ELEKTRONIKUS ÁRAMKÖRÖK

2002 év

Lineáris áramkörök ................................................................................................. 3 Áramköri elemek:................................................................................................ 3 Passzív áramköri elemek: .................................................................................... 3

Aktív áramköri elemek: ........................................................................................... 6 Az áramköri elemek kapcsolása. ............................................................................. 9

Lineáris hálózatok számítási módszerei ............................................................ 10 Egyenáramú hálózatok .......................................................................................... 11

Ellenállás hálózatok, egyenáramú (feszültségű) gerjesztése ............................. 11 Ellenállások kapcsolása, eredő számítása. ........................................................ 12 Ellenállások párhuzamos kapcsolása................................................................. 12 Ellenállások soros kapcsolása. .......................................................................... 16 Hálózat számítási módszerek ............................................................................ 19 Nevezetes ellenállás hálózatok és törvények ..................................................... 19 Valóságos generátorok. ..................................................................................... 19 A feszültségosztó és áramosztó gyakorlati alkalmazása, mérések .................... 26 Szimulációs mérés. ............................................................................................ 26 Feszültségmérés ................................................................................................ 27 Árammérés ........................................................................................................ 29 Áramkörök átalakítása ...................................................................................... 30 Delta-csillag átalakítás („Δ-Y”) ........................................................................ 30 Csillag-delta átalakítás („Y- Δ”) ....................................................................... 32 Állandó póluspotenciálú valóságos generátorok összekapcsolása, eredő

generátorok meghatározása. .............................................................................. 34 Egyenfeszültségű feszültséggenerátorok összekapcsolása: ............................... 34 Szuperpozíció-tétele: ......................................................................................... 35 Thevenin, Norton tétel. ..................................................................................... 36 Thevenin tétel: ................................................................................................... 37 Norton tétel: ...................................................................................................... 39 Thevenin – Norton, Norton – Thevenin átalakítások ........................................ 40 A tételek összekapcsolása. ................................................................................ 41 Kétpólus és négypólus ....................................................................................... 42

Komplex számsík alkalmazása impedancia számításra. ................................ 46 Komplex számsík alkalmazása admittancia számításra. ............................... 48

Négypólus paraméterek ..................................................................................... 52 Impedancia (ZXY) paraméterek ...................................................................... 52 Impedancia paraméterekkel meghatározott négypólus .................................. 58 Admittancia (YXY) paraméterek .................................................................... 59 Hibrid (HXY) paraméterek ............................................................................. 65

Írta és szerkesztette: Zimmermann József

villamosmérnök

informatikus, tanár

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

2

További négypólus paraméterek ....................................................................... 69 Inverz hibrid paraméter. ................................................................................ 69 A lánc paraméter ........................................................................................... 70 Inverz lánc paraméterek ................................................................................ 70 Az L paraméter.............................................................................................. 70 Az S paraméter .............................................................................................. 70

Négypólusok összekapcsolása .......................................................................... 71 Soros-soros kapcsolás ................................................................................... 71 Párhuzamos-párhuzamos kapcsolás .............................................................. 71 Soros-párhuzamos kapcsolás ........................................................................ 72 Párhuzamos-soros kapcsolás ......................................................................... 72 Kaszkád (lánc) kapcsolás .............................................................................. 72

Négypólus paraméterek egymás közötti átszámítása ........................................ 73 Passzív áramköri elemek váltakozó áramú viselkedése ........................................ 75 Számítási módszerek, egyszerűsítések .................................................................. 78

Replusz művelet ................................................................................................ 79 Egységválasztás ................................................................................................ 79 Dualitás ............................................................................................................. 84 Aktív jellemzők logaritmikus egységei ............................................................. 87 Relatív és abszolút szint. ................................................................................... 92 A frekvencia logaritmikus egységei .................................................................. 94 Hálózatfüggvények gyors ábrázolása, Bode diagram ....................................... 96 Reaktáns kétpólusok ....................................................................................... 110 A veszteséges reaktáns kétpólus ..................................................................... 114

A kondenzátor ............................................................................................. 114 A tekercs ..................................................................................................... 117

Veszteséges reaktáns kétpólusok összekapcsolása .......................................... 119 A soros kapcsolású veszteséges LC rezgőkör ............................................. 120 A rezgőkör rezonancia feszültsége .............................................................. 127 A párhuzamos kapcsolású veszteséges LC rezgőkőr .................................. 129 A párhuzamos rezgőkör soros veszteségi ellenállása .................................. 134

Folytatás az Elektronikus áramkörök_1-ben ....................................................... 138

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

3

Lineáris áramkörök

Áramköri elemek:

Ha a lineáris áramkörök fogalom összetételét kívánjuk meghatározni, először át

kell tekinteni azokat az áramköri elemeket, amelyekből a szóbanforgó hálózatok

felépülnek. A továbbiakban U/t/ egy kapocspáron lévő feszültséget, I/t/ az ezen

kapocspáron átfolyó áram időfüggvényét jelöli. A feszültség ás az áram t időfügg-

vényben állandó amplitúdójú akkor egyenfeszültségről, és egyenáramról, ha amp-

litúdója nem állandó, de periodikusan ismétli önmagát akkor váltakozó áramról, és

feszültségről beszélünk.

Lineáris egy hálózat, ha a hálózatban lévő elemek jellemzői (értékei), a hálózat

működése folyamán nem változnak.

Passzív áramköri elemek:

Passzívak azok az elemek, amelyek nem képesek teljesítmény tartós leadására és

helyettesítő kapcsolása nem tartalmaz feszültség vagy áramgenerátort.

Az ellenállás: azaz áramköri elem melyre az ábra mérőirányát felvéve fenn-

állnak a következő egyenletek,

)()( tiRtu Illetve )()( tuGti

ahol R ellenállást , G a vezetést jelenti. A két mennyiség közötti kapcsolat

GR

1 vel egyenlő.

Áramkörökben az

ellenállást és a veze-

tést azonos jellel

tüntetjük fel, ami egy

téglalap, a téglalap

rövidebb oldalaira

merőlegesen egy-egy

vonalat állítunk, ezek

a további áramköri

csatlakozási pontok

(európai jelölés). A rajzjel, 900 –al elfordítható, az olvasási szabálynak megfelelő-

en mellé felírjuk az ellenállás esetén R vagy r vezetéshez G vagy g betűt, több

ellenállás (vezetés) esetén, indexként sorszámozzuk. Az így megadott indexelt

betűt egy adott ellenállás (vezetés) tervjelének nevezzük. Két azonos indexelt betű

nem lehet egy áramkörön belül.

Az induktivitás: azaz áramköri elem, amelynek elektromos állapotát leíró egyen-

lete

t

iLtu

)( , ahol L a tekercs induktivitása.

Rajzjele, egymás mellé rajzolt, összekötött

félkörökből álló séma, melynek két végpontját

kivezetéssel látunk el. A légmagos induktivi-

tásra az előzőekben leírt rajzjelet használjuk, a

nem hangolható vasmag esetén, a tekercs

mellé függőleges folytonos vonalat húzunk. A

hangolható vasmag jelölése szaggatott vonal.

Tervjel képzése az L betű felhasználásával

valósul meg, indexelését az ellenállásnál leír-

tak szerint képezzük.

Kapacitás: a rajta lévő pillanatnyi feszültség értéket a következő egyenlet írja le.

)(1

)( 0 tiuC

tU ahol u0 a t=0 időpillanatban lévő feszültségérték.

A három áramköri elemnek léteznek szélsőértékei, ezeket érdemes most megadni;

ezek a szakadás és a rövidzár.

U ( t )

+

-

i ( t )

L

tekercs

RU ( t )

+

-

i ( t )

GU ( t )

+

-

i ( t )

ellenállás v ezetés

U ( t )

+

-

i ( t )

C

kondenzátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

4

Szakadásról beszélünk akkor, ha R-nek, L-nek és C-nek értéke végtelen.

(pl. R ).

Rövidzárról akkor beszélünk, ha R, L vagy C nulla értéket vesz fel.(pl. HL 0 ).

Fontos megjegyezni, ha egy áram-

köri elem értéke rövidzár, akkor a

rajta levő u(t)=0, ha szakadás, akkor

i(t)=0. Az előzőekben megadott

képletek elemzésével állításunk

megérthető.

Az eddig definiált áramköri elemek

mind kétpólusok.

Kétpólusnak nevezzük azokat az

áramköri elemeket, melyek két

vezetékkel kapcsolódnak a hálózat-

ra.

Az ideális áramköri elemek, a valóságban csak többé-kevésbé teljesítik a jellemzé-

sükre megadott egyenletet. Ezért azt mondjuk, hogy azok a kétpólusok, melyek

teljesítik a tulajdonságaik jellemzésére megadott egyenletet, ideális kétpólusnak

nevezzük. Nem vétünk nagy hibát, ha megvalósított áramkörök elemei vizsgálata-

kor azokat ideálisnak tekintjük, és egyes speciális esetekben fogalmazunk meg

más kritériumokat.

A transzformátor: közös H mágneses térerőben elhelyezett legalább két indukti-

vitás. Az induktivitásokból felépített

transzformátort induktív transzformá-

tornak nevezzük, mely közelítéssel

megfelel a valóságos transzformátor-

nak. Nagyobb teljesítmény esetén a

tekercs és a vas veszteségeit figyelem-

be kell venni! Az idealizált induktív

transzformátornak a következő feltéte-

leket kell teljesíteni:

- Az indukcióvonalak a vasmagban záródnak. Az indukcióvonalak csak a tekercs belsejében, az alkalmazott vasmagban záród-

nak, ami jelenti, hogy a transzformátornak nincs szórása. Ekkor a két tekercs min-

den menete ugyanazt a fluxust fogja körül. A tekercsek leíróegyenlete tehát,

tNu

11 és

tNu

22

ebből a feszültségek arányát képezve

aN

N

u

u

1

2

1

2 ,

ahol a, a menetszám vagy feszültség-arány, melyet áttételnek nevezzük.

- Relatív permeabilitása végtelen:

Az idealizált transzformátorban alkalmazott vasnak feltételezésünk szerint végte-

len μ permeabilitása van. Ilyen kikötések mellett a tekercsnek végtelen L indukti-

vitása lesz. Előző tanulmányainkból ismerve a H mágneses térerősség és B mág-

neses indukció közötti összefüggést, ami

HB és feltételezzük a -t, akkor a

0

BB

H

értéket ad.

A 0H -ból a gerjesztést meg tudjuk határozni, mivel a gerjesztés nem más, mint

lH de 0H miatt Θ gerjesztésünk is nulla értéket ad. ( 0 ) A gerjesztést

tanultuk, hogy a tekercsben folyó i áram és N menetszám szorzata. A transzformá-

tor két tekercsére felírva

21 Behelyettesítve, az áram és menetszám szorzatát, és az eddig meg-

határozott egyenlet értékeit

02211 lHiNiN

Megállapítható, hogy az induktív, kéttekercses transzformátor eredő gerjesztésé-

nek értéke nulla.

02211 iNiN , melyet rendezve, 2211 iNiN összefüggést kapjuk

Hozzuk egy oldalra a menetszámokat és az áramokat, akkor

ai

i

N

N 1

1

2

2

1

A kapott egyenletünk azt jelenti, hogy végtelen relatív permeabilitású transzformá-

torvasmagot alkalmazva a két tekercs eredő gerjesztése akkor nulla, ha menetszá-

mainak (tekercselési) iránya ellentétes.

U ( t )

+

-

i ( t )= végtelen

U ( t )

+

-

i ( t )= 0

röv idzár szakadás

TR1

i1 ( t ) i2 ( t )

U1( t )

1

2

U2( t )

4

3

N1 N2

ideális transzf ormátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

5

- Nem veszteséges.

Megállapítottuk, hogy a tekercsek gerjesztéseinek összege nulla

021 ,

akkor 02211 iNiN .

Ismert a feszültség áttétel képletünk, ami.

Fejezzük ki N2 menetszámot és helyettesítsünk a gerjesztések egyensúly képletbe.

A felhasznált egyenleteink 02211 iNiN és akkor, 0211

211 iN

u

uiN

ha az N1 menetszámmal osztunk és u1 feszültséggel, szorzunk, akkor

021

211 i

u

uiu

a feszültség és áram szorzata a látszólagos teljesítményt adja, tehát

Piu

uiu 02

1

211 .

Helyettesítsük az i2 áram helyére, az 12

1i

ai egyenletet, és a

u

u

1

2 akkor

0111

a

iaiuP

Az így kifejezett egyenlettel igazolást nyert, hogy a transzformátor teljesítményt

nem vesz fel és nem ad le, az induktív ideális transzformátor veszteségmentes

- Ellenállás átvitele meghatározható:

A feszültség

és az áram

hányadosa

az ellenállás

értékét adja,

legyen az 1

indexű fe-

szültség és

áram hánya-

dosa a

transzformátor bemenete, a 2-es a kimenete. A bemenetre felírható

1

11

i

uR be

ahol az áttétel egyenletekből felírható a

uua

u

u 21

1

2 és

211

21iai

i

i

a .

Helyettesítsük a bemeneti ellenállást, egyenletünkbe,

2

2

22

2

2

2

2

1

11

1

i

u

aia

u

ia

a

u

i

uR be

Ha követjük az indexelési szabályunkat, akkor a kapott összefüggésben az

22

2 Ri

u

, a kimeneten megjelenő ellenállás,

Tehát,

12

22

21 RaR

a

RR

A kapott egyenletünk azt jelenti, hogy az ideális transzformátor bemeneti ellen-

állása a kimeneten az áttétel négyzetével jelenik meg. 1

2

2 RaR

A megállapításunk a bemenetre is vonatkozik, mely a kimeneti ellenállás a beme-

neten az áttétel négyzetével fordítottan arányos.

2

21

a

RR

A négypólus fogalma:

Az ideális transzformátor vizsgálatakor szükségünk volt a bemenetre kapcsolt

feszültségre és a kimenetére kapcsolt ellenállásra.

Azokat az eszközöket melyek négy vezetékkel kapcsolódnak a további ele-

mekhez (hálózatra), négypólusoknak nevezzük.

A transzformátor tehát négypólus.

TR1

i1 ( t ) i2 ( t )

U1( t )

1

2

U2( t )

4

3

RbeR2N1 N2

ideális transzf ormátor

ellenállás átv iteléhez

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

6

A megvizsgált áramköri elemek, ellenállás, kondenzátor, tekercs és transzformá-

tor hosszabb ideig nem alkalmasak teljesítmény leadására, ezért passzív áramkö-

ri elemeknek nevezzük.

Aktív áramköri elemek:

Az áramkörök vizsgálatához fe-

szültségre és áramra van szüksé-

günk. A feszültség vagy áram

szükségletet, a tanultak szerint

kémiai úton galvánelemek és ak-

kumulátorok, vagy mágneses tér-

ben mozgó, vezetőben indukálódott

feszültség vagy áram (generátorok)

biztosítja. Áramköri elemként nem

különböztetjük meg a valóságban

meglévő elemeket, akkumulátoro-

kat és generátorokat, hanem általános definíciót fogadunk el.

Általánosságban azt mondjuk:

Független, ideális feszültséggenerátornak nevezzük azt az áramköri elemet,

amelynek forrásfeszültsége, a kapcsain átfolyó áramtól független.

Az ideális feszültséggenerátor szolgáltathat egyen és váltakozó feszültséget.

Az egyenfeszültséget, szolgáltató feszültséggenerátorokat, feszültségforrásnak

nevezzük. Jelen ábrázolásunk egy ideális egyenfeszültségű feszültséggenerá-

tor, tehát ideális feszültségforrás. Következő megállapításaink azonban mind-

két esetre vonatkozik. Az ideális feszültséggenerátorunk forrásfeszültsége U0,

kapocsfeszültsége Uk. A feszültséggenerátor által leadott i áram tetszőleges.

Az ideális feszültséggenerátorban a forrásfeszültég és a kapocsfeszültség

egyenlő.

kUU 0

Ha az ideális feszültséggenerátorunk forrásfeszültsége nulla, akkor a feszült-

séggenerátor rövidzárat jelent.

00 U

Ekkor a feszültséggenerátor egy rövidzárral helyettesíthető.

Független (ideális) áramgenerátornak nevezzük azt az áramköri elemet,

amelynek forrásárama a kapcsain lévő feszültségtől független.

Jelképi jelölése:

Az ideális áramgenerátor szolgáltathat egyen és váltakozó áramot. Az egyen-

áramot adó áramgenerátorokat, áram-

forrásnak is nevezzük. Ábrázolásunk

egy ideális egyenfeszültségű áramgene-

rátor, vagyis ideális áramforrás. Megál-

lapításaink mindkét esetben igazak. Az

ideális áramgenerátorunk forrásárama

I0, kapcsain folyó áram i. Az áramgene-

rátor kapocsfeszültsége U. Az ideális

áramgenerátor tetszőleges U kapocsfe-

szültség szolgáltat. Ideális

áramgenerátorokban a forrásáram megegyező a kapcsain folyó árammal.

iI 0

Ha az ideális áramgenerátorunk forrás árama nulla, akkor az áramgenerátor

szakadást jelent 00 I , akkor szakadással helyettesíthetők

Az ideális áram és feszültséggenerátorunk alkalmas hosszabb ideig teljesít-

mény leadására, ezért aktív áramköri elemeknek nevezzük.

Az ideális feszültség és áramgenerátor két-két kivezetéssel rendelkezik, tehát

kétpólusnak nevezzük. Előzőekben megállapítottuk, hogy aktív áramköri

elem. A két megállapításból eredő következtetés, hogy az ideális feszültség és

áramgenerátor aktív kétpólus.

Az ideális áram és feszültséggenerátorunk rajzjele mellett, láthatóak a „fe-

szültség és áram nyilak”, melyeket mérőiránynak nevezünk. A mérőirány

1

2

i

UkUo

ideális f eszültséggenerátor

Io

1

2

i

Uk

ideális áramgenerátor

TR1

i1 ( t ) i2 ( t )

U1( t )

1

2

U2( t )

4

3

RbeR2

transzf ormátor

mint négy pólus

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

7

megállapítása egyenfeszültség és egyenáramáram esetén a technikai áram irá-

nyával egyező. A technikai áramirány az aktív elem pozitív elektródájáról in-

duló töltéseket feltételez, melyek a negatív elektróda felé haladnak. Ezért az

áram mérőirányát jelölő nyíl a pozitívból indul és a negatív felé, mutat.

A feszültség mérőirányát jelző nyíl az áramköri elemen meglévő potenciálkü-

lönbséget mutatja, jelölve a pozitív potenciálú pont helyét, melyből indul a

mérőirányt jelölő nyíl, és az a negatív potenciál felé mutat.

Az áramkörünkben a gerjesztési pontból elindulva a feszültség és áramirá-

nyok jelölésére alkalmas nyilak elhelyezését mérőirány felvételnek nevez-

zük.

Az áramkör (hálózat)

Az áramkör (hálózat) az előzőekben meghatározott aktív és passzív áramköri

elemek tetszőleges kombinációja.

Általunk vizsgált áramkörök tulajdonságai:

- Azt az áramkört (hálózat) amelynek elemei között fellelhető olyan elem,

melyet szakadással helyettesíthetünk, nyitott áramkörnek nevezzük, ha

nincs ilyen zárt áramkör.

- Következőkben csak idő független áramkörökkel (hálózatokkal) foglal-

kozunk, mely áramkörben (hálózatban) a meghatározott áramköri elemek

jellemzői nem változnak, vagy ha igen, az már nem az aktuálisan vizsgált

hálózat. Az ilyen típusú hálózatokat invariáns hálózatoknak nevezzük.

- Feltételezzük továbbá, hogy a hálózatunk lineáris hálózat, ami jelenti,

hogy jellemzői nem függenek az áramköri elemen lévő feszültségtől vagy

áramtól, valamint vonatkozik rá a szuperpozíció tétele.

- Egy áramkört (hálózatot) akkor tekintünk leírtnak (ismertnek), ha az

áramkör (hálózat) tetszőleges kapocspárán alkalmazott gerjesztésre meg

tudjuk mondani az áramkör (hálózat) egy tetszőleges helyén adott felele-

tet. Módszerei: az időtartománybeli, frekvenciatartománybeli és a komp-

lex frekvenciatartománybeli leírás.

- Minden, csak passzív elemekkel felépített hálózatra érvényes a reciproci-

tás tétele.

- Alkalmazható az elektronikában tanult törvények és hálózatszámítási

módszerek.

- A minimálisan felépített áramkörnek (hálózatnak) nevezzük azt az áram-

kört (hálózatot), melyben a gerjesztés egy aktív, a feleletet egy aktív vagy

passzív áramköri elem.

Vizsgálataink során lehetséges, hogy nem tüntetjük föl a gerjesztést adó

aktív elemünket, de meglétét mindig feltételezzük.

Az elmondottak illusztrálására vizsgáljunk meg egy áramkört (hálózatot), a látot-

tak elemzésével.

A felépített áramkörünk ideális elemekből épül föl, egy feszültséggenerátorból,

egy áramgenerátorból, két kapcsolóból és négy darab ellenállásból. Az egyes ele-

mek jellemzői:

-feszültséggenerátornak, az Uo forrásfeszültség,

-áramgenerátornak, az Io forrásáram,

-ellenállások, jellemzőit egymástól indexeléssel különböztettük meg.,

-kapcsolók, (K1, K2) olyan áramköri elemek, melyeknek külön-

külön vizsgálva két szélsőértékük van. A kapcsoló szélsőértékei, a

szakadás (a kapcsoló nyitott) és a rövidzár (a kapcsoló zárt). Jelen

ábrázolásban a kapcsolók nyitottak, jellemzőiről megállapíthatjuk,

hogy áramkörileg szakadást jelentenek, ellenállásuk végtelen nagy.

A kapcsolók mellé írt tervjel csak részben adja meg áramköri jel-

lemzőit, meg kell vizsgálni az ábrázolásban megfogalmazott to-

vábbi jellemzőket is. Jelen kapcsolóábrázolásra azt mondjuk, hogy

alaphelyzetben nyitottak.

A rajz szerinti áramköri elemeink jellemzői tehát ismertek, szimbolikus ábrázolása

(rajzjele) adott, összekapcsolásukra konkrét kombinációt (logikai kapcsolatot)

alakítottunk ki. A kombináció megvalósítására vonalakat alkalmaztunk, melyek az

egyes áramköri elemek, kivezetéseit köti össze.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

8

Kapcsolási rajzunkban feszültség és áramirányokat tüntettünk fel. A feszültség és

áramirányokat –szuperpozíció értelmében- a gerjesztési helyeken (most feszült-

ség-és áramgenerátor) és a felelet (most R4 ellenállás I árama) helyén adhatjuk

meg. A feszültség- vagy áramirányt a gerjesztési pontokban (aktív elem) kötelező

feltüntetni. Az áram és feszültségirány a megvalósított áramkör ellenőrző mérései-

hez is igen fontos információt adnak, megmutatja, hogy a mérőműszereket mely

pontokra, milyen polaritással kell bekötni.

A most ismertetett áramkör elvi (kapcsolási) rajz. Azokat, az áramköri rajzokat,

melyekben az áramköri elemek szimbolikus jeleit, meghatározott logikai kapcsolat

szerint, vonalakkal kötünk össze és a szimbolikus jelek mellett, feltüntetjük az

egyes áramköri elemek tervjelét, elvi (kapcsolási) rajznak nevezzük.

Az áramkör a valóságban akkor reprodukálható (építhető meg), ha az elvi kapcso-

lási rajzon feltüntetett áramköri elemek minden jellemzőit meghatároztunk és

rögzítettünk. A meghatározáshoz szükségünk van egy kiindulási állapot ismereté-

re, majd számítási módszerek egyikével meghatározzuk a gerjesztésre, mely ele-

mek milyen jellemzőkkel adják a kívánt felelet. Az így kiszámított alkatrészek

értékeit anyagjegyzékben megadjuk. Az elvi kapcsolási rajz és a tervjelhez kötött

anyagjegyzék együttesen a villamos dokumentáció minimális része. A villamos

dokumentáció tartalmaz minden olyan adatot (hardver és szoftver), amely egy

adott áramkör gyártásához és további működtetéséhez szükséges.

Nyitott áramkör:

Egyszerűsítsük le a kapcsolási rajzunkat egy feszültséggenerátorra, kapcsolóra, és

egy darab ellenállásra, meghatározhatjuk a nyitott áramkör fogalmát.

Egy áramkört nyitottnak nevezünk, ha a feleletre kijelölt minden egyes elem fe-

szültség és áramértéke nulla, függetlenül a gerjesztési pontok számától.

Más megfogalmazásban egy villamos áramkört két nagy egységre bonthatunk, az

egyik energiaellátó, a másik energiafogyasztó egységre. Az energiaellátó egységet

tápegységnek, az energiafogyasztó egységet

terhelésnek nevezzük. Rajzunkon az energia-

ellátó egység az Uo feszültséggenerátor, az

energiafogyasztó egység az R ellenállás. A

szakadást megvalósító elem a K kapcsoló

nyitott ábrázolása.

Az elmondottak szerint, egy áramkört akkor

nevezünk nyitottnak, ha az energiafogyasztó

és energiaellátó egység közé szakadást épí-

tünk be. (kapcsoló).

A kapcsolási rajzra alkalmazva a látottakat megállapíthatjuk, hogy a K kapcsoló

nyitott állása szakadás, a szakadás jellemzőit ismerve tudjuk, hogy a rajta áthaladó

áram értéke nulla. Tudjuk, hogy a villamos áram nem más, mint a vezető kereszt-

metszetén időegység alatt áthaladó töltésmennyiség. Nulla áramérték esetén meg-

állapíthatjuk, hogy töltés nem halad át a vezető keresztmetszetén, ami csak akkor

lehetséges, ha töltésmozgás nincs

Zárt áramkör:

Zárt áramkörnek nevezzük azt az áramkört, melyben legalább egy olyan felelet

található, aminek gerjesztés hatására feszültség vagy áramértéke nem nulla.

Energiaellátás módszerével elmondva,

zárt áramkörnek nevezzük azt az áram-

kört, amelyben legalább egy fogyasztó-

nak (terhelésnek) tekintett áramköri

elem rövidzárral kapcsolódik az ener-

giaellátó egységre. A rövidzár két pontja közötti feszültség

értéke nulla.

Látható, hogy a zárt áramkörben az

áramköri elemeket összekötő vonalak

folytonosságát valósítja meg a kapcsoló. A kapcsolónak ezt az állapotát zártnak

nevezzük.

Uo

K1R1

R2

Io

R3

K2

R4

ny itott áramkör Uo

K

R

ny itott áramkör

Uo

K

R

Uk

Io

Io

UR

Io

Zárt áramkör

mérőirány f elv étele

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

9

Ha egy áramkörünk zárt, akkor a technikai áramirányt (pozitívból induló töltések)

figyelembe véve, töltések indulnak el az Uo feszültséggenerátorunk pozitív elekt-

ródájáról a K kapcsolón és az R ellenálláson keresztül a negatív elektróda felé.

Amennyi pozitív töltés kilép a feszültséggenerátorunk pozitív elektródájából,

ugyanannyi megérkezik a negatív elektródába. Minden egyes pozitív töltés a nega-

tív elektródán egy negatív töltéssel lép villamos kapcsolatba és ott a két ellentétes

töltés, semlegesíti egymást. A semlegesítési folyamatot rekombinációnak nevez-

zük. (Ezért beszélünk egy akkumulátor lemerüléséről). A töltések mozgásával

munkavégzés jön létre, melyet a fogyasztók disszipációs teljesítménye és a re-

kombináció emésztenek föl.

Az áramköri elemek kapcsolása.

Az áramkör definíciójának megfogalmazásakor megállapítottuk, hogy az áramkör

nem más, mint az áramköri elemek tetszőleges kombinációja Kombinációt a kive-

zetéseik összekötésével hajtjuk végre. Két áramköri elem összekötését (kombiná-

cióját) úgy vizsgálhatjuk meg, hogy a kapcsain lévő feszültségek és a rajtuk átfo-

lyó áramok egyezőségét vizsgáljuk.

Ha az összekötött áramköri elemek kapcsain mérhető feszültség egyezők, akkor

párhuzamos-, ha áramai egyezők, akkor soros kapcsolásról beszélünk

Vizsgálatainkhoz mindig felvesszük a szükséges mérőirányt. A gerjesztést biztosí-

tó áram vagy feszültséggenerátor mérőirányát már meghatároztuk. A mérőirány

kapcsolásunkban a feszültséggenerátor pozitív pólusáról induló töltések által adott

áram Io, mely a K kapcsolón és R ellenálláson keresztül a negatív elektródára jut.

A töltések mozgásuk miatt munkát végeznek. A munkavégzés QUW kép-

lettel számolható. Ahol a Q a vezetőben áramló töltés nagysága, U az egyes áram-

köri elemeken kialakult feszültségesés, melyet az áramló töltések mozgásának

fenntartásához szükséges munkavégzés adja.Q

WU

Az ellenállások feszültség irányát úgy vesszük föl, hogy az ellenállás kivezetésére,

a generátorból (generátor felöl) érkező pozitív töltések, legyen a belépési pont, a

jelölőnyilat innen indítjuk, és mutasson az ellenállás fennmaradó kivezetésére, a

töltések kilépési pontjára. Egyező az ellenálláson lévő áramiránnyal.

Párhuzamos kapcsolás:

Ha két vagy több tetszőleges áramköri elem kivezetése, páronként úgy van ösz-

szekötve, hogy a rajtuk mérhető feszültség értéke azonos, akkor az áramköri

elemek párhuzamos kapcsolásról beszélünk.

A párhuzamos kapcsolás tulajdonságai:

A kapcsolásból látható, hogy az

R1 és R2 ellenállás kivezetései

páronként össze van kötve. Más

áramköri elem nincs közbeiktat-

va, amelynek jellemzői befolyá-

solná a villamos paramétereket

(feszültség értékek). Ezért azt

mondjuk, hogy a két ellenállás

feszültsége megegyező,

21 UU . Látható, hogy az Uo

feszültséggenerátor és az összekötött ellenállások között szintén nem talál-

ható áramköri elem, a feszültséggenerátor kivezetései szintén páronként van

összekötve a már összekötött ellenállásokkal, tehát feszültségei egyenlők.

210 UUU

Két vagy több áramköri elem párhuzamos kapcsolása felismerhető a rajz-

technikai jelöléséből, a besraffozott, páronként elhelyezett pontokról. Az

így jelölt pontokat csomópontoknak nevezzük. A csomópontokat összekötő

áramköri elemek a párhuzamos kapcsolás ágai. Jelen esetben két ága van.

Az egyik ág eleme az R1 ellenállás, a másik ág eleme az R2 ellenállás. A

csomóponthoz legalább három vezeték tartozik.

Ha egy csomóponthoz két vezeték tartozik, akkor azt nem nevezzük párhu-

zamos kapcsolásnak, és nem nevezzük csomópontnak.

Párhuzamosan kapcsolt áramköri elemek feszültségei egyenlők!

Soros kapcsolás

Ha két vagy több tetszőleges áramköri elem egy-egy kivezetése úgy van össze-

kötve, hogy az elemeken ugyan az a töltés haladhat át és egységnyi időben

mért értékei, megegyeznek (áramértékei egyezők), akkor az áramköri elemek

soros kapcsolásáról beszélünk.

Uo R1 R2U1 U2

párhuzamos kapcsolás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

10

Soros kapcsolás tulajdonságai:

Ha a soros kapcsolás bizonyítására felhasz-

náljuk a párhuzamos kapcsolásra kapott

eredményünk tagadását, akkor az első fel-

ismerés, hogy a két vizsgált elem R1 és R2

között nincs csomópont. Soros kapcsolás

nem tartalmaz csomópontokat. Az Uo feszültséggenerátor pozitív kivezeté-

sén kilépő pozitív töltések, a feszültségge-

nerátor negatív elektródájára csak egy kije-

lölt úton mozoghatnak, mivel a töltések

feltételezett haladási iránya; Uo pozitív

elektródából az összekötésen keresztül (a vonalat követve) R1 felső (lap fel-

ső) pontja, R1-ből kilépve az R2-be belépve (R1 és R2 összekötése miatt) át-

haladva R2-n a generátor negatív elektródájára kerül, és ott megtörténik a

rekombinációs folyamat. Látható, hogy a generátorból kilépő töltések az R1

ellenállásba belépve csak egy úton haladhatnak a generátor negatív pólusa

felé. A kijelölt pályát bárhol elmetszve azonos áramló töltésmennyiséget ta-

lálunk, tehát az áramokra írhatjuk, hogy 21 II . Az is igaz, hogy a fe-

szültséggenerátorunkból kilépő áram értéke és az R1, R2 ellenállások ára-

mainak értéke azonosak. 21 IIIo

Sorosan kapcsolt elemeken átfolyó áram értékei azonosan egyenlők!

Vegyes kapcsolás:

Az elektromos készülékek kapcsolási rajzain, vagy annak egy részáramkö-

reiben a soros és párhuzamos kapcsolás együttesen lép föl.

A soros és párhuzamos kapcsolás együttes kombinációját vegyes kapcso-

lásnak nevezzük.

A vegyes kapcsolás elemi kapcsolatait vizsgálva határozhatjuk meg, mely

áramköri elemek kapcsolata soros, és mely áramköri elemek kapcsolata

párhuzamos.

Azt a párhuzamos kapcsolást, melyek ágai lehetnek egyeleműek, de tartal-

mazhatnak soros kapcsolást is, a vegyes kapcsolás elemi részének nevez-

zük.

A legközelebbi két csomópont közötti párhuzamos kapcsolat egy ága fel-

épülhet egy vagy több áramköri elemből. Több áramköri elem csak soros

kapcsolású lehet, ha nem soros kapcso-

lású akkor a vizsgált vegyes kapcsolás

nem elemi részét elemezzük, hanem

annál összetettebbet.

Kapcsolási rajzon a két csomópontot A

és B betűvel jelöltük. Mindkét csomó-

pontra három áramköri elem csatlako-

zik. A vegyes kapcsolás elemi részét

alkotják az A és B csomópontok közöt-

ti áramköri elemek, az R2, R3 és R4

ellenállások, ahol az egyik ágban az R2

egy egyelemű kapcsolat, mert mindkét kivezetése egy-egy csomópontra (A-

ra és B-re) csatlakozik, a másik ág az R3, R4 ellenállás, melyeknek egy kö-

zös pontjuk van és a szabadon maradt kivezetéseikkel, R3 az A-ra, R4 a B-

re kapcsolódik. Ez utóbbi kapcsolásban felismerhető a soros kapcsolás.

A továbbiakban az áramkör (hálózat) leírásához (ismerté tételéhez) szükséges

általános, módszereket vizsgáljuk meg, egy előre definiált kiindulási állapot isme-

retében. A kiindulási állapotunk mindig egy elvi kapcsolási rajz, és részben ismert

áramköri elemek jellemzői, meghatározandó a nem ismert áramköri elemek adatai

(értékei)

Lineáris hálózatok számítási módszerei.

A lineáris hálózat számítási módszereit két nagy csoportra bontjuk.

Először megnézzük az egyenfeszültséggel (egyenárammal) gerjesztett hálózatokat

és vizsgáljuk a felelet helyeken kapott válaszok törvényeit. Vizsgálataink az áram-

köri jellemzők, feszültségtől és áramtól való, függetlenségére terjed ki.

Másodszor bebizonyítjuk, hogy az egyenfeszültségre-egyenáramra kapott megál-

lapításaink (törvényeink), igazak a váltakozófeszültség és váltakozó áramú ger-

jesztés esetére is, valamint megvizsgáljuk a váltakozó feszültségű és áramú ger-

jesztések speciális törvényeit.

Az érthetőség miatt, külön tárgyaljuk az azonos típusú áramköri elemekkel felépí-

tett hálózatokat (áramköröket), majd csak ezek után vizsgáljuk meg a különböző

típusú áramköri elemek áramköreit.

Uo

R1

R2

I1

I2

Io

soros kapcsolás

Uo

R1

R2

R3

R4

R5

Io

A

B

v egy es kapcsolás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

11

Egyenáramú hálózatok

Ellenállás hálózatok, egyenáramú (feszültségű) gerjesztése

Ohm törvénye.

Vizsgálatunk egy előre kiválasztott értékű ellenállásra terjed ki, amelyen meg-

mérjük a rajta lévő feszültséget és az ellenálláson átfolyó áramot. Előre

feltételezzük, hogy az ellenállás jellemzője

nem változik. Az ellenállás jellemzőjének

tekintjük az ellenállás értékét. Az ELEKT-

RONIKA ELMÉLETI ISMERETEK feje-

zetben

tanultuk, hogy az ellenállás gyártásakor

felhasznált elméleti összefüggés az

A

lR , amely az előre meghatározott

értékű ellenállás anyagát és a felhasznált

ellenállásanyag geometriai méreteit rögzíti.

Jelen áramköri vizsgálatunkban az ellenállás értékének hosszúidejű stabilitását

feltételezzük, tehát a mérőkörben elhelyezett 1kΩ-os értéket minden gerjesztési

érték megváltoztatásakor 1kΩ-os értéknek vesszük. A gerjesztési helyünk az Uo

egyenfeszültségű feszültséggenerátor, a felelethelyünk R1, 1kΩ-os értékben vá-

lasztott ellenállás. Vizsgálatunkat mérőkör kialakítással végezzük el.

A mérőkör:

Egy áramkör villamos műszerekkel történő kiegészítését mérőkörnek nevez-

zük. Vizsgálatához meg kell határozni a villamos műszerek fogalmát is.

A villamos műszerek olyan mérőeszközök, melyek a mért villamos jellemzők

mennyiségét valamely emberi érzékszerv által érzékelhető információra alakít-

ja át. (egyenáram, egyenfeszültség, passzív áramköri elemek értékei, váltakozó

mennyiségek jellemzőinek értékei).

Tanultuk, hogy a mértékegység két összetevőből áll, mérőszámból és mérték-

egységből.

Például a feszültség alapmértékegysége a Volt. Eddigi tanulmányainkban ezt

kapcsos zárójelbe írva jelöltük:

VU 1][

Jelentése a következő, a feszültség alapmértékegysége az 1 volt.

Ha egy méréskor megállapítjuk, hogy a feszültségmérőnk 5V-ot mér, akkor a

vizsgált két pont között az alapmértékegység ötszörösét mértük. A mértékegy-

ségnek megfelel a V-t, a mérőszámnak az 5.

A mérőszám megmutatja, hogy a mért érték hányszor nagyobb az alapmérték-

egységnél. A villamos műszereket mértékegység szerint különböztetjük meg,

melyek lehetnek, feszültség, áram, passzív áramköri elemek jellemzői, stb.

Egészítsük ki az Ohm törvényhez szerkesztett elvi kapcsolási rajzunkat mérő-

műszerekkel. A kiegészítéshez meg kell tanulni a műszerek bekötésének rend-

jét. A műszer bekötésének követelményeit a mért villamos mennyiség határozza

meg. A vizsgált áramkörünkben a gerjesztési és a felelet ponton (Uo feszültség-

generátoron és az R1ellenálláson) lévő feszültséget, valamint az áramkörben fo-

lyó áramot akarjuk megmérni. Azt látjuk, hogy az Uo feszültséggenerátorból in-

duló áram csak az R1 ellenálláson keresztül tud záródni, így az Io értéke minden

keresztmetszetpontban ugyan az, áramkörbe elhelyezett árammérő azonos érté-

ket mutat.

A mérőkörünkben elhelyezett ideális feszültségmérő az áramköri elemek két

pontja közötti értéket mutatja, tehát azokkal párhuzamosan kötjük az áramköri

elemekre. Az ideális árammérő az

áramkör keresztmetszetén időegység

alatt áthaladó töltések számát, vagyis

áram értéket jelzi ki, tehát az áramkört

megszakítva, azt mondjuk a mért

áramköri elemmel, sorban kell beköt-

ni.

A mellékelt mérőkörünkben két fe-

szültségmérőt (VM1, VM2) és egy

árammérőt (AM1), alkalmaztunk.

Feltételeztük, hogy ideális műszerek,

mely jelenti, hogy a méréshez az áramkörből nem fogyasztanak energiát.

Változtassuk a feszültséggenerátorunk forrásfeszültségét 0V-6V-ig, majd vizs-

gáljuk meg az R1 ellenálláson lévő feszültség és áram arányainak értékét:

Elemezve a kapott karakterisztikát a bemeneti feszültség és áram hányadosára

ugyan azt az értéket kapjuk., pl.

Uo R1

Io

Elv i kapcsolás

Ohm törv ény éhez

Uo R1V

+

VM1 V

+

VM2

A+

AM1

Mérőkör

Ohm törv ény ének

igazolására

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

12

kmA

V

mA

V

mA

VR

Áram

szültségBemenetife1

00,6

00,6

00,4

00,4

00,2

00,21

Villamos áramkörben egy villamos elem jellemzőinek meghatározásakor a két

végpontja között mért egyenfeszültség értéke és a rajta átfolyó egyenáram ér-

tékének hányadosa azonos értéket mutat, akkor a villamos elemet ellenállás-

nak nevezzük, melynek értéke nem változik, a rákapcsolt feszültség- és a rajta

átfolyó áram értékétől.

A felírható egyenlet:

I

U

értékeáramátfolyóonellenállásaz

értékefeszültséglévőonellenállásazR

____

____

Az előző megállapítást Ohm törvényének nevezzük. A törvénynek különböző

alakjait ismerjük, amely nem jelent mást, mint az előző egyenletünk más

formáBemeneti feszültség [V]

0.00 2.00 4.00 6.00

Ára

m [A

]

0.00

2.00m

4.00m

6.00m

ba

n történő rendezését. Ohm törvényének három alakját ismerjük. Az előbbiekben

meghatározott az

első I

UR , ahol ismertek az egyenlet baloldali mennyiségei (U,I) és nem is-

mert az ellenállás értéke.

A második az IRU , ahol , ismert az ellenállás értéke és a rajta átfolyó áram

nagysága és nem ismert a két végpontja között lévő feszültség értéke.

A harmadik alakja az R

UI , ahol nem ismerjük az ellenálláson átfolyó áramot,

de ismert ellenállás- és a rajta lévő feszültség értékkel az I áram meghatározha-

tó.

Speciális esetek előfordulhatnak, amikor adott feszültségre és áramértékre ne-

künk kell készítenünk egy ellenállást. A két képlet segítségével ezt megvalósít-

hatjuk, mert az

A

lR és az

I

UR képletekből R helyettesítéssel nyerjük a

I

U

A

l összefüggést. A ρ megadja, hogy milyen anyagú vezetőt kell választa-

ni, aminek meg kell felelnie a környezeti állapotok követelményeinek legjobb

teljesítésére, az l megadja a kiválasztott vezető hosszát, az A a disszipációs telje-

sítmény igényének megfelelő teljesítményt. A meghatározott ellenállás mérték-

egysége a tanultak alapján

A

V

I

UR

][

][][

Az Ω mértékegységet, az összefüggés megállapítójáról, Ohm német fizikusról,

ohm-nak nevezzük.

Az ellenállás teljesítménye

a IUP szorzat határozza meg. Melynek mértékegysége

wAVIUP ][][][

Ellenállások kapcsolása, eredő számítása.

Előzőekben megnéztük az áramköri elemek soros, párhuzamos és vegyes kapcso-

lását. Csak ellenállásból felépített hálózatok vizsgálatakor megtörténhet, hogy a

sorosan, párhuzamosan és vegyes kapcsolásban lévő ellenállásokat egy darab

ellenállással kívánjuk helyettesíteni.

A rajzi tervjelek indexeit normál méretben írjuk fel

Ellenállások párhuzamos kapcsolása.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

13

Kirchhoff I. törvénye

Két ellenállás párhuzamos kapcsolását vizsgáljuk, majd törvényszerűségeit több

ellenállás párhuzamos kapcsolására is bevezetjük.

Kapcsoljunk ideális áramforrásra párhuzamosan két ellenállást. Mérjük meg a

főágban (az áramgenerátorból indu-

ló) folyó áram értékét, valamint a

mellékágakban (R1 és R2-n) folyó

áramok értékeit. Vizsgálatunk az

ábra szerinti áramkör. Az áramgene-

rátorunk Io forrásáramot biztosít,

ami az áramforrás + elektródájáról

indul és – elektródára érkezik.. Az

Io áramgenerátor forrásárama az A

csomópontig nem változik, a párhu-

zamos kapcsolásnál tanultak szerint.

