linearno programiranje

Upload: mustafa-kehonjic

Post on 12-Jul-2015

1.040 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

1 Uvod Modeli i metodi Operacionih istraivanja Predmet Operacionih istraivanja PoetkometrdesetihgodinaformiranajeuVelikojBritanijigrupaistraivaanazvana operativnom grupom, dok je neto kasnije, njenim proirenjem, promovisana posebna nauna aktivnostnazvanaoperacionimistraivanjima.Osnovnizadatakovegrupejebioda primjenompostojeihirazvojemnovihnaunihmetodanakvantitativnimosnovamadaju odgovorepopitanjunajboljegilidovoljnodobrogfunkcionisanja:tehnikih, organizacionih,ekonomskihidrugihsistemaupostojeimuslovima.Roi(Rou,.), rukovodilacistraivakogtimauBodsiju(BawdseyResearchStation),meuprvimaje upotrijebioterminoperacionaistraivanjazaspecifineposlovekojejerazvijalai primjenjivala ova grupa. Poetkom pedesetih godina nastavilo se sa razvojem nove discipline, kojauosnovisadriintegracijuraznihdisciplina.Tokomtedecenije,zaveomakratko vrijeme,ovanaukadalajeprivrediznaajannizkorisnihmetodazarjeavanjebrojnih zadatakaizindustrije,eksploatacijerudnogbogatstva,transporta,nalaenjaoptimalnog proizvodnogprograma,utvrivanjenajboljegredoslijedaproizvodnje,planiranjarealizacije sloenih projekata i sl. U tom periodu proizvodno - poslovni sistemi zahtijevali su intenzivna istraivanjanapodrujuprotokanovca,proizvodaiusluga,pasejavilanaukaoposlovnom upravljanju (Management Science) sa nizom dodirnih taaka sa operacionim istraivanjima, u pogledurazvijenihmodelaimetodainjihoveprimjene.Ovagranicaposljednjihdecenija postepeno se izgubila mada su ostala samo specifina podruja primjene metoda kod jedne u odnosunadrugudisciplinu.IakodefinicijapredmetaOperacionaistraivanjanije jednoznana,zbognjeneinterdisciplinarnosti,ovdjejojsedajeuoptenaformulacija: operacionaistraivanjapredstavljajuskupkvantitativnihmodelaimetodapomoukojihse odreuju nova rjeenja na osnovu naunih principa optimizacije ili suboptimizacije. Meutim, definicijazaoperacionaistraivanjaumedicinskimilinekimdrugimnaukamabilabislina kaoprethodna,alisaodreenimspecifinostimaunjenojkonkretizaciji.Usvakomsluaju oblikovanje modela problema i razvoj i primjena metoda operacionih istraivanja zahtijevaju djelovanje tima strunjaka raznih specijalnosti. Kao primjer, za oblikovanje tokova materijala umainogradnjipotrebnojeangaovati:sistemanalitiaratokova,inenjeratehnolokog postupka,ekonomistuzakalkulacijutrokovaproizvodnjeinjeneintegralnepodrke, matematiarazaoblikovanjematematikogmodelaialgoritamaplaniranjaiupravljanja proizvodnjom i programera koji e tom modelu dati softversko izdanje. Dakle, ovaj tim ljudi, kaooperacioniistraivai,odgovornisuzaracionalnorjeenjeipostavljanjefunkcije kriterijuma,itoupogledunpr:poveanjadobiti,smanjenjatrokovatokova,poveanja vremenskog i resursnog kapaciteta proizvodnje i sl. Pomenuti zadatak nije ni malo lak. Pored definicijerelevantnihfaktoratokovaiuspostavljanjazavisnostiizmeuelemenata proizvodnjeinjenihogranienja,primjenatehnikeoperacionihistraivanjazahtijeva oiglednodobrubazudabirealniproblemibilivjerodostojnorijeeni,azatimuspjeno primijenjeni u praksi. U tom smislu, koncepcija ovoga udbenika je orijentisana ka teorijskom shvatanju odabranih modela i metoda, kojih ima i deterministikih i stohastikih, zbog veeg pribliavanjatihmodelaobiljejimarealnihentiteta.Podentitetomsepodrazumijevaju pojmoviizrealnosti(realitet)kaotosu:sistemi,procesi,pojave,dogaaji,itd.kojisu interesantnizaprouavanje,akojisuuvezisaproizvodnjom,obrazovanjem,ekonomijomi sl.Fizikientitetpredstavljanajeematerijalneobjektesastrukturamaodreenogstepena sloenosti. 2 Matematiki modeli i njihovo modelovanje Modelnekogobjekta,pooptojdefiniciji,predstavljaureenskupinformacijakojimase iznosipredstavaoentitetu.Entitetjeuovomsluaju,kaotojereeno,realniobjekat, odnosnoobjekatkojijepredmetibazazamodeliranje.komatematikimodeldobro prezentujeproblem,tadaseoekujedairjeenjedobijenopomoumodelabudeadekvatno postavljenomproblemu.Poznatojeuveinisluajeva,dabiseprimijenilanekametoda, potrebnojenaosnovumodelamatematikiformalizovatiproblem.Meutim,zarjeavanje mnogihmodelajonisupronaeneefikasnemetoderjeavanja.Modelitrebadaomogue ovjekuda predvidi i upravljapojavama, odnosno entitetima. U tehnikim disciplinama trai sematematikimodelkojipruaracionalnuinterpretacijufunkcionisanjarealnihentiteta. Matematiki model stvarnog entiteta predstavlja ureen skup matematikih relacija (formula, jednaina,nejednaina,logikihuslova,relacionihoperatora,operanataisl.)kojiopisuju entitet,odnosnoodreujunjegovekarakteristike.esto,zbogsloenostientitetaiinterakcije sanjegovimokruenjem,usvajajusesamoprimarneosobineentitetaiparametrinjegove interakcije sa okolinom. U tom smislu, u procesu matematikog modeliranja problema, koji se vezuje za realni entitet, treba voditi rauna o sljedeem: - Modeljesamojednamatematikaformulacijaodreenogstepenaaproksimacijeentiteta. Kolikoeonbitidetaljan,zavisiodkompleksnostizadataka,raspoloivostimetodama (algoritamske,heuristike)zanjegovorjeavanje,vjetineipotrebekorisnikadarazviju model na dovoljnom i potrebnom nivou i apliciraju postupke za rjeavanje takvog modela. - Matematikimodelnemoedapruiuvijeknovuinformacijuoentitetu,kaoidaga zamijeni,alimoenaosnovudobijenihrjeenjadastvorivjerodostojnijuslikuoentitetui njegovim funkcijama. - Operacionomistraivauseomoguava,naosnovukorektnopostavljenogmodela, eksperimentisanjetimmodelom,imesestvaraveapogodnostzadonoenjekvalitetnijih odluka na kvantitativnim i kvalitativnim osnovama. Modeliuoperacionimistraivanjimasuegzaktneprirodeioblikujusenaosnovuformalnih jezikapoznatihumatematici.Uglavnomsusreemosljedeenaineiporijeklonjihovog oblikovanja: - Na osnovu eksperimentalnih podataka. - Na osnovu provjerenih matematiko-fizikih zakona o ponaanju entiteta, - Pomouanalizeisintezekaooriginalnog,kombinovanog,odnosnoizvedenogpostupkao meusobnim zavisnostima promjenljivih u entitetu. Matematikimodelisadreklasuobjekatasimbolikidefinisanih(skalari,vektori,matrice)i relacije izmeu njih. Mnotvo relacija se opisuje matematikim operacijama koje meusobno povezuju jedan ili vie operanada. Modeli se mogu podijeliti po jo nekim karakteristikama: - Prema dinamici u vremenu, modeli se dijele na:- statike,gdjeveliineirelacijenisufunkcijeuvremenskomhorizontumodela,tj. stacionarne su, ili se modelom opravdano zanemaruje promjena u vremenu, - dinamike, gdje se modelom obuhvataju veliine koje su funkcije vremena. - Prema odreenosti komponenata u modelu (vjerovatnoi i rasplinutosti) dijele se na:- deterministike, gdje su komponente strogo odreene veliine, - stohastike, gdje se efekat veliina opisuje kao sluajan (sluajna promjenljiva), - fazi,(fuzzy)gdjesevrijednostimodelirajukaorasplinuteveliinepromjenljivihnekog skupa. - Prema strukturi modela i postupaka za njihovo analiziranje, modeli se dijele na:- analitike,safunkcijamauanalitikojformisarjeenjimauanalitikomilinumerikom obliku, 3 - numerike,saprimjenomnumerikihpostupakazanjihovooblikovanjeirjeavanjei softvera projektovanih na tim osnovama. - Prema strukturi metoda za rjeavanje problema, modeli se dijele jo na:- algoritamske,gdjesemoeoekivatijednoodrjeenjanaosnovuprimijenjenemetodesa poznatomureenomideterminisanomstrukturompostupaka.Ovemetodepredstavljaju osnovne podloge za pisanje raunarskih programa. - heuristike,kojinemajufundiranualgoritamskustrukturu,vesezarjeenjemtragana osnovupostojeegznanja,intuicijeilinekreativnostiistraivaa.Osnovnaodlika heuristikihpostupakajeneizvijesnostutraganjuzanajboljimrjeenjem.Heuristike metodesuustalnomrazvoju,potpomognuterazvojemmetodavjetakeinteligencijei ekspertnih sistema. Matematikomodeliranjejeinterdisciplinaranitimskizadatak,priemuosnovnidoprinos dajupoznavaocimetodaimetodologijemodeliranjakaoipoznavaocirealnogproblema. Svakimodelproblemaoperacionihistraivanjajekarakterisanformalno-matematikim opisomsaodreenimnivoomapstrakcije.Vjekovnajetenjaovjekadapronaenajbolje rjeenjeproblema,poevodtehnikih,ekonomskih,drutvenih,politikih,isl.Kakosu problemiuovomvremenumnogobrojni,njihovorjeavanjeteorijskimputemjeizuzetno sloeno.Istaknimo kao primjer da se jedna vrstametode, poznata kao numerika simulacija, moeuspjenoprimjenjivatipoevodanalizeglobalnihprirodnihprocesakaotojerast stanovnitvanaplanetiZemlji,padoaplikacijenanivounanotehnologije*)iprouavanja kretanjaatomskihestica.Nakonuoavanjakarakteristinihveliinaentiteta,formirajusematematikerelacijeizmeunjih,kaoposlijedicaanalizetj.identifikacijezakonitosti izmeu struktura i procesa u entitetu. Oblici formalnih relacija su raznovrsni poev od: - funkcionalnih jednaina, - diferencijalnih i integralnih jednaina, - rekurentnih relacija, - orijentisanih grafova i sl. Ogranienjaumodeluimajusutinskoznaenjeiodrazsu,najee,fizikihiekonomskih granicaprisutnihurealitetu.Uglavnomsuupitanjuogranienjaukoliiniresursa,energije, vremenskogkapacitetaidr.Strogostrazmatranjaovihrelacijamorabitiuvijekprisutnai uglavnom se definie relacionim i logikim operatorima tipa: i sl.Uspostavljanjeznakajednakostiopravdanojeusluajudapromjenljivamoeimatii graninu vrijednost, ili da nam to zahtijeva metodologija neke metode. U ostalim sluajevima moraju se izabrati uvijek svrsishodni matematiki operatori drugog tipa. Osnovne vrste modela Modeli se najee dijele na: fizike, misaono-deskriptivne i matematike. Fizikimodelisumodelisaistomilislinommaterijalnomstrukturomrealnogentiteta,sa veim ili najee manjim gabaritima od stvarnog. Smisao oblikovanja fizikih modela nalazi se u pogodnosti eksperimentisanja i donoenja odreenih zakljuaka o njima, a samim tim (sa nekim stepenom pouzdanosti) i o entitetima na osnovu kojih su ovi vjetaki modeli imitirani, tj.ostvarnimentitetima.Drugirazlogjeekonomskeprirode,jerseitrokoviuznatno manjemobimugeneriunegokodeksperimentisanjasarealitetom.Treirazlogjedinamika eksperimentisanjagdjeseteitobremdobijanjurelevantnihpodatakaomodelu,asamim timiostvarnomentitetu.Zaeksperimentisanjesaovimmodelomuskosevezujeprimjena metoda simulacije (vidjeti deveto poglavlje). Nedostaci ovih modela odnose se na mogunost 4 pojavenovihosobinakojenesusreemokodrealiteta,iligubljenjenekihinformacijakoje bismo identifikovali kod realiteta, a ovdje ih je nemogue dobiti. Ova devijacija karakteristika moesenegativnoodrazitinaanalizuisintezumodela,iprouzrokovanajenajeevelikim razlikamauvolumenimarealnogentitetaiaproksimativnog(vjetakog)modela-kojim imitiramostvarni.Timeseneminovnomijenjajuoriginalnekarakteristikerealitetauodnosu nagenerisanekarakteristikevjetakogmodela.Fizikimodelinisupredmetanalizeuovoj knjizi. Matematikimodelseformiramatematikomapstrakcijomipredstavljaspecifinoselektovanjeistrukturiranjeelemenatamisaonogmodelauureendeskriptivnimodel,kao pretpostavke za preslikavanje u apstraktni matematiki model. Matematiki model je uspjeno formiranakovjerodostojnoiskazujesutinskekarakteristikerealiteta:tehnolokog, ekonomskog,mehanikog,hemijskog,biolokogilidrugog.Matematikimodelioblikujuse po pravilu sa nekim stepenom analogije u odnosu na realitet. Tom analogijom obuhvaene su primarnekarakteristikeposmatranogrealiteta,iliskupkarakteristikanadovoljnomi potrebnom (uproenom) nivou, zadravajui donekle stvarnu prirodu originala. Matematiki modelimoguimativrlosloenustrukturu,kojanemorabitiproporcionalnasloenosti simbolikeforme.Umatematicioperacionihistraivanjaveinamatematikihmodelase formiranabazi:matematikogprogramiranja,teorijegrafova,heuristikogprogramiranjaili kombinovanih postupaka. Metode postavljanja matematikog modela Uglavnomsusreemodvaosnovnaijedanizvedenprilazkodpostavljanjamatematikog modela i to: 1.nalitikimetodkojisezasnivanaaplikacijioptihnaunihzakonaiteorijskih analiza.Pritomedobijenimodelivaezaitavufamilijuslinihproblema.Tipian primjer je simplex model linearnog programiranja, gdje nije potrebno uvoenje novih principaprisvakomproraunu,jerjerazraenalgoritamizarjeavanjeoptih sluajeva problema linearnog programiranja. U nekim primjerima linearnosti primjena odgovarajuih metoda moe dovesti i do analitikog rjeenja problema optimizacije.2.Eksperimentalni ili empirijski metod znatno je iri u primjeni u praktinim uslovima iz razlogadobijanjazadovoljavajuegrjeenjamodelaproblemazakompleksne sluajeverealitetakojihjeupraksinajvie,akojisenemogurjeavatianalitikim metodama. Iako je primjena eksperimentalnog metoda optereena raznim trokovima: upotrebommjernetehnike,potrebomzaresursimaraznogvidazaobradu, sistematizacijuiverifikacijurezultata,drugogizlazaestoinemazaidentifikaciju oblastidopustivihrjeenjaikonanogdobijanjavektorarjeenjakojinajbolje zadovoljavafunkcijukriterijumaudatimuslovima.Kakoseizmeupostavljenih ulaznih i dobijenih izlaznih podataka moe uoiti zakonitost, ali ne i strogo porijeklo tezakonitosti,ovemetodeeksperimentanazivajusemetodecrnekutijei predstavljaju optu metodu u istraivanju pojava u tehnikoj kibernetici. 3.Kombinovanimetodpredstavljaizvedenimetodilisintezuanalitikogi eksperimentalnogmetoda.Razvijenjenaosnovuanalitikogmetodasanekim parametrima za koje analiza nije dala adekvatno rjeenje. U tom sluaju kvantifikacija vrijednostiparametara(npr.koeficijenata,eksponenataisl.)utvrujesenajeeeksperimentalnimputem.Natajnainkombinovanommetodomsemoeoblikovati matematikimodelrealitetakaonajpouzdanijiraspoloivimodel.Jedanodprimjera predstavlja model oekivanog vremena u mrenom planiranju tipa PERT. 5 Karakteristike Operacionih istraivanja Primjenu i razvoj operacionih istraivanja karakteriu sljedee osnovne pretpostavke: 1.Nauni metod pronalaenja rjeenja. Strogost i matematiki prilaz u analizi problema isintezimodelaimetodaosnovnisupostupciizraavanjaoperacionihistraivaa. Mnogobrojnemetoderazvijeneufundamentalnojiprimijenjenojmatematicisuna raspolaganjuanalitiarimaovestruke.Poredtoga,jedinomatematikimjezikom,na kvantitativnimosnovama,moguseprikazatiiliimitiratikompleksnijevezeizmeu veliina koje se javljaju na realnim entitetima.2.Organizovanradutimovima.Multidisciplinarnipristupsloenomproblemuje obiljejenovijeepoheurazvojunaukeitehnologije,paioperacionihistraivanja. Timskiradjedoniopromjeneushvatanjusloenihproblema.Kompromisomi usklaivanjemidejaimetodaintegriesenovametodologijaistraivanja.Uistom timu se mogu nai informatiari, inenjeri, psiholozi, ekonomisti, sociolozi, edukatori -metodiariidrugi.Uvaavajuimiljenjaovihstrunjaka,skreesepanjaina mnogedrugerelevantnefaktore,imeseoblikujeprihvatljivijimodelproblemau odnosu na isto matematiki ili tehniki pristup, esto nedovoljno vjerodostojan.3.Sistemskipristupproblemu.Operacionaistraivanjazahtijevajusistemskipristup problemu.Optimizacijailitraganjezaodgovarajuimrjeenjemjemogueza odreenipodsistemilipojavuposebno.Utomsmislunalaenjesamoglobalnog optimumazaciosistemjenesvrsishodnobeznalaenjaunutranjihlokalnih optimuma pojedinih podsistema. Pored toga korisnici - naruioci rjeenja, po pravilu, trae rjeenje na odreenom hijerarhijskom nivou sistema ili procesa koji su njima od interesa. Faze rjeavanja problema Osnovne faze rjeavanjarealnog problema putemmetoda operacionih istraivanja, sastoje se od sljedeih modula: 1.Formulacijaproblema.Identifikacijaikorektnodefinisanjeproblemapredstavlja polaznu i relativno najsloeniju fazu u procesu dobijanja rjeenja. Jednoznana pravila ijedinstvenialgoritamopostavciproblemanepostojiuvijek.Ovafazaje karakteristinapotometoiskustvoikreacijaanalitiaraproblematrebadadoudo punog izraaja. Problem se uoava na realnom entitetu, zatim se misaono strukturira i najeesezatimdeskriptivnomodelira.Istiproblemsepritomemoedefinisatina raznenaineiraznimsimbolima,zavisnoodsposobnostianalitiarainjegove specijalnosti. Jasno je da subjekti razliitih struka imaju razliite poglede na problem. Integralnotimskosagledavanjejenajkompleksnijeinajvjerodostojnije.Meutim, poredunijeikompromisarazliitihidejaoproblemu,dobrodefinisanproblemmora imati sljedee karakteristike:-definisane zahtjeve korisnika rjeenja, -preciznu deskriptivno-kvantitativnu formulaciju, -jasno definisane ciljeve koje treba dostii i -formulisan skup ogranienja (domen) u istraivanju. Odgovorima na ove zahtjeve stvaraju se osnovne podloge za matematiko modeliranje problema (Sl. 1). 