levensduuronderzoek van industriële produkten

11
BEDRIJFSSECTIE Levensduuronderzoek van industriele produkten *) door I. H. Enters **) UDC 658.56 Het levensduuronderzoek is een onderdeel van de leer van de functionele betrouwbaarheid, van de Reliability Theory. Het is een onderwerp dat in een tijd van toenemende mechanisatie steeds belangrijker wordt. We omringen ons steeds meer met apparaturen die het op onverwachte momenten niet meer doen, soms is dat alleen maar hinderlijk en soms is dat van vitaal belang. De functio- nele betrouwbaarheid van de afgeleverde produkten is een belangrijk criterium ter beoordeling van de kwalitatieve prestaties van een industriele onderneming. Er wordt daarom aan dit onderwerp veel aandacht besteed, de literatuur hier- over is zeer omvangrijk en de ontwikkeling daarin is bijzonder snel. Slechts enkele aspecten van de analyse van levensduurgegevens zullen hier worden behandeld. Wij definieren het begrip levensduur voorlopig, als de tijd die verloopt vanaf het ogenblik dat een onderdeel of een apparaat door de fa- bricage is vrij gegeven tot het moment dat een eerste storing het verder functio- neren, eventueel tijdelijk verhindert. Het eerste probleem dat zich dan voordoet, wanneer wij proberen een dergelijke definitie te hanteren, is: wat is een storing. Dit is in de praktijk een belangrijk definitieprobleem. Deze storingen kunnen zeer verschillend zijn van aard en van consequentie, zij varieren van het wei- geren van brandstofcellen in een ruimteraket via het verbranden van het anker van het stofzuigermotor, tot het breken van mijn schoenveter op een moment dat ik toch al zo'n haast heb. De kansverdeliog van de levensduur Deze levensduren zijn niet voor alle gelijksoortige objecten gelijk. De uit- komsten zullen een kansverdeling hebben. En de vraag is nu wat wij over zulk een kansverdeling van levensduren kunnen zeggen. Ter vergelijking bezien wij eerst de sterftekansen, niet van industriele produkten, maar van mensen. Fig. 1 geeft de sterftekansen van Nederlandse mannen in het jaar 1964. Karakteristiek voor het verloop van de sterftefrequentie bij het stijgen van de leeftijd is dat twee toppen kunnen worden onderscheiden : een linkertop die veroorzaakt wordt door de zuigelingensterfte en een rechtertop door de ouderdomssterfte. Daartussen is er een lange periode waarin die sterftefrequentie vrij constant blijft. Bij veel industriele produkten wordt een dergelijk verloop waargenomen. We onderscheiden daar relatief hoge uitval tijdens de inloopperiode, lage uitval *) Lezing gehouden op de Statistische Day, 1966. **) Van de Bunt & Co, Amsterdam. Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 345

Upload: j-h-enters

Post on 01-Oct-2016

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Levensduuronderzoek van industriële produkten

BEDRIJFSSECTIE

Levensduuronderzoek van industriele produkten *)

door I. H. Enters **) UDC 658.56

Het levensduuronderzoek is een onderdeel van de leer van de functionele betrouwbaarheid, van de Reliability Theory. Het is een onderwerp dat in een tijd van toenemende mechanisatie steeds belangrijker wordt. We omringen ons steeds meer met apparaturen die het op onverwachte momenten niet meer doen, soms is dat alleen maar hinderlijk en soms is dat van vitaal belang. De functio- nele betrouwbaarheid van de afgeleverde produkten is een belangrijk criterium ter beoordeling van de kwalitatieve prestaties van een industriele onderneming. Er wordt daarom aan dit onderwerp veel aandacht besteed, de literatuur hier- over is zeer omvangrijk en de ontwikkeling daarin is bijzonder snel.

