lessing gymnasium neu-ulm · lessing-gymnasium neu-ulm 11/21. grundwissen 6. jahrgangsstufe 2.4....

MATHEMATIK

GRUNDWISSEN

6. KLASSE

LESSING GYMNASIUM

NEU-ULM

Dieses Heft gehört:

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Grundwissen 6. Jahrgangsstufe

I. RATIONALE ZAHLEN

1. Brüche, Bruchteile

1.1. Bruchteile von Größen

Der Bruchteil zn

eines Ganzen bedeutet:

Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen.zn

nennt man einen Bruch.

z

n

Veranschaulichung in Diagrammen:

Bsp.:

• Der Streifen ist in 7 Teile unterteilt, 5 davon

sind gefärbt, das sind also 57

des Streifens.

• 23

des Kreises sind gefärbt:

• 38

kg = (1 kg : 8) . 3 = (1000g : 8) . 3 = 125 g . 3 = 375 g

• 23

h= (1 h : 3) . 2 = 20 min . 2 = 40 min

• 34

von 100 kg = (100 kg : 4) . 3 = 25 kg . 3 = 75 kg

• 25

von 4 km = (4 km : 5) . 2 = (4000 m : 5 ) . 2 = 800 m . 2 = 1600 m = 1,6 km

Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 3/21

Der Nenner gibt an, dass das Ganze in n Teile geteilt wird.

Der Zähler gibt an, dass z solcher Teile genommen werden.__


1.2. Einteilung der Brüche

Betrachtet werden Brüche von der Form zn

mit z ,n∈ℕ

1.2.a) Echte Brüche

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so liegt ein echter Bruch vor.

Bsp.: 14

; 25

; 37

; ….

Der Wert eines echten Bruches ist kleiner als 1.

Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche.

Bsp.: 12

, 13

, 14

, … , 1

42, …

1.2.b) Unechte Brüche und gemischte Zahlen

Ist der Zähler größer als der Nenner, so liegt ein unechter Bruch vor.

Bsp.: 75

; 94

; 358

; ….

Der Wert eines unechten Bruches ist größer als 1.

Jeder unechte Bruch lässt sich als gemischte Zahl schreiben.

Bsp.: 75= 12

5;

94= 21

4;

358

= 438

Umgekehrt kann jede gemischte Zahl als unechter Bruch dargestellt werden.

Bsp.: 278= 16

87

8= 23

8

Ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners, so liegt ein Scheinbruch vor.

Der Wert eines Scheinbruches ist eine natürliche Zahl.

Bsp.: 124

= 3; 82= 4 ; 7

7= 1 ; …

Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch.

Bsp.: Der Kehrbruch von 34

ist 43

.



1.3. Brüche als Werte von Quotienten

In der Menge ℤ der ganzen Zahlen lässt sich z.B. die Division 5 : 8 nicht ausführen.

In der Menge der Bruchzahlen wird dem Quotienten 5 : 8 als Wert die Bruchzahl 58 zugeordnet.

Jeder Quotient a : b mit a, b ∈ℕ besitzt als Wert die Bruchzahl ab= a:b .

Bsp.:

• 4 : 5 = 45

• 3 : 7 = 37

• 2 : 9 = 29

Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, gibt es keinen Bruch mit dem Nenner 0!

Für Brüche mit negativen Zahlen gilt:–ab

= a–b

= –ab

und –a–b

= ab

mit a∈ℕ0 , b∈ℕ

Bsp.:

•– 23

= – 23

•5

– 7= – 5

7

•– 11– 98

= 1198

Die Menge ℚ der rationalen Zahlen enthält alle positiven und negativen Bruchzahlen. Die

Menge ℤ der ganzen Zahlen ist in ℚ enthalten.

Veranschaulichung im Mengendiagramm:


NZ

Q


1.4. Erweitern und Kürzen

= =

Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert.

Kürzen: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler dividiert.

