linearni regresioni modeli u nansijama · pdf file nastanak regresije antropologu rensisf...

Click here to load reader

Post on 11-Feb-2020

2 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Univerzitet u Ni²u

    Prirodno - matemati£ki fakultet

    Departman za matematiku

    Linearni regresioni modeli u �nansijama

    Master rad

    Mentor:

    dr Aleksandar Nasti¢

    Student:

    Aleksandra Cvetanovi¢

    Ni², 2015.

  • Sadrºaj

    1 Uvod 5

    2 Osnovni pojmovi 7 2.1 Ocena maksimalne verodostojnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Ocena najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Intervalno ocenjivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Testovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Osobine nenegativno de�nitne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Analiza glavnih komponenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7 Prinosi aktive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8 Prinosi portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 Linearna regresija sa jednom nezavisnom promenljivom 15 3.1 Statisti£ka veza izmeu dve promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Regresioni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3.2.1 Normalni regresioni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Zna£enje regresionih parametara . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.3 Ocenjivanje regresione funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Ocene najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.2 Osobine ocena najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.3 Ocena parametara metodom maksimalne

    verodostojnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.4 Ocenjena regresiona funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.5 Reziduali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.6 Osobine �tovane regresione linije . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.4 Sume kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5 Intervali poverenja za parametre

    normalne regresije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6 Testiranje parametra β1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7 Prost regresioni model u obliku matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.7.1 Regresioni koe�cijenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.2 Fitovane vrednosti i reziduali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.7.3 Sume kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.8 Dodatak: Kori²¢enje Microsoft Excel-a za prostu linearnu regresiju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3

  • SADRAJ 4

    4 Vi²estruki regresioni modeli 47 4.1 Model prvog reda sa dve nezavisne

    neslu£ajne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Zna£enje regresionih koe�cijenata . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.2 Model prvog reda sa vi²e od dve nezavisne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.3 Op²ti linearni regresioni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Op²ti linearni regresioni model u matri£nom

    obliku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5 Regresioni koe�cijenti vi²estrukog

    regresionog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6 Komentari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7 Uop²tene ocene najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.8 Primer vi²estruke regresije sa dve nezavisne

    promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5 Osnovni investicioni modeli 57 5.1 Markoviceva portfolio teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.1.1 Ponderi portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.2 Oblast realizacije i e�kasna granica . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1.3 Izra£unavanja e�kasnih portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.2 Model procenjivanja kapitalnih ulaganja . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.1 arpov koli£nik i linija trºi²ta kapitala . . . . . . . . . . . . . 65 5.2.2 Beta i trºi²na linija hartija od vrednosti . . . . . . . . . . . . 65 5.2.3 Implikacije ulaganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.4 Ocenjivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.5 Empirijska istraºivanja CAPM-a . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.3 Vi²efaktorski modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.1 Teorija arbitraºnog vrednovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.2 Analiza faktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3.3 Pristup: Analiza glavnih komponenata . . . . . . . . . . . . . 73 5.3.4 Fama-Fren£ trofaktorski model . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    Literatura 75

    Biogra�ja 77

  • Uvod 5

    Glava 1

    Uvod

    Regresiona analiza je statisti£ki metod koji koristi vezu izmeu dve ili vi²e pro- menljivih veli£ina, tako da se jedna promenljiva moºe predvideti iz druge promen- ljive, ili drugih promenljivih. Pod vezom izmeu promenljivih smatra se da je re£ o statisti£koj vezi.

    Regresiona analiza podataka se toliko proºima u savremenom poslovanju da je lako sagledati £injenicu da je metodologija stara 130 godina. Nau£nici pripisuju nastanak regresije antropologu Frensis Galtonu1. Galton je 1885. godine uveo opis regresije, prou£avanjem prirodne selekcije i nasleivanja. U regresionoj analizi je od interesa jedna veli£ina: zavisna promenljiva. Ostale veli£ine se uzimaju za obja²nja- vaju¢e promenljive ili tzv. nezavisne promenljive. Cilj regresione analize je odrediti, pomo¢u promena obja²njavaju¢ih promenljivih, kako se menja zavisna promenljiva.

    Regresija ima ²iroku primenu u mnogim naukama, a u ovom radu posmatra¢emo njenu primenu u �nansijama, zato se nadalje bavimo samo linearnom regresijom sa neslu£ajnim obja²njavaju¢im (nezavisnim) promenljivama. Rad je sastavljen od pet celina.

