lekcija 6: redukcija reda modela i lmi problemjvelagic/laras/dok/lekcija... · 2013. 1. 3. ·...
TRANSCRIPT
-
Lekcija 6: Redukcija reda
modela i LMI
problem
Prof.dr.sc. Jasmin Velagić
Elektrotehnički fakultet Sarajevo
Kolegij: Multivarijabilni sistemi
2012/2013
-
U ovom dijelu se izučava:
Opis metoda za reduciranje reda modela
procesa ili regulator.
Poseban naglasak na modelima reduciranog
reda dobivenih rezidualizacijom manje
upravljivih i osmotrivih stanja balansirane
realizacije.
Prikaz metoda balansiranog skraćivanja
(balanced truncation) i optimalne Hankelove
norme aproksimacije.
Redukcija reda modela
2/60
-
aGG
Metode sinteze modernih regulatora, kao što su H i LQG zahtijevaju da regulatori budu najmanje reda
procesa, ili obično višeg zbog uključenih težina.
Ovi upravljački zakoni mogu biti presloženi s obzirom
na praktičnu implementaciju i zbog toga se traže
jednostavniji postupci sinteze.
Jedan od načina je reduciranje reda modela procesa
prije sinteze regulatora, ili reduciranje regulatora u
finalnom stanju, ili oboje.
Centralni problem kojeg razmatramo glasi: Zadan je
stabilni LTI model visokog reda G, naći aproksimaciju
niskog reda Ga takvu da je beskonačna norma (H ili
L) razlike malog iznosa.
Pod redom modela podrazumijeva se dimenzija
vektora stanja u minimalnoj realizacija.
Redukcija reda modela
3/60
-
l
mn
ttt
ttt
yDuCxy
uxBuAxx
,)()()(
, ,)()()(
Zadan je minimalni prikaz modela u prostoru stanja
(A, B, C, D):
ili kao ulazno-izlazni model:
Redukcija modela: Tražimo model
Redukcija reda modela
4/60
)(
)(
])([)( 1 s
s
ss - U
G
DBAICY
rrra
l
rrr
mk
rrrr
sS
ttt
ttt
DBAICG
yuDxCy
uxuBxAx
1)()(
,)()()(
, ,)()(ˆ)(
-
Za k < n tražimo da je predikcijsko ulazno-izlazno
ponašanje blisko nekom zadanom, kao npr. zahtjev
da
bude malog iznosa.
Postavlja se pitanje zašto se radi redukcija modela?
Smanjenje računarske složenosti
vrijeme za dinamičke simulacije je aproksimativno
proporcionalno sa n3,
posebno važno za aplikacije u stvarnom vremenu,
npr. regulatore.
Redukcija reda modela
5/60
aGG
-
Metode sinteze regulatora obično daju regulatore
čiji je red najmanje jednak redu modela procesa,
obično značajno višeg reda. Da bi se postigao
regulator nižeg reda potrebno je:
reducirati red model s obzirom na dizajn
upravljanja, ili
reducirati red regulatora nakon dizajna.
Postoji mnogo metoda za redukciju modela.
U ovom predavanju će se izložiti neke, najčešće
korištene.
Redukcija reda modela
6/60
-
Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija stabilnog
sistema G(s) i neka je vektor x (dimenzije n)
razložen na komponente [x1 x2]T, gdje vektor x2
posjeduje n-k stanja koje želimo ukloniti.
Odgovarajućim rastavom A, B i C, jednadžbe u prostoru stanja postaju:
Želimo postići model k-tog reda iz modela n-tog reda.
Skraćivanje: postaviti x2 na nulu, tj. ukloniti ga.
Rezidualizacija: postaviti , odnosno x2 postaje
algebarska varijabla koja ovisi o x1 i u.
Skraćivanje i rezidualizacija
7/60
DuCxxCy
uBxAxAx
uBxAxAx
211
22222212
12121111
02x
-
Skraćivanje k-tog reda realizacije
dana je sa:
Skraćeni model Ga jednak je G-u na beskonačnoj
frekvenciji, tj. G() = Ga() = D.
Jednostavno uklanjanje stanja ima malo smisla
općenito.
Zbog toga se prvo ide na transformiranje (A, B, C, D)
u Jordanov oblik i postavljanje stanja tako da x2 korespondira sa najbržim modelima, tj. najvećim
amplitudama svojstvenih vrijednosti.
