lekcija 13:lekcija 13: petrijeve mrežepetrijeve...

Lekcija 13:Lekcija 13:Petrijeve mrežePetrijeve mreže

Prof dr sc Jasmin VelagićProf.dr.sc. Jasmin VelagićElektrotehnički fakultet Sarajevo

K l ij Di t ib i i i t iKolegij: Distribuirani sistemi

2012/2013

Sadržaj poglavlja:

Petrijeve mreže

j p g j

2/62Motivacija za korištenje Petrijevih mreža

O P t ij ih ž

2/62

Osnove Petrijevih mreža

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaPravila izvedbe Petrijevih mreža

Klasifikacija Petrijevih mreža

3.1. Motivacija za korištenje PNPetrijeve mreže predstavljaju formalnugrafičku metodu modeliranja predloženu 4/62g j pod strane Petrija 1960-tih godina.Predstavlja moćan alat modeliranja:

4/62

Predstavlja moćan alat modeliranja:konkurentnost, sinhronizacija, uzajamno

isključivanje, prioritet, sekvencijalnoizvršavanja,...

Veoma popularan koncept, mnogo proširenjai varijanti, mnogo alata (komercijalnih i javnoi varijanti, mnogo alata (komercijalnih i javnodostupnih).Petrije e mreže s korisne a k alitati nPetrijeve mreže su korisne za kvalitativnuverifikaciju i logičku analizu.

Motivacija za korištenje PNDostupnost / sekvence događaja / performancemodeliranja / evaluacija su korisne za:

5/62dizajn komunikacijskih protokola, dizajn računarskiharhitektura, dizajn sistema baze podataka, dizajndi t ib i ih i t di j lj čk l ik i

5/62

distribuiranih sistema, dizajn upravljačke logike iplaniranja za automatizirane i proizvodne sisteme, brzirazvoj prototipa, ...j p p ,

Klase Petrijevih mreža:mreže stanja i prijelaza mreže visoke razinemreže stanja i prijelaza, mreže visoke razine(obojene Petrijeve mreže, predikcijske mreže),

“untimed” Petrijeve mreže vremenske Petrijeveuntimed Petrijeve mreže, vremenske Petrijevemreže,

stohastičke Petrijeve mreže: GSPN (generaliziranestohastičke Petrijeve mreže: GSPN (generaliziranestohastičke Petrijeve mreže) - GreatSPN, DSPN(determinističke stohastičke Petrijeve mreže).

Motivacija za korištenje PN

6/62

Najvažnija primjena Petrijevih mreža je umodeliranju složenih stohastičkih DES (Discrete

6/62Event Systems) sistema:protokoli, komunikacijski sistem, arhitekturač t ti i i i t i i d i i t iračunara, automatizirani sistemi, proizvodni sistemi

Posebno izražen problem modeliranja složenihsistema sa eksponencijalnom distribucijomsistema sa eksponencijalnom distribucijomvremenskih kašnjenja.Kako definirati stanje kako stanju pridružiti događajKako definirati stanje, kako stanju pridružiti događaji njihovu međusobnu povezanost?Neophodan je sistematičan metod modeliranjap j jsloženih sistema.Stohastičke Petrijeve mreže su najpopularniji metod.j j jOsim njih se dosta koriste i druge metode i alatimodeliranja.

3.2. Osnove Petrijevih mreža

Općenito se Petrijeva mreža opisuje kao

Osnovni elementi Petrijeve mreže7/62Općenito se Petrijeva mreža opisuje kao

bipartitni graf sastavljen od mjesta (engl.places) koja su grafički predstavljena

7/62

places), koja su grafički predstavljenakrugovima, prijelaza (engl. transitions)predstavljenim pravokutnicima i direktnihpredstavljenim pravokutnicima i direktnihgrana (engl. directed arcs) koje povezujumjesta i prijelazemjesta i prijelaze.Petrijeva mreža predstavlja, ustvari, mrežumjesta i prijelaza u kojoj mjesta imajuznačenje uvjeta, a prijelazi događaja usmislu definicije sistema uvjeta i događaja.


Svaka akcija paljenja mreže uklanja oznake

Osnovni elementi Petrijeve mreže8/62Svaka akcija paljenja mreže uklanja oznake

(engl. tokens) iz ulaznih mjesta i dodaje ihjednom ili više izlaznih mjesta

8/62

jednom ili više izlaznih mjesta.Broj uklonjenih oznaka na ulaznim i brojdodanih oznaka na izlaznim mjestima ovisiod težine (engl. weight) ulazećih/izlazećihgrana, respektivno. Ako su težine svih granaPetrijeve mreže jednake 1, tada se takvamreža naziva ordinarna ili obična Petrijevamreža. U suprotnom, mreža je otežana ilineordinarna.

Osnove Petrijevih mrežaStruktura i izvedba Petrijeve mreže

9/629/62Struktura obične Petrijeve mreže uključuječetiri komponente:

Skup mjesta P.

