Doğru ya da yanlış kesin yargı bildiren cümlelere önerme denir.Önermeler p,q,r,...vs gibi harflerle ifade edilir. Önermenin doğruluk değerini de D-(1) veya Y-(0) ile gösteririz.

1. Önermeler ve Mantık işlemleri

MANTIK

Önerme P P

DOĞRU D 1

YANLIŞ Y 0

"2+2 = 4" cümlesi bir önermedir.Çünkü bu cümle doğru da olabilir yanlışta .Bu önerme doğru olduğu için doğruluk değeri 1 olur.

"1 = 0" cümlesi de bir önermedir. Fakat yanlış bir önermedir. doğruluk değeri 0 olur.

" Yarın yağmur yağacak." cümlesi de bir önermedir. Doğruluk değeri için yarını beklemek gerekecektir.

"Aşağıdaki soruyu çözün. " cümlesi bir önerme değildir.Doğru veya yanlış bir yargı belirtmiyor.

"Günaydın arkadaşlar! " cümlesi de bir yargı belirtmez.(Hatta bir cümle bile değildir.)

Uyarı: Soru,istek,emir cümleleri önerme olmazlar.

Örnek Yalancı Paradoksu"Ben her zaman yalan atarım . " bizi kör kuyuya atar.Eğer her zaman yalan atıyorsa şimdi doğru söylüyordur.Çelişki olur.Yok eğer yalan atıyorsa zaten bu sözü de yalandır.

Ünlü bir paradoks daha vardır:Epiktetos Giritli idi ve derdi ki: " Bütün Giritliler yalancıdır. " .Hadi uğraşın durun bakalım kim yalancı kim değil...

Bu tür cümlelerde bir kısır döngü mevcuttur.Bu paradoksal ifadeler önerme değillerdir.

Eski önermelerden yenilerini yapmanın çeşitli yolları vardır.Örneğin ,p:" 3 doğal bir sayıdır. " önermesini ele alalım.p önermesinin olumsuzu (değili) " 3 doğal bir sayı değildir. " olur.P nin değilini ~p , p’ ya da ¯p ile gösteririz.Bunun anlamı da; eğer p doğru ise ,~p yanlış, yok eğer p yanlış ise ~p doğrudur

Doğruluk tablosunda gösterim:

p ~p

1 0

0 1

Sol tarafta p nin iki olası doğruluk değeri ,sağ tarafta ise ~p nin değerleri görülmektedir. ~ bir mantık işlemidir. UYARI:Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.~(~p) ≡ p

p, q, r, s ... gibi harflerin önermeleri belirttiğini söylemiştik (neden p ile başlıyor???). Önermenin göstergesi veya kodu olan bu harfler daima en başa yazılmalıdır. Örneğin;

p: "Ay dünyanın etrafında döner." okurken de

p önermesi "Ay dünyanın etrafında döner." cümlesidir ,deriz

Örnek 3 p: "2+2 = 4" ise ~p nedir? Çözüm~p: "2+2 ≠ 4." Dikkat edersek... ~p yanlış bir önerme olduğunda ,p önermesi doğru bir önermedir.

Örnek 4 p: "1 = 0" ise ~p nedir? Çözüm~p: "1 ≠ 0." DİKKAT DİKKAT ... Burada ~p önermesi doğru ,p önermesi yanlıştır.Genelde düşülen hata ; ~p önermesinin daima yanlış olduğunun düşünülmesidir. ~p, sadece p önermesinin değildir .Aman Dikkat...

Örnek 5 p: " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet fethetti." ~p nedir?.

Çözüm~p : " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet fethetmedi."

Örnek 6

p: ”Bu şehirdeki bütün politikacılar dolandırıcıdır." ise ~p nedir? Çözüm ~p: "Bu şehirdeki bütün politikacılar dolandırıcı değildir." veya "Bu şehirde en azından bir politikacı dolandırıcı değildir."

Bir Dakika Lütfen ...

