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Lógica Computacional
Diego Silveira Costa Nascimento
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do [email protected]
25 de julho de 2016
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 101
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 3 / 101
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Motivações
O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocíniológico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em umadeterminada linguagem de programação.
A Lógica é apresentada como uma técnica eficiente para:a organização de conhecimentos em qualquer área;raciocinar corretamente sem esforço consciente;interpretar e analisar informações rapidamente;aumentar a competência linguística (oral e escrita);adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; edetectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários,etc.)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 4 / 101
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Lógica
DefiniçãoÉ a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las à pesquisa eà demonstração da verdade.
Deriva do Grego (logos); eSignifica:
palavra;pensamento;ideia;argumento;relato;razãológica; ouprincípio lógico.
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Origem da Lógica
A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.;Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica,elevando-a à categoria de ciência;Obra chamada Organon (Ferramenta para o correto pensar);Aristóteles preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir deconhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novosconhecimentos; eA partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica aformulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam àdescoberta de novas verdades.
Aristóteles Organon
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 6 / 101
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Argumento Lógico
Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento;As afirmações de um argumento são chamadas de proposições;Um argumento é um conjunto de proposições tal que se afirme queuma delas é derivada das demais;Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e asdemais, de premissas; eEm um argumento válido, as premissas são consideradas provasevidentes da verdade da conclusão.
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Exemplo de Argumento
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Princípios Lógicos
A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitemtodo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos dopensamento e do raciocínio. São eles:
Princípio da IdentidadeAfirma A = A e não pode ser B , o que é, é;Princípio da Não ContradiçãoA = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser suanegação, ou seja, o ser é, o não ser não é; ePrincípio do Terceiro ExcluídoAfirma que Ou A é x ou A é y , não existe uma terceira possibilidade.
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 10 / 101
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Proposição
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo;As proposições transmitem pensamentos; eAfirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito dedeterminados entes.
ExemplosA Lua é um satélite da Terra;Sócrates é um homem;Eu estudo Lógica; ouNão está chovendo.
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A Linguagem da Lógica Proposicional
Considere o conjunto de símbolos:A = {(, ),¬,∧,∨,→,↔, p, q, r , s, . . .}
A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional;As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); eO restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos);
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Letras Sentenciais
As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementaresou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejamtambém proposições.
Exemplosp = O céu é azul;Q = Eu estudo lógica;r = 2 + 2 = 4; ous = Sócrates é um homem.
ImportanteAs partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim,componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 13 / 101
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Conectivos Lógicos
As proposições compostas são obtidas combinando proposiçõessimples através de certos termos chamados conectivos;A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores:
Não (Negação), ¬ ;E (Conjunção), ∧;Ou (Disjunção), ∨;Se – então (Condicional), →;eSe e somente se (Bicondicional), ↔.
ExemplosNão está chovendo;Está chovendo e está ventando;Está chovendo ou está nublado;Se choveu, então está molhado; ouSerá aprovado se e somente se estudar.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 14 / 101
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Operador de Negação: ¬
A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógicaproposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação denegação resulta na sua contraditória.
Exemplop = Está chovendo.Ler-se ¬p, como: “Não está chovendo.”
ImportanteO fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo esob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessamesma proposição.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 15 / 101
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Tabela Verdade: ¬
Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; eClaramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão.
Exemplo
p ¬pV FF V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 16 / 101
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Operador de Conjunção: ∧
A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivasexpressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que ofato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q.
Exemplop = Está chovendo.q = Está ventando.Ler-se p ∧ q, como: “Está chovendo e está ventando.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 17 / 101
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Tabela Verdade: ∧
Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de pe q; eAs proposições p e q são chamadas fatores da expressão.
Exemplo
p q p∧qV V VV F FF V FF F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 18 / 101
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Operador de Disjunção: ∨
A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposiçõesdisjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula(p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente,pelo menos um deles ocorre.
