lista de calculo (completa)

UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

DISCIPLINA : Calculo Diferencial e Integral I CURSO:

PROFESSOR: DATA : / /

NOME: TURMA :

LISTA DE EXERCÍCIOSATUALIZADA EM 22 DE MARÇO DE 2010

Limites: Noção Intuitiva, Definição e Propriedades

1. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproximação com até 4 casas decimais) e utilize os

resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe.

(a)x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999

f (x) =x − 1

x3 − 1

x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001x − 1

x3 − 1

, a = 1

(b)x 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999

x − 2

x2 − 4

x 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001x − 2

x2 − 4

, a = 2

(c)x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999

x + 2

1 − x

x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001x + 2

1 − x

, a = 1

(d)x −3, 1 −3, 01 −3, 001

x2 + 5x + 6

x2 + 8x + 15

x −2, 9 −2, 99 −2, 999

x2 + 5x + 6

x2 + 8x + 15

, a = −3

2. Prove cada proposição usando a definição de limite.

(a) limx→2

3x − 2 = 4

(b) limx→4

5 − 2x = −3

(c) limx→2

x2 − 4x + 5 = 1

(d) limx→1

x2 − 1

x − 1= 2

(e) limx→5

1

2 − x= −1

3

(f) limx→9−

4√

9 − x = 0.

3. Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que limx→k

f (x) exista, sendo:

(a) f (x) =

¨3ax2 + 2, x < 1

x − 2, x ≥ 1, k = 1

(b) f (x) =

8><>: 3x − 2, x > −1

3, x = −1

5 − ax , x < −1

, k = −1

(c) f (x) =

¨4x + 3, x ≤ −2

3x + a, x > −2, k = −2

(d) f (x) =

8<: 3x2 − 5x − 2

x − 2, x < 2

3 − ax − x2, x ≥ 2, k = 2

4. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades.

(a) limx→4

5x2 − 2x + 3

(b) limx→3

(x3 + 2)(x2 − 5x)

(c) limx→−1

x − 2

x2 + 4x − 3

(d) limx→1

�x4 + x2 − 6

x4 + 2x + 3

�2

(e) limu→−2

pu4 + 3u + 6

(f) limt→−2

(t + 1)9(t2 − 1)

Limites e Indeterminações

5. Seja f (x) =

√3 + x −

√3

x:

(a) Use uma tabela de valores de f (x) para estimar o limite quando x tende a zero. Utilize quatro casasdecimais.

(b) Use as propriedades de limites para encontrar o valor exato do mesmo limite.

6. Prove que o limx→0

|x |x

não existe.

7. Seja f (x) =

¨ √x − 4 , se x > 4

8 − 2x , se x ≤ 4e determine, se possível, o lim

x→4f (x).

8. Verifique se existe os limites indicados, se não existir indique a razão disto.

(a) limt→−4

|t + 4|t + 4

(b) f (x) =

8><>: √x2 − 9 , se x ≤ −3;√9 − x2 , se − 3 < x < 3;√

x2 + 6x + 9 , se x ≥ 3.

limx→−3

f (x) e limx→3

f (x).

9. Calcule, se possível, os limites.

(a) limx→−2

4 − x2

2 + x

(b) limx→−3

x2 − x − 12

x + 3

(c) limx→1

x2 + 2x − 3

3x − 3

(d) limx→−2

x + 2

x2 − x − 6

(e) limx→3

x2 + x − 12

x2 − x − 6

(f) limx→3

x2 − 4x + 3

x2 − x − 6

(g) limx→4

3x2 − 17x + 20

4x2 − 25x + 36

(h) limx→1

�2x2 − 3x + 1

3x − 3

�2

(i) limx→1

x3 − 1

x2 − 1

(j) limx→1

x3 − 1

5x − 5

(k) limx→−2

x3 + 8

x2 − 4

(l) limt→−2

t3 + 4t2 + 4t

(t + 2)(t + 3)

(m) limx→−2

3

Êx3 − 3x + 2

x2 + 3x + 2

(n) limx→2

x4 − 16

8 − x3

(o) limx→1

x3 − 3x + 2

x4 − 4x + 3;

10. Calcule, se possível, os limites.

(a) limx→1

√x − 1

x − 1;

(b) limx→0

√x + 1 −

√1 − x

3x;

(c) limx→−1

1 − x2

x +√

2 + x;

(d) limx→1

√x + 2 −

√3

x3 − 1.

(e) limt→9

9 − t

3 −√

t

(f) limt→0

√2 − t −

√2

t

(g) limt→0

√25 − 3t − 5

t

(h) limx→7

2 −√

x − 3

x2 − 49

(i) limx→4

3 −√

5 + x

1 −√

5 − x

(j) limh→0

3√

8 + h − 2

h

(k) limx→0

3√

2x − 1 + 1

x;

(l) limx→1

3√

2x + 1 − 3√

3

1 − 3√

x;

11. Determine, através do gráfico da função f (x) cada limite, caso exista.

x

y

1 2

1

3

(a) limx→1−

f (x)

(b) limx→1+

f (x)

(c) limx→1

f (x)

(d) limx→−∞

f (x)

(e) limx→+∞

f (x)

(f) limx→2

f (x).

LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2


x

y

3

−1

1

3

(a) limx→3−

f (x)

(b) limx→3+

f (x)

(c) limx→3

f (x)

(d) limx→−∞

f (x)

(e) limx→+∞

f (x)

(f) limx→4

f (x).


x

y

1− 12

12

(a) limx→1−

f (x)

(b) limx→1+

f (x)

(c) limx→1

f (x)

(d) limx→−∞

f (x)

(e) limx→+∞

f (x)

(f) limx→0

f (x).

14. Mostre que o limx→0

x2 · cos(20πx) = 0.

15. Use o teorema do confronto para mostrar que

limx→0

px2 + x3 sen

�π

x

�= 0.

16. A função sinal, denotada por sgn, está definida por

sgn(x) =

8><>: −1 , se x < 0

0 , se x = 0

1 , se x > 0

(a) Esboce o gráfico dessa função.

(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem.

i. limx→0+

sgn(x) ii. limx→0−

sgn(x) iii. limx→0

sgn(x)

17. Seja

h(x) =

8><>: x , se x < 0

x2 , se 0 < x ≤ 2

8 − x , se x > 2

(a) Calcule, se existirem, os limites.

i. limx→0+

h(x) ii. limx→0−

h(x) iii. limx→0

h(x) iv. limx→2−

h(x) v. limx→2+

h(x) vi. limx→2

h(x)

(b) Esboce o gráfico da função h.

18. Considere a função f (x) =x2 − 1

|x − 1| .

(a) Determine limx→1+

f (x) e limx→1−

f (x).


(b) Existe limx→1

f (x)?

(c) Esboce o gráfico de f .

19. Calcule o limite: limx→0

cos(x) − 3

Ècos(x)

sen2(x).

20. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para quais os limx→a

f (x)

existe:

g(x) =

8>><>>: x , sex ≤ 1

3 , sex = 1

2 − x2 , se1 < x ≤ 2

x − 3 , sex > 2

Limites Infinitos

21. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz

L = L0

r1 − v2

c2,

expressa o comprimento L como uma função da velocidade v em relação a um observador, em que L0 é o

comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre limv→c−

L e interprete o resultado. Por

que é necessário o limite à esquerda?

22. Prove usando a definição, que limx→−3

1

(x + 3)4= ∞.

