lekcija 5: sinteza mimo regulatorajvelagic/laras/dok/lekcija... · 2013. 1. 9. · lekcija 5:...

Lekcija 5: Sinteza MIMO

regulatora

Prof.dr.sc. Jasmin Velagić

Elektrotehnički fakultet Sarajevo

Kolegij: Multivarijabilni sistemi

2012/2013

Opća upravljačka konfiguracija sa neizvjesnošću

i regulatorom

Ciljevi:

Definirati N(s) koji će oslikavati svojstva

zatvorene petlje.

Odrediti K(s) da se postigne željeni N(s).

Opća upravljačka konfiguracija

2/67

Sistem upravljanja sa 1-DOF

Izlaz y, upravljački ulaz u i pogreška e dani su sa:


3/67

)()()()()()()(

)]()()()[()()(

)()()()()()()(

sssssss

ssssss

sssssss

nTdSrSe

dnrSKu

nTdSrTy

Zahtjevi koji se postavljaju na K, u smislu

stabilizacije G-a, su:

Eliminiranje smetnje učiniti malim.

Prigušenje šuma načiniti T malim.

Slijeđenje referentne veličine

Redukcija stanja ulaza (energije) načiniti

malim.

Robusna stabilnost u prisustvu aditivne

perturbacije načiniti malim.

Robusna stabilnost u prisustvu izlazne

multiplikativne neizvjesnosti načiniti

malim.

Ovi zahtjevi se ne mogu zadovoljiti istovremeno, tj.

postoje konfliktni ciljevi pri dizajnu regulatora.


4/67

)(S

1)()( TT

)(KS

)(KS

)(T

Dizajn regulatora uključuje kompromis između

navedenih konfliktnih ciljeva:

Sinteza: formulacija i rješavanje problema

optimizacije.

Oblikovanje petlje (engl. Loop-shaping): “ručno”

oblikovanje otvorene petlje pojačanja.


5/67

41.12))((/1 Bj S

Prethodni zahtjevi su se odnosili na zatvorenu petlju,

ovdje imamo posla sa oblikovanjem otvorene petlje.

Klasično oblikovanje petlje – oblikovanje otvorene

petlje L = GK, zahtijeva se:

Na frekvencijama gdje je imamo

Na frekvencijama gdje je imamo

Na frekvenciji B ( ) imamo:


6/67

1)()(

11)( L

SL

1)( L

41.2))((41.0 Bj L

)(/1)( LS

1)( L )()( LT

)(GK

1)( GK)(K

1)( GK)(GK

1)( GK

Preko specificiranog frekvencijskog područja mogu

se aproksimirati zahtjevi zatvorene petlje sa

zahtjevima koji se odnose na otvorenu petlju:

Za eliminiranje smetnje učiniti velikim;

ispravno za frekvencije na kojim je

Za prigušenje šuma načiniti malim;

ispravno za frekvencije gdje je

Za slijeđenje reference učiniti velikim;

vrijedi za frekvencije na kojima je

Za robusnu stabilnost na aditivne perturbacije

učiniti malim; vrijedi za frekvencije na

kojima je

Za robusnu stabilnost na multiplikativne

izlazne perturbacije učiniti malim


7/67

)(GK1)( GK

)(GK )1)(( GK

)(L

Zahtjevi 1. i 3. su validni i važni na niskim

frekvencijama, tj, 0 l B .

Zahtjevi 2., 4., 5. i 6. su uvjeti koji su ispravni i važni

na visokim frekvencijama, tj. B h .

Na frekvencijama na kojima se želi veliki iznos

pojačanja (niske frekvencije), “najlošiji slučaj”

pravca je povezan sa .

Na frekvencijama gdje se želi postići mali iznos

pojačanja (visoke frekvencije) “najlošiji slučaj”

pravca je povezan sa .


8/67

)(L

Opći problem upravljanja bez neizvjesnosti

Sinteza regulatora:

m = 2 imamo H2-optimalno upravljanje,

m = imamo H-optimalno upravljanje.