Sk ij l TSkup prijelaza T.

Funkciju ulaza I.Funkciju ulaza I.

Funkciju izlaza O.

Osnove Petrijevih mrežaDefinicija obične Petrijeve mreže

10/62 Def 13.1. (Petrijeva mreža) Petrijeva mreža C je četvorka C=(P,T,I,O) sa značenjem:

10/62

{ } PpnpppP in ∈≥= ,0 ,,...,, 21 , je konačan skup mjesta. { } TntttT in ∈≥= t,0 ,,...,, 21 , je konačan skup prijelaza.

00 TPTP 0 ,0 ≠∪=∩ TPTP . ∞→ PTI : je funkcija ulaza, koja opisuje preslikavanje izprijelaza u skupinu ulaza (ulaznih mjesta) Mjesto ip je ulaznoprijelaza u skupinu ulaza (ulaznih mjesta). Mjesto ip je ulazno mjesto za prijelaz tj ako )( ji tIp ∈ . Broj pojavljivanja mjesta ipkao ulaznog označava se sa ))(,( ji tIp# . g j

∞→ PTO : je funkcija izlaza, koja opisuje preslikavanje izprijelaza u skupinu izlaza (izlaznih mjesta).

Mjesto p je izlazno mjesto za prijelaz t ako je p O(t ) BrojMjesto pi je izlazno mjesto za prijelaz tj ako je pi∈O(tj). Broj pojavljivanja mjesta pi kao izlaznog označava se sa #(pi ,O(tj)).

St kt i i db P t ij žOsnove Petrijevih mreža

Funkcija ulaza i funkcija izlaza mogu se definiratii k lik j j t ij l

Struktura i izvedba Petrijeve mreže

11/62i kao preslikavanje mjesta u prijelaze:

: ∞→TPI

11/62

pri čemu vrijedi:

,: ∞→TPO

pri čemu vrijedi:

))(())((

))(,())(,( jiij

tIppOt

tOppIt

=##

=##

Struktura Petrijeve mreže predočuje se bipartitnim usmjerenim

)).(,())(,( jiij tIppOt ##

j j jmultigrafom.Bipartitnost odgovara disjunktnim skupovima mjesta (oznaka O)i ij l ( k | ) G f j j d l ti prijelaza (oznaka | ). Grana u grafu usmjerena je od elementajednog skupa prema elementu drugog skupa. Dopušteno jepovezivanje dvaju elemenata s više grana.


Def. 3.2 (Graf Petrijeve mreže). Graf Petrijeve 12/62

Graf Petrijeve mreže( j ) j

mreže G je bipartitni usmjereni multigraf, gdje je:12/62

- skup tačaka,),...,,( 21 svvvV =

- skupina direktnih grana,),...,,( 21 raaaA =

)( V

Skup V može se podijeliti u dva disjunktna skupa P i

),,( kji vva = Vvv kj ∈,

p p j j pT takva da je , i za svaku direktnugranu , ako je , tada ili i ,ili i

0 , ≠∩∪= TPTPVAai ∈ ),( kji vva = Pv j ∈ Tvk ∈

T Pili i .Tv j ∈ Pvk ∈


Primjer 3.1. 13/62

Graf Petrijeve mrežej

Zadana je struktura Petrijeve mreže:

)( OITPC

13/62

),,,( OITPC =

},,,{ 4321 ppppP = },,,{ 4321 pppp

},{ 21 ttT =

}{)( },,{)( 41211 ptOpptI ==

}{)(}{)( OI }{)( },,{)( 42322 ptOpptI ==

Predočiti grafički zadanu strukturu Petrijeve mreže.


Primjer 3.1. Rješenje – grafički prikaz strukture 14/62

Graf Petrijeve mrežej j j g p

Petrijeve mreže14/62

1p 2p 3p

1t 2t

4p


Primjer 3.2.Graf Petrijeve mreže

15/62Zadana je struktura Petrijeve mreže:

),,,( OITPC =

15/62

},,,{ 4321 ppppP =},,{ 321 tttT =

1))(,(# 1))(,(# },,{)(2))(,(# },{)(

2322322

1111

=====

tIptIppptItIpptI

1))(,(# },{)( 3333 == tIpptI

1))(,(# 1))(,(# },,{)( 1312321 === tOptOppptO

2))(,(# },{)(1))(,(# },{)(

3443

2442

====

tOpptOtOpptO

Predočiti grafički zadanu strukturu Petrijeve mreže.


Primjer 3.2. Rješenje – grafički prikaz struktureGraf Petrijeve mreže

16/62j j j g pPetrijeve mreže

16/62

2p2t2t

1p 1t 4p

3p t3t

Osnove Petrijevih mrežaGraf Petrijeve mreže

17/62Za Petrijevu mrežu se mogu definirati dualna i inverznamreža.

17/62

Dualna mreža Petrijeve mreže je mreža

a izvodi se zamjenom mjesta i prijelaza

),,,( OITPC =)( OIPTC = , a izvodi se zamjenom mjesta i prijelaza.

