les problèmes des réseaux électriques
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Research Collection
Doctoral Thesis
Les Problèmes des réseaux électriques maillés et leur solution àl'aide des tables de calcul
Author(s): Hobeika, Mansour Aziz
Publication Date: 1951
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000096248
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No de Prom. 2056
Les problèmes des réseaux électriquesmaillés et leur solution à l'aide
des tables de calcul
Thèse
présentée
à l'École Polytechnique Fédérale, Zurich
pour l'obtention du
grade de Docteur es Sciences Techniques
par
MANSOUR AZIZ HOBEIKA
d'Alexandrie (Egypte)
Rapporteur: Prof. Dr. B. BAUER
Corapporteur : Prof. E. DONNER
ZURICH 19:
IMPRIMERIE ASCHMANN & SCHEI.I.ER S. \.
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Je dédie ce travail
à mon père et ma mère
à mes maîtres
à mon pays
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Table des matières
Pages
Présentation de la thèse 1
PREMIERE PARTIE
Les difficultés rencontrées dans la solution mathé¬
matique des problèmes des réseaux électriquesmaillés 5 — 69
Chapitre 1 : Les difficultés présentées par la solution mathématiqueexacte des réseaux électriques maillés en régime normal
équilibré 7 — 30
A. — Représentation d'un réseau complexe par un circuit maillé
équivalent 7
B. — Équations générales du circuit maillé équivalent 11
0. — Difficultés présentées par la solution des équations générales 19
D. — Méthodes de solution approximatives des réseaux maillés... 22
Chapitre 2: Les difficultés présentées par le calcul des courants et
tensions de court-circuit symétrique et dyssymétriqne .31 — 48
A. — Considérations générales 31
B. — Equations générales des courants et tensions de court-circuit
symétrique dans un réseau complexe 36
C. — Difficultés rencontrées dans la détermination exacte des
tensions et courants de court-circnit symétrique 39
D. — Méthodes approximatives 41
E. — Courts-circuits dyssymétriques 43
F. — Solution exacte 46
G. — Solution approximative 47
Chapitre 3: Le calcul de la stabilité d'un système de machines syn¬
chrones en parallèle et ses difficultés 49 — 69
A. — Équation générale du mouvement des machines 49
B. — Expression générale de la puissance électrique d'une machine
synchrone appartenant à un réseau maillé 52
C. — Equations générales de la stabilité dynamique 58
D. — Solution des équations générales 63
E. — Les difficultés et inconvénients d'une analyse purement
mathématique de la stabilité d'un réseau complexe par la
méthode de pas-à-pas 67
DEUXIEME PARTIE
La table de calcul à courant continu 71—113
Aperçu historique et description de quelques tables im¬
portantes 73— 80
Introduction 73
Historique 73
Description de quelques tables 74
Caractéristiques générales 79
Erreurs commises dans l'évaluation des courants de court-
circuit au moyen de la table de calcul à courant continu 81 —102
Les différentes sources d'erreur 81
Étude illustrative sur un circuit élémentaire avec discussion
des erreurs 85
Champ d'application de la table de calcul à courant
continu 103 — 113
Application principale 103
Répartition des courants et chutes de tension dans un réseau
de distribution 104
Limites du champ d'application 112
TROISIÈME PARTIE
La table de calcul à courant alternatif 115 —139
Historique des modèles à courant alternatif 117 — 124
Caractéristiques principales des tables de calcul à courant
alternatif 125
Échelle de la table; coefficients de réduction 125
Quelques considérations sur le choix des valeurs nominales
de tension et de courant et sur le dimensionnement des
impédances 127
Exigences auxquelles doit satisfaire une table de calcul à
courant alternatif 132
Etude des parties constitutives de la table de calcul à
courant alternatif 140 — 174
Matériel de représentation des réseaux 140
I. Les groupes générateurs 140
IL Les transformateurs 147
III. Les lignes 149
IV. Les charges 158
V. Les compensateurs synchrones 161
Appareils d'alimentation 162
Dispositifs de mesure 164
Choix de la fréquence 171
Chapitre 4: Description de quelques tables 1
A. — Massachusetts Institute of Technology, États-Unis
B. — Westinghouse Electric and Manufacturing Co., États-Unis
C. — General Electric Co., États-Unis
D. — Siemens-Schuckert-Werke, Berlin
E. — Associated Electrical Industries Ltd., Londres
F. — Électricité de France, Paris
G. — Iowa State Collège (10000 Hz), États-Unis
Chapitre 5:
A. —
B. —
Champ d'application de la table de calcnl à courant
alternatif
Applications diverses
Marche à suivre pour l'étude d'un
table
Limites du champ d'application ..
réseau électrique sur la
Bibliographie.
Présentation de la thèse
La mise en service et l'exploitation des réseaux de transport et de distri¬
bution de l'énergie électrique posent aux ingénieurs et aux techniciens de
nombreux problèmes, les uns appartenant à la pratique courante, les autres
présentant jusqu'à présent un caractère de recherche.
Du côté électrique, la question des courants de court-circuit, le réglage
de la tension avec la variation de la charge, la distribution économique
des puissances actives et réactives et les projets d'extension et d'inter¬
connexion forment les préoccupations les plus fréquentes des ingénieurs.
Pour résoudre ces problèmes, il est nécessaire, en définitive, de pouvoir
déterminer la tension, le courant et leurs angles de phase en chaque
point important du réseau, pour n'importe quel régime de fonctionnement
et quelle que soit la configuration du réseau.
Or le demi-siècle qui vient de s'écouler a été marqué par un développe¬
ment prodigieux de la production et de l'utilisation de l'énergie électrique.
Ce développement s'est traduit par une extension et un enchevêtrement
intenses des réseaux de transport et de distribution, qui forment le lien
indispensable entre le producteur et le consommateur; de simples réseaux
étoiles qu'ils étaient au début, ils se sont transformés, avec les années,
en systèmes complexes maillés couvrant des territoires de plus en plus
vastes.
En conséquence, les problèmes posés aux ingénieurs d'exploitation —
quoique fondamentalement les mêmes — devinrent plus ardus à résoudre
mathématiquement et se posèrent, en même temps, de façon plus urgente.
En particulier, la tendance poussée vers l'interconnexion des réseaux et
l'exploitation à fond des ressources hydrauliques éloignées ont accru l'ordre
de grandeur des courants de court-circuit et l'importance d'une protection
1
sélective efficace, et ont mis au premier plan le problème de la stabilité,
qui appartenait jadis au domaine de la recherche.
De là, naquit et se propagea l'usage des tables de calcul électriques,
basées sur le principe de similitude, et permettant de remplacer par de
simples mesures une solution mathématique très laborieuse sinon im¬
possible.
Simples et peu coûteuses, les tables de calcul à courant continu se
répandirent les premières, et beaucoup de firmes et d'institutions tech¬
niques en firent l'acquisition dans le but de mesurer les courants de
court-circuit d'un réseau et déterminer la puissance de coupure des dis¬
joncteurs. Par suite des hypothèses simplificatrices admises dans la repro¬
duction du réseau sur la table à courant continu, les résultats obtenus
ne sont qu'approximatifs. De plus, la table à courant continu ne permet
pas l'étude de la stabilité et de la régulation des grands réseaux.
Aussi, en 1929, une douzaine d'années après la construction de la pre¬
mière table à courant continu, était réalisée la première table à courant
alternatif, et depuis, une trentaine en ont été construites dans le monde,
surtout en Amérique.
Durant ces deux dernières décades, les tables de calcul à courant
alternatif se sont avérées être un auxiliaire précieux de l'ingénieur, en
lui permettant de résoudre d'une façon élégante, rapide et précise, les
divers problèmes ci-dessus mentionnés, ainsi que d'autres problèmes élec¬
triques et non-électriques, assimilables à des circuits équivalents.En Europe, plusieurs pays (France, Angleterre, Allemagne, Autriche,...)
possèdent leurs tables propres. En Suisse, la possibilité de réalisation
d'une table est envisagée par l'industrie électrique, et l'École Polytech¬
nique Fédérale à Zurich, de son côté, s'y intéresse, ce qui a conduit à
la présente étude.
Elle a pour but d'exposer la nécessité et l'utilité de la table de calcul
à courant alternatif, ainsi que différents aspects d'avant-projet et de
construction.
Elle comprend trois parties:
La première partie analyse les difficultés rencontrées dans la solution
mathématique des réseaux maillés en fonctionnement normal, en court-
2
circuit et en régime transitoire de stabilité. Il en ressort qu'un calcul
exact est généralement impossible, et qu'une solution approximative con¬
duit à des développements algébriques excessivement longs et ennuyeux.
La seconde partie traite de la table de calcul à courant continu avec
ses erreurs et les limites de son champ d'application.La troisième partie s'étend sur la table de calcul à courant alternatif,
avec ses divers aspects théorique et pratique, ses multiples applicationset une description de quelques tables américaines et européennes.
Les noms de livres et d'articles de revues, auxquels il est référé
durant l'étude, sont réunis à la fin en une bibliographie, qui renseigne
d'une façon assez complète sur la littérature relative aux tables de calcul
électriques.
3
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PREMIÈRE PARTIE
Les difficultés rencontrées dans
la solution mathématique des problèmes
des réseaux électriques maillés
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CHAPITRE PREMIER
Les difficultés présentées par la solution
mathématique exacte des réseaux électriques maillés
en régime normal équilibré
A. — Représentation d'un réseau complexe par un circuit
maillé équivalent
Constitution d'un réseau. — Dans sa forme la plus simple, un systèmede force électrique se compose de trois parties (fig. 1):
(G/T-ll-i rlH-TRT
Fig- 1T
1° un centre générateur G, constitué par un ou plusieurs alternateurs
débitant sur des barres communes dans une centrale ;
2° une ligne de transmission L, simple ou double, avec ou sans trans¬
formateurs T de départ et d'arrivée, opérant à une tension plus ou moins
élevée suivant la distance à franchir et la puissance à transporter;3° un centre récepteur R, constitué par un ou plusieurs appareils con¬
sommateurs d'énergie, statiques ou rotatifs, ou plus généralement par un
centre de distribution avec ses transformateurs, ses appareils de réglage,son réseau de lignes à basse tension et ses récepteurs.
Lorsque le système, au lieu d'un centre générateur et d'un centre récep¬teur, en possède plusieurs, la ligne de transmission se métamorphose en un
réseau plus ou moins enchevêtré, composé d'un ensemble de lignes aériennes
et souterraines servant au transport de l'énergie depuis les générateurs
jusqu'aux récepteurs, à travers des sous-stations et postes de transformation,
de connexion, de compensation et de distribution.
7
Par extension, le terme réseau indique la totalité du système électrique.Quelque complexe qu'il soit, il est essentiellement constitué par des centres
générateurs et récepteurs de puissance active et réactive, reliés entre eux
par des lignes et des transformateurs.
Dans ce qui suit, nous envisageons des réseaux dont les phases sont par¬
tout géométriquement équilibrées, y compris les charges, et nos considéra¬
tions se rapportent au schéma unifilaire ou bien phase-neutre.
Appelons nœuds ou sommets les points de jonction de deux ou plusieurscircuits différents. Ainsi, dans le réseau de la figure 1, il y a quatre nœuds,
pris au sens strict. Si un transformateur ne comporte pas de prises de réglageet qu'il n'y a pas nécessité de le considérer comme un circuit indépendant,on peut l'agglomérer avec le centre ou la ligne voisine et réduire ainsi le
nombre de nœuds à considérer dans une étude. Le réseau de la figure 1, par
exemple, pourrait être ramené à trois ou deux nœuds utiles.
Dans une étude de fonctionnement normal où les régulateurs des cen¬
trales ont le temps de s'adapter aux changements de régime, ce sont les
tensions et les puissances aux bornes des centres générateurs et récepteursqui conditionnent les valeurs des courants, tensions et déphasages dans les
différents circuits du réseau, formés de lignes et de transformateurs.
On arrive alors à la schématisation suivante : les lignes avec leurs trans¬
formateurs forment, dans leur ensemble, un tracé polygonal en certains
nœuds duquel sont injectées ou absorbées des puissances actives et réactives.
Ce sont les nœuds actifs; les autres seront dits passifs.Entre deux nœuds, on pourra avoir une ligne simple ou double, un trans¬
formateur, ou plus généralement, une combinaison quelconque de lignes et
de transformateurs en série, sans dérivation latérale ; cette combinaison sup¬
pose, bien entendu, que seules les propriétés terminales nous intéressent.
Grâce à la théorie du quadripôle et des circuits équivalents, nous pouvons
remplacer chaque côté du tracé polygonal joignant deux nœuds utiles, quelleque soit sa constitution, par un circuit équivalent en tt, tenant compte de la
capacité des lignes et des courants magnétisants des transformateurs.
La théorie du quadripôle dit que le fonctionnement d'un groupement quel¬conque d'impédances ayant deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie
est défini par les équations suivantes :
V1 = AK + BI2Tt = CV2 + Dl2 {l)
liant entre eux la tension et le courant à l'entrée et à la sortie (fig. 2);A, B, C et D étant des coefficients complexes dont la valeur dépend de
la constitution du quadripôle.
8
Lorsque le quadripôle ne renferme pas de source interne d'énergie, commedans notre cas, les quatre coefficients sont liés par la relation:
S'il est symétrique:
AD — BC = 1
A = D
(2)
-^wvw—
A'eu/re
Fig. 2 Fig. 3
D'autre part, tout quadripôle de constantes A, B, C, D peut être converti,
en ce qui concerne les conditions terminales, en un circuit équiTalent en n
(fig. 3) ayant les valeurs suivantes :
Zj, = B
F, _-5 1
B
A — 1
(3)
B
Z12 étant une impédance joignant les bornes extrêmes; F,, F2 deux admit-
tances branchées en dérivation à chacune des bornes. Si A = D, il s'en¬
suit que:_
ri = y2
et le circuit en r est lui-même symétrique.
Cas d'une ligne seule. — Ainsi, une ligne à constantes uniformément
réparties est un quadripôle de constantes:
a = d = chyiï fZ
B = ZL^JZlYl
iz\YL(4)
^ vshfZL YL
L =ïl—
-——-—_
1ZL YL
Zl,Yh étant respectivement l'impédance et l'admittance totales de la ligne
par phase.
2 9
Le circuit en r. correspondant a pour constantes:
Z„ — B = Zl
F, = F,
shYZz, YL
1Z\YL
B 2
tghizLYL (5)
Cas d'un transformateur. — Un transformateur à deux enroulements
peut être remplacé par un circuit en T, généralement dyssymetrique, en
série avec un transformateur fictif parfait, dont le rapport de transformation
est égal au rapport des nombres de spires des deux enroulements. Le circuit
en T est formé de deux impédances en série — impédance primaire et impé¬dance secondaire — entre lesquelles se trouve branchée l'admittance Yt que
traverse le courant à vide du transformateur. Comme les essais ordinaires
ne donnent pas les valeurs séparées des deux impédances, on prend avec
une exactitude suffisante:
impédance primaire = impédance secondaire =-~—
Zt
Zt étant l'impédance mesurée par l'essai en court-circuit.
La figure 4 montre le circuit équivalent ramené au primaire; le trans¬
formateur fictif est alors placé sur le côté secondaire.
'Y,
Transformateur
(a) parfait1*1 •' B* .
-wwwww--
?
De la disposition symétrique en T (fig. 4 a), on passe facilement à la dis¬
position en n (fig. 4b) par la transfiguration étoile-triangle, qui donne:
10
Zn = zt [ TAT
+ 1
2Yr
'
<6>
Y, = Y„ =
ZtYt + 4
Coefficients complexes du transformateur considéré comme quadripôle:
ZiT Y T^ = fl= 1 +
2
ZT Yt \ (7)B = Zrll +
C = YT
Lignes et transformateurs en série. — Si on a plusieurs lignes et trans¬
formateurs en série entre deux nœuds utiles, on peut les ramener à un
quadripôle équivalent unique que l'on réduit ensuite à un circuit équivalenten n au moyen des relations (3). Ce circuit en n ne sera pas, en général,
symétrique.
En définitive, on aura remplacé le réseau entier de lignes et de trans¬
formateurs par un circuit maillé équivalent formé d'impédances joignant les
nœuds deux à deux, et d'admittances branchées entre nœud et neutre, réel
ou fictif.
Pour supprimer les transformateurs fictifs parfaits, on ramènera toutes les
impédances et les admittances à une tension de référence unique, en multi¬
pliant — ou en divisant — par le carré du produit des rapports de nombres
de spires des divers transformateurs qui séparent l'élément considéré de
l'élément de référence ; il n'est pas tout à fait correct de prendre, comme on
le fait, le carré du rapport de la tension de référence à la tension locale.
Les transformateurs à changement de prises conserveront un rapport
fictif t égal à l'unité en régime nominal et donné en toute circonstance par
_
rapport actuel des nombres de spires
rapport nominal des nombres de spires
B. — Équations générales du circuit maillé équivalent
Considérons le circuit maillé représentatif d'un réseau électrique, et
possédant un nombre quelconque n de sommets ou nœuds utiles, reliés deux
à deux par des circuits en n. Le nombre de ces circuits en n peut varier
11
entre un minimum de (n — 1) dans le cas d'un réseau purement étoile
(fig. 5 a) ou série (fig. 5 b), et un maximum de -„- (n— 1) lorsque les
sommets sont reliés de toutes les manières possibles (fig. 5 c).
C'est ce dernier cas, qui est le plus général, que nous voulons considérer.
Numérotons les nœuds ou sommets de 1 à n, et désignons par
les puissances apparentes qui y sont injectées ou absorbées, par
•M? *2> ^81 • • •> 'k> • j *n
les courants correspondants, et par
vlt v2, v3,..., vk, ...,vnles tensions.
Pour la généralité du calcul, nous allons supposer que tous les nœuds sont
connectés à un centre générateur ou récepteur, quittes ensuite à mettre
S = 0 là où le nœud est un simple croisement de lignes.
Chaque nœud est donc caractérisé par une tension V, une puissance S
reçue ou fournie par le réseau, et le courant correspondant /, ces trois
quantités complexes étant liées par l'expression:
s = vr- (8)
où /* est la quantité conjugée du courant /.
Découpons dans notre circuit maillé l'étoile formée par les (n — 1)circuits rayonnant autour d'un nœud quelconque, soit le nœud 1 rattaché
à un centre générateur, par exemple (fig. 7). Pour la simplicité d'écriture,les impédances Z12, Z13, . . ., Z\n joignant le nœud 1 aux autres nœuds
«ont remplacées par leurs inverses, les admittances Y12, Y1S, . . ., Yi„.
12
D'après la première loi de KiRCHHOFi,J le courant fourni par le centre géné¬rateur au nœud 1 est égal à la somme vectorielle des courants partant du
nœud soit dans les branches rayonnantes, soit dans les admittances au
neutre branchées au point 1.
h S-VI
~
MO + M2 + MS + + hk +
D'après la loi d'Ohm:
mo~~
*\ MO
h, = (m - VjYlt
Iik = (m - Vu) F,fc
+ hn (9)
(10)
hn = (^ — Vn) Ym
Les doubles indices servent à rapporter les courants et les admittances aux
nœuds qu'ils désignent ; l'indice o réfère au neutre ; Yw indique l'admittance
totale branchée entre le nœud 1 et le neutre, c'est-à-dire la somme des
admittances au neutre provenant de la décomposition en n des circuits
rayonnant autour du nœud 1 ; Iw est le courant absorbé par Y10.
Remplaçons les courants dans l'équation (9) par leurs valeurs prises aux
équations (10):
~V\=
m F10 + (V, - F2) 7i2 + (_M - Vs) Y1S + .._.
+ (vt - vk) ru + ... + {v, - vn) yln
= VATio + f12 + rm + ... + flfc +._..
+ Fln)-F2f12~VsYn- ...
- VkYlk -
...
- V, Ym
13
En posant:
F, = F10 + F12 + F13 + . .. + F« + • • • + Yln
tvkYk = V2 Y12 + V., F18 4-... + F* Flfc + ... + Vn YXn
k - 2
l'équation du nœud 1 est abrégée sous la forme:
§,= V,Yi-tvkYlk (11)V\ k = 2
L'équation d'un nœud rattaché à un centre de consommation, 2 par
5*exemple, aura le terme
-=^-affecté du signe négatif:
- -fi- = V2 F2 - t Vk Y2k (12)y 2 *; = i
fc * 2
D'une façon générale, l'équation d'un nœud quelconque k est donné par:
+ 4£- + 14 y* — 2 v* y** = o (13)Vk fc= i
fe * k
Yk = FfcO 4" 1*1 + Yk2 + . . . + Y/ch + . . . + Ykn
= somme totale des admittances partant du nœud k vers le neutre
et vers les autres nœuds;Yko = somme des admittances branchées entre k et le neutre, et prove¬
nant de la décomposition en n des circuits rayonnant autour du nœud A; ;
Fjti, Fm, .. -, Ykh, . ., Ykn — admittances reliant directement le nœud k
n aux autres nœuds;
2jyh Ykh = somme des termes de même forme obtenus en donnant à
£=i h toutes les valeurs de 1 à n, sauf k.
Le signe de -=^- est positif si le nœud est pourvu d'un centre récep-Vk
teur, négatif s'il est réuni à un centre générateur. Notons que :
Ykh = Yhk
Pour chaque nœud, on peut établir une équation analogue à (14) basée
sur la première loi de Kiechhofp, ce qui fait en tout n équations, simul¬
tanées et indépendantes, de même forme. Pour un réseau donné, ces
équations contiennent 2 n paramètres vectoriels :
14
n tensions Vx, V2, V3, ...,Vn
et n puissances apparentes Sj, S2, 53, .
..,S„,
que l'on peut exprimer en notation complexe:
^1 = vi + ; "1 ou VI = vi — i «i
V2 = v2 + î ui * VI = v2 — ; u2
et
' w V-n l ,/ W»! n Vn — Vn / Un
Sj = Pi + j Qi «u ^r =px— j qt
S2 = p2 + j q2 BSI = p*— j q2
an Pn ~T J Çn ri ^n Pn J Qn
ce qui fait:
n puissances actives plt p2, ...,p„;
n puissances réactives qu q2, ...,qn;
2n composantes rectangulaires de tensions: n composantes
(vlt v2, ...,vn) en phase avec l'axe origine des argu¬
ments et n composantes (itj, u2, ...,un) en quadratureavec cet axe.
en tout: An paramètres algébriques.
Nous pouvons prendre l'une quelconque des tensions du système comme
origine des phases; soit Vu cette tension; nous pouvons alors écrire:
vk = \vk:Uk = 0
et le nombre de paramètres algébriques se trouve ainsi réduit à (An — 1).Or le fonctionnement du réseau est défini par n équations vecto¬
rielles simultanées que l'on peut dédoubler, par séparation des partiesréelles et des parties imaginaires, en 2n équations algébriques. Pour con¬
sidérer ce système comme déterminé, il faut que le nombre d'inconnues
ne dépasse pas 2«+ ; comme il y a en tout (An — 1) paramètres algébriques,il est nécessaire, par conséquent, d'en connaître:
(An— 1) — 2n = In— 1
+ Si le nombre d'inconnues correspondant à un certain régime est inférieur à
2», le nombre d'équations distinctes est réduit en conséquence; on aura autant d'équa¬
tions indépendantes que d'inconnues. Par contre, s'il y a plus de 2w inconnues, le
système est indéterminé algébriquement.
15
En réalité, aux nœuds passifs, qui ne servent pas à la réception ou
à la fourniture d'énergie, la puissance S avec ses deux composantes p et
q est nulle, ce qui fait deux inconnues en moins, de sorte qu'on pourraitdire plus simplement que le régime d'un réseau est défini entièrement par
(2n'— 1) paramètres algébriques, n' étant le nombre de nœuds actifs.Ce résultat signifie, théoriquement, que l'on peut choisir d'une façon
arbitraire les valeurs de (2n'— 1) paramètres — tensions, puissances — et
obtenir, au moyen des équations des nœuds, le ou les systèmes de solu¬
tions correspondantes; on exprime cela en disant que le réseau possède(2/T — 1) degrés de liberté.
Lorsque le réseau comporte des appareils de réglage de tension, le
nombre de paramètres croît en conséquence.
i \AAAAA/W-b
(b)
Pig.7
Si dans la liaison entre deux nœuds, k et h par exemple, se trouve,comme dans la figure 7 a, un transformateur parfait à rapport variable
égal à tkh fois le rapport nominal, nous pouvons transférer l'admittance
y'k de k' en k, en la divisant par tkh, et écrire pour le circuit équivalentde la figure 7b:
VI = Vh +
Klvi
'
Ikh
Ykh
Ikh
Ikh
= vh +
tkh
tkhIIkh
'kh
Kltkh
16
d'où:
/~ ff * kh xt Ikhkh — 'k 2
' h
tkh tkh
et l'équation générale du nœud k prend la forme:
+ _**_ + Vk Y* ~ 2 ^^-= 0 (14)
VI * -1 /khfc + A:
?i = F,o + ^-+ -% + ... + -% (t= 1 ou^l),tkl ticZ tkn
Yko = somme des admittances au neutre branchées directement au nœud k
ou transférées en k après une division par tkh',
£ Alk =JjlJ*L.
+Âlk_
+ . .. +ÂI*5_
(t = 1 ou j= 1).* = } tkh tkl tk2 tknh =b k
Bien entendu, dans les circuits où il n'y a point de transformateur à
prises de réglage, t prend la valeur unité. S'il y a en tout s transforma¬
teurs réglables, le nombre total de paramètres algébriques passe de
{An — 1) à (4« — 1 -\- s), et comme on ne dispose que de 2/i équations,il faudra connaître la valeur de (2n -f- s — 1) paramètres pour que le
système soit entièrement défini.
Le nombre de degrés de liberté du réseau est alors égal à:
2n + s — 1
ou, si certains nœuds restent passifs, à:
2 n' + s — 1
n étant le nombre total de nœuds, n' le nombre de ceux d'entre eux quisont actifs.
Données pratiques. — Les paramètres nécessaires à la détermination du
régime de fonctionnement d'un réseau se recrutent, en pratique, parmitrois groupes de données:
1 °
D'après les courbes de charge précédentes, la nature de la chargeet les statistiques d'accroissement de la consommation, on connaît ou on
peut estimer les puissances actives et réactives ou bien les puissancesactives et les cos <ç des centres récepteurs. Lorsqu'un compensateur est
branché en parallèle avec un récepteur, la puissance réactive empruntéeau réseau ne correspond plus au cos <p de la charge ; par contre, le com¬
pensateur maintient au nœud une tension connue en grandeur.
2 17
2 Du côté de la production, les centrales se répartissent en trois caté¬
gories différentes d'après leur mode de contribution à la fourniture de la
courbe de charge du réseau (fig. 8) :
a) les centrales de base, dont celles à production obligée comme les cen¬
trales au fil de l'eau, produisent d'une façon ininterrompue et plus ou moins
uniforme ; elles fournissent la base du diagramme de charge. La puissanced'une usine au fil de l'eau subit une variation saisonnière mais peut être
considérée comme constante durant une même journée;
À /
fi /fJ Ï
j ! Kr^.J.!___.
v l
l
L l_
i N.
0 4 8 12 16 20 24heures
Yig. 8
b) les centrales à programme préétabli ont à fournir le corps du dia¬
gramme. On leur assigne d'avance une certaine courbe de production. A
cette catégorie appartiennent les centrales à vapeur, les centrales hydrau¬liques à faible capacité d'accumulation et les fournitures d'énergie par
des réseaux étrangers, qui sont basées sur des accords passés à l'avance
entre les sociétés;
c) les centrales de pointe ont à faire face à tous les excédents de
puissance que les centrales précédentes n'ont pas fournis: pointe, varia¬
tions rapides et imprévisibles de la charge, pertes dans les lignes; en
même temps, elles servent à régler la fréquence du réseau. Pour ce double
rôle, s'apprêtent les centrales hydrauliques à réservoir et canal d'amenée
en charge, les installations réversibles d'accumulation par pompage, etc.
Bref, on connaîtra les puissances actives débitées par les différentes
centrales du réseau, sauf la (ou les) centrale régulatrice de fréquence ou
centrale de pointe.
3° Enfin, en plusieurs nœuds importants, la tension est réglée à une
valeur fixe, connue donc en grandeur, pour servir de base à la régulation du
réseau. Tel est le cas des bornes des centrales et des points où agissent des
compensateurs synchrones ou des transformateurs à changement de prises.
18
C. — Difficultés présentéespar la solution des équations générales
Le régime de fonctionnement normal d'un réseau à n nœuds est donc
défini par les n équations vectorielles suivantes (écrites pour t — 1):
+sr
+ V,Y,~- Ê Vh Ylh = 0
/i = 2
+si
+ V2 Y2 --t Vh Y2h =h = I
h + 2
0
+si
VI+ Vk F,, --t Vh Ykh = 0
fc = i
h 4, k
(15)
+ -§-+ VnY„-^ VhYnh = 0Vn h = 1
On voit tout de suite que lorsque la tension au dénominateur du terme
S*-— est inconnue, l'équation correspondante n'est plus linéaire. En outre,
des paramètres vectoriels, l'on connaît tantôt le module, comme dans le
cas des tensions réglées, tantôt l'une des composantes, comme les com¬
posantes actives des puissances apparentes injectées par les centrales. Il
convient, dans ces conditions, de dédoubler les équations vectorielles en
équations algébriques en mettant:
Y=a + jbV=v+ju V*=v—ju (16)S = p+jq S* = p—jq
Considérons l'équation générale du nœud k:
+ 4V + Vk Yk—t Vh Yuh = 0Vu h = 1
h * k
et remplaçons les termes vectoriels par leurs composantes en phase et
en quadrature:
+ J>k~}qk + (vk + j uk) (ak + j bu)vk — j uk
n
— H (Vh + j Uh) (auh + j buh) = 0
h= 1
h i* k
19
Faisons disparaître le dénominateur (vk — j uk)
+ {Pk — ; qi) + (vk + ; uk) {vk — j uk) (ak + j bk)
— H (vh + j uh) (vk — j uk) (akh + j bkh) = 0
ft= i
h * k
Effectuons et séparons les parties réelles des parties imaginaires ; il vient :
+ Pk + {vl + ul) akn
— Yi (vk Vh akh + uk uh akh — vk uh bkh + vh uk bkh) = 0
h - î
h * k (17)+ qk + (vl + ul) bk
n
— I] (vk vh bkh + Uk Uh bkh + Vk uh akh — vh uk akh) = 0
h= 1
h * k
n
La somme 2] porte sur tous les nœuds reliés directement au nœud k.
h— 1
h * k
Pour chaque régime de fonctionnement, il faudrait résoudre un systèmede 2re équations algébriques analogues, à In inconnues, et du second
degré en v et en u.
Première difficulté: Les équations ne sont pas linéaires
La première et grande difficulté à laquelle se bute la solution des équa¬tions est qu'elles ne sont pas linéaires, de sorte que l'élégante méthode
des déterminants pour calculer les inconnues ne peut être appliquée.On doit recourir à l'élimination, qui est le procédé général pour résoudre
un système d'équations algébriques simultanées. Le but de l'élimination
est la formation de l'équation finale, dont les racines concourent avec des
valeurs correspondantes des autres inconnues, à former les systèmes de
solutions des équations proposées.Lorsque ces dernières sont du premier degré, l'équation finale est aussi
du premier degré. Mais lorsque les équations proposées sont d'un degré
supérieur au premier, l'équation finale peut atteindre un degré bien
plus élevé.
Théorème de Bezout. — Soient:
/", =0, F8 = 0, ..., F. = 0
n équations algébriques de degrés dt, d2, ...,dn respectivement et
contenant n inconnues. Chacune de ces équations est la plus générale
20
possible. Bezout a établi, le premier, le théorème suivant connu de son
nom [B. 5] *: « Le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination
de (n — 1) inconnues entre n équations à n inconnues est égal au pro¬
duit des degrés de ces équations, lorsque celles-ci sont complètes et que
leurs coefficients demeurent indéterminés. »
Si d dénote le degré de l'équation finale, le théorème de Bezoct
s'exprime par;d = dy x d., x ds x
...x dn ('8)
Remarque. — Dans le passage d'un système d'équations générales à
un système d'équations particulières de mêmes degrés, le degré de l'équa¬tion finale peut s'abaisser, soit par l'évanouissement de quelques termes,
soit par la suppression d'un facteur.
Or il est démontré en Algèbre Supérieure, dans la théorie des équa¬tions, qu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations de
degré supérieur au quatrième.Il y a bien des méthodes de solution approximatives, comme celle de
Newton qui permet d'atteindre toute la précision que l'on veut, mais
elles sont longues et laborieuses. D'ailleurs l'obtention même de l'équa¬tion finale n'est pas exempte de difficultés, et requiert l'application de
la théorie des équations, vu que la procédure usuelle par éliminations
successives n'est applicable qu'aux équations du premier degré [B. 5],
Deuxième difficulté: Les équations ne sont pas rationnelles
Une seconde difficulté est que les équations du réseau maillé ne sont
pas, bien souvent, rationnelles mais contiennent des radicaux. En effet,des tensions aux nœuds ne sont connues, en pratique, que les valeurs
scalaires seulement, c'est-à-dire:
\v\= l^Tû"
L'une des composantes devra être écrite en fonction de l'autre sous la forme :
v2 = yw^iî* ou u* = yyt^v*
ce qui introduira dans les équations de nombreux radicaux. Pour les
éliminer, il faudra élever au carré plusieurs fois successivement, ce quidonnera des équations de degré supérieur, déjà avant le procédé d'élimi¬
nation des inconnues.
Jusqu'ici, nous avons supposé que toutes les admittances Y12, YVi, . ..,
t L'initiale majuscule B. placée entre crochets renvoie à la bibliographie.
21
Yin, . . ., Ffcft, . • . représentant les lignes et les transformateurs
étaient connues, ce qui n'est pas toujours le cas comme, par exemple,
lorsqu'on projette une nouvelle extension ou liaison dont on veut déter¬
miner les valeurs les plus favorables. Il en résulte de nouvelles inconnues
en a et en b — qu'il faut compenser par des tensions et des puissances —
et, par conséquent, des équations du troisième degré en u, v et a ou b.
Enfin, faut-il déterminer la zone de réglage des transformateurs à
changement de prises, les termes en t et t2 s'introduisent dans les équa¬tions du circuit maillé et élèvent leur degré depuis le début.
Toutes ces considérations, appuyées par la théorie des équations,montrent qu'une solution mathématique exacte des réseaux maillés est
impossible dans la grande majorité des cas pratiques qui se présentent.A défaut de tables de calcul à courant alternatif, on est obligé de
recourir à des méthodes approximatives.
D. — Méthodes de solution approximativesdes réseaux maillés
Plusieurs méthodes approximatives sont employées en pratique courante
ou ont été proposées par des auteurs pour la solution mathématique et
graphique des réseaux maillés, lorsqu'on ne dispose pas de table à calcul
électrique. Ces méthodes sont basées sur divers théorèmes dérivés des
lois d'OaM et de Kirchhoït, tels que le théorème de superposition, le
théorème de Thévenin, les théorèmes de transfiguration de Rosen et de
Kennelly.
Nous citons les méthodes suivantes.
Méthode de proche en proche avec application des
théorèmes de superposition et de Thévenin
Exemple illustratif. — Deux centrales G, et G3 alimentent deux sous-
stations R2 e^ ^i au moyen d'une boucle d'interconnexion à haute tension
(fig. 9). Les centrales règlent la tension aux bornes de leurs transforma¬
teurs à une valeur constante et laissent varier librement la tension aux
bornes des sous-stations; celles-ci ont des appareils de réglage distincts qui
compensent les fluctuations de tension dues aux variations de régime du réseau.
Gt est une centrale au fil de l'eau qui fournit la base du diagrammede charge avec une puissance active constante pv La centrale G3 fournit
le reste de la demande en réglant la fréquence.
22
Il s'agit de déterminer:
1 ° les tensions V2 et Vt aux bornes des sous-stations,
2° la distribution des puissances actives et réactives dans la boucle,
3° la puissance fournie par la centrale G3 (active et réactive),
tout cela pour un état de charge donné des sous-stations (p2, q2; p4, q4)-
©/>lt y,
p*.?«
Ki d i)
H22 b 3 ®— v,
fli 9i Fig. 9
La boucle comporte 4 nœuds utiles et actifs, réunis par 4 lignes à haute
tension que l'on peut considérer comme 4 quadripôles ou 4 circuits en n.
n = 4
Nombre de paramètres nécessaires pour déterminer le système:
2n — 1 = 7
En effet nous connaissons:
Pi
Vu V,
Pi, 92
?4, qt
Nous prendrons Vl comme origine des phases :
V\, "î 0
Équations de la boucle:
--^- + Vx F, - (Vt F12 + V4 Yu) = 0
+ -§-+ Vt?t-(V1Ytl+ F3F23) = 0
-^-+VBY9- (V2 F32 + V4 Yu) = 0
"3
+ -^ + F4F4-(F1F41+ F3Fr 4
43'0
23
4 nœuds, 4 équations vectorielles que l'on peut dédoubler en 8 équations
algébriques en écrivant:
Sl = Pi—J9i> 52 = Ps—jqa> & =P»— Jl3> St= qi—jq*,
V\ = vi +M> ^2 = v, + ju2, V3 = v3 +jus, K = vt +jut,F*= Vl
—
jU], vi = V2 JU2, V\ = vs—jus, V*4 = Vi—jtti.
En remarquant que:
0
t>3
on a en tout 8 inconnues :
Les 8 équations, liées à une solution exacte, consistent de:
2 équations du premier degré;2 équations du second degré;4 équations irrationnelles qui, par élimination des
radicaux, passent au quatrième degré... !
Solution approximative par application des théorèmes de super¬
position et de Thévenin
©A y/y
fi'J 1
a
H, —- ,2
R»
1 °
Supprimons la ligne «b» connectant les nœuds 2 et 3 (fig. 10). Il en
résulte que : p2'a = p2
qL = q2
Un quadripôle, considéré isolément, est entièrement défini par 3 para¬
mètres algébriques. La ligne «a», avec {pô.a, 920, ^1) est donc déter¬
minée et sa solution nous donne (p{a, qL, ^2); on en déduit:
pu = Pi— pu
Les lignes « c » et « d », considérées isolément, ne sont pas déterminées.
La seule possibilité est de tâtonner. On suppose une certaine valeur pour
24
Vî, par exemple, et on résout sur cette base la ligne d (avec Vl, Vl, pu)puis la ligne «c» (avec V\, p4c, <74'c). On obtient alors, pour le nœud 3,une tension V'3 très probablement différente de la tension réelle Vy On
suppose une autre valeur pour V4, et on recommence la procédure. On
tâtonne ainsi plusieurs fois et on trace une courbe des valeurs trouvées
pour V3 en fonction des valeurs supposées pour V'4 (fig. 11); de cette
courbe, on déduit la valeur de V'4 correspondant à la vraie tension Vy La
boucle est ensuite achevée normalement, ligne «d» puis ligne «c».
Fig.11
2° Remettons la ligne «b» en place (fig. 12). Sous l'action de la diffé¬
rence de potentiel V3 — V'v un courant va circuler dans la ligne et se
répartir dans le réseau pour s'y superposer au régime précédemment cal¬
culé. Une détermination exacte du régime de superposition devrait tenir
Fig. 12
compte des impédances des lignes et de leurs capacités, ainsi que des
admittances équivalentes de tous les centres générateurs et récepteurs.Pour éviter de très longs calculs, on ignore en pratique les admittances
en dérivation et on considère simplement les impédances en série du
circuit. Le théorème de Thévenin permet alors d'écrire pour le courant
de superposition:
V3- V'2h =
Zb + Z(19)
23
3 25
Zr étant l'impédance du réseau vu des deux points 2 et 3, d'où :
r F3-F2lg = —= = =: =
^12 ~t~ ^23 1 ^34 + Zi41
Ce courant peut être exprimé sous forme de puissance et combiné au
régime préexistant pour donner une première approximation du régimetotal; en effet, la superposition du régime de Thévenin pourra affecter
certaines grandeurs connues, telles que les tensions aux bornes des cen¬
trales, ce qui nécessitera des retouches.
Lorsque le réseau à étudier se compose de plusieurs boucles, on les
ouvre toutes d'abord, puis on les ferme une à une en appliquant chaquefois le théorème de Thévenin. Autant de boucles, autant de régimes de
superposition dont la somme, ajoutée au régime premier, approchera plusou moins le régime réel de fonctionnement du réseau. Ainsi pour un
réseau maillé comme celui de la figure (13), on superposera le régimecréé par l'introduction de la ligne « e » aux régimes étudiés de la manière
précédente.
Pig. 13
On voit que cette méthode approximative de proche en proche comporte :
1 ° des tâtonnements, lorsqu'on s'arrête à un circuit qui n'a pas les
paramètres algébriques requis pour pouvoir le résoudre directement. Pour
raccourcir les tâtonnements, il convient de disposer des abaques des diffé¬
rents circuits joignant les nœuds;
2° des approximations, à cause de l'omission des admittances en déri¬
vation dans le calcul des régimes de superposition. On pourrait en tenir
compte, à la rigueur, mais la méthode, en devenant très longue et ennu¬
yeuse, perdrait de son intérêt pratique;
3° des retouches, pour ramener à leurs valeurs réglées ou données lés
tensions ou charges que la composition des régimes aura modifiées.
A mesure que la configuration du réseau se complique, les tâtonne¬
ments et les calculs augmentent considérablement, et la répétition des
approximations tend à éloigner, de plus en plus, le régime final du
régime réel.
26
Méthode générale proposée par M. Lavanchy [B. 4]
La méthode consiste à ramener le réseau à n nœuds à un réseau de
deux nœuds seulement, par la suppression de (n-2) sommets, cette sup¬
pression étant obtenue au moyen de (n-2) transfigurations successives
dont chacune s'applique aux mailles rayonnant autour du sommet dont
on envisage la suppression.Les formules de transfiguration ont été développées par M. Lavanchy
en se basant sur les théorèmes de Kennelly et de Rosen.
Le théorème de Rosen dit qu'une étoile à n branches S0S,, S0S2,
S0Sa, ...,S0Sn, peut être remplacée par un circuit polygonal équivalent
constitué par -~- n (ra-1) conducteurs joignant deux à deux les sommets
S1} S2, .. ., S„ (S0 étant éliminé). Lavanchy généralise ce théorème en con¬
sidérant que l'étoile à n branches est pourvue d'une dérivation Y0 attachée
au sommet central que l'on veut supprimer. L'étoile est ensuite transfiguréeen réseau polygonal sans le sommet S0, avec un ensemble de n dériva¬
tions (Y1, Y2, ..., Yn) attachées aux sommets Sx, S2, ..., S„. Ces n déri¬
vations remplacent la dérivation Y0 supprimée.
Chaque transfiguration élimine un nœud du réseau original, le nœud
qui forme le centre de l'étoile que l'on transfigure. Par éliminations suc¬
cessives, le réseau original est réduit à un réseau simple à deux sommets
sur lequel les calculs peuvent être facilement effectués; on revient ensuite
au réseau réel en calculant de proche en proche les tensions aux nœuds
supprimés, par les formules développées à cette fin.
La méthode de Lavanchy a le mérite d'éviter les longs tâtonnements,de prendre en considération tous les éléments du réseau, les admittances
en dérivation aussi bien que celles en série, et d'être simple et générale.
27
Cependant, elle comporte un point faible, une approximation initiale
qui, appliquée aux équations de fonctionnement des réseaux maillés, les
rend linéaires et permet ainsi une solution directe par déterminants.
En effet, avant d'effectuer les transfigurations, il est nécessaire, pour les
besoins du calcul, de remplacer par des admittances équivalentes les centres
générateurs et récepteurs attachés aux nœuds que l'on veut supprimer.
Les lignes et les transformateurs sont remplacés par des circuits équi¬valents.
Un centre récepteur consommant une puissance p -f- jq à la tension V
est remplacé par une simple admittance donnée par:
F=-^- (20)
De même, un centre générateur sera remplacé par une admittance ayantmême expression mais affectée du signe négatif.
Or, en pratique, la tension aux nœuds connectés à des centres récep¬teurs (P. 39) de même que la puissance réactive fournie par une centrale
appartiennent justement aux inconnues qu'il faut déterminer. Pour pouvoirtoutefois représenter les centres générateurs et récepteurs par des admit¬
tances équivalentes, il faut faire au début l'hypothèse provisoire des
valeurs scalaires qui manquent à l'expression (20): pour un centre récep¬teur dont on connaît p et q, ce sera V; pour une centrale, dont on con¬
naît p et V, on fera l'hypothèse du cos ç aux bornes, d'où q.
Un premier calcul permettrait de corriger les valeurs supposées et
d'atteindre une précision plus grande; par corrections successives, on
pourrait atteindre toute la précision désirée.
Mais dans ces conditions, au lieu de recourir à tant de calculs de
transfiguration et de simplification puis de reconstitution de réseau, ne
serait-il pas préférable de résoudre directement les équations de fonctionne¬
ment, rendues linéaires au préalable par la même approximation dont fait
usage M. Lavanchy?