Slechts enkele aspecten van de analyse van levensduurgegevens zullen hier worden behandeld. Wij definieren het begrip levensduur voorlopig, als de tijd die verloopt vanaf het ogenblik dat een onderdeel of een apparaat door de fa- bricage is vrij gegeven tot het moment dat een eerste storing het verder functio- neren, eventueel tijdelijk verhindert. Het eerste probleem dat zich dan voordoet, wanneer wij proberen een dergelijke definitie te hanteren, is: wat is een storing. Dit is in de praktijk een belangrijk definitieprobleem. Deze storingen kunnen zeer verschillend zijn van aard en van consequentie, zij varieren van het wei- geren van brandstofcellen in een ruimteraket via het verbranden van het anker van het stofzuigermotor, tot het breken van mijn schoenveter op een moment dat ik toch al zo'n haast heb.

De kansverdeliog van de levensduur Deze levensduren zijn niet voor alle gelijksoortige objecten gelijk. De uit-

komsten zullen een kansverdeling hebben. En de vraag is nu wat wij over zulk een kansverdeling van levensduren kunnen zeggen. Ter vergelijking bezien wij eerst de sterftekansen, niet van industriele produkten, maar van mensen. Fig. 1 geeft de sterftekansen van Nederlandse mannen in het jaar 1964. Karakteristiek voor het verloop van de sterftefrequentie bij het stijgen van de leeftijd is dat twee toppen kunnen worden onderscheiden : een linkertop die veroorzaakt wordt door de zuigelingensterfte en een rechtertop door de ouderdomssterfte.

Daartussen is er een lange periode waarin die sterftefrequentie vrij constant blijft. Bij veel industriele produkten wordt een dergelijk verloop waargenomen. We onderscheiden daar relatief hoge uitval tijdens de inloopperiode, lage uitval

*) Lezing gehouden op de Statistische Day, 1966. **) Van de Bunt & Co, Amsterdam.

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 345

Page 2: Levensduuronderzoek van industriële produkten

50

z

40

W

z z 4

0

0

0

- 20

a 3

0

(k

Ll

ul 10

t Lk W

+ *o

ST

ER

FT

EC

IJFE

RS

N

ED

ER

LA

ND

SE

M

AN

NE

N

IN I

96

4

-4 P

L

a

bn ;L'

0

CJ

Q

.- id

.- - x L

EE

FT

IJ D

SK

LA

SS

E

Page 3: Levensduuronderzoek van industriële produkten

tijdens wat men zou kunnen noemen de bedrijfsperiode en sterk stijgende uitval tijdens de vervakeriode.

De inloopperiode De uitval tijdens de inloopperiode ontstaat door fabricagegebreken. Het is een

opgave van de kwaliteitscontrole in industriele bedrijven, deze uitval op te spo- ren. Het is een beleidsprobleem ervoor te zorgen dat deze fouten aan het licht worden gebracht in het eigen bedrijf; door inlopen, proefdraaien, proefbranden, want indien deze uitval buiten de fabriek aan het licht komt, zijn de erdoor ver- oorzaakte kosten aanzienlijk veel hoger dan wanneer herstel in de fabriek kan plaatshebben.

De kansverdeling in deze inloopperiode is vaak moeilijk voorspelbaar, men kan retrospectief de frequentieverdeling van de uitval naar de leeftijd vaststellen maar in hoeverre dat een voorspelling betekent van de levensduurverdeling der toekomstige produktie hangt af van de mate waarin de kwaliteit in de fabicage wordt beheerst. Het niet beheersen van de kwaliteit van de produktie komtjuist vaak tot uiting in een plotselinge stijging van de uitval in de inloopperiode. Het is vervolgens bijzonder belangrijk voor de ondernemer een inzicht te krijgen in de duur van de inloopperiode. Het opsporen van deze fouten die tijdens zo'n inloopperiode aan het licht kunnen komen, is een kostbare aangelegenheid, in- dien dit moet gebeuren door het beproeven in het bedrijf gedurende de tijd dat de inloopperiode geacht wordt te duren. Het legt beslag op kostbare duurproef- installaties en het is dus zaak deze beproeving niet langer te laten voortduren dan noodzakelijk is.