Rješenje zasnovano na modelu P(s).


9/67

wKPFz ),(

mF

Kmin

Određivanje P(s) – pristup zasnovan na signalu

Formulacija ovog pristupa: minimizirati otežanu

pogrešku upravljanja e i upravljački ulaz u u

prisustvu reference r i poremećaja (smetnje) d.

Vektor ulaza w i vektor z su:


10/67

uW

eWz

d

rw

u

P ,

U otvorenoj petlji (n = 0) imamo:

Na temelju ovih izraza slijedi izraz za P(s):


11/67

GuwwGudrev

uWz

GuwwWGudrWeWz

21

2

211 )()(

u

PPP

)(

)(

)()()()(

)(

s

s

ssss

s u

PPP

GI-I-

IW

GWIWIW

P 00

)( ;

dyW

eWzdw

T

P

Određivanje P(s) – oblikovanje funkcija prijenosa

Razmatra se oblikovanje funkcija prijenosa zatvorene

petlje, S i T, rješavanjem problema optimizacije:

Signali w i z odabiru se tako da je:

Budući da je e = Sd i y - d = Td, odabiremo:


12/67

TW

SWKPF

TW

SW

KT

P

mT

P),( min

wTW

SWz

T

P

Korištenjem prethodnih izraza dobiva se:


13/67

)(

)()(

)()()(

)(

s

ss

sss

s T

PP

GI-

GW

GWIW

P 0

Opća upravljačka struktura

Realizacija generaliziranog procesa P(s) u prostoru stanja:

Sinteza regulatora

14/67

u

w

PP

PP

u

wP

v

z

)()(

)()()(

2221

1211

ss

sss

vKu )(s

22212

12111

21

DDC

DDC

BBA

Ps

Funkcija prijenosa zatvorenog sistema od w prema z

dana je linearnom frakcijskom transformacijom:

gdje je:

H2 i H upravljanja uključuju minimiziranje H2 i H

normi od Fl(P, K).

Oba upravljanja zahtijevaju rješavanje dvije

Riccatijeve jednadžbe, njihovi regulatori imaju

dimenziju stanja jednaku dimenziji generaliziranog

procesa P i oba regulatora imaju separiranu strukturu.

Sinteza regulatora

15/67

wKPFz ),(l

21

1

221211 )(),( PKPIKPPKPFl

Algebarske Riccatijeve jednadžbe (ARE) su oblika:

Standardni algoritmi za rješavanje H2 i H optimalnih upravljačkih problema zasnivaju se na realizaciji

generaliziranog procesa P(s) u prostoru stanja:

gdje je [w u]T ulaz i [z v]T izlaz.

Brojne pretpostavke o P-u obično trebaju biti zadovoljene kako bi se riješio problem optimizacije

(algoritamska ovisnost).

Sinteza regulatora

16/67

22212

12111

21

)(

DDC

DDC

BBA

P s

0 QXRXXAXAT

Pretpostavka 1. (A, B2, C2) stabilizirajuće i

detektibilne.

Zahtijeva se za postojanje stabilizirajućeg K.

Prepostavka 2. B2 i B2 imaju puni rang

Osigurava pravilan K

Pretpostavka 3. Matrica ima puni

rang za sve .

Pretpostavka 4. Matrica ima puni

rang za sve .

Izbjegavati poništavanje polova i nula na

imaginarnoj osi (Pretpostavke 3. i 4.).

Pretpostavka 5. D11 = 0 i D22 = 0.

Osigurava pravilne funkcije prijenosa (kod H2).

Sinteza regulatora

17/67

121

2

DC

BIA j

212

1

DC

BIA j

Opći problem upravljanja sa neizvjesnošću

RS (neizvjesnost predstavljana punom matricom): H optimalno upravljanje koje uključuje i funkciju

prijenosa od u do u ukorporiranu u F(P, K).

