lenguaje algebraico 7 basico
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ÁlgebraÁlgebraLenguaje Algebraico Lenguaje Algebraico operatoria algebraicaoperatoria algebraica
Lenguaje Algebraico• Es el lenguaje que utiliza letras en combinación
con números y signos.• La utilidad de álgebra se aprecia al adquirir la
capacidad de traducir enunciados entre el lenguaje habitual y el lenguaje algebraico.
• Interesa, principalmente, utilizar notación algebraica para expresar ecuaciones y fórmulas.
Expresión algebraica
Corresponde una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y/o potencias.
Ejemplos:
xyzxxba z
3235
5
243
−−
yx 32 + 23b−5
2 32 ba +
Traducción de expresiones de lenguaje algebraico al
lenguaje cotidiano y viceversa
Enuncie verbalmente las siguientes expresiones algebraicas
( )( )3
2
2
1
3
24
52
3
2
−
+
+
+
x
ba
xy
x
x
x
x
x “Dos unidades más que x “ o también “un número aumentado en dos unidades”
“El triple de un número”
“El doble de un número aumentado en 5 unidades”
“El cuadrado de un número”
“Un cuarto de un número” “ o también “la cuarta parte de un número”
“Dos tercios del producto de dos números”
“El cuadrado de la suma de dos números”
“El cubo de un número disminuido en una unidad”
( )
( )
22
3
))((2
2
)(
1
ba
baba
ba
ba
ba
x
−
−+
−
+−−
“La diferencia entre dos números”
“La semisuma de dos números”
“La semidiferencia de dos números”
“La suma de dos números, por su diferencia”
“La diferencia de los cuadrados de dos números”
“El cubo de un número, disminuido en una unidad”
Ejercicios
• Exprese algebraicamente:1. Un número par2. Un número impar3. Dos números consecutivos4. Dos números pares consecutivos5. Dos números impares consecutivos6. La suma de tres números impares consecutivos
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El doble de un número aumentado en 4
Un número disminuido en 25
El sucesor del sucesor de un número
Tres números consecutivos a x-2
El antecesor del antecesor de un número
8 disminuido en el triple de un número
Un número aumentado en el triple de un número impar
La quinta parte del doble de un número par disminuido en el cuadrado del mismo número
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El doble de un número p
El cubo del triple de un número
El triple del cubo de un número
La mitad de un número, aumentado tres medios
Tres cuartas partes de un número
Cuatro número pares consecutivos
Un número disminuido en sus tres octavas partes
La octava parte de un número impar, disminuido en ocho
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA
13 +x
x45 +
pp 22 −
44
3 −t
x73
8 +
4−x
5
47 +y
453 +x
¡Recuerda!• Si n , p , q son números enteros, que
satisfacen n = p ·q , entonces se dice que:
• n es múltiplo de p• n es múltiplo de q• p es divisor de n• q es divisor de n
Ejemplo• 33 = 3 · 11 , entonces se puede decir
que• 33 es múltiplo de 3• 33 es múltiplo de 11• 3 es divisor de 33• 11 es divisor de 33
DefiniciónPropiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación
• Le llamaremos así a la propiedad de los números reales que señala que, para cualquier terna de números a , b , c , se cumple siempre que :
a · ( b + c ) = a·b + a·c
Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva
Ejemplo 1
2·(3 + 5) = 2·3 + 2·5
(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva
Ejemplo 2
-2·(3 + 5) = -2·3 -2·5
(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva
Ejemplo 3
-2·(3 - 5) = -2·3 + 2·5
(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
Uso inverso de la propiedad distributiva
• Como las propiedades planteadas a través de igualdades se pueden aplicar en ambos sentidos (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) se puede escribir entones:a·b+ a·c = a·( b + c )A esto se le llama FACTORIZAR
LA EXPRESIÓN “a·b + a·c“ POR EL VALOR “a”
Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva EN FORMA INVERSA
(FACTORIZANDO POR UNA CANTIDAD)Ejemplo 12·3 + 2·5 = 2·(3 + 5)
Ejemplo 27·8 - 7·13 = 7·(8 - 13)
Ejemplo 3 - 9·3 - 9·12 = -9·(8 + 5)
Ejemplo 4 - 4·17 + 4·29 = -4·(17 - 29)
DefiniciónDemostración de una proposición:• Diremos que demostrar una proposición es el
proceso de probar que es verdadera considerando un conocimiento ya establecido y por lo tanto válido.