Az A csomópontban az áram két

ágban folytathatja útját, az egyik az R1-en, a másik az R2-őn keresztül. Csomó-

pontra vonatkoztatva mondhatjuk, hogy az A csomópontba befolyó áram értéke

jelölésünk szerint Io, az A csomópontból kifolyó áramok I1, az R1 és I2, az R2

ellenállás felé halad.

A második csomópontunk a B csomópont. Követve a felvett áramirányokat a B

csomópontba befolyó áramok az I1 és I2, a kifolyó áram az Io. A párhuzamos

kapcsolásnál elmondottak szerint a páronként, kivezetéseivel összekötött áramköri

elemek feszültsége azonos. Itt látható, hogy páronként az áramgenerátor és a két

ellenállás, össze van kötve. Ez azt jelenti, hogy az áramgenerátor Uo feszültsége

megegyezik az R1 (U1) és R2 (U2) ellenállás feszültségével.

21 UUU

Ohm törvénye értelmében egy ellenálláson lévő feszültség, az ellenálláson átfolyó

áram és az ellenállás értékének szorzata ( )IRU .

Akkor R1 és R2 ellenállásra felírható,

11 RIU és 22 RIU valamint xo RIU ahol Rx megmutatja, hogy az

áramgenerátor forrásárama, mekkora feszültséget hozna létre, ha egy darab ellen-

állást kötnénk a két sarkaira ugyanilyen forrásáram mellett.

Mérésekből megállapítható, hogy egy csomópontban az áramló töltések darab-

száma nem változhat, ez azt jelenti, hogy amennyi töltés belép a csomópontba, azt

ugyanannyi fogja elhagyni. Áramkörünkre vonatkoztatva a szabályosan felvett

mérőirányt követve, az A csomópontba befolyó áram Io, az onnan kifolyó áramok

I1 és I2. Felírva az egyenletet,

21 IIIo

A változókat rendezzük az egyenlet baloldalára,

0210 III

Az A pontban a beáramló töltésmennyiségeket pozitívnak, a kiáramlókat negatív-

nak felvéve, amit előjelhelyes áramirány felvételnek nevezünk, összegezve, ered-

ményértékük nulla lesz.

Felírva a B pontra az előző megállapításainkat, akkor az áramirányokból adódik az

I1 és I2 pozitív és Io negatív előjele.

0021 III

A kapott egyenletünket -1-el megszorozva az A pontra nyert összefüggést kapjuk.

Általánosságban mondhatjuk, hogy tetszőleges csomópontban, előjelhelyesen

felvett áramok összegének értéke mindig nulla. Egyenlete,

n

x

xI

3

0

Ez Kirchhoff I. törvénye, vagy csomóponti törvény.

Az x=3 jelenti, hogy legalább 1 befolyó és két kifolyó áramszükséges.

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállásértékének számítási mód-

szerei

A csomóponti törvénnyel meghatároztuk a csomópontban folyó áramokat, de

láttuk, hogy az A pontra felírt csomóponti törvény , a csomópontot megelőző (Io)

és a csomópontot követő áramok (I1, I2) összerendelésének törvényét is definiálja

Egyenlete,

210 III

Szükség esetén a csomópontot meg lehet szüntetni, de csomópontot csak párosával

szüntethetünk meg. Az eljárás az, hogy a csomópontok közé egy darab ellenállást

helyezünk, amely biztosítja a csomópont előtti áram-, és a megtartja két csomó-

pont közötti feszültség értékét. Ez jelenti a csomópont páron kívüli villamos jel-

lemzők megtartását Akkor ábránk szerint

Io R1 R2

Io

I1 I2

I1 I2Io

Uo U1 U2

A

B

+

_

Ellenállás-hálózat

Kirchhof f I. törv ény ének

igazolásához

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

14

XUU 0

Egyenleteink a következők lesznek:

XX RIU 0 ;

111 RIU

és

222 RIU

Azt tudjuk, hogy az ellenállásokon és az eredőn változatlan feszültséget kell bizto-

sítani, így

XRIU 0 ,

valamint,

11 RIU és 22 RIU

A kapott egyenletekből fejezzük ki az áramok értékeit,

XR

UI 0 ;

11

R

UI ;

22

R

UI

A kifejezett értékeket helyettesítsük a csomóponti törvénybe, ami

Io R1 R2

Io

I1 I2

I1 I2Io

Uo U1 U2 Io Rx

Io

Io

Io

Io

Uo Ux

A

B

+

_

Párhuzamos kapcsolás eredő ellenállása

+

_

A

B

210 III

és

21 R

U

R

U

R

U

X

,

kiemelve U-t

21

111

RRU

RU

X

;

osszuk el U-val

21

111

RRRX

A képletből megállapíthatjuk: a párhuzamosan kapcsolt ellenállásokon lévő fe-

szültség és a csomópontok előtti áramot úgy tudjuk biztosítani, ha az előbb meg-

határozott egyenlettel meghatározzuk az Rx (eredő) ellenállás értékét, és a két

ellenállás helyére beépítjük. Az látható, hogy tetszőleges darabszámú, párhuzamo-

san kapcsolt ellenállások eredő ellenállása is meghatározható.

iX RRRR

1....

111

21

; vagyis

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállásának reciprok értéke

egyenlő az ágakban lévő részellenállások reciprok értékeinek összegével.

x

i iX RR2

11

A pontos meghatározáshoz bevezetjük a replusz műveletet. Számításunk pontos-

sága nagyban függ attól, hogy 1 osztható-e maradék nélkül a nevező értékével

vagy sem és a párhuzamosan kapcsolt ellenállások közül melyek rendelkeznek

ilyen tulajdonsággal. Áramköri méretezéseknél –mérőműszerek bemeneti osztója-

a számítás pontossága igen fontos, az ellenállások értékének precíz meghatározá-

sához. A replusz művelet kiküszöböli a részágakban képződő, végtelen osztási

eredményből adó hibákat, helyette egy osztást kell elvégezni. A számítási hibák

csökkenése nem kétséges.

A replusz műveletre kapott egyenletünk a következő. A replusz- t x-el jelöljük.

A két párhuzamosan kapcsolt ellenállásunk számítási módszere

21

111

RRRX

,

hozzuk közös nevezőre,

21

121

RR

RR

RX

,

vegyük a reciprok értékét

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

15

21

21

RR

RRRX

A replusz művelet jelölése az előző két ellenállásra

21xRRRX ,

ami az előző képletben elvégzendő műveleteket jelenti.

21

2121

RR

RRxRRRX

A két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredő ellenállás értékét replusz művelet-

tel úgy számoljuk ki, hogy a két ellenállás értékének szorzatát elosztjuk a két

ellenállás értékének összegével.

Több ellenállás eredő ellenállás értékét replusz művelettel meg tudjuk határozni,

ha betartjuk a törtekre vonatkozó matematikai szabályokat.

Pl. Három párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredő ellenállás értékének meghatá-

rozása.. Legyen R1, R2, R3 a három ellenállás, Írjuk föl a három ellenállásra, a

párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállásának számítási képletét

321

1111

RRRRX

Matematikailag ugyan azt végezzük el, mint a két ellenállás eredő számításánál. A

közös nevező a három ellenállás szorzata 321 RRR , az első ellenállást

32 RR szorzattal kell bővíteni, a másodikat 31 RR , a harmadikat 21 RR vel.

Írjuk egy összefüggésben

321

213132 ))()(1

RRR

RRRRRR

RX

,

vegyük a törtek reciprok értékét,

213132

321321

RRRRRR

RRRxRxRRRX

Három darab párhuzamos ellenállás eredő ellenállását úgy számoljuk ki, hogy a

replusz művelet számlálója lesz a három ellenállás értékének szorzata, nevezője

olyan tagok összege, ahol az egyes tagok értéke, a bővítmények szorzata.

Az előző megállapításaink n darabszámú párhuzamos ellenállás replusz művelettel

történő eredő számítására is alkalmazható

Most már könnyen belátható, hogy két azonos értékű ellenállás eredő ellenállása

miért lesz a részellenállások fele, három ellenállás a harmada és így tovább. Néz-

zük meg mindkettőt.

Két ellenállásra,

21

2121

RR

RRxRRRX

de R2=R1 akkor,

1

21

11

1111

2R

R

RR

RRxRRRX

egyszerűsítve R1-el

11

1

21

112

1

22R

R

R

RxRRRX

Három ellenállásra

213132

321321

RRRRRR

RRRxRxRRRX

de R2=R3=R1 akkor

121

31

111111

111111

3

1

3R

R

R

RRRRRR

RRRxRxRRRX

A passzív áramköri elemek tárgyalásakor az ellenállások reciprok értékét vezetés-

nek (G) neveztük. Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő számításánál igen

könnyen kiszámolhatjuk az eredő vezetését, ha minden ellenállást a R

G1

egyenlettel átalakítunk vezetéssé, akkor az eredő vezetés

21 GGGX

Párhuzamosan kapcsolt n vezetés esetén

n

i

iX GG

2

Párhuzamosan kapcsolt vezetések eredő vezetésének értéke egyenlő, az ágakban

lévő vezetések értékének összegével.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

16

Ellenállások soros kapcsolása.

Kirchhoff II. törvénye. Hurok törvény

Eljárásunk hasonló a párhuzamosan kapcsolt ellenállások törvényszerűségeinél

leírtakkal, itt is két ellenállás soros kapcsolását vizsgáljuk, majd általánosítása

következik. Most is feltéte-

lezzük, hogy áramkörünk

ideális áramköri elemekből

épül föl. A mérőirány felvéte-

lénél, megállapítottuk, hogy a

töltések mozgásához munka-

végzés szükséges, mely az

áramköri elemeken potenciál-

különbséget hoz létre. Az

aktív áramköri elemek (ger-

jesztési pontok) töltésszétvá-

lasztással rendelkeznek, me-

lyet beépített munkának

(energia = munkavégző képesség) nevezünk. A látszólagos teljesítmény képlete

IUP , ahol az t

QI , ezek alapján, a villamos teljesítmény

t

QUP , amit

átalakítva kapjuk t

QUP

. Azt tudjuk, hogy a mechanikai teljesítmény

t

WP ; akkor egyenlővé téve a villamos teljesítménnyel, a villamos munka

QUW képlettel egyező. Ez azt jelenti, hogy ellenállás hálózatok esetén a

gerjesztési pontból érkező töltések csak azt a munkát tudják elvégezni, melyet a

töltések szétválasztásakor befektettünk. Jelen esetben, az ideális feszültséggenerá-

torunkban a töltésszétválasztására annyi munkát fektettek, hogy + és – kivezetése

között mindig Uo feszültség legyen. A soros kapcsolásban lévő R1 és R2 ellenállás

hatására a zárt áramkörbent

QI 0 áram indul el, tehát csomópont nem lévén

bármely ponton vett keresztmetszeten, tIQ 0 töltés halad át. Megállapítottuk,

hogy áramkörünkben minden keresztmetszet ponton azonos töltésmennyiség halad

át. Ha ez igaz, akkor a feszültségforrásunkban befektetett, t ideig végezhető mun-

ka, vagyis a feszültséggenerátorunk, mint teljesítményt leadó és az R1és R2 ellenál-

lások teljesítmény felvételei csak a rajtuk lévő feszültségtől függ. A leadott és a

felvett teljesítmények az energia megmaradás törvénye értelmében egyezők. Ideá-

lis áramkörre felírható, hogy a leadott teljesítmény egyenlő a felvett teljesítmé-

nyek összegével.

210 RR PPP

ahol P0 a az ideális feszültséggenerátor által leadott teljesítmény, PR1 az R1 PR2 az

R2 ellenállás által felvett teljesítmény. Helyettesítve az értékeket,

t

QU

t

QU

t

QU 210

egyenletet kapjuk. A t a már említett munkavégzés ideje. Egyenletünket t

Q-vel

egyszerűsítve kapjuk,

210 UUU

Rendezzük a változókat a baloldalra, akkor

0210 UUU

Megvizsgálva a kapott képletünket és a kapcsolási rajzot, megállapíthatjuk, hogy

az áramköri elemek feszültség mérőiránya és az I. hurok irány közötti összefüg-

gést. Ami azt jelenti, hogy az áramkörben helyesen felvett feszültség mérőirány és

a hurok iránya egyező akkor az áramköri elem feszültségét pozitívnak vesszük, ha

ellentétes, akkor negatívnak és minden áramköri elem feszültségét előjel helyesen

összegezzük, akkor eredményül 0-át kapunk. Az előző egyenletünk egy feszült-

ségforrásra és két ellenállásra vonatkozó Kirchhoff II. törvénye vagy hurok tör-

vény.

Általánosságban is kimondhatjuk;

Tetszőleges ellenállás hálózatban, amelyben az áramköri elemeken mérhető

feszültségek előjelét a szabályosan felvett mérőirány és egy tetszőlegesen felvett

hurokirány összevetésével határozzuk meg, azonos irány esetén pozitív, ellentétes

irány esetén negatív, előjelhelyesen vett értékük összege mindig nulla.

Egyenlettel felírva,

0

2

n

x

xU

Uo

R1

R2

Io

U1

U2

I. hurok

Kirchhof f II. törv ény e

hurok törv ény

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

17

Az x=2 jelenti, hogy legalább két áramköri elemre írható fel a törvény.

Soros kapcsolású ellenállások eredő ellenállásának számítási módszere.

Uo

R1

R2

Io

U1

U2

Uo Rx

Io

Uo

Soros kapcsolású

ellenállások eredő

ellenállása

A

soros kapcsolású áramköri elemek követelményeit már ismerjük. Adódhat az a

helyzet, hogy két vagy több soros kapcsolású ellenállás eredőjét kell meghatároz-

ni, pl. milyen értékű áram indul el a feszültség, vagy áramforrásunkból.

Kapcsolási rajzunk a hurok törvényből ismert, elemzését a cél elérésének megfele-

lően kell irányítani. Célunk az, hogy az R1 és R2 ellenállás helyére egy olyan Rx

ellenállás elhelyezése, amivel a feszültséggenerátorunk Uo forrásfeszültsége és Rx

ellenállás hatására folyó Io áram, ugyan azt az értékeket adják. Az belátható, hogy

az így nyert áramkörünkben az Rx feszültsége Uo lesz, mert közvetlen kapcsolat-

ban áll a feszültséggenerátorral.

A rajz alapján felírható a három áramköri elemre a hurok törvény

0210 UUU

Fejezzük ki Uo az egyenletből

21 UUUO

Egy ellenállás feszültsége Ohm törvénye értelmében, az ellenállás és a rajta átfo-

lyó áram szorzata. Az Uo feszültség az Rx eredő ellenállás két végpontja között Io

áram hatására mérhető feszültség. Az U1 az R1, U2 az R2 ellenállásokon Io hatá-

sára mérhető feszültségek. Helyettesítve,

0201 IRIRIoRX

a jobb oldalon Io kiemelhető, majd az egyenletünk egyszerűsíthető,

21 RRRX

Egyenletünk szerint két soros kapcsolású ellenállás eredő ellenállása egyenlő, a

két ellenállás értékeinek összegével.

Általános megfogalmazásban;

Tetszőleges darabszámú, soros kapcsolású ellenállások eredő ellenállásának

értéke egyenlő, a kapcsolásban lévő ellenállások értékének összegével

n

i

iX RR

2

Vezetések eredő vezetésének értéke az G

R1

helyettesítéssel,

n

i iX GG2

11

Tetszőleges darabszámú vezetések, soros kapcsolásának, eredővezetésének recip-

rok értéke egyenlő a kapcsolásban résztvevő vezetések reciprok értékének össze-

gével.

Vegyes kapcsolású ellenállások eredő ellenállásának számítási

módszere.

Vegyes kapcsolású ellenállás hálózat eredő ellenállásának számításakor,

felada

Uo

R1

R2 R(34)

R5

Io

Elemi v egy es kapcsolás átalakítása

elemi párhuzamos kapcsolássá

A

B

Uo

R1

R2

R3

R4

R5

Io

Vegy es kapcsolású ellenállás

hálózat eredő ellenállásának

számításához

A

B

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

18

tunk annak felismerése, hogy a vegyes kapcsolás elemi része tartalmaz-e soros

kapcsolást. A vegyes kapcsolás elemzésénél tanultak szerint a vegyes kap

csolás elemi része az a minimális párhuzamos kapcsolás, melynek ágai lehetnek

egy eleműek, de lehet több elem soros kapcsolása. Az ábrán látható, hogy a vegyes

kapcsolás elemi része az A ás B csomópontok között lévő párhuzamos kapcsolás,

melynek két csomópontja között az

egyik ága egy elemű (R2), a másik két ellenállás soros eredője (R3,R4). Eljárá-

sunkat úgy folytatjuk, hogy a vegyes kapcsolásunk elemi részét elemi párhuzamos

kapcsolássá alakítjuk, tehát az R3 és R4 soros kapcsolású ellenállás eredő ellenál-

lását kell vennünk. Az eredő ellenállást jelöljük R34-el.Akkor

43)34( RRR

Felrajzolva megkapjuk az A és B csomópontok közötti elemi párhuzamos kapcso-

lásunkat. Ismét egy ellenállással helyettesítjük az A és B pont között lévő párhu-

zamos kapcsolást, vagyis meghatározzuk a párhuzamos kapcsolás eredő értékét.

)34(2)34(2 xRRR

A részeredők értékének számításával a vegyes kapcsolásunk elemi része meg-

szűnt, mivel a csomópontot kiküszöböltük, a három ellenállás helyére egy ellenál-

lást építettünk be. A továbbiakban meg kell vizsgálni, hogy létezik-e elemi vegyes

kapcsolás? Ezt úgy állapítjuk meg, hogy csomópont párokat keresünk, ha létezik,

akkor az eljárás megismétlése következik, ha nem, akkor felírjuk a soros elemi

kapcsolás eredő értékének kiszámítását

Jelen esetben három ellenállás soros eredőjét kell kiszámolni, tehát

5)34(21 RRRRX

egyenletet kapjuk.

Az R2(34) rész eredő számítását nem kell elvégezni, ha az RX-re kapott képletünkbe

behelyettesítjük.

54321

5)34(21

5)34(21

)]([

)(

RRRxRR

RxRRR

RRRRX

Az eredő számításának értelme kiderül, ha a kapott áramkört megvizsgáljuk. Ábrá-

inkból látható, hogy az ideális feszültséggenerátorunk forrásfeszültségét nem vál-

toztatva, az ellenállások vegyes kapcsolású terhelése és az eredő ellenállás terhelé-

se azonos Io áramot indít el minkét áramkörben.

Összegezve az ellenállások eredő számításának probléma körét, három áramköri

adat tudunk meghatározni, ezek a gerjesztési pontok áramköri jellemzői, a generá-

torunk feszültsége és árama, és az eredő ellenállás értéke. Két jellemző ismereté-

ben a harmadik meghatározható.

A gerjesztési pontok ismeretének szükségessége:

Nem minden áramkörben adjuk meg a gerjesztési pontokat aktív áramköri elemek

rajzjeleivel. Ebben az esetben az ismert ellenállás hálózaton jelölni kell a gerjesz-

tési pontok csatlakozási helyeit. Jelen esetben az 1 és 2 pontok. Ha egy ellenállás

hálózatban, a gerjesztési pontot, vagy pontokat áthelyezzük, akkor a hálózat eredő

ellenállása megváltozik, tehát a két hálózat csak látszólagos azonosságot mutat

R1 R2 R3

R4

R5

R7

R8

R9

R6

1

2

R1

0

R1 R2 R3

R4

R5

R7

R8

R9

R6

1

2

R1

0

Gerjesztési pontok áthely ezése

Rx értékének megv áltozása

Uo

R1

R5

Io

R2(34)

A v egy es kapcsolás átalakítása

elemi soros kapcsolássá

A

B

Uo

Io

Rx

A v egy es kapcsolásra számított

eredő ellenállás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

19

(külalakra), gerjesztés- felelet szempontjából eltérő, két külön hálózatokról beszé-

lünk. Állításunkat úgy tudjuk ellenőrizni, ha mindkét hálózatra meghatározzuk RX

eredő értékét. A feladat megoldásában segít az ellenállások elemi kapcsolásának

felismerése és a mérőirány kijelölése. Ha a csatlakozó pontokon nincs kijelölve a

gerjesztési pont polaritása, akkor önkényesen kijelöljük, ezzel feltételezzük azt,

hogy generátort kapcsolva az ellenállás hálózatra a generátor mely polaritású pont-

jait kell az adott pontra kötni.. Nagyot nem tévedünk, mivel nem a technikai áram-

irányt, hanem a valóságost jelöltük ki. Az elemi kapcsolásokat úgy tudjuk látható-

vá tenni, ha nyújtható vezetékeket alkalmazunk. Megfogva a két gerjesztési pon-

tokon a kapcsolást, addig húzzuk, míg minden ellenállás függőleges helyzetbe

kerül. Az ellenállások függőleges ábrázolásából könnyen felismerhető az elemi

soros vagy párhuzamos, ezek kombinációja, az elemi vegyes kapcsolások helyei.

Hálózat számítási módszerek

A fejezet szükségességét az indokolja, hogy alaptörvényekkel számított egyen-

áramú hálózatok számítása hosszadalmas és körülményes. A számítások egyszerű-

sítése abban rejlik, hogy a hálózatok azonos logikai kapcsolatok halmazából épül

föl, melyekre külön-külön meghatározott saját törvény írható, és a részhálózat

saját törvényének végösszefüggését alkalmazva meghatározható a hálózat rész-

egységein keresztül az egész. Az összetett hálózat javításakor, tervezésekor, a jó

szakember, a hálózat logikai kapcsolatok rendszerének, mint egésznek a vizsgála-

takor jut el a szükséges részegységek felismeréséhez és kiválasztásához, majd

annak számítással történő villamos paramétereinek meghatározásához.

Felfogásom szerint, egy kapcsolási rajz vizsgálatakor vagy készítésekor a részegy-

ségek felismerése a fontos.

A részegységek adatainak meghatározását alaptörvényekkel oldjuk meg, majd

funkcionális vizsgálata a speciális számítási követelményeket határozza meg.

Nevezetes ellenállás hálózatok és törvények

Valóságos generátorok.

Valóságos feszültséggenerátor:

Áramköri vizsgálatainkban eddig, feltételeztük, hogy feszültséggenerátorunk ideá-

lis. Jelentette, hogy egyetlen egy adat szükséges a jellemzéséhez, ez az Uo-al jelölt

forrásfeszültség. Feltételeztük továbbá, hogy a forrásfeszültség értéke nem válto-

zik más, áramköri jellemzők hatására.pl az Io-tól, a feszültséggenerátorunk áramá-

tól.

A valóságban nem ilyen egyszerű a helyzet, gondoljunk egy jól feltöltött és egy

lemerülőben lévő gépkocsi akkumulátorra. A gépkocsi indításakor a jó akkumulá-

tor a műszerfal által jelzett műszer mutatója

szerint alig csökken, míg a lemerülő félben

lévő a tiltott zónát is elérheti. A gyújtáskap-

csolót elfordítva, a jelzett akkumulátorfe-

szültség ismét megfelelő. Az akkumulátor az

előzőek miatt nem lehet ideális, mivel növek-

vő áram esetére feszültsége csökkent. Ez a

jelenség csak úgy magyarázható, hogy a való-

ságos feszültséggenerátorunk két jellemzőből

áll, az első egy ideális feszültséggenerátor, a

második az elsővel soros kapcsolásban lévő

ellenállással, amit a valóságos feszültségge-

nerátorunk belső ellenállásának nevezzünk.

Későbbiekben, ha feszültséggenerátor szóhasználattal élünk, akkor valóságos

feszültséggenerátorról beszélünk.

Megállapítás;

A valóságos feszültséggenerátort két adattal jellemezhetjük, az Uo forrásfeszült-

séggel és az Rb belső ellenállással.

Vizsgálata:

Láttuk, hogy az ellenállásnak két szélsőértéke lehet. Nullaértékű, akkor rövidzár,

végtelen értékű akkor szakadás. Más, a szélsőértéken túli ellenállásérték vizsgálata

nem lévén, a két szélsőérték terhelésig (Rt) vizsgálva meghatározhatjuk feszült-

séggenerátorunk tulajdonságait.

Szakadással terhelt valóságos feszültséggenerátor:

A szakadásról tudott, hogy ellenállás értéke

végtelen nagy, a rajta átfolyó áram értéke nulla.

A kapcsolásunk mutatja, hogy Rb és Rt soros

kapcsolású, mert áramkörünk nem tartalmaz

csomópontot. Soros kapcsolású ellenállásokon

folyó áram értéke azonos akkor Rb-n folyó áram

értéke is nulla. Ennyi bevezetés után elemezzük

Uo

RbA

B

Uk

Valóságos feszültséggenerátor

Uo

Rb A

B

Io=0

RtUk

Szakadással terhelt

feszültséggenerátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

20

a konkrét kapcsolási rajzunkat és annak jelöléseit.

A valóságos feszültséggenerátort az Uo forrásfeszültséggel és az Rb véges értékű

ellenállással jellemeztük. Az így felépített feszültséggenerátorunk kivezetési pont-

jai az A és B pontok, a rákapcsolt fogyasztót e két pontra kötjük. Az A és B

ponton mérhető feszültséget kapocsfeszültségnek nevezzük és Uk-val jelöltük. A

végtelen ellenállás értékű szakadás tervjele az Rt.

Folytatva az áramköri vizsgálatot, bármely áramkörre igaz Kirchhoff hurok törvé-

nye, nyitottra és zárt áramkörre is. Ellenállásokon a feszültségirány megegyező az

áramiránnyal, illetve Uk egyenlő az Rt ellenálláson mérhető feszültséggel, mert

közbeiktatott más áramköri elem nincs. A mérőirány felvétele az eddigi logikát

alkalmazza, ami a feszültséggenerátor pozitív pontjától indulva képzelünk el.

Felírva a huroktörvényt, a hurokirány egyező legyen Uo-al, akkor

00 kRb UUU

Már megállapítottuk, hogy a körben folyó áram értéke 0. Alkalmazzuk a véges Rb

ellenállás feszültségének megállapítására, akkor Ohm törvénye értelmében

bRb RIU 0

de 00 I akkor az előző szorzat eredményünk is 0RbU , ami jelenti, hogy a

huroktörvényünk a következők szerint változik,

00 kUU

Itt a nullával való szorzást az tR -re alkalmazni nem tudjuk, mivel a nullával

történő szorzás szabályának kritériumait nem teljesíti. A végtelen nem egy szám,

hanem egy közelítő érték.

Most már egyenletünk rendezett alakja,

kUU 0

A kapott egyenlet jelentése; szakadással lezárt valóságos feszültséggenerátor

forrásárama nulla, és a kivezetés kapcsai között mérhető kapocsfeszültség értéke

egyenlő a feszültséggenerátor forrásfeszültségével.

Rövidzárral terhelt valóságos feszültséggenerátor:

Meg kell vizsgálni a rövidzár jelentését. Rövidzár jelenti, hogy feszültség értéke

nulla. Ez a megállapítás a mellékelt áramkörünk két részletrajzán csak rajztechni-

kai változást jelent, a feszültséggenerátorunk A és B pontja villamos szempontból

ugyan az a potenciál. (Uk=0) Az elemzésünk jobb látása érdekében a baloldali

részletrajz ezt reprezentálja.

Áramkörünkre ismét felírható Kirchhoff hurok törvénye, ellenálláson a feszültség

és áramirány, valamint a hurokirány és Uo, azonos irányát feltételezve,

00 RbUU

Az Rb ellenálláson lévő feszültséget URb-vel jelöljük. Rendezve az egyenletet,

RbUU 0

kifejezést kapjuk, aminek jelentése;

Rövidzárral terhelt feszültséggenerátor forrásfeszültsége, teljes mértékben, a

feszültséggenerátor belső ellenállásán esik.

Emiatt kiszámolható az áramkörben folyó Io áram,

bR

UI 0

0

Képletünkkel megkaptuk a feszültséggenerátorból maximálisan kivehető áram

értékét.

Egy feszültséggenerátorból maximálisan kivehető áram értékét úgy határozhat-

juk meg, ha kapcsait rövidre zárjuk és forrásfeszültség értékét elosztjuk a belső

ellenállás értékével.

Forrásfeszültség, rövidzárási áram és belső ellenállás meghatározása méréssel.

A mérést egy ideálisnak mondható áram és feszültségmérővel végezhetjük el. Az

ideális áram és feszültségmérő azt jelenti, hogy mérés közben, a mérőkör nem

vesz fel többlet energiát; feszültségmérőnkön a mért áramkörben folyó áramhoz

képest „nem folyik áram”, az árammérőnkön a mért áram „nem hoz létre” feszült-

Uo

Rb A

B

Io

Uk=0 Uo Rb

Io

Rövidzárral terhelt

feszültséggenerátor

A,BUk=0

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

21

ségesést. Az ideális feszültségmérő nagy belső ellenállású, az ideális árammérő kis

belső ellenállású mérőeszköz.

A mérést két lépésben végezhetjük el. Terhelés nélkül megmérjük a feszültségge-

nerátorunk üresjárási kapocsfeszültségét, ami a szakadással terhelt feszültséggene-

rátorunk forrásfeszültségével egyenlő, majd rövidre zárt kapcsok segítségével

megmérjük a rövidzárási áramát. Az így nyert feszültség és áram értékek segítsé-

gével kiszámolható a feszültséggenerátorunk belső ellenállása.

Mérés közben ügyeljünk a várható feszültség és áram értékekre, a megfelelő mé-

réshatárt be kell tartani!

Nem szélsőértékű ellenállással terhelt valóságos feszültséggenerátor.

A bekezdés jelentése, a két szélsőérték közötti ellenállással terhelt valóságos fe-

szültséggenerátort. Még egyszerűbben, az

ellenállás értéke nem nulla és nem végtelen,

hanem ismert érték.

Az ábrán felírtuk, hogy Rtk UU , amit külön

magyarázni már nem kell. Az Uo feszültség-

irányt pozitívnak véve a hurok törvény felírha-

tó,

00 RtRb UUU

Az bRb RIU 0 és tRt RIU 0 helyettesí-

téssel,

0)()( 000 tb RIRIU egyenletet kap-

juk. Emeljük ki –Io-t és rendezzük egyenletünket,

00 )( URRI tb

ebből Io

tb RR

UI

0

0

Nem szélsőértékű ellenállással terhelt feszültséggenerátorunkból nyerhető áram

értéke, a rövidzárási áram értékének, a terhelő ellenállás értékével arányos

csökkenését jelenti.

Az Uk kapocsfeszültségének meghatározásához, tehát a URt terhelés feszültségének

kiszámításához felhasználjuk előző megállapításainkat. Induljunk ki a hurok tör-

vényből

00 RtRb UUU

A törvény nem változik ha elosztjuk az egyenletünket U0-al.

0000

0 U

U

U

U

U

U RtRb

Az első két tagot hozzuk közös nevező alá,

000

0

U

U

U

UU RtRb

Rendezzük az egyenletünket

00

0

U

U

U

UU RtRb

Látható, hogy a két oldal számlálója és a nevezője is egyező, mivel

RtRb UUU 0

Akkor egyenletünk

00 U

U

U

U RtRt

Helyettesítsük a jobb oldalon az tRt RIU 0 és a )(00 tb RRIU előző

pontban meghatározott összefüggéseinket,

)(0

0

0 RtRbI

RI

U

U tRt

amelyet I0-al egyszerűsíthetünk

RtRb

R

U

U tRt

0

A képletünk ismét szöveges magyarázatot érdemel, melynek jelentése;

Soros kapcsolású ellenállások értékének aránya egyenlő a rajtuk lévő feszültség

értékek arányaival.

Még egy egyenlet kiértékelést végezhetünk, ha U0-t átvisszük a jobb oldalra

bt

tRt

RR

RUU

0

Uo

Rb A

B

Io

Uk Rt URt=Uk

Ellenállással terhelt

feszültséggenerátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

22

Az ábrán nem jelöltük az ideális feszültséggenerátorunkat (emlékeztetőül a való-

ságos feszültséggenerátor, egy ideálisból és egy belső ellenállásból áll) és átnevez-

tük a feszültségeinket, valamint az ellenállás tervjeleit. Erre azért volt szükség,

mert nem csak feszültséggenerátorra vonatkoztatható a kapcsolási rajz, hanem

önállóan is megjelenhet, de lehet egy bonyolultabb elvi rajz része.

Az ábra bal oldali kapcsolását az előző elemzések miatt részletesen nem kell rész-

letesen elemezni, mert tudjuk, hogy U0 egy ideális feszültséggenerátor, ami a

gerjesztést biztosítja, Rb a valóságos feszültséggenerátor belső ellenállása, Rt a

terhelő ellenállás. A kapcsolás jobb oldali részletrajzán, a gerjesztést csak jelöljük,

neve Ube, polaritását a jelölt mérőirány határozza meg, mely az A pontot jelöli

meg pozitívnak, a B negatívnak. Az Ube feszültségünk nevében is jelzi, hogy ő a

gerjesztő feszültség,

ezt kapcsoljuk a beme-

netre. A két ellenállás

tervjeleit átneveztük

(bonyolultabb kapcso-

lási rajz részeként ettől

is eltérhet) és R1 és R2

azonosítót kaptak. A C

és B pont lett a kime-

netünk, jele Uki, mely-

nek feszültségirány

jelölését az osztó áram

irányának figyelembe

vételével megtehetünk.

Az ábra jobb oldali

részletrajza szerint

felépülő kapcsolást ellenállásból felépülő feszültségosztónak nevezzük.

Ellenállásból felépülő feszültségosztónak nevezzük az olyan kapcsolást, melynek

kimeneti feszültség értékét, a bemeneti feszültség értékének megfelelő ellenál-

lások értékének, arányos osztásából nyerjük.

Mivel egyező az ábránk két részletrajzának az ellenállásokból felépülő kapcsolási

része, ezért a jobb oldali részletrajzra már felírt összefüggésünket, pontos átneve-

zésekkel a baloldalira is át tudjuk írni.

bt

tRt

RR

RUU

0 bal oldali részletrajzból

21

2

RR

RUU beki

jobb oldali

A képletünk szöveges értelmezése.

A feszültségosztó kimeneti feszültségét úgy számoljuk ki, hogy a bemeneti fe-

szültség (Uo) értékét megszorozzuk az osztó alsó tagjával (R2) és elosztjuk az

osztóban lévő soros kapcsolású ellenállások eredőjével. Több ellenállásból felépü-

lő feszültség osztó kimeneti feszültsége úgy számolható ki, hogy a bemeneti fe-

szültséget szorozzuk az alsótagok soros eredőjével és osztjuk a feszültségosztóban

lévő ellenállások soros eredőjével. Egyenlettel felírva;

m

j

j

n

i

i

beki

R

R

UU

1

1

Ahol Ri az osztó alsótagjának soros kapcsolású eredője, Rj a teljes osztó soros

kapcsolású eredője.

A valóságos feszültséggenerátorról elmondottakat az )( 0IfUki függvény ábrá-

zolásával adjuk meg.

Uo

Rb

Rt

B

Uk=U (Rt)

R1

R2 Uki

Ube

A

B

C

B

C

A

B

Nem jelölt forrású

feszültségoszó

Io[A]

Uki[V] 0

ha

Rt = végtelen

Uki =U0; Io=0

Iki =I0max

ha

Rt = 0; Uk=0

Io=Uo/Rb

Rövidzár és szakadással terhelt

valóságos feszültséggenerátor munkaegyenese

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

23

Az ábrázolásunk szerint a két szélsőértékű terhelés metszi vagy a feszültség ten-

gelyt, vagy az áramtengelyt. A munkaegyenes és az áramtengely közös pontja

akkor létezik, ha a valóságos feszültséggenerátorunkat rövidzárral terheljük.

(Rt=0). A munkaegyenes és a feszültségtengely metszéspontja a szakadással ter-

helt feszültséggenerátor esetén valósul meg. A két szélsőérték közötti egyenest

úgy szerkeszthetjük meg, hogy az Rt terhelő ellenállás értékét nulláról végtelenhez

közelítjük. A valóságos feszültséggenerátor munkapontja ott van, ahol a számunk-

ra megfelelő áram és feszültségértékhez meghatározzuk a nem szélsőértékhez

tartozó Rt terhelő ellenállás értékét.

Valóságos áramgenerátor:

Az ideális áramgenerátor definíciója úgy szólt, hogy egyetlen egy adattal jelle-

mezhető és ez az I0, a generátor forrás-

árama. A valóságos áramgenerátort két

adattal jellemezzük, az áramgenerátor

forrásáramával (I0) , és a belső veze-

téssel (Gb). Valóságos áramgenerátor

felépítése; a belső vezetése párhuza-

mosan kötött az ideális áramgenerá-

torhoz.

Az áramgenerátor belső vezetése a

vezetés és az ellenállás közötti kapcso-

lattal számolható ki,

bRGb

1 ahol Rb az áramgenerátor

belső ellenállása. A valóságos áram-

generátor Uk kapocsfeszültségét a

belső vezetésen folyó áram határozza meg, melynek értéke a generátor A és B

kapcsaira köthető terhelés értékétől függ.

Későbbiekben, ha áramgenerátor szóhasználattal élünk, akkor valóságos áramge-

nerátorról beszélünk.

Megállapítás;

A valóságos áramgenerátort két adattal jellemezhetjük, az Io forrásárammal és a

Gb belső vezetéssel..

Vizsgálata:

Megegyező a valóságos feszültséggenerátor vizsgálatakor bevezetett módszerrel.

Szakadással terhelt valóságos áramgenerátor:

A szakadással terhelt áramgenerátort Rt terhelő ellenállása, vagy az előbb

említett vezetés és ellenállás kapcso-

lat miatt terhelő vezetése Gt=0. ami

jelenti, hogy nulla vezetés esetén, a

vezetés nem vezet.

A valóságos áramgenerátor tehát két

párhuzamos kapcsolású áramköri

elem, egy áramgenerátor és egy

vezetés. Az áramgenerátor kimeneti

kapcsain egy harmadik párhuzamos

kapcsolású áramköri elem található,

most egy ellenállás vagy vezetés.

Vizsgálata a párhuzamos kapcsolású

elemek szerint történik. Az ábrán látható elemek az A és a B csomópontra kapcso-

lódnak, amely csomópontokra felírható Kirchhoff csomóponti törvénye. A meg-

adott mérőirányok alapján az A pontra felírt törvény,

00 tb III

A szakadásról tudjuk, hogy végtelen ellenállása miatt nincs töltésmozgás, tehát

áram sem folyhat rajta. Az áramgenerátorunk 1 és 2 pontjára csatlakozó szakadá-

son, vagyis nulla vezetésen, Gt=0 az A csomópontból kifolyó It áram halad át,

akkor az It áramnak nullának kell lennie (It=0). Az előbb felírt képletbe behelyet-

tesítjük az It=0-át akkor

00 bII

és ebből

bII 0

A leírt egyenlet jelenti szakadással lezárt, valóságos áramgenerátor forrásárama

teljes egészében a belső vezetésen halad át.

Rövidzárral terhelt valóságos áramgenerátor:

Rövidzárról tudni kell, hogy két csatlakozási pontja között a feszültség értéke

nulla. Az 1 és 2 pontra csatlakozó Gt rövidzár a két pont között nulla feszültséget

eredményez. Ugyan ezen a potenciálon vannak az A és a B csomópontok a közöt-

tük lévő feszültség értéke nulla. Írjuk fel Ohm törvényét a Gb belső vezetésre.

Io GbIb

A

B

It

-

+

Gt=1/Rt

Szakadással terhelt

áramgenerátor

Io Gb

It

A

B

Uk

Valóságos áramgenerátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

24

012 b

bbbAB

G

IRIUU

Ebből Ib

00 bbABb GGUI

Mivel a valóságos áramgenerátor

egy ideális áramgenerátor és

belső vezetés párhuzamos kap-

csolata, az ideális áramgenerátor

forrásárama független a kapcsain

lévő feszültségtől ezért az A

pontba befolyó áram értéke I0.

Írjuk fel Kirchhoff törvényét az

A csomópontra,

00 tb III

Megállapításunk az Ib-re a nulla érték, akkor

00 tII

és It kifejezve,

tII 0

eredményt kapjuk.

A rövidzárral lezárt valóságos áramgenerátor forrásárama teljes egészében a

terhelésen halad át.

Összefoglalásként megadjuk a valóságos áramgenerátor munka egyenesét, amelyet

az )( tb IfI függvény határoz meg

A valóságos áramgenerátorra kiszerkesztett munkaegyenes tetszőlegesen kiválasz-

tott munkapontjai a két szélsőérték közötti állapot valamely értékét veheti föl, attól

függően, hogy a forrásáramnak, mekkora részét akarjuk juttatni a terhelésre.

Nem szélsőértékű vezetéssel terhelt valóságos áramgenerátor.

A nem szélsőértékű kimeneti (terhelésen folyó) áramot szolgáltató áramgenerátor

áramát egy adott munkapontban kell elhelyezni. A munkapont elhelyezése a ki-

meneten lévő áram ismerete, tehát a forrásáramból milyen értékű áramot engedünk

a kimenetre. A kiszámításhoz alkalmazható összefüggést hasonlóan a feszültség-

generátornál tanultakkal fogjuk levezetni. Ismét induljunk ki a kapcsolásra alkal-

mazható törvényből, ami nem más, mint Kirchhoff csomóponti törvénye.

A rajzon alkalmazott mérőirány jelölésekkel a baloldali részletrajzra

0 ItIbIo

A nem jelölt forrású kapcsolásunk 1 és 2 pontja az áramgenerátor helyének csatla-

kozási pontjai, mérőirány jelölése megegyező mindkét részletrajzban, tehát a kü-

lönbség a nem jelölt ideális áramforrásban van. Ezért elegendő a jobb oldali rész-

kapcsolásunkat vizsgálni, melyekre megadott összefüggéseink érvényesek a balol-

dalira is és minden olyan kapcsolásra, ami az áramköri elemek ilyen logikai ösz-

szekötését tartalmazza.

Akkor a csomóponti törvény a jobb oldali részletrajzra,

0210 III

It [A]

Ib[A] 0

tbABt

b

GIUésG

ha

II

/..0

0

Rövidzár és szakadással terhelt

valóságos áramgenerátor munkaegyenese

0..

0

ABt

a

t

UésG

h

II

Io Gb

1

2

It

Ib Gt=1/Rt

A

B

Rövidzárral

terhelt

áramgenerátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

25

Osszuk el egyenletünket I0-val,

00

2

0

1

0

0 I

I

I

I

I

I

Rendezzük egyenletünket, hogy I2- tartalmazó hányadost vigyük át a jobboldalra,

a baloldalra a közös nevezőt használjuk föl

0

2

0

10

I

I

I

II

Az látható, hogy a baloldali tört számlálója egyező a jobboldalival, a nevező egye-

zősége miatt a két oldal, egyező,

0

2

0

2

I

I

I

I

Az I2 áramot kiszámolhatjuk a vezetése és a rajta lévő feszültség szorzatából

2122 GUI

Az I0 értékét meghatározhatjuk az 1 és 2 pont feszültésének és a két vezetés eredő-

jének szorzatából

)( 21120 GGUI

Helyettesítsünk az előző képletünkbe a két kifejezésünket,

)( 2112

212

0

2

GGU

GU

I

I

U12-vel egyszerűsítve és vigyük át I0-át a jobboldalra

21

202

GG

GII

Az egyenletünk két vezetésből álló, a G2 vezetésen átfolyó I2 áram meghatározá-

sát tartalmazó áramosztó képletünk. Az előző levezetés alapján a G1 vezetésen

átfolyó I1 áram meghatározása is felírható

21

101

GG

GII

Egyenletünk jelentése,

Tetszőleges felépítésű áramosztóban lévő egy vezetés áramának értékét úgy ha-

tározzuk meg, hogy a főágban folyó áramértéket megszorozzuk a kiválasztott

vezetés értékével és elosztjuk az áramosztót felépítő vezetések eredő vezetésinek

értékével.

Bizonyítása az lehet, ha levezetjük háromtagú vezetésből felépülő áramosztóra.

Akkor a csomóponti törvényünk

03210 IIII

Válasszuk ki I1-et.

0

1

0

320

I

I

I

III

A két oldal egyezősége ismét felírható, és helyettesíthető

)( 321

1

0

1

GGGU

GU

I

I

Egyszerűsítés és rendezés után

321

101

GGG

GII

A megfogalmazásunk tehát bizonyított, felírható az általános képlet

n

i

i

XX

G

GII

2

0

Ahol x -indexű áramköri elemünk, a kiválasztott vezetés.