6 Formulacija problema Oblikovanje matematskog modela Izbor i aplikacija metode Rjeavanje modela problema Kriterijumsko vrednovanje rjeenja Implementacija rjeenja Rjeenje zadovoljava NE DA Sl. 1 Osnovne faze rjeavanja matematikog modela problema 2.Oblikovanjematematikogmodelakojireprezentujestvarniproblemrealiteta. Matematiki model u operacionim istraivanjima je primarni model. Oblikuje se, kako jereeno,specifinimpreslikavanjemiliprevoenjemdeskriptivnogmodelau egzaktni. Prema tome, ovaj model se stvara u interakciji sa ve definisanim misaono-deskriptivnimmodelomiraspoloivimpotencijalomzamatematikomodeliranje. Kolikajesloenostovekonverzijezavisiodsloenostiproblemainjegovih karakteristika(linearnost,determinisanost,isl.).Poredtoga,sloenostzavisiiod mjere protivrjenih tendencija u pogledu, sa jedne strane, zahtijeva za jednostavnou modela i, sa druge strane, stvaranjem modela kao vjerodostojnom skupu informacija o realnom problemu.3.Izbor,razradailimodifikacijametodezarjeavanjepostavljenogproblema.Izbor metodezavisiodoblikovanogmodelaproblema.Samemetodepredstavljaju,u klasinomsmislu,ureenskuppostupakakojiseprimjenjujedabiserijeio postavljenimatematikimodelproblema.estoseuoperacionimistraivanjimapoistovjeuje termin model i metod. Sutinski, ova dva pojma se razlikuju jer, kako je reeno,metodomseoperacionalizujemodel.Prijeprimjenemetodemodelje statian,bezpronaenogrjeenja.Poslijeuspjeneprimjenemetodedobijamo njegovorjeenjeukvantitativnomobliku,imesestvarajuusloviizanjegovo vrednovanje. Metode operacionih istraivanja se mogu aplicirati manuelnim putem ili kompjuterski.estjesluajdasemetodemorajuposebnorazvitizanovooblikovan model, jer za tu klasu matematikog problema metode nisu dovoljno strukturirane i ne postojekaouniverzalnomone.Mnogemetodesemogukoristitisaizvijesnom modifikacijomvepostojeihmetoda.Kompjuterskemetodemogubitiveoma efikasne, naroito numerike. Meutim, sve one imaju algoritamsku strukturu metoda kojesuranijeverazvijeneipoznateumatematikimdisciplinama.Utomsmislu, ovim udbenikom su obuhvaena odabrana poglavlja iz operacionih istraivanja, gdje se obrauju sljedee metode:-Metode matematikog programiranja. -Metode mrenog planiranja i upravljanja. -Metode heuristikog istraivanja. -Metode teorije masovnog opsluivanja (ili redova ekanja). -Metode simulacije. -Metode upravljanja zalihama. 4.Rjeavanjemodelapomoumetodeidobijanjerezultata.Posljedicaprimjenemetode jerjeenjeizraenoukvantitativnomobliku.Vjerodostojnostrjeenjazavisiod 7 primijenjenemetode.Zaistimodelmoguseprimjenjivati,akosunaraspolaganju, razliitemetode.Rjeenjausvakomsluajumorajubitijednoznana,istovjetno protumaenailiprihvaenasaodreenimstepenompouzdanosti.Najpreciznije rjeenjejeanalitiko.Numerikarjeenjasunajeaizrazlogapostojanjanajveeg brojametodasatomosnovom.Ovarjeenjasunajmnogobrojnijaikodprimjene kompjuterskihmetodaproraunavanja.Drugividsu,takoe,numerikarjeenja,ali dobijena numerikom simulacijom. Pored toga, rjeenja mogu biti skalarna, vektorska i matrina. Vievarijantna rjeenja pruaju mogunost izbora, bilo da su optimalna ili dopustiva, na bazi postavljenih kriterijuma nakon nalaenja tog rjeenja.5.Kriterijumskovrednovanjemodelanaosnovurezultatatestiranja.Direktno vrednovanjerjeenja,samimtimimodelaimetoda,predstavljamjeruusaglaenosti predvienihiostvarenihvrijednosti.Noovoinijejedinividvrednovanja.Za kompleksno vrednovanje potrebno je razviti niz kriterijuma na bazi kojih se verifikuje model (rjeenje) i ocjenjuje njegova valjanost. Najznaajniji kriterijum vrednovanja je kriterijum optimalnosti rjeenja, kojim se na egzaktan nain dokazuje da li je rjeenje najboljeiline.Ovajkriterijumjerazvijenkodmnogihoptimizacionihmetoda matematikogprogramiranja,dokjekodheuristikihuznatnomanjojmjeri raspoloiv.Ukvantitativnekriterijumezatestiranjemodelainjegovogizraza,tj. rjeenja, spadaju jo i kriterijumi: osjetljivosti model-rjeenja, invarijantnosti modela, konvergencijaalgoritmakanajboljemrjeenjuisl.Poredkvantitativnihkriterijuma znaajnisuikvalitativnikriterijumiuovojfaziistraivanjamodela.Raunarski eksperimenti na modelu mogu dati znaajne odgovore na karakteristike model-rjeenja problema koje se posebno vrednuju. U svakom sluaju verifikovan rezultat predstavlja relevantanupravljakiparametarneophodanzaodgovarajuuprimjenuurealnim uslovima.6.Implementacija dobijenog rjeenja. Teorijskom verifikacijom model-rjeenje apriori se prihvata mogunost njegove primjene u praksi. Implementacija predstavlja sprovoenje rjeenja direktno u realnim uslovima. Za to je potrebna odgovarajua priprema i esto povea finansijska sredstva. Statistiki gledajui ova faza je najmanje frekventna, a najpotrebnija zbog brojnih dobrih rjeenja koje su postigli istraivai. Istaknimo da ima i drugih prilaza u sistematizaciji etapa rjeavanja modela ija metodologija sadri jo neke specifine module u blok dijagramu postupaka modeliranja. Meutim, prethodno nabrojane faze su u veini sluajeva prepoznatljive i treba ih u principu uvaiti. Uvod u optimizaciju Predteorijuoptimizacijesepostavljazadatakdasepostignenajboljerjeenjeodreenog matematikidefinisanogproblema,akosupostavljenikriterijumizakvantifikaciju:taje najbolje,tajedopustivoilitapredstavljanedopustivorjeenje.Optimalnorjeenje pretpostavlja postojanje kvantitativne mjere poreenja sa ostalim dopustivim rjeenjima, jer se samo takav kriterijum optimalnosti moe uvaiti. U tom smislu teorija optimizacije obuhvata kvantitativnoprouavanjeoptimumairazvojametodazanjegovoodreivanje.Primjena metoda optimizacije polazi od realnog stanjaproblema i na tim osnovamaga treba rjeavati. Ciljprimjeneoptimizacionemetodesastojiseupronalaenjunajboljeinformacijekoja ukazujenaposlijediceiuticajeizabranevarijantekaorezultatakojiseprimarnouvaavau procesuodluivanja.Nekematematikemetodeoptimuma,naroitonumerike,sudobro poznateistraivaimaparstotinagodina.Meutim,zbogzahtjevauprimjeni,zavelikim obimom raunanja, one su potisnute kao relativno neefikasne u periodu u kojem su nastajale. Tekrazvojemkompjutersketehnologijeovemetode,sadaraunarskiorijentisane,postalesu 8 izuzetnoefikasneidanaspredstavljajugradijentrazvojaoptimizacijekaonaune metodologije iz vie razloga: -brzog dobijanja rjeenja, -mogunosti eksperimentisanja na modelu, promjenom vrijednosti ulaznog vektora, -pogodnosti prepoznavanja optimuma kod nekih problema koji nisu kompletno matematiki formulisani i sl. Zadatakoptimizacijemodelajesteizbornajboljevarijanteiznizamoguihilipovoljnih varijanatauskladusavaeimkriterijumom.Optimalnorjeenjepredstavljakompromis izmeueljenogciljaipostavljenihogranienjakojauslovljavajumogunostpostizanja ekstremnihrjeenja.Kompromisjeprirodnikriterijumipredstavljaoptiprincipprirodei drutva. Poznato je da su metode optimizacije razvijene samo za pojedine klase matematikih modela problema i ne postoji za sada opti algoritam kojim bi se obuhvatili svi optimizacioni problemi.Uegzaktnomsmisluzadatakoptimizacijesesvodinaodreivanje maksimuma/minimuma ili druge referentne vrijednosti (npr. konstantnosti) ciljne funkcije od npromjenljivih, sa ogranienjima tipa za. Optimalno rjeenje je postignuto tada kada je ostvaren globalni maksimum/minimum funkcije kriterijuma , gdje je optimalno rjeenje ujedno i dopustivo, a dopustiva oblast u n-dimenzionalnom Euklidskom prostoru*. Posljednjihdvadesetakgodinaurazvojusumetodeoptimizacijenabazi multikriterijumskog odluivanja,izrazlogadonoenjaoptimalnihodlukaprisloenimkomponentamakao faktorimaprouzrokovanihintenzivnimrazvojemsociotehnikihsistema.Utomsmislu, doneklejeizmijenjenateorijaoptimizacijeusredsreivanjemkoncepcijesajednim kriterijumom na optimizaciju po vie (vektor) kriterijuma. Razlog je tenja da se matematiki modeliproblemapribliestvarnimproblemima,kojisuposvojojprirodimultivarijantnii zahtijevajunalaenjerjeenjauviefaza,tojejednokriterijumskomoptimizacijomdobrim dijelomneizvodljivo.Izmeuklasineiviekriterijumskeoptimizacijepostojerazlikekaoi slinosti, koje su razmotrene u radu. Predmeti optimizacije Teorijaoptimizacijepredstavljanaunudisciplinukojaprouavametodeipostupke optimizacije odreenih entiteta u nauci i tehnologiji. Metodologija za dobijanje najpovoljnijih rezultatauodreenimokolnostimapredstavljaureenskupmetodarazvijenihsaosnovnim ciljem dobijanja optimalnih rjeenja. Osnovni pojmovi koji se vezuju za konkretniju definiciju optimizacije su: predmet, cilj i metod optimizacije. Predmeta(objekata)optimizacijeuokruenjuimamnogo.Takosusreemokarakteristine predmetekojiseodnosenanekeprocese:obrazovni,projektantski,proizvodni,energetski, drutveni, nuklearni i sl., ili sisteme: tehnoloki, transportni, upravljaki, drutveni itd. Mada seestoizmeuprocesaisistemanepraverazlike,zbogzajednikihkarakteristika,one sutinskipostojeiveomasubitnekodmodeliranjaistih.Naime,procespredstavljaniz 9 uzastopnihprogresivnihpromjenastanjaivezanjezavremenskitokdogaaja,asistemje ureeniskupentitetairelacijaizmeunjihinjihovihsvojstavaimoebiti,ilinemora, relativno stacionaran u vremenu. Ciljoptimizacijesedefinienaosnovukriterijumaoptimizacijeiskazanoguobliku kriterijumskefunkcijeoptimizacije(maksimalnadobit,minimalnitrokoviisl.).Metode optimizacije imaju dvojaku funkciju i to: oblikovanje modela problema i rjeavanje predmeta optimizacije saoptenog putem modela optimizacije, najee matematiki definisanog. Globalni minimum Lokalni mimumim Sl. 2Primjer uz objanjenje optimuma i ekstremuma funkcije kriterijuma Metodeoptimizacijesluezakvantitativnoi/ilikvalitativnorjeavanjemodelaproblema. Predstavljene su ureenim skupom postupaka koji se primjenjuje heuristiki ili algoritamski. Zarjeavanjesloenogproblema,akojetomogue,primjenjujeseprincipdekompozicije. Tipianprimjerjedinamikoprogramiranje,obraenoupetompoglavlju.Uoperacionim istraivanjima metode optimizacije se postavljaju na kvantitativnim osnovama. Funkcija kriterijuma D oblast dopustivih rjeenja t trajektorija os poetnog do optimalnog rjeenja Sl. 3Grafika interpretacija iterativnog postupka proraunavanja za sluaj problema sa tri promjenljive Oblastiprimjeneteorijeoptimizacijesuraznovrsne,poevodtehnikihdisciplina: elektrotehnike,mainstva,graevinarstva,poljoprivrede,saobraaja,metalurgije,pado medicine,ekonomije,farmacije,hidrologije,kosmonautikeisl.Optimizacijaje karakteristinapriprojektovanjuikonstruisanjuproizvodaiproizvodnihsistema,gdjese ispoljava tenja za tzv. optimalnim projektima na bazi tehnoekonomske optimizacije. 10 Linearno programiranje Uvod u matematiko programiranje Rjeavajui razne konkretne probleme iz oblasti organizacije transporta, upravljanja zalihama, organizacijeobrazovanjaisl.,estosejavljapotreba,dasetakvizadacimatematiki modeliraju, a zatim da se trai rjeenje toga modela. Pri tome se operie sa relativno velikim brojemveliinazakojevaeodreenefunkcijeogranienja.Skuponihvrijednosti promjenljivihkojezadovoljavajupostavljenisistemogranienja,nazivaseskupdopustivih rjeenja (skup vrijednosti koje ine neki program i sl.). Poto skup rjeenja moe biti, u nekim sluajevimaibeskonaan,utomsmislunameesepitanje:kakoizabratinajboljerjeenjei kriterijumvaljanostitogrjeenja(plana,programa),priodreenomscenariju?Evonekoliko primjera kriterijuma izbora rjeenja: -Dobit preduzea. -Vremenski kapacitet.-Trokovi transporta. -Rizik realizacije plana i dr. Kadafunkcijakriterijumapredstavljadobit,pouzdanost,nivoobrazovanja,iskorienost kapaciteta,uinak,isl.,ondateimodajemaksimiziramo.Usluajudaovafunkcija predstavlja trokove, rizik u pogledu realizacije planiranih aktivnosti, vrijeme obrade, vrijeme transporta, broj izvrilaca u procesu rada, utroak resursa ili nekih energetskih sredstava, onda teimominimizacijitakvefunkcije.Usvakomsluaju,funkcijakriterijumaimapunou zavisnosti od objekta koji se analizira na kvantitativnoj osnovi. Ovi zadaci se nekad rjeavaju iskustveno, dakle na bazi ranijih informacija i vjetine donosioca odluka. Kod analize sasvim novih entiteta kod kojih nema ranijih iskustava, neophodno je najee pronai egzaktan nain odreivanjarjeenja,tosepostiematematikimmodeliranjemirjeavanjemmatematikih modela odgovarajuimmetodama za postavljene zadatke. Dio primijenjene matematike, koji se bavi rjeavanjem takvih problema, zove se matematiko programiranje. Zadatak matematikog programiranja bi se sveo na sljedee pretpostavke: Nekaje(x1,x2,...,xj,...,xn)skupodn-veliinazakojeseformirajuogranienjauobliku jednaina ili nejednaina sistema: Svakan-torka(x1,x2,...,xj,...,xn)kojazadovoljavagornjisistemogranienjajedopustivo rjeenje,askupsvihmoguihrjeenjajedopustiviskuprjeenjaD.Iznjegasepronalazi najboljetj.optimalnorjeenje,akoonopostoji.Kriterijumizboraoptimalnogrjeenja zasnovan je na nekoj funkcijiF(X) =(x1, x2, ..., xj, ..., xn) to znai da iz skupaD odreenog sistemom ogranienja (1) treba izabrati onaj element za koji je: (2)F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn) max F(X)ili F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn) min F(X)u zavisnosti od prirode problema. Funkcija F(X), o kojoj je ovdje rije, je funkcija kriterijuma ili funkcija cilja. Funkcija kriterijuma zajedno sa sistemom ogranienja ini model 11 matematikog programiranja. Metode programiranja obuhvataju vrlo iroku i sloenu oblast operacionih istraivanja i uglavnom pripadaju grupi metoda: - linearnog, - nelinearnog i - dinamikog programiranja. Linearno programiranje kao dio matematikog programiranja Drugompolovinometrdesetihgodina(1947-1949.)amerikimatematiarDancig(Dantzig, G.B.)jepreciznodefinisaonovualgebarskumetoduzvanusimplex.Ovametodapripada familijimetodalinearnogprogramiranjaijednajeodnajefikasnijih.Nanjenomrazvojui usavravanjunarednihgodinamnogoseistraivalo,pajeisamtvoracmetode,Dancig, objavio1963.godinerezultatetihistraivanjauknjiziLinearProgrammingandExtensions. Poredtogaovametodajemodifikovanauciljurjeavanjaspecijalnihsluajevaizdomena transportnogzadatka,kombinatorneoptimizacijeisl.Nazivlinearnojasnonaznaavadase promjenljiveveliineiparametriumatematikommodeluureujulinearnimvezama. Rjeenje problema X=[x1, x2, ..., xj, ..., xn], bilo da je najbolje ili bazno dopustivo, ima fiziko znaenjeelemenatanekogplanailiprograma(optimalniprogramproizvodnje,program transportaisl.),paotudainazivlinearnoprogramiranje.Unovijevrijemeporedsimplex-a, efikasnostsupokazaleimetodeelipsoidaiKarmarkarovametoda(objavljena1984.).Od eminentnih istraivaa na polju razvoja linearnog programiranja, stvarajui tako optu teoriju matematikogprogramiranja,spadaju:Kantorovi,L.V.,Sajmonard(Simonnard,M), Karmarkar(Karmarkar,N.),Kun(Kuhn,N.),Taker(Tucker,.)idrugi.Odnastanka klasinog modela, linearno programiranje se razvijalo, kako su praktini problemi diktirali, u posebne oblasti, i to: - cjelobrojno linearno i - parametarsko linearno programiranje, - stohastiko linearno programiranje, - transportni zadatak i sl. kao i u modele, ali ne sa iskljuivo linearnim funkcijama, kao to su: - kvadratno, - razlomljeno-linearno i - fazi (fuzzy) linearno programiranje. Linearnoprogramiranjepredstavljajednuodmetodaoperacionihistraivanjakojajenala najveupraktinuprimjenuurjeavanjutehnoekonomskihproblemaito:kodmodela asortimanaproizvoda,tehnolokihpostupaka,transportnihzadatakaisvihdrugihproblema ijimatematikimodelipredstavljajuzapravoklasineproblemeLP,zaodreivanje maksimuma ili minimuma funkcije F(X). Oblikovanje modela linearnog programiranja Razliitost u definisanju funkcije kriterijuma, a naroito u iskazivanju sistema ogranienja, u smislupostavljanjarelacionihoperatoratipa{>,>,s, 0) odnosno komponenata vektora X=[x1, x2, ..., xj, ..., xn] iz oblasti D, koje zadovoljavaju sistem linearnih jednaina i/ili nejednaina (ogranienja), najeeg oblika: (4)

