libro desi mu laci on

SIMULACINSIMULACINSIMULACINSIMULACIN

Ing. David Sergio Castilln Domnguez

Docente del departamento de Sistemas y Computacin

Instituto Tecnolgico de Piedras Negras

Elaboracin de un libro de texto: Simulacin

Reporte Final de ao sabtico

Dictamen No. AS-1-166/2013 (14-ENE-2013 / 13-ENE-2014)

Enero - 2014

CONTENIDOCONTENIDOCONTENIDOCONTENIDO

1111....---- Introduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacin

1.1.- DEFINICIONES E IMPORTANCIA DE LA SIMULACIN EN LA INGENIERA. 1 1.2.- CONCEPTOS BSICOS DE SIMULACIN. 2 1.3.- METODOLOGA DE LA SIMULACIN. 4 1.4.- MODELOS Y CONTROL. 5 1.5.- ESTRUCTURA Y ETAPAS DE ESTUDIO DE SIMULACIN. 7 1.6.- ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIN. 8 1.7.- ELEMENTOS BSICOS DE UN SIMULADOR DE EVENTOS DISCRETOS. 10

2222....---- Nmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatorios

2.1.- MTODOS DE GENERACIN DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS. 13 2.2.- PRUEBAS ESTADSTICAS. 16 2.2.1.- De Uniformidad. (Chi-cuadrada, Kolmogorov-Smirnov).

2.2.2.- De Aleatoriedad. (corridas arriba y debajo de la media y longitud de

corridas).

2.2.3.- De Independencia. (Autocorrelacin, prueba de huecos, prueba de

pquer, prueba de Yule).

17

22

25

2.3.- Mtodo de Monte Carlo. 31 2.3.1.- Caractersticas.

2.3.2.- Aplicaciones.

2.3.3.- Solucin de problemas.

32

33

33

3.3.3.3.---- Generacin de variables aleatoriasGeneracin de variables aleatoriasGeneracin de variables aleatoriasGeneracin de variables aleatorias

3.1.- CONCEPTOS BSICOS. 37 3.2.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. 37 3.3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. 45 3.4.- MTODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS. 51 3.4.1.- Mtodo de la transformada inversa. 51

3.4.2.- Mtodo de convolucin. 52

3.4.3.- Mtodo de composicin. 52

3.5.- PROCEDIMIENTOS ESPECIALES. 54 3.6.- PRUEBAS ESTADSTICAS (BONDAD DE AJUSTE). 54

4.4.4.4.---- Lenguajes de SimulacinLenguajes de SimulacinLenguajes de SimulacinLenguajes de Simulacin

4.1.- LENGUAJES DE SIMULACIN Y SIMULADORES. 55 4.2.- APRENDIZAJE Y USO DE LENGUAJE DE SIMULACIN O UN SIMULADOR. 58 4.3.- CASOS PRCTICOS DE SIMULACIN. 67 4.3.1.- Problemas con lneas de espera. 67

4.3.2.- Problemas con sistemas de inventario. 84

4.4.- VALIDACIN DE UN SIMULADOR. 102 4.4.1.- Pruebas paramtricas (validacin del modelo, pruebas de hiptesis y

pruebas de estimacin.

108

4.4.2.- Pruebas no paramtricas. 116

5.5.5.5.---- Proyecto integradorProyecto integradorProyecto integradorProyecto integrador

5.1.- ANLISIS, MODELADO Y SIMULACIN DE UN SISTEMA O SUBSISTEMA DE SERVICIOS O PRODUCTIVO DE UNA EMPRESA PARA DETECTAR LAS MEJORAS POSIBLES A REALIZAR.

117

5.1.1.- Manufactura. 117

5.1.2.- Control de calidad. 132

5.1.3.- Supermercado. 142

Apndice Apndice Apndice Apndice AAAA

Distribucin Normal (Z) 157

Distribucin chi-cuadrada ( ) 158

Tabla K-S (,) 159

Apndice Apndice Apndice Apndice BBBB

Instrucciones GPSS para la definicin de variables. 160 Instrucciones GPSS para la lgica del programa. 163 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS. 174

1

1111 Introduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacinIntroduccin a la simulacin

1.1.- DEFINICIONES E IMPORTANCIA DE LA SIMULACIN EN LA INGENIERA.

La simulacin es una de las herramientas ms importantes para analizar el diseo y

operacin de sistemas o procesos complejos. Desde el renacimiento se han construido

modelos, pero la palabra simulacin se usa a partir de 1940 cuando los cientficos Von

Neuman y Ulam trabajaron en el proyecto Monte Carlo, durante la segunda guerra

mundial, resolviendo problemas de reacciones nucleares cuya solucin experimental

hubiera sido muy cara y el anlisis matemtico demasiado complicado.

Con el uso de la computadora en experimentos de simulacin, surgen mltiples

aplicaciones resultando en una gran cantidad de problemas tericos y prcticos,

presentando la posibilidad de investigar aplicaciones importantes de simulacin en

diversas reas tales como: fsica, matemticas, economa, administracin,

investigacin de operaciones. Tambin sugiere algunos mtodos alternativos para

resolver problemas tericos y prcticos que surgen al efectuar simulaciones reales.

La palabra simulacin tiene varias definiciones aceptadas. Thomas H. Naylor la define

como:

Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos

experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias

para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de

largos perodos de tiempo.

Esta definicin muestra un sentido amplio en el cual incluye desde una maqueta, hasta

un sofisticado programa computacional. En un sentido ms estricto, H. Maisel y G.

Gnugnoli define a la simulacin de la siguiente manera:

Es una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora digital. Estos experimentos

involucran ciertos tipos de modelos matemticos y lgicos que describen el comportamiento de

sistemas de negocios, econmicos, sociales, biolgicos, fsicos o qumicos a trves de largos perodos

de tiempo.

Otra definicin de simulacin la realiza Robert E. Shannon como:

2

Es el proceso de disear y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir

experimentos con este modelo con el propsito de entender el comportamiento del sistema o evaluar

varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

Todas estas definiciones no especifican si los sistemas modelados son continuos o

discretos. Pero es necesario subrayar que nos enfocaremos exclusivamente al diseo,

anlisis y validacin de sistemas dinmicos discretos. Geofrey Gordon aborda a detalle

el anlisis y estudio de sistemas dinmicos continuos en su libro titulado System

Simulation.

1.2.- CONCEPTOS BSICOS DE SIMULACIN.

La simulacin est basada en la teora de la probabilidad y la estadstica, en

matemticas, en ciencias computacionales, etc. Por lo que es conveniente mencionar

algunos conceptos que intervienen en el desarrollo y la formulacin del modelo de

simulacin.

1.2.1.- GENERACIN DE VARIABLES ALEATORIAS NO-UNIFORMES.

Si el modelo es estocstico (probabilstico) debe ser capaz de generar variables

aleatorias no uniformes de distribuciones de probabilidad tericas o empricas. Las

cuales son obtenidas por un generador de nmeros uniformes y una funcin que

transforme estos nmeros en valores de la distribucin de probabilidad deseada. Se

han generado una gran cantidad de generadores para las distribuciones de

probabilidad ms comunes como las distribuciones normal, exponencial, poisson,

erlang, binomial, gamma, beta, F, t, etc.

1.2.2.- LENGUAJES DE PROGRAMACIN.

En un momento determinado ser necesario construir el modelo computacional. En

esta etapa se tienen dos cursos de accin: 1) Desarrollar el software requerido para

estudios de simulacin (Lenguaje de propsito general) o 2) Conseguir un software

(Lenguaje de propsito especfico). Este ltimo obliga a la determinacin del ms

adecuado para el problema a resolver.

Para desarrollar el software requerido es necesario contar con la descripcin del

sistema en trminos de relaciones lgicas de sus variables y los diagramas de flujo

correspondiente, como fuente de datos para el modelado en trminos de un lenguaje

de programacin de propsito general o un paquete de propsito especfico.

1.2.3.- CONDICIONES INICIALES.

La mayora de los modelos de simulacin estocsticos se ejecutan con la idea de

estudiar al sistema en una situacin de estado estable. Pero todos estos modelos

presentan en su etapa inicial estados transitorios que no son tpicos del estado estable.

3

Obligando a establecer claramente las acciones o alternativas para resolver este

problema. Algunos expertos recomiendan resolver este problema:

1. Usar un tiempo de corrida lo suficientemente grande de modo los perodos

transitorios sean relativamente insignificantes con respecto a la condicin de

estado estable.

2. Excluir una parte apropiada de la parte inicial de la corrida.

3. Utilizar simulacin regenerativa.

De las tres alternativas, la ltima es la que presenta menos desventajas. Las otras

tienen la desventaja de ser excesivamente caras.

1.2.4.- TAMAO DE LA MUESTRA.

El tamao de la muestra (nmero de corridas en la computadora) es un factor principal

a considerar en un estudio de simulacin. La seleccin de un tamao de muestra

apropiado que asegure un nivel de precisin y que minimice el costo de operacin del

modelo, es difcil pero importante. La informacin proporcionada por el experimento

de simulacin sera la base para decidir con respecto a la operacin del sistema real,

esta informacin debe ser exacta y precisa cuanto sea posible, y conocer el grado de

imprecisin de la informacin proporcionada. Por consecuencia, es necesario que un

anlisis estadstico se realice para la determinacin del tamao de muestra requerido.

El tamao de la muestra se puede obtener de dos maneras:

Previa o independientemente de la operacin del modelo.

Durante la operacin del modelo y basado en los resultados arrojados por el

modelo.

Para esta ltima alternativa se utiliza la tcnica estadstica de intervalos de confianza.

1.2.5.- DISEO DE EXPERIMENTOS.

El diseo de experimentos es un tema relevante en los experimentos de simulacin, la

cual ha sido reconocida, pero rara vez se aplica. Estos diseos pueden ser de varios

tipos dependiendo de los propsitos especficos planteados. Existen varios tipos de

anlisis que pueden ser requeridos, los ms comunes son:

1. Comparacin de las medias y varianzas de las alternativas analizadas.

2. Determinacin de la importancia y el efecto de diferentes variables en los

resultados de la simulacin.