Io Gb Gt

1

2

Io

IbIt

G1 G2I2I1

Io

1

2

Nem jelölt forrású

áramosztó

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

26

A párhuzamosan kapcsolt áramköri elemek vezetés helyett ellenállásértékben

vannak megadva, akkor a vezetés-ellenállás összefüggés szerint kell eljárni, a

vezetések helyére be kell helyettesíteni az ismert összefüggést R

G1

-t.

Először nézzük meg két ellenállásból felépülő áramosztó kiszámítását.

Kiindulási egyenletünk,

21

101

GG

GII

G helyére helyettesítve a R

G1

21

20

211

210

21

12

10

21

101

)(

1

11

1

RR

RI

RRR

RRI

RR

RR

RI

RR

RII

A három vezetést tartalmazó áramosztó

321

101

GGG

GII

Helyettesítés az előzőek szerint,

213132

320

2131321

3210

321

213132

10

321

10

321

101

)(

1

111

1

RRRRRR

RRI

RRRRRRR

RRRI

RRR

RRRRRR

RI

RRR

RI

GGG

GII

Az ellenállásából felépülő áramosztó egy kiválasztott ág áramát úgy számoljuk

ki, hogy a vezetés-ellenállás indexeit azonos számjegyű összerendelés után, felír-

juk az áramosztó képletét vezetéssel, majd minden egyes vezetés helyére úgy

helyettesítünk, hogy beírjuk a hozzá nem tartozó index számjegyű ellenállások

tervjeleinek szorzatát.

A feszültségosztó és áramosztó gyakorlati alkalmazása, mérések

Az elméleti számítások eredménye szerint kiválasztott áramköri elemekkel felépí-

tett kapcsolási rajz villamos jellemzőinek ellenőrzését, villamos mennyiségek

mérésével igazoljuk vissza és ellenőrizzük le, majd a mért eredményekből külön-

böző javításokat és korrekciókat alkalmazhatunk az áramkörön.

Egy meglévő villamos készülék működésképtelenségekor vagy hibás üzemelése-

kor villamos mérést alkalmazunk a hibás alkatrészek felderítésére. A villamos

mérést mi két nagy csoportba osztjuk, szimuláció alkalmazására és műszeres el-

lenőrzésre..

Szimulációs mérés.

A villamos áramkörök számítógépes tervezése az áramköri rajz és nyomtatott

áramköri rajz, stb, egyszóval a villamos dokumentáció elkészítésén kívül szimulá-

ciós mérési lehetőséget is felkínál. A szimulációs mérés a megadott gerjesztési

pontra a kijelölt válaszhelyeken a valóságot megközelítő pontossággal megadja a

kiválasztott villamos mennyiségek értékeit. Az értékek ismeretében azt vagy elfo-

gadjuk, vagy alkatrészek (áramköri elemek) cseréjével a kívánalmaknak megfelelő

értékre állítjuk be. További lehetőség, hogy különböző hibagenerálásokra adott

válaszok vizsgálata áramkörökben, ahol a szélsőérték paraméterek dokumentáció

szerinti megfogalmazását tudjuk elvégezni. Az elmondottak előnye, hogy áramkö-

rünkről, valóságos megépítés nélkül, többletinformáció adható meg, már a terve-

zés folyamán. A szimulációs mérés, alkalmazási lehetőségét minden áramköri

tervezőprogram saját dokumentációs leírása tartalmazza. Felhasználásakor az ott

leírtak szerint kell eljárni.

Műszeres mérés

Részletesebben de nem teljességgel foglalkozunk a műszeres mérésekkel, mivel

részletes vizsgálatnak tartalmaznia kell azokat a méréssel kapcsolatos speciális

eseteket, elektronikus műszerek felépítését, amelyek ismertetése terjedelmes volta

miatt most nem célunk.

A elektronikus műszerek belső felépítését két főegységre bonthatjuk, a bemeneti

osztó, valamint a megjelenítők vagy kijelzők. Szükség esetén beépítenek az osztó

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

27

és megjelenítő kijelző fokozat közé egy harmadik fokozatot, az erősítőt és/vagy

jelátalakítót a megjelenítő és/vagy kijelző fokozat villamos paramétereinek illesz-

tésére és teljesítésére. (pl. digitális kijelzés, oszcilloszkóp, stb).

Mi egy kétfokozatú elektronikus feszültég- és árammérő műszer felépítését ismer-

jük meg.

Feszültségmérés

Az Ohm és Kirchhoff

törvények megismerése-

kor, a lineáris hálózatok

áramköri elemeinek

ismertetésekor az áram-

körök meghatározó pa-

ramétere az elemek két

csatlakozási pontján lévő

feszültség. Annak igazo-

lása, hogy a villamos

elemen elméletben meg-

határozott feszültség

értéke a megépített

áramkörben azonos értékkel jelenik meg a feszültségmérés ad egyértelmű választ.

A feszültségmérést, feszültségmérő műszer alkalmazásával végezhetjük el. Az

ismertetésre kerülő egyen feszültségmérő két egységből áll, a feszültségosztóból

és a kijelzőből. A kijelzőre most egy elektromechanikus műszert választottunk,

mely a mérést, nyomatékok vagy erők, összehasonlítására vezeti vissza. A műszer

mérőműve egy állórészből és egy forgórészből áll. Az állórész a műszerházzal

egybeépített állandó mágnes, vagy gerjesztő tekercses kivitelű, de további kivite-

lezést is alkalmazhatnak. A forgórész egy tekercs melyre véges értékű feszültség

kapcsolható. A forgórész tekercsére kapcsolt feszültség (a mérendő feszültség)

villamos töltéseket indít a tekercsben (áram), amely mágneses teret gerjeszt. Az

állandó mágnes és a gerjesztő tekercs mágneses terének indukció vonalai erőhatást

gyakorolnak egymásra, és a csapágyazott forgórészt elfordítja. A forgórészre he-

lyezett mutató, valamint az érték leolvasásához szükséges értékskála kölcsönös

helyzete a mért érték. Az könnyen belátható, hogy a műszerre csak véges érték

kapcsolható, mivel az értékskálánk véges és a kezdő és végpontja minden mért

érték esetén ugyan az. A kezdőpontja a műszer nyugalmi állapota (nincs mérendő

feszültség) a végkitérés a műszerre kapcsolható legnagyobb feszültség érték. Ha a

műszerrel ettől eltérő feszültséget akarunk mérni, akkor méréshatár többszörös

kiterjesztését kell végezni, amelyben minden egyes kiterjesztés esetére meg kell

adni a méréshatárhoz tartozó legnagyobb mérendő feszültség értékét úgy, hogy a

műszerre jutó feszültség értéke nem lehet nagyobb, a rá kapcsolható legnagyobb

feszültség értékénél. Ezt jelölésben a műszer szimbólumával soros kapcsolású

ellenállással jelöljük, melynek értékét a gyártó megadja, a műszerre kapcsolható

legnagyobb áram vagy feszültségértékkel együtt. A méréshatár kibővítése az Rm

ellenállás soros kapcsolású kiegészítését jelenti. A műszerre jutó maximális fe-

szültség értéke

mmm RIU

Minden méréshatár kiterjesztésekor (előtét ellenállás alkalmazásakor) a feszült-

ségosztót Um feszültségre méretezzük. A feszültség mérő műszer elvi felépítését

szemléltető rajzon látható, hogy a műszerünknek 1-5 méréshatára van. A mérésha-

tár váltását az SW1 kézi kapcsolóval végezhetjük el. A mérendő feszültséget az

Ube+ és Ube – csatlakozópontokra mérőzsinóron keresztül vezetjük a műszerre.

Az SW1 kapcsoló 1 és 2 pontjainak zárt ábrázolásban látható, hogy az elektrome-

chanikus műszerünk

közvetlenül az Ube +

bemenettel van össze-

kötve, ami a legkisebb

méréshatárt jelenti. A

legkisebb ilyen kivitele-

zésű méréshatár esetében

meghatározható a mé-

rőműszer érzékenysége,

melyet minden mérésha-

táron belül újra értel-

mezni kell. A műszer

érzékenységén értjük azt

a feszültséget, melyet a

műszer, egy adott mé-

réshatáron belül, még

megkülönböztetni képes.

A kapcsolónk következő

állásában a mérendő feszültség és a műszerünk közé soros kapcsolásban kapcsol-

R1

R2

R3

R4

R5

SW1

A

Rm

V+

B

U1

U2

U3

U4

U5

Ube +

Ube -

Um

Im Ube

mérendő

f eszültség

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

Feszültségmérő műszer

elv i f elépítése

V+

VM

V+

VMRm

1 2

1

2

Um

Um

Áramköri jelölés Valóságos felépítés

Feszültségmérő műszer

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

28

tuk az R1 ellenállást. Az R1 ellenállás és a műszerünk A és B pontja egy feszült-

ségosztót tartalmaz, ahol a feszültségosztó alsó tagja mindig a mérőműszerünk 1

és 2 pontja, felsőtagja a kapcsoló állásától függő soros kapcsolású ellenállások

eredő értéke. A kapcsoló olyan kivitelű, hogy minden esetben csak egy érintkezője

zárt. Az egyes méréshatárokhoz tartozó maximális mérhető feszültség értéke csak

akkora lehet, hogy az osztó alsó tagján lévő Um feszültség-, vagy a feszültségosz-

tón folyó Im áramértéke nem lehet nagyobb a gyártó által megadott értékeknél.

Az előtét-ellenállások meghatározása:

A feszültségméréskor a méréshatárok kiterjesztése az elektromechanikus műszer

végkitéréséhez tartozó mU értékének egészszámú többszörösére valósul meg.

Ismert mU esetén a jelenlegi kapcsolásunk előtét ellenállásai :

Az SW1 kapcsoló 1 és 2 pontjainak zárt állásában:

m

mm

I

UR

Az SW1 kapcsoló 3 és 4 pontjainak zárt állásában:

Feltételezzük, hogy a műszer végkitéréséhez tartozó feszültséget mU -t n-

szeresére növeljük, akkor

mbe UnU 1 , ahol mmm RIU helyettesítéssel

mmbe RInU 1

Felírva a hurok törvényt

01 mbe UUU

és helyettesítve a szükséges ellenállás és áram szorzatával,

011 mmmmm RIRIRIn

Egyszerűsítés és rendezés után,

mm RRnR 11

Kiemelés után,

mRnR )1( 11

A továbbiakban azonos elvek alapján járunk el, figyelembe vesszük a huroktör-

vényben szereplő, már kiszámított ellenállásokat.

R2 ellenállás meghatározása

mRnRR )1( 212

122 )1( RRnR m

R3 ellenállás,

mRnRRR )1( 3213

)()1( 2133 RRRnR m

R4 ellenállás,

mRnRRRR )1( 42134

)()1( 32144 RRRRnR m

R5 ellenállás

mRnRRRRR )1( 521345

)()1( 432155 RRRRRnR m

Tételezzük fel, hogy a műszerünk Um értéke 10mV, a rajta átfolyó áram értéke Im

1μA értékű. A két értékből meghatározható a műszerellenállás értéke

kA

VUmRm 10

][101

][1010

Im 6

3

A kapcsoló rajzi ábrázolásban a bemeneti feszültségünk 10mV maximális értékű

lehet. Az egyes méréshatárokhoz tartozó feszültséget a megelőzőhöz képest tízsze-

resére akarjuk növelni, az a következőket jelenti

mVUm 10 ; mVUU m 100101 ;

VUU 110 12 ; VUU 1010 23 ;

VUU 10010 34 ; VUU 100010 45 ;

A méretezés menete.

Az SW1 kapcsoló 1 és 2 állásában, a bemeneti feszültség nem lehet nagyobb

mVUm 10 -nál. Ebben a kapcsolóállásban a mérendő feszültség egésze a műszer

mR műszerellenálláson esik.

Az egyes méréshatárokhoz tartozó ellenállások a műszerellenállás nx-szerese.

Ennek függvényében 1

1 1010 n , 2

2 10100 n , 33 101000 n ,

44 1010000 n , 5

5 10100000 n

Ezek után az ellenállások értékei,

kkRnR m 9010)110()1( 11

kkkRRnR m 90090]10)1100[()1( 122

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

29

M

kkkRRRnR m

9

)90090(]10)11000[()()1( 2133

MMkkk

RRRRnR m

90)990090(10)110000[(

)()1( 32144

MMMkkk

RRRRRnR m

900)90990090(10)1100000[(

)()1( 432155

A számítás egyszerűsíthető, - mint azt az előző példából is kiderül -, ha minden

méréshatár konstans értékben növekvő, úgy az ellenállás értéke, arányaiban, azo-

nos értékű növekedést mutat.(Pl.: 12 10 RR , stb).

Árammérés

Ohm törvényének méréssel történő igazolásához a villamos feszültségen kívül a

villamos áram mérésére is szükségünk van. Áramerősség mérésére ampermérőt

használunk, amelyet az áramkörbe

sorosan kötünk be. Kialakítása

együtt lehetséges a feszültségmé-

rővel és az ellenállás mérővel,

ekkor univerzális műszerről beszé-

lünk.

Az ampermérő tulajdonságai közül

a műszer ellenállását kell kiemelni

egyéb tulajdonságain kívül, mely-

nek értéke kicsi, hogy az áramkör

eredő ellenállását ne változtassa

meg lényeges mértékben. Mérés határát a műszer villamos paraméterei határozzák

meg.

A villamos jellemzője hasonlóan a feszültségmérő esetéhez a műszer, mR belső

ellenállása és a műszeren átfolyó mI áram értéke. Az árammérőn átfolyó

mI áram értéke a végkitéréshez tartozó érték, ezért különböző áramerősségek

mérésekor nem engedhető meg a megadott értéknél nagyobb áramérték áthaladása

az ampermérőn. Az mI értéknél nagyobb értékek esetén a műszerrel párhuzamo-

san kapcsolt ellenállással eltérítjük a bemenetről érkező mI -nél nagyobb értékű

áramot úgy, hogy mR műszerellenál-

láson maximális a műszer végkitéré-

séhez tartozó mI áramérték folyhas-

son. A mellékágon folyó ellenálláso-

kat sönt ellenállásnak nevezzük. A

sönt ellenállások méretezése Kirch-

hoff csomóponti törvényével hatá-

rozhatjuk meg. Minden mI -nél na-

gyobb áramértékhez külön-külön

méretezett sönt szükséges

Az egyenáramú műszer, hasonlóan az

egyenfeszültség mérő műszerhez két

nagy egységből áll, a bemeneti ára-

mot leosztó sönt ellenállásokból és a

kijelzőből. Jelen esetben elektromechanikus műszert alkalmazva, a műszer kap-

csolási rajza lerajzolható.

A kapcsolás felépítésénél az elmondottakat alkalmaztuk. Az mI műszeráram a

bemenetről megszakítás nélkül jut az AM jelű műszerre. A sönt ellenállások

sI sönt áramait független ellenállások állítják be. A méretezéskor abból indulunk

ki, hogy a műszerellenálláson és az aktuálisan bekapcsolt sönt ellenálláson azonos

értékű mU feszültség van. A kapcsolón keresztül a sönt párhuzamos kapcsolásba

kerül a műszer ellenállással. A kapcsoló olyan, hogy egyszerre csak egy, a kivá-

lasztott sönt kapcsolható a műszer ellenállással párhuzamosan. A bemeneti áram-

érték megválasztásakor, tehát a méréshatár megválasztásakor, a műszeráram nx-

szeresét választják, így a sönt ellenállások számítása leegyszerűsíthető. Az ellenál-

lások galvanikusan összekötött pontjára felírható Kirchhoff csomóponti törvénye,

0 mxsbe III

Az azonos potenciálkülönbség miatt minden párhuzamosan kapcsolt ellenállás

ugyanaz az mU feszültség van. Az áramok értéke felírható a feszültség és ellenál-

lások hányadosával.

A+

AMIm

1

2 1

Rm

A+

AM

2

Im Im

Áramköri jelölés Valóságos f elépítés

Árammérő műszer

Ibe+

Rm

A+

AM

2

Im

Ibe -

Rs1

Rs2

Rs3

Rs4

Rs5

SW1 Mérendő

áram

Árammérő műszer

elv i f elépítése

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

30

Feltételeztük, hogy mxbe InI , akkor

0m

m

s

m

m

mxmsmxmxsbe

R

U

R

U

R

UnIIInIII

x

x

Egyszerűsítve mU -el és rendezve az egyenletünket 0111

msm

xRRR

n

x

ebből a sönt ellenállás

m

x

mm

x

s R

n

RRn

Rx

1111

Egyenletünk reciprok értékét véve, tetszőleges sönt ellenállás értéke meghatároz-

ható

1

n

RR m

sx

Egy feladat keretében a levezetett összefüggés alkalmazása könnyen érthetővé

tehető.

Legyen az előző adatokkal rendelkező elektromechanikus műszerünk. AIm 10 ,

mVUm 10 , Határozzuk meg azt a sönt ellenállást, ami 10mA-es bemeneti áram

értékhez szükséges.

Megoldás,

Az áramarányból n meghatározható,

33

1010

1010

A

A

I

In

m

be

Az alkalmazott sönt ellenállás értéke,

01001,1099,9

100

999

1010

1

3

n

RR m

s

Áramkörök átalakítása

Létezik elemek közötti olyan kapcsolat, amit nem tudunk beazonosítani a hagyo-

mányos logikai elemkapcsolatokba – soros, párhuzamos és vegyes kapcsolás-

ezért az ilyen kapcsolatban lévő elemek összekapcsolását, át kell alakítani azért,

hogy villamos paraméterei meghatározhatók legyenek.

Az átalakítást feltétele az, hogy a két kapcsolás villamos paraméterei a helyettesí-

tési pontokra vonatkoztatott

értékei megegyezzenek. Az

előző mondat pontosan azt jelen-

ti, hogy kijelöljük a hálózatnak

azokat a pontjait, amelyek men-

tén kiemelve az alaptörvények-

kel nem vizsgálható részhálózat,

és helyére alaptörvényekkel

kiszámítható részáramkört illesz-

tünk. A bekezdésben leírt áram-

köri átalakítások közül a delta-

csillag és a csillag delta átalakí-

tást vizsgáljuk.

Az átalakításokat nem csak az előbb leírtak miatt végezzük el, hanem akkor is, ha

csak fő villamos paramétereit használjuk föl a kijelölt pontokon, de részleteire

nem vagyunk kíváncsiak. Ekkor két részre bontva a hálózatott, a gerjesztési és

felelet oldalra, ahol a gerjesztési részt valóságos feszültség vagy áramgenerátorral,

a felelt oldalt terheléssel helyettesítjük. Ezt az átalakítást Thevenin vagy Norton

átalakításnak nevezzük.

Delta-csillag átalakítás („Δ-Y”)

Az áramkörünkben vizsgált részáramkör delta elrendezésű, ami az alkatrészek

logikai kapcsolatának „Δ” elren-

dezését jelenti. Az alkatrész,

jelen esetben ellenállás az egyes

oldalak helyén találhatók, logi-

kai kapcsolatuk egymással a

delta csúcsait jelenti. Az áram-

kör villamos paraméterei akkor

határozhatóak meg, ha ezt az

elrendezés csillag, vagy a görög

abc „Υ” betűjének alakjára hoz-

zuk. A részáramkör görög abc

„Y” alakja azt jelenti, hogy a

R1

R2

R5

R4

R3

A

B

R1

R2

R3

1

2

3

Áramkör Delta kapcsolás

1

2

3

r 1

r 2

r 3

R1

R2 R3

a

b

c

a

b c Delta

kapcsolás Csillag

kapcsolás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

31

betű egyes szárai helyére ellenállásokat kapcsolva egyetlen egy közös csomópont-

ját hozzuk létre, amit csillagpontnak nevezünk. A két elnevezés mindegyike hasz-

nálatos a villamos technikában.

A „Δ-Y”- átalakítással kiküszöböljük azokat az egymásba ágyazott csomóponto-

kat, melyeket Kirchhoff csomóponti törvényével áramait nehézkesen tudnánk

meghatározni. Az ábra szerinti kapcsolásban a részáramkör csatlakozási pontjait

abc kisbetűkkel jelöltük. Villamos szempontból ez azt jelenti, hogy két betűjel

között az áram és feszültség értékének azonosnak kell lennie. A feszültség ponto-

kat kijelölve, a delta kapcsolás esetén abab IrrxrU )( 321 , csillag kapcsolás-

ban, abab IRRU )( 21 feszültség értékkel számolhatunk. A két áramkör akkor

ekvivalens, ha két pontja között mért egyenlő feszültséget azonos értékű áramok

hozzák létre, ebben az esetben a delta ellenállások eredője és a csillag ellenállások

eredője egyenlő.

Az előzőek miatt további megállapításokat kell tenni. A delta kapcsolás Iab árama

az r2 és a vele párhuzamosan kapcsolt r1+r2 soros ágon halad át. Ennek az Iab

áramnak kell folynia a csillag kapcsolás ab pontja között, tehát az R1+R2 ellenál-

lásokon, ami Kirchhoff csomóponti törvénye szerint azt jelenti, hogy a c pont felé

áram nem folyik, tehát az R3 ellenállás árama nulla, feszültségesés rajta nincs,

potenciál értéke megegyezik a csillagpont potenciál értékével.

Jelöljük a Δ ellenállások eredőjét az ab pontok között rab-vel

)( 321 rrxrrab ,

a Y kapcsolás eredő ellenállását Rab-vel, akkor

21 RRRab

Megállapítottuk, hogy az eredő ellenállások egyenlők, akkor

abab rR

és jobboldalaik is egyezők

)( 32121 rrxrRR

A kijelölt műveletet elvégezve

321

312132121 )(

rrr

rrrrrrxrRR

Jelöljük a nevezőben lévő ellenállások eredőjét

321 rrrr -al

Írjuk föl a további feszültségpontokra az eredő ellenállások egyezőségét, akkor az

Uac feszültségre

acac rR

és

r

rrrrrrxrRR 322131231 )(

Ucb feszültségre

bcbc rR

r

rrrrrrxrRR 3231

21332 )(

kigyűjtve a három feszültségponthoz tartózó eredő értékeket,

I. egyenlet

r

rrrrRR 3121

21

II. egyenlet

r

rrrrRR 3221

31

III. egyenlet

r

rrrrRR 3231

32

egyenletrendszert kapjuk.

Az egyenletrendszer megoldásával meghatározható a Y kapcsolás ellenállásai.

R1 ellenállás meghatározása.

Adjuk össze az első és második egyenletünket, majd vonjuk le a harmadikat. Vé-

gezzük el mindkét oldalra. A jobb oldal nevezője közös, így a számláló közvetle-

nül beírható.

I. egyenlet

r

rrrrRR 3121

21

II. egyenlet

r

rrrrRR 3221

31

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

32

- III. egyenlet

r

rrrrRR 3231

32

Az összevonások elvégzése után,

r

rrR 21

1

22

Kettővel egyszerűsítve

r

rrR 21

1

egyenletet kapjuk.

R2 ellenállás meghatározása

Most adjuk össze az elsőt és harmadikat és vonjuk le a második egyenletet.

I. egyenlet

r

rrrrRR 3121

21

III. egyenlet

r

rrrrRR 3231

32

- II. egyenlet

r

rrrrRR 3221

31

Az összevonások elvégzése után,

r

rrR 31

2

22

Kettővel egyszerűsítve

r

rrR 31

2

R3 ellenállás meghatározása

Összeadjuk a második és harmadik egyenletet és levonjuk az elsőt.

II. egyenlet

r

rrrrRR 3221

31

III. egyenlet

r

rrrrRR 3231

32

- I. egyenlet

r

rrrrRR 3121

21

Az összevonások elvégzése után,

r

rrR 32

3

22

Kettővel egyszerűsítve

r

rrR 32

1

A kiszámított három ellenállás számítási módszerére egy általános megállapítást

tehetünk.

Delta-csillag átalakítás esetén egy adott ponthoz csatlakozó csillag ellenállás

értékét úgy számoljuk ki, hogy vesszük ugyanazon delta ponthoz tartozó delta

ellenállások szorzatát és elosztjuk a delta ellenállások összegével.

Csillag-delta átalakítás („Y- Δ”)

Célunk –hasonlóan az előző esethez- az áramkör villamos paraméterek (U,I,R)

értékeinek megőrzése a kijelölt pontokban. Kapcsolási rajzunkban felismerhető a

Δ kapcsolás mellett a Y

kapcsolás, ezért választási

lehetőség adódik az átala-

kítási forma alkalmazásá-

ra. Általánosítva a Y - Δ

kapcsolás egy vizsgált

áramkörben együttesen

fordul elő. A kiszámítás

módszerét az határozza

meg, hogy a hálózatot

felépítő elemek, ellenállás

(R) vagy vezetés (G)

G1 G2

G3

g1

g2 g3

A B

C

AB

C

Csillag kapcsolás Delta kapcsolás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

33

jellegűek-e. A Δ-Y kapcsolás ellenállásokból felépülő hálózatra, a Y-Δ kapcsolás a

vezetésekkel meghatározott hálózatokra alkalmazzuk.

A Y-Δ kapcsolásba úgy térünk át, hogy a Y vezetésekből Δ ellenállást határozunk

meg úgy, hogy a kijelölt pontok közötti feszültség és a kijelölt pontokban folyó

áram értéke ne változzon.

A két kapcsolásban a feszültségek és áramok azonosságát úgy biztosítjuk, hogy a

nem vizsgált feszültség pontokat nullának tekintjük. Például a vizsgált két pont A

és B akkor a C pont potenciálja vagy az A-val vagy B-vel egyező. Az egyezőséget

pontok rövidre zárásával érjük el.

Legyen a két vizsgált pont A és B, akkor csillag és deltakapcsolásban is a CB

pontot rövidre zárjuk. A csillag kapcsolás A-ból B-be folyó árama

)( 321 GGxGUI ABBA

A delta kapcsolásban az A-ból B-be folyó áram

)( 21 ggUI ABBA

A két kapcsolás áramának és feszültségének egyezősége miatt a vezetések is

egyenlők

A-B pontra tehát

)( 32121 GGxGgg

Elvégezve a jobb oldali műveletet

321

312132121 )(

GGG

GGGGGGxGgg

Legyen a 321 GGGGY , akkor

YG

GGGGgg 3121

21

egyenletet kapjuk.

Továbbiakban a fennmaradó pontokra is elvégezzük a feszültségek és áramok

meghatározását, ezek az AC és a BC pontok.

A CA pontok egyenletei.

Csillag kapcsolásra,

)( 213 GGxGUI CAAC

Delta kapcsolás

)( 32 ggUI CAAC

Vezetések egyezősége,

YG

GGGGgg 3231

32

A BC pontok egyenletei.

Csillag kapcsolásra,

)( 312 GGxGUI BCCB

Delta kapcsolás

)( 31 ggUI BCCB

Vezetések egyezősége,

YG

GGGGgg 3221

31

A három egyenletet kigyűjtve

I egyenlet

YG

GGGGgg 3121

21

II egyenlet

YG

GGGGgg 3231

32

III egyenlet

YG

GGGGgg 3221

31

egyenletrendszert kapjuk.

Az egyenletrendszer megoldása az előző megoldási módszerrel megegyező.

A g1 meghatározása az I+III-II egyenletek jobb és baloldalának összevonása.

A baloldal

1323121 2)()()( ggggggg

A jobboldal

YY G

GG

G

GGGGGGGGGGGG 21323132213121 2)()()(

A delta kapcsolás g1 vezetésének kiszámítása

YG

GGg 21

1

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

34

A g2 vezetés megoldási sémája I+II-III, a g3 vezetés kiszámítása II+III-I egyenle-

tek összevonása.

Eredményül kapjuk

YG

GGg 31

2 és

YG

GGg 32

3

Általános kiszámítási formula szöveges megfogalmazása;

A csillag –delta átalakításkor egy delta vezetés értékét úgy határozzuk meg, hogy

vesszük ugyanazon jelölésű két pont, csillag vezetéseinek szorzatát és elosztjuk a

csillagvezetések összegével.

Állandó póluspotenciálú valóságos generátorok összekapcsolása, eredő generá-

torok meghatározása.

Az állandó póluspotenciálú generátorokon az egyenfeszültségű feszültséggenerá-

tort és az egyenáramú áramgenerátort értjük. Összekapcsolásuk lehet, azonos

típusú generátorok soros és párhuzamos kapcsolása és ezen belül, azonos és kü-

lönböző pólussal összekötött generátorok, valamint áram és feszültséggenerátorok

összekapcsolása az előző variációkkal. A széles választékkal összekapcsolható

generátorok között létezik olyan kapcsolás, amely paraméterei miatt rá nem jel-

lemző, vagy nincs értelme a fogyasztó szempontjából (pl.: veszteséges generáto-

rok keletkezése).

Az ellenállások kapcsolásakor tanultak alapján három logikai kapcsolatot létesít-

hettünk összekapcsolásukkor, amelyek a soros, párhuzamos és vegyes kapcsolá-

sok. Generátorokat is ilyen szellemben tárgyaljuk.

Egyenfeszültségű feszültséggenerátorok összekapcsolása:

Soros kapcsolás:

A soros kapcsolásra jellemző mennyiség, hogy minden áramköri elemen ugyanaz

az értékű áram folyik. Az axiómaként elfogadott tétellel vizsgálhatók a sorba kap-

csolt feszültséggenerátorok, úgy hogy nevezetes szélsőértékű terhelésekkel (rövid-

zár, szakadás) zárjuk le kimeneti kapcsait. Az így lezárt áramgenerátor villamos

jellemzői meghatározhatók és egyetlen generátorral helyettesíthetők.

Soros összekapcsolású feszültséggenerátorok:

A kimeneti kapcsok rövidzárral terheltek:

Kirchhoff hurok törvénye alapján a hurokegyenlet,

0202101 abRR UUUUU

A rövidzár jellemzője, hogy két pontja közötti potenciálkülönbség értéke nulla,

akkor

0abU

A soros kapcsolás jellemzője, hogy minden elemen ugyanaz az áramérték halad át,

akkor a feszültséggenerátorok belső ellenállásain

101 RIUR és 202 RIUR

feszültségesés jön létre.

Rendezve a hurokegyenletet és behelyettesítve a kapott összefüggéseket

)( 2100201 RRIUU

Uo1

R1

Uo2

R2 a

b

IabUR1 UR2Uab

Uo1

R1

Uo2

R2 a

b

IabUR1 UR2Uab

Uo1

R1

Uo2

R2 a

b

IabUR1 UR2Uab

Uo1

R1

Uo2

R2 a

b

IabUR1 UR2

Uab

Röv idzárral terhelt f eszültséggenerátorok

Szakadással terhelt f eszültséggenerátorok

Külünböző polaritással

összekepcsolt

f eszültséggenerátorok

Röv idzárral terhelt f eszültséggenerátorok

Szakadással terhelt f eszültséggenerátorok

Azonos polaritással

összekepcsolt

f eszültséggenerátorok

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

35

Az egyenlet baloldala felírható

XRIUU 00201

egyetlen ellenálláson átfolyó Io áram feszültségeséseként, így Io mennyiséggel

egyszerűsítve

21 RRRX

Az egyenlet jelentése, sorba kapcsolt feszültséggenerátorok eredő belső ellenál-

lása, az egyes feszültséggenerátorok belső ellenállásainak összege.

A kimeneti kapcsok szakadással terheltek:

Ismételten felírjuk a hurok törvényt, változatlan mérőiránnyal

0202101 abRR UUUUU

A szakadás jellemzője, hogy rajta nem folyik áram, tehát az áramkörünk most

nyitott. Nyitott, árammentes áramkörre, a passzív elemekre felírható

VRRIUR 00 1101 és VRRIUR 00 2202

Hurokegyenletünk egyszerűsödik,

00201 abUUU

ebből

abUUU 0201

A kapott egyenlet jelentése, hogy sorba kapcsolt valóságos feszültséggenerátorok

kapocsfeszültségének értéke egyenlő, az egyes feszültséggenerátorok forrásfe-

szültség értékeinek, mérőirány szerint felvett, előjelhelyes összegével.

Párhuzamosan összekapcsolt feszültséggenerátorok:

Kapcsolási rajzát a következő ábra adja.

A feszültséggenerátorok és

belső ellenállásaik egy zárt

hurkot alkotnak. A zárt hurokra

felírható Kirchhoff huroktörvé-

nye, amit a következő egyenlet-

tel adhatunk meg,

002

2101

U

UUU RbRb

Megállapítható, hogy párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok eredőfeszült-

ségét Kirchhoff huroktörvénye alapján határozhatjuk meg, ha ismert az egyes

generátor feszültség mérőirány és hurokirány viszonya, valamint a generátorok

forrásfeszültségének értéknagysága. Az Rb1 és Rb2 ellenállásokon folyó áram a

szuperpozíció tételének alkalmazásával határozható meg.

Tetszőlegesen összekapcsolt generátorok

A bevezetőben leírtuk, hogy lineáris hálózatokra alkalmazható a szuperpozíció

tétele. A szuperpozíció tétele a több áram, és/vagy feszültségforrást tartalmazó

hálózatok villamos paramétereinek kiszámítási módszere. A hálózatunkat leegy-

szerűsítjük gerjesztési pontokra, melyeket a generátorok adják, és feleletpontra,

melyeket a vizsgált áramköri elem kivezetés pontjai adnak. A szuperpozíció al-

kalmazása esetén egy áramköri elem villamos paramétereinek meghatározásához

figyelembe kell venni az összes gerjesztési pontot. A generátort tehát gerjesztési

pontnak, a feleletpontot egy áramköri elemnek feltételezzük, nem tévesztendő

össze más, villamos jellemző pontjaival.

Szuperpozíció-tétele:

Tetszőlegesen bonyolult lineáris hálózat egy feleletpontjának villamos adatait

úgy határozzuk meg, hogy gerjesztésenként kiszámítjuk a feleletpont villamos

jellemzőit, majd a feleletpontnak előzetesen, szabályosan felvett mérőiránya

szerint azokat előjelhelyesen összegezzük.

Az előjelképzés úgy történik, hogy a felvett mérőiránnyal megegyező részered-

mény esetén pozitív ellentétes

irány esetén negatív előjelű.

Adott kapcsolás vizsgálata.

Az előző ábránkon a gerjesztési

pontokat az Uo1 fezsültség és

Io1 áramgenerátor adja. A fele-

letpont az ab kapocspár között

lévő villamos mennyiség, most

Uab feszültség. A kérdés az,

hogy a két gerjesztés hatására

mekkora lesz a feleletponton

mérhető feszültség értéke.

Uo1 Uo2

Rb1 Rb2

a

b

Uab

Párhuzamosan kapcsolt

f eszültséggenerátorok

Uo1

R1

R2

a

b

Uab

Io1

R3

Tetszőlegesen kapcsolt

generátorok

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

36

Alkalmazva a szuperpozíció tételét, először az Uo1 generátor gerjessze a hálóza-

tunkat és ennek hatására keletkező, feleletpont villamos feszültségét, határozzuk

meg. Az Io1 generátorunk áramot

nem adhat, ezért a kapcsolási

rajzunk e szerint változik. Azt

tudjuk, hogy egy ideális áramge-

nerátorból akkor nem nyerünk

áramot, ha vele sorba, végtelen

nagy ellenállást kapcsolunk. A

végtelen nagy ellenállást szaka-

dásnak neveztük. Az előzőek

jelentik, hogy az ideális áramge-

nerátor helyére szakadást építünk

be.

Az Uo1 gerjesztésünk Uab’

feszültséget hoz létre az ab pontok között. Iránya egyező az előre meghatározott

iránnyal, mivel a feszültséggenerátor + kapocspárról induló +előjelű töltések az

R2 ellenállásra az a ponton érkeznek és a b ponton lépnek ki. E megállapításból és

a kapcsolási rajzból megállapítható, hogy 2' Rab UU feszültséggel. Az UR2 fe-

szültség ismert gerjesztés esetén kiszámítható, pl.

)('

312

2012

RRR

RUUR

Gerjesztésünk legyen az Io1, akkor az Uo1 nem gerjeszthet, tehát az Uo1 két kap-

csa között nem lehet feszült-

ségkülönbség. Ez akkor le-

het, ha nullaértékű ellenállást

kötünk vele párhuzamosan.

A nullaértékű ellenállást

rövidzárnak neveztük, így az

ideális feszültséggenerátor

két kivezetése között akkor

nincs potenciál különbség

(feszültség), ha kivezetéseit

rövidre zárjuk.

Kapcsolásunk így változik:

Az R2 ellenállás feszültsége meghatározható, amit

2'' Rab UU eredményez.

UR2 feszültségének egy számítási menete a következő, első lépésként kiszámoljuk

a rajta átfolyó áramot,

321

3012

)( RRR

RIIR

Második lépésben az R2 ellenállás feszültsége a rajta átfolyó áram és ellenállásér-

tékének szorzata adja,

222'' RIUU RRab

A számított értékű feszültség előjele az Io1 áramgenerátorból kilépő pozitív tölté-

sek mozgása határozza meg, amelyek az R3 és R1 közös pontjainak csomópontján

keresztül egyrészt R3 ellenálláson záródik a generátor negatív potenciálú kivezeté-

sén, másrészt az R1 ellenálláson keresztül belép az R2 ellenállásba majd áthaladva

azon, a generátor negatív pontjában záródik. Így előjele megegyező az Uab elője-

lével.

Az ab pont feszültsége ezek után

'''baabab UUU

Jelen áramkörünk két gerjesztési pontot tartalmazott és egy feleletponton határoz-

tuk meg a villamos mennyiségét, de tetszőleges gerjesztési pont esetén egy felelet-

pont villamos mennyiségének meghatározási elve az előzőek ismétlése úgy, hogy

egyszerre csak egy gerjesztésünk van. Több feleletpont meghatározása esetén úgy

kell eljárni, hogy a számítási módszert annyiszor alkalmazzuk, amennyi felelet-

pontunk van.

Thevenin, Norton tétel.

Mielőtt a tételt megnézzük, előtte az áramkörünket egy újabb vizsgálatnak vetjük

alá. Egy hálózat felbontható passzív és aktív elemekre. Az aktív elem vagy elemek

a hálózat energia ellátó része, a passzív elemek a hálózat energia felhasználó része.

A szuperpozíció tétel vizsgálatakor a gerjesztési pontot vagy pontokat előállító

elemre a generátort vagy generátorokat feleltettük meg, melyek energiatermelő

képességükkel gerjesztik a hálózatot a rákapcsolódásuk pontjain. A generátorokról

már tudjuk, hogy aktív elemek, a szuperpozíció tételéből tudjuk, hogy gerjesztik a

hálózatot. A szuperpozíció tételekor egy feleletpont villamos jellemzőit határoztuk

meg, ami általában passzív (lehet aktív is), de egy kitüntetett áramköri elem, me-

Uo1

R1

R2

a

b

Uab'

R3

Io1=0 A

R1

R2

a

b

Uab'

R3

Io1

Uo1=0V

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

37

lyet jelen vizsgálatunkkor energia felhasználó elemként kezelünk, és azt mondjuk,

hogy villamos jellemzőivel terheli a hálózatot, tehát terhelés. Egy bonyolult háló-

zat tehát felépülhet aktív és passzív elemek tetszőleges kombinációjából, ahol

minden aktív elem egy-egy gerjesztési pont, és egy kitüntetett feleletpontja van a

terhelés. A kérdés az, hogy a többi nem kitüntetett passzív elemmel mit lehet kez-

deni? Azt tudjuk, hogy az ideális feszültséggenerátor kapocsfeszültsége egy kivé-

tellel (nulla terhelés) minden terhelés esetében a forrásfeszültsége, ha ez nem így

van, akkor valóságos feszültséggenerátorral állunk szemben. Az ideális áramgene-

rátorra szintén elmondható, hogy minden esetben a forrásáramot adja egy kivétel-

lel, ha szakadással terheljük, ha ez nem igaz, akkor valóságos áramgenerátorról

beszélünk. Akkor ebből következik, hogy tetszőlegesen bonyolult hálózat három

önálló egységre bontható, 1. ideális generátorra, 2. a feleletpontból látható eredő

ellenállásra, 3. terhelésre. Az ideális generátort és a kapocspárról (feleletpontból)

látható ellenállást belsőellenállásnak nevezzük, amelyek egy valóságos generátort

alkotnak.

Mindent összegezve, bármely bonyolult hálózat helyettesíthető egy valóságos

generátorral és a rá kapcsolódó terheléssel.

Thevenin tétel:

Kimondja, hogy bármely bonyolult áramkör helyettesíthető egy valóságos fe-

szültséggenerátorral és egy a generátor kapcsaira kötött terheléssel.

A Thevenin helyettesítő kapcsolás akkor ismert, ha ismert a valóságos feszültség-

generátor- ( forrásfeszültség és belsőellenállás értéke) és a terhelés értéke.

A valóságos feszültséggenerátort Thevenin-képnek nevezzük

A Thevenin helyettesítő meghatározása:

Egy adott bonyolultságú hálózat Thevenin helyettesítő képét és a terhelést úgy

határozzuk meg, hogy a feleletpontra kapcsolódó terhelés meghatározása után a

kijelölt feleletpontra, meghatározzuk az alkalmazandó ideális feszültséggenerátort

és a szükséges belső ellenállást.

A bemutatás egy feladat általános megoldása keretében történik

A kitüntetett pont az Rt ellenállás, a potenciálpontok ab csatlakozó pontok. A

vizsgált hálózat ab pontok generátor felöli része, az ab kapcsokból látható aktív

(Io1 áramgenerátor) és passzív (R1,R2,R3) ellenállás hálózatból épül fel. A

Thevenin helyettesítő kapcsolásunknak olyannak kell lennie, hogy a valóságos

feszültséggenerátor ab kapcsaira kötött Rt terhelésen, ugyan azaz áram és feszült-

ség legyen, mintha az eredeti, vizsgált hálózat lenne a helyén.

Az Rt ellenállás három értéket vehet föl:

1 + végtelent-akkor azt mondjuk, hogy két hálózat szakadással terhelt,

2. nullaértékű, ebben az esetben rövidzárral terhelt,

3. számosított érték, ami nulla és + végtelen értékek közötti intervallumban,

bármely értéket jelenti.

Az Rt terhelő ellenállás lehet egyelemű, vagy passzív elemek tetszőleges

kombinációja. A Thevenin helyettesítő kapcsolásban a feladattól függ, hogy

összetett passzív elemek eredőjét kiszámoljuk-e vagy sem.

A Thevenin helyettesítő kapcsolás Rg belső ellenállásának számítása.

A valóságos feszültséggenerátor belsőellenállását a kapcsaira rákötött terhelés

a kapocspárról érzékeli. Gondoljunk az akkumulátor kapcsain létrejött feszült-

ségesésre.

Ahhoz, hogy a belső ellenállást meg tudjuk határozni, kapcsolásunkat feszült-

ség vagy árammentessé kell átalakítani, az alkalmazott generátortól függ,

áramgenerátor esetén árammentessé, feszültséggenerátor esetén feszültség-

mentessé. Árammentessé úgy alakítjuk át, hogy az áramgenerátort szakadás-

sal helyettesítjük, feszültségmentessé, pedig úgy tesszük, hogy a feszültség-

generátorunkat rövidre zárjuk. Jelen esetben a vizsgált hálózatunk áramgene-

rátort tartalmaz, tehát áramgenerátorunkat szakadással helyettesítjük.

A kapott kapcsolásunk eredő ellenállását így már kiszámíthatjuk, ami

R2

a

b

Uab

R3

Io1 R1 RtUg

Rg

a

b

UabRt

Vizsgált hálózat Thevenin hely ettesítő

kapcsolás

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

38

212 RRxRRg

A Thevenin helyettesítő Ug forrás feszültségének kiszámítása:

Vizsgálatunkat úgy kezdjük, hogy az eredeti és a helyettesítő kapcsolásról

eltávolítjuk az Rt terhelő ellenállást abban az esetben, ha végtelen értéktől el-

térő értékű terheléssel terhelt kapcsolásunk.

Tanulmányainkból tudjuk, hogy szakadáson nem folyhat áram. A Thevenin

helyettesítő kapcsoláson látható, hogy Ug gene-

rátorból mérőirány helyesen a pozitív pólusából

indulható töltések az Rg belsőellenálláson ke-

resztül az a pontba érkeznének, ellenben a b

pontba már nem jutnak el a szakadás értékű

terhelés miatt. A kapcsolási rajz jelölése szerint

Ug generátor pozitív polaritású pontjáról Rg

belső ellenálláson keresztül Io áram nem folyik,

azaz

AI 00 .

