limit fungsi matematika

7/28/2019 Limit Fungsi matematika

1/13

LIMIT FUNGSI

1 Teorema

1. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax +=+ 4.

[ ] )x(glim).x(flim)x(g).x(flimaxaxax

=

2. [ ] )x(glim)x(flim)x(g)x(flim axaxax = 5. )x(g

axlim

)x(fax

lim

)x(g

)x(f

axlim

=

dengan 0)x(glimax

3. )x(flim.c)x(f.clim axax = , c = konstanta 6. [ ]

n

ax

n

ax)x(flim)x(flim

=

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

misalnya :63

04

, .

2. Bentuk tak terdefinisi: yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :5

0

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :00

1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuktertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsif(x) dan nilaif(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

+ = + = + =3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim ( )x

x xx

++

++

= = =0

5 70 0

5 0 707

2 2

0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi AljabarBentuk Tak Tentu yaitu :( )00 1, ,

dan .

3.1 Bentuk ( )00Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan

penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan

nilai x = a.

Irvan Dedy, S.Pd Page 1 of 13 SMA Dwiwarna


2/13

Catatan :1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh

dibagi dengan (x a)

2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 03. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum

difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. lim lim lim( )( )

( )( )x

x x

x x

x x

x xx

xx

+

+

+

+= = = =

3

5 6

9 3

3 2

3 33

2

3

3 2

3 3

1

6

2

2

2. lim lim( )

( ) ( )x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

+

+

+

+

+

+

+

+= = = =

0

5

4 2

5

4 2 0

5

4 2

0 0 5

0 4 0 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3.

( )lim lim lim ( ) ( )( )x

x x

x xx

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

+

+

+ +

+ +

+

+ + = =

1

3 5 1

1

3 5 1

1

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

(

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x

+

+ +

+ + +

+ += =

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1 1

2

2 2 2 2

( )1 4

1 1 4 4

32 2 2

38

38

+ +

+

= = = ( ) ( )

3.2 Limit Bentuk ( )Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : limx

ax

= 0 .

Contoh :

1.

2

1

12

6

0012

006

12

6

limlimx8x7x12

x5x2x6lim

2x

8

x

7

2x

5

x

2

x

3x

x8

3x

2x7

3x

3x12

3x

x5

3x

2x2

3x

3x6

x23

23

x

==+

+=

+

+

=

+

++

+

+

2.

02

0

002

000

2limlim

x4xx2

x3x7x6lim

2x

4

x

1

3x

3

2x

7

x

6

x

4x

2x4

4x

3x

4x

4x2

4x

x3

4x

2x7

4x

3x6

x234

23

x

==+

+=

+

+

=

+

+

=+

+



3/13

3. ==+

+=

+

+

=

+

+

=+

+

0

5

000

0055

limlim7x4x2

2x3x5lim

4x

7

2x

4

x

2

4x

2

2x

3

x

4x

7

4x

2x4

4x

3x2

4x

2

4x

2x3

4x

4x5

x23

24

x

Kesimpulan:

Jika f x a x a x an n

n( ) .....= + + +

0 1

1

g x b x b x bm m m( ) .....= + + +

0 1

1

maka: 1. lim( )

( )x

f x

g x

a

b

= 00

untukn = m

2. lim( )

( )x

f x

g x

= 0 untukn < m

3. lim( )

( )x

f x

g x

= atau - untukn > m

4. limx

x x x

x x x

+

+= =2 7

6 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1))

5. limx x x xx x x ++ + =10 8 7

12 5 22 312 0 (kesimpulan (2))

6. limx

x x

x x x

+

+ = 3 6 2

2 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk ( )