3. Bsqueda de los valores ptimos de un conjunto de variables.

Para la realizacin del primer anlisis, el cual comnmente se le conoce como diseo

de experimentos de un factor simple, es necesario tomar en cuenta el tamao de la

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muestra, condiciones iniciales y la presencia o ausencia de auto correlacin. Para el

segundo tipo de anlisis, existe literatura suficiente que explica el tema de anlisis de

varianza y tcnicas de regresin como medios para evaluar la importancia y el efecto

de varias variables en los resultados de operacin de un sistema. Para el tercer tipo de

anlisis, generalmente se requiere utilizar algoritmos heursticos de bsqueda como

los algoritmos de Hooke y Jeeves.

1.3.- METODOLOGA DE LA SIMULACIN.

La tcnica de simulacin generalmente es vista como un mtodo de ltimo recurso, los

avances recientes en las metodologas de la simulacin y la disponibilidad de software

en el mercado, han generado que las tcnicas de simulacin sea una herramienta

utilizada en el anlisis de sistemas. Thomas H. Naylor sugiere que un estudio de

simulacin es recomendable por las siguientes ventajas que proporciona.

1.3.1.- VENTAJAS.

Se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema, al

hacer alteraciones en el modelo del sistema y observar los efectos de las

alteraciones en el comportamiento del sistema.

Una observacin detallada del sistema que se est simulando conduce a

comprender mejor el sistema y sugerir estrategias para mejorar la operacin y

la eficiencia del sistema.

La tcnica de simulacin es utilizada como un instrumento pedaggico para

proporcionar al estudiante las habilidades bsicas en anlisis estadstico,

anlisis terico, etc.

La simulacin de sistemas complejos ayuda a comprender la operacin del

sistema, detectar las variables significativas que interactan en el sistema y

comprender las interrelaciones entre las variables.

Se utiliza la tcnica de simulacin para experimentar nuevas situaciones, en las

cuales se tiene poca o ninguna informacin, anticipndose a resultados no

previstos.

Tambin es usada para entrenamiento del personal. En ocasiones es posible

tener una representacin de un sistema, y es posible entrenar y generar

experiencia a cierto tipo de personal.

La simulacin es utilizada tambin cuando nuevos elementos son introducidos

al sistema, para anticipar cuellos de botella o algunos problemas que pueden

surgir en el comportamiento del sistema.

1.3.2.- DESVENTAJAS.

La tcnica de simulacin requiere de equipo computacional y recursos humanos

costosos, adems generalmente se requiere de tiempo para que el modelo se

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desarrolle y perfeccione, debido a la gran cantidad de datos significativos que no se

encuentran disponibles, requiriendo un anlisis profundo para su identificacin.

Tambin requiere de expertos para realizar el modelado y un grupo interdisciplinario

para soportar todas las etapas del estudio. Desafortunadamente los directivos no

comprenden la tcnica y dificulta la autorizacin de estos proyectos.

1.4.- MODELOS Y CONTROL.

1.4.1.- DEFINICIN DE SISTEMA.

La palabra sistema es utilizada usualmente para definir un conjunto de cosas que estn

interrelacionadas para cumplir con un objetivo. Esta forma de contemplar un todo y no

las partes aisladamente es lo que es conocido como el enfoque sistmico. Un sistema

est constituido por varios objetos los cuales poseen propiedades.

Un sistema puede ser definido matemticamente como un complejo de elementos

interactuantes. Donde la interaccin significa que elementos, p, estn en relaciones, R,

de suerte que el comportamiento de un elemento p en R es diferente de su

comportamiento con R. Si los comportamientos R y R no difieren, no hay interaccin,

y los elementos se comportan independientemente con respecto a las relaciones R y

R.

El sistema es un modelo de naturaleza general, esto es, un anlogo conceptual de

algunos rasgos muy universales de entidades observadas. El uso de modelos o

construcciones analgicas es prctica general de la ciencia, y es, asimismo fundamento

de la simulacin por computadora. La diferencia con respecto a las disciplinas

tradicionales no es esencial sino que reside ms bien en el grado de generalidad (o

abstraccin); el sistema alude a caractersticas muy generales compartidas por gran

nmero de entidades que acostumbraban ser tratadas por diferentes disciplinas.

Un sistema puede ser definido como un conjunto de elementos interrelacionados

entre s y con el medio circundante. Existen dos modos de describir un sistema: la

interna y la externa. La interna define a un sistema con un conjunto de n medidas,

llamadas variables de estado. La descripcin interna del sistema es esencialmente

estructural procura describir el comportamiento del sistema en trminos de variables

de estado y de su interdependencia.

La descripcin externa del sistema es en trminos de entradas y salidas; su forma

general son funciones de transferencia que vinculan entrada y salida. Lo tpico es que

se consideren lineales y representados por conjuntos discretos de valores (las

decisiones de si o no). Este es el lenguaje de la tecnologa del control; es caracterstico

6

de la descripcin externa el uso de trminos de comunicacin (intercambio de

informacin entre sistema, medio y dentro del sistema) y de control de la funcin del

sistema con respecto al medio (retroalimentacin). La descripcin externa es

funcional, describe el comportamiento del sistema por su interaccin con el medio.

Las descripciones tanto internas como externas del sistema coinciden en gran medida

con descripciones mediante funciones continuas o discretas.

1.4.2.- DEFINICIN DE MODELO.

Un modelo es definido como una representacin de la realidad por medio de

abstracciones, los modelos enfocan ciertas partes importantes del sistema (las que

interesan al modelo) restando importancia a otras partes. Los modelos son creados

usando herramientas de modelado.

Un modelo es un sistema de elementos que reproduce determinados aspectos,

relaciones y funciones del objeto que se investiga; desarrollado en un nivel avanzado

del conocimiento, en el que recopila las caractersticas generales del objeto

investigado y las unifica en un concepto global, del cual se puede visualizar el objeto en

un momento dado El modelo es una construccin imaginaria y arbitraria de un

conjunto de objetos y fenmenos con el propsito de estudiar el comportamiento de

de dichos objetos o fenmenos. Son incompletos. Los modelos se pueden dividir en

abstractos y materiales. Donde los materiales se pueden subdividir en icnicos y

analgicos o simblicos.

Los modelos son simplificaciones o representaciones idealizadas de los sistemas que se

suponen existen en la naturaleza. Los modelos pueden ser de dos tipos: matemticos o

fsicos.

Los modelos de simulacin se pueden clasificar en: determinsticos, estocsticos,

estticos, dinmicos y a escala. En los modelos determinsticos las variables no pueden

ser tomadas al azar y las relaciones entre estas variables deben ser exactas o no deben

estar en funcin de una probabilidad. En cambio los modelos estocsticos al menos

una variable debe estar en funcin de una probabilidad; por lo general son utilizados

para la generacin de grandes series de muestreos, y son aplicadas en investigaciones

cientficas. Los modelos estticos no toman en consideracin el tiempo invertido en el

proceso, y estn encaminadas a maximizar o minimizar. En cambio los modelos

dinmicos si consideran la variacin del tiempo. Los modelos a escala sirven para

realizar demostraciones del proceso, como tambin para realizar nuevos

experimentos.

7

1.4.3.- DEFINICIN DE CONTROL.

Existen varias definiciones de control a continuacin se presentan algunas de ellas:

Verificar s todo ocurre de conformidad con el plan adoptado, con las

instrucciones emitidas y con los principios establecidos. Tiene como fin sealar

las debilidades y errores a fin de rectificarlos e impedir que se produzcan

nuevamente.

El proceso de medir los actuales resultados en relacin con los planes,

diagnosticando la razn de las desviaciones y tomando las medidas correctivas

necesarias.

El proceso para determinar lo que se est llevando a cabo, valorizacin y, si es

necesario, aplicando medidas correctivas, de manera que la ejecucin se

desarrolle de acuerdo con lo planeado.

Tiene como objetivo cerciorarse de que los hechos vayan de acuerdo con los

planes establecidos.

La medicin de lo logrado en relacin con lo estndar y la correccin de las

desviaciones, para asegurar la obtencin de los objetivos de acuerdo con el

plan.

Es un proceso regulador cuya funcin es medir y evaluar el desempeo y si es

necesario se tomar acciones correctivas.

El control se emplea para mejorar la calidad, enfrentar los cambios que

constantemente se producen, mejorar la eficiencia, minimizar costos y facilitar el

trabajo en equipo. Un control se basa en la realizacin de las siguientes actividades:

planear, organizar, hacer, evaluar, mejorar. Para alcanzar una meta es necesario contar

con una planeacin y una adecuada organizacin para conocer lo que debe hacerse y

cmo hacerlo. El hacer es poner en prctica lo planeado. La evaluacin es la

interpretacin y la comparacin de la informacin obtenida para la toma de

decisiones. La mejora es la puesta en prctica de medidas que resuelven desviaciones

que hacen perder el equilibrio al sistema.

1.5.- ESTRUCTURA Y ETAPAS DE ESTUDIO DE SIMULACIN.

Segn los expertos la manera de estructurar el estudio de simulacin es el principio

bsico de una organizacin de las actividades que se requieren desarrollar en este

proyecto. Las actividades a desarrollar en este estudio pueden estructurarse en etapas

o fases que deben realizar para culminar el estudio de simulacin. Las etapas en las

cuales est organizado el desarrollo de un modelo computacional (ciclo de vida del

desarrollo de sistemas) los expertos coinciden en: Anlisis, diseo, construccin,

implementacin y mantenimiento.

8

Este enfoque para la construccin de un software, nicamente est enfocado al

sistema mismo, desde su formulacin hasta su mantenimiento, pero no interviene la

parte operativa del mismo. En eso difiere de un modelo de simulacin, el cual es

visualizado como un paquete que engloba desde su concepcin hasta su operacin.