gdje su: , 12 ili u razvijenoj formi: za koju funkcija cilja: (6), kojapredstavljalinearnukombinacijupromjenljivih xj,dostiemaksimalnu,odnosno minimalnu vrijednost. Standarndni oblik linearnog programiranja Standardni oblik se javlja onda kada su ogranienja po svojoj prirodi jednostrana, tako da su sve relacije definisane, npr. u obliku s, koji je karakteristian (ali ne i obavezan) za modele problema tipa maksimum:

gdje su:, (7) F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn) max F(X) Kod modela problema tipa minimum funkcije kriterijuma, karakteristine relacije ogranienja su oblika >, tako da je model LP sljedei: (8) F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn) min F(X) Kanoniki oblik linearnog programiranja Zamodeleuslovljeneilisvedenenajednakosti=kaemodaimajukanonikuformu. Transportni zadaci su obino takve prirode, ili npr. zadaci LP, ali u razvijenom obliku simplex modela: ,pri emu su: (9) F(X) = (x1, x2, ..., xj, ..., xn) max / min F(X) Matrini oblik linearnog programiranja Usaetijojformi,naroitokodkompleksnijihproblema,modelLPseiskazujeuobliku matriceivektora.ModelLP(7),(8)i(9)moesekraepredstavitiumatrinomoblikuna sljedei nain: (10)sa sistemom ogranienja: (11) i funkcijom kriterijuma: F(X) = C X max / min F(X) gdje smo 13 obiljeili sa: - matricu tehnikih koeficijenata (12) sa: - vektor reda (vrsta), sa: (13)- vektor ogranienja i sa: - vektor nepoznatih vrijednosti. U razvijenom obliku veze sistema ogranienja bi bile: odnosno funkcija kriterijuma: pri emu je:x1, x2, ..., xj, ..., xn > 0. Vektorski oblik modela linearnog programiranja ModelLPsemoenapisatiuvektorskomobliku,akosetehnikikoeficijentiprethodne matrice predstave kao vektori kolona. U tom smislu imamo sljedei sistem ogranienja: (16) i funkciju kriterijuma: F(X) = C X max / min F(X). Gdje su vektori kolona matrice : 14 Tabelarni nain prikazivanja modela linearnog programiranja IzpraktinihrazlogaprikazmodelaLPmoesedatitabelarno(T-1).Pritomesvielementi vektora CiBi matrice moraju biti zastupljeni u tabeli. (T-1) Ovaj sintetizovan nain prikaza karakteristian je kod primjenesimplex metode gdje se opti ili standardni model LP prevodi u kanoniki, a zatim se putem iterativnih tabela vre postupci proraunavanja. U tom smislu, metode LP mogu se koristiti samo ako je problem postavljen u vidu potpunog matematikog modela. Metode LP su najee klasifikovane kao: - Grafika metoda. - Simplex metoda. - Transportna metoda. - Metoda rasporeivanja. U nastavku bie obraene, na osnovu teorije linearnog programiranja, prve tri metode, dok e metoda rasporeivanja biti prezentirana sa aspekta heuristikog programiranja (vidjeti sedmo poglavlje). Grafika metoda i primjeri Rjeavanje problema linearnog programiranja grafikom metodom sastoji se u ispitivanju niza vrijednostifunkcijekriterijumauekstremnimtakamaoblastidopustivihrjeenja.Primjena ovemetodeogranienajenazadatkesadvijeili,urjeemsluaju,satrinepoznate promjenljive veliine. Ujednodimenzionalnom prostoru (n = 1) primjenagrafike metode je trivijalna.Ispitivanjeodnosadvijenepoznateveliine[x1,x2],kojesemogupredstaviti vektorom X, vri se dotle dok se ne postigne vrijednost optimalnog vektora X*. Dakle: 15 Meutim, tzv. optimalno, odnosno najbolje rjeenje odnosa komponenata x1 i x2, pronaeno u datimuslovima,predstavljasamoposljedicukojaproizilaziizprethodnopronaene ekstremne vrijednosti funkcije kriterijuma. U tom smislu, postupci grafike metode svode se prvo na: modeliranje linearnih ogranienja oblika: ili u razvijenoj formi: ifunkcijekriterijumazanpr.problemmaksimuma:maxF(X)=c1x1+c2x2.Svako ogranienjetipa(20)predstavljapojednupoluravanuravnix10x2ijajegranica predstavljena pravom oblika: (21) ai1 x1 + ai2 x2 = bi Presjekom poluravni (20) odreen je konveksan (konkavan) poligon moguih rjeenja, a time ioblastfunkcijecilja.koelimodadobijemonjenmaksimum(Sl.4-6),ispitivanje ekstremnevrijednostifunkcijeciljarelativnojejednostavno,isvodisenapronalaenje najudaljenijetakenakonveksnompoligonu.Geometrijskainterpretacijagrafikemetodese sastojiudefinisanjupoligonanaosnovusistemaogranienjakojimseformiraoblast dopustivihrjeenjaD.Poredtoga,zapoznatevrijednostikoeficijenataufunkcijikriterijuma c1ic2,kojisemoguizrazitiputemvektorac=[c1,c2],iizjednaavanjemfunkcijeF(X)sa nulom,postiesenajjednostavnijipoloajpravelinijeupoetnimfazamarjeavanjamodela LP. Odlukom da se funkcija kriterijuma izjednauje sa nulom, tj. (22)F(X) = c1 x1 + c2 x2 = 0