Reprenons l'équation générale d'un nœud quelconque k:
± 4§- + Vk Vk - t Vh Yuk = 0
Vu fc = 1
h * k
§"C'est le terme +^=7- qui est responsable de rendre l'équation non-linéaire.
Multiplions-le en haut et en bas par la tension Vu; il vient:
28
4-^ X Vk
_
, (Pk~- j gfc) y _,y y (OU
±~~nVfi~~±
hVk~±Ykk Vk (21)
Yku étant l'admittance équivalente du centre générateur (—) ou récep-teur (+).
^En remplaçant ainsi dans toutes les équations le terme _^ par le
terme équivalent Ykk Vk, on obtient le système linéaire suivant:
± Vi Yn +V1Y1-liVh Ylh = 0h
± vï f22 + f2 r2 _ £ p, f2h = o
± Vn Ynn+ VnYn-Z Vh Ynh = 0h
ou plus simplement:
Vx (Y, ± Fu) - I FA Flk = 0h
V2(Y2±Yi2)-YlYhY2h = 0h
K(Yn± Ynn)~YiVhYnh=0h
n équations vectorielles simultanées à n inconnues Vx, V2, ...,V„ dont
on pourrait écrire directement la solution, au moyen des déterminants,sans besoin de les dédoubler. Une première solution pourrait servir à
ajuster les valeurs scalaires supposées et améliorer ainsi la précision des
résultats; comme pour la méthode par transfiguration, un ajustement
répété des valeurs supposées permet d'atteindre la précision désirée, au
prix de la révision des calculs chaque fois.
Cette méthode de solution d'un réseau, qu'elle soit par transfigura¬tion ou par équations rendues linéaires, peut sembler paradoxale, car
elle est basée sur l'hypothèse provisoire des quantités que l'on ignore et
que l'on veut justement déterminer par la suite. Aussi, l'hypothèse sera
souvent arbitraire et donnera lieu à des résultats grossièrement approchés
après le premier calcul, qu'il faudra améliorer pas des corrections suc¬
cessives.
Conclusion
Récapitulant l'exposé des paragraphes précédents, nous arrivons aux
conclusions suivantes:
29
(22)
a) une solution algébrique exacte des réseaux maillés s'arrête à deux
obstacles : d'abord, le procédé d'élimination des inconnues entre des équa¬tions généralement de degré supérieur au premier et souvent irration¬
nelles; ensuite, la solution de l'équation finale lorsque celle-ci est de
degré supérieur au quatrième. Ces deux obstacles empêchent, dans la
grand majorité des cas pratiques, une résolution directe des équations de
fonctionnement ;
b) une solution d'approche par la méthode de superposition, la méthode
de transfiguration ou par les équations de fonctionnement rendues liné¬
aires est toujours possible. Mais elle comporte forcément des tâtonne¬
ments et des approximations, et nécessite ensuite des retouches. Une
amélioration des résultats est obtenue au prix de maintes répétitions de
calculs et retouches. Ce travail d'approche devient long et fastidieux
lorsque la configuration du réseau se complique et que le nombre de
nœuds à considérer s'accroît. En outre, il doit être entièrement refait
pour chaque condition de charge.
En reproduisant à une échelle réduite le réseau réel, la table de calcul
à courant alternatif épargne tous ces calculs, dispense des approximationset permet d'obtenir par de simples mesures la solution exacte des 2n
équations algébriques.
30
CHAPITRE DEUXIÈME
Les difficultés présentées
par le calcul des courants et tensions de court-circuit
symétrique et dyssymétrique
A. — Considérations générales
Lorsqu'on ferme brusquement, sur lui-même, un circuit composé d'une
résistance R et d'une self-inductance L, et soumis à une force électro¬
motrice sinusoïdale
e = \ 2 E sin {tôt + a)
oril insm-
R L
Fig. 15
le courant de court-circuit est donné, à chaque instant après la fermeture,
par l'équation différentielle:
Ri + L~ = \2Esm(wt + a) (1)
La solution complète de cette équation est:
][2Ei =
'
-1<sin (w t + a — 0) — sin (a — 0) e (2)
\/R2 + L*w*
a fixe la valeur de la f. é. m. e à l'instant t = 0 de fermeture, priscomme origine des temps;
0 est l'argument de l'impédance Z = R + jLco = Z [â_.
31
L'expression du courant de court-circuit se compose de deux termes:
VU Fia = —^—
sin (wt-{-a — 6) est un courant sinusoïdal permanent, dit
E« composante alternative », de valeur efficace —= ;
le =\2E
sin (a — 0) e
--§-'est un courant transitoire qui s'amortit
suivant une loi exponentielle, avec une constante de temps T = -p- ; il est
dit « composante continue ». Son amplitude dépend de l'angle a ; elle est
VU F k
maximum et égale à—y— lorsque a = 0 +_ -~- ; dans ce cas, l'onde de
courant total i accuse une dyssymétrie maximum et peut atteindre, durant
la première période, presque le double de la composante alternative (fig. 16 a).
Fig. 16
Par contre, lorsque a— 0, le terme exponentiel n'apparaît pas, et l'onde de
courant i est symétrique et se réduit à la composante alternative ia (fig. 16b).Il est à remarquer que la composante continue s'éteint très rapidement,
comme le montre le tableau suivant, qui donne la constante de temps T,
en secondes et en périodes, pour quelques valeurs usuelles de-j—.
R
Lco1/20 1/10 1/4 1/2 1
T = -fr sec. 0,0637 0,0318 0,0127 0,0063 0,00318
T en périodes 3,1 1,6 0,63 0,31 0,16
Plus la résistance du circuit est relativement grande, plus l'amortisse¬
ment est rapide.Un interrupteur, qui agirait après un temps t, aurait à couper un
courant efficace égale à:
32
/ = in + n = +EV2 *
—y— sin (a — 0) e
1 + 2 sin2 {a — 6)e->f<
+ 2 sin2 (a — 6) e
(3)
Le courant de rupture dépend donc de l'instant de court-circuit a, du
rapport -j—du circuit joignant la f. é. m. au point de court-circuit, et
du temps t qui s'écoule jusqu'à l'intervention des disjoncteurs.
Exemple: a = 6
Courant efficace de rupture
yRILu) 1/20 t = 0,08 sec.
314"2 X
~20~X 0,°8
/=/Bn +2c = /„ X 1,084
Ainsi, dans ces conditions particulièrement favorables pour la composante
continue, le courant de rupture n'est que de 8,4 °/o plus grand que la
valeur efficace de la composante alternative seule.
Par contre, dans le calcul des efforts électrodynamiques, c'est le courant
de pointe initial (imax) qu'il faut considérer.
Court-circuit d'un alternateur synchrone. — Passons maintenant au
cas d'un alternateur synchrone aux bornes duquel on établit brusquementun court-circuit symétrique.
- Courant de court-circuit total
- Composante continue
Pig. 17
De nouveau, le courant de court-circuit se compose d'une composantecontinue exponentielle, qui s'éteint en quelques périodes, et d'une compo¬
sante alternative (fig. 17); mais cette dernière, au lieu d'être constante
33
comme dans le circuit fictif précédemment étudié, subit un amortissement
progressif dû à la réaction d'induit, jusqu'au moment où elle se fixe à
une valeur constante de régime permanent. L'allure de cet amortissement
dépend de la variation des flux à l'intérieur de la machine, qui, en vertu
de la loi de Lenz, ne peut pas se faire brusquement. Il s'ensuit que la
reactance apparente de la machine, qui entre dans le calcul de la compo¬
sante alternative, varie en fonction du temps [B. 6, p. 64—72]. Si l'on
calcule le courant initial, c'est la reactance des fuites totales entre induc¬
teur, amortisseur et induit ramenées à l'induit, ou reactance «subtransi¬
toire », qu'il faut considérer. Quelques périodes plus tard, la reactance de
la machine prend la valeur dite « transitoire », très voisine de la reactance
des fuites totales entre inducteur et induit, ramenées à l'induit. Elle croît
ensuite suivant une loi exponentielle jusqu'à la valeur synchrone, quiintervient dans le calcul du courant de court-circuit permanent.Le temps qui s'écoule jusqu'à l'établissement du courant permanent
peut être de l'ordre de une seconde ou davantage. Comme les relais
agissent en considérablement moins de temps, le courant que coupent les
disjoncteurs est intermédiaire entre le courant initial et le courant perma¬
nent, étant beaucoup plus rapproché du premier que du second. A cela,
il faut ajouter l'action des régulateurs automatiques d'excitation qui, pour
renforcer la stabilité de marche en parallèle des machines synchrones en
cas de court - circuit, interviennent rapidement pour compenser l'action
démagnétisante de l'induit, ce qui a pour effet d'accroître la composantealternative du courant de rupture à une valeur voisine de son amplitude initiale.
Pour connaître exactement le courant de rupture à un instant donné,
il faudrait connaître la loi de variation exacte des flux à l'intérieur de
la machine, compte tenu des différents circuits inducteur, amortisseur et
induit, des coefficients de mutuelle inductance variables entre ces circuits,
de la saturation et de l'influence des régulateurs d'excitation. Un traite¬
ment rigoureux du problème dans le cas général d'un court-circuit éloignédes bornes d'un alternateur en charge est très complexe.En pratique, on calcule les courants de court-circuit dans les réseaux
et le pouvoir de coupure des disjoncteurs sur la base de la reactance
transitoire et de la tension interne correspondante des machines. La reac¬
tance transitoire reflète assez bien la rapidité d'intervention des disjoncteurs
actuels, et la compensation mutuelle de la réaction d'induit et de l'action
des régulateurs d'excitation.
La machine est alors assimilée à une impédance Z, constituée par sa
reactance transitoire et par la résistance de l'induit, et alimentée à l'origine
par une force électromotrice E égale à :
34
E=-V+IZ (4)
V et I désignant la tension et le courant aux bornes de la machine justeavant la perturbation.
Remarque. — Cette assimilation est quasi correcte lorsque le court-
circuit a lieu aux bornes : en négligeant la résistance de l'induit, la réac¬
tion de l'induit s'exerce alors le long de l'axe des pôles inducteurs seule¬
ment; elle est purement démagnétisante et peu! être représentée par une
réactance unique.Il n'en est pas de même lorsque le court-circuit a lieu à quelque dis¬
tance d'un alternateur en charge; la réaction d'induit peut être alors
analysée suivant deux axes électriquement en quadrature: l'axe des pôleset l'axe transversal.
Dans l'axe des pôles, se trouvent les bobines de champ, les amortisseurs,s'il y en a, et les noyaux polaires: tous ces circuits fermés réagissentavec la composante longitudinale de la force magnétomotrice d'induit
comme dans le cas du court-circuit symétrique inductif aux bornes.
Dans l'axe transversal, nous avons seulement la masse de la roue
polaire dans le cas des turbo-alternateurs, l'espace interpolaire dans le
cas des machines à pôles saillants.
Il s'ensuit qu'en régime transitoire, les variations de flux suivant les
deux axes ont des constantes de temps différentes, cette différence étant
plus marquée pour les machines à pôles saillants, où la composante trans¬
versale de la f. m. m. d'induit rencontre l'espace interpolaire.Il serait donc plus correct de représenter la machine par deux réac-
tances en quadrature. Cette discrimination complique les calculs, chacune
des réactances étant attachée à l'une des composantes du courant d'induit.
Elle perd, néanmoins, de son importance dans les réseaux maillés, lorsqueles machines sont séparées du point de défaut par des impédances externes
relativement grandes. Dans les équations qui suivent, on n'en tient pas
compte, conformément à la pratique générale.
Sources d'alimentation du court-circuit. — Un court-circuit, qui se
déclare dans un réseau, est alimenté durant la période initiale, non seule¬
ment par les alternateurs des centrales, mais aussi par les machines syn¬
chrones et asynchrones des centres générateurs et récepteurs. Toutes ces
machines sont remplacées, pour le calcul des courants de rupture des dis¬
joncteurs, par leurs impédances transitoires. A la composante alternative
ainsi calculée, peut toujours se superposer une composante continue d'al¬
lure exponentielle, dont la constante de temps varie pour chaque machine
35
suivant l'impédance équivalente qui sépare la machine de l'endroit du
défaut. Les développements qui suivent se rapportent à la composante
alternative — sinusoïdale — des courants de court-circuit.
B. — Équations générales des tensions et courants de court-circuit
symétrique dans un réseau complexe
Reprenons le circuit maillé à n nœuds représentatif du réseau général
équilibré, étudié au premier chapitre, et supposons qu'en un point quel¬
conque x se produise un court-circuit symétrique. Le réseau étant lui-
même, par hypothèse, géométriquement équilibré, il suffit de considérer
une phase et le neutre.
(a) Fig. 18 (b)
Toutes les sources capables de débiter dans le court-circuit (centrales,
moteurs synchrones et asynchrones, commutatrices) sont remplacées par
leurs impédances équivalentes alimentées à l'origine par les forces électro¬
motrices E, définies à la page 35, et aboutissant de l'autre côté aux
nœuds du réseau; pour le calcul du courant de rupture des disjoncteurs,on prendra, comme déjà dit, les réactances transitoires des machines tour¬
nantes. Les récepteurs et charges statiques sont remplacés par de simplesadmittances entre nœud et neutre.
Le court-circuit est représenté par une dérivation entre le point de
défaut x et le neutre (ou la terre) ; son impédance aura une valeur nulle
ou finie suivant la nature du défaut. Pour la généralité du calcul, attri¬
buons à la dérivation une impédance Zxx ou admittance Yxx = -s—
£xx
36
L'effet du court-circuit est donc d'introduire un (n -f- l)ième nœud x con¬
necté par une admittance Yxx au neutre, comme tous les nœuds attachés
à des récepteurs statiques.Bien entendu, le réseau est défini par (2 n — 1 -f- s) paramètres algé¬
briques se rapportant à ses conditions de fonctionnement normal justeavant l'apparition du défaut.
Équations générales de court-circuit. — Considérons un nœud quel¬
conque k attaché à une source débitant dans le court-circuit (fig. 18),et soit:
Y/cic = l'admittance équivalente de la source,
Ek — la f. é. m. correspondante,Vk = la tension au nœud k après l'apparition du court-circuit.
D'après la loi d'O-Hii, le courant fourni par la source au nœud est
donné par l'expression :
/* = (Ëk - Vk) Ykk (5)
Ce courant est égal à la somme des courants qui partent du nœud k,
d'après la première loi de Kirchhoff:
/* = Vk Yko + (Vk - Vx) Yki + (Vk - Pj) Yk2 +._1.
+ ( Vk_-_Vh) Ykh + ... + ( Vu - Vn) Ykn +(Vk- Vx) Ykx
= VkYk-ZVh Ykh (6)h
Tous les termes conservent la même signification qu'au premier chapitre,la somme 2j portant sur tous les nœuds, y compris x, reliés directement
h_ _ _ _
à k, et les tensions aux nœuds Vu V2, ..., Vn, Vx se rapportant au réseau
après l'apparition du défaut. Les admittances à doubles indices égaux,introduites ici, représentent les sources ou les récepteurs.
Éliminant le courant Ik entre les expressions (5) et (6), nous obtenons
l'équation générale du nœud k:
(Ëk - Vk) Ykk = Vk Yk - £ Vh YkK— _ _ _
A_— __
Ek Ykk ~ Vk ( Yk + Ykk) — Zj Vh Ykhh
Êk Ykk = Vk gk - 2 Vh Ykh (7)h
LJk = somme de toutes les admittances rayonnant de k, source et lignes.Appliquée aux (n + 1) nœuds du circuit maillé, y compris le point de
défaut, la loi de Kirchhoff permet d'écrire (n + 1) équations vectorielles
de même forme générale:
37
h
E% Y22 ~ ^2 (^2 Zj Vh Yïhh
Ek Ykk = Vk l)k - £ Vh Ykh (8)
un *nn '
^n ^/n £j 'h *nhh
Ex Yxx = Vx Ljx }_, Vh Yxhh
en remarquant qu'aux nœuds où ne sont pas attachées des sources de
courant de court-circuit, ainsi qu'au point de défaut x, le terme en E
s'annule.
Le nombre d'inconnues est (n + 1): Vlt V2, ..., Vn, Vx. On a donc
(n + 1) équations indépendantes à (rc + 1) inconnues vectorielles. Ces
équations étant linéaires, on peut directement calculer les inconnues au
moyen des déterminants. Connaissant les tensions aux nœuds, on peut en
déduire les courants dans les différentes branches après l'apparition du
défaut par la formule:
Ikh = (Vk-Vh)Ykh (9)
où k et h peuvent être deux nœuds quelconques reliés directement par
l'admittance Yku.
Cas particuliers:
a) Si le court-circuit survient à l'un des nœuds 1, 2, ...,n du réseau,
la tension Vx se confond avec l'une des tensions Vlt V2, . .., Vn et le système(8) est réduit à n équations vectorielles distinctes à n inconnues.
b) Si le court-circuit est franc et que par conséquent l'impédancefigurative Zxx est nulle (Yxx infinie), on a:
vx = 0
L'équation du nœud x contient alors des termes indéterminés ; le nombre
d'équations disponibles est diminué de un; mais on a aussi une inconnue
en moins {Vx).
c) Enfin, si un court-circuit franc se produit à l'un des nœuds utiles
du réseau, la tension en ce point tombe à zéro, et l'on a en définitive
(ra — 1) équations vectorielles distinctes à (n, — 1) inconnues, qui sont
les tensions aux n nœuds, excepté celui qui est le siège du court-circuit.
38
C. — Difficultés rencontrées dans la détermination exacte des
tensions et courants de court-circuit symétrique.
Le calcul des tensions et courants de court-circuit au moyen du systèmed'équations (8) requiert, au préalable, la détermination en grandeur et en
phase des forces électromotrices E des sources débitant dans le court-
circuit, ainsi que la connaissance des admittances équivalentes des récep¬teurs statiques.
Détermination des forces électromotrices. — En assimilant les sources
à de simples impédances Z ou admittances Y (valeurs transitoires), les
f. é. m. E sont données, durant la période initiale de conservation des
flux, par l'expression:
E= V + IZ= P+-1—4- (10)f* y
où /, V, S sont respectivement le courant, la tension et la puissance aux
bornes des machines juste avant le court-circuit.
£yy)—vwv\aaFig. 19
Pour les connaître, il est nécessaire de résoudre le réseau en fonctionne¬
ment normal, immédiatement avant l'apparition du court-circuit, en partantdes (2 n — 1 + s) paramètres algébriques connus.
Ce problème, traité au premier chapitre, comporte la solution d'un
système non linéaire de n équations vectorielles ou 2 n équations algé¬
briques, dont la solution exacte est généralement impossible et la solution
approximative est excessivement longue et laborieuse.
Admittances équivalentes des récepteurs. — Les charges statiques et
les appareils d'utilisation qui ne débitent pas dans le court-circuit sont
remplacés par leurs admittances équivalentes données par l'expression:
1
y* y*v*-'
p, q étant les puissances active et réactive prises au réseau, V la tension
du nœud de fourniture.
39
Les centres de consommation sont connectés ordinairement au réseau
de distribution à haute tension par l'intermédiaire de transformateurs à
rapport variable et autres appareils de réglage dont le rôle est de sous¬
traire les récepteurs aux fluctuations de
tension du réseau, en maintenant à leurs
bornes — figurées par le point b — une
tension constante ou peu variable, quelle£riuut " —Lt» que soit la tension primaire au point a,
_,. r,nc'est-à-dire au nœud. Dans ces conditions,
Fig. 20
la puissance (p, q) absorbée par le centre-
récepteur est plus ou moins indépendante de la tension primaire V, tandis
que son admittance équivalente Y, vue du point a, dépend de V conformé¬
ment à l'expression (11).
Lorsqu'un court-circuit se produit dans le réseau, il en résulte aux
bornes des centres récepteurs un abaissement général de tension, d'autant
plus sensible que le défaut est plus rapproché. Dans le cas extrême d'un
court-circuit franc aux bornes, la tension tombe brusquement à zéro.
L'intervalle de temps qui s'écoule entre l'apparition du défaut et l'inter¬
vention des disjoncteurs étant très court — de l'ordre de quelques dixièmes
de seconde — le transformateur de réglage T n'a pas le temps d'agirpour ramener la tension secondaire à la valeur normale prescrite. En con¬
séquence, la puissance consommée par le centre récepteur tombe de p, qà p', q', et son admittance équivalente devient par rapport à la nouvelle
tension au nœud V :
v, _ p' — i q'
Pour que l'admittance équivalente du centre récepteur conserve la même
valeur avant et après le court-circuit, il faudrait que:
p—jq_
P' — jq'v* Y'i
c'est-à-dire :
pLp
=.21
=
q -(£ (12)
la puissance absorbée devrait varier proportionnellement au carré de la
tension. Or cette condition n'est pas généralement satisfaite — à des degrésdifférents — par les appareils récepteurs.La variation des puissances active et réactive en fonction de la tension
dépend de la composition de la charge : éclairage, force motrice, chauffage,
40
chimie. En particulier, dans le cas des moteurs d'induction, la variation
de la puissance active est très faible ou, en tout cas, moins rapide que
le carré de la tension, suivant que le couple opposé par la machine
entraînée est indépendant de la vitesse ou lui est proportionnel. Un abaisse¬
ment soudain de la tension aux nœuds de fourniture signifie, dans ces con¬
ditions, une augmentation momentanée de l'admittance équivalente des
récepteurs.Pour une représentation exacte des récepteurs dans le calcul des courants
de court-circuit, il faudrait connaître leurs caractéristiques p = f (tension),
q = f (tension), ainsi que la tension aux nœuds qui les alimentent, après
l'apparition du court-circuit. Or, justement, avant le calcul du système en
défaut, on ne connaît point cette tension.
La solution pratique à cette difficulté est d'opérer le système d'équa¬tions (8) avec les valeurs des admittances équivalentes des récepteursavant le défaut, et de refaire ensuite les calculs après avoir corrigé les
admittances. Ce second calcul n'a toutefois qu'une utilité limitée à cause
de l'incertitude qui règne déjà sur les caractéristiques des récepteurs et
de leur influence réduite sur la distribution des courants de court-circuit.
Résumons : Le fonctionnement du réseau en court-circuit est défini par
le système des équations (8) qui, étant linéaires, ne présentent par elles-
mêmes aucune difficulté théorique, une fois connues les f. é. m. E et les
admittances des récepteurs. Or la détermination exacte des f. é. m., étant
liée à la solution du réseau préalablement au court-circuit, s'arrête aux
mêmes obstacles que le calcul des réseaux en fonctionnement normal.
C'est là, la difficulté essentielle qui s'oppose au calcul exact des courants
et tensions de défaut dans les réseaux maillés. D'autre part, le change¬ment de valeur que subissent les admittances équivalentes des récepteursau moment du court-circuit empêche une solution directe, mais cette diffi¬
culté est d'importance secondaire. La table de calcul à courant alternatif
peut, au contraire, fournir une solution exacte et permet d'ajuster au
cours de la procédure les admittances des récepteurs d'après leur caracté¬
ristique puissance-tension.
D. — Méthodes approximatives
Une première méthode serait de résoudre le réseau en charge normale
précédant le court-circuit, par l'un des procédés approximatifs exposés au
chapitre précédent, et de déterminer ensuite les f. é. m. E agissant en
court-circuit, ainsi que les admittances des récepteurs avant le défaut. On
4 41
passe ensuite aux équations (8) qui, étant linéaires, permettent une solution
directe quoique laborieuse. Cette méthode n'est pas employée en pratique.Une seconde méthode est basée sur les théorèmes de superposition et
de Thévenin. On peut, en effet, envisager le régime de court-circuit
comme la superposition de deux régimes [B. 2, vol. I, p. 365—367] :
le régime de charge normal précédant le court-circuit,et un régime de superposition introduit par le défaut.
Pour calculer ce régime de superposition, on supprime toutes les f. é. m.
préexistantes, et on applique à l'origine de la dérivation schématisant le
défaut une f. é. m. Ex égale et de signe contraire à la tension Vx au pointde défaut avant l'apparition de ce dernier (fig. 21).
Ex est maintenant l'unique f. é. m. appliquée au réseau, et les équationsdu régime de superposition s'obtiennent des équations (8) en y mettant:
E1 = E2 — Ep = ...
^= En = 0
et Ex — — Vx
d'où le système suivant:
nœud 1: 0= VlLfi —^KY\h
nœud 2: 0= V2LJ2 - £ K Y*
nœud n : 0 = VnLJn — Yi^hYnhh
point de défaut x : Ex Yxx = V'xLjx — Yi V'h Xxhh
Findice prime indiquant les tensions de superposition.
42
(13)
On a (n + 1) équations linéaires simultanées à (n + 1) inconnues
V[, V'2, . , Vn, Va que l'on peut résoudre directement au moyen des déter¬
minants. Mais il faut pour cela connaître ou supposer au préalable la
tension Vx.
En la prenant comme vecteur de référence du système (13), on a:
EX = ~VX (14)
Il suffit alors d'évaluer approximativement la tension Vx en grandeurabsolue ou de la prendre simplement égale à la tension de service. Ce
tâtonnement est évité si le défaut a lieu à un point de tension réglée,tel que les barres d'une centrale, les nœuds pourvus de transformateurs
de réglage ou de compensateurs.Quant au régime de charge normal, dont le calcul exact est générale¬
ment impossible et le calcul approximatif est long et fastidieux, il n'est
pas pris en considération dans les calculs ordinaires de courants de court-
circuit où l'on se contente de résultats approximatifs; cette omission est
justifiée par le fait que dans les circuits où les disjoncteurs doivent inter¬
venir, les courants de charge sont faibles et amplement déphasés par
rapport aux courants de superposition.Pour simplifier d'avantage les calculs, on néglige totalement les capaci-
tances des lignes et les courants magnétisants des transformateurs, tous
deux étant remplacés simplement par des dipôles. De plus, lorsque le
réseau est à réactance prépondérante, les résistances sont aussi négligées,ce qui permet d'éviter le calcul avec des quantités complexes et d'abrégerconsidérablement le temps de travail, aux dépens évidemment de l'exacti¬
tude des résultats. C'est ce que fait d'ailleurs la table de calcul à courant
continu, que nous étudions dans la seconde partie.
E. — Courts-circuits dyssymétriques
Le calcul des tensions et courants d'un réseau en court-circuit dys-symétrique utilise la théorie des composantes symétriques, ébauchée par
A. Blondel et L. G. Stovkis, et généralisée et mise au point par C. L.
Foetescub [B. 7].Dans sa communication présentée à l'American Institute of Electrical
Engineers, en 1918, C. L. Fobtescue a prouvé qu'un système de m vec¬
teurs quelconques peut être remplacé par un ensemble de m systèmessymétriques, dont l'un consiste de m vecteurs équipolents et les (m— 1)autres sont formés chacun de m vecteurs égaux mais déphasés successive-
43
ment de —- dans le premier système, 2 X —- dans le second, . ..,
2 r.
(m — 1) X —- dans le dernier. On a donc un système monophasé ou
homopolaire et (m— 1) systèmes polyphasés symétriques d'ordre 1, 2, 3, .. .,
(m — 1), en tout m systèmes de m vecteurs chacun.
Fig. 22
Appliqué aux tensions déséquilibrées Va, Vb, Vc entre le neutre et
chacune des phases a, b, c en un point quelconque d'un réseau triphasé,le théorème de Fobtescue permet d'écrire :
f K = Vo + Vt+ Vu
Vb = Vj + a2 Vj + a Vu (15)l Vc = Vo + a Vj + a2 Vu
.2jr
où a est l'opérateur vectoriel e =11120 °.
Les vecteurs Vo, Vo, Vo forment le système monophasé ou homopolaire.Les vecteurs Vi, a2Vi, aVi constituent un premier système triphasé équi-
2?rlibre, dont les vecteurs se succèdent à intervalles de —~-
= 120° danso
le sens positif du système original déséquilibré: c'est le système direct.
Les vecteurs Vu, a Vu, a2 Vu constituent un second système triphasé2tt
équilibré, à intervalles angulaires successifs de 2 X —^-= 240° dans
le sens positif, ou de 120° dans le sens inverse; aussi est-il appelé sys¬
tème inverse.
Ainsi, le système triphasé déséquilibré Va, Vb, Vc peut être remplacé
par deux systèmes triphasés équilibrés, direct et inverse, et par un sys¬
tème homopolaire.Il en est de même pour les courants /„, Ib, Ic circulant dans les trois
phases :
| Ta = /„ + // + ///
/»=/„ + a2I, + a lu (16)\ Ic = I0+ ah + a*lu
44
Lorsque les phases d'un réseau sont géométriquement équilibrées, l'appli¬cation d'un système de tensions symétriques — direct, inverse ou homo-
polaire — produit une circulation de courants symétriques de même nom
seulement, et les impédances offertes par les éléments du réseau au passage
de chaque système de courants sont appelées respectivement impédancedirecte, impédance inverse et impédance homopolaire.Au moyen des trois catégories d'impédances, on peut constituer trois
réseaux fictifs qui — dans le cas, que nous considérons, de phases normale¬
ment équilibrées — sont indépendants l'un de l'autre.
Le réseau réel est ainsi remplacé par trois réseaux fictifs indépendants :
un premier réseau formé avec les impédances directes des différents
éléments et où circulent seulement des courants triphasés équilibrés à suc¬
cession de phases directe : c'est le réseau direct, identique au réseau réel ;
un second réseau formé avec les impédances inverses des appareils et
circuits du réseau réel, et parcouru seulement par des courants triphasés
équilibrés à succession déphasés inverse: c'est le réseau fictif inverse;enfin un réseau homopolaire dont les 3 phases sont parcourues par des
courants identiques.Les forces électromotrices des machines tournantes sont considérées
comme équilibrées et n'apparaissent donc que dans le réseau direct. Il n'ya pas, par conséquent, de sources de f. é. m. dans les réseaux inverse et
homopolaire, mais uniquement des chutes de tension.
Aussi, en régime équilibré, seul le réseau direct est parcouru par des
courants, qui sont les courants de charge normaux, ou bien les courants
de court-circuit symétrique.Lors d'un court-circuit dyssymétrique, prend naissance au point de défaut
un système de tensions déséquilibrées décomposables en composantes sy¬
métriques qui déterminent dans les réseaux fictifs correspondants des
courants de même nom. Cette distribution de courants est donnée, en ap¬
pliquant la théorie des composantes symétriques, par une interconnexion
appropriée des trois réseaux fictifs vus entre le point de défaut et le
neutre [B. 8].La figure 23 représente le mode d'interconnexion pour les trois sortes
de courts-circuits dyssymétriques. Chaque réseau est représenté par un
rectangle avec deux bornes, l'une figurant le point de défaut x, l'autre
le neutre ou la terre o. Chacun des réseaux fictifs étant complètement
équilibré, la représentation se réfère à une phase. L'impédance propre du
court-circuit est supposée nulle; sinon, il est facile d'en tenir compte dans
le schéma d'interconnexion [B. 8, ch. 4].
Lorsque les réseaux fictifs sont connectés comme le montre la figure 23,
45
la distribution des courants dans le réseau direct donne la composantedirecte des courants de défaut dans les différentes branches; la distri¬
bution correspondante dans le réseau inverse donne la composante inverse ;
et de même pour le réseau homopolaire.
Court-circuit entre deux phases.
Court-circuit entre une phase
et le neutre ou la terre.
Court-circuit entre deux phaseset le neutre ou la terre.
Fig. 23
Le courant qui circule dans le réseau direct peut être considéré comme
la superposition du courant de charge normal In préexistant au défaut,et de la composante directe // du courant introduit par le défaut. En
désignant par lu et J0 les autres composantes symétriques — qui circulent
dans les réseaux inverse et homopolaire — le courant réel de court-circuit
dans les phases a, b, c d'une branche quelconque est donné par:
h = (In + Ii) + /// + I07» = a«(/„ + //) + «/// + /0 (17)h = a{IN + /7)4-a2/7/ + J0
F. — Solution exacte
Les réseaux inverse et homopolaire ne contiennent pas de forces électro¬
motrices ; ils sont formés d'un groupement plus ou moins complexe d'impé¬dances et d'admittances représentant les machines, les transformateurs, les
lignes et les charges.Vus entre le neutre et le point de défaut, ils peuvent être réduits chacun à une
impédance équivalente unique, par des transfigurations successives par exemple.
46
Soient :
Z0 = l'impédance du réseau homopolaire vu entre le point de défaut et
le neutre;Z//= l'impédance du réseau inverse vu entre le point de défaut et le
neutre.
L'application de la théorie des composantes symétriques au calcul des
circuits équilibrés affectés d'une faute dyssymetrique conduit au résultat
intéressant suivant: le court-circuit dyssymetrique peut être représenté,sur le réseau triphasé direct, par une impédance symétrique connectée à
l'endroit du défaut entre phases et neutre. Appelons-la «impédance équi¬valente de court-circuit»; sa valeur Zxx est donnée par le tableau suivant:
Nature du court-circuit Zxx
Entre une phase et le neutre
Entre deux phases et le neutre....
Zn + Zo
Zu
Za x Zo
Zu + Zo
0
N. B. L'impédance propre du court-circuit est supposée nulle.
Ainsi, l'étude du réseau fictif direct, pour la détermination des tensions
et courants de même nom, est ramenée au cas du court-circuit symétrique,avec Zxx comme impédance de la dérivation au point de défaut x.
Une solution exacte se bute par conséquent aux mêmes difficultés,
principalement la détermination, en grandeur et en phase, des f. é. m. quiagissent sur le réseau direct au moment du court-circuit. En d'autres
termes, l'obstacle de la solution du réseau en fonctionnement normal
préalablement au défaut subsiste.
G. — Solution approximative
Les méthodes approximatives utilisées pour le cas du court - circuit
symétrique s'appliquent de nouveau au réseau direct auquel on a attaché
au point de défaut l'impédance équivalente de court-circuit Zxx.En partant du courant injecté dans la dérivation Zxx, on peut recons¬
tituer la distribution des courants et tensions dans les réseaux inverse et
47
homopolaire, que l'on superpose ensuite au régime dans le réseau direct
au moyen des expressions (17).Cette reconstitution peut se faire soit de proche en proche, soit en
écrivant la première loi de Kirchhoff aux nœuds, ce qui donne, pour
chacun des réseaux inverse et homopolaire, un système d'équationslinéaires simultanées, dans lequel la tension au point de défaut est connue,
d'après les conditions aux bornes de Zxx.
La solution des réseaux inverse et homopolaire ne présente par elle-
même aucun obstacle mathématique, mais ajoute au travail demandé par
le réseau direct, un long travail de réduction en une impédance équivalenteZXx puis de reconstitution des composantes inverses et homopolaires des
tensions et courants dans les différentes branches. Pour abréger ce travail,
on a recours, comme déjà mentionné, à diverses hypothèses simplificatricestelles que l'omission des admittances de charges, l'omission des capacitésde lignes et des courants magnétisants des transformateurs, l'assimilation
de toutes les impédances à de simples réactances. Autant de sources
d'erreur que nous examinerons dans la seconde partie en relation avec la
table de calcul à courant continu.
48
CHAPITRE TROISIÈME
Le calcul de la stabilité
d'un système de machines synchrones en parallèleet ses difficultés
A. — Équation générale du mouvement des machines
Considérons une machine quelconque d'un réseau complexe à m machines
marchant en parallèle à la vitesse synchrone.La roue polaire est soumise, en régime établi, à l'action de 2 couples
opposés qui se font équilibre:
1 ° le couple mécanique Cm, exercé à l'arbre par la machine motrice
ou la machine entraînée;2° le couple électromagnétique Ce, exercé par l'induit sur les pôles
inducteurs.
L'équation de mouvement correspondante est:
J-^T=C„ + CB = Q (1)
«J = moment d'inertie de la partie tournante,
0 = décalage relatif des pôles inducteurs par rapport à la position de
marche à vide, en avant, dans le cas d'un générateur, et en arrière,
dans le cas d'un moteur.
Le signe de Cm, Ce sera, par convention, positif si le couple agit dans
le sens de rotation du rotor, négatif dans le sens contraire.
Survient une variation unilatérale dans l'un des deux couples antago¬
nistes, l'équilibre est rompu et la roue polaire est sollicitée par un couplerésultant qui lui communique une accélération initiale, positive ou néga¬tive. Sa vitesse s'écarte alors de la valeur synchrone: le rotor glisse par
rapport au champ tournant de l'induit, et des courants sont engendrés
49
dans l'amortisseur et les masses polaires de l'inducteur et dans le stator,
produisant un couple d'amortissement C&.
L'équation du mouvement relatif de la roue polaire par rapport au
champ d'induit est donnée, dans ces conditions, par:
J -~- = Cm + Ce + Ca (2)
Pour passer des couples aux puissances correspondantes, il faut multi¬
plier les deux membres de l'équation par la vitesse angulaire instantanée
de la machine («>), qui est la somme de la vitesse normale synchrone
(<w0) et de la vitesse dO/dt du mouvement relatif:
.
dO/Q.
a, = „0 + ^j (3)
On obtient alors l'équation générale de la machine en termes de
puissance :
Jco-^~^PM + PE + PA (4)
En réalité, avant de perdre son synchronisme ou de regagner l'état
d'équilibre, la machine s'écarte très peu de sa vitesse synchrone, même
pour de grandes oscillations, de sorte que l'on prend habituellement la
vitesse normale <o0, au lieu de la vitesse variable w, comme rapportconstant des puissances aux couples, et l'on écrit:
J<o0-Sj^- = Pm + Pe + Pa
ou plus simplement:
d>0 AP
de M
M = 3 io0 est appelé constante d'inertie de la machine ;
â P = PM -\- PE + Pa est la puissance accélératrice, qui varie à chaqueinstant.
Puissance mécanique à l'arbre (Pu)- — Les variations de régimeauxquelles est soumis un réseau et qui mettent à l'épreuve sa stabilité
dynamique sont de nature plus ou moins brusque: variations soudaines
de charge, courts-circuits, ouverture d'une ligne ou d'une section de ligne.Ces différentes perturbations, en modifiant les constantes électriques du
réseau considéré dans son ensemble, ont un résultat commun: celui de
faire changer soudainement la puissance électrique aux bornes des machines.
50
Par contre, les régulateurs de vitesse des groupes électrogènes n'agissent
pas instantanément; ils attendent un changement de vitesse pour inter¬
venir et mettent un certain temps à régler l'admission de fluide à la
machine motrice afin de répondre aux nouvelles conditions électriques.De cette lenteur de réglage, résulte le déséquilibre temporaire entre la
puissance mécanique à l'arbre et la puissance électrique dans l'induit, qui
provoque le déplacement relatif de la roue polaire suivant l'équationdifférentielle :
d20_
AP
d?~
M
La puissance mécanique Pm0, qui détermine la puissance accélératrice
initiale est égale à la puissance électrique Pe0 développée par la machine
juste avant la perturbation, en vertu de l'équation d'équilibre (1).Durant les courts instants qui suivent et qui doivent décider de la
stabilité, on admet, dans les études ordinaires, que le régulateur de vitesse
n'a pas le temps de modifier l'admission du fluide moteur et que la puis¬sance mécanique conserve sa valeur initiale. On considère, en effet, dans
ces études, la première oscillation comme critérium de la stabilité; si au
bout de cette oscillation la vitesse relative du rotor (dO/dt) s'annule et
que celui-ci initie un mouvement oscillatoire, la machine est jugée stable.
On ignore ainsi la possibilité de décrochage après quelques oscillations,mais S. Cbaey a montré par une série d'essais qu'avec un régulateurd'excitation automatique normal, ce cas d'instabilité est improbable et qu'ilsuffit de vérifier la première oscillation [B. 10, vol. II, ch. 10, p. 247].
Toutefois, connaissant la caractéristique puissance-vitesse du régulateuret son délai d'action, on peut tenir compte de la variation de la puissance
mécanique à l'arbre des alternateurs.
Dans le cas des moteurs, la charge constituée par la machine entraînée
ou simplement par les pertes mécaniques (compensateurs synchrones)dépend de la vitesse du moteur, mais est insensible aux perturbations
f J a \
électriques du réseau. Pour de faibles fluctuations de vitesse (-y- < (w0),elle peut être considérée comme constante et égale à la puissance élec¬
trique active initiale Pe„.
Couple d'amortissement (Ca)- — Quoique analogue au couple d'une
machine asynchrone, le couple d'amortissement d'une machine synchroneest difficile à calculer d'une façon précise et complète à cause du carac¬
tère essentiellement variable de la vitesse et de la position relatives du rotor
durant le mouvement oscillatoire, de la répartition des circuits amortis-
51
seurs, de la déformation des champs surtout dans les machines à pôles
saillants, etc.
Des études détaillées de l'amortissement ont été cependant entreprises
par différents auteurs [B. 11, 12] et des formules ont été obtenues, expri-3 a
mant le couple d'amortissement en fonction de la vitesse relative -7— et
de l'écart angulaire:
c* = f(4f- ") <6>
B. Expression générale de la puissance électriqued'une machine synchrone appartenant à un réseau maillé
Reprenons le circuit maillé direct représentant un réseau général à
n nœuds auxquels sont attachés soit des machines synchrones, soit des
récepteurs asynchrones et statiques. Les machines synchrones sont assi¬
milées à des forces électromotrices E agissant sur les nœuds à travers
les impédances transitoires. Les récepteurs asynchrones et statiques sont
simplement remplacés par des admittances équivalentes entre nœud et
neutre, t Enfin les lignes et les transformateurs sont représentés par leurs
circuits équivalents en n.
FfO
Nous avons vu, dans le second chapitre, que la distribution des tensions
et courants dans le circuit maillé est donnée, en fonction des f. é. m. E,
par le système suivant d'équations générales simultanées:
t En toute rigueur, durant la période d'adaptation des flux suivant un court-circuit
ou un brusque changement de régime, les machines asynchrones constituent elles aussi
des sources de courant.
52
£i Yn ^V.Ui-HVh Ylhh
Ë, F22 = F2 y, - £ vh Y2hh
(7)
•C<n in«—
' n \Jn 2mJ h ^nhh
que l'on peut écrire en ordonnant par colonnes les termes de même
tension V:
-VU +¥_,¥,, +VjY_13 + ViY_u..+ V}1^ ~VJS +V?h* +^4^24-+ ^731 +V_2YS2 -VU +V.Y,,.+ V1Yil +V2Yi2 +VsYiS -VU
+ Vn Y\n = —E1 Yn
+ Vn Y211 = —E% y22
+ Vn Yzn = —E3 Ym
+ Vn Yin = —E±Yu(8)
+ ViYnl + V2Yn2 + V3Yn3 + ViYni —Vnyn = —EnY„n
n équations vectorielles linéaires à n inconnues V„ V%, ..., Vn, dont la
solution peut être écrite, sous forme concise, en appliquant la théorie des
déterminants. Ainsi, la tension V1 est donnée, en fonction des f. é. m. et
des admittances du système, par:
+ YU .
+ Ydi .
-y*
Vi =
-EjYn +Y,2 +Y13
e% iii-~y2 + ^23
^3^33 + ^32 Us
-E,YU +Y442 L43
+ Ym
+ Y2n
+ Y3n
+ Yin
*^H_i_ F V 12 F V
~r £-2ï 22 ~= ai* 33
O ©
+ ÈJti^
"Dis
&n 1 nn —-— (10)
53
54
principeleC'estséparément.priseEn..,.E%,E2,Ex,électromotrices
forcesdeschacunemaillécircuitausuccessivementappliquaitl'onsiseraient
traver¬laquicourantsdessommelaestFu,l'admittancedanscirculequi
/,,totalcourantletermes,d'autresEnisolément.agissantEn...,E3,2s2,parrespectivementFnl'admittancedansenvoyéscourantslessont
©
©i«F„F„n-,•••,±£»
©
©1333frn£3
©
©12l22[YuYtE2+
même:De
©+Y11[lEi
©„F„
serait:1nœudauinjectécourantleet
0=£n==...—E§=£2
réseau,lesurseuleagissait£jm.é.f.laSi
(12)<£>i.
i-*l*ii*-'«Il•••
©13L83F£3*11+
^=^22Ml[^2+1^ii^i=
©m
©©dnJ-n
~
•••l~^=-133^3^^r-c'2-f22VF4-i
^13VV
^12
vFi©11fr
Yn^—Fn—Yn^=7iJp
©12
(10):l'expressiondetiréevaleursaparV1remplaçantenou,
FuFx)-{E\=7,
à:égalest1,nœudauconnectée
machineladetransitoirel'impédancedanscirculequiIt,courantLe
(11)
-i/«.Yn4+Fn3+F„2+
F(n+.
+Y3n
+Y2n..
-y*
.YU+
.YU+^23+
1%+
Ï82+
-t/2
=©11
égale:©uexemple,ParYi„...,
.F13,
F12,—LJ1,àrelatifs©demineurslesétant©in••.,©13,©i2>©n,;principale
diagonalesaàrapportparsymétriqueestYhk,=Ykhquenotantenqui,
etVtensionsdesYcoefficientslesavecformédéterminantleétant©
de superposition, applicable à chacune des branches d'un réseau à impé¬dances linéaires.
