ResoluciondeProblemasBonitosdeGeometraconMetodosElementalesFranciscoJavierGarcaCapitanPriegodeCordoba,2003Indice1. Introduccion 12. LasHerramientas 22.1. Lasemejanzadetriangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. ElteoremadePitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Tangenciadedoscircunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Unpocodepractica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5. Longituddelastangentescomunesadoscircunferencias . . . 72.6. Relacionentre segmentosdetangentes . . . . . . . . . . . . . 112.7. Eln umerodeoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8. Radiodelacircunferencia inscritaenuntriangulorectangulo. 132.9. Otrasherramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.1. ElteoremadePtolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.2. ElteoremadeCarnot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.3. ElteoremadeCasey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9.4. ElteoremadeDescartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. LosEnunciados 204. LasSoluciones 475. LasPistas 826. Bibliografayreferencias 836.1. Paginasweb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2. Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.Indicevisual 841. IntroduccionSepretendeque elttulodel presentetrabajocumpla dosmisiones:Llamartuatencion.Reejarel contenidodelaspaginasquesiguen.Esperando que la primera de ellas ya este conseguida, a partir de aqu co-mienza a desarrollarse las segunda: conseguir que los problemas y soluciones,ascomolastecnicasutilizadas teparezcanbonitoseinteresantes.Muchos de los problemas aqu presentados sonproblemas sangaku, esdecirproblemasquecolgabanlosjaponesesbajolasterrazasdetemplosysantuariosdurante la epocade aislamiento que Japontuvo deOccidente. Escom unacasi todoslosproblemas sangakuprecisamente el hecho de tratarsedeproblemasdeenunciadosencilloysolucionelemental.Enalgunospocoscasos, sinembargo, lasoluciondel problemaerabastantedifcil yrequeramuchoscalculos.Estetrabajocomienzapresentandounaseriedeherramientas quecon-vendraconocer para resolver conexitolamayorade los problemas. Lasherramientas basicas sonel teoremadePitagorasy lasemejanzadetriangu-los, aunque tambien se proporcionanotrasmenosusuales como losteoremasde Caseyy Descartes, entre otros,que seran necesariosparala resolucion dealg unproblemaconcreto, peroquepuedenobviarseenunaprimera lectura.Preparados conlas herramientas, acontinuacionestanlos enunciadosdelosproblemasaresolver. El lectorpuedeecharlesunvistazoengeneraleir resolviendolosquelesparezcanmas faciles, dejandolos mas difcilesparaelnal.Seavisaqueelordendelosproblemasnosiguening unpatrondeterminado.Lassolucionesdelosproblemasseincluyendeformaseparadaaconti-nuaciondelosenunciadosdelosproblemas. Deestaformanosresultafacilnover lasoluciondeunproblemasinolodeseamos.Al nal, antes de la bibliografa, pueden encontrarse pistas de las solucio-nes,alasquenospodemosagarrarantesdemirarlasolucioncompleta.12. LasHerramientasAntesdecomenzararesolverlosproblemasdebemoshacerrecuentodelasherramientasdequedisponemosparalograrnuestroobjetivoconexito.Procuraremosllevar