Megállapításunk igaz, akkor az Rg ellenálláson

Ohm törvénye értelmében nem esik feszültség,

VRgRgIURg 000

Most már felírható Kirchhoff hurok törvénye az Ug, Rg, Ukü hurokra,

0 küRgg UUU

Behelyettesítve VU Rg 0 értéket és rendezve az egyenletünket,

küg UU

A kapott eredmény azt jelenti, hogy szakadással terhelt valóságos feszültség-

generátor kapocsfeszültsége egyenlő az alkalmazott ideális feszültséggenerá-

tor forrásfeszültségével. Ezt üresjárási kapocsfeszültségnek is nevezzük.

Előzőekben csak a Thevenin helyettesítőt vizsgáltuk, ha ott igaz, akkor a

vizsgált kapcsolásunkra is azonos változtatásokat kell elvégezni és a két kap-

csolás ab pontra ekvivalens kapcsolás marad. Az ábrán már elvégeztük az Rt

terhelő ellenállás eltávolítását, az Ukü üresjárási kapocsfeszültség értékének

mindkét kapcsolásban azonosnak kell lennie. A vizsgált áramkörnek rendel-

keznie kell azokkal a villamos adatokkal, hogy az Ukü feszültségét meghatá-

rozhatjuk.

Jelen, átalakítandó áramkörünkben az ab pontokra felírható

küR UU 2

Az R2 ellenálláson az Io1 áramgenerátor által gerjesztett IR2 áram folyik. Is-

merjük a kapcsolási rajz elemeinek jellemzőit, Io1 ideális áramgenerátor for-

rásáramát, az ellenállások értékeit, akkor UR2 értéke meghatározható.

Pl.

222 RIU RR

De R2 árama, például áramosztó képletének segítségével meghatározható,

321

1012

RRR

RIIR

Akkor visszahelyettesítve,

2321

1012 R

RRR

RIUR

Átalakítás után

321

21012

RRR

RRIUR

Eredményt kapjuk.

R1 R2

R3

a

b

Io1 Ukü Ug

Rga

b

UküIo

Io

Szakadással terhelt hálózatok

R1 R2

R3

a

b

Rg belső ellenállsás

számításhoz

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

39

Most már meghatároztuk UR2 ismeretében Ukü értékét, de azt is tudjuk, a

bevezetőben elmondottak miatt, hogy Ug megegyezik Ukü értékével.

Egyenletünk tehát

2Rküg UUU

A következő lépésben visszahelyezzük Rt ellenállást, és vele együtt határozzuk

meg Uab feszültség értékét, ha Rt végtelen, akkor, küab UU , ha nem, akkor

feszültségosztó képletével meghatározható,

tg

tgab

RR

RUU

Összefoglalva, a Thevenin helyettesítő kapcsolás akkor ismert, ha meghatároz-

tuk a Thevenin helyettesítő elemeinek jellemzőit (Ug és Rg értékét), valamint a

valóságos feszültséggenerátort terhelő ellenállás értékét.

Norton tétel:

Az előző tételhez hasonló, de áramgenerátorra jelenti ki.

Bármely bonyolult áramkör helyettesíthető egy valóságos áramgenerátorral és

egy, a generátor kapcsaira kötött terheléssel.

R1 R2

R3

a

b

It

Uo Rt

a

b

It

RtIg Gg

Vizsgált hálózatok Norton helyettes ítő

kapcsolás

A tétel bizonyításához ismét egy vizsgálatra kijelölt áramkört használunk.

A vizsgált hálózatunk gerjesztő eleme most egy feszültséggenerátor, amire egy

három ellenállásból álló hálózat kapcsolódik. A probléma megoldása az, ha az ab

kimenetre kapcsolt azonos jellemzővel rendelkező Rt terhelő ellenállás mindkét

kapcsolásban egyforma értékű villamos paraméterrel rendelkezik. A bonyolult

hálózatunk ebben az esetben leegyszerűsödik egy valóságos áramgenerátorra és a

rákapcsolt terhelésre. Az előző formai átalakítást Norton helyettesítőnek nevezzük.

Minden hálózat átalakítható, ha az átalakítást a valóságos áramgenerátor tulajdon-

ságainak figyelembe vételével végezzük el.

A valóságos áramgenerátorok vizsgálatakor megállapítottuk, hogy forrás árama a

belső vezetés és kimenetére kapcsolt terhelés arányai szerinti osztás jön létre. Két

szélső érték lehetséges

a). Az Rt terhelés végtelen értékű, tehát szakadás, ekkor a forrásáram teljes

mértékben a belső vezetésen folyik

b). Az Rt terhelés nullaértékű, vagyis rövidzár, akkor a forrásáram az ab kap-

csokon keresztül a terhelő ellenálláson halad át.

A b), pontot használjuk föl azért, hogy a vizsgált áramkörből a helyettesítő kép

forrásáramát meg tudjuk határozni.

A kapcsolási rajzból látható, hogy mindkét áramkör ab pontjaira ugyan azt a terhe-

lést téve (rövidzár), azonos feltételeket teremtettünk meg. Ha a vizsgált áramkör-

ből meg tudjuk határozni az ab pontban folyó áramot, akkor az egyező, a helyette-

sítő kapcsolás ab pontokban folyó árammal.

A baloldali kapcsolási rajzból Ig értéke meghatározható, ha a kapcsolási rajz ele-

meinek jellemzői ismertek.

Az R2 és az Rt ellenállások eredő ellenállás értéke nulla, mivel párhuzamosan

kapcsoltak,

00

0

0

22

2

2

22

RR

R

RR

RRxRRR

t

ttab

Uo R1 R2

R3

a

b

Ig Gg

a

b

Ig Ig

Rt=0 Rt=0

Kimeneti kapcsok röv idzára

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

40

A rövidzár beiktatásával az R2 és R3 ellenállás közös pontja ugyan azon potenciá-

lon van, mint az R2 ellenállás a pontra csatlakozó kivezetése

A Norton helyettesítő kapcsolás további áramköri eleme az áramgenerátor belső

vezetése.

A kapcsolási rajzból felírható Ig

értéke, ami az R3 ellenálláson folyik

át.

3

0

R

UIg

Most már ismert a helyettesítő kap-

csolás forrásárama, szükséges még a

Gg belső vezetés meghatározása.

Ahhoz vissza kell térni az eredeti kapcsolási rajzhoz. A belső ellenállást vagy

vezetést az Rt ellenállás, tehát a terhelés, a valóságos generátor csatlakozó pontjai-

ról (kapocspárról) látja.

A belső vezetést áram és feszültségmentes állapotban határozhatjuk meg. A kap-

csolásunkban az áramkör feszültség mentesítését úgy alkalmazzuk, hogy a feszült-

ség generátort rövidre zárjuk.

A rövidre zárt feszültséggenerátor meg-

változtatta az eredeti rajz elemeinek logi-

kai kapcsolatát, így a számítást az új

változat határozza meg,

21

2132

RR

RRxRRRg

A helyettesítő kapcsolás valóságos áram-

generátor, ezért belső vezetés meghatáro-

zása szükséges. Az Gg belső vezetés a

belső Rg ellenállás reciprok értéke.

21

21

21

21

11

RR

RR

RR

RRRG

gg

Foglaljuk össze az átalakításhoz szükséges lépéseket.

A tetszőlegesen bonyolult áramkör Norton helyettesítő kapcsolása akkor ismert, ha

meghatározzuk az áramgenerátor forrásáramát és belső vezetését.

A meghatározás általános menete:

a.) A vizsgált áramkörben kijelöljük a helyettesítő kapcsolás kimeneti

kapcsait.

b.) Meghatározzuk a valóságos áramgenerátor és a terhelés tartalmát.

c.) A forrásáram meghatározásához eltávolítjuk a terhelést, és azt rövid-

zárral helyettesítjük.

d.) A forrásáram kiszámításánál figyelembe vesszük az áramköri elemek

logikai kapcsolatainak megváltozását.

e.) Feszültség és/vagy árammentes állapotot hozunk létre az áramgenerá-

tor belső vezetésének (ellenállásának) meghatározásakor.

f.) A belső vezetés (ellenállás) kiszámításakor figyelembe vesszük a

megváltozott kapcsolási rajzból eredő változásokat.

g.) A kiszámított forrásáram, belső vezetés (ellenállás), valamint a terhe-

lés adatainak feltüntetésével, elkészítjük a helyettesítő kapcsolást.

Thevenin – Norton, Norton – Thevenin átalakítások

Thevenin – Norton átalakítás

Ha ismert a Thevenin helyettesítő kép, akkor közvetlenül meghatározható annak

Norton helyettesítője.

Legyen adott a következő helyettesítő kapcsolás.

A kapcsolási rajzból feltételezzük, hogy ismert a Thevenin kép, (valóságos fe-

szültség generátor), adatai, a feszültséggenerátor Uo forrásfeszültsége és belső

Uo

a

b

Rt

Rg

Ig Gg

a

b

Rt

Thevenin hely ettesítő Norton helyettesítő

Uo R1

R3

Ig

Forrásáram számításhoz

R1 R2

R3

a

b

Áramk ör f eszülts égmentes ítés e

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

41

ellenállása. Terhelésünk vagy szélsőérték terhelések vagy a közötti tetszőleges

értékek valamelyike.

Thevenin helyettesítőből Norton helyettesítőt úgy állítunk elő, hogy adataiból

meghatározzuk Ig és Gg értékét.

Az áramgenerátor forrásáramát a Thevenin helyettesítő ab kapcsainak rövidzárá-

sával számoljuk ki. Ebben az esetben a feszültséggenerátort maximális árammal

terheljük és értéke,

gg

R

UI 0 ,

mennyiséget ad.

A Norton áram generátor belső vezetése

gg

RG

1

a Thevenin helyettesítő Rg belsőellenállás reciprok értéke lesz.

Norton – Thevenin átalakítások

A Norton Thevenin átalakítást, az előzőekkel hasonló módszerrel oldjuk meg.

Most a Norton

kép adatait is-

merjük, tehát az

áramgenerátor

forrásáramát és

belső vezetését.

Ha eltávolítjuk a

Norton és

Thevenin helyet-

tesítő kapcsolá-

sokról az Rt terhelő ellenállást, akkor Ig értéke a belső vezetésen halad át, felírha-

tó, a belső vezetésen kialakult potenciálkülönbség, tehát Gg feszültsége, ami meg-

egyező a Thevenin helyettesítő kép Uo forrásfeszültségével.

g

g

G

IUo

A Thevenin kép belső ellenállása,

gg

GR

1

Megállapítható, ha ismert valamely előzőekben tárgyalt helyettesítő kapcsolás,

akkor abból az ismeretlen meghatározható.

A tételek összekapcsolása.

A Thevenin és Norton helyettesítő meghatározásakor áramkörünk tartalmazhat

több aktív elemet, több generátort, akkor a megoldás menete a szuperpozíció téte-

lének és a Thevenin Norton átalakításának együttes alkalmazása szükséges. A

feladatot célorientáltan végezzük el. Legyen a szuperpozíció tételénél ismertetett

kapcsolás, határozzuk meg, pl. Norton helyettesítőjét.

A kapcsolásunk egy feszültséggenerátort és egy áramgenerátort tartalmaz. A he-

lyettesítő Norton kapcsolás akkor ismert, ha ismert a valóságos áramgenerátor

forrásárama Ig és a belső vezetése Gg, amik az ab kapcsoktól balra helyezkedik el.

A helyettesítésre kijelölt áramkörünk akkor a vizsgált áramkör ab kapcsoktól balra

elhelyezkedő elemeket tartalmazza.

A vizsgált áramkörünk ab pontjait felelet pontnak kijelölve, a szuperpozíció tétel

szerint meghatározhatók az ott megjelenő villamos adatok (feszültség és áram). A

meghatározás gerjesztésenként történik, majd az ideális generátor kapcsain lévő

potenciálokat egy előre rögzített mérőirány szerint összegezve megkapjuk az ere-

dő gerjesztéshez tartozó felelet értéket.

Ig Gg

a

b

Rt Uo

a

b

Rt

Rg

Norton helyettesítő Thevenin hely ettesítő

Uo

R1

Io

R2

R3

a

b

Rt Ig Gg Rt

a

b

Vizsgált kapcsolás

Norton helyettesítő

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

42

A feladat megoldásának algoritmusát úgy irányítjuk, hogy a Norton kép adatai Ig,

Gg meghatározhatóak legyenek.

Az Ig meghatározása:

Tudjuk, hogy az áramgenerátor forrásárama kimeneti kapcsainak rövidre zárása-

kor a rövidzáron folyik keresztül. Meghatározása a vizsgált áramkörből lehetséges,

amely két gerjesztésből tevődik össze. A forrásáramot ezek után a rövidre zárt

kimenet biztosítása mellett a szuperpozíció tételének alkalmazásával számoljuk ki.

Egy lehetséges megoldás, a kapocs pozitívabb potenciálú b pont esetén, ha figye-

lembe vesszük Rt=0 ohm értékét, akkor R3 is nullaértékűvé válik, Ig’ részáram

értéke felírható Kirchhoff huroktörvénye segítségével

0210 RR UUU

de az R1 és R2 ellenálláson Ig’ áram folyik, akkor

0'' 210 RIgRIgU

Kiemelve Ig’ –t és rendezve az egyenletet kapjuk

21

0'RR

UIg

ha Uo generátorral gerjesztünk.

Io gerjesztése esetén alkalmazhatjuk az áramosztó képletét ellenállásokból felépült

áramosztó esetére,

21

20''

RR

RIIg

A feleletponton az együttes gerjesztésre kialakult rövidzárási áram, vagyis Ig érté-

ke figyelembe véve a tényleges áramirányokat,

''' IgIgIg

forrásáram értéket kapunk.

A helyettesítő kapcsolás belső Gg vezetésének meghatározásához a vizsgált kap-

csolásnak feszültség és árammentesnek kell lennie, ami jelenti, hogy forrást vagy

aktív elemet nem tartalmazhat az áramkör. A helyettesítés, áramgenerátort szaka-

dással, feszültséggenerátort rövidzárral helyettesítve, ab kapcsokra felírt eredő

ellenállás

)( 213 RRxRRg

ebből a belső vezetés

)(

1

213 RRxRGg

Visszahelyezve Rt-t Norton helyettesítőnk meghatározható.

Az előző feladat bemutatta, hogy egy komplex feladat csak úgy oldható meg, ha

az, felbontható ismert részfeladatokra, és azt, a megoldás algoritmusának megfele-

lő pontjaiban helyezzük el.

A Thevenin és Norton helyettesítő gyakorlati jelentősége ott van, mikor egy igen

bonyolult hálózat egy kritikus pontjának villamos adatait a további felhasználás

érdekében kívánjuk meghatározni, mert ismerete lényeges és kiemelten fontos a

további áramköri adatok meghatározásához. A két törvényről elmondhatjuk, hogy

redukálja (egyszerűsíti) a hálózatunkat, míg az előtte lévő törvények, Δ - Υ vagy Υ

Δ kapcsolásokkal módosításokat (kijelölt elemek logikai kapcsolatának megvál-

toztatása) hajtottunk végre. Természetesen a feszültség és áram osztó az áramköri

számítások egyszerűbbé tételét valósították meg, de nem változtatták meg az ele-

mek logikai kapcsolatát.

Továbbiakban a Norton – Thevenin tételhez hasonlóan a hálózatok egyszerűsítése

a célunk, melynek vizsgálati módszereit minden, a korlátait teljesítő áramkörre

alkalmazható.

Kétpólus és négypólus

A kétpólus és négypólus a hálózat építőelemei. Egy hálózat kétpólusok és

négypólusok logikai kapcsolata a kitűzött feladat megoldására. A hálózat vizsgála-

ta a hálózatban alkalmazott jelek hatása a kétpólusra illetve a négypólusra. Mond-

hatjuk azt is milyen villamos érték mérhető a kétpóluson, négypóluson és azt ho-

gyan tudjuk méretezni. A hálózatban két jeltípust alkalmazunk együtt vagy külön-

külön, ezek az egyenáram (egyenfeszültség) vagy váltakozó áram (váltakozó fe-

szültség). Egyenáramú hálózatban aktív kétpóluson kívül az ellenállásból felépített

két vagy négypólust alkalmazzuk vagy ha alkalmazunk kapacitást vagy induktivi-

tást azt az átmeneti állapotokra méretezzük (bekapcsolás, kikapcsolás).

Váltakozó áramú hálózatban minden aktív vagy passzív elemmel felépített két

illetve négypólust alkalmazunk. Vizsgálatuk az időtartománybeli, a frekvenciatar-

tománybeli vagy a komplex frekvenciatartománybeli leírás.

Időtartománybeli leírás: felírjuk a kétpóluson, négypóluson lévő villamos jeletet

az alkatrészekre időtartománybeli összefüggésük szerint így

A tekercs feszültsége:

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

43

dt

tdiLuL

)(

Ellenállás feszültsége:

)(tiRuR

A kondenzátor feszültsége:

t

C UdttiC

u0

0)(1

A különböző logikai összekötésekre érvényes a kapcsolás jellege, ami az elemek

soros, párhuzamos vagy vegyes kapcsolását jelenti.

A kapcsolási rajzon látható LRC áramkörre felírt feszültségegyenletek a követke-

zők.

t

UdttiC

tiRdt

tdiLtu

0

01 )(1

)()(

)(

t

0

0Udt)t(iC

1)t(iR)t(2u

A

B

R

L

C

C

D

I(t)

U1(t) U2(t)

Feltételezzük, hogy a gerjesztés u1(t), és a hálózat elemei L,R,C és U0 ismert.

Megoldása nehézkes mert differenciálegyenletet kell megoldani au u1(t) számítá-

sakor. Előnye, hogy teljesen általános.

Frekvenciatartománybeli leírás: ha a hálózati jellemzőket csak szinuszos idő-

függvényekre oldjuk meg.

Az előző LRC körre írjuk fel a 1

2

u

u feszültségviszonyt. Akkor

cjtiRtiLjti

CjtiRti

u

u

1

)()()(

1)()(

1

2

Cj

LCjRCj

Cj

RCj

CjRLj

CjR

u

u

22

1

2

1

1

1

1

egyszerűsítések után,

LCRCj

RCj

u

u2

1

2

1

1

Komplex-frekvenciatartománybeli leírás: feltételez egy olyen gerjesztést, ami

komplex frekvenciát tartalmaz. A jel a következő alakú

pteUtu 1Re)(1

Itt p komplex szám jp ahol valós , képzetesj rész.

A levezetést mellőzve egyenletünk a következő

LCppCR

pCR

pCRpL

pCR

u

u21

2

1

1

1

1

Vizsgálható a kétpólus, négypólus, ha a gerjesztésünk állandó frekvenciájú, szi-

nusz alakú jel, ekkor a passzív áramköri elemeken kialakult villamos mennyiség a

következők szerint írhatók le.

Valós-, és reaktancia ellenállás

Az ellenálláson lévő feszültség

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

44

Riu RR

Az R ellenállás állandó frekvenciájú gerjesztés esetén értéke az egyenáramú ger-

jesztéssel egyező.

A kapacitás feszültsége

CCC Xiu

Az XC a kapacitás reaktanciája, kiszámítása

CXC

1 és f 2

Az induktivitás feszültsége

LLL Xiu

Az XL induktivitás reaktanciája

LXL és f 2

Az előzőek miatt azt mondjuk, hogy az R ellenállás valós értékű, az XC-t és az XL-

t reaktanciát, látszólagos ellenállásnak nevezzük. Eredő ellenállás értéküket a

komplex számsíkon ábrázoljuk. A kapott eredőérték a Z impedancia.

Valós-, és szuszceptancia vezetés

Előzőekben megnéztük a vezetés fogalmát. Természetesen, ha az ellenállás a re-

ciprok értéke a vezetés és fordítva,

RG

1

Mértékegysége a S (siemens)

SR

G

1

][

1][

Akkor a reaktanciának is létezik látszólagos vezetése, ami a szuszceptancia.

Jelölése B, számítása

Kapacitás esetén

CfC

C

XB

CC

21

11

Tekercs esetén

LfLXB

LL

2

111

Komplex ellenállás, impedancia

Egy áramkörben megtalálhatjuk mind a három passzív elem kapcsolatát, így azok

eredő értékét meg kell tudni határozni. Komplex ellenállás azért komplex, mert

komplex számként épül fel. Először vizsgáljuk meg a komplex mennyiséget.

A komplex szám két számegyenest tartalmaz, egy valós (Re)számegyenest nullától

plusz-mínusz végtelenig ( ) és egy képzetest (Im) számegyenest -ig. A

két számegyenest 0-nál illesztve egymásra merőlegesen helyezték el, így kapták a

komplex számsíkot.

0 -

-

Re

-j

+j Im

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

45

Komplex számsík

A komplex szám egy valós és egy képzetes szám (immaginárius) összege. Legyen

a komplex számunk jele w , a felülvonás a komplex számot jelenti, akkor

bjaw

Az így jelölt szám alakját algebrai vagy kanonikus alaknak nevezzük, ahol a valós

rész bj a képzetes részt jelöli. A j eredete a valós számok meghatározásából

ered. Tanulmányaink folyamán megállapítást nyert, hogy 4 -ből nem tudunk

gyököt vonni a valós számok körében. Következő átalakítással a művelet elvégez-

hető 12144 . Nyilvánvalóan jelölni kell, hogy -4-ből vagy +4-

ből vonunk gyököt. Ezért, a megállapodás az, hogy j1 -vel. Akkor az ered-

ményünk j24 . Ezért a komplex számsíkon jelöltük, hogy az ott lévő meny-

nyiségek j szeres értékűek.

A komplex számot vagy egy ponttal vagy a nullától a pontig húzott vektorral ábrá-

zoljuk.

Komplex szám ábrázolása ponttal

Ha a komplex számot vektorral ábrázoljuk, akkor megkapjuk a komplex szám

abszolút értékét. Mivel abszolút értékekről van szó ezért |a| és |b| is abszolút érté-

kű. Lényegében a |w| az |a| és|b| befogójú derékszögű háromszög átfogója akkor

Phytagoras - tételével számolható.

22|| baww

Az így kiszámolt komplex szám abszolút értéke egy olyan vektor, amelyik a

számegyenesek metszéspontjából (0) indul és az ábrázolt jbaw pontig tart.

Komplex szám abszolút értéke

A komplex szám további alakjainak magyarázatához a vektoriális alak ábrázolását

használjuk fel.

jb jbaw

a 0 -

-

Re

-j

+j Im

jbaw

w jb

a 0 -

-

Re

-j

+j Im

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

46

A komplex szám abszolút értékű vektorának nyílásszöge

Komplex szám további alakjait az algebrai (kanonikus) alakból vezethetjük le. Az

algebrai alakot ábrázoló rajzon látjuk, hogy a kanonikus alak a és b értéke az ábra

ab|w| derékszögű háromszögből egyszerű szögfüggvénnyel meghatározható.

coswa

sinwb

Behelyettesítve az algebrai alakba

jwwbjaw sincos

A |w| kiemelése után

)sin(cos jww

Megkaptuk a komplex szám trigonometrikus alakját, ahol a valóstengely és a vek-

tor által bezárt szöget a

a

barctg

egyenlettel számoljuk ki.

Az exponenciális alakot az Euler formulából vezethetjük le.

jej sincos

Ahol je egy hatvány érték ahol e a hatvány alap, a természetes alapú logaritmus

értéke (2,89898), j a hatvány kitevő. Abszolút értékű szorzással megkapjuk a

komplex szám újabb alakját.

)sin(cos jwewwj

Komplex számsík alkalmazása impedancia számításra.

Az impedancia a soros LRC körök számítására alkalmas, ami az elemeken átfolyó

áram pillanat értékének azonosságát feltételezi. Nézzük a következő LRC körre

felírt impedancia egyenleteket.

A

B

R

L

C

A

B

Z

I(t) I(t)

Soros LRC kör eredő impedanciája

w

jb

a 0

-

-

Re

-j

+j Im

jbaw

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

47

A valóstengelyen R ellenállás értékeit, a képzetes tengely pozitív része az indukti-

vitás impedanciája jXL, negatív részén a kapacitás impedanciáját -jXC-t helyezzük

el.

Impedancia számsík

A komplex impedanciát felírtuk az ábrára, ami nem más, mint a valós ellenállás-

hoz hozzáadjuk a tekercs és kondenzátor látszólagos impedanciáinak különbségét.

jXXRZ CLR )(

Az impedancia abszolút értéke, nagysága

22CLR XXRZ

Egy valós érték, melynek mértékegysége

][Z

Sorba kapcsolt RL kör

Impedanciája

jXRZ LR

Abszolút értéke, nagysága

22LR XRZ

Sorba kapcsolt RC kör

jXRZ CR

Abszolút értéke, nagysága

22)( CR XRZ

A soros LC kör impedanciája

jXXZ CLLC )(

Az abszolútérték nagysága

CLLC XXZ

A reaktanciának van impedanciája akkor, ha egy áramkörben vizsgált impedanciá-

nak nincs valós értéke R=0. Két ilyen típusú hálózatot ismerünk

Ha 0XC akkor a soros L körre az

LL XjZ

egyenletet kapjuk és a hálózatot induktív jellegű hálózatnak nevezzük.

Abszolút érték nagysága

LL XZ

Ha a 0XL akkor az egyenletünk

CC XjZ

-jXC

|Z|

jXL

a 0 -

-

-

-

R

j)XX(RZ CLR

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

48

Abszolutérték nagysága

CC XZ

ebben az esetben a hálózatunk kapacitív jellegű.

Az |XL| és |XC| abszolút értékét a képzetes tengely 0 pontjából vesszük fel.

Létezik olyan frekvencia, mikor CL XX , akkor az impedancia értéke valós,

RRLC RZ

Ha RR=0, akkor

0RLCZ

A valóságban nincs ilyen eset, a vezetékeknek mindig van RR értékük csak azt

nem ismerjük mert nem számoltunk vele.

Komplex számsík alkalmazása admittancia számításra.

Az admittancia számítása a párhuzamosan kapcsolt RLC elemek esetén használ-

juk, ahol az elemeken lévő feszültség pillanatértéke azonos.

A

B

R L C

A

B

YU(t) U(t)

Párhuzamos LRC kör eredő admittanciája

Az admittancia hasonló komplex számsíkot alkot, mint az impedancia. Így, ha az

ellenállás (R) helyett a vezetést (G), tekercs és kondenzátor reaktanciák (XC, XL)

helyére azok szuszceptanciákat (BC, BL)helyettesítjük. Az helyettesítés után a

komplex admittancia számsík a következő ábra szerint néz ki.

A komplex admittancia számsík

Az RLC párhuzamosan kapcsolt áramkör eredő admittanciája a valós vezetés,

valamint a kondenzátor és tekercs admittancia különbségének összege.

jBBGY LCR )(

Abszolút értéke

22LCR BBGY

Hasonlóan mint az impedancia esetén számíthatjuk a párhuzamosan kapcsolt

RC,RL és LC áramkörök eredő admittanciáit.

Párhuzamos kapcsolású RC kör admittanciája

jBGY CRRC

Admittancia nagysága

22CRRC BGY

-jBL

|Y|

jBC

a 0 -

-

-

-

G

j)BB(GY LcR

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

49

Párhuzamos kapcsolású RL admittanciája

jBGY LRRL

Admittancia nagysága

22)( LRRL BGY

Párhuzamos LC kör admittanciája

jBBY LCLC )(

Admittancia nagysága

LCLC BBY

A szuszceptanciának van admittanciája párhuzamos LC kör esetén

Ha 0LB akkor

jBY CC

A hálózatunk kapacitív jellegű

Admittancia abszolút értéke

CC BY

Ha 0CB akkor

jBY LL

Abszolút értéke

LL BY

Vegyes kapcsolású LRC áramkör

Vegyes kapcsolású LRC áramkörök számítását úgy végezzük el, hogy részáram-

körönként elvégezzük az részeredő számításokat, ha a kapcsolás soros, akkor im-

pedancia, ha párhuzamos admittancia értéket. A részáramkörökből számított ere-

dőt, a megfelelő kapcsolás eredőszámításával határozzuk meg.

Nézzünk egy feladatot.

A

B

R1

R2

R3

L1

C1

L2

C2

A kapcsolás elemzésével tudjuk meghatározni az eredő impedanciát

(admittanciát). Látjuk, hogy L1 tekerccsel sorba van kapcsolva a többi elem úgy,

hogy három soros ág kapcsolódik egymással párhuzamosan. Írjuk fel a rész impe-

danciákat, ha ismerjük az elemek értékeit.

Legyen

mH1L1 , H75L2 , F100C1 , F150C2 , 11R , 2R2 , 3R3 ,

kHz1f A feladat megoldása:

Először kiszámítjuk a reaktáns elemek értékeit 1kHz-re. Majd a három soros rész-

áramkör impedanciáit. A három soros részáramkör az AB ponttól gerjesztve pár-

huzamosan kapcsolt, ezért meghatározzuk az admittancia értékét, Végül az így

kiszámított admittancia értéket átalakítjuk impedanciára, hogy a vele sorba kap-

csolt L1 tekercs reaktanciáját hozzá tudjuk adni. Ezzel megkaptuk az áramkörünk

komplex impedancia értékét. Az impedancia nagyságát az abszolút érték meghatá-

rozása adja.

A reaktancia értékek

C1 kondenzátor

6,128,6

10

101001014,32

1

2

163

11

CfXC

C2 kondenzátor

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

50

142,9

10

101501014,32

1

2

163

22

CfXC

L1 tekercs

28,61011014,322 3311 LfXL

L2 tekercs

12,210751014,322 6322 LfXL

Impedancia értékek

R1C1 impedancia

jjXRZ CCR 6,111111

R2L2 impedancia

jjXRZ LLR 12,22222 2

Az R3C2 impedancia

jjXRZ CCR 13223 3

A soros kapcsolások párhuzamos (admittancia) eredője

232211

232211232211

111,,

CRLRCR

CRLRCRZZZ

ZZZYYYY

CRLRCR

Rész admittanciák számítása.

j

j

j

j

jZY

CR

CR 449,0281,056,3

6,11

6,11

6,11

6,11

1122

11

11

S

j

j

j

j

jZY

LR

LR 249,0235,05,8

12,22

12,22

12,22

12,22

1122

22

22

S

j

j

j

j

jZY

CR

CR 1,03,010

13

13

13

13

1122

23

23

S

Az 'Y eredő,

Sjjj

jYYYYY CRLRCRZZZ CRLRCR

)3,0816,0(1,03,0249,0235,0

449,0281,0'232211232211

,,

A rész impedancia értéke,

)3969,007,1(

755856,0

3,0816,0

3,0816,0

3,0816,0

3,0816,0

1

'

1'

22j

j

j

j

jYZ

Ezek után az impedancia értéke,

)6769,607,1()28,6(,3969,007,1)('1

jjjXZZ L

Az impedancia abszolút értéke

72,67249,4558,441449,1)6769,6(07,1 222jZ

A megoldásban alkalmaztuk a komplex számokra vonatkozó azonosságokat.

Összeadás

Komplex számot úgy adunk össze, hogy a valóst a valóssal, képzetest a képzetes-

sel adjuk össze.

)()(1 bjaw ; )()(2 djcw

)()(21 djbjcawww

Komplex szám értéke nem változik, ha 1-el megszorozzuk. Használata a nevező

komplexmentesítésére.

1

11

'

'

w

www

legyen )bja(w1 a konjugáltja )bja('w 1 és és 2211 )bj(a'ww de

111jj akkor

221 ba'w

Szorzás,

djbjdjabjccadjcbjawww 21

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

51

A kétpólus fogalma:

Minden olyan áramkört, amely két vezetékkel kapcsolódik a hálózatra

kétpólusnak nevezünk.

A kétpólus belső felépítése lehet egyszerű, egy áramköri elemet tartalmazó és

lehet összetett, több áramköri elemek kombinációját tartalmazó szimbolikus jelö-

lés.

Jelöljük a kétpólust KP-vel, akkor a kijelölt kapcsolási rajzunk tetszőleges pontjai-

ra felrajzolt kétpólus szimbolikus jelölésben megadható. Ha szimbolikus jelölést

villamos specifikációval is ellátjuk pl megadjuk kapcsain lévő feszültség vagy

áram értéket és azok mérőirányát, akkor a kétpólust meghatározottnak tekintjük.

Az előző kapcsolásunk további információja az is, hogy tetszőleges bonyolult zárt

áramkör két kétpólusra felbontható, amelyből azt, melyik aktív elemet tartalmaz

aktív kétpólusnak, amelyik nem tartalmaz aktív elemet passzív kétpólusnak neve-

zünk.

Négypólus fogalma:

Minden olyan áramkört, amely négy vezetékkel kapcsolódik a hálózatra és négy

vezeték páronként külön-külön definiálható, ahol definíció szerint egy kapocsár

Uo

R1

R3

c

d

R4 R5

R2

a

b

R1

R3

c

d

R2

b

a

Ibe Iki

Ube Uki

Összetett hálózat Szerkesztett négy pólus

be

menetet, egy kapocspár kimenetet jelent négypólusnak nevezünk

A négypólus olyan két vezetékpárral rendelkező áramkör, melynek belső felépíté-

sét, áramköri elemek logikai kapcsolatát csak addig tekintjük fontosnak, míg az

azonos felépítésű áramkörökre általános összefüggéseket (paramétereket) tudunk

meghatározni. A paraméterek meghatározása után a négypólust tekinthetjük egy

fekete doboznak is, amelynek a bemeneti kapcsaira jellemző villamos mennyiség a

bemeneti áram Ibe és bemeneti feszültség Ube, kimenetére a

R1

R3

c

d

R2

b

a

Ibe Iki

Ube Uki

a

b

c

d

Ibe Iki

Ube Uki

Szerkesztett négy pólus

NP

Szimbolikus jelölése

kimeneti feszültség Uki és kimeneti áram Iki. Egy négypólus bemenetén értjük azt

a kapocspárt, ami a gerjesztésre kapcsolódik, a négypólus kimenetén értjük a

négypólusról levehető, a négypólus által megváltoztatott villamos mennyiséget. A

bemeneti mennyiségek kimeneti változását a négypólus paramétereiként definiált

mennyiségek okozzák, melyek legalább egy bemeneti és egy kimeneti adat isme-

retében, megfelelő követelmények szerint meghatározhatók. Azokat a négypólusra

felírt egyenleteket, melyek egy bemeneti és egy kimeneti adat paraméteres válto-

Uo

R1

Io

R2

R3

a

b

R4

R5

R6

a

b

Vizsgált kapcsolás

KP KP

Kétpólussal f elrajzolt hálózat

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

52

zását írja le paraméteres egyenleteknek, több egyenlet esetén egyenletrendszernek

nevezzük. A paraméteres egyenletek közül három egyenletrendszert tanulunk.

a.) A bemeneti Ube és kimeneti feszültség Uki meghatározására felírt

egyenletrendszer az un. impedancia, vagy Z paraméteres egyenletrend-

szer. A Z paraméteres egyenletek a bemeneti Ibe és kimeneti áramok

Iki paraméter függését írja le.

b.) A bemeneti Ibe és kimeneti áramok Iki meghatározására felírt egyen-

letrendszer az un. admittancia vagy Y paraméteres egyenletrendszer.

Az impedancia paraméteres egyenletek a bemeneti feszültség Ube és a

kimenetei feszültség Uki paraméter függését irja le.

c.) A bemeneti feszültségre és a kimeneti áramra felírt egyenletrendszer

az un. hibrid-, vagy H paraméteres egyenletrendszer. A hibrid paramé-

teres egyenletek a bemeneti áram Ibe és a kimeneti feszültség Uki pa-

raméter függését adja..

Négypólus paraméterek

Impedancia (ZXY) paraméterek

Négypólus impedancia-, Z paramétereinek értelmezése:

Az egyenletet felírásakor figyelembe vesszük, hogy a kapocspárak feszültségét

akarjuk meghatározni az áramok paraméteres függőségének segítségével.

A paraméterek indexelése úgy történt, hogy :

az első indexjegye

ha a meghatározandó villamos mennyiség bemeneti, akkor 1, ha kimeneti

villamos mennyiség, akkor 2 jelű

a második indexjegy

a paraméter függő villamos mennyiségre utal, ha bemeneti, akkor 1, ha ki-

meneti akkor 2.

Ezek után a bevezetett jelölésekkel írjuk föl a paraméteres egyenletrendszerünket:

kibeki

kibebe

IZIZU

IZIZU

2221

1211

Az egyenletrendszer első egyenlete a bemeneti feszültség értékét írja le bemeneti

és kimeneti áramok paramétereinek függvényében, a második egyenletünk a ki-

meneti feszültséget adja meg a bemeneti és kimeneti áramok függvényében. A két

egyenlet paraméterei nem lehetnek azonosak, mert az első egyenletben a bemeneti

oldalról vizsgáljuk a jellemzők villamos értékeit, míg második esetben ugyanez a

vizsgálat a kimenetről történik. Az egyenletrendszerből kifejezett paraméterek

feszültség-áram kapcsolata (hányadosa) ellenállásértéket adnak ezért a minden

paraméter mértékegysége

A

V

I

UZXY

A Z11 , bemeneti impedancia meghatározása

A Z11 paraméter vizsgálatához és meghatározásához speciális áramköri követel-

mények biztosítása szükséges,

kiindulása az egyenletrendszer

első egyenletéből történik.

Az kibebe IZIZU 1211

egyenletből kifejezve Z11 –et,

be

ikeb

I

IZUZ

1211

kifejezést kapjuk. Tegyük egyen-

letünket más paramétertől függet-

lenné, amit úgy érhetünk el, hogy

a kiIZ 12 szorzat legyen egyen-

lő nullával. A Z12 paraméter nem lehet nullaértékű, de a kimeneti Iki áram értéke

R1

R2 R3

R4

R5

c

d

a

b

Ibe

Ube Uki

Iki

Passzív négy pólus

a

b

c

d

Ibe Iki=0

Ube UkiNP

Szimbolikus jelölése

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

53

igen. A kimeneti áram értéke akkor nulla, ha a kimenetet szakadásként kezeljük. A

feltételeket kapcsolási rajzban összefoglalva, Iki=0-val kiegészítve lerajzolhatjuk.

Ilyen kapcsolási feltételek mellett biztosítottuk a kiIZ 12 szorzatunk 0 értékét és

kifejezésünk, feltüntetve a kimeneti áram nulla értékét, a következők szerint egy-

szerűsödik

0|11 kibe

ebI

I

UZ

A Z11 bemeneti impedancia paraméter, paraméter független értékét akkor szá-

molhatjuk ki, ha a kimeneti áram értéke nulla, ebben az esetben a bemeneti

feszültséget eloszthatjuk a bemeneti árammal, értékül a Z11 bemeneti impedan-

cia paraméter értékét kapjuk. A bemeneti impedancia paraméter értéke megadja,

hogy Ibe áram hatására milyen nagyságú Ube bemeneti feszültség mérhető, a

bemeneti kapocspár között, ha a kimenete nem folyik áram.

Egy egyszerű kapcsolási rajz vizsgálata még érthetőbbé teszi a Z11 bemeneti impe-

dancia meghatározását.

A Z11 bemeneti impedancia paraméter független kiszámítása az előzőek szerint Iki

kimenetei áram nulla értéke esetén a bemeneti feszültség és bemeneti áram hánya-

dosa. A kimeneten cd kapocspár között áram nem folyik, így csak a bemeneti ab

kapcsok között folyó Ibe áram határozza meg a négypólus feszültség és áramvi-

szonyait. A négypólus gerjesztését a bemeneti oldalon elhelyezve bizonyítható,

hogy UR3=Uki egyenlőség. A mérési rajzon látható, hogy a kimeneti Uki feszült-

ség 2V értéke megegyező az UR3 értékével, amit

Kirchhoff hurok, és Ohm törvényeivel igazolhatunk. Az Uki UR4 és UR3 egy

feszültséghurkot alkotnak, akkor alkalmazható rá a huroktörvény. Figyelembe

véve a feszültségirányokat, UR4-re nem ismert, írható

043 kiRR UUU

A mérésből az is megállapítható, hogy Iki=0-val szorzott R4 ellenállás értéke, is

nulla,

VRRIU kiR 04044

helyettesítve a hurokegyenletbe,

003 kiR UU

A kimeneti feszültségünk R3 ellenállás feszültségre.

kiR UU 3

A kimeneti feszültség értékét az R3 ellenállásra jutó Ibe áram része hozza létre.

Általános megoldásként ismertetésre kerül, ha ismert az ellenállások értéke, akkor

kiszámítható a bemeneti impedancia értéke.

Gerjesztésként feszültséggenerátort alkalmaztunk, akkor a bemeneti áram a beme-

neti feszültség (forrásfeszültség) és a feszültséggenerátorra kapcsolódó ellenállás-

ok eredőjéből kiszámítható.

532111RRxRR

U

Rx

UI be

Z

bebe

Helyettesítve

0|

11

11

ki

Z

be

be

be

ebI

Rx

U

U

I

UZ

Rendezve az egyenletet

0|..532111 ki

be

be IRRxRRU

UZ

Egyszerűsítve Ube értékkel

0|..532111 kiIRRxRRZ

értéket kapjuk.

Ha feszültséggenerátor helyett áramgenerátort alkalmazunk, akkor a bemeneti

áramból a bemeneti feszültség meghatározható

Ibe R1

R2

R5

R3

Iki=0 R4

Uki

d

c

Ube UR3=Uki

Passzív négy pólus Z11 v izsgálatához

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

54

5321 RRxRRIU bebe

Akkor a

0|5321

11

ki

be

be

be

ebI

I

RRxRRI

I

UZ

Egyszerűsítve Ibe értékkel

0|532111 kiIRRxRRZ

megoldást kapjuk, ami egyező a feszültséggenerátoros megoldással.

A Z12 , átviteli (transzfer) impedancia meghatározása

Egyenletünk ismételten az impedancia paraméteres egyenletrendszer első egyenle-

te.

kibebe IZIZU 1211

A Z11 paramétertől független egyenletet akkor kapjuk, ha a bemeneti áramot nul-

lával tesszük egyenlővé.

ki

bebe

I

IZUZ

11

12

Ibe= 0 esetén, 011 beIZ is nulla, akkor

0|12 be

ki

be II

UZ

egyenlőséggé redukálható.

A Z12 transzfer impedancia paraméter, paraméter független értékét akkor szá-

molhatjuk ki, ha a bemeneti áram értéke nulla, ebben az esetben a bemeneti

feszültséget eloszthatjuk a kimeneti árammal, értékül a Z12 transzfer impedancia

paraméter értékét kapjuk.

Az átviteli transzfer impedancia paraméter értéke megadja, hogy Iki áram hatá-

sára milyen nagyságú bemeneti feszültség mérhető a bemeneti kapocspár között,

ha a bemeneten nem folyik áram.

Ibe=0 R1

R2

R5

R3

Iki R4

Uki

b

a

Ube=UR2Ube Io

Passzív négy pólus Z12 v izsgálatához

Változatlan négypólus kapcsolás esetén, a gerjesztést most a kimenetre kell elhe-

lyezni, mivel Ibe=0 jelenti a bemenet szakadását. A bemeneti feszültséget az R2

ellenálláson folyó Iki áram, R2 ellenállásra eső része állítja elő. A feltételes egyen-

let tehát jelenti a kimeneti áram, milyen bemeneti feszültséget állít, elő bemeneti

feszültség nélkül.

A mérőkapcsolásban érdemes áramgenerátort alkalmazni, melynek forrásárama Iki

áram értéke.

Célunk, az ismert jellemzővel rendelkező passzív áramköri elemekkel összeállított

kapcsolási rajz Z12 paraméterének meghatározása. Az Ibe=0 feltétellel kiegészített

kapcsolás értelmezése igen fontos, mert e feltételnek meg kell jelennie az áramköri

számítások egyenleteiben.

Kiindulási egyenletünk a

0|12 be

ki

be II

UZ

vizsgálatával kezdjük, melyet a Z11 paraméterszámításnál is megtettünk. A mérő-

kapcsolásban mért értékeket a számpéldában is igazolni kell, amit első lépésben a

feltétel határozhat meg. Az Ibe=0 azt jelenti, hogy a jelölt bemeneten nem folyhat

áram. Előző mondatból következik, hogy a bemenetre szakadást kell kapcsolni,

ebből jöhet az a további következtetés, hogy generátort sem helyezhetünk a beme-

netre. A bemenetgerjesztés nélküli négypólus mégis rendelkezik bemeneti feszült-

séggel, amit az Iki bemenetre eső része hoz létre. Jelen esetben az R2 ellenálláson

átfolyó része. Az előző megállapításunkat ki

be

I

Uhányados jelenti, melynek elektro-

nikai és ezen belül NP- értelmezése azt jelenti, hogy a kimeneti áram a bemeneten

milyen értékű feszültséget hoz létre? A gerjesztésünk az Iki értékének beállítása

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

55

miatt került a kimeneti oldalra. Továbbiakban is az első lépés mindig a paraméter-

függetlenített egyenletünk feltételének teljesítésével kezdünk, és ezek után hatá-

rozzuk meg a gerjesztés és felelet oldalt.

