lektion 5-dezimal zahlen

5/11/2018 LEKTION 5-DEZIMAL ZAHLEN - slidepdf.com

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MATHEMATIK 1º ESO

LEHRER: Javier Jódar Rodríguez IES EL ARGAR

Lektion fünf Seite 1 von 16

LEKTION 5. DEZIMAL ZAHLEN

1. Dekadische Stellenwerttabelle

Die Stellenwerttafel

Jene Ziffern einer Zahl, die sich vor dem Komma befinden, nennt man dekadischeEinheiten:E ..... Einer

Z ..... ZehnerH ..... HunderterT ..... TausenderZT ..... ZehntausenderHT ..... HunderttausenderM ..... Millionen usw..

Deka ist das lateinische Wort für zehn. Jede dekadische Einheit ist daher dasZehnfache der vorherigen Einheit!

Jene Ziffern einer Zahl, die sich hinter dem Komma befinden, nennt man dezimaleEinheiten:z ..... Zehntelh ..... Hundertstelt ..... Tausendstelzt ..... Zehntausendstelusw.

Dezi ist das lateinische Wort für Zehntel. Jede dezimale Einheit ist ein daher Zehntel

der vorherigen Einheit!

Die Stellenwerte einer Dezimalzahl:Die Ziffern hinter dem Komma werden Dezimalen genannt.

Zehntel = 1 DezimaleHundertstel = 2 DezimalenTausendstel = 3 Dezimalen



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2. Runden von DezimalzahlenDas Runden von Dezimalzahlen funktioniert genauso wie das Runden von natürlichenZahlen.

Beispiel:Die Zahl 83,725 soll auf Hundertstel genau gerundet werden.Man schreibt:83,725 (h)1. Jener Stellenwert wird unterstrichen, auf den gerundet werden soll:83,7252. Die Stelle rechts von der unterstrichenen Ziffer gibt an, ob die unterstrichene Zifferaufgerundet oder abgerundet wird:a) Steht rechts von der unterstrichenen Ziffer eine 0, 1, 2, 3, oder 4, so wirddie unterstrichene Ziffer abgerundet.b) Steht rechts von der unterstrichenen Ziffer eine 5, 6, 7, 8, oder 9, so wirddie unterstrichene Ziffer aufgerundet.83,725=83,73

Runden von Dezimalzahlen:Steht rechts von der zu rundenden Stelle ...... eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.... eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.

Beispiele:

3. Darstellung einer Dezimalzahl auf dem

ZahlenstrahlBeispiel:Markiere folgende Zahlen auf dem Zahlenstrahl: 0,7 ; 3,6 ; 2,0 ; 2,9 ; 1,2

Schritt 1 - Konstruktion des Zahlenstrahls: Auf einer waagrechten Linie wird an beliebiger Stelle der Punkt 0 gewählt. Die anderenPunkte können beliebig weit voneinander entfernt liegen, jedoch müssen sie einengleich großen Abstand voneinander haben.Üblicherweise verwendet man dazu kurze Striche, wobei alle 10 Einheiten ein größererschwarzer Strich konstruiert wird.Beschriftet wird üblicherweise auch nur jede zehnte Einheit, unter dem Zahlenstrahl.



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Schritt 2 - Markierung der Zahlen:Nun werden mit färbigem Stift die Zahlen auf dem Zahlenstrahl markiert - über demZahlenstrahl.

Jeder Zahl ist auf dem Zahlenstrahl genau ein Punkt zugeordnet.

4. Addieren mit DezimalzahlenBeim Addieren von Dezimalzahlen ist es wichtig, die Kommas genau untereinander zu

schreiben.Beispiel: Addiere folgende Zahlen: 19,23 sowie 352,4 und 4807,721

Das Addieren mit Dezimalzahlen funktioniert genauso wie das Addieren mit natürlichenZahlen.Die Zahlen gehören natürlich stellenwertrichtig untereinander geschrieben, also Einerunter Einer, Zehner unter Zehner, Zehntel unter Zehntel, ... sowie natürlich Kommaunter Komma.Jetzt wollen wir natürlich auch mit negativen Zahlen rechnen können. Dazu klappernwir erneut die Grundrechenarten der Mathematik ab. Bei der Addition und Subtraktionerklärt sich dies am besten mit Beispielen. Bei der Multiplikation und Division sind nochein paar Sätze zur Erklärung nötig.

