linearnaaa (1) (1).pdf
TRANSCRIPT
-
6.2 V U e K. F:VU ( ) 1.(, ) ( + ) = () + () 2.( )( ) () = () , F:VU . =0 (2) F(0)=0, . , , (1) (2) : ( + ) = () + () = () +(). 11+22+) = 1(1)+. . +(). : Ako ( + ) = () + () , , (1) (2) . : F:VU V U. 6.2: V U . {1. . } e V 1, 2, U. F:VU (1) =1, (2) = 2 , () = . F:VU. = 1=.. = 1 = 1 =. . = 0 = 1 , () = 0 +. .+0 1 + 1 + 0 +1+. .0 = 1 . F . =11+22+. . + = 11+. .+. + = (1+1)1 + (2+2)2+. .+(+) , ( + ) = (1+1)1+. .+(+) =(11+. .+) + (11+. .+) = () +(). , () =
((11+. .+)) = (11+. .+) =(1)1+. .+() = (11+. .+) =(). F . : . () = = 1,2,3. . =11+. .+ , () =(11+22+. .+) = 1(1)+. . +() =11+22+. .+ = (). () = () , = . : 1, . . .
6.3
: F:VU . () U . ={ = () }. (ker) e V 0 , . ker = { : () = 0}. 6.3: F:VU .. U ker V. : F(0)=0, 0 . ,
, , . , , , , . () = ( ,) =,. ( + ,) = () + ( ,) = +, . U. F(0)=0, 0 ker. , ker , . , ker , () = () = 0 ( + ) = () + () = 0 + 0 = 0 + ker ker V. 6.4: V e . F:VU .. = dim (ker) +dim () : dim V=n. W = ker =
,. W = r n , = n r. {1, . . } e : {1, . . , 1, . . }. ={(1), (2), . . ()}. B , = .
,. () = .
{} V , =+. .+ + +. .+ . () = : =() = (+. .+ + +. .+) =() + () + ()+. . +() =()+. . +() B
,. B . 1(1)+2(2)+. . +() = 0 =>(11+. . +) = 0 11+. .+ ker = W. 1 , . 11+. . + = 11+. .+ , 11+. . + = 1. . = 0 { , } V 1 =. .= = 0. B e . F:VU .. F , F ker. =(F)+(F). . . ., .
6.5
- . .:
, . () = 0 0. () = 0 =0, .. = {0}. 6.5. : . : .. : . () = 0 = 0 (0) = 0. . .. : . () = () ( ) =0. = 0, . = . . : .
m n .
111 + 122 + + 1 = 1 211 + 222 + + 2 = 2 11 + 22 + + =
= . : . = .. : . = 0 , : . 6.4 dim() = dim() = (). n = 0. 5.11 5. 5.11 W = 0 n-r n , r A.
6.6
: : .
+ V U ( + )() = () + () . : ()() = () . + . , , ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) =() + () + () + () = (() +
()) + (() + ()) = ( + )() +( + )() ()( + ) = ( + ) =(() + () ) = () + () =()() + ()() + .
6.6. V U . V U . . 1.
, ,: .. (( + ) + )() =
( + )() + () = (() + ()) + () =
() + (() + ()) = () + ( + )() =
( + ( + ))()
A2. : . ( + )() = () + () =() , + = 3. .. : : () = (). G e ( + )() =() + () = () + (()) = 0 + = 0.
A4. .. , : ( + )() = () +() = () + () = ( + )() + = +. 1. , : . (( + ))() = ( + )() = (() + ()) =
() + () ( + ) = + . 2. , : .. (( +
))() = ( + )() = (()) + (()) =()() + ()() = ( + )() ( + ) = + . .3. , : .. (())() = ()() = ((()) =
(()()) = (())() () = (). 4. 1 : .. (1 )() = 1 () = () 1 = . : .6.6. Hom(V,U). Hom .
6,7. = = . (, ) = . . {,, , } V {, , , } U. 6.2. ..
(,) U
V. (,) = 1,2, , =1, , . () = () =
0 . {} mn . {} Hom(V,U). {}
(V,U): (, ). (1) = 1, (2) = 2, , (1) = . 1 , 2, , (1) = 11 + + , = 1,2, ,, .
= =1
=1
1, 2, , . (
=1
=1 )() =
=1
=1 () =
= ()=1 () ( + ) = +
. 2. , : .. (( +
))() = ( + )() = (()) + (()) =()() + ()() = ( + )() ( + ) = + . .3. , : .. (())() = ()() = ((()) =
(()()) = (())() () = ().
