les clefs des énigmes mathématiques

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  • AUX DITIONS LES CLEFS DU SAVOIR

    Dans la mme collection, de Benot Dubuis : JejoueaveclesSciencesdelavie

    (illustrations Rachel Chevrier, Prface du Prof. Luc Montagnier, Prix Nobel 2008)

    JinnoveCommentgrersoninnovation:delideaumarch(illustrations PECUB ; Prface de Doris Leuthard, Conseillre fdrale ; Elmar Schnee, CEO Merck Serono ; Patrick Aebischer, Prsident EPFL et Jean-Dominique Vassalli, Recteur de lUniversit de Genve)

    Papa,jeseraibiotechnologiste(illustrations PECUB, Prface du Prof. Werner Arber, Prix Nobel 1978). Disponible en version Fr, GB, D, J, Esp.

    En bande dessine : Numberone-Tome1TheHealthValley

    (scnario : Benot Dubuis - dessins : Olivier Ferra), 2011 (Disponible en version Fr, GB)

    Numberone-Tome2Relocation(scnario : Benot Dubuis - dessins : Olivier Ferra), 2013

    Aparatre:Numberone-Tome3Next.Parutiondbut2014(scnario : Benot Dubuis - dessins : Olivier Ferra)

    Les Clefs des nigmes mathmatiques

    Augustin Genoud

  • 1

    NOUS SOMMES TOUS DES AMATHEURS Ilesttonnantque les jeuxmathmatiquessoientautantpriss,sachantcombien lamatireestredouteparnombredadultes(quisenorgueillissentdeleuraversion!).Cestunenigmelogique.

    Plusieursraisonsexpliqueraientceparadoxalengouement:ledsirdecomprendre,lasatisfactiondevoirfonctionnersespetitescellulesgrises,ledfisportifrelever,ltonnement de dvoiler une vrit cache Tout cela est rsum dans la phrasesibyllineaimerlesmathmatiques.

    Et ce got pour les problmes ludiques existe, du petit colier au plus grandmathmaticien.Jaieu lachancedepartagerundneravecdeuxmdaillsField (lamdailleFieldest,pour faire simple, lquivalentduprixNobelenmathmatiques),AlainConnesetMaximKontsevich.Audbutdurepas,MaximKontsevichposa lacantonade une question mathmatique dnonc simple comme celles prsentesdans ce livre (peut-tre un peu plus dlicate,mais gure). Les convives, une demi-douzaine,lanotrent,maisAlainConnes,toutenparticipantlaconversationgnrale,maillasonrepasderemarquesconcernantlarsolutiondeceproblmeetneutdecessedentrouverlasolution,quilexposacompltementaudessert,avecvidemmentdesgnralisationspossibles.

    Lintrtdesplusgrandspourlesquestionslespluspetitesest-ilsitonnant?Ou,sinousreformulonslaquestion:existe-t-ildepetitesmathmatiques?Lediagnosticestbien difficile car nombre de recherches actuelles rsultent de lapprofondissementdunequestiontellequecellesprsentesdanscelivre.

    Ainsi lanalysediophantienne,larechercheoprationnelleetbeaucoupdequestionsdegomtriesontissuesdunpetitexercice,duneamusette.

    ditorial

    Philippe BoulangerFondateur et ancien directeur de la revue Pour la Science

    Prix dAlembert 2006 de la Socit Mathmatique de France

    Tousdroitsdetraduction,dereproductionetdadaptationstrictementrservspourtouspays.

    www.clefs-du-savoir.com

    Les Clefs des nigmes MathmatiquesPremiredition

    2013,lesClefsduSavoirCP76,CH-1015Lausanne978-2-9700593-6-3(CDS,LesClefsdesnigmesMathmatiques,FR2013)

    ImpressumDirectionartistique:messaggio,GenveCetalbumatimprimparnaturaprint,surunpapierissudefortsgresdurablement.