Skraćivanje
8/60
),,,( DCBAGs
),,,( 1111 DCBAGs
a
-
n
i i
T
ii
ss
1
)(
bcG
Zbog jednostavnosti pretpostavimo da se A može dijagonalizirati tako da je:
Ako su i poredane u sljedećem poretku |1| < |2| <
…, tada su najbrži modovi uklonjeni iz modela nakon skraćivanja.
U dijagonalnom Jordanovom obliku (različite
svojstvene vrijednosti i) G poprima oblik:
Skraćivanje
8/60
43212
1
2
1
, ,
00
00
00
cccc
T
n
T
T
n
C
b
b
b
BA
-
Uklanjanje (brisanje) n-k najbržih modova tada daje
model pogreške:
što povlači za sobom:
gdje moramo pretpostaviti stabilnu matricu G(s).
Skraćivanje
10/60
n
ki i
T
iia
sss
1
)()(
bcGG
n
ki i
T
iia ss
1 )Re(
)()()(
bcGG
-
Pogreška, odnosno H granica pogreške:
ovisi ne samo o svojstvenim vrijednostima brzih
modova i, već i o rezidualima ,, tj. o efektu djelovanja ulaza u na x2 i efektu x2 na izlaze y.
Za = imamo:
odnosno, nema pogreške na beskonačnoj frekvenciji.
Skraćivanje
11/60
T
iibc
n
ki i
T
ii
s1
bc
DGG )()( iia
-
Kod rezidualizacije imamo i (ukoliko je matrica
A22 invertibilna):
Reducirani model (Ar, Br, Cr, Dr) jednak je:
Ovaj reducirani model naziva se rezidualizacija od:
Rezidualizacija
12/60
)()()()()(
)()()()()(
2
1
222121
1
2221
2
1
22121121
1
2212111
ttt
ttt
uBACDxAACCy
uBAABxAAAAx
),,,(
),,,(
2
1
222121
1
22212
1
2212121
1
221211 BACDAACCBAABAAAA
DCBA
rrrr
02x
),,,( DCBAGs
-
Obično se model (A, B, C, D) postavi u Jordanov
oblik, sa svojstvenim vrijednostima poredanim tako
da x2 sadrži najbrže modove.
Na nultoj frekvenciji imamo:
što slijedi iz činjenice da je u stacionarnom
stanju.
Iz navedenog o skraćivanju i rezidualizaciji slijedi:
Skraćivanje daje najbolju aproksimaciju na
visokim frekvencijama.
Rezidualizacija daje najbolju aproksimaciju na
niskim frekvencijama.
Rezidualizacija
13/60
)0()0( GG a
02x
-
Suprotnosti između skraćivanja i rezidualizacije
slijede iz bilinearne transformacije s 1/s [Liu and Anderson, 1989].
Obje metode mogu u principu generirarti prilično
visoke iznose pogreški redukcije, jer ukupni efekt
stanja na ulazno-izlazno ponašanje nije nužnu
povezano s brzinom odziva.
Trbaju biti kombinirane sa nekom metodom koja
osigurava relativno mali ukupni efekt od
uklanjanja stanja na ulazno-izlazno ponašanje
uravnoteženje (balansiranje).
Rezidualizacija
14/60
-
Balansirana realizacija je asimptotski stabilna
minimalna realizacija u kojoj su Gramiani
upravljivosti i osmotrivosti jednaki i dijagonalni.
Gramian upravljivosti
Model u prostoru stanja (A, B, C, D) ima impulsni
odziv od u(t) do x(t) dan sa:
Kvantifikacija “veličine” impulsnog odziva:
Gramian upravljivosti P definira se kao:
Balansirane realizacije
15/60
BXAtet )(
deedtTt T
tT AA
BBXXP 00 )()()(
)(lim tt
PP
-
Gramian upravljivosti može se izračunati iz
Lyapunovljeve jednadžbe:
P je kvantitativna mjera upravljivosti različitih stanja, esencijalno, mjerenje efekta ulaza na različita
stanja.