Exemplop = Está nublado.q = Está chovendo.Ler-se p ∨ q, como: “Está nublado ou está chovendo.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 19 / 101
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Tabela Verdade: ∨
Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunçãoinclusiva de p e q; eAs proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.
Exemplo
p q p∨qV V VV F VF V VF F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 20 / 101
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Operador Condicional: →
A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional(p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garantenecessariamente a ocorrência do fato expresso por q.
Exemplop = Choveu.q = Está molhado.Ler-se p → q, como: “Se choveu, então está molhado.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 21 / 101
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Tabela Verdade: →
Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicionalde p e q;A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequenteda condicional; eA operação de condicionamento indica que o acontecimento de p éuma condição para que q aconteça.
Exemplo
p q p→qV V VV F FF V VF F V
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Operador Bicondicional: ↔
A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional(p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes,isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem.
Exemplop = Será aprovado.q = Estudar.Ler-se p ↔ q, como: “ Será aprovado, se e somente se estudar.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 23 / 101
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Tabela Verdade: ↔
Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicionalde p e q; eA operação de bicondicionamento indica que p é uma condição paraque q aconteça, e vice-versa.
Exemplo
p q p↔qV V VV F FF V FF F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 24 / 101
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Parênteses: (e)
A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deveao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade.
Exemplop = Estudar.q = Fazer a prova.r = Fazer o trabalho.s = Serei aprovado.Ler-se ((p ∧ q) ∨ r) → s, como:“ Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado.”
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 25 / 101
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 26 / 101
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Tabela-verdade de uma Proposição Composta
Dadas várias proposições simples p, q, r , . . ., podemos combiná-las pelosoperadores lógicos ∧,∨,→,↔ e construir proposições compostas:
ExemploP(p, q) = ¬p ∨ (p → q)Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ qR(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r))
Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicasfundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q;É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquerproposição composta; eA tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposiçãocomposta será verdadeira (V ) ou falsa (F ), admitindo-se que o seuvalor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples.
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Ordem de Precedência dos Operadores
1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando asoperações de negação, na ordem em que aparecerem;
2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em queaparecerem;
3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executandodesta vez as operações de condicionamento, na ordem em queaparecerem; e
4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de bicondicionamento, na ordem em queaparecerem.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 28 / 101
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Construindo a Tabela-verdade
Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos dasproposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência,calcular o valor lógico da expressão dada.
Expressão Proposicional CompostaP(p, q) = ¬(p ∧ ¬q)
Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duasproposições simples p e q. O total de linhas é igual a 2n, onde ncorresponde ao número de proposições simples.
Exemplo
p qV VV FF VF F
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Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Em seguida, forma-se a coluna para ¬q.
Exemplo
p q ¬qV V FV F VF V FF F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 30 / 101
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Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q.
Exemplo
p q ¬q p∧¬qV V F FV F V VF V F FF F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 31 / 101
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Construindo a Tabela-verdade (cont.)
Por fim, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposiçãocomposta ¬(p ∧ ¬q).
Exemplo
p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 32 / 101
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Tautologia
DefiniçãoTautologia é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .
As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ouproposições logicamente verdadeiras.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 33 / 101
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Tautologia: Demonstração I
Proposição¬(p ∧ ¬p)
Exemplo
p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p)V F F VF V F V
Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamenteverdadeira e falsa é sempre verdadeiro.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 34 / 101
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Tautologia: Demonstração II
Proposiçãop ∨ ¬p
Exemplo
p ¬p p∨¬pV F VF V V
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempreverdadeiro.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 35 / 101
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Contradição
DefiniçãoContradição é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .
As contradições são também denominadas proposições contraválidas ouproposições logicamente falsas.
