libro dinamicarte i

Universidad Nacional de Ingeniera - Fac. de Ingeniera Industrial y de Sistemas

Crdova Neri, T. Rivera Crisstomo R. 1 Dinmica de Sistemas



Cordova Neri T. Rivera Crisostomo R.

Lima - Peru

7.0.3



INAMICA DE SISTEMASD



REFACIO Esta obra est dirigida y orientada a las organizaciones que

involucran la sociedad en su conjunto, especficamente a aquellos que por alguna razn necesitan aprender a solucionar problemas de tipo real; aplicando la dinmica de sistemas.

De la misma forma la literatura no comercial sobre temas introductorias del comportamiento de sistemas y en particular sobre la solucin de problemas reales es en general escasa y en algunos casos obsoleta. Excusa ideal y principal motivacin para el desarrollo de esta primera edicin del libro denominado dinmica de sistemas. Esta edicin incluye problemas reales, propuesta de mejores soluciones y novedosos componentes; que permiten comprender con claridad la aplicacin de los conceptos definidos en la parte terica. La herramienta que se utiliza en el modelamiento dinmico para mostrar la solucin del problema es el software Stella. La importancia de este software radica en la facilidad de uso que brinda al alumno permitiendo concentrarse con mayor especificacin en el modelamiento y estructura de los datos.

El libro enfoca problemas que requieren y obedecen a un algoritmo; caracterizado pro requerir para su solucin; de un anlisis sistemtico y de un razonamiento estructurado y flexible.

Peter Senge conocido investigador define la dinmica de sistemas; como una de las cinco disciplinas, que contienen dentro de su ncleo el concepto de aprendizaje; termino definido por : Fred Kofman; como: El aprender implica incorporar nuevas habilidades, posibilita el logro de objetivos que hasta el momento se hayan fuera del alcance. El cual es tarea diaria del ser Maestro; (ensear, a aprender, ensear a ver, ensear a saber).

Debemos entender que el esfuerzo y la bsqueda constante del saber contina, encontrar caminas es una tarea estimulante, implica ensear al alumno a ser flexible, a observar un problema bajo pticas diferentes, a ver distintas alternativas, a interpretar y sentir la belleza de una solucin.

Finalmente queremos agradecer a todos aquellos que contribuyeron en forma desinteresada a la elaboracin del esta obra.

Atentamente,

Los Autores

P



ONTENIDO

PREFACIO

INTRODUCCION

CAPITULO I : DINAMICA DE SISTEMAS 6

1.1 MODELO DINMICO 9

1.2 DIAGRAMAS CAUSALES 21

1.3 SISTEMAS DINAMICOS DE PRIMER ORDEN 25

1.4 DIAGRAMA FORRESTER 31

CAPITULO II : ESTRUCTURA DE DATOS 50

2.1 VECTORES 53

2.2 MATRICES 57

2.3 DESARROLLO DE PROBLEMAS 61

CAPITULO III : FUNCIONES 80

3.1 APLICACIN DE FUNCIONES 87

3.2 IMPORTACION Y EXPORTACIN DE DATOS 103

3.3 MODELOS Y SUBMODELOS 104

CAPITULO IV : DISEO DE MENS 105

4.1 APLICACIN 107

4.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 120

C



INTRODUCCIN L presente libro, enfoca los fundamentos de la Teora de Sistemas, en

particular el comportamiento de los Sistemas Dinmicos, su orden y su crecimiento respectivamente; asimismo contiene problemas resueltos

indicando su procedimiento y representacin en Dinmica de Sistemas, para lo

cual se elabora los Diagramas de Causa Efecto. Y con el uso del Software

Stella STELLA 7.0.3 se realiza la implementacin de los Diagramas de Forrester.

Con la finalidad de evaluar los resultados del proceso de simulacin,

determinamos 2 aspectos fundamentales para el anlisis:

1.- Utilizando los Grficos para la representacin del comportamiento de los modelos mediante series, grafica de barras, etc.

2.- Utilizando las Tablas para ver los datos estadsticos por unidad de tiempo y por tipo de variable.

Para optimizar el diseo de los modelos y su implementacin, se utiliza

Estructuras de Datos (Listas y Matrices), Funciones predefinidas, tales como:

Delay(), Ramp(), Step(), Pulse(), if then else .

El contenido del presente texto, esta divido en 2 partes:

Parte I.- Marco Conceptual, teora y aplicaciones mediante Diagramas Causales y su implementacin respectiva en Diagramas de Forrester.

Parte II.- Consta de una gua de 60 problemas propuestos. El solucionario se encuentra en la Pgina Web del autor (www.iespana.es/tcordova o

www.fiis.uni.edu.pe)

Seor Lector , se espera de UD. sus aportes para las innovaciones de nuevos

problemas.

E



APITULO I

DINMICA DE SISTEMAS Dinmica de Sistemas permite una mejor comprensin en el comportamiento de

sistemas. Actualmente, las reas de aplicacin, se han extendido al cambio del medio

ambiente, importacin/exportacin de productos, poltica, la conducta econmica, la

medicina y la ingeniera, as como a otros campos. Esta tcnica permite ver la

evolucin de los sistemas a travs del tiempo.

DEFINICIN DE LA DINMICA DE SISTEMAS.

La Dinmica de Sistemas usa conceptos del campo del control realimentado para organizar informacin en un modelo de simulacin. La

simulacin ilustra las implicaciones del comportamiento del sistema Modelado. Representacin de Sistemas

C



HISTORIA DE LA DINMICA DE SISTEMAS

Jay Forrester, ingeniero de sistemas del Instituto Tecnolgico de Massachussets (MIT) desarroll esta metodologa durante la dcada de los cincuenta. La primera

aplicacin fue el anlisis de la estructura de una empresa norteamericana, y el estudio

de las oscilaciones muy acusadas en las ventas de esta empresa, publicada como

Industrial Dynamics. En 1969 se publica la obra Dinmica Urbana, en la que se

muestra cmo el "Modelado DS" es aplicable a sistemas de ciudades. En 1970, aparece El Modelo del Mundo, trabajo que sirvi de base para que Meadows realizasen el Informe al Club de Roma, divulgado posteriormente con el nombre de

Los lmites del Crecimiento. Estos trabajos y su discusin popularizaron la Dinmica

de Sistemas a nivel mundial. Los Modelos, por varias dcadas se implementaron usando el Lenguaje de Programacin DYNAMO bajo la plataforma DOS, pero en la presente dcada surge con mucha influencia Stella 7.0.3 bajo plataforma Windows. Su ventaja es grande, pues a la vez que Usted disea el Diagrama de Forrester, se va

generando el Programa Fuente ( Ecuaciones ).

Evento Continuo La simulacin continua es anlogo a un depsito (Nivel) donde el fluido que

atraviesa una caera es constante. El volumen puede aumentar o disminuir pero el

Flujo es continuo, en modelos continuos el cambio de valores se basa directamente

en los cambios del tiempo. En la siguiente grfica se ilustra el proceso :



La Dinmica de Sistemas en el contexto de la Ingeniera de Sistemas Un sistema, se entiende como una unidad cuyos elementos interactan juntos,

ya que continuamente se afectan unos a otros, de modo que operan hacia una meta

comn. Al hablar de dinmica de un sistema, nos referimos a que las distintas variables

sufren cambios a lo largo del intervalo de simulacin (tiempo), como consecuencia de

las interacciones que se producen en ellas. Su comportamiento vendr dado por el

conjunto de trayectorias (grficas) de todas las variables, que pueden mostrarse en

forma creciente, decreciente o lineal.