RS za strukturiranu neizvjesnost i RP: sinteza (pogledati lekciju 4.):

Sinteza regulatora

18/67

)(maxmin NK

RP

wΔKPFz ),,(

Standardni H2 problem optimalnog upravljanja sastoji

se od pronalaženja stabilizirajućeg regulatora K koji minimizira:

Interpretacije H2 norme:

Signal: kovarijanca izlaza za ulaz bijelog šuma w:

što slijedi iz Parsevalovog teorema:

H2 optimalno upravljanje

19/67

),( ;)()(2

1)(

2KPFFFFF l

T djjs

)()}()({ )},()({lim)(2

2

tttEttEs TT

tIδwwzzF

djjtrtttrEttE HTT ])()([

2

1})()({)}()({ FFzzzz

Sistem: suma područja svih singularnih vrijednosti

od F:

Minimizacija kovarijance izlaza za ulaz tipa bijelog

šuma sličan je LQG problemu – RMS (Root-Mean-

Square minimizacija).

Problem H2 optimalnog upravljanja može se eksplicitno riješiti pomoću dvije Riccatijeve jednadžbe.

Rješenje se može iskazati u formi optimalni observer

stanja + optimalna povratna veza stanja (optimal

state feedback).

H2 optimalno upravljanje

20/67

djs ))((

2

1)(

2FF

2

i

Specijalan slučaj H2 optimalnog upravljanja.

Promatra se stohastički sistem:

sa:

LQG problem naći u = K(s)y takav da je:

minimiziran sa Q = QT 0 i R = RT 0.

LQG optimalno upravljanje

21/67

n

d

wCxy

wBuAxx

)()()()(

)(

t

t

tE Tn

T

d

n

dδ

V

Www

w

w

0

0

dtTEJ

TTT

T 0][

1lim RuuQxx

Q i R su odabrane

konstantne težinske

matrice (parametri

sinteze).

LQG problem može se prikazati kao H2 optimizacija.

Definirajmo signal greške z kao:

i predstavimo stohastičke ulaze wd i wn kao:

gdje je w procesni bijeli šum jedinične vrijednosti:


22/67

u

x

R

Qz

2

1

2

1

0

0

w

V

W

w

w

2

1

2

1

0

0

n

d

Iww )()}()({ tE T

LQG funkcija kakvoće:

gdje je:

i korespondentni generalizirani proces P je:


23/67 2

20),()()(

1lim KPFzz l

TT

Tdttt

TEJ

)(),()( ss l wKPFz

00

000

000

0

2/1

2/1

2/1

2/1

2221

1211

VC

R

Q

BWA

PP

PPP

Opća upravljačka konfiguracija za LQG kao problem

H2 optimalnog upravljanja.


24/67

Optimalna povratna veza stanja:

gdje X = XT 0 rješava ARE:

Optimalni estimator stanja:

gdje Y = YT 0 rješava ARE:

Opći H2 optimalni regulator može se separirati u optimalnu povratnu vezu stanja kombiniranu sa optimalnim estimatorom

stanja, gdje svaki uključuje rješavanje po jedne ARE.

LQG optimalno upravljanje - rješenje

25/67 )(ˆ)( 1 tt T xXBRu

0 QXBXBRXAXA TT 1

))(ˆ()()(ˆ)(ˆ 1 tttt T xCyVYCBuxAx

0 WCYVYCAYYA 1TT

2

2

0)( )(

)(max

t

t

t w

zF

w

U skladu sa općom upravljačkom konfiguracijom sa

slajda 14. standardni H problem optimalnog upravljanja sastoji se u pronalaženju stabilizirajućeg

regulatora K koji minimizira:

tj.

Interpretacije H norme:

Signal: maksimizacija izlaza s obzirom na ulaz

(najlošiji slučaj – inducirana 2-norma):

H optimalno upravljanje

26/67

)))(,((max),(

KPFKPF ll

)))(,((maxmin),(min

KPFKPFKK

ll

0

2)()(

i idttztz

“Najlošiji slučaj” signala odgovara sinusoidama sa

fiksnom frekvencijom.