Bsp.: 23= 2⋅5

3⋅5= 10

15 Der Bruch

23

wurde mit 5 erweitert.

•2035

= 47

Der Bruch 2035

wurde mit 5 gekürzt.

•3

18= 1

6

•5672

= 7⋅89⋅8

= 79

•240450

= 10⋅3⋅810⋅3⋅15

= 815

Beim Kürzen und Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht.

Ein Bruch wird als vollständig gekürzt bezeichnet, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, also wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind.

Brüche gleichnamig machen

Zwei Brüche werden als gleichnamig bezeichnet, wenn sie den gleichen Nenner haben.

Ein gemeinsamer Nenner zweier Brüche ist immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner,

z.B. ihr Produkt.

Bsp.:

•78= 7⋅3

8⋅3= 21

24

•23= 2⋅8

3⋅8= 16

24

Um große Zahlen zu vermeiden, verwendet man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden

Nenner als gemeinsamen Nenner.

Bsp.: 415

= 1660

; 712

= 3560


Erweitern

Kürzen

1__

4 4___

16

1__

4

1 . 4______

4 . 4

4____

16


1.5. Größenvergleich von Brüchen

1.5.a) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche)

Haben zwei Brüche gleiche Nenner, so ist derjenige der kleinere, der den kleineren Zähler hat.

Bsp.:

•12 3

2

•5

13 6

13

•42421

43421

1.5.b) Vergleichen von Brüchen mit gleichen Zählern

Haben zwei Brüche gleiche Zähler, so ist derjenige der kleinere, der den größeren Nenner hat.

Bsp.:

•13 1

2

•1

498 1

398

•67

351 67

341

1.5.c) Vergleich von Brüchen mit verschiedenen Zählern und Nennern

Um zwei Brüche vergleichen zu können, müssen sie zunächst so erweitert (oder gegebenenfalls

auch gekürzt!) werden, dass sie gleichnamig sind oder gleiche Zähler haben.

Bsp:

• Vergleiche 5

12 mit

716

!

512

= 2048

; 716

= 2148

⇒ 512

716

• Ordne die Brüche 7

24, 21

18, 11

36 der Größe nach!

724

= 2172

;

2118

= 76= 11

6 1 ;

1136

= 2272 21

72= 7

24 ⇒ 7

24 11

36 21

18



1.6. Addition und Subtraktion

Um Brüche addieren/subtrahieren zu können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht

werden. Anschließend werden die Zähler addiert/subtrahiert und der gemeinsame Nenner

beibehalten: acb

c= ab

c

Bsp.:

•234

5= 2⋅5

3⋅54⋅3

5⋅3= 10

1512

15= 22

15

• 53432

3= 5 9

123 8

12= 817

12= 9 5

12

• 718

– 4 512

= 7 324

– 41024

= 62724

– 41024

= 21724

• 412

– 913= – 92

6– 43

6 = – 886

– 436 = – 45

6

1.7. Multiplikation

Regel zur Multiplikation von Brüchen:Multipliziere die Zähler und multipliziere die Nenner.

ab⋅cd

= a⋅cb⋅d

Dabei gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren!

Bsp.:

•35⋅27= 3⋅2

5⋅7= 6

35

•24⋅536

= 24⋅536

= 12⋅2⋅512⋅3

= 103

= 313

• 35 2

= 925

• – 34

3

= – 34 ⋅– 3

4 ⋅– 34 = – 27

64

•1528

⋅– 725 = – 3⋅5⋅7

4⋅7⋅5⋅5= – 3

20

• – 4218

⋅37= – 6⋅7⋅3

3⋅6⋅7= – 1

Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden!

Bsp.:

• 225⋅33

4= 12

5⋅15

4= 3⋅4⋅3⋅5

5⋅4= 9

• 114

2

= 54⋅54= 25

16

• – 412 ⋅– 11

6 = – 92 ⋅– 7

6 = 3⋅3⋅72⋅2⋅3

= 214

= 514



1.8. Division

Regel zur Division von Brüchen:Multipliziere den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors.ab

:cd

= ab⋅dc=a⋅d

b⋅c

Wieder gilt: Erst kürzen, dann ausmultiplizieren!