Inverzna Petrijeva mreža je mreža kojase izvodi zamjenom ulaza i izlaza

),,,( OIPTC =

),,,( IOTPC =−se izvodi zamjenom ulaza i izlaza.

Osnove Petrijevih mrežaOznačavanje Petrijeve mreže

18/62Def. 3.3. (Označavanje Petrijeve mreže). Označavanje μPetrijeve mreže je funkcija iz skupa mjesta),,,( OITPC =

18/62

P u skup nenegativnih cijelih brojeva N, .Vektorski se označavanje prikazuje ovako:

NP→:μ

),...,,...,,( 21 ni μμμμ=μ

gdje je i , pri čemu μi odgovara|| Pn = niNi ,...,2,1 , =∈μbroju oznaka u mjestu pi, odnosno μi=μ(pi).Def. 3.4. (Označena Petrijeva mreža). OznačenuP t ij ž M (C ) či i t kt P t ij ž CPetrijevu mrežu M=(C,μ) čini struktura Petrijeve mreže Csa vektorom oznaka μ.


Označavanje Petrijeve mreže provodi se

Označavanje Petrijeve mreže19/62Označavanje Petrijeve mreže provodi se

pridruživanjem oznaka ( ) mjestima mreže, saznačenjem ispunjenosti uvjeta.

•

19/62

j p j jBroj i raspored oznaka u mjestima može seizmijeniti tokom izvedbe Petrijeve mreže.Za primjer 2. označena mreža prikazana je nasljedećem slajdu.Vektor oznaka za takvo označenu mrežu izgledaovako:

)0,0,0,2(),,,( 4321 == μμμμμ


Označena mreža iz primjera 2 izgleda kao na slici

Označavanje Petrijeve mreže20/62Označena mreža iz primjera 2. izgleda kao na slici

ispod.20/62

2p2t

1p 1t 4p

3p3t

Označena Petrijeva mreža


B j k k ji ž id žiti j t

Označavanje Petrijeve mreže21/62Broj oznaka koji se može pridružiti mjestu

nije ograničen.21/62

Skup svih oznaka Petrijeve mreže sa nmjesta jest skup svih n vektora, odnosno Nn.Praktična interpretacija vektora oznakaodgovara pojmu stanja koje se definirag p j j jkao skup istodobno ispunjenih uvjeta.

3.2. Pravila izvedbe Petrijevih mrežaIzvedba Petrijeve mreže

I db P t ij ž d đ j ili 22/62Izvedba Petrijeve mreže određena je pravilimaizvođenja koji upravljaju kada i kako se oznakepomiču iz jednog mjesta u drugi uz pomoć

22/62

pomiču iz jednog mjesta u drugi uz pomoćaktiviranja prijelaza.Međutim prijelaz se može aktivirati samo ako jeMeđutim, prijelaz se može aktivirati samo ako jeomogućen, to jest ako svaki od ulaznih mjesta imanajmanje onoliko oznaka koliko ima grananajmanje onoliko oznaka koliko ima granausmjerenih prema prijelazu.Broj i distribucija oznaka određuju izvedbuBroj i distribucija oznaka određuju izvedbuPetrijeve mreže.Mreža se izvodi realizacijom prijelaza pri čemuMreža se izvodi realizacijom prijelaza, pri čemuulazna mjesta gube oznake, a izlazna ih dobivaju.

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaOmogućenje prijelaza

Def 3 5 (Omogućenje prijelaza) Prijelaz uTt 23/62Def. 3.5. (Omogućenje prijelaza) Prijelaz uoznačenoj Petrijevoj mreži je

Tt j ∈),,,,( μOITPM =

23/62

omogućen (može se izvesti) ako je za svaki :Ppi ∈

))((#)( I≥

Drugim riječima prijelaz se može izvesti ako svako

))(,(#)( jii tIpp ≥μ

Drugim riječima prijelaz se može izvesti ako svakoulazno mjesto ima najmanje toliko oznaka sa kolikoje grana povezano sa prijelazomje grana povezano sa prijelazom.

Nedeterminizam se javlja kada se omogućisim ltano i ođenje prijela a o om sl čaj bilosimultano izvođenje prijelaza, u ovom slučaju, bilokoji od ovih prijelaza može se aktivirati kao sljedeći.

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaProvedba prijelaza

24/62Def. 2.6 (Provedba prijelaza).Prijelaz u označenoj Petrijevoj mrežiTt j ∈

24/62

j j j jsa oznakom μ može se

izvesti uvijek kada je on omogućen

j

),,,,( μOITPM =izvesti uvijek kada je on omogućen.Provedba prijelaza rezultira novim stanjem(oznakom) definiranim sa:

jtμ′(oznakom) definiranim sa:μ

PptOptIppp ∈∀+=′ ))((#))((#)()( μμ PptOptIppp ijijiii ∈∀+−= )),(,(#))(,(#)()( μμ

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaPrimjer izvedbe prijelaza (1/5)

Primjer 3 2 Za mrežu sa slajda 20 uz početno 25/62Primjer 3.2. Za mrežu sa slajda 20. uz početnostanje μ ispitati koji se prijelaz može provesti i

ik i j ž k i d ij l

25/62

prikazati stanje mreže nakon izvedenog prijelaza.