Modelos y la toma de decisiones

La dinmica de sistemas es una metodologa para resolver problemas del mundo real, pues sus campos de aplicacin son muy variados. Por ejemplo, para

construir modelos de simulacin informtica, sistemas sociolgicos, ecolgicos y

medioambientales, energticos, problemas de defensa, simulando problemas logsticos

de evolucin de tropas, estos modelos son de gran utilidad tcnica en la gestin de las

organizaciones al implementar su Plan Anual de Actividades.

REALIMENTACION

Proceso que toma un valor de entrada convirtiendo estos valores en una salida,

los cuales son usados como una entrada. En la siguiente grafica, se complementa el

concepto de Realimentacin o Retroalimentacin.



MODELO DINAMICO Un Modelo Dinmico es el conjunto de variables que tienen una relacin causa

efecto y permiten Proyectar resultados y as observar su evolucin o su

comportamiento del sistema .

Smil Hidrodinmico

Es la representacin grafica como un observador ve al sistema. En la siguiente grafica, se considera las siguientes variables: Nivel, Discrepancia, Flujos de Entrada y

Salida.

Grafica que representa un Smil Hidrodinmico usando 3 niveles

En la siguiente grafica, se ilustra el smil hidrodinmico considerando 3 niveles:

N, M y P. Variables de Flujo son: F1, FS1 y FS2. Como observara FS1 es variable de

salida para el nivel N y a la vez sirve de Entrada para el Nivel M.



Representacin del Smil Hidrodinmico

MODELOS ANALITICOS (MATEMATICOS) EN SISTEMAS DINAMICOS De la grafica, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales, que

representan los cambios de estado respecto a los Niveles P, M y N.



MODELO

Un modelo es una representacin formal de un sistema, que nos permitir

simular o estudiar los comportamientos diferentes frente a supuestos de partida distintos (escenarios). Identificado el Sistema, para construir su modelo seguir la siguiente secuencia de pasos:

La fotografa del estado actual del sistema viene representado por las "variables de nivel", que son asimiladas a almacenes, cajas o "niveles" que se llenan

con el aporte de los "flujos" y con el recurso de las "auxiliares", dependiendo del

intervalo de simulacin ( Uso de la integral definida ) o de un Objetivo.

Elementos y relaciones en los modelos dinmicos

Un sistema esta formado por un conjunto de elementos en interaccin:

1.- Diagramas Causales : Relacin entre sus Tipos de Variables

2.- Variables Exgenas : Afectan al sistema sin que este las provoque.

3.- Variables Endgenas : Afectan al sistema, pues este las genera.

En la siguiente grafica, se ilustra Sistema Real, Modelo y Diagrama



RELACIN CAUSAL

Sean 2 variables A y B, se define una relacin causal entre las dos variables

cuando un elemento A determina un cambio en el elemento B, con relacin de Causa

a Efecto.

Notacin:

Sea la Grafica:

Representa la relacin de Causa Efecto entre el par de variable A, B

Tipos de Relaciones

Las relaciones causales representan perturbaciones en el sistema, estas relaciones

pueden ser Relaciones Positivas y/o Relaciones Negativas. Si la relacin causal es

positiva el sistema tiene un comportamiento creciente, en otro caso, existe un

comportamiento decreciente. A continuacin, se definen cada relacin.

1.- Relacin Causal Positiva Cuando una variable A efecta o ejerce una accin sobre B en forma

positiva(Crecimiento).



Ejemplo 1.- Cuando en el sistema ocurre que ms nacimientos de nios, el sistema se perturba en una forma creciente en la variable Poblacin.

Significa que la variable Nac (nacimientos) permite el aumento en la variable

Pob(Poblacin)

Ejemplo 2.- Cuando en el sistema ocurre que existe mas produccin ( Prod. ), el sistema se perturba en una forma creciente en la variable Almacn(Alm).

Ejemplo 3.- Cuando en el sistema ocurre que existe mas Stock, el sistema se perturba en una forma creciente en la variable Venta.



Ejemplo 4.- Cuando en el sistema ocurre que existe mas produccin ( Prod. ), el sistema se perturba en una forma creciente en la variable Almacn(Alm).

2.- Relacin Causal Negativa

Cuando una Variable A acta sobre una Variable B en forma negativa

(Decrecimiento).



Ejemplo 1.- Cuando en el sistema ocurre que existe mayor vacunacin(May.Vac), el sistema se perturba en una forma decreciente en la variable Enfermos.

Significa que la variable May.Vac (Mas vacunacin) , permite que exista menos

Enfermos

Ejemplo 2.- Cuando en el sistema ocurre que existe mayor Fallecimientos (May Fallec) el sistema se perturba en una forma decreciente en la variable Poblacin.

Ejemplo 3.- Cuando en el sistema ocurre que existe mas tiempo de sueo, el sistema se perturba en una forma decreciente en la variable sensacin de cansancio.



BUCLE DE REALIMENTACION

Se define un Bucle como una cadena cerrada compuesta por relaciones de

influencias. Puede estar formado por dos o ms variables.

Ejemplo 1.- Disear un bucle usando v variables, referentes a un sistema Fabrica:

Tipos de Bucles 1.- Bucle Positivo: Cuando en su estructura dinmica existe un nmero Par de Relaciones Negativas.

OBSERVACION.- Se asume por defecto que si todas las relaciones son positivas, entonces el bucle o bucles sern Positivos.



Interpretacin: El sistema tiene un comportamiento creciente (incremento)

Ejemplo 1.- Representar el sistema Almacn y produccin mediante un Bucle

Positivo.

Interpretacin: cuando mayor sea la tasa de produccin, aumentar la produccin y

a mayor produccin mayor cantidad

productos en el

Almacn

Ejemplo 2.- Representar el sistema Profesionales y calidad en

educacin, mediante un Bucle

Positivo

Interpretacin: cuando menor sean los profesionales de xito, se

impartir menor calidad en

educacin, consecuentemente se

formara menos profesionales de

calidad.



Ejemplo 3.- Representar el sistema Clientes Insatisfechos y

cantidad de quejas mediante un

Bucle Positivo.

Ejemplo 4.- Representar el sistema para el modelo de una

cuenta bancaria, donde considere capital, inters, ingresos, retiros de dinero, tasa de

inters.

Ejemplo 5.- Representar el sistema para el modelo donde interviene Luz y Sombra, mediante dos relaciones negativas



2.- Bucle Negativo: Cuando en su estructura dinmica existe un nmero Impar de relaciones negativas.

Ejemplo 1: Disear un Bucle Negativo usando las variables Poblacin y

Fallecimientos.

Interpretacin: Cuando mayor sea la tasa de Fallecimientos, aumentar los

Fallecimientos y a mayor cantidad de

Fallecimientos habr menor cantidad de

Poblacin.

Ejemplo 2.- Disear un Bucle Negativo usando las variables Stock y ventas

Interpretacin: Cuando exista mayor cantidad de productos en Stock, la

probabilidad de ventas es Mayor y si

existe mayor ventas de la cantidad de

productos en Stock disminuye (decrece).

Ejemplo 3.- Disear un Bucle Negativo usando las variables Sensacin de descanso y tiempo de sueo. Estos bucles se les denomina Bucles de Compensacin de

Equilibrio



Ejemplo 4.- Disear un Diagrama Causal, para un Sistema Industria, debe mostrar los bucles positivos y negativos. En el anlisis considere la presencia de las variables :

Salarios, Utilidad, Demanda, Capacidad de consumo, Costos y Precio.

En la siguiente grafica, se ilustra la estructura del sistema mediante el diagrama

causal.

Atraso o Retraso.- Ocurre cuando en el sistema se presenta una perturbacin de retraso.



