Linear Programming Example 01

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<ul><li><p>Linear Programming.</p><p>Gerardo Edgar Mata Ortiz</p></li><li><p>Page 2</p><p>Linear Programming. Example 1.</p><p>Qu es programacin Lineal?</p><p>Es un mtodo para obtener el resultado ptimo con base en un modelo matemtico en </p><p>el que todas las relaciones entre variables y </p><p>constantes pueden expresarse linealmente. </p></li><li><p>Page 3</p><p>Ejemplo 1. Primera parte.</p><p>Una planta industrial emplea tres mquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artculos A1 y </p><p>A2. </p><p>Para la fabricacin de A1 se requieren dos horas en la mquina M1, una hora en la M2 y </p><p>tres horas en la M3; para el producto A2 hace </p><p>falta una hora en la mquina M1, una hora en </p><p>la M2 y 5 horas en la M3. </p><p>M2</p><p>M3M1</p></li><li><p>Page 4</p><p>Ejemplo 1. Segunda parte.</p><p>Se dispone de 180 horas en la mquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3. </p><p>La ganancia obtenida por cada pieza del artculo A1 es de $50 y por cada pieza del </p><p>artculo A2 es de $40. Cuntas piezas de </p><p>cada artculo deben fabricarse para que la </p><p>ganancia sea la mxima posible?</p></li><li><p>Page 5</p><p>Ejemplo 1. Anlisis de la informacin.</p><p>Despus de una lectura superficial del problema es necesario analizarlo con mayor atencin.</p><p>En la segunda lectura trataremos de organizar la informacin.</p><p>En las siguientes diapositivas se emplean colores para visualizar cmo se organizar la informacin.</p><p>Azul: M1 Rojo: M2 Verde: M3</p></li><li><p>Page 6</p><p>Ejemplo 1. Anlisis.</p><p>Una planta industrial emplea tres mquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos </p><p>artculos A1 y A2.</p><p>Para la fabricacin de A1 se requieren dos horas en la mquina M1, una hora en la M2 y </p><p>tres horas en la M3; para el producto A2 hace </p><p>falta una hora en la mquina M1, una hora en </p><p>la M2 y 5 horas en la M3. </p><p>M2</p><p>M3M1</p></li><li><p>Page 7</p><p>Ejemplo 1. Anlisis.</p><p>Se dispone de 180 horas en la mquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3. La ganancia </p><p>obtenida por cada pieza del artculo A1 es </p><p>de $50 y por cada pieza del artculo A2 es </p><p>de $40.</p><p>Cuntas piezas de cada artculo deben fabricarse para que la ganancia sea la </p><p>mxima posible?</p></li><li><p>Page 8</p><p>Ejemplo 1. Segunda parte.</p><p>Para el planteamiento generalmente se emplea una tabla en la que se sintetizan los </p><p>datos de modo que sea ms fcil visualizar </p><p>las relaciones entre las variables y las </p><p>constantes. </p></li><li><p>Page 9</p><p>Ejemplo 1. Segunda parte.</p></li><li><p>Page 10</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo </p><p>A1</p><p>Artculo </p><p>A2</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1</p><p>Mquina M2</p><p>Mquina M3</p><p>Ganancia</p></li><li><p>Page 11</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo </p><p>A1</p><p>Artculo </p><p>A2</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1 2 1 180</p><p>Mquina M2 1 1 110</p><p>Mquina M3 3 5 480</p><p>Ganancia 50 40</p></li><li><p>Page 12</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo </p><p>A1</p><p>Artculo </p><p>A2</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1 2 1 180</p><p>Mquina M2 1 1 110</p><p>Mquina M3 3 5 480</p><p>Ganancia 50 40 Maximizar</p></li><li><p>Page 13</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo A1x</p><p>Artculo A2y</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1 2 1 180</p><p>Mquina M2 1 1 110</p><p>Mquina M3 3 5 480</p><p>Ganancia 50 40 Maximizar</p></li><li><p>Page 14</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento.</p><p>Cuntas piezas de cada artculo deben fabricarse para que la ganancia sea la </p><p>mxima posible?</p><p>Identificaremos mediante incgnitas las cantidades de cada artculo que se debe </p><p>fabricar</p><p> Cantidad de piezas de A1 = x</p><p> Cantidad de piezas de A2 = y</p></li><li><p>Page 15</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo A1x</p><p>Artculo A2y</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1 2 1 180</p><p>Mquina M2 1 1 110</p><p>Mquina M3 3 5 480</p><p>Ganancia 50 40 Maximizar</p></li><li><p>Page 16</p><p>Ejemplo 1. Planteamiento</p><p>Productos o Artculos</p><p>Recursos </p><p>necesarios</p><p>Artculo A1x</p><p>Artculo A2y</p><p>Disponibilidad </p><p>de recursos</p><p>Mquina M1 2 1 180</p><p>Mquina M2 1 1 110</p><p>Mquina M3 3 5 480</p><p>Ganancia 50 40 Maximizar</p><p>Nmero de piezas</p><p>del artculo A1 que</p><p>se van a fabricar</p><p>Nmero de piezas</p><p>del artculo A2 que</p><p>se van a fabricar</p></li><li><p>Page 17</p><p>Ejemplo 1. Restricciones y desigualdades.