Sistem: vršna vrijednost maksimuma singularne

vrijednosti:

H optimalni problem općenito se ne može riješiti eksplicitno.

Međutim, moguće je odrediti regulator koji daje:

za fiksni , ako takav regulator postoji.


27/67

)(max FF

F

Opći H algoritam

Promatrajmo realizaciju generaliziranog procesa u

prostoru stanja za strukturu sa slajda 14.:

Pretpostavimo da vrijede ranije pretpostavke (1.- 5.) i

pretpostavke: (6.) D12=[0 I]T , D21=[0 I], (7.) D12

TC1 =

0, B1D21T = 0, (8.) (A, B1) moguće stabilizirati i (A, B1)

moguće detektirati.


28/67

22212

12111

21

DDC

DDC

BBA

P

),( KPF

),( KPF

0

0

YCCCCYBBAYAY

XBBBBXCCAXXA

)(

)(

2211

2

11

2211

2

11

TTTT

TTTT

Ukoliko vrijede navedene pretpostavke, tada postoji

regulator K(s) takav da je ako i samo ako Riccatijeve jednadžbe:

imaju rješenja X 0 i Y 0 takva da za i vrijedi:

Ako takvo rješenje postoji tada postoji skup regulatora

K koji zadovoljava uvjet .


29/67

222112

2211

2

),()(Re

0)(Re

YXYCCCCYA

XBBBBA

TT

i

TT

i

Centralni regulator ima jednak broj stanja kao i

generalizirani proces P(s) i može se prikazati u formi observer + povratna veza stanje:

gdje su:

Da bi se odredio H optimalni regulator, obavljati

iteracije dok se ne pronađe minimum od za koji

rješenje postoji ( iteracije).

Ovo predstavlja problem konveksne optimizacije.


30/67

xFu

yxCLZuBxXBBxAx

ˆ

)ˆ(ˆˆˆ 2212

1

T

12

22 )( ; ;

XYIZCYLXBF TT

Mješovita osjetljivost (mixed-sensitivity) vezana je

za probleme oblikovanja funkcije prijenosa u kojoj je

funkcija osjetljivosti S = (I + GK)-1 oblikovana zajedno sa još jednom ili više funkcija prijenosa

zatvorene petlje, kao što su KS ili T = I - S.

Zahtjevi na sintezu regulatora:

eliminiranje utjecaja smetnje d na izlazu procesa,

pretpostavka da je šum mjerenja relativno

nevažan.

Ovaj pristup je zasnovan na oblikovanju sljedećih

funkcija prijenosa:

S (funkcija prijenosa između d i izlaza)

KS (funkcija prijenosa između d i upravljačkih signala).

H upravljanje mješovite osjetljivosti

31/67

Smetnja d je niskofrekvencijski signal uspješno

eliminiranje ako se maksimum singularne vrijednosti

od S učini malim unutar tih frekvencija.

Drugim riječima, da bi se optimirale performanse

potrebno je minimizirati:

Da bi se minimizirali upravljački ulazi, potrebno je

minimizirati:

Kompromis između ova dva zahtjeva:


32/67

S1w

KS2w

KS

S

2

1

w

w

w1 – niskopropusni filter

w2 – visokopropusni filter

uWzyWzzzz 221121 , ; TTT

Općenito se skalarne težinske funkcije w1(s) i w2(s)

mogu zamijeniti matricama W1(s) i W2(s).

Opća postavka: smetnja d kao pojedinačni vanjski ulaz, signal pogreške


33/67

S/KS optimizacija

mješovite osjetljivosti

Na temelju prethodnih izraza imamo z1 = W1Sw i

z2 = W2KSw i

odnosno:

i


34/67

2221

2

1

12

1

11

GPIP

W

GWP

WP

0

u

w

PP

PP

v

z

z

2221

1211

2

1

KSW

SWKPF

2

1),(l

Drugi koristan problem optimizacije zasnovan na

mješovitoj osjetljivosti je pronaći stabilizirajući

regulator koji minimizira:

S/T problem optimizacije mješovite osjetljivosti može se ukorporirati u standardnu upravljačku konfiguraciju

(slika na sljedećem slajdu):


35/67

2221

2

1

12

1

11

GPIP

GW

GWP

WP

0

TW

SW

2

1

S/T minimizacija mješovite osjetljivosti


36/67

Destilacijska kolona (LV konfiguracija)

Upravljane varijable su koncentracije yD i yB

hemikalija D (gornja posuda) i B (donja posuda).