Célunk tehát Z12 értékének megadása a beépített ellenállások értékeivel, mivel egy

áramkör megvalósítása esetén a beépített ellenállások állandó értékkel (jellemző-

vel) rendelkezik, ebből következtethető, hogy a rajta lévő feszültség és áram érté-

kek egymással lineáris kapcsolatban állnak.

A kiszámítás menete:

A mérőkapcsolás alapján az Ube, UR1 és UR2 elemekből felépített hurokra felírható

a huroktörvény

021 RRbe UUU

Az Ube bemenetre a kapcsolási rajz alapján szakadást helyeztünk, melyen nem

folyhat áram, így Ibe=0 feltételt teljesítettük. A 1RU jelenti, hogy nem ismert a

mérőirány, mivel R1 ellenálláson nem folyik áram, akkor értéke is nullaértékű.

Ezek után az UR2 feszültég értékét vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az R2 két

hurokban is szerepel. Az elsőt az előbb felsoroltak alkotják, a másodikat az R2, R3

és az R5 elemekkel épül fel. Tovább haladva a kimenet felé a második hurokban

lévő R3 ellenállás egy harmadikként fellelhető hurok része, amit az R3, R4 ellenál-

lások és az Iki forrásáramú ideális áramgenerátor alkot. Megállapítottunk két zárt

és egy nyitott hurkot. A zárt hurokokban folyó áram meghatározza a hurkok ele-

meinek feszültség viszonyait. Az is megállapítható, hogy a zárt hurkokban folyó

áram értékét a kimenetre kötött áramgenerátor forrásárama, vagy annak egy része

adja. Jelen bemenetet vizsgálva a bemeneti nyitott áramkörben a szakadás miatt

nem folyik áram, de az R2 ellenállás két hurok tagja, és a második hurok zártsága

miatt rajta Iki részáramának megfelelő UR2 feszültség esik. A legutóbbi egyenle-

tünket úgy felírva, hogy figyelembe vesszük az eddig megismerteket, felírható

02 Rbe UU

ebből

2Rbe UU

Tehát a bemeneti feszültséget az R2 ellenálláson átfolyó Iki áram részértéke hozza

létre. Ha ezt meghatározzuk, akkor Ube helyettesíthető a kapott összefüggéssel.

22 RIU Rbe

IR2 áramának meghatározásához áramosztót használva, a főág áramának ismerete

szükséges, A főág árama a gerjesztés felöl az R4 ellenálláson érkezik. Az R4-en az

Iki áram folyik, akkor

352

32

RRR

RII kiR

Helyettesítve a bemeneti feszültséget meghatározó képletünkbe

2352

322 R

RRR

RIRIU kiRbe

Most már meghatározható Z12 értéke

0|2

352

3

12

bekiki

be IRI

RRR

RIki

I

UZ

Iki egyszerűsítésével és R2 számlálóba felvitelével kapjuk,

0|532

3212

be

ki

be IRRR

RR

I

UZ

A gondolkozás menete és számítási gyakorlatunk hasonló, ha a kimeneti áramot

nem áramgenerátor, hanem Uki forrásfeszültségű feszültséggenerátor adja. Ebben

az esetben a kimeneti feszültségből és a feszültséggenerátorra kapcsolódó ellenál-

lások eredőjéből kell meghatározni az Iki kimeneti áramot.

12ZRx

UkiIki

Ahol az RxZ12 indexelésű eredő ellenállás jelenti, a Z12 feltételt teljesítő kapcsolá-

sunk eredő ellenállását.

523412RRxRRRxZ

és

5234 RRxRR

UI ik

ki

Az 2Rbe UU megállapításunk most is igaz, akkor feszültségosztó képletének

segítségével az Uki feszültségből két lépésben kiszámítható,

Első lépés

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

56

52

232

RR

RUU RR

Második lépés az ismeretlen UR3 meghatározása

4523

5233

RRRxR

RRxRUU kiR

UR2 számítási képletébe helyettesítve,

52

2

4523

5232

RR

R

RRRxR

RRxRUUU kiRbe

A kapott eredményeket visszahelyettesítve a paramétert meghatározó összefüg-

gésbe,

0|

5234

52

2

4523

523

12

beki

ki

ki

be I

RRxRR

U

RR

R

RRRxR

RRxRU

I

UZ

A látható egyszerűsítések, Uki és 4523 RRRxR

0|32

252312

beI

RR

RRRxRZ

Elvégezve a replusz műveletet

0|32

2

523

32312

beI

RR

R

RRR

RRRZ

Most 32 RR egyszerűsítése aktuális,

0|2

523

312

beIR

RRR

RZ

Utolsó lépésként R2-őt a számlálóban elhelyezve, nevezőt növekvő indexként

rendezve,

0|532

3212

beI

RRR

RRZ

Kifejezésünk egyező az áramgenerátoros gerjesztéssel számított egyenlettel.

A Z21 , átviteli (transzfer) impedancia meghatározása

Kiindulási egyenletünk az egyenletrendszer második egyenlete,

kibeki IZIZU 2221

Kifejezve Z21-et

be

ikki

I

IZUZ

2221

A paraméter meghatározásának menet egyező az eddigiekhez.

Más paramétertől függetlenné téve,

0|21 ki

be

ki II

UZ

A Z21 transzfer impedancia paraméter, paraméter független értékét akkor szá-

molhatjuk ki, ha a kimeneti áram értéke nulla, ebben az esetben a kimeneti

feszültséget eloszthatjuk a bemeneti árammal, értékül a Z21 transzfer impedancia

paraméter értékét kapjuk.

Az átviteli transzfer impedancia paraméter értéke megadja, hogy Ibe áram hatá-

sára milyen nagyságú kimeneti feszültség mérhető a kimeneti kapocspár között,

ha a kimeneten nem folyik áram.

Most ellentétben a Z12 paraméterrel, itt Io=Ibe gerjesztő hatását nézzük meg az Uki

kimeneti feszültség függvényében

Kapcsolásunkat megfeleltettük az egyenletben leírt feltételnek. Az egyenlet kiegé

szítő feltétele, az eddigiekkel megegyezően a jobb oldal paraméter függetlenné

tétele a cél. A négypólus vizsgálata, kapcsolásunk esetleges változása e miatt jön

létre, és ezek figyelembe vételével kell véghezvinni. Gerjesztéssel rendelkező

hálózatot a gerjesztés villamos jellemzőinek figyelembe vételével határozhatunk

meg. Jelen gerjesztésünk a bemeneten van, típusa ideális áramgenerátor, jellemző-

je a forrásárama (Io). Az Io forrásáram a szükséges bemeneti áram. Előző megál-

lapítások után áramköri vizsgálatunk az ideális áramgenerátorra kapcsolt

négypólus azon részére szorítkozik, melyben Io forrásáram áthalad. Kijelentésünk

szerint más gerjesztő hatást nem kell figyelembe venni.

Hosszabb magyarázat nélkül, az Uki kimeneti feszültség, a bemeneti Ibe gerjesztő

áram részértékéből meghatározható. Előzőekben bebizonyítottuk, hogy az Uki

kimeneti feszültség Iki=0 értéke miatt UR3 feszültséggel egyező, amelyet Ibe be-

meneti gerjesztő áram azon része hoz létre, ami az R3 ellenálláson átfolyik. A

tanultak alapján ez az áramérték kiszámítható, pl áramosztó képlet segítségével.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

57

)( 532

23

RRR

RII beR

Az R3 ellenállás UR3 feszültsége,

333 RIU RR

IR3 értékét helyettesítve, és Uki=UR3 egyezőségét

3532

2333 R

RRR

RIRIUU beRRki

Írjuk vissza a kiindulás egyenletébe,

0|532

32

21

ki

be

be

be

ki II

RRR

RRI

I

UZ

Ibe egyszerűsítése után,

0|532

3221

kiI

RRR

RRZ

eredményt kapjuk, ami azonos a Z12 paraméter meghatározásakor kiszámított

egyenlettel.

Ezért, tetszőleges passzív négypólus átviteli transzfer impedancia paramétereinek

értékei azonosan egyezők. (Z12=Z21)

Számításunk elvégezhető a bemeneti oldal feszültséggenerátoros gerjesztésével is,

hasonló megfontolásokkal a Z12 paraméter meghatározásakor alkalmazott módsze-

rekkel.

A Z22 , kimeneti impedancia meghatározása

Meghatározása egyenletrendszerünkből a második egyenlet. Ugyan úgy, ahogy

eddig, a jobboldalt paraméter függetlenné tesszük,

Kiindulási összefüggésünk,

kibeki IZIZU 2221

Ebből Z22

ki

beki

I

IZUZ

21

22

Egyenletünk paraméter független lesz, ha Ibe=0 követelményt teljesítjük.

0|22 be

ki

ki II

UZ

A négypólus kapcsolásunk átalakítása az egyenletben megfogalmazottak biztosítá-

sa. Látható, hogy az Ibe=0 feltétel miatt a bemeneten nem lehet gerjesztés. Para-

méterünk értékét a kimeneti villamos jellemzők viszonya határozza meg.

Ube

a

b

R4Iki

R3

R5

R2

R1Ibe=0

Uki

Passzív négy pólus Z22 v izsgálatához

A Z22 kimeneti impedancia paraméter, paraméter független értékét akkor szá-

molhatjuk ki, ha a bemeneti áram értéke nulla, ebben az esetben a kimeneti

feszültséget eloszthatjuk a kimeneti árammal, értékül a Z22 kimeneti impedancia

paraméter értékét kapjuk.

A kimeneti impedancia paraméter értéke megadja, hogy Iki áram hatására mi-

lyen nagyságú kimeneti feszültség mérhető a kimeneti kapocspár között, ha a

bemeneten nem folyik áram.

A kimeneti impedancia paraméter kiszámításához az eddig is vizsgált áramkörün-

ket használjuk. A gerjesztett bemenet meghatározásával kezdjük. A gerjesztés

jellege itt is tetszőlegesen választható, lehet feszültséggenerátoros vagy áramgene-

rátoros gerjesztés. Bemutatásra a feszültséggenerátoros alkalmazást választottam.

A kialakított kapcsolási rajz,

A generátor forrásfeszültsége az Uki kimeneti feszültség, melyből a kimeneti áram

meghatározható,

22XZ

kiik

R

UI

Az RXZ22 jelenti a paraméter független feltétel teljesítésének biztosítását. Ezért

523422RRxRRRXZ

Helyettesítve a paraméter kiszámítási egyenletbe,

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

58

0|

5234

22

beki

ki

ki

ki I

RRxRR

U

U

I

UZ

Uki értékkel egyszerűsítve,

0|523422 beIRRxRRZ

Áramgenerátoros gerjesztéskor a kimeneti feszültség határozható meg,

Tehát,

22XZikki RIU

Eredő ellenállás helyettesítéssel,

5234 RRxRRIU kiki

Z22 kiszámítási képletébe helyettesítve

0|5234

22

be

ki

ki

ki

ki II

RRxRRI

I

UZ

Kimeneti áram egyszerűsítéssel, az eredményünk megegyező a feszültséggenerá-

toros alkalmazással,

0|523422 beIRRxRRZ

Impedancia paraméterekkel meghatározott négypólus

Az ismert impedancia paraméterek meghatározhatók egy tetszőleges passzív

négypólus esetén, ha ismerjük a vizsgált áramkört felépítő ellenállások jellemző-

jét. Az előzőekben ezeket a feladatokat oldottuk meg. Egy áramkörbe illeszkedő

R1

R2 R3

R4

R5

Ibe

a c

Iki

db

Ube Uki

Passzív négy pólus

passzív négypólus tervezésének kiindulási adatai lehetnek a bemeneti és kimeneti

villamos jellemzők meghatározása, melyhez egy adott kapcsolási rajzot kell szer-

keszteni. A bemeneti és kimeneti villamos jellemzők ismerete esetén a négypólus

impedancia paraméterei meghatározhatók abban az esetben, ha ismert az impedan-

cia paraméterekből felépített négypólus paramétereinek logikai kapcsolata.

A négypólus paramétereinek logikai kapcsolata a négypólust leíró egyenletrend-

szerből megszerkeszthető.

Az impedancia paraméterekkel felépített általános négypólus paramétereinek logi-

kai kapcsolata ezek szerint a kiindulási egyenletrendszerből felrajzolható. A para-

méterek kiszámításakor részletesen megvizsgáltuk az egyes paraméterek jelenté-

sét, melyet most egyenleteinek felírásával foglaljuk össze.

A négypólus paraméterek egyenletei:

Bemeneti impedancia:

0|11 ki

be

ebI

I

UZ

Értéke a bemeneti feszültség és bemeneti áram hányadosa, nulla kimeneti

áram esetén, ami egy olyan ellenállásnak fogható fel, amely a négypólus

bemenetére közvetlenül kapcsolódik.

Átviteli, vagy transzfer impedancia paraméterek

Bemenet-kimenet kapcsolat

0|12 be

ki

be II

UZ

Értéke a bemeneti feszültség és a kimeneti áram hányadosa, árammentes

bemenet esetén. Egy olyan ellenállásnak fogható fel, ami a bemenettel és

a kimenettel is kapcsolatban van úgy, hogy a bemeneti feszültséget vál-

toztatja meg a kimeneti áram függvényében.

Kimenet bemenet kapcsolat

0|21 ki

be

ki II

UZ

Értéke a kimeneti feszültség és bemeneti áram hányadosa árammentes

kimenet esetén. Egy olyan ellenállásnak fogható fel, amely az előzőhöz

hasonlóan a kimenet és bemenet közötti kapcsolatot (jel átvitelt) határoz-

za meg, és azt is megállapítottuk, hogy értékük passzív négypólus esetén

azonos.

Kimeneti impedancia paraméter

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

59

0|22 be

ki

ki II

UZ

Értéke a kimeneti feszültség és kimeneti áram hányadosa a bemeneti nul-

laértékű áram esetén. Sok magyarázat nem kell, hogy egy olyan ellenál-

lás, amely csak a kimenetre kapcsolódik.

Ezek után az impedancia paraméterekkel felépített négypólus kiszerkeszthető, a

paraméteres egyenleteiből. Ha az egyenletek

kibe

kibe

IZIZUki

IZIZUbe

2221

1211

Látjuk, hogy az Ube bemeneti feszültség két feszültség összege, ha le akarjuk raj-

zolni az első egyenletet, akkor egy olyan kapcsolást kapunk, ahol a Z11 impedan-

cián átfolyó Ibe áram gerjeszt egy feszültségértéket, és vele sorba kapcsolt kiIZ 12

feszültségértéket mérhetünk. Legyen az utóbbi egy ideális feszültséggenerátor,

akkor az első egyenletünk helyettesítő kapcsolása

+

Ube

Z11

U1=Z12 Iki

Ibe

Ugyan így felrajzolható a második egyenletünk, itt beIZ 21 szorzatot ábrázoljuk

ideális feszültséggenerátorral.

+

Z22 Iki

UkiU2=Z21 Ibe

Ezek után felrajzolható a teljes kapcsolás

+ +

Ube

Z11

U1=Z12 Iki

Ibe Z22 Iki

UkiU2=Z21 Ibe

Ami nem más mint a bemenetre és a kimenetre felrajzolt, a Z paraméterekkel és a

kapcsolódó villamos mennyiségekkel megadott Thevenin helyettesítő kép.

Admittancia (YXY) paraméterek

A négypólus admittancia, Y paramétereinek értelmezésével kezdjük:

Az egyenletrendszer felírásakor figyelembe vesszük, hogy a bemeneti és kimene-

ti kapocspáron átfolyó áram értékeit akarjuk meghatározni a feszültségek para-

méteres értékeinek függvényében.

kibeki

kibebe

UYUYI

UYUYI

2221

1211

Indexelésünk felépítése megegyező a Z paramétereknél alkalmazott indexelések-

kel.

Az admittancia paraméter mértékegységét [YXY ] egyenletrendszerből kifejezett

áram-feszültség kapcsolat (hányados) adja

SU

IYXY

1

ami, vezetés mértékegységnek felel meg. (S= siemens). A Z paraméternél alkal-

mazott kapcsolást alkalmazzuk itt is.

Az Y11 , bemeneti admittancia paraméter meghatározása

Az Y11 paraméter az első egyenlet első paramétere a bemeneti feszültség paramé-

terfüggőségét adja meg.

kibebe UYUYI 1211

Kifejezve az egyenletből

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

60

be

ikbe

U

UYIY

1211

Az egyenletet Y12 paramétertől függetlenné úgy tudjuk tenni, hogy a kimeneti

feszültséget nullaértékűvé tesszük. Ez jelenti a kimeneti kapocspár rövidre zárását.

Így

0|11 ki

be

be UU

IY

A Y11 bemeneti admittancia paraméter, paraméter független értékét akkor szá-

molhatjuk ki, ha a kimeneti feszültség értéke nulla, ebben az esetben a bemeneti

áramot eloszthatjuk a bemeneti feszültséggel, értékül a Y11 bemeneti admittancia

paraméter értékét kapjuk. a

A bemeneti admittancia paraméter értéke megadja, hogy a bemeneti feszültség

hatására milyen nagyságú bemeneti áram mérhető, rövidre zárt kimeneti ka-

pocspár esetén.

Kapcsolási rajzunkat ennek megfelelően egészítettük ki. A kimenetet rövidre zár-

tuk, a villamos jellemzők meghatározásához szükséges gerjesztést a bemenetre

helyeztük el. Elsőként fezültség generátort.

A kimenet rövidzá-

rásával a kimeneti

áram irány megvál-

tozik, mivel gerjesz-

tésünket csak a

bemenetre helyez-

hetjük el. A beme-

netre egy olyan

ideális feszültség-

generátort kapcsol-

tunk, melynek for-

rásárama Ube érté-

kű. Az így előkészített négypólus megfelel a paraméter független Y11 értékének

meghatározására. A feszültséggenerátor alkalmazása miatt a négypólus Ibe beme-

neti árama meghatározható, mely az alkalmazott ideális feszültséggenerátorra

kapcsolt terhelés áramfelvételének felel meg. Az ideális feszültséggenerátor for-

rásfeszültsége Ube, a rákapcsolt terhelés RXY11 értéke.

11XY

bebe

R

UI

Az RXY11 értékének kiszámítása az átalakított kapcsolási rajzból,

5432111

RxRRxRRRYX

Akkor Ibe

54321 RRRxRR

UI be

be

Az adott ellenállás hálózat Y11 paramétere,

0|

5432111

11

ki

be

be

be

X

be

be

be UU

RRRxRR

U

U

R

U

U

IY

Y

Ube értékkel egyszerűsítve,

5432111

1

RRRxRRY

A bemeneten, ideális feszültséggenerátor helyett ideális áramforrás is alkalmazha-

tó, akkor Ube feszültséget a bemeneti áram és az ideális áramgenerátorra kapcsolt

terhelés szorza-

tából kiszámolva

Y11 meghatároz-

ható

A bemeneti ger-

jesztésünk ideális

áramgenerátor,

melynek forrás-

árama Io értékű

áram. A bemene-

ti feszültség a

generátorra kap-

csolódó RXY11

előzőekben meghatározott ered ellenállás értékének és Io áram szorzata.

11YXbebe RIU

Bemeneti admittancia paraméter kiszámítási egyenletébe helyettesítve,

R1

R2 R3

R4

R5

Ibe Iki

UkiUbe

Négy pólus, az Y11 paraméter meghatározásához

f eszültséggenerátoros gerjesztéssel

R1

R2 R3

R4

R5

Ibe Iki

Ube UkiIbe

Négy pólus, az Y 11 paraméter meghatározásához

áramgenerátoros gerjesztéssel

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

61

0|

11

11

ki

Ybe

be

be

be URxI

I

U

IY

Helyettesítve az eredő ellenállást Ibe értékkel egyszerűsítve

5432111

1

RRRxRRY

eredményül a feszültséggenerátorral gerjesztett négypólus eredményét kapjuk.

Az Y12 ,átviteli, vagy transzfer admittancia paraméter meghatározása

Az Y12 paraméter az első egyenlet második paramétere a kimeneti feszültség pa-

raméterfüggőségét adja meg.

kibebe UYUYI 1211

Kifejezve az egyenletből

ki

bebe

U

UYIY

11

12

Egyszerűsítve -1 értékkel

ki

bebe

U

UYIY

11

12

Az Y11 paramétertől függetlenné tétele a bemeneti kapcsok rövidre zárásával te-

hetjük meg. (Ube=0 miatt a szorzat is nulla)

Egyenletünk egyszerűsödött változata

0|12

be

ki

be UU

IY

A negatív előjelű bemeneti áram jelenti, hogy a bemenet rövidzárásával a kime-

neti feszültség az eredetileg fölvett mérőiránnyal ellentétes irányú bemeneti

áramot hoz létre. Az ellentétes bemeneti áram tehát nem más, mint a bemeneti

rövidzáron folyó kimeneti áram részértéke.

Az Y12 átviteli vagy transzfer admittancia paraméter definíciója megfogalmazható.

Az Y12 átviteli vagy transzfer admittancia paraméter, paraméter független értékét

akkor számolhatjuk ki, ha a bemeneti feszültség értéke nulla, ebben az esetben a

kimeneti feszültség hatására, az előre felvett mérőiránnyal ellentétes irányú

bemeneti áramot eloszthatjuk a kimeneti feszültséggel, értékül a Y12 átviteli vagy

transzfer admittancia paraméter értékét kapjuk.

Az átviteli vagy transzfer admittancia paraméter értéke megadja, hogy a kimene-

ti feszültség hatására milyen nagyságú, de ellentétes irányú bemeneti áram mér-

hető a bemeneti kapocspár rövidzárása esetén.

Négypólus áramkörünket most az Y12 egyenlet szerint alakítjuk át. A mérőirányok

jelölésénél külön jelöltük a négypólus eredetileg fölvett mérőirányát, negatív elő-

jellel tüntettük fel az alapösszefüggésben szereplő, de ellentétes irányú bemeneti

áramot.

A kimenet

gerjesztéséhez

most ideális

feszültséggene-

rátort alkal-

maztunk,

melynek for-

rásfeszültsége

Uki értékű. A

bemeneti áram

a kimeneti

áram része,

vagy a kimene-

ti feszültségnek az a része, mely a bemeneti áramot meghatározza. A kapcsolásból

látható, hogy ez a feszültség az R1 ellenálláson eső feszültségérték. Ha az R1 el-

lenálláson eső UR1 feszültség a kimeneti Uki feszültségből meghatározható, akkor a

négypólus Y12 transzfer admittancia paramétere az ismert ellenállás jellemzőkkel

megadható.

A leírtak egyenletei;

A bemeneti áram,

1

1

R

UI R

be

Az UR1 feszültség meghatározásakor az R1 ellenállás áramköri helyétől addig kell

a gerjesztésig eljutni, míg a megadott értékű villamos paramétert megtaláljuk. Ez

most az Uki kimeneti feszültség. A helyes számítás érdekében áramkörünket fe-

R1

R2 R3

R4

R5

Ibe Iki

Ube=0

-Ibe

Uki

Négy pólus, az Y 12 paraméter meghatározásához

f eszültséggenerátoros gerjesztéssel

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

62

szültséghurok szerint vizsgáljuk. A gerjesztés felé haladva keressük a hurkok

közös ellenállásait. Három hurok található,

I hurokot az R1 és R2 ellenállás alkotja. Tudjuk Kirchhoff huroktörvényéből,

hogy két elemből álló hurok feszültségértékei egyenlők.

021 RR UU

21 RR UU

II. hurok az R2, R5, R3 ellenállások. Megtartva az I hurokra felvett hurok-

irányt

0352 RRR UUU

III. hurok elemei Uki ideális feszültséggenerátor és R4, R3 ellenállások

alkotják.

Alkalmazva a hurokirány megtartással a törvényt,

043 kiRR UUU

Megállapításunk szerint a kimeneti feszültségből tudjuk meghatározni UR1 feszült-

ségét a közös elemek feszültségeinek segítségével, feszültségosztó képlet segítsé-

gével.

A III hurokban Uki feszültsége megosztva jelentkezik R3 és R4 ellenálláson. Ak-

kor az R3 és R4 ellenállás bemeneti feszültsége Uki feszültség. A közös hurok-

elem az R3, ezért a rajta lévő feszültséget érdemes kiszámítani a tovább haladás

érdekében. A feszültségosztó képlete akkor alkalmazható, ha felső és alsó tagján

ugyanaz az áram halad át. Jelen esetben Iki, ezért az alsótag eredőjét kell venni.

45213

52133

RRxRRxR

RxRRxRUU kiR

A II hurokból

523 RRR UUU

Egyenletünk jelenti, hogy UR2 az UR3 feszültség része, az osztó árama IR5. Az R5

ellenállásra sorba, az R1 és R2 párhuzamos eredője kapcsolódik, ezért azonos IR5

osztóáram biztosítása miatt R1 és R2 ellenállások párhuzamos eredőjét kell venni.

521

2132

RxRR

xRRUU RR

Az I hurok megállapítása

21 RR UU

egyezőség miatt, a

521

2131

RxRR

xRRUU RR

Helyettesítve UR3-ra kapott kifejezést,

521

21

45213

52131

RxRR

xRR

RRxRRxR

RxRRxRUU kiR

kifejezést kapjuk. Az egyenlet tovább egyszerűsíthető, ha elvégezzük a kijelölt

replusz műveleteket.

Ezek után az átviteli admittancia paraméterbe helyettesítve

0|521

21

45213

5213

112

be

ik

ki

ki

be UU

RxRR

xRR

RRxRRxR

RxRRxR

R

U

U

IY

Egyszerűsítések

521

21

452131

521312

RxRR

xRR

RRxRRxRR

RxRRxRY

A Z paraméterekhez hasonlóan itt is a kimeneti gerjesztésünk nem csak ideális

feszültséggenerátor, hanem áramgenerátor is lehet. Ekkor a kimeneti feszültséget a

kimeneti áram és az áramgenerátorra kapcsolódó ellenállás hálózat eredő ellenál-

lásának szorzatával meghatározhatjuk. A bemeneti áram értéke a kimeneti áram

leosztott értéke, amit áramosztó segítségével határozhatunk meg.

Az Y21 ,átviteli, vagy transzfer admittancia paraméter meghatározása

Az Y21 átviteli transzver admittancia paraméter, az admittancia paraméteres

egyenletrendszer második egyenletéből határozhatjuk meg.

kibeki UYUYI 2221

Az egyenletrendszer a kimeneti paramétereket határozza meg. Kifejezve Y21

paramétert

be

kiki

U

UYIY

22

21

egyenletet kapjuk. A kifejezés megadja az Y21 meghatározásához szükséges villa-

mos mennyiségeket, valamint értékét az Y22 paraméterértéktől teszi függővé. Cé-

lunk az, hogy Y21 paraméter értéke más paramétertől független legyen, amit úgy

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

63

érhetünk el, hogy az kiUY 22 szorzat értékét nullával tesszük egyenlővé. A szor-

zat értéke csak akkor lehet nulla Uki=0-val. (Y22 nem lehet nulla.) A kimeneti

feszültség, Uki, akkor nulla értékű, ha a kimenetre rövidzárat kötünk. Tudjuk,

hogy rövidzár két pontja között a feszültségérték nulla. A leírtak alapján

0|21 ki

be

ki UU

IY

egyenletet kapjuk. Az egyenlet alapján Y21 átviteli, vagy transzfer admittancia

paraméter, paraméterfüggetlen értékét meghatározhatjuk.

A negatív előjelű kimeneti áram jelenti, hogy a kimenet rövidzárásával a beme-

neti feszültség az eredetileg fölvett mérőiránnyal ellentétes irányú kimeneti ára-

mot hoz létre. Az ellentétes kimeneti áram tehát nem más, mint a kimeneti rövid-

záron folyó bemeneti áram részértéke.

Az Y21 átviteli vagy transzfer admittancia paraméter definíciója megfogalmazható.

Az Y21 átviteli vagy transzfer admittancia paraméter, paraméter független értékét

akkor számolhatjuk ki, ha a kimeneti feszültség értéke nulla, ebben az esetben a

bemeneti feszültség hatására, az előre felvett mérőiránnyal ellentétes irányú

kimeneti áramot eloszthatjuk a bemeneti feszültséggel, értékül a Y21 átviteli vagy

transzfer admittancia paraméter értékét kapjuk.

Az átviteli vagy transzfer admittancia paraméter értéke megadja, hogy a beme-

neti feszültség hatására milyen nagyságú, de ellentétes irányú kimeneti áram

mérhető a kimeneti kapocspár rövidzárása esetén.

Végezzük el az egyenlet szerinti átalakításokat az eddig is vizsgált négypóluson

A kapcsolási

rajzon a beme-

neti feszültsé-

get valóságos

feszültséggene-

rátorral repre-

zentáltuk, mely

a négypólusra

Ibe bemeneti

áramot kényszerít. A kimeneti kapocspár rövidzár helyettesítéssel a kimeneti ára-

munk ellentétes irányú a négypóluson szabályosan felvett Iki árammal ezért, nega-

tív előjelű és az R4 ellenálláson halad át. Ismert ellenállásokból felépített

négypólus Y21 paramétere meghatározható a kapott összefüggés

0|21 ki

be

ki UU

IY

átalakításával. Az Y21 paraméterre kapott egyenletet alakítsuk át úgy, hogy az Iki

kimeneti áramot írjuk föl a bemeneti feszültség R4 ellenálláson eső feszültségének

és az ellenállás hányadosának függvényében. Egyenletünk

0|4

4

21 ki

be

R

UU

R

U

Y

Az UR4 feszültséget a bemenetből két lépésben elvégzett feszültségosztás kiszámí-

tása adja.

Ahhoz, hogy ezt elvégezzük további áramköri vizsgálat szükséges. A kimenet

rövidzárásával az R4 és R3 ellenállások kivezetései közös csomópontban vannak,

ezért kapcsolásuk párhuzamos. További megállapítás, hogy egy feszültséghurok-

ban vannak, valamint a feszültséghuroknak nincs több eleme. Kirchhoff huroktör-

vénye értelmében egy hurokban ha csak két áramköri elem van akkor feszültségük

azonos (UR4=UR3). Vizsgálatunkkal haladva a generátor felé, egy újabb feszültség

hurok található, melynek elemei R2, R5, R3. Figyelembe véve a szabályos mérő-

irányt felírható a következő huroktörvény.

0532 RRR UUU

A még nem vizsgált áramköri elemek az Ube jelű feszültséggenerátor, valamint az

R1 ellenálláson lévő feszültség. E két elemhez csatlakozó R2 ellenállás feszültsége

ismét egy feszültséghurkot alkot. Felírva az elemek feszültségeinek hurokegyenle-

tét

021 RRbe UUU

összefüggést kapjuk.

Megállapíthatjuk, hogy az ellenállásból felépülő négypólusunk három feszültség-

hurkot tartalmaz. A szomszédos feszültséghurkok közös elemekkel kapcsolódnak

egymáshoz, amelyek az R3 és R2 ellenállások feszültségei. Az Ube feszültséggene-

rátort forrásnak (gerjesztésnek) kell tekintenünk az R2 ellenállást közös hurok-

elemnek, akkor az R2 ellenállás feszültsége (UR2) az egyik hurokban kimeneti

feszültségnek (Ube,R1,R2 elemű hurok), mert

21 RRbe UUU

IbeR1

R2

R5

R3

R4

Ube Uki=0

Iki

-Iki

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

64

egyenlő, a másik hurokban (R2, R5, R3) forrásfeszültségnek kell tekintenünk, mert

532 RRR UUU

értékkel.

Az UR2 feszültséget tehát meg kell határozni. Akkor az R2 ellenállás feszültsége

feszültségosztó képletének alkalmazásával

43521

43522

xRRRxRR

xRRRxRUU beR

Célunk R4 ellenálláson lévő feszültség meghatározása, ahol felhasználjuk az

43 RR UU egyenlőséget. Ismételt feszültségosztó képlettel R3 (R4) ellenállás

feszültsége kiszámítható,

435

43243 )(

xRRR

xRRUUU RRR

Most már csak helyettesítéseket és matematikai egyszerűsítéseket végzünk el a

végeredmény eléréséhez.

Az R4 ellenállás feszültsége a UR2 helyettesítése után

435

43

43521

435243 )(

xRRR

xRR

xRRRxRR

xRRRxRUUU beRR

Az Y21 számítása,

be

be

be

R

U

R

xRRR

xRR

xRRRxRR

xRRRxRU

U

R

U

Y 4

435

43

43521

4352

4

4

21

Bemeneti feszültséggel egyszerűsítve

435

43

435214

435221

xRRR

xRR

xRRRxRRR

xRRRxRY

Rajzoljuk le az Y paraméteres egyenletrendszerünk négypólus helyettesítő képét.

Az egyenletrendszerünk ismert.

kibeki

kibebe

UYUYI

UYUYI

2221

1211

A bemeneti áramunk két részáramból tevődik össze. Az egyik a beUY 11 szorzat

árama, a másik kiUY 12 részáram, összegzésük akkor lehetséges, ha párhuzamo-

san kapcsoltak. A bemeneti áram közös csomópontban kapcsolódik a két rész-

árammal. Akkor nézzük a kapcsolást.

Ube

Y11

Ibe

-I1=Y12 U2Y11 Ube

A kapcsolási rajzon látható a csomópontba befolyó és kifolyó áramok iránya, mert

bebe UYIII 111

ha az egyenlet azonos oldalára rendezzük az áramokat.

Nézzük a második egyenletet.

Y22

Iki

Uki-I2=Y21 U1

Y22 Uki

Ha a csomópontba folyó áram pozitív, akkor egyenletünk

kiki UYIII 222

A négypólus Y paraméteres egyenletrendszer kapcsolási rajza.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

65

Ube

Y11

Ibe

Y22

Iki

Uki-I1=Y12 U2

Y11 Ube

-I2=Y21 U1

Y22 Uki

Hibrid (HXY) paraméterek

A hibrid paraméteres egyenletek a bemeneti áram és kimeneti feszültség paraméte-

res szorzat összegéből meghatározott bemeneti feszültség vagy kimeneti áram. Itt

is két egyenletet írhatunk fel.

2221212

2121111

UHIHI

UHIHU

A paramétereket az egyenletből határozzuk meg, feltételezzük, hogy a nem vizs-

gált szorzat nullaértékű.

Bemeneti impedancia, H11 paraméter

Az első egyenlet első paramétere, vizsgálatakor a 212 UH szorzat nullaértékű.

Egy szorzat értéke akkor nulla, ha valamely tényező értéke nulla. A H12 nem lehet

nulla, mert egy paraméter értéke nem lehet az. Így csak a kimeneti feszültség érté-

ke nulla. Hasonlóan az előző indokainkhoz, a kimeneti feszültség akkor nulla, ha a

kimenetet rövidre zárjuk. Egyenletünk

2121111 UHIHU

ha

0212 UH

akor

0| 21

111 U

I

UH

A H11 paraméter bemeneti impedancia (ellenállás) rövidrezárt kimenettel. A para-

méter mértékegysége

I

V

I

UH

][

][][

1

111

Hasonló egyenletmegoldással határozzuk meg a többi paramétert.

Feszültségvisszahatás H12 paraméter

A feszültségvisszahatás 111 IH nulla értékénél vizsgáljuk. Most a bemeneti áram

nulla értékét vesszük, ami azt jelent, hogy a bemeneten szakadás van. Egyenletünk

akkor úgy alakul 2121 UHU ha I1=0, akkor

0| 12

112 I

U

UH

A H12 feszültségvisszahatás jelenti, hogy a kimeneti feszültség hányadrésze a

bemeneti feszültségnek, ha a bemeneten szakadás van. A paraméter mértékegysé-

ge

1][

][][

2

112

V

V

U

UH

A mértékegység levezetésben kapott eredmény (1), a feszültség mértékegységgel

történt egyszerűsítés után kapjuk, jelentése, hogy a paraméternek nincs mérték-

egysége. A H12 paraméter nem más, mint mértékegység nélküli viszonyszám.

Áramerősítési tényező H21 paraméter

A második egyenlet első paramétere. A megoldás a második egyenlet megoldásá-

ból adódik. A H21 paramétert a kimeneti feszültség nulla értéke esetén vizsgáljuk,

tehát kimeneti rövidzárral. Ekkor az egyenletünk, 1212 IHI ha 0UH 222

Ebből

0| 21

221 U

I

IH

A H21 áramerősítési tényező paraméter megmutatja, hogy a bemeneti áram milyen

kimeneti áramot gerjeszt rövidrezárt bemenet esetén. Mértékegysége az egyenlet

villamos mennyiség mértékegységek behelyettesítéséből meghatározható.

1][

][][

1

221

A

A

I

IH

A megoldás hasonló az előzőekhez. A kapott eredmény viszonyszám.

Kimeneti admittancia H22 paraméter

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

66

Kimeneti vezetésnek is nevezhetjük, ha a hálózatunk egyenáramú. Paraméterünket

a bemeneti szakadás mellett vizsgáljuk. Így 2222 UHI és 0121 IH akkor

0| 12

222 I

U

IH

Levezetjük a mértékegységét is.

SV

A

U

IH

][

][][

2

222

Ahol S=siemens

Ezek után az egyenletekből helyettesítő rajz készülhet

2221212

2121111

UHIHI

UHIHU

Az első egyenlet kapcsolási rajza egy olyan sorba kapcsolt feszültséggenerátorok,

melynek eredője U1 feszültség.

+

A

I1

U1

B

H11

H12 U2

A második egyenlet párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok, melynek eredő

árama I2. A mérőirány olyan, hogy a csomópontba az I1 és I2 áram folyik, a cso-

mópontból a 222 UH áramot kapjuk. Az egyenlete,

2121111 UHHIUU

C

D

I2

U2Z22H21 I1

A négypólus áramai 22212 ZUIII

Most már felrajzolhatjuk a négypólust hibrid paramétereivel.

+

A

I1

U1

B

H11

H12 U2

C

D

I2

U2Z22H21 I1

Nézzünk egy négypólus hibrid paraméteres feladat megoldást.

Legyen a következő négypólus

A

B

I1 R1 I2

U1 R2 R3

C

D

U2

Legyenek az ellenállások kRRR 2321

A H11 paraméter meghatározása

Induljunk ki az egyenletéből, ami

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

67

0| 21

111 U

I

UH

Készítsük el a kapcsolási rajzát, akkor a kimenetet rövidre kell zárni

A

B

I1 R1 I2

U1 R2 R3

C

D

U2=0

Megvizsgálva a rajzot Akkor az 02 U -val a CD pontot, vagyis az R3 ellenállást

zártuk rövidre. Ez egy párhuzamos kapcsolás. Írjuk fel

003

0303Re

R

RxR

A számláló nulla értéke miatt az Re is nulla. Akkor a CD pont azonos potenciálon

van. Rajzoljuk le amit elvégeztünk.

A

B

I1 R1 I2

U1 R2

C

D

U2=0

Akkor lássuk a kapcsolási rajzot

A

B

I1

R1

I2

U1 R2

C

D

U2=0

A bemeneti feszültség 1211 xRRIU . Helyettesítsük a 0| 21

111 U

I

UH

képletbe, akkor

0| 21

121

1

111

U

I

xRRI

I

UH

A bemeneti árammal I1 egyszerűsítve

0| 21211 UxRRH

Replusz művelet után

0| 221

211211

U

RR

RRxRRH

Helyettesítések után

0|14

4

22

222

21

2111

Uk

RR

RRH

A feszültségvisszahatás H12 paraméter

Képlete

0| 12

112 I

U

UH

Készítsük el a kapcsolási rajzát.

-+

A

B

I1=0

R1

I2

U1 R2

C

D

U2R3

Látható, hogy bemeneti feszültségünk az R2 ellenálláson lévő feszültség. Mivel a

bemeneten áram nem folyik, ezért a kimenetből határozzuk meg a bemeneti fe-

szültséget. Látható, hogy a kimeneti feszültségünk az R3 ellenállás feszültsége,

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

68

vele párhuzamosan van kapcsolva az R1, R2 ellenállások soros eredője. Rajzoljuk

le.

-+A

B

I1=0 R1

I2

U1 R2

C

D

U2R3

Akkor a kimeneti feszültségből meghatározhatjuk a bemeneti feszültséget, mert

egy tükrözött feszültségosztóról van szó, aminek kimeneti feszültségét számíthat-

juk. A feszültségosztó kimenete most U1 akkor

21

221

RR

RUU

Helyettesítsük be a 0| 12

112 I

U

UH képletbe.

0| 12

21

22

2

112

IU

RR

RU

U

UH

U2-vel tudunk egyszerűsíteni,

0| 121

212

I

RR

RH

Helyettesítve az értékeket

0|5,02

1

4

2

22

21

21

212

I

RR

RH

Áramerősítési tényező H21 paraméter

Képlete

0| 21

221 U

I

IH .

Most is a képlet szerint alakítják át áramkörünket.

A

B

I1

R1

I2

U1 R2

C

D

U2=0

Észrevehetjük, hogy a rajz, egyező a H11 paraméter számításkor kialakított rajzzal.

Áramosztó képletével számíthatunk. Az

21

212

RR

RII

Helyettesítve

0| 21

21

21

1

221

UI

RR

RI

I

IH

Egyszerűsítünk I1-el akkor

0| 221

221

U

RR

RH

Értékek helyettesítésével

0|5,02

1

4

2

22

22

21

221

U

RR

RH

Kimeneti admittancia H22 paraméter meghatározása

Az alkalmazott képlet

0| 12

222 I

U

IH

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

69

-+

A

B

I1=0

R1

I2

U1 R2

C

D

U2R3

A kimeneti feszültséget tudjuk meghatározni a kimeneti áramból és az ellenállás

hálózatból. Kapcsolási rajzunkat már elkészítettük a H12 paraméter vizsgálatakor. -+

A

B

I1=0 R1

I2

U1 R2

C

D

U2R3

A rajzból a kimeneti feszültség

Re22 IU

Az ellenállások eredője

213

213213

)()(Re

RRR

RRRRRxR

Eredeti egyenletünkbe helyettesítve

0| 1

213

2132

2

2

222

I

RRR

RRRI

I

U

IH

I2-vel egyszerűsítve megkapjuk a

0|)(

11

321

21322

I

RRR

RRRH

Alkalmazzuk az egészszám osztása törttel szabályt

0|)()(

11

213

321

321

21322

I

RRR

RRR

RRR

RRRH

Helyettesítve az értékeket

0|75,04

3

8

6

)22(2

222

)(1

213

32122

IS

RRR

RRRH

További négypólus paraméterek

Csak felsorolás szerint említjük meg, ahol ismertetjük az egyenleteit és az egyen-

letből rajzolt helyettesítő kapcsolást

Inverz hibrid paraméter.

Az inverz hibrid paraméter D paraméterek első egyenlete a bemeneti áramot hatá-

rozza meg, a második egyenlete a kimeneti feszültséget.

2221212

2121111

IDUDU

IDUDI

A négypólus helyettesítő kapcsolását az egyenletekből meghatározva kapjuk

az 0I esetén az üresjárási, 0U U=0 a rövidzárási paramétereket.

Bemeneti vezetést 0| 21

111 I

U

ID

Áramvisszahatás 0| 12

112

U

I

ID

Feszültségerősítés 0| 21

221 I

U

UD

Kimeneti ellenállás 0| 12

222 U

I

UD

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

70

+

D11

U1

I1

D12� I2

D11 U1

D21 U1

D22I2

U2

A

B

C

D

A D paraméteres egyenletek helyettesítő kapcsolásában a bemeneten egy Norton-,

a kimeneten egy Thevenin helyettesítő kép van.

A lánc paraméter

Négypólus és több összekapcsolt négypólus paramétereinek számítására használ-

ják a lánc paramétereket vagy A paraméterek. A lánc paraméterek a bemeneti

(U1,I1) villamos mennyiségeket határozzák meg a kimeneti villamos értékekből

(U2,I2).