Gramian osmotrivost
Model u prostoru stanja (A, B, C, D) sa ulazom
u(t) = 0 i inicijalnim stanjem x(0) = x* ima izlaz:
Energija izlaza je:
Balansirane realizacije
16/60
xCY Atet)(
xCCxyyQ
AA
)(
00)()(
t
tTT
tT deed
T
0 TT BBPAAP
-
Gramian osmotrivosti Q definira se kao:
Gramian osmotrivosti može se izračunati iz
Lyapunovljeve jednadžbe:
Q je kvantitativna mjera osmotrivosti različitih stanja, esencijalno, mjerenje efekta stanja na
izlaze.
Balansirane realizacije
17/60 dee
tT
t
T AA CCQ 0lim
0 CCQAQA TT
-
Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija stabilne,
racionalne funkcije prijenosa G(s), tada (A, B, C,
D) je balansirana ako su rješenja sljedećih Lyapunovljevih jednadžbi:
P = Q =diag(1, 2 ,..., n) = , gdje je 1 2
... n 0.
P = Q su Gramiani upravljivost i osmotrivosti:
Balansirane realizacije
18/60
0
0
CCQAQA
BBPAAP
TT
TT
dteedtee tTttTtTT AAAA
CCQBBP
00
,
-
U gornjim izrazima predstavlja Gramian od G(s),
gdje i predstavljaju poredane Hankelove singularne vrijednosti od G(s), definirane kao:
gdje se:
naziva Hankelovom normom od G(s).
Svako stanje u balansiranoj realizaciji je osmotrivo,
ukoliko je upravljivo, pri čemu je i mjera koliko je sistem osmotriv, odnosno upravljiv.
Stanje sa relativno malim iznosom i ima relativno mali efekt na ulazno-izlazno ponašanje i slijedi da se
može ukloniti bez značajnijih negativnih posljedica.
Balansirane realizacije
19/60
niii ,...,1 ,)(
PQ
HG1
-
Neka je (A, B, C, D) minimalna realizacija od G(s)
sa podjelom:
gdje 1 = diag(1, 2 ,..., k) i 2 = diag(k+1, ..., n)
Balansirano skraćivanje ili rezidualizacija zadržavaju
k stanja koji korespondiraju sa 1 , tako da će u oba slučaja imati pogrešku redukcije modela:
Balansirano skraćivanje i rezidualizacija
20/60
1
1
21
2
1
2221
1211
, ,
Σ
ΣΣQP
CCCB
BB
AA
AAA
0
0
n
ki
i
k
a
1
2 GG
-
Reducirani model (A11, B1, C1, D) naziva se
balansirano skraćivanje od G(s).
Ideja balansiranja sistema sistema i zatim
odbacivanje stanja korespondira sa malim
Hankelovim singularnim vrijednostima.
U balansiranom skraćivanju odbacuje se najmanje
upravljivih i osmotrivih stanja koji korespondiraju sa
2.
U balansiranoj rezidualizaciji, jednostavno
postavljamo na nulu sve derivacije ovih stanja.
Rezultat balansirane rezidualizacije od G(s) je (Ar,
Br, Cr, Dr), tj.
Balansirano skraćivanje i rezidualizacija
21/60
),,,( 21
222121
1
22212
1
2212121
1
221211 BACDAACCBAABAAAA
-
H
k
h ss )()( GG
U ovom pristupu redukcije modela pretpostavlja se
stabilan model G(s) reda n, a zadatak je pronaći
reducirani model reda k takav da se Hankelova norma pogreške aproksimacije
minimizira.
Hankelova norma bilo koje stabilne funkcije
prijenosa E(s) definirana je kao:
tj, jednaka je maksimumu Hankelove singularne
vrijednosti od E(s).
Optimalna Hankelova norma aproksimacije
22/60
)()( 1 PQE
H
s
)(skhG
-
k
aG
H
k
aGG Optimalna Hankelova norma aproksimacija nastoji
minimizirati za dani red k modela reduciranog reda.
Za stabilnu kvadratnu funkciju prijenosa G(s),
optimalna Hankelova norma aproksimacije k-tog reda može se direktno izračunati i Hankelova norma
pogreške:
Optimalna Hankelova norma je neovisna o matrici D od .
Minimum -norme pogreške je:
Optimalna Hankelova norma aproksimacije
23/60
1 kH
k
a GG
n
ki
i
k
a
1
min GGD
-
Balansirano skraćivanje i rezidualizaciji i optimalna
Hankelova norma aproksimacija primjenjuju se
direktno za stabilne funkcije prijenosa G(s).