</p><p>La suma de los recursos utilizados para fabricar los artculos A1 y A2 no deben ser mayores a los </p><p>recursos disponibles. </p><p>Aplicando una restriccin similar en cada mquina, obtendremos las tres desigualdades que constituyen </p><p>el modelo matemtico del problema.</p><p>M1: Restriccin 1</p><p>M2: Restriccin 2</p><p>M3: Restriccin 3</p></li><li><p>Page 18</p><p>Ejemplo 1. Restricciones y desigualdades.</p><p>Para la mquina M1, se obtiene la inecuacin 1.</p><p> + </p></li><li><p>Page 19</p><p>Ejemplo 1. Restricciones y desigualdades.</p><p>Para la mquina M2, se obtiene la inecuacin 2.</p><p>1 + </p></li><li><p>Page 20</p><p>Ejemplo 1. Restricciones y desigualdades.</p><p>Para la mquina M3, se obtiene la inecuacin 3.</p><p> + </p></li><li><p>Page 21</p><p>En resumen, las desigualdades son:</p></li><li><p>Page 22</p><p>Ejemplo 1. Trazar la Grfica</p><p>Para trazar la grfica se expresan las desigualdades como ecuaciones, despus se dan valores a x y y que servirn para encontrar, al menos, dos puntos por cada desigualdad.</p><p>Es vlido dar cualquier valor a x o y para, sustituyndola en la ecuacin correspondiente, </p><p>obtener el valor faltante y as identificar las </p><p>coordenadas de un punto.</p><p>* El proceso se repite dos veces por cada desigualdad</p></li><li><p>Page 23</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 1. + = </p><p> = , + = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 24</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 1. + = </p><p>y= , + () = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 25</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 2. + = </p><p> = , + = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 26</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 2. + = </p><p> = , + () = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 27</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 3. + = </p><p> = , + = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 28</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Ecuacin 2. + = </p><p> = , + () = </p><p> = </p><p> =</p><p> = </p><p>:(, )</p></li><li><p>Page 29</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p>Puntos obtenidos en la tabulacin</p><p> + = , (, )</p><p> + = , (, )</p><p> + = , (, )</p></li><li><p>Page 30</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p> : + = : , (, )</p><p>Esta es la grfica de </p><p>la ecuacin.</p><p>No olvidemos que la </p><p>desigualdad incluye </p><p>uno de los dos lados </p><p>en los que la recta </p><p>divide al plano </p><p>cartesiano.</p></li><li><p>Page 31</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p> : + = : , (, )</p><p>Para saber cul lado </p><p>de la desigualdad </p><p>pertenece a la </p><p>solucin se toma un </p><p>punto cualquiera del </p><p>plano, generalmente </p><p>el origen, y se </p><p>sustituye en la </p><p>desigualdad que se </p><p>desea resolver.</p></li><li><p>Page 32</p><p>Ejemplo 1. Trazar las grficas</p><p> : + = : , (, )</p><p>Si, al sustituir el punto </p><p>seleccionado en la </p><p>desigualdad se </p><p>obtiene una </p><p>afirmacin verdadera, </p><p>ese punto y todos los </p><p>que estn del mismo </p><p>lado de la recta, </p><p>pertenecen a la </p><p>solucin.</p></li><li><p>Page 33</p><p>Ejemplo 1. Grfica de las tres rectas.</p></li><li><p>Page 34</p><p>Ejemplo 1. Obtener las grficas de las desigualdades</p><p>Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0 + </p><p> + </p><p>El resultado final es </p><p>verdadero; cero es </p><p>menor que 180, por lo </p><p>tanto la grfica incluye </p><p>los puntos que estn </p><p>del mismo lado que el </p><p>origen.</p></li><li><p>Page 35</p><p>Ejemplo 1. Obtener las grficas de las desigualdades</p><p>Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0 + </p><p> + </p><p>El resultado final es </p><p>verdadero; cero es </p><p>menor que 180, por lo </p><p>tanto la grfica incluye </p><p>los puntos que estn </p><p>del mismo lado que el </p><p>origen.</p></li><li><p>Page 36</p><p>Ejemplo 1. Obtener las grficas de las desigualdades</p><p>Probamos la desigualdad 2 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0 1 + </p><p> + </p><p>El resultado final es </p><p>verdadero; cero es </p><p>menor que 110, por lo </p><p>tanto la grfica incluye </p><p>los puntos que estn </p><p>del mismo lado que el </p><p>origen.