Los pasos necesarios para realizar un estudio de simulacin se requiere: 1) Definir el

sistema, 2) Formular el modelo, 3) Recopilar los datos, 4) Implementar el modelo en la

computadora, 5) Validar, 6)Experimentar, 7) Interpretar, y 8) Documentar.

1.6.- ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIN.

1.6.1.- DEFINIR EL SISTEMA.

Para definir exactamente el sistema que se requiere simular, se requiere de llevar a

cabo un anlisis preliminar con el fin de determinar la interaccin del sistema con

otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que interactan dentro del

sistema y sus interrelaciones, las medidas de efectividad que se van a utilizar para

definir y estudiar el sistema y los resultados que se esperan obtener del estudio.

1.6.2.- FORMULAR EL MODELO.

Una vez definido los resultados que se esperan obtener del estudio, el siguiente paso

es definir y construir el modelo con el cual se obtendrn los resultados deseados. En la

formulacin del modelo es necesario definir todas las variables que forman parte de l,

Definir el sistema

Formular el modelo

Recopilar datos

Implementar el modelo en la computadora

Validar el modelo

Experimentar con el modelo

Interpretar los resultados del modelo

D

o

c

u

m

e

n

t

a

r

Figura 1.1.- Etapas de un proyecto de simulacin

9

sus relaciones lgicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa al

modelo.

1.6.3.- RECOPILAR LOS DATOS.

La facilidad o dificultad para obtener los datos, puede influir el desarrollo y la

formulacin del modelo. Es importante definir con claridad y exactitud los datos que el

modelo requiere para la produccin de los resultados deseados. Usualmente, los datos

requeridos se pueden obtener de registros histricos, de opiniones de expertos, o de la

experimentacin.

1.6.4.- IMPLEMENTAR EL MODELO EN LA COMPUTADORA.

Con el modelo definido, el siguiente paso es decidir el lenguaje de programacin a

utilizar ya sea uno de propsito general o un paquete de propsito especfico, para

procesarlo en la computadora y obtener los resultados deseados.

1.6.5.- VALIDAR.

En esta etapa es posible detallar deficiencias en la formulacin del modelo o en los

datos alimentados al modelo, siendo las formas mas comunes de validar el modelo las

siguientes:

1. La opinin de expertos sobre los resultados de la simulacin.

2. La exactitud con que se predicen datos histricos.

3. La exactitud en la prediccin del futuro.

4. La comprobacin de falla del modelo de simulacin al utilizar datos que hacen

fallar al sistema real.

5. La aceptacin y confianza en el modelo de la persona que har uso de los

resultados que arroje el experimento de simulacin.

1.6.6.- EXPERIMENTAR.

La experimentacin con el modelo se realiza despus de que ste ha sido validado. La

experimentacin consiste en generar los datos deseados y en realizar anlisis de

sensibilidad de los ndices requeridos.

1.6.7.- INTERPRETAR.

En esta etapa se interpretan los resultados que arroja la simulacin, y en base a estos

se toma una decisin. Obviamente estos resultados obtenidos de la simulacin ayudan

a soportar decisiones del tipo semi-estructurado, es decir, la computadora en s no

toma la decisin, sino que la informacin que aporta ayuda a tomar mejores

decisiones, y sistemticamente obtener mejores resultados.

10

1.6.8.- DOCUMENTAR.

Son requeridos dos tipos de documentacin para hacer un mejor uso del modelo de

simulacin. La primera es la documentacin tcnica y la segunda documentacin es el

manual del usuario para facilitar la interaccin y el uso del modelo desarrollado.

1.7.- ELEMENTOS BSICOS DE UN SIMULADOR DE EVENTOS DISCRETOS.

Los eventos discretos son las acciones o resultados de experimentos que tienen como

resultado un nmero entero. Los productos defectuosos en un embarque, las

personas que entran a un banco, o los estudiantes que aprueban una determinada

asignatura, son algunos ejemplos de los mismos. Estos eventos discretos son simulados

haciendo uso de distribuciones de probabilidad con parmetros dados previamente.

Estos parmetros son recopilados en el proceso de experimentacin, y la distribucin

de probabilidad es seleccionada dependiendo del tipo de comportamiento de las

muestras analizadas.

Los eventos continuos son nmeros reales (parte entera y parte fraccionaria) que son

usualmente son caractersticas fsicas tales como: peso, altura, tiempo, temperatura,

presin.

La simulacin de eventos discretos es parte del modelo computacional que representa

la transformacin de la entrada en salidas mediante una funcin de probabilidad

(proceso).

La simulacin de un evento discreto describe en forma directa o indirecta la llegada de

un cliente, la espera para su atencin, y el servicio proporcionado por el servidor para

despus salir del sistema.

Este modelo computacional cuenta con tres elementos primordiales que son: entrada,

proceso y salida. En este anlisis del modelo computacional, la entrada se representa

por una variable de tipo discreto (valores enteros). La salida est formada por un grupo

de valores que representan la informacin resultante del proceso de simulacin, la

cual es utilizada para la toma de decisiones en el problema real. El proceso es el

elemento en el cual est representada la manera de transformar las entradas en

salidas. En este proceso est especificado el diseo de lgica del proceso, en el cual

interviene una o varias funciones de probabilidad.

11

2222 Nmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatoriosNmeros pseudoaleatorios

El mundo real es muy raro que sea determinstico, al estudiar un sistema y sus

influencias externas como la llegada de clientes a un banco y el comportamiento del

sistema como el tiempo de servicio bancario tienen un comportamiento aleatorio o

probabilstico. En la construccin de un modelo de simulacin bancario es necesario

reproducir los efectos aleatorios del sistema, por lo cual es necesario incursionar en la

generacin de nmeros aleatorios o pseudo aleatorios, como tambin la manera de

poderlos generar y probar que dichos nmeros tengan la aleatoriedad deseada.

El tiempo de servicio bancario vara dependiendo del tipo de transacciones que el

cliente realice. Los datos histricos obtenidos en un banco tan slo se puede recopilar

una muestra de una poblacin desconocida, siendo estos datos limitados debido al

tiempo y los costos que se requieren, En ocasiones no existe realmente el sistema (un

banco que desea abrir una nueva sucursal) o la imposibilidad de obtener datos reales,

o la obtencin de grandes volmenes de datos que originan un procesamiento lento o

vuelve complejo el modelo a construir.

La obtencin artificial de los datos del tiempo de servicio viene a simplificar el modelo,

partiendo de una muestra significativa. A continuacin se incursiona en el estudio de la

aleatoriedad y las pruebas estadsticas para garantizar que se cuenta con un generador

confiable.

Un nmero aleatorio es el resultado de una variable al azar especificada por una

funcin de probabilidad. Cuando no se especifica una funcin de probabilidad, se

supone que sigue una distribucin uniforme en el intervalo entre cero y uno.

Existen nmeros aleatorios no uniformes los cuales pueden ser generados a partir de

nmeros aleatorios uniformes. Por lo cual es importante enfocarse primero a la

generacin de nmeros aleatorios uniformes, para luego profundizar en la generacin

de nmeros aleatorios no uniformes.

Los nmeros aleatorios uniformes son utilizados ampliamente en el proceso de

simulacin para representar eventos tales como llegadas de clientes o servicio

proporcionado.

12

Existen tres maneras ampliamente conocidas: 1) Provisin externa, 2) la generacin

interna basada en un proceso fsico, y 3) la generacin interna basada en una relacin

de recurrencia.

1. Provisin Externa. Se usan tablas de nmeros previamente calculados, se

requiere el almacenamiento de dichos nmeros, un ejemplo son las Tablas

RAND. El Proyecto RAND inici despus de la II Guerra Mundial por la Iniciativa

de la Compaa de Aviacin Douglas ubicada en Santa Mnica California, con el

propsito de continuar las investigaciones de los cientficos reclutados durante

la guerra. Las investigaciones fueron para la Fuerza Area de Estados Unidos de

Norteamrica y enfocadas exclusivamente a la seguridad nacional. A partir de

1948 el proyecto RAND se separ de La Compaa de aviacin Douglas y se

convirti en Rand Corporation, siendo por ms de seis dcadas una

organizacin sin fines de lucro dedicada a promover la ciencia y la educacin

realizando anlisis cientfico para hacer un mundo ms seguro, saludable y ms

prspero.

2. Generacin interna basada en un proceso fsico. En esta generacin se requiere

conectar un dispositivo especializado a una computadora, ya que por medio de

este dispositivo pueda proporcionar los nmeros aleatorios. Esta tcnica de

generacin es utilizada en simulaciones que requieren observar el ambiente

fsico y usualmente se utilizan interfaz analgica - digital las cual requieren de

inversiones ms costosas y tardan ms tiempo en implementarse.

3. Generacin interna basada en una relacin de recurrencia. Es la generacin

ms utilizada en los procesos de simulacin. Una relacin de recurrencia es una

ecuacin que define una secuencia recursiva donde cada trmino de la

secuencia es definida como una funcin de los trminos anteriores. Las

relaciones de recurrencia son ampliamente utilizadas en la teora de la

probabilidad.

Provisin externa Generacin interna basada en

un proceso fsico

Generacin interna basada en

una relacin de recurrencia

GENERACIN DE NMEROS UNIFORMES

Figura 2.1.- Maneras de generar nmeros pseudo aleatorios uniformes

13

Para la generacin de nmeros aleatorios es necesario que tenga las siguientes

caractersticas:

Que sean uniformemente distribuidos.

Estadsticamente independientes.

Reproducibles.

Periodo Largo.

Generados de manera rpida.

Que no requiera gran capacidad de almacenamiento.

Por lo que es comn utilizar la relacin de recurrencia la cual cumple con estos

requisitos, aunque algunos autores han observado que dichos nmeros son pseudo

aleatorios (no son puramente aleatorios) por haber sido generados por relaciones de

recurrencia apoyadas en reglas deterministas. A continuacin se muestran varios

mtodos de generacin de nmeros pseudo aleatorios uniformes.