Bsp.:

•5

12:37= 5⋅7

12⋅3= 35

36

•45

:3 = 45⋅3

= 415

• 1: 142

= 1⋅421

= 421

= 42

•1225

: 415

= 3⋅4⋅3⋅55⋅5⋅4

= 95= 14

5

•7235

: 37= 8⋅9⋅7

7⋅5⋅3= 8⋅3

5= 24

5= 44

5

Gemischte Zahlen müssen vor dem Dividieren in unechte Brüche umgewandelt werden!

Bsp.:

• 334

: 212= 15

4:52= 3⋅5⋅2

2⋅2⋅5= 3

2= 11

2

• – 735

:316= – 38

5:19

6= – 2⋅19⋅6

5⋅19= – 12

5= – 22

5

• – 312 :– 13

4 =– 72 :– 7

4 = 72⋅47

= 42

= 2



2. Dezimalbrüche

2.1. Dezimale Schreibweise

Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts:

... Tausender Hunderter Zehner Einer , Zehntel Hundertstel Tausendstel Zehn-tausendstel

...

5 3 1 9 , 5 2 0 7

5319,5207 bedeutet

5 Tausender + 3 Hunderter + 1 Zehner + 9 Einer +

+ 5 Zehntel + 2 Hundertstel + 0 Tausendstel + 7 Zehntausendstel =

= 5319 Ganze + 5207 Zehntausendstel

Daraus ergibt sich das

2.2. Umwandeln von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche

Regel zum Umwandeln in Brüche:

0,1= 110

; 0,01= 1100

; 0,001= 11000

; …

Die Position der letzten Nachkommastelle ungleich Null verrät die Zehnerpotenz im Nenner:

0,36 = 36

100 = 925

Kürzen nicht vergessen!

Bsp.:

• 0,7 = 710

• 0,03 = 3100

• 0,005 = 51000

= 1200

• 0,32 = 32100

= 825

• 1,2 = 1 210

= 115

• 2,45 = 2 45100

= 2 920

Häufig auftretende Dezimalbrüche:

0,125 = 18

0,2 = 15

0,25 = 14

0,375 = 38

0,4 = 25

0,5 = 12

0,75 = 34


2. Nachkommastelle, also Hundertstel


2.3. Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche

2.3.a) Erweitern

Erweitere den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz steht.

Bsp.:

•3

20= 3⋅5

20⋅5= 15

100= 0,15

•254

= 25⋅254⋅25

= 625100

= 6,25

•7

125= 7⋅8

125⋅8= 56

1000= 0,056

2.3.b) Division

Gewöhnliche Brüche ab können in Dezimalbrüche umgewandelt werden, indem der Wert des

Quotienten a:b berechnet wird. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird auch im

Ergebnis das Komma gesetzt.

Bsp.:•

254 = 25 : 4 = 25,00 : 4 = 6,25

24 1 0 8 20

•78 = 7 : 8 = 7,000 : 8 = 0,875

07 06 4 60 56 40

•4212

= 7⋅62⋅6

= 72= 7 :2 = 3,5

Auch hier gilt: Zuerst kürzen kann die Rechnung deutlich vereinfachen!



2.4. Endliche und periodische Dezimalbrüche

Beim Umwandeln eines gewöhnlichen Bruches in einen Dezimalbruch erhält man einen endlichen

Dezimalbruch, wenn im Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in allen anderen Fällen entsteht ein unendlicher periodischer Dezimalbruch.

Enthält der Nenner des gekürzten Bruches die Primfaktoren 2 und 5 nicht, so erhält man einen

reinperiodischen Bruch.