Upravljačke varijable su temperatura V i protok L.

Proces je modeliran kao matrica prijenosa čiji su

ulazi L i V i izlazi yD i yB .

Primjer sinteze H upravljanja

37/67

6.1092.108

4.868.87

175

1)(

ssG

Simulacijski model destilacijske kolone.

Osnovni zahtjevi na sistem upravljanja su:

neovisno upravljanje koncentracijama hemikalija u

koloni osiguravajući da promjena postavne veličine za

jednu koncentraciju ima mali utjecaj na drugu

koncentraciju i obratno,

vrijeme odziva oko deset minuta,

neosjetljivost odlaznog toka iz posude i temperature

zagrijavanja koncentracije na djelovanje poremećaja.


38/67 dV

dL

U Y

U Y

Scope

PI(s)

PI_V

PI(s)

PI_LDsp G

Destilacijska kolona

K*u

DM

Bsp

r e

pL

pVy

u

L

VVqV

qL

D (gornja)

B (donja)

Za postizanje navedenih ciljeva koristi se upravljačka

arhitektura sa statičkom matricom rasprezanja (na

slici DM) u seriji sa dva paralelna PI regulatora za

regulaciju L i V.

Potrebno je obaviti namještanje matrice rasprezanja

DM i koeficijenta PI regulatora.

Prvi korak se sastoji u parametrizaciji podesivih

elemenata matrice DM.

Na ovaj način se kreira (2 x 2) matrica statičkih

pojačanja sa četiri podesiva parametra.

Da bi se eliminirali redundantni parametri obavlja se

normiranje PI regulatora, fiksiranjem proporcionalnih

pojačanja Kp na jedinične vrijednosti.


39/67

Nakon toga se formuliraju specifikacije dizajna kao

H sinteza.

Jedan od mogućih izbora – podesiti željeni propusni

opseg za funkcije osjetljivosti S i komplementarne

osjetljivosti T zatvorenog sistema.

Ovo vodi ka kriteriju dizajna mješovite osjetljivosti:

Na ovaj način wS “prisiljava” S da bude malog iznosa

unutar propusnog opsega, dok wT prisiljava T da se kreće izvan propusnog opsega.


40/67

1

T

S

T

S

w

w

Za ciljnu presječnu frekvenciju c = 0.1, dobar izbor

težina je:


41/67

10-3

10-2

10-1

100

101

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Am

plit

uda (

dB

)

Težine za S i T

Frekvencija (rad/minute)

1/WS

1/WT

1/001.0

)/(95.099.0 ,

001.0/

25.099.0

c

cT

c

Ss

sw

sw

Granice na

pojačanja S i T

(1/wS i 1/wT)

Finalni korak je izgraditi parametarski model funkcije

prijenosa:

Ova funkcija prijenosa preslikava r u (eS, yT).


42/67

T

S

T

S

w

w

Blok dijagram za dizajn H za mješovitu osjetljivost

Na temelju prethodne strukture konstruira se model u

prostoru stanja koji predstavlja kriterij mješovite

osjetljivosti.

Ovaj model ovisi o podesivim parametrima PI regulatora i

matrice DM.


43/67

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

From: Dsp

To: yD

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

To: yB

From: Bsp

0 10 20 30 40 50


Vrijeme (minutes)

Am

plit

uda

Prvi dizajn:

Patrametri PI_L1 regulatora:

Kp = 1, Ki = 0.0133

Patrametri PI_L1 regulatora:

Kp = 1, Ki = 0.0133

Matrica DM:

Dijagrami slijeđenja

referentnih vrijednosti

4.2957.2

362.2996.2DM

Otklanjanje utjecaja djelovanja smetnji.