Posons :
In = El Fn 1 + — -Cfi rin
(14)
hi = #2 1+ ^11 ^22 ^ ) = ^2/^12
4 = ^a (- Fu ?„ -&-) = £3 Â,(13)
il« = -E4nl IL Ml *nn =_ 1 — En flln
Le courant Iv débité par la machine 1, peut alors s'écrire:
M= Al -M2 M3 -*14 • • • *1»
= Ex flu E2 fl12 — E% fln E4 flu ... En flln
Le signe négatif signifie que les courants 712, 713, ..., 7in, envoyés par
les f. é. m. E2, £"3, .. ., En, sont comptés positivement en sens inverse
du courant In dû à Et.
On pourrait répéter le même raisonnement à chaque nœud du circuit
maillé et écrire d'une façon générale pour un nœud quelconque k:
Ik = lkk 'kl Ikl ... Ikn.. _.
= Ek flkk El flkl E2 flk2 ... En flkn
Le double indice kh pour les courants désigne la composante de courant
envoyée dans l'admittance Ykk attachée au nœud k, par la f. é. m. Eh
appliquée au nœud h.
Les_admittances flu, fin, -, flin, fin, fhi, fin, -L-, fhn, -,
fini, fln2, • • •, flnn, qui relient les forces électromotrices E et les com¬
posantes de courants débités aux nœuds :
flkk =~~) flkh —
Ikh
Ek Ek
sont appelés dans la littérature américaine : « transfer admittances (impé¬
dances) » lorsque les deux indices sont différents et « driving-point admit¬
tances (impédances) » lorsque les deux indices sont identiques. En français,
55
les premières sont traduites par « admittances de transfert ou de liaison »,
les autres par «admittances d'entrée».
Les admittances /3 peuvent être déterminées:
a) par le calcul, en formant les déterminants nécessaires à partir du
système (8), puis en les substituant dans les égalités analogues à (13),exactement comme nous avons opéré avec le nœud 1 ;
b) par mesure directe sur un réseau artificiel reproduisant, à échelle,le réseau réel. Pour mesurer /Q\u, par exemple, on réunit ensemble au
neutre les origines de toutes les impédances figurant les machines, sauf
Ykk, puis on applique entre l'origine de Yuu et le neutre une tension
sinusoïdale connue. Le quotient du courant traversant l'admittance Yn parla tension que nous avons appliquée correspond à l'admittance de trans¬
fert /Qlk.
Enfin, comme:
M2==
-*21> M8==
* 31 » • • •> Ykh = Yhk
le déterminant <D21 ne diffère du déterminant <D12 que par le changementdes lignes en colonnes et par conséquent:
©21 = <Dl2
/^21 = /3l2
ou en général:
&ku = fihk (16)
résultat qui exprime le théorème de réciprocité.
Expression générale de la puissance électrique. — La puissance élec¬
trique apparente dans l'induit de la machine attachée à un nœud quel¬conque Je est donnée par l'expression complexe:
Pk + jQk = Ekï'k (17)
d'où:
Pk-jQk = Et Ik
= Ek( Ikk — Ik\ — Ik2 —.— Ikh -•••— Ikn )
= El (Ek/Qkk -Ei/Qki -E2/Qk2 -•• -Eh/Qkh -••• -En/Qkn) (18)
Soient 0t, 02, ..., 0n les déphasages des f. é. m. E1, E2, . . ., En par
rapport à une origine de phases commune, et ak\, ak2, • • ., a* les
arguments des admittances fQki, /Qui, • • -, /Qkn-Écrivons l'expression (18) en notations polaire puis cartésienne:
56
Pk—jQk = Ek\iïk(Ek\6k/Qkk\akk — Ej \0X iQk\ak\ — E2^/Qk2\a^ — ...
Ek \Ojc /3hh \ttkh ... En |#n f3kn |«fcn)= El/Qkk l«fct - EkExfik\ \0X -âk + Cfci - EkE2/3k2 \V2 -Ok + ak2-...
£fc £ft /3fcfc Pfe - #fc + ttfcfe - . . .
- Ek En flkn \On ~Ok + Bien
= El fikk (cos akk + j sin akk)
- £fc E1 /QkX [cos (^! - 0k + aki) + j sin (01 -0k + am)] -...
- Ek Eh/Qkh [cos (0h ~dk + akh) + ;' sin (dh -dk + akh)] - ...
- Ek En /3kn [cos (0n -0k + akn) + j sin (0n -0k + akn)] (19)
Séparant la partie réelle de la partie imaginaire, nous obtenons l'expres¬sion générale de la puissance électrique active:
Pk = E\fîkk cos akk - Ek Ex /?m cos (0k -d1- akl)
- EkE2/Qk2 cos (0k -02- ak2) -
...
-EkEhiQkhcos(dk-6h- akh)- ...
- Ek En /Qkn cos (0k - 0n - akn)
n
Pk = E% /3kk cos akk — 2 Ek Eh fikh cos (0kh — akh) (20)h= 1
h + k
n
2 porte sur tous les nœuds, autres que k, où agissent des forces électro-
* = 1 motrices E ;
h+ k '
Okh = ok-oh
Ainsi, la puissance électrique produite ou reçue par une machine synchroneappartenant à un réseau complexe dépend des forces électromotrices de
toutes les machines du réseau, de leurs déphasages relatifs ainsi que des
constantes électriques de tous les éléments.
L'expression (20) est valable aussi bien en régime de charge normal
qu'en régime de court-circuit, symétrique ou dyssymetrique, l'effet de ce dernier
étant simplement de connecter le point de défaut du réseau direct au neutre,
par une dérivation dont l'impédance dépend de la nature du défaut; dans
le cas général d'un court-circuit dyssymetrique, elle est une fonction simpledes impédances des réseaux inverse et homopolaire vus entre point de défaut
et neutre (p. 47).Il est vrai qu'en régime déséquilibré, la puissance active ne se limite pas
au réseau direct mais est la somme algébrique des puissances actives dans
les réseaux direct, inverse et homopolaire. Cependant, les forces électro-
s 57
motrices induites dans les machines étant considérées comme équilibrées,leurs composantes inverses et homopolaires sont nulles. Or tous les termes
de l'expression (20) sont des produits de f. é. m. E et d'admittances.
Appliquée par conséquent aux réseaux inverse et homopolaire, l'expres¬sion (20) s'annule pour toutes les machines; ce qui n'empêche qu'aux bornes
et aux autres points de ces 2 réseaux fictifs, il y ait circulation de puissanceactive. Dans le mouvement relatif de la roue polaire, c'est la puissanceactive interne, dont nous avons développé l'expression générale (20),qui contrebalance la puissance mécanique à l'arbre et détermine le coupleaccélérateur. Or elle n'a pas de composantes dans les réseaux inverse et
homopolaire. C'est pourquoi, dans l'étude de la stabilité, c'est le réseau
direct qui importe en premier lieu, en tenant compte bien entendu d'un
court-circuit éventuel par une impédance appropriée branchée au point de
défaut.
C. Equations générales de la stabilité
Une variation soudaine de charge, un court-circuit, l'ouverture d'une
ligne signifient une modification brusque des caractéristiques électriques du
réseau considéré dans son ensemble, d'où une modification des admittances
d'entrée et de transfert offertes aux différentes machines marchant en parallèle.Dans l'expression générale de la puissance électrique de l'une quelconque
de ces machines :
n
Pk = El /Qkk cos akk — £ Ek Eh flkh cos (0k — 6h— akh) (20)h= 1
h * k
/3kk, ftk\, /?«,..., /3kn varient à l'instant de la perturbation, faisant
varier en même temps la puissance Pk. Comme le régulateur de vitesse
est incapable de s'adapter instantanément à ce changement de puissanceélectrique — si c'est un alternateur — et que la charge mécanique est
presque insensible à la perturbation — si c'est un moteur synchrone —il en résulte un déséquilibre entre les couples électrique et mécaniqueagissant sur la roue polaire en sens opposés, et celle-ci oscille par rapportau champ de l'induit suivant l'équation:
Mk^W= APk = P^ + P^ + Pak (21)
En même temps, le flux résultant dans l'entrefer, qui induit la f. é. m.
Ek, se trouve soumis à deux causes de variation opposées: d'une partla réaction d'induit, d'autre part l'action compensatrice du système d'exci-
58
tation avec son dispositif de réglage automatique; à ces actions s'ajoutel'effet des courants engendrés dans les circuits amortisseurs. Il s'ensuit
que la f. é. m. varie avec le flux de l'entrefer durant la période troublée
succédant à la perturbation.
Cependant, traversant des circuits fermés sur eux-mêmes (enroulement
inducteur, amortisseur, masses polaires), le flux résultant ne pourra pas
varier instantanément en vertu de la loi de Lenz: il ne passera de la
valeur initiale à la valeur finale déterminée par les nouvelles conditions
de l'induit et de l'inducteur, qu'avec une certaine constante de temps, quiest de Tordre d'une ou plusieurs secondes.
Durant la première oscillation qui suit la perturbation et qui est géné¬ralement décisive pour la stabilité (p. 51), le flux de l'entrefer n'a pas le
temps de varier sensiblement, d'abord en vertu de la loi de Lenz, ensuite
par compensation mutuelle de la réaction d'induit et du régulateur d'exci¬
tation. Aussi, dans les études de stabilité d'un système à plusieurs machines,
on fait souvent l'hypothèse simplificatrice que le vecteur Ek se conserve
en grandeur durant les premiers instants et se déplace solidairement avec
les pôles inducteurs.
Cette hypothèse s'éloigne moins de la réalité pour les machines syn¬
chrones à rotor cylindrique que pour les machines à pôles saillants. Con¬
sidérons, en effet, le diagramme à deux réactions de Blondel (fig. 25), qui
peut s'appliquer aux deux types de machines.
V est la tension aux bornes,
I est le courant débité par induit,
R est la résistance de l'induit,
Xa est la réactance de fuites,
yp(e sont les ampèretours de l'inducteur.
j\4 sont les ampèretours de l'induit.
59
La force électromotrice Ek, induite par le flux résultant dans l'entrefer,
est la somme de deux composantes :
1 °
une composante longitudinale El >induite par le flux <PL dû à la
résultante des ampèretours du courant d'excitation (yPte) et de la com¬
posante déwattée du courant d'induit (cl l/Pl sin Ç) ;
2 °
une composante transversale Et >induite par le flux 0T dû aux
ampèretours de la composante wattée du courant d'induit (ct JM cos •£).
Les coefficients cl et Ct servent à tenir compte de la variation de
réluctance de l'entrefer. Pour le turbo-alternateur Ci, = Ct = 1 ; pour la
machine à pôles saillants, les deux coefficients sont différents (cl > Ct)et inférieurs à l'unité.
Dans les deux types de machines, la composante longitudinale du flux
0l traverse l'enroulement inducteur, les noyaux polaires et l'amortisseur,s'il y en a. Lorsqu'une perturbation se produit, ces circuits fermés tendent
à s'opposer à toute variation de $l — et, par suite, de El — d'aprèsla loi fondamentale:
où i et e sont respectivement le courant et la f. é. m. dans chacun des
circuits fermés. Dans le cas extrême où R = 0 et e = 0, on a:
4^= 0
dt
et le flux tend à se conserver indéfiniment.
En ce qui concerne la composante transversale du flux il faut distinguerentre les deux types de machines :
Machines à rotor cylindrique: 1>t traverse la masse de la roue polaire,
qui constitue une infinité de circuits fermés, et tend à se conserver elle
aussi — et, avec elle, ET — quoique pendant un temps plus bref.
Ainsi, durant les premiers instants de la perturbation, la f. é. m.
Ek (~ El + Et) se maintient et oscille solidairement avec le rotor. Dans
les expressions (20) et (21), 0k est le déphasage de Eu par rapport à
l'origine commune des phases.Notons que les circuits fermés de la masse polaire ont une résistance
relativement beaucoup plus grande, en d'autres termes une constante de
temps beaucoup plus courte que l'enroulement inducteur, de sorte que
<J>t se conserve moins longtemps que <Pl ,et l'extrémité du vecteur Ek tend
à se déplacer sur la ligne GH. Certains auteurs explicitent ce fait en
60
donnant à la machine une impédance transitoire différente suivant les
deux axes.
Machines à pôles saillants: La conservation du flux transversal <I>t —
et, par suite, de Et — ne peut plus être retenue à cause de l'espaceinterpolaire. Par contre, la réactance transversale Xt de la machine reste
à peu près constante, du fait que le flux 0>T effectue un important trajetdans l'air; et la f. é. m. ET, qui n'est autre que la chute de tension
réactive j Xt I cos -f, varie donc avec le courant dès le début de la per¬turbation.
Seule la composante El se conserve durant les premiers instants et
oscille avec le rotor. Mais le fait de la considérer au lieu de Eu con¬
duit à ne plus pouvoir assimiler la machine à une impédance unique, ce
qui complique les calculs.
Une façon de tourner la difficulté est de représenter la machine par
l'impédance R +j(Xa + Xt) et d'opérer avec la f. é. m. fictive OL (fig. 25);l'angle 6k dans les expressions (20) et (21) est alors le déphasage de El par
rapport à l'origine commune des phases. Il ne faut pas perdre de vue
dans ces conditions que le vecteur OL, qui égale El + IXt sin ^, ne
se conserve pas comme El durant les premiers instants mais varie cons¬
tamment avec /; lorsqu'on emploie le procédé «pas-à-pas», il faut le
corriger à chaque pas, de façon à maintenir la constance de El par
exemple.Dans les études de réseaux complexes, lorsque les machines sont sépa¬
rées du point de perturbation par des réactances externes relativement
grandes, la discrimination entre les réactions de la machine suivant l'axe
des pôles et de l'axe transversal, en considérant 2 réactances différentes
en quadrature, a une influence négligeable sur les résultats [B. 10, vol. II,
chap. 6], tout en augmentant le travail, et l'on se contente souvent de
supposer la conservation du vecteur Eu pour les deux types de machines.
Cependant une étude plus précise, tenant compte des variations de El et
de Et-, est toujours possible, sans changer au caractère essentiel des
calculs, grâce à des artifices comme celui qui vient d'être mentionné; la
méthode des «pas-à-pas» se prête particulièrement aux corrections et
retouches qu'il faut constamment effectuer.
Équations générales de la stabilité. — En provoquant un déséquilibremomentané entre la puissance mécanique à l'arbre et la puissance électriquedans l'induit, une perturbation brusque dans un réseau complexe déclenche
un mouvement relatif général d'oscillation de tous les rotors des machines
synchrones.
61
Pour juger si le système est stable, il est nécessaire de tracer, pour
chaque machine, la courbe du déplacement relatif angulaire 6 en fonction
du temps t. Il est donc nécessaire de résoudre le système suivant d'équa¬tions différentielles de second ordre:
PMl + PEi + PAl = â Px
Pm, + Pe% + Pa2 — d P2
d*0k(22)
Mk~~jyi Puk + Peu + Pau — àPk
n —TFT*—~ Mn ~^~ En
—
An==
n
Autant de machines ou de groupes de machines synchrones, autant d'équa¬tions, soit m en tout (ro < n).
Le terme Pe est donné par:
Pe\ = E\ /Qu cos an— E1 E2 /312 cos (d1 — 02 — a12)
— Ei Es /318 cos (01 — 63 — a13) — ...
— Ei En /3i„ cos (d1 — 0n — ai„)
Pez = E\ /?22 cos «22— L E2 Eh /Qih cos (02 — 0h — a2h) (23)
h
Peu = El /Qnn cos ann — 2] En Eh /Qnh cos {dn — 0h — anh)h
Le terme Pm est donné par les formules (23) de la puissance électriquePE, où l'on remplace les E, 6, /3, a par leurs valeurs précédant immé¬
diatement la perturbation.Le terme Pa, étant d'importance secondaire, est souvent négligé. On
peut toutefois en tenir compte en utilisant l'une des formules approxima¬tives développées à cet effet et en lui appliquant le principe de super¬
position, d'après la proposition de Dahl [B. 9, vol. II, chap. 19]. On a,
par exemple, pour la machine attachée au nœud k:
p _rdiOk-OJ d(dk~62) d{6k-0n)
Pa - C«^
+ Ck2^
+ ... + Ckn^ (24)
où les coefficients Ck\, Ck2, . ..,Ckn sont des fonctions des déphasages
relatifs (0k — âj), (6k — d2), ..., (6k — 0n) respectivement.
Ml
M9
d*0l
die2dt2
62
D. — Solution des équations de la stabilité
Une solution mathématique exacte des équations (22) du mouvement
relatif des machines synchrones n'est pas possible. Même dans le cas le
plus simple d'une machine connectée à un réseau de puissance infinie
(fig. 26) et en supposant que :
Pm
Pa
constante
0
EV
Xsin 0 (résistance nulle)
h-fh -d-
l'équation »%"
Fig. 26
EV
V
~&-\ Réseau de
puissanceinfinie
Xsin
conduit à une intégrale elliptique.dd
En effet, multiplions les deux membres par ~TT'•
M
En notant que:
d20 dd
dt* dt_
dd= Pm dt
EV
Xsin i
dÔ d2d
dt diJL A2 dt
dd_dt
il vient:
2 dtdJLdt
de
dt
Dde ev
. ,de
PM^û-^rsm0-dT
Intégrons membre à membre
M I d e V=P
2 \ dt
c étant la constante d'intégration.
M.EV
nH y^~
cos 0
Quand tde
0,6 = 0O, ^— = 0; d'oùet t
ou:
JX
(25)
(26)
63
EV0 = PM00 + —y-
cos O0 + c
c = — Pm0oEV_X
C08 00
Remplaçons c par sa valeur dans l'équation (26):
M i d0\2 „ ,„ „. .
EV-\ = Pm(0- 0o) +M- (cos 0 - cos 00)
2 \ dt
La vitesse angulaire relative de la machine est donnée donc par:
dO
dt2_M
Pu (o - e0) + ~^ (cos e - cos o0) (27)
Le membre de droite permet de calculer la vitesse angulaire relative
de la machine en fonction de son déplacement angulaire relatif 0. Si cette
vitesse s'annule au bout de la première oscillation, la machine est jugéestable. Cependant il est nécessaire de connaître la relation entre 6 et le
temps t afin de pouvoir prendre en considération l'action des disjoncteurs au
moment de l'élimination d'une faute ou de l'ouverture d'un circuit; cette
intervention ayant pour effet de modifier la valeur de X.
Pour obtenir 0 en fonction de t, séparons les variables de l'équation (27)et intégrons:
d0dt
2_M
P(8- 0o) + -J~ (cos 6 - cos do)
dO
n P{d-EV
- 00) + ^j- (cos 0 -- cos 0O)
(28)
Une solution formelle de l'intégrale de droite n'existe pas. Pour ce cas
le plus simple, comme pour les cas de réseaux complexes à m machines,
on recourt à la méthode approximative mais générale de «pas-à-pas».
Méthode de «pas-à-pas». — Elle consiste ordinairement à supposer que
la puissance accélératrice A P reste constante pendant de petits intervalles
de temps successifs.
Pendant l'un de ces intervalles :
d'Û
'dt1
âP
M= constante (29)
64
Intégrons deux fois de suite:
dO
dt
6
âP
M
1 AP_2 M
t + (00
t'+ w0t + 00
(30)
(31)
a)0 et 0o étant respectivement la vitesse et la position angulaire relatives
de la machine au début de l'intervalle.
Il y a plusieurs variantes de méthodes de « pas-à-pas », tendant à
améliorer la précision des résultats [B. 9, vol. II, ch. 13]. Dans la méthode
basique, la valeur de J P calculée au commencement de chaque intervalle
se conserve durant cet intervalle.
APQAJ?,
AP,
M.2-Wi
A*.-.43*
0 12 3
-At~At~Af~-
b-2 k-i fe
~At~At —
Fig. 27
Considérons les intervalles successifs quelconques (k— 1) et k, et
indiquons par l'indice k — 1 les quantités à la fin de l'intervalle (k — 1)et par l'indice k les quantités à la fin de l'intervalle k (fig. 27).Par application de l'équation (31) aux deux intervalles, nous obtenons:
= 0fc_i + «fc_i â t +
0k-\ = #fc-2 + <»k-t A t
âPu-ï
2MJt2 = ek^ + âok
^f^Jt2 = ek^ + J6^
Jt = durée de l'intervalle.
A0k, Adk-\ = accroissements de l'écart angulaire relatif du rotor durant
les intervalles k et (k — 1 ) respectivement.
65
Adk = <0k_ljt + -A£gLdt2
-7T2
A6k - A0^ - (ait-, -«,_2) J« + (4Pk-x - JPfc_2) "2^ (32)
Or, d'après l'équation (30):a p
OJfc-! = (Ufc_2 -\ jj~- â t = (Mft-2 + i COfc_i
Accroissement de la vitesse angulaire durant l'intervalle (k — 1):
a pA tufc_i = <ufc_i — a>k-2 --=
n— A t
Substituons dans (32):
APk-2 -TZ2 , ,,„ jn ,At
2
J0fc - Adk-X = ~^P~ At' + (JPk^-APfc_2)
2M
Al2
M' v *"' "^ 2M
(2JPfc_2 + JP^-JPfc_2)
(J Pfc_2 + J P*_,)2M
Ainsi, l'accroissement de l'angle 0 durant le fcième intervalle est donné par
la formule:
A dk = A 0k_x + -^~ {A Pfe_, + A Pk^2) (33)
A P/t_i = puissance accélératrice durant le kiime intervalle,
-J P/t—2 = puissance accélératrice durant le (A; — l)^me intervalle,A dk—\ = accroissement de l'angle 0 durant le (k— l)ième intervalle.
Au moyen des formules:
ALM
Awk = -tt-A P*.,
â °k = 4w{A Pk-X + JPk~z) + à dk-1
exprimant respectivement les accroissements de œ et de d durant un inter¬
valle quelconque k, il est possible de suivre pas à pas l'évolution de la
66
vitesse et du déplacement angulaires relatifs de chaque machine d'un
système quelconque, après une perturbation. On peut, en même temps,introduire toutes les modifications nécessaires dans les valeurs des f.é.m.,
impédances, puissances mécaniques, etc. pour tenir compte des diverses
influences qui entrent en jeu dans la stabilité du système (déclenchementet réenclenchement des disjoncteurs, régulateurs d'excitation, effet des
pôles saillants, saturation des machines, régulateurs de vitesse).
E. — Les difficultés et inconvénients d'une analyse purement
mathématique de la stabilité d'un réseau complexe par la méthode
de pas-â-pas.
La méthode de «pas-à-pas», qui est la seule disponible actuellement
pour analyser la stabilité d'un réseau quelconque troublé, revient à remplacerle régime transitoire des machines par une succession de régimes station¬
nâmes séparés par des intervalles de temps â t.
Chacun de ces régimes est caractérisé par une position relative diffé¬
rente des rotors et par une distribution correspondante des courants et
tensions dans les branches du réseau. Dans les induits des machines, la
puissance électrique varie à chaque régime en fonction des déphasagesrelatifs des forces électromotrices, solidaires avec les rotors, et de la con¬
figuration du réseau.
Chaque pas représente donc un nouveau régime de fonctionnement, dont.
il faut calculer les puissances électriques développées dans les machines
pour pouvoir déterminer la puissance accélératrice â P et, par suite, les
accroissements â co et â 0.
Autant de pas, autant de régimes à calculer.
Avant de calculer les régimes successifs de la période troublée, il faut
toutefois commencer par calculer le régime de fonctionnement normal
préexistant à la perturbation dans le double but de :
1° déterminer les valeurs initiales des forces électromotrices E (derrièreles impédances transitoires des machines) ainsi que leurs déphasages 6 par
rapport à une origine de phases commune, afin de suivre ensuite l'évolu¬
tion de ces déphasages par accroissements successifs;
2D déterminer la puissance mécanique initiale à l'arbre.
Là, le calcul se bute aux obstacles déjà discutés au premier chapitre,où nous avons vu que la solution algébrique exacte d'un réseau maillé à
n nœuds à partir des (2n~l+s) paramètres connus n'est pas possibledans la grande majorité des cas pratiques.
67
Ainsi, le calcul de la stabilité rencontre depuis le début la même
difficulté que rencontre le calcul des réseaux en court-circuit, c'est-à-dire
la solution du réseau préalablement à la perturbation.Une solution approximative mais laborieuse et longue est toutefois possible.Une fois connus ou donnés les f.é.m. et leurs déphasages à l'instant
t=0, avec plus ou moins de précision, on peut passer au calcul des régimessuccessifs de la période troublée.
Le calcul de ces régimes ne présente aucune difficulté proprement dite,
car il s'agit chaque fois de calculer les expressions des puissances élec¬
triques (23) en tenant compte des variations des angles 0 et des modifi¬
cations possibles subites par les forces électromotrices et par les admittances
d'entrée et de transfert. Si l'amortissement est pris en considération, il
faut aussi calculer les expressions correspondantes.Ce travail de calcul est cependant excessivement long pour les raisons
suivantes t;
a) Les admittances d'entrée et de transfert offertes aux machines mar¬
chant en parallèle varient une première fois lors de la perturbation, une
deuxième fois lorsque les disjoncteurs interviennent si c'est un court-circuit,
une troisième fois lorsque la faute est éliminée, si elle est passagère, et
que les disjoncteurs réenclenchent. Chaque fois, le calcul des admittances
exige un temps considérable qui augmente très vite à mesure que le
réseau se complique.
b) Chaque expression de puissance électrique comprend autant de termes
qu'il y a de machines ou de groupes de machines synchrones. S'il y a
en tout m f.é.m. en jeu, il faudra calculer, à chaque intervalle de temps
ât, m expressions de m termes, donc m2 termes de la forme :
Ek Eh /3kh cos (dkh — akh)
En réalité, comme:
/3kh = fihk et | dkh | = | dhk j
le nombre de termes différents se réduit à = .On peut dire gros¬
sièrement que le travail s'accroît comme le carré du nombre de machines
ou groupes de machines.
t Pour juger de la longueur des calculs, on peut voir l'exemple numérique traité
par S. CHARY dans son livre [B. 10, vol. II, ch. 5] sur la stabilité d'un système à 4 groupes
de machines ; pourtant l'auteur néglige les capacités des lignes, les résistances de tous
les éléments et se donne les conditions de fonctionnement normal préexistant à la
perturbation.
68
c) La précision des résultats dans la méthode de pas-à-pas dépend de
l'intervalle de temps choisi à t. Pour réduire l'erreur, il faut adopter des
intervalles plus courts, ce qui augmente le nombre de régimes successifs
à calculer.
Les considérations précédentes font que le calcul de la stabilité, sans
l'aide d'une table à calcul, prend une très grande ampleur dès que le
système comporte plus de 3 ou 4 centres de machines, même si l'on a
recours à des hypothèses implificatrices comme l'omission des capacités des
lignes et des courants magnétisants des transformateurs. D'ailleurs, la
nécessité de résoudre le réseau préalablement à la perturbation constitue
déjà une difficulté essentielle.
Après avoir analysé les difficultés relatives au calcul des réseaux élec¬
triques maillés en fonctionnement normal, en court-circuit et dans le cas
de stabilité dynamique, nous passons maintenant à l'étude des réseaux
artificiels appelés tables de calcul, grâce auxquelles l'ingénieur peut résoudre
les problèmes précédents sans difficulté et en un minimum de temps.Nous commençons par les modestes tables à courant continu pour passer
ensuite au dispositif perfectionné et précis que constitue la table de cal¬
cul à courant alternatif.
69
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DEUXIÈME PARTIE
La table de calcul à courant continu
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CHAPITRE PREMIER
Aperçu historiqueet description de quelques tables importantes
A. — Introduction
La table électrique de calcul à courant continu a été conçue dans le
but de déterminer approximativement, avec un matériel simple et peu
coûteux et en un minimum de temps, les courants de court-circuit qui
peuvent se produire aux différents points d'un réseau maillé.
Elle est constituée essentiellement par des résistances ohmiques desti¬
nées à représenter, d'une façon proportionnelle, les impédances scalaires ou
les réactances des divers éléments d'un réseau.
Ces résistances peuvent être fixes, correspondant à un réseau donné,
ou bien réglables et en nombre suffisant, permettant de représenter un
réseau quelconque et d'étudier l'effet d'une extension ou d'une intercon¬
nexion avec un autre réseau sur les courants de court-circuit.
L'alimentation du réseau artificiel constitué avec les résistances ohmiques
se fait avec une source de potentiel continu: batterie de piles ou d'accu¬
mulateurs, groupe convertisseur raccordé au réseau alternatif de distri¬
bution, etc.
B. — Historique
La première table fut construite en 1916 par la société américaine
General Electric Company [B. 13].A la suite de cette réalisation, l'usage de la table se répandit en Amé¬
rique. En 1920, on y comptait huit sociétés et institutions techniques
possédant des tables [B. 14], modèles perfectionnés et agrandis de la table
originale de 1916.
6 73
En Europe, on reconnut aussi l'intérêt que présentait la table à courant
continu pour une détermination rapide et de précision jugée suffisante des
courants de court-circuit dans les réseaux de distribution et de transport;les publications s'y référant datent de 1919 à notre connaissance [B. 15, 16].
Mais ce n'est que plus tard que plusieurs firmes et institutions techniquesfirent l'acquisition de tables plus ou moins importantes [B. 20, 21, 28,
29, 30, 31].A part les tables mentionnées dans la presse technique, il existe un
grand nombre d'autres tables, grandes et petites, dans les différents pays.
De construction simple, de maniement facile et de prix réduit, la table à
courant continu s'est, en effet, répandu chez les constructeurs de matériel
électrique, dans les sociétés de production et de distribution de l'énergie
électrique et dans les laboratoires, et sert encore actuellement dans le
but essentiel de déterminer expérimentalement et rapidement les courants
de court-circuit, symétrique et dyssymétrique, lorsqu'une solution approchéeest jugée suffisante.
La table de calcul à courant continu permet d'épargner les longs calculs
nécessités par les réseaux complexes. Néanmoins, étant basée sur des
hypothèses simplificatrices mais non exactes, elle ne peut donner que des
résultats approximatifs et de précision variable suivant la constitution du
réseau, l'état de charge et les conditions du court-circuit. Le chapitresuivant est consacré à une discussion sommaire des erreurs auxquelleson est exposé dans l'évaluation des courants de défaut au moyen d'une
table à courant continu.
C. — Description de quelques tables
Table de l'Alsthom [fi. 28]
La table de L'ALSTHOM se présente sous la forme d'un pupitre incliné surmonté
d'un panneau vertical sur lequel sont montés les résistances réglables (fig. 28).Celles-ci sont constituées chacune par deux rhéostats à décade associés en série et
comportant 10 éléments de 1000 ohms et 10 éléments de 100 ohms, ce qui permet de
réaliser tous les multiples de 100 ohms compris entre 100 et 11 000 ohms. La tolérance
de construction est de + 1 %.Les extrémités de chaque résistance sont reliées par des cordons souples à deux
fiches. Toutes les fiches sont assemblées sur le pupitre. Pour associer les résistances
en vue de construire le réseau figuratif, on enfonce ces fiches dans les jacks du
panneau vertical.
Chaque jack comporte deux contacts reliés respectivement à l'un des contacts des deux
jacks avoisinants. Deux fiches introduites dans deux jacks contigus sont donc reliées élec¬
triquement, alors que deux fiches placées dans deux jacks non contigus restent isolées.
74
Tableau
Pupitre -yincline.
Valants
de commande
d excitation,
0© ©© ©© 0® ©® ©0©@ ©© e© ©© ©0© 0© 0© ©0@© @© ®© © Rhéostats
©@ 0© ©0 ©e • • • ®
* ®Jacks ^interconnexion
C3£ê£> C*33^\ \'ttéfi
mFig. 28
Vue d'ensemble
Près des jacks d'intercommunication se trouvent deux barres reliées aux pôles
positif et négatif d'une génératrice à courant continu. La barre positive est reliée à
une série de jacks auxquels on relie les origines de toutes les résistances figurant les
centres générateurs et récepteurs. La barre négative est reliée à deux fiches et à deux
jacks permettant de la raccorder à n'importe quel point du réseau où l'on désire établir
un court-circuit.
Mesures. — Dans le circuit de chaque résistance (fig. 29) se trouve une clé au
moyen de laquelle on peut raccorder la résistance à deux barres de mesure en liaison
avec un ampèremètre. Toutes les clés sont assemblées à la droite du pupitre.
Alimentation. — Le courant continu est fourni à la
tension de 100 volts par un groupe convertisseur, monté à
l'extérieur de la table. Sa mise en route et son arrêt sont
commandés à distance à l'aide de boutons-poussoirs, placesà la gauche du pupitre. Les rhéostats d'excitation de la
génératrice et le potentiomètre, servant à maintenir cons¬
tante la tension sur les barres, sont placés dans un coffre
sous le pupitre. Ainsi, toutes les manœuvres de mise en service
du groupe et de réglage de la tension s'effectuent depuisle pupitre.
La table a été réalisée par l'Office d'Etudes des Grands
Béseaux de Transport d'Énergie (Alsthom) Fig. 29
rJBjp
Clé de
mesure
Rhéostats
â décade
l_J Fiches
Clé de
coupure
Barres de mesure
Table de la « Siemens-Schuckert » [B. 29]
Aspect extérieur. — La table de la Siemens-Schuckert se distingue par un tableau
quadrillé dont les 98 nœuds sont pourvus chacun de 5 jacks. Sur ce tableau est tracé
schématiquement le réseau à étudier, les nœuds du tableau correspondant aux nœuds
du réseau. Le tableau est porté sur un meuble contenant, dans la moitié avant, le
groupe d'alimentation, les appareils de réglage et les instruments, et dans la moitié
75
Tableau
[les connexionssont faites sur
la lace arrière]
Meuble -»
Imoitié arrière
réservée aux
résistances]
c
1 —
i b t d e h k m n (
jacks
5 —
6 —
7 —-
- Face avant
du tableau
pour te schéma
et les mesures
Fig. 30
arrière, les résistances réglables. Les connexions entre les jacks du tableau et les
résistances se font à l'arrière du tableau, afin de ne pas affecter la clarté du schéma.
Résistances réglables. — Au nombre de 100, elles sont du type à plots. Chaque
résistance comprend 20 plots de 50 ohms chacun et 10 plots de 1000 ohms chacun,
ce qui permet d'avoir des rapports de 100 ohms à un ohm du réseau réel. Quelques
unes des résistances sont aussi échelonnées de 0,5 à 100 ohms à des intervalles de
0,5 ohm.
La tolérance de construction est de + 0,5 %•
Alimentation. — Le courant est fourni par un groupe moteur-générateur de 400 W
placé à l'intérieur du meuble, à droite ; au-dessus se trouvent les rhéostats d'excitation
et les dispositifs de commande. La tension de la génératrice shunt peut être régléeentre 5 et 100 volts, en agissant sur les rhéostats, et lue directement sur un volt¬
mètre placé au milieu du pupitre.
Mesures. — Les mesures sont effectuées en enfonçant les fiches des instruments
dans les jacks du tableau. On dispose pour ces mesures de deux instruments montés
au milieu du pupitre:
un ampèremètre de précision (10 Q) avec des shunts pour 2,5; 7,5; 15; 37,5;75 mA et 0,15; 0,375; 0,75; 1,5; 3,75 A; la graduation est à zéro au milieu pour
indiquer le sens du courant;
un voltmètre ayant une consommation propre de 0,000052 A lorsque sa déflexion
est maximum; au moyen de résistances en série appropriées, sa graduation peut cor¬
respondre à 1, 2, 4, 10, 40, 100 volts.
La table de la Siemens-Schuckert forme un tout par elle-même; son maniement
est simple; son tableau permet d'avoir une vue constante sur le schéma du réseau,
mais l'opérateur installé du côté des instruments et du schéma ne peut pas vérifier
simultanément les valeurs des résistances et les connexions, placées derrière, ou
observer directement l'effet d'une modification quelconque sur le courant.
76
Table de la «A.E.G.» [B. 30]
Aspect extérieur. — Comme la table de la Siemens, celle de la A. E. G. possède un
grand tableau servant au tracé schématique du réseau et aux mesures (iig. 31); c'est
une caractéristique des tables allemandes.
Elle a, de plus, l'avantage de donner à l'opérateur une vue complète sur le schéma
et les connexions en même temps, ce qui facilite le contrôle du réseau miniature et
aide à éviter les erreurs. Pour atteindre ce but sans nuire à la netteté du schéma,les 96 nœuds du tableau sont dédoublés. Le tableau comprend ainsi deux parties: la
partie supérieure est réservée au tracé schématique du réseau et aux mesures; chaquenœud est constitué par cinq jacks à deux contacts, connectés d'une part ensemble,d'antre part à la partie inférieure où les nœuds sont reproduits pour l'insertion des
fiches.
Fig. 31
Celles-ci sont disposées sur un pupitre horizontal au bas du tableau; elles sont
reliées par des cordons aux résistances réglables, à travers une canalisation souterraine
qui met en communication le tableau avec l'armoire à résistances située vis-à-vis.
Les résistances réglables, à plots, sont montées dans des tiroirs amovibles présentant
chacun deux poignées de commande pour les deux rhéostats à décade associés en série
(les tiroirs de charges en ont trois).Le troisième meuble de la table est le pupitre de mesure, où sont assemblés:
2 rhéostats de champ pour le réglage de la tension de la génératrice shunt;2 appareils de mesure de la tension et du courant de la génératrice;
un voltmètre à grande résistance interne (3000 Q, 120 V) et 2 ampèremètres de
précision à 12 sensibilités (2 ...20 Q, 60 mA) pour la mesure de la tension et du
courant dans le réseau miniature.
77
Tableau de mesurp
el de connexions
Armoireà résistances
Pupilre de mesure
L'assemblage des appareils de réglage et de mesure sur un même pupitre permet
de surveiller, pendant les mesures, la tension appliquée au réseau. Les mesures s'effec¬
tuent en introduisant les fiches des instruments dans les jacks du tableau supérieur,
où est tracé le schéma.
La disposition d'ensemble" des trois meubles de la table est donnée par la figure 32.
La table, étant plus élaborée, est évidemment plus coûteuse.
Résistances réglables. — Elles forment trois groupes
de tiroirs:
a) le groupe d'en haut comprend 36 résistances ré¬
glables entre 10 et 1000 Q par échelons de 10 Q (deuxdécades en série);
b) le groupe du milieu comprend 72 résistances ré¬
glables de 100 à 10000 Q par échelons de 100 Q;
c) le groupe d'en bas est formé de résistances réglablesentre 10000 et 106 Q destinées à la représentation des
charges.
La tolérance de construction des résistances est de
+ 3%, celle des résistances de charge de + 5°/o.
Pour réduire le courant de la table à une valeur entre
0 et 2 A, les résistances du réseau miniature sont de 10*
à 10e fois plus grandes que les résistances du réseau réel.
Alimentation. — Elle est assurée par un groupe moteur-générateur qui peut fournir
un courant de 2 A à une tension de 50 à 150 V.
La revue de la A. E. G. donne une description détaillée de la procédure à suivre pour
entreprendre une étude de court-circuit sur la table. Elle comporte les pas suivants:
1 * construction d'un schéma unifilaire du réseau avec les caractéristiques des lignes,transformateurs, centrales et récepteurs;
2" construction d'un second schéma avec les réactances réelles des éléments;
3° choix des coefficients de réduction;
4° on passe alors à un plan complet du tableau de la figure 31 où l'on porte le
schéma du réseau ainsi que les numéros et les valeurs des résistances qui doivent figurerles divers éléments. Ce plan sert de base pour la construction du réseau miniature.
Fig. 32
Table du Laboratoire de Transmission et Distribution de l'Energie Électriquede l'Université Libre de Bruxelles [B. 31]
Elle consiste en un grand tableau subdivisé en trois panneaux destinés à l'établisse¬
ment des réseaux miniatures et un panneau d'alimentation, de réglage et de mesure.
Lorsqu'il s'agit de déterminer les courants de défauts dyssymétriques, les trois
panneaux sont affectés à la représentation des réseaux direct, inverse et homopolaire.Cette disposition, avantageuse pour les cas de courts-circuits dyssymétriques, est la
principale caractéristique de la table belge.Dans le réseau direct, agit une f. é. m. réglable empruntée à une batterie, et les
trois réseaux fictifs sont reliés l'un à l'autre par des câbles de raccordement. Par
combinaison des valeurs des composantes symétriques du courant, on peut déterminer
la valeur du courant réel dans les différentes phases.
78
Les résistances, du type à curseur, forment avec leurs planchettes de bakélite, des
éléments amovibles que l'on introdoit facilement dans les panneaux pour la constitution
du réseau artificiel. Elles sont munies de fiches — que l'on enfonce dans les panneaux
pour l'interconnexion — et de jacks à deux contacts servant aux mesures de courant.
D. — Caractéristiques générales
Coefficients de réduction. — En désignant respectivement par V, I, X,la tension, le courant et la réactance (ou l'impédance) des éléments du
réseau réel, et par v, i, r les valeurs correspondantes de la table, on peutdéfinir les coefficients de réduction suivants:
r0
i v
Ils sont connectés par la relation:
T = a X p
Avant de mettre au point le réseau miniature, il faut adopter deux
coefficients de réduction; ce seront ordinairement a et y. Le choix de
ces deux coefficients est, en principe, arbitraire. En réalité, il est guidé
par la tension et les résistances dont on dispose et doit tendre à limiter
le courant de la table à la valeur nominale.
Au sujet de la tension et des résistances ainsi que d'autres aspects de
la table à courant continu, les descriptions précédentes font ressortir les
caractéristiques suivantes :
Tension d'alimentation. — La tension d'alimentation ne dépasse pas100 à 150 volts en vue d'assurer la sécurité du personnel durant les mani¬
pulations sur la table. Mais au-dessous de ce maximum, elle peut être variée
amplement, afin de permettre la représentation d'une grande variété de
réseaux, tout en maintenant le courant du réseau miniature dans les limites
prescrites.
Valeurs des résistances réglables. — Pour rendre insignifiante l'er¬
reur causée par les résistances supplémentaires qu'introduisent les fils de
connexion, les points' de contact et l'ampèremètre, les valeurs des résistances
de la table sont beaucoup plus élevées que celles des réactances du réseau ;
dans la table de la A. E. G., par exemple, le coefficient a peut aller de
104 à 106.
79
Un fort coefficient a permet, en outre, d'abaisser le coefficient /? d'après
la relation : (3 = —. Or un faible courant nominal signifie, pour la table,
une faible consommation d'énergie et une puissance d'alimentation réduite.
Mesures. — Les mesures se font directement au moyen d'instruments
de précision, munis de shunts (pour les ampèremètres) et de résistances
série (pour les voltmètres), afin de faciliter les lectures en les étendant
sur toute la graduation.
Aspects constructifs. — Les constructeurs des tables s'efforcent d'at¬
teindre les buts suivants:
a) Simplicité dans le maniement: mise au point des résistances, prisedes mesures, commande du groupe d'alimentation et des rhéostats de
réglage. Ainsi le groupement des dispositifs de commande, de réglage et
de mesure sur un même pupitre facilite la tâche de l'opérateur.
b) Disposition nette et claire du réseau miniature: elle permet à l'opéra¬teur de « se retrouver » facilement et de contrôler, sans confusion, les
connexions, les fiches et les résistances ; d'où diminution du risque d'erreur.
A cet égard, les tables allemandes sont particulièrement avantageuses
grâce à leur tableau de schéma et de connexion qui permet une corres¬
pondance facile entre le réseau et les résistances représentatives.c) Evidemment, le côté économique n'est pas perdu de vue, une réali¬
sation saine devant être un compromis entre les exigences techniques et
pratiques, d'une part, et la question prix et encombrement, d'autre part.
80
CHAPITRE DEUXIÈME
Erreurs commises
dans l'évaluation des courants de court-circuit
au moyen de la table de calcul à courant continu
A. — Les différentes sources d'erreur
Principe de fonctionnement de la table. — Nous avons indiqué dans
la première partie que le régime de court-circuit peut être envisagé comme
la somme de deux régimes:
1° le régime de charge normal existant immédiatement avant le défaut
et dont les courants, supposés équilibrés, ne circulent que dans le réseau
direct ;
2° un régime de superposition introduit par le défaut et ayant, dans
le cas général, des composantes symétriques de courants dans les trois
réseaux direct, inverse et homopolaire.
Le régime de superposition s'obtient en appliquant entre le point de
défaut et le neutre du réseau direct, en série avec l'impédance équivalentede court-circuit, une force électromotrice Ex égale et de signe contraire à
la tension normale au point de défaut, après avoir supprimé au préalabletoutes les forces électromotrices des centres générateurs.
Dans le cas général d'un défaut dyssymétrique, l'impédance équivalentede court-circuit est formée avec les réseaux inverse et homopolaire, con¬
venablement interconnectés.
En d'autres termes, le régime de superposition peut être envisagécomme dû à un alternateur unique d'impédance nulle et de f. é. m. EX)
agissant sur les réseaux direct, inverse et homopolaire reliés ensemble
suivant la nature du défaut. C'est ce que représente la figure 33, où
chaque réseau est indiqué par un rectangle avec 2 bornes : l'une (x) cor¬
respondant au point de défaut, l'autre (o) au neutre ou à la terre.