2.1.- MTODOS DE GENERACIN DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS.

Para generar nmeros pseudo aleatorios basado en una relacin de recurrencia

existen varios esquemas, siendo el de Derrick Henry Lehmer uno de los ms utilizados

en las computadoras. En el ao de 1940 Lehmer desarroll el primer generador de

nmeros pseudo aleatorios denominado congruencial lineal. Este matemtico de la

Universidad de Berkeley en California dedic gran parte de su vida al desarrollo

computacional del anlisis numrico.

El generador congruencial lineal genera una secuencia de nmeros pseudo aleatorios

en la cual el prximo nmero pseudo aleatorio es calculado a partir del ltimo nmero

pseudo aleatorio generado. Es decir Xn+1 se deriva del nmero Xn.

Los generadores congruenciales lineales ms populares son el congruencial mixto y el

congruencial multiplicativo.

2.1.1.- GENERADOR CONGRUENCIAL MIXTO.

El generador congruencial mixto utiliza la siguiente relacin de recurrencia:

= + Donde:

X0 = La semilla (X0 es mayor que cero)

a = el multiplicador (a es mayor que cero)

c = constante aditiva (c es mayor que cero)

14

m= mdulo (m mayor que X0, m mayor que a, y m mayor que c)

Dado un valor inicial de X0, se calcula el valor X1, el cual es resultado de obtener el

residuo de dividir aX0 + c entre m. Siendo X1 un valor entre cero y m-1. Generalizado

entonces tenemos que m representa el nmero de valores posibles diferentes a ser

generados. Y as sucesivamente se generan X2 a partir de X1, y X3 a partir de X2, y as

hasta realizar la generacin de los nmeros requeridos. Pero no necesariamente una m

grande garantiza un periodo largo.

La secuencia de nmeros generados tiene la particularidad de que son generados

considerando los valores dados de a, c, y m. Dependiendo de stos valores el periodo

de la secuencia pudiera ser largo o corto.

El periodo de la secuencia de nmeros generados, es crucial para considerarlos tiles

en una simulacin. Si el periodo es muy corto, por ejemplo 4, la secuencia se repetir

cada 4 nmeros por ejemplo: 7,6,9,0,7,6,9,0,7,6,9,0,,6,9,0,7 es la secuencia

generada con X0=7, a=7, c=7 y m=10.

Eleccin de los parmetros a,c,m y X0.

El Dr. Donald Knuth en los 60s propuso la regla para la seleccin de a, c, y m y X0, lo

cual arroja una buena secuencia de nmeros. Hoy en da los generadores ms

eficientes tienen m = 232 para computadoras de 32 bits y m= 264 para computadoras de

64 bits, debido a que es el valor mximo para calcular la operacin de mdulo debido a

truncamiento. La siguiente tabla muestra los parmetros utilizados por las funciones

rand() predefinidas en los principales compiladores comerciales.

Fuente m A c

Numerical recipes 232 1,664,525 1,013,904,223

Borland C/C++ 232 22,695,477 1

Glibc (Gcc) 231 1,103,515,245 12,345

Ansi C 231 1,103,515,245 12,345

Borland Delphi 232 134,775,813 1

Microsoft Visual/Quick C/C++

232 214013 (343FD16) 2531011

(269EC316)

Java's java.util.Random 248 25,214,903,917 11

Tabla 2.1.- Parmetros de recurrencia usados por compiladores comerciales

15

Regla de Knuth para la seleccin de m, a, c, y X0.

Seleccin de m.

Seleccionar m de modo que sea el nmero primo ms grande posible y que a su vez

sea menor que p, donde: p es la base del sistema binario y d es el nmero de bits de la

palabra de la computadora. Por ejemplo 231.

Seleccin de a.

Seleccionar a de tal manera que: (a-1) mod 4 = 0, si 4 es un factor de m y (a-1) mod b =

0, si b es un factor primo de m. Usualmente, el valor de a se toma como a = 2k +1

donde k>=2.

Seleccin de c.

Es recomendable elegir el valor de c tal que c mod 8 = 5

Seleccin de X0.

La seleccin de X0 es irrelevante.

Ejemplo.

Dado los valores de a=5, c=7, m=8 y X0=4 construir una secuencia de nmeros pseudo

aleatorios, y determinar el periodo que tiene esta secuencia.

n Xn (5Xn + 7 )mod 8 Xn+1 Nmero pseudo aleatorio

0 4 (5(4)+7) mod 8 = 27 mod 8 = 3 3 3/8

1 3 (5(3)+7) mod 8 = 22 mod 8 = 6 6 6/8

2 6 (5(6)+7) mod 8 = 37 mod 8 = 1 5 5/8

3 5 (5(5)+7) mod 8 = 32 mod 8 = 0 0 0/8 = 0

4 0 (5(0)+7) mod 8 = 7 mod 8 = 7 7 7/8

5 7 (5(7)+7) mod 8 = 42 mod 8 = 2 2 2/8

6 2 (5(2)+7) mod 8 = 17 mod 8 = 1 1 1/8

7 1 (5(1)+7) mod 8 = 12 mod 8 = 4 4 4/8

8 4 (5(4)+7) mod 8 = 27 mod 8 = 3 3 3/8

9 3 (5(3)+7) mod 8 = 22 mod 8 = 6 6 6/8

En este ejemplo se muestra que el generador cuenta con un periodo muy corto, ya que

X0 = 4, y vuelve a aparecer en X8 = 4, por lo que la secuencia tiene un periodo= 8.

16

2.1.2.- GENERADOR CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO.

Este generador determina el siguiente nmero pseudo aleatorio a partir de la siguiente

recurrencia:

= Donde:

X0 = La semilla (X0 es mayor que cero)

a = el multiplicador (a es mayor que cero)

m= mdulo (m mayor que X0, m mayor que a, y m mayor que c)

2.2.- PRUEBAS ESTADSTICAS.

Las pruebas estadsticas son utilizadas para asegurar la aleatoriedad de los nmeros

pseudo aleatorios generados. La hiptesis de rechazar o no un generador es el objetivo

de estas pruebas estadsticas. Garantizar que se cuenta con un generador confiable, es

un requisito inicial que se debe examinar. Existen una gran cantidad de pruebas

estadsticas las cuales parten de la idea de analizar estadsticamente los nmeros

pseudo aleatorios los cuales se presume tienen un comportamiento uniforme. Existe

una gran gamma de pruebas de aleatoriedad, algunas simples de implementar

computacionalmente, otras ms complejas.

Al contar con un paquete de pruebas ya implementadas computacionalmente, es til

formar un paquete de pruebas que tenga que pasar un generador determinado. Knuth

PRUEBAS DE ALEATORIEDAD

De uniformidad

Chi-Cuadrada.

Kolmogorov-Smirnov.

De aleatoriedad

Corridas arriba y debajo de

la media.

Longitud de corridas.

De independencia

Autocorrelacin

Prueba de huecos

Prueba de pquer

Prueba de Yule

Figura 2.2.- Pruebas estadsticas de aleatoriedad

17

expres que si una sucesin se comporta como aleatoria para las pruebas P1, P2, .., P3,

no se asegura en general que para Pn+1 no se encuentre una falla.

2.2.1.- DE UNIFORMIDAD. (CHI-CUADRADA, KOLMOGOROV-SMIRNOV).

2.2.1.1.- La prueba Chi-Cuadrada.

La prueba chi-cuadrada tambin conocida como la prueba de Pearson o la prueba de

frecuencias es una prueba de bondad de ajuste que establece si difiere o no la

frecuencia observada de una distribucin terica. El ingls Karl Pearson desarroll a

principios del siglo XX esta prueba , y hasta la fecha tiene muchas aplicaciones en el

campo estadstico.

La prueba chi-cuadrada es una de las pruebas ms tiles y ampliamente utilizadas en la

estadstica. La distribucin Chi-Cuadrada es en teora una distribucin matemtica que

se aplica ampliamente en el trabajo estadstico. El trmino Chi-cuadrada proviene del

uso de la letra griega el cual se pronuncia ji o chi y es el que define a esta

distribucin. La hiptesis nula y alternativa son las siguientes:

: = : Esta prueba es utilizada para determinar que tan significativa es la diferencia entre las

frecuencias observadas y esperadas de uno o ms categoras (subintervalos). La

diferencia entre las frecuencias esperadas y observadas son consideradas como el

error muestral. Las frecuencias observadas son calculadas a partir de un conteo de los

nmeros que coinciden en un subintervalo determinado, y las frecuencias esperadas

estn en funcin a una distribucin de probabilidad terica.

Para una secuencia de 100 nmeros, y 5 subintervalos tenemos que: N=100, n=5, la FEi

= N/n = 100/5 = 20 para cualquier i. y la frecuencia observada es la cantidad de

nmeros que coinciden en cada subintervalo.

0

18

parecidas entonces se dice que la muestra proviene de una distribucin uniforme. El

estadstico que se utiliza es el cual hace uso de la letra griega ji (CHI), el cual es obtenido de la siguiente expresin:

=

Donde: N = Tamao de la muestra, n=cantidad de subintervalos, FOi=frecuencia

observada en el subintervalo i, FEi=frecuencia esperada en el subintervalo i.

Una vez obtenido el estadstico de la muestra se compara con el estadstico terico de la poblacin , para rechazar o no la hiptesis que la secuencia de nmeros proviene de una distribucin uniforme.

2,,, + , + 1

K = L + FGG K =16 0.5 15.732.641 = 0.232.641 = 0.0870

Paso 5.- Comparar los estadsticos para decidir si se rechaza o no la hiptesis.

Buscar el estadstico Z en la tabla Z en el apndice A, tomando como alfa=5%, entonces Se

calcula 100% - 5% = 95% dividido entre dos es igual a 47.5%, por lo tanto se busca el nmero

0.475 dentro de la tabla, en donde coincide con el 1.96

K/ = K./ = 1.96 8 1.96 0.0870 1.96$,+,$#,#$%$'()%-$? 2.2.3.3.- Prueba de Pquer.