44/67

-10

-5

0

5

10

From: dL

To: yD

0 50 100 150 200-15

-10

-5

0

5

10

15

To: yB

From: dV

0 50 100 150 200

Uklanjanje djelovanja smetnje

Vrijeme (minutes)

Am

plit

uda Dobro slijeđenje

referentnih

veličina, slabo

otklanjanje

djelovanja

smetnji.

Ispitivanje glavnih pojačanja (principal gains) funkcije

prijenosa zatvorenog sistema od d prema y indicira da regulator ne prigušuje zadovoljavajuće

neizvjesnost procesa na promjene ulaza.


45/67

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

-60

-40

-20

0

20

40

60

Singularne vrijednosti


Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(dB

)

G

Ttrack

Treject

Za poboljšanje otklanjanja djelovanja smetnje koristi

se sljedeća unaprijeđena upravljačka struktura.

Odabir težinskih funkcija (c = 0.1):


46/67

25.0 ,1

,

110

11000

1000

)(

d

e

n

c

c

c

ce w

ww

s

s

s

sw

we definira ciljni oblik odziva otvorene petlje (otvoreni

sistem), predstavljen amplitudnom karakteristikom

(Bodeov dijagram za we).


47/67

10-6

10-4

10-2

100

102

104

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Am

plit

uda (

dB

)

Oblikovanje ciljne petlje


Usporedba rezultata prvog i drugog regulatora

(upravljačke strukture sa slajdova 40. i 44.) –

slijeđenje referentnih veličina.


48/67

0

0.5

1

1.5

From: Dsp

To: yD

0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

To: yB

From: Bsp

0 10 20 30 40 50


Vrijeme (minutes)

Am

plit

uda

Prvi dizajn

Drugi dizajn

Drugi dizajn:

Patrametri PI_L2

regulatora:

Kp = 1, Ki = 0.0363

Parametri PI_V2

regulatora:

Kp = 1, Ki = 0.0367

Matrica DM:

927.2179.4

462.2571.4DM

Usporedba rezultata prvog i drugog regulatora

(upravljačke strukture sa slajdova 40. i 44.) –

otklanjanje djelovanja smetnje.


49/67

-10

-5

0

5

10

From: dL

To: yD

0 50 100 150 200-15

-10

-5

0

5

10

15

To: yB

From: dV

0 50 100 150 200

Otklanjanje djelovanja smetnje

Vrijeme (minutes)

Am

plit

uda

Prvi dizajn

Drugi dizajn

Poboljšanje gušenja smetnje je evidentno iz

usporedbe glavnih pojačanja od G i Treject.


50/67

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Singularne vrijednosti


Sin

gula

rne v

rije

dnosti

(dB

)

G

Ttrack

Treject

Neophodna procedura dizajna koja će biti mnogo

fleksibilnija od procedure zasnovane na mješovitoj

osjetljivosti, a u isto vrijeme ne toliko komplicirana

kao što je -sinteza.

U nastavku se opisuje procedura sinteze regulatora

oblikovanjem petlje u kombinaciji sa H robusnom stabilizacijom [McFarlane & Glover,

1990].

Korak 1. Dodavanje pretkomenzatorora i

postkompenzatora procesu kako bi se dobio željeni

oblik singularnih vrijednosti frekvencijske

karakteristike otvorene petlje.

Korak 2. Rezultantni oblikovani proces se robusno

stabilizira s obzirom na koprim faktor neizvjesnosti

korištenjem H optimizacije.

Sinteza H regulatora oblikovanjem petlje

51/67

Robusna stabilizacija

Kod MIMO sistema, klasična amplitudno i fazno

osiguranje (rezerva) nisu pouzadni indikatori za

robusnu stabilnost, pogotovo ako se promatraju

odvojeno za svaki kanal, zbog istovremenog

djelovanja perturbacija u više od jedne petlje

(matrica perturbacija).

