Lista de Algebra Linear - Prof. Edson Iwaki

1. Quais dos subconjuntos sao R−subespacos vetoriais? Ache uma basepara os que forem.

(a) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0} ⊆ R3

(b) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0} ⊆ R3

(c) S = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y = 0} ⊆ R3

(d) S = {A ∈M2(R) | A2 = A} ⊆M2(R)

(e) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a22 = 0} ⊆ Rn

(f) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a1a2 = 0} ⊆ Rn

(g) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn | a1 ∈ Q} ⊆ Rn

2. Seja V = F (R) o espaco vetorial das funcoes de R em R. Quais dosseguintes subconjuntos de V sao subespacos de V ?

(a) {f ∈ V | f(x2) = f(x)2}

(b) {f ∈ V | f(0) = f(1)}

(c) {f ∈ V | f e derivavel}

3. Mostre que A = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 1, 1), (−1,−1, 1)} sub-conjuntos de R3, geram o mesmo subespaco vetorial de R3.

4. Quais dos subconjuntos abaixo sao LI em P2(R)?

(a) {1 + x, 1− x, x2, 1}

(b) {x− x2, x2 − x}

(c) {1, 1− x, 1− x2}

5. Seja S o subespaco de R5 gerado porA = {1, 1, 0, 0, 1); (1, 1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 1, 1); (2, 1,−1, 0, 1)}.Ache uma base para S.

6. Seja {cos(x), sen(x), sen(x + π3)} ⊆ C(R), onde C(R) = {f : R → R |

f e funcao contınua}. Tal conjunto e LI ou LD em C(R)?

7. Sejam U,W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V sobre umcorpo K. Prove que U ∪W e um subespaco vetorial de V se e somentese U ⊂ W ou W ⊂ U .

2

8. Sejam V = Mn(R), U = {A ∈ V | At = A} e W = {B ∈ V | Bt =−B}. Prove que U e W sao subespacos de V e que V = U ⊕W . Ae denotado o conjunto das matrizes simetricas de V e B e o conjuntodas matrizes anti-simetricas de V .

9. Sejam V = F (R), U = {f ∈ V | f(x) = f(−x),∀x ∈ R} e W = {f ∈V | f(−x) = −f(x),∀x ∈ R}. Prove que U e W sao subespacos de Ve que V = U ⊕W . U e denotado o conjunto das funcoes pares de V eW e o conjunto das funcoes ımpares de V .

10. Encontre tres vetores em R3 que sejam LD, mas que sejam 2 a 2 sejamLI.

11. Sejam V = M2(R),W1 =

{(x −xy z

)| x, y, z ∈ R

}eW2 =

{(x y−x z

)| x, y, z ∈ R

}Ache uma base de cada um dos subespacos W1,W2,W1∩W2,W1 +W2.

12. Sejam V = M2(C),W =

{(a11 a12

a21 a22

)| a11 + a22 = 0

}(a) Mostre que W e um R−espaco vetorial.

(b) Ache uma base desse espaco vetorial.

(c) Seja W ’ = {A ∈ W | a21 = −a12}. Prove que W ’ e um subespacovetorial e determine uma base de W ’.

13. Seja W o subespaco de C3 gerado por v1 = (1, 0, i), v2 = (1 + i, 1,−1).Mostre que:

(a) Mostre que {v1, v2} e uma base de W .

(b) Se w1 = (1, 1, 0) e w2 = (1, i, 1 + i) entao w1, w2 ∈ W e {w1, w2}e outra base de W .

14. Seja V = p(t) ∈ Pn(R) | p(0) = 0 = p′(0)}. Mostre que V e umsubespaco vetorial de Pn(R) e ache uma base e a dimensao de V .

15. Sejam V = Mn(C) e W = {A ∈ Mn(C) | tr(A) = 0}. Prove que W eum subespaco de V e ache uma base e a dimensao de W .(Obs.: Se A = (aij ∈Mn(C), tr(A) =

∑ni=1 aii).

16. Seja V = F (R,C) o conjunto de todas as funcoes de R em C. Sejamf1(x) = 1, f2(x) = eix = cos(x) + isen(x), f3(x) = e−ix.

(a) Prove que {f1, f2, f3} e LI sobre C.

3

(b) Se g1(x) = 1, g2(x) = cos(x), g3(x) = sen(x), determine uma ma-triz inversıvel P = (pij), 1 ≤ i, j ≤ 3 tal que gj =

∑3i=1 pijfi.