2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

Az egyes paraméter számítása

Üresjárási feszültségvisszahatás

0| 22

111 I

U

UA

Rövidzárási transzfer impedancia

0| 22

112 U

I

UA

Üresjárási transzfer admittancia

0| 22

121 I

U

IA

Rövidzárási áramvisszahatás

0| 22

122 U

I

IA

A lánc paraméterekre további három paraméteregyenlet írható fel

Inverz lánc paraméterek

1221212

1121112

IBUBI

IBUBU

Paraméterek számítása

0| 11

211 I

U

UB 0| 1

1

212

U

I

UB

0| 11

221 I

U

IB 0| 1

1

222

U

I

IB

Az L paraméter

2221212

2121111

ILULU

ILULI

Paraméterek számítása

0|1

21

11 IU

IL 01

2

112 U

I

IL

0| 21

221 I

U

UL 0| 1

2

222 U

I

UL

Az S paraméter

Az S paraméterek a bemeneten és a kimeneten illesztett, hullámimpedanciával

lezárt (Zo) négypólus paraméteres egyenletek.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

71

NP ZoZo

a1

b1

a2

b2

I1

U1

I2

U2

A teljesítményeket az alábbi módon számoljuk

21|2

10

0

vagyxIZZ

Ua x

xx

21|2

10

0

vagyxIZZ

Ub x

xx

Ahol ax (x={1,2}) belépő hullám teljesítménye, bx (x={1,2}) a visszavert hullám-

teljesítménye.

A paraméteres egyenletek

2221212

2121111

aSaSb

aSaSb

A paraméterek számítása

0| 21

111 a

a

bS 0| 1

2

112 a

a

bS

0| 21

221 a

a

bS 0| 1

2

222 a

a

bS

Négypólusok összekapcsolása

Soros-soros kapcsolás

NP

NP

I1 I2

U1 U2

Z'

Z''

A két négypólus (NP) soros-soros eredő paraméterét a Z paraméterek mátrix

összege adja.

111111 ''' ZZZ 121212 ''' ZZZ

212121 ''' ZZZ 222222 ''' ZZZ

Párhuzamos-párhuzamos kapcsolás

NP

NP

I1 I2

U1 U2Y'

Y''

A párhuzamos-párhuzamos kapcsolt négypólusok eredő paramétereit az Y para-

méterek mátrix összege adja.

111111 ''' YYY 121212 ''' YYY

212121 ''' YYY 222222 ''' YYY

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

72

Soros-párhuzamos kapcsolás

NP

NP

I1 I2

U1

U2H'

H''

A soros-párhuzamos kapcsolású négypólusok eredő paramétereit a négypólusok H

paramétereinek mátrix összege adja.

111111 ''' HHH 121212 ''' HHH

212121 ''' HHH 222222 ''' HHH

Párhuzamos-soros kapcsolás

NP

NP

I1 I2

U1

U2

D'

D''

A párhuzamos-soros kapcsolású négypólusok eredő paramétereit a négypólusok D

paramétereinek mátrix összege adja.

111111 ''' DDD 121212 ''' DDD

212121 ''' DDD 222222 ''' DDD

Kaszkád (lánc) kapcsolás

NP NP

I1 I2

U1 U2A' A''

A kaszkád kapcsolt négypólusok eredő négypólus paramétereit a négypólusok A

paramétereinek mátrix szorzata adja.

2221

1211

2221

1211

2221

1211

''''

''''

''

''

AA

AA

AA

AA

AA

AA

A szorzás után

2112111111 '''''' AAAAA

2212121112 '''''' AAAAA

2122112121 '''''' AAAAA

2222122122 '''''' AAAAA

Párhuzamos kapcsolást csak akkor lehet létrehozni, ha biztosítjuk a rövidrezárt

kimenet/bemenet közötti feszültségmentes 0U állapot.

NP'

NP''

U=0

NP'

NP''

U=0

Hasonló megállapítást kell tenni a soros kapcsolásnál is, ahol a két négypólus

kimenet/bemenet egy független pontja között 0U érték kell legyen.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

73

NP'

NP''

U=0

NP'

NP''

U=0

Négypólus paraméterek egymás közötti átszámítása

Négypólus paraméterek egymásba átszámíthatók és a számítás módszere általáno-

sítható. Nézzünk egy konkrét feladatot, ami szóljon így: legyen adva a négypólus

Z paraméterei, határozzuk meg az H paramétereket. Ismert a

811Z , 212Z , 421Z , 622Z

Megoldás:

Írjuk fel az impedancia (Z) paraméteres egyenletrendszert

1. egyenlet 211 28 IIU

2. egyenlet 212 64 IIU

A H paraméter általános egyenletrendszerünk

1. egyenlet 2121111 UHIHU

2. egyenlet 2221212 UHIHI

A Z és H paraméteres egyenletrendszerünk 1. egyenlete a bemeneti feszültséget

U1-et számolja ki, így ha a két egyenlet baloldala egyenlő, akkor a jobb oldalnak is

egyenlőnek kell lennie.

Z paraméter 1. egyenlete 211 28 IIU

H paraméter 1. egyenlete 2121111 UHIHU

A két egyenletünk jobb oldalának első tagjai egyezőek, mindkét egyenlet paramé-

terének I1 szorzata áll. A második paraméteres szorzatban tér el, míg a Z paramé-

teres egyenlet második tagja paraméterének I2 szorzata, addig a H paraméteres

egyenletünk második tagja paraméterének U2 szorzata adja. Ezért I2 értékét fel kell

írni a Z paraméteres egyenletrendszerből U2 és I1 függvényeként. Ezt a Z paramé-

ter 2. egyenletéből felírhatjuk.

212 64 IIU

Ebből I2

122 46 IUI

1226

4

6

1IUI

Ha a jobboldali tagokat megcseréljük, akkor a H paraméteres egyenletrendszerünk

2. egyenletének e feladat megoldását kapjuk. Általánosságban a H paraméter má-

sodik egyenlete az I2 áramot határozza meg a megfelelő paraméterek I1 és U2

szorzatának összegeként. Most e konkrét esetben a lehetséges egyszerűsítések után

2126

1

3

2UII

Ez a H paraméter 2. egyenlete.

Folytatva az első egyenlet megoldását, a Z paraméter 1. egyenletébe helyettesítés-

sel adjuk meg I2-t

21121113

1

3

48

6

1

3

228 UIIUIIU

Összevonás után

2113

1

3

20UIU

A H paraméter egyenletrendszere

1. egyenlet 2113

1

3

20UIU

2. egyenlet 2126

1

3

2UII

Fogalmazzunk meg egy általános szabályt, amivel ki tudjuk számolni Z paraméte-

rekből a H paramétereket. A gyakorlat azt mutatja, hogy a paramétereken kívül

létezik egy 1-es és egy szorzat. Az 1-essel való szorzás ismert, a -val történő

szorzásra felállíthatunk egy szabályt. A szabály felállításához rendezzük el a Z

paramétereket.

1 Z11 Z12 Z21 Z22 Z

H22 H H12 H21 1 H11

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

74

Igazoljuk a táblázat helyességét. Mivel a paramétereket arányosság szerint ren-

dezték el ezért ennek bizonyítására törekszünk. Ha az ismeretlen H paramétereket

vizsgáljuk, akkor a legegyszerűbb aránypár a H paraméterben lévő 1-hez rendel-

jük a Z paramétersorban lévő Z22, valamint a Z paraméterben lévő Z -hez rendelt

H paramétersor H11 paramétereinek arányossága. Arányosítást az aránypárban

mindig a keresett paraméterhez adjuk meg.

ZHZ ::1 1122

Ebből

ZZH 12211

A Z -t meg tudjuk határozni

211222111 ZZZZZ

A szabály az, hogy az 1 és 6 helyen lévők szorzata egyenlő az 2. és 5. szorzatá-

nak és 3. és 4. helyen lévők szorzatának különbségével

4084842681

Most már kifejezve H11

ZZH 12211

3

20

6

401

2211

ZH Z

Most már minden paraméter egyszerűen felírható, mivel csak egy ismeretlenünk

lesz, mert ismerjük H11.

H12 kiszámítása

ZHZH :: 111212

3

1

40

3

40

40

3

202

111212

Z

HZH

H21 kiszámítása

212111 :: ZHH Z

Egyenletünk

3

2

403

80

40

43

20

211121

Z

ZHH

H22 kiszámítása

ZHH :1: 1122

Egyenletünk

6

1

120

20

40

3

20

1 1122

Z

HH

Ezek után a táblázat

Arányos hányadosú paraméter táblázat

impedancia 2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

1 Z11 Z12 Z21 Z22 Z

inverz hibrid 222212

2121111

1 IDUDU

IDUDI

D11 1 D12 D21 D D22

inverz lánc 1221212

1121112

IBUBI

IBUBU

B21 B22 1 B B11 B12

lánc 2222211

2122111

IAUAI

IAUAU

A21 A11 A 1 A22 A12

hibrid 2221212

2121111

UHIHI

UHIHU

H22 H H12 H21 1 H11

admittancia 2221212

2121111

UYUYI

UYUYI

Y Y22 Y12 Y21 Y11 1

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

75

Most nézzük meg H kiszámítását az ismert szabály szerint, ami az oszlopok kö-

zötti műveletekkel kiszámítható, a Z esetében elmondottak szerint. Ami még

egyszer leírva: az 1 és 6 oszlop tartalmának szorzata egyenlő a 2. és 5.oszlop szor-

zatának és a 3. és 4. oszlop szorzatának különbségével.

21121122 1 HHHH H

3

4

18

24

9

2

18

20

3

2

3

1

3

20

6

1

21121122

H

H HHHH

És akkor egy ellenőrzés, határozzuk meg Z11 paramétert a H ismeretében

22

11 1

H

Z

H

Rendezve és behelyettesítve

83

24

1

6

3

4

6

13

4

2211

HZ H

Eredményünk egyező a kiindulási adatunkkal.

Passzív áramköri elemek váltakozó áramú viselkedése

A kétpólusú, négypólú hálózat lehetséges leírási módjai az időtartományi, komp-

lex frekvencia tartományi és frekvenciatartománybeli esetekre vizsgálhatók.

Mindhárom esetre felírható az egyenlet, ami a hálózatra jellemző, így váltakozó

áramú gerjesztés esetén meghatározható a kijelölt ponton kapott felelet.

Most csak a frekvenciatartományban vizsgáljuk a hálózatunkat, ami a komplex

frekvenciatartomány egy speciális esete. A frekvenciatartományban akkor vizsgál-

juk a hálózatunkat, ha a gerjesztésünk szinuszos időfüggvény. A szinuszos ger-

jesztésünk tj

Getg Re)(

Ahol a Re a valós tengelyen mért |G| érték, ahol G komplex amplitúdó, a kör-

frekvencia t idő függvényében. A tjeG kifejezés az idő függvényében szög-

sebességgel forgó vektor, melynek helyzete a t=0 időpillanatban éppen g(0)-val

esik egybe.

Ha elhagyjuk a tengelyekre szóló hivatkozást, akkor egyenletünk

)( tjtjjtjeGeeGeG

Az ábrából felírhatjuk a jel trigonometrikus alakját is, ahol

)cos()( tGtG

Ahol |G| a vektor abszolút értéke a vektor t=0 időpontban vett helyzete az tje

a

G vektor szögsebességgel történő forgását jelenti. Ha a |G| abszolút értéke nem

változik, akkor egy az időben állandó amplitúdójú harmonikus jelet kapunk.

Az ábrából felírhatjuk a jel trigonometrikus alakját is, ahol

)cos()( tGtG

egyenletet kapjuk. Az a körfrekvencia értéke

f 2

ahol az mértékegységét az

tf

1

helyettesítéssel vizsgáljuk, akkor

sec

2[

rad

t

Térjünk vissza az f tisztázására, ami egy egységnyi idő alatti körmozgás jelenti.

Hzt

f sec

1

][

1][

Amit megalkotójáról Hertznek nevezünk. A Hz frekvencia alapmértékegysége 103

szorzással kapjuk a nagyobb mértékegységeket.

|G|

jGeRe

t

ReG

ImG

g(0)

g(0)

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

76

alacsonyabb mértékegység magasabb mértékegység

103 Hz 1kHz kilóHertz

103 kHz 1MHz MegaHertz

103 MHz 1GHz GigaHertz

103 THz 1THz TerraHertz

Az eddig elmondottakat vizsgáljuk meg egy feladaton keresztül.

Legyen egy párhuzamos RC tagunk, ábrázoljuk az impedanciát minden lehetséges

módon.

R1 C1

Ahol 21R és FC 11 .

Határozzuk meg az eredő impedanciát. Láttuk a valós ellenállás impedanciája

maga az ellenállás. Írhatjuk, hogy

11 RZR

A kapacitás impedanciája, a kapacitás reaktanciája

111

1

CjjXZ CC

A két impedancia eredője a párhuzamos kapcsolásuk

11

111111)(

CR

CRCCR

XjZ

XjZXxjRxZZjZ

XC1 helyettesítéssel és egyszerűbb alakra hozással

jCZ

Z

Cj

CjZ

Cj

Z

CjZ

CjZ

jZR

R

R

R

R

R

11

1

1

11

1

1

11

11

11)(1

1

)(

Értékek helyettesítése után

jjjCZ

ZjZ

R

R

21

2

)12(1

2

1)(

11

1

Határozzuk meg Z valós és képzetes részét az ismert összefüggésből

jjZ

21

2)(

Szorozzunk 1-el amit képezzünk a nevező konjugáltjával j

j

21

21

222 41

42

21

212

21

21

21

2)(

j

j

j

j

j

jjZ

Különválasztva a valós és képzetes részt

jjZ

22 41

4

41

2)(

A valós értékünk

241

2)(Re

jZ

egyenletet kapjuk

A valós tengelyt az 0 helyen metszi a görbe az a

2041

2

41

2)(

2

jZ

Tehát 2)(Re jZ

17

2

2

2

241

2)(Re

jZ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

77

Legyen 2 akkor az érték helyettesítésével

17

2

241

2

41

2)(

22

jZ

Tehát ha 2 akkor a valós impedancia értékünk 17

2 részre esik vissza.

Határozzuk meg a |)(| jZ abszolút értékét, ami a valós impedancia

241

2)(Re

jZ és a képzetes impedancia jjZ

241

4)(Im négy-

zet összegeikből vont gyökkel egyenlő.

22

2

22

22

2

2

241

414

41

164

41

4

41

2|)(|

jjZ

2222

2

41

2

41

4

41

414|)(|

jZ

Behelyettesítve a 2 értéket, |Z| értéke

17

2

241

2

41

2|)(|

22

jZ

Látható, hogy az impedancia abszolút értéke 2 körfrekvencián valamivel több,

mint a valós érték felével esik vissza.

Vizsgáljuk meg a képzetes részt.

jjZ

241

4)(Im

Első lépésként legyen 0 , akkor behelyettesítve 0)(Im jZ , legyen most

2 , akkor

17

8

241

24

41

4)(Im

22

jZ

Fázisszöge 2 -nél

2

2

4

41

241

4

)(Re

)(Im)(

2

2

arctgarctgarctgjZ

jZarctgjarcZ

17

2

2

2

241

2|)(|

jZ

17

2

2

241

4)(Im

jZ

17

8)(Im jZ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

78

Vizsgáljuk meg, hogy 2 körfrekvencián mekkora a fázistolása a valós és kép-

zetes rész között. A képletből látszik, hogy a képzetes rész fáziskésésben van a

valósrészhez képest.

oarctgarctgjarcZ 76)4(2)2(

Kiszámolható radiánban is. Az ábrából látható, hogy jarcZ a 2

-höz közelít.

A 2

a -90

o. Mivel o

o

rad 33,57180

1

, akkor rado

o 0174533,0180

1

Akkor -76o radián értéke radrad 33,13264,1)76(0174533,0 .

A vizsgálatunk kiterjed a komplex impedancia ábrázolására függvényében.

Összefoglalva a párhuzamosan kapcsolt RC hálózatunk impedancia értékét komp-

lex impedancia síkon ábrázolva a körfrekvencia függvényében már felrajzolhatjuk.

A frekvencia menetet az jZ határozza meg. A minimum pontja 45o-nál van,

amikor 0ImRe jZjZjZ . A képletünk a két mennyiség

egyenlőségét is jelent

jZjZ ImRe

Helyettesítsük be a mennyiségeket

241

2)(Re

jZ ; jjZ

241

4)(Im

22 :41

4

41

2

A nevező elhagyható felcseréljük az oldalakat

24

És ebből

2

1

Azt már megnéztük, hogy a valós rész 0 esetén 2)(Re jZ és ese-

tén 0)(Re jZ . Az is látható, hogy 2

1 -nél 1)(Re jZ és jjZ 1)(Im .

Ezek után lehet ábrázolni.

Az ábrán összefoglaltam a jellemző adatokat.

Számítási módszerek, egyszerűsítések

Számítási módszeren értem azokat az egyszerű ötleteket, melyeket e szakirodalom

egyszerű számítási eljárásként használ. Ezek a következők, replusz művelet, egy-

ségválasztás, dualitás, aktív áramköri jellemzők logaritmikus egységei, abszolút és

relatív szint és a frekvencia logaritmikus egységei.

2

2

2)( arctgjarcZ

o76

0 1 ReIm

1j

2

ZIm

)5,0( jZ

0

2jZ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

79

Replusz művelet

Az elsőfokú negatív kitevőjű hatványok reciprok értékű összeadásának számításá-

ra ad megoldást. Legyen 111 bay egyenletünk. A negatív kitevőjű hatvá-

nyok a permanencia elv szerint reciprok értékű pozitív kitevőjű számokként értel-

mezhetők. Az előbbi egyenletünk felírható

bay

111

egyenletként. Ha elvégezzük az egyenlet jobboldalára vonatkozó összeadást, akkor

a közös nevezőre hozásra felírhatjuk

ba

ab

y

1

Tovább egyszerűsödik egyenletünk, ha vesszük mindkét oldal reciprok értékét.

ba

bay

1

Elhagyva a baloldali 1-el való osztást

ba

bay

egyenletet kapjuk. Ha a baloldalra bevezetjük az axby jelölést, ahol az x a

replusz műveletet jelenti, akkor írhatjuk, hogy

ba

baaxb

Ezek után megfogalmazhatjuk, hogy két mennyiség replusz műveletén értjük a két

mennyiség szorzatának és összegének hányadosát. Természetesen több mennyiség

replusz művelete is ismert, csak akkor a nevező összeadandó tagja tényezők szor-

zatából áll. Hogy érthetőbb legyen, írjuk fel három tagra a replusz műveletet.

cbay

1111

Az előzőek alapján már érthető lesz a következő megoldás.

cba

bacacb

cbay

1111

cbcaba

cbaaxbxcy

A számlálóban vannak a tagok szorzatai, a nevezőben minden tag bővítményének

összege. A művelet precedencia értéke nagyobb mint az összeadásnak, így sor-

rendben először a replusz műveletet kell elvégezni.

Elektrotechnikában a passzív áramköri elemek eredőszámításakor használjuk,

például párhuzamos ellenállás reaktancia vagy impedancia, illetve soros vezetés

szuszceptancia vagy admitancia meghatározásakor.

Egységválasztás

A bevezetését az egyszerűbb értékkel történő számolás lehetősége adta. Ha egy

összetettebb áramkör azonos elemei arányosak egymáshoz, akkor új, egyszerűbb

egységet választva a számolás egyszerűsödik. Legyen a következő áramkörünk.

R1

750k

C2

2nF

R2

500k

C1

4nF

Az ellenállás egysége legyen 5105Regys , mert arányosság felírható a két

ellenállásra. A kondenzátorok esetén FCegys9102 . A relatív értékek megha-

tározhatók.

5,2105

105,7

Re 5

51

1

gys

RR r

1105

105

Re 5

52

2

gys

RR r

2102

1049

91

1

F

F

Cegys

CC r

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

80

1102

1029

92

2

F

F

Cegys

CC r

A kapcsolás értékei a következőkben változik.

R1r

1,5

C2r

1

R2r

1

C1r

2

A kapcsolás eredő impedanciája

egysr

egysr

egysr

egysrCCj

xRRCCj

RRZ

12

21

11

Ha a körfrekvenciát úgy választjuk meg, hogy az egységnek választott kondenzá-

tor reaktanciája egyenlő az egységnek választott ellenállással, akkor további egy-

szerűsítéseket tudunk bevezetni.

egys

egysegys

RC

1

egysegysr

egysr

egysegysr

egysrCCj

xRRCCj

RRZ1111

12

21

Az eredő impedanciából számolható az egységnyi impedancia

egys

egysR

ZZ

Vezessük be az így nyert változásokat, akkor az egyenletünk a következő módon

változik

egys

r

egysregys

r

egysregysegys RCj

xRRRCj

RRRZ1

22

1

11

Látható, hogy Regys-el osztható az egyenletünk

r

r

r

regysCj

xRCj

RZ1

22

1

11

rr

rregys

Cjx

jC

CjRZ

12

21

11

2

1

1

115,1

jx

j

jZegys

j

j

j

jj

j

j

j

Zegys46

225,1

23

2

2

15,1

2

1222

1

5,1

52

2045,1

52

8812125,1

4646

46225,1

jjj

jj

jjZegys

jZegys13

5

13

5,20

5105

13

5

13

5,20jRZZ egysegys

510

13

25

13

5,102jZ

Most oldjuk meg hagyományos módszerrel. A reaktancia impedanciáját most is az

egységes körfrekvenciára vesszük

sec/102105

101 3

5

9

radCR egysegys

egys

Így a két számított értéknek azonosnak kell lennie.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

81

Írjuk fel a kapcsolás impedanciáját. Az áramkörben szereplő elemek impedanciája

rendre, az ellenállások impedancia értéke maga az ellenállásérték.

11RZR és 22

RZR

A kondenzátor impedanciái, a kondenzátorok reaktanciája.

jCXjZ CC

1

111

és jC

XjZ CC

2

122

Az eredő impedancia

1221 CC XjRXjR xZZZZZ

Helyettesítéseket elvégezve

jCxR

jCRZ

12

21

11

Ezt az egyenletet kell megoldani az áramkörön feltüntetett értékekkel.

jxj

jx

jjx

j

jx

jZ

5555

55

55

3

95

3

9

5

93

5

93

5

105,2105105105,7

105,2105

105105,7

104

10105

102

10

105,710410

1105

10210

1105,7

5

555

5555 105,7

105,2105105

105,2105105105,7

jj

jjZ

j

j

j

j

55

10105

55

1010

105,7105

105,12105,12105,7

105,7105

105,12105,12

1010

15155

55

55

1025,561025

105,62105,62105,7

105,7105

105,7105 j

j

j

10

15155

1010

1515

1025,81

1025,1561025,25,31105,7

1025,561025

1075,931075,93 jj

jj555555 10

13

2510

13

5105,710

25,81

25,15610

25,81

25,31105,7

jj

55555

1013

2510

13

5,10210

13

25

13

10510135,7

A két megoldás közötti különbség látható. Míg az első megoldásban a számok 1-2

számjegyből álltak, addig a második megoldásban normálalakot kellett kezelni. A

tévesztés a második megoldásban nagyobb valószínűséggel bekövetkezhet.

Táblázatban foglaljuk össze, hogy egységválasztásnak milyen szabályai vannak.

Szabadon választható passzív elemek egységei:

Megnevezés egység jele Számított elem Alkalmazási feltétel

Ellenállás Re e

ee

C

LR | ha

ee CLe XXR

Induktivitás Le eee CRL 2

| ha ee CLe XXR

Kapacitás Ce 2

e

ee

R

LC | ha

ee CLe XXR

Körfrekvencia e e

ee

L

R | ha

eLe XR

ee

eCR

1

| ha eCe XR

ee

eCL

1

| ha ee CL XX

Frekvencia fe

2

eef | ha e előzőek szerint számolva

Idő te e

et

1

| ha e előzőek szerint számolva

Vezetés Ge e

eR

G1

| Re szabadon választható

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

82

Választható aktív jellemzők egységei:

Megnevezés egység jele Számított elem Alkalmazási feltétel

Feszültség Ue eee IRU | ha Re előzőekből számolva

Áram Ie e

ee

R

UI | ha Re előzőekből számolva

Teljesítmény Pe eee IUP | ha Ue,Ie előzőekből számolva

Végezetül megállapíthatjuk, hogy az egységválasztás gyakorlatában három meny-

nyiség fogalma ismert, ezek: érték (y), relatív érték (yr) és az egység (ye). A három

mennyiség között az alábbi összefüggést tehetjük meg.

e

ry

yy

A képlet a relatív érték számítására ad megoldást, kimondja, hogy a relatív érték

az érték és az egység hányadosa.

Alkalmazására nézzük a következő feladatokat.

Kiszámítandó a rajz szerinti áramkör impedanciája az MHzf 201 ;

MHzf 402 és MHzf 803 frekvenciákon

L R C

Az ábra adatai HL 6,1 , kR 2 , pFC 10

Megoldás

Kezdjük az egységválasztással. A három passzív elemre megadott egységválasz-

táskor az alkalmazott képletben két független változó van. Alkalmazzuk a

e

ee

C

LR

képletet, ahol független változó az Le és a Ce. Ezek után egységnek választjuk az

HLe6106,1

FCe121010

Számoljuk ki az ellenállás egységét

400101610

1016

1010

106,1 4

11

7

12

6

e

ee

C

LR

A relatív érték az érték és az egység hányadosa.

Induktivitás relatív értéke.

1106,1

106,16

6

H

H

L

LL

e

r

Kapacitás relatív értéke

11010

101012

12

F

F

C

CC

e

r

Ellenállás relatív értéke

5400

102 3

e

rR

RR

Kiszámítjuk a frekvencia egységét a körfrekvencia egységéből

sec/105,2106,1

400

106,1

400Re 86

6rad

Lee

MHzf ee 40

28,6

105,2

2

8

Frekvenciák relatív értékei

5,040

2011

MHz

MHz

f

ff

e

r

140

4022

MHz

MHz

f

ff

e

r

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

83

240

8033

MHz

MHz

f

ff

e

r

eee

rf

f

f

f

2

2

rr

rrCrLrrrC

xLxxXxXRZ1

5

De 1rL , 1rC és 5rR

Akkor egyenletünk

255

5

51

51

15

15

rr

r

r

rr

r

r

r

r

rxxZr

jj

jj

j

j

j

jZ

rj

655,0087,03125,14

25,1375,9

5,075,3

5,075,35,2

5,075,3

5,2

25,0555,0

5,05225,0

55

1551

15

55

5221

j

j

jj

jZ

rr

rj r

jj

j

j

j

j

j

j

jj

jZ

rr

rj r

655,0087,0229

15020

215

215

215

10

215

10

2552

25

55

5222

Impedancia a három frekvencián.

jjZRZrje 2628,34655,0087,04005,01

kZRZrje 2540012

jjZRZrje 2628,34655,0087,040023

És most nézzünk aktív jellemzőkre is egy példát.

Egy valóságos feszültséggenerátort terhelünk különböző értékű ellenállásokkal,

mekkora a rajta lévő teljesítmény.

+

Uo

Io Rb

Rt

Legyen a feszültséggenerátorunk VUo 5 , a feszültséggenerátorunk belső ellen-

állása 50Rb , A terhelés ellenállásai ;251 Rt ;502 Rt ,1003 Rt

1504Rt . Mekkora a különböző terheléseken ( Rt ) létrejövő teljesítmény?

Megoldás:

Először egységet választunk. Mivel teljesítményt akarunk számítani, elég két egy-

séget választani. Érdemes a teljesítményszámítás ellenállás feszültség ismeret

alapján a R

UP

2

képletet használni. Egységként logikus, hogy a forrásfeszültsé-

get és a belsőellenállást választjuk. 50Re;5 RbVUoUe . A relatív

értékek

1e

or

U

UU ; 1

e

br

R

RR ; 5,0

50

251

rtR ; 150

502

rtR ;

250

1003

rtR ; 350

1504

rtR

Az ellenálláson lévő feszültséget kell ismernünk, amit a feszültségosztó képletével

számolhatunk.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

84

xrtr

xrt

rxrRtRR

RUU

Ahol xtrR jelenti a négy terhelő ellenállás relatív értékét x={1,2,3,4}. A terhelő

ellenálláson folyó áram,

rxtr

r

xrRtRR

UI

Ismert a teljesítményszámítás, átalakítva relatív teljesítményre

RtrxRtrxr IUP helyettesítve az előző képletet

txr

r

rxtr

rxtrr

RR

U

RR

RUP

Az tudjuk, hogy 1rU és 1rR , akkor

21 trx

trxr

R

RP

9

2

25,2

5,0

5,01

5,021

xrP ;

4

1

11

122

xrP ;

9

2

21

223

xrP

16

3

31

324

xrP

Ismert relatív teljesítményekkel számoljuk ki a tényleges teljesítmények értékét.

Erre felhasználjuk az egység feszültség és egység ellenállás értékét, miből az egy-

ségteljesítményt kiszámolhatjuk.

AVV

R

UP

e

ee

2

1

][50

][25 22

A továbbiakban a exrx PPP képlettel számolunk. A tényleges teljesítmény

VAP x9

1

2

1

9

2)1( ; VAP x

8

1

2

1

4

1)2(

VAP x9

1

2

1

9

2)3( ; VAP x

32

3

2

1

16

3)4(

Dualitás

Két frekvenciafüggő hálózat egymásnak duáljai, ha duál értékeit(U,I) összerendel-

ve, az eredeti- és a duál hálózat egymástól egy frekvencia független ellenállás

(rezisztencia) értékkel tér el.

Legyen egy frekvenciafüggő hálózatunk egy elemének aktív jellemzői IU, , le-

gyen a duál hálózatunk egy elemének dd IU , azonos jellemzői, és ha az dd IU ,

fennáll a következő egyenlőség.

RIUd UR

Id1

A képletekkel a duál hálózatot jellemeztük az eredeti hálózat villamos jellemzői-

vel.

Ha alkalmazzuk az általánosított Ohm törvényt a duál hálózatra, akkor felírhatjuk

22

1RYR

U

I

UR

RI

I

UZ

d

dd

Rendezve R2-re az egyenletünket

Y

ZR

d2

Tudjuk, hogy Y

Z1

, akkor az egyenletünk

ZZY

ZR dd 12

A kapott eredmény azt jelenti, ha két független hálózat impedanciájának szorzata

az elemek frekvencia független valós érték négyzetét adják, akkor a két hálózat

egymásnak duáljai.

Az elektronikus hálózatok aktív és passzív elemekből épülnek fel. Két hálózat

dualitását igazolja, ha köztük frekvencia független ellenállás teremt kapcsolatot.

Vizsgálatunk most csak a passzív elemekre terjed ki.

Tudjuk, hogy egy L értékű induktivitás reaktanciája

LXjLjZ

nagyságú komplex frekvenciafüggő impedanciát hoz létre. A dualitásra vonatkozó

képletünk alapján meghatározhatjuk az induktivitás dualját.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

85

LjR

XjR

ZR

Z

RZ

L

d

111 222

2

Osszuk az egyenletünket R2-el

2

2 111

R

Lj

LjR

XjZ

L

d

Vezessük be a 2

R

LC kapcsolatot, akkor látható, hogy

CjZd

1

egy kapacitás reaktanciáját kaptuk.

Írjuk fel a dualitásra vonatkozó összefüggésünket és helyettesítsük be a

reaktanciákat.

C

L

CjLjZZR d

12

A képletből láthatjuk, hogy az induktivitás duálja a kapacitás 2

RCL

A kapacitás duálja az induktivitás

2R

LC

Tovább egyszerűsödik a képletünk, ha bevezetjük a már ismert egységválasztási

módszert. Legyen az egységünk R2 tehát 2

RRe . A relatív ellenállás értéke 1

lesz, mert

12

e

rR

RR

Áttérve a relatív értékekre

1 drrr ZZR

r

dr

r YZ

Z 1

Az egyenletünk jelenti, hogy két impedancia akkor duálja egymásnak, ha a relatív

impedancia és relatív admittancia értékei egyezőek.

Most nézzük meg az ellenállás duálját, akkor RZ , helyettesítve

dZZR 2 képletbe, és azt rendezve

R

R

Z

RZd

22

Osszuk el az egyenletünket R2-tel

GRR

RZd

12

A kapott érték a vezetés, akkor megállapítást nyert, hogy az ellenállás duálja a

vezetés.

Most megnézzük az összekapcsolt impedanciák duáljait.

Z1

Z2

Y1 Y2DUÁLJA

Legyen Z impedancia a Z1 és Z2 párhuzamos eredője. Akkor

21

2121

ZZ

ZZZxZZ

Az eredő impedancia duálja

2

2

1

2

21

22

12

21

21

22

Z

R

Z

R

ZZ

ZRZR

ZZ

ZZ

R

Z

RZd

Tovább egyszerűsítjük egyenletünket a kapcsolási rajznak megfelelően, úgy, ha

1

21

1

ZRY és

2

22

1

ZRY

Akkor a duál áramkör két admittancia soros kapcsolása. Fordítva is igaz, hogy

soros impedancia áramkör duálja egy párhuzamos áramkör, ahol minden elemét a

duáljával adunk meg.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

86

Nézzünk egy feladatot.

Számoljuk ki a megadott kapcsolási rajz 5R -ra vonatkoztatott duálját.

L1

R1

C1

Ahol HL3

1 1010 ; 31 10R és FC

61 1020 értékűek.

A dualitást az áramköri elemekre és a kapcsolásra is külön-külön el kell végezni.

Először határozzuk meg a duál elemeket.

L1 induktivitás duálja egy kapacitás, amit jelöljünk C1d. Az ismert képlettel szá-

molhatunk

FFR

LC d

4001045

1010 4

2

3

2

11

R1 ellenállás duálja a G1d vezetés

SR

RG d 40

25

10002

11

A C1 kondenzátor duálja L1d induktivitás

HHRCL d 500105251020 46211

A kapcsolásunk elemzése szerint az L1-el sorban van kapcsolva az R1 és C1 pár-

huzamos eredője. Akkor a kapcsolásunk úgy módosul, hogy a R1 C1 párhuzamos

kapcsolás duálja a soros G1d vezetés és L1d induktivitás. Továbbá látható, hogy

az L1 sorba van kapcsolva az R1C1 eredőjével. Ezek alapján az L1 duálja a C1d

párhuzamosan lesz kapcsolva a G1d és L1d soros eredőjével.

A kapcsolási rajzunk a következő lesz.

L1dG1d

C1d

A következő feladat összetettebb, próbálja magában foglalni a lehetséges átalakí-

tásokat.

Határozzuk meg a kapcsolás eredő impedanciájának duálját 600 -ra.

L1

G1

C1

R1

C2

L2

Az elemek adatai:

HmHL3

1 103636 ; HmHL3

2 101818 ;

FFC6

1 102020 ; FFC6

2 1011 ;

31 102,12,1 kR ; SmSG

31 1066,166,1

Megoldás

A megoldáshoz egységet választunk. Legyen 600eR és mHLe 36 , a hi-

ányzó egységek meghatározhatók.

SmSR

Ge

e31066,166,1

1

FnFR

LC

e

ee

910100100

Számoljuk ki az egyes elemek relatív értékét

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

87

2600

1200

Re

11

RR

r; 1

66,1

66,111

mS

mS

G

GG

er

; 200100

2011

nF

F

C

CC

er

;

10100

122

nF

F

C

CC

e

rr ; 1

36

3611

mH

mH

L

LL

e

r ; 5,036

182

mH

mHL r

Rajzoljuk fel a kapcsolást relatív értékekkel.

1 2

1

200

10

0,5

L1r

R1r

G1r

C1r

C2r

L2r

Az áramköri elemek relatív duál értékei megegyeznek az egymással, így L1r te-

kercs relatív értékű duálja egy olyan kondenzátor melynek relatív értéke

egy 1Cd1r .

R1dr L1dr

1 200G1dr

2

L2dr

10

C2dr

0,5

C1dr

1

Az értékek számolhatók a már ismert formula szerint er yyy , ami a relatív

érték és egységérték szorzata. Akkor a duál áramköri értékek:

nFnFCCC edrd 100100111 ;

nFnFCCC edrd 501005,022 ;

HmHLLL edrd 2,73620011 ;

mHmHLLL edrd 360361022

mSmSCGGG edrd 32,366,1211

600600111 edrd RRR

A dualitást az áramkörök bemeneti impedanciájának frekvencia függetlenítésére

alkalmazzák. Ilyen lehet egy több sávos hangfrekvenciás végfok hangszóróinak

illesztése a meghajtó áramkörhöz. Ebben az esetben a meghajtó áramkörnek frek-

venciától független terhelést biztosítunk (Boucherot-kapcsolás).

Aktív jellemzők logaritmikus egységei

Egy villamos hálózat aktív jellemzőin értjük a hálózat bizonyos pontjaira vonatko-

zó feszültség, áram és teljesítmény értéket. A hálózaton belül, de több hálózatra

vonatkozóan az értékek széles skálán mozoghatnak. A nagy értékmozgás kiküsz-

öbölésére alakították ki az azonos aktív jellemzők egymás közti viszonyainak

logaritmikus értékeit. Ennek megfelelően beszélünk feszültség-, áram- és teljesít-

mény hányadosok logaritmikus értékeiről. Két feszültség-, áram- vagy teljesít-

mény érték hányadosa mértékegység nélküli számot ad, ha ennek a viszonyszám-

nak vesszük a logaritmus értékét, az sem rendelkezik mértékegységgel.

Egy szám nevezetes logaritmusa vizsgálatunkban lehet természetes (2) alapú illet-

ve tízes (10) alapú logaritmus. A feszültség, áram és teljesítmény hányados értéke-

inek logaritmusa megkülönböztetett figyelmet kapott az elektronikában, így azt

külön elnevezésekkel illették. A természetes (2) alapú Neperben (néper), a tízes

(10) alapú mennyiségi viszonyokat Belben adjuk meg.

Neperben megadott aktív villamos jellemzők:

A természetes alapú logaritmusban számolt aktív villamos jellemzők viszonyszá-

mainak értékét John Napier (1550-1617) (Neper) skót matematikus, fizikus loga-

ritmus számításának kutatása tiszteletére nevezték el nepernek.

Legyen azonos villamos mennyiség két amplitúdó értéke A1 és A2, a két mennyi-

ség viszonyérték jelölésére használjuk az a betűt, jelöljük a néperben megadott

értéket Np-vel, akkor felírhatjuk a két amplitúdó viszonyát, ami legyen

2

1

A

A

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

88

A két amplitúdó dimenzió nélküli néperben kifejezett egységét a

2

1

A

Ae Np

a

Vegyük mind a két oldal természetes alapú logaritmusát,

2

1lnlnA

Ae

Np

a

Tudjuk, hogy 1ln e , valamint rendezve az egyenletet,

NpA

Aa

2

1ln

Egyenletet kapjuk. Ha A1 és A2 azonos fogyasztón mért villamos feszültség vagy

áram, ezek villamos teljesítmény aránya felírható, ha a jelölt teljesítmények P1 és

P2, akkor felírható a következő egyenlet

2]/[

2

1 Npae

P

P

Végezzük el a logaritmusszámításunkat a természetes alapú logaritmusra, akkor

2

1lnln][

2P

Pe

Np

a

A képletben a baloldali 2-vel átosztunk jobboldalra, figyelembe vesszük, hogy

1ln e , a képletünk így változik.

2

1ln2

1

][ P

P

Np

a

A képletben a [Np] Neper egységre utaló jelölés, ami a viszonyértékre vonatkozik.

A teljesítmények néperben számolt viszonya

2

1ln2

1

P

PaNp

A képletből levezethető az aktív elemek jellemzői, ha a teljesítményt két ellenállá-

son vizsgáljuk, akkor a feszültség viszonyok az ellenálláson.

22

2

1

21

2

22

1

21

2

1 ln2

1ln

2

1ln

2

1

U

R

R

U

R

U

R

U

P

PaNp

2

22

1

21

21 lnln2

1lnln

2

1

R

U

R

UPP

22

212

12

22

1

21 lnlnlnln

2

1lnln

2

1RURU

R

U

R

U

Bontsuk elemeire a zárójelet,

1

2

22

21

122

22

1 ln2

1ln

2

1lnlnlnln

2

1

R

R

U

URRUUaNp

A feszültség négyzetes értékeit az

2

12121 lnlnlnln2

2

1ln2

2

1

U

UUUUU

műveletek elvégzése után felírhatjuk, hogy

1

2

2

1 ln2

1ln

R

R

U

UaNp

Ahol, két ellenállásértéken a teljesítményviszonyok néperben kifejezett értéke a

feszültség viszonyok néperben számolt értéke és az ellenállásértékek néperben

számolt értékének összege.

Jelöléssel

RUP aaa

Helyettesítve az egyenlet adatait

1

2

2

1

2

1 ln2

1lnln

2

1

R

R

U

U

P

P

A képletből látjuk, hogy :

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

89

A teljesítményviszony néperben ][ln2

1

2

1 NpP

PaP

A feszültségviszony néperben ][|ln 212

1 NpRRRU

UaU

Az ellenállásviszony néperben ][ln2

1

1

2 NpR

RaR

Nézzük meg az ellenálláson folyó áramok viszonyát, az RIU helyettesítéssel.

22

2

12

1

22

11

2

1 ln2

1ln

2

1ln

2

1

RI

RI

IU

IU

P

P

22

212

1 lnlnlnln2

1RIRI

Egyszerűsítve az egyenletet a következő összefüggést kapjuk

2

1

2

1

2

1 lnln2lnR

R

I

I

P

P

A kapott eredményekből a teljesítményt kiszámolhatjuk feszültség és áram értékek

viszonyára is.

Megadhatjuk teljesítményviszonyokat ismert áram- és ellenállás viszonyból, az

alábbiak szerint

A teljesítményviszony néperben ][ln2

1

2

1 NpP

PaP

Áramviszonyok néperben ][ln 212

1 NpRRRI

IaI

Az ellenállásviszony néperben ][ln2

1

2

1 NpR

RaR

A teljesítményviszony megadható az ismert feszültség és áramviszony abszolút

értékének szorzataként.

IUP aaa

Decibelben megadott villamos jellemzők

Alexander Graham Bell (1847-1922) skót születésű amerikai fizikus, a telefon

szabadalmaztatója tiszteletére nevezték el a 10-es alapú logaritmus értékkel szá-

molt aktív villamos jellemzők viszonyit. Hasonlóan, mint az előzőekben, a villa-

mos teljesítmény viszonyra felírható a következő képlet.

]/[

2

1 10 Ba

P

P

Vegyük az egyenlet tízes alapú logaritmusát.

2

1lg10lg][ P

P

B

a

Rendezve és figyelembe véve. hogy 110lg

][lg2

1 BP

Pa

Mivel Bell [B] igen nagy érték, ezért ennek 10-ed részét használjuk, tehát a deci-

belt. Képletünk az alábbiak szerint változik.

]/[10

1

102

1 Ba

P

P

Kijelölve mindkét oldalra a logaritmust,

2

1lg10

10lg

][ P

P

B

a

Rendezve az egyenletet és tudjuk, hogy 110lg , akkor

][lg102

1 dBP

Pa

a teljesítményviszony dB számolt értékének képletét kaptuk meg. Ha elvégezzük a

teljesítményszámításunkat egy ellenállásra, ahol az ellenálláson disszipált teljesít-

mény R

UP

2

vagy a RIP 2 képlettel számolható.

Nézzük a teljesítményt az ellenálláson lévő feszültség ismeretében

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

90

2211

2

22

1

21

2

1 lglg2lglg210lg10][lg10 RURU

R

U

R

U

dBP

Pa

Végezzük el a 10-el való szorzást és rendezzük a feszültség és ellenállás értékeket

egymás mellé.

1221

2211

lglg10lglg20

lg10lg20lg10lg20

RRUU

RURU

Írjuk fel az egyenletünket

1

2

2

1

2

1 lg10lg20][lg10R

R

U

UdB

P

Pa

Ha RRR 21 , ami jelenti, hogy azonos ellenálláson vizsgálódunk, akkor a

00101lg10lg10lg101

2 R

R

R

R

mert 01lg .

Egyenletünk,

][lg20][lg102

1

2

1 dBU

UdB

P

Pa

Levezethető az ellenálláson folyó áramra is.

2

1

2

1

222

121

2

1 lg10lg20lg10][lg10R

R

I

I

RI

RIdB

P

Pa

Az RRR 21 helyettesítéssel a

][lg20][lg102

1

2

1 dBI

IdB

P

Pa

egyenletet nyerjük.

Kigyűjtve a villamos mennyiségekre kapott értékeket

Teljesítmény decibelben ][lg102

1 dBP

Pap

A feszültségviszony decibelben ][|lg20 212

1 dBRRRU

UaU

Áramviszony decibelben ][|lg20 212

1 dBRRRI

IaI

Ha a két ellenállás értéke ismert, de nem egyező, akkor a teljesítményt a feszült-

ségviszonyok ismeretében

][lg101

2 dBR

Raa Up

Vagy az áramviszonyok ismeretében

][lg102

1 dBR

Raa Ip

Számolhatjuk ki.

A két mennyiség közötti átszámítást a következő értékek ismeretében számolhat-

juk át.