Rješenje:

Za ovu mrežu se može izvesti samo prijelaz t1 jer jeispunjeno:ispunjeno:

0))((#0)(2))(,(#2)( 111 =≥= tIppμ

0))(,(#0)(0))(,(#0)(

133

122

=≥==≥=

tIpptIpp

μμ

0))(,(#0)( 144

133

=≥= tIppμμ


Za ostale prijelaze to ne vrijedi: 26/62

0))((#2)( =≥= tIppμ

Za ostale prijelaze to ne vrijedi: 26/62

1))((#0)(1))(,(#0)(0))(,(#2)(

222

211

≥=≥==≥=

tIpptIpptIpp

μμμ

0))(,(#0)(1))(,(#0)(

244

233

=≥==≥=

tIpptIpp

μμ

0))(,(#2)( 311 =≥= tIppμ

1))(,(#0)(0))(,(#0)(

333

322

=≥==≥=

tIpptIpp

μμ

.0))(,(#0)( 344 =≥= tIppμ


Izvedbom prijelaza dolazi se u novo stanje: 27/62Izvedbom prijelaza dolazi se u novo stanje:

0022))((#))((#)()( =+=+=′ tOptIppp μμ

27/62

1100))(,(#))(,(#)()(0022))(,(#))(,(#)()(

121222

111111

=+−=+−=′=+−=+−=

tOptIppptOptIppp

μμμμ

0000))(,(#))(,(#)()(1100))(,(#))(,(#)()(

141444

131333

=+−=+−=′=+−=+−=′

tOptIppptOptIppp

μμμμ

odnosno:

))(,())(,()()( 141444 pppp μμ

odnosno:

)0,1,1,0(=′μ )0 ,1,1,0(μ


Sva ulazna mjesta prijelaza koji se izvodi gube 28/62Sva ulazna mjesta prijelaza koji se izvodi gubeoznake, a sva ih izlazna dobivaju.Stanje mreže nakon izvedbe prijelaza t1 izgleda kao

28/62

Stanje mreže nakon izvedbe prijelaza t1 izgleda kaona slici

2p2t2

1p 1t 4p

3p3t


Odnos mjesta i prijelaza u procesu izvedbe može 29/62Od os jesta p je a a u p ocesu edbe o ebiti ovakav:

29/62

- mjesto pi i prijelaz ti nisu povezani,

- mjesto pi je ulazno mjesto za prijelaz ti

)()( ii pp μμ =′

′ mjesto pi je ulazno mjesto za prijelaz ti,

- mjesto pi je izlazno mjesto za prijelaz ti ,

))(,(#)()( jiii tIppp −=′ μμ

))((#)()( tOppp +=′ μμ

- mjesto pi je ulazno i

))(,(#)()( jiii tOppp += μμ

))((#))((#)()( tOptIppp +=′ μμizlazno za prijelaz ti .

P t t j č k ih t j j t j

))(,(#))(,(#)()( jijiii tOptIppp +−= μμ

Prostor stanja označava skup svih stanja, a promjenu stanjaopisuje funkcija sljedećeg stanja.

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaFunkcija sljedećeg stanjaDef 3 7 (Funkcija sljedećeg stanja) 30/62Def. 3.7. (Funkcija sljedećeg stanja).Funkcija sljedećeg stanja za označenuP t ij ž i ij l j

nn NTN →×:δ)( OITPM T

30/62

Petrijevu mrežu i prijelaz je definirana ako i samo ako vrijedi:

),,,,( μOITPM = Tt j ∈

PptIpp ijii ∈∀≥ )),(,(#)(μ ,

odnosno ako se prijelaz tj može izvesti u stanju μ.

j

p j j j μAko je definirana, tada je , gdje je: ),( jtμδ μμδ ′=),( jt

PptOptIppp ijijiii ∈∀+−=′ )),(,(#))(,(#)()( μμ

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaTrenutno dostupno stanje

D f 3 8 (T t d t t j ) 31/62Def. 3.8. (Trenutno dostupno stanje)Za označenu Petrijevu mrežu ),,,,( μOITPM =

31/62

j

stanje je trenutno dostupno iz ako postoji ),,,,( μOITPM

μ′ μprijelaz takav da vrijedi:Tt j ∈

μμδ ′=),( jt

Pravila izvedbe Petrijevih mrežaGraf stanja i stablo dostupnosti

Graf stanja dobiva se izvedbom Petrijeve mreže uz32/62zadano početno stanje.

