libro 3ro 2016 final pre i.pdf

1

MEDICIO

NES

MEDICIONES

2

Sugerencias para prepararte.

· Estudia cada unidad temática del curso destacando (puedes subrayar) aquellos conceptos que son fundamentales en cada una de ellas. Puedes hacer una lista de conceptos con sus definiciones y ecuaciones, como si hicieras un "acordeón"; de acuerdo a la consulta en los textos sugeridos en la Bibliografía; debido a que en ésta guía solo se citan breves textos alusivos a la temática del curso.

· Indaga sobre la información brindada. · Discute y analiza con otros compañeros el desarrollo de cada unidad temática.· Responde las preguntas y problemas que aparecen para cada unidad.· Consulta con el profesor Anthony de la asignatura de física las dudas que tengas al

respecto.· Confronta tus respuestas con la de tus compañeros para tal efecto y si hay dudas

puedes consultar con Anthony soluciones.

Sugerencias para prepararte.

3

MEDICIONES E

INCERTIDUMBRES

MEDICIONES E

INCERTIDUMBRES

LA FÍSICA LA FÍSICA

ALBERT EINSTEIN

Es la ciencia fundamental que se ocupa de principios

básicos del universo y constituye los cimientos sobre los

cuales se rigen las otras ciencias físicas, como la

astronomía, la geología entre otras. La belleza de la física

radica en la simplicidad de su teoría fundamental y en la

manera en que sólo unos cuantos conceptos, ecuaciones y

suposiciones fundamentales pueden alterar y expandir

nuestra visión del mundo que nos rodea.

La Física tiene la tarea de entender las propiedades y la estructura y

organización de la materia y la interacción entre las (partículas)

fundamentales. De este conocimiento se deducen todos los fenómenos

naturales y observaciones de la naturaleza. En general estudia el espacio, el

tiempo, la materia y la energía, junto con sus interacciones. Un sistema

físico. Es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas partes

existe una vinculación o interacción. Es utilizado para racionalizar, explicar y

predecir fenómenos físicos a través de una teoría; está constituido por un

solo cuerpo, o muchos a los que se les aíslan hipotéticamente del resto, con

el fin de organizar su estudio y sacar conclusiones que concuerden con la

realidad experimental. Todos los sistemas físicos se caracterizan por:

1. Tener una ubicación en el espacio-tiempo.

2. Tener un estado físico definido sujeto a evolución temporal.

3. Poderle asociar una magnitud física llamada energía. Ejemplo de

sistema físico -un bat con una pelota.

METODOLOGÍA DE LA FÍSICA.

Se basa en la observación y la

experimentación principalmente, pero en su

desarrollo requiere de hipótesis, del

planteamiento de leyes y teorías que

expliquen los fenómenos físicos; mediante el

uso de análisis de los resultados obtenidos y

sus gráficas correspondientes

APRENDIENDO MÁS...APRENDIENDO MÁS...LA FISICA SE DIVIDE EN:

1 MECÁNICA

Estudia la relación con el movimiento de objetos que se mueven a

velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

4

2 RELATIVIDAD

Es la teoría que describe los objetos que se mueven a cualquier

velocidad, incluso a aquellos cuyas velocidades se aproximan a la

velocidad de la luz.

3 TERMODINÁMICA

Estudia el calor, el trabajo, la temperatura los cambios internos de un

cuerpo por acción al calor y el comportamiento estadístico de un gran

número de partículas.

ELECTROMAGNETISMO4

Que comprende la teoría de la electricidad con el magnetismo y los

campos electromagnéticos.

MECÁNICA QUÁNTICA5

Estudia el comportamiento de las partículas en el nivel sub-

microscópico.

Entonces podemos afirmar que la Física

es una ciencia fundamental relacionada con la comprensión de los

fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo, Como todas las

ciencias naturales la FISICA parte de observaciones experimentales y

mediciones cuantitativas.

El principal objetivo de la Física es utilizar el limitado número de leyes que

gobiernan los fenómenos naturales para desarrollar teorías que puedan

predecir los resultados de futuros experimentos.

Las leyes fundamentales empleadas en el desarrollo de teorías se expresan

en el lenguaje de las matemáticas herramienta que brinda un puente entre la

teoría y el experimento.

FENÓMENO QUÍMICO Se refiere a los cambios estructurales que sufren los materiales, de tal

manera, que se obtienen materiales diferentes a los iniciales.

Ejemplo: Las reacciones químicas, El agriado de la leche.

FENÓMENO FÍSICO Se refiere cuando la materia no altera su estructura interna. Ejemplo: la

deformación de un Resorte.

Para comenzar este primer bloque, el profesor deberá explicar con los medios

o materiales que se disponga, una introducción al conocimiento de las

ciencias naturales, cómo se divide para su estudio así como el impacto que ha

generado en la ciencia y la tecnología (o tú también puedes buscar en

diversas fuentes). Posteriormente, deberás de elaborar un listado de los

artículos que se encuentren en tu casa o comunidad, donde se observe la

aplicación de la ciencia y la tecnología como un generador de bienestar para

la sociedad.

DESARROLLANDO CONOCIMIENTOS

5

INVESTIGANDO EN EQUIPO

Deberán formar equipos heterogéneos para investigar en diversas fuentes las

siguientes preguntas y contestarlas:

1. Mencionen 5 acontecimientos más relevantes en la historia de la

Física.

2. Escriban 5 aportaciones importantes que ha hecho la Física al

avance de la ciencia y el desarrollo de la tecnología.

3. ¿Les ha servido la Física en su vida personal? ¿Por qué?

4. ¿Cómo ha influido el avance científico en los cambios ambientales

de su comunidad, y qué impacto ha tenido?

Procurar formar equipo con quienes no hayas trabajado anteriormente, esto

enriquecerá tus puntos de vista y podrás desarrollar habilidades referentes a

la tolerancia y el respeto a la diversidad, entre otros.

TRABAJO EN EQUIPO

Reunirse por equipos nuevamente para buscar un texto sobre el Método

Científico (que incluya conceptos y definiciones, características principales,

limitaciones y los pasos a seguir en la realización de una investigación de

carácter científico).

Discutan en plenaria la información recabada, y finalmente elaboren un

resumen o síntesis entre todo el grupo.

ACTIVIDAD 01

En la siguiente actividad solicitamos que todo el grupo discuta sobre diversos

problemas (clima, deforestación, salud, entre otros) que se presenten u

observen en su comunidad, región o país; y donde estos puedan ser resueltos

mediante la aplicación de un método de investigación. Asimismo, comenten

si son enfrentados mediante otro tipo de métodos (religiosos, rituales, entre

otros). Elaboren una lista grupal con esos fenómenos, e individualmente,

escribe una breve síntesis acerca de alguna investigación que hallas

escuchado o leído.

· Forman equipos para investigar en diversas fuentes sobre los aspectos

históricos que fomentaron la necesidad de medir y que llevaron al

establecimiento de patrones de unidad y sistemas de unidades; así

como a las diferencias más importantes entre las magnitudes

fundamentales y las magnitudes derivadas, incluyan ejemplos de uso

cotidiano.

· Realizar por parejas un proyecto de investigación acerca de una

problemática ambiental de su región o comunidad, y especificar si tiene

solución.

· Elaboran un cuadro donde se analice, cuándo un ejemplo cotidiano

(de su comunidad o región) es una magnitud fundamental y cuándo

6

es una magnitud derivada. Por ejemplo:

· C

o

m

o

siguiente actividad deberán elaborar un cuadro de equivalencia que

contenga algunas magnitudes fundamentales y derivadas, así como

sus unidades de medida en el sistema S.I

· Trabajan en equipos (mujeres y hombres) para buscar en diversos

medios, el uso práctico donde se observe (etiquetas) el manejo de

las diferentes unidades de medida de un sistema a otro, notación

científica y prefijos de uso cotidiano. Asimismo, deberán elaborar

con el mismo equipo, tablas o cuadros de transformación de

unidades de un sistema a otro. Por ejemplo

LONGITUD

cm m km pulg pie milla

Centímetro

Metro

Kilometro

Pulgada

Pie

milla

MASA

g kg slug lbm onza milla

gramo

Kilogramo

Kilometro

Libra

Onza

slug

TIEMPO

s min hora día año

Segundo

Minuto

Hora

Día

Año · Por equipos heterogéneos deberán elaborar varios problemas

Cantidad física Magnitud fundamental

Magnitud derivada

Velocidad de un carro

Volumen de una piedra

Distancia entre casa y colegio

MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓN

LONGITUD

MASA

7

relativos a conversiones de unidades de un sistema a otro, del

manejo de la notación científica y de prefijos de uso cotidiano, para

que sean resueltos por otro equipo. Pueden utilizar productos

comerciales (etiquetas) que se encuentren en diferentes empresas

comerciales de su comunidad, localidad o región.

· Investiga individualmente sobre la utilización de múltiplos y

submúltiplos de las unidades fundamentales haciendo uso de la

notación científica, decimal y el uso de los prefijos. Ahora reúnanse

por equipos para que con dicha información, planteen y resuelvan

cuestionamientos y/o problemas, haciendo énfasis en situaciones de

su entorno inmediato.

· Deberán reunirse por parejas para que investiguen y elaboren un

cuadro con los tipos de instrumentos de medición más utilizados en

su comunidad, región o localidad. Por ejemplo:

INSTRUMENTO FUNCIÓN UNIDAD DE MEDIDA

Termómetro

· Investigarás sobre la necesidad de realizar mediciones y los errores

que pueden cometerse al llevarlas a cabo. Más tarde deberán

reunirse por equipos heterogéneos para que puedan discutir sobre

cuestionamientos y/o problemas referente a los diferentes tipos de

medida de longitud, masa, tiempo; utilizando para ello diferentes

tipos de instrumentos de medición y calcular la incertidumbre en

cada uno de ellos, así como los posibles errores cometidos en las

mediciones

· Formen parejas para investigar sobre las características de una

magnitud escalar y un vector; así como los métodos para realizar las

operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división)

con ellos. Con dicha información, elabora una lista de cantidades

físicas presentes en su entorno inmediato, donde se pueda observar

cuáles son magnitudes escalares y cuáles son vectores. Por

ejemplo:

8

· f

o

r

m

a

n

· D

e

deberás redactar 2 problemas referentes a operaciones

fundamentales de conversiones. Posteriormente, formen

equipos de 4 personas para resolverlos, aplicando el método

gráfico y analítico. Procuren resolver cuestionamientos

distintos a los que ustedes elaboraron.

· Finalmente formen equipos nuevamente para que realicen una

exposición ante el grupo, referente a los aprendizajes y las dificultades

encontradas durante este primer bloque. En esta ocasión, deberán

evaluar las presentaciones orales con una rúbrica

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:Hewitt, Paul G. Física Conceptual.

Walter Pérez Terrel General.

Tippens,

COMPLEMENTARIA:

Serway, Raymond A. y Faughn, Jerry S. Física..

https://www.youtube.com/watch?v=K4p2R1eIg_o

https://www.youtube.com/watch?v=nVmDAPxd_hU

GUIA DE LABORATORIOGUIA DE LABORATORIO

La práctica de laboratorio se llevó a cabo en el taller de física . En esta guía los estudiantes identificaran las magnitudes de diferentes objetos utilizando variados instrumentos de medición tales como el Vernier o Pie de Rey, Micrómetro o Palmer, y balanza. Durante la experiencia se aprenderá a utilizar los equipos ya mencionados, las partes que tiene cada uno, su uso y precisión. Se observara que dichos instrumentos tienen diferentes medidas de precisión y son usados según los materiales con los que esté trabajando. Se debe que encontrar la altura, diámetro y masa de una esfera de acero y de un cilindro de aluminio hueco; identificando además su precisión e incertidumbre.

MATERIALES Y EQUIPO: 1 Vernier o Pie de Rey 1 Micrómetro o Palmer 1 Balanza 1 Esfera de acero. 1 Paralelepípedo 1 Cilindro

Cantidad física Escalar Vectorial

Masa

Peso

Energía

densidad

https://www.youtube.com/watch?v=K4p2R1eIg_o

https://www.youtube.com/watch?v=nVmDAPxd_hU

9

DATOS OBTENIDOS EN LA EXPERIMENTACIÓN

1. MEDICIONES DEL PARALELEPÍPEDO

MAGNITUD

VALOR

MEDIDO PRECISIÓN INCERTIDUMBRE

LONGITUD

ANCHO

ALTURA

2. MEDICIONES DEL CILINDRO

MAGNITUD

VALOR


ALTURA

DIAMETRO

MASA

3. MEDICIONES DE LA ESFERA

MAGNITUD

VALOR


DIAMETRO

MASA

Formulario:a)

MEDIDA DIRECTA:

A=X.U

Donde:

“A” es una cantidad “U” es una cantidad “X” es la medida directa

B) INCERTIDUMBRE ABSOLUTA:

X= 12u

Donde: x es la incertidumbre absoluta “u” es la unidad de la menor escala de un aparato de medición

C) INCERTIDUMBRE RELATIVA

Er= INSERTIDUMBRE ABSOLUTAVALOR MEDIDO

= dxx

D) INCERTIDUMBRE RELATIVA ( en %)

E%=Er.100%

E) INCERTIDUMBRE DE MEDIDAS INDIRECTAS

Ro=(x,y,z)

Análisis y discusión de resultados

10

PARALELEPÍPEDO

CILINDRO

ESFERA

CONCLUSIONES

11

Práctica IBPráctica IB

RESUELVE Y FUNDAMENTA TUS RESPUESTAS

1. Indicar si la relaciones son correctas

I. Longitud segundo

II. Masa mol

III. temperatura kelvin

a) I b) II c) I y II

d)III e) Ninguna

2. Expresar por notación científica

25 000 000

a) 25.107

b) 2,5.10-8

c) 2,5.107

d) 0,25.106

e) 25.10-6

3. Expresar por notación científica

0,000 000 065

a) 65.10-7

b) 6,5.10-8

c) 6,5.108

d) 0,65.10-6

e) 65.10-9

4. Señalar lo incorrecto:

a) 0,01 = 10-2

b) 100 000 = 106

c) 0,000 001 = 10-6

d) 100 000 000 = 10-8

e) 0,000 000 001 = 10-9

5. Indicar si es verdadero (V) ó Falso (F)

( ) 60 000 = 6.104

( ) 350,6 = 3,506.104

( ) 0,0035 = 3,5.10-4

a) VFF b) FVV c) VVV

d) VFV e) FVF

Solución Problema 1

Respuesta

Convertir 9 pies a pulgadas

a) 100

b) 108

c) 154

d) 18

e) 36

12


Respuesta

Convertir 6m a pies

a) 4

b) 8

c) 12

d) 16

e) 20


Respuesta

3 Hm a metros

a) 10

b) 30

c) 300

d) 3000

e) 15


Respuesta

Convierte 2 ns a ks


Respuesta

Convierte 5 pm a m.

13


Respuesta

Convertir:

a) 54 km/s a m/s

b) 10 pulg. a cm.


Respuesta

El valor de la aceleración de

la gravedad es 9,8 m/s².

¿Cuál será su valor en

pies/s²?