    >> ditorial

  • 32

    Table des matires

    DITORIAL................................................................................................................................1

    INTRODuCTION......................................................................................................................4

    PERSONNAGES.......................................................................................................................6

    REMERCIEMENTS....................................................................................................................8

    NOTES.......................................................................................................................................9

    A. Allerduplussimpleaupluscompliqu...........................................................................10B. JeuxdeNim.......................................................................................................................14C. Relationsproportionnellesetinversementproportionnelles....................................... 20D. Logigrammes.....................................................................................................................24E. ges,annesetsommesdargent...................................................................................28F. Cryptarithmes.....................................................................................................................32G. quationsdiophantiennes............................................................................................... 36H. Comptages........................................................................................................................ 40I. Vitesses.............................................................................................................................. 44J. Objetspivotantlelongdautresobjets.......................................................................... 48K. Gomtrie......................................................................................................................... 54L. Longueurs,airesetvolumes............................................................................................ 58M. Dnombrements............................................................................................................... 62N. Probabilits....................................................................................................................... 66O. Menteurs,JustesetRoublards.........................................................................................70P. changes............................................................................................................................76Q. Traverses.......................................................................................................................... 80

    SOLuTIONS........................................................................................................................... 85

    RFRENCES........................................................................................................................178

    POuRACCOMPAGNERVOSRFLExIONS......................................................................181

    >> table des matires

    Ainsi, les problmes de parcours optimisant une somme, par exemple la longueurtotaledestrajetsparcourus,sontlobjetderecherchestrsactuelles.Ilsfontpartiedesproblmeso laprogrammation semble facile,maiso lenombredecaspossiblesdevientvitesigrandquelamthodedexamendechaquecasesthorsdeportedesordinateurs,parfoisjamais.Cesprolongementsfontquelesmathmatiquessontunescience vivante qui a pour but de trouver des mthodes de calcul plus adaptes,notammenten informatique.Cettedmarche rpond laquestion souventpose :quefontlesmathmaticiens?

    Desurcrot,nulnesaitquellesmathmatiquesserontimportantes,etlesbranchesdesmathmatiques les plus loignes de la vie courante se rvlent quelquefoisindispensables.GodefroyHardy(1877-1947),legrandspcialisteanglaisdelathoriedesnombres,clamait:Jenaijamaisfaitquelquechosedutile.Ilnepouvaitplusse tromper: aujourdhui la thorie des nombres, sa spcialit, est au centre de laconception des codes secrets, notamment le code de notre carte bleue. Lesmathmatiquessontunapprofondissementdelaralitetcelle-ciressurgitloonnelattendpas.

    Laprogressiondans lesquestionsposesdans louvrage,encourage : lesexercicessimplesmettentenconfiance.Fortdesespremierssuccs,lelecteursaitalorspasserdesquestionspluscomplexes,et,cefaisant,dcouvreunemthode,unethorieetventuellementuneformuleentrevuepartirdecasparticuliers.Quandlacuriositestpique, le dsir est de la satisfaire et, connaissant lexistence de divers domainesmathmatiques,lelecteurchoisiradapprofondirceluiquiluioffreleplusdattraitenpoursuivantdautreslectures.

    Aussi,tellelaconsommationdunedroguebnfique,lapratiquedesjeuxmathma-tiquesentraneaccoutumanceetdpendance.Accoutumance, car le lecteurende-manderatoujourspluspourvoirlesmultiplesaspectsdunequestion,dpendancecaril lui faudrasondfiquotidien.LemathmaticienprolifiqueJohnHortonConwaysemetenjambechaquejourenrsolvantunpuzzleproposparundesesamis.Puisilpoursuitsesrecherches.

    Il est tonnant, presque draisonnable, les exemples de ce livre en tmoignent,quautant de situations soientmathmatisables. Lamathmatisation dune situationapporteunclairagenouveau,unerflexioninattenduequiguidenosdcisions.Etlaconnaissance de la bote outils mathmatiques amnera le lecteur analysermathmatiquementcertainesquestions:ildpassera,cefaisant,lesquestionsquonluiposepourdciderdesquestionsquilsepose,certainementlesplusintressantessesyeux!

    NousvivonslapassionquelancienprofesseurAugustinGenoudexprimedanssonouvrage.Ilsavaitcertainementfairerespirer,parcesexemples,desprogrammesdemathmatiquessouventbiencontraignantsetlimits.Nousaurionsaimstredeseslves.