acuestasunasarmasligeras:porejemplo, nadacalculodiferencial y lo mnimo de geometra analtica o trigonometra. Sin embargo,para dar respuestaa alg unproblemafamoso ocuriosousaremos algunosresultados pococonocidos, comoel teoremadeDescartes oel teoremadeCasey,entre otros.Estosteoremassedescriben condetalle enlaseccion2.92.1. LasemejanzadetriangulosDecimos que dos triangulos son semejantescuando tienen iguales los tresangulosyproporcionaleslostreslados.A BCD EFHaytres situaciones que nos permitenarmar quedos triangulos sonsemejantes:1. Sidostriangulostienendosangulosrespectivamente iguales,entoncessonsemejantes.2. Sidostriangulostienen dosladosproporcionales,eiguales losanguloscomprendidos,entonces sonsemejantes.3. Si dostriangulostienentresladosproporcionales, entoncessonseme-jantes.Comoaplicaciondelasemejanzadetriangulosobtendremosenel apar-tadosiguiente unademostraciondelteoremadePitagoras.22.2. El teoremadePitagorasEl teorema de Pitagoras arma que si a e b son los catetos de un triangulorectanguloyceslahipotenusa,entoncessecumple larelaciona2+b2= c2.Elrecprocotambienescierto,esdecir, sisecumpleestarelacionenuntriangulo,entoncesel trianguloesrectangulo.El teorema de Pitagorasaparece como la Proposicion 47 del primer LibrodelosElementosdeEuclides. El recprocodel teoremadePitagoras eslaProposicion48y ultimadedicho libro.Lasiguientedemostracion, atribuidaaLagrange, esdelasmassimplesentre lasque usanlasemejanzadetriangulos.Consideremosel trianguloABC,rectanguloenC. Al trazarlaperpen-dicularCDaABresultantrestriangulossemejantesACB,ADCyCDB.Por ejemplo ADCy ACB comparten el angulo A y ademas ambos tienen unangulorecto.Portantotienen dosangulosiguales.A D BCabxy c-yPorserADCsemejante aACB,yb=bc yc = b2.PorserCDBsemejante aACB,c ya=ac (c y)c = a2.Entonces,a2= (c y)c = c2yc = c2b2c2= a2+b2.DelasdemostracionesdelteoremadePitagorasbasadasenladiseccion,consideraremosaqulabasadaenlasiguientegura:3Aqu, si a y b son los catetos menor y mayor, respectivamente, el cuadradocentral mide a b, yentonces,sumandoareastenemos:c2= 4 ab2+ (b a)2c2= a2+b2.Ejercicio.Querrael lectorencontrarlajusticacionaotrademostra-cionsimilar delteoremadePitagoras,basadaenlasiguiente gura?42.3. TangenciadedoscircunferenciasEnlosproblemasenlosqueintervengancircunferenciastangentesten-dremosencuentaque:(a) (b)a) Si dos circunferenciassontangentesexteriores, entoncesladistanciaentre suscentroseslasumadelosradios.b) Si dos circunferenciassontangentes interiores, entonces ladistanciaentre suscentrosesladiferencia delosradios.2.4. UnpocodepracticaTeniendoen cuentael teorema dePitagorasylascondiciones detangen-ciadedos circunferenciasqueacabamos deverpodemos resolveralgunosproblemas sencillos como los siguientes, tomadosde la paginaweb de MatiasGiovanni:enamboscasossepideelradiodedelcrculoinscrito,enfunciondel ladodelcuadrado.