(1 pie=0,3048m)

a) 31,2

b) 32,2

c) 33,2

d) 30,48

e) 29,2


Respuesta

La velocidad de una Onda

sonora

es en el vacio igual a 340 m/s

Indicar el valor de dicha

velocidad en km/h

a) 12,24

b) 1,224

c) 122,4

d) 1224

e) 12240


Respuesta

Qué equivalencia es

incorrecta?

a) 20ml = 0,02lt

b) 1h = 3600s

c) 1 = 0,001 mg

d) 1m² = 10²cm²

e) 2 pulg = 5,08 cm.

14


Respuesta

pico.giga

tera.nanoE

Simplificar:


Respuesta

Simplificar:

teramilialto

picokilomegaE


Respuesta

Simplificar:

42

24

m.ks

ns.cmE


Respuesta

Una viga homogénea tiene una longitud de 300cm. Si cada metro pesa 500 Newton. ¿dEmuestre cuánto pesa la viga?

.

25.

15


Respuesta

300cm

2000mm

μm2.10 6

Hallar el volumen de la caja


Respuesta

Determine el valor de ”E”

Tm.dm.μmE=

Dm.pm.Mm


Respuesta

Determine el valor de ”A”

2

Ys.ys.fs ms.fsA= .

Hs as


Respuesta

Determine el valor de:

57

2

μm.pm.Mm

Tm.Em.Pm

3

sen30º2

cm.μmR

mm.nm

16

LA PREVIA…… pre ULA PREVIA …… pre U

MAGNITUD

Es toda cantidad que puede determinarse cuantitativamente. Las leyes

naturales se expresan por relaciones matemáticas entre diferentes

magnitudes. Las Magnitudes se pueden clasificar:

POR SU ORIGEN

FUNDAMENTALES Son aquellas que sirven de base para definir otras magnitudes, y estas son

según el sistema.

DERIVADAS Son aquellas que para ser definidas requieren de las magnitudes

fundamentales, entre estas tenemos: la velocidad, aceleración, etc.

POR SU NATURALEZA Escalares y vectoriales Veamos

Son aquellas magnitudes que para ser definidas

necesitan de un número y de unidad. Ejemplo: 5kg de papas 2m de tela

etc...

VECTORIALES.Son aquellas magnitudes que además de conocer

una cantidad y su unidad debe Ud. conocer:

θ

x

y

YΔ

XΔ

P

y1

y2

x1 x2

MÓDULOIndica el valor, magnitud o intensidad de

un vector y siempre es un número

positivo.

P

DIRECCIÓN

La dirección esta representada por el

ángulo que forma el vector con la línea

horizontal .

SENTIDOEs el lugar hacia donde se dirige el vector

y se indica con su extremo de recta infinita

que contiene al vector gráficamente.

La dirección está dada por la tangente del ángulo.

2 1

2 1

y -yΔYtgθ= = m(pendiente)

ΔX x -x

MAGNITUDES TENSORIALES

Son aquellas que poseen módulo, múltiples direcciones y sentidos normales

a toda superficie. Estas magnitudes constituyen un avance de las

matemáticas que clasifican a:

Los escalares como tensor de orden cero (sin dirección ni sentido).

Los vectoriales, como tensor de primer orden (una dirección y sentido).

Es un conjunto de unidades entre sí, que resultan de fijar las magnitudes

fundamentales y que se elaboran de acuerdo a las ecuaciones

dimensionales.

INVESTIGA SISTEMA DE UNIDADES

ESCALARES.

17

SISTEMA

INTERNACIONAL

Es la universalización del lenguaje de los números.

El S.I. es el sistema métrico decimal modernizado internacionalmente y

estructurado de manera concreta, para evitar la proliferación de unidades de

medida diversas y sus bases científicas.

A partir del 14 de Octubre de 1960, la 11ava Conferencia general de Pesas

y Medidas (Organización Internacional reunida en París - Francia) da a

conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico

decimal, en el cual se consideran siete magnitudes físicas fundamentales y

dos auxiliares o complementarias, las mismas que tendrían sólo una unidad

básica.

En el Perú fue adoptada mediante la ley 23560 del 31 de diciembre de

1982.

Magnitudes Fundamentales.

MAGNITUD

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura

Termodinamica

Intensidad

de Corriente

Intensidad

Luminosa

Cantidad de

Sustancia

Metro

Kilogramo

Ampere

Candela

Mol

Segundo

Kelvin

m

Kg

A

Cd

mol

s

K

L

M

I

J

N

T

θ

UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓN

Magnitudes suplementarias

MAGNITUD

Angulo plano

Angulo solído

radián

estereoradián

rad

sr

1

1

UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓN

DEFINICIONES DE LAS

UNIDADES DEL S.I.

METRO En 1960 la longitud de 1metro se definió como la distancia entre dos líneas

sobre una barra de iridio-platino almacenada en condiciones controladas.

Este patrón se abandonó por varias razones, la principal fue el hecho de que

la limitada precisión con la cual puede determinarse la separación entre las

líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y

tecnología.

Recientemente el metro fue definido como 1650763,73 veces la longitud de

onda de la luz naranja roja emitida por una lámpara de Kriptón 86, sin

embargo en Octubre de 1983, el metro se definió como la distancia recorrida

por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 s.

En efecto está última definición establece que la velocidad de la luz en el

vacío es 299792458 metros por segundo.

KILOGRAMO Se define como la masa de un cilindro determinado de aleación de platino-

iridio que se conserva en el laboratorio Internacional de Pesas y Medidas de

Sevres Francia.

Este patrón de masa se estableció en 1987 y desde ese momento no ha

habido cambio en virtud de que el platino e iridio es una aleación

inusualmente estable.

Un duplicado se conserva en (NIST) en Gaithersburg Mariland.

18

SEGUNDO 1967 se redefinió para aprovechar la ventaja de la alta precisión que podía

obtenerse en un dispositivo conocido como reloj atómico.

En este las frecuencias asociadas con ciertas transiciones atómicas (las

cuales son en extremo estables e insensibles al ambiente del reloj) pueden

medirse hasta una precisión de una parte de l012 esto es equivalente a una

incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años.

De este modo en 1967 el segundo es la duración de 9192631770 periodos

de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos

del estado fundamental del átomo de cesio 133.

AMPERE Es la unidad de la intensidad de corriente que mantenida en dos

conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita de sección despreciable

y que estando en el vació a una distancia de 1m el uno del otro, produce

entre estos conductores una fuerza igual a 2x10-7N/m.

El Ampere se define también como la razón de flujo de carga de un

coulomb por segundo. Donde un coulomb es la carga de 6.25x1018

electrones.

KELVIN

Se define como la fracción de 1/273,16 del cambio de temperatura entre el

cero absoluto y el punto triple del agua (es decir la temperatura fija a la que

el hielo, el agua líquida y el vapor coexisten en equilibrio) La temperatura se

expresa en kelvin, no en grados kelvin.

CANDELA

Es la intensidad luminosa en una Que emite una onda de radiación

monocromática de frecuencia 540x1012 Hz y de la que tiene una

intensidad radiante en esa dirección de:1/683w/str

MOL Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades

elementales como átomos hay en 0,012kg de carbono 12.

MEDIDA

Se compone de

Magnitud y unidad de medida

Múltiplos y submúltiplos Múltiplos Submúltiplos Múltiplos y submúltiplosMúltiplos

Ahora entonces realizaremos un cuadro de los principales prefijos del si:

Fundamentos de Física Fundamentos de Física

19

PREFIJOS DEL S.I. ¿Cómo se usan los prefijos?

Es muy sencillo; primero se escribe el prefijo y a continuación el símbolo de

la unidad pero sin dejar espacio.

Ejemplo:

s segundo

Ts terasegundo

Gs gigasegundo

Es decir es vez de escribir

42000000 m lo podemos expresar

como 42 Mm de igual manera lo

puedes aplicar en cualquier otra

unidad.

Las unidades de medida y los múltiplos

y submúltiplos del “SI” sólo pueden ser

designados por sus nombres completos

o por sus símbolos correspondientes

reconocidos internacionalmente.

No está permitido el uso de cualquier

otro nombre, símbolo o abreviatura.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Rama auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las magnitudes

físicas fundamentales con las derivadas.

ECUACIONES DIMENSIONALES

PRINCIPALES

ECUACIONES

DIMENSIONALES

Es una igualdad algebraica que

expresa las relaciones existentes

entre las magnitudes fundamentales y

derivadas.

Ax +- By = C

A

B

C

X

Y

MAGNITUD

FUNDAMENTAL

MAGNITUD

DERIVADA

ECUACIÓN

DIMENSIONAL

PROPIEDADES

1. Las ecuaciones dimensionales

cumplen las leyes del álgebra a

excepción de la suma y diferencia. Tal

es el caso sean “A” y “B” magnitudes

físicas:

μ

Yotta

Zetta

Exa

Peta

Tera

Giga

Mega

Kilo

Hecto

Deca

UNIDAD

deci

centi

mili

micro

nano

pico

femto

atto

zepto

yocto

Y

Z

E

P

T

G

M

K

H

D

d

c

m

n

p

f

a

z

y

1024

1021

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10-24

FACTOR

1

SIMBOLOPREFIJOMAGNITUD

Velocidad

Aceleración

Fuerza

Trabajo

Potencia

Presión

Densidad

Caudal

Carga Eléctrica

Velocidad Angular

Aceleración Angular

Peso Especifico

Momento Lineal

Potencial Eléctrico

Resistencia

Campo Eléctrico

Flujo Magnética

Iluminación

Area

Volumen

L2

L3

L T-1

L T-2

M L T-2

M L2 T

-2

M L2 T

-3

M L-1

T-2

M L-3

L3 T

-1

I T

T-1

T-2

M L-2

T-2

M L T-1

Tensión superficial M L T-3

M L2 I

-1T

-3

M L2 I

-2 T

-3

M L I-1

T-3

M T-2

DIMENSIÓN

m2

m3

m/s

m/s2

Newton

Joule

Watt

Pascal

Kg/m3

m3/s

Coulomb

Hertz

rad/s2

N/m3

Kg-m/s

N/m

Voltio

ohm

v/m

M L2 I

-1 T

-2weber

Lux

UNIDAD

20

mm

I) A.B = A . B

II) A = A.A.A... = A

2. Las ecuaciones dimensionales de toda cantidad numérica, funciones

trigonométricas, medidas de ángulos, tendrán por ecuación dimensional a

la unidad. A estas cantidades se les llama magnitudes adimensionales.

12

senα

3π.10 1 senθ =1

sen57º-cotθ 1 e = 1

3. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD (PH)

Se aplica para sumas y restas

teniendo en cuenta que todos

los términos de la expresión

dimensional tienen que ser

iguales debido a que están en

función a las mismas

magnitudes

Suponga:

5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg

M M M M

M

NOTA: si la base es matemática en una expresión dimensional el

exponente equivale a la unidad pero si la base es física debe respetar el

exponente.

PR0BLEMAS

RESUELT0S

1. En la ecuación correcta electromagnética

BILsenF

Dónde:

F: Fuerza

I : Intensidad de corriente

L: longitud

Encuentre la ecuación dimensional de “B”

Solución

Recuerda por propiedad que sen =1 (en la ecuación)

-2MLT = BIL

Respuesta

-2 -1B=MT I

2. Dada la ecuación física 2 2

7p=kw sen 30º+(log )x

Donde.

p: potencia

w: velocidad angular

Determine las unidades de “k” en el SI.

Imagine Que Ud. compra 5 Kg de

camote y se le pierde 30 Kg de

aceitunas de la bolsa pero compra

además 4 kg de tomate y al

llegar a casa solo tiene 1 kg de

poroto por lo tanto:

5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg

matemáticamente no es correcta

esta operación pero si hablamos

de magnitudes es correcta ,

debido a que en la operación

algebraica se trata de la misma

magnitud

“MASA” POR LO TANTO :

21

Solución

Por Propiedades los números y funciones trigonométricas equivalen a la

unidad (1)

Entonces:

2 p = kw

22 -3 -1

ML T = k T

2 -3ML T

k = -2

T

2 -1 k = ML T

Respuesta

2kgmk=

s

3. En la ecuación homogénea

tTTkAbQ of ).(

Se sabe que:

Q: Calor b: longitud

A: área Tf, To : temperatura t: tiempo

Determine las dimensiones de “k”

Solución

Aplicando el principio de homogeneidad (PH)

Respuesta

-1 -3k=LMθ T

4. En la ecuación homogénea BP5AV3E 2

Dónde:

E: energía mecánica V: velocidad lineal

P: presión hidrostática

Que representa 1AB )(

Solución

Por Principio de Homogeneidad

BPAVE 2 ...........(1)

Ahora hallaremos “A” y “B”.

Hallando “A”

2

22 -2 -1

2 -2

2 -2

E = AV

ML T = A LT

ML T A =

L T

A = M

Hallando ·”B”

2 -2 -1 -2

E = BP

ML T = B.ML T

Simplificando

B = L

Reemplazando datos:

-1-1

(AB) = ML Respuesta

-1 -1 -1(AB) = M L

2 -2 2

-2

bQ = kA(T =T ).tof

bQ = kAT .tf

L.ML T = k L θ T

LMT k=

θT

22

5. Hallar la ecuación dimensional de “X” si la ecuación es homogénea

x

x

xM

Donde M : masa

Solución

x M= Por exponentes

M

22 X

M = M

X2 M =

M

Respuesta

3M = X

6. Si la expresión es dimensionalmente correcta y homogénea

2

42

y

RxF

Donde

F: fuerza R: radio

Hallar -1

xy

Solución

Aplicando........................PH

2

42

y

RxF

Entonces :

2

2

-1 2

-1

-1-2

x F = por teoria

y

F = (xy )

F = xy

MLT = xy

Respuesta

1 1

-1 -12 2 M L T =xy

7. Hallar las unidades de A en el sistema internacional

ct

sen)bL(L4A

2

22

Dónde:

L y b: Longitud t: tiempo c:área

Solución

Aplicando propiedades y el Popular “PH” tenemos.

2

2

2

2 2

-2

L (L=b)A=

t c

L LA=

T L

A=LT

Respuesta

2A=m/s

8. Se demuestra experimentalmente que la distancia recorrida “d” por una

partícula, en cierto caso es función exclusiva de su aceleración “a” y del

tiempo transcurrido “t” determine la ecuación empírica para “d”

(K: constante adimensional) .

Solución

Primero formemos la ecuación empírica de la distancia

23

x yd=K a t

Operando

0

x-2 y

x -2x y

x -2x + y

L = (LT ) T

L = L T T

L T = L T

Igualando bases iguales para hallar el valor de “x e y”.

x 0 - 2x+yL=L T = T

Hallando “x” Hallando “y”

1=x 0 = -2x + 2

2 = y

Reemplazando obtenemos:

Respuesta

2d=K a t

9. Se ha encontrado que el periodo de revoluciones )( de un satélite

alrededor de la tierra depende del radio “R“ de su trayectoria circular, de

la constante de gravitación universal (G) y de la masa de la tierra “m”

encuentre una expresión para )( si se sabe que 3 -1 -2G:L M T

K : constante matemática

Solución

Según la condición del problema debemos de formar la ecuación

empírica del periodo.