U slučaju pojedinačnih perturbacija testovi

robusnosti su izraženi preko maksimuma singularnih

vrijednosti funkcija prijenosa različitih zatvorenih

petlji.

Korištenje pojedinačne stabilne perturbacije

dovodi do restrikcije procesa i perturbirani

modeli procesa imaju jednak broj nestabilnih

polova ili jednak broj nestabilnih nula (RHP).


52/67

Da bi se prevazišli ovi problemi, koriste se dvije

stabilne perturbacije sa koprim faktorizacijom

procesa (koristan način prikaza modela procesa).

Razmatramo stabilizaciju procesa G(s) koji je normiran koprim faktorizacijom (slijeva):

M i N su stabilne koprim funkcije prijenosa, gdje M

iskazuje dinamiku polova, a dinamiku nula N.

Stabilnost implicira da N(s) sadrži sve RHP nule od

G(s), a M(s) sve RHP polove od G(s).


53/67

)()()( 1 sss NMG

IUNVM )()()()( ssss

Koprimnost znači da nema zajedničkih RHP nula

(uključujući tačku u beskonačnosti) u M(s) i N(s) kojima bi se poništili polovi/nule kada se formira

produkt M(s)N(s).

Matematički koprimnost znači da postoje stabilne

U(s) i V(s) takve da vrijedi Bezout identitet:

Ako se uzme

Perturbirani model procesa Gp može se opisati sa:


54/67

))()(())()(()( 1 sssss NM ΔNΔMGp

INNMM )()()()( ssss TT

)()( );()( ssss TT NUMV

U prethodnom izrazu M i N su stabilne nepoznate

funkcije prijenosa koje predstavljaju neizvjesnost u

nominalnom modelu procesa G.

Na ovaj način je omogućeno da perturbacije polova i

nula sijeku imaginarnu os korištenjem M i N.

Cilj robusne stabilizacije nije samo stabilizirati

nominalni model G, već i familiju perturbiranih procesa definiranih sa:

Prema tome potrebno je odrediti regulator K koji

robusno stabilizira Gp sa:


55/67

MNNMp sssss ΔΔΔNΔMG :))()(())()(()(1

MN

ΔΔ je stabilna rezerva

Maksimizacija predstavlja problem robusne

stabilizacije normiranih procesa koprim

faktorizacijom, kako je objašnjeno u [Glover &

McFarlane, 1989]

Perturbirani zatvoreni sistem sa H robusnom stabilizacijom prikazan je na slici.


56/67

Gp može se prikazati u P- formi sa [N M] i

generalizirani proces P:

Robusna stabilnost je zadovoljena ako:

Maksimalna rezerva stabilnosti je:


57/67

11)(

MGKI

I

KP

1

P

21

2

min

max 11

H

MN

H - Hankelova norma

Korespodentni H optimalni regulator (centralni

regulator) tada garantira:

što se može direktno izračunati rješavanjem dviju

algebarskih Riccatijevih jednadžbi.


58/67

min

11)(

MGKI

I

K

Glover-McFarlane oblikovanje petlje

Korištenjem pretkompenzatora i postkompenzatora

dobiva se struktura na slici.

Oblikovani proces je opisan funkcijom prijenosa Gs:


59/67

)()()()( 12 sssss WGWG

Sinteza regulatora Ks obavit će se rješavanjem

problema robusne stabilizacije za “oblikovanje”

procesa sa normiranom koprim faktorizacijom:

Regulator zatvorenog kruga za proces G je tada:

Problem robusne stabilizacije odvija se u dva koraka

Korak 1. Definirati ciljne performanse (kriterij

kakvoće), naprimjer:


60/67

sss s NMG1)(

)()()()( 21 ssss s WKWK

1 1

TS TP ww i

Nakon toga se izabiru W1 i W2 da se postigne:

Korak 2. Obaviti robusnu stabilizaciju “oblikovanog”

procesa Gs(s) sa Ks.