ne pravi se greka u poetnoj fazi nalaenja rjeenja, jer se postie nenegativno rjeenje, to je uskladusavaeimogranienjima.Zatimslijedinjenosukcesivnopoveanje,svedo ekstremnog poloaja, a koje je oznaeno kao logiki najmanja ili najvea vrijednost. Take u kojima funkcija F(X) = c1 x1 + c2 x2 ima konstantnu vrijednost lee na pravoj koja je paralelna poetnoj pravoj F(X) = 0 i predstavlja tzv. liniju nivoa (Sl. 5) za funkciju: (23)F(X) = c1 x1 + c2 x2 Takonpr.,koordinatenajblieekstremnetakeoblastiD(npr.Sl.4)predstavljaju komponente optimalnog vektora X* za koji funkcija cilja ima minimum, tj. (24)min F(X) = F(X) = c1 x*1 + c2 x*2 16 Sl. 4 Sl. 5 Sl. 6 Sl. 7 Sl. 8 Sl. 9 SametodolokogstanovitarjeavanjeproblemaLPgrafikommetodompogodnojezbog jednostavnostipostupakametodeizatoseobraujeupoetnimfazamaizuavanjametodai modelaLP.Saedukativnogstanovitakodgrafikemetodesmoumogunostidabrzo prepoznamouEuklidovomlinearnomprostorurelacijeizmeufunkcijekriterijumaF(X), sistemalinearnihogranienjatipa ai1x1+ai2x2{}bi,iuslovanenegativnostiu matematikom modelu. Grafiki dio postupka se obino kombinuje sa analitikim, pa se ova metodaprimjenjujeusluajuzahtjevazapoveanompreciznostirezultataLP.U trodimenzionalnomprostoru(n=3)teeseprimjenjujegrafikametoda,tj.metodase primjenjuje uz pomo postupaka nacrtne geometrije. U n-dimenzionalnom prostoru za (n > 3) ostaju samo geometrijski termini, inae se linearni programi rjeavaju algebarskim metodama, bez mogunosti baziranja na geometrijsku oiglednost. Primjer 1. 17 Za potrebe trita proizvode se dva tipa proizvoda P1 i P2 na dva tehnoloka sistema TS1 i TS2. VremenskikapacitetTS1raspoloivjezakorienjedo600/as/,azaTS2do700/as/. ObradaproizvodaP1naTS1traje72/min/kom/,anaTS260/min/kom/.ProizvodP2se finalizuje, takoe, kroz dvije operacije, i to na TS1 operaciono vrijeme je 60 /min/kom/, a na TS2105/min/kom/.Plasmannatritunijeneogranien.Ispitivanjemjeustanovljenoda tritemoeprimitido450/kom/proizvodaP1ido300/kom/proizvodaP2.Takoesu poznate jedinine cijene proizvoda (u novanim jedinicama po komadu) i one iznose: za prvi proizvod c1 = 9 /nj/kom/, a za drugi c2 = 7,5 /nj/kom/. Potrebno je: a.Odrediti optimalan plan proizvodnje da bi se postigao maksimalni efekat dobiti.b.Odreditikojafunkcijaogranienjaneutienamaksimalnuvrijednostfunkcije kriterijuma.Rjeenje: Matematiki model problema oblikovan je na osnovu sistema ogranienja: i funkcije kriterijuma (dobiti):

Sl. 10 Grafik oblasti dopustivog rjeenja sa funkcijom kriterijuma D(X) a.Kako prava D(X) = 9 x1 + 7.5 x2 = 4500 /nj/ lei na ograniavajuoj pravi poluravni (1) rjeenjesadribeskonaanskupoptimalnihvektorarjeenja.Krajnjetakeoptimalne dui su take B i C. U tim takama optimalne koliine proizvoda su (Sl. 10): /kom/i drugo rjeenje: /kom/. Vrijednosti funkcije kriterijuma u objema takama su iste i iznose: /nj/i /nj/. Opterjeenjeoptimumamoesedefinisatikao linearnakombinacijapronaenihvektora:X = o XB + (1 o) XC gdje je skalar: 0 s o s 1. 18 Npr. za proizvoljnu vrijednost o = 0,34 dobijamo tree optimalno rjeenje kao: /kom/. Funkcija dobiti i za taj sluaj, kao i za prva dva, ostaje nepromijenjena, tj: /nj/. b.Na osnovu grafika oblasti dopustivog rjeenja i funkcije kriterijuma (Sl. 10) se vidi da ogranienje(4),pripostojeimuslovima,neutienaformiranjemaksimalne vrijednosti kriterijumske funkcije i vektor(e) optimalnih rjeenja.NPOMEN U primjerima e se esto vektor poistovijetiti sa takom u dvo/trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Stroga matematika formulacija za n > 2uvijek nalae da se govori o vektoru, a ne o taki. Primjer 2. NaiminimalnuvrijednostfunkcijekriterijumaF(X)=6x1+3x2minF(X),koristei grafiku metodu LP, uz sledea ogranienja: Pored toga odrediti: a.Optimalno rjeenje datog problema i minimalnu vrijednost funkcije kriterijuma.b.Optimalnorjeenjeimaksimalnuvrijednostfunkcijekriterijumapriizmjeni(1) nejednaine funkcije ogranienja, koja se sada definie kao jednaina oblika: x1 + x2 = 5.c.Parametrea1ia2uzpromjenljivex1ix2prvogogranienjaoblikaa1x1+a2x2=5 (umjesto nejednaine (1)), da bi takva promjena izazvala beskonaan broj optimalnih rjeenja. Prokomentarisati vrijednost funkcije kriterijuma.Rjeenje: a.Optimalno rjeenje se dobija na osnovu translacije funkcije kriterijuma od koordinatnog poetka do take B (Sl. 11), sa odgovarajuim vrijednostima: 19 Sl. 11Grafika interpretacija LP primjera 2.a) Pri tome minimalna vrijednost funkcije kriterijuma iznosi min F (X) = F (X*) = 22,5 b.U sluaju da se u sistem ogranienja uvede jednaina x1 + x2 = 5, sva bazno dopustiva rjeenja se nalaze na dui B. U tim uslovima su ekstremne vrijednosti jednake: i Optimalnorjeenjepriizmijenjenimuslovimaogranienjaikarakterfunkcijekriterijumase nalazi u taki ,tj. XA =X*, jer je odgovarajua funkcija kriterijuma najvea upravo u toj taki i iznosi: max F (X) = max{F (XA), F (XB)}= max{27, 22,5}= 27. Sl. 12Grafika interpretacija LP primjera 2.b) c.Parametriuzpromjenljivex1ix2prvefunkcijeogranienjasuodredivinaosnovu koeficijenta pravca kriterijumske funkcije. Iz jednaine: 6x1+3x2 = 0 x2 = 2 x1 on iznosi-2.Prematome,istiugaonagibauodnosunax1osumoraimatiinovaprava ogranienja: a1 x1 + a2 x2 = 5, na osnovu ega slijedi:20 ,uz uslov: , gdje za taku B: x1 = x2 = 2,5 slijedi da je:a2 = 2/3, i a1 = 4/3. Naosnovuprethodnog,prvajednainaogranienjasadaglasi: ,tosemoe grafiki interpretirati (Sl. 13). Sl. 13Grafika interpretacija LP primjera 2.c) OptimalnarjeenjasenalazeiutakiBiutakiC.Meutim,brojoptimalnihrjeenjaje beskonaaninalazisenaduiBC,takodasadadobijamozaekstremnevrijednostivektora sljedee: i Kako su i sva druga rjeenja koja se nalaze na dui BC takoe optimalna, to se u vektorskom obliku za proizvoljnu taku G, moe uopteno napisati da je: gdje za vrijednosti:o 0, XG XC,i zao 1, XG XB. Pri tim promjenama se ne mijenja vrijednost funkcije kriterijuma i ona iznosi: min F (X) = F (XA) = F (XC) = F (XG) = 22,5. Primjer 3. Korienjemgrafikemetoderijeitiproblemlinearnogprogramiranja,akojedatafunkcija dobiti D (X) = 3x1 + x2, i sistem ogranienja: Pored toga postupcima analize: 21 a.odrediti vrijednosti x1 i x2 za koje funkcija dobiti D (X) postie maksimalnu vrijednost, a da su istovremeno zadovoljena sva prethodna ogranienja,b.definisati jedan analitiki izraz nove funkcije D (X) da bi se u novim uslovima dobilo beskonano mnogo optimalnih rjeenja,c.dati za tu funkciju dva primjera optimalnih rjeenja.Rjeenje: a.Odreivanjeoptimalnogrjeenjaimaksimalnedobiti.Optimalnorjeenjesenalaziu taki B (Sl. 14), u presjeku pravih koje ograniavaju oblast (p2) i (p5). Najvea dobit je u tom sluaju odreena kao: /nj/ Sl. 14 Grafika interpretacija LP primjera 3.a) b.Traenianalitikiizrazslijediizrezultataizjednaavanjakoeficijentapravcanove prave D (X) = c1 x1 + c2 x2 = 167,5 /nj/ i prave koja ograniava oblast (p5) tj. 8x1 + 6x2 =480.Datipostupaksesvodinatransformacijuizraza(p5),usmislunjegovog izjednaavanja sa izraunatom vrednou funkcije kriterijuma:,te dobijamo: /nj/. Prema tome, traena funkcija kriterijuma (Sl. 15) je oblika: 22 Sl. 15 Grafika interpretacija LP primjera 3.b) c.Jedanprimjeroptimalnogrjeenja,kaotojevekonstatovano,senalaziutakiB. Drugi primjer slijedi iz rezultata presjeka prave (p4) i (p5) u taki C, pa imamo:;Vrijednost funkcije dobiti za obje take ostaje maksimalna i nepromijenjena. Dakle: max D (X) = D (XB) = 2,792 x1* + 2,094 x2* = 167,5 /nj/ max D (X) = D (XC) = 2,792 x1** + 2,094 x2** = 167,5 /nj/ Primjer 4. Za zadatu funkciju kriterijuma (trokova) T(X) = 3/2 x1 1/2 x2 i skup ogranienja: a.odrediti optimalno rjeenje i minimalnu vrijednost funkcije kriterijuma,b.odrediti vrijednosti koeficijenta u funkciji kriterijuma tako da naenitrokovi u taki (pod a)) iznose T (X) = 0/nj/,c.odreditioptimalnorjeenjeiminimalnetrokoveakokoeficijentuzx2,funkcije trokova,promjenismjer,tj.postanepozitivan.Kolikesurazlikeutrokovimatime izazvane u odnosu na rjeenje dobijeno pod a).Rjeenje: a.Najbolje rjeenje nalazi se u taki E (Sl. 16) i iznosi: pri tome su minimalni trokovi: /nj/ 23 Sl. 16Grafiki prikaz modela LP primjera 4. b.Funkcija trokova moe biti jednaka nuli u sluaju da prolazi kroz koordinatni poetak idatangiraodabranuekstremnutaku,uovomsluajutakuE(Sl.17).Pritomeje koeficijenat pravca tangentne prave odreen iz odnosa: Jednoodmoguihrjeenjajedininihcijenaje:c1=341ic2=162,pajetadatraena vrijednost funkcije trokova: T(X*) = 341 x1* 162 x2* = 0 /nj/. 24 Sl. 17Grafiki prikaz modela LP primjera 4.b) c.Iz uslova promjene predznaka uz koeficijent promjenljive x2 nova funkcija kriterijuma dobija oblik: Konkretna vrijednost ove funkcije, za taku E (Sl. 18), iznosi: /nj/. Sl. 19Grafiki prikaz modela LP primjera 4.c) Za funkciju K(X) dobijamo istu taku optimuma (E), kao i za kriterijum T(X), ali se trokovi pri tome poveavaju za vrijednost: /nj/. Primjer 5. ProizvodnjudvaproizvodaR1iR2potrebnojerealizovatinatrimaineM1,M2 iM3. Vremenskinormativitijizradeproizvodanaovimmainama/min/kom/,raspoloivi vremenski kapaciteti maina u /as/ i predviena jedinina dobit od prodaje /nj/kom/, dati su u sledeoj tabeli (T-2). 25 (T-2) Maine Proizvodi M1M2M3 Jedinina dobit/ nj/kom / P1t11=450t12=420t13=27045 P2t21=450t22=780t23=9036 Vremenski kapacitet /as/ 600910270- Pored toga prodaja proizvoda na tritu je ograniena, i to za proizvod R1 plasman je mogu do najvie 55 komada, a za proizvod R2 ogranienje je do 65 kom. a.Izvritianalizuplanaproizvodnjedabisepostiglonajveeiskorienjevremenskog kapaciteta svih maina.b.U cilju maksimizacije dobiti odrediti optimalan plan proizvodnje.Rjeenje: a.Formiranje matematikog modela problema mora biti u skladu sa datim parametrima proizvodnje, prodaje i promjenljivim veliinama za R1 (x1) i za R2 (x2). Pored toga mora se voditi rauna o usklaenosti vremenskih mjernih jedinica. Za rjeavanje zadatka, usvojeni su asovi (odnosno /as/kom/) kao osnovne terminske jedinice. U tom smislu imamo sljedei sistem ogranienja: Koeficijentiufunkcijikriterijumadobijajusenaosnovuzbiravremenaizradepojedinanih proizvoda,uzimajuiuobzirdajevrijemesvakeoperacijenapojedinimmainamadatou /as/kom/, umjesto u /min/kom/ kao u (T-2). Iz tog razloga slijedi da su normativi vremena za izradu proizvoda P1, odnosno P2, respektivno: t1 = 7,5 + 7 + 4,5 /as/kom/ i t2 = 7,5 + 13 + 1,5 = 22 /as/kom/. Funkcija iskorienosti kapaciteta je tada oblika: max K(X) = 19 x1 + 22 x2 Saovakodefinisanimogranienjimaifunkcijomcilja(kapaciteta)optimalnorjeenjese nalazi, primjenom geometrijske metode, u taki D (Sl. 19) sa vrijednostima: /kom/. 26 Sl. 19Grafika interpretacija problema vremenskog kapaciteta Za ove vrijednosti iskorienost vremenskog kapaciteta maina respektivno iznosi za: Oiglednovremenskikapacitettreemainenijeupotpunostiiskorien,iuapsolutnom iznosu ta vrijednost parametara iznosi: A3 = 270 185 = 85 /as/ Ukupanstepeniskorienjakapacitetazasvetrimaineizraunavasekaoodnosstvarnogi teorijskog kapaciteta maina, i u ovom sluaju je: tj.95,2% Dakle, nije iskorieno ukupno: A = A3 = 1780 1695 = 85 /as/.Iskorienostkapacitetadobijasesabiranjemstvarnopopunjenihkapaciteta(uapsolutnom iznosu q = 1780 A = 1695 /as/), ili na osnovu funkcije kriterijuma, kao: max K(X*) = 19 x1* + 22 x2* = 1695 /as/. Dobit pri maksimalnom iskorienju vremenskog kapaciteta poslijedino iznosi: D (x1*, x2*) = 45 x1* + 36 x2* = 3075 /nj/.b.Kod iznalaenja najvee dobiti od prodaje proizvoda R1 i R2 funkcija kriterijuma ima odgovarajuu formu profita. Na osnovu polaznih parametara (T-2) se formira kao:max D(X) = 45 x1 + 36 x2 Ogranienjaostajuistovjetna,kaotosuranijedefinisana.Nabazitakvogmatematikog modela moe se grafiki rijeiti i interpretirati problem LP za ovaj sluaj, kao: 27 Sl. 20 Grafika interpretacija problema dobiti Optimalno rjeenje se nalazi u taki C i iznosi: /kom/. Za ove optimalne vrijednosti funkcija dobiti je maksimalna (Sl. 20) sa iznosom od: max D(X**) = 45 x1** + 36 x2** = 3330 /nj/, dok je iskorienost vremenskog kapaciteta sada sekundaran cilj i on poslijedino iznosi: K(X**) = 19 x1** + 22 x2** = 1610 /as/ Za ove vrijednosti iskorienost vremenskog kapaciteta maina je neto manja nego u prethodnom sluaju, pa je za: Vremenskikapacitetdrugemainenijeupotpunostiiskorien,iuapsolutnomiznosutaj parametar je sada: A2 = 910 740 = 170 /as/. Ukupan stepen iskorienja svih maina iznosi: tj. 90,4% Oigledno da se ovdje dobijaju rezultati suprotnih tendencija, koji se ogledaju u dva sluaja: - koelimoostvaritinajveeiskorienjevremenskogkapaciteta,nemoemoostvariti najveu dobit. - ko teimo najveoj dobiti, iskorienost maina u raspoloivom vremenskom kapacitetu ne moe biti maksimalna. Ovaj problem je u prethodnim postupcima rjeavan parcijalno, grafikom metodom. Po principu, on pripada klasi zadataka koji se, uz dodatne pretpostavke, mogu rjeavati metodama multikriterijalnog programiranja. Primjer 6. Neka fabrika proizvodi dva artikla 1 i 2 na mainama M1 i M2. Na izradi jedinice artikla 1 mainaM1 utroi2,5asa,amainaM26asova.Naizradiartikla2mainaM1utroi5,5 28 asova,amainaM23,5asa.MainaM1moenajviedaradi15asovadnevno,amaina M2 najvie 21 as dnevno. Ovi podaci se mogu pregledno dati sledeom tabelom (T-3). (T-3) Artikli Maine A1A2 Kapaciteti maina / as/dan / M12,55,545 M263,536 Ukupno vrijeme /as/kom/ 8,59- Ispitatigrafikommetodomkolikukoliinuartikala1iartikala2trebadnevnoproizvesti da bi se maksimalno iskoristio ukupan kapacitet maina. Kolika optimalna koliina proizvoda iznosi za 97 radnih dana? Rjeenje: Zaproizvodnjujediniceartikla1ukupnoseutroi8,5/as/kom/,azaproizvodnjujedinice artikla2,9/as/kom/, pajefunkcijastepenaiskorienjakapacitetaoblikaK(X)=8,5x1+ 9x2 max K(X) Konstatujmodasezaizradux1(jediniceartikla1)ix2(jedinicaartikla2),mainaM1 eksploatie:2,5x1+5,5x2asova,samogunouradado15asova,amainaM2 eksploatie:6x1+3,5x2asova,samogunouradado21asadnevno.Pritome,dakle, moraju biti zadovoljena sledea ogranienja,2,5 x1 + 5,5 x2 s 15ili