4. 1 : .. (1 )() = 1 () = () 1 = .
: .6.6. Hom(V,U). Hom . 6,7. = = . (, ) = . . {,, , } V {, , , } U. 6.2. .. (,) U V. (,) = 1,2, , =
1, , . () = () =0 . {} mn .
{} Hom(V,U). {}
(V,U): (, ). (1) = 1, (2) = 2, , (1) = . 1 , 2, , (1) = 11 + + , = 1,2, ,, .
= =1
=1
1, 2, , . (
=1
=1 )() =
=1
=1 () =
= ()=1 1
F= =1
=1 {} Hom(V,U).
-
. .
=1
=1 = 0. 0 =
( =1
=1 )() = .
=1
1, 2, , = 0 =
1,2, , = 1, ,. {} . , , : : .. : . -. ..
6,8. , , . , , : , , , : . 1) ( + ) = + 2) ( + ) = + 3)( ) = () = () 1) ( ( + ))() = (( + )()) = (() +
()) = (()) + (()) = ( )() +( )() = ( + )() 2) ) (( + ^ ) )() = ( + ^ )(() ) =(() ) + ^ (() ) = ( )() + (^ )() = ( + ^ )() 3) )
(( ))() = (( )()) = ((())) =
()(()) = (() )() (( ))() =
(( )()) = ((())) = (()) =
( ())()
6.7.
.
: . . () (, ) .
= , () 2. , () (). . 1) ( + ) = + 2) ( + ) = + 3) () = () = () , , , . .
. : () (), | = | = . 2 =, 3 = , . () = 0 + 1
2 + +
, () () = 0 + 1
1 + 22 + +
. () (). . 81-86
6.8. : .. 81-86
1 ( )T A V 1 1TT T T I .
1T
. ,
ibilen O V
O V .
.. ker 0T . , V , . 6.4.
dim dim(Im ) dim(ker )
dim(Im ) 0 dimIm
V T T
T T
ImV T , , .
.6.4.
:T V V .
: . ,
2 1
0 1 0 1( ... ) ...n n
n nT a a x a x a x a x a x
, , . ,
1 ... nx x .
6.9.
AX B n n . ,
0AX 0X . 6.9.
: n nA K K . AX B
nB K .
() .. 0AX . .
nB K AX b . ,
, .
.6.10.
11 1 12 2 1 1...
n na x a x a x b
21 1 22 2 2 2...
n na x a x a x b
...
1 1 2 2...
n n nn n na x a x a x b
i) ,
b
.
ii) , :
- ib b
,
- , .
1,..., ne e V
1 1 2 2...
n nv a e a e a e .
v
ie
1
2e
n
a
v a
a
( 2a na 3
"..." xD)
e
v v
V nK ,
ie .
( )A V V n- ,
ie . :F V U .
7.1.
V 1,..., ne e
V. 1( ),.... ( )
nT e T e V
1 11 1 12 2 1( ) ...
n nT e a e a e a e
2 21 1 22 2 2( ) ...
n nT e a e a e a e
...
1 1 2 2( ) ...
n n n nn nT e a e a e a e ,
ija . n-
. : Transponiranata
T e T
ie , ie .
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
T a a ae
a a a
7.1. 1,..., ne e V V.
v V ,
( )T v T ve e e
-
:
1 1 2 2
1
( ) ...n
i i i in n ij j
i
T e a e a e a e a e
,
1 i n . T e n- j-
2, ,...,ij j nja a a (1)
1 1 2 2
1
...n
n n i i
i
v k e k e a e k e
.
1
2 1 2
T
n
n
k
v k k k ke
k
(2).
1 1
1 1 1 1
...1 1 2 21
n nT v T k e k T e
i i i ii i
n n n nk a e a k ei ij j ij i ji j j i
na k a k a k ennj jj jj
T ve
j-
...1 1 2 2
a k a k a knnjj j .
, j- T ve e
- T e
v e .. (1) (2) (3).
7.1. ,
( )T v .
7.2. 1,..., ne e V n- .
T T e . (V) .
, ( )S T A V k K ,
T S T Se e e
kT k Te e .
: T T e . i=1,2,..., n ,
1
nT e a ei ij jj
1
nS e b ei ij jj
. B
A aij
B bij .
tT Ae tS B
e .