U prvom koraku određuju se prijelazi koji se mogui ti č t t j S k t k ij l

32/62

izvesti u početnom stanju. Svakom takvom prijelazuodgovara grana prema čvoru koji opisuje novo stanjeu kojem mreža prelazi provedbom prijelazau kojem mreža prelazi provedbom prijelaza.Svaki sljedeći korak izvodi se na isti način, sličnometodi promjene stanja.metodi promjene stanja.Mreža može prijeći u sljedeće stanje koje već postoji.Tada se granom povezuju dva postojeća čvorag p j p jmreže.Graf stanja ekvivalentan je njezinom stabludostupnosti.Početno stanje označava korijen stabla dostupnosti.


Stablasta struktura postiže se tako da se za svaki 33/62Stablasta struktura postiže se tako da se za svakiprijelaz uvode nova grana i novi čvor, bezpovezivanja postojećih stanja.

33/62

p j p j jOstaje problem ograničavanja pojavljivanja jednogprijelaza unutar slijeda prijelaza koji se izvode.To se odražava pojavom stanja u kojima suoznačena ista mjesta, ali su neka od njih označenarazličitim brojem oznaka.Neka je takvo prvo stanje , a nekom sekvencijom

ij l d šl d t j k jμ

μ′prijelaza došlo se u drugo stanje u kojem seponovo izvodi ista sekvencija stanja i prelazi se u .

μμ ′′


Za navedenu sekvencu prijelaza vrijedi: 34/62p j j

)( μμμμ −′+=′

34/62

)(2)()()( μμμμμμμμμμμμ −′+=−′+−′+=−′+′=′′

ili općenito:

)( μμμμ −′+= nn

što se pokazuje da će se po volji velik broj oznaka unekom mjestu dobiti odgovarajućim ponavljanjemslijeda prijelaza.


Takav se broj oznaka može smatrati i beskonačnim, 35/62j ,pa se može označiti simbolom ω za koji, uz zadanukonstantu a, vrijedi:

35/62

j

ωωωω =+

aa

ωωω

<=−

aa

.ωω ≤

Tako se postiže konačnost grafa stanja.Graf stanja je temelj za određivanje dinamičkihGraf stanja je temelj za određivanje dinamičkihsvojstava modeliranog sistema.


Primjer 3 3 Za Petrijevu mrežu na slici nacrtati 36/62Primjer 3.3. Za Petrijevu mrežu na slici nacrtatistablo dostupnosti?

36/62

p1

p2

p4p1

p3

p4

t1

t2

t3


Rješenje 37/62Rješenje

μ0= (2, 0, 0, 1)p2

37/62

μ1 = (1, 1, 1, 1)

t1p1 p4t2μ1 ( , , , )

μ = (1 1 0 2) μ = (0 1 0 0)μ = (0 2 2 1)

t1 t2 t3p3t1

μ3 = (1, 1, 0, 2) μ4 = (0, 1, 0, 0)μ2 = (0, 2, 2, 1)

t2 t1

t3

μ5 = (0, 2, 1, 2) μ6 = (0, 2, 1, 2)

t2

μ7 = (0, 2, 0, 3)

3.3. Svojstva Petrijevih mrežaSigurnost (engl. Safeness)

38/62Def. 3.9. Mjesto označene mreže je sigurno ako za svaki vrijedi:

Ppi ∈ ),,,,( μOITPM =),( μμ CR∈′

38/62

1)( ≤′ ipμ

Svojstvo sigurnosti Petrijeve mreže određuje dabroj oznaka u svakom mjestu ne smije biti većiod jedan, odnosno da svaki uvjet može bitisamo ispunjen ili neispunjensamo ispunjen ili neispunjen.Petrijeva mreža je sigurna ako su sva mjesta u njojsigurna.sigurna.

Svojstva Petrijevih mrežaOgraničenost (engl. Boundedness)

39/62Def. 3.10. Mjesto označene Petrijeve mreže Mje k-ograničeno ako za svaki vrijedi:

Ppi ∈),( μμ CR∈′

39/62

kpi ≤′ )(μ

Ograničenost se odnosi na pojamg p jmaksimalnog broja oznaka u mjestu mreže.Petrijeva mreža je k-ograničena ako su svamjesta u mreži k-ograničena.Ograničenost se može razmatrati kao funkcija

j t k ji ž dij liti ličit t jmjesta kojima se može podijeliti različit stupanjograničenosti.

Svojstva Petrijevih mrežaŽivotnost (engl. Liveness)

40/62Def 3.11. Označena Petrijeva mreža je i-aktivna (životna) ako su svi prijelazi aktivni na razini i.