Veamos:

a b cT = K.R G M

a 3 -1 -2 b c T= (1)L (L M T ) M

0 0 a+3b c-b -2b L M T=L M T

Igualando terminos

0=a+3b

0=c-b

1=-2b

Resolviendo

a=3/2 b=-1/2 c=-1/2

Respuesta

3 -1

2 2T=KR (GM)

Reemplazando tenemos:

10. Hallar la ecuación dimensional de “X”

n n n nQRsen

.....xxxx

AQ7

3sen

e.mP2

Donde:

m: masa P: presión

R: fuerza A: área

e: base de logaritmos neperianos

Solución

n n nE = x x x........

E

24

Entonces

n

E = x

n E = XE

nE = XE

n-1 X = E

Ahora en el exponente sabemos que por ser una base matemática debe

ser un número y por lo tanto:

QRsen θ =1

QR =1

1 Q =

R

Reemplazando el valor de “R”

-2

-1 -1 2

1Q=

MLT

Q=M L T

Hallando el valor de “E”

-1 -2

2 -1 -1 2

3 -2 -4

mP E=

AQ

MML T E=

L M L T

E= M L T

Reemplazando en “x”

Respuesta

3 (n-1) 2 (1-n) 4 (1-n)X=M L T

HABLAND0SOBRE LAS

MEDIDAS

SOBRE LAS

MEDIDAS

Es la operación que consiste en comparar una magnitud física con una

cantidad fija de la misma magnitud, la que se toma como unidad.

LA MEDIDA EN LA FÍSICA

La medida es necesaria en muchas ciencias, y especialmente en la física,

Lord Kelvin (1824 - 1907), físico inglés, lo puso de manifiesto con las

siguientes palabras: "Suelo decir que cuando se puede medir aquello de

que se habla y expresarlo en números, se sabe algo acerca de ello".

Esta frase resume la necesidad de la medida en las magnitudes que

intervienen en física para llegar a un verdadero conocimiento científico de

los fenómenos que se estudian. Bastará, para confirmar la necesidad de la

25

MAGNITUD

CANTIDAD

MEDIDA

medición, el considerar que muchas veces personas distintas perciben

sensaciones de calor diferentes al tocar un cuerpo que está a una

temperatura fija; es preciso disponer del termómetro para conocer, de una

manera real y objetiva, la temperatura de aquel cuerpo, mediante el número

que señala este instrumento. En general, para la correcta interpretación de

los fenómenos físicos, se deben emplear instrumentos de medida, que

sustituyan a los sentidos humanos, siempre ligados a factores de orden

personal.

Magnitud es todo ente abstracto que se puede

medir. Medimos: longitudes, tiempos, masas,

volúmenes, fuerzas, etc.

Magnitudes de masa, tiempo y espacio, se hablará

respectivamente de 20kg (kilogramos), 10s (segundos), 8m (metros).

Para efectuar una medida es preciso

Disponer de una unidad, que será de la misma naturaleza que la magnitud

que se desea medir. Establecida la unidad, para verificar una medición, se

determinará las veces que la unidad está contenida en aquella magnitud. El

resultado será un número que reflejará las veces que es mayor o menor que

la unidad escogida.

Naturalmente, para cada clase de

magnitud deberá fijarse una unidad de

medida. Así hay unidades de longitud,

de masa, de tiempo, etc.

Cantidad es el valor determinado de

normas para escribir correctamente las

unidades:

1. El nombre de la unidad se escribe con letra minúscula.

2. A cada unidad le corresponde únicamente un símbolo.

3. Detrás del símbolo no se pone un punto.

4. Los símbolos no se pluralizan.

5. Los símbolos procedentes de nombres propios se escriben con letras

mayúsculas.

Ejemplo: J para julio, nombre procedente del físico James Joule

LA EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS

Al realizar una medida como, por ejemplo, una longitud, se debe tener en

cuenta la incertidumbre que produce el aparato de medida que se utiliza, es

decir, el grado de indefinición con que vienen afectada toda medida como

consecuencia del calibrado del instrumento, que se conoce como

incertidumbre.

Para determinar la incertidumbre que se atribuye a una medida es preciso

conocer la precisión del instrumento con el que se mide, que viene dada por

la división más pequeña de su calibrado.

La exactitud de una medida depende de la calidad del instrumento utilizado,

y esta, a su vez, depende la precisión del aparato y de que su calibrado sea

muy fino. en función de esto, ¿puede haber medidas que sean muy

precisas, pero poco exactas?.

Las cifras significativas

La medida del valor de una magnitud física debe expresarse con lo que se

denominan cifras significativas, o conjunto de cifras exactas. Cuando se

realiza la lectura de una medida con un instrumento calibrado, la

26

incertidumbre afecta exclusivamente a la cifra significativa que está situada

a la derecha.

Así, por ejemplo si se mide una masa, m, con una balanza que aprecie

hasta los decigramos y se obtiene un valor de 67,0g la expresión correcta

de la medida sería m=67,0 ± 0,1 g, siendo el 6, el 7 y el 0 las cifras

significativas, mientras que la incertidumbre (0,1g) vendría determinada por

la división más pequeña del calibrado (un decigramo).

La notación científica

Como resultado de los cálculos científicos, a veces aparecen magnitudes

físicas que toman valores muy grandes y, por el contrario, en otras

ocasiones aparecen magnitudes que, cuando se las compara con la unidad,

toman un valor muy pequeño.

Para expresar el valor numérico de dichas magnitudes, los científicos suelen

emplear las cifras significativas seguidas de una potencia de 10. Este tipo de

expresión numérica se conoce con el nombre notación científica, y es

utilizado/ de forma habitual.

Al escribir una cantidad según la notación científica, se colocan las cifras

significativas en forma de una parte entera (comprendida entre 1 y 9) y otra

parte decimal, multiplicada por la correspondiente potencia de 10 con

exponente positivo o con exponente negativo, según corresponda. De esta

forma pueden compararse los valores de una determinada magnitud física.

ALGUNAS LONGITUDES EXPRESADAS

EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

A. Distancia Tierra - Sol

150'000,000km = 1,5.1011m

B. Radio Terrestre= 6,370km

= 6,37.108m

C. Diámetro de un glóbulo rojo:

7 micras

7

10m 7.10 m

6

-6

ERRORES DURANTE

LAS MEDIDAS

Al realizar una medida, siempre se comete una serie de imprecisiones que

reciben el nombre de errores. Estos errores son originados habitualmente

cuando existen deficiencias en los aparatos de medida o cuando existen

defectos en el modelo experimental elegido para realizar la medición.

También características del individuo que realiza la medición (condición

física, grado de atención, etc.) pueden en muchos casos ser la fuente de

errores.

Los errores accidentales debidos a diversos factores que intervienen en la

medición y que no son tomados en cuenta, pueden ser reducidos repitiendo

varias veces la medición, en cuyo caso se considera al promedio de las

medidas como un valor aproximado al real. La diferencia entre este valor por

medio y el verdadero valor de la medida recibe el nombre de error absoluto,

y la división entre este último y el verdadero valor, error relativo. En la

práctica, el error relativo expresado en porcentaje será considerado como

una buena estimación de la precisión de la medición realizada.

27

Kilómetro(Km) = 103m = 10

4dm

Metro (m) = 102cm=10

3mm

= 106µm=10

9nm

Amgstron (°A) = 10-8

cm

Micra (µ) = 10-4

cm

Pie (ps) = 12pulg

Pulgada (pulg) = 2,54cm

Yarda (yd) = 3pies = 12 pulg

= 30,48cm

Milla Terrestre = 1609m

decímetro = dm

milímetro = mm

nánometro = nm

micrómetro = µm

LONGITUD

MASA

Kilogramo (Kg) = 103g = 2,204Lb

Gramo (g) = 103mg = 10

6µg

Libra (Lb) = 453,6g = 16onz

Onza (onz) = 28,35g

UMA = 1,6.10-24g

VOLUMEN

litro (l) = 10³cm³ = 10-3

m³

= 1dm³

1cm³ = 1ml = 10-3

1pie³ = 28,32L

m³ = 1000L

ml = mililitro

l = litro

ENERGÍA

J = 107 erg J = Joule

cal = 4,184 J erg = ergio

BTU = 252 cal cal = caloría

ev = 1,6.10-12ergev = electrón

voltio

Mev=106ev Kcal = kilocaloría

Kcal = 3,97 BTU

1J = 0,024 cal

PRESIÓN

Pascal = N/m²

Bar = 105N/m² = 750 Torr

Bar = 10³ mb

Baria = dina/cm²

1 Atm = 760mm Hg = 760 Torr

= 1,033 Kg.t/cm² = 1033 g.t/cm²

= 1,013 bar = 14,7 lb.f/pulg²= 10,33 m H2O = 29,9 pulg H2O

mb = milibar

Atm = atmófera

Torr = mm Hg

P.S.I. = lb.f/pulg²

UNA MILÉSIMA DE SEGUNDO EN TU VIDA

Para los que estamos acostumbrados a medir el tiempo

de la forma usual, una milésima de segundo es igual a

cero. Cuando el tiempo se determinaba por la altura del

Sol o por la longitud de las sombras, no podía hablarse ni

siquiera de minutos exactos, se consideraba que un

minuto era una magnitud muy pequeña para que hubiera

necesidad de medirla. En la antigüedad sus relojes, de sol de agua o de

arena, carecían de divisores especiales para contar los minutos. Pero a

comienzos del siglo XVIII los relojes no tenían minuteros, pero a comienzos

del siglo XX aparece ya hasta el segundero. En una milésima de segundo un

tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre

33cm, un avión cerca de medio metro, la tierra, en este intervalo de tiempo,

28

recorre 30m de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300km.

https://www.youtube.com/watch?v=_uaPlEUqNRw

Para los insectos, este espacio de tiempo es

perfectamente apreciable. Un mosquito bate sus alas

500-600 veces por segundo, es decir una milésima de

segundo es suficiente para que suba o baje las alas.

Pero en los humanos el movimiento más rápido es el

parpadeo se decir “abrir y cerrar los ojos”, el cual se realiza con tanta

rapidez, que ni lo notamos con la vista. No obstante, son pocos los que

saben que este movimiento, sinónimo de rapidez “insuperable”, si se mide

en milésimas de segundo resulta bastante lento, según estudios un “abrir y

cerrar de ojos” dura aproximadamente 2/5 de segundo, es decir 400

milésimas de segundo. El parpadeo consta de las siguientes fases:

El descenso de los parpados (que dura 75-90 milésimas de segundo) y la

elevación de los parpados (cerca de 170 milésimas de segundo). Como

puede verse, un “abrir y cerrar de ojos”, en el sentido literal de la expresión,

es un tiempo bastante considerable, durante el cual, el párpado puede hasta

descansar Al lector quizá le interese saber cuál es el menor intervalo de

tiempo que puede medirse con los medios que dispone la ciencia moderna.

A comienzos del siglo, este intervalo era igual a una diezmilésima de

segundo, pero en la actualidad los físicos pueden medir en sus laboratorios

hasta cienmilmillonésimas (1/100 000 000 000) de segundo.

Aproximadamente, puede decirse, que este tiempo es menor que un

segundo, tantas veces como un segundo es menor que 3000 años. De lo

leído responda Ud.

FASE DE EVALUACIÓN

1. A que equivale una milésima de segundo.

2. Si la velocidad de la propagación de onda en un experimento físico

alcanza 280Km/s y recorrió 450km cuál fue su tiempo en hacerlo.

3. el cerrar y abrir los ojos se puede considerar como un movimiento a

de velocidad instantánea fundamente por qué.

4. Flor al encontrarse dormida luego de terminar de leer esta lectura

pudo observar que sus ojos se cerraban instantáneamente 75

milésimas de segundo y la elevación de los parpados cerca de 170

milésimas de segundo suponga que la distancia promedio del ojo es

2,5cm determine la velocidad con que cierra los ojos y la velocidad

con que eleva los parpados.

5. Cuál es la apreciación personal acerca del tiempo.

6. En el mundo actual el tiempo es importante fundamente su

respuesta.

https://www.youtube.com/watch?v=_uaPlEUqNRw

29

PRÁCTICA

PRÁCTICA

BÁSICA

1. De las siguientes magnitudes ¿Cuántas no son fundamentales en el S.I?

a) Velocidad b) Volumen c) Temperatura

d) Tiempo e) Intensidad de corriente

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2. Si: A = Área; P = Peso y Q = calor.

Indicar cuáles son correctas:

I. [A] : L3

II. [P] : MLT -2

III. [Q] : ML2T 2

a) I b) II c) I y II

d) todas e) NA.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Sen 30º es adimensional

II. El caudal es una magnitud fundamental

III. El Área con el Volumen tienen la misma fórmula dimensional.

a) VFF b) VVF c) VFV

d) FFV e) VVV

4. Hallar [x] de la siguiente expresión:

A = 52 2senπ .tg30º(B.X.C)

A: Presión

B: Densidad

C: Altura

a) LT -2 b) ML2T -2 c) MLT -2 d) ML-1T -2 e) ML2T -3

5. Indicar verdadero (V) ó falso (F) :

I. [Peso] = [Fuerza]

II. [log7] = 1

III. [Energía] = [Caudal]

a) VVV b) VVF c) FVV d) FFF e) VFV

Solución

w

d A x

m

4. . .

²

Siendo la expresión

homogénea, calcular [x]

w : frecuencia

d : distancia

A : área

m: masa

Problema6

30

Solución



Problema7

xE Ø

F

.sen

E : 50 kilocalorías

F : fuerza

Solución



Problema8

2mvE =

2πx Siendo:

m: masa

v: velocidad

E: 8,85

Solución


homogénea, calcular [C]

Problema9

2

2

Tsenθ.2 5logC =

mk

Siendo

T: torque

m: masa

K: altura

Solución



Problema 10

2

A.BF(senθ+cosα)=

2π.x.C (tg45º)

Siendo

F: fuerza

C: radio de giro

A y B: 50mC

31


Hallar la fórmula dimensional de

la inducción magnética "B"

F = 3(q.V.BsenØ)

F : fuerza

q : carga eléctrica

V : velocidad


Hallar la fórmula dimensional

del potencial eléctrico (V)

W: trabajo

q: carga eléctrica

AwV =

q


Dada la expresión correcta,

calcular [K]

Siendo

A: área B: velocidad

2 4sen -2secA.B =

2K

Solución



Problema 14

m.av. 4 4 4 4 =

x

Siendo

v: velocidad

m: masa

a: aceleración

32

Solución



Problema 15

y

2 tg45º2 2

lim

a.t .x(sen16º)v =π 3 +2 .