Bsp.:

•13 = 1,000... : 3 = 0,333.... = 0,3 sprich: „Null komma Periode drei“

•23= 0,6

•19= 0,1; 2

9= 0,2; 5

9= 0,5

•1

11= 0,09

•17= 0,142857

Enthält der Nenner neben 2 oder 5 noch weitere Primfaktoren, so erhält man einen

gemischtperiodischen Dezimalbruch.

Bsp.:

•56 = 5 : 6 = 0,833... = 0,83 sprich: „Null komma acht Periode drei“

05 04 8 20 18 2

•2

15= 0,13

•5

18= 0,27

•7

12= 0,583


Der Rest 2 wiederholt

sich


2.5. Größenvergleich von Dezimalbrüchen

Um zwei Dezimalbrüche zu vergleichen, vergleicht man die Dezimalstellen von links beginnend.

Bei zwei Dezimalbrüchen ist derjenige der kleinere, bei dem die erste unterschiedliche Dezimalstelle

von links beginnend kleiner ist.

Bsp.:

• 0,056745 < 0,057745

• 0,4356 < 0,5

• 0,2 0,2 ; 1,37 1,37

Von zwei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, deren Betrag größer ist, d.h. die auf der

Zahlengeraden weiter links liegt.

Bsp.:

• – 2,57 – 2,5

• −0,3 – 0,3

2.6. Runden von Dezimalbrüchen

Soll ein Dezimalbruch auf n Dezimalen gerundet werden, so gilt:

Ist die n+1-te Dezimale 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.

Ist die n+1-te Dezimale 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.

Bsp.:

• 3,748 ≈ 3,75 (auf zwei Dezimalen gerundet)

• 3,748 ≈ 3,7 (auf eine Dezimale gerundet)

Bei gerundeten Dezimalbrüchen dürfen Endnullen nicht weggelassen werden!

Bsp.:

• Wird eine Streckenlänge auf 2,0 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,05 m, d.h. der

wahre Wert kann im Bereich [1,95m; 2,05m[ liegen.

• Wird die Streckenlänge auf 2,00 m gerundet, so beträgt der maximale Fehler 0,005 m, d.h.

der wahre Wert liegt im Bereich [1,995m; 2,005m[.

2.7. Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen

Endliche Dezimalbrüche werden stellengerecht addiert/subtrahiert:

Gegebenenfalls müssen Nullen am Ende eines Dezimalbruchs ergänzt werden.

Bsp.:

• 0,0457 + 45,123 = 0,0457 + 45,1230 = 45,1687

• 5,4 – 1,67 = 5,40 – 1,67 = 3,73

• 7,2 – 9,68 = – (9,68 – 7,20) = – 2,48

• –3,87 – 4,341 = – ( 3,870 + 4,341) = – 8,211



2.8. Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen

2.8.a) Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen

Wird eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz 10n multipliziert, so wird das Komma um n Stellen

nach rechts verschoben.

Wird eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz 10n dividiert, so wird das Komma um n Stellen

nach links verschoben.

Bsp.:

• 0,897⋅100 = 89,7

• 7642,98 : 1000 = 7,64298

• 42,344 : 10000 = 00042,3444 : 10000 = 0,00423444

2.8.b) Multiplikation von Dezimalbrüchen

Dezimalzahlen werden multipliziert, indem zuerst die Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas

multipliziert werden und anschließend im Ergebnis das Komma so gesetzt wird, dass es soviele

Nachkommastellen hat wie alle Faktoren zusammen.