( )1
nT S ei T e S e a b ei i ij ij ijj
, 1 i n
+B a bij ij ,
t t
e etT S A B A B T S
e
i=1,..,n
1 1
n nkT e kT e k a e ka ei i ij j ij jj j
. kaij
t t
e ekT kA kA k T
7.3. 1,..., ne e V.
, ( )S T A V e e eST S T .
: 1
nT e a ei ij jj
,
1
jk k
nS e b ei
k
, B
A aij
B bjk . tT Ae
tS Be .
1
1 1 1
11 1
nST e S T e S a e
i i ij jj
n n na S e a b eij j ij jk kj j k
n n na b e c eij jk k ik kjk k
ik
c AB.
t
t te e e
ST AB B A S T
7.2
. ? :
: 1,...,ene V
1,..., nf f .
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
f a e a e a e
f a e a e a e
f a e a e a e
P
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
P a a a
a a a
( ) {ei} {fi}.
P , P-1 {fi} {ei}.
7.4 P {ei} {fi} V. , v V, P[v]f=[v]e. [v]f=P-1[v]e. :
1 1 2 2
1
...i i i in nn
ij j
j
f a e a e a e
a e
1 i n. P n- j-
1 2, ,...j j nja a a .
1 1 2 2
1
...n
n n i i
i
v k f k f k f k f
, 1 2, ,...,t
nfv k k k .
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ... )n n n n n n
i i i ij j ij i j j j nj n j
i i j j i j
v k f k a e a k e a k a k a k e
. [v]e -
1 1 2 2 ...j j nj na k a k a k . , j- P[v]f j- P [v]f . (1) (2), (3). P[v]f [v]e , P[v]f=[v]e. || dim V=3. P {e1,e2,e3} {f1,f2,f3},
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
3 1 1 2 2 3 3
f a e a e a e
f b e b e b e
f c e c e c e
-
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
P a b c
a b c
.
v V
1 1 2 2 3 3v k f k f k f .
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
3 1 1 2 2 3 3
1 1 1 2 1 3 1
2 1 2 2 2 3 2
3 1 3 2 3 3 3
( )
( )
(c )
v k a e a e a e
k b e b e b e
k e c e c e
a k b k c k e
a k b k c k e
a k b k c k e
1
2
3
f
k
v k
k
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
e
a k b k c k
v a k b k c k
a k b k c k
,
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
f
e
a b c k
P v a b c k
a b c k
a k b k c k
a k b k c k v
a k b k c k
.
1 1e f f f
P v P P v I v v .
7.5 P {ei} {fi} V. T V, [T]f=P-1[T]eP. : v V,
1 1
1
e ee f
e f
P T P v P T v
P T v T v
, f f f
T v T v ,
1e f f f
P T P v T v .
f
v v
Kn
1e f
P T PX T X
nX K .
1e f
P T P T . ||
7.3 A B P B=P-1AP. B A A . . 7.5 :
7.6 A B T . ||
, T . {ei} . {ei} T.
7.7
A T. T P P-1AP . . 7.7, T . . f R. f(A)=f(B) A B . f(T)=f([T]) {ei} .
7.4
. V U K dimV=3 dimU=n. {e1,em} {f1,fn} V U .
F:V U .
F(e1),., F(em) U fi.
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ...
( ) ...
...
( ) ...
n n
n n
m m m mn n
F e a f a f a f
F e a f a f a f
F e a f a f a f
. [F]ef F {ei} {fi} {ei} {fi}.
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ...
...
m
f m
e
n n mn
a a a
a a aF
a a a
:
7.8
v V ,
f
e e fF v F v
, , v
{ei} f
eF
F(b) {fi}.
7.9
f
eF F
Hom(V,U) nxm K. ,
, ( , )F G Hom V U F,G
k K
f f f
e e eF G F G
f f
e ekF k F
: nxm A K Km Kn
v Av . V U K m n , {ei} e V {fi} e U. 7.9 A F:V-
>U ( )f e
F v A v .
V U , A V U.
7.10
{ei}, {fi} i {gi} V, U i W . F:V->U i G:U->W , :
g g f
e f eG F G F ||
, , .
F V U .
7.11 P {ei} {ei`} V , Q {fi} {fi`} U.
F V U ,
' 1
'
f f
e eF Q F P
1f f
e eF Q F
U ,
'f f
e eF F P
V. .
. :F V U F=r. V U F
0
0 0
IA
I . F.