3m

Siendo

v : velocidad

a : aceleración

t : tiempo

m : masa

Solución



Problema 16

sec60º2! avX = .

q! 2-q ! r

Siendo

a : masa

v : velocidad

r : radio

sec60° : 2


En la expresión homogénea,

calcular [WA]

Siendo

R : presión

t : tiempo

P : densidad

xAsen(wt) (sen45º )2R - 8R =

8P

Solución



Problema 18

2

mx2Hg.log y =

2cos

Siendo

g : aceleración de la gravedad

H : altura

m : masa

33

Define las magnitudes que no encuentres en el MAGNILETRAS

M

E

T

R

O

F

O

B

T

Y

P

A

R

I

N

D

L

O

C

A

E

M

O

L

Z

U

I

Q

L

S

Y

O

I

C

M

S

A

B

L

U

S

A

T

X

B

U

D

D

E

Y

J

C

R

Y

S

E

Y

P

A

R

M

G

O

S

C

V

V

T

K

P

R

V

L

B

E

L

U

E

A

J

K

Y

E

L

E

I

M

S

V

C

H

E

N

N

J

D

E

G

C

R

L

I

O

A

A

M

S

T

D

O

Y

I

N

E

T

J

V

P

D

N

Z

C

I

E

O

X

D

E

L

O

A

I

E

I

S

A

D

L

I

Y

R

Z

R

C

N

C

N

L

O

A

F

G

D

I

E

A

P

A

P

U

W

I

R

A

L

X

R

M

Q

N

I

I

A

W

L

E

F

E

I

F

P

D

N

U

Q

R

U

S

C

G

E

D

A

B

Q

A

E

I

A

S

R

N

R

M

A

U

P

C

R

O

D

O

T

O

A

E

M

I

F

I

I

Z

N

C

Q

M

D

N

P

D

M

M

O

H

R

O

A

H

M

E

I

T

E

P

Q

G

Z

G

I

K

O

N

Z

N

W

N

A

A

R

P

O

T

E

N

C

I

A

S

U

O

N

L

E

K

C

K

V

E

A

G

H

U

ACELERACIONAMPERECANDELACAUDALCOULOMBDERIVADA

ENERGÍAESCALARFENOMENOFUERZAFUNDAMENTALJOULE

KELVINMECÁNICAMETROMOLPOTENCIAPRESIÓN

QUÍMICARADIANSEGUNDOSENTIDOTERMODINÁMICAVECTORIAL

REALIZA MAGNILETRAS

34

PRÁCTICA

BÁSICA

PRÁCTICA

1 MLT-3

1. Siendo la expresión homogénea, calcular

[Z].

2 2

2mv2 Z =

A +B .cos

Donde:

m: masa v: velocidad A: energía

a) L b) LT c) 1

d) LT -1 e) LT2

2. Si la expresión es correcta determinar [x]. 22

2

2 2

(16 - 4 ).cos =

C -4D

Ax

A: trabajo C: masa

a) LT b) LT -1 c) L-1T

d) L2T e) L-1T2

3. En la expresión correcta, calcular [x]

xA

B C

.

.

2

2

A: torque B: masa C: altura

a) T -2 b) ML2T -2 c) ML2T -4

d) M2LT -4 e) ML-2T -4

4. Dada la expresión homogénea, calcular [x]

2

22max =

(2cos60º )v.f( log )

m : masa a : aceleración

v : velocidad f : frecuencia

a) MLT -1 b) MLT -2 c) ML2T -2

d) ML2T -3 e) ML-1T -2

5. Si la expresión es homogénea, calcular [x]

donde : A: 6m/s B: caudal C: 20m²

2xB

Asen + 2C.cos

a) L4T b) L-4T -1 c) L-4T

d) LT 4 e) LT -4

6. Si la expresión es correcta, determinar [y]

donde M: masa E: trabajo

B: densidad

52

y.log22mE +

3 B cos

a) M3 L5T b) M3L-5 c) M3L-5T-1

d) M-3L5T e) M-3L-5T-1

7. Siendo la expresión homogénea, calcular [x]. 225 x.v

F+ 4 2.cos37º

v : velocidad F: fuerza

a) ML b) ML2 c) ML-1

d) ML-2 e) ML-3

8. Sabiendo que la expresión es

dimensionalmente homogénea calcular [Y].

A.B2 = Y.cos

A: área B: aceleración

a) L4T 4 b) L2T 4 c) L4T -4

d) L-2T 4 e) L2T -4

9. Siendo la expresión homogénea, calcular

[x] e [y] 2

2

4 y(sen45)A .sen53º = x.B +

C .cos

A : densidad B: velocidad

C: aceleración

a) M2L-7T M2L-5T -2 b) ML-7T, ML-5T-2

c) M2L7T M2L5T2 d) M2LT, M2L5T

10. Dado la expresión correcta, Calcular [Y]

donde m: masa v: velocidad

t: período

Y

m v Sen

t

. .2

a) ML2T3 b) ML2T -3 c) MLT -3

d) ML2T e) ML-2T3

35

11. Siendo la expresión homogénea, determinar

[Z].

02ZC (senθ)

AB.F + sen45º

A : distancia B: aceleración C: caudal

a) L0 b) L2 c) L-2

d) L3 e) L-3

12. Sabiendo que la expresión es correcta,

calcular [Y].

21 A.B

C = 4 Y 2.

A: volumen B: densidad C: área

a)ML-4 b) M2L4 c)M2L4

d)ML-4 e) M-2L4

13. Siendo la expresión homogénea, calcular [x].

sec60º 2A+ 5BX(sen ) =

C( 2+A)

A: 4m/s2 C: densidad

a) ML4T -2 b) M-1L4T2 c) M-1L4T -2

d) ML4T2 e) N.A

.

14. Dada la expresión correcta; Calcular [Z].

Z

A B

C F Sen

2 2

( )

( )

A: velocidad C: 5Pascal

a) ML3 b) M-1L3 c)ML-3

d) ML4 e) ML-3

15. En la siguiente formula física correcta

determinar el valor de “x”

x25V = A.t

4

V: velocidad A: aceleración

t: tiempo

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. En la siguiente formula física hallar el

valor de “E = x +y”

yx

4A .7t3 3.F=

2.y

Dónde:

F: Longitud A: aceleración t: tiempo

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17. En la siguiente fórmula física halle el valor de

“x”

2rad = w tx

Dónde:

w : velocidad angular t : tiempo

a) 1 b) 2 c) -2 d) 4 e) 6

18. En la siguiente fórmula física que magnitud

representa “x”

x =4log (AB)0,5

Donde:

B : aceleración angular A : superficie

a) velocidad b) aceleración c) fuerza

d) trabajo e) potencia

19. Si la expresión física es correcta que

magnitud representa “k”

1 gK=

2π L

Donde: 2g 9.8m/ s

L : longitud del péndulo

a) tiempo b) frecuencia

c) velocidad d) fuerza

e) frecuencia Angular

20. En la siguiente fórmula física correcta

que representa “A”

A.sen(wt)

sen45º(2P)=2.D

Donde:

P: presión D: densidad t : tiempo

a) ML2T-4 b) ML-4T-1 c) M2L-4T-2

d) ML4T-1 e) N.A

36

La previa.. U

Nivel -PRÁCTICA

2

PRÁCTICA Nivel -

La previa.. U2

1. La velocidad de propagación “V” de una

onda en una cuerda tensa viene dada por :

u

TV

Donde:

T: fuerza de tensión

Hallar las dimensiones de “u”

a) ML b) M-1 L c) ML-1

d) M–1 L-1 e) ML-3

2. Sabiendo que “A” representa el área y “H”

una altura halle las dimensiones de “P”

sen30°

π 4A (sen30°)Psen =

4 3H

a) L b) M c) T

d) L e) M

3. Si la ecuación es dimensionalmente

correcta y homogénea hallar las dimensiones

de “Y”

Tg45º. Y= A.x sen(AT)

Dónde:

x: longitud T: tiempo

a) L b) LT c) LT-1

d) T e) ML2T-4

4. Si la siguiente ecuación es correcta y

homogénea hallar las dimensiones de: “X/B”

2004log.37sen

e.AX

30BTsen

A: longitud

t : tiempo e : logaritmo.

a) LT b) LT-2 c) L

d) LT –1 e) LT-2

5. En la ecuación determine las dimensiones

de “m” si: y = bn + mn2

b: velocidad y: longitud

a) L b) MT c) LT-2

d) ML e) T

6. Si la siguiente expresión es

dimensionalmente correcta y homogénea

hallar las dimensiones de "R"

1 1 2 2 n n

MgA = RsL+Rs L Rs L Rs L

Donde:

M: 2kg g: gravedad A: área

s1 ,s2, sn: Volumen L1,L2, Ln : 2m

a) LT b) ML-2T c) ML

d) ML2T-2 e) ML-3T


dimensionalmente correcta y homogénea si

X =4m y t =2s. Determine las dimensiones

de (A.B)/C si:

X=A+Bt-(1/2)Ct

a) L2T b) L3 T c) LT 3

d) LT 2 e) L

8. Sabiendo que la velocidad de propagación de

las ondas electromagnéticas viene dada por

la relación: 0 0

1c=με

Siendo

C: velocidad lineal,

0 : permitividad eléctrica del vació. Encontrar

la fórmula dimensional de la permeabilidad

magnética del vació “0

μ ”

a) LM T2 I2 b) L M 2T I c) LMT-2I-2

d) LMTI-2 e) LMT-2I 2

9. ¿Cuál debe ser la dimensión de “A/B” para

que la ecuación dada sea dimensionalmente

correcta?

2

(sec60º)Wsenθ

A.sen45º=m(B +S)

Donde:

37

W: trabajo m: masa S: área

a) TL b) T-2L c) T 2 L

d) T-2L-1 e) TL2

10. En la ecuación dimensional

2

2 xmv sen(wy - ) = π

y

Determine las dimensiones de x e y,

Siendo:

m :kg v :4m/s w : frecuencia

a) LM 4;T 2 b) LM;T c)L2M 3;T

d) L4M 4;T e) L3 M;T

11. Si la siguiente ecuación es homogénea

podemos asegurar que:

x = y.zk

a) [x]=1 b) [y]=1 c) [z]=1

d) [k]=1 e) [x]=[y]

12. En la ecuación física dimensionalmente

correcta determine la ecuación dimensional

de “ x ”

(Sen45º) 2 Mx = F + CD

Donde:

M: Masa F : Fuerza

C, D: Magnitudes desconocidas

a) LT b) L2T c) LT2

d) LT-2 e) LT-1

13. En una experiencia física realizada por

Gerardo y Jesús al aplicar la conservación de

la energía en su juego del roller coaster

llegan a la siguiente ecuación

dimensionalmente correcta, encuentre la

ecuación dimensional de ”y” que ellos

llegaron a demostrar teniendo en cuenta su

ecuación inicial:

m.P+W.x3

xy =4 v

Donde utilizaron una esferita de 0.5 gramos y

observaron por mediciones que su energía

cinética cuando su velocidad era 2m/s fue de

0.001J y desarrollo una potencia de 0.0005

watt en 2 segundos, recuerde que ellos

usaron la siguiente leyenda:

m: kg P: watt

W: energía v: m/s.

a) T1/2 b) MT-1 c) LT 2

d) LT-2 e) T

14. En un experimento de mediciones e

incertidumbre se realizó un experimento que

involucra a la masa del péndulo a su peso y a

la velocidad con la que oscila el péndulo

determine la ecuación dimensional de “A”

(Wpxcosθ)2+Amg=(W.p.vy)1/cosθ

Siendo:

W: 54Newton M: 5kg

g: 9.8m/s2 v: m/s

θ: 60° p: 4,44m2.kg/s

a) L5M 2T-4 b) L3M 4T-5 c) L4M 3T 6

d) L3M 3T-5 e) L5M 3T-4

15. La energía por unidad de longitud de una

cuerda vibrante depende de un coeficiente

2π2, de la masa por unidad de longitud de su

frecuencia y de la amplitud del movimiento

determine la suma de los exponentes que

deben de tener las tres variables físicas para

establecer una igualdad correcta.

a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2

16. Si la ecuación es correcta y homogénea hallar

el valor de Ø en:

2 2

2

P = Mcos θ-sen

sen.BP A + Bsenx.W + M - 2

M: masa de un péndulo físico

a) F.D b) 60° c) arctg(1)

d) 30° e) π/8

38

REALIZA MAPA MENTAL

DE MAGNITUDES

39

PRÁCTICA

BÁSICA

PRÁCTICA

3 MLT- 5


La potencia de las turbinas de un

avión viene dada por la siguiente

fórmula.

P = n RX WY DZ

Donde:

n: constante numérica

R: Longitud

W: 1500 Rad/s

D: Kg/m3

Hallar: ” x + y + z”


De acuerdo a la ley de Ohm

se establece:

V = I R

Hallar la Ecuación

dimensional de “R” .

Dónde:

I: Intensidad de corrienteV:Diferencia de Potencial Eléctrico


En la siguiente ecuación

dimensionalmente correcta,

calcular la dimensión de “A”

Dónde:

B : Fuerza

g : aceleración

W: trabajo

V : volumen

x 2SenB W

m= Senθ+ Cscφg AV



dimensionalmente correcta.

Halle el valor de “m + n”

Dónde:

H: altura

b: radio

a: velocidad

c: aceleración

2nn-2

m

b .a5H= cosθ

2C

40


Halle la ecuación dimensional

de “P”, si la ecuación dada es

correcta dimensionalmente.

Dónde:

M: masa

C: Velocidad de la luz

2

m.RP

R1

C


Gerardo y Jesús han creado un

Nuevo sistema donde se

considera como unidades

fundamentales a la:

masa (M)

Velocidad ( V)

tiempo (T).

Jesús le pregunta a

Gerardo cual es la ecuación

dimensional de la presión

es este sistema será:


Cuáles deben ser las

dimensiones de “P y R” para

que la ecuación sea


Dónde:

W: trabajo

m: 8kg

Q: Área

)QR(m

θtgWP

2


En la siguiente formula

empírica

Donde:

F: Fuerza de Rozamiento

d: Diámetro

V: Velocidad Lineal

L : Longitud

a: coeficiente experimental

dimensional

Determinar las dimensiones

del coeficiente “b”

2bF= a+ dv L

v

41



dimensionalmente correcta

halle la dimensión de “S”

S = y D[ Sen x + 10XYF ]

Donde:

D: densidad

F: fuerza



dimensionalmente correcta

halle “θ”

3 2 3 cosP Q Tan .PQ


Si la ecuación dada es correcta.

Halle las dimensiones de “B”

y “A”.

Sabiendo que

y = 5 Newton

AX+BY3(log ) . =5 3m

2 2x+y


Si la ecuación dada es

correcta dimensionalmente,

hallar la ecuación

dimensional de A.

V: velocidad

e: Longitud

n n n nVA + 2K = e e e e...∞

42


En la ecuación dimensional

correcta halle la ecuación

dimensional de “E”

V: velocidad

3 AE E+DA+E = log

SV S+C


Determine la ecuación

dimensional de “X”

Si

y: masa

z: 40 Calorías

2

2 y.cosX =

z +W


Si la ecuación es correcta y

homogénea hallar "(x+y)2" si :

3 cos45 ° P = K d x V y

Donde:

P: presión

d: densidad

K: número

V : velocidad


Jesús al jugar carnavales con

Gerardo lanza un chorro de

agua choca contra una área, de

la pared, la fuerza que ejerce el

chorro en la superficie de la

pared está dada por la

ecuación:

Donde:

F: fuerza V: velocidad

A: área D: densidad

Hallar:

yx z

x2N. 3log =V Z D

x+y+z

43


Gerardo quiere saber el valor

del trabajo de su carro y

Anthony le da la siguiente

ecuación.