    Philippe BoulangerFvrier 2013

    >> ditorial

  • 54

    Introduction

    Pour rsoudre une nigme, du papier et de quoi crire suffisent presque toujours.Quelquespagesenfind'ouvragevoussontd'ailleursrservesceteffet.Parfois, ilfautgalementunecalculatricecapabledeffectuerlesoprationsdebase,unergle,un compas et une querre. Il faut souvent explorer diffrentes pistes et parfoisabandonnerlarecherchependantuncertaintemps.uneidepeutjaillirtoutmomentetentoutesoccasions,quecesoitdurantunerunionennuyeuseaexiste,danssavoiture,enfaisantdusport,danssonlit.Sivosrecherchesvousconduisentfairedenombreuxetfastidieuxcalculs,ilyafortparierquevousnavezpasprislameilleurevoiequiconduitlasolution.Danstoutenigme,ilpeutyavoirplusieurssolutionsouuneseuleouaucune.Silyenaplusieurs,ilfautlestrouvertoutes,mmesicelanestpasprcisdansladonne.

    Certaines nigmes de cet ouvrage sont de mon invention, dautres sont inspiresdnigmesrencontresicioul,enfin,quelques-unesonttreproduitestellesquejelesaidcouvertesauhasarddemeslectures.Jairenoncciterlenomdesauteurscarilma paru tout simplement impossible de les connatre vritablement tant donnquunemmenigme,ousaversion lgrementdiffrente,peuttretrouveendemultiplesendroits,souslenomdediffrentsauteurs.Cependant,vousdcouvrirezenfind'ouvragequelquesrfrencesquivouspermettrontdorientervosrecherchesversdenombreusesautresnigmes.

    Dans le prolongement de cet ouvrage, jai cr un site:www.jeuxmath.ch. Vous ytrouverezdautresnigmesainsiquediversescuriositsmathmatiques.Vouspourrezaussimetransmettretoutesvosremarques.

    Avant de vous lancer dans la rsolution des nigmes, lisez encore attentivement lapartieNotesquisuit.

    Jevoussouhaitebeaucoupdeplaisirrsoudrelesnigmesdecetouvrage,etendcouvrirlesClefs.

    Augustin Genoud

    unenigmeestunjeudespritconsistantfairedcouvrirdessolutionsaumoyenduncertainnombredindices.Commelindiqueletitredecetouvrage,lesindicessonticidenaturemathmatiqueetlogique.Ilnyapasdepigesdanslesdonnes.Touteslesnigmespeuventtrersoluespardesraisonnementsexigeantpatience,intuition,lo-gique,ingniositetopinitret.

    unenigmeestqualifiedebellelorsquelnoncestprcis,clair,concis,amusant.Elledoitgalementsusciterdelacuriosit,cettecuriositquivanouspousservouloirlarsoudre.Sienplus,sarsolutionpassepardescheminsquinencessitentpasluti-lisationdesmathmatiquestraditionnelles,alorsonpeutdirequecestunemagnifiquenigme.Parfois,labeautdunenigmenapparatquaumomentoonessaiedelarsoudre.

    Ilexistedesquantitsdelivres,revuesetsitestraitantdesnigmesmathmatiques.Cetouvragealambitiondapporterquelquechosedenouveaudanslesensquelesnigmesonttregroupesparthmes,et,auseindecesthmes,lesnigmesappa-raissent dans un ordre croissant de difficults. Dans chaque thme, les premiresnigmespeuventtreabordesvers10ansetlesderniresnepourronttrersoluesquepar les plus chevronnsqui dcouvriront parfois des astucesquasiment jamaistudies dans les cours traditionnels demathmatiques. une solution dtaille estdonnepourchacunedes161nigmes.Ilestconseilldedbuterchaquethmeparlesnigmes lesplusfacilesafindebiensaisir le lienet laprogressiondesdifficultsentrelesnigmesdunmmethme.Chacunsarrteraaumomentolnigmepropo-seluisembleratropdifficilersoudre.Ilpourralareprendrequelquesmois,voirequelquesannesplustard.

    Essayeztoujoursdersoudrelesnigmesavantdallervoir lessolutionscar,nelou-blions jamais, le vritableplaisir consiste rechercher les solutionsetnonpas lesconnatre.

    Ilexisteuneinfinitdnigmes.Ellesnepeuventpastoutestreclassesdansundesthmesdecetouvragetantledomaineestvasteetvari.Cestcequifaitlabeautdeceloisir intelligent,captivantet ludique.Toutefois, larsolutionduneseulenigme,quelsquesoientsadifficultetsondomaine,vousferaprogresserlentementpeut-tremaissrementetvouspermettradenrsoudredautres,deplusenplusdifficiles.

    >> introduction>> introduction

  • ValentineUne fleur bleue qui n'aspire qu' l'vasion dans la lecture

    LouisLe prtentieux imbuvable et assez invitable

    Fiston et AugustinLe fils de Louis et son matre dcole

    MargotteLa psychorigide qui aime moins les pomesque les hommes forts

    Ils vont vous accompagner!