Diagramas Causales.-

Muestran el comportamiento y estructura de un sistema dinmico, dada por la especificacin y la relacin de cada par de variables, mostrando tipos de bucles,

relaciones positivas, negativas, tasas constantes, variables auxiliares. En esta seccin

ya se puede definir los Modelo Analticos por cada variable

Reglas para Disear Diagramas Causales

1.- Anlisis y eleccin de variables;

2.- Distinguir en forma precisa variables causa y las variables efecto;

3.- Determinar el sentido causa-efecto de cada vnculo:

+ si es el mismo y

- si es opuesto;

4.- Indicar los retardos o demoras

5.-Determinar la polaridad o tipo de cada bucle.



Ejemplo 1: En la siguiente grafica se ilustra el diagrama causal relacionando el par de variables Nacimientos con Poblacin.

Diagrama Causal con la presencia de un bucle y su comportamiento creciente

Modelos Analticos:

Ecuacin de Nivel:

Poblacin ( t ) = Poblacin ( t = 0 ) + ( nacimientos(t))dt

Interpretacin:

a) Poblacin ( t ): Representa los nuevos valores proyectados Simulados b) Poblacin ( t = 0 ): Representa la cantidad inicial en el sistema

c)

( nacimientos(t))dt : Permite realizar las diferentes variaciones del sistema.

Observacin: El smbolo integral significa el Intervalo de Simulacin definido entre un valor inicial y un valor final.



Ecuacin de Flujo o Decisin:

Nacimientos ( t ) = tasa Nacimientos * Poblacin (t)

Ejemplo 2: En la siguiente grafica se ilustra el diagrama causal relacionando pares de variables Nacimientos, Poblacin y Fallecimientos, asimismo formando 2 bucles.

Interpretacin: A mas nacimientos aumento en la Poblacin y mas poblacin mas probabilidad de fallecimientos implicando que disminuye la poblacin por tanto debe darse mas

nacimientos.

Modelo Analticos:

Ecuacin de Nivel:

Poblacin ( t ) = Poblacin ( t = 0 ) + ( nacimientos(t) Fallecimientos (t))dt

Ecuacin de Flujo o Decisin:

Nacimientos ( t ) = tasa Nacimientos * Poblacin ( t )

Fallecimientos( t ) = tasa Fallecimientos * Poblacin ( t )

Ejemplo 3: En la siguiente grafica se ilustra el diagrama causal relacionando un par de variables y formando bucles donde interviene un Objetivo.



Ejemplo 4: En la siguiente grafica, se ilustra el Diagrama causal para la poblacin estudiantil a nivel de instituciones educativas de nivel superior. Se identifica una serie

de bucles positivos y negativos.



SISTEMAS DINMICOS DE PRIMER ORDEN

Fundamento Terico

Este tipo de sistemas dinmico poseen una nica variable de nivel en su estructura y adems pueden estar formados por bucles de realimentacin positiva o por

bucles de realimentacin negativa.

1.- Sistemas de primer orden con realimentacin positiva

Relaciona a fenmenos de crecimiento, con comportamiento explosivo, el caso de un crecimiento desmedido en la poblacin, es un ejemplo de un sistema de primer

orden. Son aquellos en los que la variacin de un elemento se propaga a lo largo del

bucle de manera que refuerza la variacin inicial.

2.- Sistemas de primer orden con realimentacin negativa

Estos sistemas se caracterizan por tener un comportamiento determinado por un objetivo. Los sistemas de realimentacin negativa tambin son llamados sistemas

autorreguladores y homeostticos.

En su comportamiento esta implcito la definicin de un objetivo, el cual se

determina externamente, por lo tanto, es una variable exgena. Son aquellos en los

que la variacin de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que

contrarreste la variacin inicial. TIENDE A CREAR EQUILIBRIO.

El nivel es el objeto de control que representa la acumulacin de todas las

acciones pasadas, adems este solo puede ser variado por medio del flujo.

Objetivos



Son valores constantes que surgen por parte de los responsables del sistema

para lograr una meta en el tiempo.

Por cada presencia de un objetivo, se crea automticamente una nueva variable

denominada Discrepancia, que depende del tiempo y que es equivalente a un Error causado por el objetivo.

La discrepancia es un puede ser :

Faltante. - Si el objetivo es mayor que la cantidad inicial, en este caso se tiene perturbar el sistema con una tasa mayor para el flujo de entrada de datos a la variable

de nivel.

Sobrante Si el objetivo es menor que la cantidad inicial, es decir la tasa para el flujo de salida debe ser mayor que la tasa de para el flujo de entrada.

Ejemplo 1.- En la siguiente grafica, se ilustra en forma de aritmtica bsica como varia la discrepancia. Veamos :

Del grafico se observa que existen 5 pedidos, con los cuales se logra cumplir

con el objetivo de 200 unidades:



Da 1:Se pide 20 entonces aumenta almacn a 140 y discrepancia disminuye a 60

Da 2 se pide 10 entonces aumenta almacn a 150 y discrepancia disminuye a 50




Es decir que se ilustra una relacin aritmtica inversamente proporcional entre almacn y discrepancia. Mientras almacn aumente, discrepancia disminuye hasta llegar a 0.

Ilustracin Aritmtica

Nivel : 120 140 150 170 180 200

Discrepancia : 80 60 50 30 20 0

Como observa, cuando la discrepancia es 0, el nivel (antes 120) coincide (

despus de 5 dias ) con objetivo ( 200).

En la siguiente figura se muestra un diagrama causal de un Sistema Regulado usando una variable de nivel con relacin a la presencia de un Objetivo.



Diagrama causal de un sistema de primer Orden con realimentacin negativa.

Interpretacin del Grafico:

Cuando la variable Accin aumenta, la variable Nivel se ve perturbada en un

crecimiento, a medida que esta crece la Discrepancia se reduce(disminuye) y para que

no exista discrepancia se tiene que aumentar la variable Accion. Asi continua el bucle

hasta cumplirse con el objetivo.

Modelo Analtico:

Discrepancia ( t ) = Objetivo Nivel ( t )

Debe advertirse que el objetivo se pueden aplicar tanto a las flujos de Entrada como a

flujos de salida.

Ejemplo 2.-

Un comerciante dispone inicialmente de 2000 unidades de pelotas en su

almacn, pero debido a las cercanas de fiestas navideas desea tener 2500 unidades



Si la tasas de produccin es del 20%. Disear el modelo que permita cumplir

con el objetivo establecido.

Solucin.

Diseo del Diagrama Causal

Modelos Analticos:

Almacn ( t ) = Almacn ( t =0) + [Produccin( t ) ] d t

Discrepancia ( t ) = Objetivo - Almacn ( t )

Produccin( t ) = Tasa _P * Discrepancia ( t )

= Tasa_P [ Objetivo - Almacn ( t )]

Ejemplo 3.-

Suponga, ahora que en el problema 2) tambin existe ventas las cuales se realizan con una tasa de ventas del 5%. Disear el modelo dinmico respectivo.

Solucin .- Diseo del diagrama causal.



Modelos Analticos:

Almacn ( t ) = Almacn ( t =0) + [Produccin( t ) - ventas ( t ) ] d t

Discrepancia ( t ) = Objetivo - Almacn ( t )

Produccin( t ) = Tasa _P * Discrepancia ( t )

= Tasa_P [ Objetivo - Almacn ( t )]

Ventas ( t ) = Tv * Almacn ( t )

Donde : representa el intervalo de tiempo entre tiempo inicial y tiempo

final.