Dikkat edersek ~p önermesi için

"Bu şehirdeki hiç bir politikacı dolandırıcı değildir." tarzında bir ifade yanlış olurdu. Gelecek konularda da

değineceğimiz gibi,bütün(her)kelimesinin olumsuzu

bazı(en az bir)olur.

p q∧

Eski önermelerden yeni bir önerme yapmanın bir metodu da önermeleri birleştirmektir.İki ya da daha fazla önermenin bileşmesinden oluşan önermelere bileşik önerme denir. Örneğin;p:"Ben akıllıyım " ve q:"Sen kuvvetlisin" önermelerini bileşik önerme olarak yazarsak;:"Ben akıllıyım ve sen kuvvetlisin”.Yeni önerme şeklinde gösterilir." p ve q ”şeklinde okunur. ve işlemi sembolü ile gösterilir. nin doğru olabilmesi için her ikisinin de doğru olması gerekir.Ahmet ve Mehmet gelsin örneği...

p q∧∧ p q∧

Ve İşlemi Doğruluk Tablosu Ve li bileşik önermelerin doğruluk tablosu:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

∧

Örnek 7 p: " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları oluşturur. " ve q: "2+3 = 5" ise ? Çözüm : " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları oluşturur ve 2+3 = 5" Dikkat Dikkat... İki önermelerden herhangi bir tanesi yanlış ise

bileşik önermesi yanlıştır. Burada"Ve işlemi" çarpma işlemi gibi düşünülebilir; 1.0=0 , 0.0=0 vs...

p q∧

p q∧

p q∧

Örnek 8 p : "Bu ünite sıkıcıdır." q : ”Mantık konusu sıkıcı bir konudur. " önermeleri verilsin. ”Mantık konusu sıkıcı bir konu olmakla birlikte bu ünite sıkıcı değildir." önermesini mantık işlemleri ile nasıl ifade ederiz. Çözüm ”Mantık konusu sıkıcı bir konudur." ifadesi q ile aynıdır.Bununla beraber anlamına "olmakla birlikte" " ifadesi bize ve bağlacını kullandırtır. "Bu ünite sıkıcı değildir." ise (~p) olur.Sonuç olarak, q (~p) bileşik önermesi elde edilmiş olur.

∧

Örnek 9 p ile q herhangi iki önermedir.~p ∧q ≡ 1 ise p,q,~q önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.

Çözüm~p ∧q = 1 ise ~p ≡ 1 ve q ≡ 1 olur.

Buradan p ≡ 0 ve ~q ≡ 0 olur.

O halde , p ≡ 0, q ≡ 1 , ~q ≡ 0 olur.

‘Veya’ işlemi ; p:"Ben akıllıyım " ve q:"Sen kuvvetlisin" önermelerini bir kere daha verelim.Veya bileşik önermesi olarak yazarsak; "Ben akıllıyım veya sen kuvvetlisin”.

Yeni önerme sembolik olarak şeklinde yazılır ve "p veya q." diye okunur. durumunda doğruluk için ; p doğru olmalı ya da q doğru olmalı ya da her ikisi de doğru olmalıdır. Ahmet veya Mehmet gelsin örneği...

p q∨

p q∨

Veya İşlemi Doğruluk Tablosu bileşik önermesinin doğruluk tablosu :p q∨

p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p q∨

Örnek 10p: " Ömer 3.problemi çözdü. " q: " Osman 3.problemi çözdü. " önermesini yazınız? Çözüm : " Ömer 3.problemi çözdü veya Osman 3.problemi çözdü. " DİKKAT DİKKAT... Burada her ikiside problemi çözebilir.Fakat bir tanesinin çözmesi ile problem çözülmüş olur.Veya lı işlemler toplama işlemi gibi düşünülebilir; 1+0=1 , 0+0=0, 1+1=1(!)...

p q∨

p q∨

Örnek 11 p: " 32 + 42 = 52 dir." q: " 8 < 5 tir " ve r: " 4 - 5 = 1 " ise(p∨q)∧r’ bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.Çözüm p: " 32 + 42 = 52 dir. " için p ≡ 1.q: " 8 < 5 tir " için q ≡ 0.ve r: " 4 - 5 = 1 " için r ≡ 0.(p∨q)∧r’ ≡ (1 ∨ 0) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1 olur.

Örnek 12p∨(~q)önermesi yanlış bir önermedir.

a.) p , ~p , q , ~q önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

b.) ((~p) ∨ q) ∧ (p ∧ q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözümp∨(~q)önermesi yanlış bir önerme ise bu durum sadece iki önermenin yanlışlığında gerçeklendiğini biliyoruz.O halde; p≡0 ,~q ≡ 0 olur.

a)p ≡ 0,~p ≡ 1,q ≡ 1,~q ≡ 0 bulunur.

b) ((~p) ∨ q) ∧ (p ∧ q) =(1 ∨ 1) ∧ (0 ∧ 1)=1 ∧ 0 =0 olur.

∧

Özet: Olumsuz, Veya İşlemi, Ve İşlemi

p ~p

1 0

0 1

p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

Semboller Doğruluk Tablosu

İfade

Olumsuz ~p p değil

Veya p veya q

Ve p ve q

p q ∨

p q ∧

p q ∨p q ∧