    ArthurSon poux, qui se veut pote, artiste alors que sa Margotte cherche le convertir en vrai homme

    les figurants

    Dcouvrez le livre qui bouleversa la quitude de Valentine, Louis, Benot, Margotte et Arthur. Leur vie en fut transforme, et leur destin ?

    BenotLe rvolutionnaire impatient, si vous le voyez, assurez-vous qu'il ne s'agit pas de son ombre

    et...

    par Rachel Chevrier

    76 >> les personnages>> les personnages

  • 98 >> notes

    Notes

    > Cesnotessontdestinesessentiellementceuxdontlcolenestplusquunlointainsouvenir.

    > Lesignedelamultiplicationseratoujoursnotparunpoint.Exemple:3.7=21.

    > Lesymbole signifieilsensuitoudoncouparconsquent.JesuisValaisanjesuisSuisse(jesuisvalaisan,doncjesuisSuisse).

    > Chiffre:enmathmatiques,ilnexisteque10chiffres:0,1,2,3,4,5,6,7,8et9.

    > Nombre:touslesnombrespeuventtrecritspartirdes10chiffresindiqusci-dessus.324;12,85;4456;0,879;etc.sontdesnombres.7estlafoisunchiffreetunnombre.

    > Corde:cestunsegmentreliantdeuxpointsquelconquesduncercle.

    > Cercle:cestlensembledespointssitusgaledistancedunpointdonn.Lintrieurducerclenappartientpasaucercle.

    > Disque:cestunesurfacelimiteparuncercle.Lecercleappartientaussiaudisque.

    > N = nombres entiers naturels.Cestlensembledetouslesnombresentierspositifs:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,etc.

    > Z = nombres entiers relatifs.Cestlensembledetouslesnombresentiers,ngatifsetpositifs:,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,etc.

    > PGDC:plusgranddiviseurcommun.PGDC(18;24;42)=6.

    > Triangle isocle:cestuntrianglequiaaumoinsdeuxctsisomtriques.

    > Croquis:cestundessinsurlequelleslongueurset/oulesanglesnontpasforcmentlesbonnesmesures.

    corde

    cercle

    disque

    >> remerciements

    Mercitouslespassionnsdnigmesmathmatiquesetlogiquesquiontacceptderelirediversespartiesdecetouvrageetquimontfaitpartdeleursprcieusesremarques: Jrme Gavin, Bernard Aymon, Ginette Genoud, Virginie Bhler,MichelCombe,GuyGenoud,LiseGilgien,YvesBarmazetAlainRossier.

    MerciMonsieurPhilippeBoulanger,anciendirecteurdelardactiondumagazinePourlaScience,quiaacceptdeprfacercelivre.

    Merci Madame Rachel Chevrier qui a su se jouer demes nigmes dans sesillustrations.

    MerciMonsieurBenotDubuis,pourlaconfiancequilmatmoigneetquiarendupossiblel'ditiondecetouvrageauxditionsLesclefsdusavoir.

    Pourpoursuivrel'aventureavecl'auteurdecelivre: www.jeuxmath.ch

  • quoi ?un livre dnigmes

    mathmatiques?

    Le livre, Margotte et ArthurArthur,jai un cadeaupour vous !

    cela ferade vous

    un homme,PARDI !

    oh ouicela

    vous siedsi bien

    1110

    nigme A1 .................................................................................................... solution p.86> Lesoldunesallerectangulaireestrecouvertde20carreaux,tousidentiques,commeindi-qusurlafigureci-dessous.Alasuitedunesecoussesismique,tous lescarreauxtraver-ssparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurs.

    > Combiendecarreauxfissursfaudra-t-ilremplacer?

    nigme A2 .................................................................................................... solution p.90> Lesoldunesalle rectangulaireest recouvertdecarreaux, tous identiques.Onencompte10surlalongueuret8surlalargeur.Alasuitedunesecoussesismique,touslescarreauxtraverssparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurs.

    > Combiendecarreauxfissursfaudra-t-ilremplacer?