81
Court-circuit triphasé
J4-»x
1°
4
- 0 v
4
r
<?4 -
4£ -
z. £
zr
Court-circuit entre une phase
et le neutre ou la terre
**
[7^7lDC X
0 0*I /*
Court-circuit entre deux phases
//
i.
o
M
4,
Court-circuit entre deux phaseset le neutre ou la terre
Z.
z„
Ixj, Ixjj, Ix0 = composantes symétriques du courant injecté dant le défaut
Fig. 33
Sous l'action de l'alternateur fictif, s'établit dans chaque réseau une
distribution de courants symétriques de même nom: ce sont les compo¬
santes symétriques du régime de superposition (fig. 34 a).
En leur ajoutant vectoriellement les courants équilibrés du régimenormal précédant le défaut (fig. 34 b), on obtient les courants réels de
court-circuit (fig. 34 c).
Les trois constructions géométriques de la figure (34 c) correspondentaux équations:
h = (In + //) + In + h pour la phase a
h= «2(^ +J/)+ «///+ h pour la phase b
h = a(IN + h) + a2In + I0 pour la phase c
a désignant l'opérateur eil20', In le courant normal, //, ///, I0 les com¬
posantes symétriques du courant de superposition.
Remarquons que le courant de défaut proprement dit n'a évidemment
pas de composante normale et se réduit par conséquent aux composantes
symétriques du régime de superposition.
82
c
Système Système Systèmedirect inverse homopolaire
a) Composantes symétriques du courant de superposition dans une branche du réseau
Phase a Phase b Phase c
c) Courants de court-circuit dans les trois phases de la branche considérée
d) Le système triphasé dyssymétrique de conrante de court-circuit dans la branche considérée
(En trait interrompu: le système de courants de superposition)
Fig. 34
83
Mesure du régime de superposition au moyen d'un modèle arti¬
ficiel. — Le calcul du régime de superposition avec son alternateur unique,faisant appel à des équations vectorielles linéaires (p. 42), ne présenteaucune difficulté particulière, dès que l'on connaît ou que l'on peut évaluer
la grandeur de la tension normale au point de défaut.
Cependant, lorsque le réseau comporte un grand nombre de nœuds et
de branches et qu'il faut déterminer les courants de court-circuit pour
plusieurs positions du point de défaut, les calculs deviennent longs et
ennuyeux. Us sont encore bien plus longs lorsqu'il s'agit de défauts dys-symétriques et qu'il faut déterminer la distribution de courants dans deux
ou trois réseaux interconnectés, avant d'effectuer la composition vectorielle.
On peut éviter ces longs calculs en construisant avec des éléments de
résistances, inductances et capacités un réseau artificiel reproduisant en
tous points, mais à une autre échelle de grandeur si préférable, chacun
des réseaux direct, inverse et homopolaire. Ces réseaux étant équilibrés,il suffit de représenter chacun par une seule phase.On applique ensuite, de la façon appropriée (fig. 33), une source de
tension alternative, et on mesure la distribution correspondante de tensions
et de courants. Les coefficients de réduction ou facteurs de proportionalitéentre le réseau et le modèle permettent enfin de passer aux valeurs réelles
du régime de superposition.Bien entendu, pour avoir le courant réel de court-circuit dans une
branche quelconque, il faut ajouter au courant ainsi mesuré le courant
de charge normal.
Ce que fait la table de calcul à courant continu. — L'avantage du
régime de superposition est que sa reproduction sur un réseau artificiel
ne requiert qu'une seule source de tension, tandis que la reproduction du
régime total nécessite plusieurs sources de f. é. m. réglables en grandeuret en phase.La table de calcul à courant continu cherche à reproduire le régime de
superposition, tout en simplifiant encore considérablement le matériel de
représentation des circuits, à l'aide des approximations suivantes :
1 ° elle néglige entièrement les capacités des lignes, en supposant que
leur influence sur la distribution des courants reste faible;
2° elle omet les résistances des éléments devant leurs réactances; ou
bien, elle suppose que toutes les impédances ont le même argument et
reproduit simplement leurs valeurs scalaires. Dans les deux cas, les élé¬
ments de représentation peuvent être constitués par de simples résistances
84
ohmiques, et il est alors possible de remplacer l'alternateur unique et
fictif par une source d'alimentation à courant continu.
Les bobines de réactance, qui forment une part importante du coût des
tables de calcul à courant alternatif, sont ainsi évitées.
Trois sources d'erreur. — De l'aperçu précédent, on constate que la
détermination des courants de court-circuit au moyen de la table à courant
continu comporte trois sources d'erreur essentielles:
1 ° l'omission des courants équilibrés de fonctionnement normal, circulant
dans le réseau juste avant l'apparition du défaut;
2° l'omission des capacités des lignes aériennes et souterraines;
3 ° l'assimilation des impédances de tous les éléments soit à leurs réac-
tances avec omission de leurs résistances, soit à des impédances de même
argument.
A ces trois erreurs de principe, s'ajoute évidemment l'erreur matérielle
qui provient de la table elle-même et dépend de la fidélité de reproductiondes valeurs ohmiques et de la précision des mesures.
B. — Étude illustrative sur un circuit élémentaire
avec discussion des erreurs
Les erreurs commises par la table à courant continu dans la détermi¬
nation des courants de court - circuit, qui peuvent se produire dans les
réseaux maillés, varient en grandeur suivant la configuration du réseau,
la constitution de ses éléments, l'état de charge, l'endroit et la nature du
défaut. Ces différents facteurs rendent très malaisée, sinon impossible, une
évaluation mathématique des erreurs, ayant un caractère d'applicabilité
générale. On doit se borner à traiter des circuits simples représentatifs,
qui puissent refléter plus ou moins l'ordre de grandeur des erreurs sus¬
ceptibles de se produire dans les réseaux complexes à plusieurs centres
générateurs et récepteurs.Pour pouvoir apprécier la grandeur et l'allure des trois catégories
d'erreurs commises par la table à courant continu, nous avons choisi le
circuit basique de la figure 35, composé d'une centrale alimentant un
centre de consommation au moyen d'une ligne de transmission aérienne
ou souterraine.
La figure 35 b montre le circuit équivalent phase-neutre de ce réseau
élémentaire.
85
zn
h R
F( r\i
wûû^i? *iY,7
M2
Kg. 35
Zg = ^g \ug — impédance de la centrale (valeur transitoire) et de son
transformateur élévateur de tension;Zr = impédance équivalente du centre récepteur et de son transforma¬
teur abaisseur de tension;a a0 b b0 = circuit équivalent en n de la ligne, où Zl et Yl sont
l'impédance et la susceptance totales de la ligne, les cofficients
j^ZlJliz\fL
tghizLYL
et
izLYL
étant confondus avec l'unité, et la perditance négligée;
Zl = Z\aj±= RL + j XL ;
V = tension à l'extrémité réceptrice b b0 de la ligne ; elle est sup¬
posée constante à toute charge;E = force électromotrice de la centrale derrière son impédance transitoire.
Un court-circuit triphasé est supposé se produire à l'extrémité b b0 de
la ligne, coupant toute fourniture d'énergie au centre récepteur. Nous
nous proposons de calculer les erreurs commises par la table à courant
continu sur les courants de la centrale et de la ligne, pour différents
rapports
Les ca
-y-\, en prenant aL comme variable et Yl comme paramètre.
culs seront effectués pour les deux états de charge suivants:
1° charge nulle (Zr = oo);2° charge normale simulée par une impédance Z/e, ayant un module
égal à 5 fois Zg et un argument correspondant à un cos <p de 0,8.Comme les générateurs ont une résistance négligeable et que les trans-
86
formateurs ont un rapport RjX généralement inférieur à 0,2, nous avons
adopté pour Zg un argument de 90°; Zg est donc une réactance pure.
Les lignes ont un rapport Rl/Xl variable suivant le type de ligne(aérienne ou souterraine), la section des conducteurs.
Valeurs courantes du rapport Rl/Xl [B. 1, p. 99].
Lignes aériennes: 0,22 (aL = 78°) à 1,1 {aL = 42°)
Lignes souterraines: 0,8 (aL = 51°) à 5 (aL = 11°)
Aussi avons-nous pris aL comme variable du problème:
aL = 0°....
90°
Valeurs de Yl'- Pour les lignes aériennes, le produit de l'inductance
linéique l par la capacitance linéique c égale, dans les systèmes direct et
inverse, pour un kilomètre de ligne:
le = 1,11 X 10-11
Pour 5 kilomètres, le produit de l'impédance totale ZL par la susceptancetotale Yl sera:
ZlYl = (Rl+JXl)(JcoCl)= (RL + jsw l) (;' s co c)
Ri= jscol\\ — j -j^-j jscoc
= fw*le(\-j^)s*= -1,1 X 10^2 (l_;^)
y "yLe tableau suivant donne le module du terme
—^—
longueurs de ligne et quelques rapports usuels RlIXl :
I ZL Yl \
pour différentes
s km 50 100 200 500
Xl'4 1,42 x 10-3 5,68 X 10-3 2,27 x 10-2 0,142
Xl!i 1,538 X 10-3 6,15 x 10-3 2,46 x 10-2 0,154
Rl1
Xl1,94 x 10-3 7,76 x 10-3 3,11 x 10-2 0,194
87
Pour les câbles souterrains, le produit l c est égal, pour un kilomètre, à :
le = 1,11 X 10-n£
s étant le pouvoir inducteur spécifique de l'isolation. Avec s = 3,5 le
produit le a pour valeur:
le = 3,9 x 10-u
et:
d'où:
ZlYl = — 3,85 x 10-6 s2 1
Zh Yl
('-'-£-)
s km 10 20 50 100
Rl
Xl= 1 2,72 x 10-4 1,088 x 10-3 6,8 x 10-3 2,72 X 10-2
Rl
Xl= 2 4,33 x 10-4 1,73 x 10-3 1,08 x 10-2 4,33 X 10-2
Rl
Xl= 3 6,08 x 10-4 2,43 x 10-3 1,52 x 10-2 6,08 x 10-2
Rl
Xl= 4 7,92 x 10-4 3,17 x 10-3 1,98 x 10-2 7,92 X 10-2
Rl
Xl= 5 9,82 x 10-4 3,92 x 10-3 2,46 x 10-2 9,82 x 10-2
Nous basant sur les considérations précédentes, nous avons effectué le
calcul des erreurs pour les trois groupes de cas suivants:
l°f = 0,5; aL = 0°
2° A= 1; oL = 0°6g
Q OZl
3
X" 2; aL = 0°
90°;
90°;
90°:
1 YlZl 12
| YlZl 12
\ YlZl \
= 0; 0,01; 0,1
= 0; 0,01; 0,1
= 0; 0,01; 0,1
Pour chaque cas, nous avons considéré les deux régimes suivants:
le régime de charge (nulle ou normale), préexistant au défaut (fig. 36 a) ;
le régime de superposition, dû à une f. é. m. fictive égale à — V, appli¬quée au point de défaut, c'est-à-dire à l'extrémité b b0 de la ligne, la
f. é. m. de la centrale étant supprimée (fig. 36 b).
88
(a)
(b)
(c)
(«0
4» 4,
rOT-
,0-TJlrW-
Régime normal précédant le défaut
r-w- wm-';
-L r^Ojw
Régime de superposition introduit par le défaut
rW-k
s\ùm^
O 4=«»
Régime total de court-circuit
k, </ca) v^7 (AP)
-OMlri^m^n
O
<-&
ta
Réseau de la table à courant continu
Fig. 36
Par combinaison des courants dans les deux régimes, nous avons obtenu
les courants exacts de court-circuit (fig. 36 c).
7 89
Les courants de la table (fig. 36 d) ont été obtenus du régime de super¬
position en négligeant tantôt les résistances (courants 1^ — Ir1 = /,),tantôt les différences d'arguments (courants Iq^ = Ir2 = I2).
Erreur commise par la table en omettant les résistances, exprimée en
pourcentage du courant exact:
sur le courant du générateur:
<-(V)M=(f,)wsur le courant d'arrivée de la ligne:
L'erreur est positive lorsqu'elle est par excès, négative lorsqu'elle est
par défaut.
Erreur commise par la table en représentant les valeurs scalaires des
impédances, exprimées en pourcentage du courant exact:
sur le courant du générateur:
sur le courant d'arrivée de la ligne :
Les symboles Qx et Qz seront affectés du suffixe o dans les cas où
l'alternateur fonctionne à vide avant le défaut (Zr = œ), et de l'indice
IZ Y \prime lorsque la capacité de la ligne est prise en considération —~— =/= 0).
Pour abréger, nous allons appeler:
«Méthode à réactance» le mode de représentation du réseau sur la
table utilisant des résistances proportionnelles aux réactances ;
«Méthode à impédance» le mode de représentation utilisant des résis¬
tances proportionnelles aux impédances scalaires.
Passons maintenant à la discussion des courbes d'erreurs calculées pour
les différentes conditions précitées, et réunies sur les figures 38 à 41.
lR21 100
90
Discussion des erreurs commises sur le courant de la centrale
1° Capacité nulle (Yi = 0)
L'alternateur fonctionne à vide avant le défaut (ZR= za) (fig. 38).—L'omission de la résistance vis-à-vis de la réactance conduit à une évalua¬tion par excès du courant de court-circuit du générateur, l'erreur x0étant d'autant plus grande que l'argument aL de la ligne est plus petit et
yque le rapport -^—
est plus grand (courbes d'erreur x0, fig- 38).
L'erreur reste faible lorsque la ligne, ou le réseau qu'elle représente,est à réactance prépondérante (XL > RL), surtout quand l'impédance de
la ligne est de l'ordre de grandeur ou inférieure à la réactance de la
centrale.d 1
Pour un rapport typique —jp—=
-j-d'une ligne aérienne à haute ten¬
sion, l'erreur tombe à 1 % lorsque Zl = Zg et moins de 2 °/o lorsqueAl = 2 Zg-
Au contraire, quand la ligne ou le réseau de transmission est à résis¬
tance prépondérante (RL > X£), l'erreur devient importante, surtout
lorsque Zl > Zg. Pour un rapport typique -y—= 2 d'un câble souterrain
à tension moyenne, l'erreur atteint 17,5 °/o lorsque Zl = Zg et 38 %-
lorsque Zl — 2 Zg-
A l'inverse du calcul avec les réactances, le calcul avec les valeurs
scalaires des impédances, sans considération des différences entre les argu¬
ments, conduit à une évaluation par défaut du courant de court-circuit
du générateur,- l'erreur négative z0 est d'autant plus grande, en valeur
absolue, que l'argument de la ligne est plus petit, ou que le rapportRl
est plus grand (courbes d'erreur z0, fig. 38).Rl
Pour un rapport -~^- donné, l'erreur z0 est maximum quand Zl = ZgX-l
yet diminue ensuite quand le rapport -^- s'écarte de l'unité par des valeurs
croissantes ou décroissantes.
Si nous comparons la méthode à réactance et la méthode à impédance,
nous constatons que pour des rapports -=- voisins et supérieurs à l'unité,
l'erreur zq est, en valeur absolue, toujours inférieure à l'erreur Gxoi quel
que soit l'argument aL de la ligne. En particulier, lorsque la ligne est à
91
résistance prépondérante et que son impédance dépasse sensiblement celle
de la centrale, l'erreur -Gxo prend des valeurs importantes tandis que
Gzo» au contraire, demeure très modérée. Ainsi pour l'exemple -^— = 2
cité plus haut, l'erreur zo est &e — 13% lorsque Zl = 2Zg, tandis
que Gxo = + 38 %. La méthode à réactance assure une marge de
sécurité dans le choix des disjoncteurs, mais cette marge peut devenir
excessive et, par suite, augmenter inutilement les dépenses.
L'alternateur fonctionne en charge avant le défaut (Zr = 5 Zg)- —Le courant réel de court-circuit est la somme vectorielle du courant de
charge normal et du courant de superposition introduit par le défaut.
Igc = Ïgk + Ïg„
Sa valeur scalaire est égale à:
Ioe = ]/ll + ll + 2IGnIGaooV00 étant le déphasage entre IGn et Ig3-
Nous référant à la figure 37 :
Le cercle Cj est le lieu géométrique de l'extrémité B du vecteur
_IGs
OB = Igc pour 6 variable et ,
"
= constant;
le segment AB représente la différence algébrique entre le courant total
Igc et le courant de superposition Ig .
Tant que: 0° < | d \ <M01L — cas des centrales — l'omission du
courant de charge normal dans l'évaluation du courant de court-circuit
est une source d'erreur par défaut. Cette erreur dépend de la grandeuret du déphasage du courant de superposition par rapport au courant
normal. Elle est d'autant plus réduite que la centrale est plus approchée
92
£%
90
80
70
60
50
i»0
30
20
10
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^ 2
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-30
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1 r 2 r 3 o;> p-'jj t-*O'T r»r 9 D*
S^ 'é*.
-0,1
1-1-1=0,5
%
70
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y
y 2
\ /
S £• /£,.
<£*L/
-10
-20
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1ÇjJ"2[V 3 0' iiT JK3iP—7T~~ir 9 O*»
/ 6,^yS.
»
1 —11Zc
' = 1
0,1
-0,01-0
e*
Fig. 38
Erreur sur le courant de court-circuit
de la centrale
(Kégime normal à vide)
120
110
100
90
80
70
60
50
H0
30
20
10
i\\\\\\^\\ »
§'«.£',.
£^y
'
/
'
-10
-20
-30
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/<$/i v n ï<* r-^î ri r 8 0" 1
cl
• H><<>
~~L _I\ZlYl\^ y |
0,01«0
i^'=2
93
IGa
électriquement du point de défaut et que, par suite, le rapport -y-^- est
IGa 1g»
plus grand. Pour un rapport donnéT
"
,elle est maximum lorsque 0 = 0°
(point M), et diminue ensuite à mesure que 0 se rapproche de M O! L =
Ig180° — cos~'
^ j
n
pour s'annuler à cette valeur (point L). Pour des
8 /G / IG \
valeurs croissantes de,
*
, l'angle (180° — cos~'0 Tn I se rapproche
lGn \ f^s I
de la quadrature ; par exemple pour IG = 3 Iq , MOLL = 99,6 °.
Les courbes Qx et Ç.z de la figure 39 donnent les erreurs commises
en omettant le courant de charge normal, et en négligeant soit les résis¬
tances (x), soit les différences d'arguments (z).Il y a donc deux sources d'erreur.
L'omission du courant normal étant une source d'erreur négative, il
s'ensuit que l'erreur positive commise en omettant la résistance de la lignese trouve réduite, peut s'annuler et devenir négative, particulièrement
lorsque la ligne est prépondéramment inductive. C'est ce que montrent
les courbes d'erreur x, qui sont toutes situées au-dessous des courbes
x0; l'omission du courant normal a donc provoqué un déplacementpartiel ou total au-dessous de l'axe horizontal des coordonnées.
Quant à l'erreur négative commise en négligeant la différence d'argu¬ments entre la ligne et la centrale, elle demeure négative et s'accroît
dans ce sens, par suite de l'omission du courant normal. Ainsi, les courbes
d'erreur z sont déplacées vers le bas, au-dessous des courbes zo-Il est intéressant de remarquer, que le déplacement vertical des courbes
7 Zest sensiblement plus grand pour „
= 2 que pour = 0,5 car
A; £g
dans le premier cas, la centrale est plus éloignée électriquement du pointde défaut ; le courant de superposition est relativement plus faible et, par
conséquent, l'omission du courant normal est plus sensible.
Exemple: aL = 45°
^= 05
Zg'
Zh0
Zg~l
Zr = co
Zr = 5Zg
Gza= -6,2»/oQz =-24,5%
-6,7%-39 %
Avec l'omission des courants de fonctionnement normal, la méthode à
impédance perd sa supériorité sur la méthode à réactance et peut donner
94
40
30
20
10
- 10
-20
-30
•
'
£,
e; /-,*~
^M 3|0" 4|0" 5|0- 6^)" W W 90
I -f- I = 0,5
Fig. 39
Erreur sur le courant de court-circuit
de la centrale
(Régime normal en charge)
95
des erreurs négatives importantes. Au contraire, dans la méthode à réac-
tance, l'omission des courants normaux et l'omission des résistances, étant
des sources d'erreur de signes contraires, se compensent plus ou moins.
Suivant que l'une ou l'autre des deux causes d'erreur est prépondérante,l'erreur finale est négative ou positive.
2° Capacité des lignes prise en considération
L'alternateur fonctionne préalablement à vide:
courbes d'erreur Ç.' et L, fig. 38.
L'alternateur fonctionne préalablement en charge:
courbes d'erreur Ç.'x et Ç.'z, fig. 39,
L'examen des courbes permet d'écrire les remarques suivantes:
Tendance générale des courbes. — Les courbes d'erreur pourL
=f= 0
sont toutes situées au-dessus des courbes d'erreur correspondant à une
capacité nulle, aussi bien lorsque l'alternateur fonctionne normalement à vide
('Xo, -GL) qu'en charge (-'x, ^). Ainsi, l'omission de la capacité est
une source d'erreur positive. Le courant de court-circuit du générateur,calculé en omettant la capacité, est supérieur au courant réel calculé en
tenant compte de la capacité, toutes choses égales ailleurs.
En outre, les courbes d'erreur pour l'alternateur normalement à vide
sont plus espacées que les courbes d'erreur pour l'alternateur normalement
en charge; ainsi, l'omission du courant capacitif est plus marquée dans le
cas de fonctionnement à vide ou à faible charge.
Influence quantitative de la capacité. — Tandis que le courant de
la centrale comme celui de la ligne peuvent être plusieurs fois plus grandsen régime de court-circuit qu'en régime normal, le courant de capacitébaisse à l'apparition du défaut, par suite de l'abaissement de tension
dans le réseau. C'est pourquoi le courant de superposition est, pour les
condensateurs comme pour le récepteur, opposé et inférieur (ou égal) au
courant normal.
En court-circuit triphasé, l'effet de la capacité, tant qu'elle ne dépassepas certaines limites, reste donc minime. Aussi les courbes d'erreur pour
Z YYl, = 0 et
—^—= 0,01 sont-elles très rapprochées. Notons que
Z Y—n—
= 0,01 représente environ 140 kilomètres de ligne aérienne à
96
fc%
80
70
60
50
40
30
20
10
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// ^^'^
s.c
= 0,1
0,01= 0
! 4-1 =W ^,--l-^-l
e%
Fig. 40
Erreur snr le conrant de court-circuit
débité par la ligne
(Régime normal à vide)
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
l
\
wY\
l\\\1 \e;
^^\6^\ V^
s IZtV.I
^^x-2
^
^'
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-10
-20
-30
1 r zD>3'%\ÏVS3=^« r"7 )• 8 9'90"
^ y
^^
= 0,1
-0.01= 0
haute tension ou près de 50 kilomètres de câble souterrain à rapport
Y ZSi nous comparons l'écart vertical entre les courbes Yl = 0 et —~— = 0,01,
Z Yd'une part,
Yh — 0 et —=— = 0,1, d'autre part, nous constatons que,
Z Ydans le second cas, il est au moins 10 fois plus grand. Or —=— est
Z Yproportionnel au carré de la longueur de la ligne, et —~— = 0,1 ne
représente qu'un peu plus que 3 fois la longueur de ligne représentée7 Y
par —jr— = 0,01. C'est dire que l'erreur positive due à l'omission de la
capacité, d'abord très faible, augmente rapidement avec la longueur de la ligne.Elle est, en outre, plus sensible lorsqu'il s'agit de câbles souterrains,
qui ont une faible réactance mais une capacitance linéique 20 à 40 fois
plus grande que celle des lignes aériennes.
Erreurs commises sur le courant de court-circuit
à l'arrivée de la ligne
1° Capacité nulle
L'alternateur fonctionne à vide avant l'apparition du défaut:
courbes d'erreur ' et £' ; fig. 40.
L'alternateur est en charge avant l'apparition du défaut:
courbes d'erreur Q'x et 'z, fig. 41.
Discussion des courbes. — Lorsque la capacité est nulle, le courant
de la ligne est égal au courant de la centrale, les deux éléments étant
en série sans dérivation latérale. Les courbes d'erreur sont, par conséquent,identiques pour les deux éléments et la discussion faite au sujet de la
centrale s'applique aussi à la ligne.
2° Capacité prise en considération
L'alternateur fonctionne à vide avant le défaut:
courbes -GXq et Ç.'Zç>, fig. 40.
L'alternateur est en charge avant le défaut:
courbes Ç.'x et Q'z, fig. 41.
98
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Pig. 41
Erreur snr le courant de court-circuit
débité par la ligne
(Régime normal en charge)
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60
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= 0,1
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Zc
99
X,
j\ihm--^-v-o
*M i4=]?. *A
2
Fig. 42
La capacité étant en réalité uniformément répartie le long de la ligne,son effet est de modifier constamment le courant dans la ligne depuisl'extrémité génératrice jusqu'à l'extrémité réceptrice. Ainsi le courant de
court-circuit varie de point en point le long de la ligne. Le circuit équi¬valent en k permet de localiser la capacité aux deux extrémités et de
reproduire les conditions terminales.
A l'extrémité réceptrice, le condensateur est court-circuité par le défaut
et son courant en régime de court-circuit est nul (le courant de superposi¬tion et le courant normal à travers le condensateur sont égaux et opposés).Le condensateur aux bornes de la centrale, semblable à un récepteur
capacitif, lui fait débiter un courant AB == I'c en quadrature avant sur
la tension U à ses bornes.
Courant de court-circuit débité par la centrale = courant au départ de
la ligne = IGc = Ô~B = ÔA + ÂB._ __
Courant débité par la ligne dans le défaut = IL = OA.
Le courant mesuré sur la table à courant continu est le même pour la
ligne et pour la centrale.
Le seul facteur qui différencie les courbes d'erreur des deux éléments
est la différence AB entre les courants exacts Ir et TGc. Cette diffé-
7 Yrence est négligeable pour —=— = 0,01 et les courbes correspondantes
se confondent presque. Elle est plus marquée pour 0,1. Sauf
pour un argument aL nul ou faible, IRc > IGc, ce qui signifie pour la ligneune erreur inférieure à celle de la centrale, comptée algébriquement.
Résumé et considérations générales
Les résultats obtenus sur la table de calcul à courant continu sont
exposés à trois causes d'erreur de principe:1 ° L'omission des résistances est ordinairement une source d'erreur
positive (par excès), l'omission des différences d'argument une source
d'erreur négative (par défaut).
100
Exception: quand deux circuits d'arguments différents se trouvent en
parallèle dans le réseau alimentant le court-circuit — cas qui se présentedans les réseaux maillés de distribution comportant des lignes aériennes
et souterraines — l'omission des résistances conduit généralement à une
erreur par excès dans l'un des circuits (câble) et par défaut dans l'autre
(ligne aérienne). L'erreur peut devenir excessive lorsque les deux argu¬ments sont très différents; dans ces conditions la méthode à impédancedonne des erreurs plus modérées.
2° L'omission de la capacité des lignes: On sait qu'une capacité C
soumise à une tension V est parcourue par un courant
Ic=2k/CV
Cette simple formule montre que les courants dérivés par la capacité des
lignes acquièrent de l'importance dans deux cas:
a) lorsque les lignes ont une forte capacitance linéique (cas des câbles
souterrains) ou lorsqu'elles sont longues (cas des lignes aériennes à grandedistance et des réseaux étendus);
b) lorsque la tension du réseau est élevée.
Quand ces conditions sont réalisées, les courants capacitifs deviennent
appréciables relativement aux courants utiles et modifient en conséquencela distribution des puissances réactives et les tensions dans le réseau, leur
influence étant plus sensible par faible charge.En cas de court-circuit triphasé, il se produit dans le réseau un abaisse¬
ment général de tension, qui peut tomber à zéro au point de défaut.
Tandis que les courants de ligne augmentent considérablement dans les
circuits voisins du point de défaut, les courants capacitifs, au contraire,
baissent et modifient, encore moins qu'en régime normal, la distribution
générale des courants de court-circuit. En cas de défaut dyssymétrique à
la terre, la capacité des lignes est susceptible de jouer un rôle plus
important, et il serait intéressant d'étendre l'étude précédente du circuit
élémentaire au cas de mise à la terre d'une phase au point b.
3° L'omission des courants de charge normaux est une source d'er¬
reur positive ou négative, qui varie pour chaque branche suivant la
grandeur et le déphasage du courant de superposition I3 par rapport au
courant normal /„. Un grand rapport -=?- et un grand déphasage 0In
donnent une faible erreur, et inversement.
Pour les centrales, fonctionnant normalement en charge inductive, l'er¬
reur est négative, c'est-à-dire que le courant de superposition est plus
101
petit que le courant de court-circuit total, et l'erreur est d'autant plusfaible que la centrale est plus rapprochée du point de défaut.
Pour les lignes, l'erreur peut être négative ou positive. Le court-circuit
peut en effet renverser le sens de circulation de l'énergie.De façon générale, à mesure que l'on s'éloigne électriquement du point
de défaut, l'effet du court-circuit s'amortit, et la composante Is du courant
de défaut total:
le z=z In ~T *8
tend à devenir de l'ordre de grandeur ou même inférieure à la compo¬
sante /„. L'omission du courant normal donne alors des résultats éloignésde la réalité. Au contraire, dans les éléments en connexion directe ou
proche avec le point de défaut et alimentés par des centres générateurs,l'erreur est faible ou négligeable.
Suivant l'importance relative des trois causes d'erreur susmentionnées,nous avons en définitive, pour chaque branche, une erreur résultante plusou moins grande, négative ou positive, et qui varie avec la position et la
nature du défaut, de sorte que les résultats obtenus sur la table à courant
continu sont entachés d'imprécision et d'incertitude.
Les courbes des figures 38 à 41 ont permis d'avoir une idée de l'ordre
de grandeur que peut prendre Terreur résultante pour différentes valeurs
de charge, de capacité, d'impédance et d'argument de ligne, dans le cas
du réseau basique: centre générateur-ligne de transmission-centre récepteur.
102
CHAPITRE TROISIÈME
Champ d'applicationde la table de calcul à courant continu
A. — Application principale
L'application principale de la table de calcul à courant continu est la
détermination rapide et approximative des courants de court-circuit, symé¬
trique et dyssymétrique, dans les réseaux bouclés et maillés, en vue du
choix des disjoncteurs et du réglage des relais, lorsque des valeurs pré¬cises ne sont pas jugées nécessaires.
Elle a l'avantage d'être un dispositif peu coûteux, de construction facile
et de maniement simple et permet d'obtenir des résultats rapides.
Lorsqu'il s'agit d'un court-circuit dyssymétrique, on reproduit sur la
table les réseaux direct, inverse et homopolaire, avec des résistances pro¬
portionnelles aux réactances ou aux impédances scalaires des trois sys¬
tèmes, puis on les connecte l'un à l'autre selon la nature du défaut.
Nous avons discuté dans le chapitre précédent les diverses sources d'er¬
reur qui affectent les résultats et les entachent d'une atmosphère d'incerti¬
tude ; l'erreur peut être par excès ou par défaut, grande ou faible, suivant
les conditions et le mode de représentation du réseau. Lorsqu'une con¬
naissance exacte des courants de court-circuit et de leurs déphasages avec
les tensions respectives est requise, il faut s'adresser à la table de calcul
à courant alternatif qui, elle, tient compte des courants de charge normaux,
des capacités des lignes et des impédances de tous les éléments en gran¬
deur et en argument.
103
B. — Répartition des courants et chutes de tension
en régime de charge normal
Étant constituée uniquement par des résistances ohmiques, la table de
calcul à courant continu ne peut pas reproduire les déphasages des tensions
et des courants et, par suite, le fonctionnement normal des réseaux, quisont composés d'éléments dont les arguments sont différents: transforma¬
teurs, lignes aériennes et souterraines, récepteurs.
Si elle est susceptible de rendre service en régime de court-circuit, c'est
qu'il y a une différence essentielle entre ce régime et celui de chargenormale. En court-circuit, les récepteurs statiques ont une influence secon¬
daire sur la répartition des courants, vis-à-vis du récepteur accidentel
d'impédance nulle ou très faible formé par le défaut lui-même; la distri¬
bution des courants est alors conditionnée principalement par les impé¬dances des centrales, des transformateurs et des lignes qui, dans l'ensemble,
ont un caractère prépondéramment inductif: tandis qu'en fonctionnement
normal, les valeurs des tensions et des courants aux divers points d'un
réseau dépendent surtout des conditions de charge du réseau, c'est-à-dire
des impédances équivalentes des récepteurs. Comme ces derniers ont un
cos <p qui varie entre 0,7 et l'unité, le rapport RfX de leurs impédances
équivalentes est égal à:
COS (f 0,7 0,8 0,9 0,95
RjX 1 1,34 2,05 3
Si l'on tente de représenter le régime normal sur la table à courant
continu, on est obligé soit d'omettre la résistance ohmique de tous les
éléments, soit d'opérer avec les valeurs scalaires des impédances des
éléments, en ignorant leur rapport R/X ou en le supposant constant.
Comme les récepteurs sont ordinairement à caractère prépondérammentou fortement ohmique, la méthode à impédance est la seule admissible.
Mais pour l'appliquer sans erreur appréciable, il faut que les lignes et
les récepteurs aient le même ou à peu près le même rapport R/X.
Cette condition ne peut être réalisée par les lignes aériennes à moyenne
et à haute tension dont le rapport R/X est ordinairement inférieur à
l'unité et tombe à moins de V* aux très hautes tensions. Elle peut être
réalisée, par contre, dans le cas des réseaux de distribution à basse tension où
les lignes aériennes et souterraines, surtout souterraines, ont un rapport R\X
104
de 1 à 3 ; dans ce cas, une étude approximative des chutes de tension et
de la répartition des courants peut être entreprise sur la table à courant
continu, pourvu que les courants capacitifs ne jouent pas un rôle appréciable.Considérons la ligne AB d'impédance Z — R -\-j X joignant une cen¬
trale en A à un récepteur de cos 9 en B (fig. 43 a), ou plus généralementdeux nœuds A et B d'un réseau de distribution (fig. 43 b), et soit / le
courant parcourant la ligne.
(a)
(b)
/
Z-R '/X
Z-R'JX
Fig. 43
Équation de fonctionnement de la ligne avec Vb comme vecteur de
référence (diagramme de la fig. 43 c) :
VA = VB + IZ = VB+ /(cos <p—j sin <p) (R + j X)= VB + I(R cos 9 + -3Tsin 9) + jI(Xcos 9 — R sin 9)
Chute de tension vectorielle:
Va — Vb = I (R cos 9 + X sin 9) -\- j I (X cos 9 — jR sin 9)= vï + jv2
La chute de tension comporte une composante en phase v1 et une
composante en quadrature vv Pour que le fonctionnement de laligne
puisse être reproduit exactement sur la table, il faudrait que VA et
Vb soient en phase, c'est-à-dire que:
*2 = 0
ou : / (X cos 9 — R sin 9) = 0
ce qui donne la condition déjà mentionnée:
Xtg<?
R
Le facteur de puissance du courant fourni par une ligne quelconque doit
correspondre aux constantes R et X de la ligne. Dans ces conditions:
105
Va—Vb = KR cos <p + Xsin ç) = ilR -^- + X-|-)
Lorsque la condition tg ç> = X/i? est satisfaite pour toutes les lignes,le réseau se comporte comme un réseau à courant continu avec Z, au
lieu de R, comme résistance apparente. Les tensions aux nœuds sont en
phase. Le courant mesuré sur la table représente le courant réel I, en
retard de l'angle <p sur la tension. En pratique, on a de faibles déphasagesde tension aux nœuds d'un réseau de distribution, et les résultats ne
pourront pas être exacts mais approchés de la réalité. Le fait que le
rapport R/X des centrales est très faible et ne correspond pas au cos <p
des récepteurs n'est pas un obstacle, car c'est la tension aux bornes qui
compte.
Une autre possibilité d'emploi de la table s'offre dans le cas des réseaux
de distribution où les centres de consommation ont le même ou à peu
près le même cos <p et que celui-ci diffère du rapport R/X des lignes,
pourvu que les déphasages entre les tensions aux nœuds restent faibles.
Considérons, en effet, la figure 43 c et rabattons le point F sur l'axe
de référence Ox; il vient en F' (OF' = OF). Si l'angle 0 est petit, la
chute de tension algébrique CF' est approximativement égale à CD, D
étant la projection de F sur Ox:
CF'^ë CD = I(Rcosç + Xam<f) = vl
que l'on peut écrire sous la forme:
v1 = I cos (p (R + Xtg (p)
On pourra donc reproduire la chute de tension vl aux deux conditions
suivantes :
1 °
représenter chaque ligne sur la table par une résistance proportion¬nelle à (R + Xtg<pL), où <pL correspond au facteur de puissance du
courant, pris simplement égal au cos <p moyen des récepteurs ;
2° régler les rhéostats représentant les centres récepteurs de façon à
faire débiter au réseau miniature des courants proportionnels aux courants
actifs des charges.
Exemple numérique. — Un réseau de distribution triphasé est cons¬
titué par une centrale Gt alimentant deux centres de consommation R2et R3 au moyen d'une boucle à 11 kV (fig. 44). Les trois lignes de la
boucle ont les impédances suivantes:
10G
Zn = 2 + 7 4 ohms
Z23 = 1 + y 2 ohms
Z31 = 2 + y 3 ohms
Les deux centres récepteurs R2 et i?3 consomment respectivement 1800 kW
et 900 kW à un même facteur de puissance cos <p = 0,8.
Fig. 44
Pour permettre une solution mathématique exacte, nous avons pris la
tension au nœud 2 comme tension connue au lieu de la tension aux
bornes de la centrale; soit donc:
V2 = ,J! = 6000 V (valeur étoilée)10400
n
Tous les calculs se rapportent à une phase du système, supposé équilibré.
Solution relative à la table de calcul à courant continu. — Le rap¬
port X\R des lignes étant différent du tg <p des récepteurs, les lignesseront représentées par des résistances ohmiques de valeur (R + XtgÇL),soit, en prenant çl — cos-10,8 ou tg <pL = 0,75,
r12 = 2 + 4 X 0,75 = 5 ohms
r23 = 1 + 2 x 0,75 = 2,5 ohms
r31 = 2 + 3 X 0,75 = 4,25 ohms
Courants actifs débités par la boucle:
a o1800 x 103
au nœud 2 : i2 = —q y ac\c\r\—= 100 ampères
900 X 103au nœud 6 : is = 5 ^ ampères
o X K3
107
t.
Appliquons les lois de Kirchhoff:
hz + hi = 10°
300000 300000t32
Solution :
Vs 6000 + 2,5182
tj2 ^^' t),00 A.
''32 24,65 À
i18 = 74,15 A
V.A = 6061,6 V
Courants dans les lignes:
75,35
0,894,18 A
/»,=
244^= 30,81 A'32
'13
0,8
74,15
0,8= 92,69 A
Pour comparer ces résultats avec les valeurs exactes, nous avons résolu
le réseau mathématiquement (à défaut de table de calcul à courant alter¬
natif), en transformant le triangle en étoile et en partant des données au
point 2. La connaissance de la tension F2 a permis un calcul exact. Le
tableau suivant permet de comparer les résultats qu'auraient donnés,d'une part, la table à courant continu, d'autre part, la table à courant
alternatif:
108
Table à courant Table à courant Erreur
alternatif continu sur les modules
Courants (ampères)
la 94,18 + 1,8%92,5139° 20'
I32 33,1 | 29° 58' 30,81 -6,9%
/,3 94,4134" 10' 92,69 -1,8%
Tensions (volts)
72 6000 6000
Vi 6379,611 » 31 ' 6376,8
v3 6061,5(0° 23' 6061,6
Chutes de tension algé¬
briques depuis la centrale
jusqu'aux centres récepteurs
V-Vs 318,1 315,2 -0,91%
7,-72 379,6 376,8 -0,74%
On voit que les déphasages relatifs des tensions aux nœuds sont très
faibles et l'erreur est partout négligeable, quoique plus sensible dans le
circuit de liaison 2—3.
Il n'en est plus de même lorsque les facteurs de puissance des centres
de consommation diffèrent sensiblement.
Revenons à l'exemple numérique précédent en donnant cette fois-ci au
récepteur i?2 un facteur de puissance égal à l'unité. Pour calculer les
résistances représentatives des lignes, posons un cos Çj-, moyen égal à 0,9;
nous avons alors :
tg (pL = 0,484
r12 = 2 + 4 X 0,484 = 3,936 ohms
r23 = 1 + 2 X 0,484 = 1,968 ohms
r81 = 2 + 3 x 0,484 = 3,452 ohms
Par application des lois de Kiechhoit, nous obtenons les valeurs
suivantes que la table à courant continu aurait données:
76,22i12 = 76,22 A d'où Il2 =
iS2 = 23,78 A d'où J32
13 73,39 A d'où /is =
0,9
23,78
0,9
73,39
0,9
= 84,7 A
= 26,4 A
= 81,5 A
109
Chutes de tension dans les lignes:
Vl — Vz = ila rla = 76,22 x 3,936 = 300 V
Vx — Vs = ils r18 = 73,39 x 3,452 = 253,3 V
Le tableau suivant permet de comparer ces résultats approximatifs avec
les valeurs exactes, obtenues sous forme complexe, avec V2 comme vecteur
de référence:
Table à courant
alternatif
Table à courant
continu
Erreur
sur les modules
Courants (ampères)
hI32
fn
84,7
26,4
81,5
+ 13,2%-15,7%- 1,6%
74,8112° 30'
31,3131° 24'
80,2115» 5'
Tensions (volts)
% 6000
6217 |2°24'5994,810° 40'
6000
6300
6047,1
Chutes de tension algé¬
briques depuis la centrale
jusqu'aux centres récepteurs
V,—Va
Vt-V,
217
222,2
300
253,3
+ 38,2»/»
+ 13,8%
Malgré que les déphasages relatifs des tensions soient très faibles, les
erreurs commises sur les courants et les tensions sont importantes (compareravec le tableau précédent). Cela et dû au fait que le facteur de puissance
<Pl pris pour calculer les résistances figuratives des lignes s'écarte de la
réalité, particulièrement dans le cas de la ligne 2—3, dont le courant est
en avance sur la tension, tel un courant capacitif; la formule de la résis¬
tance figurative est, dans ce cas, r = R — Xtg ç>z, au lieu de
r = R + X tg <pL
Ainsi, lorsque les centres de consommation d'un réseau de distribution
ont des facteurs de puissance sensiblement différents, l'emploi de la table
de calcul à courant continu pour étudier le régime normal, d'après les
méthodes précédentes, peut conduire à de grandes erreurs dans la distri¬
bution des courants — surtout dans les circuits de liaison entre sous-
stations — ainsi que dans la détermination des chutes de tension.
Pour des cas pareils, Hahn a imaginé la méthode suivante.
110
Méthode de Hahn [B. 23]. — W. C. Hahn a proposé la méthode
suivante pour l'étude d'un réseau sur la table à courant continu, lorsquele rapport R/X est différent pour les divers éléments.
Elle consiste à faire deux répliques du réseau:
la première pour les courants en phase avec un vecteur de référence
(réseau miniature I);la seconde pour les courants en quadrature avec le vecteur de référence
(réseau miniature II).
La méthode se base sur la première loi de Kibchboff exprimant que
la somme vectorielle des courants à un nœud quelconque est nulle. En
appelant a1} blt clt ...les composantes en phase de ces courants, a2, fe2,
c2, ... les composantes en quadrature, nous pouvons écrire:
(ax + ; o2) + (&i + J h) + (Cj + jf c2) + . . .= 0
d'où:
«i + &i + Cj + • . .= 0
a2 + b2 + c2 + ...= 0
A un nœud quelconque, la somme algébrique des composantes en phaseet celle des composantes en quadrature sont séparément nulles.
La résistance représentative d'un élément est différente pour les deux
réseaux miniatures. Sa valeur est obtenue comme suit:
soient: R + jX l'impédance de l'élément considéré,
h ~t~ Jh Ie courant parcourant l'élément,
vx + j v2 la chute de tension correspondante ;
ilf «j étant les composantes en phase avec un vecteur de référence; i2,
v2 les composantes en quadrature avec ce vecteur.
D'après la loi d'OHM:
vi + Jv2 = (R + JX) (h + ji2)= (R^ — XiJ + (Ri2 + Xi,)
ce qui donne:
fl, = Rit — Xi2
v2 — Ri% + Xix
Désignons par:
rj la résistance représentative de l'élément considéré dans le réseau
miniature I,
r2 la résistance représentative de l'élément dans le réseau miniature II.
111
Les résistances rl et r2 doivent être telles que i, et v, soient reproduitsdans le réseau I et i2, v2 dans le réseau IL Ceci eist réalisé si:
d'où les formules:
[ 12t
r^= R~~Xii
r2 = R+ ^- X
En constituant les deux réseaux miniatures avec les valeurs de résis¬
tances données par ces deux formules, on détermine les composantes en
phase et en quadrature des tensions et courants en chaque point du réseau.
Mais les formules contiennent justement les inconnues ii, i2 que l'on veut
déterminer. Il faudra donc supposer les facteurs de puissance dans les
différentes branches, et approcher par corrections successives les valeurs
exactes; chaque fois, il faut calculer de nouveau les valeurs des résis¬
tances figuratives et réajuster en conséquence les réseaux de la table.