Letztlich müssen die stellenwertrichtig untereinander geschriebenen Zahlen addiertwerden. Das Komma im Ergebnis wird genau unter den anderen Kommas gesetzt!

Addieren von Dezimalzahlen:Komma unter Komma!

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5. Subtrahieren mit DezimalzahlenBeim Subtrahieren von Dezimalzahlen ist es wichtig, die Kommas genau untereinanderzu schreiben.Beispiel:

Subtrahiere die Zahl 309,518 von der Zahl 2598,4

Das Subtrahieren mit Dezimalzahlen funktioniert genauso wie das Subtrahieren mitnatürlichen Zahlen.Die Zahlen gehören natürlich stellenwertrichtig untereinander geschrieben, also Einer

unter Einer, Zehner unter Zehner, Zehntel unter Zehntel, ... sowie natürlich Kommaunter Komma.

Nun werden die leeren Stellen rechts vom Komma mit Nullen aufgefüllt. In unseremFall sind das zwei Nullen rechts neben dem Vierer des Minuenden.

Letztlich müssen die stellenwertrichtig untereinander geschriebenen Zahlen subtrahiertwerden. Das Komma im Ergebnis wird genau unter den anderen Kommas gesetzt!

Das Endergebnis lautet schließlich 2 288,882!

Subtrahieren von Dezimalzahlen:Komma unter Komma!

6. Multiplizieren mit DezimalzahlenRechenregeln für das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer dekadischen Einheit,mit einer natürlichen Zahl sowie mit einer weiteren Dezimalzahl.

Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer dekadischen EinheitUm eine Dezimalzahl mit 10, mit 100, mit 1000 usw. zu multiplizieren, verschiebt maneinfach das Komma um 1, um 2, um 3 usw. Stellen nach rechts.Um eine Regel für die Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer dekadischen Einheitherzuleiten, betrachten wir nochmals die Regel für die Multiplikation einer natürlichen

Zahl mit einer dekadischen Einheit:

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Beispiel 1:Multipliziere 152 mit 10, mit 100 und mit 1000!

152·10=1520

152·100=1520152·1000=15200

Bei der Multiplikation mit 10 wurde also eine 0, bei der Multiplikation mit 100 zwei 0und bei der Multiplikation mit 1000 drei 0 an den ersten Faktor angehängt.

Die Stellenwerte wurden bei der Multiplikation mit 10, 100 und 1000 also nur um 1, 2und 3 Stellen erhöht.

Eine Stellenwerterhöhung beim Rechnen mit Dezimalzahlen bedeutet nun, das Komma

nach rechts zu verschieben.Beim Multiplizieren mit 10 um 1 Stelle, beim Multiplizieren um 100 um 2 Stellen, beimMultiplizieren mit 1000 um 3 Stellen usw.

Beispiel 2:Multipliziere 9,815 mit 10, mit 100 und mit 1000!

9,815·10=98,159,815·100=981,59,815·1000=9815

Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer dekadischen Einheit:

Multiplikation mit 10:Komma um 1 Stelle nach rechts verschieben

Multiplikation mit 100:Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben

Multiplikation mit 1000:Komma um 3 Stellen nach rechts verschieben

usw.

Eventuell müssen Nullen angehängt werden, um das Komma weiter verschieben zukönnen!



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Multiplizieren, wenn ein Faktor eine Dezimalzahl ist.Ist beim Multiplizieren einer der beiden Faktoren eine Dezimalzahl, so muss dasErgebnis der Multiplikation genauso viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wieder 1. Faktor.

Beispiel:Ein Kilogramm Bananen kostet 1,85 Euro. Berechne den Preis für 5 Kilogramm!

Möglichkeit 1:Der Eurobetrag wird in Cent umgewandelt: 1,85 € = 180 Cent

Nun wird multipliziert, das Ergebnis wird wieder zurück in Euro umgewandelt:925 Cent = 9,25 Euro

Möglichkeit 2:Wir multiplizieren wie mit natürlichen Zahlen (das Komma lassen wir einstweilenunberücksichtigt).Das Komma wird nun wie bei Möglichkeit 1 gesetzt.