17. Seja T : R3 → R definida por T (x, y, z) = x + 3y − 2z linear. Acheuma base do Ker(T ) e de Im(T ).

18. Ache o kernel e a imagem das seguintes transformacoes lineares:

(a) T : R2 → R3, T (x, y) = (x− y, y, x+ y).

(b) T : R4 → R2, T (x, y, z, t) = (x+ y + 2z,−x+ 2t).

(c) D : Pn(R)→ Pn(R), Df = f ′.

19. Existe uma transformacao linear T : R3 → R2 tal que T (1,−1, 1) =(1, 0) e T (1, 1, 1) = (0, 1)?

20. Ache uma aplicacao linear T : R4 → R4 tal queKer(T ) = [(1, 0, 1, 0); (−1, 0, 0, 1)].

21. Ache uma aplicacao linear T : R4 → R4 tal que Im(T ) = [(1,−1, 0, 2); (0, 1,−1, 0)].

22. Seja T : C3 → C3 tal que: T (x, y, z) = (x−y+2z, 2x+y,−x−2y+2z).

(a) Mostre que T e linear.

(b) Seja (a, b, c) ∈ C3. Que condicoes temos que ter em a, b, c paraque (a, b, c) ∈ Im(T )? Qual e o posto de T (i.e., dim Im(T )) ?

(c) Qual e o Ker(T )?

23. Seja A ∈ Mn(K) fixada e T : Mn(K) → Mn(K) dada por T (X) =AX −XA. Mostre que T e linear.

24. Seja V um K−espaco vetorial e T : V → V um operador linear. Proveque sao equivalentes:

(a) Ker(T ) ∩ Im(T ) = {0}.(b) Se T (Tv) = 0 entao Tv = 0.

25. Seja V um K−espaco vetorial de dimensao finita n e seja T um oper-ador linear em V tal que Im(T ) = Ker(T ). Prove que n e par. De umexemplo de tal operador linear.

26. Sejam T : R3 → R2 e S : R2 → R3 transformacoes lineares. Provar queST nao e inversıvel.

4

27. Seja T : C2 → C2 dado por T (x, y) = (x, 0). Sejam B = {e1, e2} basecanonica de C2, e B′ = {(1, i), (−i, 2)} outra base de C2. Determine[T ]B,B′ , [T ]B′,B, [T ]B, [T ]B′ .

28. Seja T : R3 → R3 tal que [T ]can =

1 2 10 1 1−1 3 4

. Ache uma base de

Im(T ) e uma base de Ker(T ).

29. Seja T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (3x+ z,−2x+ y,−x+ 2y+4z).

(a) ache [T ]can.

(b) ache [T ]B, onde B = {(1, 0, 1); (−1, 2, 1); (2, 1, 1)}.(c) Prove que T e inversıvel e determine T−1.

30. Sejam V um K−espaco vetorial e T ∈ L(V ). Suponha que existe umh ∈ K[x] tal que h(T ) = 0 e com termo constante de h nao-nulo.Mostre que T e inversıvel. Qual e o inverso de T?

31. Sejam A =

(A1 00 A2

), onde A1 e A2 sao matrizes quadradas com

entradas em um corpo K. Mostre que o polinomio caracterıstico de Ae o produto dos polinomios caracterısticos de A1 e A2.

32. Sejam A =

(A1 00 A2

), onde A1 e A2 sao matrizes quadradas com

entradas em um corpo K. Mostre que o polinomio minimal de A eigual ao mınimo multiplo comum entre os polinomios minimais de A1

e A2, (i.e, mA = mmc(mA1 ,mA2).

33. Verifique se as matrizes abaixo sao ou nao diagonalizaveis, se consider-adas como matrizes reais e como matrizes complexas : (Ache pA e mA

em cada caso:)

(a) A =

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

(b) A =

0 0 0 −11 0 0 −20 1 0 −20 0 1 −2

5

(c) A =

2 0 0 01 2 0 00 1 2 00 0 0 5

34. Seja A =

(1 23 4

). Calcule An, onde n e um inteiro positivo qualquer.

35. Seja T ∈ L(R3) tal que [T ]can =

−9 4 4−8 3 4−16 8 7

. Verifique que T e

diagonalizavel e determine uma base do R3 formada por autovetores deT .

36. Seja V um K−espaco vetorial de dimensao finita e seja T um operadorlinear em V tal que posto(T ) = dimIm(T ) = 1. Mostre que T ediagonalizavel ou T e nilpotente. (Definicao: T ∈ L(V ) e nilpotente seexistir um inteiro positivo m tal que Tm = 0.)