6x1 + 3,5 x2 s 21ili uzprirodneuslovenenegativnostikojipodrazumijevajudaje:x1>0,x2>0.Naosnovu geometrijskeinterpretacije(Sl.21)vidisedajeoblastDodreenasistemomogranienjasa etvorouglomOABC,gdjesutakesakoordinatama:O(0,0),(7/2,0),B(252/97,150/97)i C(0, 30/11). Sl. 21 Grafika interpretacija modela LP primjera 6. 29 ko pravu K(X)=0, transliramo paralelno ka najudaljenijoj taki konveksnog poligona, dostii emograninipoloajkriterijumskefunkcijekojasenalaziutakiB.Pritomejeoptimalni vektor rjeenja: /kom/. UtojtakiK(X)imamaksimalnuvrijednost,jerjepomijeranjevrenoupravcupoveanja vrijednosti funkcije raspoloivog kapaciteta. Zato je: max K(X) = 8,5 x1* + 9x2* = 36 /as/. Ukupni kapacitet, kao to se vidi iz inicijalne tabele (T-3) i postignutog rezultata, u potpunosti je ispunjen. Znai maksimalna iskorienost maina bie, samo u sluaju, ako se dnevno bude proizvodilo 252/97~2,6 jedinice artikla 1 i ~1,54 jedinica artikla 2. Za vremenski period od t = 97 /dana/, optimalna proizvedena koliina artikala e iznositi: /kom/. Karakteristike modela LP i primjeri OptipostupakrjeavanjaproblemaLPmoesedefinisatinasljedeinain:odrediti nenegativnepromjenljive[x1,x2,...,xj,...,xk],takodafunkcijaF(X)dostigneekstremnu vrijednost,odnosnominimumilimaksimum.Zaprimjereseuzetiekstremnavrijednost kriterijumske funkcije u vidu njenog maksimuma. Dakle, iz uslova ogranienja: i za zadatu funkciju cilja potrebno je pronai njenu maksimalnu vrijednost: (26) F(X) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cj xj + ...ck xk max F(X) Pritomesu:cj(j=1,...,k)koeficijentifunkcijekriterijuma,bi(i=1,...,m)nezavisni elementivektoraogranienjaiaij(i=1,...,mij=1,...,k)tehnikikoeficijentimatrice =[aij]mxk.Moesedokazatidaveinaproblematipamaksimumamogudaserjeavajukao problemi minimuma i obrnuto. Uvoenje dopunskih promjenljivih Dodavanjem nenegativne dopunske promjenljive xk+i svakoj nejednaini sistema ogranienja: postie se transformacija nejednaina u jednaine. Ovo predstavlja vaan algebarski postupak u linearnom programiranju, ime dobijamo sljedei sistem jednaina:30 Dopunske promjenljive imaju i fiziki smisao, jer predstavljaju razliku izmeu raspoloivih i iskorienihkapaciteta,najeevremenskih,resursnihisl.Prethodniproirenisistem formiran je uz novo proireno indeksiranje, pri emu je sada ukupan brojnepoznatih n=k+m (j=1,...,n),dokindeksniinterval(i=1,...,m)(brojjednaina)ostajenepromijenjen.Utom smislu nove jednaine ogranienja su: Ove promjene vezanesu i za formalne promjene funkcije kriterijuma. Naime, koeficijenti uz dopunskepromjenljivexk+i,postajurespektivno:ck+1,ck+2,...,ck+i,...,ck+m;tefunkcija kriterijuma dobija oblik: (30) F(X) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cj xj + ...ck xk + 0 (xk+1+ xk+2+ ...+ xk+i+ ...+ xk+m) max F(X) BilokojerjeenjeX=[x1,x2,...,xj,...,xk,xk+1,xk+2,...,xk+i,...,xk+m]*kojezadovoljava ogranienje u smislu sistema jednaina i uslova nenegativnosti xj > 0 (j=1,..., k+m) naziva se moguimrjeenjem,dokserjeenjeX=[x1,x2,...,xi,...,xm]nazivabazinimrjeenjem. Naime, ako su sve vrijednosti xi > 0, ovo rjeenje je i bazino mogue. Optimalno rjeenje je onobazinorjeenjezakojefunkcijakriterijumadostieekstremnuvrijednost,uovom sluaju maksimalnu vrijednost. Iz sistema od m jednaina sa (n k) promjenljivih (smatrajui da je ostalih k promjenljivih izjednaeno sa nulom) mogue je obrazovati: sistema. Ove sisteme nazivamo bazinim sistemima, ako je determinanta matrice sistema za m odabranih promjenljivih razliita od nule, tj. da je regularna. Tako za broj promjenljivih n=16 i broj jednaina m=8, dobijamo broj moguih rjeenja sistema u iznosu od , to je sa aspekta proraunavanja (pretraivanja) veoma velik posao. Primjer 7. Uvesti dopunske promjenljive za sljedei zadatak LP, ako su: 31 sistem ogranienja: i funkcija kriterijuma: Uvoenjem dopunskih promjenljivih: x3, x4, x5, x6 > 0, dobijamo sistem ogranienja u obliku sistema linearnih jednaina: i uz funkciju kriterijuma: Nakon uvoenja izravnavajuih promjenljivih, standardni sistem linearnih nejednaina sa k=2 promjenljivihim=4nejednaine,transformisaoseusistemogranienjasaetirijednainei n=k+m=2+4=6 promjenljivih veliina. Model linearnog programiranja u matrinom obliku Funkcija kriterijuma u matrinoj formulaciji se moe predstaviti kao: gdje su sa C obiljeeni koeficijenti funkcije kriterijuma: dok se nepoznata: X=[x1, x2, ..., xj, ..., xk, xk+1, xk+2, ..., xk+i, ..., xk+m]T moe predstaviti i u obliku transponovanog vektora. Sistem jednaina u matrinoj formi je sada: 32 gdje su dopunski koeficijenti: ai,k+u=1za u = i i ai,k+u=0zau = i (i =1,...,m). Dopunska matrica oblika E ima vanu ulogu kod formiranja poetne vektorske baze u linearnom programiranju, i oblika je. ko matricu =[aij]mxn razloimo na vektore kolona kao: sistem linearnih jednaina se sada moe zapisati kao: ili krae Vektore tipa A

nazivamo vektorima aktivnosti. U ovom sluaju, vektor B smo predstavili kao linearnu kombinaciju n razliitih vektora A

(j=1,..., k+m). Primjer 8. Matrinioblikzadatkalinearnogprogramiranja.PrethodnizadatakLP(izPrimjera7.) moemo zapisati na sljedei nain: Funkcija ogranienja kao: pri emu je X >0 ili u vektorskom obliku u vidu linearne kombinacije vektora: 33 sa funkcijom kriterijuma: Formiranje vektorske baze Kako su vektori A

i B vektori m-tog reda, to meu n vektora tipa A

moe postojati najvie m-nezavisnih.Utomsmislu,akojeprvihmvektoralinearnonezavisno,moesevektorB predstaviti kao linearna kombinacija oblika: Izborodm-vektoramoebitiidrugaiji.Kaotosevidjelo(31)ovajizborsemoe realizovatinaCnmnaina.Svakakombinacijadonosinovrezultatfunkcijekriterijuma, odnosnonovuvrijednostvektoraX.NajboljakombinacijavektoraA

uskupuneke kombinacije baze donosi optimalno rjeenje X*, pri emu se postie da je F(X*)=maxF(X), to nazivamo optimalnim programom.Vektorska bazab moe se predstaviti kao matrica elemenata: (39) ,uz uslov da je: , pritomeredoslijedvektoranemorauoptemsluajubitijednakredoslijeduvektorave ranije formirane (38)inicijalne matrice . Linearnu kombinaciju: (40)moemoizrazitiprekobazebkaoAbX=B.Naosnovutogaslijedirjeenjepo promjenljivoj: (41)X=Ab-1B U tom sluaju dobijeni vektor Xproglaavamo bazinim rjeenjem problema, kao:(42), gdjejeAb-1inverznamatricamatricerazmatranebazeb.Zaprethodnevrijednostifunkcija kriterijuma jednaka je: (43)gdje je vektor C formiran od koeficijenata: Poredtogasvakinebaznivektor ,semoeizrazitikaolinearna kombinacija baznih vektora, po sledeoj formi: (44) ,pa je , gdjeje: rjeenjeproblemazavektorA