</p></li><li><p>Page 37</p><p>Ejemplo 1. Obtener las grficas de las desigualdades</p><p>Probamos la desigualdad 3 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0 + </p><p> + </p><p>El resultado final es </p><p>verdadero; cero es </p><p>menor que 480, por lo </p><p>tanto la grfica incluye </p><p>los puntos que estn </p><p>del mismo lado que el </p><p>origen.</p></li><li><p>Page 38</p><p>Ejemplo 1. Grfica de las tres desigualdades.</p><p>La interseccin de </p><p>estas tres reas </p><p>recibe el nombre de:</p><p>rea de Soluciones factibles.En la siguiente </p><p>diapositiva se seala </p><p>con mayor claridad. </p></li><li><p>Page 39</p><p>Ejemplo 1. rea de soluciones factibles.</p><p>Se muestra </p><p>sombreada el rea de </p><p>soluciones factibles.</p><p>Es posible demostrar </p><p>que la solucin </p><p>ptima se encuentra </p><p>en uno de los vrtices </p><p>de esta rea. </p></li><li><p>Page 40</p><p>Ejemplo 1. Vrtices del rea de soluciones factibles.</p><p>El siguiente paso es </p><p>determinar las </p><p>coordenadas de los </p><p>vrtices.</p><p>Aunque es posible </p><p>aplicar el mtodo </p><p>grfico, es preferible </p><p>recurrir a algn </p><p>mtodo analtico. </p></li><li><p>Page 41</p><p>Ejemplo 1. Vrtices del rea de soluciones factibles.</p><p>Generalmente </p><p>algunos de los </p><p>vrtices se conocen </p><p>desde las </p><p>tabulaciones </p><p>empleadas para </p><p>graficar.</p><p>En este caso los </p><p>vrtices A, B y C</p></li><li><p>Page 42</p><p>Ejemplo 1. Vrtices del rea de soluciones factibles.</p><p>Las coordenadas de </p><p>los vrtices D y E se </p><p>determinan por </p><p>reduccin, sustitucin </p><p>o igualacin.</p><p>A(0, 96)</p><p>B(0, 0)</p><p>C(90, 0)</p><p>D(70, 40)</p><p>E(35, 75)</p></li><li><p>Page 43</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>El siguiente paso es sustituir, en la funcin objetivo, las coordenadas de cada vrtice del rea de </p><p>soluciones factibles.</p><p>El vrtice que arroje el mayor valor, ser la solucin del problema.</p></li><li><p>Page 44</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96)</p><p>B(0, 0)</p><p>C( 90, 0)</p><p>D(70, 40)</p><p>E(35, 75)</p></li><li><p>Page 45</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840</p><p>B(0, 0)</p><p>C( 90, 0)</p><p>D(70, 40)</p><p>E(35, 75)</p></li><li><p>Page 46</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840</p><p>B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0</p><p>C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40(0) 4500</p><p>D(70, 40)</p><p>E(35, 75)</p></li><li><p>Page 47</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840</p><p>B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0</p><p>C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40(0) 4500</p><p>D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100</p><p>E(35, 75)</p></li><li><p>Page 48</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840</p><p>B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0</p><p>C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40(0) 4500</p><p>D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100</p><p>E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750</p></li><li><p>Page 49</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>Vrtice x y z = 50x + 40y Ganancia</p><p>A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840</p><p>B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0</p><p>C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40(0) 4500</p><p>D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100</p><p>E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750</p></li><li><p>Page 50</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p></li><li><p>Page 51</p><p>Ejemplo 1. Ganancia en los vrtices del ASF.</p><p>La solucin es: 70, 40. Esto significa que deben fabricarse:</p><p> 70 piezas del artculo A1 y </p><p>40 del artculo A2 para obtener una </p><p>ganancia mxima de 5100.</p></li><li><p>Page 52</p><p>Direcciones</p><p>https://www.facebook.com/licemata</p><p>https://twitter.com/licemata</p><p>Twitter: @licemata</p><p>http://licmata-math.blogspot.mx/</p><p>http://www.scoop.it/t/mathematics-learning</p><p>http://www.spundge.com/@licmata</p><p>http://www.slideshare.net/licmata</p><p>www.freelibros.org</p></li><li><p>Page 53</p><p>Bibliografa</p><p>Parra, Enrique. Optimizacin del transporte. Modelos resueltos con SOT ll. Edit. Ediciones Daz </p><p>de Santos. 2008</p><p>Guerrero, Humberto. Programacin lineal. Aplicada. Edit. Ecoe Ediciones. 2011</p><p>Investigacin de operaciones.</p><p> Taha</p><p> Wilson</p></li></ul>

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