23. Determine os limites.

(a) limx→5+

6

x − 5

(b) limx→3+

1

(x − 3)8

(c) limx→−2+

x − 1

x2(x + 2)

(d) limx→3+

x

x − 3

(e) limx→4−

3 − x

x2 − 2x − 8

(f) limx→4

x − 5

(x − 4)2

(g) limx→0

cos(x)

x · sen(x)

(h) limx→2−

3 − x

(x − 2)3

24. Determine uma equação da(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função em cada caso.

(a) f (x) =−2

x + 3(b) f (x) =

−2

(x + 3)2(c) f (x) =

5

x2 + 8x + 15

Limites no Infinito

25. Calcule os limites:

(a) limx→+∞

(3x3 + 4x2 − 1)

(b) limt→−∞

t + 1

t2 + 1

(c) limx→−∞

3x5 − x2 + 7

2 − x2

(d) limx→−∞

−5x3 + 2

x3 + 3

(e) limx→+∞

−4x4 + 2

2x − x3

(f) limx→+∞

√x2 + 1

x + 1

(g) limr→+∞

r4 − r2 + 1

r5 + r3 − r

(h) limt→+∞

6t2 + 5t

(1 − t)(2t − 3)

(i) limx→+∞

√1 + 4x2

4 + x

(j) limx→+∞

√4x + x2

4x + 1

(k)

limx→+∞

�px2 + 1 −

px2 − 1

�(l) lim

x→+∞1 −√

x

1 +√

x

(m) limx→+∞

tg−1(x2 − x4)

(n) limx→+∞

x7 − 1

x6 + 1

(o) limx→+∞

1 + 2 + 3 + . . . + n

n2

(p) limx→+∞

12 + 22 + . . . + n2

n3

Sugestão : Para (o)nX

k=1

k =n(n + 1)

2e para (p)

nXk=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.


26. Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f (x).

(a) f (x) =2x + 1

x − 3(b) f (x) =

4x2

x2 − 9

27. Encontre a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) e vertical(is) do gráfico de cada função.

(a) y =x

x + 4

(b) y =x2 + 4

x2 − 1

(c) y =x3

x2 + 3x − 10

(d) y =x3 + 1

x3 + x

(e) y =x

4√

x4 + 1

(f) y =x − 9

4x2 + 3x + 2.

28. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que umnovo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 30 − 10 · e− t

9 novas

unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se:

(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento?

(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo?

29. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que

tomaram conhecimento e dado por N(t) =600

1 + 24e−0,5t, em que t representa o número de dias após

ocorrer a notícia. Pergunta-se

(a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato?

(b) Determine limt→∞

N(t) e explique o seu resultado.

30. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado

pela função A(x) =120x2

x2 + 4, em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do

filme em cartaz. Pergunta-se:

(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?

(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?

31. Calcule o limite: limx→+∞

√xq

x +È

x +√

x

Limites Fundamentais


(a) limx→0

sen(3x)

2x

(b) limx→0

sen(10x)

sen(7x)

(c) limx→0

tg(3x)

2x

(d) limx→0

1 − cos(x)

x2

(e) limx→0

1 − sec(x)

x2

(f) limx→0

1 − cos(x)

x

(g) limx→0

1 − cos(x)

x sen(x)

(h) limx→0

7 − 7 cos2(x)

3x2

(i) limx→0

sen(x)

x − π

(j) limx→0

È1 + sen(x) −

È1 − sen(x)

x

(k) limx→0

2x3 − x + sen(x)

x

(l) limx→0

sen(x + a) − sen(a)

x

(m) limx→π

�ln[sen2(x)] − 2 · ln(x) − ln

�1 − 2π

x+

π2

x2

��33. Calcule os limites:

(a) limx→−∞

�1 +

2

x

�x

(b) limx→−∞

�1 − 3

x

�x

(c) limx→+∞

�1 +

1

x

�3x

(d) limx→+∞

�1 − 4

x

�5x

(e) limx→−∞

�1 +

1

x

�x

(f) limx→+∞

�x + 1

x − 1

�x

(g) limx→∞

�x

1 + x

�x

(h) limx→+∞

�x + 5

x

�2x+3


34. Determine:

(a) limx→0

ex − 1

2x(b) lim

x→0

31+x − 3

x(c) lim

x→3

4x − 64

x − 3(d) lim

x→0

4 − e2x

x


(a) limx→ 3π

2

[1 + cos(x)]31

cos(x) (b) limx→0

ex − 1

sen(x)(c) lim

x→0

−5x3 + sen5(x)

6x3(d) lim

x→+∞2

1+x2

2x2

36. Use o teorema do confronto para determinar limx→∞

sen2x

x2.

Limites Envolvendo Funções Limitadas


(a) limx→0

x · sen�

1

x

�(b) lim

x→+∞sen(x) + x6

x

(c) limx→−∞

ex · sen(x)

(d) limx→0+

§x3�4 − cos(x−2)

�+

ex

x

ª (e) limx→+∞

(2 + x3) · cos[ln(x)]

1 − 3x7

(f) limx→+∞

3 cos(x) + 2x

2x

38. Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique, se falso, expliqueo porquê ou dê um contra-exemplo.

(a) limx→3+

2x

x − 3= +∞, neste caso, dizemos que a reta y = 3 é uma assíntota vertical.

(b) limx→0

x

|x | não existe.

(c) limx→0

√x · ecos(3π/x) = 0

(d) A função f (x) =x3 − x2 − 2x

x − 2tem uma descontinuidade removível em x = 2 e f pode ser redefinida

como uma nova função dada por g(x) =

8<: x3 − x2 − 2x

x − 2, se x 6= 2

−6 , se x = 2

(e) Existe um número real que é exatamente um a mais que seu cubo.

(f) limx→0

sen(7x)

sen(5x)=

7

5.

Limites e Continuidade

39. Considere a função y = f (x) abaixo definida no domínio R \n−π

2;π

2

o. Analisando o gráfico de f (x),

responda, justificando:


y

x−π −π2

0 π2

π 3π2

1

2

3

(a) limx→0

f (x)

(b) limx→ π

2+f (x)

(c) limx→ π

2−

f (x)

(d) limx→ π

2

f (x)

(e) limx→π+

f (x)

(f) limx→π−

f (x)

(g) limx→π

f (x)

(h) limx→− π

2

f (x)

(i) limx→ 3π

2+f (x)

(j) limx→ 3π

2−

f (x)

(k) limx→ 3π

2

f (x)

(l) limx→−π−

f (x)

(m) limx→−π+

f (x)

(n) limx→−π

f (x)

(o) limx→−∞

f (x)

(p) limx→+∞

f (x)

(q) f (−π)

(r) f (0)

(s) f (π)

(t) f

�3π

2

�(u) f é contínua em x0 = 0?

(v) f é contínua em x0 = −π?

(w) f é contínua em x0 =3π

2?

(x) f é contínua em x0 = π?

(y) f é contínua em x0 = −π

2?

40. Mostre que a função é contínua em x0 em cada caso.

(a)f (x) = x2 +√

7 − x , x0 = 4 (b) g(x) = (x + 2x3)4, x0 = −1 (c) h(x) =x + 1

2x2 − 1, x0 = 4

41. Investigue a continuidade das seguintes funções:

(a) f (x) =

8<: x3 − 8

x2 − 4, x 6= 2,

1, x = 2

(b) f (x) =2

3x2 + x3 − x − 3

(c) f (x) =

¨0, x ≤ 0

x , x > 0

(d) f (x) =

8<: x

|x | , x 6= 0

−1, x = 0

42. Calcule as constantes a e b de modo que:

(a) limx→b

x2 − a

x − b= 4 (b) lim

x→3

x2 − ax + b

x − 3= 5 (c) lim

x→+∞

�ax − bx + 3

x + 1

�= 5

43. Se f e g são funções contínuas, com f (3) = 5 e limx→3

[2f (x) − g(x)] = 4, encontre g(3).

44. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

(a) f (x) =

¨x2 + px + 2, x 6= −3

x , x = −3(b) f (x) =

¨x + 2p, x ≤ −1

p2, x > −1(c) f (x) =

¨e2x , x 6= 0

p3 − 7, x = 0

45. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine limx→x

−0

f (x), limx→x+

0

f (x) e, caso exista, limx→x0

f (x).

