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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Levantamiento de Wagner de
una Metrica de Riemann
Mikhail [email protected]
Jose Ricardo Arteaga [email protected]
Kazan State UniversityUniversidad de los Andes
Taller en Geometrıa, Control y AplicacionesBogota, Diciembre 09 - 11 de 2008
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Contenido
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Sistema masa-resorte-amortiguador
Figura: Resorte
w(t) + γw (t) + kw(t) = 0w = x ; w = y ; γ = u
(
xy
)
=
(
y−kx
)
+ u
(
0−y
)
x = E0 + uE1
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
El monociclo
Figura: Monociclo
x = u1 cos(z),
y = u1 sin(z),
z = u2
xyz
= u1
cos(z)sin(z)
0
+u2
001
x = u1E1 + u2E2
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Sistemas de Control
Un sistema de control es una EDO de la forma
x = f (x , u)
donde:
1 x ∈ M es el estado del sistema,
2 M es el espacio de estados,
3 u ∈ U(x) es la entrada o control,
4 U(x) es el conjunto de entradas,
5 f (x , u) es una funcion suave llamada la aplicacion del sistema,
6 f (x , u) es un campo vectorial para u ∈ U fijo.
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Sistemas Afines
Definicion
Un sistema de control se llama afın si se puede escribir de la forma:
x = E0(x) +m
∑
i=1
uiEi(x) (1)
donde E0,E1, . . . ,Em son campos vectoriales sobre M.
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Contenido
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Distribuciones sobre una Variedad
Definicion
Sea M una variedad suave n-dimensional. Una distribucionm-dimensional (m < n) ∆ sobre M es un campo suave de espaciosm-dimensionales ∆(x) ⊂ TxM, es decir, para todo x ∈ M existeuna vecindad V (x) y un campo de vectores E1, . . . ,Em ∈ X(V ),tal que para cada x ∈ V (x),
∆(x) = span {E1, . . . ,Em}
Definicion
Una distribucion ∆ se dice que es totalmente integrable si paracada x ∈ M existe una subvariedad Σ que pasa por x tal queTyΣ = ∆(y) para todo y ∈ Σ. A Σ se le llama una subvariedadintegral de ∆. Una distribucion totalmente integrable se llama unafoliacion y a las subvariedades integrables se les denomina hojas.
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Campo vectorial en R3
2
-2
-2
-1
0z
1
1
-1
2
00 yx1 -1
2 -2
Figura: Campo E1
E1 = [1, 0, y ]
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Campo vectorial en R3
2
-2
-2
-1
0z
1
1
-1
2
00 yx -11-22
Figura: Campo E2
E2 = [0, 1,−x ]
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Dos campos vectoriales en R3
2
-2
-2
-1
0z
1
1
-1
2
00 yx -11-22
Figura: Campos E1 y E2
E1 = [1, 0, y ]; E2 = [0, 1,−x ]
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Distribucion R3
-4
-2
0
4y
-20
-10
22
0
0
z
x
10
4-2
20
-4
Figura: Distribucion
∆ = span {E1,E2}
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Teorema de Frobenius
Una distribucion esta bien definida por un campo de vectores{E1, . . . ,Em} que generan a ∆(x) ⊂ TxM, o por 1-formasdiferenciales
{
ω1, . . . , ωn−m}
, tales que para todo X ∈ TxM,X ∈ ∆(x) sii ωα(X ) = 0, α = 1, . . . , n − m.
Teorema
Sea ∆ una distribucion sobre M, localmente dada por {Ea}a=1,...,m
o {ωα}α=1,...,n−m. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1 ∆ es completamente integrable.
2 [Ea,Eb] = QcabEc , donde Qc
ab son funciones.
3 dωα = Qαβ ∧ ωβ, donde Qα
β son 1-formas.
donde,[X ,Y ](x) = DY (x)X (x) − DX (x)Y (x)
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Distribucion involutiva
Definicion
Una distribucion ∆ es involutiva si para cada par de camposvectoriales X ,Y ∈ ∆
[X ,Y ] ∈ ∆
Teorema
Si una distribucion ∆ es involutiva y tiene dimension constante m,entonces ella es integrable.
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Teorema de Chow-Rashevskii
Definicion
∆ = span{E1, . . . ,Em} es corchete generada si la iteracion de loscorchetes de Lie
Ei , [Ei ,Ej ], [Ei , [Ej ,Ek ]], . . . 1 ≤ i , j , k, · · · ≤ m
generan el espacio tangente de M en todo punto.