Gerardo halla el valor de

"2a +b +c" y obtendrás el valor

del trabajo de tu carro . Cual

fue el valor que encontro

Donde:

P: 4m/s2 q: 30gramos

V: m/s W: Trabajo

a b c(4π + R)W = P q v

4


Si la expresión es correcta y

homogénea

Halle:

Donde:

F: Newton

A: ML-1 T-1

B: 4cm

C: 45m/s

yx z

x(log )F=B A C .(sen30º)

x y

y2(x+z)


Si la ecuación es correcta y

homogénea hallar "x-3y" en:

P = q z R-y S x

Donde:P: 2 pascal R: volumen q: fuerza S: Longitud


La potencia de una turbina del

avión de Jesús depende de la

velocidad angular de la

densidad del aire y de la

longitud de onda Gerardo que

un gran físico ha determinado

la ecuación empírica de la

potencia.

Halle dicha ecuación.

44

FINAL

EXAMEN IBEXAMEN IB1

1. El Rozamiento que sufre un motor dentro

de un líquido está dado por:

R = n x R 2y V 2z

Donde:

R: rozamiento N: viscosidad

r: radio v: 34m/s

Hallar "x +y +z"

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. En la expresión hallar "z"

T -3 P.x = A y R z

Dónde:

P: potencia A: aceleración

R: Newton x: distancia

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. En la expresión hallar el valor

numérico de sec60º

y4 +x+z2

en: yx-1 z

4N.m =2A . 5B .C

A: 4m/s2 B: 3gramos

C: velocidad N.m: Joule.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

4. En la siguiente expresión hallar "C"

2

2

A X - B X + C= P

A t + B t + C

Dónde:

A: velocidad t: tiempo

a) LT b) L c) M

d) T e) TL-1

5. Determine las dimensiones de "x,y,k" en :

y6 x KSC

Q 2=10 g H .(sen +sen )

Donde:

Q: Caudal g: aceleración

H: altura S: Longitud C: velocidad

a) x =1/2 y = 5/2 k = TL-2

b) x =3 /4 y = 1/3 k = ML-3 T

c) x = 1/4 y = 3/67 k = MLT

d) x = 1/3 y = 3/5 k = M

e) x = 1/2 y = 6/5 k = LTM


dimensionalmente correcta y homogénea

hallar el valor de " "

senθ-sen senθ

K = P + Qsen + K + P

Dónde:

K,P,Q: cantidades física.

a) 0° b) 2° c) 3°

d) 4° e) 5º.

7. Suponiendo que la velocidad con que

viajaba un proyectil luego de ser lanzada en

ciertas condiciones está dado por la

siguiente ecuación hallar que representa

"A/C".

2

340 LA= +μ sen .C

d t

V

Donde:

V: velocidad L: longitud d: diámetro

t : tiempo U: número

a) área b) Longitud c) densidad

d) Fuerza e) NA

8. De la siguiente ecuación dimensionalmente

correcta y homogénea hallar el valor de:

(h-g)T = 2 (p-q)

2h

x y

2gx y

p(2R.log ) (R.log )A=

q(2R.log ) (R.log )

Donde:

A: área R : Radios x,y: números

enteros

a) 1 b) 2 c) 4

d) 3 e) 6

9. Dimensionalmente la siguiente expresión es

correcta y su respectiva ecuación

dimensional es la unidad.

(UNA) UNI = 1

45

Donde :

U: m.C2

C: velocidad m : Kg I: 3metros

Hallar la dimensión de "N".

a) M-1L-3 T 2 b) ML2T-3 c) ML2T-1

d) M-1L2 T-2 e) M-2L-2 T 3

10. Flor de María una eficiente estudiante ha

observado que la potencia con que debe

aplicar una inyección depende de la

densidad del líquido cuyo valor es 0,6g/cm3

la velocidad con que debe aplicar dicha

inyección es de 0,2cm/s, la cual tuvo una

duración de 4 s. Con estos datos determine

la ecuación empírica de la potencia con el

cual debe aplicarse el inyectable.

(Considere cualquier constante numérica

igual a “S”)

a) S d v t b) S d v 5 c) S d 2 v t

d) S d v 3 e) S d v 5 t 2

11. Determine la potencia (P) de la hélice de un

helicóptero, sabiendo que es función de la

densidad del aire “D” de la velocidad angular

de la hélice ”W” y del radio de giro “R” si “K”

es constante numérica.

a) KD WR b) KD W 3 R 5 c) KD W2 R4

d) KD3 W R 5 e) KD5 W 3 R

12. Determine la presión (P) dinámica ejercida

por un líquido que fluye sobre un objeto

sumergido, asumiendo que la presión es

una función de la densidad del líquido (d) y

de su velocidad del líquido y de una

constante matemática (K).

a) Kdv2 b) Kd2v c) Kdv1/2

d) K(dv)1/2 e) Kdv

13. Si la ecuación es dimensionalmente

correcta, hallar "xy"

yx x

2 m=W V (sen53º)

Donde:

m: masa W: 5Joule V: m/s

a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/3 e) 1/4

14. Hallar "z" para que la ecuación sea

homogénea.

x1

y zFz-

PVy y

( tgx )=

d (cosx)

P: presión V: volumen F: Fuerza

d: densidad

a) 2 b) 2/5 c) 4 d) 5/3 e) 6

15. Si la siguiente ecuación es correcta y

homogénea hallar "K"

2

2 RMsen30° PQRsen30°(P-e) .2

K =(t-Q)

M: masa t: tiempo e: 4m

a) M-2L6T-2 b) ML-4T-3 c) ML

d) (M-1L3T-1) 1/2 e) M-1L6T3

16. La expresión es correcta hallar:

p

x+yD= (z)

z.sen30(x+y)x w3 =mH sen45ºF t

Donde:

F: fuerza H: altura m: masa

t : tiempo.

a) 0 b) -2 c) -1 d) 1/4 e) 2

17. El periodo de giro de un planeta depende

del radio de la órbita (R) de la masa (M) y

de la constante gravitatoria (G) expresada

m3/kgs2. Halle la ecuación del periodo.

3/2 2 3/2 -1/2

3 2 3/2 2

K K

K K

K

a) .R (G M) b) .R (G M)

c) .R (G M) d) .R (G M)

e) .R G M

18. Encontrar que magnitud representa [K.C]

en la ecuación correcta y homogénea.

46

2

2 2

sen60ºM 45º

k h

.(sen )C=

m( - )

Dónde:

M: momento de fuerza

m: masa H: altura.

a) Aceleración b) Velocidad c) Fuerza

d) Potencia e) Energía

19. Determinar las dimensiones que debe tener

“Q” para que la expresión “W” sea


W=0,5mv + Agh + BP

W: joule m: kg v: m/s

g: gravedad h: altura P: watt

Además Q=A . B

a) 2

M T b) 2

T M c) MT

d) 3 3M T e) F. Datos

20. Si en vez de la masa (M) el trabajo (W)

fuera considerado como magnitud

fundamental la ecuación dimensional de la

densidad será:

a) L-5W T b) L-3 W T-2 c) L-5 W T-2

d) LWT 2 e) L2 W -1T

Nivel - UNI

PRÁCTICA

5

PRÁCTICA

Nivel - UNI

1. Si las siguientes ecuaciones

dimensionales:

A+B=C+D, 2A+3H=4C+5E+XF

son dimensionalmente correctas y

homogéneas determine la dimensión

de “X”

si: 2 2AB 6kg m y 1

(F.C ) 4m

a) 1L b) L c) T

d) 1T e) ML

2. La ecuación de estado para un gas de

Van der Waals está dado por:

2

aP (v b) RT

v

Donde:

P: presión absoluta del gas Volv

n :

Volumen molar 3m

mol

a y b: son

constantes que dependen del tipo de

gas.

R: constante universal de los gases

ideales.

T: temperatura absoluta del gas.

Indique la veracidad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones.

I . a b

I I. 2a b RTv

I II. 3 1b L N

a) FFF b) FFV c) FVV

d) VFF e) VVF

3. Señale la veracidad o falsedad de las

siguientes proposiciones

I. El principio de homogeneidad dimensional

de una ecuación física implica que cada

término de la ecuación debe de tener las

mismas unidades.

II. En una ecuación física la dimensión de las

constantes físicas es igual a 1

III. Debido a la consistencia dimensional de las

ecuaciones físicas, no se puede multiplicar

cantidades físicas de diferentes

dimensiones.

a) VVV b) VFF c) FFV

d) VVF e) FFF

4. Señale el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

47

I. Se denomina expresión dimensional de una

cantidad física a la representación de ésta

mediante símbolos establecidos en el S.I.

II. Se denomina ecuación dimensional a la

ecuación que resulta al representar las

cantidades involucradas en una ley física

mediante sus expresiones dimensionales.

III. Se dice que una ecuación dimensional es

homogénea cuando las unidades, a ambos

lados del signo igual, son las mismas

a) VVV b) VVF c) VFV

d) FVF e) FFF

5. En una feria de

Física un

estudiante hace

rotar un disco

sobre un eje

horizontal con velocidad angular” ” (rad/s)

y lo suelta en la base de un plano inclinado

como se muestra en la figura. El centro del

disco sube una altura “h”, la cual puede ser

expresada por:

,2

1 2

mg

Ih

Dónde: “m” es la masa del

disco, “g” es la aceleración de la gravedad

“I” es una propiedad del disco llamada

momento de inercia. Entonces la expresión

dimensional para el momento de inercia es:

a) 2 3M L b) 2 -1ML T c) 2ML T

d) 2 -2ML T e) 2ML

6. Sea la cantidad física expresada en

unidades de joule por kilogramo kelvin, su

expresión dimensional es:

a) 2 -2 -1

L T θ b) 2 2 -2

M L T θ

c) 2 -2 -12

M L T θ d) 2 -2

L T θ e) -2 2

L T θ

7. La ecuación dimensional correcta, halle [B]:

2

2 1 2 1 C

3kB(a a ) g (p p ) w

2logx a.sen37º Bt

vt

Donde:

a1, a2: aceleraciones

v: velocidad

p1.p2: presión w: trabajo

g: 9.8m/s2 t: tiempo

a) MLT b) ML-1 c) MT -1 L

d) L3T-1 e) T 3 L-1

8. En la siguiente ecuación

dimensionalmente correcta en donde V=

Velocidad, señale [x]:

n 2 A 10senA x Bx C

V

a) LT-2 b)-1

LT c) -1TL

d) T L e) LT-1

9. Encuéntrese [N] en:

X UNI = log x . sen(UT)

Donde:

I: distancia T: tiempo.

a) LT-1 b) L-1T c) LT-2

d) L-2 T e) LT

10. Si la siguiente ecuación es correcta hallar la

ecuación dimensional de “Z” si y: área

6 3

n = B B BB Z

+ y- - ...

+

a) 1 b) L c) L2

d) L3 e) L4

11. La expresión dimensional de la 3ra ley de

Kepler relativa al movimiento de los planetas

sabiendo que la constante "f" de la ley de

gravitación universal tiene por dimensiones

L3 T-2M-1 y que el periodo de una revolución

es directamente proporcional al eje mayor

“2b” a “f” y a la masa del sol, es:

(k es una constante numérica adimensional)

a) K f -1/2 b1/2 M -1/2 b) K f -1/2 b3/2 M-1/2

c) K f 2 b3 M-1/2 d) K f b2 M-1/3

12. En la siguiente fórmula hallar las

dimensiones de "K"

K= ABC ACB ACB...

48

Donde:

A: área B: Aceleración

C: Tiempo.

a) Cauda l b) Velocidad

c) Densidad d) Fuerza

e) Aceleración angular

13. Se crea un sistema de unidades donde se

considera como magnitudes fundamentales

a la velocidad la masa y la fuerza. Hallar la

ecuación dimensional de "E" en este nuevo

sistema si se sabe que E=presión x

(densidad) además en este nuevo sistema

se definen a la velocidad como "A" la masa

como "B" y la fuerza como "C"

a) (A-5B-2 C3)1/2 b) A-10 B-4C6 c) A-5 B-2C3

d) AB-2C- 4 e) A3 B-1C-3

14. En el sistema se consideran como unidades

fundamentales a la masa (M) la velocidad

(V) y el tiempo (T) la ecuación dimensional

de la presión en este sistema de unidades

será:

a) MV -1T -3 b) MVT-1 c) MVT -3

d) MVT 3 e) MVT

15. Se sabe que la velocidad de una onda

mecánica en una cuerda en vibración

depende de la fuerza llamada tensión “T” de

la masa “m” y de la longitud “L” de la cuerda

encontrar una fórmula que permita hallar

dicha velocidad.

a) (TL /m)1/2 b) (m/TL)1/2 c) TLm

d) (TL m )1/2 e) TLm-2

16. Hallar las dimensiones de "X" en la siguiente

ecuación mostrada:

2mE

senC

. =x x x x x...

Dónde:

C: cantidad de movimiento

m: masa E: presión

a) L2MT-1 b) LMT-2 c) L-2MT3

d) L-1MT-2 e) L2MT

17. Hallar: n.x / K 2

2

2 2

n

n-1

X FV

logn

(senθ+cosθ)=

m(k +h )(tgθ-1)

Donde:

F: Newton V: m/s

h: 4m m: número

a) LM b) L-1 c) M

d) L-1MT e) MT

18. La velocidad “V” de la nave experimental

ANTOV” debe cumplir con la siguiente

ecuación dimensional, para que pueda salir

de su órbita y así volver a la tierra.

V=C1 cos (C2T)+C3 sen C4 T 2+C5T 3

Donde:

T: segundos

Según estos datos determine:

1 2

.3 4 5

C .CF=

C .C C

a) L b) L2 c) L- 1T- 2

d) L-1T 5 e) LT- 5

19. Considere un sistema en el cual las tres

cantidades fundamentales son la velocidad

de la luz (c) en su onda amarilla la masa de

un protón (m) y la constante (h) de Planck

Dónde:

12TMLh Considerando que la

energía es E=h entonces la cantidad que

tiene como dimensiones de tiempo es:

a) h/mc b) mc/h c) mc2/h

d) h/mc2 e) (h/mc)

El ÚNICO FRACASO

CONSISTE EN DEJAR DE

INTENTARLO.

49

OBJETIVOS

1. Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace

utilizando vectores.

2. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las

operaciones con vectores.

3. Aprender la descomposición y composición rectangular de los

vectores.

ACTIVIDAD 01.

DAR TRES DEFINICIONES DE VECTORES CONSULTANDO LA

BIBIOGRAFIA DE:

Serway – Hewitt Paul-Sear Zemansky .

VECTORVECTOR Es verdaderamente importante que

reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos

requieren algo más que números y unidades físicas para quedar

plenamente explicados. Te preguntarás ¿Qué se puede usar, además

de los números y unidades, para detallar los fenómenos?

La respuesta es el vector, y las magnitudes físicas que lo

necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en

esencia dos características especiales:

Tienen dirección y sentido Ej.: Cuando

decimos que un alumno experimenta un

desplazamiento de 4m, debemos agregar

desde dónde y hacia dónde. Sin estos datos

no podríamos imaginar el movimiento.