(a) f (x) =

¨x2 − 3x + 2, x ≤ 3

8 − 2x , x > 3, a = 1;

(c) f (x) =

¨x2 − x , x ≥ 0

−x , x < 0, a = 0;

(b) f (x) =

8><>: x2 − 1, x ≥ 1, x 6= 2

1, x = 2

1 − x , x < 1

, a = 2;

(d) f (x) =|x |x

, a = 0;

46. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede (use o Winplot 1 para visualizar

e confirmar os gráficos construídos)

1<http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html>


(a) f (x) =

8><>: 4x + 12, x < −2

x2, −2 ≤ x ≤ 1

−x2 + 3, x > 1

i. limx→−∞

f (x)

ii. limx→1

f (x)

(iii) limx→−2

f (x)

(iv) limx→+∞

f (x)

(b) f (x) =

¨2−x , x > 0

x−1, x < 0

i. limx→−∞

f (x)

ii. limx→0+

f (x)

iii. limx→0−

f (x)

iv. limx→+∞

f (x)

(c) f (x) =

8>><>>: 2x , x < 0

1 − x , 0 ≤ x < 1

x2 − 1, x > 1

1, x = 1

i. limx→−∞

f (x)

ii. limx→1

f (x)

iii. limx→0

f (x)

iv. limx→+∞

f (x)

(d) f (x) =

8>><>>: x + 5, x ≤ −2

x2 − 1, −2 ≤ x ≤ −1

2x + 2, −1 < x ≤ 0

2−x , x > 0

i. limx→−∞

f (x)

ii. limx→+∞

f (x)

iii. limx→−2

f (x)

iv. limx→0

f (x)

47. Se uma esfera oca de raio a = 2cm é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidadede campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei:

E (x) =

¨0 ; se 0 ≤ x < a

x−2 ; se x ≥ a

Estude a continuidade do campo na superfície da esfera.

48. Que tipo de descontinuidade possui a função f (x) = e1

1−x em x = 1?

49. Mostre que a função é contínua no intervalo dado.

(a) f (x) = x√

16 − x2; [−4, 4] (b) f (x) =x + 1

x − 3; (−∞, 3)

50. Encontre os pontos no(s) qual(is) a função é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua àdireita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico.

(a) f (x) =

8><>: 2x + 1 , se x ≤ −1

3x , se − 1 < x < 1

2x − 1 , se x ≥ 1

(b) f (x) =

¨(x − 1)3 , se x < 0

(x + 1)3 , se x ≥ 0

51. Explique o porquê que a função é contínua. Estabeleça o domínio.

(a) f (x) =x

x2 + 5x + 6

(b) f (t) = 2t +√

25 − t2

(c) f (x) = 5√

x − 1(x2 − 2)

(d) f (x) =sen(x)

x + 1

(e) f (x) = ex sen(5x)

(f) f (x) = sen−1(x2 − 1)

52. Use a continuidade para calcular o limite.

(a) limx→4

5 +√

x√5 + x

(b) limx→π

sen(x + sen(x)) (c) limx→1

ex2−x (d) limx→2

arctg

�x2 − 4

3x2 − 6x

�53. A força gravitacional exercida pela terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do

planeta é

F (r) =

8>><>>: GMr

R3, se r < R

GM

r2, se r ≥ R

em que M é a massa da terra, R é o seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é uma função

contínua em r?


54. Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se esta for removível,

encontre uma função g que é igual a f , para x 6= a e que seja contínua em R.

(a) f (x) =x2 − 2x − 8

x + 2, a =

−2(b) f (x) =

x − 7

|x − 7| , a = 7 (c) f (x) =x3 + 64

x + 4, a = −4(d) f (x) =

3 −√x

9 − x, a = 9

Derivadas Imediatas e as Regras Operacionais

Derivadas Imediatas

1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C;

2. (xn)′ = nxn−1;

3. (ax)′ = ax · ln(a),

em particular, (ex)′ = ex ;

4. (sen(x))′ = cos(x);

5. (cos(x))′ = − sen(x);

6. (tg(x))′ = sec2 x ;

7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;

8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);

9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x);

10. (loga x)′ =1

x · ln(a), ∀x ∈ R∗

+, 0 < a 6= 1,

em particular, (ln x)′ =1

x;

11. (arcsen x)′ =1√

1 − x2;.

12. (arccos(x))′ =−1√1 − x2

;

13. (arctg(x))′ =1

1 + x2;

Regras da Derivação

1. d(u ± v) = du ± dv ; 2. d(u · v) = u · dv + v · du; 3. d�u

v

�=

vdu − udv

v2.

55. Encontre a derivada de cada uma das funções.

(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2

(b) f (x) =3

2x+ 2x(

5√

x3) − 2√x

(c) f (x) = (3x5 − 1)(2 − x4)

(d) f (s) =√

3(s3 − s2)

(e) f (t) =t3 − 3t

t5 − 5t(t2 − 2t)

(f) f (x) =x3

ex+

ex

x3

(g) f (x) = x2 sen(x) − ln(x) cos(x)

(h) f (θ) = 2cotg(θ)

1 − sen(θ)

(i) f (x) =sec2 t

1 + t2;

(j) g(x) =

�3x2 + 4

x7 + 1

�10

;

(k) f (t) = sen2(3t)√

cos 2t;

(l) f (t) = e3t2−t3 − ln(cos 3t).

(m) f (x) =

�3x2 + 4

x7 + 1

�2

;

(n) f (θ) = e3θ. sen2(3θ);

(o) f (t) = ln(cos(t)).

56. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:

(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10

57. Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y = x3 + 2x2 − 4x nos quais a reta tangente é:

(a) Horizontal. (b) Paralela à reta 2y + 8x − 5 = 0.

58. Determine a equação da reta tangente à curva f (x) =x − 3

x + 3no ponto x = −2. Existe reta tangente ao

gráfico de f que tem inclinação horizontal? Por quê?


Derivada da Função Composta

Derivada da Função Composta

h(x) = f (g(x)) ⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x).

Derivada da Função Exponencial Composta

y = [u(x)v(x)] ⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x .

59. Calcule a derivada de:

(a) y = 3√

3x − 1

(b) z(x) = ln(x2 − 6)

(c) f (t) = e4t3

(d) f (t) = ln(sec(x))

(e) y = cos[tg(3 − 5x)]

(f) y = sen(x2 − 2x)

(g) f (t) = e4t3

t+4

(h) y =√−3 − 7x cos(−15x)

(i) y = sec�log2

�4√

x3 −√

2��

60. Encontre a derivadas das funções dadas.

(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2 − x4)

(b) f (t) =(t3 − 3t)3

(t5 − 5t)5

(c) f (s) = ln(e5s−3)

(d) f (x) =1

2ln(7x2 − 4)

(e) f (x) = ex2

+ 4

(f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)

(g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ)

(h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ)

(i) f (x) = ln

�x + 1

ex

�(j) f (x) = ln(sen2(x))

(k) f (x) = arctg(x2 + 1)

(l) f (θ) = earcsen(θ)

61. Determine f ′(3),

(a) sabendo que f (1 + 2x) + f (2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2, ∀ x ∈ R.

(b) sabendo que f (4x − 1) · f (−2x3 + 5) = x5 + x3 − x e que f (3) < 0.

62. Mostre que:

(a) Se y = xn, com n ∈ R, então y ′ = n · xn−1.

(b) Se f é uma função par, então f ′(x) = −f ′(−x).

(c) Se f é uma função ímpar, então f ′(x) = f ′(−x).

Derivada da Função Inversa

Derivada da Função Inversa

y−1 =1

f (x)⇒ (y−1)′ =

1

f ′(x).


63. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura

ao lado, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no pontode abscissa x0 = 1.

x

yf (x)

n

1

64. Determine (f −1)′(−5), sabendo que:

f : (2, +∞) → R

x 7→ x2 − 4x − 2.

65. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f (x) = arctg2(x) no ponto deabscissa

√3.

66. Calcule a derivada da função inversa de f (x) = 5√

x no ponto y = 1.

67. Determine a derivada da função inversa das funções a seguir.

(a) f (x) = 2x2 − 3 (b) f (x) = 5 − 7x (c) f (x) = x4 + 1

Derivadas Sucessivas

68. Mostre que y = A cos(ω − t) + B sen(ω − t), satisfaz a equação:d2y

dω2− d2y

dt2= 0.

69. Determine a derivada de ordem 2006 das funções:

(a) f (x) = (2x + 1) (b) f (x) = ex(x + 1)

L’Hospital

70. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital.