-
. dimA=m dimU=n. W
od F a 'U F. F e r ,
kerF m-r . {
1,....,
m rw w } kerF
V : {
1 1,..., , ,...,
r m rv v w w }
1 1 2 2( ), ( ),..., ( )
r ru F v u F v u F v
. {1,...,
rv v }
U
{1 1,..., , ,...,
r r r nu u u u } .
1 1 1 2( ) 1 0 ,..., 0 ... 0
r nF v u u u u u
2 2 1 2( ) 0 1 ... 0 .... 0
r nF v u u u u u
- - - - - - - - -
1 2 1( ) 0 0 ... 1 0 .... 0
r r r r nF v u u u u u u
1 1 2 1( ) 0 0 0 ... 0 0 ... 0
r r nF w u u u u u
1 1( ) 0 0 ... 0 0 ... 0
m n r r nF w u u u u
F .
VIII
detA A . . . . .
8.1. .
{1,2,,n}{1,2,,n} .
( ) ,(1 )i
c j i n :
1 2
1,2...
, ,...n
n
j j j
1,2,...,n .
n n!=1 2 ... n ,
n
S S 1
nS , ,
nS
nS .
1
nb b S ,nS
.
1 2
, , ,...,n n
S j j j (i,k) i>k I k .
:
1sgn
1
8.2. n-
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nk
a a a
a a aA
a a a
n .
1 21 2, ,...,
ni i nia a a
. ,
n
S . n . n! . . n-
( )ijA a n! detA
A .
1
(1) ( )
1
1
det (sgn ), ,...,
det (sgn ), ,...,
n
n
n
j nj
n
S
A a a
A a a
: n- n- :
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nk
a a a
a a a
a a a
.
,
.
8.3 A
. 8.1
AT
. detA = det AT
.
=(ij
a ). AT = ( ij
b )
ijb = ij
a
det AT =(sgn ) ....
1 (1) 2 (2) ( )b b b
n nSn
=
(sgn ) ....1 (1) 2 (2) ( )
a a an nSn
1 . ,
1 , .
1sgn sgn . ( =
=
=
= )
.... ...(1)1 (2)2 ( ) 1 2
1 2a a a a a a
n n k k nkn .
, ...1 2
k k kn
( ) 1, ( ) 2... ( )1 2
k k k nn
, ...1 2
k k kn
1 . det AT =(sgn ) ....
1 (1) 2 (2) ( )a a a
n nSn
Sn
Sn
sgn sgn
det AT
(sgn ) ....1 (1) 2 (2) ( )
a a an nSn
=
det A . .
8.2 . 1) ( ) det A =0 ( ) 2) () det =0 3) , . , det A . det I = A I .
1) det A . det A=0. 2) . () , detB=-detA. .
8.1 .
. =( aij
) =( bij
)
-
bij
= ai j .
....
(1)1 (2)2 ( )b b b
n n =
....1 (1) 2 (2) ( )
a a an n
detB=
(sgn ) ....1 (1) 2 (2) ( )
bb bn nSn
=
....1 (1) 2 (2) ( )
a a an n
sgn sgn sgn sgn
det (sgn ) ....1 (1) ( )
(sgn ) ... det1 (1) ( )
B a an nSn
a a An nSn
(ii). 1+1 0 , det , . detA=-detA detA=0 ( 1+1
0) 1+1=0 .
sgn ( -1=1) Sn . . +=0 , detA=0.
3) A=( )aij
, aij
=0 i
-
det1
...2 2
nA a A
ij iji
a A a A a Aij ij nj njj j
: detA i- (ai1, ai2, , ain ) . detA= ai1 Ai1*+ai2 Ai2*++ainAin* , Aij
* i- . Aijj*=Aij, .. Aij*=(-1)i+jdetMij. i=j=n.
mnAmn*= ()1(1)2(2) 1(1) ,
, () =. 1 {1,2, , 1}. Ann*=detMnn=(-1)n+ndetMnn.
i j . i- i- n- . j- n- . detMij , ( (n-i)+(n-j)) detA . n-i+n-i . Aij*=(-1)n-i+n-idetM=(-1)i+jdetMij. detA i- j- 8.7. (). , .
8.5. n- K.
= [
11 21 112 22 21 2
]
adjA .
, = [
11 21 112 22 21 2
]
8.8. , (adjA)=(adjA)A=(detA)I, I
. , detA 0, 1 =1
.