No cumplen con las leyes de la adición de

números reales. Ej.: Si décimos que

dos jugadores empujan un mismo

cuerpo con fuerzas iguales de 30N, sin

indicar la dirección y sentido de cada

uno, el resultado puede ser variable.

Así por ejemplo: Si se aplican los dos

hacia un mismo lado, el resultado será

equivalente a aplicar una fuerza de 60N.

Sin embargo, si estas fuerzas se aplican

en una misma recta pero en sentidos opuestos, el resultado sería como no

aplicar fuerzas. Así pues, la resultante de las fuerzas depende de la

orientación de éstas.

4m

30N

30N

R=6

0N

50

30N

30N

VECTOR

Designamos con este nombre a aquel elemento matemático, indicado por

un segmento de recta orientado, y que nos permite representar

gráficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el

aspecto básico del curso, diremos que los elementos de un vector son:

Módulo.

Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud

vectorial representada.

Dirección.

Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo " " medido en

sentido antihorario.

Sentido.

Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le

representa por una saeta o sagita.

Analicemos El siguiente gráfico.

θ

V

A

BMódulo

Dirección

Sen

tido

El vector es un tensor

de 1er orden.

Nota:

Notación Vectorial:

Vector:

Módulo:

Notación General:

CLASIFICACIÓN

COLINEALES1

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

C B A

PARALELOS2

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre si.

51

A

C B

L1

L2

A B A C

m1 m2

Si: 1L // 2L indica que los vectores contenidos en dichas líneas tienen igual

dirección.

OPUESTOS3

Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo, pero

sentido contrario.

A

L2

-Aθ θ

L1

Todo vector A

tiene su opuesto denominado - A

; y tiene la misma

dirección, módulo pero sentido opuesto.

La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (módulo cero)

Según lo analizado anteriormente, tenemos:

A+(-A)=0

IGUALES4

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y

sentido.

A

L2

B

L1

CONCURRENTES Y COPLANARES5

Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano y sus líneas

de acción, se cortan en un mismo punto.

p

A

BC

D

E

· Los vectores A, B, C son concurrentes y coplanares.

· El vector D es coplanar pero no concurrente, pero el vector E no es

concurrente ni coplanar.

ACTIVIDAD 02

INVESTIGUE EN GRUPO QUE OTROS TIPOS DE VECTORES HAY Y REDACTELOS EN SU

CUADERNO.

OPERACIONES CON VECTORES

Sumar dos o más vectores significa hallar su RESULTANTE. Dicha

resultante se puede determinar mediante analíticos y gráficos.

RESULTANTE MÁXIMA

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo la misma dirección y sentido

y forman un ángulo de 0º.

52

A

AB0º

RMÁX= + B

RESULTANTE MÍNIMA

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo sentido contrario y forman

un ángulo de 180º

A

AB 180º

RMIN = - B

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en

ubicar a los vectores en un origen común conservando su módulo y

dirección, luego construye el paralelogramo y el vector resultante se traza

desde el origen común dirigiéndose al vértice opuesto.

Sean los vectores:

θ

A

B

A

θ

B

R

Ahora deduciremos una ecuación que nos permita encontrar la longitud de

la resultante:

B

A

θ

R

θA

h=

AcosθB+Acosθ

Asenθ

En el triángulo sombreado aplicamos el teorema de Pitágoras.

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

pero: (

R = (Asenθ) +(B+Acosθ)

R = A sen θ+B +A cos 2 A.Bcosθ

sen cos 1

+

+ )

ENTONCES:

2 2R= A +B +-2ABcosθ

CASOS PARTICULARES.

Si A y B son perpendiculares 1

2 2R= A +BA

B

R

Si: A = B y 2 θ=90º

R=A 2AR

BA

53

Si: A = B y 3 θ=60º

A

θ

R

BA

R=A 3

Si: A = B y 4 θ=120º

Aθ

R

BA

R=A

MÉTODO DEL TRIANGULO

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en

graficar los vectores uno a continuación del otro, la resultante se obtiene

uniendo el origen del primero con el extremo del segundo.

Dados:

Los módulos de los vectores A y B:

A BR

A

B

A

B

LEY DE SENOS

Es usado cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos uno de

los vectores.

R

A

B

θ

β

A

senβ

B

senθ

R

sen

MÉTODO DEL POLÍGONO

Se colocan los vectores uno a continuación del otro en el mismo sentido y la

resultante se traza

desde el origen del primer vector hasta la saeta del ultimo vector.

A

B

C

D

A

BC

D

A BR

C D

Polígono cerrado

Es cuando los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben

orientarse en forma horaria o anti horaria; por lo tanto su resultante es nula.

A

BC

D

E

R=0

DIFERENCIA DE VECTORES

Si deseamos hallar la diferencia entre 2 vectores A y B , entonces esta

operación consiste en sumarle al vector A el vector opuesto de B .

54

A

θ

R

B

AR= - B

B =180-θDONDE:

Para obtener el modulo del vector diferencia se debe de aplicar la

siguiente relación:

2 2A-B = A +B +2ABcos ó

2 2A-B = A +B -2ABcosθ

MATEMÁTICAMENTE

Un vector se le puede representar a través de ecuaciones cartesianas (en

el plano o en el espacio y/o en ecuaciones matriciales en general),

Luego

2 1 2 1

P (x -x ),(y -y )

Pero el Módulo de “P” será:

2 22 1 2 1P (x -x ) + (y -y )

VECTOR UNITARIO

Se le denomina así a la unidad vectorial que representa a un vector

cualquiera el cual se caracteriza porque su módulo siempre es uno y se

manifiesta colíneal o paralelo al vector y nos indica la dirección y sentido.

P

A

B

μP

μP =1

y

x

Definimos su vector unitario

μP=P

P Vector

Módulo=

Recuerda:

μP P1

2 P = P μP

μA

3 Para dos vectores “A y B”

= Bμ

A B

Entonces:

VECTORES UNITARIOS

EN LOS EJES X,Y,Z

Para expresar un vector y realizar operaciones con ellos se acostumbra

hacerlo en términos de los vectores unitarios ( i, j, k ) ubicados a lo largo de

los ejes X, Y, Z como se muestra en la figura .

θ

x

y

YΔ

XΔ

P

y1

y2

x1 x2

55

P

i j

k

x

z

y

Py

Pz

Px

Por Lo tanto el vector “P” se puede expresar como:

P = Pxi Py j Pzk

Hallando su módulo del vector “P”

P2

=Módulo Px2

Py2

Pz

Las coordenadas de los vectores unitarios en cada eje son:

i = ( 1,0,0 )

j = ( 0,1,0 )

k = ( 0,0,1 )

=i j = k =1

COMPONENTES DE

UN VECTOR

Es la operación que consiste en descomponer un vector V = |P|, en función

de otros ubicados sobre dos rectas perpendiculares (Eje x Eje y). Siguiendo

los pasos señalados se obtendrán las componentes rectangulares Px ;Py.

θ

P

Px= P cosθ

Py= P senθ

y( j )

x( i )

El vector de módulo “P” se puede expresar en función a sus componentes

rectangulares.

Siendo las componentes:

Px= P cosθ

Py= P senθ

Entonces:

P = Px jPyiVector

Hallando su módulo por componentes.

P

2=Módulo Px

2Py

La dirección esta dada por la función tangente del ángulo respecto a la

horizontal.

RECUERDA:

i : vector unitario en el eje x (1,0)

j : vector unitario en el eje y (0,1)

Se observará que:

MÉTODO PRÁCTICO

Pero existe un método práctico para descomponer vectores, usando los

triángulos notables, pero antes recuerda:

56

TRIÁNGULOS NOTABLES

RECUERDA

Paso # 1

Los vectores que se sumaran se disponen partiendo del origen de

coordenadas.

Paso # 2

Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus

componentes rectangulares.

Paso # 3

Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la resultante parcial en

el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada

eje.

Paso # 4

Se calcula finalmente el módulo y dirección de la resultante.

ADICIÓN DE VECTORES

Sean: 1 1 2 2

A=( x ;y ) y B=( x ;y ) dos vectores en el plano cartesiano

entonces podemos calcular la adición de vectores:

1 1 2 2

X1 2 1 2

X1 2 1 2

A+B= ( x ;y ) + ( x ;y )

A+B= ( x + ; y +y )

A+B= ( x + )i + (y +y )j

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Sean: 1 1 2 2

A=( x ;y ) y B=( x ;y ) dos vectores en el plano cartesiano

entonces podemos calcular la sustracción de vectores:

1 1 2 2

X1 2 1 2

X1 2 1 2

A B= ( x ;y ) + ( x ;y )

A B= ( x - ; y - y )

A B= ( x - ) i + (y - y ) j

La imaginación es más importante que el conocimiento

57

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR

POR UN ESCALAR

Dados

1 1A=( x ;y ) y k R entonces:

1 1

1 1

kA= k ( x ;y )

kA= ( k x ; y k )

Pero recuerda que:

Si: k > 0 A kA

k < 0 A kA

ÁNGULOS Y CÓSENOS

DIRECTORES.

Por lo visto hasta ahora podemos afirmar que

matemáticamente el vector es un conjunto

ordenado de números reales. Un par ordenado (

x,y ) en el plano o una terna ordenada ( x,y,z ) en

el espacio definido donde x,y,z son números

reales denominados las componentes del vector.

Sea el vector P P P Px y z

( , , ) en el espacio

veamos gráficamente en el espacio:

Entonces los ángulos que forma el vector “P” con los ejes, Se denominan

ángulos directores.

VERIFICANDOSE QUE:

Px=

Pcos θ

Py=

Pcosβ

Px=

Pcos

A estos cósenos se les llama cósenos directores y tiene la siguiente

característica.

2 2 2cos +cos β+cos θ=1

PRODUCTO ESCALAR A.B

Dados los vectores A y B definimos el producto escalar denotado por

A .B Como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que

forman.

Geométricamente interpretamos como el producto del módulo de un vector

por la proyección del otro sobre él. Vemos el gráfico.

A

B

θ

B cosθ

A B = B cosθA

θ= 0º A B = BA

θ= 90º A B = 0

θ=180º A B = BA

Si:

En el plano o espacio cartesiano el producto escalar será igual a la suma de

los productos de las coordenadas correspondientes.

P

Pxi

Pzk

Pyjθ

β

x

y

z

58

Si: 1 1 1

2 2 2

A ( x ,y ,z )

B ( x ,y ,z )

Entonces el producto de los vectores será:

1 2 1 2 1 2

A.B x .x + y .y +z .z

A B = B cosθA

A= A

1 2 1 2 1 2

A.B x .x + y .y +z .z

Nota:

Son expresiones equivalentes

del producto escalar.

El resultado del producto

escalar será siempre un número

real positivo, nulo o negativo.

A B = 0

Señala que los vectores son

perpendiculares entre si.

A2.

PRODUCTO VECTORIAL AxB

Dados los vectores:

1 1 1 2 2 2A=( x ,y ,z ) y B=( x ,y ,z )

Definiremos el producto vectorial, como un vector que es ortogonal a los

vectores A y B , por lo tanto ortogonal al plano determinado por A y B

Donde el sentido de A xB se determina por regla de mano derecha.

θ

A

B

BAx

Área

Regla de mano

derecha

BAx x1= y1 z1

x2 y2 z2

i j k+ +-

Por lo tanto:

BAx = i j k+- x1 y1

x2 y2

x1 z1

x2 z2

y1 z1

y2 z2

θ= 0º A B = 0

A B =

Nota:

x

x 0 A B

xA B = B senθA

A B =x B Ax

A A =x 0

Área=

La longitud del vector AxB, puede interpretarse como el área del

paralelogramo determinado por dichos vectores ( A y B ).

“Dime y lo olvido, enséñame

y lo recuerdo, involúcrame y

lo aprendo”

59

PROBLEMAS

RESUELTOSx

z

y

20j

1. Sobre un punto en el piso se aplican dos fuerzas de módulos 5N y 2N,

determine la fuerza efectiva que se aplica sobre dicho punto.

37º F2 F1=5N

=2N

Solución

Primero desplazaremos los vectores gráficamente, para luego aplicar el

método del paralelogramo.

37ºF1F2

R

2 21 2 1 2

2 2

R = (F ) +(F ) +2F .F .cos37º

R = (5) +(2) +2(5.2)4/5

RespuestaR = 3 5N

2. Para los vectores mostrados determine el módulo de A-2B si

A 5u y B 4u

21º

32ºA

B

Solución

Primero desplazamos los vectores con la finalidad de tener el mismo punto

de aplicación.

Luego ubicar el vector 2B

21º

32º

A

B

B-2 127º

R

Ahora hallando el vector diferencia

2 2

2 2

A-2B=R = (A) +(2B) +2(A)(2B).cos127º

A-2B = (5) +(8) +2(5.8)(-3/5)

RespuestaA-2B = 41u.

3. En el sistema de vectores mostrados determine el módulo de la

resultante si:

A C 2u , B=5u

60

23º

A

97º

B

C

Calculemos la resultante entre A y C teniendo en cuenta que forman 120º

A

C120º

R

Por propiedad si los vectores forman 120º debe cumplir.

si: A C R 2u

Ahora hallaremos la resultante del vector “B” con la resultante obtenida de

los vectores “A y C”.

B

R37º

2 2

2 2

R = (B) +(R) +2B.R.cos37ºT

R = (5) +(2) +2(5.2)4/5T

RespuestaR = 3 5u.

T

4. Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un

hexágono regular de lado 2 3 .

Solución

Primero recuerda que un hexágono regular está formado por triángulos

equiláteros interiores veamos:

60º

2 3

3

3

2 3

Luego los vectores mostrados forman un ángulo de 60º por ser un

hexágono regular.

RespuestaR= 3 2.

R

3

360º

5. En el siguiente sistema de vectores determine el módulo del vector

resultante si el hexágono regular tiene 2m de lado.

61

Solución

Traslademos los vectores con la finalidad de

aplicar el método del triángulo.

Por ser un hexágono regular su diagonal será

PQ=4

Entonces la Resultante es 3PQ

RespuestaR= 12

6. Determine el vector “x” en función de A y B si G: Baricentro y M: punto

medio.

M

M

GBX

A

Solución

Nos piden determinar “x” en función de

A y B.

Por propiedad del baricentro tenemos

que la proporción de de 2 a 1

entonces:

Ahora aplicando en método del triángulo en el área sombreada obtenemos:

X

A= 3B2

RespuestaX=2A-6B

7. Determine el módulo del vector resultante del conjunto de vectores

mostrados.

B

A

3m=C

5m

2m

Solución

Reemplazando módulos de los vectores A y B por sus componentes

rectangulares.

Tenemos:

B

A5m

3m=C

2m

9m=Rx

7m=Ry

R

Hallando la resultante.

P

2

Q

2

M

M

GBX

A

X

2B

62

2 2x y

2 2

R = (R ) +(R )

R = (9) +(7)

RespuestaR = 130m

8. En el paralelogramo mostrado determine la resultante del sistema en

función del vector “P”.