• Una demostración Matemática implica la definición de una HIPÓTESIS (conocimiento ya establecido, válido) y una TESIS o proposición que se desea probar.
Ejemplo 1 de demostración• Demuestre que la suma de tres números enteros
consecutivos cualquiera es múltiplo de 3:• Hipótesis: Sean tres números x, y , z consecutivos
cualquiera: x = n , y = n + 1 , z = n + 2• Tesis x + y + z es un número múltiplo de 3• Demostración:• Se tiene que x + y + z = n + n + 1 + n + 2,
luego x + y + z = 3n + 3• Pero 3n + 3 = 3(n + 1) = 3N (N es el número
entero n + 1),• Luego se tiene que x + y + z es un número
múltiplo de 3.
Ejemplo 2 de demostración• Demuestre que la suma de dos pares consecutivos
cualquiera es par:• Hipótesis: Sean dos números x e y pares
consecutivos: x = 2n , y = 2n + 2• Tesis: x + y es un número par• Demostración:• Se tiene que x + y = 2n + 2n + 2, luego
x + y = 4n + 2 = 2(2n+1)• Por lo tanto como 2n + 1 = N (número entero), se
tiene que 2(2n+1) = 2N , es decir un número PAR
Ejemplo 3 de demostración• Demuestre que la suma de dos pares
cualquiera es par:• Hipótesis: Sean dos números x e y pares :
x = 2n , y = 2m• Tesis: x + y es un número par• Demostración:• Se tiene que x + y = 2n + 2m, luego• x + y = 2(n + m) = 2N, por lo tanto es un
número PAR.
Ejercicios1) Demuestre que la suma de un número y su sucesor es impar2) Demuestre que el producto de un par y cualquier número es
otro número par.3) Demuestre que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3
también.4) Demuestre que si un número cualquiera termina en cifra par
es divisible por 2.5) Demuestre que si un número termina en cifra 0 o bien en
cifra 5 es divisible por 5.6) Demuestre que el producto de dos pares es par7) Demuestre que el producto de un par por un impar es par.
Evaluación deExpresiones Algebraicas
Definición• Evaluar una expresión algebraica
corresponde a asignar valores específicos a sus letras para determinar su valor total.
• Ejemplo: • Si x = 3 , la expresión 2x + 5 vale
11, pues 2·3 + 5 = 11
Actividades• Evaluar las siguientes expresiones si x = 1 , y = -1 , w = 0, z = 2
3 22 wx y z− − −2 4x y+
3 2x y− −
2 3x y w− −
2
2
3
2
wx y
y y
+−
4 wx y z+ +
= -2
= -1
= 4
= 4/3
= -4
= 2
Actividades• Evaluar las siguientes expresiones si a = 0,5 , b = , c = 0
Simplifique si es que fuese necesario
2a b+
3 2a b− −
25 2 3 ca b b− −
= 5/3
= -17/6
= -37/12
2
3
• ¿Cuál es el valor de x de manera que 2x + 1 = 31 ?
• Explica por qué x² + 1 es siempre un número distinto de cero, para cualquier valor de x.
• Una tabla de madera tiene 55 cms de largo y se ha cortado un trozo de x cms, ¿cuánto mide el otro trozo?
Desafíos
Identificación y Clasificación
de términos algebraicos y expresiones algebraicas
Términos algebraicos¿Qué es un término algebraico?
Corresponde una expresión algebraica donde no hay sumas ni restas. Ejemplos:
“Son los elementos básicos para formar expresiones algebraicas”.
435 bax2 23b− 5
2 32ba
yx 23− 53615 zyx zyx 734,27
3 32 yx−
Elementos de un término algebraico
• Un término algebraico tiene una parte numérica llamada factor numérico y otra parte, la de las “potencias literales” llamada factor literal.