U slučaju nestabilnih modela može se postupiti na
sljedeće načine:
Odvojiti nestabilni dio modela prije obavljanja
redukcije stabilnog dijela modela:
i zatim koristiti neki od navedenih metoda za
određivanje aproksimacije reduciranog reda Gsa(s)
Redukcija nestabilnih modela
24/60
)()()( sss su GGG
)()()( sss saua GGG
-
Korištenje koprim faktorizacija od G(s):
sa stabilnim M(s) i N(s).
Nakon toga se primjenjuje redukcije modela na
[M(s) N(s)] i koristi:
Redukcija nestabilnih modela
25/60
)()()( 1 sss NMG
)()()( 1 sss aaa NMG
-
Redukcija modela turbo mlaznog aviona
Model motora ima 3 ulaza, 3 izlaza i 15 stanja.
Primjer redukcije reda modela procesa
26/60
-
Ulazi u motor su: protok goriva, varijabilno područje
mlaznice i promjenjivi ugao zakreta lopatica
pokretanih preko usisnika zraka.
Izlazi koji se upravljaju su: brzina osovine
kompresora visokog tlaka (HP, središnji kompresor),
omjer izlaznog tlaka (sa kompresora visokog tlaka) i
tlaka na ulazu motora i izlaz kompresora niskog
tlaka.
Kompresor niskog tlaka (LP) je ustvari ventilator.
Osnovno načelo rada mlaznih motora je da se zrak
dovodi pod tlakom u komore izgaranja, gdje se mješa
sa gorivom te se izgaranjem stvara još veći tlak koji
tjera plinove iz komore izgaranja velikom brzinom
kroz mlaznicu stvarajući time potisak.
Primjer redukcije reda modela procesa
27/60
-
Kod mlaznih motora sa turbinom, zrak ulazi u
rotirajući kompresor kroz usisnik zraka.
U kompresoru se zrak komprimira prije ulaska u
komore izgaranja gdje se pod tlakom miješa s
gorivom.
Proces izgaranja dovodi do velikog porasta
temperature te vrući plinovi stvoreni gorenjem
velikom brzinom prolaze kroz turbinu i okreću je,
zatim kroz ispušnu cijev izlaze iz motora.
Turbina pogoni kompresor s kojim je spojena preko
osovine.
Efikasnost mlaznog motora najviše ovisi o omjeru
ulaznog tlaka u kompresor i komprimiranog zraka
prije ulaska u komore izgaranja te ulazne
temperature na turbinu.
Primjer redukcije reda modela procesa
28/60
-
Hankelove singularne vrijednosti za modela sa 15
stanja su:
1) 2.000528e+001, 2) 4.046418e+000, 3) 2.754623e+000
4) 1.763527e+000, 5) 1.296531e+000, 6) 6.296397e-001
7) 1.668864e-001, 8) 9.340749e-002, 9) 2.219277e-002
10) 1.566868e-002, 11) 1.362056e-002,12) 3.996689e-003
13) 1.178913e-003, 14) 3.241000e-004, 15) 3.307337e-
005
Granice L norme pogreške za rezidualizaciju i skraćivanje su izražene preko dvostruke sume sa slajda
20., a za optimalnu Hankelovu normu aproksimacije
jednostrukom sumom sa slajda 23.
Model sa 15 stanja želimo reducirati na model sa 6
stanja (ukloniti zadnjih 7 stanja).
Primjer redukcije reda modela procesa
29/60
-
Singularne vrijednosti (ne Hankelove singularne
vrijednosti) reduciranih i modela punog reda za slučajeve
balansirane rezidualizacije, balansiranog skraćivanja i
optimalne Hankelove norme aproksimacije prikazane su
na slikama ispod (za sva tri izlaza).
Punom linijom su prikazane singularne vrijednosti za puni
red, a isprekidanom za reducirani red modela.
Rezidualizirani sistem ima perfektno slganje sa sistemom
punog reda u stacionarnom stanju.
