LICEO DE NUEVA PALMIRA

“Dr. Medulio Pérez Fontana”

EXPERIENCIA DE AULA CON TEMA EMERGENTEProf. Guillermo Osorio Salorio

FUNCIONES CUADRÁTICAS

GRÁFICAS QUE NO SON RECTAS

CÁLCULO DE RAÍCES

¿¿¿ PARA QUÉ ????

Esta experiencia surgió en el momento de presentar la función cuadrática en tercer año como ejemplo de otras funciones que no eran

rectas y del cálculo de sus raíces. Y como siempre los alumnos se cuestionaron para qué?

Aquí quiero remarcar la importancia de los temas emergentes, porque a partir de ellos

podemos motivar a los alumnos frente a esos temas ásperos y a veces duros, y que vean como

la matemática se presenta muchas veces bajo otro modelo diferente al que estamos

considerando.

Entonces les planteé el viejo problema del rectángulo áureo que ya habían visto en Dibujo, pero que sólo había quedado en que era el rectángulo mejor proporcionado, el más bello.

“Los geómetras griegos de la época clásica pensaban que el rectángulo mejor proporcionado es aquel en el que, al separar un cuadrado, queda otro rectángulo

semejante al inicial” al que llamaban rectángulo áureo. (Áureo= Oro en latín Aurum, por eso el símbolo químico

del oro es Au).

...61803.12

5101

1

1

12

xx

x

x

Calculamos la medida del largo del rectángulo sabiendo que el ancho mide 1.

Para ello llamamos x al largo, y como tiene que haber proporcionalidad entre los lados del

rectángulo, por la semejanza, surge la siguiente proporción y la ecuación de 2do grado:

Donde (Phi) es la razón áurea, número de oro o número de Fidias y que fue usado por muchos artistas para ajustar las proporciones de sus obras.

Pero, donde radicaba la importancia de este número?

Entonces comencé a darles ejemplos de la naturaleza donde se encuentra esta razón áurea: La

relación entre hembras y machos en un panal de abejas, Las pipas de girasol que crecen en espirales opuestos que es la razón entre el diámetro de cada

rotación y el siguiente, Piñas, piñoneras, distribuciones de hojas en ramas, segmentaciones de

insectos, ejemplos todos que se ajustaban con fidelidad a la divina proporción (Idea de la Creación

por parte de las antiguas comunidades).Entonces un alumno mencionó al famoso Nautilus, molusco

cefalópodo que se inyecta gas en su caparazón compartimentada para

equilibrar su flotación. (principio del submarino en el que Julio Verne se

basó para su famoso libro 20000 leguas de Viaje Submarino)

“La Razón entre el diámetro de cada tramo de su espiral con el siguiente da el número de oro.”

Entonces, basándonos en el rectángulo áureo tratamos de construir esa espiral que se acerca

mucho a la verdadera del Nautilus llamada espiral de Durero.

Se trata de que a partir de un rectángulo áureo, le vayamos sacando un cuadrado de lado igual a su ancho, quedando luego un rectángulo semejante con el anterior al que le aplicamos el

mismo procedimiento hasta que podamos, siguiendo siempre en el mismo sentido.

De esa manera y con el compás vamos dibujando cuartos de circunferencias para ir

dibujando la espiral.

Invitamos a los alumnos a decorar sus espirales obteniendo muy buenas combinaciones coordinando

siempre con el profesor de dibujo quien luego calificó los mismos. Así como excusa comenzamos a recordar el uso de los útiles de geometría y de algunos trazados que luego

usaremos en este año.

Otro alumno recordó que al haber leído el Libro “El Código Da Vinci”, su autor Dan Brown, en el capítulo 20, pág. 119, hace mención al número de oro y a la divina proporción, y habla de la sucesión de

Fibonaci y que ella también tiene la relación 1,618.Entonces planteamos la sucesión: 1, 1 , 2 , 3,

5 ,8 ,13, 21, 34, 55, 89, . . . . . y vemos que para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre dos números consecutivos cualesquiera tiende a 1,618, lo cual nos indica que tiene que estar relacionada con la construcción anterior.

Efectivamente, realizamos la construcción anterior usando la secuencia de Fibonacci, lo cual les resultó sumamente interesante.

A partir de aquí ya estaban motivados para seguir investigando y les propuse tratar con triángulos áureos, es decir triángulos isósceles de ángulos de 72° y otro de 36°.

Al ir trazando las bisectrices de los ángulos como muestra la figura se obtienen triángulos semejantes al primero y de esa manera pueden mantener la relación 1,618, y haciendo centro en los puntos marcados como 1,2,3,4,5 se pueden trazar los arcos de circunferencia para ir dibujando la espiral.

Llegó el momento del cuestionamiento referido al Hombre como parte de la naturaleza.