Partes de un término algebraico
yx23−
52 73bca
Factor numérico
Factor literal
Factor numérico
“dos quintos”
Factor literal
Actividades1. Identifique el factor numérico y literal de cada término.2. Determine el grado de cada término (suma de los exponentes de
las potencias literales)
Término Factor Numérico
Factor literalGrado del Término
Algebraico
43ba
32x
23b−
324,0 ba−
73 102 yx−
5
2 32ba
2 3x
3−2b
1 43ba
4,0− 32ba
5
232ba
73− 102 yx
3
2
7
5
5
12
Definición• Un MONOMIO es un término
algebraico en que todas las potencia literales tienen exponentes positivos
• Ejemplos de MONOMIOSx2 23x−
325 cab27 3xy−
• Ejemplos de EXPRESIONES QUE NO SON MONOMIOS
32 −x4326 −zyx
4
325zyx
x1
Actividad• Invente tres monomios distintos, de
grado 4, con tres potencias literales y factores numéricos 2 , -5 , 8.2 , 7/3 cada uno .
Expresiones Algebraicas¿Qué es una expresión algebraica?
Es simplemente un conjunto de operaciones aritméticas entre términos algebraicos.
Ejemplos:
yx 32 +yxcba
yxcba
2
2352
43
34
325 −+122 +− xx
27183 2 +− xx xx 85
7 3 −92 −aax
yx
713
22
3 +−
Clasificación de expresiones algebraicas
•Existen expresiones algebraicas polinómicas, racionales, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, entre otras.
•Clasificaremos solo expresiones polinómicas.
•Se dirá que una expresión algebraica es un polinomio cuando es la suma de monomios.
Ejemplos:2 2 1x x− +
3 22 3 5x y z+ − +2 3x y+
2a b−
Clasificación de un polinomio
• Un polinomio se puede clasificar de acuerdo a su grado y a la cantidad de términos que tenga.
• Según su grado: El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.– Ejemplo el grado de es 3
• Según la cantidad de términos:– Si tiene dos términos se llama binomio, si tiene
tres se llama trinomio, si tiene cuatro se llama cuatrinomio, etc.
– El ejemplo anterior es un cuatrinomio
3 22 3 5x y z+ − +
Actividades1.Clasifique cada expresión algebraica según número de términos
(monomio, binomio, trinomio o polinomio)2.Determine el grado de cada expresión (grado del término de mayor
grado)
Expresión AlgebraicaCantidad de
términos algebraicos
ClasificaciónGrado del polinomio
2 Binomio 7
1 Monomio 8
3 Trinomio 7
3 Trinomio 2
2 Binomio 2
3 Trinomio 2
2 Binomio 3
5243 35 yxba +
cbayxba 235243 435 −+
527 yax
122 ++ xx
27183 2 +− xx
xx 85
7 3 −
10025 2 −x
Identificar y Reducir Términos Semejantes
Términos semejantes• Se dirá que dos términos son semejantes si tienen el mismo factor literal.
• Sin son semejantes se podrán SUMAR, pues representan cantidad de la misma especie o familia.
Ejemplos:
x2 x3con son semejantes
24x 27x−con son semejantes
234 cab−4
3 23cabcon son semejantes
365 xy 6345 yxcon son semejantes
53x 25xcon NO son semejantes PORQUE_____________
2324 cba4
3 23cabcon NO son semejantes PORQUE_____________
yx24− 27xycon NO son semejantes PORQUE_____________
Cada uno de estos pares Cada uno de estos pares de términos tienen distintas de términos tienen distintas
potencias literalespotencias literales
Reducción de Términos Semejantes
• Reducir términos semejantes corresponde a sumarlos para resumir la expresión original.
Ejemplo: 2x + 3x se puede reducir a 5x
Luego 2x + 3x = 5x
Reducción de Términos Semejantes
Ejemplo:
5a – b + a + 3b - 7b – 2a = 4a - 5b
Actividad
• Reduzca términos semejantes:x + 3x – 7x + 2x =
a + 2b – 3a + 5b =
2y + 3x – 5y + 6x =
Actividad
• Reduzca términos semejantes:-5x – 4x - 7x =
2x²+ y²- 5x²+ 8y² + 3x³=
3x²+ 5x³-7x²+9x²-6y²+3z²-x - 5x³=
Actividad• Reduzca términos semejantes:0,5x – 4y + 7 + 2,1x + 1,4y – 6 =
4,3x + 2,4y – 8,1 + 6,3x + 3,6y – 5x + 1,9 =
-0,7x –8y +8,9 –0,3x + 7,3y – 7,9 =
Actividad• Reduzca términos semejantes:
2 2 2 2 22 5 5 3
3 4 6 5 2
a b ab a b ab a b+ − + − =
ECUACIONESde primer grado
Objetivos
Definir qué es una ecuación de primer grado con una incógnita y como debemos resolverlas.
