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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
III - Lei de Gauss
António Amorim, SIM-DF
Electromagnetismo e Óptica
Lei de Gauss - 2010/2011
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Índice
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Distribuição Contínua (rev.)
De�nindo a densidade de carga por unidade de volume (C/m3)
ρ =∆Q
∆V
1 Aplicando a sobreposição ∆Q = ρ ∆V
2 Calcula-se
3 Resulta, assumindo a soma sobre~r ′:
~E (~r) =1
4πε0
∫V
ρ(~r ′)r̂ ′
r ′2dV
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Conservação da Carga
Num sistema fechado a carga total conserva-se:
Q =∫V
ρ dV
Mas e se houver �uxo de cargas?
Mais geral: Num �uido em movimento a massa conserva-seAo que está dentro acresce o que entrou e subtraí-se o que saiu
M →M + ∆M M →M + ∆M M →M + ∆M1−∆M2
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Carga e Corrente
Na superfície:
∆Q =∫S
∆Q
∆S·∆S
∆Q
∆S=
ρ∆V
∆S=
ρ∆r∆S
∆S= ρ∆r
o que signi�ca:∆Q =∫S ρ∆r ·∆S
dividindo pelo intervalo de tempo:
dQ
dt=−
∫S
ρ v ∆S
onde v = drdt
é a velocidade.(-) de v > 0 se v para fora comdQdt
< 0António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Teorema da Continuidade
Fluxo de cargas, ou matéria, ou energia:
dQ
dt=−
∫S
ρ v dS
Introduzindo a carga no volume:∫V
∂ρ
∂ tdV =−
∫S
ρ v dS
A variação no volume é o �uxo sobre a superfície.
Por analogia de�nimos o vector ~J = ρ~v chamamos �uxo de ~J a
Φ =∫S
~J ·~ndS
~J ·~n (~n normal à superfície), obliquamente aparece cos(θ)
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Fluxo de um vector
Fluxo do vector ~A é (com ~dS =~ndS) ΦA =∫S~A · ~dS
ΦA depende do ângulo θ entre ~A e a normal à superfície ~n:
Se θ é 0 o �uxo é máximo : ~A ·~n = |~A|Se θ é 90º o �uxo é 0.
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
Fluxo do Campo Eléctrico
O �uxo de campo eléctrico é:
ΦE =∫S
~E · ~dS (Nm2/C )
∮E , fechada,
~dS para fora
ΦE =∮A
~E · ~dS
1 Divide-se em elementos2 Cada ~E · ~dS = E dS cos(θ)3 Soma-se ΦE = ∑ ~E · ~dS4 Faz-se o limite dS → 0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Lei de Gauss
O �uxo de ~E em S fechada ~ carga no interior Q/ε0
Q
ε0=∮S
~E · ~dS
A carga é �fonte� de ~E
Qualquer superfície fechada(escolher a mais simples)Soma com sinais + e -As cargas fora não contamΦS1 = q
ε0, ΦS2 =− q
ε0,
ΦS3 = 0, ΦS4 = 0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Simetria Esférica (rev.)
Se as cargas estão numa esfera ou esferas concêntricas:
Rotações sobre qualquer eixo que passe pelo centro não contam
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Carga Pontual
Aplicando o teorema de Gauss
Q
ε0=∮S
~E · ~dS
Aplicando a simetria esférica ⇒ ~E radial
Q
ε0=∮S
~E · ~dS = E cos(0)∮dS = E
(4πr2
)Resolvendo para ~E (Lei Coulomb):
E =Q
4πr2ε0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Campo Eléctrico num condutor
Num condutor, o �uxo de carga:
~J = ρ~v = σ~E
onde σ é a condutividade eléctrica > 0
Isto signi�ca que
~F−e = (−e)~E nos electrões
com �atrito� no cristal ~vmedia ∝~F−e
Num estado estático
~vmedia =~0 =⇒ ~J =~0 =⇒ ~E =~0
Isolado em equilíbrio estacionário ~E =~0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Carga num condutor isolado
Onde está a carga Q?