Lorsque le réseau à étudier est complexe et comprend des récepteurs à
cos çp différents, les tâtonnements deviennent plus longs. Pour représenterune résistance négative, il faut, à l'aide de rhéostats auxiliaires, y inverser
le courant de façon à produire l'effet d'une chute de tension négative;les résistances négatives augmentent considérablement le travail et doivent
être évitées autant que possible; l'auteur indique quelques artifices dans
ce but.
La méthode de Hahn est une tentative méritoire de tirer profit de la
table de calcul à courant continu. Mais elle comporte des calculs et des
tâtonnements ; elle suppose la connaissance préalable des courants injectéset absorbés au réseau en phase et en quadrature. Néanmoins, elle peutconvenir aux réseaux de distribution avec un ou deux centres générateursainsi qu'aux études de court-circuit.
Conclusion
L'application principale de la table à courant continu est la détermi¬
nation des courants de court-circuit lorsqu'on ne recherche pas des résul-
t Cette formule n'est antre que celle de la page 106, où l'on a simplement considéré
le réseau I et négligé le réseau II, dont il est tenu compte ici au moyen de la
seconde formule.
112
tats précis. Elle peut servir également au calcul approché de la répartitiondes courants et des chutes de tension dans les réseaux de distribution par
les méthodes ci-dessus.
Elle a été aussi employée pour certaines études particulières où le
problème pouvait être représenté par un réseau électrique équivalent de
résistances ohmiques [B. 52].Mais étant constituée uniquement par des résistances ohmiques, elle est
incapable de reproduire les déphasages des forces électromotrices des
alternateurs et des courants et tensions daDS le réseau, et ne convient pasdonc aux études où le déphasage joue un rôle essentiel comme la stabilité
de marche en parallèle des centrales, la répartition des puissances actives
et réactives dans les réseaux complexes à plusieurs centres générateurs,la régulation des grands réseaux de transport à haute tension.
Pour résoudre expérimentalement ces problèmes, qui exigent des résul¬
tats précis et ne tolèrent pas les tâtonnements et l'incertitude, de même
que pour une détermination exacte des courants de défaut, il faut recourir
à la table de calcul à courant alternatif.
113
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TROISIÈME PARTIE
La table de calcul à courant alternatif
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CHAPITRE PREMIER
Historique des modèles à courant alternatif
L'histoire des modèles réduits à courant alternatif a commencé, il y a
un demi-siècle, avec les simples lignes artificielles pour aboutir, durant
les deux dernières décades, aux tables de calcul électriques modernes.
Les premières lignes artificielles furent construites pour l'étude de la
propagation des ondes de courant et de tension le long des lignes télé¬
graphiques et téléphoniques [B. 32J.Les efforts des investigateurs tendaient alors à reproduire sur leurs
modèles la répartition uniforme des constantes de lignes (résistance, induc¬
tance, capacité), pour éviter les réflexions d'ondes provoquées par des
éléments localisés.
Pppin [B. 32] imagina d'enrouler un fil en plusieurs couches sur un
tube cylindrique en plaçant entre les couches successives du papier d'étain
séparé de l'enroulement par du papier isolant. En choisissant des dimen¬
sions appropriées pour le fil et le tube, il fallait arriver à représentern'importe quelle répartition uniforme de résistance, inductance et capacité.Il suffisait alors de connecter un certain nombre de bobines en série pour
représenter la longueur de ligne désirée. La grande difficulté rencontrée
par Pupin était de calculer les dimensions de fil et de tube correspondantà des constantes données. En outre, les bobines ainsi conçues ne possé¬daient pas assez de rigidité diélectrique, de sorte qu'elles cédaient souvent
sous l'action de la tension.
Après la télégraphie et la téléphonie, les efforts de construction des
lignes artificielles se tournèrent vers la transmission de l'énergie électrique
par courants alternatifs et l'étude du fonctionnement des lignes électriquestant en régime établi qu'en régime transitoire [B. 33 à 39].Aldrich et Rediteld [B. 33] construisirent une ligne triphasée à cons¬
tantes localisées, comme le montre la figure 46. La réactance était
117
concentrée à une extrémité dans des bobines à noyau d'air; celles-ci
furent choisies pour garantir une inductance constante à toutes les valeurs
de courant. La résistance de la ligne, en partie dans les bobines, fut
complétée avec du fil de maillechort enroulé non-inductivement. La capa¬
cité fut représentée par six condensateurs connectés deux à deux en
étoile aux points milieux des résistances. Remarquons que les circuits
équivalent en jt et en T n'étaient pas encore
<?«W» ?&" 2&'• WP MAr
•—w—m-
W Mr
m .connus.
-VM » La ligne artificielle d'ÀLDBiCH et de Redpield
fut alimentée, à travers un transformateur, par
—j_ un alternateur triphasé de 10 kW, 64 périodesT. "."'mi' à la seconde, 410 volts. À l'extrémité réceptrice
«Jsfc,, de la ligne, la puissance transmise était absorbée
_} par un moteur synchrone entraînant un générateur
pig- 46 avec une charge de lampes. Les essais, effectués
à l'Université de l'illinois au printemps 1901,eurent pour but d'étudier le fonctionnement de la ligne en régime équilibré,à vide et en charge, pour différents états d'excitation des machines synchrones.
Plus tard, le « Union Collège » d'Amérique, en collaboration avec le
savant Steinmetz, reprit l'idée de Pupin pour l'appliquer à l'étude de la
transmission de l'énergie électrique [B. 34].Le but proposé était de reproduire à une échelle réduite le fonctionne¬
ment d'une ligne à haute tension et à grande distance, afin d'étudier
particulièrement les phénomènes transitoires provoqués par la fermeture
et l'ouverture de la ligne, la mise sous tension, le brusque changementde charge, etc.
On enroula une seule couche de fil de cuivre autour de grands tubes
de verre, qui furent recouverts intérieurement de feuilles d'étain (fendueslongitudinalement pour ne pas avoir un secondaire court-circuité et trans¬
versalement pour réduire les couiants de FoucAri/r). Chaque tube devait
représenter 0,8 kilomètre de ligne de 1,5 à 1,8 m d'espacement entre
les conducteurs, et avoir par conséquent les constantes suivantes:
R == 0,25 Q L = 0,001 h C= 0,007 ju F
Par des calculs et des considérations de prix, on arriva aux dimensions
suivantes pour les tubes en verre:
diamètre = 150 mm
longueur = 1360 mm
épaisseur du verre = 3,1 mm
118
Chaque tube portait 240 tours de fil de cuivre et avait un poids total de
18 kg. 400 tubes pareils furent construits et connectés en série pour
représenter une ligne monophasée de 209 km. Ils furent placés sur des
chevalets comportant chacun 10 étagères de 10 tubes chacune. Les dimen¬
sions d'un chevalet étaient de 2,70 m de longueur par 2,40 m de hauteur
par 1,30 m de largeur ...!
Tube bobinéo .
| jjssmsi jk&xii jyws/ jfficsa >
N S
Feuilles
d'étain
0
Transformateur
Fig. 47
Comparée à la construction de Popin, celle de l'Union Collège présentaitune grande rigidité diélectrique et ne cédait pas sous l'application de la
tension. Mais elle présentait plusieurs inconvénients:
a) les tubes avaient de grandes dimensions pour une inductance relative¬
ment faible, car il y avait une seule couche de fil;
b) la capacité s'est avérée beaucoup plus faible que ne l'avaient prévules calculs pour plusieurs causes: l'épaisseur des tubes n'était pas uniforme,les feuilles d'étain n'étaient pas suffisamment bien appliquées contre l'intérieur
des tubes, malgré l'emploi de bagues-ressorts en acier;
c) il y eut une casse fréquente de tubes.
La ligne artificielle, dont les constantes totales étaient
R = 93,6 Q L = 0,3944 h C = 1,135 p F,
fut opérée à la tension de 2000 volts et la puissance fut empruntée au
réseau d'éclairage de la ville. Les oscillations du courant dans la ligneet de la tension aux deux extrémités furent enregistrées pour différents
régimes transitoires.
Plusieurs autres communications parurent dans la presse technique au
sujet de lignes artificielles, durant la deuxième décade de ce siècle [B. 35,
36, 37, 38].Dans leur communication de 1912 [B. 35], Kennellt et Tabossi donnent
la description d'une ligne artificielle de 2400 km — monophasé — ou
800 km — triphasé — installée à l'Université de Harvard. Elle est à
constantes semi-réparties.
119
Les bobines sont constituées, chacune, par 4 solénoïdes à noyau de bois,
réunis en carré pour former un circuit magnétique fermé. De plus, elles
sont diposées perpendiculairement l'une à l'autre pour réduire au minimum
toute induction mutuelle (fig. 48). Chaque bobine représente 80 kilomètres
de ligne aérienne (ayant un espacement de 230 cm entre conducteurs),
pèse 8,4 kg, et mesure 36 centimètres de côté.
J=f c== ±c c=- =W c== ==c c=- ==c c= =
Plan Fis. 48 Élévation
Chaque condensateur a une capacité de 0,75 /i F et est placé dans une
boîte en fer de 20x5,6x14,2 cm, l'espace vide étant rempli de cire de
paraffine.Les divers tests effectués servirent à vérifier la théorie hyperbolique des
longues lignes.
Une communication parue en 1917 décrit un modèle de laboratoire
construit par la «Telluride Power Company» et représentant l'essentiel
de l'un des réseaux de la compagnie: quelque 800 km à 44 kY avec
une capacité génératrice de 24000 k"W [B. 40].Ce modèle constituait un premier pas vers la conception de réseaux
miniatures composés de plusieurs lignes artificielles connectées ensemble.
Il était triphasé, à 60 périodes à la seconde et opéré à 1000 volts à
partir des 230 volts du laboratoire par l'intermédiaire de deux trans¬
formateurs branchés à l'emplacement des deux centrales principales de la
compagnie. Les lignes étaient représentées par des bobines à air en série
avec du fil de résistance, et des condensateurs connectés entre les diffé¬
rentes phases et entre les phases et la terre ; chaque groupe équivalait à
16 km de ligne.Les essais effectués sur ce modèle étaient d'un genre un peu nouveau
pour l'époque, puisqu'ils servirent à déterminer les valeurs et phases des
courants et tensions à différents points du réseau lorsqu'il était soumis à
des courts-circuits triphasés, phase à phase, phase à la terre, en vue d'étu¬
dier le fonctionnement de certains relais développés par la compagnie.
Avec le passage des années, les réseaux électriques se développent et
s'étendent; chaque compagnie dispose de plusieurs centrales en parallèle
120
et alimente de nombreuses sous-stations au moyen d'un réseau plus ou
moins bouclé.
Les simples lignes artificielles perdent leur intérêt, car la théorie des
lignes à constantes uniformément réparties a été mise au point et vérifiée
expérimentalement, et le fonctionnement exact d'une ligne de transmis¬
sion peut être prévu par les procédés mathématiques, sans difficulté et
en peu de temps.D'autres problèmes se posent:
marche en parallèle des centrales;limites de puissance transmissible et stabilité;courants de défaut et protection sélective;
réglage de la tension et des puissances actives et réactives, etc.
La solution mathématique de ces problèmes requiert des calculs longset pénibles, et oblige, dans la majorité des cas, à des tâtonnements et
des approximations. Aussi l'intérêt se tourne vers une solution expéri¬mentale de ces problèmes. De là, l'avènement des réseaux miniatures de
laboratoire [B. 41, 42], et l'on peut dire que la troisième décade de ce
siècle forme une période de transition entre l'ère première des lignes arti¬
ficielles simples et l'ère contemporaine des calculateurs modernes.
Le réseau miniature, décrit par Schubig dans sa communication de
1923 [B. 42], se composait des éléments suivants:
2 alternateurs triphasés de 3,75 kVA, 110 V couplés chacun à un
moteur à courant continu de 10 chevaux, 230 V;6 transformateurs monophasés de 2 kVA, 110/220/440 V ;
24 bobines à noyau de fer et entrefer fixe, avec 15 prises permettantd'obtenir 128 valeurs différentes de réactance de 0,2 à 30 ohms;
24 résistances de maillechort enroulé sur des tubes d'amiante; chaquerésistance est variable de 0,2 à 30 ohms en 74 échelons;
assez de condensateurs de 2 et 5 p. F pour permettre la représentationtriphasée de lignes allant jusqu'à plusieurs centaines de miles.
Installé au laboratoire de la General Electric Company à Schenectadyoù il occupait une surface de 6 X 5 '/2 m, ce modèle, quoique de possi¬bilités limitées, servit à de nombreux essais sur la répartition de charge,les courants de défauts, la stabilité,... pendant plusieurs années.
Le courant nominal du modèle était de 10 ampères. L'obstable qui
s'opposait à sa réduction était les instruments de mesure ordinaires dis¬
ponibles en ce temps-là. Schueig estimait, en effet, que pour maintenir
au-dessous de 10°/° l'erreur due à la mise en circuit des instruments de
9 121
mesure ordinaires, il fallait pour un système à 100 volts un courant
nominal de 10 ampères, pour 200 volts 5 ampères [B. 39, 42; voir les
discussions]. L'emploi des amplificateurs électroniques était encore délicat
et compliqué pour des mesures pratiques et répétées.
Le modèle expérimental de Evans et de Beegvall [B. 43] pour l'étude
de la stabilité statique d'une longue ligne de transmission (800 kms.) avec
et sans compensateur synchrone au milieu, se distingue par la grande
puissance de l'installation : 625 kVA à 2300 volts. La raison en est
qu'étant difficile de reproduire sur de petites machines les caractéristiquesdes grandes machines en service dans les réseaux, les investigateurseurent recours à un puissant générateur d'essai afin de se rapprocherautant que possible des conditions réelles.
Moteur Alternateurà courant 625 kva
continu 2380v
Compensateursynchrone
425 MA
Compensateursynchrone
réglant la tension
à l'extrémité 200k^ Génératrices
réceptrice
200kW
Fig. 49
Aux résistances
de charge
Schéma de l'installation employée par EVANS et BEB.GVALL pour étudier la stabilité
statique d'une longue ligne de transmission.
De ce qui précède, on se rend compte des difficultés rencontrées par
les premiers constructeurs de réseaux miniatures:
a) Les instruments de mesure ordinaires causaient, par leur mise en
circuit directe, une erreur d'autant plus appréciable que le courant nominal
était plus faible, ce qui empêchait la construction d'un modèle de faible
puissance avec tous ses avantages : faible encombrement, prix réduit, possi¬bilité d'avoir un grand nombre d'éléments sous un volume raisonnable.
b) Pour l'étude de la marche en parallèle des centrales ainsi que de la
stabilité, il fallait recourir à des machines puissantes afin de se rapprocherdes conditions réelles, et encore, il fallait se limiter à des systèmes simples,car l'étude de plusieurs machines tournantes en parallèle aurait présentédes difficultés d'ordre pratique (oscillations, mesures).
Trois découvertes scientifiques et techniques ont éliminé ces difficultés
et conduit aux tables de calcul à courant alternatif modernes:
122
1 ° La méthode des composantes symétriques de C. L. Foetescue ; elle
permet de remplacer un système triphasé déséquilibré par trois réseaux
monophasés et d'obvier ainsi à la nécessité d'une représentation triphasée;en particulier, les centres générateurs peuvent être représentés par des
sources monophasées de f. é. m. réglable en grandeur et en phase,
2 ° La représentation des sources de f. é. m. — des centres générateurs —
par des déphaseurs statiques (régulateurs d'induction); l'idée est due à
H. H. Spencee et H. L. Hazen [B. 44] et rend possible, en éliminant les
sources tournantes, une marche stable et un contrôle adéquat du réseau
miniature quelle que soit sa composition. L'étude de la stabilité dynamiquene peut pas se faire directement, mais le procédé de «pas-à-pas » permetde remplacer les phénomènes transitoires par une série de régimes station-
naires que le modèle réduit, avec ses sources statiques, est capable de
représenter.
3° La mise au point des amplificateurs électroniques réduit considérable¬
ment les erreurs dues aux instruments de mesure et permet d'opérer le
modèle à de très faibles valeurs de puissance et de courant, d'où réduction
dans les dimensions des éléments et possibilité de construire de grandestables avec un encombrement modéré.
La première table à courant alternatif fut installée au Massachusetts
Institute of Technology en 1929 [B. 45] ; elle fut le résultat des efforts
combinés des services d'études de la General Electric Company et des
Professeurs d'Électrotechnique du M. I. T.
A la même époque, une autre table fut construite par les ingénieursde la Westinghouse Electric & Manufacturing Company [B. 46]. Mais,tandis que la table du M. I. T. fonctionne à la fréquence de 60 Hz, celle
de la Westinghouse a été calculée pour 440 Hz afin de réduire les dimen¬
sions des réactances et des capacités.
L'usage d'une fréquence supérieure à la fréquence industrielle (400 à
500 Hz) fut jugé plus économique et rallia les suffrages dans la plupartdes tables qui furent construites par la suite.
Une université américaine, le «Iowa State Collège», construisit même,
depuis quelques années, une table à la fréquence de 10000 Hz, dans un
but expérimental [B. 53].
Aux États-Unis, les tables de calcul à courant alternatif se sont répan¬dues durant ces deux dernières décades; leur emploi est devenu courant
pour l'étude des réseaux existants, des projets d'extension et d'intercon¬
nexion et pour la résolution des problèmes d'exploitation. D'après un
123
rapport présenté en 1948, à Paris, à la Conférence Internationale des
Grands Réseaux Électriques [B. 54], il existait alors, aux États-Unis, vingttables de calcul à courant alternatif, dont neuf ont été construites durant
les années 1945 à 1948, et le rapport ajoutait que le programme de cons¬
truction de ces appareils ne satisfaisait pas à la demande.
Deux de ces tables sont utilisées par deux des plus importantes sociétés
de construction de matériel électrique; sept sont installées dans des col¬
lèges et universités techniques; quatre appartiennent à de grands réseaux
publics et sept à d'importantes compagnies privées.En Europe, il fallut attendre jusqu'en 1940 pour voir la première table
à courant alternatif, construite par la société Siemens-Schuckert [B. 55],
qui, chose intéressante, préféra employer la fréquence de 50 Hz, malgré
que la fréquence de 400—500 Hz avait rallié la majorité des construc¬
teurs américains.
En 1947, un consortium de constructeurs anglais, l'Associated Electrical
Industries Ltd., a installé une table de calcul à 500 Hz aux ateliers de
Willesden de la British Thomson Houston Co à Londres [B. 56].L'Électricité de France, de son côté, entreprit en 1945 l'étude d'un
modèle à la fréquence de 500 Hz, modèle dont la réalisation industrielle
s'est échelonnée sur les années 1946 et 1947, et dont le montage et
l'essai ont été menés à bien au cours de l'année 1948 [B. 57].Dernièrement, la société autrichienne « Oesterreichische Elektrizitâts-
wirtschafts-AG. » a fait l'acquisition d'un modèle à 50 Hz, construit par
Siemens & Halske, Vienne [B. 60].
Enfin, dans plusieurs autres pays européens tels que la Suisse, la
Belgique [B. 59], la réalisation d'une table de calcul à courant alternatif
«st en vue, soit que de grandes entreprises industrielles s'en occupent,ou que des efforts sont déployés pour faire collaborer à cette fin tous
les intéressés: sociétés, constructeurs de matériel électrique, institutions
techniques.
124
CHAPITRE DEUXIÈME
Caractéristiques principalesdes tables de calcul à courant alternatif
A. — Echelle de la table: Coefficients de réduction
Définition. — Comme les modèles réduits employés dans d'autres
branches de la technique, la table de calcul à courant alternatif fait usage
du principe de similitude. Elle reproduit le fonctionnement d'un réseau
donné à une autre échelle de grandeur aussi bien pour les impédancesdes éléments que pour les valeurs des tensions, des courants et des puis¬sances. Seuls les angles de déphasage restent évidemment les mêmes.
Entre les valeurs de la table et les valeurs réelles, ramenées à une
même base de référence, on a des rapports constants pour un réseau
donné; ces rapports de similitude sont appelés coefficients de réduction
ou coefficients de figuration. Il y a un coefficient pour les impédances, un
coefficient pour les courants, un autre pour les tensions et un quatrième
pour les puissances. Ils sont définis par le tableau suivant:
Grandeur
réelle
par phase
Grandeur
correspondantesur la table
Coefficient
de
réduction
Impédance Z z
z
I i , '-T
V u
U
Puissances active et réactive P,Q V,1x
P q
125
Relations entre les coefficients de réduction. — Les quatre coeffi¬
cients sont connectés ensemble par deux formules qu'il est facile d'établir.
Considérons une branche quelconque d'un réseau, d'impédance Z, par¬
courue par un courant I et joignant deux noeuds de tensions Ul et U2(fig. 50 a).
/(L
«,
<*hu
Fig. 50
Le diagramme vectoriel de la branche considérée (fig. 50 b) et celui de
son impédance figurative (fig. 50c) sont semblables, ce qui permet d'écrire:
O'A'
OA
u.
U,
U
2_
O'B'
OB
u,
Uii
= a X
X
A'B'
AB
i z
Tz
z
On peut aussi écrire:
p_
u i cos 9_
u
"F- t//cos<p"~
~TFX
l
TJLQ~
uisin<p
Ulainy Ux
(1)
i
T
u, p, q, <p se référant à l'une ou l'autre des deux extrémités, d'où la
seconde formule:
P-
J_—
u
P Q UX
o = y x /?
De (1) et (2) on tire la relation:
S = a(32 = -£-
i
T
(2)
Les formules (1) et (2) définissent deux coefficients de réduction en
fonction des deux autres. En d'autres termes, il suffit de se fixer deux
coefficients pour avoir tous les rapports de similitude entre le modèle et
le réseau réel.
126
Le coefficient de réduction des admittances est égal à l'inverse du coef¬
ficient de réduction des impédances, ce qui entraîne la conséquence suivante;
autant les impédances figuratives des lignes seront réduites, autant seront
grandes les valeurs des condensateurs représentant leur capacité.
Choix des coefficients pour un problème donné. — En principe, le
choix des valeurs des coefficients de réduction pour un certain problème est
arbitraire, pourvu qu'ils restent invariables dans une représentation donnée.
Ainsi, le rapport de l'impédance figurative à l'impédance réelle, ramenée à
une tension unique, doit être le même pour tous les éléments du réseau.
En pratique, le choix est limité par les possibilités de la table : tension
d'alimentation, courant nominal des groupes générateurs et des éléments
d'impédances, impédances et capacités disponibles. Le choix final dépendrade la nature du problème et des caractéristiques du réseau. Ainsi, dans
l'étude d'un même réseau, on adoptera une échelle de tension plus réduite
pour un problème de court-circuit que pour un problème de fonctionne¬
ment normal, afin de réduire le courant et, par suite, réchauffement des
éléments, dans les limites prescrites par le constructeur.
B. — Quelques considérations
sur le choix des valeurs nominales de tension et de courant et
sur le dimensionnement des impédances de la table
Choix de la tension
a) La table de calcul est un appareil d'usage intensif dans les institutions
et les firmes où elle est installée. Pour la sécurité du personnel qui l'utilise,
il est préférable que la tension de service de la table soit basse, ne dépas¬sant pas la tension de distribution dans les locaux et les ménages (< 220 V).
b) Une faible tension simplifie l'isole¬
ment des groupes générateurs, des élé¬
ments de circuits, des fils et des jacksde connexion.
c) Une faible tension est aussi avanta¬
geuse lorsque la table fonctionne à une o
fréquence élevée, pour réduire les cou¬
rants de capacité parasites à la masse.
d) La relation y = a X /3 montre qu'un faible coefficient y permetde réduire proportionnellement le courant de la table ou les impédances
127
figuratives, ce qui signifie une réduction dans le dimensionnement de la
table. Notons cependant qu'une réduction des impédances entraîne un
accroissement des capacités destinées à la représentation des lignes.
e) D'autre part, une élévation de la tension est désirable du point de
vue de la précision dans les mesures, car la chute de tension relative
dans les instruments mis en circuit (ampèremètre, bobine de courant du
wattmètre; ou amplificateur interposé) devient plus faible. Cependant les
progrès de la technique dans le domaine des amplificateurs électroniques,utilisés aux fins de mesure, permettent l'emploi d'assez faibles tensions
sans nuire à la précision.
Les tensions, actuellement employées dans les tables de calcul à cou¬
rant alternatif, varient entre 50 et 200 volts. La table à 10000 Hz de
l'Iowa State Collège utilise une tension d'alimentation de 10 volts seule¬
ment pour réduire les courants de capacité parasites.
Choix du courant
a) Un faible courant nominal* a les avantages suivants:
1 ° de réduire la puissance et les dimensions des appareils d'alimen¬
tation et des groupes générateurs statiques;
2° de réduire réchauffement et le volume des éléments constitutifs du
modèle ;
3° de réduire la consommation d'énergie de la table durant son emploi.
b) Le courant doit être, cependant, assez intense pour que l'insertion,
directe ou indirecte, des instruments de mesure (voltmètre, bobine de
tension du wattmètre) ne modifie pas sensiblement la distribution des
courants dans le modèle; en d'autres termes, le courant dérivé par les
instruments doit demeurer très faible par rapport aux courants de la table.
Avec des instruments de construction ordinaire, branchés directement dans
le réseau miniature, il faudrait un courant nominal de plusieurs ampèresau moins, mais avec la mise au point et l'interposition des amplificateurs
électroniques, il est devenu possible d'employer des courants bien inférieurs
à 1 ampère. La General Electric Company a adopté, par exemple, pour
sa table construite en 1937, un courant nominal de 50 mA.
t Le courant nominal du réseau miniature indique l'ordre de grandeur des courants
dans les impédances figurant les lignes principales. Les courants des groupes généra¬teurs peuvent être plusieurs fois plus grands que le courant nominal des lignes.
128
c) Un autre facteur qui limite la réduction du courant de la table est
constitué par les susceptances parasites des éléments à la masse, quicroissent avec la fréquence; les courants dérivés par ces susceptancesdoivent rester très faibles par rapport aux courants utiles.
d) La relation y = a X /? montre que pour un coefficient de tension y
fixé, le produit des coefficients de courant et d'impédance est aussi fixé.
La réduction de l'un est aux dépens de l'autre ; il faut choisir entre une
réduction du courant et une réduction des valeurs des impédances. Par
contre, les capacités, en dérivation entre phase et neutre, diminuent en
même temps que le courant nominal.
Choix des valeurs des impédances
a) Les valeurs des impédances figuratives des lignes et des circuits sont
soumises à deux exigences opposées; d'une part, elles doivent être suffi¬
samment grandes vis-à-vis des impédances des fils de connexion et des
résistances de contact ; d'autre part, l'économie, l'encombrement, la mania¬
bilité font appel à un matériel de petit volume, de poids réduit, de faibles
valeurs d'inductances et de capacités surtout.
b) Le choix des valeurs des impédances est basé sur un examen généraldes réseaux de transport et de distribution, avec leurs différents étagesde tension, de puissance et de distance, en vue d'établir un tableau repré¬sentatif de leurs caractéristiques série et shunt, de leurs rapports RjX.Le choix final dépend évidemment des valeurs nominales de tension et
de courant de la table.
A titre illustratif, considérons les réseaux à grande distance et haute
tension, allant de 110 à 380 kV triphasé, en prenant comme régime de
fonctionnement normal le régime naturel.
Puissance naturelle:
p _
Ui C08 s
FnZ
Ze, e désignant l'impédance et le déphasage caractéristiques respective¬ment. En prenant pour les lignes aériennes la valeur movenne:
Zc = 400 ohms
le courant est donné par:
TP"
-.
U=
U
t/coss Zc 400
et le coefficient de réduction des impédances est égal, dans ces conditions, à:
129
a =ujU
__
uj
u
Ui 400 400 i0,0025 ~
i
d'où le tableau suivant, pour différentes valeurs nominales de tension u
et de courant i de la table:
i ampèreu volts
0,5 0,2 0,1 0,05
200 a = 1 2,5 5 10
100 0,50 1,25 2,5 5
50 0,25 0,625 1,25 2,510 0,05 0,125 0,25 0,50
Le coefficient de réduction des capacités des lignes est obtenu en formant
l'inverse —des valeurs ci-dessus.a
Exemple: Ligne aérienne triphasée de 300 km, 220 kV, ayant les
constantes linéiques suivantes:
R = 0,08 fl/km X = 0,42 fi/km C = 0,01 fi F/km
Son régime de charge normal est supposé identique au régime naturel.
En prenant comme valeurs correspondantes sur la table:
u = 100 V i = 100 mA
le coefficient de réduction des impédances est égal, d'après le tableau, à :
a = 2,5
ce qui donne une impédance figurative dans le circuit équivalent en n:
sh \'z yz X
•z y
où : z = a Z = 2,5 [(0,08 + jf 0,42) 300] = 60 + ; 315 ohms
et une susceptance figurative à chaque extrémité du circuit en ir:
v' -
tgh**y
.y .,
2
y-
'2/s
1 —1\zy
où : y =— Y= -^=- 0" 0,01 x 10-6 x 314) 300 = ; 0,377 x 10~3 mhoset &,o
130
en négligeant la perditance. Ces valeurs se rapportent aux systèmes direct
et inverse des composantes symétriques. Dans le système homopolaire,l'impédance des lignes aériennes est environ 3 fois plus grande que l'im¬
pédance directe; Padmittance capacitive, au contraire, inférieure.
Dans le cas des réseaux à moyenne et basse tension, les puissancestransmises peuvent être et sont ordinairement bien supérieures à la puis¬sance naturelle. L'ordre de grandeur des courants de ligne, et par suite
le coefficient de réduction /3, ne diffèrent pas beaucoup du cas des hautes
tensions, tandis que le coefficient y, de son côté croît à mesure que la
rtension de transmission baisse. Il en résulte, d'après la formule a
r
que le coefficient a croît, lui aussi, et prend des valeurs bien plus élevées
que celles indiquées, par le tableau, pour les réseaux haute tension. Par
contre, les impédances et les susceptances réelles sont plus modérées, par
suite des faibles longueurs de lignes.
c) Les impédances figuratives des charges diffèrent des impédances de
lignes notamment par le fait qu'elles sont d'un ordre de grandeur plus
élevé; en outre, elles sont ordinairement à résistance prépondérante.Considérons, pour fixer les idées, le réseau simple de la figure 52 a
composé d'une centrale G ayant une charge à ses bornes (Zx) et alimen¬
tant une autre charge éloignée (Z2) au moyen d'une ligne de transmission
(Zl). La capacité de la ligne n'est pas considérée.
G r9-= dlIUlr-rWW1-U 4
U,
Fig. 52
et:
On a, d'après le diagramme vectoriel (fig. 52 b) :
AB_
/, Zl_
1% Zl,_
Zl
2 Z<i Z2
Posons :
OA u,
OB
OA~ =
hZi
AB
OAa
OB
OA
X
h
131
Exprimons les trois impédances par la chute relative de tension rappor¬
tée à la tension £/2 et produite par le courant 72; on a:
ZL = 100 a °/o
Z2 = 100 °/o
z1==^ •/.c
Si, par exemple, a = 0,20; b = 1,14 et c = 0,10, il vient:
ZL = 20 %
Z2 = 100 °/o
Zj = 1140 %d'où:
Z2 = 5 Zl
Zx = 57 Zl
C. — Exigences auxquelles doit satisfaire une table de calcul
à courant alternatif
L'élaboration et la mise au point d'une table de calcul à courant alternatif
nécessitent de longues études préparatoires puis de nombreuses constructions,
qui en font un dispositif coûteux. Avant d'en entreprendre le projet, il
faut donc bien connaître les exigences techniques et pratiques qui vont
se poser à elle dans la solution des problèmes de réseaux. Ensuite, il faut,
autant que ces exigences le permettent, chercher la réalisation la plus
économique.
Exigences d'ordre pratique
1. Une table d'intérêt général doit avoir assez d'éléments — groupes
générateurs, impédances de lignes et de charges, capacités, autotransfor¬
mateurs — pour pouvoir représenter des réseaux très variés du point de
vue configuration, étendue, caractéristiques.
Ainsi, on aura à traiter:
a) des réseaux de distribution à moyenne et basse tension desservant
une zone plus ou moins étendue ou une grande agglomération urbaine. Les
caractéristiques de ces réseaux sont: lignes relativement courtes, câbles
souterrains à grande capacité, nombre restreint de centrales mais nombreuses
sous-stations, puissances modérées;
b) des réseaux de transport et d'interconnexion à haute et très haute ten¬
sion couvrant de grandes étendues de territoire, caractérisés par: de longues
lignes à fortes impédances et capacités, de nombreuses centrales marchant
132
en parallèle, des compensateurs synchrones, des puissances considérables
transmises. Ici, le problème de la stabilité prend une importance particulière.Pour décider de l'ampleur d'une table, il convient d'examiner la carte
des réseaux électriques du pays ou de la région qu'elle va desservir. Le
nombre des centres de production d'énergie électrique actuels et à venir
fixera à peu près le nombre de générateurs de la table. La densité des
lignes électriques et leur développement attendu, ainsi que le nombre des
sous-stations serviront à apprécier la quantité nécessaire d'impédances de
lignes et de charges.
2. La majorité des courts-circuits et des épreuves de stabilité est due
à des défauts dyssymétriques, principalement entre phase et neutre. Dans
ces conditions, un circuit unique phase-neutre n'est plus suffisant. On a
alors deux possibilités:
a) faire un montage triphasé;
b) appliquer la théorie des composantes symétriques et représenter sur la
table les réseaux inverse et homopolaire aussi bien que le réseau direct.
Considérons un circuit triphasé parcouru par des courants déséquilibrés/„, h, h- Les chutes de tension vectorielles dans les trois phases sont:
Ua = Z/aa la ~T~ £*ab i-b \ ^ae *c
Uj> = Zab Ia + Zbb Ib + Zbc le
Uc = £ac la r ^bc Ib T £ec le
Zaa, Zbb, Zcc étant les impédances propres des trois phases et Zab, Zbc, Zac
les impédances mutuelles.
En admettant, comme nous l'avons fait dans la première partie, que les
trois phases sont géométriquement équilibrées et que le déséquilibre des courants
provient uniquement d'un défaut dyssymétrique, nous avons :
et les chutes de tension peuvent s'écrire :
Ua = Zp la + Zu (Ij + Ij)Ûb = Zp Ib + Zu {h + le) (1)Uc = ZP Ic + Zu (h + h)
Si l'on adopte donc le montage triphasé, il est nécessaire de tenir comptenon seulement des impédances propres, mais aussi des impédances mu¬
tuelles qui couplent les trois phases.
133
Si l'on adopte la méthode des composantes symétriques, chacun des
trois réseaux fictifs est parcouru par des courants équilibrés, d'où pourchacun d'eux:
î'a + 4' + /; = 0
et les équations (1) se réduisent à:
K = ï'a (zP - 4) = P z
uj = I'h (Zp - ZM) = J'hZU'c = I'c (Zp - Zu) = PeZ
Z étant l'impédance cyclique que l'on emploie couramment en régime de
charge équilibré. Il suffit alors de considérer pour chacun des trois réseaux
fictifs un circuit phase-neutre ayant simplement une impédance Z sans
couplage externe.
Lorsque la table n'est pas assez fournie en résistances, inductances,
capacités, on recourt à une représentation successive des réseaux fictifs,et chaque fois, on mesure l'impédance équivalente entre neutre et pointde défaut laquelle va servir dans le réseau direct.
Une représentation simultanée des trois réseaux est toutefois avantageuse,car elle permet de mesurer directement les composantes symétriques des
différents courants et tensions et de modifier, à volonté, les connexions ou
les valeurs des impédances durant la marche d'une étude. Ceci est parti¬culièrement intéressant lorsqu'on étudie, par exemple, l'effet d'une exten¬
sion ou d'une interconnexion sur les courants de défaut ou sur la stabilité,et que l'on cherche à déterminer expérimentalement la solution la plusavantageuse.
Autres exigences pratiques:3. Les différents circuits de la table doivent pouvoir être facilement et
rapidement ajustés aux valeurs représentatives des valeurs réelles.
4. La formation du réseau miniature par l'interconnexion des différents
circuits doit être aisée, simple et claire. Il est essentiel de pouvoir se re¬
trouver facilement sur la table et de connaître, sans confusion, la corres¬
pondance entre les éléments de la table et ceux du réseau réel.
5. Il doit être aisé d'insérer les instruments de mesure à n'importequel point du modèle, sans déranger pour cela les connexions existantes.
En outre, la lecture des appareils doit être reposante pour la vue, l'échelle
des graduations préférablement uniforme et les oscillations de l'aiguillerapidement amorties.
134
Aisance des connexions, facilité des mesures, clarté et netteté de l'en¬
semble réduisent considérablement le temps requis par une certaine étude
et aident à éviter les erreurs de manipulation.
6. Aussi bien les instruments de mesure que le matériel de représentationdes réseaux doivent être de construction robuste capable d'endurer un
service fréquent.
Exigences techniques
Les exigences techniques ont pour but d'obtenir des résultats aussi
précis que possible en réduisant au minimum les sources d'erreur.
1. Le réglage des différents circuits de la table doit être fin et précis,particulièrement celui des groupes générateurs et des impédances de lignes.
Les forces électromotrices des groupes générateurs doivent pouvoir être
réglées finement en phase et en grandeur; cela donne de la souplessedans le choix du coefficient y et permet de représenter, avec les impé¬dances dont dispose la table, une grande variété de réseaux.
Les impédances représentatives des lignes doivent pouvoir être ajustéesde façon à se rapprocher autant que possible des valeurs requises. A cet
effet, un réglage doux des unités de résistances, des bobines de réactance
et des condensateurs serait le plus approprié. Mais la réalisation industrielle
de pareilles unités peut être difficile ou, du moins, coûteuse lorsqu'uneconstruction précise et durable est exigée. Si l'on préfère le système à
prises, celles-ci doivent être en nombre suffisant et convenablement agen¬
cées de façon à permettre une précision d'ajustement de l'ordre de 1%
ou bien meilleure. Un autre système consiste à former les impédances ou
les admittances voulues par juxtaposition d'éléments de valeur fixe; là,
c'est un choix judicieux des valeurs de ces éléments qui s'impose.Que l'on adopte un système ou l'autre, il ne sert à rien d'assurer une
grande finesse de réglage, si les valeurs nominales ne correspondent pas
aux valeurs réelles. On sait, en effet, qu'il est pratiquement difficile de
réaliser, de prime abord, la valeur de self-inductance ou de capacité pré¬vue par les formules et les calculs; pour l'obtenir exactement, il faut tâ¬
tonner. D'autre part, la constante de l'élément construit peut varier avec
la température (résistances), le courant (inductances), etc. Pour ne pas
accroître considérablement les frais de production, une tolérance de + x°/«est admise. La précision des valeurs marquées sur les éléments dépendrade cette tolérance.
Au sujet des lignes, les constructeurs des tables à courant alternatif
135
se sont imposés une tolérance égale ou inférieure à + l°/o pour les ré¬
sistances et les capacités, et allant jusqu'à + 2 °/o pour les bobines de
self-induction. Bien entendu, les éléments calibrés permettent une évalua¬
tion plus précise de leurs constantes.
La finesse de réglage et la précision requises dans le cas des groupes
générateurs et des impédances de lignes ne sont pas nécessaires dans le
cas des impédances de charges, sur les valeurs desquelles règne déjà une
certaine incertitude.
2. Bobines de réactance: a) Les bobines de réactance sont exposéesà être traversées par des courants d'intensités très différentes, suivant leur
position dans le modèle et l'étude que l'on fait. Il est indispensable, dans
ces conditions, que leur coefficient de self-induction soit indépendant de
la variation de courant dans la zone limitée par le courant nominal. Si
la présence d'un noyau de fer ne permet pas de réaliser une constance
absolue du coefficient de self-induction, il faut veiller, néanmoins, à ce que
la variation reste minime ; dans les tables actuelles, elle ne dépasse pas 2 %•
b) Les bobines à noyau magnétique doivent fonctionner en dehors de
la zone de saturation pour ne pas déformer les courbes de courant et de
tension et introduire ainsi des harmoniques.
c) Les bobines ne sont pas des selfs pures: elles présentent forcément
une capacité propre et des pertes d'énergie. La capacité est indésirable
et peut être d'ailleurs réduite à une valeur insignifiante par un enroule¬
ment et une disposition appropriée des spires.Les pertes d'énergie, par contre, sont inévitables et appréciables. Elles
sont dues à la résistance ohmique du fil à la fréquence considérée, ainsi
qu'aux pertes par hystérésis et par courants de Foucault dans le fer. En
écrivant que la perte totale due à un courant I traversant la bobine est
égale à:
pertes en watts = I2 Re
Re est appelée la résistance effective de la bobine à la fréquence et au
courant considérés, et le rapport -=— est appelé le coefficient de surten-
sion de la bobine.
Ainsi, une bobine est, en réalité, une impédance formée d'une self-
induction en série avec une résistance. Cette dernière, étant imposée bon
gré mal gré, entraîne les deux exigences suivantes:
1° pour chaque valeur de réactance réglable de la bobine, la valeur
correspondante de la résistance effective doit être connue;
136
2° le coefficient de surtension des bobines doit être égal ou supérieuraux rapports XjR qui peuvent se présenter en pratique. La résistance
effective, n'étant pas réglable à volonté, ne doit en aucun cas dépasser la
valeur de résistance dont on a besoin dans la représentation des éléments
du réseau réel. Les valeurs maxima du rapport XfR se rencontrent dans
les alternateurs, les gros transformateurs et les lignes aériennes à haute
tension et grande section.
3. Résistances : a) Elles doivent être non-inductives, si l'on ne veut pas
qu'elles introduisent des inductances supplémentaires dont il faudrait tenir
compte.
b) Elles doivent avoir un coefficient de température négligeable pour
maintenir leurs valeurs nominales malgré la variation d'échauffement et
de température.
4. Autotransformateurs: Les autotransformateurs sont utilisés dans la
table à calcul soit dans la représentation des transformateurs à rapport
variable, soit en série avec les impédances de charge.Dans les deux cas, il faut que les prises de réglage permettent de
s'adapter, aussi près que possible, au rapport désiré.
En outre, comme les transformateurs de réseaux ont ordinairement une
impédance de court-circuit prépondéramment inductive (XjR = 5... 30)
et de faibles pertes wattées à vide (< 1 °/o), les réactances servant à leur
représentation doivent posséder un facteur de surtension élevé. D'autre
part, il faut s'efforcer de construire les autotransformateurs à prises re¬
présentant la zone de réglage, avec des pertes actives série et shunt aussi
faibles que possible, pour que la résistance shunt correspondante et la
résistance série totale ne dépassent pas, à l'échelle de la table, celles du
transformateur réel.
Les restrictions étroites imposées aux pertes actives shunt ne sont pas
nécessaires dans le cas des pertes réactives shunt, puisqu'en réalité, ces
dernières sont notablement plus élevées que les premières (pertes actives
< 1 % j courant magnétisant = 3 à 8 °/o).
Enfin, de faibles infidélités dans la représentation des caractéristiquesshunt ou de la résistance des enroulements n'influent pas, d'une façon
appréciable, sur les résultats.
5. Instruments de mesure: La condition essentielle à remplir par les
instruments de mesure est que leur insertion en un point quelconque du
réseau miniature ne modifie pas les conditions de fonctionnement du réseau
10 137
et la répartition des courants et des tensions. S'il est impossible d'éviter
toute perturbation, il faut du moins la réduire à une valeur minime.
Pour cela, il faut que l'impédance série introduite par les dispositifs de
mesure du courant soit très faible (d'où chute de tension très faible), et que,
d'autre part, l'impédance shunt introduite par les dispositifs de mesure de la
tension soit suffisamment grande (d'où consommation de courant négligeable).
L'interposition d'amplificateurs électroniques entre les instruments de
mesure et le réseau miniature a permis de satisfaire ces exigences, tout
en rendant possible l'emploi de très faibles courants de table. Mais il faut
évidemment que le rapport d'amplification depuis l'entrée jusqu'à la sortie
du montage amplificateur ainsi que le déphasage de la tension ou du
courant amplifiés se conservent, à une faible erreur près, pour toutes con¬
ditions d'opération.
Le courant de la table peut varier dans de grandes limites, suivant le
genre d'étude que l'on fait (fonctionnement normal ou court-circuit),la position du point de mesure dans le réseau (près d'une source ou sur
une ligne légèrement chargée); il est donc indispensable que la précisiondes mesures soit aussi bonne quel que soit l'ordre de grandeur du courant.
6. Alimentation: Le rôle de l'appareillage d'alimentation est de fournir
aux régulateurs-déphaseurs statiques la tension qu'il faut régler en gran¬deur et en phase.
Trois qualités doivent être présentes dans cette tension:
a) Elle doit avoir une forme d'onde se rapprochant autant que possiblede la forme sinusoïdale. La présence d'harmoniques dans la tension ou
le courant mesuré affecte l'exactitude des mesures de plusieurs façonsdifférentes, t
b) Une fois réglée à une certaine valeur, elle doit s'y maintenir pendantl'exécution de l'étude, pour éviter les réglages fréquents, les pertes de
temps et surtout les erreurs inconscientes.
c) Sa fréquence doit aussi se maintenir constante à la valeur nominale.