La prueba de pquer est inspirada en el popular juego de cartas en la que los

jugadores apuestan, y el total de la apuesta es ganada por aquellos jugadores que

tengan la mejor combinacin de cartas. La baraja es un conjunto de naipes o cartas.

La prueba estadstica de pquer plantea La hiptesis nula que los nmeros pseudo

aleatorios son independientes entre s, siendo:

: = ,$)$, $,+$ : ,$)$, $,+$

La baraja diseada para esta prueba, est formada por 50 naipes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

29

Un nmero pseudoaleatorio (con mximo 5 digitos significativos) se representa como

una jugada:

X1 = 0.23123 se representa:

2 3 1 2 3

En donde un nmero pseudo aleatorio por ejemplo el 0.2312340, se toman los 5

dgitos ms significativos (0.23123), donde cada digito se representa por una carta. Se

analiza y se encuentra la combinacin de carta en este caso son dos pares, de una lista

de siete posibles. Se anota la combinacin, y se selecciona el siguiente nmero pseudo

aleatorio.

La lista de combinaciones existentes son: todas diferentes, un par, dos pares, tercia,

full, pquer, quintilla.

La idea principal de la prueba es contabilizar la frecuencia observada de cada mano, y a

frecuencia esperada de cada mano se obtiene de la probabilidad esperada en cada una

de las manos posibles. Se utiliza el estadstico chi-cuadrado para rechazar o no la

hiptesis de independencia.

El procedimiento a seguir en esta prueba, es el siguiente:

Paso 1.- Calcular la frecuencia esperada.

Las manos de pquer posibles a considerar son todas diferentes, un par, dos pares,

tercia, full, pquer y quintilla, las cuales servirn de criterio al momento de analizar

cada uno de los N nmeros pseudo aleatorios. A continuacin se muestra una tabla en

la cual se indica la probabilidad esperada de que cada una de las i manos, la cual se

utiliza para el clculo de la frecuencia esperada (FEi).

i Mano de Pquer Probabilidadi FEi = N x Probabilidadi

1 Todos diferentes 0.30240 FE1 = N x 0.30240 2 Un par 0.50400 FE2 = N x 0.50400 3 Dos Pares 0.10800 FE3 = N x 0.10800 4 Tercia

Full Pquer

Quintilla

0.07200+0.00900+0.00450+0.00010 = 0.0856

FE4 = N x 0.08560

30

Paso 2.- Calcular la frecuencia observada.

Se selecciona cada uno de los nmeros pseudo aleatorios, y se examina en forma

individual eligiendo los 5 dgitos ms significativos, para ser utilizados cada uno como

una carta de la baraja. La mano que se forme con las 5 barajas se contabilizar en las i

manos observadas, y se acumular a la FOi correspondiente.

i Mano de Pquer FOi

1 Todos diferentes FE1 = Total de nmeros pseudoaleatorios que resultaron en todas diferentes.

2 Un par FE2 = Total de nmeros pseudoaleatorios que resultaron con un par.

3 Dos Pares FE3 = Total de nmeros pseudo aleatorios que resultaron con dos pares.

4 Tercia Full Pquer Quintilla

FE4 = Total de nmeros pseudo aleatorios que resultaron con tercia full pquer quintilla.

Paso3.-Calcularelestadsticodef =

7

Una vez obtenido el estadstico de la muestra se compara con el estadstico terico de la poblacin ,@ para rechazar o no la hiptesis que la secuencia de nmeros proviene de una distribucin uniforme.

)EE

/* Genera una variable aleatoria binomial con parmetro p (probabilidad de xito ) y n */

int binomial( double p, int n) {

double r ;

int x, i ;

x=0;

for(i=1;i

42

3.2.4.- DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA.

La funcin de probabilidad hipergeomtrica est descrita por:

.i = |}~k |}~k |} Donde:

0 i ") 0 , i "1 )

Siendo x, n, y N nmeros enteros, N es el nmero de elementos de la poblacin, Np es

el nmero de elementos que pertenecen a la clase I, y N(1-p) es el nmero de

elementos pertenecientes a la clase II.

Si se considera a n como una muestra de la poblacin N, utilizando la poltica de no

reemplazo, entonces el nmero de elementos que pertenecen a la clase I (Np) siguen

una distribucin hipergeomtrica.

La distribucin hipergeomtrica tiene

Una media igual a:

= = ,) Y la varianza igual a:

m = n = ,)1 ) r" ," 1t

A medida que se extrae un elemento de una muestra de n elementos, se reduce el

valor de N=N0, de acuerdo a la siguiente expresin: " = " 1 Y el valor de p=p0 tambin es transformado por la siguiente frmula:

) = ") " 1 El valor de S tiene el valor de 1 cuando el elemento extrado pertenece a la clase I, y el

valor de cero en caso que pertenezca a la clase II.

43

Se aplica el mtodo de rechazo en la generacin de la variable aleatoria

hipergeomtrica, que involucra un proceso de n iteraciones, realizando un conteo de

los elementos pertenecientes a la clase I. En cada iteracin determina a que clase

pertenece el elemento, para luego calcular la probabilidad que se utilizar en la

siguiente iteracin. A continuacin se presenta la lgica utilizada para el clculo de la

variable aleatoria hipergeomtrica.

/* Genera una variable aleatoria hipergeometrica con parmetros tn, ns, y p (probabilidad de xito ) */

int hipergeometrica(int tn, int ns, double p) {

double r;

int x, s;

x=0;

for(i=1;i

44

= = Y la varianza igual a:

m = n =

La variable aleatoria Poisson se obtiene mediante la siguiente desigualdad:

+k %k

/* Genera una variable aleatoria poisson con parmetro lambda */

int poisson( double lambda) {

double r, a,b;

int x, i ;

a=Math.exp(-lambda);

b=1.0D;

x=0;

do {

b = b * rand();

if (b < a) { return x; }

x = x + 1;

}

while (true);

}

Tabla 3.5.- Pseudocdigo para variable aleatoria Poisson.

45

3.3.- Variables aleatorias continuas.

3.3.1.- DISTRIBUCIN UNIFORME.

La distribucin uniforme o tambin conocida como la distribucin rectangular es el

modelo continuo ms simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que slo

puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los

intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad.

Tambin puede expresarse como el modelo probabilstico correspondiente a tomar un

nmero al azar dentro de un intervalo (a, b).

La funcin de densidad f(x) se define como:

.i = T 1? # i ?0# > i > ?E

La distribucin acumulada F(x) est definida como:

i = 1? +k = i ? # i ?

Con media igual a:

= = + ?2 Y varianza igual a:

m = n = ? 12 La variable aleatoria uniforme es obtenida al aplicar el mtodo de la transformada

inversa dando como resultado:

i = i ? = % Despejando x se obtiene la variable aleatoria uniforme:

O% ?($($+% -, .%$i = + ? %,$0 % 1

46

Esta variable aleatoria uniforme es una funcin que es dependiente de los valores a,b,

y r, donde a corresponde al lmite inferior, b el lmite superior, y r es un nmero

pseudoaleatorio entre 0 y 1, y la variable x corresponde a un nmero real que tiene un

comportamiento uniforme, que puede ser implementado computacionalmente para la

simulacin de nmeros uniformes.

A continuacin se presenta el pseudocdigo del generador de nmeros uniformes.

/* Genera una variable aleatoria uniforme con parmetros a (limite inferior), y b (lmite superior) */

double uniforme(double a, double b) {

double r,x;

r = rand();

x = a + (b a)*r;

return(x);

}

3.3.2.- DISTRIBUCIN EXPONENCIAL.

Si es muy pequea la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo corto, y si

la ocurrencia de tal evento es, estadsticamente independiente respecto a la

ocurrencia de otros eventos, entonces el intervalo de tiempo entre ocurrencia de

eventos de este tipo estar distribuido en forma exponencial.

La funcin de densidad de una distribucin exponencial tiene la forma:

.i = $k Donde: > 09i 0. La distribucin acumulada F(x) est definida como:

i = $k+ = 1 k $k Con media igual a:

= = i$ki = 1 Y varianza igual a:

Tabla 3.6.- Pseudocdigo para variable aleatoria uniforme.

47

m = n = i 1$ki = 1 = El parmetro lambda () es posible expresarlo de la siguiente manera:

= 1 Aplicando la transformada inversa se tiene lo siguiente:

# i = 1 $k $,+,$# 1 i = $k

Igualando a r se obtiene:

% = $k Despejando x es posible obtener la variable aleatoria exponencial:

O% ?($($+% $i),$, (i = r1t o,% = o,%

/* Genera una variable aleatoria exponencial con parmetro ex (media) */

double exponencial(double ex) {

double r,x;

r = rand();

x = -ex * Math.log(r) ;

return(x);

}

Tabla 3.7.- Pseudocdigo para variable aleatoria exponencial.

48

3.3.3.- DISTRIBUCIN GAMMA.

La funcin gamma est definida con la siguiente funcin de densidad:

.i = uiu$ks 1! Donde: > 0, k > 0, y x 0 Debido a que la distribucin acumulada F(x) no existe de manera explcita, Pearson

encontr una forma tabular de la funcin gamma incompleta.

Con media igual a:

= = s Y varianza igual a:

m = n = s

Se obtienen los valores de k y . = s = I sm , $#)$,s#$?+ $,$:

s = m = s =

m = m

Para generar la variable aleatoria gamma es necesario aplicar el mtodo de

convolucin, basado en la suma de k valores de variable aleatoria exponencial con

media igual a 1/, expresando la variable aleatoria x de la siguiente manera: O% ?($($+% pi = i = 1u o,% = 1

u o,%

u

Con la restriccin de generar variables aleatorias con valores de k que no sean enteros.

