leis de kirchoff

lEIS DE ~<tRC).I~tOFF

TEO RIA

As leis de Kirchhoff permitem-nos solucionar circuitos eletricos de qualquer grau de complexidade - entende-se como solucionar circuitos eletricos, a determinat:;:ao de valores e sentidos de correntes e de tens6es para qualquer dispositive do circuito.

As leis de Kirchhoff formam o alicerce de toda a analise das redes eletricas e apresentam varies teoremas como Thevenin, Norton, Superposit:;:ao e outros, que serao discutidos nos pr6ximos capftulos.

Defini~oes

Rede Eletrica

Associat:;:ao de componentes eletricos, ativos ou pa~sivos, interligados de qualquer maneira desde que formando malhas. E o mesmo que circuito eletrico.

Malha

Todo percurso fechado que junto comp6e uma rede eletrica. Pode ser interna ou externa.

Leis de Kirchhoff 113

' : ' '

....

Ramo

Trecho qualquer de urn circuito eletrico compreendido entre do is n6s consecutivos.

N6

Ponto de interliga9ao de urn circuito eletrico que possui tres ou mais fios de liga9ao.

Exercfcio Resolvido

Para o circuito eletrico abaixo, determine as malhas externas e internas, os ramos e os n6s que ele possui.

R 1 R2

D

E

R6

Solu~ao

4 malhas externas: ABCDHGA, ABHDEFGA, BCDEFGHB e ABCDEFGA

3 malhas internas: ABHGA, BCDHB e DEFGHD

6 ramos: BH, DH, GH, GAB, BCD e DEFG 4 n6s: B, 0, G e H

Obs.: Os pontos A, C, E, e F nao sao n6s.

114 ELETRONICA

1 ~ Lei de Kirchh

"A soma das igual a soma das tambem e conhec

Para a figura + 16. Para esta c•

2! Lei de Kirc

"A soma da nado sentido, ~ malha no senti Malhas.

Nas figura

£ vbr

Leis de Kirc

doisn6s

tres ou mais

externas e

.,.__ ON!CA

1!! Lei de Kirchhoff

"A soma das correntes eletricas que entra num determinado n6, e igual a soma das correntes eletricas que sai desse mesmo n6". Esta lei tambem e conhecida como Lei dos N6s.

Para a figura a seguir, podemos concluir que l1 + l4 = l2 + l3 + 15 + 16. Para esta conclusao, basta aplicar-se a 1 a lei de Kirchhoff no n6 A.

~I 1 /1 2

2!! Lei de Kirchhoff

"A soma das tens6es eletricas em uma malha qualquer, num determinado sentido, e sempre igual a soma das tens6es eletricas dessa mesma malha no sentido oposto". Esta lei tambem e conhecida como Lei das Mal has.

Nas figuras abaixo, podemos concluir que:

Leis de Kirchhoff

vb1 + vb2 = V1 + V3 + V4

vb2 + vb3 = V2 + V3 + Vs

vb1 + V2 + Vs = V1 + vb3 + V4

115

. ' ,..

• I

No segundo exemplo, podemos aplicar a 2a lei de Kirchhoff tres vezes, isto e, uma para cada malha, uma vez que este circuito possui duas malhas internas e uma externa.

Obs.:

Deve-se sempre, respeitar as polaridades das tens6es eletricas analisadas para a aplica9ao da 2a lei de Kirchhoff.

Soluc_fao de Redes Eh~tricas Utilizando as Leis de KIRCHHOFF

Ao determinarmos valores de corrente e tensao de urn circuito eletrico qualquer, a traves das leis de Kirchhoff, estamos utilizando os verdadeiros conceitos eletricos e base dos diversos teoremas que surgiram posteriormente, sendo esta a grande vantagem conceitual do seu uso.

A grande desvantagem e o numero excessive de incognitas que surgem no memento de se resolver matematicamente, os "parametres de urn circuito de tamanho elevado". Este excessico numero de incognitas provoca tambem urn elevado numero de equa96es neces sarias para sua solu9ao. Portanto, outros metodos sao recomendados para a solu9ao de circuitos de propor96es elevadas em termos de numero de malhas.

Para se solucionar urn circuito atraves das leis de Kirchhoff, deve-se acompanhar esta pequena sequencia (receita) que e mostrada a seguir:

116 ELETRON/CA

1) DeterminE to analisa

Exemplos:

I l

r L

1

I 1

If

5 c

Obs.:l (adotados)

2) Ad< eire

Leis de Kir

eletricas

um circuito utilizando teoremas

conceitual

1) Determine, inicialmente, quantas correntes diferentes ha no circuito analisado.

Exemplos:

fF 12

ll I 1 +

IF +

l Corrente 3 Correntes

I 1

fF\

+

+

T . ·-- - j +-

L 14

V\\r-

I '

~~ . I 6

5 Correntes 6 Correntes

Obs.: Nos exemplos acima, os sentidos das correntes sao aleat6rios ( adotados).