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Contradição: Demonstração I
Proposiçãop ∧ ¬p
Exemplo
p ¬p p∧¬pV F FF V F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira efalsa é sempre falso.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 37 / 101
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Contradição: Demonstração II
Proposiçãop ↔ ¬p
Exemplo
p ¬p p↔ ¬pV F FF V F
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Contingência
DefiniçãoContingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nemcontradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ouproposições indeterminadas.
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Contingência: Demonstração I
Proposiçãop → ¬p
Exemplo
p ¬p p→ ¬pV F FF V V
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Contingência: Demonstração II
Proposiçãop ∨ q → p
Exemplo
p q p∨q p∨q → pV V V VV F V VF V V FF F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 41 / 101
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 42 / 101
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Implicação Lógica
DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) implica logicamente umaproposição Q(p, q, r , . . .), se Q(p, q, r , . . .) é verdadeiro todas as vezes emque P(p, q, r , . . .) é verdadeiro.
NotaçãoP(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .)
ImportanteEm particular, toda proposição implica uma tautologia e somente umacontradição implica uma contradição.
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Propriedades da Implicação Lógica
É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva (R) e transitiva (T).
Exemplo(R) P(p, q, r , . . .) ⇒ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .) e
Q(p, q, r , . . .) ⇒ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .) ⇒ R(p, q, r , . . .)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 44 / 101
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Demonstração de Implicação Lógica I
Proposiçõesp ∧ q, p ∨ q e p ↔ q
Exemplo
p q p∧q p∨q p↔qV V V V VV F F V FF V F V FF F F F V
A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, asproposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:
p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 45 / 101
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Demonstração de Implicação Lógica II
Proposiçõesp ↔ q, p → q e q → p
Exemplo
p q p↔q p→q q→pV V V V VV F F F VF V F V FF F V V V
A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas,proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 46 / 101
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Tautologias e Implicação Lógica
TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) implica a proposição Q(p, q, r , . . .) isto é:P(p, q, r , . . .) ⇒ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a condicional:P(p, q, r , . . .) → Q(p, q, r , . . .)é tautológica.
ImportanteOs símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicionalP(p, q, r , . . .) → Q(p, q, r , . . .) é tautológica).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 47 / 101
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Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica
Condicional(p → q) ∧ p → q
Exemplo
p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → qV V V V VV F F F VF V F F VF F V F V
Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 48 / 101
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Equivalência Lógica
DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) é logicamente equivalente a umaproposição Q(p, q, r , . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposiçõessão idênticas.
NotaçãoP(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .)
ImportanteEm particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .) são ambastautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 49 / 101
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Propriedades da Equivalência Lógica
É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é,simbolicamente:
Exemplo(R) P(p, q, r , . . .) ⇔ P(p, q, r , . . .)(S) Se P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .), então
Q(p, q, r , . . .) ⇔ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .) e
Q(p, q, r , . . .) ⇔ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .) ⇔ R(p, q, r , . . .)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 50 / 101
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Demonstração de Equivalência Lógica I
Proposições¬p → p e p
Exemplo
p ¬p ¬p→pV F VF V F
A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é:
¬p → p ⇔ p
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 51 / 101
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Demonstração de Equivalência Lógica II
Proposiçõesp → p ∧ q e p → q
Exemplo
p q p∧q p→p∧q p→qV V V V VV F F F FF V F V VF F F V V
A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é:
p → p ∧ q ⇔ p → q
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 52 / 101
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Tautologias e Equivalência Lógica
TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .), isto é:P(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a bicondicional:P(p, q, r , . . .) ↔ Q(p, q, r , . . .)é tautológica.
ImportanteOs símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicionalP(p, q, r , . . .) ⇔ Q(p, q, r , . . .) é tautológica).
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 53 / 101
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Demonstração de Equivalência Lógica
Proposições(p ∧ ¬q → c) e (p → q)
Exemplo
p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q)V V F F V V VV F F V F F VF V F F V V VF F F F V V V...
......
......
......