: A=(aij) adjA=(bij). i- (ai1,ai2,,ain), a j- adjA e (aj1,aj2,,ajn). bij, ij- AadjA, bij=ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn i=j, 8.7. bij=detA. i bij=0. , ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn j- i- . 0 i- j- . bij=0, =
{ = 0
, adjA=(detA)A.
(adjA)A=(detA)I. : .
8.6.
n n :
111 + 122 + + 1 = 1211 + 222 + + 2 = 211 + 22 + + =
A=(aij).
i- (b1,,bn)t. . 8.9.
0.
1 =1
, 2 =
2
, , =
.
: Ax=b , = 0.
0. 1 =1
.
Ax=b A-1
= 1 =1
() (1)
, i- 1
1
(1 , 2 , , ).
b=(1 , , ) (1) =
1
(11 +
22 + + ) (11 + 22 + + ) ( i- ) i- (1 , , )
. 11 + 22 + +
= , =
.
.
= 0 , . 8.10. Ax=0 = = 0. : Ax=0 , = 0.
8.7.
8.11. . detA=detB. : =-1, detB=det(P-1)detAdetP.
detP-1detP=det(P-1P)=detI=1, detB=detA. .. .. V. detT=det.[], [] {}. 8.11. detT detT {.}. 8.12. S T V. :
1) det(ST)=det(S)det(T) 2) T e
detT 0 : 1) det(ST)=det[] =([][])=det([])det([])=det(S)det(T
2)T e [] det[] 0 det(T) 0.
det(1v)=1 (1v e ) det(T-1)=1/det(T), .
8.8.
n- . n- .. A=(A1,A2,,An), =(Kn)n.
: D:AK , ..
1) Ai e +, D(A)=D(,B+C,)=D(,B,)+D(,C,
2) i , D(A)=D(,B,)=D(,,...)
: D:AK D(A)=0 , .. D(A1,,An)=0 Ai=Aj
ij. . 8.13.
D:AK : 1) D 2) D 3) D(I)=1
D
, , D(A)=detA. : D(A)=detA 1),2),3). det 2) 3), 1). Ai=Bi+Ci Bi=(b1,,bn) Ci=(c1,,cn) .. ai1=b1+c1, ai2=b2+c2,, ain=bn+cn. i- , detA=det(A1,,Bi+Ci,,An)= ai1 Ai1+ai2 Ai2++ainAin = =(b1+c1) Ai1+(b2+c2) Ai2++(bn+cn)Ain = (b1 Ai1+b2 Ai2++bnAin)+ (c1 Ai1+c2 Ai2++cnAin) =det(A1,,Bi,,An)+ det (A1,,Ci,,An). D 1),2) 3). { 1, , } Kn, 3)
D(, 2 , )=D(I)=1. (1i)
D(, , )=sgn =12 .(1) =(ij) n- (1),1) 2) D(A)=D(a11e1+a12e2++a1nen,a21e1+a22e2++a2nen,,an1e1+an2,e2++annen)
1 21 2 21
1 21 2 1 2
i i ni ii n ni
i i ni i in i n
D( a e ,a e ,...,a e )
(a ,a ,...,a )D( e ,e ,...,e )
kade sumiraweto se br{i po site nizi
1 2 ni ,i ,...,i za
1 2ki { , ,...,n } . Ako dva od ovie indeksi se ednakvi , pr.
j ki i , j k toga{ od (ii) imame
1 20
i ii nD( e ,e ,...,e )
Zatoa sumiraweto vo (2) se vr{i po site permutacii
1 2 ni ,i ,...,i Od (1) =>
1 21 2i i ninD( A) ( a ,a ,...,a )(sgn )
det A
9.1 Polinomi od matrici i linearni
operatori Neka
1 0
n
nf ( x ) a t ... a t a
e polinom so koeficienti vo K. Ako A e kavdratna matrica nad K , definirame
1 0
n
nf ( A) a A ... a A a I
Pritoa A e koren ili nuala na polinomot
f ako 0f ( A) .