Aplicar a lei de Gauss na superfície interna
~E =~0 =⇒ Qinterior = 0
Como é valido para qualquer superfície
ρ = 0 no interior
Por absurdo:
se ρ > 0 em P: bola centrada em P com Q>0
se ρ < 0 em P: bola centrada em P com Q<0
Num condutor, a carga electrostática está sempre na superfície
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Carga num condutor com cavidade
A carga Q pode estar na cavidade?
Aplicar a lei de Gauss na superfície cavidade
~E =~0 =⇒ Qcavidade = 0
para qualquer superfície!
então ρ = 0 no interior
Q electrostática, num condutor apenas na superfície externa
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Campo na Superfície de um condutor
Teorema de Gauss com dl <�< dA
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3
dl → 0 ⇒ Φ2→ 0∆Qε0
= ~E1 ·~n1dA+ ~E3 ·~n3dADe�nindo a densidade super�cial
σS =∆Q
∆A
e como ~n3 =−~n1
~E1 ·~n− ~E3 ·~n =σS
ε0
A descontinuidade da componente normal de ~E é σSε0
Condutor em equilíbrio ~E3 =~0 logo ~E1 ·~n = σSε0
Demonstraremos que a componente tangente de ~E1 é zero.(Lei de Faraday)
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Simetria Esférica (rev.)
A luz está �xa.
As esferas foram rodadas?
Sob que eixo foram rodadas?
O mesmo (~E ) para qualquer rotação sobre qualquer eixo.
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Simetria Cilíndrica (rev.)
A luz está �xa.
Os cilindros foram rodadas sob o seu eixo?
O mesmo (~E ) para qualquer rotação sob o seu eixo (�xo).
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Simetria de Translação (rev.)
O plano in�nito moveu-se para:
direita/esquerda?frente/trás?
O plano rodou segundo um eixo a eleperpendicular?
Os mesmos efeitos (~E ) para qualquer:
translação no plano.rotação segundo um eixo perpendicular ao plano.
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
Aplicar a Lei de Gauss
Como fazer:
1 Fazer esquema da distribuição de carga
2 Identi�car a/as simetrias da carga e logo de ~E
3 Escolher a superfície que torne o cálculo mais simples
4 Use a lei de Gauss ΦE = Qε0
para determinar o �uxo
5 Utilize o valor do �uxo para determinar ~E
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Campo de um varão in�nito
Densidade linear de carga: λ = ∆Q∆l
~E radial em coordenadas cilíndricas
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 com Φ1 = Φ3 = 0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Folha isoladora in�nita
~E perpendicular à folha (rotação)
~E é simétrico cima/baixo da folha
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 com Φ2 = 0 e Φ3 = Φ1
Φ = 2EA e Φ = σSA
ε0
2EA = σSA
ε0=⇒ E = σ
2ε0
~E independente da distancia à folha
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Folha condutora
António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Campo de duas folhas paralelas
Densidades de carga opostas σ1 = σ
2 e −σ1 =−σ
2
As placas atraem-se
Dentro ~Ei T. Gauss em S: Φ = EiA = 2σ1Aε0
=⇒ Ei = σ
ε0
Fora ~Eo T. Gauss em S': Φ = 2EoA′ = (σ1−σ1)A
ε0=⇒ Eo = 0
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Camada esférica isoladora
Campo: radial
Dentro: Φ = 4πr2Ei = Qε0
= 0 logoEi = 0
Fora: Φ = 4πr2Eo = Qε0
logo
E = Q
4πε0r2
Equivalente a toda a carga no centro
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Campo de uma esfera uniformemente carregada
Campo: radial
Carga: Q(r) = r³R³Q
Dentro:
Fora: = Carga Pontual
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
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Esfera uniformemente carregada II
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
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Outline
1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico
2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias
3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
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Problemas
Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?
Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?
Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?
Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?
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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss
Isolantes
CilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios
Problemas
Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?
Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?
Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?
Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?
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Isolantes
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Problemas
Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?
Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?
Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?
Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?
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Isolantes
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Problemas
Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?
Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?
Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?
Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?
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