),,,,( μOITPM =40/62

Razine aktivnosti se definiraju na sljedeći način:Razina 0: prijelaz tj je neaktivan, odnosno ne može seizvesti niti u jednom slijedu prijelazaizvesti niti u jednom slijedu prijelaza.Razina 1: prijelaz tj je potencijalno aktivan (može se izvestibarem u jednom stanju)barem u jednom stanju).Razina 2: prijelaz tj se u slijedu prijelaza izvodi najmanje nputa.pRazina 3: prijelaz tj se u beskonačnom slijedu prijelazaizvodi bezbroj puta.Razina 4: prijelaz tj je aktivan, odnosno za svako stanjepostoji slijed prijelaza u kojem će se prijelaz izvesti.

Svojstva Petrijevih mrežaŽivotnost

41/62Slijedi da je mreža (prijelaz) aktivna ako je razine 41/62Slijedi da je mreža (prijelaz) aktivna ako je razine4, a neaktivna ako je razine 0. Bitno je naglasiti dapojam aktivnosti mreže nije precizno ijednoznačno definiran, za razliku od drugihsvojstava mreže. Pojam aktivnosti ima višeinterpretacija:interpretacija:

Prijelaz tj Petrijeve mreže C = (P,T,I,O) jepotencijalno aktivan u stanju μ ako postojipotencijalno aktivan u stanju μ ako postojistanje μ'∈R(C,μ) i ako se tj može izvesti u μ‘.Prijelaz t je aktivan u stanju μ ako jePrijelaz tj je aktivan u stanju μ ako jepotencijalno aktivan u svim stanjima iz R(C, μ).Prijelaz tj je aktivan ako se iz jednog stanjaPrijelaz tj je aktivan ako se iz jednog stanja,izvedbom drugih prijelaza, može prijeći u stanjeu kojem se izvodi tj.

Svojstva Petrijevih mrežaŽivotnost

42/62Svojstvo aktivnosti (životnosti) odnosi 42/62Svojstvo aktivnosti (životnosti) odnosise na mogućnost izvedbe prijelaza.Aktivna mreža isključuje mogućnostAktivna mreža isključuje mogućnostblokiranja ili potpunog zastoja umodeliranom sistemu koji se manifestiramodeliranom sistemu koji se manifestirapostojanjem prijelaza koji se nikad neizvodi ili stanja u kojem se ne može izvestiizvodi ili stanja u kojem se ne može izvestiniti jedan prijelaz.

Svojstva Petrijevih mrežaZastoj (Deadlock) i dostupnost (Reachability)

43/62Def 3 12 Prijelaz na razini 0 je neaktivan ili u 43/62Def. 3.12. Prijelaz na razini 0 je neaktivan, ili uzastoju.Petrijeva mreža je neaktivna ako je bilo koji odPetrijeva mreža je neaktivna ako je bilo koji odnjenih prijelaza u zastoju.Odnos među stanjima opisan je dostupnošću.j p j pZa mrežu sa početnim stanjem μ0 izvedbom segenerira slijed stanja (μ0,μ1,μ2,...) i slijed izvedenihprijelaza pri čemu vrijedi odnos:,...),,( 210

jjj ttt

,1),( += kkjt μμδ

za k=0,1,2,...

Svojstva Petrijevih mrežaDostupnost

44/62Def 3 13 Za mrežu M=(P T I O μ) stanje μ‘ je 44/62Def. 3.13. Za mrežu M=(P,T,I,O,μ) stanje μ jeneposredno dostupno iz μ ako postoji prijelaz tj∈Ttakav da je:takav da je:

μμδ ′=),( jt

Ako je stanje μ' neposredno dostupno iz μ, a μ' iz μ'',tada je μ'' dostupno iz μtada je μ dostupno iz μ.Skup dostupnih stanja R(M) = R(C,μ) je najmanjitakav skup definiran kao:takav skup definiran kao:

)(MR∈μ

Ako μ∈R(M) i μ''∈δ(μ',tj) za neki tj∈T tada μ''∈R(M).

Svojstva Petrijevih mrežaDostupnost

45/62Problem dostupnosti formulira se pitanjem da li za 45/62p p jPetrijevu mrežu C sa početnim stanjem μ i nekimstanjem μ' vrijedi μ‘ ∈ R(C, μ)?Dostupnost se može definirati i za podskup mjesta,kao i za odabrani skup stanja.Dostupnost je važna za izučavanje dinamičkihsvojstava mreže i za njenu analizu, a to je jedan

d j l ž ijih blod najsloženijih problema.Složenost analize povećava i mogućnostinterpretacija dostupnosti u procesu optimiranjainterpretacija dostupnosti u procesu optimiranjamreža.Mreža koja ima jednostavniju strukturu od početnoMreža koja ima jednostavniju strukturu od početnozadane može se zasnivati na kriteriju ekvivalencijemreža u smislu dostupnosti.

Svojstva Petrijevih mrežaPrekrivanje (engl. Coverability)

46/62Def. 3.14. Prekrivanje se odnosi na stanja za koja 46/62Def. 3.14. Prekrivanje se odnosi na stanja za kojavrijedi μ'' ≥ μ', a iskazuje se pitanjem da li za mrežuC sa početnim stanjem μ i stanjem μ' postoji stanjeμ μμ''∈R(C, μ) takvo da je:

μμ ′≥′′

Prekrivanje zahtijeva najmanje 1-aktivnu mrežu,

μμ

j j j jodnosno potencijalno izvedive prijelaze.Prekrivanje se može definirati i za podskup mjesta,a i za odabrani skup stanja.Po složenosti prekrivanje je problem sličand t tidostupnosti.