(a) limx→0

x

tg(x)

(b) limx→0

ex − cos(x)

x sen(x)

(c) limx→+∞

ln(x)√x

(d) limx→0

x2 + 6x

x3 + 7x2 + 5x

(e) limx→+∞

�ln

x

x + 1

�(f) lim

x→+∞x99

ex

Derivação Implícita

71. Determinedy

dxpor derivação implícita:

(a) x2 + y2 = 16 (b)1

x+

1

y= 1 (c) y2 = cos(x − y) (d) ex+y = arctg(y)

72. Ache a equação da reta tangente à curva x − y =√

x + y no ponto (3, 1).

73. Determine f ′(3) sabendo que 2f (5x−2) = x3 + 3x2


Diferenciais

Diferencial de uma Função

Seja uma função y = f (x) uma função. Da igualdade lim∆x→0

∆y

∆x= f ′(x), temos:

∆y

∆x− f ′(x) = α Diferença entre a razão incremental e a derivada da função.

Logo:

∆y = f ′(x) · ∆x| {z }Diferencial da função

+ α · ∆x ; dy = f ′(x)∆x .

74. Usando diferenciais, determinar um valor aproximado para:

(a)√

64, 1; (b) 4√

13 (c) ln(2, 53) sabendo que ln(2, 5) = 0, 91629

75. Encontrar o acréscimo ∆y e a diferencial dy para os valores dados:

(a) y =1

2x2; ∆x = 0, 001; x = 1;

(b) y = 5x2 − 6x ; ∆x = 0, 02; x = 0;

(c) y =2x + 1

x − 1; ∆x = 0, 1; x = −1.

76. Calcular a diferencial das seguintes funções:

(a) y = (2x2 + x + 1)ex2(b) y =

Èln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d)

x + 1

ex

Taxas de Variação

77. Um material arenoso está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura ésempre igual ao raio da base. Se dado instante o raio é 12 metros, use diferenciais para obter a variação

do raio que origina um aumento de 2 m3 no volume da pilha.

78. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se quecada um de seus lados mede 1200 m, como um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o

possível erro no cálculo da área do terreno.

79. Um tanque em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm de mate-rial para um melhor isolamento térmico. Se o lado do tanque é de 2 m, usando diferencial, encontrar a

quantidade de revestimento necessária.

80. Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada

aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região estará aumentando quando o raiofor de 4 cm?

81. Uma piscina está sendo drenada para a limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros

e depois de um tempo t este volume diminui 2.500 t2 litros, determinar:

(a) tempo necessário para esvaziamento da piscina;

(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];


(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

82. Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 5 m de raio de base e 10m de altura. No tempo t = 0,a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o nível da água sobe? Quanto

tempo levará para o tanque ficar cheio?

83. Um tanque cilíndrico aberto, deve ter um revestimento externo com 2cm de espessura. Se o raio internofor 6m e a altura 10m, encontre, por diferenciais, a quantidade de material necessária para o revestimento.

84. Uma caixa de metal na forma de um cubo deve-se ter um volume inferior a 1000 cm3. Os seis lados são

feitos de metal, com espessura de 12cm. Se o custo do material for de R$ 0, 20 por centímetros cúbicos,

use diferencial para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa.

85. Um reservatório de água tem 80m de comprimento e sua secção transversal é um trapézio isósceles

com lados iguais a 10m, uma base superior de 17m e uma base inferior de 5m. Quando a água tiver 5mde profundidade, ache a taxa segundo qual estará escoando, se o nível de água estiver abaixando a uma

taxa de 0, 1 m/h.

86. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores

em qualquer época é uma função do número de peixes no lago, naquele período de tempo. Suponha que

quando há x peixes pequenos no lago, a população de predadores é y e y =1

2x2 + 80. Se a temporada de

pesca terminou t semanas atrás, x = 8t +90. A que taxa a população de peixe predador estará crescendo

9 semanas após o término da temporada da pesca?

Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos

87. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes.

(a) y = x3 + 2x2 − 4x + 2

(b) y =x2

x − 1

(c) y =t2 + 9

(t − 3)2

(d) y = e−x

(e) y = ex(x2 − 2x)

(f) y =x2

ex

(g) y = x4 + 4x

(h) y = x5 − 25

3x3 + 20x − 2

(i) y = 5x3 − 3x5

(j) y = lnx

3 − x

88. Encontre os pontos críticos das seguintes funções:

(a) f (x) = 5x2 + 4x

(b) f (t) = 2t3 + 3t + 6t + 4

(c) f (x) = xe2x

(d) f (s) =√

3(s2 − s)

(e) f (t) =t + 1

t2 + t + 1

(f) s(t) = 2t3 + 3t2 + 6t + 4

(g) f (x) = x + sen(x)

(h) f (θ) = 5 + 6θ − 2θ3

89. Encontre os valores de mínimo e de máximo de f no intervalo dado.

(a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3]

(b) f (t) = t3 − 3t + 1, [0, 3]

(c) f (x) = 2t3 + 3t2 + 4, [−2, 1]

(d) f (s) = 3x5 − 5x3 − 1, [−2, 2]

(e) f (t) =t

t2 + 1, [0, 2]

(f) s(t) =ln x

x, [1, 3]

(g) f (x) = cos(x) + sen(x),h0,

π

3

i(h) f (θ) = θe−θ, [0, 2]

90. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:


(a) f (x) = axe−x2

tenha um máximo em x =1√2

;

(b) f (x) = x3 + ax2 + bx + c tenha pontos críticos em x = −2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o demínimo?

91. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalosespecificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0.

(a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 =

�−3

2, 0

�, I2 =

�0,

3

2

�e I3 =

�−3

2,3

2

�.

(b) f (x) =

¨x + 2 , x ≤ 2

4 − x , x > 1e I = [−2, 4]

92. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nosintervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema.

(a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1];

(b) f (x) =3√

x2 e I = [0, 2];

(c) f (x) =x2 + 4x

x − 1e I = [2, 6]

93. Determine os pontos de inflexão e verifique, também, os intervalos os quais o gráfico delas tem

concavidade positiva ou negativa das funções da questão 87.

94. Determine as coordenadas dos pontos extremantes identificando-os, caso existam, de cada uma dasfunções da questão 87, usando o teste da primeira e o da segunda derivada.

95. Determine (se existir) as assíntotas: horizontais, verticais ou oblíquas das funções a seguir:

(a) y =3x + 1

(x + 2)(x − 3)(b) y =

x2

x − 3

96. Esboce o gráfico de cada uma das funções da questão 87, informando no plano cartesiano os pontosdeterminados pelas intersecções com os eixos (quando for fácil), os pontos onde a função possui extremos

relativos e os pontos de inflexão. Utilize o software winplot 2 para conferir.

97. Esboce os gráficos das funções a seguir:

(a) y = −x2 + 4x + 2

(b) y = −x4 − x3 − 2x2

(c) y =3x + 1

(x + 2)(x − 3)

(d) y = ln(x2 + 1)

(e) y =x2

x − 3

98. Sabendo que f é definida e contínua em R e que o gráfico a seguir representa a derivada de f ,

determine para a função f :

(a) as abscissas dos pontos críticos;

(b) as abscissas dos pontos de máximo e mínimo locais;

(c) os intervalos de crescimento e decrescimento;

(d) os intervalos nos quais a função tem concavidade voltadapara cima e nos quais a função tem concavidade voltada

para baixo;

(e) as abscissas dos pontos de inflexão.

x

y

−2

0

2

4 6

2download em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html


99. Considere uma função duplamente derivável y = f (x) com as seguintes propriedades:

x y Derivadas

x < −1 y ′ > 0 y ′′ < 0

−1 0 y ′ > 0 y ′′ = 0

−1 < x < 0 y ′ > 0 y ′′ > 0

0 1 y ′ > 0 y ′′ = 0

0 < x < 2 y ′ > 0 y ′′ < 0

2 3 y ′ = 0 y ′′ < 0

x > 2 y ′ < 0 y ′′ < 0

(a) Informe, sem cálculos, quais são os extremantes relativos e os pontos de inflexão, caso existam.