Toute variation de fréquence modifie les valeurs des réactances inductives
et capacitives et conduit donc à des erreurs.
t On peut consulter, à ce sujet, le livre : «Elektrische MeBgerâte. Genauigkeit und
EinfluBgrôBen» du Dr Ing. R LANGBEIN et Dr Ing. G. WERKMEISTER, Akade-
mische Verlagsgesellschaft Becker & Erler Komm.-Ges., Leipzig, 1943. En particulier;Teil B, III. Abschnitt, 2. Kap.: «EinfluB der Kurvenfornu.
138
Exigences économiques
La réalisation d'une table de calcul, répondant aux exigences de pré¬cision et de maniabilité mentionnées ci-dessus et suffisamment fournie en
matériel de représentation des réseaux, nécessite l'investissement d'un
grand capital. De plus, vu le grand nombre d'éléments qui la composent,il lui faut une installation spacieuse, généralement une salle assez grande.La tâche du réalisateur et de l'ingénieur est de mettre au point la table,
satisfaisant toutes les conditions techniques et pratiques, avec le minimum
de dépenses, de poids et de dimensions.
Par un choix habile de la fréquence et des valeurs nominales de ten¬
sion et de courant, et par la mise à profit des progrès de la techniquede construction de matériel, il lui est possible d'arriver à une réalisation
plus économique.Il doit s'attacher surtout à réduire les dimensions et le prix des unités
de lignes et de charges — particulièrement des bobines de réactance —
— qui constituent, à cause de leur nombre et des exigences qui leur sont
imposées, une bonne partie, sinon la plus grande, de l'investissement total
et du volume de la table.
139
CHAPITRE TROISIÈME
Étude des parties constitutives
de la table de calcul à courant alternatif
La table de calcul se compose de quatre parties distinctes:
A. — Le matériel de représentation de réseaux réels, depuis les cen¬
trales jusqu'aux récepteurs;
B. — Les appareils d'alimentation;
C. — Les dispositifs de mesure;
D. — Les meubles servant à loger le matériel de la table et au mon¬
tage du réseau miniature.
Nous allons considérer successivement les trois premières parties en
esprit de conformité avec les exigences posées dans le chapitre précédentet avec les possibilités industrielles. Dans le chapitre suivant, consacré à
la description de quelques tables, nous aurons l'occasion de connaître
quelques exemples de disposition générale.
A. — Matériel de représentation des réseaux
I. Les groupes générateurs
La représentation des centrales électriques peut se faire par deux moyens
différents :
1. par de petits groupes «moteur-générateur» reproduisant à l'échelle
de la table les caractéristiques électriques et mécaniques des groupes
électrogènes qu'ils représentent;
140
2. par des appareils statiques à induction qui, empruntant la tension à
une source commune, la règlent en grandeur et en phase avant de l'appli¬
quer au réseau miniature.
Les deux systèmes répondent à l'exigence d'un réglage fin de la ten¬
sion en grandeur et en phase, ou, ce qui revient au même, de la puis¬sance active et réactive. Cependant chaque système présente des avanta¬
ges et des inconvénients qui permettent, suivant le cas, de préférer l'un
et d'écarter l'autre.
1. Groupes «moteur-générateur». — Ils offrent plusieurs avantages sur
les groupes statiques:
a) ils permettent d'obtenir des résultats plus précis et conformes à la
réalité là où les caractéristiques internes des machines synchrones entrent
en jeu, comme dans les cas de défauts, de stabilité (réactions longitudi¬nale et transversale de l'induit, saturation du circuit magnétique, etc.);
b) ils sont particulièrement avantageux pour l'étude de la stabilité où
l'inertie des parties tournantes joue un rôle important. Ils permettent de
déterminer directement les limites de puissance transmissible et de stabi¬
lité sans recourir au procédé approximatif de pas-à-pas ni aux calculs
qu'il nécessite ;
c) ils se prêtent bien à l'étude des charges et des défauts dyssymétri-
ques que l'on applique directement aux phases du réseau miniature monté
en triphasé, sans oublier cependant les impédances mutuelles entre phases.
Malheureusement, plusiers obstacles s'opposent à l'emploi des groupes
tournants dans les grandes tables de calcul:
a) dès que le modèle comporte plus de trois ou quatre groupes opé¬rant en parallèle, l'exécution de l'étude et les prises de mesures de¬
viennent très malaisées à cause des oscillations pendulaires et des pertesde synchronisme. Pour éviter cette difficulté, on pourrait entraîner tous
les alternateurs, montés sur un axe commun, par un moteur unique et
régler la puissance active en décalant les stators ; mais de cette façon,
on perd l'avantage concernant l'étude directe de la stabilité; d'ailleurs
d'autres difficultés s'ajoutent;
b) il est pratiquement difficile de reproduire fidèlement dans de petitesmachines les propriétés et caractéristiques des grandes machines de ré¬
seaux. De plus, si un groupe miniature arrive à reproduire assez fidèle¬
ment le fonctionnement d'une centrale donnée, il ne sera pas apte à re¬
présenter une autre centrale de caractéristiques différentes;
141
c) si l'on adopte pour la table une fréquence élevée, de l'ordre de
500 par exemple, il esi difficile d'obtenir de très petites machines une
forme sinusoïdale de courbe de tension, et uniforme pour toutes; l'exé¬
cution de pareilles machines serait coûteuse;
d) on est obligé d'opérer constamment en triphasé et de disposer simul¬
tanément d'au moins trois fois le matériel de représentation d'une phase,même pour les études de régimes équilibrés.
Bref, malgré leurs avantages, les groupes rotatifs ne conviennent pasaux tables de calcul d'intérêt général et à grand nombre de sources. Ils
seraient utiles pour une recherche purement scientifique ou pour l'étude
d'un réseau donné ayant un nombre modéré de centrales en parallèle.Dans les tables courantes, on a adopté les appareils statiques à induction.
2. Appareils statiques à induction. — Leur principe est de représenterles centres générateurs par des forces électromotrices réglables en gran¬
deur et en phase, tandis que les réactions de l'induit et les chutes de
tension à l'intérieur des alternateurs sont assimilées à des impédances.On voit tout de suite que ce système de représentation ne peut repro¬
duire les réactions complexes de la machine aux régimes transitoires, ni
l'inertie des parties tournantes.
Mais il possède un avantage décisif, celui de supprimer les ennuis de
marche en parallèle associés à l'emploi des groupes tournants, quel quesoit le nombre de centres générateurs représentés sur la table. Il ne né¬
cessite ni entretien ni surveillance, permet d'opérer avec une seule phaseet le neutre. De plus, la courbe de tension est produite par un alterna¬
teur unique pour la table entière.
Pour l'étude de la stabilité, la méthode de pas-à-pas tient ,compte, parde simples calculs, de l'inertie des machines. Quoique approximative, elle
permet d'atteindre des résultats aussi bons qu'on le désire par un choix
approprié des intervalles de temps entre les régimes stationnaires succes¬
sifs. L'effet de la saturation peut être considéré en agissant sur l'impé¬dance représentative de l'alternateur.
Diverses variantes de groupes statiques. — Les groupes générateursstatiques comprennent essentiellement deux réglages:
un réglage de la phase,et un réglage de la tension.
Pour l'un comme pour l'autre, on trouve plusieurs variantes en pratique.
142
Réglage de la phase
a) Régulateur d'induction tri-monophasé (fig. 53). — L'enroulement
primaire triphasé crée dans l'entrefer un champ tournant qui induit dans
Fig. 53
l'enroulement monophasé du secondaire une tension alternative us, dont
le déphasage, par rapport à la tension primaire uP) dépend de la position
angulaire du rotor relativement au stator. En variant la position du rotor,
on peut varier le déphasage de 0° à 360°.
Pour une tension primaire up, la tension secondaire us varie légèrementen fonction de la charge. En vue de réduire au minimum, la chute de
tension et le déphasage internes du régulateur, entre le régime à vide et
le régime de pleine charge, une capacité cx est connectée en série pour
compenser l'inductance de fuites des enroulements, une autre c2 est
branchée en parallèle pour compenser le courant magnétisant.Le régulateur d'induction tri-monophasé est employé dans les tables
américaines ainsi que les tables française et anglaise; il est communément
appelé « déphaseur statique ».
Barres ri'alimenlation
Fig. 54 (b)
143
b) Transformateurs à prises (fig. 54). — Dans leur table construite en
1939 [B. 55], les «Siemens-Schuckertwerke» ont adopté une autre so¬
lution pour les sources statiques de f. é. m.
Chaque source est constituée par deux transformateurs monophasés, dont
les primaires sont connectés à deux phases d'une alimentation triphaséeà 4 fils, et dont les secondaires peuvent être connectés en série à l'aide
de commutateurs Cj et C2 (fig. 54 a). Au moyen des prises effectuées sur les
enroulements secondaires, il est possible d'obtenir, aux bornes, une ten¬
sion OT réglable en phase de 0° à 360° et en grandeur de 0 à 100 volts,
par des échelons de 0,18 volt et un échelonnement supplémentaire de
0,005 volt sur chaque enroulement (fig. 54 b).
Réglage de la tension
a) Régulateur d'induction mono-monophasé (fig. 55). — Connecté au
secondaire du régulateur de phase, il permet de faire varier la valeur
efficace de la tension par déplacement angulaire du rotor. Un enroulement
court-circuité est disposé en quadrature avec le primaire pour amortir le
flux transversal du secondaire, qui causerait autrement une forte chute
de tension inductive.
La tension aux bornes du secondaire est proportionnelle au sinus de
décalage du rotor.Capacité de
compensation
Ti
Alimentation
Au réseau^de la table
Régulateurde phase Kg-55
Régulateurd'amplitude
b) Régulateur d'induction triphasé (fig. 56). — Il est connecté directe¬
ment à l'alimentation et passe son débit au régulateur de phase ou dé-
phaseur.Alimentation
Régulateurd'amplitude
Régulateurde phase
Fig. 56
144
OA = tension étoilée de la source d'alimentation.
AB = tension induite dans le secondaire du régulateur d'induction tri¬
phasé. Suivant le décalage 0 du rotor, le point B peut prendren'importe quelle position sur le cercle de centre A et de rayon AB.
OB = tension résultante, que le déphaseur recueille et règle en phase,avant d'être appliquée au réseau de la table.
Lorsque AB = OA, la zone de réglage de la valeur efficace de la ten¬
sion s'étend de zéro au double de la tension d'alimentation OA.
Comparé au régulateur d'amplitude monophasé (a), le régulateur tri¬
phasé a le désavantage suivant: toute variation de la tension OB cause,
en même temps, une variation de son angle de phase AOB.
Pour remédier à cet inconvénient, la «Westinghouse Electric and Ma-
nufacturing Co.» [B. 51] a utilisé deux régulateurs triphasés montés sur
un même axe. Les deux régulateurs sont identiques et leurs secondaires
sont connectés en série, donnant ainsi une tension additionnelle (AC, AC',...)
qui demeure en phase avec la tension d'alimentation OA (fig. 57).
Au déphaseur
Fig. 57
Cette disposition a, sur la précédente, l'avantage d'un contrôle indépen¬dant de la tension et de la phase, mais elle est plus coûteuse.
c) Réglage de la tension par prises. — Dans la table du Massachu¬
setts Institute of Technology, installée en 1929, le réglage de la tension
se faisait au moyen de prises disposées sur l'enroulement secondaire du
145
déphaseur (régulateur d'induction mono-monophasé), l'intervalle des prisesétant de 0,5 volt. Ces prises économisent un régulateur d'induction par
source, mais ont l'inconvénient de ne pas permettre un réglage continu
de la tension.
Vue rétrospective sur les sources statiques. — En somme, il y a
dans les tables actuelles deux variantes principales de sources statiques:
1° La variante américaine comporte un régulateur d'induction pour le
réglage de la phase de la tension et un (ou deux) régulateur d'induction
pour le réglage de l'amplitude de la tension. Les deux dispositifs sont
placés l'un à côté de l'autre dans un tiroir, de telle sorte que la position
angulaire des rotors est commandée directement de l'extérieur et indiquée
par des cadrans gradués.Les avantages de la variante américaine sont la facilité de manipulation,
la rapidité de mise au point, le contrôle séparé de la tension et de la
phase, la possibilité d'un réglage continu.
A cause de leur entrefer, les régulateurs d'induction absorbent un
grand courant magnétisant et ont une réactance de fuites appréciable,mais l'un et l'autre peuvent être compensés au moyen de capacités en
série et en parallèle. La chute de tension dans le groupe statique est
ainsi réduite à la résistance ohmique.
2° La variante allemande comporte deux transformateurs monophasés
qui règlent en même temps la valeur efficace de la tension et son dé¬
phasage.Avantages: construction ordinaire ne nécessitant pas de calculs spéciaux,
d'où coût réduit; absence d'entrefer, d'où faible courant magnétisant et
faible dispersion. Par un choix approprié de la densité de flux, on peutéviter la déformation de la courbe de tension, due à la saturation (dansle cas des machines à rotor, les harmoniques sont engendrées par plu¬sieurs causes: encoches, disposition des bobinages, etc.).
D'autre part, la variante allemande présente plusieurs points d'infério¬
rité par rapport à la variante américaine:
la manipulation et la mise au point sont moins faciles et moins rapides;les contrôles de la tension et de la phase ne sont pas indépendants l'un
de l'autre mais interfèrent ensemble : toute action sur l'un des deux trans¬
formateurs affecte en même temps l'amplitude et la phase de la tension
aux bornes;le réglage par prises ne vaut pas le réglage continu du régulateur
d'induction.
146
Notons enfin que la table allemande fonctionne à 50 Hz, tandis que
les régulateurs d'induction ont été éprouvés pour des fréquences des 50—60
et 400 - 500 Hz.
Impédances représentatives des machines synchrones. — Dans les
études de fonctionnement normal, répartition de puissances, chutes de
tension,... il n'est pas nécessaire de représenter les impédances synchro¬nes des alternateurs. Ce sont les tensions aux bornes et leurs déphasagesrelatifs qui conditionnent la distribution des tensions et des courants
dans le réseau.
Par contre, dans les études de stabilité et de courts-circuits, il faut tenir
compte des impédances transitoires des machines.
Il est heureux qu'on n'ait pas besoin, en pratique, de représenter l'im¬
pédance synchrone, d'abord parce qu'elle a un rapport R/X très faible
(de l'ordre de 1 à 2%), difficile à obtenir sur les bobines d'inductance,ensuite parce qu'elle est grande. L'impédance transitoire — qu'il faut
représenter — est bien inférieure à l'impédance synchrone, et son rapport
R\X est de l'ordre de 5 à 12%.
Les bobines représentatives des impédances transitoires des machines
sont connectées en série avec les groupes statiques. Il faut veiller à ce
que leur courant nominal soit plus grand que celui des bobines de lignes.
,II. Les transformateurs
Le circuit équivalent d'un transformateur à deux enroulements est un
quadripôle en T (fig. 58). L'admittance en dérivation Y figure le courant
à vide du transformateur; elle comporte une résistance R, correspondantaux pertes dans le fer, en parallèle avec une réactance X correspondantau courant magnétisant.
z
° i/b-W—i—dls-W »
#5 y Sx
Fig. 58
Pour avoir une idée de l'ordre de grandeur de R et de X, considérons
les données pratiques d'un transformateur triphasé de 30 000 kVA,
11/110 kY:
147
chute ohmique = 1,2 °/°chute inductive =10 %
pertes à vide = 0,4 °/ocourant magnétisant = 6 °/°
Caractéristiques absolues ramenées au secondaire:
~Z=m
XW
+ 'W X ^= 4,84+; 40,33 ohm»
r =m
xm- 'mxm
- °'m x 10" -'l4-87 x I0"s mhm
Composantes en parallèle de l'admittance Y:
1R =
0,992 x 10-5= 100 800 ohms
X =1
= 6 720 ohms14,87 x 10-5
Au lieu de ce circuit parallèle, qui requiert une réactance pure, prenons
un circuit série:
2' =T
= Ô9^-xlO-'-1jl4>87-xlFr = 44? +j 67°° °hmS
- R' +j X'
Avec un coefficient de réduction égal à l'unité, il faudrait une résistance
R = 447 Q et une réactance X' = 6700 3 pour représenter le courant
à vide du transformateur, tandis que l'impédance série totale serait de
4,84 + y 40,33 ohms seulement! De plus:
X' 6700
JR' 440= 15
Le courant à vide est prépondéramment inductif, et de l'ordre de 3 à
8°/o du courant nominal. Sa figuration sur la table requiert des bobines
ayant d'abord un facteur de surtension élevé, ensuite une grande réactance.
C'est pourquoi on le néglige fréquemment, lorsqu'on estime que son omis¬
sion est sans influence sur les résultats de l'étude. Le transformateur est alors
représenté par une impédance simplement, s'il a un rapport de transfor¬
mation fixe. S'il est à rapport variable, on adjoint à l'impédance repré¬sentative un autotransformateur à prises, qui puisse tenir compte de la
zone de réglage. Le courant magnétisant de l'autotransformateur peutalors représenter, du moins en partie, celui du transformateur réel, et être
148
complété, au besoin par des réactances branchées en parallèle. Bien en¬
tendu, la résistance série et la réactance des fuites totales de l'autotrans-
formateur feront partie de l'impédance figurative du transformateur réel.
Pour apprécier l'erreur due à l'omission éventuelle du courant à vide,nous avons calculé la chute de tension dans le transformateur de l'exempleprécédent, pour les conditions de quart et de pleine charge nominale, en
supposant que l'appareil débite, avec un cos <p égal à 0,8, dans un réseau
à 110 kV, de puissance infinie:
Chute de tension algébriqueexprimée en p. 100 de la
tension de 110 kVErreur
en p. 100 de
la tension de
110 kV
Errenr
en p. 100
de la chute
de tension
dans l'appareil
Courant à vide
pris en
considération
Courant à vide
négligé
En pleine charge .
En V* de charge .
7,52%
2,06 %
7,22%
1,75%
0,30%
0,31 %
4,15%
14,85 «/o
L'erreur est relativement plus importante lorsque le transformateur
fonctionne à faible charge.
Lorsqu'un transformateur est en série avec une ligne et que les deux
peuvent être représentés sur la table par un seul circuit équivalent, le
courant magnétisant et le courant capacitif de la ligne se compensent
partiellement, et si la capacité de la ligne est prépondérante, il est facile
de tenir compte de l'admittance magnétisante du transformateur dans le
calcul et la représentation des constantes du circuit unique.
III. Les lignes
Les lignes à constantes réparties peuvent être représentées exactement
par un circuit équivalent en n ou en T. Le circuit en n est préférablecar il évite le partage de la résistance et de la réactance en deux moi¬
tiés. Les mesures doivent se faire alors en dehors des capacités branchées
en dérivation aux deux extrémités, pour obtenir les valeurs terminales
correspondant aux lignes réelles. Dans les anciennes tables de calcul, la
moitié de la capacité de toutes les lignes aboutissant à un nœud était
représentée par une seule unité de condensateurs en dérivation au neutre,
ce qui obligeait à une correction des lectures faites sur l'impédance de ligne.
Disposition du matériel de ligne. — Il y a deux méthodes principalesde disposer le matériel des lignes dans une table de calcul:
149
1. Les éléments réglables de résistance, inductance et capacité, destinés
à la représentation d'une ligne, sont placés à demeure dans un tiroir et
connectés suivant le schéma en it, constituant ainsi une unité complètepar elle-même, capable de figurer une ligne quelconque. Le réglage se
fait de l'extérieur, sans toucher aux connexions intérieures. Chaque élé¬
ment peut être formé de deux ou trois décades en série. Lorsque l'unité
doit représenter un circuit symétrique, les deux capacités en dérivation
sont égales et il est plus simple de les opérer simultanément par une
même commande extérieure; sinon, il faut prévoir une commande séparée
pour chacune des deux capacités.
2. La table possède une provision abondante de résistances, selfs et
capacités de diverses valeurs, fixes ou réglables. Pour représenter une
ligne donnée, on choisit les éléments convenables et on les monte sur une
planchette appropriée, que l'on peut insérer comme un tiroir dans le pan¬
neau de représentation. La planchette doit être construite de telle sorte
qu'il soit facile d'y insérer les éléments et de les interconnecter. Toutes
les valeurs sont ajustées lors du rassemblement sur la planchette; il n'ya pas de commande extérieure.
Comparaison des deux méthodes. — La première méthode permetune mise au point rapide du problème. Par une manipulation facile des
manettes de commande extérieures disposées sur le devant des tiroirs, on
peut régler en un minimum de temps les valeurs de R, X et C. De plus,on a constamment sous les yeux, grâce à des cadrans gradués, les va¬
leurs qu'on a mises au point. Par un réglage rapide de la main, on peut
y effectuer toute modification nécessaire. Ceci a un intérêt particulierlorsqu'on projette une extension de réseau ou un circuit d'interconnexion
et que l'on ne connaît pas exactement les impédances correspondantes.La première méthode est, cependant, plus coûteuse. Chaque unité ou
tiroir doit comprendre la gamme complète de réglage des trois éléments
résistance, inductance et capacité; d'où un investissement plus grand de maté¬
riel. De plus, une surface plus grande de panneau de montage est nécessaire.
Avec la seconde méthode, la mise au point du réseau miniature est
relativement lente: il faut choisir les éléments appropriés, les insérer sur
la planchette, les interconnecter, les transporter d'un endroit à l'autre.
Des erreurs peuvent se glisser durant le montage des éléments sur la
planchette, sans être ensuite remarquées, car on ne dispose pas d'un
cadran indicateur sous les yeux comme dans la première méthode. Toute
modification de valeur nécessite une ouverture du tiroir et un réajustagedes éléments.
150
D'autre part, la seconde méthode est plus économique du point de vue
du matériel; elle en assure une meilleure utilisation. La représentationd'un circuit engage seulement les valeurs correspondantes de résistance,inductance et capacité. Tandis que dans la première méthode les unités
ne sont que partiellement utilisées, dans la seconde, chaque élément peutcontribuer à la représentation d'un circuit. En outre, le système de juxta¬
position ne demande pas des éléments réglables; au contraire, ils seront
de préférence de valeur fixe, ce qui simplifie la construction et réduit le
prix; grâce à un choix habile des valeurs des éléments, la table aura de
grandes possibilités de reproduction des réseaux, avec une fidélité satis¬
faisante.
Exemple d'échelonnement :
10 20 30 40 ohms
12 3 4 ohms
0,1 0,2 0,3 0,4 ohm
Avec un pareil système, n'importe quelle valeur entre 0,1 et 111 ohms
peut être réalisée à 0,05 Q près. En ajoutant un élément de 100 Q, on
étend la gamme de possibilités à 211 Q.
Aux hautes fréquences, la première méthode permet une disposition et
un blindage plus étudiés à l'intérieur du tiroir contre les champs parasi¬tes. Dans la seconde méthode, il y a le risque d'influences mutuelles
capacitives et inductives entre éléments assemblés, et si chaque élément
doit avoir son blindage propre, les frais se trouvent augmentés de ce
côté; toutefois, le blindage peut servir aussi de boîtier et de support.Pour une grande table d'intérêt général, qui est destinée à un usage
intensif et où le facteur temps a son importance, la première méthode
est préférable, malgré son coût plus élevé.
En pratique, on retrouve les deux méthodes, la première dans les tables
américaines, la seconde dans les tables européennes.
Construction des bobines de réactance
Le calcul et l'exécution des bobines de self, en concordance avec les
exigences qui leur sont imposées, forment l'une des principales préoccu¬
pations dans le projet d'une table de calcul. Grand facteur de surtension
(XjR), inductance indépendante du courant, précision, possibilité de régla¬
ge, et avec cela dimensions réduites et prix raisonnable, sont autant de
conditions et de restrictions qui compliquent la mise au point de la bo¬
bine et nécessitent du constructeur une étude approfondie.
151
En regard de ces conditions, les bobines à noyau magnétique et les
bobines à air possèdent des propriétés différentes.
Bobines à noyau magnétique. — a) La présence d'un noyau magné¬
tique dans une bobine produit une concentration des lignes de force (ladensité est /* plus grande que dans l'air), augmente considérablement le
flux et, par suite, le coefficient de self-induction de la bobine;
b) au moyen d'un entrefer variable, on peut réaliser un réglage conti¬
nu du coefficient de self-induction;
c) malheureusement, la perméabilité magnétique fi n'est pas constante;
l'induction dans le fer n'est pas proportionnelle au courant qui traverse
l'enroulement de la bobine, mais varie comme l'indique la courbe bien
connue de magnétisme. Il en résulte que le coefficient de self-induction
d'une bobine à noyau de fer n'a une valeur bien définie que pour une
certaine valeur de courant.
Ainsi, l'emploi d'un noyau de fer, tout en offrant l'avantage d'une forte
inductance sous volume réduit, présente le grave inconvénient d'une in¬
ductance variable avec le courant; et les bobines des tables de calcul
sont exposées à être traversées par des courants très différents!
Bobines à air. — A enroulements et dimensions identiques, la bobine
à air a un coefficient de self-induction fi fois plus petit que celui de la
bobine à noyau de fer. Autrement dit, à inductances égales, elle requiert
plus de spires, occupe un plus grand volume.
Elle possède, par contre, plusieurs avantages particulièrement intéres¬
sants dans le cas des tables de calcul électriques :
a) son coefficient de self-induction est indépendant du courant;
b) les pertes dans le fer — et, par suite, leur côte-part dans la ré¬
sistance effective de la bobine — sont totalement éliminées. Cet avantagedevient plus marqué lorsqu'on adopte, pour la table, une fréquence élevée.
On sait que les pertes par hystérésis sont proportionnelles à la fréquenceet que les pertes par courants de Foucault sont proportionnelles au carré
de la fréquence.
Remarque. — La réduction de la résistance effective permet d'atteindre
un facteur de surtension plus élevé; mais, d'autre part, la bobine à air
aura plus de spires que la bobine à noyau de fer de même inductance,d'où une augmentation de la résistance «ohmique» aux dépens du rap¬
port XjR.
c) l'absence de fer élimine tout risque de distorsion de l'onde de ten¬
sion, par effet de la non-linéarité de la courbe de magnétisme.
152
En raison des avantages qui viennent d'être mentionnés, la bobine à air
semble être plus appropriée que la bobine à noyau de fer pour la table
de calcul. Mais son emploi est conditionné par le fait que les valeurs
d'inductance requises doivent être suffisamment petites. Un moyen d'at¬
teindre ce but est d'opérer la table à une fréquence supérieure à celle des
réseaux.
Influence de la fréquence. — La réactance inductive d'une bobine
est égale à:^
_
r T°X = 2 it f L
f étant la fréquence, L le coefficient de self-induction. Pour une valeur
de réactance donnée, la self-inductance nécessaire est inversement propor¬
tionnelle à la fréquence.
De même : Y — 2 n f C
Pour une admittance capacitice donnée Y, la capacité nécessaire C est
inversement proportionnelle à la fréquence.On voit l'énorme intérêt qu'on a d'adopter une fréquence supérieure à
la fréquence industrielle. C'est pourquoi, dès le début de l'ère des tables
modernes (1929—1930), on vit des fréquences de 400 à 500 Hz et la
majorité des tables construites jusqu'aujourd'hui s'y sont ralliées. La ten¬
tative la plus poussée dans ce domaine est la table expérimentale de l'Iowa
State Collège en Amérique qui opère à la fréquence de 10 000 Hz avec
des selfs à air et du matériel électronique.
Cependant l'augmentation de la fréquence n'est pas sans susciter des
difficultés et des complications:influences capacitives et inductives entre circuits;capacités à la masse;
réactances et susceptances mutuelles des fils de connexion.
Les précautions à prendre pour combattre ces effets parasites (blindage,écrans, câbles coaxiaux) neutralisent partiellement les économies effectuées
sur le volume et le prix des capacités et des bobines.
Une autre difficulté est d'obtenir une onde de tension sinusoïdale à
fréquence élevée de l'alternateur d'alimentation à faible puissance, ensuite
de maintenir cette forme d'onde dans les régulateurs-déphaseurs statiques. Si
l'on emploie un oscillateur comme source d'alimentation, un filtrage de la
tension s'impose. Nous reviendrons plus loin sur la question de la fréquence.
Bobines à noyau magnétique et entrefer. — Pour réduire les dimen¬
sions et le prix des bobines de réactance, un moyen est d'augmenter la
fréquence, un autre est d'employer un noyau magnétique. Lorsque la
ii 153
fréquence n'est pas assez élevée pour rendre avantageux l'emploi de bo¬
bines à air, on fait usage de bobines à noyau magnétique coupé d'un
entrefer. Ce dernier est dimensionné de telle sorte que la caractéristiquetotale 0 = f (I) de la bobine, fer + entrefer, comporte une zone linéaire
et que la bobine opère dans cette zone.
Considérons un tore en fer de perméabilité fi, de section 5, comportantun entrefer et enroulé d'un certain nombre de spires (fig. 59). Nous allons
négliger les flux de fuites et supposer le champ uniforme dans l'entrefer.
Fig. 59
La réluctance totale du circuit magnétique, que parcourt le flux <P, est
la somme des réluctances du fer et de l'entrefer:
R = Rf + Ra
le suffixe / se réfère à la partie fer et le suffixe a se réfère à la partieair (c'est-à-dire à l'entrefer). En désignant par // la longueur du fer et
par la la longueur de l'entrefer, nous avons :
fi S S S \ fl j
Longueur équivalente en fer. — Sortons /t de la parenthèse :
Le circuit total est équivalent à un circuit entièrement fer de longueur :
Ie= h + fila
Exemple: If = 30 cm la = 0,5 cm fi = 4000
Longueur équivalente en fer:
lE = 30 + 4000 X 0,5 = 2030 cm
Un demi-centimètre d'air a une réluctance aussi grande que celle de
2000 centimètres de fer.
154
Perméabilité magnétique équivalente du circuit total. — En la dési¬
gnant par p.E, nous pouvons écrire:
« = tV & + /' *») -Z' + la
d'où:
If -\- la. ,
't
Zr étant la longueur totale du circuit magnétique.Si la longueur de l'entrefer est telle que la< If < fi la, on peut écrire
très approximativement :
If + la^
If If r
fts^fl -—j ^ H —r-=
-j-= flS
fJ- la JJ- l'a "a
la perméabilité équivalente de l'ensemble du circuit est presque indépen¬dante de la perméabilité du fer.
Exemple : If = 30 cm la = 0,5 cm
1° supposons d'abord que le courant dans l'enroulement soit modéré, que
le fer se trouve dans la partie rectiligne de sa courbe d'induction et que,
dans ces conditions, sa perméabilité fi égale 4000.
La perméabilité équivalente de l'ensemble du circuit sera:
Pb = H!f ? H
= 4000 xQn
3°^n°'5nr= 4000 + -j^ = 60,098r f
If + fila 30 + 4000 x 0,5 2030 —-
2° supposons maintenant que, le courant étant augmenté, le fer entre
dans sa zone de saturation et que sa perméabilité tombe à la moitié:
fi = 2000
Dans ces conditions, la perméabilité équivalente du circuit devient:
<" = 200° X 30+Q20+00QxO,5 = 200° XW
= ^223
La formule approximative aurait donné simplement pour les deux cas r
lf 30fin
^ =
r=
^5-==^
valeur qui ne s'éloigne pas sensiblement des résultats précédents.Cet exemple fait ressortir d'une façon frappante le rôle joué par l'en¬
trefer.
Sans l'entrefer, l'inductance de la bobine aurait changé de:
155
2000,„ _A .,
4000X 10° = ^^
Grâce à la présence de l'entrefer, la variation dans la valeur de l'in¬
ductance de la bobine est réduite à:
/60,098-59,223\_
0,875_
\ 6ÔÔ98 jX 10° "
"6p98"X 1U° " ^-^-
Il ne faut pas perdre de vue, cependant, que l'introduction de l'entrefer
a eu pour effet de réduire considérablement la self-inductance de la bobine.
Dans notre exemple, elle tombe dans le rapport de 4000 (puis 2000) à
60 environ. Cela signifie qu'on ne tire qu'un avantage «maigre» — mais
toujours appréciable — du noyau magnétique!La question peut se poser s'il ne serait pas avantageux d'augmenter
la fréquence et d'adopter des bobines à air ou à noyau de fer pulvérulent,
lequel a une perméabilité constante (de l'ordre de 10) et des pertes négli¬
geables par courants de Foucault.
Les condensateurs
On trouve, dans l'industrie, plusieurs sortes de condensateurs''' :
1. Les condensateurs à papier imprégné se construisent couramment
pour des capacités de 0,1 à 10 microfarads. Ils sont économiques et bon
marché, mais leur limite de tolérance atteint + 10°/o et leurs pertes sont
appréciables et augmentent avec la fréquence (facteur de perte = tgS= 50 X 10~4
...80 X 10~4 à 800 Hz). Ils sont sensibles à l'humidité
et à la température (température normale == 50°, maximum = 100°).
2. Les condensateurs électrolytiques conviennent pour les grandes va¬
leurs de capacité (> 5 ii F) et les tensions inférieures à 500 volts. Leur
grand avantage est le petit volume qu'ils occupent pour des capacitésrelativement grandes. Mais leur tolérance de construction est très grandeet leurs pertes encore bien plus grandes que celles des condensateurs à
papier. Température de fonctionnement maximum = 50°.
3. Les condensateurs à mica se construisent pour les valeurs de ca¬
pacité allant normalement de 100 à 50 000 picofarads, rarement jusqu'à1 microfarad. Ils sont chers, mais, d'une part, leur tolérance de construc¬
tion peut être réduite facilement à +_ l°/o, d'autre part, leurs pertes sont
t Nous avons consulté, au sujet des condensateurs, le livre: «Der Kondensator in
der Pernmeldetechnik», de GEORG STRAIMBR, Leipzig, 1939.
156
infimes même aux très hautes fréquences (facteur de perte tgo = 4x 10^4
à 1000 kHz). Ils conviennent par excellence aux tables de calcul comme
condensateurs de précision et à faibles pertes.
4. Les condensateurs à air: l'air a une constante diélectrique prati¬
quement égale à l'unité (mica : 7; papier : 2 — 2,5) et un facteur de
perte nul, d'où les deux propriétés caractéristiques des condensateurs à air :
a) grandes dimensions pour de faibles capacités ;
b) pertes diélectriques nulles (ou presque nulles).
Les condensateurs à air peuvent être fixes ou variables. Les conden¬
sateurs fixes se construisent pour les valeurs de 50 à 1000 ff-f-tF] pour
ces faibles valeurs, ils ont encore des dimensions acceptables.Les condensateurs rotatifs variables sont couramment employés en haute
fréquence pour des capacités allant de 10 à 10 000 p.fiF. Ils permettentd'obtenir une capacité finement réglable. Leur construction est coûteuse.
On construit encore des condensateurs avec différents diélectriques, tels
que le verre, la céramique, etc. pour des capacités inférieures à 0,050 jxF.Bref, chaque catégorie de condensateurs convient mieux pour une cer¬
taine zone de valeurs, et chacune présente des avantages et des inconvé¬
nients, en ce qui concerne le volume, le prix, les pertes, la tolérance de
construction. Le choix dépendra, d'une part, des exigences techniques et
économiques à satisfaire, d'autre part, des valeurs nominales de tension
et de courant de la table ainsi que de la fréquence, qui déterminent en¬
semble les capacités nécessaires au réseau miniature. A la fréquenceindustrielle de 50 périodes, celles-ci correspondent à la zone de construc¬
tion des condensateurs à papier, dont la précision et les pertes peuventlaisser à désirer et nécessiter une exécution spéciale. Si l'on opte pour
le mica (très bonne précision, pertes infimes), il faut se contenter de ca¬
pacités bien inférieures à 1 microfarad par un choix approprié des coeffi¬
cients de réduction et de la fréquence.
IV. Les charges
Les charges passives du réseau sont représentées sur la table par des
résistances et des réactances, branchées en dérivation entre phase et
neutre, et que l'on connecte en série ou en parallèle pour simuler la chargedonnée. Plusieurs combinaisons sont possibles.
Résistance et réactance en série (fig. 60a). — Soient:
P, Q les puissances active et réactive par phase, absorbées par la charge
sous une tension étoilée U;
157
(a) (b) (c)
U 1/ XM «IL 1/
I
/irW%-&>ç. /u/-/j/?;-&4
Fig. 60
7 le courant correspondant;Z = R8 + ;X l'impédance équivalente de la charge.
Expression complexe de la puissance apparente:
5 = p + jQ = û I*
Valeur conjuguée:- - - U U2
Z Z
d'où:
ce qui donne:
U2
P-jQ P* + Q
P
U* (P + JQ)- R , , r
#8 = U2
Xs = C/2
P2 + Ç2
<?P2 + Q°
En notant que:
5 = /P2 + Ç2, P = S cos p, Ç = S sin ç,
cos (p étant le facteur de puissance de la charge, les expressions de Rs et
de Xs peuvent encore s'écrire:
„U2 cos ç U2
„
Rs = s——=
"p"cosa ç
v U*sinç U2.
.
Xa=
ç—1-=
-qsm2 (p
158
Comme le cos ç des appareils récepteurs est ordinairement compris entre
0,7 et 0,95, le rapport X/R varie en conséquence entre 1 et l/a ; les bo¬
bines de charge peuvent donc être construites avec un faible facteur
de surtension, ce qui permet de réduire la section du fil d'enroulement,d'où réduction de volume et de poids.
Résistance et réactance en parallèle (fig. 60 b). — Soient Rp et Xp la
résistance et la réactance en parallèle équivalant à la charge, et Y l'admit-
tance résultante de ce système; nous pouvons écrire:
P - jQ = U» I = U> U Y = U2 Y
d'où:
ce qui donne :
Y =
iQU''
% =
u*
p
r„ =U2
1
Rp xp
U2
S cos ç
U2
S sin <p
Pour utiliser ces simples expressions, il faudrait disposer d'une bobine
ayant une self-inductance pure ; en réalité, on a une impédance (R^ + jXpen parallèle avec la résistance R'^ (fig. 60 c).
Admittance résultante de ce système:
R: X'
R" R:2 + x: K + x»
R* + x>* + R' R"p
'p
'p p
X'— J
K (r;2 + K)
d'où, en comparant ce système avec le précédent
RP
R'* + X'2p
'p
r; (R;2 + K)
R;2 + x;2 + r; r;
K îKK
r;2 + x;2 + r; r;
Xp —R:2 + K2
P'
P Vt
XL1 +
Rï*p
(K>K)
(x; < xp)
159
Exemple numérique:
P = 10 000 kW/phase cos ç = 0,8 U = 60/J/3 kV
1° Résistance et réactance en série:
5 = ^®- = 12 500 kVA sin ç = /l — ÔJ2 = 0,6U,o
t/2cos© (eoooo/ys)2 0,8 „__
R° =S
=
12 500 x 1Ô1-= ^^
v _
U* sinç_
(60 000/f3)-' 0,6As_
S~~~
"TÏWxTÔ8""- ^^
2° Résistance et bobine de réactance en parallèle:
Ç = P tg ç = 7 500 kVAR
Si la bobine était une self-inductance pure, on aurait:
» -
JIL-
(60 0Q0/V3)2_ 19n 0
Kp~ P~~
lOOOOxlO3~~
±=^-
v _
V_
(60 000/V3)2=16()fl
Q 7 500 x 103
Supposons, qu'en réalité, elle possède un facteur de surtension :
X'
«t= 10
On a dans ce cas:
XV = X' fl + (0,l)*l = 160
d'où:
et •
K-= 158,4 Q R' = 15,84 .Q?
p'
d'où:
*,=R; (Î5^42 + 158~42)
15,84" + 158,4" + 15,84 #';
R"n = 128,8 £
Les valeurs ohmiques du système série sont plus petites que celles du
système parallèle, et plus simples à calculer. Dans le système parallèle,le courant de charge est partagé vectoriellement entre les deux branches:
l£ < /; 1% < /• En connectant les résistances et les bobines de réactance
160
tantôt en série, tantôt en parallèle, suivant les besoins, on obtient une
plus grande variété d'impédances figuratives de charges. C'est là l'intérêt
des deux systèmes. Bien entendu, d'autres combinaisons comprenant plu¬sieurs résistances ou bobines en parallèle peuvent être et sont aussi
employées.
Emploi d'autotransformateurs. — Le calcul de la résistance et de la
réactance figuratives d'une charge est basé sur la tension aux noeuds de
fourniture de cette charge. Or, en pratique, on ne connaît pas souvent
cette tension. On a recours alors au procédé suivant.
Générateur
Groupestatique
Neutre
Ligne
-m—w- —«-
Récepteur
1
=J= §—'innnj-w-n
Circuit équivalent en jt
de la ligne
Fig. 61
Auto- Impédancetransfor- figurativemateur du récepteur
On apprécie, d'une façon approximative, la tension probable et on cal¬
cule la résistance et la réactance sur la base de cette estimation. Puis
on connecte, sur la table, le circuit de charge, ainsi calculé, par l'inter¬
médiaire d'un autotransformateur à prises. Durant la mise au point du
problème, on agit sur l'autotransformateur de façon à maintenir sur le
côté secondaire la tension supposée — et, par suite, les valeurs don¬
nées de puissances active et réactive — tandis qu'au primaire on aura
la tension exacte. Vus électriquement à travers l'autotransformateur, les
éléments de charge conservent ainsi leurs valeurs ohmiques, et n'ont pas
besoin d'être modifiés durant les manipulations.
V. Les compensateurs synchrones
Dans les études de stabilité et de courts-circuits, les compensateurs
synchrones sont représentés par des régulateurs-dephaseurs statiques, tout
comme les alternateurs.
Dans les études de fonctionnement normal (répartition de puissances,chutes de tension, etc.), ils peuvent être représentés par des condensateurs
statiques, s'ils fournissent de la puissance réactive (moteur surexcité),
161
et par des bobines d'induction, s'ils absorbent de la puissance réactive
(moteur sous-excité). Aussi bien les condensateurs que les bobines auront
des valeurs généralement plus élevées que celles des éléments de lignes.
B. — L'alimentation
Le rôle des appareils d'alimentation est de fournir aux régulateurs-
déphaseurs statiques la puissance active et réactive représentant, à l'échelle
de la table, la puissance des centrales du réseau réel. La fourniture doit
se faire à des valeurs constantes de tension et de fréquence.La puissance d'alimentation doit être suffisante pour pouvoir alimenter
simultanément tous les groupes générateurs statiques, le courant nominal
de chaque groupe n'étant pas limité au courant nominal des éléments de
lignes, mais pouvant être 2 à 3 fois plus grand.Pour la fréquence industrielle et des fréquences modérément plus éle¬
vées, l'alimentation de la table peut se faire au moyen d'un alternateur
entraîné par un moteur synchrone ou un groupe Léonakd.
L'avantage du moteur synchrone est qu'il tourne à une vitesse rigou¬reusement constante, indépendamment de la charge et de la tension à ses
bornes ; mais il faut, pour cela, que la fréquence du réseau de distribution
soit elle-même constante; toute fluctuation de cette dernière se reflète
dans la vitesse du moteur. Il peut être nécessaire ou, du moins, préférabled'installer un groupe électrogène indépendant, muni d'un régulateur de
vitesse sensible, pour alimenter le moteur synchrone. En outre, celui-ci
requiert du courant continu pour son excitation ainsi qu'un dispositif de
démarrage.
Le groupe Léonard évite ces inconvénients. Un moteur à courant con¬
tinu ou asynchrone, branché sur le réseau de distribution, entraîne une
génératrice qui alimente, à son tour, un moteur à courant continu accoupléà l'alternateur. Le contrôle de la vitesse est effectué en agissant sur
l'excitation des machines à courant continu; un dispositif automatique peutêtre employé à cet effet. D'autre part, un régulateur automatique sert à
régler la tension fournie par l'alternateur.
Alternateurs à haute fréquence. — Lorsque la table de calcul fonctionne
à la fréquence industrielle ou à une fréquence voisine, la construction de
l'alternateur d'alimentation, avec une onde de tension satisfaisante, n'offre
aucune difficulté particulière. Il n'en est pas de même si l'on monte avec
la fréquence au-delà d'une certaine valeur, comme on s'en rendra compte
par les considérations suivantes :
162
La fréquence, produite par un alternateur, ayant 2p pôles et tournant
à n tours par minute, est égale à:
f = EJL1 60
En désignant par d le diamètre du rotor, la vitesse tangentielle est
exprimée par: ,
En outre, le pas polaire est égal à:
n d
Par élimentation de n et de d entre les troix expressions, on obtient
la relation suivante:
2/
La vitesse périphérique v est limitée par la force centrifuge à laquelleest soumis le bobinage du rotor. En admettant une vitesse maximum de
150 mètres par seconde, le pas polaire ne peut pas dépasser les valeurs
suivantes :
f Hz 50 200 500 1000 2000 5000
r cm 150 37,5 15 7,5 3,75 1,5
Sa valeur limite décroît d'une façon proportionnelle à la fréquence. Unfaible pas polaire suscite plusieurs difficultés:
a) La réalisation mécanique du rotor et du stator. Il ne faut pas perdrede vue que dans l'espace d'un pas polaire, il faut loger sur le stator
les conducteurs de trois phases. Avec un faible pas polaire, le nombre
d'encoches par phase se trouve forcément réduit, ce qui est nuisible à la
forme d'onde de la force électromotrice; on sait que pour réduire les
harmoniques dans l'onde de tension induite, il faut au moins deux encoches
par pôle et par phase.
b) Le rapport de l'entrefer au pas polaire serait beaucoup plus élevé
que dans les alternateurs normaux; d'où fuites magnétiques considérables
et réduction de la puissance.
c) D'autre part, les pertes dans les tôles de fer croissent très rapide¬ment avec la fréquence; pour les combattre, il faut employer des tôles
d'épaisseur très réduite et de résistivité élevée.