    En ralit, les 9 premires nigmes de cet ouvrage (A1 A9) ne

    constituent pas vraiment un thme. Elles servent dmontrer que pour

    rsoudre bon nombre dnigmes il faut souvent aller du plus simple au plus compliqu. Une technique trs pratique et peu

    connue permettant de savoir si la relation liant deux ensembles est une

    fonction polynomiale et, si cest le cas, de trouver cette fonction prsente

    dans la solution de lnigme A7.

    nigmes A

    >> aller du plus simple au plus compliqu

  • 1312

    nigme A6 ...................................................................................................solution p.116> AlineetDenisontgrandi(voirlesdeuxnigmesprcdentes).Aujourdhui,cestlejourdeleurmariage.126personnessontprsentes,mariscompris.Chacunedellessaluetouteslesautres.

    > Combiencelafait-ildepoignesdemain,entout?

    nigme A7 .................................................................................................. solution p.125> Axeladorelesprunes.Ilenaentreposunegrandequantitavecbeaucoupdesoin.

    > Malheureusement,lesprunesontpourripetitpetit.Aprsunesemaine,uneseuletaitpourrie.Aprs2semaines,toutescellesquitaientctdelapremireprunepourrieontpourrigalement.Aprs3semaines,toutescellesquitaientctdesprunespourriesprcdemmentontaussipourri.Et ainside suite,pour toutes lessemainessuivantes.AlnigmeA3,onvoitcommentlesprunesonttentreposesetdequellemanireellesontpourri.

    > Combienyavait-ildeprunespourriesaprs100semaines?

    nigme A8 ...................................................................................................solution p.137> Lesoldunesalle rectangulaireest recouvertdecarreaux, tous identiques.Onencompte260surlalongueuret143surlalargeur.Alasuitedunesecoussesismique,touslescarreauxtraverssparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurs.

    > Combiendecarreauxfissursfaudra-t-ilremplacer?

    nigme A9 ...................................................................................................solution p.152> Centpointsonttmissurleborddundisque,demaniredistincte.Ontracetouteslescordesreliantles100pointsentreeux.

    > Encombiendemorceaux,aumaximum,cescordesdivisent-ellesledisque?

    >> aller du plus simple au plus compliqu 12

    nigme A3 .................................................................................................... solution p.94> Eloaneadorelesprunes.Elleenaentreposune grande quantit, avec beaucoup desoin.

    > Malheureusement, les prunes ont pourripetitpetit.Aprsunesemaine,uneseuletaitpourrie.Aprs2semaines,toutescellesqui taient ct de la premire prunepourrie ont pourri galement. Aprs 3semaines,toutescellesquitaientctdesprunes pourries prcdemment ont aussipourri. Et ainsi de suite, pour toutes lessemainessuivantes.

    > Lesfiguresci-contremontrentcomment lesprunes ont t entreposes. Il y en abeaucoup plus mais on ne peut pas lesreprsentertoutes.Onyvoitlaprunepourrieaprs une semaine ainsi que les prunespourriesaprs la2mesemaineetaprs la3mesemaine.

    > Combienyavait-ildeprunespourriesaprs6semaines?

    nigme A4 .................................................................................................. solution p.100> Alinefteses10ans.Dunseulcoup,ellesouffleles10bougiesdesongteaupuislesmetdectcommeellelafaitchacundesesanniversaires.

    > Combiena-t-elleaujourdhuidebougies,entout?

    nigme A5 ...................................................................................................solution p.107> Denisfteses12ansaujourdhui.Ilainvitses10meilleurscopainspourmangerdescrpes.Lorsquilssequittent,chacunsaluetouslesautresdunepoignedemain.

    > Combienya-t-ileudepoignesdemain,entout?

    >> aller du plus simple au plus compliqu

  • Le livre, Arthur, Margotte et la posie...

    alors cesnigmesARTHUR?

    Ah Margotte,quelle posie

    a m'inspireun pome!

    et si je fuyais comme un pleutre?

    comment peut-on perdreson temps avec des

    allumettes?

    vous n'alleztout de mme pas travestir les mathmatiques

    Arthur!

    k!?

    un pome enpieds de nim

    sortez faire

    un tour

    1514

    nigme B1 ..................................................................................................... solution p.86> AlbertetBenotontpossurunetableuntasde5allumettes.Atourderle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

    > Combiendoit-ilprendredallumettessonpremiercoupsilveuttresrdegagner?

    nigme B2 ..................................................................................................... solution p.90> AlbertetBenotontpossurunetableuntasde7allumettes.Atourderle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2ou3allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

    > Combiendoit-ilprendredallumettessonpremiercoupsilveuttresrdegagner?