(b) Esboce o gráfico da função com as informações dadas acima. Quando for possível, indique ascoordenadas.

100. Considere a função f (x) =4x

x2 + 1.

(a) Encontre os intervalos os quais a função é crescente e decrescente;

(b) Classifique os pontos críticos;

(c) Encontre os intervalos os quais a função tem concavidade voltada para cima e para baixo;

(d) Determine as coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam;

(e) Determine as equações das assíntotas, caso existam;

(f) Esboce o gráfico da função, indicando os pontos determinados nos itens anteriores.

101. Determine, se possível, as raízes reais do polinômio f (x) = −2x4 + 4x3 + 3x2 + 6x + 9 e seus pontoscríticos. Faça o esboço do gráfico deste polinômio utilizando os dados acima.

102. Dada a função racional f (x) =2x2 − 8

x2 − x − 6, determine o domínio, o conjunto imagem e as equações

das assíntotas horizontais e verticais. Esboce o gráfico de f .

Problemas de Otimização

103. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço papelão medindo 8 centímetros delargura por 15 centímetros de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para

cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem cortados para a produção de uma

caixa de volume máximo.

104. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular

de 12.100m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as

dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa serconstruído este galpão. 25m

20m

12m

12m12.100m2

x

y


105. [Construindo uma tubulação] Superpetroleiros descar-

regam petróleo, em atracadouros a 4 milhas da costa. A refi-naria mais próxima está 9 milhas a leste do ponto da costa mais

próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construídapara conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos

custam R$300.000, 00 por milha e os terrestres, R$200.000, 00

por milha. Localize o ponto B para minimizar os custos da con-

strução.

Costa

A B Refinaria

Atracadouro

4 mi

9 mi

106. [Locação de uma estação bombeadora] Duas

cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma es-tação bombeadora de água será instalada para servir

às duas cidades. A tubulação seguirá as retas queligam cada cidade à estação. Defina o ponto onde

a estação bombeadora deve ser instalada para mini-mizar o custo da tubulação. Veja a figura:

P

B

A

2 mi

5 mi

10 mi

107. [Lançamento da água] Desprezando a resistência do ar, o jato d’água de uma mangueira de incêndiosatisfaz à equação

y = mx − 16(1 + m2)�x

v

�2

,

em que m é a inclinação do bico, v é a velocidade do jato no bico em metros por segundos e y é a alturaem metros do jato a x metros do bico. Considere que v seja uma constante positiva. Calcule:

(a) o valor de x para a altura y do jato seja máxima para um valor fixo m;

(b) o valor de m para que o jato chegue ao chão a uma distância máxima do bico;

(c) o valor de m para o qual a água atingirá altura máxima num muro vertical a x metros do bico da

mangueira.

108. [Reação a medicamento] Em medicina é frequentemente aceito que a reação R a uma dose x de

uma droga é dada pela equação da forma R = Ax2(B − x), em que A e B são certas constantes positivas.

A sensibilidade de alguém a uma dose x é definida pela equaçãod

dxR da reação com a respectiva dose.

Para que valor de x :

(a) a reação é máxima? (b) a sensibilidade é máxima?

109. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O material da tampa e da

base deve custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados custa R$1, 50 por centímetroquadrado. Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.

110. Se uma lata fechada com volume 16π cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura

e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.

111. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão

com 12 cm de lado. Para isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando, a seguir,os lados.

(a) Se x cm for o comprimento dos quadrados a serem cortados, expresse o volume da caixa em cen-

tímetros cúbicos como função de x .

(b) Qual é o domínio da função?


(c) A função é contínua em seu domínio?

(d) Determine o comprimento do lado do quadrado para que a caixa tenha volume máximo.

112. Dois pontos A e B estão colocados em lados opostos a um rio cuja largura é de 3 km. A linha AB

é ortogonal ao rio. Um ponto C está na mesma direção que B, mas 2 km do rio abaixo. Uma companhiatelefônica deseja estender um cabo de A até C . Se o custo por quilômetro do cabo é 25% mais caro sob a

água do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor possível?

113. Um campo retangular à margem de uma rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo dorio. Se o custo do material for de R$12, 00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$8, 00 por metro

linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$3.600, 00 de

material.

114. Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será deR$16, 00 por lugar. Se contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro bruto diário por lugar

decrescerá de R$0, 08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de assentospara que o lucro bruto diário seja máximo?

115. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a.

Se cada pasto deve medir 400m2 de área, determine as dimensões a e b, de forma que o comprimento dacerca seja mínimo.

116. Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 cm2.

117. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min.Como está variando o raio no instante em que a bola tem 4 cm de diâmetro?

118. Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o

comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

119. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3 cm e 4 cm

se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.

120. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está

localizada no chão a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem.Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15 m do ponto do caminho mais próximo

da lâmpada?

121. O telescópio espacial Huble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial

Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até aentrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por

v(t) = 0, 001302t3 − 0, 09029t2 + 23, 61t − 3, 083 pés/s.

Usando esse modelo, estime os valores máximos e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre olançamento e a entrada do foguete auxiliar.

122. Um modelo para o índice de preço de alimento (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é

dado pela função

I (t) = 0, 00009045t5 + 0, 001438t4 − 0, 06561t3 + 0, 4598t2 − 0, 6270t + 99, 33,

em que t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim 0 ≤ t ≤ 10, e I (t) é medido 1987

em dólares e reduzido em uma escala tal que I (3) = 100. Estime os períodos nos quais a comida foi maisbarata e mais cara durante 1984-1994.

123. Um tanque de zinco na forma cilíndrica deve ser construído para a cultivo de peixes. Tal tanque deve

conter 8.000 litros de água e não precisará de tampa. Determine as medidas do tanque (a altura h e o raior do cilindro) para que a quantidade de zinco seja mínimo. DICA: Volume do cilindro V = πr2 · h, área da

superfície do cilindro menos a tampa S = 2πr · h + πr2.


124. Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5 cm3. Determine suas dimensões se a

quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima.

125. James mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Jeane mora a 4 km praia acima. James poderemar seu barco a 3 km por hora e pode andar a 5 km por hora na praia. Encontre o tempo mínimo gasto

por James para alcançar a casa de Jeane vindo de sua ilha.

126. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número depessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez

é máxima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato.

127. Uma certa árvore possui seu tronco na forma de um cilindro de raio 1m e altura 4m. Um certo fungoalojou-se sobre a casca do tronco destruindo 5cm de profundidade. Qual a quantidade de material que

deve ser retirado?

128. Encontre as medidas de cada um dos lados do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscritonuma circunferência de raio 4 cm.

Resumo: Cálculo Diferencial e Integral

Definição

Sejam y = f (x) uma função e c ∈ R. Denomina-se INTEGRAL da função f (x), a função primitiva

F (x) + c , pois (F (x) + c)′ = f (x).

Propriedades

1. d

Zf (x) dx = f (x) dx;

2.Z

df (x) dx = f (x) + C ;

3.Z

k · f (x) dx = k ·Z

f (x) dx, k ∈ C;

4.Z

[f (x) + g(x)] dx =

Zf (x) dx+

Zg(x) dx;

5.�Z

f (x) dx

�′= f (x).