(a) (b)5PORQS(a)MN O(b)Llamemosaalladodelcuadradoyralradiobuscado.Enel caso(a),tendremos22a = SP= SO +OP=2r +r =_1 +2_r.Portanto,r =12 + 12a2=_2 1_2a2=_1 22_a.Enel caso(b),aplicamoselteoremadePitagorasaltrianguloMNO:MN2+NO2= MO2(a r)2+_a2 r_2=_a2+r_2(a r)2=_a2+r_2_a2r_2= 2ara22ar +r2= 2ar r24ar +a2= 0,dedondededucimos quer =_2 3_a.62.5. Longituddelastangentescomunesadoscircun-ferenciasAcontinuacion sedanformulasdetangentescomunesadoscircunferen-cias.Lastresprimerassonmaselementales yademasseusanconfrecuencia.Lasrestantesnecesitanparasudemostracionel teoremadel cosenoysololasusaremosparademostrarel teoremadeCasey, as quepuedenobviarseenunaprimera lectura.1. Si dos circunferencias conradios R1yR2sontangentes exteriores,entonceslalongitudTdel segmentodetangenteexteriorcom unvale2R1R2.TR2R1Enefecto, usandoelteorema dePitagoras,T2+ (R1R2)2= (R1 +R2)2T2= 4R1R2.2. Si dos circunferencias, concentros O1yO2, yradios R1yR2, sonexteriores, lalongitudTdel segmentodetangenteexteriorcom unTverica:T2= O1O22(R1R2)2.Enefecto, bastausardenuevo elteoremadePitagoras:TR2R1O1O273. Si dos circunferencias, con centros O1y O2, y radios R1y R2, son exte-riores, lalongitudTdel segmentodetangenteinterior com unverica:T2= O1O22(R1 +R2)2.THR2R2R1O1O2Enestecaso, trazamosunaperpendicularO2Halatangentecom unqueformaeltriangulo O1HO2, rectanguloenH.4. Supongamosque las circunferencias C1, centrada en O1y con radio R1,yC2, centradaenO2yconradioR2, sontangentesinterioresenAyB, respectivamente ala circunferencia Ccentrada en Oy con radioR.Entonces,lalongitudTdelatangenteexterior com una C1yC2esT=ABR_(RR1)(R R2).Enefecto, supongamos, sinperdidadegeneralidad, queR1 R2. Elsegmento de tangente com un que mide Tes PQ. Hes la proyeccion deO2sobreO1P.HP QOABCO1O2C1C28ElteoremadePitagorasconel trianguloO1O2HdaT2= O1O22(R1R2)2,mientras queelteorema delcosenoenel trianguloOO1O2daO1O22= (R R1)2+ (R R2)22(R R1)(R R2) cos ,siendoelanguloO1OO2. ElteoremadelcosenoaplicadoaABOdaAB2= 2R2(1 cos ),yeliminando O1O2ycos entre lastresigualdadesobtenemosT2= (RR1)2+(RR2)2(R1R2)22(RR1)(RR2)_1 AB22R2_y, simplicando,T=ABR_(RR1)(R R2).5. Sideformaanaloga, suponemosqueC1yC2sontangentesexterioresaC,seobtendraT=ABR_(R+R1)(R +R2).En este caso, tendramos la situacion representada en la siguiente gura:HPQOABCO1O2C1C29Ahoratenemos:T2=O1O22(R1R2)2O1O22=(R+R1)2+ (R+R2)22(R +R1)(R+R2) cos AB2=2R2(1 cos )Comoantes,eliminando O1O2ycos , obtenemoslaformuladeseada.6. Por ultimo,si C1estangenteexterioraCyC2estangenteinterioraC, lalongituddeunatangenteinterioresT=ABR_(R +R1)(RR2).Consideramoslagurasiguiente:HPQOABCTO1O2C1C2Secumplen lasiguientesrelaciones:T2=O1O22(R1 +R2)2O1O22=(R+R1)2+ (R R2)22(R +R1)(RR2) cos AB2=2R2(1 cos )DeaquobtenemoselvalordeseadodeT.102.6. RelacionentresegmentosdetangentesLos dossegmentos de tangente a una circunferencia desde un punto exte-riorsoniguales. Tambien sonigualeslosdossegmentosdetangenteexteriorcom un a dos circunferencias. Por ultimo, tambien son iguales los dos segmen-tosdetangenteinterior com unadoscircunferencias.Aplicandoesto, podemos encontraralgunarelacion util entresegmentsdetangentesadoscircunferencias. Porejemplo, enlasiguientegura,com-probemosqueTU= PS.WVTUQPSREnprimer lugar,SR = PQ.Enefecto,V W=TUV S +SW=TP+PUSQ+SR =PQ+PR2SR +QR =2PQ+QRSR =PQAhora,TU=TP+PU==PQ+PR ==SR +PR = PS.112.7. El n umerodeoroEl n umero de oro aparece cuando consideramos un rectangulo con unas di-mensiones tales que al suprimir un cuadradomaximo resulta otro rectangulosemejante. En la gura de la izquierda, el rectangulo tiene por base la unidady por altura una cantidad d. Suponiendo que se cumple la propiedad anterior,tenemosd1=1d 1 d2d 1 = 0 d =1 +52.d11d-11ABC DEF1dEl valorobtenidode dseconoce comon umerodeoroy serepresenta por.El n umerodeoroestamuypresenteenel pentagonoregular: ComolostriangulosACDyAFEsonsemejantes, tambien tenemos:d1=1d 1 d =1 +52.AplicandoelteoremadelcosenoaltrianguloACDpodemosobteneral-gunasrazonestrigonometricasdeinteres:cos 36=d2+d212 d d=2d212d2=2d + 12d + 2=2 +53 +5=1 +54cos 72= 2 cos2361 = 26 + 25161 =3 +541 =5 14.122.8. Radio dela circunferenciainscritaen untriangulorectanguloConsideremos un triangulo rectangulo con catetos x e y, y con hipotenusaz. Seg unsemuestraenlagura, podemosexpresarx=a + r, y=b + r,z= a +b.rr bbaaEntonces,z= a +b = x r +y r.Deaqu,obtenemosr = a +b = (x r) + (y r) = x +y 2r r=x +y z2.Comoaplicacion, ellector puederesolver elsiguienteEjercicio. Si un triangulo rectangulo tiene lados enteros, entonces el radiodelacircunferencia inscritaaltriangulotambien seraentero.132.9. OtrasherramientasEnestaseccionvemosciertosresultadosquesonnecesariospararesol-veralgunosdelosenunciados, si bienlamayorapuedenresolverseusandotecnicasmaselementalescomoel teoremadePitagoras olasemejanzadetriangulos.2.9.1. El teoremadePtolomeoElteoremadePtolomeodicequeenuncuadrilateroinscritoenunacir-cunferencia, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productosdelosladosopuestos:.AB DC+DA CB= AC BD.Sea el cuadrilatero ABCD (Fig. 1). Tracemos el segmento AFde maneraqueBAF= CAD.ABCDEFEntonces,lostriangulosABEyACDsonsemejantes yABAC=BEDC AB DC= AC BE (1)Tambiensonsemejantes lostriangulosADEyACB:ADAC=EDCB DA CB= AC ED (2)Sumandomiembro amiembro (1)y(2)obtenemosAB DC+DA CB= AC(BE +ED) = AC BD.142.9.2. El teoremadeCarnotDado cualquier triangulo ABC, la suma de las distancias con signo desdeel circuncentro OalosladosesR+r,siendoRyrlosradiosdelascircun-ferenciascircunscritaeinscritaal trianguloABC.Enlagura(a)lastresdistanciasDO, EO, FOseconsdieranpositivas, yaquetodasllevandirec-cion hacia el interior del triangulo. En la gura(b), las distancias DOy FO,quevanhaciaelinteriordeltrianguloseconsideranpositivas, mientrasqueladistanciaEO,quevahaciael exterior, seconsideranegativa.A BCODEFA BC ODE F(a) (b)Antes de abordarla demostracion del teorema de Carnot, conviene recor-darque1. El segmento que une los puntos medios de doslados de un tri angulo esparaleloaltercer ladoymide lamitad que este.2. El areadeuntriangulopuedeexpresarseenlaformasr, siendoselsemipermetro yrelradiodelacircunferencia inscrita altriangulo.3. Un cuadrilatero esta inscrito en una circunferencia si y solo si los angu-losopuestossonsuplementarios.Ahora, enel caso(a)del trianguloacutangulo, seanx=OD, y=OE,z =OFy, comoeshabitual, a=BC, b=CA, c=AB. El cuadrilateroOBDEestainscritoenunacircunferencia, por loquepodemos aplicarelteoremadePtolomeo:a2x +c2y=b2R, oax + cy =bR. Deformasimilar,15usandolos cuadrilaterosOECFy OFAD,obtendremos queby +az = cRyque bx+cz = aR. Ademas, expresando la suma de las areas de los triangulosOAB, OBCyOCAeigualandolasalareadeltrianguloABCobtenemoscx +ay +bz = 2(ABC) = (a +b +c)r.Sumandoaestaigualdadlastresanterioresobtenemos(a +b +c)(x +y +z) = (a +b +c)R + (a +b +c)r,esdecir, OD +OE +OF= R+r.Enelcaso(b)deuntrianguloobtusangulo, aplicandotambienelteore-madePtolomeoaloscuadrilaterosOEDB, OFADyOCFEobtenemos,respectivamente:cy +bR = ax,bx +cz= aR,cR+by= az.Por otro lado, la igualdad entre areas (OAB)+(OAC)(OBC) = (ABC) seexpresa cx+bz ay = (a+b+c)r. Sumando las cuatro igualdades obtenemos(a +b +c)(x y +z) = (a +b +c)(R+r),esdecir, OD OE +OF= R+r.2.9.3. El teoremadeCaseyEl teoremadeCasey(JohnCasey, 1820-1891) esunageneralizaciondelteoremadePtolomeoyarmaqueCuatrocircunferencias C1, C2, C3, C4sontangentesa unaquinta circun-ferencia ounarectaC5siysolosisecumple unarelaciondel tipoT12T34T13T42T14T23 = 0,siendoTijlalongituddelatangentecom unalascircunferencias CiyCj.Si suponemosqueC1, C2, C3, C4tienenlospuntosdetangenciaeneseorden,podemoseliminar losdoblessignosyexpresarT12T34 +T14T23 = T13T24.16Si las cuatro circunferencias degeneran en puntos A, B, C, D, obtenemosel teoremadePtolomeo.Hayuntotal deseisconguracionesposiblesparael teoremadeCasey,quemostramosaqu entresgrupos dependiendodelaposici onrelativadelascuatrocircunferencias ylaquintacircunferencia.1. Si todas las tangentes comunes sonexteriores, entonces C5tiene elmismocontactocontodaslascircunferencias.T12T23T34T14T13T24C1C2C3C4C5T12T23T34T14T13T24C1C2C3C4C52. Si lastangentesdesde unacircunferencia soninteriores y lasotrastressonexteriores, entoncesestacircunferenciatieneuncontactoconC5diferente deldelasotrastres.C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5173. Si las circunferencias dadas pueden emparejarse de manera que las tan-gentescomunesalascircunferencias decadaparsonexteriores, mien-tras que las otras cuatro son interiores, entonces los integrantes de cadaparejatienen el mismocontactoconC5.C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5182.9.4. El teoremadeDescartesEn una carta de Noviembre de 1643 a la princesa Isabel de Bohemia, Des-cartesdesarrollo unaformula paralos radiosde cuatrocrculos mutuamentetangentes.ElteoremadeDescartesseexpresadeformasencilla usandoelconceptode curvaturade un crculo. En principio, denimos la curvatura de un crculocomoelinverso desuradio: =1r.Enel casodecuatrocrculosmutuamentetangentes, si todos los con-tactossonexternos, entoncesconvendremos enque todaslascurvaturassonpositivas, perosi uncrculoencierraalosdemas, entoncesleasignaremoscurvaturanegativa.Llamando entonces, 1, 2, 3, 4, a las curvaturas de cuatro crculosmutuamentetangentes, el teoremade Descartes armaque se cumple larelacion2(21 +22 +23 +24) = (1 +2 +3 +4)2.