Teorema
Si ∆ es corchete generada, entonces cualquier par de puntospueden ser unidos con una trayectoria tangente a ∆ (Horizontal)casi en todas partes. La trayectoria puede ser escogida suave porpartes, de arcos de trayectorias integrales de los campos Ei .
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Teorema
Si una distribucion de control es corchete generada, entonces elsistema es controlable.
Si ∆ es no integrable ⇒ el sistema es controlable
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Ejemplo 1: Distribucion integrable
Sea M = R3
ω = dz − xdx − ydy E1 =
10x
E2 =
01y
(2)
∆ = span {E1,E2} (3)
1 ∆ es completamente integrable.
2 [E1,E2] = 0
3 dω = 0
∆ es la foliacion, que consite en los planos tangentes a la familiade paraboloides:
z =1
2(x2 + y2) + c (4)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Ejemplo 2: Distribucion no integrable
Sea M = R3
ω = dz − ydx + xdy E1 =
10y
E2 =
01−x
(5)
∆ = span {E1,E2} (6)
1 ∆ es completamente no integrable.
2 [E1,E2] = E3 = −2∂
∂z, ademas ω(E3) = −2 6= 0
3 dω = 2dx ∧ dy
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Ejemplo 3: El monociclo
Sea M = R3
ω = sin zdx − cos zdy E1 =
cos zsin z0
E2 =
001
(7)
∆ = span {E1,E2} (8)
1 ∆ es completamente no integrable.
2 [E1,E2] = E3 = sin z∂
∂x− cos z
∂
∂y, ademas ω(E3) = 1 6= 0
3 dω = − cos zdx ∧ dz − sin zdy ∧ dz
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Contenido
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Haces Principales
Un haz principal es un objeto matematico P que formaliza algunasde las caracterısticas esenciales del producto cartesiano M × G ,donde M es una variedad y G es un grupo de Lie. En P estandefinidos:
1 Una accion de G sobre P , (x , g)h = (x , gh)
2 Una proyeccion π : P −→ M, u = (x , g) 7→ x
Ejemplo
En cada punto x ∈ M = R2 considemos todas los
marcos ordenados ortonormales. El grupo G es el Grupo OrtogonalEspecial SO(2) que actua sobre las bases ordenadas.
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Conexiones en Haces Principales
Una conexion en P es una asignacion de un subespacio Vu ⊆ TuP(Vertical), para cada u ∈ P que satisface:
1 TuP = Hu ⊕ Vu
2 Vua = (Ra)∗Vu
3 Vu depende diferenciablemente de u.
donde Hu (Horizontal) es el “complemento ortogonal”de Vu.Definir una conexion en un haz principal es equivalente a definiruna distribucion.
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Contenido
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
La forma ω de la conexion
Sean M una veriedad de Riemann bi-dimensional con una metricag , P el haz de marcos ortonormales de M y SO(2) actuando sobreP , π : P −→ M, y ∇ la conexion de Levi-Civita.La forma ω de la conexion en P esta definida por,
ω = R(ϕ)−1
(
dR(ϕ)
dϕdϕ + ΓaR(ϕ)θa
)
donde
R(ϕ) =
(
cos ϕ − sinϕsinϕ cos ϕ
)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
La forma ω y la distribucion H
Por lo tanto, de la formula anterior tenemos
ω = dϕ + Γ112θ
1 + Γ122θ
2 (9)
De lo cual obtenemos,
Eh1 = e1 − Γ1
12∂ϕ (10)
Eh2 = e2 − Γ1
22∂ϕ (11)
donde e = (e1, e2) es un marco ortonormal en U ⊂ M.Eh es el levantamiento horizontal de e.La distribucion por definicion es,
H = ker ω = span{
Eh1 ,Eh
2
}
(12)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Campos vectoriales horizontales y verticales
Los campos vectoriales horizontales estandar, se definen como
{B1,B2} = {Eh1 ,Eh
2 }R(ϕ) (13)
El campo vectorial fundamental (vertical), se define como
σ(A) = m∂ϕ, donde A =
(
0 m−m 0
)
m ∈ R (14)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
El tensor no holonomico
N(X ,Y ) = projV ([X ,Y ]) (15)
Proposicion
El tensor no holonomico N tiene la siguiente expresion
N(Eh1 (x , ϕ),Eh
2 (x , ϕ)) = −K (x)∂ϕ (16)
donde K (x) es la curvatura de (M, g) en x ∈ M.