2) Adota-se urn sentido qualquer para cada uma das correntes do circuito.


--

I . :

3)

4)

5)

6)

7)

8) 9)

Atraves das correntes adotadas no item anterior, determinamos, consequentemente o sentido de cada tensao eletrica do circuito (s6 para elementos passives, isto e, receptores).

Aplica-se a 1 a lei de Kirchhoff n vezes, sendo n o numero de n6s do circuito menos um.

Aplica-se a 2a lei de Kirchhoff m vezes, sendo m o numero de malhas internas do circuito. Pode-se aplicar a 2a lei de Kirchhoff, como ja vimos, tambem para as malhas externas, mas acreditamos que isto dificulta a solu~ao do circuito do ponto de vista mate matico.

Resolve-se o sistema de equa~6es, determinando o valor de todas as correntes.

Todas as correntes que resultaram num valor negative, devem ter os seus sentidos alterados e, consequentemente, altera-se tambern o sentido das tens6es atingidas por essas mesmas correntes.

Determina-se o valor de cada uma das tens6es do circuito.

Ap6s todos os calculos, verifica-se se em cada n6 a 1 a lei de Kirchhoff esta sendo obedecida e se para qualquer malha (intern a ou externa), a 2a lei de Kirchhoff esta sendo cumprida. Se nao estiver, refa~a a analise das equa~6es e os calculos, porque ha algum erro; se estiver tudo correto, a analise do circuito chegou aofim.

Exerclcio Resolvido

Determine as tens6es e as correntes existentes no circuito abaixo:

\.. ~ 'S

t-~["--4k0 ~ 5000

"' 2k0 j

2v + 12v

6v 2k0

118 ELETRONICA

1) 2)

3)

4)

5)

Este Ado1 que1

A~

n N1

AI m M IV A

11 2

E c .. €

E

Leis de

~rminamos, do circuito

erode n6s

1umero de ! Kirchhoff, s acreditao de vista

>rdetodas

devem ter ra-se tarnas corren-

uito.

1a lei de 1a (interna t Se nao 1orque ha :> chegou

abaixo:

....,.__ ON!CA

1) Este circuito possui tres correntes eletricas.

2) Adotaram-se os sentidos indicados abaixo de corrente e consequentemente de tensao.

2kQ

3) Aplica-se a 1 a lei de Kirchhoff n vezes:

n = n° de n6s -1 =/ 2 )-:) = 1 vez

N6 A: l1 = l2 + l3

4) Aplica-se a 2a lei de Kirchhoff m vezes

m = n° de malhas internas = 2 vezes

5)

Malha 1: 2000 11 + 4000 11 + 2000 12 = 2 + 6

Malha II: 6 + 50013 = 200012 + 12

Resolve-sa o sistema com as equa96es obtidas.

11 = 12 + 13

2000 l1 + 4000 l1 + 2000 l2 = 2 + 6 (II)

6 + 50013 = 2000 12 + 12 (Ill)

Substituindo (I) em (II):

6000 (12 + 13) + 2000 12 = 8

8000 12 + 6000 13 = 8

Ternes agora 8000 12 + 6000 13 = 8 (II)

-2000 12 + 500 13 = 6 (Ill)

Fazendo equa9ao (II) + 4. equa9ao (Ill), temos:

6000 13 + 2000 13 = 32

8000 13 = 32


,,

'i

·' .

l3 = 4mA Substituindo em (II):

8ooo 0 12 + 6oo 0 4 0 1 o-3 = 8 8000 12 = 8 - 24

l2 = -2mA

Substituindo em (I): 11 = -2 0 1 o-3 + 4 0 1 o-3

l1 = 2mA

Temos portanto, os valores

11 = 2mA

l2 = -2mA

l3 = 4mA

6) Altera-se o senti do da corrente 12 e a tensao "atingida" pel a mesma e determina-se o valor das tens6es no circuito:

2mA 4kQ A 500Q 4mA

rr== J2mA ---ll )2v

Bv 2v ( + - 2kQ 2v + l2v - l2v

CD ® 6v

2kQ

7) Verifica-se se em cada n6 e malha estao sendo obedecidas as leis de Kirchhoff:

120

N6 A: 4mA = 2mA + 2mA (V)

Malha I: 8 + 4 = 6 + 4 + 2 (V)

Malha II: 6 + 4 + 2 = 12 (V)

Malha externa: 8 + 4 + 2 = 12 + 2 (V)

ELETRON/CA

Exercicios Prop <•".o:O»~~~-,.~·':«~·~:««~

1)

2)

Determine as correntes dos adotadoso

l2v

Determine c correntes d1 adotadoso

Leis de Kirchhoff

mesma

as

Exerclcios Propostos

1) Determine as equa96es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

+

l2v

lkQ

I l

2k2Q

4700

9V

3v

I 3

2) Determine as equa96es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

22n

+ t 13

I 6v t I l 2

56n + 6v


3)

4)

122

-

Determine as equag6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

lOOQ

330Q

Determine as equag6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

I 1 12

100 22n 470

13 t + + +

-1 12v -I'v -J 3•

ELETRONJCA

5) Determine a correntes de adotados.