Man kann erkennen, dass das Ergebnis genauso viele Kommastellen hat (nämlich 2)wie der Faktor 1,85.

Multiplizieren, wenn ein Faktor eine Dezimalzahl ist:1. Man multipliziert wie mit natürlichen Zahlen2. Das Ergebnis muss genau so viele Dezimalstellen haben wie der Faktor, der eineDezimalzahl ist.

Weiteres Beispiel:Der 1. Faktor hat 2 Dezimalstellen (=Kommastellen), das Ergebnis muss demnachauch 2 Dezimalstellen haben!

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Beide Faktoren sind Dezimalzahlen.Sind beim Multiplizieren beide Faktoren Dezimalzahlen, so muss das Ergebnis derMultiplikation genauso viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie die beidenFaktoren zusammen.

Beispiel:Ein Kilogramm Äpfel kostet 1,65 Euro. Berechne den Preis für 3,5 Kilogramm!

Wir multiplizieren wie mit natürlichen Zahlen (das Komma lassen wir einstweilenunberücksichtigt).

Aus dem vorherigen Teil (Multiplizieren von Dezimalzahlen, wenn 1 Faktor eineDezimalzahl ist) wissen wir bereits, dass das Ergebnis genauso viele Kommastellenhaben muss wie die Angabe.

Da Eurobeträge immer mit 2 Kommastellen angegeben werden, runden wir dasErgebnis auf 2 Kommastellen: 5,775 = 5,78

Multiplizieren, wenn beide Faktoren eine Dezimalzahl sind:1. Man multipliziert wie mit natürlichen Zahlen2. Das Ergebnis muss genau so viele Dezimalstellen haben wie beide Faktoren der Angabe zusammen haben.

Weiteres Beispiel:

Der 1. Faktor hat 3 Dezimalstellen (=Kommastellen), der 2. Faktor hat 1.Beide zusammen haben also 4 Dezimalstellen.Das Ergebnis muss demnach auch 4 Dezimalstellen haben!





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7. Dividieren mit DezimalzahlenRechenregeln für das Dividieren einer Dezimalzahl durch eine dekadische Einheit, fürdas Dividieren wenn der Divisor eine natürliche Zahl oder eine Dezimalzahl ist, sowiewenn der Dividend kleiner als der Divisor ist.

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine dekadische Einheit.Um eine Dezimalzahl durch 10, durch 100, durch 1 000 usw. zu dividieren, verschiebtman einfach das Komma um 1, um 2, um 3 usw. Stellen nach links.Um eine Regel für die Division einer Dezimalzahl durch eine dekadische Einheitherzuleiten, betrachten wir nochmals die Regel für die Division einer natürlichen Zahldurch eine dekadische Einheit:

Beispiel 1:Dividiere 8367 durch 10, durch 100 und durch 1000!

8367:10=836,78367:100=83,678367:1000=8,367

Bei der Division durch 10 wurde also das Komma um 1 Stelle, bei der Division durch100 um zwei Stellen und bei der Division durch 1 000 um drei Stellen nach linksgeschoben.

Die Stellenwerte wurden bei der Division durch 10, 100 und 1000 also nur um 1, 2bzw. 3 Stellen verringert.

Eine Stellenwertverringerung beim Rechnen mit Dezimalzahlen bedeutet nun, dasKomma nach links zu verschieben.

Beim Dividieren durch 10 um 1 Stelle, beim Dividieren durch 100 um 2 Stellen, beimDividieren durch 1 000 um 3 Stellen usw.

Beispiel 2:

Dividiere 695,8 durch 10, durch 100 und durch 1 000!695,8:10=69,58695,8:100=6,958695,8:1000=0,6958Steht das Komma bereits links vor der 1. Ziffer, so hängt man davor eine 0 an die Zahlan!

Division einer Dezimalzahl durch eine dekadische Einheit:Division durch 10:Komma um 1 Stelle nach links verschieben



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Division durch 100:Komma um 2 Stellen nach links verschiebenDivision durch 1 000:Komma um 3 Stellen nach links verschieben

usw.Eventuell müssen Nullen vor der Zahl angehängt werden, um das Komma weiterverschieben zu können!

Dividieren, wenn der Divisor eine natürliche Zahl und der Dividendeine Dezimalzahl ist.

