0%2,0RparatempooCalculando

e.02,0R1,0%10k02,0%2R

:temos,indicadosvaloresosdoSubstituin

3,2t.1,03,2

t.1,01t.1,02

3t.1,0t.1,023t.1,0

t.1,00

=→=→=→==

=→=→=→=→=

==

=⇒⎩⎨⎧

==

==

−−

−

−−−−−−

−

7) UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de

acordo com a equação 40h

0 8,0.II = na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 Gabarito: C

( ) m0,2cm200)5)(40(h51,05,0

19,025,1

1)3,0(323,05

10log2log10log2log

10log8log100log32log

40h

108log

10032log

8,0log32,0log32,0log

40h32,08,08,0.II.32,0

I.32,0I8,0.II:PPonto

3

25

8,040h

40h

00

0

40h

0

===→=−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

→===→=→=→⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

8) (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados log3 = 0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: a) 37 b) 47 c) 57 d) 67 Gabarito: A

3769,3613477

013,0477,0

2013,2477,0t

100log103log477,0

100103log

3log3logt)03,1(3)03,1(PP3)03,01(PP

P3P)03,01.(PPpordadaseráelaanostementão,anoao%3crescePpopulaçãoaSe

03,1tt

tFinal

Final

tfinal

→===−

=

−===→=→=→

⎩⎨⎧

+=

=

+=

.

9) (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. • O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: (A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 36 Gabarito: C

( ) ( ) ( ) ( )

.inicialnívelaoretornarparassuficienteserãonãodias33pois,34serámínimovalorO

3,333100x

310

10x

3,01

10x

3,0010

10x

2log1log10log1logx1,0

21log

101log

x1,0

101logx1,05,0

1015,0.T

10T5,0.TT

T)x(T5,0.T)x(T

10TTT.10T

:temos,equaçãonadoSubstituin.T.10Tqueseconclui,toxidezdeinicialníveloTdoConsideran

5,0x1,0x1,0

00x1,0

0i

i

x1,00

0ii0

i0i

≅=→=→=→−

−=→

−

−=→=

=→=→=→=→

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=→=

=−

10) (UERJ - ESPECÍFICA) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo xb.a)x(f = , conforme o gráfico abaixo. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

Gabarito:

( )( )

60)4(f161.960)4(f

21.960)4(f

21.960)x(f,Logo

.21b2b

21

960.1075b

b.9601075b.9605,75,7)7(f

960a9601.ab.a960960)0(f:temos,delespartirA.gráficonomarcadospontosdoisExistem

4x

7177

7

77

0

=→=→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=→⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=⇒=→==

=→=→=

=→=→=→=

−

Respostas: 1) D; 2) A; 3) D; 4) B; 5) C; 6) C; 7) C; 8) A; 9) C; 10) 60

LISTA DE EXPONENCIAIS: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E PROBLEMAS - GABARITO

1) Resolver as equações (em ℜ ):

a) 1255.12425 =− xx b) 022.94 1 =+−+ xx c) 25,08 =x

d) 12022222 3211 =+−++ +++− xxxxx e) 32

13

2515

+− ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=x

x f) 12 3.23. += xx xx

Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:

a) ( ) ( ) 1255.12451255.12451255.1242522 =−⇒=−⇒=− xxxxxx . Fazendo

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

225

5

y

yx

x

vem:

⎩⎨⎧

−=

=⇒=+−⇒=−−⇒=−

1125

0)1).(125(0125124125124 22

yy

yyyyyy . Substituindo esses valores na

expressão em “x”, temos: ⎪⎩

⎪⎨⎧

>→−=

=⇒=⇒=⇒=

)05.(15

93551255 3

xx

xx

impossível

xx. Logo, S = {9}.

b) ( ) 022.92.2022.92022.92022.94 2222121 =+−⇒=+−⇒=+−⇒=+− +++ xxxxxxxx .