Primjer redukcije reda modela procesa
30/60
100
10-5
100
Rezidualizacija
Frekvencija (rad/s)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(abs)
100
10-5
100
Skraćivanje
Frekvencija (rad/s)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(abs)
100
10-5
100
Hankel
Frekvencija (rad/s)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(abs)
G
Gr
G
Gt
G
Gh
-
Singularne vrijednosti pogreške redukcije sistema (G - Ga)
za svaku od tri aproksimacije prikazane su na sljedećoj
slici.
Oznake pogrešaka su: Er (balansirana rezidualizacija), Et
(balanirano skraćivanje), Eh (optimalna Hankelova norma
aproksimacije).
Primjer redukcije reda modela procesa
31/60
10-2
100
102
104
10-10
10-5
100
Singularne vrijednosti
Frekvencija (rad/s)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(abs)
10-2
100
102
104
10-10
10-5
100
Singularne vrijednosti
Frekvencija (rad/s)
Sin
gula
rne v
rije
dnosti
(abs)Er
Et
Eh
Er
Ets
Ehs
(a) (b)
Singularne vrijednosti za skalirane (b) i neskalirane (b) pogreške sistema.
-
Beskonačna norma pogreške redukcije modela
sistema za balansiranu rezidualizaciju iznosi 0.295 i
događa se na 208 rad/s, dok za balansirano
skraćivanje i optimalnu Hankelovu normu
aproksimacije iznosi 0.324 (na 169 rad/s) i 0.179 (na
248 rad/s).
Gornje granice za norme pogreške redukcije modela
iznose 0.635 (dvostruka suma sa slajda 20.) za
rezidualizaciju i skraćivanje, dok za optimalnu
Hankelovu normu aproksimacije iznosi 0.187 (suma
sa slajda 23.).
Može se reći da je za ovaj proces poželjno da ima
propusni opseg zatvorenog sistema oko 10 rad/s.
Oko ove frekvencije pogreška redukcije modela će
imati malu vrijednost za dobar regulator.
Primjer redukcije reda modela procesa
32/48
-
saWG-G
Ponekad je poželjno imati pojačanje u stacionarnom
stanju jednako kao u slučaju modela punog reda
(primjer: otvoreni sistem upravljanja).
Na prethodnoj slici za balansirano skraćivanje i
optimalnu Hankelovu normu aproksimacije to nije
slučaj., pogotovo za skalirane pogreške.
U skaliranom slučaju aproksimacija modela Ga je
zamijenjena sa GaWs , gdje je Ws = Ga(0)-1G(0).
Kod skaliranih sistema beskonačna norma pogreška
poprima prilično velike vrijednosti.
Što se tiče rezidualiziranih sistema, oni ne trebaju
skaliranje.
Primjer redukcije reda modela procesa
33/60
-
Beskonačne norme u slučajevima skaliranog
balansiranog skraćivanja i skalirane optimalne
Hankelove norme su respektivno degradirane na
5.71 (na frekvenciji 151 rad/s) i 2.61 (na
frekvenciji 168.5 rad/s).
Prema tome, skalirani sistemi u slučajevima
balansiranog skraćivanja i optimalne Hankelove
norme aproksimacije su lošiji u odnosu na
neskalirane, budući da kritično frekvencijsko
područje oko frekvencije presjeka postaje veliko
uprkos poboljšanjima u stacionarnom stanju.
Zbog toga se rezidualizacija preferira kada se
zahtijeva dobro slaganje na niskim frekvencijama.
Primjer redukcije reda modela procesa
34/60
-
Impulsni odzivi i odzivi sva na skokovite pobude za
sva tri izlaza u odnosu na drugi ulaz prikazani su na
sljedećim slikama, za sve tri vrste redukcije (Br –
balansirana rezidualizacija, Ssk – skalirano
balansirano skraćivanje, SoHna – skalirana
optimalna Hankelova norma aproksimacije).
Primjer redukcije reda modela procesa
35/60
0 0.01 0.02 0.03
-100
0
100
Vrijeme [s]
Impulsni odziv - Br
0 0.01 0.02 0.03
-100
0
100
Vrijeme [s]
Impulsni odziv - Ssk
0 0.01 0.02 0.03
-100
0
100
Vrijeme [s]
Impulsni odziv - SoHna
Puni red
Reducirani
-
Slični rezultati se dobiju i za odzive kada su pobude
dovedene na prvi i treći ulaz.
Sa odziva se može zaključiti da je reducirani model u
slučaju balansirane rezidualizacije najbliži modelu
punog reda.