Integrais imediatas

1.Z

xn dx =xn+1

n + 1+ C , n ∈ R \ {−1};

2.Z

1

xdx = ln |x | + C ;

3.Z

sen(x) dx = − cos(x) + C ;

4.Z

cos(x) dx = sen(x) + C ;

5.Z

tg(x) dx = ln | sec(x)| + C ;

6.Z

cotg(x) dx = ln | sen(x)| + C ;

7.Z

sec(x) dx = ln | tg(x) + sec(x)| + C ;

8.Z

cossec(x) dx = ln | cotg(x) − cossec(x)| + C ;

9.Z

sec2 x dx = tg(x) + C ;

10.Z

cossec2(x) dx = − cotg(x) + C ;

11.Z

sec(x) · tg(x) dx = sec(x) + C ;

12.Z

cossec(x) · cotg(x) dx = − cossec(x) + C ;

13.Z

ax dx =ax

ln a+ C , a ∈ R

∗+ \ {1};

14.Z

ex dx = ex + C ;

15.Z

dx√1 − x2

= arcsen x + C ;

16.Z

dx√b2 − a2x2

=1

aarcsen

�a

bx�

+ C ;

17.Z

dx

1 + x2= arctg(x) + C ;

18.Z

dx

b2 + a2x2=

1

abarctg

� a

bx�

+ C ;

19.Z

dx

a2x2 ± b2=

1

2abln

��ax ± b

ax ∓ b

��+ C ;

20.Z

dx√a2x2 ± b2

=1

aln��ax +

pa2x2 ± b2

��+ C ;

21.Z

ln x dx = x(ln |x | − 1) + C .

22.Z

dx

x√

x2 − a2=

1

aarcsec

�x

a

�+ C .

Métodos de integração

Por substituição;

Por partes: u · vZ

v · du.

Integral de certas funções que contém um trinômio

1.Z

dx

ax2 + bx + c.Z

dx

x2 + 5x + 4=

Zdx�

x2 + 5x +25

4

�+ 4 − 25

4

=

Zdx�

x +5

2

�2

−�

3

2

�2

=1

2 · 3

2

Zln

��x +5

2− 3

2

x +5

2+

3

2

��+ c =1

3ln

��x + 1

x + 4

��+ c

2.Z

(mx + n) dx

ax2 + bx + c;Z

(2x + 3) dx

x2 + 5x + 4

u = x2 + 5x + 4 ⇒ du = 2x + 5 dxZ(2x + 5 − 2) dx

x2 + 5x + 4=

Zdu

u− 2

Zdx

x2 + 5x + 4= ln |x2 + 5x + 4| − 2

3ln

��x + 1

x + 4

��+ c


Integral de funções racionais

f (x) =p(x)

q(x), q(x) 6= 0, ∀ x ,

em que p(x) e q(x) são dois polinômios.

Devemos observar as seguintes hipóteses:

1. Grau de p(x) < grau de q(x).

2. Grau de p(x) > grau de q(x).

Na primeira hipótese, decompomosp(x)

q(x)em frações parciais, de acordo com a natureza das raízes do

polinômio q(x). Este pode apresentar raízes reais ou complexas, simples ou múltiplas. Os casos a seguir

ilustrarão estes quatro aspectos.

1.Z

(2x − 1) dx

(x − 1)(x − 2)

Façamos

(2x − 1)

(x − 1)(x − 2)=

A

x − 1+

B

x − 2

=(A + B)x − 2A − B

(x − 1)(x − 2)⇒(

A + B = 2

−2A − B = −1⇒(

A = −1

B = 3

Logo, Z(2x − 1) dx

(x − 1)(x − 2)= −

Zdx

x − 1+ 3

Zdx

x − 2

= ln

��(x − 2)2

x − 1

��+ c

2.Z

dx

(x − 1)2(x − 2)

Façamos1

(x − 1)2(x − 2)=

A

(x − 1)2+

B

x − 1+

C

x − 2

=A(x − 2) + B(x2 − 3x + 2) + C (x2 − 2x + 1)

(x − 1)2(x − 2)

⇒

8><>: B + C = 0

A − 3B − 2C = 0

−2A + 2B + C = 1

⇒

8><>: A = −1

B = −1

C = 1

Logo, Zdx

(x − 1)2(x − 2)= −

Zdx

(x − 1)2−Z

dx

x − 1+

Zdx

x − 2

=1

x − 1ln

��x − 2

x − 1

��+ c

3.Z

x dx

(x2 + 1)(x − 1)

Façamosx

(x + 1)2(x − 1)=

Ax + B

x2 + 1+

C

x + 1

=(A + C )x2 + (B − A)x + C − B

(x2 + 1)(x − 1)


⇒

8><>: A + C = 0

B − A = 1

C − B = 0

⇒

8>><>>: A = −1

2

B =1

2

C =1

2

Logo, Zx dx

(x2 + 1)(x − 1)= −

Zx dx

2(x2 + 1)+

Zdx

2(x2 + 1)+

Zdx

2(x − 1)

=1

2arctg(x) + ln

�� 4

r(x − 1)2

x2 + 1

��+ C

4.

Z(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx

(x2 + 2x + 3)(x + 1)(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx

(x2 + 2x + 3)(x + 1)=

Ax + B

(x2 + 2x + 3)2+

Cx + D

(x2 + 2x + 3+

E

x + 1

= . . .

Na segunda hipótese, devemos dividir, inicialmente, p(x) por q(x) e efetuar o procedimento de cálculo

da integral.

5.

Z(x5 + x4 − 8) dx

x3 − 4x=

Z(x2 + x + 4) dx+

Z(4x2 + 16x − 8) dx

x3 − 4x

= . . .

=x3

3+

x2

2+ 4x + ln

��x2(x − 2)5

(x + 2)3

��+ c

Identidades trigonométricas importantes

1. sen2(x) =1 − cos(2x)

2;

2. cos2(x) =1 + cos(2x)

2;

3. sen(x) · cos(x) =1

2sen 2x ;

4. sen(x) · cos(y) =1

2[sen(x − y) + sen(x + y)];

5. sen(x) · sen(y) =1

2[cos(x − y) − cos(x + y)];

6. cos(x) · cos(y) =1

2[cos(x − y) + cos(x + y)].

Funções hiperbólicas

1. senh(x) =ex − e−x

2= −i sen(iθ);

2. cosh(x) =ex + e−x

2= cos(iθ);

3. cosh2(x) − senh2(x) = 1;

4. senh2(x) =1

2(cosh(2x) − 1);

5. cosh2(x) =1

2(cosh(2x) + 1);

6. senh(x) · cosh(x) =1

2senh(2x).


Integral das Funções Hiperbólicas

1.Z

senh(x) dx = cosh(x) + c ⇒ (cosh(x))′ = senh(x);

2.Z

cosh(x) dx = senh(x) + c ⇒ (senh(x))′ = cosh(x);

Cálculo de Comprimento

Cartesianas ℓ =

Z b

a

È1 + (f ′(x))2 dx;

Polares ℓ =

Z θ2

θ1

Êρ2 +

�dρ

dθ

�2

dθ;

x = f1(t)

y = f2(t)⇒Z β

α

Ê�dx

dt

�2

+

�dy

dt

�2

dt

Cálculo de Áreas

A =

Z b

a

f (x) dxZ b

a

f (y) dy

; A =1

2

Z β

αρ2dθ.

Cálculo do Volume

V = π

Z b

a

x2 dy V = π

Z b

a

y2 dx.

Integrais Indefinidas

129. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.

(a)Z

y3(2y2 − 3) dy

(b)Z �

2

x2+

3

x3+ 5

�dx

(c)Z

2 cotg2(θ) − 3 tg2(θ)dθ

(d)Z

ax4 + bx3 + 3c dx

(e)Z

dx

sen2(x)

(f)Z

cos(θ) tg(θ)dθ.

130. Calcule as seguintes integrais e, em seguida, derive para verificar sua resposta.

(a)Z

2x7 dx

(b)Z

dx

x3

(c)Z

x23 dx

(d)Z

xπ dx

(n)Z

sen(x)

cos2(x)dx

(o)Z

(4 cossec(x) · cotg(x) + 2 sec2(x)) dx

(p)Z

sec2(x)[cos3(x) + 1] dx

(q)Z

e

4x2 + 4dx


(e)Z

(3x4 − 5x3 + 4) dx

(f)Z

1

4x4 +

2

3x3 − 12x2 + 8x − 1 dx

(g)Z

6t2 3√

tdt

(h)Z

x4(5 − x2) dx

(i)Z �√

x − 1√x

�dx

(j)Z �

2

x3+

3

x2+ 5

�dx

(k)Z

2

x√

x− x 3

√x

2dx

(l)Z

y4 + 2y2 − 1√y

dy

(m)Z

(5 cos(x) − 4 sen(x)) dx

(r)Z

(3 cossec2(t) − 5 sec(t) · tg(t)) dt

(s)Z

dx

(ax)2 + a2; a 6= 0.