;69,81 dBNp NpdB 115,01

Feladat!

Legyen az áramkörünkben két ellenállás, határozzuk meg 12 / RR teljesítmény,

feszültség és áramviszonyát néperben és decibelben.

U1 R1

I1 I2

U2 R2

Áramköri adatok,

WPAIRVUWPAIRVU 2;5,0;8;4;4;2;1;2 22221111

Megoldás:

Teljesítmény viszony:

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

91

Teljesítményviszony 1

2

P

Pap

NpP

Pa

Npp 34657,0

4

2ln

2

1ln

2

1

1

2

dBP

Pa

dBp 0103,3

4

2ln10lg10

1

2

Feszültségviszony 1

2

U

Uau

NpU

Ua

Npu 69,0

2

4lnln

1

2

dBU

Ua

dBu 0206,6

2

4lg20lg20

1

2

Nézzük meg a teljesítményviszonyt a feszültség ellenállás függvényében.

Ismert feszültségviszony esetén

2

1

R

RaR

NpR

R

U

Ua

Npp 34657,003972,16931472,0

8

1ln

2

12lnln

2

1ln

2

1

1

2

dBR

R

U

Ua

dBp 0103,30309,90206,6

8

1lg102lg20lg10lg20

2

1

1

2

Nézzük meg az áramok viszonyát:

1

2

I

IaI

NpI

Ia

NpI 3863,1

2

5,0lnln

1

2

dBI

Ia

dBI 0412,12

2

5,0lg20lg20

1

2

Ismert áramviszonyok esetén az ellenállásviszony

1

2

R

RaR

A teljesítményviszony logaritmusegységben ismert áramviszonyok esetén

NpaR

R

I

Ia

NpI

Npp 34657,003972,13863,1

1

8ln

2

1ln

2

1ln

1

2

1

2

dBaR

R

I

Ia

dBI

dBp 0103,30309,90412,12

1

8lg10lg10lg20

1

2

1

2

A teljesítményviszony logaritmusértékei feszültségviszony és áramviszony loga-

ritmusértékeire egyezőek helyes ellenállásviszony logaritmusérték alkalmazása

esetén.

Vizsgáljuk meg a következő áramkört

R1

+

R1Ug

Az Ug generátor V5 , 50Hz-es váltakozó feszültséget juttat az 11R ellenál-

lásra. A feszültség alakja szinuszos. Vizsgáljuk meg a VU 25,11 és VU 75,42

feszültségek esetén a feszültség és teljesítményviszonyok logaritmus mértékegy-

ségét.

1

2

P

PaU

Ahol a feszültségérték a referencia ponthoz képesti polaritás váltása miatt egy

periódusban kétszer jelentkezik.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

92

T

Time (s)

0.00 10.00m 20.00m 30.00m 40.00m 50.00m

Voltage (

V)

-5.00

-2.50

0.00

2.50

5.00

U2

U1

U2

U1

Felírva a teljesítményviszonyokra

NpR

R

U

Ua

Np

U335,11ln

2

18,3ln

1

1ln

2

1

25,1

75,4lnln

2

1ln

2

1

1

2

dBlR

R

U

Ua

dB

U5957,111lg08,3lg20

1

1lg10

25,1

75,4lg20lg10lg20

2

1

1

2

A megoldás alapján felírhatjuk, hogy a feszültség és teljesítményviszonyok loga-

ritmikus egysége egyenlő. NpNp

PU

aa

dBdBP U

aa

Relatív és abszolút szint.

Előzőekben láttuk, hogy a feszültség-, teljesítmény- és áramviszonyok logaritmus-

egységeiben két érték hányadosa adja számított értéket. Ha az egyik szint rögzített,

akkor áramkörünk tetszőleges pontjára megadhatjuk a relatív vagy abszolút szin-

tet. A két érték a szintválasztás módjában tér el egymástól.

Relatív szint.

Az általunk valamilyen céllal választott értékhez viszonyított szintet nevezzük

relatív szintnek. Jelöljük az általunk választott szintet 0000 ,,, RIPU ., akkor a

teljesítményszint legyen s (spegel), a feszültségszint S.

Teljesítményszint

][lg10][ln2

1

00

dBP

PN

P

Ps

Feszültségszint

][lg20][ln00

dBU

UN

U

US

Ha meghatároztuk 00 ,PU -t, akkor ebből kiszámolható a további referencia értékek

00 ,RI .

Az 0R értékét az

0

20

0P

UR

Valamint az 0I

0

00

R

UI

Relatív szint lehet egy analóg átviteltechnikai berendezés általunk rögzített beme-

neti adatai, melyhez viszonyított értékként számoljuk ki a berendezés többi pont-

ján mért villamos mennyiségek logaritmus értékeit.

Abszolút szint. Abszolút szintnek nevezzük a szabványban megadott értékeket, ez a távközlési

szabvány, melyhez viszonyítjuk saját mennyiségeinket. A viszonyítási alap értékei

a következők

Teljesítmény érték mWP 10

Feszültség érték VU 775,00

Ellenállás érték 6000R

Az értékek meghatározása úgy történt, hogy egy távbeszélő készülék 1mW telje-

sítményt kibocsátó mikrofonja a 600 ohm ellenállású vezetéken 0,775V feszültsé-

get hoz létre.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

93

Az abszolút szint jelzésére a decibel helyett a decibelmili[dBm] illetve a nepermili

[Nm].

Összefoglalva az abszolút szint decibelmili teljesítményértéke,

][1

lg10][1

ln2

1dBm

mW

PNm

mW

Ps

Az abszolút szint feszültség számítása.

][775,0

lg20][775,0

ln dBV

UN

V

US

Ha a teljesítményt egy ellenállásra vonatkoztatjuk, akkor a teljesítmény abszolút

szintre vonatkoztatott értéke néperben.

][600

ln2

1

775,0ln

600ln

2

1N

R

U

RSs

és decibelben

][600

lg10775,0

lg20600

lg10 dBR

U

RSs

Gyakorlatban a műszerek abszolút feszültségszintre történő skálázása megkönnyíti

a feszültségviszony számítását. Ha egy műszerünk 500mV-ot mér, akkor felada-

tunk annyi, hogy a műszerskálára elvégezzük ][438,0][775,0

5,0ln NN

V

VS vagy

ha decibelben is kijelezzük, akkor a dBdBV

S 8067,3][775,0

5,0lg20 értéket

írjuk oda. Általában egészértékre méretezzük a logaritmikus skálát. A keresett

abszolút szintre vonatkoztatott feszültség viszonyt a skálán leolvasott érték

][lnlnln0

2

0

1

0

2

0

1

NU

U

U

U

U

U

U

U

XU

Vagy decibelben

][lglglg20lg20lg200

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

dBU

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

XU

Feladatban megnézzük, ha egy erősítő bemenő ellenállása kR 11 , a kimenetét

terhelő ellenállásérték kR 252 . A bemeneten mért abszolút feszültségszint

dBSbe 20 , a kimeneten dBSki 5,3 . Mekkora a bemeneti és kimeneti feszült-

ség, a feszültség- és teljesítmény viszony dB -ben és viszonyszámban, és mennyi

a kimeneten lévő teljesítmény?

NPR1 R2U1 U2

Megoldás:

Legyen a bemeneti feszültségünk U1, a kimeneti U2, akkor

010

1 lg20lg20lg20 UUU

USbe

1107,120

214,22

20

214,220

20

775,0lg2020

20

lg20lg 0

1

USU be

mVVUU

5,770775,010

11010

1107,1

1107,1lg1

1

Kimeneti feszültség

020

2 lg20lg20lg20 UUU

USki

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

94

0643,020

214,25,3

20

775,0lg205,3

20

lg20lg

02

USU ki

VUU

1596,11010 0643,0lg2

2

A kimeneti U2 és bemeneti U1 feszültségviszony

1596,140775,0

1596,1

1

2 V

V

U

UaU

A feszültségviszony dB-ben megadott értéke

dBdBdBSSa bekidBU 5,23205,3

A teljesítményerősítés decibelben

dBdBR

Raa

dBU

dBP 52,998,135,23

25

1lg105,23lg10

2

1

A kimenet abszolút teljesítménye:

dBmdBR

Ss ki 698,12198,165,325

6,0lg105,3

600lg10

2

A kimenet teljesítménye:

PmWPP

PdBms lg10][1lg10lg10lg10698,12

0

265,110

65,12lg

P

WmWPP 32,5405432,0

41,18

1

10

11010

265,1

265,1lg

A frekvencia logaritmikus egységei

Átviteltechnikában a frekvenciaértékek széles skáláját alkalmazzuk, ami lehet

néhány Hz, illetve több GHz. Lehet olyan értékhatár, ahol a skálán néhány kHz

frekvencia értéket vizsgálunk, és ehhez tartozik egy (U,I,P) aktív amplitúdó érték,

de a vizsgálat kiterjedhet több MHz nagyságú frekvencia tartományra. Előbbiekért

és más megfontolásokból adódott, hogy a széles frekvenciasáv ábrázolásához a

megfelelő egységválasztást csak a logaritmusértékkel lehetett megoldani. Meg-

egyezések szerint az ábrázoláshoz egy vízszintes számegyenest rendeltek. A

számegyenes a -ből indul és ez a kitüntetett pontja a választott egység frek-

vencia f0, ami a 0 dekadikus skála 0 helye. Ha a vizsgált jelre felírható az

0f2 körfrekvenciát adó képlet, akkor a logaritmus egység a körfrekvenciára

is felírható 00 f2 .

Előzőekben láttuk, hogy két azonos mértékegységű mennyiség hányadosa mérték-

egység nélküli szám, a logaritmusa is az. Itt a jelölt mennyiséget tízes alapú loga-

ritmus esetén dekádnak nevezzük. Kiinduló képletünk

D

0

X 10

A két oldal logaritmus értéke

10lgD

lg0

X

De 110lg , a képletünk a két oldal megfordítása után és a dekád (D) jel index

használattal

0

X]D[ lg

Legyen a vizsgált körfrekvenciánk f2 , egyszerűsítve 2 -vel, akkor a frek-

vencia hányad tízes alapú logaritmus értékét vizsgálhatjuk a dekádban.

0

X]D[

f

flgf

Ha a logaritmusszámítást természetes alapú logaritmusban végezzük el, akkor az

oktáv értékét kapjuk.

Okt

0

X e

Természetes alapú logaritmusa a két oldalnak

elnOkt

ln0

X

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

95

Előzőekhez hasonlóan 1eln , és az okt –t indexként használva képletünk a

következő.

0

X]Okt[ ln

Valamint egyszerűsítés után frekvenciára

0

X]Okt[

f

flnf

Az ábrázoláshoz szükségünk lesz két egymás melletti dekád vagy oktáv közötti

távolság centiméterben [cm] mért nagyságára. Legyen 1Dekád távolsága a cm,

akkor

]D[a

1]cm[1

és ezzel a frekvenciaskála a szükséges nagyságban elkészíthető. A megoldást

oktávra megadva 1 Oktáv távolsága x cm, akkor

]Okt[a

1]cm[1

Akkor egy fy frekvencia az f0 helytől dekádban és oktávban

0

x]D[

f

flgaX ;

0

X]Okt[

f

flnaX

A képletből egy ismeretlen a többi ismertből meghatározható.

Az oktáv és a dekád közötti átszámítás a matematikában ismert logaritmusszámí-

tási módszerből megadható.

OktD 3,0 illetve DOkt 33,3

Okt33,3D1 illetve D3,0Okt1

Egy feladaton keresztül nézzük meg a frekvenciaskála elkészítését.

Feladat:

Készítsünk dekadikus frekvenciaskálát Hz80f0 frekvenciaegység választással

cm3D1 léptékkel. Jelöljük be pontosan a 47Hz helyét és keressük meg azt a

frekvenciát, ami a 80Hz-től jobbra 5,4cm távolságra van.

Megoldás:

A dekadikus skálánkat fel tudjuk rajzolni. A skála 0 helye a dekád 0 pontja, mert

0

X]D[ lg

képletben 0]D[ , ha 1lglg0

X

. Ez akkor teljesül, ha 0X -val vagyis a

képlet

01lglg0

0]D[

Az belátható, hogy 10 hatványaként úgy léphetünk jobbra vagy balra, hogy a

0

X

hányados teljesítse az egész kitevőre kért követelményt. A szükséges hánya-

dos értékek:

...10080

8000;10

80

800;1

80

80;

10

1

80

8

0

X

Ezek logaritmusértékei,

....2100lg;110lg;01lg;110

1lglg

0

X

A két értéksorból felrajzolható a dekád skála, a hozzátartozó frekvenciákkal. Az

ábrázoláshoz két dekád között 3cm a távolság, összesen 4 dekádot ábrázolunk

}2,1,0,1{ , így három dekádközt feltételezve, 9 cm távolságra lesz szükségünk.

A skála elkészítése után a kiegészítő információkat rajzoljuk be. Először adjuk

meg a 47Hz helyét. Azt látjuk, hogy a 47Hz a 80Hz és 8Hz között helyezkedik el.

Számolásunk szerint, ha cm3a , akkor

cm693,0231,0380

47lg3

f

flgaX

0

x]D[

0

-1

8

0

80

1 2

800 8000 f[Hz]

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

96

Továbbiakban meg kell keresni a Hz80f0 frekvenciától 5,4 cm távolságra lévő

frekvencia értékét. Az előző képlettel számolunk, csak most fX-et keressük.

0

x]D[

f

flgaX

0X]D[ flgflgaX

7031,33

11,11

3

80lg34,5

a

flgaXflg 0D

X

Hz50481010f 7031,3flgX

X

Lerajzolva a számolt értéket

A számolás teljesen egyező, ha természetes alapú logaritmusban számolunk, de

értékeink oktávban lesznek.

Hálózatfüggvények gyors ábrázolása, Bode diagram

Vizsgálatunk egy négypólus kimeneti és bemeneti feszültségeinek abszolút értékű

hányadosát és a jel fázisát (arcus) ábrázoljuk a frekvencia függvényében. Ahhoz,

hogy ezt megtegyük, fel kell írni a keresett hálózatfüggvényt. A hálózati függvé-

nyünk az 1

2

U

Ufeszültségviszonyt meghatározó áramköri elemek kapcsolása hatá-

rozza meg. A kapcsolás egy négypólus, melynek a bemeneti feszültsége U1, kime-

neti feszültsége U2.

Legyen az áramkörünk a következő

50mH

(1)

0,8nF

(2/5)

12,5k

(5/2) 10k

(2)

50mH

(1)

50mH

(1)

U1 U2

Az áramkörünkre a megadott értékek mellett zárójelben megadtuk a relatív értéke-

ket is. Egységnek az k5R e és mH50Le választottuk. A kondenzátor egy-

sége a

F102

105

1050

R

LC 9

23

3

2e

ee

értékre, azaz 2nF adódott. A körfrekvencia a e

ee

L

R képletből

sec/krad1005

1050

1050

105

L

R 5

3

3

e

ee

f[Hz]

3 cm -0,6380cm

0

-1

8

0

80

1 2

800 8000 47

0

-1

8

0

80

1 2

800 8000 f[Hz]

5,4 cm

5048Hz

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

97

Rajzoljuk fel a kapcsolás négypólus megfelelőjét, akkor látható, hogy két impe-

dancia kapcsolatáról van szó. Az első a vízszintes ág legyen Z1 impedancia, a

C1

R1

50mH

(1)

0,8nF

(2/5)

12,5k

(5/2)

Z1

A függőleges ág legyen Z2

10k

(2)

50mH

(1)

50mH

(1)

Z2

A négypólus felrajzolható, mint Z1 és Z2 kapcsolata

Z1

Z2U1 U2

A leegyszerűsített rajzból a hálózati függvény (Fp) a Z1 és Z2 impedanciák feszült-

ségosztásából meghatározható. Ha a gerjesztést U1 adja, akkor Z1 és Z2-n ugyan

azaz I áram folyik.

21

2

21

2

1

2p

ZZ

Z

ZZI

ZI

U

UF

A két impedancia meghatározásánál figyelembe vesszük, hogy komplex frekven-

ciatartományban a frekvenciafüggő elemek reaktanciájukból felírhatók, ha elvé-

gezzük jp helyettesítést, akkor a kondenzátorunk reaktanciája

pC

1

Cj

1XC

Tekercs reaktanciája

pLLjXL

Az ellenállás frekvencia független, tehát p-től független.

Ha relatívértékkel számolunk, akkor a CrC és LrL helyettesítést alkalmaz-

zuk.

Ezek után a Z1 értéke

xR

pC

1pLZ1

Behelyettesítve a relatív értékeket

2

5x

5

2p

11pxR

pC

1pLZ e

eer1

p1

p

p2

5p

p

p1

p2

5

p

1p

1

p2

5

p

2

5

p2

5

2

5

p2

5

p2

5x

p2

5pZ r1

p22

5p22p

p22

5pZ r1

p22

p2p25Z

2

r1

Most nézzük Z2-t

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

98

p22

pp2

p2p

p2pp2pxZ

2

r2

Az eredő értékünk

r2r1

r2r

ZZ

ZZ

Helyettesítsük a kapott értékeket

2

2

2

2

22

2

r2r1

r2r

p3p45

p22

p22

pp2

p22

p3p45

p22

pp2

p22

pp2

p22

p2p25

p22

pp2

ZZ

ZZ

2

2

rp3p45

pp2Z

Akkor a hálózati függvényünk pr FZ -vel egyező.

2

2

pp3p45

pp2F

A Bode diagramot felépítő építőkockák felismerését az egyenlet átalakításával

érjük el. A számlálót és a nevezőt gyöktényezős alakra hozzuk.

A számláló egy hiányos másodfokú egyenlet, mert egy másodfokú egyenlet álta-

lános alakja

0cbxax 2

Ha elvégezzük a px helyettesítést,

0p2p2

akkor látjuk, hogy az egyenlet együtthatói 0c;2b;1a val. Megoldjuk a

másodfokú egyenlet megoldó képletével, ami

a2

ac4bbp

2

12

Helyettesítve az együtthatókat

2

22

2

042p12

Az egyenlet két gyöke

02

22p1

22

22p2

A gyöktényezős alak általános képlete

0xxxxa 21

Helyettesítve a kapott eredményt és p-t a számlálónk gyöktényezős alakja

0)2p(p2p0p1

Szorzattá alakítást akkor is elérjük, ha az eredeti egyenletből kiemeljük p-t.

A nevező gyöktényezőre bontása, a gyökök meghatározása

05p4p3 2

3

112

6

1124

6

60164p12

A gyök alatti mennyiség komplex érték, ezért -1-et kiemelve kapjuk a 3

11j .

Az egyenlet gyökei

3

11j

3

2p1

3

11j

3

2p2

Gyöktényezős alakja helyettesítés után

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

99

03

11j

3

2p

3

11j

3

2p3ppppa 21

Az átviteli függvényünk

3

11j

3

2p

3

11j

3

2p3

2ppFp

A Bode diagram építőkockáit jelöljük Ex-el, ahol x az építőkocka sorszáma, ami a

felépítésére utal.

Az építőkockák felsorolása

Az első építőkocka a konstans, minden másodfokú egyenletben kiemeléssel kons-

tans (k) értéket határozhatunk meg.

kE1

A második építőkocka a 0p helyen lévő gyökre épül, ehhez p0p gyökté-

nyező tartozik, mivel konstans mindig létezik, ezért e kettőt összevonják pk ,

amit felírhatunk 1

k

1

p formában is, valamint tudjuk, hogy a kapott eredmény tör-

tek osztásának reciprok szorzása, akkor

k

11

p

de p1

p , akkor

k

1

p.Legyen

k

10 ,

ezek után az építőkocka

02

pE

A harmadik építőkocka a valós gyökökre vonatkozik. Általánosan felírva, ha a

valós gyök 0 , akkor

00 pp

Ha az egyenletünket elosztjuk 0 -val, akkor a k konstans eltolást hoztunk létre az

építőkockában, az építőkocka konstansértéke mindig egy.

00

0:0

p1

pp 0

Az építőkocka egyenlete

03

p1E

A negyedik építőkocka a hálózati függvény nem valós, hanem komplex gyököket

tartalmaz, akkor konjugált szorzatuk valós értéket adnak. A feladatunkban a neve-

ző gyökei komplex mennyiségek, konjugált szorzatuk számítását a

222 baax2xjbaxjbax

A nevezőre felírva, ahol px ,3

2a és

3

11b

3

5p

3

4p

9

15p

3

4p

3

11

3

2p

3

22pbaax2x

22

222222

Példánkat folytatva a negyedik építőkockánk konstans értéke akkor lesz egy, ha

3

5-al osztunk.

3

5

pp

5

41

3

5p

3

4p

23/52

Az építőkocka általános alakja

20

2

04

pp21E

Speciális esetben, ha 0 , akkor az egyenlet második tagja nulla, így

20

2

4

p1E

kifejezéssel lesz egyező.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

100

A E4 építőkocka értékének geometriai jelentés a cos képlettel fejezhető

ki.

Látható, hogy az építőkockákat két nagy csoportra oszthatjuk, egy olyan építőkoc-

ka egyenletre, ami elsőfokú, beleértve a konstans értéket is, ezek az E1,E2,E3 épí-

tőkockák és a másodfokú egyenlettel leírhatóra,ez a komplex gyököket tartalmazó

építőkocka az E4.

A felsorolt építőkockával minden hálózatfüggvény felírható.

szorzata_ckáképítőpítők

szorzata_ckáképítőpítőkFp

Ezek után nézzük meg a feladatunkat, hozzuk építőkocka alakra.

Megoldás:

A számláló gyökei {0,-2}, a nevező gyökei komplexek. A számláló valós gyökei

miatt elsőfokú építőkockával leírható, tehát E1,E2,E3, a nevező E4 építőkockával.

Az E3 és E4 építőkocka konstans értéke mindig 1, ezért a kiemelést el kell végez-

ni.

Kiinduló egyenletünk

2

2

pp3p45

pp2F

A számlálóban ki tudjuk emelni a 2p-t

2

p1p2pp2 2

Akkor az építőkockák

2

p1E;pE;2E 321

A számláló építőkocka egyenlete

321p EEEszámlálóF

A nevező építőkockái a másodfokú egyenlet miatt E4, de itt is az építőkocka kons-

tansa 1 lehet. Kiemelve a konstans értékű 5-t,

22 p

5

3p

5

415p3p45

A nevező építőkockái

241 p

5

3p

5

41E;5E

41p EEnevezőF

Az átviteli függvényünk

41

321

22

2

pEE

EEE

p5

3p

5

415

2

p1p2

p3p45

pp2F

A számláló E1és E2 építőkockát érdemes összevonni és képezni az 0

2

pE

alak-

ját.

2

1

pp2EE 21

vagyis 2

10 .A kapott eredmény értelmezése a 0p helyhez tartozó gyökté-

nyező értéke, vagyis p0p

A számláló E3 építőkockája

2

p1E3

Az általános építőkocka alakja

03

p1E

A két egyenletet összevetve 20 valós gyökre vonatkozik.

A nevezőben két építőkocka van E1 ami konstans

5E1

és E4 ami egy másodfokú egyenlet építőkockája képzetes gyökökkel.

24 p

5

3p

5

41E

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

101

Az E4 építőkocka általános alakja

20

2

04

pp21E

Átalakítva a jobb felismerhetőség miatt

2

200

4 p1

p1

21E

A két egyenletből kiírhatók az együtthatók

3

5

5

3102

0

15

2

15

4

300

80

5

4

12

5

5

4

25

412 0

0

Azt láttuk, hogy a hálózati függvényünket leíró egyenlet számlálóját és nevezőjét

úgy alakítjuk át, hogy a 4 építőkocka valamelyike felismerhető legyen. Az átviteli

függvény minden egyes építőkockája külön- külön amplitúdó és fázisátvitele ábrá-

zolható.

Az építőkockák logaritmus értékei.

Az E1 kocka logaritmus értéke frekvenciától független

klg20AE dB1

dB1

karc1

Az E1 építőkocka amplitúdó menetét dB1A , k abszolút értékének három spe-

ciális esetére vizsgáljuk 1k , 1k és 1k0

Fázismenetének két szélsőértéke van, ha k pozitív előjelű szám, vagyis nagyobb

nullánál akkor 1 értéke 0, ha k negatív előjelű szám tehát kisebb nullánál, akkor

1 fázisszög értéke .

Az E2 építőkocka logaritmus értékét az E2 építőkocka egyenletének felhasználásá-

val oldjuk meg. Ezt a logaritmus egyenletet is felhasználjuk a hálózati függvény

amplitúdó menetének vizsgálatára. Az építőkocka egyenlete

02

pE

Mivel most az erősítést a frekvencia szerint vizsgáljuk, végezzük el a jp he-

lyettesítést. Akkor az építőkocka

0

2

jjE

alakúra vált. Az együtthatókból számolt egységfrekvencia 0 valós érték, a j

képzetes, a két érték ábrázolása a komplex számsíkon lehetséges. Azonban az

látható, hogy a 0

j

hányados mindig egy arányos képzetes értéket ad, amire igaz,

hogy konjugáltjainak szorzata az abszolút érték négyzetét adja. Legyen a képzetes

mennyiségünk jE2 , konjugáltját jelöljük jE2 . Ábrázolva a komplex szám-

síkon kapjuk a következő ábrát kapjuk

k=0

dB

1A

0<k<1

k>1

dB1A

k>0

k<0

1

0

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

102

Egyenlettel felírva az elmondottakat

jEjE 22

Felírva ra

0

2

02

jjEés

jjE

Azt tudjuk, hogy 2

222 EEE

és 2

020

2

20

22

00

1jjj

Az E2 építőkocka logaritmus értékű átvitele dB-ben

0

2

0

dB2 lg20lg10E

A 0

lg

a frekvencia dekadikus léptéke, akkor

DdB2

dB2 20AE

Az eredmény egy elsőfokú egyenlet, amit geometriában egyenessel ábrázolunk,

mégpedig úgy, hogy dekádonkénti meredeksége +20 és az tengelyt 0 pontban

metszi.

Az E2 építőkocka fázisszöge frekvencia független, mivel képletéből 0

2

jjE

látható, hogy tisztán képzetes részből áll. Értéke,

A2dB

-20

0

+20

+40

001,0 01,0 0 010

0100

-40

+20dB/D

0

j

0

j

Re

Im

jE2

jE2

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

103

2

2

Ha a vízszintes tengely a függőleges tengely 2 akkor független érték

eset 2 konstans értéket ad. Ha az E2 tisztán képzetes, akkor 2 értéke a valós Re

és képzetes tengely Im által bezárt szög. Rajzoljuk le.

Az E3 kocka logaritmus értéke

Az 0

3

p1E

építőkocka jp helyettesítés után

03

j1)(E

képletből vezethetjük le. A képlet egy komplex szám, aminek valós része a frek-

vencia független 1 (egy), képzetes része 0

j

. hányados. A vizsgálatunk is erre a

két mennyiségre terjed ki. Látható, hogy a komplex szám valós része egy kons-

tans, ami az első építőkockának (E1) fele meg, annyi különbséggel, hogy értéke

mindig 1. A második tag egy tisztán képzetes rész és megfelel az E2 építőkocká-

nak.

213 EkE)(E

Az E3 képletben 1k , minden esetben. Ezek után nézzük meg E3 logaritmus érté-

két.

dB3

dB3 AE

01lg20 110

0

D

0

20lg20

000 1

Ábrázolva a kapott eredményt azt kapjuk, hogy a törésponti frekvenciáig

dB0AdB3 , ha 0

Az átvitel értéke nulla dB és ábrázolásban egybeesik az tengely 0 pontjáig.

Ha a dB20A DdB3 ha 0 , ami

2

2 Im

Re 2

k=0

dB3A

dB

3A

0

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

104

A két érték eredményeként láthatjuk, hogy a karakterisztika az és A tengely

nulla értékéből induló, az 0 frekvenciáig dB

1A nullaértékű, majd az 0 frek-

venciától növekvő értékre az átvitel D/dB20 meredekség szerint emelkedő

átvitelt mutat.

Az 0 töréspontban 0 a képletünk

1j1j

1j

1)(E0

0

03

Az E3 építőkocka logaritmus értéke a speciális esetre

dB30103,3150515,0202lg20AE dB3

dB3

Mérjük fel a lerajzolt töréspont helyére a 3dB-es kiemelést és közelítsük a karakte-

risztikához a 01,0 és a 010 frekvenciákon.

D/dB20

k=0

dB3A

dB

3A

01,0 0 010

0

j

Re

Im

1

1jj0

0

2

0

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

105

A fázisszög meghatározása elvégezhetjük, ha az építőkocka egyenletét úgy meg-

vizsgáljuk meg, ahogy az amplitúdó átvitel esetén tettük. Három speciális esetet

tudunk meghatározni, ha az egyenletünk csak valós értékű, vagy tisztán képzetes

értékű, illetve a törési frekvencián. Foglaljuk táblázatba

]rad[

3

1j10

0

0)1arccos(

1j1j10

00

]rad[

445

1

1garctan o

1jj10

]rad[

2901arcsin o

A táblázat a komplex számsíkon jelenti a ]rad[0]rad[

3 , ahol a szög szárai a

valóstengellyel esnek egybe. A ]rad[4

]rad[3

egy 45

o-os nyílásszöggel ren-

delkező hegyesszöget jelent, aminek egyik befogója a valóstengely, a másik tőle

]rad[4

-ban halad át. Az utolsó, harmadik eset a tisztán képzetes rész, amikor a

konstans 1 elhanyagolható, értéke ]rad[2

]rad[3

.

Az E3 építőkocka fázisszögének változásait a körfrekvencia függvényében

adják meg, mert így összevethető az amplitúdó átvitellel.

dB3

D/dB20

dB

3A

dB

3A

01,0 0 010

0

j

Re

Im

1

1jj0

0

4

]rad[3

0]rad[

3

2

]rad[3

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

106

Az E4 építőkocka logaritmus értéke.

Ismét az ismert pE egyenletből indulunk ki jp helyettesítéssel. Emlékezte-

tőül az

20

2

04

pp21pE

Helyettesítve a jp

20

2

04

jj21jE

Elvégezve a lehetséges műveleteket

20

2

020

2

04 j21

1j21jE

Akkor az E4 építőkocka általános egyenlete a körfrekvencia j függvényében

20

2

04 j21jE

Az építőkocka amplitúdó menetét egy táblázatban foglaljuk össze

dB4

dB4 AE

01lg20 1j212

2

00

0

D

2

0

40lg20

2

02

2

00

0

j21

Vizsgáljuk meg a amplitúdó menetét a frekvencia függvényében a táblázat alap-

ján. Látható, hogy ha 0 feltétel szerint vizsgáljuk az egyenletet, akkor

0

hányados első és másodfokú értéke nulla, az egyenlet },{ 0 tartalmazó

tagjai nullaértékűek. Az egyenletünk E1 építőkockára szűkül, ami k konstanst

tartalmaz, az E4 építőkockában vizsgálva az mindig 1. A táblázat második sorában

az 0 feltételt vizsgáltuk, közelítésként csak a négyzetes hányados értékét

véve figyelembe, megkaptuk, hogy egy 40dB/oktáv meredekségű egyenes indul az

0 törésponti körfrekvencia helyről.

4

]rad[3

01,0

0

010

2

D/dB40

dB

4A

dB

4A

01,0 0 010

dB20

dB40

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

107

Meg kell vizsgálni az 0 törésponti körfrekvenciához tartozó amplitúdó menetet,

amit jelöljünk jE4 .Ehhez helyettesítsük be az egyenletbe az 0 kör-

frekvenciát, ami az E4 építőkocka töréspont körfrekvenciája.

020

20

0

04 |j21jE

11j21jE4

Elvégezve az összevonást

j2j20jE4

Egy tiszta képzetes komplex értéket kaptunk. Abszolút értéke a

jEjEjE 44

2

4

22

4 2j2j2jE

A képlet alapján dB2dB

4 22lg202lg10E

A értékétől a töréspont környezetében megváltozik az E4 építőkocka amplitúdó

menete. Ha a 2

1 , akkor a pontosított függvény a töréspont alatt halad. Ebben

az esetben az 0 törésponti frekvencia az c körfrekvenciára tolódik el, aminek

pontosított értéke

20c 21

Az c -hez tartozó átvitel minimum értéke a törésvonaltól számítva

dB2

22dB

4E 12lg2012lg10C

Az jE4 építőkocka arcusa, ]rad[4 ha 0 akkor 0

]rad[4 , ha

0 akkor 2

]rad[4

, és ha , a

]rad[4 értéket veszi fel.

A leírt változásokra az dB4E építőkocka amplitúdó- és fázismenete a következők

szerint változik.

Az E4 építőkocka amplitúdó menete különböző értékeinek figyelembe vételével,

hatása a 0 törésponti frekvencia eltolási mértékére.

Az E4 építőkocka amplitúdó- és fázismenete

]rad[3

01,0

0

010

2

2,0

1

2,0 1

D/dB40

dB

4A

dB

4A

01,0 C 0 010

dB20

dB40

1

0 2,0

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

108

Az E3 építőkockában a 0 értéke negatív is lehet, ilyenkor is az abszolút értékét

vesszük, de arcusa -1-el szorzódik. Szintén negatív lehet értéke is, de ez a gyö-

kök első síknegyedes ábrázolását jelenti.

Ezek után befejezzük a feladatot, amit már elkezdtem. Az egyenlet alakja

41

321

22

2

pEE

EEE

p5

3p

5

415

2

p1p2

p3p45

pp2F

Ha a számláló és a nevező E1 kockáit összevonjuk, valamint társítjuk a számláló

E2 építőkockájával, akkor leírhatjuk

41

321dBp

EE

EEElg20F

41321dBp EElg20EEElg20F

41321dBp Elg20Elg20Elg20Elg20Elg20F

2dB

p p5

3p

3

41lg205lg20

2

p1lg20

1

plg202lg20F

A konstans építőkockák frekvencia függetlenek ezért azok összevonhatók.

dB96,75

2lg205lg202lg20)k(FdB

p

Törésponti frekvenciák

Számláló, ]rad[3

3]rad[12E

0 ]rad[3

12]rad[23E

0

Nevező: ]rad[3

54E

0

Az átviteli függvény dB96,7E1 értékről indul. A számláló E2 építőkocka álta-

lános alakja0

2

pE

a számláló építőkockája

1

pE2 , ahol 10 , a közös áb-

rázoláshoz átalakítjuk 3

310 .Az átviteli függvényünk meredeksége +20dB,

ami a 3

3 körfrekvencia pontból indul. A következő törésponti frekvencia

3

3 3

5 3

12

20

40

60

80

100

20

40

]dB[Fp

]dB[Fp

3

335,2

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

109

3

5ami a nevező törésponti frekvenciája, amihez E4 építőkocka tartozik. Az ilyen

típusú kockák átvitele +40dB, azonban nevezőben való helye miatt előjele negatív,

így értéke -40dB meredekségű. Az E2 +20dB-es és az E4 -40dB meredekségű

egyenesek eredője az3

50 ponttól -20dB-es lesz. Az egyenes a számláló

]rad[3

12]rad[23E

0 pontig tart, itt a -20 és +20dB-es egyenesek eredője 0dB

meredekségévé vált.

Az átviteli függvény építőkockáit előjelhelyesen rajzoltuk a tengelyre a

0 ponthoz tartozó meredekségű egyenessel, majd összegezése megtörtént. Az

eredő átviteli függvény a szaggatott vonal tartalmazza.

A magyarázathoz hozzátartozik a 3dB pont szerkesztése, illetve értékének figye-

lembe vétele.

516,015

4

3

5

5

2

5

4

3

5

2

A ismeretében kiszámolhatjuk a frekvencia eltérését a C pontban

3

335,2467,0

3

5533.01

3

5516,021

3

521 22

0c

Az 3

5törésponti értéket majdnem 0,912 rad-al csökkenti. Az amplitúdó változás

dB071,1884,0lg20733,0032.1lg20516,01516,02lg20CdB

2dB4E

A kapott eredmény a C pontban dB25,1 -el csökkenti az átvitelt.

Fázismenet szerkesztése.

Az E2 építőkocka fázismenet 2

, előjele pozitív, mivel a számlálói építőkocka. A

következő töréspont a nevezőben lévő építőkocka, minek előjele negatív. Az E4

építőkocka a fázismenete

2

0 , mivel a nevezőben van, ezért előjele nega-

tív, fázismenete értékű. Az utolsó törésponthoz tartozó építőkocka E3 típusú,

fázismenete24

0

3

3 3

5 3

12

0

4

rad][

3

335,2

2

4

2

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

110

Reaktáns kétpólusok

A reaktáns kétpólus az induktivitásból és kapacitásból felépülő kétpólusú hálóza-

tok.

Elemi reaktáns kétpólusok az induktivitás és a kapacitás. Az ideális tekercsenek

egy jellemzője van az induktivitása, az ideális kondenzátornak a kapacitása.

Az induktivitás impedanciája a

LpZ

Ahol a jp komplex mennyiség. Az ideális induktivitásra jellemző, hogy

impedanciája tisztán képzetes érték, így a jp komplex szám valósrésze

nulla ( 0 ). Ez jelenti, hogy LpZ egyenletünk

LjZ j

alaknak felel meg. Mivel tisztán képzetes, ezért jellemezhető a reaktanciájával.

LX

Az induktivitást a komplex számsíkon ábrázoljuk, akkor értékei a képzetes tenge-

lyen foglalnak helyet.

Az ilyen elrendezést nevezzük zérus-pólus elrendezésnek. A reaktancia képletből

láthatjuk, hogy körfrekvencia nulla értékénél reaktancia rövidzárt 0X 0 ,

végtelen körfrekvencia értéknél szakadást X jelent. Az induktivitás rajz-

jele

L

A tekercs reaktancia értékének változása a reaktancia- körfrekvencia függvényé-

ben

Az és X kapcsolata konstans L értéknél lineáris. Az ábránkon lévő végtelen

körfrekvencia közelében lévő torzítás az ábrázolhatóságot jelenti ezen a frekven-

cián.

A kapacitás impedanciája

pC

1Z

Hasonlóan az előzőekhez p ismét komplex érték, de ideális kapacitást feltételezve

tisztán képzetes értéket vesz fel. Az impedancia képzetes részre korlátozódik.

Cj

1Z j

Reaktanciája az impedancia, mert impedanciája tisztán képzetes érték.

C

1X

A kapacitás zérus-pólus elrendezését az impedancia képletéből körfrekvencia 0

és helyettesítéssel nyerjük. A képletben 0X helyettesítés, jelenti az

egyenfeszültségű (egyenáramú) mennyiséget, ekkor a reaktancia szakadást mutat,

ha 0X , tehát végtelen körfrekvencia, értéke rövidre zártat mutat.

X

0

0X L

LX

0X

0

L

j

LX

j

LX

Lk

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

111

A kapacitás rajzjele

C

Nézzük meg a kondenzátor reaktancia X értékének változását a körfrekvencia,

függvényében.

Az ábrán látható, hogy szélsőértékein a kondenzátor reaktanciája milyen értéket

vesz fel.

Soros LC kapcsolás, a soros rezgőkör.

A kapacitás és induktivitás sorba kapcsolása egy soros eredő impedanciát eredmé-

nyez, ami a kapacitás és az induktivitás impedanciák összegét jelenti. Ha a kapaci-

tás impedanciája Cp

1pZ C

, az induktivitás impedanciája LppZ L , ak-

kor eredőjük

CLLC pZpZpZ

A soros LC kapcsolás áramköre

L C

Helyettesítve L és C elemek impedanciákra felírt képletet

Cp

1CLp

Cp

1LppZ

2

LC

Osszuk el a számlálót és a nevezőt CL szorzattal

1

222

LCLp

CL

1p

L

pLC

1p

CL

CpCL

1

CL

CLp

pZ

Vezessük be a Thomson frekvenciát, ami a két reaktancia egyenlőségén

CL XX alapul és e frekvenciához 0f tartozó körfrekvencia legyen 0 .

C

1L

00

CL

1

CL

10

20

Behelyettesítve az impedancia egyenletünkbe

CX

0

j

0X C

j

0XC

Ck

X

0

0X C

CX

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

112

1

20

2

1

2

LCLp

p

Lp

CL

1p

pZ

A p értékének megadásával nézhetjük meg, hogy hol jelent szakadást

LCpZ vagy rövidzárt 0pZ LC a soros eredő impedancia. Ehhez először

helyettesítsük be 0jp

0j

0L

jL

j

j

Lp

ppZ

00

20

20

0

20

20

1

20

2

LC

Ha 0jp

0j

0L

jL

j

j

Lp

ppZ

00

20

20

0

20

20

1

20

2

LC

Az impedancia 0 értéke a rövidzárt jelent rezonancia frekvencián, tehát itt az im-

pedancia függvénynek zérus pontja van.

Nézzük meg hol értékű a soros kör eredő impedanciája. Helyettesítsünk p he-

lyére 0-t.

L

0L

0

0

Lp

ppZ

20

20

2

1

20

2

LC

Legyen p

LL

Lp

ppZ

220

2

1

20

2

LC

Nulla és végtelen helyettesítéssel a kapott eredmény végtelen, tehát az impedancia

értéke szakadást jelent, a függvénynek pólus pontja van. A soros rezgőkör impe-

dancia- körfrekvencia menete az tengelyen 0 helyen átmenő karakterisztika,

ami a végtelen impedancia értékhez tartanak 0jp és jp körfrek-

venciákon.

A frekvencia tartománybeli reaktanciája az impedanciából meghatározva,

1

20

2

LCLj

jZ

Ebből a reaktancia

Lj

X20

2

LC

Párhuzamos LC kapcsolás, a párhuzamos rezgőkör

A párhuzamosan kapcsolt induktivitás és kapacitás eredő impedanciája,

xpZpZ LLC CpZ

A párhuzamos LC kör áramköri rajza

L

C

Helyettesítés után

CL XXZ

0

CL XXZ

CL XXZ

0

0ZCL XX

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

113

1CLp

Lp

Cp

1LxppZ

2LC

Egyenletünket elosztjuk CL -vel

CL

1p

Cp

CL

1

CL

CLp

CL

Lp

1CLp

LppZ

2

1

22LC

A Thomson képlet helyettesítése után

20

2

1

2

1

LCp

Cp

CL

1p

CppZ

Viselkedése a komplex frekvencia tartományban

Zérus pontjai 0p és p esetén van, helyettesítés után meggyőződhetünk

róla. Nézzük meg, mikor 0p

00

0

C0

p

CppZ

20

20

2

1

20

2

1

LC

És ha p

0C

p

CppZ

220

2

1

20

2

1

LC

Pólusoka a 0jp és 0jp helyeken

Ha a helyettesítés 0jp

0

j

1j

j

j

Cj

p

CppZ 0

220

0

20

20

10

20

2

1

LC

Nézzük 0jp esetén

0

.j

1j

j

j1

Cj

p

CppZ 0

220

0

20

20

22

10

20

2

1

LC

Az eredményekből látható, hogy párhuzamosan kapcsolt LC reaktáns kétpólus 0

és körfrekvencián rövidzárt, míg 0 értéken szakadást jelent. Az 0 értékű

antirezonancia viselkedése miatt párhuzamos rezgőkörnek nevezzük.

A párhuzamos rezgőkör reaktancia - körfrekvencia jelleggörbéje a számított érté-

kekkel lerajzolható.

Az 0 frekvencián ábrázolt végtelen CLxXXZ értéket természetesen a végtelen-

ben kellene lerajzolni, de ábrázolási nehézségek miatt került az tengelyre.

A párhuzamos rezgőkör reaktanciája az impedancia frekvenciatartománybeli kép-

letéből határozható meg.

1

220

LC Cj

Z

A reaktancia képlete

1

220

LC CZ

CLxXXZ

0

0ZCLxXX

0ZCLxXX

0

CLxXXZ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

114

A veszteséges reaktáns kétpólus

Az előzőekben vizsgált kétpólusoknak járulékos összetevői nem voltak, így azokat

ideális reaktáns kétpólusoknak nevezzük. A veszteséges reaktáns kétpólusoknak

létezik valósérték összetevője. A valósértékű összetevő a reaktáns kétpólusok

gyártásakor kapcsolódik a reaktanciához. Egy legyártott kapacitást kondenzátor-

nak, egy legyártott induktivitást tekercsnek nevezünk.

A kondenzátor

Egy veszteséges kondenzátor helygörbéjét a kondenzátorhoz kapcsolódó ellenállás

határozza meg. Ha a kondenzátorhoz sorba kapcsolódik a valós érték, tehát egy

ellenállás, akkor impedancia-, ha párhuzamosan, akkor admitancia rendszerben

vizsgálódunk.