DIAGRAMAS DE FORRESTER

Forrester estableci un paralelismo entre los sistemas dinmicos (o en evolucin) y uno hidrodinmico, constituido por depsitos, intercomunicados por

canales con sin retardos, variando mediante flujos su nivel, con el concurso de

fenmenos exgenos (externos). Todos estos elementos tienen su correspondiente

smbolo (de nivel o stock, de flujo o cambio).

Elementos Sumidero: Canal de Distribucin :

Flujo : Canal de Informacin :

Nivel : Variable Auxiliar ~

Conversor:

Retardo:



Ejecucin del Software STELLA 7.0.3

STELLA 7.0.3, es un software diseado para incrementar la efectividad de los

procesos que dependen del tiempo, procesos que permiten representar, simular y

plasmar nuestros modelos mentales.

Modelo Mental.- Son aquellas concepciones que tenemos y que nos permiten:

Dar significado a nuestras experiencias; Compartir y a ampliar ese significado con otros; y Evaluar y tomar decisiones sobre cursos apropiados de accin.

As, es de gran importancia construir modelos mentales de tal manera que reflejen

la realidad del sistema que representan y aprender a simularlos confiablemente es muy

importante para hacer que los sistemas de nuestro entorno trabajen ms eficazmente.

El objetivo del Software STELLA 7.0.3, por ser visual para el diseo, tiene la

caracterstica de acelerar y enriquecer estos procesos de aprendizaje. En el contexto

de trabajo visual, permite usarlo como una herramienta para : simular, generar modelos

analticos y finalmente realizar el anlisis e interpretacin respectiva.

Se debe destacar que el Software Stella a sufrido varios cambios en el tiempo,

es as que en la dcada del 90, se utilizaba la versin 3.0, pero a fines del 90 se

remplaza por la versin 5.0 y a inicios de la dcada del 2000, sale la versin 7.0.3,

que es parte de la presente publicacin.

A continuacin se detalla las posibilidades de Stella para disear el Diagrama de

Forrester.

Ejecutar , o hacer doble Clic en el icono

STELLA

Stella2



Presentacin Principal de Stella 7.0.3

Interfaces del Software STELLA

El software Stella Research, de acuerdo con la metodologa de sistemas, nos

brinda tres facetas o niveles que compones un modelo y que se detallan a

continuacin:

1.- El Nivel Interface.

Area de Trabajo



Este nivel esta diseado para tener una macro visin del modelo agrupando los

componentes en sectores que faciliten su lectura y comprensin. Esta fase, permite:

a.- Busca ser una herramienta comunicacin al para transmitir la idea bsica del

sistema a otros sin necesidad de ver el detalle del modelo.

b.- Permite observar resultado de la simulacin del modelo a travs de diversos

formularios grficos, incluyendo animaciones.

c.- Para cumplir lo anterior presenta tambin elementos que permiten la

interaccin con el modelo, es decir, la experimentacin sin necesidad de modificar

directamente la valores numricos de las variables.

Bloques de Construccin

Existen tres bloques de construccin, estos son: El marco de

proceso(conocido como sector), el flujos y el conectores. En el nivel de

Modelamiento se tienen los bloques propios del diagrama de Forrester. Estos son: el

stock o variable de nivel, el flujo o variable de tasa de cambio, el convertidor o

variable auxiliar, y el conector o enlace.



Nivel de Interface Se tienen tres bloques de construccin. Una breve descripcin de estos tres

bloques de construccin se presenta a continuacin:

a) El Marco de Proceso, Frame o Sector. El propsito de este elemento es permitir la representacin de procesos de alto

nivel. Facilita un enfoque top-down a la construccin del modelo. Provee

capacidades para la navegacin desde el marco de sector y su estructura de

niveles y flujos en nivel de modelamiento.

b) Los flujos o flujos empaquetados. En este nivel permiten representar el flujo material entre los procesos del

modelo. De igual forma que el marco de proceso, el flujo empaquetado facilita un

enfoque top-down para la construccin del modelo. Brinde, adems, facilidades de

navegacin para encontrar flujos de sector a sector en el nivel de modelamiento.

c) Los conectores o conectores empaquetados.

Que permiten representar las conexiones o flujos de informacin existentes entre sectores. Permite un aplicar la tcnica de diseo top-down para la construccin

del modelo.

2.- El Nivel Modelamiento

Tambin se denomina mapeo. Este nivel se construye a travs de los bloques

de diseo. Se especifican las variables, sus propiedades, valores iniciales, ecuaciones,

intervalos de simulacin, tipos de datos, mtodos de iteracin, etc. En este nivel se

puede ver tambin los resultados de la simulacin mediante tablas y el comportamiento

del sistema mediante las graficas.



3.- Nivel de Ecuaciones Este nivel presenta el sustento de la teora desde el enfoque matemtico para

representar el modelo, describe al sistema simblica a travs de modelos analticos

(Ecuaciones Matemticas ).

Las relaciones entre variables definidas en el nivel de construccin del modelo

se presentan de manera formal mediante ecuaciones.



Descripcin de la Barra de Herramientas.- A continuacin se presenta las alternativas para el diseo del Diagrama de Forrester.

Problema 1.- Disear su Diagrama de Forrester para el siguiente diagrama

causal que representa un Sistema

Regulado usando una variable de

nivel con relacin a la presencia de un

Objetivo.

En la vida real, los Objetivos son

planteados buscando satisfacer una

meta para el sistema y estn en



relacin a los valores iniciales que dispone el sistema, puede ser una cantidad mayor,

menor e inclusive igual. Es relevante aclarar, que el objetivo es un valor constante y

positivo, por mas que cambie el tiempo, este permanece estable hasta cumplir con la

meta. En el problema 2, se mostrara los procedimientos respectivos.

Diseando el Diagrama de Forrester.-

Se debe disear siguiendo la lgica del Diagrama causal, para lo cual debe

identificar los tipos de variables del sistema (nivel, flujos, auxiliares) y los canales de

informacin respectiva.

A continuacin se disea su Diagrama de Forrester correspondiente, el cual

requiere para su construccin el uso de

las siguientes variables: de nivel, de flujo

y una variable auxiliar.

Diagrama de Forrester de un sistema de Primer orden con realimentacin negativa

En cada variable aparece el signo

de interrogacin ( ? ), significa que tales variables esperan su valor

correspondiente.

Observacin: El signo ? aparece solo cuando esta activado , si esta

activado (MAP ) no se muestra el signo en mencin.

Problema 2.- La poblacin actual de un pas americano es de 100000 habitantes, en este sistema se conoce que la tasa de nacimientos es del 15% y la tasa de

fallecimientos es del 5 %. Disear el Modelo Dinmico que permita conocer la cantidad

de habitantes para el ao 2010. El modelo debe contener: Diagrama Causal, Modelos

Analticos, Diagrama de Forrester, Tablas, Grficos, interpretacin de resultados.



Solucin.

I.- Anlisis.- Primero debemos identificar los tipos de variables que son parte del modelo.

Variable de Nivel.- Poblacin

Dos vlvulas o variables de flujo: Nacimientos y Fallecimientos

Dos variables auxiliares: tasa nacimientos y Taza fallecimientos

II.- Diseo del Diagrama del Diagrama Causal o Cusa Efecto

En esta fase se aplica el concepto de Relacin de influencias entre cada par de

variables y teniendo cuidado en su comportamiento (signo), el cual identifique con

claridad los tipos de bucles.

Interpretacin: Mas nacimientos mayor cantidad de poblacin y a mayor cantidad de poblacin mayor probabilidad de fallecimientos con lo cual decrece la poblacin y como

decrece la poblacin debe continuar incrementndose los nacimientos.