Bsp.:

• 0,2⋅0,3 = 0,06

1. Faktor: 1 Nachkommastelle2. Faktor: 1 Nachkommastelle

• 0,06⋅0,234 = 0,01404

1. Faktor: 2 Nachkommastellen

2. Faktor: 3 Nachkommastellen

• 0,2⋅0,04⋅0,7= 0,0056

• 0,033 = 0,03⋅0,03⋅0,03 = 0,000027

• – 1,22 = 1,44

Der Wert eines Produktes ändert sich nicht, wenn ein Faktor mit einer Stufenzahl multipliziert und ein anderer Faktor durch die selbe Stufenzahl dividiert wird. (gegensinnige Kommaverschiebung)Bsp.:

• 0,08⋅250 = 8⋅2,5= 20

• 4,2⋅20 = 42⋅2 = 84

2.8.c) Division von Dezimalbrüchen

Sollen zwei Dezimalzahlen dividiert werden, so werden zunächst bei Dividend und Divisor die

Kommas gleich weit (nach rechts) um so viele Stellen verschoben, bis der Divisor ganzzahlig ist. Anschließend wird die Division wie üblich ausgeführt, beim Überschreiten des Kommas im

Dividenden muss im Ergebnis ebenfalls das Komma gesetzt werden.

Bsp.:

• 34,478 : 0,02 = 3447,8 : 2 = 1723,9

• 15:0,3 = 150: 3= 50

• 0,0128:0,008 = 12,8: 8 = 1,6


} => im Ergebnis 2 + 3 = 5 Nachkommastellen

}=> im Ergebnis 1 + 1 = 2 Nachkommastellen


3. Prozentrechnung

3.1. Der Begriff Prozent

1 Prozent = 1% = 1100

Damit folgt z.B.:

• 20% = 20

100 = 0,20 =

15

• 50% = 50100

= 12= 0,5

• 25% = 25100

= 14= 0,25

• 42% = 42100

= 2150

= 0,42

• 0,783 = 78,2%

• 3,109 = 310,9%

3.2. Prozentsatz, Grundwert und Prozentwert

15% von 200 € = 30 €

Bsp:

• Berechnung des Prozentwerts:

19% von 80 €= 0,19⋅80 € = 15,20€

• Berechnung des Prozentsatzes:

Wieviel Prozent sind 16 kg von 80 kg?

p = 16kg: 80kg = 1680

= 210

= 0,2 = 20%

• Berechnung des Grundwerts:

40% von G = 120 m

=> 0,4⋅G = 120m

=> G = 120m: 0,4= 300m

• Der Preis inkl MWSt (19%) beträgt 238 €.

Wieviel beträgt der Nettopreis?

119% von G = 238€1,19⋅G = 238 €

G = 238 €:1,19 = 200 €


Prozentsatz p Grundwert GW Prozentwert PW=


II. Geometrie

1. Flächeninhalt

1.1. Flächeninhalt des Parallelogramms

Jedes Parallelogramm kann in ein Rechteck verwandelt werden:

Der Abstand zweier paralleler Seiten des Parallelogramms wird als

die Höhe des Parallelogramms bezeichnet.

Somit ergibt sich für den Flächeninhalt jedes Parallelogramms:A = a⋅ha = b⋅hb

Bsp:

In einem Parallelogramm sind zwei parallele Seiten a und c 6 cm lang, ihr Abstand beträgt 1,5 cm.

a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Parallelogramm?

AP = 6cm⋅1,5cm = 9cm2

b) Wie lang sind die beiden anderen Seiten des Parallelogramms, wenn sie einen Abstand von 3,6 cm

besitzen?AP = b⋅hb ; b = A :hb

b= 9cm2:3,6 cmb= 2,5cm

1.2. Flächeninhalt des Dreiecks

Jedes Dreieck kann als halbes Parallelogramm aufgefasst werden.

Damit gilt für jedes Dreieck mit den Seiten a, b und c:

A =12⋅a⋅ha =

12⋅b⋅hb =

12⋅c⋅hc

Bsp.:

Ein Dreieck ABC mit den Seiten a = 4 cm und c = 6cm besitzt die Höhe ha = 4,2cm.

Wie groß ist die Höhe hc?

A = 12⋅a⋅ha

A = 12⋅4cm⋅4,2cm = 8,4 cm2

A = 12

c⋅hc

hc = 2⋅A :chc = 16,8 cm2 :6cm

hc = 2,8cm


c

hc

hb

ha

ab

C

A B

aA B

D C

b

c

d

ha

hb


1.3. Flächeninhalt des Trapezes

Jedes Trapez mit den parallelen Seiten a und c kann als

halbes Parallelogramm mit der Grundseite a+c

aufgefasst werden.