Aparentemente la naturaleza seguía un patrón dado con el número de oro y como el hombre es parte de la naturaleza, no podría escapar a ese

patrón. Analizando nuevamente lo dicho

por Dan Brown en su Código Da Vinci, encontramos algunas relaciones del cuerpo humano que dicen cumplir con la divina proporción. Habla del famoso desnudo musculoso de Leonardo llamado el Hombre de Vitrubio, en honor a ese brillante arquitecto romano Marcus Vitrubius. Leonardo fue el primero en demostrar que el cuerpo humano está formado literalmente de bloques constructivos cuya razón es siempre 1,618.

h: la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza.

a: la distancia entre el ombligo y el suelo.b: la distancia entre el hombro y las puntas de

los dedos con el brazo y mano extendidos.c: distancia entre el codo y la punta de los

dedos.d: La distancia entre la cadera y el suelo.e: la distancia entre la rodilla y el suelo.

Se les pidió a los alumnos que tomaran las siguientes medidas:

h a b c d e h/a b/c d/e

Zaldúa (V) 1.70 1.03 0.75 0.425 0.973 0.49 1.636 1.86 1.92

Oliver (V) 1.64 1.01 0.701 0.403 0.965 0.495 1.623 1.734 1.94

Dávila(V) 1.72 1.04 0.76 0.453 0.98 0.48 1.65 1.67 2.04

T.Martínez (M) 1.61 0.91 0.657 0.433 0.922 0.476 1.76 1.54 1.93

R.Martínez (M) 1.583 0.96 0.68 0.433 0.882 0.46 1.64 1.57 1.91

Sofía (M) 1.56 0.93 0.735 0.41 0.89 0.49 1.677 1.659 1.734

Fiamma (M) 1.57 0.94 0.71 0.44 0.90 0.47 1.67 1.613 1.914

Vázquez (M) 1.68 1.05 0.76 0.42 1.01 0.53 1.59 1.809 1.905

Barale (M) 1.62 0.94 0.68 0.40 0.95 0.44 1.723 1.7 2.159

Samantha (M) 1.55 0.95 0.78 0.44 0.98 0.46 1.631 1.772 1.695

Gutiérrez (V) 1.74 1.05 0.71 0.48 1.01 0.53 1.657 1.541 1.905

Elías (V) 1.72 1.03 0.74 0.50 1.00 0.53 1.669 1.580 1.886

Ezequiel (V) 1.68 1.02 0.74 0.45 0.96 0.50 1.647 1.644 1.92

Ramilo (Adulto) 1.54 0.93 0.67 0.40 0.91 0.45 1.657 1.669 2.015

Daudet (adulto) 1.60 1.02 0.83 0.17 0.88 0.46 1.586 1.765 1.913

Rodríguez (adulto) 1.75 1.06 0.76 0.47 1.00 0.55 1.651 1.617 1.818

RESULTADO DE ALGUNAS MEDICIONES

Observando los datos de las tablas, y a pesar de haber cometido errores en las mediciones, concluímos que la altura de la persona y la distancia del ombligo al suelo están en la divina proporción, como así también la distancia del hombro a la punta de los dedos con la distancia del codo a la punta de los dedos.

Por el contrario la restante relación no cumple la divina proporción, es decir que la relación entre la distancia de la cadera al suelo y la distancia de la rodilla al suelo no están en la relación 1,618, sino que es casi el doble.

Y otra cosa importante es que se cumple tanto en adolescentes como en adultos lo que nos induce a pensar que el crecimiento no influye en este número.

Se mostraron ejemplos en Arquitectura donde se cumple la razón áurea y luego se le pidió a los alumnos que buscaran entre los edificios de Nueva Palmira,

antiguos y modernos si alguno de ellos usaba el rectángulo áureo. Y

la sorpresa fue muy grande cuando vieron que muchos de

ellos lo tenían, a tal punto que se hicieron maquetas y

construcciones al respecto.

BIBLIOTECA POPULAR

“Jacinto Laguna”

De Nueva Palmira

Como conclusión de esta experiencia que resultó de un tema emergente podemos decir que nos permitió:

A nivel de alumnos:Lograr motivación en todos los alumnos sin excepción.

Fue una actividad significativa para los alumnos.La actividad estuvo conectada con otras asignaturas (Biología,

Dibujo, Historia)Se crearon situaciones de aprendizaje aplicando la metodología

de Trabajo en Grupos (Trabajo Cooperativo)Se desarrolló el trabajo de tutorías entre pares.Se logró un modelo de enseñanza personalizada.

Fue una actividad con mucho nivel reflexivo y crítico ya que primó la formación ante la información.

A nivel docente:Permitió realizar cambios metodológicos en las prácticas de

aula.Pudimos reflexionar sobre el tratamiento de los contenidos con

los otros colegas.Buscamos nuevas estrategias que permitieron a los alumnos

obtener distintas competencias que nos fijamos en los objetivos del trabajo.

Se logró una positiva participación e interés (compromiso) de los docentes de otros cursos y asignaturas por el tema

presentado y que colaboraron en la confección de este trabajo.

Nueva Palmira, Dpto.de Colonia, Uruguay