.Utomsluaju vrijednost funkcije kriterijuma iznosi: (45) 34 Primjer 9. Formiranje vektorske baze. Za model LP prema Primjeru 6. moe se formirati odgovarajua matrica i vektori modela. Izaberimo dva vektora m=2, npr. A

i A

kao vektore poetne bazne matrice: Ab=[ A

, A

]. Bazino rjeenje se odreuje na osnovu relacije AbXb=B, ili konkretno: .Kako je: ,slijedi da je bazino rjeenje jednako: Uslov za inverziju matrice je da je ona kvadratna i da je nesingularna, tj. da joj je determinanta razliita od nule. Pored toga, mora se definisati i adjungovana matrica adjA i njoj transponovana matrica (adjA)T. Ove matrice su jednake: Adjungovana: i njoj transponovana: Prethodna adjungovana matrica adjA ima sljedee elemente: lgebarskikofaktoriadjungovanematriceodreenisudeterminantomA,ijielementine pripadajureduikolonigdjesenalaziposmatranielementap5sapredznakomodreenim izrazom ( 1)p+5. Inverzna matrica je definisana na sljedei nain: , to konkretno iznosi:Prema tome bazno rjeenje je:,ili , , dok je mogue rjeenje u tom sluaju:Vrijednost funkcije kriterijuma dobija se za vrijednost Xb, kao: Ista vrijednost se dobija i za mogue bazno rjeenje: 35 Potosenebazinivektormoeizrazitikaolinearnakombinacijabazinihvektora,uzeese kao primjer da to bude A

. Inae, pored ovoga vektora nebazian je jo i vektor A

. Prema relaciji: AbXj=A

, slijedi: AbX2=A

, odakle jeX2= Ab1A

, odnosno: Dakle, rjeenje za vektor A

je: , odnosno: , Vrijednost funkcije kriterijuma sada iznosi: Uvaavajui da je kompletan vektor:, dobijamo istovjetno rjeenje prethodnom: Simplex metoda ProblemLPserjeavaiterativnommetodomtakotosepolaziodjednogskupalinearno nezavisnihvektora,kojimseobrazujebaza.Poslijetogasevripromjenavektorskebazena osnovurazraenihkriterijuma,svedotledokseneodredinajpovoljnijiskupvektora,kojiu tom sluaju formiraju optimalnu bazu. Simplex metoda, kojom se efikasno rjeava zadatak LP, zasnivasunasljedeimpretpostavkama:akoseodmlinearnonezavisnihvektora , od matrice , formira baza , tada se vektor B izraava putem linearne kombinacije bazinih vektora: (46)Nebazinivektor izraavase,takoe,pomoulinearnekombinacije vektora, kao: (47) ko se vri transformacija vektora baze , tako da jedan od bazinih vektora bude zamijenjen nebazinim vektorom , mora da se uvai sljedei uslov, a to je da ako je bazini vektor za , tada mora da bude i da je . Prethodni izraz (47) se sada formira kao: (48) 36 Prethodna relacija (48)moe da se rijei po , na osnovu ega se dobija: ili u razvijenom obliku:(49) Jednainu (46): moemo da napiemo isto na sljedei nain: (50) ili ko izvrimo eliminaciju bazinog vektora , dobijamo: (51) , ili Dakle,vektorBsemoeizrazitiputemlinearnekombinacijenovogskupabazinihvektora ivektora .Dabiovajskupobrazovaobazinomoguerjeenje potrebno je da lanovi u zagradi budu nenegativni, tj. (52) i Izbor vektora koji naputa bazu se svodi na tzv. teta kriterijum, to u kvantitativnom obliku iznosi: (53) za Uvaavajui prethodne uslove, novo bazino dopustivo rjeenje se formira kao: (54) ko je vrijednost funkcije kriterijuma za polazno rjeenje jednaka:, za novo (poboljano) bazino rjeenje e tada biti:, odnosno zamjenom: (55) Za ve ranije definisano: ,uz oznaavanje da je vrijednost funkcije za vektor , slijedi da je: (56) Simpleks kriterijum optimalnog rjeenja 37 Dobijenarelacija pokazujedasefunkcijakriterijumauveavaza odreenuvrijednostpripromjenivektorskebaze.kojenebazinivektor ,za i sanajmanjejednim ,tadaje .Ovajrezultatjevrlovaanjer pokazujeukomsmjerusemoepoveavatifunkcijakriterijuma,sukcesivnompromjenom vektorskebaze.Kakojebrojbazakonaan,auzastopnomiteracijompostiemo ,uz neponavljanjenijednebazevieputa,najboljerjeenje,tj.najveufunkcijuciljadobijamou konanombrojuiteracija.Utomsmislumoemopostavitiprvisimplekskriterijumza promjenu vektorske baze. 1.ko je , za jedan ili vie nebazinih vektora, tada u bazu treba uvesti onaj vektor sa najmanje jednim , za koji je pronaeno:(57)2.koje ,iakosusvevrijednosti ,zanajmanjejedannebazian vektor, tada problem nema konanog rjeenja.3.koje ,zasvenebazinevektore,rjeenjejeoptimalno.Pritometreba smatrati da je izuzet sluaj degenerisanog rjeenja.Kriterijum naputanja trenutno egzistirajueg vektora baze odreujemo prema ve izvedenom kriterijumu teta. Naime, treba utvrditi vrijednost: (58) ,za Eliminacija vektora slijedi nakon utvrivanja najmanjeg kolinika za vektore B i . ko je za i = u, kolinik odgovarajueg rjeenja najmanji, pri emu je (nenegativna), vektor treba eliminisati iz baze. Kada smo postigli optimalno rjeenje i ukoliko je za nebazini vektor , simplex kriterijum , tada se unoenjem tog vektora i eliminacijom jednog od bazinih vektora, postie jo jedno optimalno rjeenje, npr. .Konveksnomkombinacijomovihoptimalnihvektora postiemo novo optimalno rjeenje kao: (59)

, gdje je skalar Pri tome funkcija kriterijuma ovih vrijednosti: (60) ostaje nepromijenjena, tj. maksimalna, s obzirom da se ovdje razmatra takav sluaj ekstremuma. Primjer 10. Primjena simplex metode. Za model problema LP (Primjera 6.) potrebno je odrediti: F(X)=8,5x1+9x2 max F(X) uz ogranienja: 2,5 x1 + 5,5 x2 s 15 6 x1 + 3,5 x2 s 21xj > 0 (j = 1,2) Simplex model jednaina ogranienja oblikuje se na osnovu prethodnog sistema nejednaina: 2,5 x1 + 5,5 x2 + x3 = 15 6 x1 + 3,5 x2 + x4 = 21xj > 0 (j = 1,2) 38 ifunkcijekriterijuma:F(X)=8,5x1+9x2+0(x3+x4)maxF(X) gdjesu:x3,x4dopunske(izravnavajue)promjenljive.Prethodnisistemjednainamoese napisati u obliku:AX = B. Pri tome su: matrica tzv. tehnikih koeficijenata: , vektor nepoznatih vrijednosti ,vektor ogranienja i vektor koeficijenata funkcije kriterijuma C=[8,5, 9, 0, 0]. Vektori kolona matrice mogu se izraziti kao: , , i i na taj nain se matrina jednaina AX= B moe ekvivalentno formulisati putem vektorske jednaine: A

x1 + A

x2 + A

x3 + A

x4 = B Za usvojene poetne vrijednosti realnih promjenljivih: x1 = 0, x2 = 0 moemo formulisati prvo bazinu jednainu kao: A

0 + A

0 + A

15 + A

21 = B, kome odgovara poetno (nulto) bazino dopustivo rjeenje: Konstatujmodasezapoetnobazinorjeenjeuvijekuzimajuvjetakepromjenljivesa vrijednostimaelemenatavektoraogranienja.Pritomejevrijednostkriterijumskefuncije najmanja (nenegativna) i iznosi: Dakle, poetnu bazu ine vektori:Ab=[ A

, A

]. Nebazni vektori A

, A

mogu se izraziti posredstvom baznih, kao: sa elementima: x11 = 0, x21 = 0, x31 = 2,5 i x41 = 6 i

sa elementima:x12 = 0, x22 = 0, x32 = 5,5 i x42 = 3,5. Osnovne karakteristike poetnog modela su sada: Primjena kriterijuma za ulazak novog vektora u bazu svodi se na eksplicitno odreivanje najmanje negativne vrijednosti (Fj cj) nebaznih vektora. U tom smislu, imamo sljedee vrijednosti: za vektor A

:F1 c1 = (8,50 + 90 + 02,5 + 06) 8,5 = 8,5za vektor A

:F2 c2 = (8,50 + 90 + 05,5 + 03,5) 9 = 939 Kakoje:min{(F1c1),(F2c2)}=F2c2 =9,slijedidaubazuulazivektorA

. KriterijumzaizlazakjednogbaznogvektoraA

svodisenaodreivanjenajmanjegodnosa vrijednosti tj. min {xi/xij}, za izabrani ulazni vektor. Najmanja vrijednost je: i u tom sluaju vektor A

izlazi iz baze. Formiranje nove baze Ab se svodi na izmenu izabranog vektora, to se simboliki moe predstaviti kao: Prethodni vektor A

se moe izvesti iz izraza (63), tako da dobijamo: (65) Uvrtavanjemovogizrazauizraze(62)i(64),respektivnodobijamo(66)i(67),s napomenomdasesvidecimalnibrojeviunarednimiteracijamapredstavljajuuobliku razlomka, zbog preciznijeg prikaza i mogunosti da korisnik sam provjeri rezultat: Pri tome se funkcija kriterijuma poveava na vrijednost: Primjena kriterijuma min (Fj cj) za ulazak nebaznog vektora u bazu. za vektor A

: za vektor A

: Kakoje:min{(F1c1),(F3c3)}=F1c1 =97/22,slijedidaubazuulazivektorA

. KriterijumzaizlazakjednogbaznogvektoraA

svodisenaodreivanjenajmanjegodnosa vrijednostitj.min{xi/xij},zaizabraniulaznivektor.Najmanjavrijednostje: iutomsluajuvektorA

izlaziizbaze.FormiranjenovebazeAbsemoepredstaviti simboliki izmjenom vektora: Vektor A

se moe izvesti iz izraza (66), tako da dobijamo: (68) Zamjenom vektora A

u (65) i (67), slijede vektori: (69) (70) Primjena kriterijuma min (Fj cj) za ulazak nebaznog vektora u bazu,za vektor A

: 40 za vektor A

: pokazuje da je naeno optimalno rjeenje jer su sve vrijednosti Fj cj > 0, to je osnovni uslov kriterijuma najboljeg rjeenja. Vektor optimalnog rjeenja na osnovu rezultata (70)je sada: Pri tome je funkcija kriterijuma maksimalna i iznosi: , to je istovjetno ve dobijenom rezultatu u Primjeru 6. Formiranje simplex tabele Simplex tabeliranje predstavlja efikasan nain da se slino prethodnim algebarskim relacijama naspecifianmatrini(tabelaran)nainstrukturirajusvielementifunkcijapostavljenog modelaLP.Iterativnimproraunavanjemtransformisanielementitihfunkcija(ogranienjai cilja), takoe, se predstavljaju u narednim simplex tabelama, sve dok se ne postigne optimalno rjeenje.Osnovasukcesivnogprorauna,naovajnain,ekvivalentnajeranijepokazanim matrinim postupcima proraunavanja. Naime, za formirani simplex model problema LP, npr. tipa maksimuma, iz sistema jednaina: i funkcije kriterijuma: moe se postaviti (nulta)simplex tabela, u oznaci max ST-0 (T-4). Dio oznake ST-0 simboliki predstavlja poetno rjeenje, gdje je funkcija kriterijuma jednaka nuli, dok se sintaksom max izraava karakter problema koji se rjeava. max ST-0(T-4) Pored toga ostali simboli usimplex tabeli imaju sljedee znaenje: 41 - C vektor koeficijenata uz promjenljive xj funkcije kriterijuma (npr. jedinine cijene), - Cb vektor koeficijenata u funkciji kriterijuma uz promjenljive koje sainjavaju bazno dopustivo rjeenje. Kod poetne tabele vrijednost ovih koeficijenata je jednaka nuli, - Xb vektor promjenljivih koje formiraju bazno dopustivo rjeenje. - B vektor vrijednosti promjenljivih bazno dopustivog rjeenja za posmatranu iteraciju. U nultom rjeenju ovaj vektor sadri elemente ogranienja desne strane simplex jednaine, - Xj predstavlja mnoitelje vektora baze kada se njihovom linearnom kombinacijom izraava vektor A