B

AX P

Y

Solución

Apliquemos el método del triángulo.

B

AX P

Y

A/2

A/2

B/2 B/2

Entonces sabemos que la resultante es:

R A B X Y P

1 2

A B P

B AA P....( ) B P...( )

2 2

Sumando (1) y (2) obtenemos:

pero

3X Y (A B)

2

: (A B) P

Reemplazamos en la resultante:

3

R P P P2

Respuesta

7R = P

2

9. Determine “x” en función de A y B si MNOP es un cuadrado.

X

M P

ON

A

B

Solución

Aplicando Pitágoras en MNT obtenemos que: MT= 5

M P

ON

θ θ

θ

R

Q2

2

1 T

5

Ahora por semejanza de triángulos en MNR y NRT tenemos:

63

1 RT

15

5 RT=

5

Por lo tanto:

5MR= 5

5

4 5MR=

5

Ahora en el cuadrado gráficamente tenemos.

X/2

M P

ON

AR

Q

4 BA

5 2

TB2

A+B/2

5

Ahora hallando “X” en función de A y B en el triángulo NRT.

x B+A+

B2 2 =5 2

Respuesta

4B-2AX =

5

10. En el experimento de vectores realizado por Jesús y Gerardo llegaron a

la rotación que se muestra. Determine el valor del ángulo desconocido

para que la resultante sea nula.

10º

10º θ

9

12A

x

y

Solución

Como no tenemos ángulos notables giremos el sistema 10º en forma horaria.

θ+10º

9

12

A

x

y

Acos(θ+10º)

Ase

n(θ

+1

0º)

Como la resultante es cero entonces:

9 = Asen( θ+10 ) …..(1)

12= Acos( θ+10 ) …..(2)

Dividiendo ( 1 ) y ( 2 ) obtenemos:

3tg(θ+10º)=

4

tg(θ+10º)=tg37º

Simplificando:

Respuestaθ=27º

64

11. En el siguiente diagrama determinar el valor de “P” si la resultante de

los vectores tiene como módulo 14cm.

60º

P

5

4P

5

4

1

Solución

Apliquemos el método del triángulo con la finalidad de encontrar la

resultante en los ejes “x é y” .

Hallando la Resultante en los

ejes “x é y”

4P PR = P

x 5 5

2PR =-

x 5

R =5+5+4y

R =14y

Graficando convenientemente:

120º

R

Rx

Ry

Por dato del problema la R=14cm

Entonces:

2 2y x y

2 2

R = (R ) +(R ) +2R .R .cos120ºx

2 2P14 = (14) +( P) -2 (14. )1/2

5 5

RespuestaP=35cm

12. Determine el módulo de la resultante para el conjunto de vectores

mostrados en el espacio.

x

y

z

6

8

4

5

Solución

Realicemos la descomposición poligonal

de los vectores en función de los ejes

“x,y,z”

Entonces ahora calculemos la Rx, Ry, Rz.

Rx =-4+4-4 = -4i

Ry = 8+5-3 = 10j

Rz = 6k

60º

P

5

4P

5

4

1

x

y

x

y

z

6

5

4

5

3

65

Hallando el módulo de “R”

2 2 2y

2 2 2

R = (R ) +(R ) +(R )x z

R = (-4) (10) (6)

RespuestaR= 152

13. Si los vectores mostrados en la figura están relacionados entre si

mediante b a b donde " y " son números reales

determínelos.

a

b

c

y

x

Solución

Hallando los vectores a b y c

en función a sus vectores

unitarios tenemos:

Por dato del problema sabemos que:

b a b

-i -j = (-2i - j) + (i - 2j)

-i -j = i (-2 + ) + (- - 2 )j

Por comparación:

-2 + = -1

- - 2 = 1

Resolviendo el sistema obtenemos:

Respuesta

=1/5

= -3/5

14. Dados a=(3;4) y b=(7;24) determine el ángulo que forman entre si:

Solución

Sabemos que:

a b = b cosθa

Entonces para hallar el ángulo debemos conocer el producto escalar

“a.b” y sus respectivos módulos.

Hallando el producto escalar:

1 2 1 2

+y ya.b x .x .

a.b (3.7) (4.24)

a.b 117........( )

Hallando dichos módulos:

2 2

2 2

a (3) (4) 5

b (7) (24) 25

Reemplazando datos:

a= -2i - j

b= -i + j

c= i - 2j

a

b

c

y

x(i)

(j)

66

a b = b cosθa

117=(5).(25)cosθ

Respuesta

117θ= arc cos

125

15. Encontrar un vector normal al plano determinado por los vectores

a (1,2,3) y b (6,7,8)

Solución

EL vector normal al plano determinado por a y b sería x n=a b

Luego

x

i j k

n=a b 1 2 3

6 7 8

Desarrollemos la matriz.

x

x

2 3 1 3 1 2n=a b = i - j +k

7 8 6 8 6 7

n=a b = -5i +10j -5k

Respuesta

n=axb=(-5,10,-5)

16. Si n es normal al plano ABCD y siendo su

módulo igual a 4 10 determine la

expresión vectorial cartesiana de “ n ”.

Solución

Por dato y gráfico del problema podemos concluir que “ n ” es normal al

plano determinado por AB y AC .

Luego n axb

(Vectores codirigidos)

x

y

z

4

5

3

2

BA

CD

n

(5,0,0)

(4,-2,3)

a bx

Sabemos que:

x

n axb u = un a b

Determinemos AB y AD

AB= B-A=(4,-2,3) - (4,0,3)

AB= (0,-2,0).......( )

AD= D-A=(5,0,0) - (4,0,3)

AB= (1,0,-3).......( )

Hallando AB x AD

i j k

AB x AD= 0 -2 0

1 0 -3

Desarrollando obtenemos: x

y

z

4

5

3

2

BA

CD

n

67

AB x AD = (6,0,-2)

Hallando su módulo:

2 2 2AB x AD = (6) +(0) +(-2)

AB x AD =2 10

Luego el vector unitario será:

(6,0,-2)

u =n2 10

Hallando “ n ”

n = n .uz n

(6,0,-2)n 4 10.

2 10

Respuesta

n 12 i - 4k

17. Se tiene los vectores A=3i+2j; B=-2i+4j; C=ai+bj determine los

valores mínimos y enteros de “a y b” de manera que A B sea paralelo

a B C .

y

x

AB

Solución

Recuerda cuando dos vectores son paralelos debe cumplir:

Si: k > 0 (tiene igual sentido)

k < 0 (tiene diferente sentido)

Entonces:

A+B=i+6j

B+C=(a-2)i + (b+4)j

Sabemos que A B // B C entonces cumple:

B+C = k(A+B) Reemplazando:

(a-2)i + (b+4)j = k(i+6j)

(a-2)i + (b+4)j = ki+6kj

a-2=k a=k+2

b+4=6k b=6k-4

Por lo tanto el mínimo valor entero positivo de “a y b” será cuando

“k = 1” entonces:

a=1+2 y b=6(1)-4

Respuestaa=3 y b=2

18. Si se tiene tres vectores A, B y C donde A-2B-C=10i+5j además

A B C= -4i +3j determine el valor de A-5B-3C .

Solución

y

x

A-2B-C=10i+5jA+B+C= -4i+3j

A

B

A Bk

68

Multiplicando por (2) al vector:

A-2B-C=10i+5j (2)

Tenemos:

2A-4B-2C=20i+10j....( )

Multiplicando por (-1) al vector:

A B C= -4i +3j

A B C= 4i -3j....( )

Sumando ( ) y ( )

2A-4B-2C=20i+10j

-A -B - C = 4i - 3j

A-5B-3C=24i+7j

Ahora graficando.

7

y

x

A-5

B-3

C

θ24

2 2A-5B-3C (24) (7)

Respuesta

A-5B-3C 25

19. Sean los vectores A=4i+4j B=2cos8ºi+2sen8ºj ,determine el producto

vectorial de dichos vectores.

Solución

Según dato del problema:

A= (4+4) =4(1,1)

B= (2cos8ºi+2sen8ºj)

B= 2(cos8º+sen8º)

Hallando el módulo de A y B.

2 2A=4 (1) +(1) =4 2

2 2B=2 (cos 8º+sen 8º=2

Recuerda que A forma 45º con el eje “X” positivo y “B” forma 8º con el eje

positivo Por lo tanto: “A” forma 37º con el vector “B”.

Realicemos un gráfico:

45º

8º

A

B

4

4

z

x

y

μAxB

Entonces:

AxB (ABsenθ)μ

Por regla de mano derecha obtenemos:

-k μ

AxB (AB4 2.2sen37º)(-k)

Respuesta

24AxB 2k

5

69

20. ABC es un triángulo equilátero de lado 4cm. Determinar el módulo de la

resultante de las fuerzas mostradas en la figura sabiendo que el plano

en el cual se encuentre el triángulo ABC es perpendicular al plano “-XY”

y forma un ángulo diedro de 30º con el plano “YZ”

Siendo: 5N; 5N1=4 2=6F F

Considerar: 1 2B = F ; C = F

z

x

y

B

C

A

F1

F2

Realicemos un gráfico con los datos del problema.

m

B

C

A

44

2

2 1

3

2 33

n

2HD

E

3

30º

30º

2 3

2 3

x

y

zz

y

Asumiremos que el vértice “A” se encuentra a “k” unidades del origen en el eje

“-X” por lo tanto las coordenadas de “A” son (-k,0,0)

Según gráfico tenemos las coordenadas de B y C siendo:

B=(-k-1; 3,2 3 ) C=(-k-2; 2 3 ,0)

De donde obtenemos que:

2 2 2

B ( (k 1); 3;2 3)

B (k 1) ( 3) (2 3)

k=1 y k=-3

Luego se tiene:

1

2

A=(-1,0,0)

B=(-2, 3,2 3)=F

C=(-3,2 3,0) =F

Finalmente: 1 2=F +F (-5;3 3;2 3)

Respuesta1 2F +F =8

PRÁCTICA 1x

z

y

20j

REALIZAMAPA

CONCEPTUAL DE

VECTORES

70


Determinar la resultante para los

vectores dados, Siendo:

| a | = 10 | b | = 2,

| c | = 4 | d | = 3


Hallar el módulo de la resultante.


Hallar el módulo de la resultante.


La corriente de un río tiene

una velocidad de 12m/s.

Si un alumno cruza

perpendicularmente un río con

una velocidad de 5m/s. ¿Cuál

será el valor de la velocidad

resultante?

71


¿Cuál es el valor de la

resultante? Los vectores están

colocados en un rectángulo.


Un paracaidista salta y cae

verticalmente por acción de

su peso igual a 600N. Al abrir

el paracaídas el aire ejerce

una fuerza sobre el

paracaídas de 1000N en

dirección vertical y hacia

arriba. ¿Cuál es el valor de la

fuerza resultante sobre el

paracaidista en dicho

instante?


Dos vectores tienen una

resultante mínima que vale 4 y

una resultante máxima igual a

16. ¿Cuál es la resultante de

estos vectores cuando formen

60º?


En el mar, un viento sopla en

la dirección Este, mientras

que un barco navega hacia el

Norte. ¿En qué dirección

puede estar flameando la

bandera del barco?

72


En la figura determinar su resultante

80°20°

D C


En la figura determinar su resultante

12

10

10

120°12


Un bote a motor se dirige

hacia el este con una

velocidad lleva una velocidad

de 10m/s. Si la corriente

marina tiene una velocidad de

6m/s. en la dirección N30ºE.

¿Cuál será el valor de la

velocidad resultante del bote?


Determinar el módulo de la

resultante

si : |A | = |B | = 4 y |C| = 8

120º

A

B

C

73


halle la módulo de la resultante

sabiendo que : |a| = 6; |b| = 8.

30º

a

b


Se tienen dos vectores de 10N

y 15N cuya resultante es igual

a 20N. Determinar el coseno

del ángulo que forman los

vectores.


Halle el módulo de la resultante:

a + b.

Si : |a| = 6 y |b | = 6.

60º

a

b


Halle el módulo de la resultante:

a + b.

Si : |a| = 3 y |b | = 4.

a

b

74


Si: |A| = 3 ; |B| = 5,

Encontrar la resultante.

20°

40°


60°

En la figura, calcular el módulo de la resultante

60°

6

6

10

-La velocidad de la luz es constante en el vacío, pero en el aire, agua y otros medios, se

frena, pudiéndose llegar a ir más rápido que ella.

-Si una nave viajara a velocidades cercanas a la luz, el tiempo dentro de ella va muchísimo

más lento que lo que iría en la Tierra.

-El tiempo va más lento cuanta más gravedad haya. Por lo tanto, irá más lento en la

superficie solar que en la Tierra y más rápido cuanto más alto estemos (la gravedad es

menor).

-La teoría de la relatividad no dice que no se pueda ir más rápido que la luz, sino que no se

puede cruzar la barrera de la luz, ni por arriba ni por abajo. Es decir, si algo fuera más rápido

que la luz, por ejemplo un taquión (partícula hipotética de “masa imaginaria”), jamás podrá ir

más lento que ella.

RECUERDA

INVESTIGAVECTORES

EN EL ESPACIO

EN GRUPO COMO SE APLICAN LOS VECTORES : 1. Para mejorar los Radares2. Para la navegación marítima3. Para entender cómo funciona toda la tecnología que usas (internet, móvil, PC, etc.) y así puedas encontrar las fallas cuando las tenga

RECUERDA

75

121581496371054111312

1 2

15

8

14

9 6

3 7

10

5 4

11

13

12

VECTOGRAMAVECTOGRAMA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 CARACTERISTICA DEL VECTOR QUE NOS INDICA HACIA DONDE SE DIRIGE

14

15

SUS LINEAS DE FUERZA SE CORTAN EN UN SOLO PUNTO.

ES UN VECTOR ORTIGONAL A LOS VECTORES

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UN MISMO PLANO

OCURRE CUANDO FORMAN 0° ENTRE SI

ENTE MATEMATICO REPRESENTADO POR UNA SAGITA

VECTICALES

METODO ANALITICO

VALOR DE LA MAGNITUD VECTORIAL

METODO GRAFICO PARA HALLAR RESULTANTES

OCURRE CUANDO FORMAN 180° ENTRE SI

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UNA MISMA LINEA DE ACCION.