Svojstva Petrijevih mrežaReverzibilnost (engl. Reversibility) i konverzacija (engl. Conversation)

47/6247/62Def. 3.15. Petrijeva mreža je reverzibilna ako se izsvakog stanja μ'∈R(M) može vratiti u početno stanjeμ, odnosno ako je početno stanje dostupno izsvakog stanja.Svojstvo konverzacije odnosi se na zadržavanjejednakog, početnog broja oznaka u svimstanjima mrežestanjima mreže.Def. 3.16. Petrijeva mreža C=(P, T, I,O) sa početnimstanjem μ je strogo konverzacijska ako za svakistanjem μ je strogo konverzacijska ako za svakiμ'∈R(M) vrijedi:

.

∑∑|||| PP

∑∑==

=′11

)()(i

ii

i pp μμ

Svojstva Petrijevih mrežaKonzervacija

48/62Navedena postavka izričito 48/62putječe na strukturu mreže, jerje očito da broj ulaza i izlaza

ki ij l bi i

za svaki prijelaz mora bitijednak.M ž k j ij t

1p3p

Mreža koja nije strogokonzervacijska može sepretvoriti u takvu mrežu

1tpretvoriti u takvu mrežuizjednačavanjem brojaulaznih i izlaznih grana zasvaki prijelaz (dodavanjeparalelnih grana).

2p

Mreža na slici nije striktnokonzervativna.

2t

Svojstva Petrijevih mreža

49/62

KonzervacijaDef 3 17 Označena Petrijeva mreža 49/62Def. 3.17. Označena Petrijeva mrežaM=(P,T,I,O,μ) je konzervativna s obzirom natežinski vektor w, w=(w1, w2, ..., wi, ...., w ), n=|P|,težinski vektor w, w (w1, w2, ..., wi, ...., wn), n |P|,wi ≥ 0 ako za svaki μ'∈R(C,μ) vrijedi:

∑∑ ⋅=′⋅||||

)()(P

ii

P

ii pwpw μμ

P i j k ti ž j ik

== 11 ii

Primjer nekonzervativne mreže je prikazan nasljedećem slajdu.

Svojstva Petrijevih mreža

50/62

KonzervacijaNekonzervativna Petrijeva mreža 50/62

j

1p

1t

2p

2t

3p

Svojstva Petrijevih mrežaKonzervacija

Pojam konflikta prijelaza na razini mreže 51/62Pojam konflikta prijelaza na razini mrežeizražava se svojstvom perzistentnosti.Def 3 18 Petrijeva mreža se naziva

51/62

Def. 3.18. Petrijeva mreža se nazivaperzistentnom ako prijelaz koji se možeizvesti gubi uvjete samo vlastitomizvesti gubi uvjete samo vlastitomizvedbom.Perzistentnost ima značenje odsutnostiPerzistentnost ima značenje odsutnostikonflikta u procesu izvedbe mreže.

Svojstva Petrijevih mrežaModeliranje sposobnosti

52/6252/62

3.4. Klasifikacija Petrijevih mrežaPodjela Petrijevih mreža s obzirom na vremenska kašnjenja u prijelazima 53/62j j p j 53/62

Obična Petrijeva mreža – nema vremenskihprijelaza te se ne može koristiti za real-timeprijelaza, te se ne može koristiti za real timeaplikacije.Vremenska Petrijeva mreža – vremenskaVremenska Petrijeva mreža vremenskakašnjenja pridružena prijelazima mreže.Eksponencijalna vremenska PetrijevaEksponencijalna vremenska Petrijevamreža – prijelazi imaju eksponencijalnakašnjenja.aš je jaGeneralizirana stohastička Petrijeva mreža– specijalna vrsta eksponencijalne mreže.specijalna vrsta eksponencijalne mreže.

Klasifikacija Petrijevih mrežaVremenska Petrijeva mreža

54/62Vremenska kašnjenja su pridružena 54/62Vremenska kašnjenja su pridruženaprijelazima.