Ako je max 0.25 tada performansa i robusna stabilnost obično nisu u konfliktu.

U ostalim slučajevima, ako stabilizacija jako utječe

na performansu, vratiti se na korak 1. i modificirati

pojačanje petlje.


61/67

TsB

PsB

w

w

/1)( :

)( :

G

G

Primjer 1. Sinteza Glover-McFarlane H regulatora

sa oblikovanjem petlje za procese zahvaćene

smetnjom.

Razmatra se proces i model smetnje:

Zahtjevi na sintezu regulatora su: postizanje, po

mogućnosti, dobrog otklanjanja utjecaja smetnje i

frekvencija presjeka na karakteristici pojačanja treba

biti oko 10 rad/s.

Rješenje:

Odabere se pojačanje petlje da bude


62/67

110

100)( ;

)105.0(

1

110

200)(

2

ssG

sssG d

ds GG

Željeno ponašanje je definirano sa:

Nakon zanemarenje visokofrekvencijske dinamike u

G(s) dobiva se inicijalna vrijednost težine .

Da bi se poboljšale performanse na niskim

frekvencijama dodaje se integralno djelovanje, kao i

element faznog prethođenja s+2 kojim se smanjuje

nagib L-a od -2 na niskim frekvencijama do oko -1 na frekvenciji presjeka.

Da bi se odziv učinio malo bržim, pojačanje se množi

faktorom 2 da bi se dobila težina:


63/67

s

sW

21

dGGW1

1

5.01 W

Ovo djelovanje proizvodi oscilatoran odziv.

Na ovaj način se dobije oblikovani proces Gs = GW1 sa frekvencijom presjeka 13.7 rad/s.

Amplituda od Gs(j) prikazan je na slajdu 67. isprekidanom linijom.

Odziv sistem na jediničnu skokovitu smetnju sa

regulatorom K = W1 prikazan je također isprekidanom linijom na drugoj slici, za koga se očekivalo da će biti

oscilatoran.

Navedeni rezultati su dobiveni sa dizajnom inicijalnog

oblikovanja petlje.

Da bi se poboljšali rezultati, pomenuti regulator se

nastoji učiniti robusnijim na način da tolerira H koprim faktor neizvjesnosti što je moguće više.


64/67

Za ovo se koristi Matlabova funkcija coprimeunc,

koja pronalazi optimalan regulator koji robusno

poboljšava oblikovani proces u smislu toleriranja

neizvjesnosti maksimuma koprim faktora korištenog

u proceduri H oblikovanja petlje po McFarlane –

Gloveru.

Maksimalno osiguranje stabilnosti dobiveno sa

poboljšanim regulatorom K = W1Ks (izračunato

korištenjem Matlabove funkcije ncfsyn) iznosi min =

2.34, odnosno max = 0.43.

Nakon toga uzeti = 1.1min i odrediti

korespondentni robusni regulator Ks.


65/67

U ovom primjeru dobivene su sljedeće funkcije

prijenosa procesa i regulatora (regulator Ks i proces

Gs imaju po 4 stanja, regulator K = W1Ks pet stanja,

W1 jedno stanje):


66/67

sssss

sssssK

ssss

ssssK

ssss

ssG

s

s

24330013290058108.126

2078002508008585064886.143)(

24330013290058108.126

1039007345062016.143)(

1.10002.1025.0

400200)(

2345

234

234

23

234

Rezultati provedene procedure prikazani su na

slikama.

Isprekidanim linijama prikazani su rezultati za

inicijalni dizajn oblikovanja procesa (Gs), a punim

linijama robusno poboljšanje oblikovanja (GsKs).


67/67

10-2

100

102

10-2

100

102

104

Frekvencija [rad/s]

Am

plit

uda

0 1 2 3-0.5

0

0.5

1

Vrijeme [s]

Oblikovanje petlji |L(j)| Odziv na smetnju (jedinični skok)

lekcija 5: sinteza mimo regulatorajvelagic/laras/dok/lekcija... · 2013. 1. 9. · lekcija 5:...

Documents