De bedrijfsperiode Wij zullen in het volgende in het bijzonder aandacht besteden aan de uitval

tijdens de bedrijfsperiode. Karakteristiek voor de periode is het vrijwel constant blijven van de uitvalkans. Bij de beschouwingen over deze kansverdeling spelen twee samenhangende grootheden een rol.

Allereerst de uitvalkans I, die in de Engelse literatuurfailure rare wordt ge- noemd. Het is dus de fractie die per tijdseenheid uitvalt. Als van 100 televisie- ontvangers er 10 in de eerste 1.OOO gebruiksuren uitvallen dan is I = lo4 (per uur).

Een andere grootheid die een rol speelt bij de beschouwingen over dit onder- werp, is de gemiddelde levensduur 6 in de Engelse literatuur we1 aangeduid als mean life. Deze gemiddelde levensduur is de reciproke van de uitvalkans. Indien de ontvangtoestellen 1.OOO uur per jaar gebruikt worden en de uitvalkans is zoals in het bovengenoemde voorbeeld, 10% uitval per 1.000 uur, dan is de gemiddelde levensduur gelijk aan l/A = 10.000 uur.

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 347

Page 4: Levensduuronderzoek van industriële produkten

Indien, zoals werd verondersteld, de uitvalkans gedurende de bedrijfsperiode constant blijft, dan zal het aantal uitvallers c in een periode van tijdslengte f een poissonverdeling vertonen :

P ( C ) = e-" . ( t ~ ) ' / c !

p ( t 2 to) = e-f'e - - e - ' A

De levensduur van de apparaten heeft dan een negatief exponentiele verdeling :

Dit is een zeer eenvoudige functie: slechts t t n parameter, de gemiddelde levensduur 0 bepaalt de kans op uitval in de periode f. Deze levensduurverde- ling is voor het gegeven voorbeeld in fig. 2 weergegeven.

1 LEVENSDUURVERDELI NG VOGR 6 = IG4

a 0 In Z \ U I \

0 L r p l 'A 10' 10 lo3 lo4 105

U R E N B E D R I J F S T I J D ( t i + Figuur 2.

De kans op storingsnij functioneren Deze verdeling is op het eerste gezicht verrassend. Indien de gemiddelde

levensduur van een apparaat 10.000 uur is en de gebruikstijd per jaar is 1.000 uur en wanneer men een garantieperiode heeft van een jaar dan gaat van deze cijfers de suggestie uit dat de uitval in de garantieperiode verwaarloosbaar zal zijn. Dat is niet juist, wij stelden reeds dat in dit geval in het eerste jiiar 10% zal uitvallen. Verder is de verdeling zeer scheef: slechts 37 % van de apparaten leeft langer dan de gemiddelde levensduur.

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 348

Page 5: Levensduuronderzoek van industriële produkten

Het wordt nog merkwaardiger, wanneer we ons gaan afvragen welke garan- ties in zulke situaties voor een storingsvrij verloop gegeven kunnen worden. Indien de fabrikant wil garanderen dat een apparaat, behoudens een kans 1 op n, gedurende een bepaalde periode to storingsvrij zal functioneren, dan moet gel- den dat 0 = nt, . Indien men dus wil garanderen dat een apparaat, behoudens een kans 1 op 100 gedurende 1 uur storingsvrij zal functioneren dan moeten deze apparaten ecn gemiddelde levensduur van 100 uur hebben. Het is deze, op het eerste gczicht verrassende, samenhang die maakt dat de gemiddelde levens- duur 0 , hoewel het de essentiele parameter is voor de kansverdeling van de levensduur, toch niet de meest doelmatige parameter is ter voorlichting van de bedrijfsleiding. Het te verwachten uitvalpercentage gedurende een bepaalde periode, dat onmiddellijk uit 0 kan worden afgeleid is voor deze bedrijfsleiding als regel een veel sprekender grootheid. Indien bij onderzoek blijkt dat 8 = 600 uur en de gebruiksduur in de garantieperiode is 1.000 uur, dan volgt hieruit dat 80 van de apparaten gedurende de garantieperiode zal uitvallen.