Teorema9.1. Neka g i f se polinomi nad K i neka A e n kvadratna matrica nad K. Toga{
i ) ( f g )( A) f ( A) g( A)
ii )( f g )( A) f ( A) g( A)
i za proizvolen scalar k K
iii )( k f )( A) k f ( A) Osven toa bidej}i
f ( t ) g( t ) g( t ) f ( t ) dobivame
f ( A) g( A) g( A) f ( A) odnosno sekoi dva polinoma po A komutiraat me|u sebe. Dokaz: Neka
1 0
n
nf a t ... a t a i
1 0
m
mg( t ) b t ... b t b
i ) Neka m n i neka 0ib za i m Toga{
1 1 0 0
n
n n
f g
( a b )t ... ( a b )t ( a b )
-
1 1 0 0
1 0 1 0
n
n n
n n
n n
( f g )
( a b )A ... ( a b )A ( a b )I
a A ... a A a I b A ... b A b I
f ( A ) g( A )
0
1 0
n mk
k
k
n m
n m
ii ) f ( t )g( t ) c t
c t ... c t c
kade
0 1 1 0k k k kc a b a b ... a b
Zatoa
0 0 0 0 0
n m n m n mk i j i j
k j j i j
k i j i j
( fg )( A )
c A a b A a A b A
f ( A )g( A )
iii ) Po definicija
1 0
n
nkf ka t ... ka t ka
pa zatoa
1 0
1 0
n
n
n
n
( kf )( A ) ka A ... ka A ka I
k( a A ... a A a I ) kf ( A )
Neka sega T :V V e linearen
operator na vektorskiot proctor V nad
poleto K . Ako
1 0
n
nf ( t ) a t ... a t a toga{
definirame f (T ) so
1 0
n
nf (T ) a T ... a T a I
kede I e edine~noto preslikuvawe. T go vikame nula(koren) na f (T ) ako
f (T ) =0. Pritoa va`i teorema 9.1 vo slu~aj ako namesto matricata A zememe operator T. Zatoa pri izbrani dva polinoma po T komutiraat. Osven toa ako A e matri~na reprezentacija
na T toga{ f ( A) e matri~na
reprezentacija na f (T ) . Specijalno
f (T ) =0 akko f ( A) =0. 9.2.Sopstveni vrednosti i sopstveni
vektori
Neka T :V V e linearen operator
na vektorskiot proctor V nad poleto K
.Skalarot K go narekuvame sopstvena vrednost (ili karakteristi~na vrednost) na T ako postoi nenulti vektor
v V taka {to T( v ) v . Sekoj vektor v {to go zadovoluva ova ravenstvo se narekuva sopstven vektor (ili karakteristi~en vektor ) na T {to
soodvetstvuva na sopstvenata verednost . Da zabele`ime deka sekoj skalaren
multipl kv e isto taka sopstven vektor
T( kv ) kT( v ) k( v ) ( kv ) Mno`estvoto od site vektori v za koi
va`i T( v ) v e vektorski
podprostor od V nare~en sopstven
podprostor za . Teorema9.2. Neka T :V V e linearen operator na vektorskiot proctor
V nad poleto K . Toga{ K e sopstvena vrednost za T akko operatorot
I T e singularen. Sopstveniot podprostor na e ker od I T . Dokaz: Neka K e sopstvena vrednost za T. Zatoa postoi nenulti vektor za v
taka {to Tv v Iv od kade sleduva deka homogeniot sistem
0( I T )v ima nenulto re{enie
v ( 0v ) a toe povlekuva deka
I T e singularen operator. Obratno, neka I T e sungularen operator. Toa zna~i deka postoi nenulti vektor v taka
{to 0( I T )v odnosno
v T( v ) .Sleduva e sopstvena vrednost. Pritoa sopstveniot potprostor na
e mno`estvoto vektori v taka {to 0( I T )v a toe e vsu{nost
ker( I T ) . Teorema9.3.Nenultite sopstveni vektori {to odgovaraat na razli~ni sopstveni vrednosti se linearno nezavisni.
Dokaz: Neka 1 2 nv ,v ,...,v se nenulti
sopstveni vektori na eden operatot
T :V V {to odgovaraat na razli~ni
sopstveni vrednosti 1 2 n, ,...,
soodvetno. Dokazot deka
1 2 nv ,v ,...,v se linearno nezavisni
e po indukcija na n . Ako n =1 toga{ 1v e
linearno nezavisen bidej}i 1v 0 . Da
pretpostavime deka
1 1 2 20
n na v a v ... a v
(1) od ovde e
1 1 2 20
n nT( a v a v ... a v )
1 1 1 2 2 20
n n na v a v ... a v
(2)
Ako (1) se mno`i so i se odzeme od (2) se dobiva
1 1 1 2 2 2
1 1 10
n n
n n n n
a ( )v a ( )v ...
a ( )v
Prema induktivnata pretpostavka
1 2 1nv ,v ,...,v se linearno
nezavisni vektori pa 1 1 na ( )
=0 ,. . ., 1 1 1n n n na ( )v =0.