III.-Diseo del Diagrama de Forrester



En esta fase relaciona las variables siguiendo exactamente la estructura del

Diagrama Causal. Asimismo observara el diseo en forma visual de las relaciones

entre los elementos del diagrama. A continuacin se describe los procedimientos.

1.-Diagrama.- Podemos agrupar las variables utilizando la herramienta de

Agrupacin que se encuentra en el men. Para identificar las variables en el

sistema, asigne nombre a la variable de nivel Poblacin, a la variable de flujo de

entrada : Nacimientos a la variable de flujo de salida Fallecimientos, a la

variable auxiliar (Tasas) asigne TasaNacimientos y TasaFallecimientos. Luego

en el lado derecho del panel de diseo haga clic en el icono del mundo para

trabajar en el panel de ecuaciones y as asignar valores a cada una de las variables.

Para las relaciones entre cada una de las variables debe usar y para establecer

los Flujos use .

Interpretacin: Especficamente dirigida a la relacin que existe entre variables Poblacin con Fallecimientos. La direccin es de izquierda a derecha debido que el control de



datos se hace desde la variable de nivel, para nuestro caso Poblacin. Tambin en paralelo se

va generando en forma automtica los modelos analticos (Ecuaciones) para lo cual puede usar

.

2.- Ecuaciones.- Despus del diseo del diagrama de Forrester, se establece las

ecuaciones para cada una de las

variables.

2.1.- Nivel.- Para la variable Poblacin

hacer doble clic y completar el

formulario del reservorio asignando la

cantidad de 100000 habitantes como

valor inicial y luego hacer clic en OK.

2.2.- Flujos.- Establezca ecuaciones para las variables de Flujo de entrada - salida de la siguiente manera:

Para la variable Nacimientos, seleccione de la lista Required Inputs la variable

Poblacin y en la calculadora presione * y coloque TasaNacimientos de Required

Inputs. Establezca la opcin UNIFLOW, finalmente OK. De forma similar con la variable

de flujo de salida Fallecimientos, haga doble clic y complete formulario de

variable muertes

.

2.3.- Auxiliares.- Establezca valores para la variable auxiliar TasaNacimientos, haga doble clic sobre ella y complete formulario. Establezca la opcin Standard y



complete en el textbox de TasaNacimientos asignando el dato 0.15, luego OK. Anlogamente hacer para TasaFallecimientos.

Con estas etapas, el modelo esta listo para ejecutarlo (Si desea puede verificarlo

usando o (Ctrl+R), pero UD. no

observara ningn valor, pues no ha

definido: tablas, Grficos, animacin,

etc.

Animacin.- Es la opcin para observar en forma visual la ejecucin

del modelo, logrando ver como la

variable de nivel varia en forma de

incremento o decremento.

Para lograr este proceso, hacer en

Men Principal: -- Model --Model pref En la opcin Animation, seleccione con el Mouse los indicadores de variable de

Nivel, Flujo y Auxiliar y luego Ok. Asimismo las variables de Flujo y auxiliares

simulan al reloj. Ahora se ejecuta el modelo y los resultados se ilustran en la siguiente grafica:



Para conocer los resultados Finales, puede adjuntar al modelo y para cada una de las

variables, el reporte Numeric Display y observara su resultado

Observe que las variables que simulan el Reloj, sus agujas son en sentido Horario y

otras en sentido Antihorario. Se deja al lector la interpretacin del caso.

3.- Anlisis e Interpretacin de Resultados.- Finalmente para ver resultados simulados o proyectados, podemos utilizar las siguientes herramientas:

3.1 Tablas.- hacer clic en Table Pad y luego arrastrar con el mouse a la ventana de diseo y hacer

un clic, mostrando de inmediato la

siguiente figura, la cual no contiene

ningn tipo de datos. Para que la tabla

muestre datos se debe agregar las

variables necesarias, definir el

intervalo de simulacin (tiempo), tipos



de datos: Enteros (para evitar esto, se puede definir al momento de establecer las ecuaciones respectivas, por ejemplo: int(TasaNacimientos Poblacion)), Reales. Agregando Variables a la tabla: Hacer doble clic sobre formulario de tabla,

aparecer formulario de tabla, luego

seleccionar variable Poblacin de lista Allowable y hacer clic en icono de direccin derecha >> para insertar en lista Selected, tambin colocar un titulo que Ud. sugiera, en nuestro ejemplo:

Tabla Estadstica para la Poblacin de habitantes. Finalmente hacer clic en OK. Para ver resultados en la tabla hacer uso

de Ctrl.+ R

Los resultados obtenidos no estn acorde a

las metas del problema planteado, debido

que no se ha configurado los

requerimientos del problema inicial, tales

como la poblacin, fallecimientos y

nacimientos , estas debe ser cantidades

numricas Enteras, los aos no deben ser cantidades numricas con decimales.

Por ejemplo, si deseamos interpretar datos

de la tabla, no es real afirmar que:

Ao : 11.25

Poblacin : 303,790,33

Fallecimientos : 15,189,52

Nacimientos : 45,568,55

Inclusive la presentacin formal de variables

en la tabla, lo mas indicado debes ser:



Nacimientos seguido de Poblacin y finalmente Fallecimientos.

Configurando tabla: 1.- Datos. Si en las ecuaciones no se definieron los tipos de datos, entonces en

la tabla se puede hacer pero en forma

temporal la configuracin del tipo de

datos.

Pasos: Posicionar el puntero del mouse en la variable a configurar y hacer doble clic, con la cual obtiene las alternativas para

sus resultados. Seleccione Precisin 0 y OK

De forma anloga puede realizar para el resto de variables.

2.- Intervalo de Simulacin : Permite establecer los parmetros de tiempo

(minutos, segundos horas, semanas,

meses, aos, etc). Para nuestro caso, se

usa el parmetro tiempo en aos: Pasos

Menu Principal , clic en Run- Run Specs. Finalmente, despus de configurar las variables segn el problema planteado,

en la siguiente grafica se ilustra los

resultados reales,.

Interpretacin: La tabla representa una serie de valores crecientes. As, en el ao

2005 la poblacin ser de 121,000

habitantes, los nacimientos de 18,150 y

los fallecimientos de 6,050 habitantes.



3.2.- Grficos .- Esta etapa. Permite conocer el comportamiento del sistema. Hacer

clic en Graph Pad y luego

arrastrar con el mouse a la

ventana de diseo y hacer un clic,

mostrando de inmediato la

siguiente figura sin informacin de

las variables.

Agregando Variables al Grafico Luego hacer doble clic sobre la

ventana , se ilustra el formulario

para usar las variables.

Pasos: Seleccionar variables disponibles en Allowable, p sea la variable Poblacin y presione botn a la derecha >>, luego observe que en lista de Selected aparece la

variable Poblacin, observe la opcin Display, la cual por defecto aparece From: 2003 To :2010, coloque en Title: Grafico de Series para el comportamiento del sistema Poblacin

Usando Page, puede disear mas graficas: Series, Barras. Finalmente hacer clic en OK. Luego en el men hacer clic en RUN y seleccione Run o presione Ctrl.+R luego se mostrara la evolucin de las diferentes graficas.

Cabe sealar que stella se base en los mtodos de aproximacin numrica, tales

como Euler, Runge-Kutta de orden 2 y 4 para resolver ecuaciones diferenciales en

forma aproximada o de acuerdo a un error especificado por el usuario. Para este caso

se aplica el mtodo de Runge-Kutta de orden 4



Interpretacin Grfica: La grafica en Series, representa una curva cncava hacia arriba, indicando unl crecimiento explosivo de un la poblacin en 7 aos, esto representa el bucle de

realimentacin positiva.