    Ce thme est consacr aux jeux de Nim, des jeux qui se jouent deux et qui, forcment, aboutissent une fin. La recherche des tactiques

    gagnantes est passionnante. Une partie thorique est donne dans la

    solution de lnigme B4.

    nigmes B

    >> jeux de Nim

  • 1716 >> jeux de Nim

    nigme B7 ....................................................................................................solution p.127> Deuxpionsnoirsetdeuxpionsblancssontplacs aux extrmits de deux colonnescomme sur la figure ci-contre. Chaquejoueur,tourderle,doitavanceroureculerundesespionsdunnombrequelconquedecases (auminimumunecase), sanschangerde colonne. un pion ne peut pas occuperunecasedjprisenipasserpardessusunautre pion. Le premier joueur qui ne peutplus jouer a perdu. Cyprien joue avec lespions noirs et Jean avec les pions blancs.CestCyprienqui commence. Il avance sonpionnoirjusqulacased.

    > QuelletactiquedoitalorsadopterJeanpourtresrdegagner?

    nigme B8................................................................................................... solution p.138> un cavalier dchecs se trouve initialementsurlacaseB5dunchiquiertraditionnelde8 cases sur 8 cases. Mais ce cavalier estparticulier car il ne peut faire que 4mouvements: monter verticalement de 2casesetsedplacerdunecaseversladroiteou vers la gauche ou se dplacerhorizontalementde2casesversladroiteetmonter ou descendre dune case. Donc,depuislacaseB5,ilnepeutallerquenunedescasesx,y,zouw.Lecavaliernepeutpassortir de lchiquier. Jules et Amandine ledplacenttourderlejusqucequundesdeuxnepuisseplusjouer.Lepremierjoueurqui nepeutplus jouer aperdu.Cest Julesquicommence.

    > Comment doit-il jouer son premier couppourtresrdegagner?

    87 x y6 z5 o4 w321

    A B C D E F G H

    a l

    b k

    c j

    d i

    e h

    f g

    nigme B3 ..................................................................................................... solution p.94> NaomietClairejouentavecuntasde5picesdemonnaie.Atourderle,chacunedoit sparer un des tas en 2 tas comprenant un nombre diffrent de pices. Lapremirejoueusequinepeutplusjoueragagn.ChacunejouetourderleetcestNaomiquicommence.

    > Quedoit-ellefairesonpremiercouppourtresredegagner?

    nigme B4 .................................................................................................. solution p.100> AlbertetBenotontpossurunetableuntasde21allumettes.Atourderle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2ou3allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

    > Combiendoit-ilprendredallumettessonpremiercoupsilveuttresrdegagner?

    nigme B5 ................................................................................................... solution p.108> AlbertetBenotontdispossurune table trois tasdallumettes.un tascompte1seuleallumette,unautre2allumettesetledernier4allumettes.Atourderle,chacundoitretirerdansundestasautantdallumettesquilsouhaitemaisauminimumuneallumette.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

    > Quedoit-ilfaire,sonpremiercoup,pourtresrdegagner?

    nigme B6 ....................................................................................................solution p.117> NaomietClairejouentavecuntasde6picesdemonnaie.Atourderle,chacunedoit sparer un des tas en 2 tas comprenant un nombre diffrent de pices. Lapremirejoueusequinepeutplusjoueragagn.ChacunejouetourderleetcestNaomiquicommence.

    > Quedoit-ellefairesonpremiercouppourtresredegagner?

    >> jeux de Nim

  • 1918 >> jeux de Nim

    nigme B9 ....................................................................................................solution p.153> JrmieetSamuelontpossurunetable41pions.Chacun,tourderle,doitenprendre1ou2ou3ou4ou5.Levainqueurseraceluiquiauraunnombrepairdepions,lorsquetouslespionsauronttts.CestJrmiequicommence.

    > Combiendepionsdoit-ilprendresonpremiercouppourtresrdegagner?

    nigme B10 ...............................................................................................solution p.167> AlbertetBenotontdispossurunetablesixtasdallumettes.untascompteuneseuleallumette,unautre2allumettes,unautre3allumettes,unautre4allumettes,unautre5allumettesetledernier6allumettes.Atourderle,chacundoitretirerdansun des tas autant dallumettes quil souhaitemais auminimum une allumette. Lejoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.Ilprendlallumettequiestseuledansuntas.

    > CommentdoitjouerBenotlecoupsuivantpourtresrdegagner?

    >> jeux de Nim