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

)x(g)x(f

)x(g)x(f

x)x(g)x(f

)x(g)x(f

xlim)x(g)x(flim

+

+

+

=

2. Bentuknya berubah menjadi ( )3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:

1. =+++

1x4x2x6xlim 22x

=

+++

++++

++++

1x42x2x62x

1x42x2x62x22

x

1x4x2x6xlim

==++++

++++

+++

1x42x2x62x

1x10

x1x42x2x62x

)1x42x()2x62x(

xlimlim

5lim210

11

10

1x42xx2x2

1x10

x===

++


pangkat tertinggi pembilang 1,pangkat tertinggi penyebut 1,

sebab xx2 =


4/13

2. =

+=+

++

++ x32xx2x2

x32xx2x2222

x

22

xx3xxx2limx3xxx2lim

==++

++

+

x32xx2x2

x42x

xx32xx2x2

)x32x)(x2x2(

xlimlim

Secara umum:

=++++

rqxpxcbxaxlim 22x

1)b q

a

2

jika a =p

2) jika a >p

3) - jika a


5/13

2. lim limtan

tanx

xx

x

xx

= =

0 01

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

b

a

bxsin

axtan

0xbxtan

axsin

0xbxtan

axtan

0xbxtan

ax

0xbx

axtan

0xbxsin

ax

0xbx

axsin

0x

limlimlimlimlimlimlim =======

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika

f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Contoh :

1. ( )lim sin cos sin cosx

x x

+ = + = + =0

2 0 0 0 1 1

2. 21

0201

21cos3

21sin2

21cos

21sin

xcos3xsin2xcosxsin

21x

lim ===+

+

+

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :

( )00 0, , . .

4.1 Limit Bentuk ( )00

1. 43

x4tan

x3sin

0x

lim =

2.32

32

xsinxsin

x3sin2

0xxsinx3x2sin2

0xxsin.x3

)x2sin21(1

0xxsin.x3x2cos1

0x)1.(.limlimlimlim =====

3.)ax(

)ax(21sin

21

axax

)ax(21sin).ax(

21cos2

axaxasinxsin

ax).ax(cos2limlimlim

+

+=

acos).aa(cos2 21

21 =+=

4.2 Limit BentukLimit bentuk( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 .Contoh :

)x2

sin(

xsin.2

sin

2x

xcosxsin1

2x

xcosxsin

xcos1

2x

2x

limlim)(lim)xtanx(seclim

===

( ))x

2sin(

)x2

(21sin

221

2x)x2

sin(

)x2

(21sin)x

2(

21cos2

2x

.xcos2limlim

+

+==

( ) 0cos].[cos221

21

2221 ==+=

4.3 Limit Bentuk

( )0.

Limit bentuk( )0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk ( )00 .Contoh :

( ) =

===

xsinlimlimlimxtan).1x(lim

21

)x1(21sin

)1x(

1x)x21

21sin(

x21sin)1x(

1xx21cos

21)(sin1(

1x21

1x

( )

==

2

211

21

211 sin



6/13

5 Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio

(pembanding) : 1 < r < 1.Teorema :

r1

aS

=

S: jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen

a : U1 : suku pertama

r: rasio, yaitu rU

U= 2

1

Contoh :

1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

a) 2 11

2

1

4+ + + + ..... b) 3 1 13

19

+ + .....

Jawab : a) S

a

r= = = =

1

2

1

2

12

12 4 b) S

a

r= = = =

1

3

1

3 9

413 43( )

2. Hitung limit berikut :

a) ( )n41

161

41

n...1lim ++++

b) =

n

1i

i

n3.2lim

Jawab : a) ( )lim ...n

arn

+ + + + = = =1 14

116

1

4 11

1

431

4

b) 2....lim3.2lim3132

321

32

r1a

n3

292

32

1i

n

1i

i

n====

+++=

==

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....

Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ..... 32

96

9,0

6,0

1,01

6,0

r1a =====

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

338

9924

99,0

24,0

01,01

24,0

r1a ====

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku

bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !

Jawab : S ar= =12 121 ...... (1)U2 + U4 + U6 + ... = 4

ar + ar3 + ar5 + ... = 4

( ) ( )arr

a

r

r

r1 1 12 4 4

+= = ...... (2)

( )

21

r1r12

r1r

r4r8

r44r124412:(2)dan(1)Dari

==

+===++



7/13

Persamaan (1) :ar

a a1 1

12 12 612

= = =

Rasio =12 dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya

dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempatsisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar

ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !

Jawab :

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsif(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya

jika lim ( ) ( )x a

f x f a

= .