Levensduurproeven

Voor dergelijke berekeningen moet de gemiddelde levensduur 0 worden ge- schat. Dit kan in de praktijk op twee manieren. Wij kunnen de gemiddelde levensduur berekenen uit gegevens die bekend worden over afgeleverde pro- dukten. (bijvoorbeeld uit service- of reparatiecijfers, uit bestellingen van rem- placeonderdelen.) Men kan ook proberen de gemiddelde levensduur vast te stellen door het uitvoeren van duurproeven onder gecontroleerde omstandig- heden. Dit is een belangrijk praktisch vraagstuk. De gegevens die uit het gebruik in de praktijksituatie beschikbaar komen zijn vaak onbetrouwbaaren onvolledig. Het stellen van de diagnose ,,storing” geeft buiten de fabriek door gebrek aan deskundigheid vaak grote moeilijkheden. Daar staat tegenover dat de situatie waarin het produkt in de praktijk ,,wordt beproefd” per definitie realistischer is, dan bij beproeving in een duurproefinstallatie.

Het onderzoek op exponentialiteit

De conclusies die in het voorafgaande werden getrokken zijn gebaseerd op de veronderstelling dat de levensduurverdeling in de ,,bedrijfsperiode” exponen- tieel is. Dat wil zeggen dat de uitvalkans gedurende de bedrijfsperiode constant blijft. Een belangrijk onderdeel van het levensduuronderzoek is het onderzoek op exponentialiteit, dus van het gelijk blijven van deze kansen. Enkele methoden die daarbij gebruikt kunnen worden zullen worden aangeduid.

Als eerste verkenning, kan een grafische methode worden toegepast. Stel dat 30 exemplaren van een bepaald produkt in duurproef gezet worden en dat de

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 349

Page 6: Levensduuronderzoek van industriële produkten

eerste 20 exemplaren bezwckeii zijn na het aantal wen dat in kolom 2 van tabel 1 is weergegeven.

TABEL I

Levensduien van 20 bezweken exemplaren uit een proef van n = 30 exemplaren.

Exemplaar numnier = i

1 2 3 4 5

6 7 8 9

10

I I 12 13 14 15

16 17 18 19 20

Levensd u u r in uren

(2) --

16 18 23 26 27

34 5 5 57 67 74

77 95

120 121 I29

131 144 I57 I95 I98

n + l - i

(3) -

30 29 28 27 26

25 24 23 22 21

20 19 18 17 16

15 14 13 12 I I

I .03 1.07 1 . 1 1 1.15 1.19

I .24 I .29 1.35 1.41 I .48

I .55 1.63 1.72 I .83 1.94

2.06 2.22 2.38 2.58 2.82

Op enkel logaritmisch papier worden nu tegeii elkaar uitgezet: de waargenomen levensduur (langs de lineaire as) en de rangordegrootheid (n + I ) / (n + I - i) langs de logaritmische as. Indien de levensduren exponentieel verdeeld zijn, d e n deze punten bij benadering op een rechte moeten liggen die door de oor- sprong gaat. (fig. 3) Voor grotere aantallen waarnemingen kan de bekende ,,f-test of goodness of fit” van Pearson worden toegepast. Bij het toepassen van de X2-toets wordt het aantal uitvallers in een bepaald tijdsinterval vergeleken met het aantal dat volgens de exponentiele verdeling in dit interval werd ver- wacht. Men kieze hierbij de klasse-intervallen zo dat het aantal waarnemingen in iedere klasse ongeveer gelijk wordt. Men werkt dus met ongelijke klasse- breedten die men zo kiest dat de aantallen waarnemingen in de klassen ongeveer

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 350

Page 7: Levensduuronderzoek van industriële produkten

EXPONENT1 ELE LEVENSDUURVERDELING

3.0

2.0

T 1.5 L- 2 1 . 0 0

9’

1 I

0 20 40 6 0 80 I00 120 I40 160 180 200

leen s duur t - Figuur 3.