NOS PERMITE HALLAR LA RESULTANTE DE VECTORES

NOS PERMITE EXPRESARLO NUMERICAMENTE

HORIZONTALES

METODO PARA HALLAR LA RESULTANTE CON MAS DE DOS VECTORES

ES LA REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

76

REALIZAESQUEMA DE

LLAVES DE

VECTORES

77

10 230°

83°

52°

25

18

La previa.. UPRÁCTICA

x

z

y

20j

2

La previa.. U

1. Calcular el valor de la resultante de dos

vectores de 3u y 5u, que forman un ángulo de

53º

a) 62 b) 13 c) 32

d) 262 e) 26

2. Calcular el módulo de la resultante en el

gráfico.

a) 30

b) 35

c) 3

d) 32

e) 36

3. Determinar la magnitud de la resultante.

a) 14

b) 10

c) 12

d) 36

e) 28

4. Descomponer rectangularmente el vector de

módulo 100N.

a) 80N,100N

b) 70N, 80N

c) 80N, 60N

d) 90N, 80N

e) 60N, 60N

5. Determinar la magnitud de la resultante.

a) 14

b) 10

c) 12

d) 36

e) 28

6. Hallar el módulo del vector resultante del

conjunto de vectores mostrados.

a) 6110

b) 70

c) 1310

d) 2910

e) 50

7. En el siguiente conjunto de vectores,

determinar el módulo de la resultante.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8. Calcular el módulo de la resultante en:

a) 8

b) 20

c) 13

d) 21

e) 0

9. En el siguiente sistema de vectores

determinar el módulo del vector

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

78

53°

8

6

10

F

28N

15N

9N

2F/3

F/3

18N

30°

10. En el conjunto de vectores mostrados, hallar

la dirección del vector resultante.

a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 53º

e) 60º

11. Encontrar la dirección del vector resultante

del sistema mostrado.

a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 53º

e) 60º

12. Calcular el módulo de la resultante de los

vectores indicados.

a)0 b) 6u c) 8 d) 26 e) 2 13

13. Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Hallar

el módulo de la resultante del conjunto de

vectores mostrados.

a) 12

b) 16

c) 20

d) 24

e) 30

14. Determinar el módulo del vector resultante.

a) 12u

b) 15

c) 16

d) 22

e) 21

15. Si la fuerza resultante del siguiente grupo de

vectores es horizontal. Hallar F.

a) 10N

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

16. En el episodio de Piratas del caribe Gerardo

y Jesús el capitán Gerardo pierde su

gancho como producto de fuerzas

enemigas, determine el módulo de la fuerza

resultante de las fuerzas mostradas,

aplicadas al gancho del pirata Gerardo que

está incrustado en un madero.

a) 16N

b) 13N

c) Falta “F”

d) 14N

c) 20N

17. En el siguiente sistema de vectores

determinar el módulo de la resultante.

a) 2u

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

18. Dado el conjunto de vectores, hallar el

módulo de

la

resultante.

a) 2

b) 22

c) 2

d) 1

e) 3

79

19. Calcular el módulo de la resultante.

a) 8 10

b) 18 10

c) 50 2

d) 50

e) 48

20. Si en el siguiente grupo de fuerzas, la

resultante es vertical. Hallar " ".

a) 37º

b) 53º

c) 60º

d) 30º

e) 45º

PRÁCTICA x

z

y

20j

3

1. Si la fuerza resultante del siguiente sistema

de vectores es nula, hallar " ".

a) 37º

b) 30º

c) 45º

d) 53º

e) 16º.

2. Dado el conjunto de fuerzas, determinar la

resultante sabiendo que es vertical.

a)12N

b)16

c)18

d)24

e)20

3. Hallar el módulo de la resultante, sabiendo

que es vertical.

a) 2N

b) 8

c) 22

d) 6

e) 10

4. En determinada dirección un estudiante

camina 50m, luego se desvía 60° respecto a

la dirección anterior avanza 30m mas ¿cuál es

el módulo de su desplazamiento total.

a) 30m b) 60m c) 70m

d) 80m e) 90m

5. Sobre la plataforma un hombre se mueve a

la velocidad V=1m/s y forma un ángulo de

53° con uno de los lados de dicha plataforma,

si esta se mueve a 5m/s con relación a la

tierra halle la velocidad resultante de la

persona en la plataforma plataforma.

53º

a) 4 2 b) 2 2 c) 3 2

d) 4 3 e) 2

6. Consideremos el caso de un buque

desmantelado a merced del viento y la

corriente a cierta velocidad Va =2m/s en

dirección norte ,un bote de socorro lanza una

soga y la jala con el fin de dar al buque una

nueva velocidad Vb también de 2m/s pero

ahora en dirección oeste que velocidad "V"

debe el bote de socorro superponer a Va

para que la velocidad resultante sea Vb

( en m / s)

a) 2 2 b) 2 c) 2 3

d) 4 e) 5

7. Hallar la resultante de dos vectores de 3 y

2 2 unidades cuando forman 45° entre si.

a) 29 b) 23 c) 3

d) 2.41 e) 4

8. Cuál es el valor del ángulo que forman dos

vectores de 3 y 5 unidades de modo que su

resultante sea de 7 unidades.

80

30º

A

B

37ºB

A

a) 30° b) 45° c) 60° d) 53° e) 37°

9. Hallar el valor del ángulo que forman dos

vectores iguales para que la resultante sea

igual al módulo de dichos vectores

a) 30° b) 45° c) 37° d) 120° e) 60°

10. Si la resultante de dos vectores es

perpendicular y tiene como resultado

10 10 m y se sabe además que uno de

ellos es el triple del otro. Determine Ud. el

valor del vector mayor

a) 10m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

11. La resultante de dos vectores igual a "F" es

22 F determine el valor del ángulo que

forman dichos vectores

a) 45° b) 37° c) 60° d) 53° e) 74°

12. La resultante y una de las fuerzas

rectangulares aplicadas a un mismo punto

valen 200 y 120N respectivamente cuanto

mide la otra fuerza rectangular.

a) 50N b) 160 c) 80

d) 100 e) 300

13. La resultante de dos fuerzas iguales a “P” es

45P

5 ¿qué ángulo forman dichas fuerzas?

a) 30° b) 45° c) 37° d) 53° e) 60°

14. Dos fuerzas de 14N y 8N tienen una

resultante de 792 N que ángulo forman

dichos vectores para tal resultante.

a) 60° b) 30° c) 120°

d) 53° e) arco cos(7/28)

15. Dos vectores de 5 y 3 unidades forman entre

si 60° dando una resultante de :

a) 6 b) 3 c) 7 d) 8 e) 19

16. Sean los vectores A:8u B:7u determine el

vector “A + B” cuando los vectores formen

60°

a) 12u b) 13 c) 14 d) 16 e) 123

17. Si dos fuerzas iguales a “F” forman entre si

un ángulo de 135° es posible afirmar

a) 4 2F b) 4 2F c) F

d) 2 2F e) 3 2F

18. En el gráfico mostrado hallar │A - B│

si: A=5 B=3

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 10

19. Determine |A – B| si: A = 4 3 B = 4

a) 1

b) 3

c) 4

d) 2

e) 7

20. Determine │A + B│ si: A = 5 B = 4

a) 1

b) 3

c) 5

d) 2

e) 6

SOLO EL MEDIOCRE NO

CULTIVA ROSAS POR

TEMOR A LAS ESPINAS...

37º

A

B

81

53ºA

B

40º

80º A

B

40º20º

BA

15º

75º

A

B

6º A

B

31º

60º

1N2N

16º

A

B

PRÁCTICA x

z

y

20j

4

La previa.. PRE - U

1. En el grafico mostrado determine el valor del

vector │A+ B│ Si: A = 7N y B = 4.

a) 3,3N

b) 6.6

c) 8,8

d) 98,6

e) 4,4


vector │A + B│ Si: A =1N B=2N

a) 5 N

b) 2

c) 7

d) 12

e) e)3


vector A +B Si: A =a B =a

a) 2a

b) a

c) 3a

d) 12a

e) 10a


vector │A + B│ Si: A =4N B = 8N

a) 4 5 N

b) 6

c) 5

d) 3

e) 6 5


vector │A + B│ Si: A =5N B =3N

a) 1N

b) 4

c) 8

d) 12

e) 13

6. Sobre un clavo se ejerce dos fuerzas cuyos

módulos son de 1N y 2N determine la

resultante.

a) 3 N

b) 2

c) 3

d) 5

7. Dos vectores concurrentes y coplanares

forman entre si un ángulo de 60° si poseen

una resultante de 35N, sabiendo además que

uno de ellos es los 3/5 del otro ¿cuál es la

suma de los módulos de dichos vectores?

a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 25

8. La resultante de dos fuerzas es 37N, cuando

los vectores forman 60° entre si una de las

fuerzas es las 3/4 de la otra fuerza de termine

una de ellas.

a) 3 37N b) 4 47 c) 5 57

d) 27 e) 67

9. La resultante de dos vectores mide 21cm y es

perpendicular a uno de ellos si el otro vector

mide 35cm que ángulo entre si forman los

vectores componentes.

a)143° b)127° c)154°

d)120° e)180º

10. En el gráfico mostrado determine │A-B│

A =25N B =24N

a) 5N

b) 2

c) 7

d) 12

e) 3

11. En el grafico mostrado determine│C-D│

82

C

D

60º60º

AB

B-A

A

B

180º-

61º 106º

AB

60º

B

A

6

3

5 7

A

B

y

x

60º

BA

C

10 5

50

10 10

60º2A

-3B

3A+2B

C =10√2N D =10N

a) 5N

b) 10N

c) 15N

d) 20N

e) NA

12. En el grafico mostrado determine │2B-A│.

A = 10 3 N B = 5 3 N

a) 10N

b) 20

c) 30

d) 40

e) 10 3

13. En el siguiente grafico determine el ángulo

para que 7AB donde:

A = 5 B = 3

a) 120°

b) 45°

c) 150°

d) 60°

e) 90°

14. En el gráfico mostrado determine A+B,

A = 2N B = 3N además: 2 1.4

a) 5,2N b) 3,2 e ) 8.8

d) 1,2 e) 3

15. En el grafico mostrado determine │A -2B│

A = 90N B = 30N

a)10 7 N

b) 20 7

c) 30 7

d) 40 7

e) 50 7

16. En la figura mostrada si

3A+2B =30 y 2A-3B =25.

hallar: 7A-4B

a) 50N

b) 20

c) 70

d) 120

e) 30

17. Para el sistema mostrado determine la

resultante.

a) 4 3 N

b) 5 3

c) 6 3

d) 4,5 e) 2,3

18. En la figura hallar el vector IA + BI

a) ( 12i;10j )

b) ( 15i;9j )

c) ( 6i;14j )

d) ( 12i;9j )

e) ( 7i;6j )

19. Si A = B = C = 10N Determine el módulo de:

I A-B-C I

a) 10 3 N

b) 20

c) 30

d) 4

e) 35

20. Determine el ángulo para que el módulo

de la resultante de fuerzas sea cero.

72º 168º

5N

5N

83

B

E

B

C

D

E

F

A

10cm

d

p

q

sm

A

F

BE

DC

PRÁCTICA x

z

y

20j

5

La previa.. PRE - U

1. Dados los siguientes vectores hallar el

módulo de la resultante de los vectores

mostrados si:

F = 3 D = 4 siendo F y D perpendiculares

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

2. Si 3

3BE hallar el vector resultante.

a) 3

b) 2

c) 5

d) 7

e) 11

3. Hallar el Módulo de la resultante para los

vectores mostrados

a) F

b) 2F

c) 3F

d) 4F

e) 5F

4. En el hexágono regular de lado “L” determine

la resultante de los vectores mostrados

a) 2L

b) 4L

c) 6L

d) 8L

5. Hallar el módulo de la resultante para los

vectores mostrados

a) 60cm

b) 70cm

c) 80cm

d) 90cm

e) 1m

6. Determine la resultante en base al conjunto

de vectores mostrados si : R=p-q+m-d+s

a) 2(m-q)

b) 3(m-q)

c) 4(m-q)

d) 5(m-q)

e) NA

7. Si 3C Hallar el módulo de la resultante

si:

R =A – B +2C – 2D

a) 1.5

b) 7

c) 9

d) 11

e)13

8. Determine el módulo del vector resultante de

los vectores mostrados si se sabe que :

AB =2AC =20cm (AB es el diámetro de la

circunferencia.

a) 14.6cm

b) 24,6

c) 34,6

d) 44.6

e) 54.6

9. Hallar el vector “X” en función de

A y B

a) A+B

2

b) A+B

c) 2A - B

d) 3B+A/3

e) A + 2B

D

C

BA

30º

BA 30º

60º

C

B

A

X

84

B

A

X

2m

m

A

B

X

M

N

A

G

2

2 5

a

bc

d

e

G

A

B

X

M

10. Determine “X” en función de A y B

a) 2A-B

3

b) 2B-A

3

c) B-2A

3

d) 2A-B

2

e) A-2B/2

11. Hallar la resultante en función de “X” si se

tiene un cuadrado de lado L.

a) X(1+ 2)

b) X(1- 3)

c) 2X(A - B)

d) X(2 A- 3B)

e) NA

12. Expresar “x” en función de A y B.

a) (A + B)/3

b) 2/3 (A + B)

c) 2( A +B)

d) A – B

e) 3/2 (A + B

13. En el triángulo G es el baricentro Expresar la

resultante en función del vector “A”

a) 5A/2

b) 3A/2

c) 2A

d) 2A/3

e) 2A/5

14. Hallar “X” en función de A y B si M es punto

medio de su respectivo lado

a) 2A-B

6

b) B-A

3

c) B-2A

3

d) 2A-B

3

e) A -3B

15. En una experiencia de fuerzas los vectores

quedan según la figura mostrada. Hallar el

módulo de la resultante

a) 6

b) 9

c) 7

d) 3 3

e) 53

16. Hallar el módulo del vector resultante

Si: b = 3 d = 4 e = 5

a) 34

b) 29

c) 19

d) 14

e) 8

17. Si a = b = 2N que valor debe tener el ángulo

para que la resultante tenga como módulo

4N

a) 30°

b) 60°

c) 45°

d) 120°

e) 150°

18. En el gráfico mostrado determine el valor de

la resultante.

a) 0

b) 5

c) 12

d) 13

e) 17

B

AX

60º

a

b

c

d

45º

e

1

3

7 5

85

a

3

2

4

z

y

x

A B

A B C D E F G

M L K J H

19. Determine el módulo del vector resultante de

los vectores mostrados.

a) 2a

b) 3a

c) 4a

d) 5a

e) 6a

20. Determine el módulo del vector resultante si

el lado del cuadrado tiene un valor “a” .

a) a

b)2a

c) 2a 2

d) 3a 3

e) 4a

21. En la figura encuentre BA

a) 2 13

b) 3 13

c) 4 13

d) 2

e) 3

22. Usando el sistema de ejes x, y, z encuentre el

vector unitario de “NM”.

2

z

y

x

4

6 N

M

a)2 -2 1

B - ; ;3 3 3

b) 1 -2 1

- ; ;B 3 3 3

c)2 -5 1

- ; ;B 3 3 3

d)2 -2 4

- ; ; B3 3 3

e) NA.

23. La figura muestra un cilindro recto de radio R

y altura H. Desde el centro de la base se

construyen 12 vectores que terminan en los

doce puntos A,B,C... equidistantes entre si de

la cara superior.

Determina el módulo de la resultante de estos

vectores.

a) 10H

b) 11H

c) 12H

d) 13H

e) 14H

24. Determina el módulo del vector, resultante del

sistema de vectores mostrado. el cubo tiene

una arista de longitud 1u.

a) 3 u

b) 2u

c) 5 u

d) 6 u

e) 4 u

25. Encontrar el módulo de la suma de los

siguientes vectores mostrados

sabiendo que el cubo es de lado L.

a) L 2

b) 2L 2

c) L 5

d) L

e) 3L

A

B

G

O

F E

D

C

26. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

u3A

A

50°

c

B

D

30°

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