(a) (b)(c)(d)Descarteshablabaensucartasolodelasituacionmostradaenlagura(a) pero es valido para tambien para las otras tres. Cuando intervienen rectas,consideramosque estastienen radioinnitoycurvaturacero.ParaunademostraciondelteoremadeDescartespuedeverseellibrodeCoxeter.193. LosEnunciadosProblema1.Crculos inscritos encadenados (Tokyo, 1788) Cual es el radiodel enesimo crculo azul, enterminos de r, el radiodel crculo grandeverde?Observaquelosdoscrculos rojossoniguales,ambosconradior2.20Problema2.Trescrculos y trescuadrados inscritos en un triangu-lorectangulo(Miyagi, 1913) Tres cuadrados naranjas estandibujados comosemuestradentrodel triangulograndeverde. Comoestanrelacionadoslosradiosdelostrescrculosazules?21Problema3.Circunferenciatangenteadoscircunferencias yunarecta(Gumma, 1824)El crculonaranjayel azul setocanel unoal otroenunpuntoysontangentesalamismarecta.Elcrculorojopeque notocatantoaloscrculosgrandescomoalamismarecta.Comoestanrelacionadoslosradiosdelostrescrculos?22Problema4.Cuatrocrculos tangentesaun cuadradoy auncrcu-lo(Gumma, 1874) Enel interiordeuncuadradohayuncrculo. Cuatrocrculos todosconradiodiferente, tocana este crculo central yaladoscon-tiguos del cuadrado.Que relacion hay entre los radios de los cuatro crculosyel ladodelcuadrado?23Problema5.Uncrculoquecontieneadoscrculos, untrianguloisoscelesyunaperpendicular(Gumma, 1803)Labasede untrianguloisosceles estasobreun diametrodel crculograndeverde.Estediametrotambienbisecaal crculorojo, queestainscritoenel, tocandounverticedel triangulo, comosemuestra. Unsegmentouneel centrodel crculoazul yel puntodecontactodel crculorojo y el triangulo. Demostrar que este segmento es perpendicular al diametrodibujadodel crculoverde.24Problema6.El pentagonoysuabanicoLasiguienteguramuestraunpentagonoregularconladosdelongitudk, conseistriangulosrectangulosigualesrodeandoloenformadeabanico.Encontrarlalongituddelahipotenusadelostriangulos.25Problema7.LosdospentagonosDos pentagonos iguales con un lado com un se inscriben en un gran crculo,como se muestra en la gura. Un crculo de radio r toca el crculo grande y losladosDEy EFde los pentagonos,y el crculo inscrito en el triangulo ABHtiene radio t. Demostrar que r = 2t. (Nohay quehacer calculoscomplicados:intentarinscribirel crculoderadiorenuntriangulo.)ABCDEFGH26Problema8.DoscrculosyuncuadradoinscritosenuntriangulorectanguloUncuadradoestainscritoenuntriangulorectanguloyloscrculosins-critosen losdostriangulospeque nostienen radiosrys. Hallar elladot delcuadradoenfuncionderys.srt27Problema9.DoscrculosgemelosenuntrianguloequilateroSi el triangulo es equilatero, y los dos crculos tienen el mismo radio, cuales este?28Problema10.TrescrculosentredosparalelasEncontrarladistanciaentre lasdosparalelasenfunciondelosradiosdeloscrculos.C1C2C329Problema11.UnsemicrculoconuncrculodentroyotrofueraEncontrarlosradiosdeloscrculosinscritosenterminosdelsemicrculoderadior.30Problema12.CrculoinscritoentredoscuerdasDemostrar,quesireselradiodelcrculoinscritoentrelasdoscuerdas,entonces1r=1CD+1DE.CDE31Problema13.LamonedaylaservilletadobladaDemostrarque,enelcuadradodobladodelagura, elradiodelcrculoesigualalalongitudAB.AB32Problema14.El angelconlahogazaHallarlosradiosdelosdoscrculosinteriores.a33Problema15.UncrculoentredostriangulosisoscelesHallarel radiodel crculoenfunciondea.aa2a234Problema16.Doscrculosinscritosentreuncuadradoydostrian-gulosequilaterosSiendo