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 54 / 101
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 55 / 101
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Dedução
DefiniçãoDado um argumento P1,P2 e P3 → Q chama-se demonstração oudedução de Q a partir das premissas P1,P2, . . .Pn, a sequência finita deproposições X1,X2, . . .Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorrelogicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que aúltima proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado.
Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimentode dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido.
O método dedutivo é mais eficente para demonstração de implicações eequivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade.
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Álgebra das Proposições
Propriedades da Conjunção;Propriedades da Disjunção;Propriedades da Conjunção e Disjunção;Negação da Condicional; eNegação da Bicondicional.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 57 / 101
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Propriedades da Conjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.
Idempotentep ∧ p ⇔ p
Exemplo
p p∧p p∧p↔pV V VF F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 58 / 101
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Propriedades da Conjunção (cont.)
Comutativap ∧ q ⇔ q ∧ p
Exemplo
p q p∧q q∧p p∧q↔q∧pV V V V VV F F F VF V F F VF F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 59 / 101
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Propriedades da Conjunção (cont.)
Associativa(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Exemplo
p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F
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Propriedades da Conjunção (cont.)
Identidadep ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c
Exemplo
p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔cV V F V F V VF V F F F V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 61 / 101
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Propriedades da Disjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.
Idempotentep ∨ p ⇔ p
Exemplo
p p∨p p∨p↔pV V VF F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 62 / 101
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Propriedades da Disjunção (cont.)
Comutativap ∨ q ⇔ q ∨ p
Exemplo
p q p∨q q∨p p∨q↔q∨pV V V V VV F V V VF V V V VF F F F V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 63 / 101
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Propriedades da Disjunção (cont.)
Associativa(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Exemplo
p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F V V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V F V V VF F F F F F F
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Propriedades da Disjunção (cont.)
Identidadep ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p
Exemplo
p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔pV V F V V V VF V F V F V V
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Propriedades da Conjunção e Disjunção
Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar aspropriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan.
Distributivap ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Exemplo
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r)V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F FF V V V F F F FF V F V F F F FF F V V F F F FF F F F F F F F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 66 / 101
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Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)
Absorçãop ∧ (p ∨ q) ⇔ p e p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Exemplo
p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q) ↔pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V
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Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)
Regras De Morgan (1806–1871)¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Exemplo
p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 68 / 101
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Negação da Condicional
DemonstraçãoComo p → q ⇔ ¬p ∨ q, temos:
¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ ¬¬p ∧ ¬qou seja:
¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q
Exemplo
p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬qV V V F F FV F F V V VF V V F F FF F V F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 69 / 101
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Negação da Bicondicional
DemonstraçãoComo p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos:
p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)e portanto:
¬(p ↔ q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) ⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p)ou seja:
¬(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Exemplo
p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q)V V F F F F F V FV F F V V F V F VF V V F F V V F VF F V V F F F V F
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 70 / 101
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Demonstração da Implicação I
Implicaçãop ∧ q ⇒ p
Exemplop ∧ q → p ⇔¬(p ∧ q) ∨ p ⇔(¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔(¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔Tautologia ∨¬q ⇔Tautologia
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 71 / 101
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Demonstração da Implicação II
Implicação(p → q) ∧ p ⇒ q
Exemplo((p → q) ∧ p) → q ⇔¬((p → q) ∧ p) ∨ q ⇔(¬(p → q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔(¬(¬p ∨ q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((¬¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔((¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔(Tautologia ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔(¬p ∨ ¬q) ∨ q ⇔¬p ∨ (¬q ∨ q) ⇔¬p ∨ Tautologia ⇔ Tautologia
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Demonstração da Equivalência I
Equivalênciap → q ⇔ p ∨ q → q
Exemplop ∨ q → q ⇔¬(p ∨ q) ∨ q ⇔(¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ⇔(¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔p → q
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Demonstração da Equivalência II
Equivalência(p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p
Exemplo(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ⇔¬p ∨ (q ∧ ¬q) ⇔¬p∨ Contradição ⇔¬p
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
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Inferência
DefiniçãoÉ o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de umaou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo.
Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar avalidade de um dado argumento P1,P2, . . . ,Pn ` Q consiste em deduzira conclusão Q a partir das premissas P1,P2, . . . ,Pn mediante o uso decertas regras de inferência.
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Regras de Inferência
Regra de Adição (AD);Regra de Simplificação (SIMP);Regra da Conjunção (CONJ);Regra de Absorção (ABS);Regra Modus ponens (MP);Regra Modus tollens (MT);Regra do Silogismo disjuntivo (SD);Regra do Silogismo hipotético (SH);Regra do Dilema construtivo (DC); eRegra do Dilema destrutivo (DD).
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Regra da Adição
DefiniçãoDada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção comqualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r , etc.
Exemplo
pp ∨ q
pq ∨ p
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Regra de Simplificação
DefiniçãoDa conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma dasproposições, p ou q.
Exemplo
p ∧ qp
p ∧ qq
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 79 / 101
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Regra da Conjunção
DefiniçãoPermite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a suaconjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão).
Exemplo
pqp ∧ q
pqq ∧ p
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Regra da Absorção
DefiniçãoEstá regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, deladeduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedentep e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições queintegram a premissa, isto é, p → p ∧ q.
Exemplo
p → qp → (p ∧ q)
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Regra Modus Ponens
DefiniçãoTambém é chamada Regra de Separação e permite deduzir q(conclusão) a partir de p → q e p (premissas).
Exemplo
p → qpq
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 82 / 101
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Regra Modus Tollens
DefiniçãoPermite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação doconsequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente).
Exemplo
p → q¬q¬p
p → ¬qq¬p
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Regra do Silogismo Disjuntivo
DefiniçãoPermite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p(ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p).
Exemplo
p ∨ q¬pq
p ∨ q¬qp
¬p ∨ qpq
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Regra do Silogismo Hipotético
DefiniçãoEsta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas),tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda,deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente econsequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e oconsequente da outra premissa q → r .
Exemplo
p → qq → rp → r
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Regra do Dilema Construtivo
DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seusantecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destascondicionais.
Exemplo
p → qr → sp ∨ rq ∨ s
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 86 / 101
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Regra do Dilema Destrutivo
DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negaçãodos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dosantecedentes destas condicionais.
Exemplo
p → qr → s¬q ∨ ¬s¬p ∨ ¬r
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 87 / 101
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Validade Mediante Regras de Inferência I
Argumentop → q, p ∧ r ` q
Exemplo
(1) p → q(2) p ∧ r(3) p 2 – SIMP(4) q 1,3 – MP
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 88 / 101
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Validade Mediante Regras de Inferência II
Argumentop ∧ q, p ∨ r → s ` p ∧ s
Exemplo
(1) p ∧ q(2) p ∨ r → s(3) p 1 – SIMP(4) p ∨ r 3 – AD(5) s 2,4 – MP(6) p ∧ s 3,5 – CONJ
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 89 / 101
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Ementa do Curso
1 Introdução
2 Lógica Proposicional
3 Construção de Tabelas-verdade
4 Implicação e Equivalência Lógica
5 Método Dedutivo
6 Inferência Lógica
7 Lógica de Predicados
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Termo e Predicado
Na Lógica Proposicional as interpretações não dependem da estruturainterna de suas proposições, mas unicamente no modo como secombinam;Já lógica de Predicados, dada uma proposição simples qualquer, podedestacar dela dois entes:
Termo; ePredicado.
O termo pode ser entendido como o sujeito da sentença declarativa; eO predicado é uma declaração a respeito do termo.
ExemplosSócrates é mortalTermo: SócratesPredicado: é mortal
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Função Proposicional
Seja T um conjunto de termos, uma função proposicional em T é umpredicado p associado a um termo x , p(x);A expressão p(a) é verdadeira só e somente se a ∈ T ; eNas funções proposicionais, os termos são variáveis, enquanto que asproposições são constantes.