37. Seja A ∈ Mn(R), A = (aij) tal que aij = a,∀i, j = 1, 2, · · · , n. Deter-mine o polinomio minimal de A e prove que A e diagonalizavel.

38. Seja A =

0 7 −6−1 4 00 2 −2

. Determine o polinomio caracterıstico de A7.

39. Ache uma matriz 3× 3 cujo polinomio minimal e x2.

40. Seja T ∈ L(R4) tal que [T ]can =

1 0 0 0a 1 0 0b d 2 0c e f 2

. Determine mT , o

polinomio minimal de T . Determine condicoes sobre a, b, c, d, e, f paraque T seja diagonalizavel.

41. Seja A =

2 0 1a 0 a− 1−a a 1

.

(a) Para quais valores de a, a matriz A e diagonalizavel?

(b) Nos casos em que A e diagonalizavel, ache uma matriz P tal queP−1AP seja diagonal.

6

42. Seja V = C(R) = {f : R → R | f e funcao contınua}. ConsidereT ∈ L(V ) definido por Tf(x) =

∫ x0f(t)dt. Prove que T nao admite

autovetores.

43. Sejam V um K−espaco vetorial de dimensao finita n e T ∈ L(V ) talque T e nilpotente. Prove que o polinomio caracterıstico de T e xn.

44. Seja A ∈Mn(K) fixa e T : Mn(K)→Mn(K) o operador linear definidopor T (X) = AX.

(a) Prove que mA = mT .

(b) Conclua que T e diagonalizavel se e somente se, A e diagonalizavel.

45. Sejam V um K−espaco vetorial de dimensao finita e T ∈ L(V ) tal queT 2 = I. T e diagonalizavel? Justifique sua resposta.

46. Sejam V um K−espaco vetorial de dimensao finita e T ∈ L(V ) tal queT 2 = T . T e diagonalizavel? Justifique sua resposta.

47. Seja T : Mn(K) → Mn(K) o operador linear definido por T (A) = At,onde At indica a matriz transposta de A. Mostre que T e diagonalizavel.(Observe que este exercıcio e um caso particular do Ex. 45.)

48. Sejam A =

1 1 10 2 10 0 1

e B =

1 0 00 2 20 0 1

. Prove que pA = pB, mas

mA 6= mB ( portanto, A e B nao sao semelhantes). De exemplo deduas matrizes A e B que tem o mesmo polinomio minimal, mas seuspolinomios caracterısticos sao distintos.

49. Mostre que nao existe A ∈M3(R) tal que A2 + I = 0.

50. Seja T ∈ L(R3) tal que [T ]B′ =

−14 6 12−14 4 14−11 6 9

, onde

B′ = {(−7, 13, 2); (3,−5,−1); (5,−10,−1)}. T e diagonalizavel? Emcaso afirmativo, determine uma base B” de R3 tal que [T ]B” seja diag-onal.

51. (a) Sejam A,B ∈Mn(K), K corpo. Mostre que tr(AB) = tr(BA).

(b) Sejam A,B ∈ Mn(K) tais que A e B sao semelhantes. Verifiqueque tr(A) = tr(B).

7

52. Sejam A,B ∈Mn(C). E possıvel ter-se que AB −BA = I?

53. Seja A ∈Mm×n(R). Mostre que A = 0 se e somente se, tr(AtA) = 0.

54. Sejam α1 = (1, 0,−1, 2) e (2, 3, 1, 1) ∈ R4. Considere W = [α1, α2].Determine W 0.

55. Seja B =

(−2 2−1 1

)∈M2(R) e considere W = {A ∈M2(R) | AB = 0}.

Seja f ∈ W 0 e suponha que f(I2) = 0 e f

(0 00 1

)= 3. Calcule f(B).

56. Seja W um subespaco proprio de um espaco V de dimensao finita. Con-sidere f ∈ W ∗. Mostre que existe g ∈ V ∗ tal que g(w) = f(w), ∀w ∈ W .

57. Sejam V um espaco vetorial e f ∈ V ∗, com f 6= 0; mostre que existev0 ∈ V, v0 6= 0 tal que V = Ker(f) + [v0].

58. Pelo exercıcio 51b, matrizes semelhantes possuem o mesmo traco. As-sim, podemos definir o traco de um operador linear sobre um espacovetorial de dimensao finita, como sendo o traco de qualquer matriz querepresente tal operador, relativamente a uma base ordenada.