A soros ellenállású veszteséges kondenzátor kapcsolását helyettesítő kapcsolásnak

nevezzük.

r Cs

A veszteséges kondenzátort a komplex impedancia ként ábrázolhatjuk. A konden-

zátor impedanciája

s

CsCj

1rjXrjZ

Az impedancia abszolút értéke

2s

2

22Cs

2

C

1rXrZ

Az belátható, hogy a veszteséges kondenzátor impedancia változása a komplex

számsíkon egy félkör, ahol az a kondenzátor reaktancia változása.

A jósági tényező (Q) bevezetése.

Minden veszteséget tartalmazó áramkörre jellemző a jósági tényezője. Azt tudjuk,

hogy a veszteség fogalma a teljesítmény viszonyból, mégpedig a meddő vagy

látszólagos (Pm) és a hatásos vagy valós (Ph) teljesítmények abszolút értékeinek

hányadosa. Teljesítményre felírva

h

m

P

PQ

Most a jósági tényező az impedanciára vonatkozik, így a látszólagos teljesítmény-

nek megfelel sCm XP , a hatásos teljesítménynek rPh , helyettesítés

után

r

XQ sC

Az ábrából látható, hogy az impedancia fázisszögének tangense, tg tehát a jósági

tényező

tgCr

1Q

s

Nem minden esetben a jósági tényező ismert, helyette a veszteségi tényező tg

adott, de a két mennyiség egymásba átszámítható, mert egymás reciprok értéke.

sCjXrjZ

Z

sCjX

r

Im

Re

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

115

tg

1tgQ

Ezek után nézzük meg egy soros veszteséges kondenzátor értékének meghatározá-

sát. Tudjuk, hogy

s

C

CZ

1

Z

Xsin s

De azt is tudjuk, hogy1

sinsin

és 1cossin 22 de azt is, hogy 11 .

Végezzük el az utóbbi helyettesítéseket.

22 cossin11

Írjuk be az alábbi egyenletünkbe

22 cossin

sin

1

sinsin

Osszuk el a jobb oldal számlálóját és nevezőjét sin -val

2

222

sin

cos1

1

cossin

sin

1

sinsin

De

cos

sintg

Helyettesítve a gyök alatti mennyiségben

22

2

tg

11

1

sin

cos1

1sin

A Qtg és ebből következik, hogy 22 Qtg , ahol Q a jósági tényező

22 Q

11

1

tg

11

1sin

Végezetül a baloldalisCZ

1sin

helyettesítéssel a soros veszteséges kon-

denzátort is meg tudjuk határozni

2

s

Q

11

1

CZ

1

kifejezve Cs soros veszteségi kondenzátort

2sQ

11

Z

1C

egyenletet kapjuk.

A soros veszteségi ellenállás a

Z

rcos

Felírhatjuk 1

coscos

egyenlőséget, most a 22 cossin11 -t

cos -val osztom el

22

2

2 Q1

1

tg1

1

cos

sin1

1cos

Helyettesítve cos -t

2Q1

1

Z

r

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

116

Kifejezve a soros veszteségi ellenállást

2Q1

1Zr

Párhuzamos ellenállású veszteséges kondenzátor.

A veszteségi összetevők párhuzamos ellenállásként kapcsolódhatnak a kondenzá-

torral.

Cp

R

Ebben az esetben is tudnunk kell a veszteségi ellenállás és a kondenzátor értékét,

hogy előre meghatározható legyen áramköri hatása. A veszteséges kondenzátorral

párhuzamosan kapcsolódó ellenállás együttes viselkedését az admitancia síkon

vizsgáljuk. Az admitancia érték az impedancia reciproka. Végezzük el a sík vetíté-

sét a komplex számsíkon.

A vizsgálat menete egyező a soros ellenállású veszteséges kondenzátoréval, most

is a kondenzátor, az ellenállás és a jósági tényező értékének kiszámításához szük-

séges képletekre vagyunk kíváncsiak.

A párhuzamos kapcsolt elemek admitancia értéke

CpjBGjY

Azt tudjuk, hogy

R

1G

p

CpCp Cj

jX

1jB

Helyettesítve az admitancia egyenletbe

pCjR

1jY

Admitancia abszolút értéke

2p

2

CR

1Y

A jósági tényező meghatározásához sin értéke kell,

2Q

11

1sin

Valamint

p

CpCZ

Y

Bsin

A két egyenlet

2

p

Q

11

1CZ

És az ellenállással párhuzamosan kapcsolt veszteséges kondenzátor kiszámítási

képlete

2

p

Q

11

1ZC

Im

Re

Y

pCjBGjY CpjB

R

1G

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

117

A párhuzamos ellenállás egyenlete a következő. Ismert a

2Q1

1cos

Az admitancia ábrából

Y

Gcos

A R

1G az

Z

1Y helyettesítések után

R

Zcos

A két egyenlet reciproka

2Q1Z

R

És az R

2Q1ZR

A jósági tényező

p

CpCR

G

BtgQ

A soros és párhuzamos ellenállású veszteség kondenzátorok közötti kapcsolat

1

Q

11

1

C

C

2s

p

és

22 QQ1r

R

Az előző közelítő értékeket a nagy jósági tényező miatt írhattuk le.

A tekercs

A veszteséges kondenzátornál már vizsgáltuk a valósérték kapcsolatokat, nézzük

meg itt is, e kettő milyen veszteséges tekercset hoz létre. A tekercs és ellenállás

soros kapcsolatát a impedancia síkon, míg párhuzamos kapcsolatukat az

admitancia síkon ábrázoljuk. A veszteséges tekercs tehát áll egy ideális induktivi-

tásból és egy hozzákapcsolódó ellenállásból.

Soros ellenállású veszteséges tekercs.

Az ellenállás és az induktivitás sorban kapcsolódik egymással. Áramköre,

r Ls

Ábrázoljuk a tekercs impedanciáját a komplex számsíkon. Ha

sL LjrjXrjZs

Impedancia abszolút értéke

2s2 LrZ

A veszteséges tekercs induktivitásához, soros veszteségi ellenállásához és jósági

tényezőjéhez szükséges az impedancia értékének ábrázolása.

Az ábrából

Z

L

Z

Xsin sLs

LsjXrjZ

Re r

Im

LsjX

Z

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

118

A soros ellenállás értéke cos -ból számolható

Z

rcos

A veszteséges kondenzátornál a sin és cos -ra felírt trükköt itt is alkalmazni

fogjuk, mivel így egy szögfüggvényre redukálható a jobb oldal ez a tg ,

ami a Q jósági tényezőnek felel meg.

Nézzük veszteséges tekercs soros induktivitását.

Z

Lsin s

Szinusz helyettesítéssel

Z

L

Q

11

1 s

2

A soros veszteséges tekercs induktivitása

2

s

Q

11

1ZL

A soros veszteségi ellenállás

Z

rcos

Helyettesítve cos -t

Z

r

Q1

1

2

Rendezve a soros veszteségi ellenállásra

2Q1

1Zr

Az ábrából a soros ellenállású veszteséges tekercs jósági tényezője

tgQ

De tg az ábra alapján

r

L

r

Xtg sLs

A jósági tényező

r

LQ s

Párhuzamos ellenállású veszteséges tekercs

A tekercs és az ellenállás kapcsolata párhuzamosan. Áramköre

R

L

Vizsgálatát az admitancia komplex síkon tesszük meg. Ahol az admitancia értéke

LpLp jBGjY

Komplex admitancia abszolút értéke

22 BGY

A párhuzamosan kapcsolt ellenállású veszteséges tekercs ellenállása az ábra jelö-

léseivel

LpjBRjY

Y

LpjB

GIm

Re

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

119

p

Lp

L

Z

Y

Bsin

Helyettesítve sin -t

p

2

L

Z

Q

11

1

Az egyenlet reciproka

Z

L

1

Q

11

p2

Lp kifejezve

2pQ

11

ZL

A tekercs párhuzamos ellenállása

R

Z

Y

Gcos

Helyettesítve cos -t

R

Z

Q1

1

2

Az egyenlet reciproka

2Q1Z

R

Kifejezve R

2Q1ZR

A jósági tényezőt itt is meghatározhatjuk a komplex admitancia ábrából.

tgQ

A szög tangense az ábrából

p

Lp

L

R

G

Btg

A két veszteségi kapcsolás egymásba átszámítható

Az induktivitások kapcsolata

2

2

2

s

p

Q

11

Q

11

1Z

Q

11

Z

L

L

Az ellenállások kapcsolata

2

2

2

Q1

Q1

1Z

Q1Z

r

R

Ha a jósági tényező igen nagy akkor számolhatunk közelítő értékeivel

1Q

11

L

L

2s

p

22 QQ1r

R

Veszteséges reaktáns kétpólusok összekapcsolása

Megvizsgáltuk a kapacitást és induktivitást ideális esetben, majd veszteséges for-

máit kondenzátornak és tekercsnek neveztük el. A két reaktáns elem nem csak

külön-külön lehet egy áramkör alkotó része, hanem együtt is előfordulhatnak.

Láttuk vizsgálatuk esetén, hogy komplex értékei miatt impedancia és admitancia

értékeikkel számoltunk. A tekercs aktív (U,I) villamos tulajdonságai olyanok,

hogy rajta kialakuló feszültség siet az áramhoz képest, míg a kondenzátoron késik.

Ezért, ha látszólagos mennyiségei miatt együtt ábrázoljuk a tekercset és kondenzá-

tort a komplex számsíkon, akkor az I.-ben a tekercs, a IV. negyedben a kondenzá-

tor jellemzőit helyezzük el.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

120

A tekercs és a kondenzátor jósági tényezője a meddő és a hasznos teljesítmény

hányadosa

Kondenzátorra

CC

Ph

PmQ C

Tekercsre

L

LL

Ph

PmQ

Kondenzátor és tekercs közös áramköri alkalmazás esetén előfordul, vagy beállít-

ható, hogy a kondenzátor és a tekercs meddő teljesítményei egy bizonyos frekven-

cián abszolút értékeiben megegyeznek.

CL PmPm

A két hasznos teljesítmény eredőjét figyelembe véve meghatározhatjuk a közös

jósági tényezőit, amit kőrjóságnak nevezünk.

C

L

LO

Pm

Ph

PmQ

A körjóság tehát az áramkör rezonancia körfrekvencián 0 értelmezett mennyi-

ség.

A soros kapcsolású veszteséges LC rezgőkör

A soros rezgőkör kapcsolási rajza

L CrL rC

A tekercs és kondenzátor soros veszteségi ellenállása sorrendileg felcserélhető

L CrCrL

Az Lr és Cr ellenállások összevonhatók egyetlen eredő r ellenállássá.

L Cr

Az eredő impedanciája a rész impedanciák összege, ahol jp

pC

1pLrpZ

Az egyenletből a soros rezgőkör tulajdonságait határozzuk meg.

Rezonancia frekvencia.

A rezonancia frekvencia ott van, ahol a tekercs és kondenzátor látszólagos telje-

sítménye megegyezik. Sorba kapcsolt rLC elemeken az átfolyó áram ugyan az,

ezért elég a problémánk megoldásához az impedancia összetevőkkel foglalkozni.

Rezonancia frekvencián 00 f2 képletből

2f 0

0

az impedancia értékünk tiszta valós, tehát r.

rZ 0

Ez akkor lehet, ha

0pC

1pL

Komplex frekvenciatartományban

0pC

LCp1 2

Egy tört akkor 0, ha legalább az egyik része nulla. Vizsgálatunkhoz mindkét elem

( LC ) jelenléte szükséges, ezért a számláló értéke nullával egyenlő.

0LCp1 2

Térjünk vissza komplex frekvenciatartományba

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

121

0LCj1 220

j2 miatt

0LC1 20

Ebből 0

CL

10

A meghatározott frekvencia a Thomson frekvencia

CL2

1f0

Itt a soros rezgőkörnek csak valós értékű ellenállása van, amit rezonancia-

ellenállásnak nevezünk.

A soros rezgőkör körjósága.

A körjóságot a meddőteljesítményből vezethetjük le.

iuPm

Az pXiu helyettesítéssel

pXiiuPm 2

Az áram abszolút értékét vehetjük a mert rezonanciafrekvencián csak valós ellen-

állásokon halad át rZ 0 , akkor

A tekercsen

LIPm 0

2

L

A kondenzátoron

C

1IPm

0

2

C

A veszteségi ellenálláson

rIP2

h

A körjóság most már felírható

h

C

h

LO

P

Pm

P

PmQ

A helyettesítve a kapott értékekekt

rI

C

1I

rI

LIQ

2

0

2

2

0

2

O

I2 –el egyszerűsítve és rendezve

rC

1

r

LQ

0

0O

A körjóságot a jósági tényezőkkel is kiszámolhatjuk. A veszteségi ellenállás a

tekercs és a kondenzátor veszteségi ellenállás eredője.

CL rrr

De a jósági tényezőből

L

0

L

LL

Q

L

Q

Xr

és

C0C

CC

CQ

1

Q

Xr

Elvégezve a helyettesítést

C0L

0

CQ

1

Q

Lr

Előzőekből tudjuk, hogy a két reaktancia egyenlő

C

1L

00

A változást bevezetve

C

0

L

0

Q

L

Q

Lr

Osztva az egyenlet mindkét oldala L0 -el

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

122

CL0 Q

1

Q

1

L

r

A baloldal

O0 Q

1

L

r

Helyettesítve kapjuk a körjóságot

CLO Q

1

Q

1

Q

1

Így a kőrjóság reciproka egyenlő az elemek a reciprok jósági tényezők összegével.

Replusszal felírva

CLO xQQQ

Impedancia viselkedése frekvenciatartományban.

Az impedancia frekvenciamenetét a Bode-diagram segítségével ábrázolhatjuk.

Alakítsuk át egyenletünk, szorozzuk meg r/r-el.

prC

LCpprC1rpZ

2

A jósági tényezővel helyettesítsünk rLC elemeket.

Először az rC szorzat

r

)(XQ C

C

Rezonancia frekvencián

0O0O

Q

1rC

Cr

1Q

Nézzük az LC szorzatot

Induktivitás értéke

L

L

QrL

r

L

r

LXQ

Kapacitás értéke

CC

Qr

1C

r

CXQ

Az LC szorzat

C

L

Qr

1QrCL

Rezonanciafrekvencián OCL QQQ és 0 helyettesítéssel

20

1CL

Az elvégzett kiegészítéseket helyettesítsük be és r veszteségi ellenállást vigyük a

baloldalra.

0O

20

2

0O

Q

1p

1p

Q

1p1

r

pZ

Tegyük felismerhető építőkockákra az egyenletünk számlálóját és nevezőjét.

0

20

2

0O

O p

pp

Q

11

Qr

pZ

Építőkockánk

2

41

E

EE

r

Z

Vegyük mindkét oldal logaritmusát

2

41

E

EElg

r

Zlg

Rezonanciafrekvencián a soros rezgőkör impedancia értéke a veszteségi ellenál-

lással egyező, így logaritmus értéke 0.

0r

Zlg ha rZ

Ez azt jelenti, hogy logaritmus mennyiségben ábrázolva az impedancia értékét a

veszteségi ellenállás függvényében rezonanciafrekvencián a nulla pontból indul.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

123

Az átviteli görbe meredeksége az egyenlet jobboldali konstans érték függvénye,

ami kQE O1 . A számláló E4 építőkockája +40dB/D meredekségű, a nevező

E2-é -20dB/D meredekségű. Az eredő +20dB/D meredekségű emelkedést jelent.

Az átviteli görbe emelkedésének meredekségét a rezonanciafrekvenciáról a körjó-

ság határozza meg. Minél nagyobb a körjóság annál meredekebb a körbe emelke-

dése. Fázismenete az E4 és E2 építőkocka fázismenetének különbsége határozza

meg, ahol az E2-é 2/ , mivel nevezőben van ezért 2/ , az E4 építőkocka

fázismenete , tehát a rezonancia frekvencián minden építőkockának ugyan az a

törési frekvenciája, így fázisszöge 2/;2/ -ig tart. Rajzoljuk le a leírtakat.

A veszteséges soros LC rezgőkör átviteli függvénye.

Fázisszöge

Zérusok és pólusok elrendezése a p tartományban.

Az egyenletet vizsgálva, megnézzük p helyettesítésekor mely esetben viselkedik

szakadásként (pólus) és mikor rövidzárként (zérus). Egyenletünk a következő

0

20

2

O0

O p

pp

Q

11

Qr

pZ

Pólusok:

Legyen 0p majd p

Ha 0p

0

001Q

0

00

Q

11

Qp

pp

Q

11

Qr

pZ

0O

0

20

2

O0

O

0

20

2

O0

O

Ha p

D

010 2 0 1 01,0

3dB

Q1

Q2

r

Zlg

20dB/D

D

0

2

2

Q1

Q1

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

124

2

0O

0

20

2

O0O

0

20

2

O0O

1Q

Q

11

Qp

pp

Q

11

Qr

pZ

Zérusokat, ha a számláló másodfokú egyenlet nullával egyenlő, az így kiszámított

gyökei adják.

0p

pQ

11

20

2

O0

Rendezzük át egyenletünket a másodfokú egyenletek hasonló sorrendjére, legyen

elöl a négyzetes változó, az utolsó a konstans érték.

01pQ

1p

O020

2

A megoldás p12-re végezzük el.

20

2

O0

20

O0

20

20

20

2

O0O0

12

4

Q

1

2Q2

2

4

Q

1

Q

1

p

A megoldó képlet diszkriminánsa negatív mert a gyök alatti mennyiség negatív

értéke nagyobb,

20

2

O0

4

Q

1

így az összevonás is negatív értékű lesz. Ezért képezzük j-t, de elvégezzük a lehet-

séges egyszerűsítéseket.

20

20

20

20

O

012

Q

141

2Q2p

A j1

20

20

20

20

O

012

Q

14

2j

Q2p

Alakítsuk át a gyök alatti mennyiséget

2O

20

2O

20

O

012

Q

1Q4

2j

Q2p

A nevezőt kihozzuk a gyök alól.

1Q4Q2

jQ2

p 2O

o

0

O

012

Kiemelés után

1Q2j1

Q2p

2O

O

012

Nagy körjóság esetén a gyök alatti -1 elhanyagolható, így

jQ21Q2

p OO

012

Az egyenlet megoldása

jQ2

p 0O

012

A zérus helyek az j tengelyen 0 frekvencián j irányokban felvett, de

O

0

Q2

értékkel negatív irányban eltolt érték.

Összehasonlítva az ideális és a veszteséges soros LC kört, akkor nagy eltérést nem

láttunk.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

125

Ideális zérus-elrendezés. Az ott meghatározott

1

20

2

LCLp

ppZ

egyenletből, az ideális soros LC kör zérus helyét tudjuk meghatározni, a számláló

egyenletéből

jpp 020

20

2

A p alakja ismert, és tudjuk, hogy jp alakú komplex szám. Megoldva p-re

az egyenletet, a kapott eredmény azt jelenti, hogy az ideális LC kör a j tenge-

lyen a j0 helyen veszi fel zéruspontjait. Az ideális soros LC kör esetén komp-

lex szám valós értéke nulla 0 .

Zéruspontjait ábrázolva mindkét megoldásnak a jp komplex számsíkon

megállapíthatjuk, hogy az ideális és a veszteséges soros rezgőkör, 0 körfrekven-

cián, csak a körjóság reciprok értékének felévelOQ

1

2

1 térnek el egymástól.

A soros rezgőkör sávszélessége

A sávszélességen, mint fogalmon azt a két frekvencia közötti tartományt értünk,

ahol az impedancia rezonancia frekvencián felvett értékének abszolút értéke 2 -

szeresére nő. Legyen a két frekvencia 1 és 2 , akkor az elmondottak

12

Jel nagyságának változását megadhatjuk dB-ben,

3dB3,0103dB2lg202dB

A fogalom igazolására meghatározzuk a 2r

Z egyenlőséghez tartozó -hez

tartozó 1 és 2 körfrekvenciát (frekvenciát).

A

0

20

2

O0

O p

pp

Q

11

Qr

pZ

egyenlet komplex tartományából térjünk át j tartományba, vagyis végezzük el a

jp helyettesítést.

0

20

2

O0

O j

jQ

11

Qr

jZ

Vegyük az egyenletünk jobb oldalának abszolút értékét és tegyük egyenlővé 2 -

vel.

2

j

jj

Q

11

Q

0

20

2

O0

O

j

j0

j0

ideális LC

veszteséges LC

O

0

Q2

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

126

Ha az egyenletünk mid két oldalát négyzetre emeljük, akkor a jobboldali gyökjel

eltűnik.

2

j

jQ

11

Q

2

0

20

2

O0

O

Jelöljük a baloldali négyzetre emelést és ahol lehet, végezzük el.

2

j

jQ

11

Q

20

2

2

O0

2

20

2

2O

Végezzük el a számláló műveleteit

2Q

21

Q

20

2

2O

20

2

40

4

20

2

2O

Osszul el a számlálót a nevezővel

2Q

12Q

2O

20

2

2

202

O

Szorozzunk be 2OQ -tel.

21Q

2

0

02O

Rendezve az egyenletet

2O

2

0

0

Q

1

Elvégezve a gyökvonást

O0

0

Q

1

Szorozzuk 0 -tel az egyenletet.

O

0220

Q

-1-el beszorozva és 2 rendezve

0Q

20

O

02

A megoldást úgy kapjuk, hogy figyelembe vesszük a O

0

Q

előjelét,használatakor

jelöljük b -vel, valamint a megoldó képlet gyökvonás előjeleit 21, .

A diszkrimináns gyökjele +.

20

2

O

0

O

0

20

2

O

0

O

0

Db

Q2Q22

4QQ

A diszkrimináns gyökjele -.

20

2

O

0

O

0

20

2

O

0

O

0

Db

Q2Q22

4QQ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

127

20

2

O

0

O

0

20

2

O

0

O

0

Db

Q2Q22

4QQ

20

2

O

0

O

0

20

2

O

0

O

0

Db

Q2Q22

4QQ

A megoldás Db2

és D

b1

20

2

O

0

O

02

Q2Q2

20

2

O

0

O

01

Q2Q2

A fázisszélesség

12

Helyettesítéssel

2

0

2

O

0

O

020

2

O

0

O

0

Q2Q2Q2Q2

O

0

O

0

O

0

O

0

QQ22

Q2Q2

Akkor a két frekvencia

O

01

O

01

Q4f

Q2

O

02

O

02

Q4f

Q2

A sávszélesség tehát az a két frekvencia, ahol a veszteséges soros LC rezgőkör

dB3

r

jZ

értéket vesz fel.

A rezgőkör rezonancia feszültsége

A soros rezgőkör rezonanciafrekvencián a kör impedanciája megegyezik a valós

értékével. rZr , így a sorba kapcsolt elemeken folyó áram

r

UI

képlettel számolható.

A reaktanciákon lévő fezsültség abszolút értéke

A tekercs feszültségének abszolút értéke:

LIXIU 0LL

Ahol behelyettesítve a rezonanciafrekvencia áramát

Lr

UU 0L

Ismerve a soros ellenállású veszteséges tekercsre kapott jósági tényező számításá-

hoz szükséges összefüggést,

r

LQ

r

LQ 0

LL

számítható rezonanciafrekvencián mért tekercs feszültsége

LL QUU

A kondenzátor feszültsége hasonló elv alapján számolható

CCC QUC

1

r

U

C

1IXIU

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

128

További megállapításokat végezhetünk, ha figyelembe vesszük, hogy a kondenzá-

toron és a tekercsen lévő feszültség a rezgőkör feszültségének abszolút értékétől

csak a jósági tényezőjüktől tér el.

Tekercsre,

L

L

Q

UU

Kondenzátorra

C

C

Q

UU

A kettő egyező

C

C

L

L

Q

U

Q

UU

A megadott képletekkel a tekercs és a kondenzátor jósági tényezői kiszámolható-

ak. Ismert induktivitású és kapacitású veszteségi soros rezgőkörben az elemek

jósági tényezői méréssel meghatározható.

A soros LC veszteségi ellenállásait is feltüntetve a következő elvi rajzot állíthatjuk

össze.

rCL CrL

LvCv

Kapcsoljunk rá egy frekvenciagenerátort, mérjük meg a körben folyó áramot.

+

A+

rL

rC

L

C

Lv

Cv

I

Ug(f o)

Kapcsolásunkat az ábra szerint kell kiegészíteni, a frekvenciagenerátorral megke-

ressük azt a

2f 0

0 frekvenciát, ahol a kör impedancia értéke egyenlő a veszte-

ségi ellenállással rZr . Ez az érték ott van, ahol az áramérték maximumot mutat,

ebben az esetben CL XX -vel. Minden soros LC elemnek létezik ilyen frek-

venciája. A generátoron beállított feszültség és a mért áram megadja a veszteségi

ellenállást.

I

Ur

fog

A veszteségi ellenállás (r), a generátor feszültségének fogU és a körben folyó (I)

áram ismeretében meghatározható.

Ismert a r

LQ 0

L

képlet, helyettesítsük r-re kapott kifejezésünket

fog0

fog

0L

U2

LfI

U

LIQ

A képletből látható, hogy a jósági tényező a rezonanciafrekvencián mért árammal

egyenesen arányos. Egy precíziós jósági tényező mérő műszert úgy építünk meg,

hogy a csatlakoztatott veszteséges soros rezgőkörre állandó amplitúdójú szinuszos

frekvenciát kapcsolunk, ilyen műszer a sweep generátor. A jel amplitúdója füg-

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

129

getlen a frekvenciától, így az konstans akkor ez a mérésünket nem befolyásolja. A

méréskor figyelembe vett képlet

fog0L

U

L2fIQ

Ahol gU2 , mert a generátor feszültsége minden frekvencián egyező, tehát

konstans. A konstans képzésével tovább mehetünk, mert a mérés folyamán egy

tekercs induktivitása nem változik, akkor ezt is hozzávehetjük.

gU

L2k

A helyettes után

kfIQ 0L

A műszer skálája a k konstans figyelembevételével az áram és frekvencia szorzat

függvénye.

A kapacitás jósági tényezője a

fog

CCC

U

XI

r

XQ

A reaktancia helyettesítéssel

g0fog

CC

UC2

1

f

I

U

XIQ

Határozzuk meg a kapacitáshoz tartozó konstans értéke

gUC2

1k

A skála elkészítéséhez szükséges képlet

kf

IQ

0C

A párhuzamos kapcsolású veszteséges LC rezgőkőr

A párhuzamos veszteséges rezgőkör a veszteséges tekercs és kondenzátor párhu-

zamos kapcsolása, ahol az elemek párhuzamos veszteségi ellenállást vesszük fi-

gyelembe. Áramköri kapcsolása,

RC

L

C

RL

Minden elem párhuzamosan kapcsolt, így a veszteségi ellenállást eredőként figye-

lembe véve

CLxRRR

Helyettesítve a kapcsolási rajtunk egyszerűsödik.

R

C

L

A kapcsolás eredő impedanciája

pLR

pC

R

pC

pL

pC

1pLR

RxpLxpCpZ

pC

RLCppLR

pC

pLR

pZ2

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

130

RLCppLR

pLRpZ

2

Az impedancia értéke akkor valós, ha a induktivitás és a kapacitás reaktanciái

egyezőek.

Osszuk el az egyenlet jobb oldalának számlálóját és nevezőjét pL-el

pRC1

pL

R

R

RLCppLR

pLRpZ

2

pCpL

1R1

R

pRC1pL

R

RpZ

Az impedancia pZ akkor egyenlő R-el, ha a nevezőben lévő szorzat nulla, ez

0pCpL

1

esetén valósul meg. Az egyenlet megoldása adja az értéket.

0pL

1LCppC

pL

12

Rendezve az egyenletet

01LCp2

Rendezve p-re az egyenletet

LC

1p

Visszatérve az j tartományba

01LCj2

0

r0

LC

1r0

A soros rezgőkör esetén már meghatároztuk a Thomson frekvencia értékét

CL2

1f0

ami mindkét kapcsolásban azonos. A különbség csak aktív villamos jellemzőinek

I,U abszolút értékében jelentkeznek. A rezonanciafrekvencián a párhuzamos

veszteséges LC rezgőkörnek ellenállása tiszta valós érték.

A párhuzamos rezgőkör körjósága

Nem vezetjük le újra, de a teljesítményeket felírjuk

Meddő teljesítmények:

Tekercsre

L

U

X

UPm

0

2

L

2

L

Kondenzátorra

CUX

UPm 0

2

C

2

C

Hasznos teljesítmény

Ellenállásra

R

1U

R

UP 2

2

h

Emlékeztetőül a korjóság képlete

h

C

h

LO

P

Pm

P

PmQ

Helyettesítéssel

h

C

h

LO

P

Pm

P

PmQ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

131

R

U

CU

R

U

L

U

Q2

02

2

0

2

O

Egyszerűsítés után a körjóság

CRL

RQ 0

0O

A körjóságot a tekercs és kondenzátor jósági tényezőiből számolva is megtehetjük,

hasonlóan a soros kapcsolásnál leírt módszerrel. Itt a párhuzamos veszteségi ellen-

állások eredőszámításához vesszük a részellenállások reciprok értékét a jósági

tényező és reaktancia felhasználásával.

L

0

L

LL

Q

L

Q

XR

C0C

CC

CQ

1

Q

XR

A veszteségi ellenállások eredője

CLxRRR

C0L

0

CQ

1x

Q

LR

De a két reaktancia egyenlő

C

0

L

0

C

0

L

0

C

0

L

0

Q

L

Q

L

Q

L

Q

L

Q

Lx

Q

LR

Egyszerűsítveés L0 -el

CL

CL0

Q

1

Q

1

Q

1

Q

1

LR

Mindkét oldalt osszuk L0 -el

CL0

xQQL

R

Tudjuk, hogy az egyenlet baloldala az a körjósággal egyenlő

O0

QL

R

A körjóság

CLO xQQQ

A rezgőkör frekvenciamenetének vizsgálatát az impedancia egyenletének Bode-

diagram építőkockáin képzésével oldhatjuk meg. Az impedancia egyenletünk

RLCppLR

pLRpZ

2

Helyettesítsük a reaktanciákat a jósági tényezőikkel, akkor

20

2

O0

O0

2 1Rp

Q

RpR

RQ

Rp

RLCppLR

pLRpZ

Egyszerűsítve R-el

20

2

0O

0O

pp

Q

11

p

Q

1

RpZ

Képezzük az impedancia és valósérték hányadosát

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

132

20

2

0O

0O

pp

Q

11

p

Q

1

R

pZ

Alakítsuk ki az építőkockákat

20

2

0O

0

O pp

Q

11

p

Q

1

R

pZ

Felírhatók az egyes építőkockák

20

2

0O

0

O pp

Q

11

p

Q

1

R

pZ

A kapott egyenletünk a soros veszteségi rezgőkörnek reciprok értéke. Az egyenle-

tet felírva az építőkockákkal és vegyük mindkét oldal logaritmusát.

4

2

E

Eklg

R

Zlg

Ha RZ akkor, 01lg ez a rezonanciafrekvencián 0 megvalósuló érték, a

legnagyobb értéke a frekvencia menetnek, mivel a konstans számláló

OQ

1lgklg

ha 1QO esetén mindig negatív. Ezért egy olyan frekvenciamenetű karakterisz-

tikát kapunk, ahol rezonanciafrekvencián a karakterisztika legnagyobb felvehető

értéke nulla, ettől eltérő frekvencián csak negatív lehet. Ábrázolásunkhoz szüksé-

ges logaritmusegyenletünk

42 ElgElgklgR

Zlg

Az átviteli görbe meredekségét a k konstans értéke fogja meghatározni, ettől az

értéktől a számláló E2 +20dB meredekségű és a nevező E4 -40dB meredekségű.

Az építőkockák eredője -20dB meredekségű karakterisztikáz eredményez.

Fázismenete az E2 és E4 építőkocka fázismenetének különbsége határozza meg,

ahol az E2-é 2/ , mivel a számlálóban van ezért 2/ , az E4 építőkocka fázis-

menete , ezért a rezgőkör fázismenete 2/ -ig tart.

D

0

2

2

Q2

Q1

D

010 2 0 1 01,0

3dB

Q1

Q2

r

Zlg

-20dB/D

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

133

Zérusok és pólusok elrendezése a p tartományban

Levezetés nélkül,a rezgőkör zérusa a 0p helyen van, pólusai a

2

O

020

O

012

Q2j

Q2p

A rezgőkör impedancia menetéhez tartozó 3dB-es sávszélessége

O

0

Q

Vagy frekvenciában megadva

O

0

Q

ff

A reaktanciákon folyó áram a rezgőkörbe befolyó áram QO szorosa.

Ezek után nézzünk egy feladatot.

Egy párhuzamos rezgőkörrel kHz500f0 rezonanciafrekvencián

kHz50f sávszélességű kapcsolást akarunk megvalósítani. Ismerjük a tekercs

soros induktivitását mH2Ls és jósági tényezőjét 50QL . Az alkalmazott

kondenzátorok jósági tényezője 3C 10Q . Határozzuk meg a megépítéshez hi-

ányzó adatokat.

Megoldás:

A párhuzamos rezgőkör meghatározásához a párhuzamos helyettesítő képből ér-

demes kiindulni.

A tekercs párhuzamos induktivitása

mH250

11102

Q

11LL

2

3

2L

sp

A tekercs párhuzamos veszteségi ellenállása

k31410210500250LQR 33p0LL

A kondenzátor párhuzamos helyettesítő képének kapacitása.

pF66,501066,5010

19739208

1

1021050028,6

1

L

1Cp 123

323p

20

A sávszélesség beállítása:

A sávszélességet a 3dB-es ponthoz tartozó körjóság határozza meg. A körjóság a

rezonanciafrekvenciából f0 és sávszélességből f számolható.

101050

10500

f

fQ

3

30

O

Vizsgáljuk meg, hogy a meglévő elemekkel a körjóság értéke egyező a most szá-

molttal.

62,47100050

10005010x50xQQQ 3

CLO

Látható, hogy a szükséges és az adatokkal számolt érték eltérő. Ezen úgy segíthe-

tünk, hogy a tekerccsel és a kondenzátorral párhuzamosan egy ellenállást kell

kapcsolni. A párhuzamos rezgőkör szükséges veszteségi ellenállása

k8,6210210500210LQR 33p0O

Azt tudjuk, hogy R az LC kör, párhuzamos veszteségi ellenállások eredője, amit

kiegészítünk egy párhuzamos ellenállás taggal.

RCL xRxRRR

RR meghatározásához az egyenletből nem ismerjük RC, ami

M28,610006283,01066,50105002

10

C

QR 9

123

3

p0

CC

Akkor az RR értéke

CL

LCCL

CLR RRR

RRRRRR

R

1

R

1

R

1

R

1

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

134

Ebből RR

k5,791557817

123836576

19719394384197192

123836576

3148,6262808,626280314

62803148,62

RRRRRR

RRRR

LCCL

CLR

A számolt ellenállásérték azt jelenti, hogy a rezgőkörrel (LC) párhuzamosan egy

k5,79 -os ellenállást kell kapcsolni ahhoz, hogy a kért körjóság illetve hozzátar-

tozó sávszélesség meg legyen.

A párhuzamos rezgőkör soros veszteségi ellenállása

A gyakorlati tapasztalat azt mutatja, hogy a R

Zlg, karakterisztikát jobban köze-

líti, ha a párhuzamos R helyett a veszteségi ellenállást az induktivitással sorba

kapcsolva vizsgálódunk.

A kapcsolás

r L

C

Az áramkör impedanciája

LCpprC1

pLr

pC

1pLr

pC

1pLr

pC

1xpLrpZ

2

A soros r tagú párhuzamos LC kör rezonanciafrekvencián a jp helyettesítéssel

LCrCj1

LjrZ

2rr

rr

Az egyenletet rezonancián az impedancia érték két szélsőérték helyen vizsgáljuk

meg. Elsőre feltételezzük, hogy az impedancia csak a reaktanciákból áll. Ha a

valós értékek elhanyagolhatóan kicsi a képzetes értékhez képest. Egyenletünk így

alakul.

rCj

Lj

0rCj0

Lj0

LCrCj1

LjrZ

r

r

r

r

2rr

rr

Egyszerűsítve rj -el Z független lesz a frekvenciától.

Cr

LrZ

Kaptunk egy frekvencia független ellenállásértéket az impedanciára, ami az áram-

kör rezonancia ellenállása.

Most a valós részre vizsgáljuk meg rZ -t, akkor helyettesítsük a baloldalt a

kapott frekvenciafüggetlen értékkel, és elhanyagoljuk a képzetes részt.

20

2r

2r 1

r

LC01

0r

Cr

L

Bevezettük a Thomson képletet, ami 20

20

1LC

LC

1

. Az egyenletet ren-

dezve a jobboldali nevezővel átszorzunk a baloldalra, de a már ott lévőt a jobbol-

dalra

L

Cr1

2

20

2r

Az egyenletet 2r -re rendezzük

L

Cr1

2

20

2r

20

22r

L

Cr1

20

220

2r

L

Cr

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

135

Az LC

120 bevezetéssel a második tagunk egyszerűsíthető

LC

1

L

Cr220

2r

2

20

2r

L

r

A képlettel igazoltuk, hogy induktivitással sorba kapcsolt veszteségi ellenállással

felépített párhuzamos rezgőkőr rezonanciafrekvencia értéke megegyezik a Thom-

son-képlet frekvenciájával. Ez belátható, ha tudjuk L és r értékei nem nagyok, így

az

2

L

r

hányados négyzetértéke igen kicsi.

20

2r

Soros veszteségi ellenállással felépített párhuzamos rezgőkőr körjósága

Most is a veszteségi (meddő) és a hasznos teljesítmény hányadosa a körjóság. A

tekerccsel sorba kötött ellenálláson, ugyan azaz áram halad át, akkor

r

L

rI

XI

P

PQ 0

2

L2

h

mO

Helyettesítsük a rezonancia képletbe be L helyére a körjóságot, az előző képletből

0

OrQL

Oldjuk meg a behelyettesítést

2

0

O

220

220

2r

rQ

r

L

r

22O

2202

02r

rQ

r

2O

20

2O

202

rQ

Q

2O

20

2r

Q

11

2O

0rQ

11

A rezonanciafrekvencia és a Thomson-frekvencia a körjóságtól függően tér el

egymástól.

A párhuzamosan kapcsolt veszteségi ellenállású párhuzamos rezgőkör jósági té-

nyezője

CRL

RQ 0

0

PO

A soros ellenállású párhuzamos rezgőkör jósági tényezője

rC

1

r

LQ

0

0SO

A két jósági tényező egyenlőségét vizsgáljuk, akkor szorozzuk össze a két értéket

r

R

L

R

r

LQQQ

0

020

PO

SO

r

RCR

rC

1QQQ 0

0

20

PO

SO

r

RQO

A két kör jósági tényezőjét akkor tudjuk egyenlővé tenni, ha megfelelően választ-

juk ki a párhuzamos és soros ellenállások arányát.

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

136

A soros veszteségi ellenállású párhuzamos LC kör impedancia viselkedése komp-

lex (p) tartományban.

Arra az egy esetre szorítkozunk, amikor a körjóság elég nagy és r és 0 frek-

vencián megegyező. Visszatérve a körjóság r frekvencián

0

OrO

Q

r

L

r

LQ

és feltételezzük, hogy

0OrO

Q

1Cr

rC

1Q

és

LC

120

Átalakítva az impedancia képletét, úgy, hogy az előbbi egyenletek helyettesíthetők

legyenek, ezért a számlálóból emeljük ki r-t

LCpprC1

r

Lp1r

LCpprC1

pLrpZ

22

Osszunk át r-el a baloldalra

LCpprC1

r

Lp1

r

pZ2

Most végezzük el a helyettesítést

20

2

0O

0O

20

2

0O

0

O

pp

Q

11

pQ1

1p

Q

1p1

Qp1

r

Z

Az egyenletből meghatározhatjuk, hogy az áramköri szempontból mikor jelentke-

zik a rövidzár (zérus) és mikor a szakadás (pólus)?

Az egyenlet akkor nullaértékű, tehát ott van zérusa, ha a számláló nulla, és a neve-

ző végtelen.

A számláló akkor nulla, ha az 0

O

pQ1

második tagja -1 értékű, tehát

1p

Q0

O

. Ezt úgy érhetjük el, ha O

0

Qp

, helyettesítve

O

0

0O

Qp|1

pQ

1Q

Q

O

0

0

O

Behelyettesítve a számlálóba, a számláló értéke nulla. A nevező végtelen érték

esetén a Z(p) impedanciánk is a nulla értékhez tart.

Akkor elmondhatjuk, hogy egyenletünk zéruspontjai

O

0

Qp

és p

esetén valósul meg.

Póluspontjait a nevező másodfokú egyenletének p-re való megoldása adja, mert,

ha egy nevező értéke nulla, akkor a tört értéke nem értelmezhető a matematikában,

de itt egy olyan érték, ami a végtelent veszi fel, vagyis áramköri szempontból

szakadást jelent, ez nem más, mint a póluspontja.

01pQ

1p

1

0O

2

20

20

20

2

0O0O

12 12

14

Q

1

Q

1

p

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

137

2O

20

2O

20

O

012

Q

Q41

2Q2p

2O

20

2O

40

40

O

0

220

2O

20

2O

O

012

Q4

Q4

Q22Q

Q41

Q2p

202

O

20

O

012

Q4Q2p

Azt látjuk, hogy a gyök alatti mennyiség előjele negatív, mert a 20 mindig ki-

sebb lesz nullánál, mint 20 -nak vett hányados értéke. kiemelve a -1-et és képezve

j a gyök előtt, megkapjuk a megoldást.

2

O

020

O

012

Q2j

Q2p

1Q2

Q2j

Q2p

2O

O

0

O

012

1Q2j1

Q2p

2O

O

012

A nevezőre kapott megoldás 2

1QO értékre valós, egyébként komplex értéket

ad.

Az impedancia viselkedését a frekvenciatartományban a Bode- diagramokkal

végezhetjük el. A kapcsolás impedancia értékének változása az egyenlet vizsgála-

tával tesszük meg. Az egyenletünk a következő

20

2

0O

0O

pp

Q

11

pQ1

r

Z

Megállapítottuk a zéruspontját O

0

Qp

, ahol jp

O

0

Qj

2O

0

O

0

QjQ

Maximumértéke a számláló és a nevező építőkocka közös pontja adja, tehát

20

2

0O0O

pp

Q

11

pQ1

0p

Qp

Q

1p

0O

0O20

2

0Q

Q

1pp

pQ

p

Q

1p

0

O

0O200

O0O

20

2

A megoldás 0p vagy

0Q

Q

1p

0

O

0O20

Oldjuk meg az egyenletet p-re.

A rendezés

20

0O0

O

Q

1Qp

A közös nevező 0OQ

Békéscsaba

2012

NetSuli

Elektronikus áramkörök Zimmermann József

villamosmérnök

informatika tanár

138

0O

2O

20

Q

1Qp

oO0

Q

1Qp

Ellenőrizzük le a megoldást. Ha a számláló és a nevező p helyettesítésére ugyan

azt az értéket adja, akkor a megoldás helyes.

A számláló vizsgálata.

OO0

0O

Q

1Qpha

pQ1

2O

2O

OOO

0

OO0

O Q1Q1Q

1QQ1

Q

1Q

Q1

A nevező vizsgálata

20

2

OO0

0

OO0

O20

2

0O

Q

1Q

Q

1Q

Q

11

pp

Q

11

A zárójeleken belüli egyszerűsítések

2O

22O

2O

2O

2

OO

OO

O Q

1Q

Q

1Q1

Q

1Q

Q

1Q

Q

11

Felbontjuk a négyzetes zárójelet és összevonunk

2O

2O

4O

2O

2O

22O

2O

2O

Q

1Q2Q1Q1

Q

1Q

Q

1Q1

2O

2O2

O

4O

2O

2O

2O

4O

2O QQ11

Q

QQ1

Q

1Q2Q1Q1

A kapott megoldás helyességét az ellenőrzés igazolta.

Nézzük meg az eredményünket tartományra

oO0

Q

1Qj

2O

2O

0o

O0

Q

1Q

1

Q

1Q

Most már láthatjuk, hogy az impedancia értékéke maximum és minimum helyen a

Thomson frekvenciától és a körjóságtól függ.

A számláló Bode diagram szerinti +20db/okt emelkedéssel változik, a nevező -

40dB/okt-val. Az eredő csökkenés-20db/okt.

Folytatás az Elektronikus áramkörök_1-ben

20

20

0

Q

1Q

r

Z

20

0

Q

0

dB20