Bidej}i
1 1n n n,...,
sleduva deka
1 2 10
na a ... a
.Zamenuvaj}i go toa vo (1) dobivame deka
0n n
a v odnosno
0n
a bidej}i 0nv
Zna~i 1 20
na a ... a
pa vektorite 1 2 nv ,v ,...,v se lin
nezavisni vektori.
9.3. Dijagonalizacija na linearni
operator ii sopstveni vektori
Neka T :V V e linearen operator
na vektorskiot prostor V so kone~na dimenzija. Zabele`uvame deka T mo`e da se pretstavi kako matrica
10 0
0
0
0 0n
k ...
... k
Akko postoi { 1 2 nv ,v ,...,v } vo
V za koja
1 1 1
2 2 2
n n n
T( v ) k v
T( v ) k v
.............
T( v ) k v
Odnosno ako 1 2 nv ,v ,...,v se
sopstveni vektori na T za sopstvenite
vrednosti 1 2 nk ,k ,...,k
Obratno ako V ima baza
1 2 nv ,v ,...,v koi se sopstveni
vektori zaV toga{ vo odnos na taa baza T se dijagonalizira .
Teorema9.4. Eden T :V V linearen operator mo`e da se pretstavi
kako dijagonalna matrica V akko V ima baza {to se sostoi od sopstvenite vektori na T. Vo slu~aj dijagonalnite elementi na V se soodvetnite sopstveni vrednosti . Druga formulacija na teorema9.4
Edna n kvadratna matrica A e sli~na so dijagonalnata matrica V akko A ima nlinearno nezavisni sopstveni vektori.Vo ovoj slu~aj dojagonalnite elemeti na V se soodvetite sopstveni vrednosti .
Vo prethodnata teorema ako P e matrica ~ii koloni se n nezavisni sopstveni
vektori na A, toga{
1B P AP .
-
9.4.Karakteristi~en polinom.
Teorema na Hamilton-Keli
Da razgledame n kvadratna matrica A nad poleto K
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a ... a
A
a a a
Matricata ntI A kade nI e
n kvadratna edine~na matrica se narekuva karakteristi~na matrica na A
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n
n n nn
t a a a
a t a ... a
tI A
a a t a
Nejzinata determinanta
A n( t ) det( tI A) koja e
polinom po t se narekuva karakteristi~en
polinom na A, a 0ndet( tI A) se narekuva karakteristi~na ravenka na A. Oblikot na karakteristi~niot polinom. Dobivame:
11 22
A
nn
( t )
( t a )( t a ) ... ( t a )
+izrazi so najmnogu ( n 2) mno`ieli od
oblik iit a Zatoa
1
11 22
A
n n
nn
( t )
t ( a a ... a )t
+
izrazi od ponizok stepen. Zatoa
A( t ) e moni~en polinom
(koeficient pred najvisokiot stepen e 1)
od n ti red i koeficientot pred 1nt
e tragata na matricata A. Osven toa ako
stavime 0t toga{ 0 1
n
A( ) det( A) ( ) det A
No 0A( ) e slobodniot ~len na
polinomot A( t ) . Zna~i
1 1
A
n n n
( t )
t ( trA )t ... ( ) det A
9.6 n- .
(t) A.
. 9.2 . e det( ) = 0 . (t). 9.3,9.4 9.6 9.7. n-
(t) = ( 1)( 2) ( ) . 1, , n (t), 1, , . 9.8. n- C. . 9.9 .
1B P AP . 1( )tI tP tI P
1det( ) det( )
1 1det( ( ) )
tI B tI P AP
P tI P P AP
1det( ( ) )
1det det( )det det( ).
P tI A P
P tI A P tI A
.
9.5 n- . f(x) f(A)=0. . p,(p)(A)=p(A).(A)=0 . f f(A) ( 1 ). . . - ( ). . p q , . r p-q (r-1)- (p-q)(A)=p(A)-q(A)=0 - 0=0 . . 9.10 m(t) . ,m(t) . : f e f(A)=0. f m(t)
f(t)=q(t)*m(t) +r(t) degr= r. m(t) f(T) . f(T)
f(T)=0 f(A)=0 . . , .