linear programming example 01

Ejemplo 1G. Edgar Mata Ortiz

Programación Lineal: Método Gráfico

Programación Lineal: Ejemplo 1

¿Qué es programación lineal?

Es un método para obtener un resultado óptimo con base en un modelo matemático en el que todas las relaciones entre variables y constantes pueden expresarse linealmente.

Ejemplo 1: Primera Parte

Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.

Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.

M2

M3M1

Ejemplo 1: Segunda Parte

Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3.

La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40. ¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?

Ejemplo 1: Análisis de la Información

Después de una lectura superficial del problema es necesario leerlo nuevamente con mayor atención.

En la segunda lectura trataremos de organizar la información.

En las siguientes diapositivas se emplean colores para visualizar cómo se organizará la información.

Azul: M1 Rojo: M2 Verde: M3


Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.

Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.


Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3.

La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40.

¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?

Ejemplo 1: Segunda parte

Para el planteamiento generalmente se emplea una tabla en la que se sintetizan los datos de modo que sea más fácil visualizar las relaciones entre las variables y las constantes.


Productos o Artículos

Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2

Disponibilidad de recursos

Máquina M1

Máquina M2

Máquina M3

Ganancia

Ejemplo 1: Planteamiento


Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2


Máquina M1 2 1 180

Máquina M2

Máquina M3

Ganancia



Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2


Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3

Ganancia



Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2


Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480

Ganancia



Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2


Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480

Ganancia 50 40



Recursos necesarios

Artículo A1

Artículo A2


Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480

Ganancia 50 40 Maximizar



Recursos necesarios

Artículo A1

xArtículo A2

yDisponibilidad de

recursos

Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480



¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?

Identificaremos mediante incógnitas las cantidades de cada artículo que se debe fabricar

Cantidad de piezas de A1 = xCantidad de piezas de A2 = y



Recursos necesarios

Artículo A1

xArtículo A2

yDisponibilidad de

recursos

Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480


Número de piezas

del artículo A1 que

se van a fabricar

Número de piezas

del artículo A2 que

se van a fabricar

Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades

La suma de los recursos utilizados para fabricar los artículos A1 y A2 no deben ser mayores a los recursos disponibles.

Aplicando una restricción similar en cada máquina, obtendremos las tres desigualdades que constituyen el modelo matemático del problema.

M1: Restricción 1

M2: Restricción 2

M3: Restricción 3


Para la máquina M1, se obtiene la inecuación 1.

𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎


Para la máquina M2, se obtiene la inecuación 2.

1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎


En resumen, las desigualdades son:

𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎

1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎

𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎


Recursos necesarios

Artículo A1

xArtículo A2

yDisponibilidad

de recursos

Máquina M1 2 1 180

Máquina M2 1 1 110

Máquina M3 3 5 480


Ejemplo 1: Trazar las gráficas

Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎

𝒙 = 𝟎, 𝟐 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎

𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎

𝒚 =𝟏𝟖𝟎

𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟏𝟖𝟎)


Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎

y= 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟖𝟎

𝟐𝒙 = 𝟏𝟖𝟎

𝐱 =𝟏𝟖𝟎

𝟐𝐱 = 𝟗𝟎

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟗𝟎, 𝟎)


Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎

𝒙 = 𝟎, 𝟏 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎

𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎

𝒚 =𝟏𝟏𝟎

𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟏𝟏𝟎)


Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎

𝐲 = 𝟎, 𝟏𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟏𝟎

𝟏𝒙 = 𝟏𝟏𝟎

𝐱 =𝟏𝟏𝟎

𝟏𝐱 = 𝟏𝟏𝟎

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)


Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎

𝒙 = 𝟎, 𝟑 𝟎 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎

𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎

𝒚 =𝟒𝟖𝟎

𝟓𝒚 = 𝟗𝟔

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟗𝟔)


Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎

𝐲 = 𝟎, 𝟑𝒙 + 𝟓(𝟎) = 𝟒𝟖𝟎

𝟑𝒙 = 𝟒𝟖𝟎

𝐱 =𝟒𝟖𝟎

𝟑𝐱 = 𝟏𝟔𝟎

𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)


Puntos obtenidos en las tabulaciones

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎𝟎, 𝟏𝟖𝟎(𝟗𝟎, 𝟎)

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟔(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)

Ejemplo 1: Trazar las gráficas𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎: 𝟎, 𝟏𝟖𝟎 − (𝟗𝟎, 𝟎)

Esta es la gráfica de la ecuación.No olvidemos que la desigualdad incluye uno de los dos lados en los que la recta divide al plano cartesiano.


𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎: 𝟎, 𝟏𝟏𝟎 − (𝟏𝟏𝟎, 𝟎)

Para saber cuál lado de la desigualdad pertenece a la solución se toma un punto cualquiera del plano, generalmente el origen, y se sustituye en la desigualdad que se desea resolver.

Ejemplo 1: Gráfica con las tres rectas

Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades

Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0

𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎

El resultado final es verdadero; cero es menor que 180, por lo tanto la gráfica incluye los puntos que están del mismo lado que el origen.




𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎




𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎𝟑 𝟎 + 𝟓 𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎

Ejemplo 1: Gráficas con las 3 desigualdades

La intersección de estas tres áreas recibe el nombre de:“Área de Soluciones factibles”.En la siguiente diapositiva se señala con mayor claridad.

Ejemplo 1: Área de soluciones factibles

Se muestra, sombreada, el área de soluciones factibles.Es posible demostrar que la solución óptima se encuentra en uno de los vértices de dicha área.

Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles

El siguiente paso es determinar las coordenadas de los vértices.Aunque es posible aplicar el método gráfico, es preferible recurrir a algún método analítico.


Generalmente algunos de los vértices se conocen desde las tabulaciones empleadas para graficar.En este caso los vértices A, B y C.


Las coordenadas de los vértices D y E se determinan por cualquier método analítico o del álgebra lineal: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss, Gauss – Jordan, entre muchos otros.

Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles

El siguiente paso es sustituir en la función objetivo las coordenadas de cada vértice del área de soluciones factibles.

Función Objetivo:

Maximizar: z = 50x + 40y

Dado que se desea maximizar la ganancia, el vértice que arroje el mayor valor, será la solución del problema.

Cuando se trata de minimizar costos se elegirá el vértice que arroje el menor valor.


Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia

A(0, 96)

B(0, 0)

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96)

B(0, 0)

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0)

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0)

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0)

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40)

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100

E(35, 75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100

E(35, 75) 35 75



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100

E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75)



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100

E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750



A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840

B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0

C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500

D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100

E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750

Se toma el vértice que maximiza la función objetivo

Solución del Ejemplo 1

La solución, según el modelo empleado consiste en fabricar:

70 piezas del artículo A1

40 piezas del artículo A2

Obteniendo una ganancia de $5,100.

Por su atenciónGracias

Fuentes de información en línea:http://licmata-math.blogspot.mx/http://www.scoop.it/t/mathematics-learninghttps://www.facebook.com/licematahttps://www.linkedin.com/in/licmatahttp://www.slideshare.net/licmataTwitter @licemata

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