La evolucin que sufre el Nivel Poblacin en el tiempo depende de los valores

relativos de las constantes K1 y K2. (K1: TasaNacimientos, K2: TasaFallecimientos )

Crecimiento en S

Este tipo de crecimiento se caracteriza por tener en su rgimen transitorio dos

fases, una de ellas en crecimiento exponencial y la otra en decrecimiento asinttico. La

realimentacin positiva que genera el crecimiento exponencial, se estrecha por la

realimentacin negativa, que conduce a la estabilizacin del crecimiento.

El crecimiento en S se encuentra ampliamente en la realidad, por ejemplo, en estudios ecolgicos, reas sociales, la urbanizacin de cierta rea, los rumores, epidemias, el



crecimiento celular de una planta, la saturacin del mercado, la religin, la difusin de

una moda.

Discrepancia.- Es una variable que mide una cantidad faltante o sobrante de acuerdo al

objetivo y la cantidad inicial en el sistema

(variable de nivel). Este tipo de problemas, se

dan cuando existe la presencia de Objetivos.

Problema 1.- El Stock actual de bicicletas en un almacn es de 1500 unidades, pero por cercana de Fiestas navideas, el gerente planifica que para el primero de

Diciembre del presente ao(2003), se debe disponer de 2000 unidades. Los procesos

actuales que se dan en el sistema son:

Proveedores: Se realizan con una tasa del 90%

Compradores: se realizan con una tasa del .0001

Disear el Modelo Dinmico que permita cumplir con las metas establecidas por el

gerente de la empresa.

En la siguiente figura, se ilustra el Diagrama causal y de Forrester.

Ejecucin: Los resultados se ilustran en la siguiente tabla.



El objetivo es de 2000 unidades, pero en los

datos simulados se observa 1998, es decir

que la discrepancia inicial (faltante 200) se

reduce ahora a solo 02 unidades, la cual no

afecta al sistema. Se llega al objetivo

bajando la tasa de compras

Como observara tambin, existe una relacin

inversamente proporcional entre las variables

de Nivel (Almacn) la variable de

Discrepancia.

En esta grafica y con un ejemplo en

particular, se ilustra el comportamiento del

sistema.

Mientras aumenta el almacn, la discrepancia se reduce y as sigue su

evolucin del sistema hasta que el valor de la variable discrepancia tienda

a desaparecer.

Interpretacin.- Observe el comportamiento del sistema, usando las graficas para la variable Almacen vs Discrepancia se puede distinguir con claridad que mientras los datos de la Variable Almacen Aumentan (crecimiento) en el tiempo, los datos de la variable Discrepancia decrecen con una tendencia a ser 0(nulo).



APITULO II

En esta parte, se presenta las tcnicas de almacenamiento de datos usando

Estructuras tales como Listas (Vectores) y Matrices. Como es de conocimiento estas estructuras ayudan a optimizar los modelos.

Es una estructura lineal que sirve para almacenar datos de un mismo tipo. Se

denota por : LISTA[ ndice], ndice: 1..max, donde max toma un valor dado por el usuario.

Problema.- Se tiene 3 alumnos y cada alumno tiene 3 prcticas calificadas, tal como se ilustra a continuacin:

Alumnos pc1 pc2 pc3

Ana 12 14 10

Pedro 10 14 16

Maria 10 08 12

a).- Sin usar estructuras de datos

Estructura de DatosC

Listas.-



Calcular el promedio por alumno. Se debe crear una variable para cada prctica, en la

siguiente grafica, se ilustra el modelo usando Diagrama de Forrester.

En las siguientes figuras, se ilustra los modelos analticos y las estadsticas

comparativas respecto a los promedios por cada alumno.

Como observar, este mtodo seria muy tedioso, debido a que si tenemos 100

alumnos y 5 notas por cada alumno, usted necesitara 600 variables, lo cual es muy

complejo para manejar el Modelo, motivo por la cual aplicaremos el concepto de Listas

o Vectores. En la siguiente grafica se ilustra este mtodo :

b) Usando Vectores

Primero vamos a crear el vector para almacenar las notas de Juan.



Procedimientos:

1.- Use el conversor y asigne el nombre de PracticasJuan, hacer doble clic, luego activar Array con lo cual muestra el indicador de 1D, Ingrese To Editor

2.- Luego defina la longitud del vector

asignado como ndices: pc1, pc2, pc3 (use la

opcin Element Name /#), tal como se ilustra en el siguiente grafico.

3.- Clic en OK

4.- Luego desactive y clic en

Ok.

5.- Inicie el llenado de notas por ndice:

.

6.- Al finalizar con el ingreso de la pc3, presione OK para

observar el vector definido de la siguiente forma:.

Si desea verificar datos de las prcticas, Usted puede

ingresar al nivel de Ecuaciones. Si desea modificar estos datos en este mismo nivel hacer doble clic en el

dato incorrecto y luego asigne el valor correcto. En la

siguiente grafica se ilustra los valores asignados.

As termina el proceso para el primer vector. Anlogamente continuar definiendo los

vectores, en Dimensin Name, crear los 2 vectores PracticasPedro[1..3], y PracticasMaria[1..3] y los ndices da cada vector en Element name/#.



El modelo final se ilustra en la siguiente grafica.

Calculando el promedio por alumno Debe definir 3 conversores uno para cada para almacenar los promedios por cada alumno., estos son de tipo simple, pues el promedio

de un alumno es un numero. Para obtener los promedios, en cada conversor crear

ecuaciones respectivas. Finalmente, el Modelo y sus promedios por alumno se ilustra

en las siguientes figuras:

Nota Mnima y Mxima

Las Funciones MIN() y MAX() permiten calcular de una poblacin de datos el menor y mayor valor respectivamente. Para nuestro caso, vamos a mostrar la nota mayo y

menor de cada alumno y luego para calcular el promedio de practicas debemos eliminar la menor nota.

Ecuacin para calcular promedio eliminando la menor nota



En la siguiente grafica, se ilustra el modelo final :

Observacin.- Usted se preguntar, el porque no usa la variable de nivel para almacenar las notas. La respuesta se debe que las notas no cambian de valor en el

tiempo, es decir; son constantes, razn para usar los conversores. Pues en una



variable de nivel los datos cambian. En el siguiente ejemplo se ilustra el uso de

variables de nivel.

Problema.- Las estadsticas de la poblacin de un cierto pas, indican que a la fecha existen 200,000 habitantes de sexo femenino y 100,000 de sexo masculino. En este

sistema se realizan los siguientes procesos:

Nacimientos: Las tasas de nacimiento para habitantes de sexo femenino es del 20% y de 10 % para sexo masculino. Fallecimientos: Las tasas de fallecimientos para habitantes de sexo femenino es del 5% y de 20 % para sexo masculino. Disear el modelo dinmico que permita conocer las proyecciones de la poblacin de ambos sexos para el ao 2014. Usar la Tcnica de Vectores Los informacin inicial de la poblacin (cantidades iniciales), debe almacenar en un vector Datos[ ] de longitud 2. Las tasas deben almacenarse en los siguientes vectores de longitud 2: a).- Tasa de Nacimientos:

vector TasaNac[ ] . b).- Tasa de Fallecimientos:

vector TasaFall[ ] .

SOLUCION -Use la variable de nivel y Asigne el nombre de Poblacin, hacer doble clic, luego activar Array con lo cual muestra el indicador de 1D luego Ingrese To Editor.

Aqu, asigne el nombre lgico del vector, en nuestro caso Datos[ ], el cual contiene 2 ndices: Damas y Varones.