Fazendo ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=222

2yy

x

x

, vem: 8

32819)4(2

)2)(4(4)9()9(02.94

22 −±

=−−±−−

=⇒=+− yyy . Resolvendo a

equação encontramos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒=⇒=

=⇒=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=

=+

=⇒

±=

− 222412

122

41

879

2879

8499

2 x

x

y

yy

xx

x

. S ={1, -2}

c) ( )322322

412

10025225,08 2333 −=⇒−=⇒=⇒=⇒=⇒= − xxxxxx . S =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−32

d) 12022222 3211 =+−++ +++− xxxxx . Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos:

120721.2120)84212(21202.22.22.222.2 1321 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⇒=+−++⇒=+−++ −− xxxxxxx . Calculando a soma

entre parênteses, vem: 422162152.1202120

215.2 4 =⇒=⇒=⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ xxxxx . S = {4}

e) ( )7564135555

2515 641332213

3213 −=⇒−−=−⇒=⇒=⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= −−−+−−+

− xxxxxxxx

x . S = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−75

f) ⎩⎨⎧

=

=⇒=−⇒=−⇒>→=⇒= +

60

0)6(06)03(3.3.23.3.23. 2212

xx

xxxxxxxx xxxxx . S = {0, 6}

2) Para que valores reais de m, a equação maaaaxx

xx=

−

+−

−

, onde 10 ≠< a , admite raiz real?

Solução. O numerador da fração é sempre positivo e não nulo, pois 01,0 >=⇒∈∀> −x

xx

aaIRxa .

i) A análise restringe-se ao denominador que não pode ser nulo. Temos: xxxx

aaaa 10 ≠⇒≠− − . Essa situação

ocorre se x = 0, pois teríamos 01100 =−=− −aa . Logo, é possível calcular “m” se “x” não for nulo.

ii) )1()1( mamamaamaamamaaamaaaa xxxxxxxxxx

xx

xx

+−=−⇒−−=−⇒−=+⇒=−

+ −−−−−−

−

.

Isolando os termos em “m”, vem: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+−=⇒

−

+−=⇒

−

+−=

− mma

mma

mm

aa xxx

x

11

)1()1(

)1()1( 2 . O radicando apresenta

um sinal negativo antes da fração e deve ser positivo. Logo o quociente 0)1()1(<

−

+

mm

.

Analisando as possibilidades, verifica-se que a condição satisfaz-se se: m < -1 ou m > 1.

Repare que o denominador não pode se anular, logo, m ≠ 1. A exponencial não se

anula, logo m ≠ - 1.

3) Resolver as inequações exponenciais (em ℜ ):

a) 322 <x b) 24391

≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x

c) 3 161)2( >x

d) 5 625,1516,0 >x e) tt /293 ≤ f) 013

22 ≤

−−

−

xx

x

Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos: a) 5)1(22322 5 <⇒>→<⇒< xbasexx .

b) ( )255252)1(3333243

91 5252 −≥⇒−≥⇒≤−⇒>→≤⇒≤⇒≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− xxxbasexxx

.

c) ( )38

34

2)1(22

212

161)2( 3/42/

3 4

2/13

−>⇒−>⇒>→>⇒>⇒> − xxbasexxx .

d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números temos:

( ) ( ) 5/35/6245/136245 36245 10.510.210.510.210.510.2625,1516,0 −−−−−− >⇒>⇒>⇒> xxxxxx . Observando que

10 = 2.5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências: 5/35/625/3245/35/35/62245/35/624 5.5.52.2.25.2.55.2.2)5.2.(5)5.2.(2 −−−−−−−− >⇒>⇒> xxxxxxxx . Repare que os sinais

dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do lado oposto e o sinal do

expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos:

-1 0 1 1+m - - - + + + + + +

1- m + + + + + + - -

mm

−

+

11

- - - + + + + - -

1030

532)1(

52

521

521

5.5.52.2.2 05/32

5/32

5/32

5/35/62

5/324

−<⇒<+⇒<→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⇒>⇒>+

+

+

−

−

xxbasex

x

x

x

xx

.

e) ( ) 04044)1(3333932

/4/22/2 ≤−

⇒≤−⇒≤⇒>→≤⇒≤⇒≤t

tt

tt

tbasetttttt . Analisando os intervalos

verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente assume

valores nulos em ( ] ] ]2,02, ∪−∞− .

f) 013

22 ≤

−−

−

xx

x

. Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o

que significa que o quociente será negativo somente se o denominador o for. Temos:

0)1(0)1(3313013013

2 20222

2 <−⇒<−⇒>→<⇒<⇒<−⇒≤−

−−−

−

−

xxxxbasexxxxxxxx

x

O produto será

negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é, ] [1,0∈t

4) (UF – MT) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real baxf x +=)( , com a e b reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule 33 ba + .

Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos: (0, 2) e (1, 4).

i) 121)0(2)0(0 =⇒=+⇒

⎩⎨⎧

+=

=bb

baff

ii) 3411)1(

4)1(1 =⇒=+⇒

⎩⎨⎧

+=

=aa

aff

. O valor pedido é 2812713 3333 =+=+=+ ba .

5) Se f(t) = 10.2t é uma função que avalia a evolução de uma cultura de bactérias, em t horas, ao cabo de quantas horas teremos f(t) = 5120?

Solução. O exercício resume-se em igualar as informações e resolver a equação exponencial.

922512251202.102.10)(

5120)( 9 =⇒=⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

=

=t

tftf ttt

t. Ao fim de 9 horas.

6) O gráfico representa a fórmula teKtD 4,0.)( −= usada para determinar o número D de miligramas de um remédio na

corrente sanguínea de um indivíduo, t horas depois de lhe ter sido administrado um medicamento ( 67,04,0 ≈−e ).

a) Determine o valor de K. b) A função D(t) é crescente ou decrescente? Justifique. c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento administrado se reduza à metade?

-2 0 2 42 −t + + - - - - - - + +

t - - - - - - + + + +

tt 42 −

- - - + + - - - + +

Solução. Observando o gráfico vemos que se t = 0, D(t) = 5.

a) 5)1.(5.)0( )0(4,0 =⇒=⇒= − KKeKD .

b) Decrescente. O valor em t = 0 é maior que o valor após t horas.

c) min451.477,045,0ln45,05,2.5

.5)(5,2)( 4,04,0

4,0 hhorasttteeetD

tD ttt ==⇒−≅−⇒=−⇒=⇒=⇒

⎩⎨⎧

=

=−−

−

7) A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-pintadas, P(t) , daqui a t anos, será estimada pela função ( )tetP 05,01.60)( −+= . Faça uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo. (Utilize e = 2,7).

Solução. Basta calcular P(20). Substituindo os valores, temos:

( ) ( ) ( ) 821.601.601.60)20(1.60)( 1)20(05,005,0 ≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=+=⇒+= −−−

eeeePetP t

8) (Livro: Matemática - Ciência e Aplicações) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei ttv )9,0.(60000)( = , em que t é o número de anos contados a partir de hoje.

a) Qual é o valor atual desse imóvel?

Solução. O valor atual é considerado em t = 0. Logo, 00,60000$)9,0.(60000)0( 0 Rv ==

b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel?

Solução. Essa desvalorização será calculada entre o valor atual e o valor 1 ano depois. Ou seja, calculamos o valor

para t = 1 e comparamos com o atual.

%1010,01,060000

540006000054000)9,0).(60000()9,0.(60000)1(

00,60000$)9,0.(60000)0(1

0

===−

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

===

==açãoDesvaloriz

vRv

c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?

Solução. Basta calcular v(2), isto é o valor da função para t = 2.

00,48600$)81,0).(60000()9,0.(60000)2( 2 Rv === . Repare que poderíamos ter calculado esse valor sabendo que

estará desvalorizado em 10% em relação ao preço calculado em 1 ano. Daqui a 1 ano ele custará R$54000. A

desvalorização um ano depois será de 10% de 54000 = 5400. Logo em dois anos o imóvel custará a diferença 54000 –

5400 = R$48600,00.

d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35429,40? (Dado: 5904995 = )

Solução. Pede-se encontrar “t” tal que v(t) = 35429,40.

45

2112452112

2

5.3.210.5.3.2)9,0()9,0.(5.3.210.5.3.2

)9,0.(60000)(10354294040,35429)( −

−−

=⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

×== ttttv

tv. Simplificando os

termos, vem: ( ) ( )3

210

3

210

33

210

1010.3

5.210.3

5.210.3)9,0(

−−−

===t . Escrevendo os termos em frações decimais, temos:

( )( ) 5

109

103

103

109 5

5

52

5

10

=⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ tt

. Logo, daqui a 5 anos.

RESOLVA 01) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5x+3. Seu conjunto-imagem é a) ]-∞; 3[ b) ]- ∞; 5[ c) [3; 5] d) ]3; +∞ [ e) ]5; +∞ [ 02) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2-

b.t , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para t�[0,40]. 03) Numa população de bactérias, há P(t) = 109 . 43t bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 04) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função

Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas. 05) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era a) 3 600 b) 3 200 c) 3 000 d) 2 700 e) 1 800