Ist nur der Dividend eine Dezimalzahl, der Divisor hingegen eine natürliche Zahl, sodividiert man einfach wie mit natürlichen Zahlen. Achten muss man nur auf dieStellenwertbestimmung bzw. die Kommasetzung.Begriffsbestimmung:

Dividend : Divisor = Quotient

Ist nur der Dividend eine Dezimalzahl, der Divisor hingegen eine natürliche Zahl, sodividiert man einfach wie mit natürlichen Zahlen. Achten muss man nur auf dieStellenwertbestimmung bzw. die Kommasetzung:

Beispiel:334,16:4=334,16:4=..,

Schritt 1: KommasetzungWir betrachten den Dividenden und bilden vom höchsten Stellenwert beginnend (alsolinks) eine Zahl, die größer oder gleich dem Divisor ist.3 ist nicht größer/gleich 4, also müssen wir eine Stelle dazunehmen: 33 istgrößer/gleich 4. Das Hakerl setzen wir also bei der Zehnerstelle.Für die Zehnerstelle machen wir nun einen Punkt im Ergebnis, auch für alle rechtsdavon stehendenen Stellen bis zum Komma jeweils einen Punkt. Der Quotient hat also2 Stellen vor dem Komma, dann kommt das Komma und danach unbekannt vieleDezimalstellen.

Schritt 2: DividierenNun muss noch dividiert werden - wie mitnatürlichen Zahlen.4 geht in 33 8 Mal, 1 Rest. Nächste Stelle4 herab.4 geht in 14 3 Mal, 2 Rest. Nächste Stelle1 herab.4 geht in 21 5 Mal, 1 Rest. Nächste Stelle6 herab.4 geht in 16 genau 4 Mal, 0 Rest.

http://www.mathe-lexikon.at/uploads/pics/dezimalzahlen_dividieren_2.jpg



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Dividieren, wenn der Dividend eine Dezimalzahl ist:

1. Kommasetzung: Man bildet aus dem Dividenden eine Zahl (mit dem höchstenStellenwert beginnend), die größer oder gleich dem Divisor ist - man markiert sie mit

einem Hakerl darunter.

2. Man zählt nun im Dividenden die Stellen rechts vom Hakerl bis zum Komma undrechnet 1 Stelle für das Hakerl noch mit --> das ist nun die Anzahl der Stellen vor demKomma im Ergebnis.

3. Man dividiert wie mit natürlichen Zahlen

Dividieren, wenn der der Divisor eine Dezimalzahl ist.

Begriffsbestimmung:Dividend : Divisor = QuotientIst der Divisor eine Dezimalzahl, so muss man diesen noch "kommafrei" machen, bevorman wie mit natürlichen Zahlen dividieren kann:

Beispiel:

Schritt 1: Überschlagsrechnung

Wir runden Dividend und Divisor: 50 : 8 = 6 und 2 Rest

Schritt 2: Kommaverschieben

Wir müssen den Divisor "kommafrei" machen, um fortfahren zu können.In unserem Beispiel hat der Divisor 1 Kommastelle. Deshalb müssen wir das Komma um

eine Stelle nach rechts verschieben. Damit sich der Quotient der Division nicht ändert,

muss nun auch im Dividend das Komma um 1 Stelle nach rechts verschoben werden.





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Schritt 3: Kommasetzung

Wir betrachten den Dividenden und bilden vom höchsten Stellenwert beginnend (also links)

eine Zahl, die größer oder gleich dem Divisor ist.

5 ist nicht größer/gleich 84, also müssen wir eine Stelle dazunehmen: 53 ist aber auch

nicht größer/gleich 84, also noch eine Stelle: 538 ist größer/gleich 84. Das Hakerl setzen

wir also bei der Einerstelle.

Für die Einerstelle machen wir nun einen Punkt im Ergebnis, auch für alle rechts davon

stehendenen Stellen bis zum Komma jeweils einen Punkt. Der Quotient hat in unserem

Beispiel also nur 1 Stelle vor dem Komma, dann kommt das Komma und danach unbekannt

viele Dezimalstellen.

Schritt 4: Dividieren

Nun muss noch dividiert werden - wie mit natürlichen Zahlen.

84 geht in 538 6 Mal, 34 Rest. Nächste Stelle 8 herab.



84 geht in 420 genau 5 Mal, 0 Rest.