equilateros los dos triangulos que hay dentro del cuadrado, que re-lacionhayentre losdosradios?35Problema17.Uncrculoentredostangentesacrculosinscritosentriangulosrectangulosdentrodeuncuadrado.Demostrarqueel radiordelcrculo central cumple larelacion1r=1a 2r1+1a 2r2.C1C2a36Problema18.Uncuadrado, unsemicrculoydoscrculosDemostrarquelarelacion entrelosradiosdelosdoscrculoses3:2.37Problema19.CrculosentrearcosycuadradosEncontrar el lado del cuadrado interior y el radiode los crculos interiores.38Problema20.DoscrculosydosarcosdentrodeuncuadradoHallarel radiodeloscrculosinteriores.a39Problema21.CocteldecuadradosQue relacion debe haber entre a y x para que los puntos P, Q y R estenalineados?Expresar,encualquier caso,xenterminosdea, byc.PQRaxcb40Problema22.CincocrculosgemelosenuncuadradoHallarel radiodeestoscinco crculosenfunciondel ladodelcuadrado.41Problema23.Cuatrocrculosgrandesydospeque nosConsideremosestaimagendeunatabletajaponesa.Encaso de nosaber japones, podemos considerar dos enunciados delproblema:1. Si los cuatrocrculososcuros tienenel mismoradior ylos crculosclarostienenradios, hallarrysenterminosdel radioadel crculocircunscrito.2. Si de los cuatro crculos oscurosel superior y el inferior tienen un radioryel izquierdoyel derechotienenunradioRy, comoantesseselradiodeloscrculos claros,expresarRysenterminosderya.42Problema24.SeiscrculosenunrectanguloEncontrarlasdimensionesdel siguienterectangulo, siendolaunidadeldiametrodelosseiscrculos.43Problema25.PrimerteoremadeMikami yKobayashiAltriangularunpolgonoconvexo inscritoenuncrculo, trazandotodaslasdiagonalesdesde unode losvertices, la sumade losradiosde loscrculosinscritosenlostriangulosesunaconstantequeesindependiente delverticeusadoparahacerlatriangulacion.44Problema26.SegundoteoremadeMikami yKobayashiDemostrarqueal unirlosincentrosdelostriangulosformadosaltrazarlasdiagonalesdeuncuadrilateroinscritoenunacircunferencia seformaunrectangulo.45Problema27.Uncuadrilateroinscritoycircunscrito,ydoscrculosmasEl cuadrilatero esta inscrito y circunscrito, como indica la gura. Eldiametrodel crculoverdees9yel del rojoes4. Cual esel diametrodelcrculo amarillo?464. LasSolucionesProblema1.CrculosinscritosencadenadosVamosausarelteoremadeloscrculos deDescartes:2(21 +22 +23 +24) = (1 +2 +3 +4)2.Parasimplicar, consideramos que r = 1. Entonces, aplicando la formulacon 1 = 1, 2 = 3= 2, obtenemos 4= 3, as que el primer crculo naranjatiene radio13.Para 1=1, 2=2, 3=3 obtenemos 4=6 siendo16el radiodelsegundocrculonaranja. Continuandoelprocesovemosqueloscrculosnaranjatienenradios13,16,111,118, ... Porinduccionpuedecomprobarseelradiodel crculo naranjanes1/(n2+ 2).Ahora aplicamos otra vez el teorema de Descartes con 1= 2, 2= n2+2,3 = (n1)2+2 y obtenemos 4= 4n24n+15, es decir el radio del crculoazulnesn=14n24n + 15.47Problema2.Trescrculos y trescuadrados inscritos en un triangu-lorectanguloNombremoslosvertices delaguraas:C GH K BAEFJMNODLISean a = BC, b = AC y c = AB los lados del triangulo ABC. El trianguloDGCessemejante aABC, porloquelosladoshomologosseescribiranka,kbykcparaalg unk