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Levantamiento de Wagner de la metrica
Denotemos por g el levantamiento de Wagner de g . Por definiciony por construccion tenemos,
g(Eha ,Eh
b ) = g(dπ(Eha ), dπ(Eh
b )) = g(ea, eb) = δab
g(Eha , ∂ϕ) = 0.
y por lo tanto {Eh1 ,Eh
2 } es un marco ortonormal. Por otro ladogΛ(Eh
1 ∧ Eh2 ,Eh
1 ∧ Eh2 ) = 1 respecto a la metrica gΛ inducida sobre
Λ2(H). Por lo tanto tenemos que,
g(K (x)∂ϕ,K (x)∂ϕ) = 1. (17)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Marcos ortonormales en P
Definicion
Sobre P definimos el siguiente campo de marcos ortonormalesrespecto a g :
{E1(x , ϕ) = Eh1 , E2(x , ϕ) = Eh
2 , E3(x , ϕ) = K (x)∂ϕ} (18)
Proposicion
Sea γ(t) una geodesica de la conexion ∇ sobre P, y
d
dtγ(t) = Q i(t)Ei |γ(t) (19)
el campo vectorial tangente a los largo de la geodesica. Entonces,
dQk
dt+ Γk
ij(γ(t))Q i (t)Q j(t) = 0. (20)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Relacion entre geodesicas
Proposicion
Sean γ(t) una geodesica y γ(t), t ∈ [0, a] su proyeccion sobre M.Entonces,
1
g(E3,d γ
dt(t))/K (γ(t)) = C (Constante) (21)
2 Si d γdt
(t)) es horizontal en t0, entonces γ es una curvahorizontal para todo t.
3 γ satisface la ecuacion
∇γ γ = CKJ γ + C 2KgradK , (22)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Ejemplo: Curvatura constante positiva K > 0
Sea M = S2 con la metrica estandar. El haz π : P → S
2 esisomorfo al SO(2)-haz principal π′ : SO(3) → S
2.Por lo tanto,
ξ1 =
0 0 −10 0 01 0 0
, ξ2 =
0 0 00 0 −10 1 0
, ξ3 =
0 −1 01 0 00 0 0
,
(23)y las ecuaciones estructurales son
[ξ1, ξ2] = ξ3, [ξ3, ξ1] = ξ2, [ξ2, ξ3] = ξ1. (24)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Ejemplo: Curvatura constante negativa K > 0
Sea (M, g) el modelo de Poincare del plano de Lobachevskii, esto
es M = {(x , y) | y > 0}, y g = dx2+dy2
y2 . Entonces tenemos el
marco ortonormal global e1 = y∂x , e2 = y∂y , donde {∂x , ∂y} es elmarco natural del sistema de coordenadas globales (x , y) sobre M.Por lo tanto,
E1 = e1 + ∂ϕ, E2 = e2, E3 = ∂ϕ. (25)
y las ecuaciones estructurales son
[E1, E2] = −E1 − E3, [E2, E3] = 0, [E3, E1] = 0. (26)
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Contenido
1 Motivacion
2 Distribuciones
3 Haces Principales
4 Levantamiento de Wagner
5 Fin
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Motivacion Distribuciones Haces Principales Levantamiento de Wagner Fin
Gracias
Muchas Gracias!
Jose Ricardo Arteaga B. — [email protected]
Mikhail Malakhaltsev. — [email protected]
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Apendice
Lecturas recomendadas
Referencias I
Aminov Yu.The Geometry of Vector Fields.Amsterdam: Gordon and Breach Publishers, 2000
Kobayashi S., Nomizu K.,Foundations of Differential Geometry.Vol I, John Wiley & Sons, N.Y. 1963.
Montgomery R.A Tour of Subriemannian geometries, Their Geodesics andApplications.Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 91, AMS, 2002.
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Lecturas recomendadas
Referencias II
Wagner V.V.,Differencialnaja geometrija negolonomnyh mnogoobrazij.VIII mezhd. konkurs na soiskanie premii im. N. I.Lobachevskogo. 1937. (In Russian)
Agrachev A.A.Introduction to Optimal Control TheoryLectures given at Summer Mathematical Contrl Theory,Trieste, 3-28 September 2001