Límites y continuidad

CONCEPTO INTUITIVO DE LIMITE

Analicemos la función: 112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

111

112

x

xxx

xx

xf x 1

x

y

1

1

–1

0

112

xx

xfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores que 1

0.9

1.1

0.99

1.01

0.999

1.001

0.999999

1.000001

1.9

2.1

1.99

2.01

1.999

2.001

1.999999

2.000001

1112

x

xx

xf x 1

Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe

Lxfx

10

lim

x

y

1

1

–1

0

11

)2

xx

xfa

2

x

y

1

1

–1

0

1) xxhc

2

x

y

1

1

–1

0

1,1

1,11

)

2

x

xxx

xgb

2

PROPIEDADES DE LIMITES

Límites de PolinomiosLos límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución

Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces

limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0

Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.

Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces

limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Ejemplos

yy

y 5lim

2

5

245

5lim

0 hh

5103

lim2

5

xxx

x

23

1lim

1

x

xx

Definición de límiteSea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos

si, para cada número > 0, existe un número correspondiente > 0 tal que para toda x

0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <

Lxfxx

0

lim

Límites Laterales

Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos

Lxfax

lim

Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos

Mxfax

lim

Gráficamente:

UNICIDAD DEL LIMITE

Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a “a” si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:

Limx a f (x) = L Limx a– f (x) = L y Limx a+ f (x) = L

Ejemplo

1lim0

xfx

existennoxfyxfxx 00limlim

0lim1

xfx

1lim1

xfx

existenoxfx 1lim

1lim2

xfx

1lim2

xfx

1lim2

xfx

23limlimlim333

fxfxfxfxxx

1lim4

xfx

existennoxfyxfxx 44limlim

1 2 3 4

1

2

0

y

x

y = f (x)

Límites InfinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

xfcx

lim

Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

xfcx

lim

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplo 1:

xx

1lim

0

x

y

xx

1lim

0

y = 1/x

IMPORTANTE:

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2 3

11

lim1 xx

11

lim1 xx

x

y

y = 1/(x – 1)

Ejemplo 2:

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

20

1lim

xx

20

1lim

xx

2

1x

y

Ejemplo 3:

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

23 3

1lim

xx

23 3

1lim

xx

23

1

xy

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Límites de funciones racionales

0

22

lim22

2lim

42

lim2

2

22

2

2

xx

xxx

xx

xxx

41

21

lim22

2lim

42

lim2222

xxxx

xx

xxx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

223

lim43

lim222 xx

xxx

xx

existenoxx

xxx

xx

223

lim43

lim222

223232 2

1lim

2

2lim

2

2lim

xx

x

x

xxxx

Límites al InfinitoSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.

Ejemplos:

LIMITES TRIGONOMETRICOS

Continuidad

Ejemplos

1

1

0

y

x

y = f(x)

1

0

y

x

y = f(x)

1

0 x

y = f(x)

y = f(x)

y

x

2

Tipos de discontinuidades

xy Discontinuidad escalonada

xseny

1 Discontinuidad oscilante

21

x

y Discontinuidad infinita

2

22

x

xy Discontinuidad removible

Extensión continua en un punto

Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla

f(x) si x está en el dominio de fF(x) =

L si x = c

Ejemplo:

4

62

2

xxx

xf

Se puede simplificar en:

2

32232

46

2

2

xx

xxxx

xxx

xf

Que es continua en x = 2