Osim redukcije reda modela procesa može se
načiniti i redukcija reda regulatora.
Primjer redukcije reda modela procesa
36/60
0 0.5 1
-15
-10
-5
0
Vrijeme [s]
Odziv na step - Br
0 0.5 1
-15
-10
-5
0
Vrijeme [s]
Odziv na step - Ssk
0 0.5 1
-15
-10
-5
0
Vrijeme [s]
Odziv na step - SoHna
Puni red
Reducirani
-
LMI (Linear Matrix Inequality) – klasa numeričkih
problema optimiranja.
Definicija 1. LMI je matrična nejednadžba oblika:
gdje su zadani:
x = [x1, ..., xm] realan vektor (varijabla)
Fi, i = 0, ..., m, realne simetrične matrice.
LMI nameće konveksno ograničenje na x:
problem izvodivosti: naći x koji zadovoljava LMI,
problem optimiranja: naći cTx kao predmet LMI-a.
LMI problem
37/60
m
i
iix1
0)( 0FxFF (*)
-
Problem izvodivosti – naći xizvod takav da je
F(xizvod) > 0 ili odrediti da je LMI neizvodiv konveksni problem izvodivosti.
Najčešće su u LMI-u varijable matrice, npr. kod
Lyapunovljeve nejednadžbe:
gdje je matrica A zadana i P = PT je varijabla.
Ako se uzme F0 = 0 i
tada su nejednadžbe (*) i (**) ekvivalentne.
LMI problem
38/60
0 PPAAT
ii
T
i PAPAF
(**)
-
0)( xV
Promatrajmo LTI sistem:
Ovaj sistem je globalno asimptotski stabilan (tj. sve
trajektorije konvergiraju ka 0) ako za Lyapunovljevu
funkciju V(x) = xTPx > 0 ( ) vrijedi:
gdje je P pozitivno definitna matrica.
Ovo korespondira sa LMI problemom
izvodivosti, gdje je potrebno pronaći P da
vrijede navedene nejednadžbe.
LMI problem
39/60 )(tAxx
00 PAPAPP TT ,
-
Deriviranjem funkcije V po vremenu t dobiva se:
Zadnji izraz predstavlja LMI, gdje je matrica P varijabla.
Navedeno spada u domen problema linearne
stabilnosti.
LMI problem
40/60
0
00
PAPA
xxPAPAx
xPxPxxx
T
TT
TT
dt
dV
,)(
)(
-
Poblem robusne linearne stabilnosti
Promatrajmo politopski LTV (linearni vremenski
promjenjiv) sistem:
gdje je Co konveksni omotač (konvex hull) koji
predstavlja konveksnu kombinaciju Ai-ova.
Funkcija Lyapunova postoji ako je:
Ovo također predstavlja LMI problem izvodivosti.
LMI problem
41/60
},...,{)( ),()( 1 Lttt AAAxAx Co
LiiT
i
T ,...,1 , , 00 PAPAPP
-
Problem optimiranja: H norma
Promatrajmo LTI sistem
H norma od Gyw je ekvivalentna rješavanju
problema minimiziranja po sljedeće nejednadžbe:
tj. minimizacija je predmet LMI-a.
LMI problem
42/60
)()()(
)()(
ttt
tt
DwCxz
BwAxx
00
P
IDC
DIPB
CPBPAPA
,
TT
TT
-
Računanje gornje granice za strukturiranu
singularnu vrijednost (kod sinteze robusnog regulatora):
je također problem optimiranja sa LMI
ograničenjem.
Rješenja Riccatijevih jednadžbi, npr. u H optimalnom upravljanju, mogu se dobiti preko LMI
problema izvodivosti.
Mnogi problemi optimalnog i robusnog upravljanja
mogu se promatrati kao LMI problemi problemi
konveksne optimizacije za koje postoje efikasni
algoritmi (npr. IPM (interior point methods))
LMI problem
43/60
)(min 1DNDD
-
Primjer 1. Promatrajmo:
gdje je:
LMI F(x)0 je ekvivalentno sa:
LMI problem
0
32
221
1
1)(
xx
xxxxF
44/60
01
00)( ,
01
11)(
00
01)( ,
01
10)(
32
10
xx
xx
FF
FF
012)1()(
0 ,0
2
2
23231
2
2121
321
xxxxxxxxxx
xxx Skup linearnih nejednadžbi po x-u.