Presione OK y Desactive Apply To ALL, ingrese los valores iniciales de la poblacin damas y varones. En la siguiente grafica, se ilustra :



Finalice presionando OK. Observara la variable de nivel en formato Matriz. Se puede visualizar los valores iniciales en el programa fuente, mostrando las 2 poblaciones y sus valores respectivos.

Regrese con flecha arriba y continuamos con el diseo. Ahora se define los Flujos de Nacimientos y de Fallecimientos, asimismo defina los Vectores de las tasas que afectan a cada poblacin respectiva, quedando el modelo dinmico (Diagrama de Forrester) de la siguiente manera:

Las ecuaciones para los flujos se generan multiplicando la tasa por su poblacin

respectiva. A continuacin se ilustra las ecuaciones del flujo Nacimientos :

Finalmente, se realiza el proceso de simulacin, para lo cual debe definir el intervalo de

simulacin del 2004-2014, unidad de espaciamiento: Dt=1. Los resultados se muestran

en la siguiente grafica:



La gran diferencia entre poblaciones, se debe a las tasas de nacimientos vs.

fallecimientos

Permiten procesar los datos usando filas vs columnas, as se logra optimizar el

modelo, es decir; el nmero de variables para representar el modelo se reducen al

mnimo. La aplicacin se ilustrar en el problema de notas de alumnos, en el cual, se

crea 3 matrices de orden n*m respectivamente. La primera matriz de orden 3*3 para

lectura de practicas, la segunda matriz de orden 3*1 para calcular los promedios por

alumno y la tercera matriz de orden 1*3 para calcular el promedio por practicas. A

continuacin se ilustra los procedimientos:

1.- Definir el conversor y asigne el nombre de PracticasAlumnos

2.- Definir la Matriz

PracticasAlumns[1..3,1..3] usando los siguientes procedimientos:

Matrices



3.-Hacer doble clic en el conversor y luego

Seleccione Array, tal como se ilustra en la siguiente figura:

4.- Por defecto le muestra el indicador de

un vector : 1 D 5.- Para definir 2 D (para la matriz), hacer clic en flecha abajo y seleccione 2 D, luego mostrara la siguiente figura.

6.- Hacer clic en To Editor, luego asignar: Nombre para las filas ( 3 alumnos). Nombre de Fila: Alumnos ndices: Juan, Pedro,

Maria.

Para definir las filas, use Dimension Name: Nombre de columnas(3 practicas)

Nombre de columna: Practicas ndices: pc1,

pc2, pc3.

7.- Termina el proceso de crear la matriz,

ahora, ingresar valores: seleccionar filas vs

columnas y luego desactivar Apply To All, lo cual se ilustra en la siguiente figura:

Inicie la asignacin de las notas y luego clic en Next despus de ingresar cada nota. Cuando finaliza, presione Ok, para obtener como

resultado la matriz PracticasAlumns[1..3,1..3]



Para crear las dos matrices, debe repetir

todas las secuencias anteriores, teniendo

cuidada en no repetir nombres, para esto,

avanzar en Dimension Name, los resultados se obtienen en la siguiente figura: En este modelo, los promedios por alumno se debe almacenar en la Matriz

PromediosAlumnos[1..3, 1..1]. para lo cual, se debe crear ecuaciones que permitan calcular el promedio por alumno.

En la siguiente grafica se ilustra una ecuacin, en forma anlogo definir las dos

ecuaciones restantes.

Para los promedios por practicas, de debe almacenar en la Matriz

PromPracticas[1..,1, 1..3]. Para lo cual se debe definir 3 ecuaciones que calculen el promedio por practica, en forma anlogo definir las dos ecuaciones.



Finalmente ,el modelo y los promedios se ilustran a continuacin en la siguiente

figura:

En la siguiente figura, se usa la opcin de Bar para comparar los promedios por alumno.

De la grafica se observa que el alumno Pedro tiene el mayor promedio (13.3).



En la siguiente figura, se usa la opcin de Bar para comparar los promedios por Prctica.

De la grafica se observa que el mayor promedio corresponde a la practica 3(12.7).

Problema: Una empresa tiene 3 tipos de productos distribuidos en 3 almacenes, como se muestra en la tabla 1. Existen los siguientes procesos :

- Las ventas se hacen por 7 das. - Ventas constantes. - Ventas con tasas. - Proveedor con datos constantes. - Proveedor con datos variables.

En las siguientes tablas, se muestran los datos :

TABLA 1 : VALORES INICIALES EN EL ALMACEN

AL TP

AL 1 AL2 AL 3 TOTAL

T1 20 30 40 T2 30 20 10 T3 10 40 10

TOTAL

TABLA 2 : VENTAS DIARIAS

AL TP

AL 1 AL2 AL3



T1 1 3 2

T2 2 2 3

T3 2 1 2

TABLA 3 : TASA DE VENTAS

AL TP

AL 1 AL2 AL 3

T1 10% 13% 5%

T2 6% 5% 11%

T3 4% 11% 5%

I.- Si las ventas vienen expresadas segn TABLA 2, se pide:

a) Usando variables simples (conversores) hallar el total de productos por almacn, despus de las ventas.

b) Usando variables simples (conversores) hallar el total por cada tipo de productos en los almacenes despus de cada venta.

c) Crear un vector y almacenar el total de productos por cada almacn. d) Crear un vector y almacenar los productos por tipo. e) Hallar el total de productos en el almacn al final del perodo de simulacin.

II.- Considere que las ventas diarias se hacen con una tasa del 10%. III.- Considere que las ventas para cada tipo y por almacn son afectadas por las tasas segn tabla 3. IV.- Considerar que solo para el tipo 1 y almacn 1 las ventas se hacen a partir del 3er. da, el primer y segundo da no se hacen ninguna venta.

TABLA 4 : PROVEEDOR

TP AL 1 AL 2 AL3 T1 10 20 10 T2 5 10 10 T3 20 10 30

V.- Considere que existe un proveedor que diariamente y de cada tipo de producto entrega en forma constante e igual a 20 unidades, durante los das de simulacin (no considere tasas de ventas).



VI.- Ahora, al problema V.), considere que el proveedor utiliza la tabla 4. Adems que los tipos y almacn : (T1, AL1), (T2,AL2), (T3,AL3) incrementan el almacn diariamente en 5 unidades pero a partir del da segundo

SOLUCIONARIO

En este problema solo mostrare los Diagramas de Forrester para cada caso, pues se deja al lector su verificacin. PARTE I.-

DIAGRAMA FORRESTER

PARTE II.-

DIAGRAMA FORRESTER:



PARTE III.-

DIAGRAMA FORRESTER:

PARTE IV.-



DIAGRAMA FORRESTER:

PARTE V.

DIAGRAMA FORRESTER:

PARTE VI.-



DIAGRAMA FORRESTER:

Problema .- La Universidad quiere evaluar la cantidad de computadoras que tiene en mantenimiento durante 120 das. Las computadoras son del tipo: IBM, COMPA y

DELL con un stock inicial de 150 IBM, 120 Compac y 200 Dell.

La revisin de las computadoras se realiza en forma peridica para cada tipo de

computadora. Siendo de 30 das para IBM, 20 das para Compac y 10 das para Dell.

En la revisin se encuentra que necesitan reparacin el 10% de IBM, el 15% de

Compac y el 20 % de Dell. Las computadoras a revisarse por tipo, se deben almacenar

en un variable de nivel para poder cuantificarlo.

Solucin.- A continuacin presento el diagrama de Forrester usando dos variables de nivel, una

de flujo y un conversor respectivamente.



Ecuaciones del Modelo:



PROBLEMA :

La siguiente tabla muestra la informacin de 5 alumnos , donde cada alumno tiene 5

practicas calificadas.