49

/* Genera una variable aleatoria gamma con parmetros lambda y k */

double gamma(double lambda, int k) {

double r,x, tr;

int i;

tr=1.0D;

for(i=1;i

50

La funcin de densidad de una distribucin normal estandarizada tiene como valores a k = 0, 9nk = 1, .' = 12 $

Donde: -

51

/* Genera una variable aleatoria normal con parmetros media y desviacion) */

double normal(double media, double desviacion) {

double r,x, tr;

int i;

int k=12;

tr = 1.0D;

for (i=1;i

52

La dificultad en este mtodo radica en que en algunas ocasiones es muy difcil

encontrar la transformada inversa debido a que no es posible integrarse

analticamente (ej. distribucin normal o gama). Cuando se presenta este caso se

puede intentar el uso de propiedades estadsticas como el lmite central o la propiedad

de convolucin, como alternativas matemticas exploratorias.

3.4.2.- MTODO DE CONVOLUCIN.

Este mtodo permite la generacin de variables aleatorias en funcin de una

combinacin lineal ponderada de otras variables aleatorias. Es decir requiere que la

variable a generar se pueda expresar como una suma lineal ponderada de otras

variables aleatorias. Las variables aleatorias normal, binomial, Poisson, gamma y Erlang

son un ejemplo de la aplicacin de ste mtodo.

Este mtodo es posible aplicarse siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda

expresar como una combinacin lineal de k variables aleatorias:

i = ?i +?uiu Donde i$#-,O% ?($($+% R-$#$+ $,$$. , )%$O $,+$. 3.4.3.- MTODO DE COMPOSICIN.

Cuando la funcin de distribucin puede ser expresada como una combinacin

convexa de otras funciones de distribucin, el mtodo de composicin es una

alternativa que simplifica la generacin de variables aleatorias. En ste mtodo se

expresa a f(x) como una mezcla probabilstica de las funciones de densidad fi(x). La

funcin de distribucin tiene la siguiente forma:

.i = ).i ,$) 09) = 1

Para seleccionar las .i que son componentes de la fi se debe contemplar principalmente las consideraciones relativas a la geometra de la distribucin y la

minimizacin de los tiempos esperados del clculo computacional.

53

Ejemplo.

Generar la variable aleatoria para la siguiente distribucin:

.i = 1 + i, 1 i < 01 i, 0 i 1E

Solucin:

i = 1 + ii = 1 + i2k

i = 1 + ii + 1 ii = 1 1 i2k

Aplicando la transformada inversa:

% = i = 1 + i2 Despejando x se obtiene que:

i = 2% 1 Para x=-1, se obtiene r = 0

Para x=0, se obtiene r =

Sujeta a las siguientes restricciones:

0 % 1 2 1 i 0 Aplicando la transformada inversa:

% = i = 1 1 i2 Despejando x se obtiene que:

i = 1 21 % Para x=0, se obtiene r=

Para x=1, se obtiene r=1

54

Sujeta a las restricciones siguientes: 1 2 % 1 0 i 1 Formulando entonces la variable aleatoria:

i = T 2% 1, 0 % 1 21 21 %, 1 2 % 1E

3.5.- PROCEDIMIENTOS ESPECIALES.

Existen casos en que se requiere la aplicacin de algunas propiedades estadsticas

como el teorema del lmite central que permiten generar una distribucin deseada.

El teorema del lmite central indica que, en condiciones generales, si es la suma de n variables aleatorias independientes , entonces la funcin de distribucin de se aproxima a una distribucin normal. Este teorema asegura que ocurre cuando n es lo suficientemente grande.

3.6.- PRUEBAS ESTADSTICAS (PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE).

Al construir el modelo de simulacin un punto importante es decidir si el conjunto de

datos se ajusta apropiadamente a una distribucin especfica de probabilidad. El

proceso de anlisis para conocer el comportamiento de los datos, se requiere

formularlos mediante tablas de frecuencias, para as aplicar la prueba de bondad de

ajuste (chi-cuadrada) y la prueba de Kolmogorov-Smirnov, descritas anteriormente en

la seccin 2.21, con la variante de que el clculo de las frecuencias esperadas ser de

acuerdo a la funcin propuesta f(x), para luego obtener mediante integracin la F(x)

obteniendo la frecuencia esperada en el intervalo i con la siguientes expresiones:

i = .ii~ = i " Donde f(x) es la funcin de probabilidad propuesta, los lmites superior e inferior ser

de acuerdo al intervalo calculado y la N es la cantidad total de datos analizados.

55

4444 Lenguajes de SimulacinLenguajes de SimulacinLenguajes de SimulacinLenguajes de Simulacin

4.1.- LENGUAJES DE SIMULACIN Y SIMULADORES.

Una vez realizada el anlisis del sistema a simular, es necesario describir las

especificaciones del modelo en trminos de relaciones lgicas. Para el diseo de la

arquitectura del modelo se debe tomar la decisin de desarrollar el sistema mediante

un lenguaje de programacin, o bien utilizar un simulador ya existente.

4.1.1.- LENGUAJES DE PROGRAMACIN DE PROPSITO GENERAL.

Los lenguajes de programacin tienen sus inicios en los aos cincuentas, los primeros

lenguajes de programacin fueron desarrollados para propsito general, pero

enfocados a diferentes nichos de oportunidad. El lenguaje Fortran fue utilizado

ampliamente por cientficos y matemticos por su facilidad de implementar

expresiones matemticas, en cambio, el lenguaje Cobol, tuvo su aceptacin en la

administracin, debido a su facilidad para el manejo de grandes volmenes de datos.

Al paso del tiempo fueron emergiendo otros lenguajes de programacin de propsito

general, en los aos setentas surge el lenguaje Basic en las primeras

microcomputadoras, y con el advenimiento de la programacin estructurada, el

lenguaje Pascal, y el lenguaje C presentan nuevas estructuras de control que permiten

al programador escribir un cdigo ms legible, limitando el uso de los saltos

incondicionales utilizados en Fortran y Cobol.

En los ochentas y noventas con el enfoque orientado a objetos, y los nuevos

requerimientos en la presentacin grfica surgen nuevos lenguajes, y se adaptan los

conocidos, con una nueva cara, los lenguajes visuales que han sido populares hasta

la fecha, los cuales cuentan con poderosos entornos grficos, libreras que permiten

fcilmente el desarrollo. La compaa Microsoft lder en los lenguajes de

programacin para computadoras personales presenta el kit de desarrollo VisualStudio

que en la ltima dcada lo ha ido transformado para incluir las nuevas tecnologas NET,

soportando las redes, programacin web, y programacin mvil.

4.1.2.- LENGUAJES DE PROGRAMACIN DE PROPSITO ESPECFICO.

A mediados de los aos cincuentas, se construyen los primeros simuladores utilizando

lenguajes de programacin de propsito general. Las dificultades presentadas en su

construccin, dan luz a proyectos encaminados a desarrollar

programacin que sean especfico

Estos lenguajes de simulacin tienen como finalidad reducir la tarea de programacin,

definiendo claramente el sistema a simular, que sea fcil mantener el cdigo

los continuos cambios que surgen en el proceso de expe

de las entidades a utilizar que permita relacionar las entidades dentro del sistema.

Las caractersticas con las cuales debe contar un lenguaje de simulacin es

Proporcionar instrucciones para la generacin de variables

y no uniformes.

Incluir instrucciones para el manejo de reloj

La elaboracin de un informe de resultados de la simulacin.

Reportar los errores de lgica e inconsistencias encontradas.

4.1.3.- LENGUAJES DE SIMULACIN.

4.1.3.1.- GPSS (General Purpose Simulation System).

El lenguaje fue creado por Geoffrey Gordon

tiene como objetivo principal la modelacin de sistemas discretos.

se debe describir utilizando una secuencia de bloques que representan las actividades,

Un grupo de transacciones fluye por esa secuencia descrita por los bloques. Es decir

transacciones y bloques son dos elementos bsicos. Por ejemplo

bancario a simular, las transacciones son las personas que acuden al banco, y van

fluyendo por todas las instalaciones, y los bloques representan una operacin, tal es el

caso de la entrada o salida, la atencin del cajero, o la espera.

La empresa Minuteman Software (

aos proporciona software para simulaci

World versin 5.2.2 comercialmente y tambin

56

LENGUAJES DE PROGRAMACIN DE PROPSITO ESPECFICO.

ncuentas, se construyen los primeros simuladores utilizando


construccin, dan luz a proyectos encaminados a desarrollar nuevos lenguaje

especficos para construir simuladores.


definiendo claramente el sistema a simular, que sea fcil mantener el cdigo

continuos cambios que surgen en el proceso de experimentacin, y una definicin


Las caractersticas con las cuales debe contar un lenguaje de simulacin es:

roporcionar instrucciones para la generacin de variables aleatorias uniformes

Incluir instrucciones para el manejo de reloj.

La elaboracin de un informe de resultados de la simulacin.

Reportar los errores de lgica e inconsistencias encontradas.

LENGUAJES DE SIMULACIN.

SS (General Purpose Simulation System).

creado por Geoffrey Gordon a finales de la dcada de los cincuentas,

tiene como objetivo principal la modelacin de sistemas discretos. El sistema a simular



transacciones y bloques son dos elementos bsicos. Por ejemplo en un sistema



la entrada o salida, la atencin del cajero, o la espera.

presa Minuteman Software (www.minutemansoftware.com) por ms de veinte

proporciona software para simulacin. Actualmente distribuye el producto

comercialmente y tambin presenta una versin acadmica

ncuentas, se construyen los primeros simuladores utilizando


lenguajes de


definiendo claramente el sistema a simular, que sea fcil mantener el cdigo debido a

rimentacin, y una definicin


aleatorias uniformes

cincuentas, y

El sistema a simular



en un sistema



por ms de veinte

producto GPSS

una versin acadmica.

4.1.3.2.- SIMSCRIPT.

