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LEONHARD EULER:

BIOGRAPHIE &

ELLIPTISCHE INTEGRALE

Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Institut für Mathematik

Hauptseminar „Euler“ – Sommersemester 2015

Dozent: Prof. Dr. Duco van Straten

Referentin: Jennifer Pütz

28.04.2015

EULER: BIOGRAPHIE & ELLIPTISCHE INTEGRALE

1. Zur Person Eulers

i. Historischer Hintergrund

ii. Biographische Details

iii. Errungenschaften um die Mathematik und Werke

2. Elliptische Integrale

i. Ein Beispiel

ii. Definitionen und Normalformen

3. Euler und elliptische Integrale

i. Elliptische Integrale vor Euler: Die Lemniskate

ii. Additionstheoreme

iii. Weitere Erkenntnisse Eulers

4. Relevanz und Anwendung2

1. ZUR PERSON EULERS

Leonhard Euler: 1707 – 1783

„Lest Euler, lest Euler: Er ist unser aller Meister.“ (Pierre-Simon Laplace)

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1. ZUR PERSON EULERS: HISTORISCHER HINTERGRUND

Europa im 18. Jahrhundert:

� Absolutismus noch immer vorherrschende Staatsform

� Merkantilismus als führendes Wirtschaftsmodell

� Koloniale Expansion

� Graduelles Aufstreben des Bürgertums

� Aufstieg Preußens zur fünften Großmacht neben

Frankreich, Großbritannien, Russland und Österreich

4


5

Europa um 1700


6

Europa um 1800


Zeitalter der Aufklärung (ca. 1650-1800):

� Gegenbewegung zu Krone und Kirche; Fortschritt durch

rationales Denken im Zentrum

� Wichtige Vertreter: Hobbes, Locke, Rousseau, Voltaire,

Kant

� Kernideen: Politische Emanzipation, religiöse Toleranz

� Amerikanische und Französische Revolution

� Impulse auch für Literatur und schöne Künste

� Hinwendung zu Naturwissenschaften und technologischem

Fortschritt � Industrielle Revolution 7


Wissenschaft im 18. Jahrhundert:

� Hauptsächlich an staatlichen Akademien

� Wichtige Institutionen:

� Royal Society (London, 1660)

� Académie Francaise mit Académie des Sciences (Paris, 1635

bzw. 1666)

� Preußische Akademie der Wissenschaft (Berlin, 1700)

� Russische Akademie der Wissenschaften (St. Petersburg, 1724)

� Wissenschaftliche Journale8


Wissenschaft im 18. Jahrhundert:

� Mathematik: Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung

� Wichtige Zeitgenossen Eulers:

� Johann und Daniel Bernoulli

� Joseph-Louis Lagrange

� Pierre-Simon Laplace

� Blaise Pascal

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1. ZUR PERSON EULERS: BIOGRAPHISCHE DETAILS

1707 – 1727: Basel

� *15. April 1707 in Basel

� 1720: Studium an der Universität Basel

� 1723: Magisterwürde in Philosophie und Beginn des

Theologie Studiums

� 1725: Abbruch des Theologie Studiums, Wechsel zur

Mathematik

� 1726: Absolvierung des Mathematik Studiums und

Veröffentlichung seiner ersten Arbeiten

� Winter 1726: Berufung an die Russische Akademie der

Wissenschaften in Sankt Petersburg

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1727-1741: Sankt Petersburg

� Mai 1727: Ankunft in Sankt Petersburg; Beginn der Arbeit

am Lehrstuhl für Mathematik und Physik

� 1730: Professur der Physik und damit offizielles Mitglied

der Akademie

� 1733: Professur der Mathematik

� 1734: Heirat mit Katharina Gsell

� 1740: Verlust des rechten Auges nach einer Infektion

� 1740: Berufung an die Preußische Akademie der

Wissenschaften in Berlin 11


1741-1766: Berlin

� Juli 1741: Ankunft in Berlin, Ernennung zum Direktor des

Mathematischen Institutes der Preußischen Akademie der

Wissenschaften

� 1759: Tod des Präsidenten der Akademie, Eulers (de facto)

Beförderung zu dessen Nachfolger

� Zerwürfnis mit Friedrich dem Großen

� 1766: Einladung nach Sankt Petersburg

12


1766-1783: Sankt Petersburg

� 1766: Rückkehr an die Akademie in Sankt

Petersburg

� 1771: völlige Erblindung; dennoch Fortführung

seiner Arbeiten

� + 18. August 1783 an einer Hirnblutung

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1. ZUR PERSON EULERS: ERRUNGENSCHAFTEN UND WERKE

Eulers Errungenschaften um die Mathematik umfassen viele

Teilgebiete:

Geometrie:

� Grundstein für die analytische Geometrie, wichtige Beiträge

zur Differentialgeometrie und Topologie

� Betrachtung von Sinus und Kosinus als Funktionen

Zahlentheorie:

� Beweise zu verschiedenen Vermutungen Fermats,

beispielsweise zu Fermats Letztem Satz für den Fall n=3

�� + �� = ��, �, �, � 14


Zahlentheorie:

� Einführung der Eulerschen φ-Funktion

� � = | � 1 ≤ � ≤ �, �� , � = 1 |Analysis:

� Introductio in Analysin Infinitorum (1748): Erste

Definition einer Funktion,

�� = cos � + � ∙ sin (�)� Aufbau der Differential- und Integralrechnung

(Institutiones Calculi Differntialis, 1755 bzw. Institutiones

Calculi Integralis, 1768-70)15


Analysis:

� Einführung der Beta- und Gamma-Funktion

� Gründliches Studium von Differentialgleichungen,

Logarithmen,

ln −1 = !�.� Studium von Reihen und Lösung des Basler Problems:

∑ $�²

&�'$ = (²) und ∑ $

�* = ζ(,)&�'$16


Andere Gebiete:

� Physik, bes. Mechanik

� Astronomie, bes. Mondbewegungen

� Kartographie

� Musiktheorie

Mathematische Symbolik:

f(x), e, i, ̟, Σ, sin, cos, ... 17


Werke:

� 866 Publikationen: ca. 40 Bücher, ca. 700 Aufsätze

� Gängigste Referenz: Eneström-Index (E-001 bis E-

866)

� Bis heute nicht alle Manuskripte veröffentlicht

� Opera Omnia: seit 1911 durch Euler-Kommission im

Birkhäuser-Verlag (bisher über 75 Bände)

� Briefwechsel18

2. ELLIPTISCHE INTEGRALE:EIN BEISPIEL

19

Ellipse mit Halbachsen a und b

2. ELLIPTISCHE INTEGRALE:EIN BEISPIEL

Umfang der Ellipse:

- = 4� ∙ / 1 − 01 sin² � 2�( 13

4

� Diese Formel lässt sich nicht durch elementare

Funktionen darstellen.

� Einfachere Näherungsformeln

� Hierbei handelt es sich um ein sog. elliptisches

Integral. 20

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:ELLIPTISCHE INTEGRALE VOR EULER

Anfänge der Theorie elliptischer Integrale:

� 1655: John Wallis untersucht den Ellipsenbogen

(Arithmetica Infinitorum, 1656)

� 1679: Jacob Bernoulli stößt bei seinen Untersuchungen der

Spirale auf ein elliptisches Integral.

� 1694: Bernoulli führt die Lemniskate ein:

21

�1 + 51 1 = 2�² ∙ (�² − 5²)

Lemniskate von Bernoulli



� In der Bogenlänge der Lemniskate steckt das elliptische Integral

/ 11 − �7 2�

$

4� Etwas später untersucht Bernoulli

/�²

1 − �7 2�8

422



� 1750: Produzioni Matematiche von Fagnano mit

Verdopplungsformel des Lemniskatebogens:

/ 11 − �7 2� = 2 ∙ / 1

1 − �7 2�9

4

8

4,

: = 19∙ $;9<$=9< , >² ≤ 2 − 1

23



� 1751: Euler liest Fagnanos Werk und

verallgemeinert dessen Ergebnisse

� Geburtsstunde der Theorie elliptischer Integrale

24

3. ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER:ELLIPTISCHE INTEGRALE BEI EULER

Weitere Resultate Eulers:

Vergleich von Ellipsen- bzw. Hyperbelbogen

� Lösung von Problemen der Art

� Zu einem Ellipsenbogen fg von einem festen Punkt p auf der

Ellipse einen Bogen pq abzutrennen, so dass die Differenz fg-

pq dieser Bogen geometrisch angebbar ist.

� Zu einem Ellipsenbogen fg einen Bogen pqr angeben, welcher

genau doppelt so groß ist.

25Ellipsenbogen

4. RELEVANZ UND ANWENDUNGEN

Relevanz:

� Dank Euler können wir mit elliptischen Integralen

umgehen!

� Weiterführung: Theorie der elliptischen Funktionen durch

Abel und Jacobi

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Niels Henrik Abel

Carl Gustav Jacob

Jacobi

4. RELEVANZ UND ANWENDUNGEN

Anwendungen:

� Anwendungen in der Mathematik:

� Oberfläche des Ellipsoids

� Anwendungen in der Physik bzw. dem Ingenieurswesen

� Bahn eines schwingenden Pendels

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Vielen Dank für eure

Aufmerksamkeit!

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