Dividieren, wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist:

Enthält der Divisor ein Komma, so muss man das Komma so lange nach rechts

verschieben, bis die Zahl "kommafrei" ist. Um dieselbe Anzahl an Stellen muss nun auch

das Komma im Dividend nach rechts verschoben bzw. Nullen angehängt werden.

Dividieren mit Dezimalzahlen, wenn der Divídend kleiner als derDivisor ist.

Begriffsbestimmung:Dividend : Divisor = Quotient

Beispiel:




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Ist der Dividend kleiner als der Divisor, so muss der Wert des Quotienten zwischen 0 und 1

liegen.

Schritt 1: Kommasetzung

Wir betrachten den Dividenden und bilden vom höchsten Stellenwert beginnend (also links)

eine Zahl, die größer oder gleich dem Divisor ist. Dabei lassen wir das Komma vorläufig

unberückischtigt.

2 ist nicht größer/gleich 4, also müssen wir eine Stelle dazunehmen: 28 ist größer/gleich 4.

Das Hakerl setzen wir also bei der Zehntelstelle.

Nachdem wir bereits bei der Zehntelstelle sind, muss auch der Quotient mit der

Zehntelstelle beginnen. Daher machen wir beim Quotienten eine 0 und dann ein Komma.

Schritt 2: Dividieren Nun muss noch dividiert werden - wie mit natürlichen Zahlen.

4 geht in 28 genau 7 Mal, 0 Rest. Nächste Stelle 5 herab.


4 geht in 12 genau 3 Mal, 0 Rest.

Dividieren, wenn der Dividend kleiner als der Divisor ist:

Der Wert des Quotienten muss zwischen 0 und 1 liegen, weshalb man das Ergebnis gleich

mit 0, beginnen kann.

Nun wird wie mit natürlichen Zahlen dividiert.

8. Die Rangordnung der GrundrechnungsartenRangordnung der Grundrechnungsarten: Zuerst die Klammern auflösen, dann dieHochzahlen berechnen, anschließend die Punktrechnungen durchführen und zuletztnoch die Strichrechnungen ausführen.Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Rechenarten ausführen muss, ist in derMathematik genau festgelegt.





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Rechenarten:

Strichrechnungen: Addition ( + ), Subtraktion ( - )

Punktrechnungen: Multiplikation ( ), Division ( : )

Hält man sich nicht an diese Reihenfolge, erhält man unterschiedliche (falsche)Ergebnisse:Beispiel:

Lösungsweg 1:

Lösungsweg 2:

Lösungsweg 1 ist in unserem Beispiel allerdings falsch! Hier haben wir uns nicht an die

Rangordnung der Grundrechnungsarten gehalten, die wir Ihnen im Folgenden auflisten

werden:

Die Rangordnung der Grundrechnungsarten und Klammern:

1. Klammern auflösen: ( ) , [ ] , { }

2. Hochzahlen berechnen: z.B. ² , ³

3. Punktrechnungen durchführen: · , :

4. Strichrechnungen durchführen: + , -

Wichtig: Auch innerhalb der Klammern gilt: Hochzahlen vor Punkt vor Strich!

Beispiel 1:



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Beispiel 2:

Beispiel 3:



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9. Aufgaben



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8. Welche Zahl musst Du einsetzen?

a.) x + 0,02 = 1,6

b.) 1,16 – x = 0,08

9. Berechne:

a.) 6,5 – 0,75 + 2,03=

b.) 30,7 * 0,25=

c.) 9,714 : 0,03=

d.) 0,045 : 10 000=

10. Runde die Ergebnisse sinnvoll!

a.) 9 € + 50ct : 0,4=

b.) 22,5 – 60cm : 20dm + 2,312=

11. Multipliziere die Differenz aus 7,75 und 6,25 mit der Summe

aus 0,03 und 0,17.

12. Eine Klasse mit 12 Jungen und 14 Mädchen besuchen ein Museum.

Der Eintrittspreis kostet für alle 31,20€.

Wie viel € muss jeder Schüler zahlen?

13. Folgende Noten wurden bei einer Arbeit geschrieben.

Berechne den Mittelwert!

2 x 1,9=

3 x 2,8=

4 x 3,5=

2 x 4,1=

1 x 4,6=

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