-
Primjer 2. Koristiti Lyapunovljevu kvadratnu funkciju
V(z)=zTPz za dokaz stabilnost sistema:
Trebamo P > 0 i za sve x (α > 0 zadano)
gdje je z = g(x).
LMI problem
z
x
P
PPPAPA
z
x
PzxxPPAPAx
PxxxgAxPxxx
0
TT
TTT
TTVV
2)(
))((2)()(
45/60
xxgxgAxx )( ),(
)()( xx VV
-
z zadovoljava zTz 2xTx tako da trebamo P > 0 i
kad god je:
Korištenjem S-procedure ovo se događa ako i samo
ako je:
za neki 0 .
LMI problem
0
z
x
P
PPPAPA
z
x
0
TT
46/60
00
0
z
x
I
I
z
x 2T
I
I
P
PPPAPA
0
0
0
2
T
-
S-procedura
Neka su T0, ... ,Tp simetrične matrice. Ako postoje
1 0, ... , p0 za koje je:
tada je:
takav da je:
LMI problem
47/60
00 xxTx ,0T
0
i
p
i
iTT1
0
piiT ,...,1 , 0xTx
-
Potrebni i dovoljni uvjeti postojanja kvadratne
Lyapunovljeve funkcije mogu se iskazati kao LMI:
u varijablama P i (uvjet 0 slijedi automatski iz 2,2 bloka).
Sa homogenošću ovo možemo pisati kao:
Rješavanje LMI-a da bi se pronašao P predstavlja zahtjevnu metodu.
Dobro je npr. riješiti Lyapunovljevu jednadžbu
ATP+PA+I=0 nadajući se da rezultantna P odgovara.
LMI problem
48/60
00
IP
PIPPAPAP
2 ,
T
0
IP
PIPPAPAIP
2 ,
T
-
Definicija 2. Sistem linearnih matričnih nejednadžbi
predstavlja konačan skup linearnih matričnih
nejednadžbi:
koje su zadovoljene ako i samo ako je:
LMI problem
49/60
00 )( , ... ,)(1 xx kFF
0
)(00
0)(0
00)(
)(2
1
x
x
x
x
kF
F
F
F
-
Veoma važno svojstvo LMI-a dobiva se iz
jednostavne algebarske observacije, koje je korisno
u konvertiranju nelinearnih u linearne nejednadžbe.
Pretpostavimo da se matrica M nn može rastaviti u obliku:
gdje je M11 dimenzija (r r).
Pretpostavimo da je M11 nesingularna matrica.
Matrica naziva se Schurov
komplement od M11 u M.
LMI problem
50/60
2221
1211
1MM
MMM
12
1
112122 MMMMS
-
Ako je M simetrična matrica tada imamo da:
Rezultat je dobiven observacijom da je M > 0 ako i
samo ako uTMu > 0 za sve ne-nulte un .
Neka je Fr(n-r) , tada M > 0 ako i samo ako za
sve u1r i u2
n-r vrijedi:
LMI problem
51/60
0
0
00
00
S
M
S
MM
11
11
2
21
2221
1211
2
21
u
Fuu
MM
MM
u
FuuT
0
-
2
1
211211221121
121111
2
1
2
21
2221
1211
2
21
0
u
u
FMMFFMFMMFM
MFMM
u
u
u
Fuu
MM
MM
u
Fuu
TTT
T
T
Sređivanjem se dobiva:
Rezultat slijedi ako se uzme:
Trenutna posljedica ove observacije je sljedeća
propozicija.
LMI problem
52/60
12
1
11 MMF
-
Propozicija 1. (Schurov komplement). Neka je F
afina funkcija sa sljedećom podjelom (rastav):
gdje je F11(x) simetrična matrica, tada je F(x) > 0 ako i samo ako je:
Druga nejednadžba je nelinearna matrična
nejednadžba po x-u ove nelinearne matrične nejedneažbe mogu se transformirati u linearne
matrične nejednadžbe.
LMI problem
53/60
0
0
)()()()(
)(
21
1
111222
11
xxxx
x-
FFFF
F
)()(
)()()(
2221
1211
xx
xxx
FF
FFF
-
Primjer 3. Određivanje dijagonalne matrice D kod
-analize, takve da je:
gdje je M zadana matrica.