Prijelaz bez kašnjenja se naziva trenutni iliPrijelaz bez kašnjenja se naziva trenutni ilineposredni prijelaz (immediate transition) –za zaključivanje i grananje.za zaključivanje i grananje.U nekim drugim modelima vremenskakašnjenja su pridružena mjestima (Timedkašnjenja su pridružena mjestima (TimedPlace Petri Nets).Vremenska Petrijeva mreža: minimalnoVremenska Petrijeva mreža: minimalnokašnjenje (interval) i maksimalno kašnjenjesu pridruženi svakom prijelazu.p p j

Klasifikacija Petrijevih mrežaVremenska Petrijeva mreža

55/62Pravilo propaljivanja (firing rule) 55/62Pravilo propaljivanja (firing rule)Omogućeni prijelaz će se aktivirati(propaliti) nakon proteklog vremenskog(propaliti) nakon proteklog vremenskogkašnjenja ako ulazna mjesta zadrže oznake(žetone) tako da je uvjet omogućenja( ) j j g jzadržan neprestano tokom kašnjenja.Ne postoje oznake u mjestu povezanom sap j j pneaktivnom granom tokom kašnjenja.Oznake se uklanjaju i dodaju u toku epoheOznake se uklanjaju i dodaju u toku epohepropaljivanja.

Klasifikacija Petrijevih mrežaEksponencijalna vremenska Petrijeva mreža

56/62Svi prijelazi u mreži imaju eksponencijalna 56/62p j j p jkašnjenja.Sva vremena boravka su eksponencijalnoSva vremena boravka su eksponencijalnodistribuirana:

Rezidualno (preostalo) vrijeme kašnjenja uRezidualno (preostalo) vrijeme kašnjenja upropaljivanju omogućenog prijelaza tokomvremenskog označavanja –vremenskog označavanjaeksponencijalno distribuirano zbogmemorijskog svojstva.j g jMinimalno vrijeme kašnjenja u propaljivanjuomogućenih prijelaza u stanju označavanjag p j j j-- eksponencijalna distribuiranost.


57/62Primjer eksponencijalne vremenske mreže 57/62Primjer eksponencijalne vremenske mreže

t kti it1 aktivirant1 t2 t1 t2



μ0=(1, 0, 0)

Mašina se postavlja za sljedeći dio

μ1=(0, 1, 0)

Mašina obrađuje dio

μ2=(1, 0, 0)μ ( , , )

Mašina u kvaru, zahtijeva se popravak



⎤⎡ 0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

rrffpp

ssQ

0

0

⎥⎦⎢⎣ rr0

Klasifikacija Petrijevih mrežaGeneralizirana stohastička Petrijeva mreža

60/62 D f 3 19 (G li i t h tičk P t ij ž ) 60/62Def. 3.19. (Generalizirana stohastička Petrijeva mreža)GSPN je četvorka ),,,( 21 WTTCGSPN = gdje je:

C=(P,T,I,O) osnovna Petrijeva mreža, TT ⊆1 skup vremenskih prijelaza, 01 ≠T ,

TT ⊂2 skup neposrednih prijelaza, 2 p p p j , 2121 ,0 TTTTT ∪==∩ , ),...,,( 21 TwwwW = polje čiji je element +∈Riw :

Brzina eksponencijalne raspodjele koja specificirabrzinu izvođenja prijelaza, odnosno prijelaz se izvodinakon slučajnog vremenskog intervala koji ima

Oeksponencijalnu raspodjelu. Ovo se odnosi navremenske prijelaze, to jest 1Tt j ∈ . Težina koja specificira relativnu frekvenciju izvođenjaprijelaza tj, gdje je tj neposredni prijelaz, to jest tj∈T2.


61/6261/62Vremenski prijelaz

Neposredni prijelazp p j


62/62Nedostatak obične Petrijeve mreže: 62/62Nedostatak obične Petrijeve mreže:nije uključena vremenska komponenta i

stoga se ne može provesti analizastoga se ne može provesti analizaperformansi sistema (može samo analizakorektnosti)korektnosti).

Prednost GSPN u odnosu na običnu(ordinarnu) Petrijevu mrežu:

mogućnost obavljanja funkcionalneanalize i analize performansi sistema.p

Klasifikacija Petrijevih mrežaPrimjer prikaza proizvodnog sistema

62/62PLACES

f 62/62AJ1 : p1 : Raw parts of type 1AM1 : p2 : Machine M1 availableAJ2 : p3 : Raw parts of type 2AJ M hi M il blAJ2 : p4 : Machine M1 availablePROC11 : p5 : M1 processing a part type 1PROC12 : p6 : M1 processing a part type 2PROC : p : M processing a part type 1PROC21 : p7 : M2 processing a part type 1PROC22 : p8 : M2 processing a part type 2

TRANSITIONSTRANSITIONSTSP11 : t1: M1 starts processing a part type 1TSP12 : t2: M1 starts processing a part type 2TSP : t : M starts processing a part type 1TSP21 : t3: M2 starts processing a part type 1TSP22 : t4: M2 starts processing a part type 2TFP11 : t5: M1 finishes processing a part type 1TFP12 : t6: M1 finishes processing a part type 2

Prikaz jednostavnog proizvodnogprocesa pomoću Petrijeve mreže

TFP12 : t6: M1 finishes processing a part type 2TFP21 : t7: M2 finishes processing a part type 1TFP22 : t8: M2 finishes processing a part type 2

lekcija 13:lekcija 13: petrijeve mrežepetrijeve...

Documents