gelijk zijn. Kleine aantallen waarnemingen in een klasse zijn geen bezwaar: de X2-methode is voor de toetsing van exponentialiteit exact ook voor kleine aan- tallen waarnemingen. Er bestaat nog een reeks andere methoden voor het toet- sen van verschillende mogelijke afwijkingen tussen de waargenomen levens- duurverdeling en de exponentiele verdeling. We onderzoeken dan in feite steeds of de uitvalkans gedurende de gehele beschouwde periode constant is gebleven. Het is, zoals reeds werd opgemerkt voor een industrie belangrijk de verhoogde uitval die in de inloopperiode ontstaat binnen het bedrijf te houden. Het is daar- om belangrij k, levensduurgegevens te onderzoeken op de aanwezigheid van kleine uitbijters. In zo’n geval zijn er dan relatief veel produkten met een lage levensduur. Dit verschijnsel zou erop kunnen wijzen dat de inloopperiode te kort werd gekozen. Voor het onderzoek naar kleine uitbijters zijn enkele toetsen beschikbaar die gebaseerd zijn op de F-verdeling.

Over het a1 dan niet exponentieel verdeeld zijn van de levensduren van in- dustriele produkten is niet veel gepubliceerd. Bedrijven publiceren resultaten van dergelijke onderzoekingen aan hun produkten niet gemakkelijk. DAVIS [l] geeft enkele cijfers.

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 351

Page 8: Levensduuronderzoek van industriële produkten

Is er een minimum levensduur? Een ander probleem samenhangend met de exponentiele verdeling is de

mogelijkheid dat de produkten een minimum levensduur hebben > 0 hebben. Uitval kan dan pas gaan optreden na het verstrijken van een periode ter lengtc van A . De exponentiele verdeling heeft dan de vorm:

p(1 2 t o ) = e- ( ‘ -”) ’@

Een dergelijke verdeling uitgezet o p de bovenbeschreven wijze op loga- ritmisch papier, snijdt een stuk ter lengte A van de X-as af. Met deze methode kan men een eerste indruk krijgen van het eventueel bestaan van een minimum levensduur. Het eventueel bestaan van een minimum levensduur kan worden onderzocht met een toets die eveneens gebaseerd is op de F-verdeling. Bij het uitvoeren van levensduuronderzoek is het belangrijk de gegevens niet te groeperen. De levensduur moet dus precies worden waargenomen en niet a priori in klassen worden ingedeeld. Bij het levensduuronderzoek wordt vaak gewerkt met rangordemethoden en gegevens die in klassen zijn ingedeeld kunnen dan, zoals men gemakkelijk kan inzien, niet zonder additionele problemen ver- werkt worden. Er ontstaat n u vaak een praktisch probleem omdat deze aan- wijzing inhoudt dat men hetzij door continue observatie, hetzij door het aan- brengen van telwerken, klokken of dergelijke moet proberen de levensduur of het moment van het optreden van de storing, precies vast te leggen.

Het schatten van de gemiddelde levensduur Het is belangrij k cen schatting van de geniiddelde levensduur te kunnen ma-

ken voordat alle exemplaren bezweken zijn. Dit is nodig omdat de verdeling zeer scheef is. Het kan dus zeer lang duren voordat alle exemplaren bezweken zijn. De beschikbare schattings- en toetsingsmethoden kunnen worden toege- past op de uitkomsten van r bezweken, uit een totaal van n geobserveerde exemplaren. Dat is een tijds- en meestal ook een kostenbesparing.

Indien van n exemplaren die in duurproef werden gezet r exemplaren zijn bezweken na achtereenvolgens ti uur dan is de beste schatting van de gemiddelde levensduur :

In woorden: de beste schatting van de gemiddelde levensduur in uren is gelijk aan: de som van de waargenomen levensduren gedeeld door het aantal bezwe- ken exemplaren. Met behulp van deze formule kan telkens na elk bezweken exemplaar een schatting van de gemiddelde levensduur gemaakt worden. Deze

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 352

Page 9: Levensduuronderzoek van industriële produkten

schatting zal uiteraard betrouwbaarder worden naarmate de proef langer wordt voortgezet dus naarmate r groter wordt.

Betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde levensduur

grens worden vastgesteld als volgt : Voor de schatting van de gemiddelde levensduur kan een onder- en een boven-

eonderprens = 2re/x:rs '05

ebovengrenc = 2reIx:r. ' 9 5

Dit (90 betrouwbaarheidsinterval kan dus op een eenvoudige wijze berekend worden met behulp van een tabel van de X2-verdeling voor 2r vrijheidsgraden.

In fig. 4 werd dit (asynimetrische) betrouwbaarheidsinterval grafisch weer-

19.5

0 -

BETROUWBAABHEIDSINTERVAL VOOR DE GEM. LEVEMSDWR 8

I I I I I I I I I I

I 2 3 4 5 6 7 8 9 I0

1

A A N T A L U I T V A L L E R S /*c __j

Figuur 4.

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 353

Page 10: Levensduuronderzoek van industriële produkten

gegeven. De schatting van 8 is, zoals te verwachten was, voor lage waarden van r nog zeer onbetrouwbaar.

2.0

De duur van het onderzoek Het betrouwbaarheidsinterval is alleen afhankelijk van het getal r. Het aantal

in duurproef gezette exemplaren n speelt in de berekening geen rol. Het getal n speelt een rol bij de schatting van 0, en verder heeft het grote invloed op de duur van het onderzoek. Hoe groter het getal n, hoe eerder een bepaalde waarde van r zal zijn bereikt. Hoe meer exemplaren in duurproef worden gezet hoe eerder het aantal uitvallers zal zijn bereikt dat nodig is om een vereiste befrouwbaarheid van de schatting van 0 te bereiken. Figuur 5 geeft deze relatie weer voor r = 5.

VOOR z = 5 B I J VERSCHILLENDE WAARDEN VAN n .- n

0 Y

Y Id

N lx W 0 Z 0

I- W I Z 4 > CY 3 3 0

L

0

Steekproefsystemen Voor dit onderzoek zijn steekproefsystemen gepubliceerd [2]. Deze systemen

kunnen gebruikt worden om te onderzoeken of produkten een zekere minimum

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 354

Page 11: Levensduuronderzoek van industriële produkten

levensduur liebben. In de publikatie H 108 worden keuringskarakteristieken gegeven voor een dergelijk onderzoek. Voor twee werkwijzen worden keurings- karakteristieken gegeven :

a. voortzetten van het onderzoek tot r exemplaren zijn bezweken b. voortzetten van het onderzoek gedurende r uur.

Het onderzoek naar het exponentieel verdeeld zijn is belangrijk omdat ver- schillende steekproefsystemen zoals bijvoorbeeld het genoemde systeem van de United State:; Department of Defence, erg gevoelig zijn voor afwijkingen van de exponentiele verdeling. [3]

Levensduuronderzoek is zowel belangrijk voor de consument als voor de producent. lndien bij de analyse van de uitkornsten geen gebruik van statistische schattings- en toetsingsprocedures gemaakt wordt dan zal dit vrij zeker tot foute conclusies of tot ondoelmatig gebruik leiden van waarnemingsuitkomsten die tegen hoge kosten verzameld werden.

Literatuur [ I ] D . J. DAVIS - An Analysis of some failure data Jn. ASA Vol47 (1952) P. 113. [2] Bijvoorbeeld : Sampling procedures and tables for life and Reliability Testing. Handbook

H 108 - Office of the Assistent Secretary of Defence Washington 25, DC. [3] M. ZELEN and M. C. DANNEMILLER. Robustness of life testing procedures Technometrics

Vol3 (1961) P. 29.

Een algemeen overzicht van de duurproefproblemen wordt gegeven in:

B. EPSTEIN & M . SOBOL - Life Testing Jn. ASA Vol48 (1953) P. 486 e .v .

Statistica Neerlandica 20 (1966) nr 3 en 4. 355