Na temelju prethodnog izraza dobiva se:
gdje se iz X = DTD > 0 zaključuje da je postojanje takve matrice LMI problem izvodivosti.
LMI problem
54/60
11 DMD
0
1 11
XMMX
DDDMDM
IDMDDMDDMD
T
TTT
TTT
-
Primjer 4. Algebarska Riccatijeva nejednadžba.
Nalazi veliku primjenu u optimalnom upravljanju,
gdje se sinteza optimalnih regulatora obavlja na
temelju računanja pozitivno definitne simetrične
matrice P koja zadovoljava Riccatijevu nejednadžbu:
gdje su A i B konstantne matrice, Q je konstantna
simetrična matrica i R je konstantna simetrična pozitivno definitna matrica.
Riccatijeva nejednadžba je kvadratna u P-u, ali se može izraziti kao LMI primjenom Schurovog
komplementa:
LMI problem
55/60
0 QBPBRPAPA TT 1
0
RPB
PBQPAPAT
T
-
Lur’e-Lyapunovljeva funkcija
Problem analize stabilnosti sistema upravljanja sa
nelinearnim aktuatorima [Lur'e & Postnikov],
odnosno stabilnosti linearnih sistema sa nelinearnim
perturbacijama.
Promatra se vremenski diskretan sistem sa
restriktiranom statičkom nelinearnosti:
gdje je nelinearnost opisana sa:
i restrikcijama na nagib funkcije:
LMI problem
56/60
)()(
))(()()1(
kk
kkk
Cxq
qBAxx
mikqkqkq iiiii ,...,1 za ,0)]())(())[((
miTkqkq
kqkqii
ii
iiii ,...,1 za ,)()1(
))(())1((0
(***)
(****)
-
Tii je maksimalan nagib i-te nelinearnosti.
Ovaj oblik se može koristiti za predstavljanje
linearnog procesa, sa nelinearnim aktuatorom, koji je
upravljan antiwindup kompenzatorom (antiwindup –
postoji interakcija između nelinearnosti oblika
zasičenja i integralnog djelovanja)).
Lur’e-Lyapunovljeva funkcija je definirana kao:
gdje je P pozitivno definitna i Qii nenegativna matrica, tako da je funkcija Lyapunova pozitivno
definitna.
Drugi izraz je uveo Lur’e, kojim se eksplicitno opisuje
nelinearnost u Lyapunovljevoj funkciji.
LMI problem
57/60
m
i
kq
iii
T i dkkkV1
)(
0)(2)()())(( QPxxx
-
Lyapunovljeva metoda za vremenski diskretne
sisteme zasniva se na razlici:
Ukupni sistem je globalno asimptotski stabilan ako
se matrice P i Qii mogu izračunati tako da je navedena razlika manja od nule.
Nelinearnosti su ograničene korištenjem izraza (****)
i teorema srednje vrijednosti, pri čemu se S-
procedura koristi za konvertiranje razlike funkcija
Lyapunova, uključene u (***), u LMI.
LMI problem
58/60
)(())1(( kVkV xx
-
Može se pokazati, za vremenski diskretni sistem sa
ograničenjima (***) i (****), da je dovoljan uvjet za
globalnu asimptotsku stabilnost postojanje pozitivno
definitne matrice P i dijagonalnih pozitivno
semidefinitnih matrica Q i R takvih da je:
gdje su:
LMI problem
59/60
0
2221
1211
MM
MM
RQCBQCBTQCBCBPBBM
RCIAQCIATQCCBPABM
RCQCIATQCBCIAPBAM
IATQCCIAPPAAM
2
)()(
)()(
)()(
22
21
12
11
TTTTT
TTT
TTTTTT
TTT
-
U prethodnim izrazima je matrica T = diag{Tii}.
Nova matrica R je uvedena pomoću S-procedure.
Navedeni problem je LMI problem izvodivosti koji se
koristi za analizu pH neutralizacijskih procesa i
kristalizacijskih procesa unutar nelinearni, zatvorenih
sistema upravljanja.
S-procedura omogućuje da se ne-LMI uvjeti, koji se
pojavljuju u analizi nelinearnih sistema, mogu
predstaviti sa LMI.
LMI problem
60/60