Seja A ∈ M2(K) fixada. Considere o operador T definido em M2(K)por T (X) = AX, ∀X ∈M2(K). Mostre que tr(T ) = 2tr(A). E possıvelgeneralizar? Como?(Dica: Use a base canonica de M2(K) para escrever a matriz de T ).

59. Sejam V = Mn(C) e f ∈ V ∗ tal que f(AB) = f(BA),∀A,B ∈ V .Mostre que f e um multiplo da funcao traco.(Dica: Considere a base canonica de V = {Eij | 1 ≤ i, j ≤ n}. Mostreprimeiro que f(Eij) = 0, se i 6= j e depois que f(Eii) = c ∈ C,∀i =1, 2, · · · , n.)

60. Sejam B ∈ Mn(K) e fB : Mn(K) → K, dada por fB(A) = tr(BtA).Mostre que fB ∈ (Mn(K))∗.

61. (a) Sejam f ∈ (Mn(K))∗. Mostre que existe uma matriz B ∈Mn(K)tal que f(A) = tr(BtA),∀A (i.e. f(A) = fB(A),∀A).

(b) Seja T : Mn(K) → (Mn(K))∗ que a cada B associa o funcionallinear fB. Mostre que T e um isomorfismo.

62. Seja K corpo e f ∈ (K2)∗ dado por f(x, y) = ax + by, onde a, b ∈ K.Para cada T : K2 → K2, abaixo, considere g = T tf. Determine g(x, y).

8

(a) T (x, y) = (x, 0);

(b) T (x, y) = (−y, x);

(c) T (x, y) = (x− y, x+ y)

63. Sejam V um K−espaco vetorial de dimensao finita e T ∈ L(V ). Sejac ∈ K e suponha que exista um v ∈ V, v 6 0 tal que Tv = cv. Mostreque existe f ∈ V ∗, f 6= 0 tal que T tf = cf .

64. Seja V espaco das funcoes polinomiais sobre R. Considere f ∈ V ∗

dado por f(p(x)) =∫ bap(x)dx, onde a, b ∈ R(a 6= b). Se D e o operador

diferenciacao de V , determine Dtf .

65. Sejam V = {a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n}. e D o

operador diferenciacao em V . Ache uma base de KerDt.

66. Seja V um K−espaco vetorial e W1,W2 subespacos vetoriais de V .

(a) Mostre que (W1 +W2)0 = W 0

1 ∩W 02 .

(b) Mostre que se W1 ⊂ W2 entao W 02 ⊂ W 0

1 .

(c) Mostre que W 01 +W 0

2 ⊂ (W1 ∩W2)0.

(d) Suponha que dimKV <∞. Mostre que (W1 ∩W2)0 = W 0

1 +W 02 .

67. Sejam v1 = (1, 0, 1); v2 = (0, 1,−2); v3 = (−1, 1, 0) em R3.

(a) Seja f ∈ (R3)∗ tal que f(v1) = 0; f(v2) = −1; f(v3) = 3. Sev = (x, y, z) ∈ R3, determine f(v).

(b) Descreva explicitamente f ∈ (R3)∗ tal que f(v1) = 0; f(v2) = 0mas f(v3) 6= 0.

(c) Nas condicoes do ıtem anterior, se v = (2, 3,−1), mostre quef(v) 6= 0.

68. Seja B = {(1, 0,−1); (1, 1, 1); (2, 2, 0)} uma base de C3 sobre C. AcheB∗ a base dual de B.

69. Seja V = P2(R), que e um R−espaco vetorial. Em V estao definidos

os funcionais lineares f1(p) =∫ 1

0p(x)dx,

∫ 2

0p(x)dx, f3(p) =

∫ −1

0p(x)dx.

Prove que {f1, f2, f3} e uma base de V ∗.

70. Seja f : Mn(R) → R um funcional linear tal que f(AB) = f(BA),para toda A,B ∈Mn(R). Prove que f e um multiplo escalar da funcaotraco.

9

71. Sejam V um K−espaco vetorial e f, g ∈ V ∗ tais que g(v) = 0 implicaf(v) = 0 para todo v ∈ V . Mostre que f = cg para algum c ∈ K.

72. Sejam V um K−espaco vetorial de dimensao finita n; c1, c2, · · · , cnescalares arbitrarios em K e g1, g2, · · · , gn funcionais lineares de V lin-earmente independentes. Prove que existe um unico v ∈ V tal quegi(v) = ci, i = 1, 2, · · · , n.