PRACT1 PRACT2 PRACT3 PRACT4 PRACT5

MARIA 12 10 10 12 12

CARLOS 12 10 12 10 09

PEDRO 19 11 16 10 15

SUSANA 15 14 11 15 11

ABEL 12 14 12 11 14

Disear un modelo dinmico, usando la tcnica de vectores y matrices que permita

calcular el promedio por alumno y promedio por practica, mayor promedio.

SOLUCION

DIAGRAMA FORRESTER:

MARIA

CARLOS

PEDRO

SUSANA

ABEL

PROMEDIO

PROM GENERAL

PROM PRACT

Graph 1 Table 1



ECUACIONES DEL MODELO:



a).- PROMEDIO POR ALUMNO

TABLAS

MARIA

CARLOS

PEDRO

SUSANA

ABEL

PROMEDIO

PROM GENERAL

PROM PRACTGraph 1

Table 1

01:28 p.m. 22/04/01

Time

0

Fina

PROMEDIO[1

12.60

12.60

PROMEDIO[2

10.60

10.60

PROMEDIO[3

11.20

11.20

PROMEDIO[4

14.20

14.20

PROMEDIO[5

13.20

13.20

Table 1 (Untitled Table)



INTERPRETACIN:

Podemos observar:

Promedio de Abel es igual a 12.60

Promedio de Carlos es igual a 10.60

Promedio de Maria es igual a 11.20

Promedio de Pedro es igual a 14.20

Promedio de Susana es igual a 13.20

GRAFICO: permite comparar los promedios por alumno

01:38 p.m. 22/04/01

1:

1:

1:

2:

2:

2:

3:

3:

3:

4:

4:

4:

5:

5:

5:

0.00

7.10

14.20

1: PROMEDIO[1] 2: PROMEDIO[2] 3: PROMEDIO[3] 4: PROMEDIO[4] 5: PROMEDIO[5]

Graph 1 (Untitled) Podemos observar la variacin que tienen los promedios de cada alumno donde

Pedro tiene el mximo promedio y Carlos el mnimo promedio.

b).- PROMEDIO GENERAL DE TODOS LOS ALUMNOS:

01:44 p.m. 22/04/01

Time

0

Final

PROM GENERAL[1]

12.36

12.36



c).- PROMEDIO MAYOR:

01:53 p.m. 22/04/01

Time

0

Final

PROM GENERAL[

14.20

14.20

Este promedio mayor como vimos anteriormente corresponde al promedio de Pedro.

d).- PROMEDIO POR PRACTICA:

02:02 p.m. 22/04/

1:

1:

1:

2:

2:

2:

3:

3:

3:

4:

4:

4:

5:

5:

5:

0.00

7.00

14.00

1: PROM PRACT[1]2: PROM PRACT[2]3: PROM PRACT[3]4: PROM PRACT[4]5: PROM PRACT

Graph 1 (Untitled)



PROBLEMA

La siguiente tabla muestra la informacin de produccin mensual de plata durante los

ltimos 3 aos.

1997 1998 1999

ENERO 12 12 23

FEBRERO 14 12 11

MARZO 14 14 13

ABRIL 16 19 13

MAYO 12 18 12

JUNIO 13 10 12

JULIO 15 12 34

AGOSTO 11 13 12

SETIEMBRE 12 15 12

OCTUBRE 11 11 15

NOVIEMBRE 15 13 10

DICIEMBRE 12 12 11

DIAGRAMA CAUSAL

PROM MES

PRODUCCIN TOTAL

PROM AO



DIAGRAMA FORRESTER

ECUACIONES DE LA ESTRUCTURA



1.- Promedio de produccin mensual durante los tres aos.

TABLAS



En las tablas anteriores podemos ver la produccin mensual promedio durante los tres

aos , observando que el promedio del mes 7 correspondiente al mes de julio tiene una

produccin promedio mayor.

TABLA



En la tabla podemos observar ms claramente la variacin de los promedios

mensuales a lo largo de los tres aos. El mayor promedio lo tiene el mes 7

correspondiente a julio y el menor promedio lo tiene los meses 6 y 12 correspondientes

de junio y diciembre.

2.- Promedio de produccin por ao

GRAFICO

TABLA

En la tabla podemos apreciar la variacin ao tras ao la variacin promedio de la

produccin viendo que en el tercer ao (1999) la produccin promedio es mayor que en

los aos anteriores tambin vemos que la produccin en promedio aumenta ao tras



ao debido quizs a una adquisicin de tecnologa u otro factor que est produciendo

este aumento peridico.

3.- Total de produccin

El total de produccin a lo largo de los tres aos es 496 como lo observamos en la

tabla anterior.

4.- Ao con menor produccin y mes con mayor produccin.



La menor produccin promedio es de 157 correspondiente al ao 1 (1997)

La produccin mxima corresponde a 61 y esta pertenece al mes de julio.

Las aplicaciones en las cuales se utilizan con ms cantidad de variables, se

encuentran en la Gua de 60 problemas o ver la aplicacin SENDOC despus de finalizar el tema de Funciones, en esta aplicacin se profundiza el uso de estructura de

datos.

A continuacin se especifica los siguientes captulos, los mismos que sern

publicados en otra seccin.



APITULO III

unciones : Stella 7.0.3 dispone de funciones predefinidas que ayudan a optimizar el modelo especialmente cuando se quiere definir ecuaciones que

realicen clculos numricos. Las funciones a utilizar son: PULSE(), RAMP(), STEP(),

Delay() y IF then else. Afectan directamente a las variables

de Entrada (Inflow) y/o a las variables de Salida (Outflow). A continuacin describimos

cada funcin.

IMPORTANDO Y EXPORTANDO DATOS MARCO TEORICO Muchos modelos requieren importar los datos numricos de las aplicaciones

externas como las hojas de clculo. O, usted puede necesitar exportar los datos

numricos de un modelo a otra aplicacin. El software mantiene dos mecanismos

bsicos importando y exportando los datos. Primero, usted guarda los datos de la

importacin y exportacin va la Copia y y luego pegndolo en el documento. Segundo,

usted puede establecer un nexo entre un modelo y un archivo creado por otra

aplicacin. bajo los sistemas operativos Windows 3.1x o Windows 95.

MODELOS Y SUBMODELOS MARCO TEORICO Los sub-modelos proveen un excelente mecanismo para manejar diagramas

complejos. Los sub-modelos permiten trabajar en cada fase del proceso, estos

representan sub-procesos con un alto grado de detalle. El lugar dentro de cada sub-

modelo es representado en forma selectiva y visible en el diagrama u oculto de la

vista. Como resultado, podemos controlar el paso de cada detalle del diagrama para

CF



mostrar. Los procesos en forma detallada y darle el control dentro de la complejidad de

un modelo.

APITULO IV

DISEO DE MENUS Esta seccin esta orientada a mostrar como el usuario puede realizar en su aplicacin

el uso de diferentes alternativas (Menus) mediante el uso de Botones . Es decir,

en cada Botn usted debe asignarle su funcionalidad respectiva.

C



APITULO V

roblemas ropuestos

Objetivo.- Los problemas que se proponen a continuacin, estn orientados al

uso de Estructuras Lineales, No-Lineales, Uso de Funciones: If then

else , Delay(), Ramp(), Step(), Pulse() y finalmente el uso de

Estructuras de Datos: vectores y matrices. Para cada uno de los siguientes

problemas, se pide Disear su Smil Hidrodinmico, Diagrama Causal, Modelos

Analticos (Ecuaciones), Diagrama de Forrester, Grficos, Tablas, Anlisis e

Interpretacin de Resultados. Observacin.- Existen pro

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