ExemplosSeja o conjunto Z = {1, 2, 3, 4, . . . }, são funções proposicionais:par(x)primo(x)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 92 / 101
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Quantificadores
DefiniçãoSão operadores lógicos que restringem as funções proposicionais, de formaque elas se refiram a todo um conjunto de termos T , ou parte dele.
Há dois tipos de quantificadores:Universal: ∀; eExistencial: ∃.
Exemplos∀x(matematica(x)), ler-se: Tudo é matemática.¬∃x(homem(x) ∧ infiel(x)), ler-se: Não existe homem infiel.∀x(homem(x) → mortal(x)), ler-se: Todos os homens são mortais.
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 93 / 101
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Negação dos Quantificadores
Se usarmos a para representar um predicado associado aos termos de umconjunto T , as seguintes equivalências se verificam:
¬∀x(p(a)) ⇔ ∃x¬(p(a))¬∃x(p(a)) ⇔ ∀x¬(p(a)).
ImportanteAs equivalências já estudada no cálculo proposicional podem ser usadas nasfunções proposicionais.
ExemploNão existe baleia que seja réptil
¬∃x(baleia(x) ∧ reptil(x)) ⇔ ∀x¬(baleia(x) ∧ reptil(x)) ⇔∀x(¬baleia(x) ∨ ¬reptil(x)) ⇔ ∀x(baleia(x) → ¬reptil(x))
Todas as baleias não são répteis.
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Validade de Argumentos com Quantificadores
É possível provar a validade de argumentos que envolva proposiçõesquantificadas;Para isso, é necessário transformar os argumentos com quantificadoresem argumentos não quantificados, por meio de exemplificações;Em seguida, aplicar as regras de inferências lógicas já estudadas; ePor fim, uma vez concluída a prova de validade do argumento, usa-sea generalização para obter a conclusão do argumento quantificado.
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Exemplificação Existencial
DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se existe umtermo associado ao predicado p, estipulamos que tal termo seja c .
Exemplo∃x(p(x))
p(c)
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Exemplificação Universal
DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se todos ostermos são associado ao predicado p, escolhemos um deles, c , um termoconstante.
Exemplo∀x(p(x))
p(c)
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 97 / 101
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Generalização Existencial
DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se concluímosque um termo c constante está associado ao predicado p, então existe umtermo associado a p.
Exemplop(c)
∃x(p(x))
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 98 / 101
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Generalização Universal
DefiniçãoDado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se o termo ctomado na exemplificação pode ser qualquer um, ou seja, pode ser tomadoaleatoriamente, então qualquer termo está associado ao predicado p.
Exemplop(c)
∀x(p(x))
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 99 / 101
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Validade Mediante Regras de Inferência I
ArgumentoTodos os jogadores são atletas.Todos os atletas sofrem contusões.Logo, todos os jogadores sofrem contusões.
Exemplo
(1) ∀x(jogador(x) → atleta(x))(2) ∀x(Atleta(x) → contusao(x))(3) jogador(Zico) → atleta(Zico) 1 – EU(4) Atleta(Zico) → contusao(Zico) 2 – EU(5) jogador(Zico) → contusao(Zico) 3,4 – SH(6) ∀x(jogador(x) → contusao(x)) 5 – GU
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 100 / 101
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Validade Mediante Regras de Inferência II
ArgumentoTodos que estavam doentes foram medicados.Alguns não foram medicados.Logo, nem todos estavam doentes.
Exemplo
(1) ∀x(doente(x) → medicado(x))(2) ∃x¬(medicado(x))(3) doente(Pedro) → medicado(Pedro) 1 – EU(4) ¬medicado(Pedro) 2 – EE(5) ¬doente(Pedro) 3,4 – MT(6) ¬∀x(doente(x))
Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 101 / 101