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsif(x) kontinu di x = a, yaitu :

1. f(a) terdefinisi (ada)

2.lim ( )x a

f x terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu

(tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :


RD C

S Q

52

52

55 P BA

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.

Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.

Rasio luas =50

10012

=

Jumlah semua bujursangkar =a

1 5150

1

1 200 = = cm2

y

f(a)f(x)

xa

f(x) kontinu di x = a,

sebab

1.

y

f(a)

f(x)

xa

f(x) diskontinu di x = a,

sebab tidak ada

2.


8/13

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa fungsi 3)(2 += xxxf kontinu dix = 1

Jawab : 1) f( )1 1 1 3 12= + = f(1) terdefinisi

2) ( 13113xxlim)x(flim 221x1x =+=+= lim ( )x f x1 terdefinisi

3) lim ( ) ( )x

f x f

=1

1 Jadi fungsi f x x x( ) = + 2 3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x xx

( ) = 2 9

3kontinu di x = 3

Jawab : 1) f( )3 3 93 3

0

0

2

= =

(tidak terdefinisi)

Karenaf(3) tak terdefinisi, makaf(x) diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

=

=

2untuk,4

2untuk,)( 2

42

x

xxf x

x

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)2)

( ) 31111xxlimlimlim)x(flim 221x1x

)1x2x)(1x(

1x1x13x

1x1x=++=++===

++

(terdefinisi)

3) )1()(lim1

fxfx

, berartif(x) diskontinu di x = 1

KETENTUAN

Untuk x


9/13

l i m x = 1 l i m x = 1

x 0 sin x x 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b

x 0 bx x 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b

x 0 sin bx x 0 tg bx


x 0 sin bx x 0 tg bx


x 0 tg bx x 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90 - x)ctg x = tg (90 - x)

sin ax = 2 sin ax cos axcos ax = 1- 2 sin ax

cosx = 1 - sinx

HAL-HAL KHUSUS

l i m axm + bxm-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...

untuk m > n ;a/p untuk m =n ;0 untuk m < n

l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f

x

untuk a > d ;b-e untuk m =n ;

2a

- untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara

mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a

dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka

l i m f(x) = l i m f(x)

x g(x) x a g(x)



10/13

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0

x 3

2. l i m 3x - 2 = (*) Uraikanx 2x + 1

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3

x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 = (*) Uraikan

x 10x + 9

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = - 1 - 0 = =x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan

x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1

(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus Differensial

5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan

x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0

(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6


6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar denganx 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0

(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6




11/13

7. l i m (3x - 9x2 + 4x) = - (*) Hilangkan tanda akar

x

l i m (3x - 9x2 + 4x ) = 3x - 9x2 + 4x = (*) Hilangkan tanda

x 3x - 9x2 + 4x akar

l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =

x 3x + (9x2 + 4x) x 3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2

x 3 + 3(1 + 0) 6 3


CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. l i m sin 2x = 0 (*)x 0 tg 3x 0

sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 22x tg 3x 3 3 3

2. l i m 1 - cos 2x = 0

x 0 sin 2x 0

1 - (1 - 2 sin 2x) = 2 sin x = sin x = tg x = 02 sin x cos x 2 sin x cos cos x

3. l i m 1 - cos x = 0

x 0 3x 0

2 sin (x) = sin (x) . sin (x) = 1 . 1 . 1 = 13 . 4 . (x) 6 (x) (x) 6 6


4. l i m sin x - sin a = 0 (*)

x 0 x - a 0

2 cos (x+a) sin (x-a) = cos (x+a) . sin (x-a) =x - a (x - a )

cos (x+a) . 1 = cos (a+a) . 1 = cos a




12/13

Sifat limit fungsi matematika, kalo kurang lengkap tolong dikomen aja

Limit ln log dan bilangan e

Limit trigonometri sederhana, sin x dan tan x saja yang bisa dipakai



13/13

Cara menyelesaikan limit sederhana dengan menghilangkan faktor (x-a), dalil LHopital,

dan mengalikan akar sekawan


limit fungsi matematika

Documents