Ecuaciones• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
en las que hay una o más variables desconocidas, llamadas incógnitas.
En ésta ocasión aprenderemos sólo con una incógnita.
Ejemplos:
( ) ( )
( )2
327
5
33
14325
54317
85
+=
−=−
−=−=+
xx
xx
xx
x
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
• Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita para la cual se cumple la igualdad. Estos valores se llaman SOLUCIONES de la ecuación.
Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita
utilizando las propiedades de igualdad
• Propiedades de la igualdad
62
33332
3/ 332
=+=+−+=−
x
x
x
3
62
12
2
12
1/ 62
=
⋅=⋅
⋅=
x
x
x- Propiedad multiplicativa: Si a ambos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número se mantiene la igualdad.
- Propiedad aditiva: Si a ambos miembros de una igualdad se suma un mismo número se mantiene la igualdad.
• EJEMPLO
1616
16824
16883
:igualdad la cumple se si veremosasí
original,ecuación laen 8 reemplazar basta correcta, es encontradasolución la que verificarPara
83
124
3
13
3
1 / 243
816883
)8/( 1683
:igualdad de spropiedade las usando 1683 ecuación laResolver
==−=−⋅
=
=
⋅=⋅
⋅=
+=+−+=−
=−
x
x
x
x
x
x
x
Actividad• Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando las
propiedades y luego verifica tus resultados.
xx
kk
jj
h
g
f
d
c
b
x
67410 )10
31272 )9
5395 )8
1313 )7
052 )6
413 )5
925 )4
0318 )3
1814 )2
265 )1
−=−−=++=−
=−=−−=+−
=−=−−=+
=+
01089126 )16
1512963q )15
24372121348 )14
11142153 )13
94351225 )12
8,222,35 )11
=++−−+=−+−+−
−−=+−−=−+−
−−=+−+=−
rrrr
qqq
pppp
ñññ
nnn
mm
Resumen
• Para resolver ecuaciones debemos utilizar las propiedades de adición y multiplicación de la igualdad.
• Si quieres comprobar el resultado debes reemplazar el valor obtenido de la incógnita en la ecuación original para así verificar que se cumpla la igualdad
ECUACIONESCON PARÉNTESIS
Ecuaciones con paréntesisPara resolver ecuaciones donde encontremos ejercicios con paréntesis, debemos utilizar la propiedaddistributiva.
P. Distributiva:
EJEMPLO:
( ) 15353353 +=⋅+⋅=+ xxx
Actividad • Utilizando la propiedad distributiva y lo estudiando en
clases anteriores, resuelve las siguientes ecuaciones.
)47(7)43(3)1(67 )9
3)32(5)2(2 )8
)1(213 )7
)53(312 )6
)61(7)2359()564( )5
)395(273)94()83( )4
)44()1(71)76()58(3 )3
)23(87)13( )2
)6(9)4(5 )1
−+=−+−−=−−+
−=−−=
−−=−+−++−−−+−−=+−−−++−−=−−+−−
−−=+−−−=−+
ccc
bb
zz
yy
xxxxxx
wwww
vvvv
ttt
sss
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
Para resolver ecuaciones donde exista la incógnita en el numerador, debemos:
1)Multiplicar ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo entre los denominadores
2) Simplificar cada fracción
3) Resolver como una ecuación con paréntesis (distributiva)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22
3922
139
22
122
22
1 / 3922
1524151522
15 / 241522
824881530
8/ 2481530
381215
4325123
205
3220
4
123
20/ 5
32
4
123
=
⋅=⋅
⋅=
+=+−+=−
−+=−−−+=−
+=−⋅+=⋅−
⋅+=⋅−
⋅+=−
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xx
xx
xx
xxEJEMPLO:
Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias
5
2
3
4 )5
2
18
105
7 )4
496
7
2
5 )3
12
5
427 )2
9
1
53
5 )1
=−
=−
=−+
=−
−=+
x
x
x
x
x
12
1
3
14
6
15
4
32)1(3 )10
146
15
5
16)9
4
105
8
32
6
1 )8
73
411 )7
4
7
2
5
4
3 )6
++−=+−−−
−=−−−
+=−−−−
=+
=−
xxx
x
xxx
xxx
xx
xxx