(t)Z 5

√x2

x34√

x dx

(u)Z

1

sen2(x)dx

(v)Z

1

cos2(x)dx

(w)Z

1 − cos2(x)

sen(x)dx

(x)Z

tg2(x)

sen(x)dx

(z)Z

cossec(x)

tg(x)dx

131. Determine a função f (x), tal queZf (x) dx = x3 +

1

3· cos(2x) + C .

132. Determine a função f (x) tal queZ

f (x) dx = x2 +1

2cos(2x) + c .

133. Encontre uma função f (x) tal que1

2f ′(x) − e2x = 0 e f (0) = 1.

134. Utilizando o método da substituição, calcule as seguintes integrais:

(a)Z

x5√

x2 − 1dx

(b)Z

sen2(x) cos(x) dx

(c)Z

tg(x) sec2(x) dx

(d)Z

6x2 sen(x3) dx

(e)Z

x2(x3 − 1)10 dx

(f)Z

(x + sec2(3x)) dx

(g)Z

arcsen(y)

2p

1 − y2dy

(h)Z

x2 + 2x√x3 + 3x2 + 1

dx

(i)Z

1

2t cos(4t2) dt

(j)Z

(tg(2x) + cotg(2x))2 dx

(k)Z

(e2x + 2)5e2x dx

(l)Z

sen(θ)dθ

[5 − cos(θ)]3

(m)Z p

1 − 4y dy

(n)Z

x2(x3 − 1)10 dx

(o)Z

6x2 sen(x3) dx

(p)Z r

1 +1

3x

dx

x2

(q)Z

(x3 − 2)1/7x2 dx

(r)Z p

x2 + 2x4 dx

(s)Z

e1/x + 2

x2dx

(t)Z

xe3x2

dx

(u)Z

cos(x)

3 − sen(x)dx

Integrais Definidas

135. Determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores deξi dados.

(a) f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3; para P =

§0,

1

2,5

4,9

4, 3

ªe ξ1 =

1

2, ξ2 = 1, ξ3 =

3

2, ξ4 =

5

2.

(b) f (x) =1

x, 1 ≤ x ≤ 3; para P =

§1,

5

3,9

4,8

3, 3

ª; e ξ1 =

5

4, ξ2 = 2, ξ3 =

5

2, ξ4 =

11

4.

(c) f (x) = x2 − x + 1, 0 ≤ x ≤ 1; para f1 = 0, 1, ξ2 = 0, 4, ξ3 = 0, 6, ξ4 = 0, 9.


136. Calcule as integrais definidas:

(a)Z 5

23 dx

(b)Z 2

−16 dx

(c)Z 2

−2

√5 dx

(d)Z −2

52 dx

(e)Z 4

1(√

2t + 3√

t)dt

(f)Z π

2

0

cos(x)

[1 + sen(x)]3dx

(g)Z 5

1

√2t − 1dt

(h)Z 1

0

xex2−1 dx

137. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:Z 2

−1x2 dx = 3,

Z 2

−1dx =

3

2,Z π

0sen(x) dx = 2,

Z 2

−1x2 dx = 3,

Z π

0cos(x) dx = 0,

Z π

0sen2(x) dx =

π

2.

(a)Z 2

−1(2x2 − 4x + 5) dx

(b)Z 2

−1

�2 − 5x +

x2

2

�dx

(c)Z −1

2(2x + 1)2 dx

(d)Z −2

−1(x − 1)(2x + 3) dx

(e)Z π

0

(2 sen(x) + 3 cos(x) + 1) dx

(f)Z π

0

(cos(x) + 4)2 dx

138. Encontre o valor médio das funções dadas abaixo, definidas em seus respectivos intervalos. Encontre,

também, o valor de x no qual ocorre o valor médio.

(a) f (x) = x2, [−1, 2], sabendo-se queZ 2

−1x2 dx = 3.

(b) f (x) = sen(x), [0, π], sabendo-se queZ π

0sen(x) dx = 2.

139. Calcule as seguintes integrais:

(a)Z 3

−14 dx

(b)Z 2

0(x3 + 3x − 1) dx

(c)Z 3

0(3x2 − 4x + 1) dx

(d)Z 6

3(x2 − 2x) dx

(e)Z 5

−2|x − 3| dx

(f)Z π

8

0sen(2x) dx

(g)Z 2

1

1

x2dx

(h)Z −1

−2

�1

x2+ x

�dx

(i)Z 1

−1e2x dx

(j)Z 4

1(5x +

√x) dx

(k)Z 1

0

1

x + 1dx

(l)Z π

4

0sec2 x dx

(m)Z 2

1(x − 2)5 dx

(n)Z 1

0

3√

5 − x dx

(o)Z 0

−1x√

x + 1 dx

(p)Z 1

0

1

(x + 1)5dx

(q)Z 1

0

x2

1 + x3dx

(r)Z 1

0

x2

(1 + x3)2dx

(s)Z π

3

0cos(2x) dx

140. Calcule a área S da figura plana limitada pela(s):

(a) reta y = 2x − 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5

(b) curva y = 10 + x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 3;

(c) curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x ;

(d) curvas y = x3 + 2x2 − 8x e y = x2 + 2x − 8;

(e) curvas y = 2 − x2 e y3 = x2;

(f) curvas y = x2 − 6x + 9 e y = −x2 + 9;


(g) curva y = x3 e a primeira bissetriz.

(h) curvas y = 3x − 3

4x2 e g(x) = 3 − 3

4x .

(i) curvas y = e−2x , y = x + 1, y = 0 e x = 1.

141. Encontre a área da região hachurada em cada caso.

(a) f (x) =2

xe g(x) = −x2 + 2x + 1; (b) f (x) = x3 e g(x) = 4x .

0

1

2

3

0 1 2 3x

y

x

y

(c) f (x) = 2x − 1 e g(x) = −x ;

x

y

1

−1


Gabarito1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. lim

x→4f (x) = 0. 8. 9. (a) 4; (b) −7; (c) 4

3 ; (d) − 15 ; (e) 7

5 ; (f) 25 ; (g) (h) (i) 3

2 ; (j) 35 ; (k) −3 (l) (m) (n) (o) 10..

(a) 12 ; (b) 1

3 ; (c) 43 ; (d) 1

6√

3; (h) −1

56 ; (i) − 13 ; (j) 1

12 ; (l) − 23√

9. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. (a) x = −3;

(b) x = −3; (c) x = −5 e x = −3. 25. (a) +∞; (b) 0; (c) −∞; (d) −5; (e) +∞; (f) 1; (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 1/2; (p) 1/3. 26. (a)y = 2; (b) y = 4. 27. (a) ; (b) (c) (d) (e) (f) . 28. (a) 20 unidades; (b) tende a produzir um número de 30 novas unidades. 29. (a) 24

unidades; (b) 600. 30. (a) 24 e 60 milhões; (b) 120 milhões. 32. (a) 32 ; (b) 10

7 ; (f) 0; (k) 0; (m) 1. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 40.41. (a) Descontínua no ponto x = −2; (b) Descontínua no conjunto {−3,−1, 1}; (c) Contínua em R; (d) Descontínua em x = 0. 46. 43.6. 44. (a) p = 14

3 ; (b) p = 1; (c) p = 2. 45. 46. 47. É descontínuo, pois limx→2

E(x) 6= E(2). 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

55. (a) 8x3 − 6x + 5 (b) −3

2x2 + 165

5√x3 +

1√

x(c) −27x8 + 30x4 + 4x3 (d)

√3(3s2 − 2s) (e)

2t8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2

(t5 − 5t)2(f)

−x3 + 3x2

ex+ ex

�1

x3− 3

x4

�(g) 2x sen(x) + x2 cos(x) − 1

x+ tg(x) (h)

cotg(θ)

[1 − sen(θ)]2[2 − 2 cossec(θ) + cos(θ)] 56. 57. 58. 59. 60. (a)

(3x5 − 1)9(−162x8 + 300x4 + 4x3); (b)(t3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t)

(t5 − 5t)6; (c) 5; (d)

7x

7x2 − 8; (e) 2xex2

; (f) −2 sen(2θ2 − 3θ + 1)(4θ − 3);

(g) 2 cos(θ)[3 cos2(θ) − 2]; (h) 0; (i)1

x + 1− 1; (j) 2 cotg(x); (k)

2x

x4 + 2x2 + 2; (l)

earcsen(θ)p1 − θ2

. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 5. 67. (a)

(f −1)′(x) = 12√

2x+6; (b) (f −1)′(x) = − 1

7 ; (c) (f −1)′(x) = 1

4 4√

x−1

3 . 68. Demonstração. 69. 70. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 129.

