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  • Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public

    LES OLYMPIADES ACADÉMIQUES

    DE MATHÉMATIQUES

    2009

    Brochure APMEP no 190 No ISBN : 978–2–912846–64–8 c©APMEP, 26 rue Duméril, 75013 Paris, janvier 2010

  • 2 Olympiades académiques - 2009

    Pour l’APMEP, notre enseignement des mathématiques

    doit se préoccuper, avec un égal intérêt pour eux tous,

    des

    HUIT MOMENTS d’une vraie formation

    scientifique :

    - Poser un problème, modéliser.

    - Expérimenter.

    - Conjecturer.

    - Se documenter.

    - Bâtir une démonstration.

    - Mettre en œuvre des outils adéquats.

    - Evaluer la pertinence des résultats.

    - Communiquer.

  • Olympiades académiques - 2009 3

    SOMMAIRE

    Textes généraux

    Préface - J.P. Bardoulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Rapport - R. Jost - J.P. Beltramone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Commentaires et synthèse - P.L. Hennequin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Sujets nationaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

    Sujets académiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    Aix-Marseille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Amiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Besançon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bordeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Caen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Clermont-Ferrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Corse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Créteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Dijon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Grenoble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Lille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Limoges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Lyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 Montpellier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

  • 4 Olympiades académiques - 2009

    Nancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Nantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Orléans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Poitiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Reims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Rennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Rouen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Strasbourg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Toulouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Versailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    Dans chaque académie, l’épreuve de quatre heures portait sur ses deux sujets et les deux nationaux. Dans certaines académies, on note des sujets différenciés suivant les sections.

    Dans cette brochure, les sujets académiques sont numérotés dans l’ordre de leur apparition sur les feuilles remises aux participants.

  • Olympiades académiques - 2009 5

    PRÉFACE C’est pour des raisons économiques que cette neuvième brochure des Olym- piades académiques de mathématiques n’est pas éditée en version « papier » mais est directement mise en ligne sur le site de l’APMEP. Réalisée avec le même soin, les mêmes exigences et la même rigueur que les précédentes édi- tions elle y gagne des couleurs et il est possible de la télécharger gratuitement.

    Depuis 2005, ces Olympiades sont ouvertes aux élèves de première de toutes les sections, parfois par des sujets spécifiques. Leur poids repose sur un groupe national et des cellules académiques présidées par un IA–IPR ou un professeur et réunissant des formateurs expérimentés. La conception des sujets doit satisfaire plusieurs critères : s’ancrer dans les programmes sans pour autant requérir trop de savoirs, valoriser les démarches fondamentales (expérimenter, conjecturer, imaginer, prendre des initiatives. . . ), stimuler sans décourager, favoriser l’épanouissement et la jubilation de tous les candidats en leur donnant des motifs de satisfaction.

    Nombreux sont, dans cette brochure les énoncés qui réussissent ce tour de force. Que leurs auteurs en soient chaleureusement félicités ! D’autres sont de classiques applications de cours de maths de Seconde ou Première, voire de ni- veaux supérieurs. D’autres au contraire sont indépendants de tout programme, originaux voire audacieux mais se vivent mal en temps limité. Cependant la réunion de 88 sujets offre une séduisante et inégalable diversité pour travailler sans contrainte de temps.

    Félicitons donc le groupe national et les cellules académiques ! Grâce à eux tous, cette brochure, comme les huit précédentes toujours disponibles à l’APMEP, offre à tous les collègues mathématiciens, de la fin du Collège à la classe de Première, un trésor de sujets bien estampillés, capables d’intéresser et de passionner, selon l’objectif que l’on s’assigne dans divers champs d’activité.

    Faisons donc connaître ces Olympiades afin qu’elles rassemblent tous les élèves motivés !

    Rappelons que l’APMEP souhaite depuis le début que les candidats et leurs professeurs soient informés de leur performance : il faudrait pour cela que toutes les académies aient les moyens de donner dès qu’ils sont connus :

    - les taux de réussites aux différentes questions

    - les tentatives et essais originaux

    - une brève fiche d’évaluation de chaque élève

    Que soient remerciés les divers intervenants de cette brochure :

  • 6 Olympiades académiques - 2009

    - Rèmy JOST et Jean-Paul BELTRAMONE, respectivement Pré- sident et Vice-Président nationaux de ces Olympiades qui les ont animées avec enthousiasme et nous ont procuré en temps voulu la plus grande par- tie des documents rassemblés dans cette brochure,

    - les animateurs des cellules académiques, surtout ceux qui four- nissent non seulement les sujets, mais des solutions complètes et des commentaires sur les productions des candidats,.

    - Jean BARBIER, qui sans ménager sa peine et toujours généreux de sa passion pour l’APMEP a cherché sur les sites académiques les sujets manquants puis a harmonisé et intégré l’ensemble à la maquette finale avec sa compétence, sa gentillesse de tous les instants et son amicale disponibilité souvent mise à l’épreuve,

    - Paul-Louis HENNEQUIN, qui a rédigé les solutions quand elles étaient absentes et effectué des comparaisons portant à la fois sur les thèmes les plus fréquents et sur la difficulté, la longueur et l’originalité des énoncés et de leurs solutions,

    - André GUILLEMOT, qui, comme les années précédentes a recherché tous les exercices dont une solution reposait sur l’utilisation de la calcu- latrice

    - Aberrahim OUARDINI qui a fourni des solutions originales et des compléments pour les sujets de Bordeaux

    MERCI CHALEUREUSEMENT A TOUS . . . , avec l’espoir que des exercices et solution