SIMSCRIPT es un lenguaje que

equipo para soportar el proyecto Air Force Rand.

transformado este lenguaje para cumplir con las

del mercado.

CACI (www.simscript.com) es una empresa ubicada en San Diego California, que es

propietaria de SIMSCRIPT, y cuenta con casi cincuenta aos de experiencia en

productos para construir simuladores

SIMSCRIPT III es la nueva versin liberada

tecnologa orientada a objetos y los nuevos procesadores de 32 y 64 bits. Contiene un

entorno de desarrollo e interfases para

basados en Java. Es utilizado en reas tales como: telecomunicaciones, simulacin de

procesos de fabricacin, logstica en aeropuertos, entrenamientos militares, unidades

militares animadas, formacin de vuelos, embarques, etc. Es compa

plataformas Windows, Unix y Linux.

4.1.3.3.- SIMULA.

El lenguaje de simulacin SIMULA fue diseado por Ole

en el Centro Noruego de C

originalmente diseado e implemen

discretos. Este lenguaje fue el primer lenguaje de programacin orientado a objetos

que tuvo gran influencia para la

como el enfoque orientado a objetos

encuentra un compilador soportado, dejando un gran trabajo como herencia a las

futuras generaciones.

4.1.3.4.- PROMODEL.

ProModel es un paquete de simulacin que no requiere de programacin, pero s lo

permite. Se ejecuta en plataforma Windows, es fcil de utilizar y tiene gran flexibilidad

al construir complejas aplicaciones.

Permite simular mediante animaciones cualquier tipo de s

logstica, manejo de materiales,

talleres, logstica, etc.

Una vez creado el modelo, se puede optimizar mediante el mdulo de optimizacin a

diferencia del procedimiento tradicion

57

es un lenguaje que fue desarrollado en 1962 por Harry Markowitz y su

equipo para soportar el proyecto Air Force Rand. Al paso de los aos se ha

para cumplir con las nuevas demandas computacionales y

es una empresa ubicada en San Diego California, que es


ra construir simuladores.

es la nueva versin liberada por CACI en 2007 incorporando la


entorno de desarrollo e interfases para construir grficos en dos y tres dimensiones

en Java. Es utilizado en reas tales como: telecomunicaciones, simulacin de


militares animadas, formacin de vuelos, embarques, etc. Es compa

plataformas Windows, Unix y Linux.

El lenguaje de simulacin SIMULA fue diseado por Ole-Johan Dahl y Kristen Nygaard

de Computacin en Oslo Noruega entre 1962 y 1967. Fue

originalmente diseado e implementado como un lenguaje de simulacin de eventos

discretos. Este lenguaje fue el primer lenguaje de programacin orientado a objetos

para la introduccin de conceptos importantes

el enfoque orientado a objetos. Desafortunadamente hoy en da no se


es un paquete de simulacin que no requiere de programacin, pero s lo


al construir complejas aplicaciones.

ermite simular mediante animaciones cualquier tipo de sistemas: Manufactura,

logstica, manejo de materiales, bandas de transporte, gras viajeras, ensamble, corte,


diferencia del procedimiento tradicional de prueba y error.

fue desarrollado en 1962 por Harry Markowitz y su

paso de los aos se ha

nuevas demandas computacionales y

es una empresa ubicada en San Diego California, que es


en 2007 incorporando la


dimensiones

en Java. Es utilizado en reas tales como: telecomunicaciones, simulacin de


militares animadas, formacin de vuelos, embarques, etc. Es compatible con

Johan Dahl y Kristen Nygaard

en Oslo Noruega entre 1962 y 1967. Fue

tado como un lenguaje de simulacin de eventos

discretos. Este lenguaje fue el primer lenguaje de programacin orientado a objetos,

introduccin de conceptos importantes conocidos

Desafortunadamente hoy en da no se


es un paquete de simulacin que no requiere de programacin, pero s lo


anufactura,

bandas de transporte, gras viajeras, ensamble, corte,


La empresa comercial ProModel Corporation (

utilizacin de la Simulacin y Optimizacin como una respuesta rpida a los problemas

de decisin en las empresas, generando

4.1.3.5.- ARENA.

Arena es un software para realizar simulacin de eventos discretos. Desarrollado por

Systems Modeling y adquirido por Rockwell Automation (

libera la versin 14 en junio del 2012. Arena proporciona una interfase visual para la

construccin del modelo basado en mdulos que representan la lgica del proceso

relativas a las entidades, flujo y tiempo

reportes de los datos estadsti

El lenguaje de programacin VisualBasic

como parte de un servicio opcional, para el desarrollo de

Cuenta con ediciones comerciales: Professional, Enterprise, Estndar, Basic, y

ediciones acadmicas: Academic Lab, Research , y Student.

4.2.- APRENDIZAJE Y USO DE LENGUAJE DE SIMULACIN O UN SIMULADOR.

Al incursionar en la construccin del modelo de simulacin, es innegable

conocimientos computacionales, matemticos y de la teora de la probabilidad juegan

un papel importante en el xito de esta tarea.

simulacin o el uso de un simulador es parte esencial para iniciar con la construcc

del modelo. El tipo y la complejidad del modelo forman parte del criterio de seleccin

del lenguaje de simulacin o simulador, siendo la experiencia en el desarrollo de

sistemas computacionales una gran ayuda para incursionar en la construccin de

simuladores.

El lenguaje de simulacin GPSS es de gran ayuda para iniciar con esta actividad, un

lenguaje que a pesar de surgir en los aos cincuentas est todava vigente con muy

pocas modificaciones, y ha sido fuente de inspiracin para otros simuladores tal

como: Promodel y Arena que proporcionan ambientes ms robustos y ayu

que sustituyen la programacin.

4.2.1.- LENGUAJE GPSS.

GPSS World es un software de la empresa Minuteman Software que se ejecuta en un

computadoras con sistemas operativos Windows.

simulacin es necesario describir mediante un diagrama de bloques que

posteriormente se codifica en el lenguaje

58

La empresa comercial ProModel Corporation (www.promodel.com.mx) Prom


, generando ahorros sustanciales, a travs de la simulacin.

un software para realizar simulacin de eventos discretos. Desarrollado por

Systems Modeling y adquirido por Rockwell Automation (www.arenasimulation.com



relativas a las entidades, flujo y tiempo; y presenta los resultados de la simulacin con

reportes de los datos estadsticos.

El lenguaje de programacin VisualBasic de Microsoft est integrado en Arena

como parte de un servicio opcional, para el desarrollo de algoritmos especficos.

comerciales: Professional, Enterprise, Estndar, Basic, y

ediciones acadmicas: Academic Lab, Research , y Student.

APRENDIZAJE Y USO DE LENGUAJE DE SIMULACIN O UN SIMULADOR.

Al incursionar en la construccin del modelo de simulacin, es innegable


un papel importante en el xito de esta tarea. El conocimiento de un lenguaje de

simulacin o el uso de un simulador es parte esencial para iniciar con la construcc






pocas modificaciones, y ha sido fuente de inspiracin para otros simuladores tal

como: Promodel y Arena que proporcionan ambientes ms robustos y ayudas visuales

que sustituyen la programacin.

es un software de la empresa Minuteman Software que se ejecuta en un

computadoras con sistemas operativos Windows. Para construir el modelo de


posteriormente se codifica en el lenguaje GPSS.

Promueve la


ahorros sustanciales, a travs de la simulacin.

un software para realizar simulacin de eventos discretos. Desarrollado por

www.arenasimulation.com)



los resultados de la simulacin con

de Microsoft est integrado en Arena,

algoritmos especficos.

comerciales: Professional, Enterprise, Estndar, Basic, y

APRENDIZAJE Y USO DE LENGUAJE DE SIMULACIN O UN SIMULADOR.

Al incursionar en la construccin del modelo de simulacin, es innegable que los


El conocimiento de un lenguaje de

simulacin o el uso de un simulador es parte esencial para iniciar con la construccin






pocas modificaciones, y ha sido fuente de inspiracin para otros simuladores tales

das visuales

es un software de la empresa Minuteman Software que se ejecuta en un

Para construir el modelo de


59

Este software est basado en el lenguaje GPSS que fue desarrollado por Geoffrey

Gordon en los aos sesentas, y ha contribuido con importantes conceptos que hoy en

da estn presentes en los principales software de simulacin comerciales.

GPSS World est diseado para entregar respuestas rpidas y confiables con el

menor esfuerzo. La mayora de los sistemas pueden ser modelados de varias maneras

utilizando GPSS World. A menudo se utiliza un subconjunto de instrucciones.

4.2.1.1.- ESTRUCTURA DEL LENGUAJE GPSS.

Las instrucciones dentro del lenguaje GPSS se pueden clasificar como:

Instrucciones para definir variables.

Instrucciones para la lgica del programa.

Instrucciones para el control de la simulacin.

Cada una de estas instrucciones de GPSS estn descritas en el apndice B.

Instrucciones para definir variables.

Instruccin Descripcin

FUNCTION Definicin de funciones.

STORAGE Definicin de nmero de servidores.

MATRIX Definicin de matrices.

EQU Asignacin numrica a variables.

INITIAL Inicializacin de variables.

TABLE Definicin de histogramas.

VARIABLE FVARIABLE

Definicin de operaciones.

Tabla 4.1..- Instrucciones de GPSS para definicin de variables.

60

Instrucciones para la lgica del programa.


SEIZE ENTER PREEMPT

Simulacin de inicio de proceso y captura del servidor.

RELEASE LEAVE RETURN

Simulacin de fin de proceso y liberacin del servidor.

QUEUE ENTER LINK

Simulacin de entrada de transacciones a un almacn.

DEPART ENTER UNLINK

Simulacin de salida de transacciones de un almacn.

GENERATE SPLIT

Simulacin de entrada de transacciones al sistema.

TERMINATE Simulacin de salida de transacciones del sistema.

ADVANCE ASSEMBLE MATCH GATHER

Simulacin de diversos tipos de proceso.