73. Seja V = Mn(K) e ∀A,B ∈ V (K = R ou C). Defina: < A,B >=tr(AB∗).

(a) Mostre que <,> e um produto interno sobre V . (Obs: DadaB = (bij) ∈Mn(C), B∗ = (b∗ij), onde bij = bji.).

(b) Mostre que < A,B >=∑n

i,j=1 aijbij, onde A = (aij), B = (bji).

74. Sejam V,W espacos vetoriais e <,>W um produto interno sobre W .Seja T ∈ L(V,W ) com T injetiva. Defina: < u, v >V :=< Tu, Tv >W

,∀u, v ∈ V . Mostre que <,>V e um produto interno sobre V .

75. Sejam V = R2 e u = (x1, x2) e v = (y1, y2) e < u, v >= x1y1 − 3x1y2 −3x2y1 + 5x2y2. Verifique que <,> nao define um produto interno sobreR2.

76. Seja V um K-espaco vetorial (K = R ou C) com produto interno <,>.Dados u, u′ ∈ V tais que < u, v >=< u′, v >, ∀v ∈ V , entao u = u′.

77. Seja V um K-espaco vetorial (K = R ou C) com produto interno <,>.Considere W ⊂ V subespaco vetorial de V . Mostre que W ∩W⊥ = (0).

78. Seja V = C([0, 1],R) = {f : [0, 1] → R | f e contınua } e defina

< f, g >=∫ 1

0f(t)g(t)dt,∀f, g ∈ V . Mostre que <,> define um produto

interno sobre V .

79. Seja V um K-espaco vetorial (K = R ou C) com produto interno <,>.Mostre que vale a lei do paralelogramo. ||u+v||2 + ||u−v||2 = 2||u||2 +2||v||2.

80. Seja V um K-espaco vetorial (K = R ou C) com produto interno <,>.Mostre que:

(a) Se K = R, < u, v >= 0 se e somente se ||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2.(b) Verifique o ıtem anterior e falso, se K = C.

10

(c) Se K = C, < u, v >= 0 se e somente se ||au+bv||2 = ||au||2+||bv||2,∀a, b ∈ C.

(d) Se K = R e se ||u|| = ||v|| entao u + v e u − v sao ortogonais.Discuta essa afirmacao para o caso em que K = C.

81. Considere C3 com o produto interno canonico. Ache uma base ortonor-mal para o subespaco gerado por (1, 0, i) e (2, 1, 1 + i).

82. Seja V = Mn(C) com o produto interno < A,B >= tr(AB∗), ∀A,B ∈V . Considere W o subespaco de V formado pelas matrizes diagonais.Determine W⊥. (Obs: Dada B = (bij) ∈ Mn(C), B∗ = (b∗ij), onde

b∗ij = bji.).

83. Seja V um K-espaco vetorial com produto interno <,>. Sejam A,Wsubespacos de V tais que A ⊂ W⊥ e W +A = V . Mostre que W⊥ = A.

84. Seja V = C([−1, 1],R) = {f : [−1, 1] → R | f e contınua } com o

produto interno < f, g >=∫ 1

−1f(t)g(t)dt. Seja W = {f ∈ V | f(−t) =

f(t),∀t ∈ [−1, 1]}= espaco das funcoes pares de V . Ache W⊥. (Dica:Mostre que A = {f ∈ V | f(−t) = −f(t)}=espaco das funcoes ımparese tal que A ⊂ W⊥. A seguir mostre que V = A+W e conclua daı queA = W⊥).

85. Seja V um K-espaco vetorial com produto interno. Entao

|| < u, v > || ≤ ||u||||v||,∀u, v ∈ V.

A igualdade vale se, e somente se {u, v} e L.D.

86. Seja V espaco vetorial real de dimensao ımpar n. Seja T : V → V umoperador linear.

(a) Mostre que T possui pelo menos um autovalor real.

(b) Mostre que se det(T ) > 0 (respectivamente, det(T ) < 0) entao Tpossui pelo menos um autovalor positivo (respectivamente, nega-tivo).

87. Seja V um espaco vetorial com base {vi}i∈I . Para cada i ∈ I, seja fio funcional linear de V definido for fi(vi) = 1 e fi(vj) = 0 se j 6= i.Mostre que F = {fi}i∈I e linearmente independente. Mostre que Fgera V ∗ se e somente se I e um conjunto finito.