6) Oetermir corrente: adotado

\ ~ ""' ""' <

Leis de Kirct

tambem o valor das ja previamente 5)

6)

Determine as equa96es de malha e de n6 e tc:tmb~m o v~Jor das correntes dos circuitos, de acordo com os sent1dos Ja prev1amente adotados.

lkn lkn lkn

+ + +

Determine as equa96es de malha e de n6 e tc:tmb~m o v~Jor das correntes dos circuitos, de acordo com os sent1dos Ja prev1amente adotados.

1000 1200

+

2200 lkn

+ 9v

+ 6V - 12v

13 t 471Xl

14 t +

9v 11 12 Is


8) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

6v 6v

+ +

56!1 62!1

+ 6v

124 ELETRON/CA

1 O) Oeterr correr adota

Leis de Ki1

tambem o valor das tidos ja previamente

+

l2v

bern o valor das os ja previamente

62Q

ELETRONICA

9) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

lkn lkn lkn lOkn

+

9v + 6V 12v

lkn

1 0) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.

IJ 22QQ 92 F -9v

220n 330n 330n

9v ~13 + 22QQ

~ - -14 Is

100n 16 -


6)

Capitulo 6

1) 11 + 13 = 12

10001 1 + 47012 = 15

4701 2 + 220013 = 12

I 1 = 9,29mA

12 = 12,15mA

13 = 2,86mA

2) 11 + 12- 13 = 0 7)

4712 + 2213 = 6

561 1 - 4712 = 0

11 = 57,57mA

12 = 68,6mA

13 = 126,17mA

3) 11 + 12 + 13 = 0

-1001 1 + 32012 = 9

1001 1 - 33013 = 3

I 1 -11 ,78mA

12 = 24,44mA

13 = -12,66mA

4) 11 + 12 + 13 = 0

1011-2213 = 6

-471 2 + 2213 = 3

I 1 = 0,28A

l2 = -0,13A

l3 = -0, 15A

5) 11 - 12 - 13 = 0

10001 1 + 100013 = 0

10001 2 - 100013 = 0

11 = 0

12 = 0

13 = 0

-ELETR6NICA

)

188

6) l1 - l2- Ia = o 12 -14 -Is= o 22011 + 1 OOOia = 9

57012 - 1 OOOia + 22014 = -6

22014 - 1201s = 1 5

l1 = -0,87mA

l2 = -1 0,05mA

Ia = 9,19mA

14 = 40,57mA

Is= -50,63mA

7) 11 + 12 - Ia = o Ia + 14 -Is= o 12 -Is+ Is= 0

1 0011 + 1 OOia - 1 0014 = -15

1 0012 + 1 OOia + 1 OOis = 12

1 0014 + 1 OOis + 1 OOis = 6

l1 = -90mA

l2 = 82,5mA

Ia = -7,5mA

14 = 52,5mA

Is= 45mA

Is= -37,5mA

8) 11 - 12 + Ia = o 11 - 14 - Is= o 4711 - 561a + 6814 = 6

6212 + 561a = 6

6814 - 761s = 6

l1 = 53,55mA

l2 = 76,26mA

Ia = 22,71mA

l4 = 69,93mA

Is = -16,38mA

Apendice E 189

....

9) 11 - 12 - 13 = 0

12 -14 -Is= 0

100011 + 100013 = 15

1 00012 - 1 00013 + 1 00014 = -1 8

1 00014 - 1 OOOOis = -12

11 = 5,55mA

12 = -3,91mA

13 = 9,45mA

14 = -4,64mA

Is= 0,74mA

1 0) 11 - 12- 13 = 0

13 - 14 - Is = o 12 +Is - Is= o 44011 + 33013 = 9

33012 - 33013 - 220is = 9

2201s + 1 OOis = -9

11 = 16,56mA

12 = 11 ,36mA

13 = 5,2mA

14 = 36,87mA

Is = -31 ,67mA

Is = -20,32mA

11) R1 = 5,7 Q

R2 = 8,7 Q

12) V = 12V

13) V = -22,6V

14) V = -5,89V

15)

190

S1

A

A

F

F

S2

A

F

A

F

v· - 3,26V

-11,76V

-3,26V

-11,2V

ELETRONICA

Capitulo

1) 3.0~

-33(

a=

{3= 2) SOc

-41 a=

{3= 3) 650

-1 0(

a=

{3= 4) 340

-22( a=

{3= 5) 200

-1 0(

a=

{3= 6) 1.m

-62(

-1 0(

a=

{3= y=

7) 1.1C 1.1 c -1 oc a=

{3= y=

Apendice E

leis de kirchoff

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