163
Ces difficultés limitent à une certaine fréquence la réalisation d'un alter¬
nateur normal adéquat à une table de calcul électrique.Au delà, on peut recourir à un oscillateur électronique, comme l'a fait
l'Iowa State Collège pour sa table de 10 000 Hz. Cette université a em¬
ployé un oscillateur à quartz produisant 100 000 Hz à 0,005 °/o près; un
diviseur de fréquence sert ensuite à obtenir les 10 000 Hz. La tension
de sortie, qui est de quelques volts, est d'abord filtrée pour purifier sa
forme d'onde, puis appliquée à des amplificateurs, avant de passer aux
groupes statiques.Dans l'établissement du projet d'une table de calcul, la choix de l'ap¬
pareil d'alimentation sera basé sur une étude comparative, au point de
vue technique (forme d'onde de la f. é. m., stabilité de la fréquence,
réglage de la tension) aussi bien qu'économique (frais d'étude et de cons¬
truction), entre les différentes solutions possibles : alternateur entraîné par
un moteur synchrone, alternateur entraîné par un groupe Léonard, géné¬rateur électronique. Dans ce choix, la fréquence joue un rôle essentiel.
C. — Les dispositifs de mesure.
Les tables de calcul à courant alternatif possèdent ordinairement deux
groupes principaux d'instruments:
I. les instruments affectés aux dispositifs d'alimentation et aux groupes
générateurs statiques ;
II. les instruments mesurant les courants, tensions, puissances et anglesde phase à n'importe quel point du réseau miniature.
1. Les instruments de mesure lisant les conditions aux bornes
des groupes régulateurs-déphaseurs statiques
sont des instruments à courant alternatif normaux d'une bonne classe de
précision (0,5 °/o). Pour faciliter le réglage des divers régimes à étudier,
chaque groupe statique possède son propre watt-varmètre, et parfois aussi,dans les grandes tables, un voltmètre et un ampèremètre. Ces instruments
peuvent être alors connectés suivant l'un des schémas suivants:
Sortie du
groupe générateurstatique
Secondairedu
régulateurd'induction
Vers le réseau
de la table
Pig. 62
Vers le réseau
de la table
164
Dans le schéma de la figure (62 a), le voltmètre est placé après l'am¬
pèremètre; il lit la tension exacte appliquée au réseau; la lecture de
l'ampèremètre ne correspond pas exactement au courant fourni au réseau,mais à ce courant plus le courant absorbé par le voltmètre et le circuit
fil fin du wattmètre. Pour que l'erreur de l'ampèremètre et du wattmètre
soit minime, il faut que l'impédance du voltmètre soit suffisamment grandede même que l'impédance de la bobine de tension du wattmètre.
Dans le second schéma (fig. 62 b), la lecture de l'ampèremètre est exacte,tandis que celle du voltmètre correspond à la tension appliquée au réseau
plus la chute de tension dans l'ampèremètre et le circuit gros fil du watt¬
mètre. Il faut donc que cette chute de tension demeure un pourcentage
négligeable de la tension appliquée au réseau ; ou bien qu'elle soit corrigée.En outre les instruments de mesure doivent être calibrés pour la fréquence
de fonctionnement de la table. L'influence de la fréquence sur les mesures
s'exerce par:
a) l'impédance du circuit de fil de l'instrument, dont la composanteréactive dépend directement de la fréquence (cas des voltmètres);
b) les courants de Foucault induits dans les parties métalliques de l'ins¬
trument.
Il existe, sur le marché, plusieurs catégories d'instruments à courant
alternatif t :
1. Les instruments à fer doux mobile: une bobine fixe traversée par
le courant agit sur une pièce en fer doux mobile. Les indications en cou¬
rant continu et alternatif, de même que les indications en courants alter¬
natifs de fréquences différentes et de formes différentes, peuvent différer
sensiblement par suite de la présence du fer et de l'inductance de la bo¬
bine. En outre, les instruments à fer sont influencés dans leurs mesures
par les champs magnétiques étrangers.Les ampèremètres et les voltmètres à fer doux mobile se construisent
jusqu'à une précision de 0,2 °/o, pour du continu et de l'alternatif jusqu'à1000 Hz. Mais de couple faible, ils ont une grande consommation propre
et ne conviennent pas pour de très faibles courants et tensions.
2. Les instruments électrodynamométriques comportent une bobine mo¬
bile et une bobine fixe, et se construisent avec et sans fer.
Les électrodynamomètres sans fer ont un faible couple, mais permet-
t Sur les caractéristiques des diverses catégories d'instruments, nous avons con¬
sulté: «Elektrische Meflgerate. Genauigkeit und EinfluBgrôBen» de E. LANGBEIN et
G. WERKMEISTER, Leipzig, 1943.
165
tent d'atteindre une plus grande précision (0,2 °/o), et l'influence de la
fréquence jusqu'à 500 Hz reste régligeable.Les électrodynamomètres avec fer possèdent, au contraire, un grand
couple, mais la présence du fer accentue l'influence de la fréquence et
des harmoniques, et ne laisse pas dépasser normalement la précision de
0,5 à l°/o.Les wattmètres sont les plus répandus des instruments électrodynamo-
métriques. Ils servent pour le courant continu et le courant alternatif,
mais ils doivent être calibrés pour la fréquence d'utilisation.
3. Les instruments électrostatiques s'emploient uniquement comme volt¬
mètres, pour continu et alternatif jusqu'à 107 Hz, et des tensions allant
de 20 à 6 X 106 V. Ils ont l'avantage d'être indépendants de la fréquenceet de ne consommer aucune énergie. Mais ils ne sont pas très précis(maximum 2,5 à 1,5%)-
4. Les instruments thermiques mesurent la valeur effective indépen¬damment de la fréquence et de la forme d'onde (dans de grandes limites),et ne sont pas sensibles aux champs extérieurs. Ils conviennent comme
ampèremètres (60 mA—5 A) et voltmètres (3—300 V).Leurs indications sont lentes ; ils sont sensibles aux surcharges, et leur,
précision ne dépasse pas + 1 °/«-
5. Les instruments à thermoéléments permettent de mesurer de très
faibles courants — jusqu'à 1 mA — et tensions — jusqu'à IV — avec
une faible consommation d'énergie et une précision de 1 °/» ou encore
meilleure. L'influence de la fréquence reste négligeable jusqu'à 105 Hz
au moins. Comme inconvénients, ils sont très sensibles aux surcharges et
leurs indications sont lentes, t
Le choix des instruments de la table dépendra des exigences essentielles
à satisfaire :
a) précision dans les indications, pour la fréquence de la table et à
toutes les valeurs de tensions et de courants depuis les plus faibles;
b) rapidité d'indication ;
c) robustesse de construction.
Les instruments thermiques et à thermoéléments ont l'avantage d'avoir
une faible consommation et d'être indépendants de la fréquence dans les
limites qui nous importent. Au point de vue précision, rapidité d'indication,
robustesse, les instruments électromagnétiques sont plus appropriés, pourvu
t La table de calcul du M. I. T., construite en 1929, a adopté les instruments, à
thermoéléments pour les mesures du réseau.
166
que leur sensibilité s'étende aux faibles courants et tensions, et qu'ils soient
étalonnés à la fréquence de la table. Leur grande consommation propre
en VA n'est pas un grave obstacle, car elle n'est pas prise directement
au réseau miniature ; cependant, suivant le schéma de connexion (fig. 62),une erreur est causée dans l'une ou dans l'autre des lectures, qu'il faut
corriger ou réduire à une valeur négligeable; on peut aussi prévoir une
clé sur le panneau des groupes statiques pour mettre les instruments hors
circuit lors de l'ajustage définitif et supprimer ainsi leur consommation
propre; mais on perd de cette façon l'avantage d'une vue et d'un con¬
trôle permanents des conditions aux bornes des groupes générateurs.
II. Instruments de mesure du réseau miniature
Il est essentiel que les mesures du réseau soient effectuées sans causer
de perturbation et avec une grande précision.Les instruments électromagnétiques:instruments à aimant permanent et cadre mobile pour courant continu,instruments à fer doux mobile,instruments électrodynaniométriques,
répondent aux exigences de robustesse, rapidité d'indication et surtout de
précision.Les instruments à aimant permanent et cadre mobile, en particulier,
permettent d'obtenir facilement une précision de 0,2 °/«, possèdent une
très grande sensibilité et ont une échelle uniforme. Ils constituent d'excel¬
lents ampèremètres et voltmètres, mais requièrent évidemment un redresseur.
De leur côté, les instruments électrodynaniométriques et à fer doux
mobile sont caractérisés par une grande consommation en VA.
En adjoignant aux uns et aux autres des amplificateurs électroniques,les difficultés précitées sont éliminées et les exigences techniques sont
pleinement satisfaites. Il faut veiller, toutefois, à ce que les instruments
utilisés en conjonction avec les amplificateurs soient calibrés à la fréquencede la table. En effet, le courant redressé, étant une fonction périodique,
peut être considéré, d'après Foueiek, comme la superposition d'une com¬
posante continue — égale à la valeur moyenne pendant une période en¬
tière — et d'une série de composantes sinusoïdales. Tandis que la com¬
posante continue n'est pas affectée par l'inductance du circuit des instru¬
ments, les composantes sinusoïdales subissent une réduction d'amplitude,en fonction de leur fréquence, de sorte que le facteur de forme du cou¬
rant redressé tend de 1,11 vers l'unité. Cet effet s'accroît avec la fréquencedu courant redressé.
167
Amplificateurs électroniques [B. 49, 50]. — Interposés entre le réseau
et les instruments de mesure, ils ont le rôle de fournir à ces derniers le
courant de fonctionnement nécessaire, en partant d'une tension ou d'un
courant pris au réseau, que l'on jugera suffisamment faibles, et ceci avec
un rapport d'amplification constant par toutes conditions d'opération. Les
différentes gammes de mesure sont obtenues à l'aide de shunts pour le
courant et de résistances additionnelles pour la tension.
La figure 63 reproduit le schéma du dispositif de mesure de l'Electri¬
cité de France, qui est représentatif du système employé, à quelques va¬
riantes près, par de nombreuses tables.
Considérons le circuit de mesure du courant.
Supposons que la chute de tension due à l'ampèremètre ne doive pas
dépasser 10 millivolts pour des courants de ligne allant de 10 à 1000 mA.
Pour un courant de 10 mA, l'impédance introduite par la mesure
(amplificateur et shunt en parallèle) ne doit pas dépasser:
0,010
0,0101 Q
Avec un amplificateur ayant une impédance d'entrée de 10 000 ohms, par
exemple, l'impédance du shunt sera pratiquement de t ohm, et le courant
W-Var
1
Amplificateurde tension
/n—rt
/
T7J
Diviseur ^-j^v^WVv^wvj-wi])--W-o
Amplificateurde courant
Shunts decourant
Fig. 63
168
d'entrée de l'amplificateur 1 microampère, tandis que le courant de sortie,
c'est-à-dire le courant de fonctionnement de l'ampèremètre et du circuit
gros fil du wattmètre, pourra être de l'ordre de 100 mA.
Pour un courant de ligne de 1 ampère, on aura un shunt de:
-°f°- = 0,01 s
Il y aura, en outre, plusieurs shunts de valeurs intermédiaires entre
0,01 et 1 ohm.
Pour la mesure des tensions, l'amplificateur est connecté au réseau
par l'entremise d'un diviseur de tension, constitué par une résistance très
élevée munie de prises (fig. 63).
Supposons qu'on veuille limiter à 0,2 mA le courant pris au réseau
pour des tensions allant de 10 à 100 volts.
La résistance totale du diviseur est telle qu'à la tension maximum de
100 V, le courant qui la traverse égale 0,2 mA, c'est-à-dire:
w= 50000° fi
La chute de tension dans une faible portion 7?t de cette résistance est
appliquée à l'amplificateur pour être amplifiée. Pour une tension à amplifierde 0,4 V,
R> = -ôM = 2000 Q
L'impédance d'entrée de l'amplificateur de tension est considérablement
plus grande (1 mégohm ou davantage), de sorte que sa connexion en
parallèle avec la résistance R^ ne change pas la distribution de courants
dans le diviseur.
Pour la tension de 10 V, la prise sur le diviseur est placée à:
w= 5000(KQ
Il y aura, en outre, des prises intermédiaires pour les gammes de tension
entre 10 et 100 volts.
La mesure des puissances est effectuée par un électrodynamomètre,
ayant une bobine gros fil en série avec l'ampèremètre et une bobine fil
fin en série avec le voltmètre. Pour la mesure des puissances réactives, la
tension appliquée au circuit fil fin est déphasée de 90° au moyen de l'arti¬
fice suivant: en série avec le diviseur de tension, se trouve un circuit
12 169
accordé composé en principe d'une capacité et d'une inductance en série ;
à l'aide d'un commutateur, on peut brancher l'amplificateur de tension aux
bornes de la capacité, au lieu de la résistance i?x; la tension appliquéeà l'amplificateur est ainsi déphasée de 90°.
Mesure de l'angle de phase. — Dans une table à courant alternatif,il est essentiel de pouvoir mesurer l'angle de phase de n'importe quelletension ou courant dans le réseau par rapport à un vecteur de référence.
A cette fin, on utilise couramment un déphaseur statique — régulateurd'induction tri-monophasé — dont le primaire est connecté à la source
de référence, et le secondaire fournit une tension ou un courant, de phaseréglable, que l'on applique à l'un des deux circuits de l'électrodynamo-mètre; tandis que l'autre circuit reçoit la grandeur dont on veut connaître
la phase. On déplace le rotor du déphaseur jusqu'à ce que l'aiguille de
I'électrodynamomètre passe par un maximum (s'il est branché en watt-
mètre); ou, mieux, par zéro (s'il est branché en varmètre); à ce moment,les deux grandeurs sont en phase, et leur phase commune est indiquéedirectement par le cadran du déphaseur.
Insertion des instruments de mesure dans le réseau miniature. —
Plusieurs systèmes sont employés, variant depuis l'insertion manuelle
jusqu'au sélecteur à boutons-poussoirs.Dans le premier, le panneau servant à la constitution du réseau minia¬
ture comporte des nœuds de jonction permettant l'interconnexion de plu¬sieurs circuits, au moyen de jacks ou de contacts appropriés. Par l'entre¬
mise de cordons conducteurs partant du pupitre de mesure et munis de
fiches spéciales, on établit la liaison entre un nœud ou un circuit quel¬conque et les instruments de mesure.
Un autre système consiste à munir chaque circuit de la table d'un relai
téléphonique, que l'on relie à un jack numéroté sur le pupitre de mesure.
En insérant une fiche folle dans le jack, le relai entre en action et con¬
necte le circuit aux barres de mesure. Les jacks numérotés sont groupésensemble sur le pupitre.La commande des relais peut se faire encore à l'aide de boutons-
poussoirs, ce qui fait un nombre imposant de boutons dans le cas d'une
grande table. Aussi, en 1941, la Westinghouse Co. a incorporé à ce
système un perfectionnement technique: un sélecteur à petit nombre de
boutons-poussoirs commandant tous les relais [B. 51]. En pressant sur
25 boutons, seulement, on peut connecter aux barres de mesure, condui¬
sant aux instruments, l'un quelconque d'un total de 599 circuits.
170
Le système de sélection par relais et boutons-poussoirs permet à un
seul opérateur d'effectuer les mesures tout en restant à son pupitre, mais
se paye par une construction plus onéreuse.
D. — Le choix de la fréquence
Le dimensionnement et le prix d'une table de calcul à courant alter¬
natif dépendent principalement:du choix des valeurs nominales de la tension d'alimentation, du courant
dans les éléments et des impédances figuratives;du choix de la fréquence.Nous avons exposé au second chapitre les considérations à faire dans
le choix de la tension, du courant et des impédances de la table. Faisons
maintenant une synthèse des considérations qui interviennent dans le choix
de la fréquence.La valeur choisie pour la fréquence va se répercuter dans toutes les
parties constitutives de la table: appareil d'alimentation, matériel de re¬
présentation des réseaux, dispositifs de mesure.
Appareil d'alimentation. — A la fréquence normale, la table peutêtre alimentée directement par le réseau de distribution, pourvu que sa
fréquence soit stable. A une fréquence supérieure, de l'ordre de 500
à 1000 Hz, un alternateur spécial, entraîné par un moteur synchroneou un groupe à vitesse réglable, est nécessaire. Il est utile de savoir ici
jusqu'à quelle fréquence peut-on obtenir un alternateur de quelques kVA
avec un faible taux d'harmoniques et des pertes normales, et quel est
l'accroissement de prix correspondant. Enfin, au delà d'une certaine fré¬
quence, un générateur électronique s'impose, avec ses auxiliaires (ampli¬ficateurs, circuit de filtrage de la tension).
Inductances et capacités. — Pour une réactance donnée X, l'inductance
nécessaire est égale à:„
f étant la fréquence. De même, pour une susceptance donnée Y, la ca¬
pacité nécessaire est égale à:
L2 «:/
Ainsi, les valeurs d'inductance et de capacitance sont inversement pro¬
portionnelles à la fréquence, toutes choses égales ailleurs. C'est là la
grande économie de volume, poids et prix réalisée par une élévation de
171
la fréquence, et qui est d'autant plus intéressante que les bobines de
self-induction et les condensateurs constituent une part importante de
l'encombrement de la table et du capital qui y est investi.
De plus, le facteur de surtension des bobines
2 nfLRe
augmente avec la fréquence, quoique non proportionnellement, en raison
des pertes dans le fer et de l'effet pelliculaire dans le fil d'enroulement,qui augmentent la résistance effective Re. Ainsi, une augmentation de la
fréquence normale permet d'obtenir aisément des facteurs de surtension
élevés. A la fréquence normale, on est obligé d'augmenter la section du
fil pour réduire la résistance ohmique, ce qui contribue à accroître le
volume des bobines.
Si la fréquence est suffisamment élevée, il devient possible d'utiliser
des bobines sans fer et d'assurer une constance parfaite du coefficient de
self-induction à tous les courants.
En face de ces avantages économiques et techniques, surgissent des
difficultés qui occasionnent des dépenses supplémentaires et réduisent
l'économie escomptée. Ces difficultés proviennent:1° des influences magnétiques et électriques entre circuits et des capa¬
cités parasites à la masse;
2° des fils d'interconnexion, par suite de leurs impédances propres ainsi
que de leurs reactances et susceptances mutuelles (lors de la constitution
du réseau miniature, les fils d'interconnexion forment des faisceaux denses
ou des réseaux enchevêtrés de conducteurs).Reactances et susceptances augmentent proportionnellement à la fréquence.
A la fréquence de 50—60 Hz, et jusqu'à une certaine zone limite, les
reactances et susceptances parasites des éléments sont très faibles, et les
courants dérivés par la capacité des fils de connexion sont négligeables.Au delà, des précautions adéquates doivent être prises (bobinages à faible
capacitance propre, blindage des éléments, câbles coaxiaux pour l'intei-
connexion des éléments).
3° Les pertes dans le fer augmentent rapidement avec la fréquence:les circuits magnétiques des bobines (si elles sont à noyau de fer) et des
autotransformateurs doivent être constituées par des tôles d'acier spécial,très minces, à pertes réduites et opérant à une induction modérée.
Dispositifs de mesure. — La fréquence exerce une influence sur les
indications des instruments, par suite de l'impédance des enroulements et
172
des courants de Foucault induits dans les parties conductrices ; ceci peutnécessiter un calibrage spécial à la fréquence d'utilisation.
D'autre part, les amplificateurs électroniques, que l'on interpose entre
le réseau miniature et les instruments de mesure, se laissent construire
pour toutes fréquences, mais ils sont plus difficiles à réaliser à la fréquencecourante qu'à des fréquences plus élevées. Au contraire, le domaine de
construction des dispositifs à redresseurs vibrants se limite actuellement
aux fréquences industrielles [B. 57].Les considérations précédentes montrent que le choix de la fréquence
a une importance fondamentale dans l'établissement du projet d'une table.
La détermination de la valeur la plus économique requiert une étude
comparative des inductances, des capacités, des dispositifs d'alimentation
et de mesure pour différents ordres de grandeur de la fréquence ; une pareilleétude doit être évidemment accompagnée d'essais sur des prototypes et
des maquettes, et basée sur les données de l'industrie et les prix du marché.
Une étude effectuée par la Westinghouse Co. en 1930 sur des bobines
de réactance pour la gamme de fréquences de 60 à 1000 Hz avait montré
que le minimum de prix et de dimensions, en même temps que la meil¬
leure précision, étaient obtenus pour la bande de 400 à 600 Hz [B. 45J.
Comparée à des fréquences supérieures, cette bande présentait l'avantagede ne nécessiter encore aucune mesure particulière de blindage contre les
effets d'induction mutuelle entre les bobines. De plus, elle permettait
l'emploi direct des instruments électrodynamométriques disponibles sur le
marché en ce temps [B. 45, discussion par R. C. Bekgvall], l'influence de
la fréquence jusqu'à 500 Hz restant négligeable. Finalement, la fréquencede 440 Hz fut adoptée en raison du groupe moteur-générateur d'alimen¬
tation, et la Westinghouse construisit la première table à une fréquencesupérieure à celle des réseaux électriques.A l'exemple de cette société, la grande majorité des constructeurs a
adopté, par la suite, la fréquence de 400—500 Hz. Sur les 20 tables
énumérées dans le rapport américain présenté à la C. I. G. R. E. en 1948,seize opèrent à 440 ou 480 Hz. A part la table du M.I. T. (1929), deux
autres seulement ont choisi la fréquence de 60 Hz ; mais il est intéressant de
remarquer que ces deux tables appartiennent aux plus petites, n'ayant que 7, 8
générateurs et 185, 133 circuits totaux respectivement tandis que les autres
ont, en général, de 10 à 20 générateurs et 200 à 400 circuits totaux [B. 54].A l'antipode des tables de 50—60 Hz se trouve la table expérimentale
de l'Iowa State Collège, installée en 1946 et opérant à la fréquence de
10 000 Hz [B. 53]. La principale difficulté rencontrée par les auteurs a
été de réduire, dans les limites tolérées, les chutes de tension réactives
173
dans les conducteurs d'interconnexion ainsi que les courants dérivés dans
leurs capacités mutuelles; et il semble que ces facteurs limitent l'emploides hautes fréquences dans les tables de calcul, tant que l'interconnexion
des éléments doit se faire par de longs conducteurs allant des tiroirs aux jacks.En résumé, trois zones de fréquence ont été mises à l'épreuve
dans les réalisations antérieures:
1° la zone industrielle de 50—60 Hz: ne nécessite aucune précaution
particulière contre les influences magnétiques et électriques, mais conduit
à des bobines et des condensateurs de grandes dimensions et, par suite,à une table encombrante.
2° la zone de 400—500 Hz: nécessite quelques précautions contre les
effets d'induction mutuelle et les capacités parasites, mais ne soulève
aucune difficulté particulière. Les bobines et les condensateurs sont pluséconomiques qu'à 50—60 Hz, mais les bobines comportent encore des
noyaux de fer, pour lesquels il faut pourvoir des tôles à pertes réduites.
3° la zone de 10000 Hz: conduit à de faibles valeurs d'inductances
et de capacités et permet d'éliminer le fer et ses inconvénients des bo¬
bines, mais nécessite des précautions efficaces contre les inductions mutu¬
elles et les capacités parasites mutuelles et à la masse. Avec leurs réactan-
ces et leurs susceptances mutuelles, les conducteurs d'interconnexion ont
été une source d'ennui particulière pour les constructeurs.
D'après l'expérience acquise, il apparaît qu'avec la conception actuelle
relative à la construction, la zone de 10 000 Hz représente une limite
supérieure au delà de laquelle les difficultés précitées augmentent encore
et peuvent finalement nuire à la simplicité de construction et de service,et surtout à la précision recherchée, qui doit être la qualité essentielle
d'une table à courant alternatif.
D'un autre côté, pour une grande table comportant beaucoup d'éléments,il est plus économique d'aller au-dessus de 50 Hz, comme l'a fait la ma¬
jorité des tables américaines et européennes, en adoptant la fréquencede 400—500 Hz. Il est à examiner s'il ne serait pas plus avantageux de
monter au-dessus de 500 Hz, sans approcher toutefois la zone de 10 000 Hz
et ses difficultés? Pour cela, il faudrait que les précautions à prendre ne
sortent pas de l'ordre de grandeur de celles à 500 Hz, et que l'erreur
introduite par les câbles d'interconnexion reste dans les limites tolérées.
En ce qui concerne le blindage, entre 500 Hz et 1000 ou 2000 Hz, il
n'y a pas de différence. Par contre, on pourrait à une fréquence supé¬rieure à 500 Hz éliminer le fer des bobines ou employer du fer pulvé¬rulent à perméabilité constante et à pertes négligeables.
174
CHAPITRE QUATRIÈME
Description de quelques tables
A. — Table du Massachusetts Institute of Technology
(Cambridge, Mass., États-Unis) [B. 45]
Date d'installation: 1929.
Caractéristiques générales :
Fréquence = 60 Hz
Tension nominale = 200 V
Courant nominal = 0,5 A
Éléments constitutifs^) : Les différents éléments sont fixés à des châssis métal¬
liques, qui pénètrent dans les compartiments des quatre grands meubles disposésle long de trois côtés d'une salle carrée.
NombreOhms
max.
Ohms/échelon
Courant
limite
1. Impédances de lignes
(B et X en série)
Résistances
Réactances
60 (80)
25
35
20
40
10
100
20
120
0,11
l°/o env.
1% env.
4 A
2 A
4 A
2 A
2. Impédances de charges
(R et X en parallèle)
40
30
10
30
10
4 000
20 000
4 000
20 000
4
200
1 % env.
1% env.
1 A
1 A
1 A
1 A
t) Sauf indication contraire, les chiffres indiquant le nombre d'éléments ou de
générateurs ainsi que les autres données se rapportent à la date d'installation de
la table, et sont susceptibles d'avoir varié par suite d'extensions ultérieures. Toute¬
fois, nous avons ajouté, entre parenthèses, les chiffres publiés à la C. I. G. R. É.
de 1948 [B. 54]. Cette remarque s'applique aussi aux descriptions suivantes.
175
Les résistances sont formées de fil de haute résistivité et faible coefficient de
de température enroulé sur des tubes de porcelaine ; le nombre de tubes varie
de 4 dans l'unité de 10 ohms à 28 dans l'unité de 4000 ohms. La variation de la
résistance avec le courant et la température est très inférieure à l°/o-Les bobines ont un circuit magnétique semblable à celui des transformateurs
cuirassés, avec un entrefer dans chaque branche ; il est constitué par deux pilesde tôles de nicaloi, en forme de E. La bobine est enroulée sur la branche cen¬
trale, et l'ensemble pèse environ 11 kg et mesure 16,5 X 18 X 21,5 cm. L'induc¬
tion maximum est de 6000 gauss. Le rapport 5/Z égale 3,5 à 5°/° pour les bobines
de lignes et 6 à 7% pour les bobines de charges. La variation de la réactance
ne dépasse pas 2% lorsque le courant change dans le rapport de 20 à 1. Le
réglage des bobines se fait au moyen de prises.
3. Capacités: Il y a 32 (55) unités de condensateurs à papier, ayant chacune
12 microfarads réglables par bonds de 0,1 /*F.
4. Impédances des machines synchrones: Elles sont représentées par des bobines
spéciales, ayant les caractéristiques suivantes:
courant nominal = 6 A
valeur ohmique = 0—500 Q
BIX = 3% de 50 à 500 Q
5. Autotransformateurs : 4 (12), permettant un réglage de la tension de 0 à + 10 %,par bonds de 0,5%. Courant magnétisant = 1,7 à 4 mA.
Générateurs statiques: 8 (plus tard 16) déphaseurs constitués par des régulateursd'induction tri-monophasés, munis de prises sur l'enroulement secondaire, per¬
mettant de régler la tension par bonds de 0,5 V.
Les harmoniques ont été réduits à moins de 1%, grâce à des enroulements
appropriés, de faibles inductions et une source d'alimentation de bonne forme d'onde.
Alimentation: Un alternateur triphasé, entraîné par un moteur à courant con¬
tinu, produit une tension de 230 V, ayant, à 1% près, une forme d'onde sinu¬
soïdale. Un autotransformateur, connecté entre l'alternateur et les déphaseurs
statiques, permet de réduire cette tension à des valeurs de 100, 30 ou 10 V, pour
pouvoir passer directement d'une étude de fonctionnement normal à une étude
de courants de court-circuit sans changer l'échelle des impédances.
Instruments de mesure: Deux groupes d'instruments:
1. Chaque déphaseur a ses instruments propres, indiquant en permanence les
conditions à ses bornes. Ces instruments sont du type standard portable.
2. Les mesures dans le réseau miniature se font en insérant, aux endroits
appropriés sur les panneaux, à l'aide de cordons souples munis de fiches, les
circuits d'un ampèremètre, d'un voltmètre, et d'un wattmètre. L'ampèremètre et
le voltmètie sont du type à thermoélément qui a l'avantage de modifier très peu
les conditions du réseau par son insertion. Ainsi l'ampèremètre produit une chute
de tension maximum de 0,12 volt; le voltmètre a une consommation propre de
0,002 ampère. Ils ont une précision de 1% et peuvent supporter une courte sur¬
charge de 100%-
Chacune des tables placées devant les quatre grands meubles de la salle possèdeun groupe d'instruments de réseau.
176
B. — Table de là Westinghouse Electric & Manufacturing Co.
(East-Pittsburgh, États-Unis) [B. 46]
Bote d'installation: 1929. Extension: 1942.
Fréquence: L'innovation faite par cette table est l'emploi de la fréquence de
440 Hz, au lieu de la fréquence industrielle, en vue de réduire les dimensions et
le prix des bobines de self-induction et des condensateurs.
Description générale: La table occupe trois cAtés d'une salle carrée de 6 X 6 m
[B. 46, p. 266]. C'est un meuble métallique constitué par 15 panneaux verticaux,dont dix servent de support aux tiroirs amovibles, contenant les groupes généra¬teurs statiques et les unités réglables de lignes et de charges, et cinq sont destinés
à la réalisation du réseau miniature — par un jeu de fiches et de jacks — ainsi
qu'aux mesures. Les extrémités de chaque unité sont reliées, par des cordons
isolés, à deux fiches; en enfonçant ces fiches dans les jacks contigus, on réalise
le schéma désiré.
Au milieu de la salle, se trouvent un pupitre portant les dispositifs de mesure,
ainsi que des tables servant aux opérateurs.
Eléments constitutifs: La majorité des tiroirs amovibles contient deux unités
d'impédances formées chacune par une résistance et une réactance réglables.La résistance peut varier de 1 à 399 ohms, par bonds de 1 ohm. La réactance
comporte une bobine à entrefer fixe et à prises, réglable de 0 à 280 ohms, par
bonds de 20 ohms, ainsi qu'une bobine à entrefer variable permettant d'obtenir
une variation continue de 0 à 20 ohms. Le réglage de l'entrefer variable et la
sélection des prises, effectuées sur les résistances et les réactances, se font de
l'extérieur des tiroirs.
Certains tiroirs contiennent des unités de condensateurs réglables de 0.01 à
4,05 juF par bonds de 0,01 /jF. D'autres contiennent des bobines de 2100 ohms,
avec des échelons de 300 ohms, pour simuler les charges ou les courants magnéti¬
sants des transformateurs.
Après l'extension de 1942, la table possédait:
200 impédances réglables;60 capacités réglables;38 bobines de 2100 £;33 autotransformateurs à prises;36 transformateurs de couplage à rapport fixe.
Groupes générateurs : 16 groupes statiques, composés chacun d'un régulateur de
tension tri-triphasé et d'un déphaseur tri-monophasé. On recueille aux bornes de
cet ensemble une tension que l'on peut ajuster en grandeur (0—440 V) et en
phase (0°—360°), et que l'on peut lire directement sur des cadrans gradués
montés sur les tiroirs.
Alimentation : Un alternateur, entraîné par un moteur synchrone, fournit aux
groupes statiques du triphasé à 220 V et 440 Hz.
Mesures: Lors de la mise en exploitation de la table, les mesures de tension,
de courant et de puissance s'effectuaient à l'aide d'un électrodynamomètre unique,
à différentes sensibilités. Un déphaseur statique servait à la mesure des angles
de phase.
177
C. — Table de la General Electric Co.
(Schenectady, États-Unis) [B. 48]
Date d'installation: 1937.
Caractéristiques générales :
Fréquence = 480 Hz.
Valeurs nominales:
100% tension = 50 V,
100% courant = 50 mA,
par conséquent: 100% impédance = 1000 Q.
Les instruments de mesure et les impédances réglables sont gradués en %, pour
faciliter le passage des valeurs réelles aux valeurs de la table, et vice-versa.
Description générale: La table est disposée symétriquement par rapport à un
meuble central de mesure et de commande ayant, de chaque côté, un panneau
d'interconnexion et une aile constituée par quatre panneaux identiques contenant
les unités réglables [B. 48, p. 68, fig. 1]. Celles-ci se terminent sur le pupitre hori¬
zontal, au-dessous du panneau d'interconnexion, par des cordons souples munis
de fiches. En introduisant ces fiches dans les jacks du panneau vertical, on peutréaliser le réseau désiré.
La distance entre les deux ailes est de 8 mètres et la largeur près de 3,5 mètres.
Éléments constitutifs:
NombreGamme
de réglage
Échelons
de réglage
Impédances de lignes(B+jZ)
150B = 0—51%X = 0—81 %
continu
0,2%
Impédances de charges(B + jX en série ou en parallèle)
50B = 0—1610%X= 0—1605%
continu
5%
Capacités 30 (04) 0—100% 1%
Autotransformateurs 12 (20) ±15% 1%
Transformateurs de couplage
(rapport 1/1 fixe)15
Toutes les unités réglables sont montées sur des socles métalliques de 18 X 40 cm
qui s'adaptent aux panneaux de la table et portent sur leurs façades des cadrans
gradués et des boutons de commande [B. 48, p. 42, fig. 7 et 8]. L'ajustement des
valeurs requises est ainsi chose aisée et rapide.Les résistances et les capacités ont une précision de ±1% à toutes les prises.
Les bobines ont une précision de +1% pour un courant donné, et la variation
de leur coefficient de self-induction avec le courant est limitée à moins de+ 2%.
178
Leur rapport B/X est compris entre 8% (petites inductances) et 3% (grandesinductances).
Groupes générateurs: 12, constitués chacun par un régulateur d'induction tri-
monophasé pour le réglage de la phase et un régulateur mono-monophasé pour
le réglage de la tension. Chaque groupe comporte un watt-varmètre pour mesurer
la puissance débitée; la tension et son angle de phase sont lus directement sur
des cadrans gradués autour des manettes de commande des rotors [B. 48, p. 70,
fig. 51.Les groupes générateurs sont placés au haut des panneaux d'interconnexion et
de mesure et sont reliés à des jacks permettant de les connecter au réseau de la table.
Alimentation: Un groupe moteur-générateur fournit aux régulateurs-déphaseurs
statiques du triphasé à 480 Hz et 440 V par l'intermédiaire d'un autotransforma¬
teur qui permet d'abaisser la tension à 50 ou 25% pour les études de courts-circuits.
Un équilibreur de phases est branché en parallèle avec l'alternateur et tourne
avec lui à la vitesse synchrone; son courant magnétisant est compensé par des
capacités.Le groupe d'alimentation comprend en tout 4 machines couplées directement
et montées sur un socle de 0,5 X 2 m:
le moteur d'entraînement à 60 Hz.
l'alternateur à 480 Hz,
l'équilibreur de phases,et l'excitatrice.
La puissance maximum à fournir à la table entière est inférieure à 5 kVA. Le
groupe n'est pas installé dans la salle de la table de calcul, mais est commandé
à distance depuis le meuble central à l'aide de boutons-poussoirs.Une analyse faite aux bornes des sources statiques, après l'installation de la
table, a révélé que, dans l'onde de la tension, le cinquième harmonique était le
plus grand, mais ne dépassait pas 1,4%.
Mesures: La particularité de cette table a été, à l'époque de son installation, le
système de mesure avec amplificateurs électroniques à rétroaction [B. 50], Mis au
point pour la fréquence de 480 Hz, ces amplificateurs étaient garantis pour une
précision de 0,2% dans le rapport d'amplification et 20' dans l'angle de phase.La perturbation due aux mesures a été ainsi limitée à une chute de tension de
0,01 V en ligne et un courant de 0,3 mA en dérivation.
D. — Table des Siemens-Schuckertwerke, Berlin
[B. 55]Date d'installation: 1939.
Fréquence: 50 Hz.
Les Allemands avaient à choisir entre la fréquence de l'ordre de 500 Hz, adoptée
par les tables américaines, et la fréquence normale de 50 Hz. Ils ont préféré cette
dernière pour plusieurs raisons, dont ils citent les suivantes:
a) La Société Siemens & Halske construisait des instruments de mesure très
sensibles à redresseurs vibrants pour la fréquence de 50 Hz.
179
b) La fréquence de 50 Hz ne nécessite aucune précaution spéciale contre les
influences magnétiques et capacitives entre les éléments et entre les fils de con¬
nexion.
Description générale: La caractéristique de cette table est son tableau de con¬
nexion et de mesure, sur la face avant duquel on peut tracer, à la craie, le
schéma du réseau à étudier [B. 55, p. 22, fig. 5]. Ce tableau, que les tables améri¬
caines ne possèdent pas et qui était protégé par un brevet, permet d'avoir une
vue permanente sur le schéma du réseau et aide à éviter les erreurs dans la
sélection des circuits pour les mesures.
Il présente 192 nœuds de jonction, permettant chacun le branchement de 4 cir¬
cuits ainsi que des instruments de mesure [B. 55, p. 21, fig. 3]. Comme il s'est
avéré que la poussière de craie nuit aux contacts, les jacks habituels empruntés
à la téléphonie ont été remplacés par de robustes mâchoires en cuivre.
Tandis que la face avant du tableau est réservée aux mesures et au dessin
du réseau à la craie, la face arrière sert aux connexions. Les éléments de circuit
sont logés dans un meuble parallèle au tableau et sont connectés à ce dernier
au moyen de cordons souples munis de fiches.
Enfin, les instruments de mesure sont montés sur un chariot mobile.
Éléments constitutifs: Tandis que les tables américaines emploient, pour la repré¬
sentation des lignes et des charges, des unités réglables, complètes par elles-mêmes,
la table allemande utilise le système de juxtaposition d'éléments.
Elle dispose de 3000 bobines dont les valeurs, échelonnées suivant le principe
des boîtes de poids, permettent d'obtenir n'importe quelle réactance de 1 à
100 000 ohms. Les résistances sont conçues de la même façon. Il y a, de même,
un grand nombre de condensateurs.
Les éléments représentatifs d'un circuit sont assemblés sur une planchette
appropriée, formant tiroir [B. 55, p. 21, fig. 1 et 2].
Sources de f. é. m. : Chaque source est constituée par deux transformateurs mono¬
phasés, branchés à deux phases d'une alimentation triphasé (p. 143). Les secon¬
daires, connectés en série, permettent d'obtenir, à l'aide de prises, une tension
réglable en phase et en grandeur de 0 à 100 volts.
Dispositifs de mesure: Les mesures de courant et de tension sont effectuées au
moyen de galvanomètres très sensibles à courant continu, en conjonction avec
des redresseurs vibrantst, alimentés par des déphaseurs statiques (régulateursd'induction tri-monophasés). Point n'est besoin de wattmètre ou de phasemètre.
L'angle de phase de la quantité mesurée (tension ou courant) est lu directement
sur le cadran gradué du déphaseur.
Ce dispositif de mesure à redresseurs vibrants ne permet pas la lecture directe
des puissances actives et réactives. On peut les calculer à partir des indications
de l'ampèremètre, du voltmètre et des déphaseurs statiques.
Mesure du courant initial de court-circuit: Une autre particularité de la table
allemande est son dispositif à oscillographe destiné à déterminer le courant initial
de court-circuit avec sa composante transitoire exponentielle aussi bien que sa
t H. PFANNENMULLER : «Der Zungen-Gleichrichter fur Mefizwecke und seine
Anwendung». Siemens-Zeitschrift, 1934, t. 14, p. 202.
180
composante alternative, conformément aux prescriptions du V. D. E. (Verband
Deutscher Elektrotechniker) concernant le dimensionnement des disjoncteurs.Le dispositif en question comprend un petit moteur synchrone portant sur son
axe un disque gradué muni d'une came réglable [B. 55, p. 24, fig. 10]. Cette came,
en butant contre le déclencheur d'un interrupteur, établit le court-circuit au pointdésiré, et un oscillographe enregistre les oscillations du courant à n'importe
quel point du réseau. Le déclencheur est attiré sur le parcours de la came à
l'aide d'un électroaimant commandé par l'oscillographe lui-même. En modifiant la
position de la came sur le disque, on peut régler l'instant d'établissement du
court-circuit par rapport à l'onde de tension.
E. — Table de l'Associated Electrical Industries Ltd., Londres
[B. 56]Date d'installation: 1947.
Caractéristiques générales :
Fréquence = 500 Hz
Tension nominale = 50 V
Courant nominal = 50 mA
Ce choix permet d'utiliser le matériel de téléphonie pour les connexions des circuits.
La table anglaise ressemble à celle de la General Electric Co.
Aspect général: La table est disposée symétriquement le long de trois murs
d'une salle [B. 56, p. 442]. La partie centrale comprend:
au milieu, un panneau vertical portant les dispositifs de mesure et de com¬
mande, devant lequel s'assied, à une table, l'opérateur;à gauche et à droite, un pupitre horizontal où aboutissent des fiches, et
au-dessus duquel se trouve un panneau vertical muni de jacks.
Au-dessus des trois panneaux sont logés les groupes générateurs statiques.Les unités de réseau sont montées, avec leurs châssis métalliques, dans les
cellules de deux grands panneaux formant les ailes de la table. Elles sont reliées
aux fiches numérotées; en introduisant celles-ci dans les jacks appropriés, on
réalise le schéma d'interconnexion désiré.
Éléments constitutifs :
12 groupes générateurs statiques,120 unités de lignes,30 unités de charges,60 unités de condensateurs,36 autotransformateurs (+30% par échelons de 1%),14 transformateurs de couplage
(12 de rapport 1/1 ; 2 de 2/1 et 2 de j/3/1).
Avant la représentation d'un réseau sur la table, toutes les valeurs sont expri¬
mées en p. 100 par rapport à une puissance apparente de base.
'Alimentation: L'alimentation à 500 Hz est assurée par un alternateur triphasé
qu'entraîne un moteur synchrone. Le groupe est commandé à distance à partir
181
du panneau central de la table, et la tension qu'il fournit est réglée à +0,2°/»à l'aide d'un régulateur électronique.Une source indépendante d'énergie est disponible pour le moteur et permet de
le soustraire aux variations de fréquence du réseau de distribution.
Mesures: La table comporte, comme à l'ordinaire, deux groupes d'instruments:
1 *pour le groupe moteur-générateur et les sources statiques, des instruments
ordinaires ;
2° pour le réseau miniature, trois instruments essentiels;
un voltmètre,
un ampèremètre, et
un watt-varmètre,
adaptés à des amplificateurs à rétroaction négative, alimentés eux-mêmes par
l'entremise de shunts et d'un diviseur de tension.
La sélection d'un circuit pour les mesures se fait au moyen de relais télépho¬
niques commandés à partir du panneau central.
Erreurs: La tension et la fréquence injectées dans les sources statiques sont
réglées à ±0,2% des valeurs nominales.
Tous les éléments sont évalués avec une tolérance de +1 %, à l'exception des
bobines de lignes de réactance dont la tolérance est de +2%. Les résistances
sont non-inductives, et les bobines ont un rapport RIX de 1/33.En attribuant une précision de+0,5% au dispositif central de mesure, l'erreur
maximum affectant les résultats de la table est estimée à + 2%.
F. — Table de l'Électricité de France, Paris
[B. 57]Date d'installation: 1948.
Caractéristiques générales:
Fréquence = 500 Hz.
Tension maximum = 170 V, normale = 127 V.
Courant nominal des éléments de ligne:du point de vue précision, 126 mA;du point de vue échauffement, 250 mA.
Courant nominal des générateurs:sur la prise 170 V, 300 mA ;
sur la prise 85 V, 600 mA.