130. (a)x8

4+ C ; (b) − 1

2x2+ C ; (c)

3

5x

53 + C (d)

1

π + 1xπ+1 + C (e) 3

x5

5 − 5x4

4+ 4x + C ; (f)

1

20x5 +

1

6x4 − 4x3 + 4x2 − x + C (g)

9

5t

103 + C ;

(h) x5 − x7

7+C ; (i)

2

3x√

x −2√

x +C ; (j) − 1

x2− 3

x+5x +C ; (k) − 4

√x− 3x2 3

√x

14+C (l) (

2

9y4 +

4

5y2 −2)

√y +C ; (m) 5 sen(x)+4 cos(x)+C ;

(n) sec(x) + C ; (o) −4 cossec(x) + 2 tg(x) + C ; (p) sen(x) + tg(x) + C ; (q)e

4arctg(x) + C ; (r) −3 cotg(t) − 5 sec(t) + C ; (s)

1

a2· arctg(x) + C ;

(t) − 20

27x27√

x7+ C ; (u) − cotg(x) + C ; (v) tg(x) + C ; (w) − cos(x) + C . 131. f (x) = 2x2 − 2

3 sen(2x). 132. f (x) = − sen(2x) + 2x.

133. f (x) = e2x 134. (a)5

8(x2 − 1)4/5 + C ; (b)

sen3(x)

3+ C ; (c)

tg2(x)

2+ C ; (d) −2 cos3(x) + C ; (e)

(x3 − 1)11

33+ C ; (f)

1

3tg(3x) + C ; (g)

1

4arcsen(y2) + C ; (h)

2

3

√x3 + 3x2 + 1 + C ; (i)

1

16sen(4t2) + C ; (j)

1

2tg(2x) − cotg(2x) + C ; (k)

1

12(e2x + 2)6 + C ; (l)

−1

2(5 − cos(θ))2+ C .

135. (a)247

32; (b)

1469

1320; (c) 0, 835. 136. (a) 9; (b) 18; (c) 4

√5; (d) −14. 137. (a) 15; (b) 0; (c) −21; (d) − 3

2; (e) 4 + π; (f)

33π

2. 138. (a)

1 e ±1; (b)2

πe 0, 69. 139. (a) 16; (b) 8; (c) 12; (d) 36; (e)

29

2; (f)

2 −√

2

4; (g)

1

2, (h) −1; (i)

1

2(e2 − e−2); (j)

253

6; (k) ln(2); (l) 1; (m) − 1

6;

(n)45

4; (o) − 4

15; (p)

15

64; (q)

1

3ln(2); (r)

1

6; (s)

√3

4. 140. (a) 20. (b) 245

6 . (c) (d) (i) 1 − 1

2e2 . 141. (a) 53 − ln(4). (b) 8 (c) log2(e) − 1

2 77.

4, 4209 milímetros. 78. 24.000m2 79. 0, 06m3. 80. 128π cm2/s. 81. (a) 6s; (b) −17.500m3/s; (c) −10.000m3/s. 82. 1π m/h; 10πh. 83.

84. 85. 86. 87. (a) (−∞,−2] ∪ [2/3,∞) crescente; [−2, 2/3] decrescente; (b) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) crescente; [0, 1) ∪ (1, 2] decrescente; (c)(−∞,−3]∪(3,+∞) crescente; [−3, 3) decrescente; (d) (−∞,∞) decrescente; (e) (−∞,−

√2]∪[

√2,∞) crescente; [−

√2,

√2] decrescente;

(f) (−∞, 0]∪ [2, +∞) decrescente; [0, 2] crescente; (g) [−1,∞) crescente; (−∞,−1] decrescente; (h) (−∞,−2]∪ [−1, 1]∪ [2,∞) crescente;[−2,−1] ∪ [1, 2] decrescente; (i) (−∞,−1] ∪ [1,∞) decrescente; [−1.1] crescente; (j) (−∞, 0[ crescente; ]3,∞) decrescente. 88. (a) (b)(c) (d) (e) (f) (g) (h) 89. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 90. (a) ∀ a ∈ R

∗+, (b) a = − 3

2 , b = −18 e c ∈ R. xmax = −2 e xmin = 3. 91.92. 93. (a) (−2/3; f (2/3)) PI; ] − 2/3, +∞) côncava para cima; (−∞,−2/3[ côncava para baixo; (b) (−∞, 1[ côncava para baixo; ]1, +∞)

côncava para cima; (c) (−6, f (−6)) PI; (−6, +∞) côncava para cima; (−∞,−6) côncava para baixo; (d) (−∞, +∞) côncava para cima; (e)(−1 −

√3, f (−1 −

√3)) e (−1 +

√3, f (−1 +

√3)) PI; (−∞,−1 −

√3[∪] − 1 +

√3,∞) côncava para cima; ] − 1 −

√3,−1 +

√3[ côncava

para baixo; (f) (2 −√

2, f (2 −√

2)) e (2 +√

2, f (2 +√

2)) PI; (−∞, 2 −√

2[∪]2 +√

2,∞) côncava para cima; ]2 −√

2, 2 +√

2[ côncava

para baixo; (g) (−∞,∞) CVC; (h) (−p

52 , f (−

p52 )), (0, f (0)) e (

p52 , f (

p52 )) PI; (−∞,−

p52 [∪]0,

p52 [ CVB; ] −

p52 , 0[∪]

p52 ,∞)

CVC; (i) (−√

2

2, f (−

√2

2)), (0, f (0)) e (

√2

2, f (

√2

2)) PI; (−∞,−

√2

2[∪]0,

√2

2[ CVC; ] −

√2

2, 0[∪]

√2

2,∞) CVB; (j) (−∞, 0[∪]3,∞) CVC.

94. (a) (−2, 10) ponto de Máximo; (2/3, 14/27) ponto de Mínimo; (b) (0, 0) ponto de Máximo; (2, 4) ponto de Mínimo; (c) (−3, 1/2) ponto deMínimo; (d) 6 ∃; (e) (−

√2, e−

√2(2+2

√2) ponto de Máximo; (+

√2, e

√2(2−2

√2)) ponto de Mínimo; (f) (0, 0) ponto de Mínimo; (2, 4/e2) ponto

de Máximo; (g) (−1,−3) ponto de Mínimo; (h) (−2,−22/3) e (1, 22/3) pontos de Máximo; (−1,−44/3) e (2, 125/3) pontos de Mínimo; (i)(−1,−2) ponto de Mínimo; (1, 2) ponto de Máximo; (j) 6 ∃ 95. 96. 97. 98. 99. 102. 103. x = 5

3 cm. 104. 88, 33 + 24 × 150, 62 + 45. 105.

A 8√

55 mi do ponto A. 106. A 7, 9 mi da perpendicular da cidade B . 107. (a) x =

v2m

32(1 + m2); (b) m = 1 (c) m =

v2

32x. 108. (a) x = 2

3 B ; (b)

x = 13 B . 109. 10 × 10 × 20. 110. r = 2, h = 4. 111. (d) 8 cm. 112. diretamente de A a C . 113. 16.875 m2. 114. 140 lugares e R$1.568, 00

o lucro bruto diário. 115. a =40

√3

3; b = 10

√3. 119. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. h = r = 20

3√π. 124. h = r = 3

p5π . 125.

126. 127.


lista de calculo (completa)

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