TRANSFER TEST GATE LOGIC SELECT LOOP BUFFER

Simulacin de control de flujo de transacciones

SAVEVALUE MSAVEVALUE ASSIGN INDEX PRIORITY

Bloques de operaciones aritmticas.

TABULATE Bloques de creacin de estadsticas.

Instrucciones para el control de la simulacin.


END START SIMULATE

Control de la simulacin

Tabla 4.2.- Instrucciones de GPSS para la lgica del programa.

Tabla 4.3.- Instrucciones de GPSS para el control de la simulacin.

61

4.2.1.2.- DISEO Y CODIFICACIN DEL MODELO.

El modelo puede ser conceptualizado grficamente como un sistema cerrado en el cual

las transacciones entran al sistema por una puerta representada por el bloque

GENERATE, y salen las transacciones del sistema por una o varias puertas de salida, las

cuales son representadas por el bloque TERMINATE. El bloque ADVANCE simula el

tiempo de servicio, siendo necesario describir secuencialmente dos bloques ADVANCE,

el primero para simular el servicio realizado por el proceso 1, y el segundo para

simular el proceso 2. El diagrama de bloques utilizado por GPSS utiliza una simbologa,

que est definida en cada una de las instrucciones de bloques, la cual su interpretacin

requiere de tiempo, por lo que en esta seccin no se aplicar para facilitar la

comprensin.

Las variables aleatorias utilizadas en este sistema son tres: el tiempo de entre llegadas

(TE), el tiempo de servicio del proceso 1 (TS1), y el tiempo de servicio del proceso 2

(TS2). La variables aleatorias uniformes y no uniformes pueden ser generadas en GPSS,

siendo las variables aleatorias no uniformes las que requieren una particular

especificacin adicional. Para simplificar primero utilizaremos variables aleatorias

uniformes. La variable aleatoria del tiempo entre llegadas, es descrita dentro del

bloque GENERATE, y el tiempo de servicio de cada proceso es descrita en el bloque

ADVANCE.

Simulacin de n transacciones.

Para simular un sistema que lleve a cabo n transacciones atendidas, se utiliza como

medida de control de la simulacin a las instrucciones TERMINATE y START. En la

instruccin TERMINATE se utiliza el operando A, para representar la cantidad que se

tiene que decrementar del contador de finalizacin inicializado con la instruccin

START. EL siguiente ejemplo muestra la aplicacin de este concepto, tomando como

Tiempo entre llegadas TE

Tiempo de

servicio TS1

Tiempo de

servicio TS2

Proceso 1 Proceso 2

Figura 4.1.- Sistema con dos procesos en serie.

62

base un modelo con caractersticas similares al visto en el anterior diagrama de

bloques.

Simulacin de n automviles atendidos en un lavado de autos.

Al iniciar el modelado en GPSS, las instrucciones GENERATE, TERMINATE y ADVANCE

tienen una importancia fundamental en la simulacin. A continuacin se presenta un

ejemplo en donde se detalla su funcionamiento.

Ejemplo: Se desea disear un modelo para simular el funcionamiento de un lavado de

automviles en el cual se realizan dos procesos en serie: lavado exterior, y secado

exterior. El tiempo entre llegadas de los vehculos tiene un comportamiento uniforme

con una media de 15 5 minutos. El tiempo de servicio de lavado exterior tiene un

comportamiento uniforme con una media de 5 2 minutos, y el tiempo de secado

exterior es de 6 3 minutos. Se desea simular 100 vehculos atendidos.

Solucin: El modelo debe representar un lavado de automviles, por lo cual las

transacciones sern los vehculos. Los tiempos ya estn definidos como TE=u(15,5),

TS1=u(5,2), y TS2=u(6,3). Primeramente es necesario estandarizar la unidad de tiempo

que se va a utilizar en el modelo, siendo los minutos la unidad de tiempo seleccionada,

convirtiendo todos los parmetros a minutos.

Se describe el modelo haciendo uso de un diagrama de bloques, donde estos bloques

representan una instruccin en lenguaje GPSS (apndice B). Inicia el diagrama con el

bloque GENERATE 15,5 el cual genera vehculos cada 15 5 minutos, las cuales entran

al sistema. Las flechas determinan el flujo de las transacciones. Los vehculos pasan al

bloque ADVANCE 5,2 que simula un proceso de retardo de 5 2 minutos (lavado

exterior del vehculo). Posteriormente se procede al siguiente bloque que est

representado por ADVANCE 6,3 el cual simula el secado exterior con un tiempo de

retardo de 6 3 minutos. Una vez terminado el secado, procede al ltimo bloque

representado por el TERMINATE 1, simulando la salida del vehculo del sistema.

En este modelo considera que la capacidad de lavado y secado es infinita debido a que no se tiene definida la capacidad en el

servicio de lavado y secado, siendo atendidos los vehculos sin tener que hacer cola, debido a que existe un nmero infinito de

espacio y servidores para lavar y secar. El reporte de resultados de la simulacin arroja informacin de una atencin ideal como

una medida exploratoria inicial.

GENERATE 15,5 ADVANCE 5,2 ADVANCE 6,3 TERMINATE 1

Diagrama de bloques para un lavado de autos (100 vehiculos atendidos)

Figura 4.2.- Diagrama de bloques para un lavado de autos.

63

Para llevar a cabo la simulacin de 100 vehculos atendidos es necesario el uso de la

instruccin de control START 100. El operando 100 inicializa el contador de finalizacin

en 100, el cual se ir decrementando en 1 cada vez que una transaccin pase por el

bloque TERMINATE 1.

Cdigo GPSS.

GENERATE 15,5 ; Genera vehculos con tiempo entre llegadas U(15,5)

ADVANCE 5,2 ; Simula el proceso de lavado exterior con un tiempo de servicio de U(5,2)

ADVANCE 6,3 ;Simula el proceso de secado exterior con un tiempo de servicio de U(6,3)

TERMINATE 1 ;Abandona el vehculo del sistema

START 100 ;Inicia el proceso de simulacin de 100 vehculos atendidos iniciando el contador de finalizacin igual a 100.

Al ejecutar el cdigo (corrida) mostrar un reporte de resultados con las estadsticas

producto de la simulacin efectuada. Este reporte de resultados de la simulacin tiene

una informacin estructurada descrita ms adelante.

Simulacin de n automviles atendidos en un lavado de autos (mltiples servidores).

Ejemplo: Disear un modelo para simular el funcionamiento de un lavado de




comportamiento uniforme con una media de 5 2 minutos, y se tienen 2 espacios

para lavar de manera simultnea. El tiempo de secado exterior es de 6 3 minutos, y

se cuentan con 6 espacios para secado de forma simultnea. Se desea simular 100

vehculos atendidos. No se cuenta con espacio entre el rea de lavado y el rea de

secado.

Solucin: Para especificar en el modelo la capacidad instalada en el centro de lavado,

es necesario definir dos variables: LAVA Y SECA. Las cuales por medio de la instruccin

STORAGE, es posible determinar la capacidad mxima de servicio simultneo.

Tabla 4.4.- Cdigo GPSS para simular lavado y secado.

64

En el diagrama de bloques se representa la captura del servidor por medio del bloque

ENTER, y la liberacin del servidor con el bloque LEAVE. Es evidente que para liberar

un servidor (espacio) es necesario que exista previamente su captura del mismo por

medio del ENTER. Pero es conveniente subrayar, que cuando se termina de lavar un

vehculo, si existe un espacio disponible para ser secado se podr mover, de lo

contrario seguir esperando el tiempo necesario, hasta que exista un espacio

disponible para el secado (como se muestra en la lgica), y mientras tanto el servidor

que lav el vehculo estar de ocioso.

GENERATE 15,5

ADVANCE 5,2

ADVANCE 6,3

TERMINATE 1

Diagrama de bloques para un lavado de autos (100 vehiculos atendidos) Capacidad: 2 Lava, 6 Seca

ENTER

LAVA,1

ENTER

SECA,2

LEAVE

LAVA,1

LEAVE

SECA,1

Figura 4.3.- Diagrama de bloques para un lavado de autos. Incluye

servidores para realizar el lavado y secado.

65

Cdigo GPSS.

LAVA STORAGE 2 ;capacidad mxima de lavado=2

SECA STORAGE 6 ;capacidad mxima de secado = 6

GENERATE 15,5 ; Genera vehiculos con tiempo entre llegadas U(15,5)

ENTER LAVA,1 ;Captura un espacio para el lavado

ADVANCE 5,2 ; Simula el proceso de lavado exterior con un tiempo de servicio de U(5,2)

ENTER SECA,1 ;Captura un espacio para secado

LEAVE LAVA,1 ;Libera un espacio de lavado

ADVANCE 6,3 ;Simula el proceso de secado exterior con un tiempo de servicio de U(6,3)

LEAVE SECA,1 ;Libera un espacio de secado

TERMINATE 1 ;Abandona el vehiculo del sistema

START 100 ;Inicia el proceso de simulacin de 100 vehiculos atendidos iniciando el contador de finalizacin igual a 100.

Simulacin por un periodo de tiempo en un lavado de autos.

En algunos modelos es necesario llevar a cabo la simulacin por un perodo dado de

tiempo. Para disear un modelo con estas caractersticas es necesario incluir un reloj

que contabilice el tiempo de la simulacin. Para simular este reloj se requiere incluir

una secuencia de instrucciones que controlan el tiempo de la simulacin.

Ejemplo: Disear un modelo para simular el funcionamiento de un lavado de




comportamiento uniforme con una media de 5 2 minutos, y se tienen 2 espacios

para lavar de manera simultnea. El tiempo de secado exterior es de 6 3 minutos, y

se cuentan con 6 espacios para secado de forma simultnea. Se desea simular una

jornada de 8 horas de trabajo continuo. No se cuenta con espacio entre el rea de

lavado y el rea de secado.

Solucin: Para modelar este sistema es preciso determinar dos secuencias de bloques,

libro desi mu laci on

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