    Osnovni pojmovi iz �nansija, multivarijacione analize, verovatno¢e i statistike, koji se primenjuju u ovom radu su uvedeni u slede¢oj, drugoj glavi. Prikazani su metodi ocenjivanja, zatim testovi, kao i prinosi aktive i portfolija. Navedene su neke osobine nenegativno de�nitne matrice i opisana analiza glavnih komponenata.

    U tre¢oj glavi se razmatra linearna regresija u slu£aju samo jedne obja²njavaju¢e promenljive, zato je poznata i kao �prosta� linearna regresija. Opisuje se statisti£ka veza izmeu dve promenljive, regresioni model i normalni regresioni model. Govori se o zna£enju regresionih parametara, a potom i o ocenjivanju. U praksi je zbog velikog broja podataka lak²e raditi sa matricama, te je predstavljen prost regresioni model u obliku matrice zajedno sa ocenjivanjem nepoznatih parametara. U dodatku ove glave obja²njeno je kori²¢enje Microsoft Excel-a za prostu linearnu regresiju.

    1Francis Galton (1822-1911), engleski antropolog i polimat.

  • Uvod 6

    Analiza vi²estruke regresije je jedna od naj£e²¢e kori²¢enih statisti£kih alata. etvrta glava, po£inje diskusijom o raznovrsnim vi²estrukim regresionim modelima, zatim je predstavljen op²ti statisti£ki rezultat za vi²estruku regresiju u matri£nom obliku. Po²to su rezultati dobijeni za prostu regresiju u obliku matrice sli£ni, navode se bez posebnih obrazlaganja za slu£aj vi²estruke regresije. Na kraju ove glave je predstavljena op²ta ocena najmanjih kvadrata vi²estruke regresije u obliku matrice i primer vi²estruke regresije pri posmatranju dveju nezavisnih promenljivih.

    U petoj glavi je glavna tema: kvantitativne �nansije i to teorija portfolija i in- vesticioni modeli koji se zasnivaju na linearnoj regresiji, za ²ta su Hari Markovic2

    i Vilijem arp3 nagraeni Nobelovom nagradom u ekonomiji. Posebno se poklanja paºnja CAPM-u i vi²efaktorskim modelima. Govori se i o statisti£kim problemima i opisuju razni statisti£ki pristupi.

    Zahvaljujem se mentoru, dr Aleksandru Nasti¢u, na podr²ci i pomo¢i pri izradi ovog rada.

    2Harry Max Markowitz (1927- ), ameri£ki �nansijski ekonomista. 3William Sharpe (1934- ), ameri£ki ekonomista.

  • Osnovni pojmovi 7

    Glava 2

    Osnovni pojmovi

    Populacija je skup elemenata £ija se zajedni£ka svojstva izu£avaju statisti£kim metodima.

    Obeleºje je zajedni£ko svojstvo elemenata posmatrane populacije. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeleºje. Uzorak sa ponavljanjem je uzorak u kojem isti element populacije moºe biti

    izabran vi²e puta. Statistika je funkcija od uzorka i poznatih konstanti. Ocena θ̂ parametra θ je nepristrasna ako je E(θ̂) = θ. Ocena θ̂ parametra θ je ocena minimalne disperzije za θ, ako za bilo koju drugu

    ocenu θ∗ je D(θ̂) ≤ D(θ∗). Ocena je najbolja ocena parametra θ ako je nepristrasna ocena za θ i ocena mi-

    nimalne disperzije za θ.

    Neka su A i B dva dogaaja. Tada vaºi:

    P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), (2.1)

    P (A) = 1− P (A), (2.2)

    P (A ∪B) = P (A ∩B). (2.3)

    2.1 Ocena maksimalne verodostojnosti

    Metod maksimalne verodostojnosti je op²ti metod nalaºenja ocena. Pretposta- vimo da imamo uzora£ku populaciju £ija gustina raspodele f(y; θ) uklju£uje jedan parametar θ. Zajedni£ka gustina raspodele nezavisnih opservacija Y1, Y2, . . . , Yn je

    gθ(y1, y2, . . . , yn) = n∏ i=1

    f(yi; θ), gde je f marginalna gustina.

    Ako zajedni£ku gustinu raspodele posmatramo kao funkci