Description générale: Les divers éléments destinés à constituer le réseau figuratifsont montés dans des tiroirs et châssis, dans un meuble métallique vertical d'environ
13 m de long, 2,4 m de haut et 1 m de large, allant d'une extrémité à l'autre
d'une grande salle rectangulaire [B. 57, p. 52, fig. 1]. Les générateurs statiques,avec leurs watt-varmètres, sont disposés en saillie à la partie inférieure du meuble;au-dessus se trouvent les tiroirs d'autotransformateurs et de lignes. Les tiroirs de
charge occupent la parte centrale du meuble, de chaque cô é d'un panneau
central de jacks, qui partage la surface du meuble symétriquement en deux
parties.
182
Vis-à-vis du meuble, se trouve un pupitre métallique, occupant un parterre de
2 X 0,8 m environ, et sur lequel sont rassemblés tous les dispositifs de mesure
[B. 57, p. 59, fig. 16].Les machines, destinées à l'alimentation de la table, sont installées avec leur
appareillage dans une salle séparée et commandées à distance à partir du pupitrede mesure.
Connexions: Toutes les connexions entre les éléments se font sur la face avant
du meuble, qui comporte, à cet effet, 252 nœuds de jonction répartis sur toute
sa longueur. Chaque nœud permet le raccordement de quatre circuits; en outre,
deux ou plusieurs nœuds peuvent être couplés ensemble. Des cordons conducteurs,
partant des tiroirs, servent à relier les jacks terminaux des éléments aux nœuds
de jonction, pour constituer le réseau miniature.
Mesures: Chaque nœud de jonction comporte une prise femelle à cinq directions
qui permet, par l'introduction d'une fiche mâle fixée à un câble à cinq fils, de
reporter toutes les connexions sur le pupitre de mesure et d'y reconstituer le
nœud, pour l'insertion des instruments.
Éléments constitutifs:
a) 16 groupes générateurs [B. 57, p. 53, fig. 5] composés chacun de deux régula¬teurs à induction en cascade: le premier, tri-monophasé, pour le réglage de la
phase ; le second mono-monophasé pour le réglage de l'amplitude. On recueille aux
bornes du second appareil une tension réglée en phase (0°— 360°) et en valeur
efficace (0—170 V).
Chacun des régulateurs est muni d'un cadran gradué solidaire de sa manette
de commande. Au moyen d'engrenages démultiplicateurs, le cadran du régulateurde phase accomplit quatre tours pour un tour du rotor, ce qui donne une gradua¬tion très lisible, avec un espacement de 20 minutes entre divisions. Le cadran du
régulateur d'amplitude est gradué directement en volts.
Le secondaire fixe de ce dernier est muni de prises permettant, par change¬ment de couplage des enroulements, d'obtenir trois gammes de réglage, selon
l'étude à effectuer:0—170 V (0—300 mA),
0— 85 V (0—600 mA),0— 42,5 V (0-600 mA).
Grâce à des condensateurs de compensation, la chute de tension globale dans
les deux appareils, à pleine charge résistante, ne dépasse pas 1 %, et le déphasage
global, à pleine charge réactive, ne dépasse pas 30 minutes.
Chaque groupe générateur comporte un watt-varmètre, qui sert à régler le
débit de puissance, et qui est mis hors circuit lors de l'ajustage définitif, pour ne
pas laisser subsister sa consommation relativement grande.
b) 33 autotransformateurs: 18 de 15 VA et 15 de 30 VA, dont le rapport de
transformation à vide est réglable, par échelons de 1%, de plus à moins 30%
autour de l'unité. On s'est efforcé de réduire les pertes à vide et l'impédance de
court-circuit à des valeurs aussi faibles que possibles.
c) 285 réactances à facteur de surtension élevé (35-45), de 1 à 1000 Q, utilisées
pour représenter la réactance de fuites totales des gros transformateurs et la
réactance interne des machines tournantes.
183
Ces éléments spéciaux ont un circuit magnétique toroïdal en poudre de fer
comprimée. Ils sont montés dans des boîtiers analogues à ceux des réactances de
lignes mais de dimensions plus grandes.
d) Éléments de lignes: La représentation des lignes se fait à l'aide d'éléments
calibrés de résistances, réactances et capacités montés en boîtiers, que l'on groupe,
selon les besoins, dans les tiroirs amovibles du meuble de la table.
Nombre Valeur unitaire
Résistances 256
375
570
de 1 à 200 Q
de 1 à 300 Q
de 100 à 20 000 pF
Les résistances sont en constantan et varient, au maximum, de 0,2% quel que
soit le courant.
Les réactances à noyau de fer ont un circuit magnétique cuirassé avec entrefer.
La variation de la réactance entre 10 et 125 mA est inférieure à 1,5%. Le coef¬
ficient de surtension est égal à 10.
Les capacités sont au mica argenté noyé dans la bakélite. Leur facteur de
perte à 500 Hz est 0,005.La précision d'ajustement de tous les éléments est 0,5% à 15° C.
Le nombre de tiroirs pour la figuration des lignes et circuits est de 240.
e) 40 charges actives et inductives constituées par un ensemble de résistances et
réactances calibrées que l'on branche en parallèle à l'aide de combinateurs, et quipermettent de réaliser, grâce à un choix judicieux des calibres des éléments, une
variation par échelons égaux de la puissance active et de la puissance réactive
consommées. Il y a:
6 charges de 26,27 W (20 Var) réglables par bonds de 6,6 W10 charges de 16,14 W (16,14 Var) réglables par bonds de 0,066 W24 charges de 8.07 W (5,47 Var) réglables par bonds de 0,066 W
Autolransformateurs
,10
Eléments de
réaclances
Fig. 64
184
Les charges sont calibrées pour la tension de 127 V; aussi, chacune d'elles est-
elle alimentée à travers un autotransformateur à prises permettant d'ajuster à
127 V la tension aux bornes de la charge, quelle que soit la tension primaire
appliquée, dans les limites de la zone de réglage (127 ± 30%).
f) 10 chargea inductives et capacitives constituées par des capacités et des réac-
tanees en parallèle:
8 de 4 Var, par bonds de 0,066 Var;
2 de 10 Var, par bonds de 0,066 Var.
Dispositifs de mesure: Il y a trois instruments de mesure essentiels:
un milliampèremètre étalon pour les courants,
un milliampèremètre étalon pour les tensions,
un électrodynamomètre étalon pour les puissances,
tous trois alimentés par deux amplificateurs électroniques pourvus chacun d'un
dispositif de stabilisation à contre-réaction. La précision globale des mesures est
comprise entre 0,5 % et 1 %• Pour éviter toute surcharge accidentelle des appareils
étalons principaux, les amplificateurs sont normalement fermés chacun sur un
milliampèremètre ordinaire de construction robuste dont l'impédance est égale à
celle des circuits des appareils étalons; la manœuvre d'un commutateur permet,
après vérification des courants, la substitution des étalons aux appareils de sécurité,
sans modification sensible de l'impédance de sortie des amplificateurs.
Vers les
groupes statiques
Moteur asynchronemonophasé Génératrice Moteur
compound
Fig. 65
Equilibreurde phasescompensé.
Alternateur
320 V 500 luAmplidyne
Alimentation de la table [B. 57, p. 61, fig. 17]: Elle est fournie par un alternateur
triphasé 220 V à 500 Hz entraîné par un moteur à courant continu et excité par
une excitatrice amplidyne.La tension est réglée à 0,5 V près par un régulateur automatique électronique
agissant dans le circuit de réglage de l'amplidyne. Le taux d'harmoniques de la
tension varie de 0,5% à 0,8% entre la marche à vide et la marche à pleine charge.
La vitesse du groupe est réglée par un régulateur automatique à force centri¬
fuge, monté en bout d'arbre, agissant dans le circuit inducteur du moteur; le
réglage s'effectue à ±1 Hz près.
13 185
La tension continue d'alimentation du moteur est fournie par une génératriceentraînée par un moteur asynchrone.
Un équilibreur de phase, constitué par un moteur à induction triphasé tournant
à vide, est branché aux bornes de l'alternateur.
Les groupes sont commandés à distance depuis le pupitre de mesure, qui com¬
porte, en outre, les appareils de contrôle de la tension et de la fréquence.
G. — Table de Plowa State Collège, Iowa (États-Unis)
[B. 53]
Installée en 1946 et fonctionnant à la fréquence de 10000 Hz, la table de
l'iowa State Collège est un modèle expérimental destiné à mettre à l'épreuve les
principes originaux qui ont présidé à sa conception.Sa caractéristique principale est l'emploi de la fréquence de 10000 Hz, bien
supérieure à la fréquence de l'ordre de 500 Hz jusque là employée. Par cette
innovation, les auteurs ont visé plusieurs avantages et bénéfices:
1 ° il devient possible de mettre à profit l'expérience, la technique et le matériel
appartenant au domaine de l'électronique et de la radio (générateur à haute
fréquence, instruments de mesure, selfs et capacités), ce qui réduit notablement
le prix du matériel de la table, du fait qu'il appartient à un domaine de pro¬
duction intensive.
2 ° les dimensions et le prix des bobines de self-induction et des condensateurs,
qui constituent une part importante du volume et du prix de la table entière, sont
réduits considérablement. Ainsi, pour 100 ohms de réactance capacitive, le prixà 10000 Hz était égal à 15% du prix à 500 Hz.
3° un avantage technique est l'élimination des noyaux de fer des bobines de
réactance, d'où:
a) invariabilité du coefficient de self-induction à tous les courants:
b) élimination du risque de distorsion de la forme d'onde;
c) élimination des pertes dans le fer par hystérésis et courants de Foucault.
4° des facteurs de surtension ( ^—1 élevés peuvent être obtenus aisément
pour les bobines de réactance : et en fait, les bobines de la table ont des facteurs
de 25 et 50.
Le choix final de la valeur de 10 000 Hz a été décidé en raison de la disponibilitécommerciale d'un oscillateur économique à 100000 Hz, cette fréquence étant
ensuite abaissée à 10000 Hz par un diviseur de fréquence.L'emploi d'une fréquence élevée n'offre pas que des avantages. Les auteurs
ont eu à combattre :
1° les influences magnétiques et capacitives entre les éléments, et les suscep-
tances parasites des éléments à la masse;
2° les chutes de tension dans les fils d'interconnexion dues à leur impédance
propre et à leur réactance mutuelle, ainsi que les courants de capacité dus à
leur susceptance mutuelle.
1-86
La première source d'erreur a été combattue par un blindage soigné des éléments
et par le choix de la faible tension de 10 V comme tension nominale de la table.
Les fils d'interconnexion ont donné lieu à des recherches et des essais, et,
finalement, la meilleure solution trouvée a été l'emploi de câbles coaxiaux.
Composition de la table : Ayant été construite essentiellement dans un but expéri¬mental, la table ne comprenait, lors de son installation, que quatre groupes généra¬teurs statiques et un nombre restreint d'unités de lignes, de charges et de condensa¬
teurs, d'autotransformateurs et de transformateurs de couplage.
La source d'alimentation est un oscillateur à quartz de 100000 Hz, laquelle
fréquence est divisée à 10000 Hz. La tension de sortie est de quelques volts; elle
est d'abord filtrée pour purifier sa forme d'onde, puis amplifiée et appliquée aux
régulateurs de phase et d'amplitude.A part cela, la table ne diffère pas des autres dans sa constitution générale.
Les valeurs nominales sont:
100% tension = 10 V
100% courant = 0,1 A
100% impédance = 100 Q
Les caractéristiques des unités de réseau sont :
Gamme de réglage Échelons
Unités de lignesRésistance
Réactance (2nfL)
Susceptance (2xfC)
0-99 %
0—99 %0- 9,9%
1 % (2 décades)
1 % (2 décades)
0,1% (2 décades)
Unités de charges
(jR et X en série ou en parallèle)Résistance
Réactance
0—9990 %0—9990 %
10% (3 décades)
10% (3 décades)
Unités de condensateurs
Susceptance (2afC) 0-99 % 1 % (2 décades)
En conclusion, les auteurs disent que leur but réduire les frais de construction,
par l'adoption d'une fréquence élevée, a été «partiellement» atteint. Ils estiment
avoir réalisé une économie de 40 à 50% par rapport aux tables de 400—500 Hz.
*
Signalons enfin que le rapport n° 328 présenté à la C. I. G. R. E., session 1948,contient une liste de 20 tables de calcul existant aux États-Unis avec le nombre
de leurs éléments constitutifs [B. 54].
13* 187
CHAPITRE CINQUIÈME
Champ d'applicationde la table de calcul à courant alternatif
A. — Diverses applicationsde la table de calcul à courant alternatif
Avec l'extension considérable des réseaux électriques et la tendance
poussée vers l'interconnexion des centrales et la mise à profit des ressour¬
ces de la nature, la table de calcul à courant alternatif est devenue un
auxiliaire efficace de l'ingénieur dans l'étude et la solution des problèmescourants que posent l'exploitation et la bonne marche des réseaux maillés :
régulation, protection, stabilité. De plus, elle a été appliquée, durant ces
dernières années, à la solution, par analogie, de maints problèmes d'électro-
technique, de mécanique, etc. susceptibles d'être représentés par des cir¬
cuits électriques équivalents.
D'une façon générale, les diverses applications de la table de calcul à
courant alternatif se ramènent à quatre domaines principaux:
1. Étude des réseaux en régime de charge normal;
2. Étude des réseaux en court-circuit, symétrique et dyssymétrique ;
3. Étude de la stabilité des réseaux;
4. Divers problèmes spéciaux électriques et non-électriques.
1. Problèmes de fonctionnement normal. — Les problèmes concer¬
nant l'exploitation des réseaux en fonctionnement normal et que la table de
calcul permet de résoudre sont nombreux. Les principaux sont:
188
a) Répartition des courants et des puissances actives et réactives dans
les différents circuits d'un réseau maillé, pour des conditions données ou
projetées de production et de consommation.
b) Réglage de la tension; régimes optima et gammes de prises des
transformateurs de réglage.
c) Puissance réactive des compensateurs synchrones et statiques, à ins¬
taller à certains nœuds importants et centres de distribution du réseau
en vue de l'amélioration du facteur de puissance et du réglage de la
tension.
d) Etude des pertes et de leur réduction, par l'amélioration du facteur
de puissance, l'injection de tensions en phase et en quadrature, la modi¬
fication du plan de répartition de la production entre les centrales.
e) Projets d'extension et d'interconnexion:
Amélioration des conditions générales d'exploitation par de nouvelles
lignes de liaison, par l'implantation de nouvelles centrales, etc.
Effets de l'implantation de nouvelles sous-stations ou de l'interconnexion
avec des réseaux étrangers sur le comportement des lignes de transport,la tension, la circulation de la puissance, les pertes.
f) Influence des grosses charges déséquilibrées sur les tensions et cou¬
rants du réseau.
2. Problèmes de courts-circuits. — a) Détermination des courants
maxima de court-circuit intervenant dans le choix de la puissance de
coupure des disjoncteurs.
b) Détermination des valeurs maxima et minima des tensions et courants
de défaut, en vue du choix et du réglage des relais de protection sélective.
c) Influence de l'interconnexion de deux réseaux d'exploitation sur
l'intensité des courants de défaut.
Bien entendu, ces études peuvent être effectuées sur la table quelleque soit la nature du court-circuit: triphasé, phase à la terre, phase à
phase, deux phases à la terre.
d) Etude de la mise à la terre du neutre, et détermination des caracté¬
ristiques des différents dispositifs.
3. Problèmes de stabilité. — a) Stabilité et limites de puissanceen régime établi et en régime troublé; détermination des limites de sta¬
bilité dynamique pour différentes surcharges brusques, différents types de
défauts; surcharges admissibles.
189
b) Influence du temps de coupure des disjoncteurs sur la limite de
stabilité ; temps de coupure nécessité par différents types et emplacement»de défauts.
c) Influence des régulateurs de tension automatiques.
d) Effet du déclenchement et du réenclenchement ultra-rapides (sur une
phase et sur trois phases) sur la stabilité, les limites de puissance des
lignes de transport à haute tension.
4. Problèmes spéciaux. — En dehors des applications courantes men¬
tionnées ci-dessus — pour lesquelles la table de calcul à courant
alternatif a été conçue à l'origine et qui forment, encore actuellement, son
principal champ d'application — il s'est avéré au cours de ces dernières
années que la table pouvait servir encore à la solution de maints pro¬
blèmes non-électriques, pouvant être représentés par des circuits électri¬
ques équivalents.
Citons à titre d'exemple :
a) la détermination des efforts et des déformations dans les treillis et
les structures statiquement indéterminés,
b) l'écoulement des fluides compressibles à la vitesse subsonique et
supersonique,
c) l'étude de certaines vibrations mécaniques, et la détermination de la
vitesse critique des axes,
d) l'écoulement de la chaleur dans les corps de forme complexe,
e) la solution de l'équation de Schrôdinger.
De nombreaux autres problèmes d'intérêt particulier, appartenant aux
domaines mécanique, électrique, acoustique, thermal, etc. ont pu être étu¬
diés ou approchés à l'aide de la table, et un compte-rendu en a été
publié dans la presse technique [B. 52]. Le principe de ces applicationsest de représenter le problème par un circuit électrique équivalent, dont
les tensions, courants, impédances et admittances correspondent aux va¬
riables et paramètres du système à étudier.
B. — Marche à suivre pour l'étude d'un réseau électriquesur la table
Elle comprend trois étapes successives :
1° Préparation de l'étude. — On commence par établir un schéma
unifilaire du réseau à étudier. Ce schéma doit montrer clairement tous
190
les éléments et circuits du réseau : centrales, transformateurs, lignes, sous-
stations, appareils de réglage. Il doit indiquer aussi le mode de connexion
des enroulements des transformateurs et des machines (étoile, triangle)ainsi que les connexions entre les points neutres et la terre, afin de pou¬
voir tracer, si nécessaire, le réseau homopolaire.
Ensuite, on s'occupe de recueillir et de grouper les informations et les
données concernant le fonctionnement du réseau et les caractéristiques de
«hacun de ses éléments:
impédances directe, inverse et homopolaire;
puissance active et réactive absorbée par chaque sous-station;
plan de répartition de la production entre les centrales;centres et nœuds de tension fixe;
rapport de transformation et échelonnement des prises (s'il y en a) des
transformateurs ;
Nous avons vu dans la partie théorique (première partie, chapitre pre¬
mier) que le régime de fonctionnement d'un réseau à n nœuds est dé¬
fini par 2ra — 1 paramètres algébriques, qui peuvent être des tensions, des
courants, des puissances actives et réactives. S'il y a, dans le réseau,
s transformateurs à rapport variable, le nombre de paramètres nécessaires,
pour que le système soit déterminé, passe de 2ra—1 à 2n—1 + 5.
Afin d'éviter les régimes absurdes il faudra connaître les puissances actives
débitées par les centrales moins une, les puissances actives et réactives
absorbées par les sous-stations. D'autre part, certaines tensions seront
connues, étant réglées à des valeurs fixes, comme les tensions aux bornes
des centrales et aux nœuds de compensation.
Pour compléter les données se rapportant à un régime à étudier, il
peut être nécessaire de faire quelques hypothèses au sujet de la charge,du facteur de puissance aux bornes de certaines stations et sous-stations.
Ces hypothèses seront basées, autant que possible, sur les feuilles de
charge de la période d'exploitation précédente.
Connaissant les impédances et les admittances des différents éléments
à leurs tensions respectives, il faut les ramener à une tension de référence
unique, qui peut être celle de l'un quelconque des éléments du réseau.
On passe ensuite au choix des coefficients de réduction; on est libre
d'en choisir deux, et les autres sont, par ce fait même, déterminés. Ha¬
bituellement, on commence par fixer le coefficient de réduction des tensions,
qui correspondra à la tension nominale de la table, dans les problèmesde régulation, à une tension réduite, dans les cas de courts-circuits. Le
191
second coefficient sera choisi de telle sorte que les courants et les impé¬dances du réseau figuratif demeurent dans les limites des valeurs nomi¬
nales et des possibilités de la table.
En partant des caractéristiques du réseau réel évaluées par rapport à
une base commune, on calcule, à l'aide des coefficients de réduction, les
valeurs proportionnelles qu'il faudra ajuster sur la table.
Ainsi se termine le travail de préparation des données qui serviront
au stade suivant de l'étude. Il importe qu'il soit accompli d'une façon
complète et minutieuse, pour que la mise au point du réseau miniature
s'effectue sans perte de temps.
Afin de pouvoir contrôler et vérifier à tout moment les données, on a
intérêt à disposer de plusieurs copies portant le schéma des réseaux direct,inverse et homopolaire, et à y inscrire successivement:
a) les données et caractéristiques recueillies à l'origine,
b) les valeurs évaluées par rapport à une base commune,
c) enfin les valeurs représentatives sur la table, calculées à l'aide des
coefficients de réduction.
Bien entendu, avant de passer à la table, il faut se fixer clairement
les buts qu'on se propose d'atteindre, les résultats que l'on veut obtenir,et en faire un plan ordonné, point par point. A cette fin, il peut être
utile de convier les ingénieurs et les intéressés à des réunions où ces
questions seront examinées et des décisions prises.
2D Mise au point du réseau miniature. — On met au point les
impédances qui doivent représenter les différents éléments du réseau réel.
Dans le système à unités indépendantes réglables, il suffit d'ajuster les
résistances, les inductances et les capacités en agissant sur les manettes
de commande fixées sur le devant des tiroirs. Dans le système par juxta¬
position, il faut réunir, sur les planchettes, les éléments appropriés.
On affecte aux impédances des désignations (un numéro, par exemple)
que l'on reporte sur le schéma du réseau, ce qui permet de passer du
réseau à la table et inversement, sans confusion.
Après la mise au point des tiroirs, on procède à leur interconnexion
selon le schéma du réseau, et aux points où débitent les centres généra¬teurs, on connecte les régulateurs-déphaseurs statiques. Des autotransfor¬
mateurs sont insérés aux points convenables (en série avec les impédancesde charges et les impédances des transformateurs à prises).
On peut aussi procéder d'une façon inverse dans le système à unités
192
réglables: d'abord le schéma de connexions, ensuite le réglage des élé¬
ments.
On charge enfin la table, en ajustant les conditions terminales des gé¬nérateurs statiques et les tensions connues en certains nœuds, ainsi qu'en
réglant les autotransformateurs des charges, de façon à réaliser les 2re — 1 + s
paramètres connus. Cette opération de réglage relativement simple remplacela solution mathématique, si pénible et généralement impossible, des n
équations vectorielles ou 2re équations algébriques définissant le fonction¬
nement du réseau. C'est là que résident l'intérêt et l'avantage de la table de
calcul.
Quand cette opération est terminée, la table est prête pour les mesures
et pour les études que l'on veut entreprendre (régulation, courts-circuits,
stabilité, etc.).
3° Exécution de l'étude proprement dite. —
a) Etude de fonctionnement normal: Si les charges sont équilibrées,il suffit d'un réseau bifilaire constitué par le circuit d'une phase et un
conducteur neutre de retour. Il n'est pas nécessaire de représenter les
impédances des alternateurs; c'est la tension à leurs barres omnibus qui
importe.
Les valeurs des courants, tensions, puissances et angles de phase sont
mesurées directement au moyen des dispositifs de mesure et enregistréessoit sous forme de tableaux, soit sur des copies du schéma unifilaire.
Pour étudier un autre régime, il faut modifier en conséquence les im¬
pédances des charges et les puissances débitées par les groupes générateurs.
Si les charges sont déséquilibrées, on recourt à un montage triphaséou à trois réseaux monophasés interconnectés d'une façon appropriée [B. 8].
b) Etude de court-circuit: Les machines débitant dans le court-circuit
sont représentées par leurs impédances transitoires, que l'on connecte entre
les nœuds figurant les barres et les sources statiques. On manœuvre
alors pour obtenir les conditions du système avant le défaut, comme pour
l'étude du fonctionnement normal; les sources sont réglées de façon à
obtenir aux nœuds figurant les barres les conditions terminales données.
La f. é. m. fournie par les groupes statiques n'est plus alors la tension
terminale mais la tension interne des machines, derrière l'impédance tran¬
sitoire (et désignée par E dans les équations 8, page 38). Ainsi l'obstacle
qui s'oppose à la solution mathématique exacte des problèmes de courts*
circuits (détermination des tensions internes des machines, en grandeur et
183
en phase, en partant des conditions données du régime normal préexistantau défaut), cet obstacle ne se pose pas pour la table; il est automatique¬ment éliminé par les manœuvres de réglage du système.
Après l'ajustage des conditions normales préalables au défaut, on établit
le court-circuit et on effectue les mesures.
Si le court-circuit est triphasé, il suffit de connecter le circuit de phasedu réseau bifilaire au conducteur neutre de retour, au point de défaut.
Si le court-circuit est dyssymétrique, il faut de nouveau recourir soit à un
montage triphasé, soit préférablement à la théorie des composantes symé¬triques, en interconnectant les réseaux direct, inverse, homopolaire suivant
la nature du défaut (p. 46).
c) Etude de la stabilité: Les machines synchrones étant représentées
par des appareils statiques, la table de calcul n'est pas en mesure de
reproduire physiquement les oscillations pendulaires survenant à la suite
d'une perturbation. Mais le procédé de «pas-à-pas», exposé au troisième
chapitre de la première partie, permet de substituer au régime oscillatoire
une succession de régimes stationnaires que la table peut reproduire et
que l'on peut mesurer, ce qui épargne des calculs très longs.La procédure est succinctement comme suit: ayant réglé la table aux
conditions du système avant la perturbation, en représentant les machines
par leurs impédances transitoires et les forces électromotrices internes
correspondantes, on établit la perturbation (court-circuit, variation de char¬
ge). Cette modification de l'état électrique du réseau entraîne une varia¬
tion des puissances débitées par les générateurs statiques, et la différence
avec les débits antérieurs représente la puissance résultante AP qui agitsur les rotors. Connaissant cette puissance AP, on calcule, à l'aide des
formules développées dans la méthode de pas-à-pas (p. 64), le déplacementangulaire des rotors au bout d'un intervalle de temps A t. La nouvelle
position angulaire est ajustée sur la table en réglant le déphasage des
f. é. m. des sources statiques. Puis on effectue les mesures relatives à
l'intervalle suivant. Et ainsi de suite.
Au cours de la procédure «pas-à-pas», on tient compte, en temps dû,de l'intervention éventuelle de disjoncteurs, en déconnectant, puis en re¬
connectant (s'il y a réenclenchement), les circuits qu'elle affecte.
D'autre part, connaissant à chaque pas la vitesse et l'accélération an¬
gulaires des rotors, on peut tenir compte de l'effet des couples d'amor¬
tissement, de l'action des régulateurs de vitesse dans le calcul de la puis¬sance accélératrice. On peut aussi tenir compte de l'action des régulateursautomatiques de tension en agissant sur les f. é. m. des sources.
194
Grâce à la table de calcul et au procédé de «pas-à-pas», on peut suivre
ainsi, à l'aide de quelques calculs simples entre les régimes successifs, le
développement des oscillations réelles des machines synchrones, jusqu'àce qu'on puisse établir avec certitude s'il y a stabilité ou instabilité.
C. — Limites du champ d'application des tables de calcul
à courant alternatif
La construction et la constitution de la table de calcul à courant alter¬
natif sont caractérisées par les faits suivants:
1° Les machines synchrones sont assimilées à des impédances alimen¬
tées à leur origine par des forces électromotrices réglables en grandeuret en phase. Les réactions internes, longitudinale et tranversale, aux chan¬
gements de régime, la saturation du circuit magnétique, la déformation
de la courbe de tension causée par un déséquilibre, tous ces phénomènescomplexes liés intimement à la nature même de la machine ne sont pas
physiquement reproduits sur la table.
2° Les lignes aériennes et souterraines, à constantes uniformément ré¬
parties, sont représentées sur la table par des circuits équivalents en iz
ou Ta constantes localisées; et les valeurs figuratives d'inductance et
de capacité varient par rapport à la résistance suivant la fréquence adoptéepar la table.
Cette représentation est fidèle lorsqu'il s'agit des conditions aux deux
extrémités, en régime stationnaire. Elle ne l'est plus, lorsqu'on considère
les régimes transitoires avec leurs oscillations amorties à haute fréquence,et leurs ondes mobiles se propageant le long des lignes en s'atténuant
suivant des lois exponentielles.On sait qu'un circuit, possédant de la self-inductance et de la capacité,
oscille avec sa période naturelle, quand ses conditions de fonctionnement
subissent un changement brusque. La fréquence et l'amortissement de ces
oscillations libres dépendent des valeurs individuelles de la résistance, de
l'inductance et de la capacité du circuit, ainsi que de leur mode de répar¬tition. De plus les ondes mobiles de tension et de courant subissent à
chaque discontinuité une réflexion et une réfraction partielles. Pour repro¬
duire fidèlement le phénomène de propagation des ondes, des lignesartificielles à constantes réparties s'imposent.
3° Les éléments constitutifs des tables courantes : résistances, induc¬
tances, ont pratiquement une caractéristique linéaire, c'est-à-dire qu'ils ont
195
des valeurs coustantes indépendamment des courants qui les traversent.
Les conséquences éventuelles de la saturation des circuits magnétiques
des transformateurs et des machines ne sont pas prises en considération.
On sait, par exemple, que la fermeture d'un circuit sur une f. é. m. alter¬
native est accompagnée par une surintensité due à une composante apé¬
riodique amortie (p. 31)-, dans le cas de la mise sous tension brusqued'un transformateur, ou plus généralement d'un enroulement à noyau
magnétique, la surintensité est susceptible de prendre une valeur beau¬
coup plus importante par suite de la saturation du fer. De pareils effets
sont ignorés sur la table.
Par sa conception et ses caractéristiques constructives, la table de cal¬
cul à courant alternatif est destinée essentiellement à l'étude des régimes
permanents ou stationnaires, c'est-à-dire à la détermination des tensionB,
courants, puissances, angles de phase aux différents points d'un circuit
électrique linéaire, pour des conditions définies et établies de forces électro¬
motrices et de charges. Elle ne se prête pas, telle qu'elle est, à l'étude
des caractéristiques des machines synchrones, des circuits non linéaires,
des effets de la saturation, des surtensions d'origine atmosphérique et
d'origine interne, des régimes transitoires à oscillaiions libres de fréquenceélevée déclenchés par un changement brusque dans l'état électrique du
réseau.
Pour étudier les phénomènes transitoires susceptibles de se produiredans un réseau, des dispositifs appropriés ont été mis au point en Amé¬
rique, appelés «Transient Network Analyzer»? fB. 52,61], et comportant:
— des lignes artificielles à constantes réparties ;
— des transformateurs reproduisant avec une fidélité suffisante les effets
de saturation et d'hystérésis;— des résistances et des inductances non linéaires;
— un interrupteur synchrone, comprenant un système de tambours, de
bagues et de balais, entraînés par un moteur synchrone, et réalisant les
opérations de fermeture ou d'ouverture de circuit, une fois à chaque tour,
en synchronisme avec la tension d'alimentation fournie par un alternateur
triphasé ;
— un oscillographe cathodique servant à l'observation et à la mesure
des oscillations de tension et de courant qui accompagnent les changements
brusques de régime; grâce à l'interrupteur synchrone, ces oscillations
t En français, tables de calcul électriques des régimes transitoires, ou analyseurs
de réseaux pour les phénomènes transitoires.
196
transitoires sont répétées à chaque tour des tambours et paraissent sta¬
tionnâmes sur l'écran de l'oscillographe.Ces dispositifs ont aidé à apporter de nombreux éclaircissements sur
la nature et la grandeur des surtensions, d'origines diverses, et à mieux
étudier les moyens de protection contre ces perturbations. Ces études ont
eu jusqu'à présent un caractère général, et il serait intéressant de les
poursuivre, de les approfondir par des modèles plus élaborés représentantle fonctionnement transitoire dans un réseau complexe, ce qui fournirait à
l'ingénieur un nouvel auxiliaire dans la maîtrise des réseaux électriques.
197
Bibliographie
PREMIÈRE PARTIE
Chapitre I
Circuits à courant alternatif; réseaux électriques
1. — F. CAHEN: Réseaux de transport et de distribution d'énergie électrique;tome I.
Librairie de l'Enseignement Technique, L. Eyrolles, Paris 1943.
2. — J. FALLOU : Leçons d'électrotechnique.Édition Gauthier-Villars, Paris 1948/49.
3. — A. BLONDEL : Les courants alternatifs.
Édition J.-B. Baillère, Paris 1933.
4. — CH. LAVANCHY: Méthode générale de calcul des réseaux électriques maillés
en régimes équilibrés et déséquilibrés.
Dunod, Paris 1936.
Théorie des équations algébriques
5. — J. A. SERRET : Cours d'algèbre supérieure.Tome premier, section I, chap. 4 : Des équations simultanées et de l'élimi¬
nation ; théorème de Bezout.
Tome second, section V, chap. 2 : De l'impossibilité de résoudre algébrique¬ment les équations générales de degré supérieur au quatrième.Édition Gauthier-Villars, Paris 1928 (7e éd.).
r, . .. Chapitre IICourts-circuits
6. — J. FALLOU: Courants de court-circuit.
Librairie J.-B. Baillère, Paris 1933.
Théorie des composantes symétriques
7. — C. L. FORTESCUE: Method of symmetrical coordinates applied to the solu¬
tion of polyphasé networks.
A. I. E. E. Transactions 1918, t. 37, 2e partie, p. 1027—1140.
8. — EDITH CLARKE: Circuit analysis of A. C. power Systems.Volume I: Symmetrical and related components.
John Wiley & Sons, New-York; Chapman & Hall, London; 1943.
198
Stabilité Chapitre III
9. — 0. G. C. DAHL : Electric Power Circuits ; theory and applications.Volume II: Power System Stability.McGraw-Hill Book Company, New York and London: 1938.
10. — SELDEN B. CRARY: Power System Stability.John Wiley & Sons, New York, Chapman & Hall, London; 1947.
Amortissement dans les machines synchrones
11. — A. BLONDEL: Application de la méthode des deux réactions à l'étude des
phénomènes oscillatoires des alternateurs accouplés.Revue Générale de l'Électricité, 17 fév.—31 mars 1923, p. 235—531.
12. — R. H. PARK: Two-Reaction Theory of Synchronous Machines.
Part I: Transactions of the A. I. E. E. July 1929, p. 716.
Part II: Transactions of the A. I. E. E. June 1933, p. 352.
DEUXIÈME PARTIE
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13. — H. H. DEWEY et W. W. LEWIS: A device for calculating currents in
complex networks of Unes.
General Electric Review, oct. 1916, p. 901.
14. — W. W.LEWIS: A new short-circuit calculating table.
General Electric Review, août 1920, p. 669.
15. — J. BIERMANNS: Ueber den Schutz elektrischer Verteilungsanlagen gegen
UeberstrOme.
Elektrotechnische Zeitschrift, Berlin, t. 40, 1919, p. 648—653.
16. — J. BIERMANNS: Technische Problème der elektrischen Grosswirtschaft.
Elektrotechnische Zeitschrift, t. 42, 1921, p. 25—28, 51—56, Netzmodell:
p. 81—84.
17. — O. R. SCHURIG: Expérimental détermination of short-circuit currents in
electric power networks.
Transactions of the A. I. E. E., t. 42, février 1923, p. 10—21. Discussion par
R. E. DOHERTY, G. M. ARMBRUST, O. R. SCHURIG: p. 22—23.
L'article de SCHURIG contient une analyse intéressante des erreurs de la
table de calcul à courant continu.
18. — SMITH: Short-circuit calculating board.
Electrical World, t. 84, 1924, p. 308—311.
19. — E. F. PEARSON : System calculating board.
Electrical World, t. 85, 1925, p. 723.
20. — H. F. ZANGGER: Einige Angaben uber eine Widerstandsschalttafel zur ange-
nàherten Bestimmung von Kurzschlussstromstàrken in Verteilungsnetzen.Bulletin S. E. V., t. 18, 1927, p. 713—715.
21. — A. HAMM : Ein einfaches Netzmodell.
El. Wirtschaft, t. 29, 1930, p. 196—199.
199
22. — M. P. OSBURN : The short-circuit calculating table.
The Electric Journal, t. 27, 1930, p. 200—203.
23. — W. C. HAHN: Load studies on the direct-current calculating table.
General Electric Review, t. 35, 1932, p. 77-78.
24. — C. W. BOHNER et G. W. VAUGHAN: Phase faults analyzed on direct-
current calculating board.
Electrical World, t. 97, 1931, p. 1068—1071.
25. — E. KRONE: Betriebs- und Versuchsergebnisse mit den neuen Niederspannungs-Maschennetzen der Berlinor Stâdtischen Elektrizitatswerke AG.
Elektrotechnische Zeitschrift, t. 53, 1932, p. 645—648, 720—723, Netzmodell:
p. 721—722.
26. — Short-circuit calculating table.
General Electric Review, t. 35, 1932, p. 77—78.
27. — Calculating boards.
The Electric Journal, t. 29, 1932, p. 386.
28. — F. CAHEN: Les courants de court-circuit dans les réseaux triphasés. Leur
détermination à l'aide d'une table de calcul électrique.Bulletin de la S. F. E., septembre 1932, p. 924—939.
29. — W. KOCH et R. VOLZING: Netzwiderstandsabbild zur Bestimmung der
Stromverhâltnisse in Netzen.
Siemens-Zeitschrift, 1.14, juin 1934, p. 197—201.
30. — R. JIRETZ: Aufbau und Verwendung von Netznachbildern.
A.E.G.-Mitteilungen, novembre 1939, p. 481—487.
31. — G. H. MARCHAL: La détermination des courants de défaut dans les réseaux
à l'aide d'une table de calcul électrique.Bulletin de la Société Belge des Électriciens, 57e année, oct—déc. 1941,
p. 180-204.
TROISIÈME PARTIE
Lignes artificielles
32. — M. I. PUPIN : Propagation of long electrical waves.
Transactions of the A. I. E. E., t. 16, 1899, p. 93—142.
33. — W. S. ALDRICH and G. W. REDFIELD: Performance of an artificial forty-mile transmission Une.
Transactions of the A. I. E. E., t. 18, p. 339—360.
34. — J. H. CUNNINGHAM: Design, construction and test of an artificial trans¬
mission line.
Transactions of the A. I. E. E., t. 30, 1911, p. 245-256.
35. — A. E. KENNELLY and H. TABOSSI: Artificial power transmission line.
Electrical World, t. 59, 1912, p. 359.
36. - A. KENNELLY and F. W. LIEBKNECHT: Measurement of voltage and
current over a long artificial power-transmission line at 25 and 60 cycles
per second.
Transactions of the A. I. E. E., t. 31, 1912, p. 1131.
200
37. — K. W. WAGNER: Eine neue kunstliche Leitung zur Untersuchung von
Telegraphiestromen und Schaltvorgângen.Elektrotechnische Zeitschrift, t. 33, 1912, p. 1289.
38. — MAGNUSSON and S. R. BURBANK: An artificial transmission line with
adjustable line constants.
Transactions of the A. I. E. E., t. 35, 1916, p. 1137.
39. — F. S. DELLENBAUGH: Artificial transmission Unes with distributed constants.
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Discussion par J.F.PETERS, O.R.SCHURIG, D.C.JACKSON, H.W.BUCK,F. S. DELLENBAUGH, dans:
Journal of the A. I. E. E., t. 42, déc. 1923, p. 1343—1347.
Réseaux miniatures
40. — G. H. GRAY: Design, construction and tests of an artificial power trans¬
mission line for the Telluride Power Company of Provo (Utah).
Transactions of the A. I. E. E., t. 36, 1917, p. 789—831.
41. — 0. R. SCHURIG: The solution of electric power transmission problems in
the laboratory by miniature circuits.
General Electric Review, t. 26, 1923, p. 611—618.
42. — 0. R. SCHURIG : A miniature A. C. transmission System for the practicalsolution of network and transmission System problems.Transactions of the A. I. E. E., t. 42, 1923, p. 831—838.
Discussion par G. M. ARMBRUST, V. BUSH, 0. R. SCHURIG, dans:
Journal of the A. I. E. E., t. 42, 1923, p. 1347 -1349.
43. — R. D. EVANS and R. C. BERGVALL: Expérimental analysis of stability and
power limitations.
Transactions of the A. I. E. E., t. 43, 1924, p. 39—58.
Tables de calcul électriques à courant alternatif
44. — H. H. SIENCER and H. L. HAZEN: Artificial représentation of power
Systems.
Journal of the A. I. E. E., t. 44, 1925, p. 24—31.
45. — H. H. HAZEN, 0. R. SCHURIG and M. F. GARDNER: The M. I. T. network
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46. — H. A. TRAVERS and W.W.PARKER: An alternating-current calculatingboard.
The Electric Journal, t. 27, 1930, p. 266-270.
47. — W. W. PARKER: Power network problems solved with the A. C. calculatingboard.
The Electric Journal, t. 32, 1935, p. 227.
48. — H. P. KUEHNI and R. G. LORRAINE: A New A. C. Network Analyzer.Electrical Engineering, Transactions, t. 57, février 1938, p. 67—73.
49. — H. S. BLACK: Stabilized Feedback Amplifiers.
Electrical Engineering, t. 53, janvier 1934.
201
H. A. THOMPSON : A stabilized amplifier for measurement purposes.
Electrical Engineering, Transactions, t. 57, juillet 1938, p. 379—383.
W. W. PARKER: The modem A. C. Network Calculator.
Electrical Engineering, Transactions, t. 60, novembre 1941, p. 977.
H. A. PETERSON and C. CONCORDIA : Analyzers for use in Engineeringand scientific problems.General Electric Review, t. 48, septembre 1945, p. 29.
La bibliographie qui fait suite à l'article renseigne abondamment sur les
divers problèmes spéciaux qui ont été étudiés au moyen de la table de
calcul à courant alternatif et les publications qui s'y rapportent.
I. D. RYDER and W. B. BOAST : A new design for the A. C. Network
Analyzer.Electrical Engineering, Transactions, t. 65, octobre 1946, p. 674-680.
P. 0. BOBO, H. A. TRAVERS and E. E. GEORGE: Emploi des tables à
calcul à courant alternatif pour l'étude et l'exploitation des réseaux élec¬
triques.Conférence Internationale des Grands Réseaux Électriques à Haute Tension,Session 1948, Rapport n° 328, t. III du « Compte-Rendu des Travaux » établi
par M.-J. TRIBOT-LASPIÈRE, Paris.
W. KOCH: Das Wechselstromnetzmodell der Siemens-Schuckertwerke.
Siemens-Zeitschrift, t. 20, janvier-février 1940, p. 20—24.
An A. C. network analyzer.The Engineer, novembre 1947, p. 442—444.
F. CAHEN : Une nouvelle table à calcul à courant alternatif.
Revue Générale de l'Électricité, t. 58, février 1949, p. 49—61.
Ein Wechselstrom-Netzmodell fur Oesterreich.
Oesterreichische Zeitschrift fiir Elektrizitâtswirtschaft, juillet-août 1948, p. 19.
G. H. MARCHAL : Tables de calcul électriques.Bulletin de la Société Belge des Électriciens, juillet-septembre 1948.
W. ERBACHER : Aufbau und Anwendung des osterreichischen Netzmodelles.
Oesterreichische Zeitschrift fiir Elektrizitâtswirtschaft, t. 3, 1950, n" 11.
H. A. PETERSON : An electric circuit transient analyzer.General Electric Review, septembre 1939, p. 394.
Curriculum vitae
Né le 21 décembre 1924 à Alexandrie (Egypte), j'ai fait mes
études primaires et secondaires dans la section égyptienne du
Collège Saint-Marc des Frères des Écoles Chrétiennes. Elles se
terminèrent, en juin 1940, par l'obtention du baccalauréat égyptien.Après une année dite d'orientation dans la section de Mathé¬
matiques, je fus admis à la Faculté Polytechnique de l'Université
Farouk Ier, inaugurée le 3 janvier 1942, et en juin 3946, j'obtinsavec distinction le diplôme d'ingénieur électricien.
Sur ce, le Ministère des Travaux Publics me choisit pour être
envoyé à l'étranger avec la mission de préparer une thèse de
doctorat et faire un stage pratique. C'est ainsi que je suis venu à
Zurich, à l'École Polytechnique Fédérale, où. sous les directives
du Professeur Dr. B. Baceb, expert à la commission internatio¬
nale du projet hydroélectrique d'Assouan, j'ai travaillé à la pré¬sente thèse (années 1947 à 1950).
Actuellement, je fais un stage pratique aux « Elektrizitâts-
werke des Kantons Zurich » et aux « Nordostschweizerische
Kraftwerke», avant de rentrer en Egypte au service du gou¬
vernement.
Au Professeur Batjeb, qui m'a aidé tout le long de ma mission
et qui m'a appris à envisager les problèmes d'une manière claire,réaliste et humaine, j'exprime ici ma reconnaissance sincère.
Je tiens aussi à remercier son assistant principal à la Chaire
d'Électrotechnique Appliquée, Dr. J. R. Oehler, ainsi que les
membres de son bureau, Dr. jur. Gr. Lorenz et Mademoiselle
L. Kessler, pour toute l'aide qu'ils m'ont apportée.
Zurich, mai 1951. Mansour Aziz Hobeika.