, - Fj cj - predstavlja razliku izmeu funkcije F(Xj) = Fj i koeficijenata cj uz j-tu promjenljivu (j = 1,...,n). Ova vrijednost je, kako je pokazano u formuli (57), indikator da li je rjeenje optimalno ili ne, pa se definie kao kriterijum optimalnosti. ko se kolona sa koeficijentima aji i promjenljive xj jednaine (71) prebaci na desnu stranu, dobijamo sljedei sistem jednaina (i = 1,... m, j = 1,...,n):(73)Uzpretpostavkudasudopunskepromjenljivexk+i(i=1,...m)bazinepromjenljive,tadasu ostalepromjenljivejednakexj=0(j=1,...k).Utomsmislusmoformiraliprvobazino mogue rjeenje kao:(74) ,, ..... ,, ..... , Funkcija kriterijuma pri ovoj bazi jednaka je nuli (analogno sa F(X) = 0 kod poetnog rjeenja priprimjenigrafikemetode).Razlogtomejetosukoeficijentiufunkcijikriterijumazatu bazujednakinuli,jeronifizikinepostoje.Izmjenabazeideusmjeruuvoenjanebaznog vektoraXj(j=1,...,k)(kojiuzimaadekvatnepozitivnevrijednosti).Utomsmisludobijamo sljedei izraz: (75) Za i-tu jednainu, kao to je poznato u optem modelu LP mogu se javiti sluajevi da je aij{} 0. Najinteresantniji rezultat za analizu je sluaj kada je aij > 0. Tada se moe izabrati xj, tako da jedna od promjenljivih xk+i postane jednaka nuli. Dakle, za: (76) xk+i > 0slijedi da je: bi aij xj > 0,pa je xj s bi/aijza aij > 0. Prethodnarelacijapredstavljaosnovuzaformulisanjekriterijumaeliminacijejednebazine promjenljiveXi(postavljajuijekaovektor).Naime,dabiuslovxjsbi/aij(aij>0)bio zadovoljen, potrebno je izmeu svih m kolinika pronai minimalnu vrijednost. Taj odnos e se obiljeiti kao i ranije sa teta i dat je u vidu relacije: (77), (aij > 0) Odabranu vrijednost indeksirajmo sa i = u, a zatimu-ti red proglaavamo vodeim redom (T-5).Ovajkriterijumzaizlazakvektoraizbazepoznatje,kakojeranijeistaknuto,kaoprvi simplexkriterijum.DrugisimplexkriterijumzaizbornovogvektoraXj,kojipristupabazi, zamjenjujuipromjenljivuXi,zasnovanjenaodabirunajmanjevrijednosti(Fjcj)izskupa negativnih: (78) , za vrijednostiFj cj < 0 (j = 1,..., k) Odabrana vrijednost e biti obiljeena sa (Fp cp), odnosno indeks odabrane kolone sa j = p. Oiglednodaseistirezultatpostienaosnovuekvivalentnerelacije:.Moe se zakljuiti da se uz veu vrijednost cj i aktualizacijom odgovarajueg vektora Xj u bazi javlja novi efekat koji rezultira, obino, poveanju funkcije kriterijuma. 42 max ST-0 (T-5) Proirenikriterijum,zaizborvektorakojipristupabazi,primjenjujeseuonimsluajevima kadasepojavljujeveibrojvrijednostiFjcj 0za (j = 1,..., k + n). Prethodni obrasci se primjenjuju pri svakoj novoj iteraciji, tako to se tekua tabela smatra baznom, a izraunavanje se vri za svaku sledeu tabelu vrijednosti. Primjer 12.44 U nekoj fabrici se proizvode dva proizvoda P1 i P2 primjenom tri tehnoloka sistema: TS1, TS2 iTS3.ZatehnolokuobradujediniceproizvodapotrebnojeutroitiefektivnovrijemezaP1: 1,2 /as/kom/ na TS1, 2 /as/kom/ na TS2 i 2 /as/kom/ na TS3; za P2: 2,4 /as/kom/ na TS1, 2 /as/kom/ na TS2 i 1 /as/kom/ na TS3. Efektivni kapaciteti Kej pojedinih tehnolokih sistema iznose: za TS1 12000 /as/, za TS2 14000 /as/ i za TS3 12000 /as/. Sa druge strane funkcija marketinga informie proizvoaa o potrebnoj koliini proizvoda na tritu, gdje je omoguen plasmanodmaksimalno5500/kom/proizvodaP1i4500/kom/proizvodaP2.Prodajom preduzeeostvarujedobitod4400/nj/kom/zaP1i1100/nj/kom/zaP2.Naosnovu sistematizovanih podataka u (T-9) potrebno je: 1.Projektovati optimalan plan proizvodnje u cilju ostvarenja maksimalne dobitifabrike, koristei grafiku i simplex metodu.2.Pronaifunkcijukriterijumaoptegoblikakojazadovoljavaneogranienbroj optimalnih rjeenja. (T-9) Tehnoloki sistemi Proizvodi TS1TS2TS3 Plasman /kom/ Dobit/ nj/kom / P11,22255004400 P22,42145001100 Efektivni kapacitet /as/ 120001400012000- Rjeenje: 1a) Primjena grafike metode za rjeavanje zadatka LP podrazumijeva formiranje sistema nejednaina i funkcije kriterijuma. U tom smislu je:matematiki model dobiti: uz odgovarajue uslove: Kakokoliinaproizvodanemoebitinegativnaslijedidaje:x1,x2>0.Naosnovu prethodnih nejednakosti (1), (2) i (3) mogu se formirati segmentni oblici jednaina kojima se opisuju granine vrijednosti raspoloivog kapaciteta i trinih zahtjeva (4) i (5): Oblastdopustivihrjeenjajeogranienakonveksnimpoligonom(oblastD),kojije projektovannaosnovusistemanejednainaod(1)do(5).PravaD(X)=0,kojaprolazikroz koordinatnipoetak,prezentujenultufunkcijukriterijuma,iakojetransliramousmjeru vektora koji se prostire do najudaljenije take na poligonu dobijamo tangirajuu taku kojom je odreeno optimalno rjeenje X*, odnosno maksimalna funkcija dobiti max D(X) = D(X*). 45 Sl. 22 Grafika interpretacija optimalnog rjeenja Na osnovu nulte funkcije dobiti i pomenutog postupka: 4400x1 + 1100x2 = 0, slijedi da je x1= l/4x2.OptimalnorjeenjesetadanalaziutakiB,idobijaseutakipresjekapravih(3)i (4):(3)2 x1 + x2 = 12000i (4) x1 = 5500. Rjeavanjemdvijujednainasadvijenepoznatevrijednostistrukturaikoliinaoptimalnog rjeenjaproizvodnogprogramabibilasledea:x1*=5500/kom/proizvodaR1ix2*=1000 /kom/ proizvoda R2, dok bi funkcija dobiti iznosila: max D(X*) = 4400x1* + 1100x2* = 25,3 106 /nj/. 1b)Dabineogranienbrojoptimalnihvektorapripadaojednojfunkcijikriterijuma maksimalnogekstremuma,potrebnojedapravatefunkcijetangiranpr.duBC,(Sl.23) odnosno da nova funkcija kriterijuma D(X) = c1 x1 + c2 x2 sadri koeficijent pravca isti kao i definisana prava (3). Na osnovu te prave odreujemo koeficijent pravca kao: (3) 2 x1 + x2 = 12000x1 = x2. 46 Sl. 23 Grafika interpretacija optimalnog rjeenja Dakle, u funkciji kriterijuma mora figurirati parametar c1 (uz x1) dva puta vei od parametra s2 (uz x2), pa jednaina D(X), na osnovu prethodne analize, dobija opti oblik: D(X) = 2 a x1 + a x2. gdje je: a e R, a > 0. Za takav oblik nulte funkcije kriterijuma (D(X) = 0) uvijek dobijamo da je: x1 = x2, to je saglasno koeficijentu pravca prave (3). 2a) Matematiki model problema primjenom simplex-max metode se oblikuje poslije dodavanja dopunskih promjenljivih u sistemu linearnih ogranienja: i funkcije dobiti: NaosnovurazvijenogsimplexmatematikogLPmodelamoeseformiratiinicijalna(nulta) simplextabela.Ovatabela(matrica)predstavljaosnovnupodloguzaprimjenuiterativnih postupaka proraunavanja. max ST-0 (T-10) 47 Kako u prethodnoj tabeli postoje dva negativna elementa: D1 c1 = 4400 i D2 c2 = 1100, primijeniemo proireni kriterijum, koji u principu skrauje iterativni proces proraunavanja, madajeuovomsluajudovoljnaprimjenaisamoosnovnogkriterijuma,odnosno pronalaenjenajmanjevrijednosti,atojeD1c1=4400.li,zbogdemonstracije proirenog kriterijuma predstavljamo kompletnije njegov algoritam. Kako je: /nj/i /nj/, odluujemo da u naredno bazino dopustivo rjeenje uvedemo promjenljivuX1, upravo zbog dopunskoguslovakojigovoridatrebauzetiuobzirmaksimalnuvrijednostizskupa raspoloivih vrijednosti u donjem kontrolnom redu, a to je: max {u1 (c1 D1), u2 (c2 D2)} = max {24,2 106; 4,95 106} /nj/.Tavrijednostfizikipredstavljadobit.UvoenjemrealnepromjenljiveX1(vodeakolona) izvodimovjetakupromjenljivuX6izbaze(vodeired),jerjeuizabranojkoloniuoena najmanjavrijednostu1=5500.Daljommatrinomtransformacijom,naosnovuetiripravila za transformaciju: (79), (80), (81) i (82) moemo oblikovati naredne simplex tabele. max ST-1(T-11) max ST-2 (T-12) Kakosusvielementireda(Djcj)>0nenegativni(T-12)tojeuovomsluajupronaeno optimalnorjeenjeiistovjetnojesarezultatimaprimjenepostupakaproraunavanja grafikom metodom. U tom smislu, jedno optimalno rjeenje iznosi: /kom/ Moe se pokazati, u ovom sluaju, da uvoenje jedne od promjenljivih (npr. X4 ili X6) izaziva promjenuvektorskebazeivrijednostoptimalnogvektora,alineimaksimalnuvrijednost funkcije kriterijuma. Dakle, postoji beskonaan broj optimalnih rjeenja. Meutim, mi smo se zadrali na samo jednom pronaenom. 2b)Maksimalnavrijednostfunkcijedobitimoeseoitatidirektnoizzavrnetabele,ili izraunati na osnovu optimalnog vektora koliine proizvoda. Dakle:48 max D(X) = D (X*) = 4400x1* + 1100x2* = 25,3 106 /nj/. Konstatujmo da je vektor optimalnog rjeenja kompletniji nego vektor dobijen u rezultatu primjene grafike metode. U ovom sluaju su dobijene i optimalne vrijednosti vjetaki uvedenih proizvoda, ijom bi se eventualnom proizvodnjom u potpunosti iskoristili vremenski kapaciteti sva tri tehnoloka sistema. Primjer 13.Pronai optimalne vrijednosti promjenljive xj (j = 1,2,3) i funkciju kriterijuma D(X) maksimalnog ekstremuma, primjenom simplex metode za postavljeni sistem nejednaina: i funkciju kriterijuma: Rjeenje: Odgovarajui simplex model na osnovama prethodnog modela sadri sistem jednaina: i funkciju kriterijuma: Formirani simplex model je potrebno uneti u poetnu iteracionu tabelu, kao matricu tehnikih koeficijenata,vektoraogranienjaivektoracijena,tojeiuinjenoutabelimaxST-0. Postupci prorauna su dati u ostalim tabelama (T-14/15). max ST-0(T-13) max ST-1(T-14) 49 max ST-3(T-15) Optimalno rjeenje se oitava u posljednjoj tabeli, i iznosi: pri tome je zadovoljen kriterijum optimalnosti, jer su u kontrolnom redu sve vrijednosti Dj cj > 0. U tom smislu je postignuta najvea vrijednost funkcije kriterijuma u iznosu od: . Linearno programiranje u odreivanju optimalnog programa proizvodnje Jedaninteresantanproblemlinearnogprogramiranjajeproblempoznatkaoodreivanje optimalnogproizvodnogprograma.Usluajudasunampoznatiparametriproizvodnjei njeneintegralnepodrke,kaotosu:vremenaoperacijerada,efektivnikapacitetimaina, cijeneproizvodanatritu,ogranienjaupogleduplasmanaproizvodailidrugaresursnai kapacitivnaogranienja,moeseizvritimodeliranjeproblemaiodgovarajuommetodom pronai najbolji odnos asortimana proizvoda i odgovarajue koliine. Oznaimo sa [x1, x2, ..., xj,...,xn]koliinenproizvodakojisedobijajuprocesomproizvodnje,saaij(i=1,...,m;j= 1,...,n)tehnikekoeficijente,gdjesedeoi-togresursatroizaproizvodnjujedinicej-tog proizvoda (npr. normirano vrijeme izrade /tj/kom/). Ukupno potrebno vrijeme za proizvodnju xjjedinicaproizvodaiznosilobitadaaijxij/tj/.Sagledavajuiresursnoogranienjebizasvakumainu(npr.vremenskikapacitet)moeseformiratii-tanejednainakojomse modeliraju uslovi u pogledu popune efektivnog kapaciteta maine. (85)kosa[c1,c2,...,cj,...,cn]oznaimospecifinecijenepojedinanihproizvodaPj,moese sumiranjem formirati ukupna oekivana dobit D(X) od svih proizvoda kao: (86)Postupcimaoptimizacijeteisedaproizvodniprogrambudetakavdasepostignenajvea dobit.Meutim,jedanodproizvodnihproblemapredstavljaproblemminimizacijetrokova, npr. transporta u proizvodnji.Tada vektorom (87)c = [c1, c2, ..., cj, ..., cn]obinodefiniemosveznaajnijejedininetrokove,apostupcimaoptimizacijeteise iznalaenju minimalnih ukupnih trokova proizvodnje i transporta. (88)Ogranienja kod ovog tipa problema su obino data sledeom relacijom: (89) madaseuprincipurelacionioperatoripostavljajuuzavisnostioduslovaproizvodnjei transporta, tj. uslova koje diktira trite ili neki drugi proizvodni faktori.Nekada e se morati postaviti kao relacija znak jednakosti, npr. u sluaju kada se odgovarajui resurs ili vremenski 50 kapacitet u potpunosti mora iskoristiti. U optem sluaju sistem ogranienja se moe iskazati u vidu relacija: (90) (i = 1,..., m; j = 1,..., n)pri emu se funkcija kriterijuma postavlja kao: (91) Primjer 14.Na bazi primjene metoda optimizacije proizvodnog programa izvriti analizu koliine proizvoda xj i asortimana Pj (j = 1,...,7) u cilju ostvarivanja najvee dobiti preduzea. Pri tome su poznati uslovi ogranienja proizvodnje i trita. Po operativnom planu je potrebno realizovati sedam proizvoda na pet tehnolokih sistema (maina). Pri tome se na svakoj maini realizuje operacija rada sa vremenom operacije tij (i =1,...,5 i j = 1,...,7) /kom/min/, datih u tabeli (T-16). Vremenski kapaciteti maina su raspoloivi do odreenog intervala /min/ i ne mogu se premaiti. Pored tih uslova postoje jo dva trina ogranienja. Naime, tritu se mora isporuiti tano 1000 komada svih proizvoda, pod uslovom da koliine petog i sedmog proizvoda ne budu manje od 30 komada. Osnovni podaci potrebni za modeliranje problema dati su u narednim tabelama. Matrica operacionih vremena u zavisnosti od proizvoda i maine gdje se predmet rada obrauje: (T-16) Proizvodi Pj Operacije i P1P2P3P4P5P6P7 Kapaciteti maina /min/ M1: operacija 125425100307000 M2: operacija 2025152001069800 M3: operacija 30205210603000 M4: operacija 4141018200206200 M5: operacija 5500001003000 Trina ogranienja i uslovi pojavljivanja proizvoda na tritu (T-17) Proizvodi PjP1P2P3P4P5P6P7 Potrebe trita /kom/ Zastupljenost proizvoda(0/1 ne/postoji) 11111111000 000010130 Specifine dobiti po pojedinim proizvodima(T-18) Proizvodi PjP1P2P3P4P5P6P7 Cijena proizvoda cij (nj/kom) 17261630173010 Rjeenje:Formiranje matematikog modela problema51 Ogranienja trinog kapaciteta: Funkcija dobiti: Prethodnimodel(92),(93),(94)jerijeennaosnovukompjuterskemetodeoptimizacije, posredstvomprogramskog paketa LINDO*. lgoritam metode je simplex i rezultati su dati na(Sl.24).Urunompostupkurjeavanjemovogproblemabilobipotrebno13iteracijauz primjenuosnovnogkriterijumaizmenevektorskebaze,ili6iteracijaprimjenomproirenog kriterijuma transformacije baze. Postavka modela LP programskim putem Sl. 24Rezultati proraunavanja optimalnog programa proizvodnje Sl. 25 52 Optimalno rjeenje, prema (Sl. 25), sadri sljedee koliine proizvoda /kom/. Pri tome se postie maksimalna dobit preduzea u iznosu od: max F(X) = 20780,04 /nj/. Oiglednodabrojkomadatrebaizrazitiucjelobrojnimvrijednostimatojeiuinjeno vektorompriblinihvrijednosti.Utomsmislu,ovajproblemsemoerjeavatiodreenim metodama cjelobrojnog programiranja. Primjer 15.Projektompredvien,amorfnimaterijalmorasadratinajmanje40jedinicavezivnog materijala,60jedinicavezivnogmaterijalaBi40jedinicavezivnogmaterijalaC.U procesurealizacijeposla,koristesedvijevrstegraevinskogmaterijala.Sadrajpojedinih substitutaumaterijalu/jedinica/kg/predstavljenjeusledeojtabeli(T-19). (T-19) Graevinski materijali Vezivni substituti GM1GM2 Limitirajua koliina /kom/ A3140 B2260 C1340 Pronai najjeftiniju strukturu (sadraj) amorfne mjeavine koja zadovoljava date potrebe, ako 1 kilogram graevinskog materijala GM1 kota 10 /nj/, dok GM2 kota 20 /nj/.Rjeenje: a)PostupcirjeavanjagrafikommetodomzadatkaLP.Kakoseelipronainajjeftinija mjeavina, to je potrebno postaviti minimalnu vrijednost funkcije trokova, odnosno: uz ograniavajue uslove: dokpromjenljivex1ix2morajuispunjavatiuslovenenegativnosti,tj.x1,x2 >0.Najprijese mogunacrtatipravciograniavajuihpravih,vodeiraunaoorijentaciji(usmislu nejednaina).Utomciljunapiimosegmentnioblikpravihkojeograniavajuodgovarajue oblasti: 53 Grafiko predstavljanje rjeenja je dato na Sl. 26. Oblast dopustivih rjeenja je neograniena (oblast D) i optimalno rjeenje se nalazi u taki C. Sl. 26 Grafika interpretacija optimalnog rjeenja Kako je T(X) = 10x1 + 20x2 = 0, slijedi da je x1 = 2x2. Transliranjem prave T(X), sa koeficijentom pravca tg a = 2, do najblie take ograniavajuih pravih (jer je u pitanju minimum funkcije T(X))dobijamo traeno rjeenje grafikim putem, odnosno analitiku potvrdu u sljedeem postupku, gdje se optimalno rjeenje nalazi u presjeku pravih (2) i (3): Dakle, optimalni vektor iznosi: Praktino znai da struktura graevinske mjeavine traba da sadri 25 /kg/ materijala GM1 i 5 /kg/materijalaGM2,paeutomsluajumjeavinabitinajjeftinijainjenavrijednoste iznositi: min T(X)=T(X*) = 10x1* + 20x2* = 350 /nj/. b) Rjeavanje zadataka LP simplex metodom uz dodavanje dopunskih promjenljivih, matematiki simplex-min model dobija slian oblik kao simplex-max. Meutim, kako dopunske promjenljive imaju koeficijent -1, a sa desne strane jednaine su pozitivne vrijednosti, iztihrazloga: x3, x4 i x5 ne mogu seuzeti u poetno bazino dopustivo rjeenje. U tom sluaju se jednainama moraju dodati jo i pozitivne vjetake promjenljive, sa jedininim cenama M. Time matematiki model simplex-min postaje kompletan, odnosno: uz ogranienja: 54 Koeficijent M predstavlja proizvoljno veliki pozitivni broj i u klasinom (runom) postupku raunanja, uzima se kao opti. Rezultati primjene algoritama simplex-min metode prikazani su iteracionim tabelama min ST-0/1/2/3. min ST-0(T-20) min ST-1(T-21) min ST-2(T-22) min ST-3 (T-23) Primjenomsimplex-minmetodedobijaseidentianrezultatkaouprethodnomsluaju, aplikacijomgrafikemetode.Urezultatuovogpostupkapostignutesuoptijeoptimalne vrijednostikojimasuuzeteuobzirpotpunepopunesvihkapaciteta.Utomsmisluse optimalnimvektoromdajuvrijednostirealnih,dopunskihivjetakihpromjenljivihxj(j= 1,...,8). 55 /kom/ Priovomejezadovoljenkriterijumoptimalnosti,vaeizaproblemtipamin,jersuu kontrolnomredusvevrijednostiTjcjs0.Utomsmislujepostignutanajmanjavrijednost funkcije kriterijuma u iznosu od: min T(X) = T(X*) = 350 /nj/. Rjeenje problema tipa min znatno je sloenije, sa stanovita uvoenja novih promjenljivih. Iz tih razloga se esto ide na transformaciju ovog tipa problema u tzv. dualni model, kako bi se izvrila svojevrsna racionalizacija postupaka proraunavanja, a postigli isti efekti radi dobijanja optimalnog rjeenja. Dualni model LP (primjer 16) Formuliimo dva zadatka linearnog programiranja. Prvo, neka to bude ve poznati model LP sasintaksommaksimuma,kojegemodefinisatistandardnokao: Primarni model ili primar, sa sledeom strukturom funkcije kriterijuma: i ogranienjima: gdje je broj nepoznatih n i broj jednaina m. Primarni model se krae moe zapisati kao: ili izraen u matrinom obliku sa: (99) funkcijom kriterijuma: (100) i sistemom ogranienja: Dualni model ili dual e biti oblikovan na osnovu primarnog modela i njegova struktura e imati funkciju kriterijuma u vidu: pri ogranienjima: (102) gdje je sada broj nepoznatih m, a broj jednaina n. Sistem se moe zapisati u algebarskom obliku: (103) sa funkcijom kriterijuma: 56 (104) i sistemom ogranienja: Zakonitost meu formulisanim zadacima postoji u sledeoj formi: - MatricakoeficijenataprimarnogsistemaogranienjatransponovanajeumatricuT sistema koeficijenata dualnog sistema ogranienja. - SlobodnilanovivektoraBprimarnogsistemaogranienjatransponovanisuukoeficijente vektora BT dualne funkcije kriterijuma. - Koeficijentivektora(cijena)Cprimarnefunkcijekriterijumaograniavajuisulanoviu transponovanom obliku CT dualne funkcije kriterijuma u(Y). - ko se u primarnom sistemu ogranienja postavlja relacija s,u sistemu ogranienja duala slijedi suprotna relacija >. - Karakter funkcije kriterijuma se takoe mijenja. Tako, ako smo imali problem tipa max u primaru, u dualu se sada formulie problem tipa min i obrnuto. Dualni model LP u matrinom obliku u odnosu na strukturu primarnog modela je izraen kao: (105)funkcija kriterijuma: min F (Y) = BT Y (106)sa sistemom ogranienja: AT Y > CT Moe se takoe pokazati da vai sledea teorema: Maksimum funkcije F(X) pri ogranienjima A X > B jednak je minimumu funkcije F (Y) pri ogranienjima AT Y s C (uz pretpostavku da zadaci imaju rjeenje): (107) max F(X) = min F(Y) Navedimo osnovne stavove dualnosti: - dual duala je primar, - ako je optimalno rjeenje primara X* i duala Y*, u tom sluaju vai: (108) C X* = A Y* - akoprimar(dual)imakonanooptimalnorjeenje,ondaidual(primar)imakonano optimalno rjeenje. - akoprimar(dual)nemaogranienooptimalnorjeenje,ondaidual(primar)nemamogue rjeenje. Primjer 16.Rijeiti problem minimuma primjenom simplex metode i dualnog modela LP, za sluaj sljedeeg sistema linearnih nejednaina i date funkcije kriterijuma: Rjeenje: Dualni model prethodnog primarnog modela se oblikuje na osnovu transpozicije vektora imatricekoje definiusistemnejednainaifunkcijekriterijuma primarnog modela LP:57 Na osnovu dualnog modela moe se formirati proireni simplex dualni model ili tzv. duplex sa jednainama ogranienja: i dualnom funkcijom kriterijuma: Prethodni model je rjeavan iterativno simplex metodom. Optimalno rjeenje se moe oitati u posljednjojiteracionojtabelimaxST-3,gdjesenalazesvarjeenjaoptimalnihvektoraX*, odnosnoY*,kaoiekstremnefunkcijekriterijumaminF(X)imaxu(Y).Utomsmislu dobijamo rjeenje primarnog modela: /kom/ pri tome je:minF(X) = F(X*) = 2965/22~134,773 /nj/,irjeenje dualnog modela: /kom/. odnosno:max u(Y) = u(Y*) = 2965/22~134,773 /nj/. Moe se provjeriti da su traene vrijednosti primarne i dualne funkcije kriterijuma izjednaene, tj: minF(X) = max u(Y). Tok postupaka proraunavanja dat je iterativnim tabelama od (T-24) do (T-27). 58 59 60 Transportni problem Uvod u transportni zadatak Transportni zadatak jeste specijalan sluaj opteg zadatka linearnog programiranja. Danas ova oblastpripadaoperacionimistraivanjima,sakarakteristikomintenzivnograzvojauperiodu od posljednjih pet decenija. Pojava teorijskih razmatranja zadataka najboljeg transporta vezuje sezatridesetegodineovogavijeka(1939.),kadajeruskimatematiarKantoroviprvi definisaotransportniproblem(TP),salinearnimplanomdistribucijeresursa.Meutim, ameriki matematiar Hikok (Hitchcock, L.F.) par godina kasnije (1941.) oblikuje model TP i rjeava ga, pa je nauni svijet prihvatio ovaj model transportnog zadatka kao model Hikoka ioznaavagakaoznaajandatumrazvojanaukeomatematikomprogramiranju.Kasnije razvijeni modeli TP, proizali su iz metodologije linearnog programiranja, ali se njihov razvoj baziraonanovootkrivenim,znatnojednostavnijimalgoritmimanegotosutoalgoritmiLP. TomesudoprinijeliisamiautoriizvornihmetodaLP,uviajuipotrebuzaefikasnijim, specijalnimmetodama,ijajebrzinakonvergencijekaoptimalnomrjeenjuveanegokod veklasinihmetoda,kakvajenpr.simplex.Dancig1951.god.objavljujerjeenjeTP zasnovanonametodisimplexmnoitelja.Uperioduprvepolovinepedesetihgodina objavljujusenoviradoviVogela(Vogel),Takera(Tucker),Barcova(Burcov)ukojimase definiurazliitemodifikacijetransportnogzadatka.MetodaarlsaiKupera(Charls& Cooper)nastaje1953.god.,idanasjepoznatakaometodaskakanjaskamenanakamen (SteppingStoneMethod).NarednegodineHendersoniStejfer(Handerson&Stajfer) objavljujupoboljanuverzijuovepopularnemetode.Metoduoptimalnogtransporta prezentovanuuovompoglavljuautorizovaojeFerguson(Ferguson)1955.god.kao modifikovano-diferencijalnumetodu,iliskraenoMo-Dimetodu.FordiFulkerson(Ford& Fulkerson) su 1956. god. objavili metodu koja je esto zastupljena u literaturi o operacionim istraivanjima kao metoda Forda i Fulkersona. Trendovi razvoja i primjene metoda transporta sunastavljeniiunarednimdecenijama,uzsveveuaplikacijukompjuterskihprogramasa algoritmima najefikasnijih metoda koje su u pomenutom periodu nastale. Opti model transportnog problema U transportnom problemu (zadatku) linearnog programiranja, najee se bavimo problemom minimizacijeukupnihtrokovatransporta:resursa,putnika,energije,informacijeisl.,kojiu realnim uslovima mogupredstavljati veliki izdatak za odreen ekonomski sistem. Osnovnim modelom TP se pretpostavlja da je koliina resursa koju treba transportovati odreena i da je po svojoj prirodi jednorodna (homogena). Dakle, poznata su: izvorita (magacini, skladita) sa odreenom koliinom resursa koju treba distribuirati do poznatih ponora (odredita, primalac, prodavniceisl.).Pritomesepostavljakriterijumminimizacijeukupnihtrokova,takodase time postigne najbolje izvrenje distribucije sa strategijom: od kojeg izvorita i sa koliko robe trebarasporedititransportpotransportnimputevimasvedoponora,podnajpovoljnijim ekonomskim uslovima? Obino su, ovim modelom, poznate specifine cijene transporta i one predstavljajuekvivalentzaduinutransportnogputa.Utomsmislu,obiljeimoizvoritasa: I1,I2,...,Ii,...,Im,takodaonasadrerespektivno:a1,a2,...,ai,...,amkoliineresursaza transport.Pritomesu:|1,|2,...,|j,...,|nkvantumi(kapaciteti)resursazatransportkoji pritiuizmjestaizvoraumjestoprijema:P1,P2,...,Pj,...,Pn poredu.Oznaimo(Sl.27) jedinine trokove resursa sa cij i koliine resursa sa xij = ? koju treba transportovati od mjesta Iido mjesta Pj. 61 I1 I2 Ii In-1 In P1 P2 Pj Pn-1 Pn ci1 xi1 ci2 xi2 cij xij cin-1 xin-1 cin xin izvoriprijem Sl 27. ematski prikaz transportnog zadatka Funkcijaciljasastojiseuodreivanjuoptimalnekoliinedistribucijexij,poduslovomda ukupnitrokovibuduminimizirani(ilimaksimizirani).ematskiprikaztransportamoese modelirati tabelarno na sljedei nain. (T-28) Naosnovutabelarnogprikazapodatakamoeseoblikovatifunkcijakriterijuma,npr.tipa minimuma, kao zbir funkcija trokova na svim relacijama: Prethodni model funkcije trokova e se krae formulisati u obliku: Dakle, t