Damit ergibt sich:

ATr = 12⋅ac⋅h

Bsp:

• Ein Trapez mit den parallelen Seiten a = 4 cm und c = 6 cm besitzt einen Flächeninhalt

von 12 cm².

Welchen Abstand besitzen die parallelen Seiten?

A = 12⋅ac⋅h

12cm2 = 12⋅4cm6 cm⋅h

12cm2 = 5cm⋅hh= 12cm2 :5cmh= 2,4cm

• Zwischen zwei parallel verlaufenden Straßen, die einen Abstand von 1,2 km besitzen, liegt ein

trapezförmiges Grundstück mit einem Flächeninhalt von 18 ha. An eine Straße grenzt das

Grundstück mit einer Länge von 200 m an. Wie lang ist die Seite des Grundstücks an der

anderen Straße?

A = 12⋅ac⋅h

18ha= 12⋅200mc⋅1,2km

18ha= 200 mc ⋅600m180000m2 :600 m = 200 mc300m– 200m = cc = 100 m


a

a c

c

h

A B

b

C

d

D


1.4. Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

A = A1APA2 =12⋅4cm⋅3cm4cm⋅5cm1

2⋅4cm⋅2,5 cm= 6cm220cm25cm2 = 31cm2

1.5. Oberflächeninhalt von Körpern

Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist der Flächeninhalt seines Netzes.

Bsp.:

Ein gerades dreiseitiges Prisma ist 6cm hoch und besitzt als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck.

Die den rechten Winkel einschließenden Seiten sind 3 cm und 4 cm lang.

Zeichne ein Netz und berechne die Oberfläche des Prismas.

Netz:

Berechnung der Oberfläche:

OPr = 2⋅12⋅4cm⋅3cm4 cm3cm5cm⋅6cm= 12 cm272cm2 = 84 cm2


3cm

4cm

5cm

3cm 5cm

6cm

1cm 1cm

Δ1Δ2


2. Volumen

2.1. Volumeneinheiten

Kubikmillimeter 1 mm³

Kubikzentimeter 1 cm³ = 1000 mm³

Kubikdezimeter 1 dm³ = 1000 cm³

Kubikmeter 1 m³ = 1000 dm³

Kubikkilometer 1 km³ = 1000m⋅1000m⋅1000m = 1000000 000m³

Milliliter 1ml = 1 cm³

Liter 1 l = 1000 ml = 1 dm³ = 1000 cm³

Hektoliter 1hl = 100l = 0,1m³

Umrechnung von Volumeneinheiten:7530000 cm3 = 7 m³ 530 dm³= 7,53 m³

80004 mm³ = 80 cm³ 4 mm³

2030,075 l = 2 m³ 30 l 75 ml

10709,32 dm³ = 10 m³ 709 dm³ 320 cm³

Rechnen mit Volumeneneinheiten18 m³ 25 cm³ – 3 dm³ 65 cm³ = 18000,025 dm³ – 3,065 dm³= 17996,96 dm³

12m³ : 40dm³ = 12000 dm³ : 40 dm³ = 300

2 m³ : 80 cm = 2000 dm³ : 8 dm = 250 dm²

56 l : 70 cm² = 56000 cm³ : 70 cm² = 800 cm = 8 m

2.2. Volumen von Würfel und Quader

VQ = a⋅b⋅c VW = s⋅s⋅s = s3

Bsp.:

• In einem quaderförmigen Becken, das 2,4 m lang und 75 cm breit ist, steht das Wasser 60 cm

hoch. Wieviel Liter Wasser befinden sich in dem Becken?

Vwasser = 240cm⋅75cm⋅60cm = 1080000cm3 = 1080dm3 = 1080 l


Umrechnungsfaktor 1000

ab

c

ss

s


• Ein Würfel aus Blei mit einer Kantenlänge von 12 cm wird eingeschmolzen und zu einer

quaderförmigen Platte gegossen, die 80 cm lang und 30 cm breit ist. Wie hoch ist die Platte?

VW = 12cm⋅12 cm⋅12 cm= 1728cm3

VQu = l⋅b⋅h

1728cm3 = 80cm⋅30cm⋅h

1728 cm3 = 2400cm2⋅h

h= 1728cm3 :2400cm2

h= 0,72 cm= 7,2mm

• Ein Würfel besitzt ein Volumen von 64cm³. Welche Oberfläche hat der Würfel?

VW = s⋅s⋅s = 64 cm3 = 4cm3

s = 4cm

OW = 6⋅s2 = 6⋅4cm⋅4cm= 6⋅16cm2 = 96cm2

2.3. Volumen des Prismas

VPr = G⋅h

G ist dabei der Flächeninhalt der Grundfläche.

Bsp.:

Ein Goldbarren besitzt folgende Form:

a) Welches Volumen besitzt der Goldbarren?

VPr = G⋅hPr

VPr =12⋅4cm2cm⋅1,5 cm⋅8cm = 4,5cm2⋅8cm = 36cm3

b) Welche Masse besitzt der Goldbarren, wenn 1cm³ Gold 19,3g wiegt?

m = 36cm3⋅19,3 gcm3 = 694,8g


Gh

8cm

4cm

2cm

1,5cm


III. Stochastik

1. Zufallsexperimente

Erkennungsmerkmale eines Zufallsexperimentes:Bei der Durchführung des Experimentes gilt:

1. Es wird genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten.

2. Welches Ergebnis eintreten wird, lässt sich nicht vorhersagen.

Bsp.:

• Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment: Eine der Augenzahlen 1,2,3,4,5 oder 6

wird erscheinen, welche, lässt sich nicht voraussagen.

• Das Messen der Höhe eines bestimmten Tisches ist kein Zufallsexperiment – das Ergebnis

wird jedesmal die Höhe des Tisches sein.

• Das Befragen der Schüler in einer beliebigen Klasse nach ihrer Lieblingssportart ist ein

Zufallsexperiment – bei einer unbekannten Klasse kann das Ergebnis nicht vorhergesagt

werden.

2. Relative Häufigkeit

Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt.

Die absolute Häufigkeit z gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt.

Die relative Häufikeit der Treffer gibt an, wie groß der Anteil der Treffer an der Gesamtzahl der Versuche ist.

Relative Häufigkeit h = absolute Häufigkeit z

Gesamtzahl n

Bsp:

• Ein Würfel wird 100 mal geworfen, die 1 erscheint 19 mal.

Die relative Häufigkeit h(1) ist somit 19100 = 0,19 = 19%

• Eine Münze wird 30 mal geworfen, „Zahl“ erscheint 12 mal.

Die relative Häufigkeit h(„Zahl“) ist somit 1230 = 0,4 = 40%

3. Wahrscheinlichkeit

Bei einem Zufallsexperiment weist man einzelnen Ergebnissen bestimmte „Chancen“ des Auftretens

zu. Statt von Chancen spricht man in der Mathematik von Wahrscheinlichkeiten.

So nimmt man bei einem symmetrischen Würfel an, dass jede Augenzahl mit einer Wahrscheinlichkeit

von 16 gewürfelt wird, und beim Werfen einer Münze treten „Kopf“ und „Zahl“ mit einer

Wahrscheinlichkeit von 50% auf.

Dabei gilt das

Empirische Gesetz der großen ZahlenWird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisieren sich für jedes Ergebnis die

relativen Häufigkeiten um einen bestimmten Wert.


lessing gymnasium neu-ulm · lessing-gymnasium neu-ulm 11/21. grundwissen 6. jahrgangsstufe 2.4....

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